teorija elektriČnih kola · 2006-11-08 · trigonometrijske i hiperbolne funkcije veza izme u...
TRANSCRIPT
TEORIJA ELEKTRIČNIH KOLA Tablica primarnih parametara mreže sa dva para krajeva
Tablica primarnih i sekundarnih parametara simetričnih mreža sa dva para krajeva
Parametri nekih idealnih aktivnih mreža sa dva para krajeva
Filtri
Fourier-ov red za periodične funkcije
Snage u kolima sa složenoperiodičnim eksitacijama
Fourier-ova transformacija
Osnovne osobine Fourier-ove transformacije
Parovi Fourier-ove transformacije
Osnovne osobine Laplace-ove transformacije
Traženje inverzne Laplace-ove transformacije
Parovi Laplace-ove transformacije
Uzimanje u obzir početnih uslova u kalemu i kondenzatoru preko ekvivalentnih šema sa nezavisnim strujnim i naponskim generatorima
Različiti oblici zapisivanja DuHamel-ovog integrala
Neki korisni integrali
Tablica primarnih parametara mreže sa dva para krajeva
1
1′
2
2′
1I 2I
1U2U
+ +
z - parametri impedanse otvorene mreže
y - parametri admitanse kratko spojene mreže
a - parametri lančani parametri
b - parametri lančani parametri
g - parametri hibridni parametri
h - parametri hibridni parametri
1 11 12 1
21 222 2
U z z I
z zU I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11z
12z
21z 22z
22y
y
12y
y−
21y
y− 11y
y
11
21
a
a
21
1
a
21
1
a
22
21
a
a
22
21
b
b−
21
1
b−
21
1
b− 11
21
b
b−
11
1
g 12
11
g
g−
21
11
g
g
11
g
g
22
h
h
12
22
h
h
21
22
h
h−
22
1
h
1 11 12 1
21 222 2
I y y U
y yI U
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
22z
z
12z
z
−
21z
z
− 11z
z
11y 12y
21y 22y
22
12
a
a
12
1
a
−
12
1
a
− 11
12
a
a
11
12
b
b−
12
1
b
12
1
b 22
12
b
b−
22
g
g
12
22
g
g
21
22
g
g−
22
1
g
11
1
h 12
11
h
h−
21
11
h
h
11
h
h
1 11 12 2
21 221 2
U a a U
a aI I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11
21
z
z
21
z
z
21
1
z 22
21
z
z
22
21
y
y−
21
1
y−
21
y
y−
11
21
y
y−
11a
12a
21a 22a
22b
12b−
21b− 11b
21
1
g
22
21
g
g
11
21
g
g
21
g
g
21
h
h− 11
21
h
h−
22
21
h
h−
21
1
h−
2 11 12 1
2 21 22 1
U b b U
I b b I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
22
12
z
z
12
z
z
−
1
z
− 11
12
z
z
11
12
y
y−
12
1
y−
12
y
y
22
12
y
y−
22a
12a−
21a− 11a
11b
12b
21b 22b
12
g
g−
22
12
g
g
11
12
g
g
12
1
g−
12
1
h 11
12
h
h−
22
12
h
h−
12
h
h
1 11 12 1
21 222 2
I g g U
g gU I
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ −⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
11
1
z
12
11
z
z
−
21
11
z
z
11
z
z
22
y
y
12
22
y
y
21
22
y
y−
22
1
y
21
11
a
a
11
1
a
−
11
1
a
12
11
a
a
21
22
b
b−
22
1
b−
22
1
b 12
22
b
b−
11g
12g
21g 22g
22h
h
12h
h−
21h
h−
11h
h
1 11 12 1
2 21 22 2
U h h I
I h h U
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
22
z
z
12
22
z
z
21
22
z
z
− 22
1
z
11
1
y 12
11
y
y−
21
11
y
y
11
y
y
12
22
a
a
22
1
a
22
1
a
− 21
