tich phan suy rong version print

TÍCH PHÂN SUY RỘNGBài giảng điện tử

TS. Lê Xuân ĐạiTrường Đại học Bách Khoa TP HCM

Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụngEmail: [email protected]

TP. HCM — 2013.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 1 / 64

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng∫ +∞a f (x)dx

Định nghĩaCho hàm số f (x) xác định ∀x > a và khả tíchtrên mọi đoạn [a, b]. Khi đó trên [a,+∞) xácđịnh hàm số Φ(b) =

∫ b

a f (x)dx . Giới hạn

I = limb→+∞

Φ(b) = limb→+∞

∫ b

a

f (x)dx

được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của hàm số

f (x) trên [a,+∞) và được ký hiệu là+∞∫a

f (x)dx .

TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 2 / 64

Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng∫ +∞a f (x)dx

Định nghĩa

Nếu giới hạn I = limb→+∞

b∫a

f (x)dx tồn tại và hữu

hạn thì tích phân suy rộng loại 1 được gọi là hộitụ. Nếu giới hạn I không tồn tại hoặc bằng ∞ thìtích phân suy rộng loại 1 được gọi là phân kỳ.


Tích phân suy rộng loại 1 Ý nghĩa hình học

Ý nghĩa hình họcTrong trường hợp f (x) > 0,∀x ∈ [a,+∞), giá trịcủa tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình họclà diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, trục Ox và đồ thị hàm f (x)



Chú ý.

Từ ý nghĩa hình học của tích phân suy rộng, tađược nếu tồn tại giới hạn hữu hạn và khác 0

limx→+∞

f (x) = A 6= 0

và f (x) khả tích trên mọi đoạn [a, b] ⊂ [a,+∞)

thì tích phân suy rộng+∞∫a

f (x)dx phân kỳ


Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng∫ b−∞ f (x)dx

Định nghĩaCho hàm số f (x) xác định ∀x 6 b và khả tíchtrên mọi đoạn [a, b]. Khi đó trên (−∞, b] xácđịnh hàm số Ψ(a) =

∫ b

a f (x)dx . Giới hạn

I = lima→−∞

Ψ(a) = lima→−∞

∫ b

a

f (x)dx

được gọi là tích phân suy rộng loại 1 của hàm số

f (x) trên (−∞, b] và được ký hiệu làb∫−∞

f (x)dx .


Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân dạng∫ b−∞ f (x)dx

Định nghĩa

Nếu giới hạn I = lima→−∞

b∫a

f (x)dx tồn tại và hữu

hạn thì tích phân suy rộng loại 1 được gọi là hộitụ. Nếu giới hạn I không tồn tại hoặc bằng ∞ thìtích phân suy rộng loại 1 được gọi là phân kỳ.



Ý nghĩa hình họcTrong trường hợp f (x) > 0,∀x ∈ (−∞, b], giá trịcủa tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình họclà diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = b, trục Ox và đồ thị hàm f (x)


Tích phân suy rộng loại 1 Định nghĩa tích phân∫ +∞−∞

Định nghĩaNếu hàm số f (x) xác định trên R và khả tích trênmọi đoạn [a, b] thì ∀c ∈ R tích phân suy rộng loại1 của hàm f (x) trên (−∞,+∞) được xác địnhbởi∫ +∞

−∞f (x)dx =

∫ c

−∞f (x)dx +

∫ +∞

c

f (x)dx

Tích phân suy rộng này được gọi là hội tụ nếu cảhai tích phân ở vế phải đều hội tụ không phụthuộc lẫn nhau.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 9 / 64

Tích phân suy rộng loại 1 Công thức Newton-Leibnitz

Công thức Newton-LeibnitzCho hàm số f (x) có nguyên hàm là F (x) trên[a,+∞) và khả tích trên mọi đoạn [a, b]. Tích

phân suy rộng loại 1+∞∫a

f (x)dx hội tụ khi và chỉ

khi tồn tại giới hạn hữu hạnlim

b→+∞F (b) = F (+∞). Khi đó∫ +∞

a

f (x)dx = F (+∞)− F (a) = F (x)|+∞a .



