the maximum sum and product of sizes of cross-intersecting families

6
1 A t A t A 1 , A 2 , ..., A k t i j {1, 2, ..., k} i = j A i A j t F t k 0 ≤ |F| k k 0 k t A 1 , A 2 , ..., A k F A 1 = A 2 = ... = A k = L t L F t =1 F X k 0 =2 L X X 1 Available online at www.sciencedirect.com Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172 1571-0653/$ – see front matter © 2011 Elsevier B.V. All rights reserved. www.elsevier.com/locate/endm doi:10.1016/j.endm.2011.09.029

Upload: peter-borg

Post on 25-Nov-2016

212 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: The maximum sum and product of sizes of cross-intersecting families

��� ������� �� �� � ����� �� ��� ��� ����� ����� �������

����� ���� 1

���������� �������� ��

�� ���� �� �����

�� �� ��� ����� �����

��������

� ������ A �� � � ��� �� t� �������� �� �� ��� ��� ������� � �� A ��� ��

��� t ������ ����� ������ A1,A2, ...,Ak �� ��� �� �����t� �������� ���� ��� ��� i ��� j �� {1, 2, ..., k} ���� i �= j� ��� � �� Ai ������ ��� � �� Aj

�� �� ��� t ����� � ���� �� ��������� ����� ��� ��� ���� ������ F���� �� �� ��� �� � �� �� �� ��� t� ��� ��� �� ����� k0 ≤ |F| ���

���� ��� ��� k ≥ k0� ��� �� �� ��� ������� �� �� �� k ����t����������� ������� A1,A2, ...,Ak ��� ������� ������� �� ��������! �� F �� ������

�� A1 = A2 = ... = Ak = L ��� �� ����� t���������� � ������� L �� F � �

��� ���� ���� �� t = 1 ��� F � �� ������ �� ��� � � �� � � X� ��� �� ����

���� ���� k0 = 2 ��� L �������� �� ��� � � �� X ����� ������� � ��� ����

�� X�

�������� ������������� ������� ������ � ������ ��������� �������

1������ ����������� �����

Available online at www.sciencedirect.com

Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172

1571-0653/$ – see front matter © 2011 Elsevier B.V. All rights reserved.

www.elsevier.com/locate/endm

doi:10.1016/j.endm.2011.09.029

Page 2: The maximum sum and product of sizes of cross-intersecting families

� ����������

������ ������� ����� � � ��� ����� ������ ���� �� x �� ����� ���������� � ��� � �������� �������� ������� ������ ���� �� X �� ����� ����� �� ����������� ������ ���� �� F �� ����� �������� ����� ��� ���� ���� ���������� ���� ������������ ������ ������� � ���� �� �������� �� ����� �� �� ������� ��� �� ��� ��� �� ∅� �� r��� �� � ��� �� ���� r� ���� ��� � ��� ������������� r ��������� � ��� ������ n ≥ 1� [n] ������ ��� ��� {1, ..., n} �� ������ n �������� ��������

� ������ A �� ��� �� �� t���� ������ �� ��� �� ������� ���� �� A ���������� �� ����� t ��������� ������� A1, ...,Ak �� ��� �� �� � ����t���� �������� �� ��� ������� i �� j �� [k]� ��� ��� �� Ai ��������� ��� ��� �� Aj �� ������� t ���������

!��([n]r

) ����� ��� ������ �� ��� r"������� �� [n]� #�� ��������� $ %�"&�"

'� � �$&'� #����� ()* ���� ���� �� n �� ��+������� ���� ���� r ≥ t� ���� �t"����������� ���"������ A ��

([n]r

)��� ���� �� ����

(n−tr−t

)� ���� �� ��� �����

�� ���� �� ��� ������ t"����������� ���"������ ��([n]r

)���������� �� ����� ����

������ [t] �� � ������� #�� $&' #����� ������ � ����� �� ������ �� ������� � ���� ��� ������ ���� ��������� �� ���� � ������ �� ���� ��� �� �� ������� ����������� ��� ������, ��� ����� ����� (-�.* �� ������� � �

#�� ���� ����� ������� ��� �#����� /�0 ����� ������ ���� ��� ���"���� ��� �� ��� ������� �� ��� �� ����� �� k ≥ 2 ����"t"��������������"�������� �� � ������ F �� ��� ������� ���� �� �� ����������� ���"�������� F ��� k �� ��� ������ ���� � ������ ����� ���� ��� �� F �� t� 1������ ��� ������� ��� �� ��� ������� �� ��� �� ���� �� ��� ���� �� ������� t"����������� ���"�������

� ��� ����� ���� �����

� ��� ���"����� ������ F � ��� α(F) ����� ��� ���� �� � ������ ��� �� F �2������ α(F) < t� �� ��� A1, ...,Ak �k ≥ 2� �� ���"�������� �� F � #���A1, ...,Ak �� ����"t"����������� �� �� ���� �� �� ���� ��� �� ���� �� ���"����� ������ �� ��� �� F ��������� ������ � ������ ��� �� F �� �� ����� t���������� #���� �� A1, ...,Ak �� ����"t"������������ ���� ��� �� ��� ������ ����� �� 0 �� ��� ��� �� ���� ����� �� �� ���� ��� ���� |F| �� F ������� ������� �� �� ���� �� ��� �� ���� �� F �� ��� ����� �� ��� ������� #������������� ������ �� ������ �� ��� ���� α(F) < t� 3� �� � ��� ������� α(F) ≥ t�

� ��� ������ A� ��� At,+ �� ��� �t"������������ ���"������ �� A ����� ��

P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172168

Page 3: The maximum sum and product of sizes of cross-intersecting families

At,+ = {A ∈ A : |A ∩B| ≥ t ��� ��� B ∈ A\{A}}� ��� � At,− = A\At,+� ����� ����� � �� A �� A �� �� At,− �� ��� ��� �� ��� ����� ������ �� B�� A ���� ���� A ��� B �� ��� ��� t ������ ����� ������� A �� ��At,+� �� ��������� �� At,+ ��� At,− �� ������������ �� �� ��������� ��A∗ ��� A′ �� �������� ! A∗ = A1,+ ��� A′ = A1,−�

"� l(F , t) ���� �� ��# �� � ����� t$���������� ��%$����� �� � ����

����� ����� F � &�� ��� ��%$����� A �� F � � ���

β(F , t,A) =

⎧⎨⎩

l(F ,t)−|At,+||At,−| �� At,− �= ∅

l(F ,t)|F| �� At,− = ∅!

�� |At,+|+β(F , t,A)|At,−| ≤ l(F , t) '�� �� At,− = ∅ %���� |At,+| ≤ l(F , t)���� At,+ �� t$����������(� ) ��� ���

β(F , t) = min{β(F , t,A) : A ⊆ F}.

�������

|At,+| + β(F , t)|At,−| ≤ l(F , t) ��� ��� A ⊆ F � '�(

*� ��� ��� ���� ����

β(F , t) = max

{c ∈ R : c ≤ l(F , t)

|F| , |At,+| + c|At,−| ≤ l(F , t) ∀A ⊆ F}

'�(

��� ����

1

|F| ≤ β(F , t) ≤ l(F , t)

|F| '�(

����� ��� ��� ���$���� ����� F � � ��� ��� κ(F , t) = 1β(F ,t)

��� � ���

κ(F , t) ≤ |F|� ) ��� ��� ���� ��� ���� �����

������� �� �� A1, ...,Ak � ��� �t������ ������ ��������� �� � ������

F ���� α(F) ≥ t� �� k ≥ κ(F , t) ����

k∑i=1

|Ai| ≤ k.l(F , t) ���

k∏i=1

|Ai| ≤ (l(F , t))k ,

��� �� k > κ(F , t) ���� ��� ���� ��� �������� �� ��� ���� �� A1 = ... =Ak = L ��� ��� ����� � t������ ������ �������� L �� F �

P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172 169

Page 4: The maximum sum and product of sizes of cross-intersecting families

�� k < κ(F , t) ���� ��� �� ����� �� ����� ���� ��� �� � ��� A1, ...,Ak

��� � ��� �� �� ��∑k

i=1 |Ai|�������� ��� ��� F �� � ���� ���� α(F) ≥ t ��� A1, ...,Ak �� ������t������������� ����������� �� F ���� ����

∑ki=1 |Ai| �� � ������� �����

���∑k

i=1 |Ai| = k.l(F , t) �� k ≥ κ(F , t)�

����∑k

i=1 |Ai| > k.l(F , t) �� k < κ(F , t)

�� ����� ����������� �� ��� ��� ���� �� ����� � ���� ��� ���������� � (l(F , t))k � ��� ��� �� � k.l(F , t)�

������ �� ��� F �� � ���� ���� α(F) ≥ t ��∑k

i=1 |Ai| ≤ k.l(F , t)