22
a
a
12
11
b
b−
11
1
b
11
1
b− 21
11
b
b−
22g
g
12g
g−
21g
g−
11g
g
11h
12h
21h 22h
Tablica primarnih i sekundarnih parametara simetričnih mreža sa dva para krajeva PRIMARNI PARAMETRI a
�
y
�
z
�
SEKUNDARNI PARAMETRI IMPEDANSE
1 /2Z 1 /2Z
2Z
1
11
2
1
12 1
2
21
2
1
22
2
12
14
1
12
Za
Z
Za Z
Z
aZ
Za
Z
= +
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
=
= +
( )
( )
( )
( )
1 2
11
1 1 2
2
12
1 1 2
2
21
1 1 2
1 2
22
1 1 2
2 4
4
4
4
4
4
2 4
4
Z Zy
Z Z Z
Zy
Z Z Z
Zy
Z Z Z
Z Zy
Z Z Z
+=
+
= −+
=+
+= −
+
( )
1
11 2
12 2
21 2
1
22 2
2
2
Zz Z
z Z
z Z
Zz Z
= +
= −
=
= − +
1TC C 1 2
2
1 1
C
2 2
1
2
1
2
14
2 ln 14 4
ch 12
sh2 4
ZZ Z Z Z
Z
Z Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
⎛ ⎞⎟⎜= = + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜Γ = + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Γ = +
Γ=
1 11
21
T T
T
2
21
1
2
ch 1th
sh 2
1
sh
Z a
a
Z Z
ZZ
a
−
= =
Γ − Γ= =
Γ
= =Γ
1Z
22Z ′22Z ′′
1
11
2
12 1
1
21
2 2
1
22
2
12
11
4
12
Za
Z
a Z
Za
Z Z
Za
Z
= +
=
⎛ ⎞⎟⎜= + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
= +
11
1 2
12
1
21
1
22
1 2
1 1
2
1
1
1 1
2
yZ Z
yZ
yZ
yZ Z
= +
= −
=
⎛ ⎞⎟⎜= − + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( )
( )
1 2 2
11
1 2
2
2
12
1 2
2
2
21
1 2
1 2 2
22
1 2
2 4
4
4
4
4
4
2 4
4
Z Z Zz
Z Z
Zz
Z Z
Zz
Z Z
Z Z Zz
Z Z
+=
+
= −+
=+
+= −
+
C C 1 21
2
1 1
C
2 2
1
2
1
2
1
14
2 ln 14 4
ch 12
sh2 4
Z Z Z ZZ
Z
Z Z
Z Z
Z
Z
Z
Z
Π
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜Γ = + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
Γ = +
Γ=
1 12
12
2
11
sh
21
sh
ch 1
cth2
Z a Z
aZ
a
Z
Z
Π
Π
Π
= = Γ
= =−
Γ= =
Γ −
Γ=
1Z
2Z
1Z
2Z
2 1
11
2 1
2 1
12
2 1
21
2 1
2 1
22
2 1
2
2
Z Za
Z Z
Z Za
Z Z
aZ Z
Z Za
Z Z
+=
−
=−
=−
+=
−
2 1
11
2 1
2 1
12
2 1
2 1
21
2 1
2 1
22
2 1
2
2
2
2
Z Zy
Z Z
Z Zy
Z Z
Z Zy
Z Z
Z Zy
Z Z
+=
⎛ − ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
−=
⎛ + ⎞⎟⎜= − ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( )
( )
( )
( )
11 1 2
12 1 2
21 1 2
22 1 2
14
2
14
2
14
2
14
2
z Z Z
z Z Z
z Z Z
z Z Z
= +
= − −
= −
= − +
C T 1 2
1 1
C
2 2
2 1
2 1
1
2
2 ln 14 4
ch
th2
Z Z Z Z
Z Z
Z Z
Z Z
Z Z
Z
Z
= =
⎛ ⎞⎟⎜Γ = + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
+Γ =
−
Γ=
11
1 C
21
11
2 C
21
11
1 C
21
11
2 C
21
1th
2
1cth
2
ili
1cth
2
1th
2
a
Z Za
aZ Z
a
aZ Z
a
aZ Z
a
− Γ= =
+ Γ= =
+ Γ= =
− Γ= =
1 /2Z 1 /2Z
2Z
3Z
( )
( )1 3 1 2
C
1 3
1 3
22 1
2 3
2
4
4
ch 12
4
Z Z Z ZZ
Z Z
Z Z
Z ZZ Z
Z
+=
+
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟Γ = + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ + + ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
Parametri nekih idealnih aktivnih mreža sa dva para krajeva
Naziv Simbol z y g h a strujom kontrolisani naponski izvor SKNI 1rI
1U 2U
1I 2I
0
0
r 0
-------
-------
-------
