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Volume de sous-variétés algébriques réelles aléatoires

Thomas Letendreen collaboration avec M. Puchol

Journées nancéiennes de géométrieNancy – 11 décembre 2018

Thomas Letendre Volume de sous-variétés aléatoires Nancy – 11/12/18 1 / 30

Géométrie aléatoire

(M, g) variété riemannienne, compacte, sans bord, de dimension n.On choisit une sous-variété de codimension r de M au hasard.

QuestionQue peut-on dire de sa géométrie (volume, courbure, . . .) ou de satopologie (nombre de composantes connexes, nombres de Betti,caractéristique d’Euler, . . .) ?

On cherche une réponse statistique : moyenne, moments, loi, . . .ou un comportement presque sûr.


Polynômes de Kac

Sur C, un polynôme de degré d a d racines, génériquement simples.

QuestionCombien un polynôme de Rd [X ] a-t-il de racines réelles ?

Théorème (Kac, 1943)

Soit Pd =d∑

i=0

aiXi où les ai sont des v.a.i.i.d. gaussiennes centrées

réduites. On a :E[card

(Pd−1 (0)

)]∼ 2π

ln d .


Préliminaire : vecteurs gaussiens

(V , 〈· , ·〉) euclidien de dimension N,Λ opérateur auto-adjoint et défini positif.

DéfinitionUne variable aléatoire X ∈ V est dite gaussienne, centrée, de variance Λ, sisa loi admet la densité :

1

(2π)N2√

det(Λ)exp

(−12⟨Λ−1x , x

⟩)par rapport à la mesure de Lebesgue. On note X ∼ N (0,Λ).

Si Λ = Id on dit que X est réduite. Alors, dans une base orthonormée (ei ),X =

∑aiei , où les ai sont des v.a.i.i.d réelles N (0, 1).


1 Sous-variétés algébriques réelles aléatoires

2 Espérance et variance du volume

3 Idées de preuve


Sous-variétés algébriques réelles aléatoires


Polynômes de Kostlan–Shub–Smale

NotationsSoit α = (α0, . . . , αn) ∈ Nn+1, on note :

|α| = α0 + · · ·+ αn,

Xα = Xα00 · · ·Xαn

n ,

α! = α0! · · ·αn!,

si |α| = d ,(d

α

)=

d!

α!.

On considère P ∈ Rhomd [X0, . . . ,Xn] aléatoire distribué selon la loi de

Kostlan :

P =∑|α|=d

aα

√(d

α

)Xα,

où les (aα)|α|=d sont des v.a.i.i.d de loi N (0, 1).



La famille

(√(d

α

)Xα

)|α|=d

est une base orthonormée de

Rhomd [X0, . . . ,Xn] pour le produit scalaire :

〈P ,Q〉 =1

πn+1d!

∫Cn+1

P(z)Q(z)e−‖z‖2

dz .

Un polynôme de Kostlan–Shub–Smale est un vecteur aléatoire de loiN (0, Id) dans Rhom

d [X0, . . . ,Xn].

La distribution de Kostlan est invariante sous l’action de On+1(R).



On fixe d , n et r ∈ {1, . . . , n}.

DéfinitionSoient P1, . . . ,Pr des polynômes de Kostlan–Shub–Smale indépendantsdans Rhom

d [X0, . . . ,Xn], on note :

Zd =(⋂

Pi−1 (0)

)∩ Sn.

LemmeZd est presque surement une sous-variété lisse de codimension r de Sn.

Théorème (Kostlan, 1993)

Pour tout n, r et d , on a : E[Vol (Zd)] = dr2 Vol (Sn−r ).


Courbes aléatoires sur S2

d = 1

Images par Vincent Beffara.



d = 2




d = 3




d = 5




d = 10




d = 20




d = 50




d = 100




d = 200




d = 500




d = 1000




d = 2000




d = 5000




d = 10000




d = 20000



Zéros de sections aléatoires

X variété projective complexe de dimension n,(E , hE) fibré hermitien de rang r sur X ,(L, hL) fibré en droites hermitien positif sur X ,ω forme de Kähler induite par la courbure de L.

On suppose X , L et E équipés de structures réelles compatibles.

RH0(X , E ⊗ Ld) espace des sections holomorphes globales de E ⊗ Ldinvariantes par conjugaison.

RH0(X , E ⊗ Ld) est muni d’un produit scalaire L2 induit par ω, hE et hL.


Zéros de sections aléatoires

DéfinitionSoit sd ∈ RH0(X , E ⊗ Ld) section aléatoire de loi N (0, Id). On noteZd = s−1

d (0) ∩M, où M est le lieu réel de X .

