tételek, bizonyítások tanítása

Tételek, Tételek, bizonyításokbizonyítások

tanításatanítása

Készítette:Készítette:Harmath ZsoltHarmath ZsoltKovács Péter NorbertKovács Péter Norbert

22

Felfogások a bizonyításokkal Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatbankapcsolatban

A 80-as években megváltozott a matematikáról A 80-as években megváltozott a matematikáról alkotott merev felfogásalkotott merev felfogás

A matematikai tartalom kihangsúlyozása a A matematikai tartalom kihangsúlyozása a formalizmus helyettformalizmus helyett

A matematikai nyelv jelentésaspektusa A matematikai nyelv jelentésaspektusa fontosabb a szimbolikus aspektusnálfontosabb a szimbolikus aspektusnál

A gondolkodási folyamatok legalább olyan A gondolkodási folyamatok legalább olyan fontosakká váltak, mint az eredményekfontosakká váltak, mint az eredmények

A bizonyítások elfogadása egy szociális A bizonyítások elfogadása egy szociális folyamatfolyamat

33

Felfogások a bizonyításokkal Felfogások a bizonyításokkal kapcsolatbankapcsolatban

Kalmár László (1986):Kalmár László (1986):„…az egzaktságnak nincs határa, nincs olyan „…az egzaktságnak nincs határa, nincs olyan precíz módon megfogalmazott definíció vagy precíz módon megfogalmazott definíció vagy tétel, amibe még precízebb álláspontról bele tétel, amibe még precízebb álláspontról bele ne lehetne kötni.”ne lehetne kötni.”

Halmos Pál (1976):Halmos Pál (1976):„A matematika legjellemzőbb tulajdonságai: „A matematika legjellemzőbb tulajdonságai: egyszerűség, összefüggések szervezése, és egyszerűség, összefüggések szervezése, és mindenekelőtt logikai gondolkodási eljárás…”mindenekelőtt logikai gondolkodási eljárás…”

44

Logikai alapkérdésekLogikai alapkérdések

Kijelentés: egy tény, jelenség, kapcsolat Kijelentés: egy tény, jelenség, kapcsolat gondolati visszatükröződése, ami igaz, vagy gondolati visszatükröződése, ami igaz, vagy hamis lehet.hamis lehet.Pl.: az ABC háromszög derékszögűPl.: az ABC háromszög derékszögű

Predikátum (kijelentésforma): Olyan nyelvi Predikátum (kijelentésforma): Olyan nyelvi képződmény, mely változót tartalmaz és a képződmény, mely változót tartalmaz és a kijelentéshez hasonló formája van. kijelentéshez hasonló formája van. Igazságértéke a változó behelyettesítésétől Igazságértéke a változó behelyettesítésétől függően lehet igaz, vagy hamis.függően lehet igaz, vagy hamis.Pl.: 6x + 3 = 12Pl.: 6x + 3 = 12

55

Logikai alapkérdésekLogikai alapkérdések Műveletek kijelentések (A) és kijelentésformák Műveletek kijelentések (A) és kijelentésformák

között (A(x)):között (A(x)):• NegációNegáció• Konjunkció („és”)Konjunkció („és”)• Diszjunkció („vagy”)Diszjunkció („vagy”)• ImplikációImplikáció• EkvivalenciaEkvivalencia

Kijelentések osztályozása:Kijelentések osztályozása:• Egyedi kijelentés (állítás)Egyedi kijelentés (állítás)• Létezési kijelentés (létezik)Létezési kijelentés (létezik)• Általános kijelentés (minden)Általános kijelentés (minden)

66

Logikai alapkérdésekLogikai alapkérdések

Következmény: Az A kijelentésformából Következmény: Az A kijelentésformából következik a B kijelentésforma, ha minden következik a B kijelentésforma, ha minden olyan változóinterpretáció, amely A-t kielégíti, olyan változóinterpretáció, amely A-t kielégíti, a B-t is kielégíti.a B-t is kielégíti.