0
0
1
r
0
naponom kontrolisani strujni izvor NKSI 1gI
1U 2U
1I 2I
-------
0
0
g 0
-------
-------
0
1
g−
0 0
naponom kontrolisani naponski izvor NKNI 1Iµ1U 2U
1I 2I
-------
-------
0
0
µ 0
-------
1
µ
0
0 0
KO
NT
RO
LIS
AN
I IZ
VO
RI
strujom kontrolisani strujni izvor SKSI 1Iα1U 2U
1I 2I
-------
-------
-------
0
0
α 0
0
0
0 1
α
−
strujni negativni konvertor SNC
1U 2U
1I 2I
SNC
-------
-------
0 1
k
1
k 0
0 k
k 0
k 0
0 1
k−
KO
NV
ER
TO
RI
Naponski negativni konvertor NNC 1U 2U
1I 2I
NNC
-------
-------
0 1
k−
1
k− 0
0 k−
k− 0
k−
0
0 1
k
pozitivni konvertor IDEALNI TRANSFORMATOR
1U 2U
1I 2I
: 1m
-------
-------
0 1
m
−
1
m
0
0 m
m− 0
m
0
0 1
m
−
pozitivni invertor ŽIRATOR
1U 2U
1I 2Ir
0 r∓
r± 0
0 1
r±
1
r∓ 0
-------
-------
0 r±
1
r± 0
I
NV
ER
TO
RI
negativni invertor
1U 2U
1I 2I
NI
0 r∓
r∓ 0
0 1
r∓
1
r∓ 0
-------
-------
0 r±
1
r∓ 0
SIMBOL
1
2
3A
EKVIVALENTNA ŠEMA
1V 0V
2V
iV
iAV
1
2
2 1( )o iV AV V AV= − = −
TABLICA ZAVISNOSTI IZMEĐU PRIMARNIH PARAMETARA: 12 21 12 21 11 22 12 21 11 22 12 21 12 21 12 21; ; 1; 1; ;z z y y a a a a a b b b b b g g h h= = = − = = − = = − = −
TABLICA ZAVISNOSTI IZMEĐU PRIMARNIH PARAMETARA SIMETRIČNIH MREŽ: 11 22 11 22 11 22 11 22 11 22 12 21 11 22 12 21
11 22 12 21 11 22 12 21 11 22 12 21 11 22 12 21
; ; ; ; 1; 1;
; ; ; .
z z y y a a b b g g g g g h h h h h
y y y y y z z z z z g g g g g h h h h h
= = = = = − = = − =
= − = − = − = −
Filtri Filtri sa konstantnim proizvodom redne i otočne impedanse 1 2 constZ Z = nazivaju se K-filtri. K-filtri niskih učestanosti:
1 /2L
2C
1 /2L
1L
2
2
C 2
2
C
( )
21 1 1
22
2 2
1 21 2
2
T 2C C 1 2
1 21 2
2
C
c
1 2
1 1
const
1
4 4
2 ln 1
granica propusnog i nepropusnog opsega
2N=1 =
j
j
j j
j j
Z j L L e
Z ej C C
LZ Z R
C
Z Z Z Z R
ZLC e Ne
Z
Ne Ne
LC
π
π
π π
π π
ω ω
ω ω
ω
ω ω
−
Π
= =
= =
= = =
= =
= =
Γ = + +
⇒ =
K-filtri visokih učestanosti
12C
2L
12C
1C
22L 22L
( )
21
1 1
22 2 2
2 21 2
1
T 2C C 1 2
1
22 2 1
C
c
2 1
1 1
const
1 1
4 4
2 ln 1
granica propusnog i nepropusnog opsega
1N=1 =
2
j
j
j j
j j
Z ej C C
Z j L L e
LZ Z R
C
Z Z Z Z R
Ze Ne
Z L C
Ne Ne
L C
π
π
π π
π π
ω ω
ω ω
ω
ω ω
−
Π
− −
− −
= =
= =
= = =
= =
= =
Γ = + +
⇒ =
Campbell-ova jednačina: 1
C
2
ch 14
Z
ZΓ = + ; ( )C C C C C C Cch ch ch cos sh sinA jB A B j A BΓ = + = +
Trigonometrijske i hiperbolne funkcije Veza između trigonometrijskih i hiperbolnih funkcija
cos sin cos sin
cos sin2 2
cos sin2 2
jx jx
jx jx jx jx
jz jz jz jz
e x j x e x j x
e e e ex x
j
e e e ez z
j
−
− −
− −
= + = −
+ −= =
+ −= =
sh sin sh sin
ch cos ch cos
th tan th tan
cth cth cth cth
z j z jz j z
z z jz z
jz j z jz j z
z j jz jz j z
= − =
= =
= − =
= = −
Hiperbolične funkcije Izvodi trigonometrijskih i hiperbolnih funkcija
ch sh2 2
shth = za (2 1) ( 0, 1, 2,...)
ch 2
ch 1cth = za ( 0, 1, 2,...)
