The SG family

• Different kinds of knowledge

facts, rules and constraints

• Generic deduction problem: given a KB K =(…) and a SG Q, is Q deducible from K?

E.g. SG formalism: K={facts} deduction = projection

Different formalisms obtained depending on the composition of K and the definition of deduction

SG

SR+rules

SGC

+constraints

SRC SEC

SREC

facts

inference rules evolution rules

Rules

« Every researcher is member of a project »

« The relation near is symetrical (on locations) »

Researcher member ProjectR1

Location Locationnear

near

R2

• A rule expresses knowledge of form «if Hypothesis then Conclusion»

• NB: a fact can be seen as a rule with empty hypothesis

SG bicoloré

• Un SG bicoloré est un SG muni d'une coloration de ses sommets avec deux couleurs {0,1}

• On impose que le sous-graphe induit par les sommets de couleur 0 soit un SG syntaxiquement correct (i.e. si un sommet relation est de couleur 0, tous ses voisins aussi)

sinon l'application de la règle peut produire un SG "mal formé"

Person

Employee

role emp

Compagny

Manager

emp

Person role

agent

Decision

object

Salary poss

Sommet frontière : sommet concept de couleur 0 ayant au moins un voisin (relation) de couleur 1

Hypothèse de la règle : sous-graphe de couleur 0

Conclusion de la règle :sous-graphe de couleur 1+ sommets frontières

Rule application

Office:#124

• A rule is applicable to a fact G if there is a projection from its hypothesis to G

• The result of the rule application is obtained by adding its conclusion to G according to (each frontier node c of the conclusion is merged with (c))

(+normalization if necessary)

…near nearOffice:#125

Location Locationnear

near

R2

G

nearG’

Person

Employee

role

R

emp

Compagny

Manager

emp

Person role

agent

Decision

object

Salary poss

GMan:J role emp

CarBuilder: P

Manager

Employee

Manager

Tc

Logical semantics

X (Y H[XY] Z C[XZ])

Researcher member Project

x (Res(x) y Project(y) member(x,y))

x y

Person worksIn Compagny

Salary

poss x ( y Person (x) (Comp(y) worksIn(x,y))

z (Salary(z) poss(x,z)))

X : frontier node variablesY : other variables of color 0 nodesZ : variables of color 1 nodes

x

XY(… Z…)

Définition usuelle des règles

• Un SG = un lambda-SG sans sommet distingué (n = 0)

• Règles et contraintes : couples de lambda-SGs avec même nombre de sommets distingués

( c11 ... c1n G1, c21 ... c2n G2)

• Un lambda SG est obtenu à partir d'un SG G en distinguant certains sommets concepts génériques c1 ... cn, n 0. On note c1 ... cn G

• c1 ... cn G) : comme G) mais en laissant libres les variables associées à c1 ... cn

R = ( c11 ... c1n G1, c21 ... c2n G2)

• Application de R sur un SG G selon une projection : G1 -> G

• on ajoute G2 à G

• puis on fusionne chaque c2i avec (c1i)

• Interprétation logique :

• on associe la même variable à c1i et c2i notons x1 ... xn ces variables

• on construit la formule :x1...xn(( c11 ... c1n G1) ( c11 ... c1n G1))

Voir cas "hypothèse vide" et "conclusion vide"

SG bicoloré versus couple de lambda-SG

Personne : *x aPourEnfant Personne

Parent : *x

SI

ALORS

(Plaçons-nous dans le cadre des types conjonctifs)

Personne aPourEnfant Personne

ParentIl faut que la conclusion puissecomporter des liens de coréférence

SR : facts + rules

Deduction problem: given a KB K ={facts, rules} and a SG Q, is Q deducible from K,i.e. is there a sequence of rule applications leading to a SG answering Q (ie Q projects to it)?

K

ruleapplications

Q

Forward and backward chaining mechanisms

facts

The forward and backward chaining mechanisms are sound and complete :

Q deducible from K iff (Q) logically deducible from (K)

Soundness and completenessof graph operations

[completeness up to normality conditions

for forward chaining]

(S), (facts), (rules)

Decidability ?