��� �� ������t������������� ����������� A1, ...,Ak �� F � ����∏k

i=1 |Ai| ≤(l(F , t))k ��� �� ������t������������� ����������� A1, ...,Ak �� F

�� ����� ������ � ��� ����������� A1 = ... = Ak = L ������ L � ��� ������ �� ! ���� � ��� ��� ���� A1 = ... = Ak = L � �� ����� ��� �������� ��� �������� � ��� ����� ���� �� A1 = ... = Ak = L�� �� ��� � ��� ������� ���� k < κ(F , t)� "�� ���� �� ��� ������ � � #$% �� � �� ���� ��� ������� �� �&�� �� 2 �����'1'���������� ���'�� �� A1 ��� A2 ��

([n]r

)� � ��� � A1 = A2 = L ��� ��� ������

1'���������� ���'�� � L ��([n]r

)� ����� L =

([n]r

)� r > n/2� ��� �� ���

()* ������ #+%� L � �� �&�(

n−1r−1

)���� �&� �� ��� ���� 1'���������� ���'

�� � {A ∈ ([n]r

): 1 ∈ A} ��

([n]r

)! � r ≤ n/2� �� �� ��� ��� � ���� ��� �������

�� �&�� �� ��� k ≥ 2 �����'1'���������� ���'�� �� A1, ...,Ak ��([n]r

)� �

��� � A1 = ... = Ak = L� ,�� � # % � � ����� ���� ��� n ≥ 2r� ��

���� β((

[n]r

), 1

)= |L|

(nr)

= rn��� ����� κ

(([n]r

), 1

)= n

r� ����� ��� ��� n, r

��� k ��� 2 ≤ k < nr� �� ���� k < κ

(([n]r

), 1

)��� ��� ��� �����������

A1 = ... = Ak = L ���� � ��� ��������

-������� .��� /� ��� ������� � κ(F , t) ��� ��� ��� �� ���� �������� �� ������ �� ������ ��� ������ ���!� ��� ������� � κ(F , t) ������ ��� ������� ���� �� ������ �� ��� ������ �� ������ � ������ ��� �� � ��� ��� � ��������� ! ����������� �� � �� � F ���� ���� ������ k < κ(F , t)� ��� ������� �� k �����'t'���������� ���'�� �� A1, ...,Ak

�� F � ��� � ��� � A1 = ... = Ak = L������� ��� ��� p ≥ 3 �� �� ������� ��� m1, ...,mp ��� c1,1, ..., c1,p� c2,1, ...,c2,p� � cp,1, ..., cp,p �� �������� ��� ������� ��� ���� i, j ∈ [p]� �� Li,j ����� �������� ��� �� R

2 ������� ���� ��� �������� y : R → R �� ��� � y(x) =mix+ci,j ��� ���� i, j ∈ [p]� �� Ai,j �� ��� ��� �� � !����� �� � �������������

P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172170

Page 5: The maximum sum and product of sizes of cross-intersecting families

�� ����������� �� Li,j ��� � ��� ����� ���� Li′,j′� ����

Ai,j = {(a, b) ∈ R2 : ∃ i′, j′ ∈ [p], (i′j′) �= (i, j), ��� ����

Li,j ��������� Li′,j′ �� (a, b)}.

��� (a1, b1), ..., (as, bs) �� ��� ������� ����������� �� ��� ���⋃p

i=1

⋃pj=1 Ai,j ��

� ������ �� ����������� �� ����� ����� ��� �� T(a1,b1), ..., T(as,bs) �� ������������ �� ���� t� ��� ��� i, j ∈ [p]� �� Bi,j =

⋃(a,b)∈Ai,j

T(a,b)� �� Bi,j �� ���� �

��� ��� �������� �� ��� ���� ��� ����� (a, b) �� Ai,j �� ��� ������������ t���� T(a,b)� ��� ��� i ∈ [p]� �� Bi = {Bi,1, ..., Bi,p}� �� �� B =

⋃pi=1 Bi =

{Bi,j : i, j ∈ [p]}�������� �� ��� B �� �� �� ����� � �!� ��� L �� � ������ t�������������������� � �� B� ��� A1, ...,Ak �� �����t������������ �������� ��� �� B� "���#$�% κ(B, t) = |L| = p�$��% �� k ≥ κ(B, t) ��� A1 = ... = Ak = L� ���� ∏k

i=1 |Ai| �� � ��������

$�&% �� k < κ(B, t) ��� A1 = ... = Ak = L� ���� ∏ki=1 |Ai| �� ��� � ��������

� ��� ����� ��� ���� t = 1 � F �� ����� ���

��� 2[n] ������ ��� ��� ��� �� [n] ���� ��� ������ �� ��� ������� �� [n]� ���������� β(F , 1) ��� �� �������� ������ ��� � ���� ����� ��� ������������������ ������ �� 2[n]� ��� �� ��� ����� ������ �� ������� ��� ������� ���� l(2[n], 1) = 2n−1 ��� !"#$ ��� ���� �� ���������� �� �� ���� ������

���� �� '� F = 2[n] ���� β(F , 1) = l(F ,1)|F| = 1

2�

����� ��� A ⊆ F = 2[n]� ��� B = {[n]\A : A ∈ A1,+}� %� |B| = |A1,+|� &���� B ∈ B B = [n]\A �� ���� A ∈ A1,+ ��� ����� �� ��'������ �� A1,+ B /∈ A ����� |A ∩ B| = 0� %� A ��� B �� ���(���� ������������ �� F � ����

2|A1,+| + |A1,−| = |A1,+| + |B| + |A1,−| = |A| + |B| = |A ∪ B| ≤ |F| = 2n

��� ����� �������� ��������� �� 2 � ��� |A1,+|+ 12|A1,−| ≤ 2n−1� )� ������

���� � 1������������ ���������� �� F ��� ��*� �� ���� 2n−1 �� A = A1,+ ��A �� 1������������$ ��� ���� ����� �� �������� �� ��� ������ 1������������

���������� {A ∈ F : 1 ∈ A}+ �� l(F , 1) = 2n−1 ��� l(F ,1)|F| = 1

2� %� � ����

|A1,+| + l(F ,1)|F| |A1,−| ≤ l(F , 1)� ,� �$ β(F , 1) = l(F ,1)

|F| = 12� �

P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172 171

Page 6: The maximum sum and product of sizes of cross-intersecting families

������� �� ��� A1, ...,Ak �� �����1���������� � ������� �� 2[n]� ����

k∑i=1

|Ai| ≤ k2n−1 ���

k∏i=1

|Ai| ≤ 2k(n−1),

��� ���� �� ��� ��� ������� � A1 = ... = Ak = {A ∈ 2[n] : 1 ∈ A}� �� k > 2���� ���� �� ��� ��� ������� � ��� ���� � A1 = ... = Ak = L ��� ����

������� 1���������� � ������ L �� F �

���� �� ����� �� κ(2[n], 1

)= 2� ��� ����� ������� �� ���� �� ��� �

�� ����� ��� ���� β(F , 1) �� ���� ����� � ������� ��� ����� �� �� ����

����� �� l(F ,1)|F| �� ��� ���� ���� F ��

([n]r

)�� ! ��� ������ �� �� ���������

�� [n] ��� ! ��� ������ �� r"�� ���� �� ��������� �� [n] ��� ! ��� ��� ������ ����#��� r"���� �� [n] ��$ !� %� ��&� �� ���� �� ����� �������� ��� � ����� ����'������# ��� ��� �� ��(�� �� ���&�� ���������� �� t = 1 �

����������

��� �� ��� � � ��� ����� �� � ������������������ � ����� �� ������ �������� ��� ���� � ���! "#$�%"#$��

� � �� ��� &���������������� �������� �� ����'������� (� &��)��� * ���+ ,��� ���# � ���! "-�%"-#�

��� �� ��� &���������������� �������� �� ������� ����'������� ,.�� (� ����������� ������� " � ���! /��%/�-�

�"� �� ��� ��0 .� 1��0�� �'������ ����������������� �������� �� ����0 ���� (�&��)��� * ���+ ,��� � ��# � ���! $-�%$--�

�$� �� ��2� ��0 �� 3���4� * � 5�06��7��8�0� � ����� % +���� ����� ,.�� (����)���� �������� ��� �0� "���-�! "��%"���

�/� �� 5�06� &� 7� ��0 8� 8�0� .����������� � ������ ��� �+����� �� 9���� ����:'���� (� ��� � ;<���0 � ! � ���/�! ���%� ��

�#� �� 3���4� * � � ����� ��� ��='� �� �<������ ��� � ���+ ��> &� ? ��� ��0 �50�!&��)��������� ,'�@�+� &��)��0� A��@� ����� 1��0��BC�D E��4 ��-# -�%����

�-� ��(�?� ������ �� ������������ � ����� ��� � ���������� �� �������� �� �')���� ��� 9���� ��� (� 1��0�� ��� � ,��� � ! �$ ���##! �/�%�#/�

��� �� ����'���� ��0 C� *�4'� �� * � �<��� )�'�0 �� � � 5�06��7��8�0�� ����� ��� ����������������� ��������� (� &��)��� * ���+ ,��� � $ ���-�! ��%�#�

P. Borg / Electronic Notes in Discrete Mathematics 38 (2011) 167–172172