sh th
z z z ze e e ez z
z jz z k k
z
zz z jk k
z z
π
π
− −
+ −= =
≠ + = ± ±
= ≠ = ± ±
2 2
2 2
(sin ) cos (cos ) sin
1 1(tan ) (cot )
cos sin
(sh ) ch (ch ) sh
1 1(th ) (cth )
ch sh
z z z z
z z
z z
z z z z
z z
z z
′ ′= = −
′ ′= = −
′ ′= =
′ ′= = −
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1arcsin log 1
1arccos log 1
1arctan log
2
1arccot log
2
Arsh log 1
Arch log 1
1 1Arth log
2 1
1 1Arcth log
2 1
z jz zj
z z zj
j zz
j j z
z jz
j z j
z z z
z z z
zz
z
zz
z
= ± −
= ± −
−=
+
+=
−
= ± +
= ± −
+=
−
+=
−
Fourier-ov red za periodične funkcije Složenoperiodična funkcija ( ) ( )f t f t T= + može se predstaviti Fourier-ovim redom koji
predstavlja sumu prosotperiodičnih funkcija u obliku: ( )0
0 0
1
( ) cos sin2 n n
n
a
f t a n t b n tω ω
∞
=
= + +∑ :
gdje je:
0 0
0 0
0
0
0 0
0
2 2( ) ; ( )cos ; 0,1,2,...
2( )sin ; 1,2, 3,...
t T t T
n
t t
t T
n
t
a f t dt a f t n t dt nT T
b f t n t dt nT
ω
ω
+ +
+
= = =
= =
∫ ∫
∫
1. Ako je funkcija ( )f t parna funkcija tj. ( ) ( )f t f t− = Fourier-ov red će sadržati konstantni član i
kosinusne članove:
/2
0
0
4( )cos , 0,1,2,...
0, 1,2, 3,...
T
n
n
a f t n t nT
b n
ω= =
= =
∫
2. Ako je funkcija ( )f t neparna funkcija tj. ( ) ( )f t f t− = − Fourier-ov red će sadržati samo sinusne
članove:
/2
0
0
4( )sin , 1,2, 3,...
0, 0,1,2,...
T
n
n
b f t n t nT
a n
ω= =
= =
∫
3. Ako je negativni talas vremenske funkcije ogledalska slika pozitivnog talasa tj. ako je
( ) ( )2
Tf t f t+ = − onda:
/2
0
0
/2
0
0
0, za -parno
4( )cos , -neparno
0, -parno
4( )sin , -neparno
n
T
n
n
T
n
a n
a f t n t nT
b n
b f t n t nT
ω
ω
=
=
=
=
∫
∫
4. Ako funkcija ( )f t ispunjava uslov iz trećeg slučaja i uz to je simetrična u odnosu na koordinatni početak, tj. neparna, njen Fourier-ov red će imati samo neparne sinusne članove:
/4
2 1 0
0
8( )sin(2 1) , 1,2, 3,...
T
nb f t n t nT
ω+ = + =∫
Drugi oblici trigonometrijskog Fourier-ovog reda su: 0
0
1
( ) cos( )2 n n
n
a
f t A n tω θ
∞
=
= + +∑ ;
0 0 0cos sin cos( )n n n na n t b n t A n tω ω ω θ+ = + ; 2 2 ; arctan ;
n
n n n n
n
bA a b
aθ= + = −
ili 0
0
1
( ) sin( );2 2n n n n
n
a
f t A n tπ
ω θ θ θ
∞
=
′ ′= + + = +∑
Kompleksni oblik Fourier-ovog reda.
Polazeći od relacija: ( ) ( )0 0 0 0
0 0
1 1cos i sin
2 2
jn t jn t jn t jn tn t e e n t e ej
ω ω ω ω
ω ω− −
= + = − dobijamo:
( ) ( )0 00
1
( )2 2 2
n n n njn t jn t
n
a a jb a jbf t e eω ω
∞
−
=
− +⎡ ⎤= + +⎢ ⎥
⎣ ⎦∑ . Uvodeći novi koeficijent
2
n n
n
a jbc
−
= dobijamo
[ ] [ ]0
2 2 2
*0 0 0 0
2 2 2
1 1 1( ) cos sin ( ) ; ( ) cos sin
T T T
jn tn n
T T T
c f t n t j n t dt f t e dt c f t n t j n t dtT T T
ω
ω ω ω ω−
− − −
= − = = +∫ ∫ ∫
Ako n zamijenimo sa n− dobijamo *
2
n n
n n
a jbc c−
+= = ;
2
0
0
2
1( )
2
T
T
a
f t dt cT−
= =∫ .
