TACY SAMI CZY RÓŻNI TESTY DLA JEDNEJ I DWÓCH ŚREDNICH

MAGIC BOX

DANE

RÓŻNICE

ZALEŻNOŚCI

STATYSTYKA

ZMIENNE

ROZKŁADY

TESTY

WSKAŹNIKI

MIARY

…MAGIA

CO ZAŁOŻYLIŚMY

Wybrana próba z populacji jest próbą losową.

Próba została wybrana zgodnie ze schematem losowania zwrotnego.

 

Odchylenie standardowe wyników w populacji jest znane.

TEST DLA JEDNEJ ŚREDNIEJ

NIE ZNAMY ODCHYLENIA STANDARDOWEGO

PRÓBA

ŚREDNIA

ODCHYLENIE STANDARDOWE

SD

POPULACJA

ŚREDNIAµ

ODCHYLENIE STANDARDOWE

σ

SZACUJEMY

SZACUJEMY

SZACUJEMY

SZACUJEMY σ – OBLICZAMY SX

X – poszczególny wynik

- średnia z próby

n - liczebność próby

Sx = ඨΣ(X− X)തതത2n− 1

OBLICZAMY BŁĄD STANDARDOWY

sXഥ= Sxξn = ඨΣ(X− X)തതത2n(n− 1)

BŁĄD STANDARDOW

Y

OBLICZAMY „Z”

PRZYPOMNIJMY SZACUJEMY

𝑧= 𝑋ത− 𝜇ℎ𝑖𝑝𝜎𝑥ξ𝑛

𝑡 = 𝑋ത− 𝜇ℎ𝑖𝑝𝑆𝑥ξ𝑛 = 𝑋ത− 𝜇ℎ𝑖𝑝ඨΣ(X− X)തതത2n(n− 1)

KONSEKWENCJE

t ma inny rozkład niż z: z – rozkład normalny t – rozkład t-Studenta

WIĘCzmieniamy rozkład, z którego odczytujemy

wyniki na rozkład t-Studenta

ROZKŁAD T-STUDENTA

1. Średnia=02. Symetryczny3. Jednomodalny4. Platykurtyczny5. Odchylenie

standardowe > 16. Zależy od liczby

stopni swobody (df)

Dla szacowania t:

df= n-1

EXCEL:=ROZKŁAD.T(t;df;2)

UWAGA! Funkcja ROZKŁAD.T.ODWRÓCONY daje

wyniki z nieco innego rozkładu, więc z niej nie korzystamy!

ĆWICZENIE 1

Oblicz wartość t i prawdopodobieństwo, że próba pochodzi z populacji o średniej µ, gdy:𝑋ത= 70,4; 𝜇ℎ𝑖𝑝 = 69,5;Σ(X− X)തതത2 = 105,1;n = 15 𝑋ത= 21,4; 𝜇ℎ𝑖𝑝 = 20;Σ(X− X)തതത2 = 32;n = 20 𝑋ത= 30,1; 𝜇ℎ𝑖𝑝 = 40;Σ(X− X)തതത2 = 40,7;n = 10 𝑋ത= 70,4; 𝜇ℎ𝑖𝑝 = 69,5;Σ(X− X)തതത2 = 105,1;n = 50

PROBLEM PRZYDATNOŚCI

1) Przykład pytania badawczego, dla którego te obliczenia są przydatne.

2) Czy takie obliczenia są przydatne w moim projekcie?

3) Jakich obliczeń potrzebuję do mojego projektu?

ISTOTNOŚĆ RÓŻNICY MIĘDZY GRUPAMI

2 RODZAJE GRUP

GRUPY

NIEZALEŻNE

Wybór elementów z jednej próby w żaden sposób nie zależy od wyboru

elementów drugiej próby

ZALEŻNE

Pomiar w jednej próbie jest powiązany z pomiarami w innej

próbie.

Eksperymenty z manipulacją czynnikiem

między różnymi grupami.

Eksperymenty typu pre-post.

GRUPY NIEZALEŻNE

PYTANIE

Czy Panowie i Panie różnią się w tej grupie wzrostem? INACZEJ

Czy średnia wzrostu Pań jest istotnie różna od średniej wzrostu Panów?

CO ROBIĆ?

Na razie umiemy:

CZYLI oszacować, czy otrzymana średnia pochodzi z populacji o określonej średniej. POTRZEBUJEMY: oszacować, czy dwie średnie pochodzą z populacji o takiej samej średniej

𝑡 = 𝑋ത− 𝜇ℎ𝑖𝑝𝑆𝑥ξ𝑛 = 𝑋ത− 𝜇ℎ𝑖𝑝ඨΣ(X− X)തതത2n(n− 1)

ROZWIĄZANIE

𝑡 = 𝑋ത− 𝜇ℎ𝑖𝑝𝑆𝑥ξ𝑛 = 𝑋ത− 𝜇ℎ𝑖𝑝ඨΣ(X− X)തതത2n(n− 1)

Jeżeli średnie z dwóch populacji sąRÓWNE

to ich RÓŻNICAjest równa 0.