Pl.: Pitagorasz tétele. Azaz a háromszög Pl.: Pitagorasz tétele. Azaz a háromszög derékszögű voltából következik, hogy a befogók derékszögű voltából következik, hogy a befogók összege megegyezik az átfogó négyzetével.összege megegyezik az átfogó négyzetével.

77

Argumentációk, indoklások, Argumentációk, indoklások, bizonyításokbizonyítások

Egy szélesebb értelemben vett bizonyítási fogalomEgy szélesebb értelemben vett bizonyítási fogalom Winter (1978) a következőket sorolja az Winter (1978) a következőket sorolja az

argumentációk közé:argumentációk közé:• Megállapodásokhoz való alkalmazkodásMegállapodásokhoz való alkalmazkodás• Általános állítások konkrét példákon való kipróbálásaÁltalános állítások konkrét példákon való kipróbálása• Indoklás, következtetés, bizonyításIndoklás, következtetés, bizonyítás• Indoklások érvényességének vizsgálataIndoklások érvényességének vizsgálata• Álbizonyítások felfedéseÁlbizonyítások felfedése• Matematikai megfontolások jelentőségének értékeléseMatematikai megfontolások jelentőségének értékelése

88

Pszichológiai kérdésekPszichológiai kérdések

A bizonyítási tevékenység feltételezi a A bizonyítási tevékenység feltételezi a következtetési képességet és az absztrakt következtetési képességet és az absztrakt fogalmakkal való műveletek végzését a tanuló fogalmakkal való műveletek végzését a tanuló részérőlrészéről

A formális szintig a gyermek gondolkodása A formális szintig a gyermek gondolkodása fokozatosan „jut el”:fokozatosan „jut el”:• Műveletek előtti szakaszMűveletek előtti szakasz• Konkrét műveletek szakaszaKonkrét műveletek szakasza• Formális műveletek szakasza (ált. 12-13 éves korban, Formális műveletek szakasza (ált. 12-13 éves korban,

azaz 6-7. osztályban áll át a gyerek)azaz 6-7. osztályban áll át a gyerek)

PREMATEMATIKAI bizonyítások (szemléletesség PREMATEMATIKAI bizonyítások (szemléletesség miatt)miatt)

99

Prematematikai Prematematikai bizonyításokbizonyítások

Semadeni (1976) szerint egy prematematikai Semadeni (1976) szerint egy prematematikai bizonyítás konkrét cselekvésekből áll:bizonyítás konkrét cselekvésekből áll:• Konkrét fizikai cselekvésekKonkrét fizikai cselekvések

Tárgyakkal végzett cselekvésekTárgyakkal végzett cselekvések Képek rajzolásaKépek rajzolása Ábra alapján történő okoskodásÁbra alapján történő okoskodás

• Interiorizációs folyamat (a cselekvés belső Interiorizációs folyamat (a cselekvés belső elvégzése)elvégzése)

• ÁltalánosításÁltalánosítás

1010


Példák:Példák:• Az első n természetes szám összegeAz első n természetes szám összege

S = n(n+1)/2 (négyzetrácsos ábra)S = n(n+1)/2 (négyzetrácsos ábra)• HáromszögszámokHáromszögszámok

1,3,6,10,…1,3,6,10,…• NégyzetszámokNégyzetszámok

1,4,9,16,…1,4,9,16,…• TrapézszámokTrapézszámok

1,5,12,…1,5,12,…T(n) = n^2 + n(n-1)/2T(n) = n^2 + n(n-1)/2n-ik négyzetszám fölé helyezzük az (n-1)-ik n-ik négyzetszám fölé helyezzük az (n-1)-ik háromszögszámotháromszögszámot

1111


T(n) (a trapézszámok) ugyanazt a maradékot T(n) (a trapézszámok) ugyanazt a maradékot adják 3-mal való osztásnál, mint nadják 3-mal való osztásnál, mint n• Szemléletes bizonyításSzemléletes bizonyítás• Formális bizonyításFormális bizonyítás

A prematematikai bizonyításokat „példához A prematematikai bizonyításokat „példához kötött” bizonyításoknak is nevezik.kötött” bizonyításoknak is nevezik.