Sada možemo pisati: 0 0
0
1 1
( ) jn t jn tn n
n n
f t c c e c eω ω
∞ ∞
−
−
= =
= + +∑ ∑ . Pošto je 00
n
n
c c
=
= dobijamo:
0 0
0 1
( ) jn t jn tn n
n n
f t c e c eω ω
∞ −∞
= =−
= +∑ ∑ pa konačno dobijamo kompleksni oblik Fourier-ovog reda:
0 0
2
2
1( ) ; ( )
T
jn t jn tn n
n T
f t c e c f t e dtT
ω ω
∞
−
=−∞−
= =∑ ∫
( ) ( )2
2 2 22 20 02
1 12
1( )
2 2 2 2
T
n n n
n nT
a A a a bf t dt
T
∞ ∞
= =−
+= + = +∑ ∑∫ -PARSERVALOVA JEDNAČINA
Snage u kolima sa složenoperiodičnim eksitacijama Aktivna snaga: ( ) ( ) ( )
cosk k k
k
k k
P P U I ϕ= =∑ ∑
Reaktivna snaga: ( ) ( ) ( )sin
k k kk
k k
Q Q U I ϕ= =∑ ∑
Prividna snaga: 2 2 2 2;S UI S P Q D= = + +
Snaga izobličenja: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0; 0
2 cosk l k l k l k l l k
k l
k l
D U I U U I I U Iϕ ϕ
∞
= =
≠
⎡ ⎤= − − +⎢ ⎥⎣ ⎦∑
Fourier-ova transformacija
Aperiodične funkcije koje zadovoljavaju uslov: ( )f t dt
+∞
−∞
< ∞∫ imaju Fourier-ovu transformaciju:
( ) ( ) j tF j f t e dtω
ω
+∞
−
−∞
= ∫ .
Spektralna funkcija ( )F jω ima: moduo - ( ) ( ); ( ) ( )F j F F Fω ω ω ω= = − (amplitudski spektar)
argument - arg ( ) ( ); ( ) ( )F jω ω ω ω= Ψ Ψ = −Ψ (fazni spektar)
Inverzna Fourier-ova transformacija:
1
( ) ( )2
j tf t F j e dω
ω ω
π
+∞
−∞
= ∫
Osnovne osobine Fourier-ove transformacije Osobina linearnosti { }1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )F c f t c f t c F j c F jω ω+ = + Teorema sklairanja ( ){ } ( ) const
tF f a F j a a
aω= ≡
Teorema kašnjenja { }( ) ( )jF f t e F jωτ
τ ω−
− = { }0
0( ) ( )j tF e f t F j jω
ω ω= − Teorema simetričnosti Ako imamo ( )F jt tada je Fourier-ova transformacija 2 ( )fπ ω− .
ako zamijenimo mjesta promjenljivim ω i t tada dobijamo teoremu simetričnosti.
Promjena znaka argumenta { }( ) ( )F f t F jω− = −
Teorema o diferenciranju u vremenskom domenu
[ ]{ }( ) ( ) ( ); 0,1,2,...n
n
n
dF f t j F j n
dtω ω= =
Teorema o diferenciranju u kompleksnom domenu
{ }( ) ( 1) ( )( )
n
n n
n
dF t f t F j
d jω
ω
= −
Konvolucija dvije funkcije u vremenskom domenu
{ }1 2 1 2( ) * ( ) ( ) ( )F f t f t F j F jω ω=
Konvolucija dvije funkcije u frekvencijskom domenu
{ }1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) * ( )
2F f t f f F j F jω ω
π
=
Osobina mudulacije { } [ ]
{ } [ ]
0 0 0
0 0 0
1( )cos ( ) ( )
21
( )sin ( ) ( )2
F f t t F j j F j j
F f t t F j j F j jj
ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω
= + + −
= − − +
Paservalova teorema u Fourier-ovoj transformaciji
* *
1 2 1 2
1( ) ( ) ( ) ( )
2f t f t dt F j F j dω ω ω
π
+∞ +∞
−∞ −∞
=∫ ∫
Ako je 1 2( ) ( ) ( )f t f t f t= = dobijamo teoremu Releja:
22
1
1( ) ( )
2f t dt F j dω ω
π
+∞ +∞
−∞ −∞
=∫ ∫
Parovi Fourier-ove transformacije
( )F jω ( )f t
1. 1 ( )tδ - impulsna funkcija
2. 2 ( )πδ ω 1
3. 1( )
jπδ ω
ω+ ( )h t - jedinična funkcija
4. 2
jω
sgnt
5. [ ]0 0( ) ( )jπ δ ω ω δ ω ω− − − + 0sin tω
6. [ ]0 0( ) ( )π δ ω ω δ ω ω− + + 0cos tω
7. [ ]0 0 2 2
0
( ) ( )2
jπ ωδ ω ω δ ω ω
ω ω+ + − +
− [ ]0cos ( )t h tω
8. [ ] 0
0 0 2 2
0
( ) ( )2
jπ ω
δ ω ω δ ω ωω ω
+ − − +−
[ ]0sin ( )t h tω
9. 2 ( ); 0a
e h aω
π ω− > 1
a jt+
10. 22
02
a
A
a
π ω
ω
<
>
2
sin2
A at
t
11. 2 2
2a
aω + ; 0a t
e a−
>
12. eω
π−
2
1
1t +
13. 2a
eω
π−
2 2
1
a t+
14. 1
a jω+ ( ); 0at
e h t a−
>
15. jae
ω− ( )t aδ −
16. 1
!