Lập luận tương tự, ta cũng có∫ b

−∞f (x)dx = F (b)− F (−∞) = F (x)|b−∞ .

Tích phân suy rộngb∫−∞

f (x)dx hội tụ khi và chỉ

khi tồn tại giới hạn hữu hạn lima→−∞

F (a) = F (−∞)



∫ +∞

−∞f (x)dx =

(F (c)− lim

a→−∞F (a)

)+

+

(lim

b→+∞F (b)− F (c)

)Tích phân suy rộng

∫ +∞−∞ f (x)dx hội tụ khi và chỉ

khi tồn tại giới hạn hữu hạn lima→−∞

F (a) vàlim

b→+∞F (b)∫ +∞

−∞f (x)dx = F (+∞)− F (−∞) = F (x)|+∞−∞ .


Tích phân suy rộng loại 1 Ví dụ

Ví dụ

Tính tích phân suy rộng I =∞∫0

cos xdx .

I = sin x |∞0 = limb→∞

sin b − sin 0 = limb→∞

sin b.

Giới hạn này không tồn tại nên tích phân suy rộngI phân kỳ.



Ví dụ

Tính tích phân suy rộng I =−1∫−∞

dx

x2

I = −1

x

∣∣∣∣−1−∞

= 1 + lima→−∞

1

a= 1.

Như vậy, tích phân I hội tụ.



Ví dụ

Tính tích phân suy rộng I =+∞∫−∞

dx

1 + x2

I = arctan x |+∞−∞ = limb→+∞

arctan b− lima→−∞

arctan a =

=π

2−(−π

2

)= π.

Vậy, tích phân I hội tụ.



Ví dụ

Tính tích phân I =+∞∫0

xe−x2dx

I = −1

2e−x

2

∣∣∣∣+∞0

= limb→+∞

−1

2e−b

2+

1

2=

1

2

Như vậy, tích phân I hội tụ.



Ví dụKhảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộng

I =

∫ +∞

a

dx

xα, a > 0, α ∈ R

Nếu α 6= 1 thì

I = − 1

α− 1

(lim

x→+∞

1

xα−1− 1

aα−1

)Khi α > 1 ta có lim

x→+∞

1

xα−1= 0 nên I =

a1−α

α− 1.

Tích phân I hội tụ.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 17 / 64


Khi α < 1 ta có limx→+∞

1

xα−1= +∞ nên I phân

kỳ.Khi α = 1 ta có I = lim

x→+∞ln |x | − ln a = +∞

nên I phân kỳ.Tóm lại

1 Nếu α > 1 thì I =+∞∫a

dx

xαhội tụ.

2 Nếu α 6 1 thì I =+∞∫a

dx

xαphân kỳ.


Tích phân suy rộng loại 1 Tính chất cơ bản của tích phân suy rộng loại 1

Cho f (x) khả tích trên mọi đoạn[a, b] ⊂ [a,+∞) và c > a. Khi đó tích phân

+∞∫a

f (x)dx ,

+∞∫c

f (x)dx

cùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ. Nếu chúngcùng hội tụ thì

+∞∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx


Tích phân suy rộng loại 1 Tính chất cơ bản của tích phân suy rộng loại 1

Nếu tích phân+∞∫a

f1(x)dx ,

+∞∫a

f2(x)dx

hội tụ thì+∞∫a

[λ1f1(x) + λ2f2(x)]dx hội tụ và

+∞∫a

[λ1f1(x) + λ2f2(x)]dx = λ1

+∞∫a

f1(x)dx + λ2

+∞∫a

f2(x)dx


Tích phân suy rộng loại 1 Hội tụ tuyệt đối và hội tụ có điều kiện

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng của hàmcó dấu không đổi được xác định theo tiêu chuẩnso sánh. Tuy nhiên, với hàm có dấu tùy ý trongkhoảng lấy tích phân thì ta sẽ khảo sát sự hội tụtuyệt đối của tích phân suy rộngĐịnh lýNếu hàm f (x) và |f (x)| khả tích trên mọi đoạn[a, b] ⊂ [a,+∞) và tích phân suy rộng+∞∫a

|f (x)|dx hội tụ thì tích phân+∞∫a

f (x)dx hội tụ.



