teoria das orientaÇÕes (analÍtica/digital): … · fotogrametria ii (notas de aulas) teoria das...

UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA "JÚLIO DE MESQUITA FILHO” Campus de Presidente Prudente Faculdade de Ciências e Tecnologia

____________________________________________________________ Restituição Fotogramétrica Analítica: Fotogrametria - II

Júlio Kiyoshi Hasegawa

Sem revisão - Provisória

0

FOTOGRAMETRIA II

(notas de aulas)

TEORIA DAS ORIENTAÇÕES (ANALÍTICA/DIGITAL):

Orientação Relativa e Absoluta.


Presidente Prudente

2014





1

Restituição Fotogramétrica – Analítica

SUMÁRIO

1. Orientação Analítica Sequencial ...................................................................................... 1

2. Etapas da Orientação Analítica Sequencial ..................................................................... 1

2.1. Orientação relativa ........................................................................................................... 3

2.2. Orientação relativa com equação de coplanaridade ......................................................... 5

2.3. Orientação relativa com as equações de colinearidade .................................................... 8

2.4. Determinação das coordenadas dos pontos do modelo ................................................. 10

2.5. Fluxograma de operações para a orientação relativa ..................................................... 11

3. Orientação Absoluta ...................................................................................................... 13

4. Fluxograma de operações para a restituição ................................................................. 16

1. Orientação Analítica Sequencial

A restituição é um processo de transformação do sistema de projeção central

(cônica) para ortogonal (mapa). Assim, para elaborar um mapa (digital), ou ainda,

determinar as coordenadas dos pontos fotogrametricamente, deve-se formar um modelo

tridimensional da cena imageada, gerando um estereomodelo, na qual medidas

tridimensionais podem ser realizadas.

No modo analítico ou digital, a orientação do modelo consiste em determinar os

elementos de orientação exterior das duas fotos para depois determinar as coordenadas

dos pontos no espaço objeto por interseção dos raios homólogos.

No entanto, devido a versatilidade do modo analítico, a orientação pode ser

conduzida de forma semelhante ao do analógico, ou seja, o processo pode ser realizado

por duas orientação (que concretiza a orientação exterior): relativa e absoluta. Esse

procedimento é chamado, neste texto, de orientação seqüencial.

2. Etapas da Orientação Analítica Sequencial

Este procedimento simula analiticamente as mesmas etapas do analógico, ou seja,

executa a orientação relativa e a absoluta analiticamente. Para tanto, as seguintes etapas

devem ser realizadas:





2

Orientação relativa, que podem ser solucionadas utilizando-se das equações

de colinearidade ou coplanaridade;

Determinação das coordenadas 3D do modelo, no processo de orientação

relativa os elementos de orientação das duas fotos são determinadas, (7

elementos são fixados e 5 são determinados) e

Orientação absoluta, nessa etapa o relacionamento entre o modelo

estereoscópico e o terreno é realizado, utilizando-se geralmente, o modelo

matemático de transformação isogonal ou afim no espaço 3D.

A Figura 01 apresenta as etapas das orientações que são realizadas para habilitar

o modelo estereoscópio para a restituição.

Figura 1: Sequencias de operações para orientar um modelo.

A Figura 1 ilustra a sequencia operacional na orientação exterior (relativa e

absoluta) de um modelo e a determinação das coordenadas 3D dos pontos no sistema de

coordenadas geodésicas.

A orientação relativa é realizada medindo-se apenas os pontos de orientação

(Pontos de Gruber), no mínimo 6 para se aplicar o MMQ no processo de solução

(ajustamento).

A orientação interior deve ser realizada nos pontos de orientação, gerando as

fotocoordenadas para a determinação dos elementos de orientação relativa. Nessa etapa,

dos 12 elementos de orientação, 7 deles devem ser injuncionados (conforme os critérios

efeitos dos movimentos, de forma semelhante ao da definição das rotinas no modo

analógico) e 5 são determinados no processamento.

FLUXOGRAMA – ORIENTAÇÃO DO MODELO (SEQUENCIAL)

Orientação Interior:

Transformação

Correção dos erros

sistemáticos.

Orientação Relativa:

Determinação dos

elementos de

Orientação Relativa.

Orientação Absoluta:

Determinação dos

elementos de Orientação

Absoluta.

