toán kinh tế, trường cao đẳng kinh tế - kế hoạch Đà nẵng, 2009

8/12/2019 Toán kinh tế, Trường Cao đẳng Kinh tế - Kế hoạch Đà Nẵng, 2009

http://slidepdf.com/reader/full/toan-kinh-te-truong-cao-dang-kinh-te-ke-hoach-da-nang 1/202

http://www.ebook.edu.vn

TR ƯỜ NG CAO ĐẲNG KINH TẾ - K Ế HOẠCH ĐÀ NẴNG

KHOA CƠ BẢN - CƠ SỞ

BỘ MÔN TOÁN

TOÁN KINH TẾ

Đà Nẵng - 2008WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




LỜ I NÓI ĐẦU

Trên cơ sở chươ ng trình môn học «Toán kinh t ế » chúng tôi biên soạn tài

liệu này phục vụ các sinh viên. Trong bài giảng trình bày một cách ngắn gọnnhưng đầy đủ các nội dung cơ bản của môn học vớ i hình thức và ngôn ngữ

thích hợ p. Những phần kiến thức mở r ộng có tính chất tham khảo đượ c lượ c

bớ t đồng thờ i tăng cườ ng các nhận xét tổng k ết, ghi nhận những điều cốt lõi

bổ ích cho ứng dụng, thực hành sau mỗi phần khảo sát lý thuyết. Điều này

giúp sinh viên nắm đượ c bản chất các phươ ng pháp và tránh đượ c những

nhầm lẫn đáng tiếc trong nhận thức đặc biệt trong điều kiện tự học là chính.

Nhằm giúp sinh viên rèn luyện k ỹ năng, trong bài giảng có đầy đủ các ví

dụ cụ thể mô tả từng tình huống, hướ ng dẫn tỉ mỉ toàn bộ quá trình giải quyết

vấn đề. Ngoài ra nó còn là tài liệu chuẩn để sinh viên chỉnh lý các ghi chép

trên lớ p.

Hy vọng bài giảng sẽ tạo điều kiện thuận lợ i cho sinh viên trong quá trình

học tậ p, góp phần nâng cao chất lượ ng đào tạo. Bài giảng còn có thể dùng cho

sinh viên các hệ khác và những ngườ i quan tâm đặc biệt trong tr ườ ng hợ p

thiếu thờ i gian và tự nghiên cứu.

Mặc dù đã r ất cố gắng nhưng không thể tránh đượ c những thiếu sót, mong

nhận đượ c những ý kiến đóng góp bổ ích của bạn đọc.

Đà Nẵng 2008

Bộ môn Toán

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




MỤC LỤC

PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Chươ ng I

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

§1. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾ N CỐ .................................................. 11.1. Phép thử và biến cố ................................................................................ 11.2. Phân loại các biến cố .............................................................................. 1§2. XÁC SUẤT CỦA BIẾ N CỐ .................................................................. 32.1. Định ngh ĩ a cổ điển về xác suất .............................................................. 32.2. Định ngh ĩ a thống kê về xác suất ............................................................ 5§3. MỐI QUAN HỆ CÁC BIẾ N CỐ ............................................................ 73.1. Tổng các biến cố .................................................................................... 7

3.2. Biến cố xung khắc .................................................................................. 73.3. Nhóm biến cố đầy đủ ............................................................................. 73.4. Biến cố đối lậ p ....................................................................................... 83.5. Tích các biến cố ..................................................................................... 83.6. Biến cố độc lậ p ....................................................................................... 8§4. ĐỊ NH LÝ CỘ NG XÁC SUẤT ............................................................. 104.1. Định lý .................................................................................................. 104.2. Hệ quả .................................................................................................. 10§5. ĐỊ NH LÝ NHÂN XÁC SUẤT ............................................................ 125.1. Xác suất có điều kiện ........................................................................... 12

5.2. Định lý nhân xác suất ........................................................................... 125.3. Hệ quả .................................................................................................. 12§6. MỞ R Ộ NG ĐỊ NH LÝ CỘ NG

VÀ ĐỊ NH LÝ NHÂN XÁC SUẤT ........................................................ 156.1. Định lý .................................................................................................. 156.2. Hệ quả .................................................................................................. 156.3. Công thức Bernoulli ............................................................................. 15§7. CÔNG THỨ C XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ

- CÔNG THỨ C BAYES ...................................................................... 177.1. Công thức xác suất đầy đủ ................................................................... 17

7.2. Công thức Bayes .................................................................................. 18

Chươ ng II

BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUI LUẬT

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

§ 1. ĐỊ NH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾ N NGẪU NHIÊN .................... 211.1. Định ngh ĩ a ............................................................................................ 21