Chứng minh

Với ∀x ∈ [a,+∞) ta có

−|f (x)| 6 f (x) 6 |f (x)| ⇒ 0 6 f (x) + |f (x)| 6 2|f (x)|

Vì 2+∞∫a

|f (x)|dx hội tụ nên+∞∫a

(f (x) + |f (x)|)dx hội tụ.

Mặt khác, ta có∫ +∞

a

f (x)dx =

∫ +∞

a

(f (x) + |f (x)|)dx −∫ +∞

a

|f (x)|dx

nên tích phân+∞∫a

f (x)dx hội tụ.



Định nghĩaNếu tích phân

∫ +∞a |f (x)|dx hội tụ thì tích phân

suy rộng∫ +∞a f (x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối.


∫ +∞a f (x)dx hội tụ nhưng tích

phân∫ +∞a |f (x)|dx phân kỳ thì tích phân suy

rộng+∞∫a

f (x)dx được gọi là hội tụ có điều kiện.


Tích phân suy rộng loại 1 Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 1

Ta chỉ xét những hàm f (x) > 0, còn trường hợpf (x) 6 0 thì ta đưa về hàm −f (x) > 0 vì+∞∫a

f (x)dx và −+∞∫a

f (x)dx cùng hội tụ hoặc cùng

phân kỳNếu hàm f (x) có dấu thay đổi trên [a,+∞) thì taxét sự hội tụ của hàm |f (x)|



Định lýCho f (x) và g(x) khả tích trên mọi đoạn[a, b] ⊂ [a,+∞) sao cho 0 6 f (x) 6 g(x),

∀x > a.

1 Nếu+∞∫a

g(x)dx hội tụ thì+∞∫a

f (x)dx hội tụ.

2 Nếu+∞∫a

f (x)dx phân kỳ thì+∞∫a

g(x)dx phân

kỳ.



Chú ý. Bất đẳng thức 0 6 f (x) 6 g(x), ∀x > a

có thể chỉ cần đúng ∀x > c > a vìc∫a

f (x)dx vàc∫a

g(x)dx là tích phân xác định nên giá trị của

chúng không ảnh hưởng đến sự hội tụ của tíchphân suy rộng.Ví dụKhảo sát sự hội tụ của tích phân suy rộngI =

∞∫0

dx

x2 + 2x + 2



Ta có 0 <1

x2 + 2x + 2<

1

x2,∀x > 0. Tuy nhiên

nếu xét∞∫0

dx

x2thì không được vì

1

x2không xác định

tại x = 0. Do đó

I =

∫ 1

0

dx

x2 + 2x + 2+

∫ +∞

1

dx

x2 + 2x + 2,

trong đó+∞∫1

dx

x2 + 2x + 2hội tụ vì

+∞∫1

dx

x2hội tụ ,

còn1∫0

dx

x2 + 2x + 2là tích phân xác định nên I hội

tụTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 27 / 64


Định lý

Cho f (x) và g(x) khả tích trên mọi đoạn [a, b] ⊂ [a,+∞)

và f (x), g(x) > 0,∀x > a. Xét limx→∞

f (x)

g(x)= λ

1 Nếu λ = 0 và∞∫a

g(x)dx hội tụ thì∞∫a

f (x)dx hội tụ.

2 Nếu λ > 0 thì∞∫a

g(x)dx và∞∫a

f (x)dx cùng hội tụ hoặc

cùng phân kỳ.

3 Nếu λ = +∞ và∞∫a

g(x)dx phân kỳ thì∞∫a

f (x)dx phân

kỳ



Ví dụKhảo sát sự hội tụ của tích phân

I =+∞∫1

dx√x2 − 2x + 3

Ta có1√

x2 − 2x + 3> 0,∀x > 1 và

1√x2 − 2x + 3

∼ 1

x, x →∞

mà∞∫1

dx

xphân kỳ nên I phân kỳ.




I =+∞∫2

(x + 1)dx3√x7 − 3x − 2

Ta cóx + 1

3√x7 − 3x − 2

> 0,∀x > 2 và

x + 13√x7 − 3x − 2

∼ x

x7/3=

1

x4/3, x →∞

mà∞∫2

dx

x4/3hội tụ nên I hội tụ.