Orientação Exterior





3

As coordenadas tridimensionais dos pontos de apoio, no sistema de coordenadas

definidos na formação do modelo (cartesiano 3D – arbitrário) devem ser calculadas, para

possibilitar a transformação para o sistema de coordenadas do espaço objeto.

A orientação absoluta consiste em calcular os parâmetros de transformação, que

pode ser determinado relacionando-se as coordenadas dos pontos de apoio no modelo

com o terreno.

2.1. Orientação relativa

No processo de orientação relativa, fixam-se 7 elementos de orientação e

determinam os outros 5 (2 elementos do grupo 1 e 2 e um dos ômegas), desta forma a

orientação é feita de forma relativa aos elementos fixados e no sistema de coordenadas

cartesianas tridimensional adotada arbitrariamente.

Na prática, existem 50 possíveis combinações para realização da orientação

relativa, na qual serão relacionados apenas 2 delas:

Caso 1: Sistema de coordenadas do modelo coincidente com o sistema da foto da

esquerda (Figura 3).

Figura 2: Sistema de coordenadas do modelo solidário ao sistema da foto da esquerda.

y´

x´

bz

by

Y

z´ x"

y" z"

C1

C2

f

f

bx = cte

P(X Y Z)

X

Z





4

Essa condição, Figura 2, é materializada fixando-se o Centro Perspectivo (CP) ao

sistema de coordenadas da foto da esquerda (3 elementos são fixados – X, Y e Z do CP

da esquerda).

No entanto, o modelo não tem uma escala definida, para tanto, deve-se fixar a

componente bx (base) do modelo, que na prática resume-se em fixar a coordenada X do

centro perspectivo da foto da direita.

Desta forma, os valores fixados são: ωe, ϕ e, κ e, X ec, Y ec, e Z

ec para a foto da

esquerda e: Xd c, da foto da direita.

A solução da orientação relativa consiste em determinar os 5 parâmetros de

orientação da foto da direita (Ydc, Zdc, ω

d, ϕd e κd).

Caso 2: Fazendo a coincidência do eixo x do sistema de coordenadas do modelo

coincide com a base, resultando em by = bz = 0;

Neste caso os elementos de orientação incógnitos são apenas os de rotação, três

(03) para cada uma das fotos. No entanto, como os elementos de rotação ômega

produzem os mesmos efeitos nas paralaxes, deve-se escolher apenas um deles. A Figura

3 ilustra o modelo fixando-se os elementos de translação das duas fotos e ômega da foto

da esquerda.





5

Figura 3: Sistema de coordenadas com a base coincidente com o eixo X.

Nesse procedimento os valores considerados conhecidos, arbitrados, são: Xec, Yec,

Zec e ωe para a foto da esquerda e Xdc, Y

dc, Z

dc da foto da direita.

Na solução da orientação relativa e, conseqüentemente, obtenção de todos os

parâmetros de orientação, resume-se na determinação dos elementos angulares, dois da

foto da esquerda (κe e ϕe) e os três da foto da direita (ωd, ϕd e κd).

O processo de orientação relativa de modo analítico, tanto no caso 1 como no caso

2, pode ser realizado a partir das duas equações, de coplanaridade ou de colinearidade.

2.2. Orientação relativa com equação de coplanaridade

Na equação de coplanaridade (equação 1), verifica-se que existem doze (12)

parâmetros à determinar: κ ϕ ω κ ϕ ωe e e

c

e

c

e

c

e d d d

c

d

c

d

c

dX Y Z X Y Z, , , , , , , , , , , .

0)vuvu)(ZZ(

)wuwu)(YY()wvwv)(XX(

eddeec

dc

deedec

dcedde

ec

dc

=−−

+−−+−− (1)

O problema de orientação relativa requer somente a solução de cinco parâmetros

relativos: )(),(),(),(),(dc

ec

dc

ec

dededeZZYY −−−−− ωωϕϕκκ , ou seja, fica a

X

Y

Z

C2 X

y

´

x"

y"

C1

f f

bx = cte

P(X Y Z)

x

´

z

´

z"





6

necessidade de resolver somente as incógnitas: ∂ κ ∂ ϕ ∂ ω ∂ ∂, , , ,Y Z (caso 01). Na

prática define-se valores arbitrários para todos os parâmetros da foto da esquerda e de

um parâmetro da foto da direita :κ ϕ ωe e e

c

e

c

e

c

e

c

dX Y Z cte X base= = = = = = =0 0 0 0 0, , , , , , ,

assim restam somente cinco (5) parâmetros para ser resolvido na orientação relativa.

