the maximum sum and product of sizes of cross-intersecting families
TRANSCRIPT
��� ������� �� �� � ����� �� ��� ��� ����� ����� �������
����� ���� 1
���������� �������� ��
�� ���� �� �����
�� �� ��� ����� �����
��������
� ������ A �� � � ��� �� t� �������� �� �� ��� ��� ������� � �� A ��� ��
��� t ������ ����� ������ A1,A2, ...,Ak �� ��� �� �����t� �������� ���� ��� ��� i ��� j �� {1, 2, ..., k} ���� i �= j� ��� � �� Ai ������ ��� � �� Aj
�� �� ��� t ����� � ���� �� ��������� ����� ��� ��� ���� ������ F���� �� �� ��� �� � �� �� �� ��� t� ��� ��� �� ����� k0 ≤ |F| ���
���� ��� ��� k ≥ k0� ��� �� �� ��� ������� �� �� �� k ����t����������� ������� A1,A2, ...,Ak ��� ������� ������� �� ��������! �� F �� ������
�� A1 = A2 = ... = Ak = L ��� �� ����� t���������� � ������� L �� F � �
��� ���� ���� �� t = 1 ��� F � �� ������ �� ��� � � �� � � X� ��� �� ����
���� ���� k0 = 2 ��� L �������� �� ��� � � �� X ����� ������� � ��� ����
�� X�
�������� ������������� ������� ������ � ������ ��������� �������
1������ ����������� �����
Available online at www.sciencedirect.com
Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172
1571-0653/$ – see front matter © 2011 Elsevier B.V. All rights reserved.
www.elsevier.com/locate/endm
doi:10.1016/j.endm.2011.09.029
� ����������
������ ������� ����� � � ��� ����� ������ ���� �� x �� ����� ���������� � ��� � �������� �������� ������� ������ ���� �� X �� ����� ����� �� ����������� ������ ���� �� F �� ����� �������� ����� ��� ���� ���� ���������� ���� ������������ ������ ������� � ���� �� �������� �� ����� �� �� ������� ��� �� ��� ��� �� ∅� �� r��� �� � ��� �� ���� r� ���� ��� � ��� ������������� r ��������� � ��� ������ n ≥ 1� [n] ������ ��� ��� {1, ..., n} �� ������ n �������� ��������
� ������ A �� ��� �� �� t���� ������ �� ��� �� ������� ���� �� A ���������� �� ����� t ��������� ������� A1, ...,Ak �� ��� �� �� � ����t���� �������� �� ��� ������� i �� j �� [k]� ��� ��� �� Ai ��������� ��� ��� �� Aj �� ������� t ���������
!��([n]r
) ����� ��� ������ �� ��� r"������� �� [n]� #�� ��������� $ %�"&�"
'� � �$&'� #����� ()* ���� ���� �� n �� ��+������� ���� ���� r ≥ t� ���� �t"����������� ���"������ A ��
([n]r
)��� ���� �� ����
(n−tr−t
)� ���� �� ��� �����
�� ���� �� ��� ������ t"����������� ���"������ ��([n]r
)���������� �� ����� ����
������ [t] �� � ������� #�� $&' #����� ������ � ����� �� ������ �� ������� � ���� ��� ������ ���� ��������� �� ���� � ������ �� ���� ��� �� �� ������� ����������� ��� ������, ��� ����� ����� (-�.* �� ������� � �
#�� ���� ����� ������� ��� �#����� /�0 ����� ������ ���� ��� ���"���� ��� �� ��� ������� �� ��� �� ����� �� k ≥ 2 ����"t"��������������"�������� �� � ������ F �� ��� ������� ���� �� �� ����������� ���"�������� F ��� k �� ��� ������ ���� � ������ ����� ���� ��� �� F �� t� 1������ ��� ������� ��� �� ��� ������� �� ��� �� ���� �� ��� ���� �� ������� t"����������� ���"�������
� ��� ����� ���� �����
� ��� ���"����� ������ F � ��� α(F) ����� ��� ���� �� � ������ ��� �� F �2������ α(F) < t� �� ��� A1, ...,Ak �k ≥ 2� �� ���"�������� �� F � #���A1, ...,Ak �� ����"t"����������� �� �� ���� �� �� ���� ��� �� ���� �� ���"����� ������ �� ��� �� F ��������� ������ � ������ ��� �� F �� �� ����� t���������� #���� �� A1, ...,Ak �� ����"t"������������ ���� ��� �� ��� ������ ����� �� 0 �� ��� ��� �� ���� ����� �� �� ���� ��� ���� |F| �� F ������� ������� �� �� ���� �� ��� �� ���� �� F �� ��� ����� �� ��� ������� #������������� ������ �� ������ �� ��� ���� α(F) < t� 3� �� � ��� ������� α(F) ≥ t�
� ��� ������ A� ��� At,+ �� ��� �t"������������ ���"������ �� A ����� ��
P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172168
At,+ = {A ∈ A : |A ∩B| ≥ t ��� ��� B ∈ A\{A}}� ��� � At,− = A\At,+� ����� ����� � �� A �� A �� �� At,− �� ��� ��� �� ��� ����� ������ �� B�� A ���� ���� A ��� B �� ��� ��� t ������ ����� ������� A �� ��At,+� �� ��������� �� At,+ ��� At,− �� ������������ �� �� ��������� ��A∗ ��� A′ �� �������� ! A∗ = A1,+ ��� A′ = A1,−�
"� l(F , t) ���� �� ��# �� � ����� t$���������� ��%$����� �� � ����
����� ����� F � &�� ��� ��%$����� A �� F � � ���
β(F , t,A) =
⎧⎨⎩
l(F ,t)−|At,+||At,−| �� At,− �= ∅
l(F ,t)|F| �� At,− = ∅!
�� |At,+|+β(F , t,A)|At,−| ≤ l(F , t) '�� �� At,− = ∅ %���� |At,+| ≤ l(F , t)���� At,+ �� t$����������(� ) ��� ���
β(F , t) = min{β(F , t,A) : A ⊆ F}.
�������
|At,+| + β(F , t)|At,−| ≤ l(F , t) ��� ��� A ⊆ F � '�(
*� ��� ��� ���� ����
β(F , t) = max
{c ∈ R : c ≤ l(F , t)
|F| , |At,+| + c|At,−| ≤ l(F , t) ∀A ⊆ F}
'�(
��� ����
1
|F| ≤ β(F , t) ≤ l(F , t)
|F| '�(
����� ��� ��� ���$���� ����� F � � ��� ��� κ(F , t) = 1β(F ,t)
��� � ���
κ(F , t) ≤ |F|� ) ��� ��� ���� ��� ���� �����
������� �� �� A1, ...,Ak � ��� �t������ ������ ��������� �� � ������
F ���� α(F) ≥ t� �� k ≥ κ(F , t) ����
k∑i=1
|Ai| ≤ k.l(F , t) ���
k∏i=1
|Ai| ≤ (l(F , t))k ,
��� �� k > κ(F , t) ���� ��� ���� ��� �������� �� ��� ���� �� A1 = ... =Ak = L ��� ��� ����� � t������ ������ �������� L �� F �
P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172 169
�� k < κ(F , t) ���� ��� �� ����� �� ����� ���� ��� �� � ��� A1, ...,Ak
��� � ��� �� �� ��∑k
i=1 |Ai|�������� ��� ��� F �� � ���� ���� α(F) ≥ t ��� A1, ...,Ak �� ������t������������� ����������� �� F ���� ����
∑ki=1 |Ai| �� � ������� �����
���∑k
i=1 |Ai| = k.l(F , t) �� k ≥ κ(F , t)�
����∑k
i=1 |Ai| > k.l(F , t) �� k < κ(F , t)
�� ����� ����������� �� ��� ��� ���� �� ����� � ���� ��� ���������� � (l(F , t))k � ��� ��� �� � k.l(F , t)�
������ �� ��� F �� � ���� ���� α(F) ≥ t ��∑k
i=1 |Ai| ≤ k.l(F , t)
��� �� ������t������������� ����������� A1, ...,Ak �� F � ����∏k
i=1 |Ai| ≤(l(F , t))k ��� �� ������t������������� ����������� A1, ...,Ak �� F