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =+∞∫−∞

e−x2dx

I =

0∫−∞

e−x2dx +

+∞∫0

e−x2dx = I1 + I2

Ta có e−x2, e−x > 0,∀x > 0 và lim

x→+∞

e−x2

e−x= 0

mà+∞∫0

e−xdx hội tụ nên I2 hội tụ.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 31 / 64


Ta có e−x2, ex > 0,∀x 6 0 và lim

x→−∞

e−x2

ex= 0 mà

0∫−∞

exdx hội tụ nên I1 hội tụ.

Vậy I hội tụ




I =+∞∫1

(3 + sin x)dx3√x4 +

√x + 1

Ta có(3 + sin x)

3√x4 +

√x + 1

> 0,∀x > 1 và

3 + sin x3√x4 +

√x + 1

64

3√x4 +

√x + 1

∼ 4

x4/3, x →∞

mà∞∫1

4dx

x4/3hội tụ nên

+∞∫1

4dx3√x4 +

√x + 1

hội tụ và

I hội tụ.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 33 / 64



I =+∞∫1

dx√x + cos2 x

Ta có1√

x + cos2 x> 0,∀x > 1 và

1√x + cos2 x

∼ 1√x, x →∞

mà∞∫1

1√xdx phân kỳ nên I phân kỳ.




I =+∞∫1

4√x3 sin2

1

xdx

Ta có 4√x3 sin2

1

x> 0,∀x > 1 và

4√x3 sin2

1

x∼ x3/4

1

x2=

1

x5/4, x →∞

mà∞∫1

1

x5/4dx hội tụ nên I hội tụ.




I =+∞∫2

(2x3 − 7) arcsin(1/x)3√x6 + 5x − 2

dx

Ta có(2x3 − 7) arcsin(1/x)

3√x6 + 5x − 2

> 0,∀x > 2 và

(2x3 − 7) arcsin(1/x)3√x6 + 5x − 2

∼ 2x3(1/x)

x2=

2

x0, x →∞

mà∞∫2

2dx phân kỳ nên I phân kỳ.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 36 / 64


Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ của tích phân I =+∞∫1

dx

xα. lnβ x

Trường hợp 1: Nếu α > 1 thì α = 1 + 2a, a > 0. Khi đó1

xα. lnβ x=

1

x1+a.

1

xa. lnβ x. Xét

1

x1+a.

1

xa. lnβ x1

x1+a

x→+∞−→ 0,

∫ +∞

1

dx

x1+ahội tụ⇒ I hội tụ



Trường hợp 2: Nếu α < 1 thì α = 1− 2a, a > 0. Khi đó1

xα. lnβ x=

1

x1−a.

1

x−a. lnβ x. Xét

1

x1−a.

1

x−a. lnβ x1

x1−a

x→+∞−→ +∞,+∞∫1

dx

x1−aphân kỳ⇒ I phân kỳ

Trường hợp 3: Nếu α = 1 thì đặt t = ln x . Khi đó

I =

+∞∫0

dt

tβ.

Vậy nếu β > 1 thì I hội tụ, nếu β 6 1 thì I phân kỳ.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 38 / 64


Tóm lại

1 Nếu α > 1 thì I =+∞∫1

dx

xα. lnβ xhội tụ.

2 Nếu α < 1 thì I =+∞∫1

dx

xα. lnβ xphân kỳ.

3 Nếu α = 1 thì I =+∞∫1

dx

xα. lnβ xhội tụ nếu

β > 1, phân kỳ nếu β 6 1.




I =+∞∫1

xm arctan x

xn + 1dx

Hàm f (x) =xm arctan x

xn + 1liên tục nên khả tích

trên [1,+∞). Nếu m = n thì limx→+∞

f (x) =π

2nên

I phân kỳ.



Nếu m 6= n thì Ta cóxm arctan x

xn + 1> 0,∀x > 1 và

xm arctan x

xn + 1∼ π/2

xn−m, x →∞

Do đó nếu n −m > 1 thì I hội tụ. Còn nếun −m 6 1 thì I phân kỳ.