Konkrét példán keresztül mutatja meg az Konkrét példán keresztül mutatja meg az állítás helyességétállítás helyességét

1212


Párhuzamos szelők tétele + bizonyításaPárhuzamos szelők tétele + bizonyítása Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos Tétel: Ha egy szög szárait párhuzamos

egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron egyenesekkel metsszük, akkor az egyik száron keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik keletkezett szakaszok aránya megegyezik a másik száron keletkezett megfelelő szakaszok arányával.száron keletkezett megfelelő szakaszok arányával.

Bizonyítás (tetszőleges racionális arányra):Bizonyítás (tetszőleges racionális arányra):• Egyenlő szakaszoknak egyenlő szakaszok felelnek megEgyenlő szakaszoknak egyenlő szakaszok felelnek meg• Egyik szakaszon az arány 1:2. A nagyobbik szakasz Egyik szakaszon az arány 1:2. A nagyobbik szakasz

felezőpontján át az eredeti párhuzamos egyenesekkel felezőpontján át az eredeti párhuzamos egyenesekkel párhuzamost húzok, így visszavezethető az előző párhuzamost húzok, így visszavezethető az előző pontban megfogalmazottakrapontban megfogalmazottakra

• 3:4-es arány esetében 3:4 részre osztjuk a szakaszt…3:4-es arány esetében 3:4 részre osztjuk a szakaszt…• p:q arány esetében p:q részre osztjuk a szakaszt…p:q arány esetében p:q részre osztjuk a szakaszt…

1313

Matematikai bizonyítási Matematikai bizonyítási koncepciókkoncepciók

„„Korrekt lépések sorozat”-ának meghatározásaKorrekt lépések sorozat”-ának meghatározása Stein (1986):Stein (1986):

• Matematikai-logikai elmélet szintjeMatematikai-logikai elmélet szintjeAz elmélet minden részletében rögzített, a Az elmélet minden részletében rögzített, a matematikai világ a legkisebb részletekig meg van matematikai világ a legkisebb részletekig meg van advaadva

• Matematikai elmélet szintjeMatematikai elmélet szintjeAz elmélet legfontosabbnak tartott részletei Az elmélet legfontosabbnak tartott részletei egyértelműen rögzítettek, ez a szint felel meg az egyértelműen rögzítettek, ez a szint felel meg az egyetemi-főiskolai szintnekegyetemi-főiskolai szintnek

• Lokálisan rendezett elmélet szintjeLokálisan rendezett elmélet szintje• Mindennapi okoskodások szintjeMindennapi okoskodások szintje

1414


Lokálisan rendezett elméletLokálisan rendezett elmélet Egy bizonyítás vagy néhány bizonyítás láncolata Egy bizonyítás vagy néhány bizonyítás láncolata

áll előtérbenáll előtérben Nyelve egy alapnak tekintett matematikai elmélet Nyelve egy alapnak tekintett matematikai elmélet

nyelvére támaszkodiknyelvére támaszkodik Az állítások anyanyelven vannak megfogalmazvaAz állítások anyanyelven vannak megfogalmazva AxiómákAxiómák

• Explicite nem adunk megExplicite nem adunk meg• Implicite nézve minden olyan állítás axióma, melyet egy Implicite nézve minden olyan állítás axióma, melyet egy

bizonyítás során felhasználunk, mivel tartalmilag bizonyítás során felhasználunk, mivel tartalmilag nyilvánvalóaknyilvánvalóak

DefiníciókDefiníciók• Csak a feltétlenül szükséges fogalmakat definiáljukCsak a feltétlenül szükséges fogalmakat definiáljuk• Esetenként nem dönthető el, hogy egy szövegrész Esetenként nem dönthető el, hogy egy szövegrész

axióma-e, vagy tételaxióma-e, vagy tétel

1515


Lokálisan rendezett elméletLokálisan rendezett elmélet Következtetési szabályokKövetkeztetési szabályok

• A logikailag korrekt következtetési szabályok mellett A logikailag korrekt következtetési szabályok mellett esetenként heurisztikus következtetési lépések is esetenként heurisztikus következtetési lépések is előfordulnakelőfordulnak