A Figura 4 ilustra o plano coplanar, definido pelos vetores B, Ai e Aj que define a

linha epipolar, cuja característica é muito utilizada nas técnicas automáticas de

determinação dos pontos homólogos. As linhas epipolares reduzem o espaço de busca

dos pontos homólogos, pois ao longo dela encontram-se os dois pontos.

Figura 4 - Modelo com os vetores que definem o plano coplanar (Wolf-1988)

No caso 02, fica a necessidade de resolver somente as incógnitas: ∂ϕ1, ∂κ1,.∂ϕ2,

∂ω2,.∂κ2. Os outros parâmetros são arbitrados, geralmente:

ecX = 0;

ecY = 0;





7

ecZ = f;

dcX = base fotográfica;

dcY = 0;

dcZ = f.

Desta forma, para cada par de raios na qual as coordenadas xep, yep, x

dp e y

dp

foram observados, uma equação de coplanaridade pode ser escrita.

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ] 0)zmymxmzmymxm

zmymxmzmymxm)(ZZ(

)zmymxmzmymxm

zmymxmzmymxm)(YY(

)zmymxmzmymxm

zmymxmzmymxm)(XX(

ep

e32

ep

e22

ep

e12

dp

d31

dp

d21

dp

d11

dp

d32

dp

d22

dp

d12

ep

e31

ep

e21

ep

e11

ec

dc

dp

d33

dp

d23

dp

d13

ep

e31

ep

e21

ep

e11

ep

e33

ep

e23

ep

e13

dp

d31

dp

d21

dp

d11

ec

dc

ep

e33

ep

e23

ep

e13

dp

d32

dp

d22

dp

d12

dp

d33

dp

d23

dp

d13

ep

e32

ep

e22

ep

e12

ec

dc

=++++

−++++−

+++++

−++++−

+++++

−++++−

(2)

Assim, para um mínimo de cinco (pontos) pares de raios há uma solução única, na

prática e para aplicar o MMQ adota-se observar mais do que cinco pares de raio a fim de

eliminar erros grosseiros que eventualmente possa ter ocorrido no processo de medição.

Na solução da equação 2 deve-se aplicar o método combinado para o ajustamento das

equações normais, pois a função não está escrita na forma explícita.

Na equação 2, o zep e zdp é a distância principal da câmara, que no caso aéreo é

associado ao valor de f (distância focal). Geralmente, os ec

dc ZeZ são fixados com o valor

da distância focal, desta forma a relação fec

dc bXX =− deve ser mantida para garantir a

proporcionalidade. Nesse caso o modelo formado estará na mesma escala da fotografia

utilizada.





8

2.3. Orientação relativa com as equações de colinearidade

A equação de colinearidade representa matematicamente um raio do feixe de raios

que compõe a imagem. Desta forma, aplicando a equação de colinearidade nas duas

imagens adjacentes pode-se reproduzir o modelo analiticamente, por meio de interseções

dos raios homólogos.

Desta forma, o modelo estereoscópico (formado matematicamente) produzido deve

ser referenciado ao sistema de coordenadas cartesianas (3D) arbitrária, impondo as

injunções nos parâmetros.

A realização da orientação relativa faz-se determinando somente cinco parâmetros,

de forma semelhante ao procedimento analógico. Nesse caso, a interseção de no mínimo

cinco pares de raios para se realizar a orientação relativa se faz necessária.

Utilizando dois pares de equações de colinearidade (equação 3) verifica-se a

existência de doze (12) parâmetros de orientação à determinar:

κ ϕ ω κ ϕ ωe e e

c

e

c

e

c

e d d d

c

d

c

d

c

dX Y Z X Y Z, , , , , , , , , , , e três coordenadas (X, Y e Z) do ponto.

)()()(

)()()(

333231

131211

e

cp

ee

cp

ee

cp

e

e

cp

ee

cp

ee

cp

e

e

pZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfx

−+−+−

−+−+−−=

)()()(

)()()(

333231

232221

e

cp

ee

cp

ee

cp

e

e

cp

ee

cp

ee

cp

e

e

pZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfy

−+−+−

−+−+−−= (3)

)()()(

)()()(

333231

131211

d

cp

dd

cp

dd

cp

d

d

cp

dd

cp

dd

cp

d

d

pZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfx

−+−+−

−+−+−−=

)()()(

)()()(

333231

232221

d

cp

dd

cp

dd

cp

d

d

cp

dd

cp

dd

cp

d

d

pZZmYYmXXm

ZZmYYmXXmfy

−+−+−

−+−+−−=

A solução da equação 3 pode ser obtida através de dois procedimentos básicos:

a) considerar como parâmetros incógnitos somente cinco elementos de orientação

das câmaras (como no caso da coplanaridade).