Tích phân suy rộng loại 1 Bài tập

Tính tích phân

1

+∞∫−∞

dx

x2 + 4x + 9. Đáp số.

π√5

2

+∞∫2

(1

x2 − 1+

2

(x + 1)2

)dx . Đáp số.

2

3+

1

2ln 3.

3

+∞∫1

dx

x√x2 + x + 1

. Đáp số. ln

(1 +

2√3

)4

+∞∫1

arctan x

x2dx . Đáp số.

π

4+

ln 2

2TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 42 / 64


Khảo sát sự hội tụ của tích phân sau

1

+∞∫1

sin2 3x3√x4 + 1

dx

2

+∞∫1

dx√4x + ln x

3

+∞∫1

1 + arcsin(1/x)

1 + x√x

dx

4

+∞∫1

ln x

x√x2 − 1

dx



Tìm α để tích phân sau hội tụ

1

+∞∫3

e−x − ln x

(1 + xα)α−2dx . Đáp số. α > 1 +

√2

2

+∞∫2

eαxdx

(x − 1)α ln x. Đáp số. α < 0

3

+∞∫1

ln xdx

xα. Đáp số. α > 1.

4

+∞∫1

ln

(1 +

e1/x − 1

α

)dx , α 6= 0. Đáp số.

phân kỳ ∀αTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 44 / 64

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng∫ ba f (x)dx trên [a, b)

Cho hàm số f (x) xác định trên nửa khoảng [a, b)

và không bị chặn khi x → b. Giả sử f (x) khả tíchtrên mọi đoạn [a, η] ⊂ [a, b). Khi đó trên [a, b)

Φ(η) =

∫ η

a

f (x)dx

Định nghĩaGiới hạn của hàm số Φ(η) khi η → b− được gọi làtích phân suy rộng loại 2 trên [a, b)∫ b

a

f (x)dx = limη→b−

Φ(η) = limη→b−

∫ η

a

f (x)dx


Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng∫ ba f (x)dx trên [a, b)

Định nghĩaNếu giới hạn lim

η→b−Φ(η) = lim

η→b−

∫ ηa f (x)dx tồn tại

và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 2 hội tụ,còn nếu giới hạn này bằng ∞ hoặc không tồn tạithì tích phân suy rộng loại 2 phân kỳ



Ý nghĩa hình họcTrong trường hợp f (x) > 0,∀x ∈ [a, b), giá trịcủa tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình họclà diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, x = b trục Ox và đồ thị hàm f (x),

trong đó x = b là tiệm cận đứng của hàm số f (x)


Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng∫ ba f (x)dx trên (a, b]

Cho hàm số f (x) xác định trên nửa khoảng (a, b]

và không bị chặn khi x → a. Giả sử f (x) khả tíchtrên mọi đoạn [ξ, b] ⊂ (a, b]. Khi đó trên (a, b]

Ψ(ξ) =

∫ b

ξ

f (x)dx

Định nghĩaGiới hạn của hàm số Ψ(ξ) khi ξ → a+ được gọi làtích phân suy rộng loại 2 trên (a, b]∫ b

a

f (x)dx = limξ→a+

Ψ(ξ) = limξ→a+

∫ b

ξ

f (x)dxTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 48 / 64

Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa dạng∫ ba f (x)dx trên (a, b]

Định nghĩaNếu giới hạn lim

ξ→a+Ψ(ξ) = lim

ξ→a+

∫ b

ξ f (x)dx tồn tại

và hữu hạn thì tích phân suy rộng loại 2 hội tụ,còn nếu giới hạn này bằng ∞ hoặc không tồn tạithì tích phân suy rộng loại 2 phân kỳ



Ý nghĩa hình họcTrong trường hợp f (x) > 0,∀x ∈ (a, b], giá trịcủa tích phân suy rộng hội tụ có ý nghĩa hình họclà diện tích của hình phẳng vô hạn được gới hạnbởi x = a, x = b trục Ox và đồ thị hàm f (x),

trong đó x = a là tiệm cận đứng của hàm số f (x)


Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa tích phân∫ ba f (x)dx, c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

Nếu hàm số f (x) không bị chặn khi x → c, vớic ∈ (a, b) thì tích phân suy rộng∫ b

a

f (x)dx =

∫ c

a

f (x)dx +

∫ b

c

f (x)dx


Tích phân suy rộng loại 2 Định nghĩa tích phân∫ ba f (x)dx, c ∈ [a, b] là điểm gián đoạn

Định nghĩa

Tích phân suy rộngb∫a

f (x)dx được gọi là hội tụ

nếu cả 2 tích phânc∫a

f (x)dx vàb∫c

f (x)dx đều hội

tụ không phụ thuộc lẫn nhau.