• Néhány konkrét példa alapján egy nagyobb Néhány konkrét példa alapján egy nagyobb együttesre következtetünk (induktív következtetés)együttesre következtetünk (induktív következtetés)

BizonyításBizonyítás• Nincs konkrétan rögzítveNincs konkrétan rögzítve• Gyakran használ fel nem bizonyított segédtételeketGyakran használ fel nem bizonyított segédtételeket• Csak a lényeges lépéseket tartalmazza pontos Csak a lényeges lépéseket tartalmazza pontos

formábanformában

1616

Példa egy Példa egy lokálisan lokálisan rendezett rendezett elméletreelméletre

1717


Mindennapi okoskodások elméleteMindennapi okoskodások elmélete Az elmélet részletei nincsenek egyértelműen rögzítve, Az elmélet részletei nincsenek egyértelműen rögzítve,

ezeket a kontextusból kell levonni (pl.: játékok)ezeket a kontextusból kell levonni (pl.: játékok) Nyelv: anyanyelv + kapcsolatos releváns fogalmakNyelv: anyanyelv + kapcsolatos releváns fogalmak Axióma: csak hallgatólagos alapszabályok léteznekAxióma: csak hallgatólagos alapszabályok léteznek Definíciók lényegében nem fordulnak elő, a felhasznált Definíciók lényegében nem fordulnak elő, a felhasznált

fogalmak jelentését az alkalmazásból tudjuk fogalmak jelentését az alkalmazásból tudjuk kikövetkeztetnikikövetkeztetni

Következtetési szabályok: logikai és heurisztikus Következtetési szabályok: logikai és heurisztikus egyarántegyaránt

Bizonyítás: nyelvi argumentációs láncok, melyek Bizonyítás: nyelvi argumentációs láncok, melyek megfelelnek a probléma feltételeinek. Nem megfelelnek a probléma feltételeinek. Nem megengedettek azok, melyek a probléma feltételeit megengedettek azok, melyek a probléma feltételeit megszegik, illetve hamis feltételeket használnak fel. (pl.: megszegik, illetve hamis feltételeket használnak fel. (pl.: sakk, dominó)sakk, dominó)

1818

Bizonyítások tanítási fázisaiBizonyítások tanítási fázisai

Tételek megsejtéseTételek megsejtése

Bizonyítási ötletek megtalálása, bizonyítási Bizonyítási ötletek megtalálása, bizonyítási módszerek, stratégiák alkalmazásamódszerek, stratégiák alkalmazása

Bizonyítás rögzítése, leírása, reflexióBizonyítás rögzítése, leírása, reflexió

1919

Tételek megsejtését szolgáló Tételek megsejtését szolgáló eljárásokeljárások

Tételek megfordításaTételek megfordítása AnalógiaAnalógia ÁltalánosításÁltalánosítás IndukcióIndukció Számítási feladat megoldása, elemzéseSzámítási feladat megoldása, elemzése Szerkesztési feladat megoldása, elemzéseSzerkesztési feladat megoldása, elemzése Egy geometriai konfiguráció elemzéseEgy geometriai konfiguráció elemzése Algebrai tételek megsejtése és bizonyítása Algebrai tételek megsejtése és bizonyítása

geometriai szemléltetés alapjángeometriai szemléltetés alapján

2020

Tételek megfordításaTételek megfordítása

„„Ha A, akkor B” megfordítása a „ha B, akkor Ha A, akkor B” megfordítása a „ha B, akkor A”A”

Pl.: „ha egy négyszög átlói felezik egymást, Pl.: „ha egy négyszög átlói felezik egymást, akkor paralelogramma”akkor paralelogramma”

Megfordítva: „Ha egy négyszög Megfordítva: „Ha egy négyszög paralelogramma, akkor átlói felezik egymást”paralelogramma, akkor átlói felezik egymást”

