Terre Lune Soleil

phm - version 2007/03/10

Orbite de la Terre et durée des saisons

TD d’ Astronomie, avec quelques mathématiqueset un peu de programmation dans un tableur

11/03/2007 Durée des saisons 2

Préambule

La Terre ayant son équateur incliné sur le plan de l’écliptique, les durées des jours et des nuits son variables au cours de l’année, c’est le phénomène des saisons.

L’orbite de la Terre n’étant pas circulaire, les durées des saisons sont inégales et influent sur l'ensoleillement reçu aux différents moments de l’année.

Comment recalculer la durée des saisons à partir des éléments de l'orbite de la Terre ou d'une planète ?

plan de l'écliptique

S

S

été

N

équateur célestecercle écliptique

printemps

Soleil

vers la constellation des PoissonsPoint vernal

N

automne

S

Terre

S

N

hiver

sphère céleste

N

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• demi-grand axe a• excentricité e• inclinaison sur l’écliptique i• longitude du nœud ascendant • angle nœud ascendant -périhélie

ou • période sidérale P• temps de passage au périhélie t 0

La Terre

• demi-grand axe a 149598023 km• excentricité e 0,0165• angle nœud ascendant périhélie 102.9373°• période sidérale P 365.25636 jours• temps de passage au périhélie t 0 (à retrouver)

Terre : i = 0 et

Eléments de l'orbite d'une planète

i

noeudascendant

noeuddescendant

périhélie

aphélie

ligne

des noeuds

lign e

des apsi d

es

a

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Travail suggéré

1) Retrouver la durée des saisons dans le cas de la Terre

2) Suivre l’évolution de la durée des saisons et de l’ensoleillement avec les paramètres de l’orbite (e et

En première approximation : les orbites des planètes sont régies par les lois de Képler

Calculs et tracés à l’aide d’un tableur

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Orbite elliptique et équation de Kepler

A

r b

cO

u

a

S

P

T'

T

ra e

e

( )

co s

1

1

2

Connaître r et en fonction de t, utilisation de 2 variables

• u anomalie excentrique• M anomalie moyenne, angle au centre d'une planète fictive accomplissant l'orbite à vitesse angulaire constante

MP

t tP

t t 2 3 6 0

0 0

( ) ( )

tan tanu e

e2

1

1 2

Passer de à u est simple

Et entre u et M (u et M en radians) on a : u - e sin u = M

Ces équations vont permettent pour les positions  des équinoxes et solstices d’en calculer les instants t et les durées qui les séparent.

(3)

(2)

(1)

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A

solsticed'été

équinoxed'automne

équinoxede printemps

SH EA

S

SE

EP

T

solsticed'hiver

P

Positions des équinoxes et des solstices

Pour la Terre tout est simple, à l'équinoxe de printemps, le Soleil est au point et l'on connaît la position du périhélie.

On veut calculer

l’angle EP à l’équinoxe de printemps

puis

SE (solstice d’été),

EA (équinoxe d’automne),

EA (solstice d’hiver).

Que valent ces angles ?

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A

solsticed'été

équinoxed'automne

équinoxede printemps

SH EA

S

SE

EP

T

solsticed'hiver

PQue valent ces angles ?

E P 1 8 0

Que valent les angles les autres positions : SE, EA, SH ?

Solstice d'été SE = EP + 90C (modulo 360)

Equinoxe d'automne EA = SE + 90C (modulo 360)

Solstice d'hiver SH = EA + 90C (modulo 360)

On part de la position du périhélie que l’on connaît par rapport au point à l’équinoxe de printemps

Positions des équinoxes et des solstices

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Travail sur tableur

A l'aide des trois formules, on calcule les temps de passages aux différents points par rapport au passage au périhélie et on déduit la durée des saisons.

Pour chaque position, EP, SE, EA, SH, on calcule :1 - l’anomalie excentrique u (équation 2),2 - l’anomalie moyenne M (équation 3)3 - les temps t EP, t SE, t EA, t SH (équation 1)

temps de passage aux quatre positions remarquables.

Les durées des saisons sont les intervalles entre t EP, t SE, t EA, t SH.

Si la durée est négative, on ajoute P (365,25j) pour rendre la valeur positive.

MP

t tP

t t 2 3 6 0

0 0

( ) ( )

tan tanu e

e2

1

1 2

u - e sin u = M (3)

(2)

(1)

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MP

t tP

t t 2 3 6 0

0 0

( ) ( )

tan tanu e

e2

1

1 2

u - e sin u = M (3)

(2)

(1)

Fichier excel : durees_saisons.xls Feuille Terre

1 - Ecrire les formules appropriées dans les cellules C11 à C142 - Les recopier par glissement dans les colonnes D, E, F3 - Calculer les durées des saisons : cellules C15 àF154 - Décomposer ces durées en jours et heures dans les lignes 16 et 17.

N.B. : ne pas oublier de mettre des $ sur les cellules de données fixes B$5$ à B$8$.

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Variations de la durée des saisons avec « e »

En recopiant avec décalage les formules utilisées précédemment, on remplit le tableau des lignes 24 à 50 pour variant de 0 à 0,05

On tracera en fonction de , les quatre courbes des colonnes O, P, Q et R

Colonne A : (fixe)

Colonne B : e (variable)

Colonnes O, P, Q et Rdurées des saisons

Lignes 21 à 47

Feuille Variations

Recopier les cellules C11 à F17 de la feuille Terre dans les mêmes cellules de la feuille Variations

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Variations de la durée des saisons avec

Travail identique aux lignes 24 à 50, ici dans la colonne A, varie de 0 à 360.

On tracera en fonction de , les quatre courbes des colonnes O, P, Q et R

Colonne A : (variable)

Colonne B : e (fixe)

Colonnes O, P, Q et Rdurées des saisons

Lignes 51 à 75