9

- neste caso, cada ponto gera quatro equações nas quais estão inseridos os

cinco (05) elementos de orientação como incógnitas e três (03) coordenadas

dos pontos de orientação (medidos) no sistema de coordenadas do modelo.

Assim, de forma semelhante ao da equação de coplanaridade, verifica-se a

necessidade mínima de 5 pontos para proporcionar solução única e mais de

6 para ser aplicada o MMQ.

Para exemplificar, supondo um modelo com seis pontos observados,

tem-se (injunção absoluta – nos 7 elementos de orientação fixados):

- 05 incógnitas referentes aos parâmetros de orientação;

- 06 x 03 = 18 incógnitas referentes às coordenadas dos pontos no

sistema de coordenadas dos modelos;

- Resultando em 23 incógnitas; e

- Como cada ponto geram 4 observações, assim 24 observações

são geradas.

b) adotar um procedimento semelhante ao da orientação analítica simultânea, ou

seja, adotar o mesmo critério descrito anteriormente e considerar todos os pontos a

ser fototriangulado como incógnitas e ajustá-los simultaneamente, condição

possível somente à equação de colinearidade.

Para exemplificar, supondo um modelo com seis pontos observados,

tem-se:

- 30 incógnitas são geradas para esse modelo (com os seis

pontos), dos quais 12 referentes aos elementos de orientação e 18

referentes às coordenadas (XYZ) dos pontos; e

- com 24 observações e 7 injunções (mínimas) – resultando em um

grau de liberdade, a solução por MMQ é possível.

Este desenvolvimento é semelhante ao processo de Orientação exterior analítica

simultânea, diferenciando somente no uso do sistema de coordenadas do espaço objeto,

na relativa - um sistema cartesiano 3D arbitrário, na simultânea utiliza-se um sistema de

coordenadas cartesianas 3D geodésico.





10

Esses desenvolvimentos mostrados (a e b) são válidos para os todos os possíveis

casos, diferenciando somente nos parâmetros incógnitos envolvidos no processo de

ajustamento. A Figura 5 ilustra os 6 pontos de orientação (conhecidos também como

pontos de Gruber) no modelo e os sistemas de coordenadas envolvidas.

Figura 5: Sistema de coordenadas e 6 pontos de orientação (Wolf-1988).

No caso b, além das incógnitas referentes aos elementos de orientação às

coordenadas (no sistema do modelo) dos pontos são determinados em um único

processamento. No caso a, após o cálculo dos elementos de orientação deve-se calcular

as coordenadas do modelo, pois somente os elementos de orientação (relativa) e dos

pontos de orientação utilizados são determinados.

2.4. Determinação das coordenadas dos pontos do modelo

Uma vez determinado os parâmetros de orientação (relativa) das fotos, faz-se

necessário à determinação das coordenadas dos pontos do modelo. Este cálculo pode

ser efetuado utilizando-se basicamente dos métodos de interseção fotogramétrica:

solução das equações de colinearidade pelo MMQ; ou por fator de escala. Nesse caso, os

elementos de orientação são os obtidos no ajustamento da orientação relativa.





11

2.5. Fluxograma de operações para a orientação relativa

As etapas a serem realizadas na prática da orientação relativa estão apresentadas

na Figura 6.





12

Figura 6: Fluxograma de operações da orientação relativa analítica.

MÓDULO ORIENTAÇÃO RELATIVA

2

Gravar Elementos

Orientação Relativa

Leitura das coordenadas de tela:

(ie, je) e (id, jd)

Valores Iniciais –

Matriz de Rotação: Re = I, Rd = I

X’c = Y’c = 0, Z’c = f

X”c = Y”c = 0, Z”c = f

Equação de Colinearidade:

Montagem:

Matriz A – Vetor L0

Vetor L = L0 - Lb Matriz P N = (A

TPA) U = (A

TPL)

Solução de Sistema de equações:

X = N-1U X

a = X0 - X

Σ Resíduos < critério

IT < Max. Iter.

