Time (by Pink Floyd)

2nd Order OrdinaryDifferential Equation

Prof. Seewhy Lee

2 계 미분방정식이라구 ??

아… 1계 미방도

절라 어려운데 OTL

2nd Order Linear Differential Equation

)()(')(")( xGyxCyxByxA

y1 만을 포함하고 있음 Linear ( 선형 )

G(x) = 0 Homogeneous ( 제차 , 동차 )

G(x) ≠ 0 Inhomogeneous ( 비제차 )

Our Concern

)()(')(")( xGyxCyxByxA

Homogeneous: G(x) = 0

Const. Coefficients:

0'" ycybya

Textbook p.297~299

cxCbxBaxA )(,)(,)(

2 계 제차 선형 미분방정식의 해

두 개의 서로 독립인 함수 y1(x), y2(x) 를 포함

일반해는 그 두 해의 선형 결합 : y(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x)

두 개의 초기조건 적용 : 두 상수 c1, c2 결정

0"y

1)(1 xy xxy )(2

)()()( 2211 xycxycxy xcc 21

Initial Condition: 3)0( y 1)0(' y

31 c 12 c xxy 3)(

A Simple Example

11

선형결합

0''''

gfgfgf

gfW

서로 (1 차 ) 독립일 조건

1)( xf xxg )(

0110

1

xW

Example 독립

xxf )( xxg 2)(

021

2

xxW

종속

(Wronskian)

Quiz

xxf 1)( xxg 1)(

독립 여부 ?

상수계수 2 계 제차 선형 미분방정식

0'" ycybya

constant, tey tx

txtx etytey 2",'

02 txtxtx ectebeta

02 ctbta ( 특성방정식 )

Case A: Two Distinct Real Roots

2121, ttttt

)exp()exp()( 2211 xtcxtcxy

02 ctbta ( 특성방정식 )

Your Due: Prove that exp(t1x) and exp(t2x) are independent.

Your Due: < 예제 2.1>, < 연습문제 1>

A Simple Example

txey

xx ececxy 21)(

0" yy

txtey ' txety 2"

02 txtx eet 1t

2)0(',0)0( yy

2)0(',0)0( 2121 ccyccy

xeexy xx sinh2)(

Case B: One Equal Root

)exp()(,)exp()( 21 txxxytxxy

txexccxy )()( 21

02 ctbta ( 특성방정식 )

Your Due: Prove that y1(x) and y2(x) are independent.

Your Due: < 예제 2.2>, < 연습문제 1>

Case C: Two Distinct Imaginary Roots

itit 21 ,

)exp()exp()( 2211 xtcxtcxy

02 ctbta ( 특성방정식 )

이 함수는 지수함수와 삼각함수의 결합으로 표현된다 .

Euler’s Formula

sincos iei

01...)71828.2( ...141592.31

A Simple Example

txey

ixix ececxy 21)(

0" yy

txtey ' txety 2"

02 txtx eet it

0)0(',1)0( yy

0)()0(',1)0( 2121 cciyccy

xeexy ixix cos)(2

1)(

Shock Absorber

• Shock Absorber

• 차체의 진동을 빠르게 소멸시킴• “ 쇼바”가 아니고 “쇼크 앱소버”

ShockAbsorber

작지만 매우 중요한 부품

Shock Absorber

역할과 목적

차체에 오는 충격을 진동으로 바꿔주고 가장 아늑하게 소멸시킴

감쇠력과 감쇠상수

m

물체가 빠를수록 액체로부터 받는 감쇠력 ( 저항력 )

은 크다 .

vFD )Force(Damping

dt

dxbbvFD

감쇠력의 방향은 물체의 운동 방향과

반대이다 .

b : 감쇠상수 ( 감쇠력과 속도 사이의 비례상수 )

스프링에 매달린 물체에 작용하는 두 힘

m

스프링의 복원력 (Hooke 의 법칙 )

kxFR )Force(Restoring

dt

dxbbvFD

액체의 감쇠력

kxdt

dxbkxbvFFF RD

물체가 받는 힘

감쇠진동에 대한 미분방정식

kxdt

dxbFFF RD

물체가 받는 힘

2

2

dt

xdmmaF

뉴턴의 운동방정식

02

2

kxdt

dxb

dt

xdm

미분방정식

m

k

m

b 0,

2 02 2

02

2

xdt

dx

dt

xd

풀이

constant, tex

tt edt

xde

dt

dx 22

2

,

02 20

2 ttt eee

( 특성방정식 )

02 202

2

xdt

dx

dt

xd

02 20

2

20

2

Case A: Under-Damping

)()()( 2211 txctxctx

titit ecece 21

( 선형결합 )

tietx )(1 )( tietx )(

2 )(

0 i

20

2

220

이거

복소수 ㅠ

Case A: Under-Damping (Continued)

)cos(')sin(' 21 tctce t

)cos( tce t

titit ececetx 21)(

)cos()( tectx t

진동

감쇠

Damped Oscillation

Case B: Over-Damping

)()()( 2211 txctxctx tt ecec 21

21

( 단조감소 )tetx 1)(1

tetx 2)(2

20

2

020

21 02

02

2

( 선형결합 )

Case C: Critical Damping

)()()( 2211 txctxctx

tetcc 21

( 선형결합 )

tetx )(1ttetx )(2

이 경우 진동이 가장 빨리 소멸

No Damping

Under-Damping

Critical Damping

Over-Damping

감쇠진동

2~3 회 왕복에 진동이 거의 소멸되도록 설계

나에게도 과학이..

Case Study 2: Critical Damping

• 임계감쇠• 최단시간에 진동을 소멸시킴• 적용 예 : 도어

Case Study 2: Critical Damping

• 임계감쇠• 최단시간에 진동을 소멸시킴• 적용 예 : 도어

Little Damping

Door Damper

특성방정식이 중근을 가질 때 감쇠가 가장 빠르다 !

Summary

2 계 선형 미분방정식 : 제차 / 비제차

우리는 상수계수 제차 미방만을 다룸

서로 독립인 두 개의 함수가 필요

두 함수가 서로 독립일 조건은 W≠0

일반해는 독립인 두 함수의 선형결합

상수계수 제차 미방 : 특성방정식 풀이를

통해

두 근이 서로 다른 경우와 중근인 경우로

나뉨