�� ����� ������ � ��� ����������� A1 = ... = Ak = L ������ L � ��� ������ �� ! ���� � ��� ��� ���� A1 = ... = Ak = L � �� ����� ��� �������� ��� �������� � ��� ����� ���� �� A1 = ... = Ak = L�� �� ��� � ��� ������� ���� k < κ(F , t)� "�� ���� �� ��� ������ � � #$% �� � �� ���� ��� ������� �� �&�� �� 2 �����'1'���������� ���'�� �� A1 ��� A2 ��
([n]r
)� � ��� � A1 = A2 = L ��� ��� ������
1'���������� ���'�� � L ��([n]r
)� ����� L =
([n]r
)� r > n/2� ��� �� ���
()* ������ #+%� L � �� �&�(
n−1r−1
)���� �&� �� ��� ���� 1'���������� ���'
�� � {A ∈ ([n]r
): 1 ∈ A} ��
([n]r
)! � r ≤ n/2� �� �� ��� ��� � ���� ��� �������
�� �&�� �� ��� k ≥ 2 �����'1'���������� ���'�� �� A1, ...,Ak ��([n]r
)� �
��� � A1 = ... = Ak = L� ,�� � # % � � ����� ���� ��� n ≥ 2r� ��
���� β((
[n]r
), 1
)= |L|
(nr)
= rn��� ����� κ
(([n]r
), 1
)= n
r� ����� ��� ��� n, r
��� k ��� 2 ≤ k < nr� �� ���� k < κ
(([n]r
), 1
)��� ��� ��� �����������
A1 = ... = Ak = L ���� � ��� ��������
-������� .��� /� ��� ������� � κ(F , t) ��� ��� ��� �� ���� �������� �� ������ �� ������ ��� ������ ���!� ��� ������� � κ(F , t) ������ ��� ������� ���� �� ������ �� ��� ������ �� ������ � ������ ��� �� � ��� ��� � ��������� ! ����������� �� � �� � F ���� ���� ������ k < κ(F , t)� ��� ������� �� k �����'t'���������� ���'�� �� A1, ...,Ak
�� F � ��� � ��� � A1 = ... = Ak = L������� ��� ��� p ≥ 3 �� �� ������� ��� m1, ...,mp ��� c1,1, ..., c1,p� c2,1, ...,c2,p� � cp,1, ..., cp,p �� �������� ��� ������� ��� ���� i, j ∈ [p]� �� Li,j ����� �������� ��� �� R
2 ������� ���� ��� �������� y : R → R �� ��� � y(x) =mix+ci,j ��� ���� i, j ∈ [p]� �� Ai,j �� ��� ��� �� � !����� �� � �������������
P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172170
�� ����������� �� Li,j ��� � ��� ����� ���� Li′,j′� ����
Ai,j = {(a, b) ∈ R2 : ∃ i′, j′ ∈ [p], (i′j′) �= (i, j), ��� ����
Li,j ��������� Li′,j′ �� (a, b)}.
��� (a1, b1), ..., (as, bs) �� ��� ������� ����������� �� ��� ���⋃p
i=1
⋃pj=1 Ai,j ��
� ������ �� ����������� �� ����� ����� ��� �� T(a1,b1), ..., T(as,bs) �� ������������ �� ���� t� ��� ��� i, j ∈ [p]� �� Bi,j =
⋃(a,b)∈Ai,j
T(a,b)� �� Bi,j �� ���� �
��� ��� �������� �� ��� ���� ��� ����� (a, b) �� Ai,j �� ��� ������������ t���� T(a,b)� ��� ��� i ∈ [p]� �� Bi = {Bi,1, ..., Bi,p}� �� �� B =
⋃pi=1 Bi =
{Bi,j : i, j ∈ [p]}�������� �� ��� B �� �� �� ����� � �!� ��� L �� � ������ t�������������������� � �� B� ��� A1, ...,Ak �� �����t������������ �������� ��� �� B� "���#$�% κ(B, t) = |L| = p�$��% �� k ≥ κ(B, t) ��� A1 = ... = Ak = L� ���� ∏k
i=1 |Ai| �� � ��������
$�&% �� k < κ(B, t) ��� A1 = ... = Ak = L� ���� ∏ki=1 |Ai| �� ��� � ��������
� ��� ����� ��� ���� t = 1 � F �� ����� ���
��� 2[n] ������ ��� ��� ��� �� [n] ���� ��� ������ �� ��� ������� �� [n]� ���������� β(F , 1) ��� �� �������� ������ ��� � ���� ����� ��� ������������������ ������ �� 2[n]� ��� �� ��� ����� ������ �� ������� ��� ������� ���� l(2[n], 1) = 2n−1 ��� !"#$ ��� ���� �� ���������� �� �� ���� ������
���� �� '� F = 2[n] ���� β(F , 1) = l(F ,1)|F| = 1
2�
����� ��� A ⊆ F = 2[n]� ��� B = {[n]\A : A ∈ A1,+}� %� |B| = |A1,+|� &���� B ∈ B B = [n]\A �� ���� A ∈ A1,+ ��� ����� �� ��'������ �� A1,+ B /∈ A ����� |A ∩ B| = 0� %� A ��� B �� ���(���� ������������ �� F � ����
2|A1,+| + |A1,−| = |A1,+| + |B| + |A1,−| = |A| + |B| = |A ∪ B| ≤ |F| = 2n
��� ����� �������� ��������� �� 2 � ��� |A1,+|+ 12|A1,−| ≤ 2n−1� )� ������
���� � 1������������ ���������� �� F ��� ��*� �� ���� 2n−1 �� A = A1,+ ��A �� 1������������$ ��� ���� ����� �� �������� �� ��� ������ 1������������
���������� {A ∈ F : 1 ∈ A}+ �� l(F , 1) = 2n−1 ��� l(F ,1)|F| = 1
2� %� � ����
|A1,+| + l(F ,1)|F| |A1,−| ≤ l(F , 1)� ,� �$ β(F , 1) = l(F ,1)
|F| = 12� �
P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172 171
������� �� ��� A1, ...,Ak �� �����1���������� � ������� �� 2[n]� ����
k∑i=1
|Ai| ≤ k2n−1 ���
k∏i=1
|Ai| ≤ 2k(n−1),
��� ���� �� ��� ��� ������� � A1 = ... = Ak = {A ∈ 2[n] : 1 ∈ A}� �� k > 2���� ���� �� ��� ��� ������� � ��� ���� � A1 = ... = Ak = L ��� ����
������� 1���������� � ������ L �� F �
���� �� ����� �� κ(2[n], 1
)= 2� ��� ����� ������� �� ���� �� ��� �
�� ����� ��� ���� β(F , 1) �� ���� ����� � ������� ��� ����� �� �� ����
����� �� l(F ,1)|F| �� ��� ���� ���� F ��
([n]r
)�� ! ��� ������ �� �� ���������
�� [n] ��� ! ��� ������ �� r"�� ���� �� ��������� �� [n] ��� ! ��� ��� ������ ����#��� r"���� �� [n] ��$ !� %� ��&� �� ���� �� ����� �������� ��� � ����� ����'������# ��� ��� �� ��(�� �� ���&�� ���������� �� t = 1 �
����������
��� �� ��� � � ��� ����� �� � ������������������ � ����� �� ������ �������� ��� ���� � ���! "#$�%"#$��
� � �� ��� &���������������� �������� �� ����'������� (� &��)��� * ���+ ,��� ���# � ���! "-�%"-#�
��� �� ��� &���������������� �������� �� ������� ����'������� ,.�� (� ����������� ������� " � ���! /��%/�-�
�"� �� ��� ��0 .� 1��0�� �'������ ����������������� �������� �� ����0 ���� (�&��)��� * ���+ ,��� � ��# � ���! $-�%$--�
�$� �� ��2� ��0 �� 3���4� * � 5�06��7��8�0� � ����� % +���� ����� ,.�� (����)���� �������� ��� �0� "���-�! "��%"���
�/� �� 5�06� &� 7� ��0 8� 8�0� .����������� � ������ ��� �+����� �� 9���� ����:'���� (� ��� � ;<���0 � ! � ���/�! ���%� ��
�#� �� 3���4� * � � ����� ��� ��='� �� �<������ ��� � ���+ ��> &� ? ��� ��0 �50�!&��)��������� ,'�@�+� &��)��0� A��@� ����� 1��0��BC�D E��4 ��-# -�%����
�-� ��(�?� ������ �� ������������ � ����� ��� � ���������� �� �������� �� �')���� ��� 9���� ��� (� 1��0�� ��� � ,��� � ! �$ ���##! �/�%�#/�
��� �� ����'���� ��0 C� *�4'� �� * � �<��� )�'�0 �� � � 5�06��7��8�0�� ����� ��� ����������������� ��������� (� &��)��� * ���+ ,��� � $ ���-�! ��%�#�
P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172172