Công thức Newton-LeibnitzCho hàm số f (x) không bị chặn khi x → b−

nhưng có nguyên hàm là F (x) trên mọi đoạn

[a, η] ⊂ [a, b). Tích phân suy rộng loại 2b∫a

f (x)dx

hội tụ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạnlimη→b−

F (η) = F (b − 0). Khi đó∫ b

a

f (x)dx = F (b − 0)− F (a) = F (x)|b−

a .



Công thức Newton-LeibnitzCho hàm số f (x) không bị chặn khi x → a+

nhưng có nguyên hàm là F (x) trên mọi đoạn

[ξ, b] ⊂ (a, b]. Tích phân suy rộng loại 2b∫a

f (x)dx

hội tụ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạnlimξ→a+

F (ξ) = F (a + 0). Khi đó∫ b

a

f (x)dx = F (b)− F (a + 0) = F (x)|ba+ .



Công thức Newton-LeibnitzCho hàm số f (x) không bị chặn khi x → c nhưngcó nguyên hàm là F (x) trên đoạn [a, c] và nguyênhàm G (x) trên đoạn (c, b]. f (x) khả tích trên mọiđoạn [a, η] ⊂ [a, c) và [ξ, b] ⊂ (c, b]. Ngoài ra,tồn tại giới hạn hữu hạn lim

η→c−F (η) = F (c − 0) và

limξ→c+

G (ξ) = G (c + 0) Khi đó∫ b

a

f (x)dx = F (c− 0)−F (a) +G (b)−G (c + 0).



Ví dụ

Tính tích phân I =1∫0

dx

x

Ta thấy limx→0+

1

x= +∞ nên x = 0 là điểm kỳ dị

I = ln |x ||10 = ln 1− lima→0+

ln |a| = +∞

Như vậy, tích phân I phân kỳ.



Ví dụ

Tính tích phân I =1∫−1

arccos x√1− x2

dx

Ta thấy limx→−1+

arccos x√1− x2

= +∞ nên x = −1 là điểm kỳ

dị. Còn tại x = 1 thì limx→1−

arccos x√1− x2

= 1.

I = −∫ 1

−1arccos xd(arccos x) = −1

2. (arccos2 x)

∣∣1−1

= −12(arccos2 1− lim

a→−1+arccos2 x) =

π2

2

Như vậy, tích phân I hội tụ.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 57 / 64


Ví dụ

Tính tích phân I =b∫a

dx

(b − x)α, (a < b)

I = limε→0

∫ b−ε

a

dx

(b − x)α= − 1

−α + 1limε→0

(b − x)−α+1∣∣b−εa

=

=1

α− 1limε→0

ε−α+1 +1

−α + 1(b − a)−α+1

Nếu α < 1 thì limε→0

ε−α+1 = 0.

Nếu α > 1 thì limε→0

ε−α+1 =∞.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 58 / 64


Nếu α = 1 thìI = lim

ε→0

b−ε∫a

dx

b − x= − lim

ε→0ln |b − x ||b−εa =

− limε→0

ln |ε| + ln(b − a) =∞.Vậy

1 Nếu α < 1 tích phân I hội tụ2 Nếu α > 1 tích phân I phân kỳ



Định lýCho hàm f (x) và |f (x)| khả tích trên mọi đoạn[a, η] ⊂ [a, b) và không bị chặn khi x → b−. Nếu

tích phân suy rộngb∫a

|f (x)|dx hội tụ thì tích phânb∫a

f (x)dx hội tụ.