2121

Tételek megfordításaTételek megfordításaLogikai négyszögLogikai négyszög

TételTételA → BA → B

Tétel Tétel megfordításának megfordításának kontrapozíciójakontrapozíciója

┐A → ┐B┐A → ┐B

Tétel Tétel kontrapozíciójakontrapozíciója

┐B → ┐A ┐B → ┐A

Tétel Tétel megfordítmegfordít

ásaásaB → AB → A

2222

Tételek megfordításaTételek megfordításaTöbbfeltételes tételek Többfeltételes tételek

megfordításamegfordítása Ha egy természetes szám osztója egy összeg Ha egy természetes szám osztója egy összeg

mindkét tagjának, akkor a természetes szám mindkét tagjának, akkor a természetes szám osztója az összegnek isosztója az összegnek is(a|b és a|c) → a|(b+c)(a|b és a|c) → a|(b+c)

A tétel szerkezete: (FA tétel szerkezete: (F1 ^ 1 ^ FF22) → K) → K Három megfordítás:Három megfordítás:

• K → (FK → (F1 ^ 1 ^ FF22))• (F(F1 ^ 1 ^ K) → FK) → F22

• (K (K ^ ^ FF22) → F) → F11

Hamis, Igaz, IgazHamis, Igaz, Igaz Geometriai példa: egy kör átmérőjéhez tartozó Geometriai példa: egy kör átmérőjéhez tartozó

minden kerületi szög derékszögminden kerületi szög derékszög

2323

Analógia, analógiás Analógia, analógiás következtetésekkövetkeztetések

Olyan gondolkodási művelet, amely Olyan gondolkodási művelet, amely alkalmazásakor két vagy több jelenségnek, alkalmazásakor két vagy több jelenségnek, dolognak bizonyos tulajdonságokban, dolognak bizonyos tulajdonságokban, viszonyokban, struktúrában való megegyezése viszonyokban, struktúrában való megegyezése alapján más tulajdonságban, viszonyban, alapján más tulajdonságban, viszonyban, struktúrában való megegyezésüket is sejtjükstruktúrában való megegyezésüket is sejtjük

Példa: Téglalap – téglatestPélda: Téglalap – téglatest• Téglalap minden oldala párhuzamos pontosan egy Téglalap minden oldala párhuzamos pontosan egy

másik oldallal és merőleges a többi oldalramásik oldallal és merőleges a többi oldalra• Téglatest minden lapja párhuzamos pontosan egy Téglatest minden lapja párhuzamos pontosan egy

másik lappal és merőleges a többi lapramásik lappal és merőleges a többi lapra

Háromszög – tetraéderHáromszög – tetraéder

2424

Analógia, analógiás Analógia, analógiás következtetésekkövetkeztetések

Elvezethet igaz állításhoz, de esetenként hamis Elvezethet igaz állításhoz, de esetenként hamis állításhoz isállításhoz is• Háromszög – tetraéder súlyvonal (2:1, 3:1) igazHáromszög – tetraéder súlyvonal (2:1, 3:1) igaz• Háromszög – tetraéder magasságvonalai egyaránt egy Háromszög – tetraéder magasságvonalai egyaránt egy

pontban metszik egymást. Hamispontban metszik egymást. Hamis ab = ba → a^b = b^aab = ba → a^b = b^a ab / cb = a/c → (a + b) / (c + b) = a / cab / cb = a/c → (a + b) / (c + b) = a / c Didaktikai megjegyzés: térben is használható Didaktikai megjegyzés: térben is használható

síkgeometriai eljárások alkalmazásasíkgeometriai eljárások alkalmazása• Egyenlő szárú háromszög alapjának tetszőleges Egyenlő szárú háromszög alapjának tetszőleges

pontjából merőlegeseket bocsátunk a szárakra. Ezen pontjából merőlegeseket bocsátunk a szárakra. Ezen szakaszok összege állandó… Gúlára alkalmazni!szakaszok összege állandó… Gúlára alkalmazni!