ExempleSi X = CPn, L = O(1) et E est trivial, alors M = RPn et

RH0(X , E ⊗ Ld) =(Rhomd [X0, . . . ,Xn]

)r.

On retrouve r polynômes de Kostlan–Shub–Smale indépendants.


Mesure aléatoire

LemmePour tout d assez grand, Zd est presque surement une sous-variété lisse decodimension r de M.

|dVM | mesure riemannienne sur M,|dVd | mesure riemannienne sur Zd .

Zd définit une mesure de Radon aléatoire :

∀φ ∈ C0(M), 〈Zd , φ〉 =

∫Zd

φ |dVd | .


Espérance et variance du volume


Espérance du volume

Soit sd ∼ N (0, Id) dans RH0(X , E ⊗Ld) et Zd le lieu des zéros réels de sd .

Théorème (L., 2016)

Pour tout φ ∈ C0(M),

E[〈Zd , φ〉] = dr2

(∫Mφ |dVM |

)Vol (Sn−r )

Vol (Sn)+ ‖φ‖C0 O

(d

r2−1),

où le terme d’erreur est indépendant de φ.

Corollaire (équidistribution en moyenne)

En tant que formes linéaires continues sur C0(M),

d−r2E[Zd ] −−−−−→

d→+∞

Vol (Sn−r )

Vol (Sn)|dVM | .


Variance du volume

Théorème (L.–Puchol, 2017)

Pour tout φ ∈ C0(M),

Var(〈Zd , φ〉) = d r− n2

(∫Mφ2 |dVM |

)In,r + o

(d r− n

2

),

où In,r > 0 est explicite et ne dépend que de n et r .

Soit α > −n4 , par l’inégalité de Markov :

P(∣∣∣∣〈Zd , φ〉 − E[〈Zd , φ〉]

dr2

∣∣∣∣ > dα)

61

d2α Var

(〈Zd , φ〉d

r2

)= O

(d−

n2−2α

).


Cas particuliers

Cas des polynômes de Kostlan–Shub–Smale sur Sn traité par :Dalmao (2015), n = r = 1,Armentano–Azaïs–Dalmao–Leòn (2017), n = r ,Armentano–Azaïs–Dalmao–Leòn (2018), n > r .

Ils obtiennent également un théorème central limite :

Vol (Zd)− E[Vol (Zd)]

Var(Vol (Zd))12

loi−−−−−→d→+∞

N (0, 1).


Équidistribution en probabilité

CorollairePour tout ouvert non vide U ⊂ M,

P (Zd ∩ U = ∅) = O(d−

n2

).

Soit φU ∈ C0(M), nulle hors de U, strictement positive sur U.Soit ε > 0 tel que pour tout d assez grand, E[〈Zd , φU〉] > d

r2 ε.

P (Zd ∩ U = ∅) = P (〈Zd , φU〉 = 0)

6 P(∣∣∣〈Zd , φU〉 − E[〈Zd , φU〉]

∣∣∣ > dr2 ε)

61

d rε2Var(〈Zd , φU〉)

= O(d−

n2

).


Loi forte des grands nombres

Corollaire (Équidistribution p.s.)

Soit (sd) ∈∏d>1

RH0(X , E ⊗ Ld) une suite de sections aléatoires

indépendantes de degrés croissants. Si n > 3, alors, presque surement :

d−r2Zd

faible−∗−−−−−→d→+∞

Vol (Sn−r )

Vol (Sn)|dVM | ,

i.e.

∀φ ∈ C0(M), d−r2 〈Zd , φ〉 −−−−−→

d→+∞

Vol (Sn−r )

Vol (Sn)

∫Mφ |dVM | .


Idées de preuve


Fonction de corrélationUn polynôme de Kostlan–Shub–Smale, P ∈ Rhom

d [X0, . . . ,Xn], définit unprocessus gaussien centré (P(x))x∈Sn .

Il est caractérisé par sa fonction de corrélation ed : (x , y) 7→ E[P(x)P(y)].

Remarque

En dérivant sous l’intégrale, ∂ed∂xi(x , y) = E

[∂P∂xi

(x)P(y)].

ed(x , y) =∑

|α|=d=|β|

E[aαaβ]

√(d

α

)√(d

β

)xαyβ

=∑|α|=d

(d

α

)xαyα

= (〈x , y〉)d .


Limite d’échelle du noyau de Bergman

Dans le cas général, la fonction de corrélation ed est le noyau de Bergmande E ⊗ Ld .