( )nn
a jω ++
( )n att e h t
−
17. 2 ( )aπδ ω − jate−
18. 2 sinaω
ω
( )a
p t
19. ( )ap ω sinat
tπ
20. sin( 2)1
2
ω
π ω
−
−
2
, 1 1; 0 van tog intervala2
j te
tπ
− < < −
21. 2 2( )
a j
a j b
ω
ω
+
+ + ( )cos ( )at
e bt h t−
22. 2 2( )
b
a j bω+ + ( )sin ( )at
e bt h t−
23. 2( )1
a je
a j
ω
ω
− +−
+
[ ]( ) ( 2)ate h t h t−
− −
24. ( )(0) ( )
F jF
j
ω
π δ ωω
+ ( )
t
f t dt
−∞
∫
25. 2 2
2 2 2
2( )
( )
a
a
ω
ω
−
+
a tt e
−
Osnovne osobine Laplace-ove transformacije Laplace-ova transformacija
{ }0
( ) ( ) ( ) stL f t F s f t e dt
∞
−
= = ∫
Inverzna Laplace-ova transformacija { }
0
0
11
( ) ( ) ( ) Res ( )2
C j
st st
C j
f t L F s F s e ds F s ejπ
+ ∞
−
− ∞
= = =∑∫
Diferenciranje originala { } ( ) (0)df
L sF s fdt
= −
{ } ( 1) ( 1)
1
( ) (0)nn
n k k
n
k
d fL s F s f s
dt− −
=
= −∑
Integracija originala
0
( )( )
t
F sL f t dt
s
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
∫
Diferenciranje transformacije (diferenciranje u kompleksnom domenu)
{ }
{ }
( )( )
( )( ) ( )
n
n
n
dF sL tf t
ds
d F sL t f t
ds
= −
= −
Integracija transformacije (integracija u kompleksnom domenu) { }1
( ) ( )s
F s ds L f tt
∞
=∫
Teorema sličnosti { } ( )1
( )s
L f at Fa a
=
Teorema kašnjenja { }( ( )sL f t e F sτ
τ−
− = Teorema pomjeraja { }( ) ( )atF s a L e f t− = Granične vrijednosti
0
(0) lim ( )
( ) lim ( )s
s
f sF s
f sF s
→∞
→
=
∞ =
Teorema konvolucije u vremenskom domenu 1 2 1 2 2 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
F s F s L f f t d L f f t dτ τ τ τ τ τ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
∫ ∫
DuHamel-ov integral 1 2 1 2 2 1
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t t
d dsF s F s L f f t d L f f t d
dt dtτ τ τ τ τ τ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= − = −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭
∫ ∫
Teorema konvolucije u kompleksnom domenu
{ }1
( ) ( ) ( ) ( )2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
j j
j j
L f t g t F s G sj
F s G s F z G s z dz F s z G z dz
σ ω σ ω
σ ω σ ω
π
+ +
− −
= ∗
∗ = − = −∫ ∫
Teorema razlaganja (prosti korijeni 2( ) 0F s = ) { }1 11
'2 21
( ) ( )
( ) ( )k
n
k s t
kk
F s F sL e
F s F s
−
=
=∑
Traženje inverzne Laplace-ove transformacije Inverzna Laplace-ova transformacija
[ ]1
( ) ( ) Res ( )2
st stf t e F s ds F s ejπ
= =∑∫�
Teorema razlaganja 11 0 1
12 0 1
( )
( )
m m
m
n n
n
F s a s a s am n
F s b s b s b
−
−
+ + += <
+ + +
…
…
Za slučaj kada 2( ) 0F s = ima proste korjene
2'2
( )( )
k
k
s s
dF sF s
ds=
= { }1 11
'2 21
( ) ( )
( ) ( )k
n
k s t
kk
F s F sL e
F s F s
−
=
=∑
Za slučaj kada 3( ) 0F s = ima proste korjene i nema nula korjena { } 1
1 11
'3 3 3
( )( ) (0)
( ) (0) ( )
ks tnk
k kk
F s eF s FL
sF s F s F s
−
= +∑
Za slučaj višestrukih korjena 2( ) 0F s = { }1
1 11
12 21
( ) ( ) ( )1
( ) ( 1)! ( )
kk
k
k
k
n mmk s t
mkk s s
F s s s F sdL e
F s m F sdt
−
−
−
= =
⎡ ⎤−⎢ ⎥=⎢ ⎥− ⎣ ⎦
∑