µx-µy=0

Szacujemy więc dlaxതx − xതy

Też szacujemy dlaRÓŻNICY MIĘDZY ŚREDNIMI

a nieŚREDNIEJ

CO SIĘ ZMIENIA?

odnosimy się do innego rozkładu:• NIE: losowy rozkład średniej;• ALE: losowy rozkład różnicy między dwoma średnimi z próby; przy takim rozkładzie:• jeżeli próba jest duża – rozkład wartości t zbliża się do rozkładu normalnego• jeżeli próba jest mała - rozkład wartości t odbiega od rozkładu normalnego;•jeżeli próba jest mała - rozkład wartości t odbiega od rozkładu t-Studenta;

ROZWIĄZANIE:Modyfikujemy sposób obliczania błędu

standardowego

SZACOWANIE BŁĘDU

DO TEJ PORY:

PRZY TESTOWANIU RÓŻNIC:

sXഥ= Sxξn = ඨΣ(X− X)തതത2n(n− 1)

sX−Yതതതതതത= ඨΣ(X− X)തതത2 + Σ(Y− Y)തതത2ሺnx − 1ሻ+൫ny − 1൯( 1nx + 1ny)

OBLICZANIE T

DO TEJ PORY: PRZY TESTOWANIU RÓŻNIC:

t = Xഥ− μhipSXഥ t = (Xഥ− Y)തതത− (μX−μY)ℎ𝑖𝑝SX−Yതതതതതത

STOPNIE SWOBODY

t = (Xഥ− Y)തതത− (μX−μY)ℎ𝑖𝑝SX−Yതതതതതത 𝑑𝑓= ሺnx − 1ሻ+ ሺnY − 1ሻ

EXCEL (zwraca prawdopodobieństwo):=TEST.T(wart X;wart Y;2;2)

ZAŁOŻENIA

Takie jak dla z i t

+ Homogeniczność wariancji (=>wariancje w populacjach X i Y są takie same):•niewielkie odchylenie od homogeniczności ma nikły wpływ na wyniki przy próbach większych niż 20;• przestaje być istotne, gdy próby są równoliczne;

PRÓBY ZALEŻNE

CO SIĘ ZMIENIA

pomiar X i pomiar Y będą od siebie zależne (bo mierzymy dwa razy ten sam byt);

WIĘC za część odchyleń (i w konsekwencji błędu standardowego) będzie odpowiadała właśnie ta zależność;

WIĘC trzeba to uwzględnić przy szacowaniu błędu standardowego;

JAK TO ROBIMY?

Modyfikujemy wzór na błąd standardowy:

sX−Yതതതതതത= ඩ(ට SSXn− 1ξn )2 + (ට SSYn− 1ξn )2 − 2ቆΣ(X− Xഥ)(Y− Y)തതതඥSSXSSY ቇ(ට SSXn− 1ξn )(ට SSYn− 1ξn )

OBLICZANIE T

p: z rozkładu t-Studenta dla df= n-1, gdzie n jest liczbą par

t = (Xഥ− Y)തതത− (μX−μY)ℎ𝑖𝑝SX−Yതതതതതത

ĆWICZENIE

Badano, czy koncentracja na innym zadaniu obniża jakość zapamiętywania.

15 osób poproszono o nauczenie się listy 100 słów w języku hindi, a następnie odtworzenie tylu z nich, ile udało im się

zapamiętać (pre).

Następnie poproszono badanych, by zagrali w bardzo wciągającą grę komputerową.

Po grze badani ponownie odtwarzali słowa, które pamiętali (post).

EXCEL (zwraca prawdopodobieństwo):=TEST.T(wart X;wart Y;2;1)

EXCEL - PODSUMOWANIE

wart X – wszystkie pola z wartościami dla pierwszej grupywart Y – wszystkie pola z wartościami dla drugiej grupytyp hipotezy alternatywnej – 1-jednostronna; 2-dwustronna;typ testu – 1-próby zależne; 2-próby niezależne (homogeniczność wariancji); 3-próby niezależne (brak homogenicznośći wariancji)

podaje wartość t na podstawie prawdopodobieństwa do niej przypisanego;p – obliczone prawdopodobieństwo (np. przy pomocy funkcji test.t)df – stopnie swobody (w zależności od rodzaju testu) zwraca t dla hipotezy dwustronnej; dla hipotezy jednostronnej – stosujemy 2*p

EXCEL (zwraca prawdopodobieństwo):=TEST.T(wart X;wart

Y;2;1)

EXCEL:=ROZKŁAD.T.ODW(p;df)

ZADANIE DOMOWE

Moodle:

większy test (powtórka opisowej i tego, co zrobiliśmy z indukcyjnej) – do końca ferii