On a une limite d’échelle locale universelle pour ed (Dai–Liu–Ma, 2006) :

ed

(x , x +

z√d

)' exp

(−12‖z‖2

),

dès que ‖z‖ 6 K ln d .

Théorème (Ma–Marinescu, 2015)Il existe C > 0 tel que, pour tout k ∈ N,

‖ed(x , y)‖Ck = O(d

k2 exp

(−C√dD(x , y)

)),

quand d → +∞, uniformément en (x , y).


Heuristique pour le volume moyen

Le noyau de Bergman fait apparaitre une échelle caractéristique 1√d.

On découpe M en boites de taille 1√d:

' Vol (M) dn2 boites.

Les boites sont indépendantes, et il se passe la même chose dans chacune :même proba que Zd ait une géométrie donnée dans cette boite.

Composantes de taille 1√det de dimension n − r , donc volume en d

r−n2 .

Finalement Vol (Zd) est proportionnel à Vol (M) dr2 .


Heuristique pour la variance du volume

On a Vol (Zd) =∑

i Vol (Zd ∩ Bi ) =∑

i Vol (Zd ,i ), donc

Var(Vol (Zd)) = E[Vol (Zd)2

]− E[Vol (Zd)]2

=∑i ,j

E[Vol (Zd ,i ) Vol (Zd ,j)]− E[Vol (Zd ,i )]E[Vol (Zd ,j)]

Seuls contribuent les termes avec i = j , soit ' Vol (M) dn2 termes.

Ces termes sont de l’ordre de Vol (Zd ,i )2, i.e. d r−n.

Var(Vol (Zd)) est de l’ordre de d r− n2 Vol (M).


Formule de Kac–Rice

On se place dans le cas des hypersurfaces (r = 1).

Formule de Kac–RicePour tout φ ∈ C0(M), on a :

E[∫

Zd

φ |dVd |]

=1√2π

∫x∈M

φ(x)E[‖∇xs‖

∣∣∣s(x) = 0]

√ed(x , x)

|dVM | .


Asymptotique de l’espérance

(s(x),∇xs) est un vecteur gaussien centré de variance

Λ =

ed(x , x) ∂y1ed(x , x) · · · ∂yned(x , x)∂x1ed(x , x) ∂x1∂y1ed(x , x) · · · ∂x1∂yned(x , x)

......

. . ....

∂xned(x , x) ∂xn∂y1ed(x , x) · · · ∂xn∂yned(x , x)

.

La loi conditionnelle de ∇xs sachant s(x) = 0 est une gaussienne centrée.Sa variance s’obtient à partir de Λ.

E[‖∇xs‖

∣∣∣s(x) = 0]

√ed(x , x)

ne dépend que de ed et ses dérivées en (x , x).

On connait les asymptotiques de ces quantités et elles sont universelles.(Résultats de : Tian, Zelditch, Catlin, Dai–Liu–Ma.)


Expression de la variance

Var(〈Zd , φ〉) = E[〈Zd , φ〉2

]− E[〈Zd , φ〉]2

= E[∫

x ,y∈Zd

φ(x)φ(y) |dVd |2]− E

[∫x∈Zd

φ(x) |dVd |]2

.

Par des formules de Kac–Rice on obtient :

Var(〈Zd , φ〉) =

∫x ,y∈M

φ(x)φ(y)Dd(x , y) |dVM |2 ,

où la densité Dd(x , y) ne dépend que de ed et de ses dérivées en (x , x),(x , y), (y , x) et (y , y).


Comportement de la densité

À longue distance

Pour K > 0 bien choisi, on a Dd(x , y) = O(d r− n

2−1)uniformément sur :{

(x , y) ∈ M ×M

∣∣∣∣ D(x , y) > Kln d√d

}.

À courte distance

Sur{

(x , y) ∈ M ×M∣∣∣ D(x , y) < K ln d√

d

}, on a une limite d’échelle

universelle :

Dd

(x , x +

z√d

)' d rD(‖z‖),

où y = x + z√det ‖z‖ < K ln d .


Asymptotique de la variance

Var(〈Zd , φ〉) '∫x∈M

∫y∈B(x ,K ln d√

d)φ(x)φ(y)Dd(x , y) |dVM |2

' d−n2

∫x∈M

(∫‖z‖<K ln d

φ(x)φ(x + z√

d

)Dd

(x , x + z√

d

)dz

)|dVM |

' d r− n2

(∫x∈M

φ(x)2 |dVM |)(∫

Rn

D(‖z‖) dz

).


Merci de votre attention.

Courbe aléatoire sur S2 de degré d = 1000.

Image par Vincent Beffara.


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