• Deduction in SR is only semi-decidable

• Decidable specific cases?

• SR is a computation model , ie one can simulate a Turing machine (représentation du problème de l'arrêt d'une MdT – pour une entrée particulière – dans SR)

ex: range-restricted rule : no generic concept in conclusion (frontier nodes excepted)

(1) build the full SG F from the KB K F exists!

(2) check whether Q projects to F

Plus généralement :

• Observation : une application de règle est inutile si elle produit un graphe équivalent au graphe d'origine

• Def : un SG G est dit plein (full) par rapport à un ensemble de règles R si toute application d'une règle de R sur G produit un graphe équivalent à G.

• Pté : étant donnés G et R , s'il existe une dérivation menant à un graphe plein, alors la forme irredondante de ce graphe est unique (modulo isomorphisme)

• Def : ensemble de règles à expansion finie : tel que pour tout G, il existe une séquence (finie) d'applications de règles menant à un graphe plein.

En ce cas, déduction décidable

SG

SR+rules

SGC

+constraints

SRC SEC

SREC

facts

inference rules evolution rules

Office

SGC: facts and constraints

Positive constraint C+ Negative constraint C-

in in

worksWith

Person Person

Office

in

HeadOfGroup

Office

in

Secretary

near

« The boss office must be nearall secretary offices »

« Persons working togethershould not share an office »

• A constraint expresses knowledge of form « if A is found so must B » (C+) « if A is found B must not » (C-)

"Idea" : G satisfies a positive constraint C+ if every projection from Condition(C+) to G can be extended to a projection from C+ to G

Office

in

HeadOfGroup

Office

in

Secretary

near

C+

Office:#3

in

HeadOfGroup

Office:#2

in

Secretary:K.

near

GSecretary:L.

in Office:#10

near

nearnear

on verra par la suite que cette définition doit être précisée

Office

in in

worksWith

Person Person

C-

Def: G satisfies a negative constraint C- if no projection from Condition(C-) to G can be extended to a projection from C- to G

worksWith

Researcher:K. Researcher

G

Office:#3

in

Office

in

There is no projection from C- to G

But previous definition is not good enough

t

C+

r t

G1

r t

G2

r

t

G1 and G2 are equivalent. Thus they should be both consistent or both inconsistent w.r.t. C+

Definition :

G satisfies a positive constraint C+ if

every projection from Condition(C+) to irr(G) (the irredundant form of (G)) can be extended to a projection from C+ to irr(G).

Ce problème de graphes équivalents qui ne se comportent pas de la même façon face à une contrainte ne se pose pas avec les contraintes négatives. Pourquoi ?

• Def: two constraints C1 and C2 are equivalent if any SG that satisfies C1 also satisfies C2, and reciprocally.

• Any negative constraint can be colored in 1 (interdiction part) yielding an equivalent constraint.

• Any negative constraint can be transformed into an equivalent positive constraint

" if C- must [NotThere]"

• Let C- be a negative constraint. Let G1 and G2 be equivalent SGs. G1 satisfies C- iff G2 does.

Les contraintes négatives peuvent donc être vues comme un cas particulier de contraintes positives

worksWith

Office

in in

worksWith

Person Person

C- C'-

Office

in in

Person Person

Office

in in

worksWith

Person Person

C+NotThere

SGC-Consistency: Given a KB K, is K consistent, ie do the facts satisfy the constraints?

If K is not consistent, nothing can be deduced from it

KB K = {facts, constraints}

• Complexity

- Consistency is 2P-complete

- If negative constraints only, co-NP-Complete

SGC-Deduction: Given a consistent KB K and a SG Q, is Q deducible from K (is there a projection from Q to facts)?

[ Variante : Etant donnés K et Q, a-t-on :(1) K consistante et (2) Q se déduit de K ? ]

SGC : facts and constraints