2525

ÁltalánosításÁltalánosítás Olyan művelet, mely egy szűkebb osztály elemeire Olyan művelet, mely egy szűkebb osztály elemeire

vonatkozó összefüggést analógiás következtetés vonatkozó összefüggést analógiás következtetés segítségével átvisz egy ezen osztályt tartalmazó segítségével átvisz egy ezen osztályt tartalmazó tágabb osztály elemeiretágabb osztály elemeire

Pl.:Pl.:• Pitagorasz-tétel Pitagorasz-tétel → Cosinus tétel→ Cosinus tétel• Thalész-tétel → Kerületi és középponti szögek tételeThalész-tétel → Kerületi és középponti szögek tétele• Rolle tétele → Differenciálszámítás középértéktételeRolle tétele → Differenciálszámítás középértéktétele• 9-cel való oszthatóság → a alapú számrendszerben (a-1)-9-cel való oszthatóság → a alapú számrendszerben (a-1)-

gyel való oszthatósággyel való oszthatóság Nem mindig igaz! Abból, hogy a másod-, harmad- és Nem mindig igaz! Abból, hogy a másod-, harmad- és

negyedfokú egyenleteknek van megoldóképlet még negyedfokú egyenleteknek van megoldóképlet még nem következik, hogy tetszőleges n-ed fokú nem következik, hogy tetszőleges n-ed fokú egyenlethez is létezikegyenlethez is létezik

2626

IndukcióIndukció

Az adott osztály megvizsgált elemei alapján Az adott osztály megvizsgált elemei alapján szerzett ismereteket kiterjesztjük a szóban szerzett ismereteket kiterjesztjük a szóban forgó osztály még meg nem vizsgált elemeinek forgó osztály még meg nem vizsgált elemeinek mindegyikéremindegyikére

Pl.: 1 / 1*2 + 1 / 2*3 +…+1 / n*(n-1) = ?Pl.: 1 / 1*2 + 1 / 2*3 +…+1 / n*(n-1) = ?

Sejtés: = n-1 / nSejtés: = n-1 / n

2727

Tételek és bizonyítási ötletek Tételek és bizonyítási ötletek megsejtése egy számolási megsejtése egy számolási

példa alapjánpélda alapján Két fázis:Két fázis:

• I.: a konkrét számolási feladat elvégzéseI.: a konkrét számolási feladat elvégzése• II.: általános összefüggés megsejtése a konkrét II.: általános összefüggés megsejtése a konkrét

számok változókkal való felcserélése révénszámok változókkal való felcserélése révén

Példák:Példák:• Cosinus tételCosinus tétel• Thalész tételThalész tétel• Kerületi és középponti szögek tételeKerületi és középponti szögek tétele• Másodfokú egyenlet megoldóképletének Másodfokú egyenlet megoldóképletének

levezetéselevezetése

2828

Tételek megsejtése és Tételek megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása bizonyítási ötlet megtalálása

egy szerkesztési feladat egy szerkesztési feladat megoldása, elemzése révénmegoldása, elemzése révén

I. fázis: a tanulók egy szerkesztési feladatot I. fázis: a tanulók egy szerkesztési feladatot oldanak meg és indokolják a szerkesztés oldanak meg és indokolják a szerkesztés helyességéthelyességét

II. fázis: egy kiegészítő szerkesztés segítségével II. fázis: egy kiegészítő szerkesztés segítségével megsejtik a tételt és belátják a tétel érvényességétmegsejtik a tételt és belátják a tétel érvényességét

Példa:Példa:• a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik a háromszög magasságvonalai egy pontban metszik

egymástegymást• SúlyvonaltételSúlyvonaltétel• BefogótételBefogótétel

2929

Tétel megsejtése és Tétel megsejtése és bizonyítási ötlet megtalálása bizonyítási ötlet megtalálása

egy adott geometriai egy adott geometriai konfiguráció elemzése alapjánkonfiguráció elemzése alapján I. fázis: a tanulók segítséggel (tanár, könyv…) I. fázis: a tanulók segítséggel (tanár, könyv…)

megrajzolnak (nem szerkesztenek) egy megrajzolnak (nem szerkesztenek) egy geometriai ábrátgeometriai ábrát

II: fázis: Az ábra elemzése alapján a tanulók II: fázis: Az ábra elemzése alapján a tanulók felfedezik a kívánt tételt ls annak bizonyításátfelfedezik a kívánt tételt ls annak bizonyítását