IT = 0

IT = IT + 1

Não

Não

Sim

Sim

Fim

Problemas

Orientação Relativa concluída.

Injunção: nos OE´s

Exemplos:

(1) foto esquerda (6 elementos) + coordenada X (foto direita)

(2) Injunção: 6 elementos de translação

+ ω (foto direita)

Elementos de Orientação Interior

Somente ponto de

orientação (Gruber)

1





13

3. Orientação Absoluta

Terminada a orientação relativa, um modelo estereoscópico das imagens

processadas não geradas, entretanto, este modelo está num sistema de coordenadas

arbitrário sem definição de escala e o eixo z não está orientado em relação ao sistema de

coordenadas terrestre utilizado.

O modelo estereoscópico formado representa perfeitamente a morfologia do

terreno, desta maneira, para validar este modelo como uma representação

planoaltimétrico equivalente ao terreno fotografado faz-se necessário realizar uma

transformação geométrica (Isogonal ou Afim) que sintetiza a Orientação Absoluta.

Figura 7 - Modelo arbitrário em relação ao sistema de coordenadas do espaço objeto.

Na orientação relativa forma-se um modelo estereocópico num sistema cartesiano

tridimensional arbitrário, desta forma, as coordenadas fornecidas (pela equação de

colinearidade ou coplanaridade) do modelo devem ser transformadas para o sistema de





14

coordenadas do espaço objeto. Essa transformação pode ser realizada pelo modelo

matemático Isogonal ou Afim.

3.1. Orientação Absoluta com transformação Isogonal

O modelo matemático 4 descreve matematicamente a relação entre o sistema do

modelo arbitrário e sistema de coordenadas retangular do espaço objeto:

X

Y

Z

M

X X

Y Y

Z Z

T

=

−

−

−

−λ 1

0

0

0

'

'

'

(4)

onde:

X, Y e Z são as coordenadas “observadas” do modelo estereoscópico;

X’, Y’ e Z’ são as coordenadas 3D dos pontos de apoio;

X0, Y0 e Z0 são os parâmetros de translação da transformação;

λ é o fator de escala da transformação; e

M é a matriz de rotação definida pelas rotações de Euler.

A solução da orientação absoluta passa, inicialmente, pela determinação dos

parâmetros (sete) de transformação, na qual está condicionada a um conhecimento nos

dois sistemas de no mínimo de 3 pontos para uma solução única e 4 ou mais para aplicar

o MMQ.

A Transformação inversa, necessária para a determinação das coordenadas dos

pontos, no sistema do espaço objeto, pode ser processada manipulando-se o modelo

matemático 4, resultando na equação 5.

X

Y

Z

M

X

Y

Z

X

Y

Z

'

'

'

'

'

'

=

+

λ0

0

0

(5)





15

3.2. Orientação Absoluta com transformação Afim

Embora este procedimento não seja muito comum para esta aplicação, será

apresentado aqui devido a sua facilidade de solução, pois é um modelo linear.

Diferentemente do caso Isogonal, este modelo não necessita de valores aproximados aos

parâmetros incógnitos.

Modelo matemático (equação 6):

X

Y

Z

a b c

d e f

g h i

X

Y

Z

j

k

l

=

′

′

′

+

(6)

Transformação Inversa:

X

Y

Z

a b c

d e f

g h i

X j

Y k

Z l

′

′

′

=

′−

′−

′−

−1

(7)

Da mesma forma que no caso 3.1., deve-se determinar os parâmetros de

transformação (12) pela equação 6 e aplicar a transformação inversa (equação 7) para

determinar as coordenadas dos pontos no espaço objeto.





16

4. Fluxograma de operações para a restituição

A Figura 2 ilustra as operações necessárias para efetuar a restituição de feições

sobre um modelo com orientação relativa e absoluta conhecidas.

Figura 8: Etapas de uma restituição analítica seqüencial.

Restituição Fotogramétrica

Sequencial

Leitura das

Coordenadas

Orientação Interior.

Correção dos Erros

Sistemáticos.

Dados Auxiliares

Orientação Relativa

Interseção Fotogramétrica

Orientação Absoluta

Transformação Inversa

Coordenadas

: X Y e Z

teoria das orientaÇÕes (analÍtica/digital): … · fotogrametria ii (notas de aulas) teoria das...

Documents