Za slučaj kada 2( ) 0F s = ima dva konjugovano kompleksna korjena s i s∗ { }1 1 11
' '2 2 2
( ) ( ) ( )2Re 2Re
( ) ( ) ( )st s t
F s F s F sL e e
F s F s F s
∗
∗
−
∗= =
Parovi Laplace-ove transformacije
( )F s ( ); ( ) 0 za 0f t f t t= <
1. 1 ( )tδ - impulsna funkcija
2. 1
s
( )h t - jedinična funkcija
3. 2
1
s
t - usponska funkcija ( )r t
4. 1
n
s
1
;( 1)!
n
tn
n
−
−
je cio broj
5. 1
s a+
ate−
6. ( )2
1
s a+
atte−
7. ( )2
s
s a+ (1 )at
e at−
−
8. ( )
1
s s a+ 1
(1 )ate
a
−
−
9. ( )2
1
s s a+ [ ]
2
11 (1 )at
e ata
−
− +
10. ( )2
1
s s a+ [ ]
2
1(1 )at
at ea
−
− −
11. ( )( )
1a b
s a s b≠
+ + 1
( )at bt
e ea b
− −⎡ ⎤−⎣ ⎦−
12. ( )( )
s
a bs a s b
≠+ +
1
( )at bt
ae bea b
− −⎡ ⎤−⎣ ⎦−
13. ( )( )
1a b
s s a s b≠
+ + 1 1
( )at bt
be aeab a b ab
− −⎡ ⎤− +⎣ ⎦−
14. 2 2
s
ω
ω+ sin tω
15. 2 2
s
s ω+ cos tω
16. ( )2 2
1
s s ω+ [ ]
2
11 cos tω
ω
−
17. 2 2
1
s β− 1
sinh tββ
18. 2 2
s
s β− cosh tβ
19. ( ) 22
s a
s a ω
+
+ + cos
ate tω−
20. ( ) 22s a
ω
ω+ + sin
ate tω−
21. ( )2 2
1
s s β− [ ]
2
1cosh 1tβ
β−
22. ( )2 2
1
( )s a s ω+ +
( )[ ]
( )( ){ } ( )
2 2
2 2
1sin cos ili
1sin sin , arctan
at
at
a t t e
a
t eaa
ω ω ω ω
ω ω
ω
ω θ θ θ
ω ω
− ++
− + =
+
23. ( )2 2( )
s
s a s ω+ +
( )[ ]
( )( ){ } ( )
2 2
2 2
1cos sin ili
1cos sin , arctan
at
at
a t t ae
a
at e
aa
ω ω ω
ω
ω
ω θ θ θωω
−
− −
+
− − =
+
24. ( )2 2
1
( )s s a s ω+ + ( ) ( )
[ ]
( ) ( ){ } ( )
2 2
2 2 2
2
2
1 11 cos sin ili
11 cos cos sin , arctan
at
at
a t a t ea a
t eaa
ω ω ω ω
ω ω
ω
θ ω θ θ θω
−
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− + +⎨ ⎬⎪ ⎪+⎪ ⎪⎩ ⎭
− − − =
25. ( )2 2
1
( )s a s β+ −
( )[ ]
2 2
1sinh cosh
ata t t e
aβ β β β
β β
−
− +−
26. ( )2 2( )
s
s a s β+ −
( )[ ]
2 2
1cosh sinh
ata t t ae
aβ β β
β
−
− −
−
27. ( )2 2
1
( )s s a s β+ −
( )[ ]2 2
2 2 2
1 1cosh sinh 1
ata t a t e
aβ β β β
β β
−
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪− − −⎨ ⎬⎪ ⎪−⎪ ⎪⎩ ⎭
28. 2 2
0
1
2s sα ω+ + ( )
( )
2 2
0 1 1 0
1
2 2
0 0
1; sin ,
1; sinh ,
t
t
e t
e t
α
α
ω α ω ω ω αω
ω α β β α ωβ
−
−
> = −
< = −
29. 2 2
02
s
s sα ω+ + ( )
( )
2 2
0 1 1 1 0
1
2 2
0 0
; cos sin ,
; cosh sinh ,
t
t
e t t
e t t
α
α
α
ω α ω ω ω ω αω
αω α β β β α ω
β
−
−
⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎟⎜> − = −⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎟⎜< − = −⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
30. ( )2 2
0
1
2s s sα ω+ + { } ( )
{ } ( )
2 2
0 1 1 1 0210
2 2
0 02
0
1; 1 cos sin ,
1; 1 cosh sinh ,
t
t
e t t
e t t
α
α
αω α ω ω ω ω α
ωω
αω α β β β α ω
βω
−
−
⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎟⎜ ⎟⎜> − − = −⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤⎟⎜ ⎟⎜< − − = −⎢ ⎥⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜⎟⎜ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
Uzimanje u obzir početnih uslova u kalemu i kondenzatoru preko ekvivalentnih šema sa nezavisnim strujnim i naponskim generatorima.