Tương tự đối với trường hợp hàm f (x) và |f (x)|khả tích trên mọi đoạn [ξ, b] ⊂ (a, b] và không bịchặn khi x → a+.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 60 / 64


Định nghĩa

Nếu tích phânb∫a

|f (x)|dx hội tụ thì tích phân suy

rộngb∫a

f (x)dx được gọi là hội tụ tuyệt đối.


∫ b

a f (x)dx hội tụ nhưng tích phân∫ b

a |f (x)|dx phân kỳ thì tích phân suy rộngb∫a

f (x)dx được gọi là hội tụ có điều kiện.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 61 / 64


Dấu hiệu hội tụ của tích phân suy rộng loại 2

Ta chỉ xét những hàm f (x) > 0,∀x ∈ [a, b) (hoặc(a, b]) còn trường hợp f (x) 6 0 thì ta đưa về hàm

−f (x) > 0 vìb∫a

f (x)dx và −b∫a

f (x)dx cùng hội

tụ hoặc cùng phân kỳNếu hàm f (x) có dấu thay đổi trên [a, b) (hoặc(a, b]) thì ta xét sự hội tụ của hàm |f (x)|



Định lýCho hàm số f (x) và g(x) khả tích trên mọi đoạn[a, η] ⊂ [a, b) và không bị chặn khi x → b−.

Ngoài ra, với x ∈ [a, b) luôn có

0 6 f (x) 6 g(x).

Khi đó nếu tích phân suy rộng∫ b

a g(x)dx hội tụthì tích phân

∫ b

a f (x)dx hội tụ, còn nếu tích phân∫ b

a f (x)dx phân kỳ thì tích phân∫ b

a g(x)dx phânkỳ.TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 63 / 64


Định lý

Cho hàm số f (x) và g(x) khả tích trên mọi đoạn[a, η] ⊂ [a, b) và không bị chặn khi x → b−. Ngoài ra, với

x ∈ [a, b) luôn có 0 6 f (x), 0 6 g(x), limx→b−

f (x)

g(x)= λ

1 Nếu λ = 0 vàb∫a

g(x)dx hội tụ thìb∫a

f (x)dx hội tụ.

2 Nếu λ > 0 thìb∫a

g(x)dx vàb∫a

f (x)dx cùng hội tụ hoặc

cùng phân kỳ.

3 Nếu λ = +∞ vàb∫a

g(x)dx phân kỳ thìb∫a

f (x)dx phân

kỳTS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN SUY RỘNG TP. HCM — 2013. 64 / 64



I =1∫0

cos2 x3√

1− x2dx

limx→1−

cos2 x3√1− x2

= limx→1−

cos2 x3√1 + x

.1

(1− x)1/3=∞

nên x = 1 là điểm kỳ dị.

cos2 x3√1− x2

=cos2 x3√1 + x

.1

(1− x)1/3∼ cos2 1

3√2.

1

(1− x)1/3,

khi x → 1−. Ta có α =1

3< 1 nên I hội tụ.



Ví dụ

Khảo sát sự hội tụ của I =1∫0

ln(1 + 3√x)

esin x − 1dx

limx→0+

ln(1 + 3√x)

esin x − 1= lim

x→0+

x1/3

x= lim

x→0+

1

x2/3=∞

nên x = 0 là điểm kỳ dị.ln(1 + 3

√x)

esin x − 1∼ x1/3

x=

1

x2/3

khi x → 0+. Vậy α = 23 < 1 nên I hội tụ



Khảo sát sự hội tụ của tích phân

1

+∞∫0

e−x2

x2dx

2

+∞∫0

x arctan x√1 + x3

dx

3

+∞∫0

(1− cos

2

x

)dx

4

1∫0

dx

e3√x − 1

5

1∫0

dx

tan x − x



Tìm α để tích phân sau hội tụ

1

π∫0

1− cos x

xαdx

2

1∫0

√e2 + x2 − ecos x

xαdx

3

π/2∫0

cos2 2x − e−4x2

xα. tan xdx

4

π/2∫0

eα. cos x −√1 + 2 cos x√

cos5 xdx

5

1∫0

ln√1 + 2x − xe−x

1− cosα xdx



THANK YOU FOR ATTENTION


tich phan suy rong version print

Documents