Példa:Példa:• HúrnégyszögtételHúrnégyszögtétel• HúrtételHúrtétel

3030

Algebrai tételek és bizonyítási Algebrai tételek és bizonyítási ötletek megsejtése geometriai ötletek megsejtése geometriai

szemléltetés segítségévelszemléltetés segítségével A geometriai modell izomorf legyen az eredeti A geometriai modell izomorf legyen az eredeti

szituációvalszituációval Példák megfeleltetésekre:Példák megfeleltetésekre:

• Pozitív valós számok → adott hosszúságú szakaszokPozitív valós számok → adott hosszúságú szakaszok• Pozitív egész számok Pozitív egész számok → megfelelő számú rácsnégyzet→ megfelelő számú rácsnégyzet• Két valós pozitív szám (a és b) szorzata → a ill. b oldalú Két valós pozitív szám (a és b) szorzata → a ill. b oldalú

téglalap területetéglalap területe Példák:Példák:

• Kéttagú összeg négyzeteKéttagú összeg négyzete• Két pozitív szám számtani és mértani közepe közötti Két pozitív szám számtani és mértani közepe közötti

összefüggésösszefüggés

3131

Bizonyítási stratégiákBizonyítási stratégiák

SzintézisSzintézis• Célirányos okoskodásCélirányos okoskodás

Analízis Analízis • Fordított irányú okoskodásFordított irányú okoskodás

Nem teljes analízisNem teljes analízis

3232

Bizonyítási módszerekBizonyítási módszerek Az iskolai gyakorlatban előforduló módszerek:Az iskolai gyakorlatban előforduló módszerek:

• Direkt bizonyításokDirekt bizonyítások• Teljes indukciós bizonyításokTeljes indukciós bizonyítások• Indirekt bizonyításokIndirekt bizonyítások

Teljes indukcióTeljes indukció• A teljes indukció elvének bevezetése (dominó-elv)A teljes indukció elvének bevezetése (dominó-elv)• A teljes indukció elvének alkalmazásaA teljes indukció elvének alkalmazása

Indirekt argumentációk, indoklások, Indirekt argumentációk, indoklások, bizonyításokbizonyítások

3333

Bizonyítási módszerekBizonyítási módszerek I.: Indirekt argumentációk, indoklások, I.: Indirekt argumentációk, indoklások,

bizonyítások csoportosítása:bizonyítások csoportosítása:• Direkt kipróbálásDirekt kipróbálás

• Létezési állítások igazságának megmutatásaLétezési állítások igazságának megmutatása

• Általános állítás hamisságának megmutatása egy Általános állítás hamisságának megmutatása egy ellenpélda segítségévelellenpélda segítségével

• Általános állítás igazságának, létezési állítás Általános állítás igazságának, létezési állítás hamisságának igazolása logikai következtetések hamisságának igazolása logikai következtetések segítségévelsegítségével

3434

Bizonyítási módszerekBizonyítási módszerek

II.: Reductio ad absurdumII.: Reductio ad absurdum• Ellentmondás az indirekt feltevésnekEllentmondás az indirekt feltevésnek

• Következtetés egy állításra és annak tagadásáraKövetkeztetés egy állításra és annak tagadására

• Ellentmondás a tétel feltételénekEllentmondás a tétel feltételének

• Ellentmondás egy ismert tételnek, definíciónak, Ellentmondás egy ismert tételnek, definíciónak, axiómánakaxiómának

III.: Elimináció módszereIII.: Elimináció módszere

3535

Bizonyítási módszerekBizonyítási módszerek

Tanulói problémák az indirekt bizonyításokkal Tanulói problémák az indirekt bizonyításokkal kapcsolatbankapcsolatban

Javaslatok az indirekt bizonyítások tanításával Javaslatok az indirekt bizonyítások tanításával kapcsolatbankapcsolatban

Feladattípusok a bizonyítások tanításával Feladattípusok a bizonyítások tanításával kapcsolatbankapcsolatban

3636

Köszönjük a Köszönjük a figyelmet!figyelmet!

tételek, bizonyítások tanítása

Documents