a
b
u
i
L
0 ( )LI tδ
b
u
i
L0 ( )I h t
a
0 0
0
0
( )( ) ( )
1 1( ) ( ) ( ) ( )
t
dh t di diu t LI L LI t L
dt dt dt
i t u d I h t u dL L
δ
τ τ τ τ
+∞
−∞
= − + = − +
= = +∫ ∫
0(0 )Li I−
=
a
b
U
I
sL
0LI
0U sLI LI= −
b
U
I
sL 0I
s
0U II
sL s= +
a
a
b
u
i
C
0 ( )U h t
b
u
i
C 0 ( )CU tδ
a
0
0
0
1 1( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
t
u t i d U h t i dC C
du ti t CU t C
dt
τ τ τ τ
δ
+∞
−∞
= = +
= − +
∫ ∫
0(0 )Cu U−
=
a
b
U
I
1
sC
0U
s
0I UU
sC s= +
b
U
I
1
sC0CU
0I sCU CU= −
a
Različiti oblici zapisivanja DuHamel-ovog integrala prvi:
0
( ) (0) ( ) ( ) ( )
t
i t u g t u g t dτ τ τ′= + −∫
drugi:
0
( ) (0) ( ) ( ) ( )
t
i t u g t u t g dτ τ τ′= + −∫
treći:
0
( ) (0) ( ) ( ) ( )
t
i t g u t g t u dτ τ τ′= + −∫
četvrti:
0
( ) (0) ( ) ( ) ( )
t
i t g u t g u t dτ τ τ′= + −∫
peti:
0
( ) ( ) ( )
t
di t u t g d
dtτ τ τ= −∫
šesti:
0
( ) ( ) ( )
t
di t u g t d
dtτ τ τ= −∫
Neki korisni integrali
21 1
sin sin22 4
tdt t t dt C= − +∫
21 1
cos sin22 4
tdt t t dt C= + +∫
1
2 2
1tan
2
dt tC
aa t
−
= ++
∫
2
1( 1)at at
te dt at e Ca
= − +∫
( )2 2
sin sin cos
at
ate
e bt dt a bt b bt Ca b
= − ++
∫
( )2 2
cos cos sin
at
ate
e bt dt a bt b bt Ca b
= + ++
∫
2
1sin sin cos
tt bt dt bt bt C
bb= − +∫
2
1cos cos sin
tt bt dt bt bt C
bb= + +∫
2
0
sin( ) 0t dt
π ω
ω α+ =∫
2
0
cos( ) 0t dt
π ω
ω α+ =∫
2
0
sin( ) 0; cio brojn t dt n
π ω
ω α+ = −∫
2
0
cos( ) 0; cio brojn t dt n
π ω
ω α+ = −∫
2
0
sin( )cos( ) 0; , cijeli brojevim t n t dt m n
π ω
ω α ω α+ + = −∫
2
2
0
sin ( )t dt
π ω
π
ω α
ω
+ =∫
2
2
0
cos ( )t dt
π ω
π
ω α
ω
+ =∫
2
0
cos( )cos( ) 0; , , cijeli brojevim t n t dt m n m n
π ω
ω α ω β+ + = ≠ −∫
( )2
0
coscos( )cos( ) ; , , cijeli brojevim t n t dt m n m n
π ω
π α βω α ω β
ω
−
+ + = = −∫