1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên .................................................................... 21§ 2. QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤTWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




CỦA BIẾ N NGẪU NHIÊN ................................................................. 222.1. Định ngh ĩ a ............................................................................................ 222.2. Bảng phân phối xác suất ...................................................................... 222.3. Hàm phân bố xác suất .......................................................................... 242.4. Hàm mật độ xác suất ............................................................................ 27§ 3. CÁC THAM SỐ DẶC TR Ư NG CỦA BIẾ N NGẪU NHIÊN ............ 303.1. Kì vọng ................................................................................................. 303.2. Trung vị ................................................................................................ 333.3. Mốt ....................................................................................................... 333.4. Phươ ng sai ............................................................................................ 333.5. Độ lệch tiêu chuẩn ................................................................................ 363.6. Giá tr ị tớ i hạn ....................................................................................... 36

Chươ ng III

MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG§1. QUY LUẬT KHÔNG - MỘT – A(p) ................................................... 371.1. Định ngh ĩ a ............................................................................................ 371.2. Các tham số đặc tr ưng của quy luật không - một ................................. 38§2. QUY LUẬT NHỊ THỨ C – B(n, p) ........................................................ 382.1. Định ngh ĩ a ............................................................................................ 382.2. Các tham số đặc tr ưng của qui luật nhị thức ........................................ 392.3. Quy luật phân phối xác suất của tần suất ............................................. 41§3. QUY LUẬT POISSON – )(P λ .............................................................. 42

3.1. Định ngh ĩ a .......................................................................................... 433.2. Các tham số đặc tr ưng của quy luật Poisson ........................................ 44§4. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨ N - ),( N 2σµ .................................... 464.1. Định ngh ĩ a ............................................................................................ 464.2. Các tham số đặc tr ưng của quy luật chuẩn ........................................... 474.3. Định ngh ĩ a ............................................................................................ 484.4. Định ngh ĩ a ............................................................................................ 494.5. Công thức tính xác xuất để biến ngẫu nhiên X

phân phối chuẩn nhận giá tr ị trong khoảng (a, b) ................................ 504.6. Xác xuất của sự sai lệch giữa biến ngẫu nhiên

và k ỳ vọng toán của nó ......................................................................... 534.7. Quy tắc hai xích ma và xích ma ........................................................... 544.8. Phân phối xác suất của tổng các biến ngẫu nhiên độc lậ p

tuân theo cùng một quy luật ................................................................. 554.9. Sự hội tụ của quy luật nhị thức

và quy luật Poisson về quy luật chuẩn ................................................. 554.10. Ứ ng dụng của quy luật chuẩn ............................................................ 56§5. QUY LUẬT “KHI BÌNH PHƯƠ NG” – 2 (n)χ ..................................... 57§6. QUY LUẬT STUDENT – T(n) ............................................................ 58

Chươ ng IV

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




LUẬT SỐ LỚ N

4.1. Định ngh ĩ a ............................................................................................ 604.2. Luật số lớ n dạng Tchebycheff (Trêbưsép) ........................................... 604.3. Luật số lớ n dạng Bernoulli ................................................................... 63

PHẦN II. THỐNG KÊ TOÁN

Chươ ng V

CƠ SỞ LÝ THUYẾT MẪU

§1. KHÁI NIỆM TỔ NG THỂ VÀ MẪU .................................................... 661.1. Khái niệm ............................................................................................. 661.2. Tổng thể nghiên cứu ............................................................................. 67§2. MẪU NGẪU NHIÊN ........................................................................... 702.1. Định ngh ĩ a mẫu ngẫu nhiên ................................................................. 702.2. Các phươ ng pháp chọn mẫu ................................................................. 722.3. Thang đo các giá tr ị mẫu ...................................................................... 742.4. Một số phươ ng pháp mô tả số liệu mẫu ............................................... 75§3. THỐ NG KÊ3.1. Định ngh ĩ a ............................................................................................ 793.2. Một số thống kê đặc tr ưng của mẫu ngẫu nhiên .................................. 79

CHƯƠ NG VI

ƯỚ C LƯỢ NG CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

§1. PHƯƠ NG PHÁP ƯỚC LƯỢ NG ĐIỂM .............................................. 841.1. Phươ ng pháp hàm ướ c lượ ng ............................................................... 841.2. Phươ ng pháp ướ c lượ ng hợ p lý tối đa .................................................. 86§ 2. PHƯƠ NG PHÁP ƯỚC LƯỢ NG BẰ NG KHOẢ NG TIN CẬY2.1. Khái niệm ............................................................................................. 862.2. Ướ c lượ ng k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật chuẩn ............................................................. 872.3. Ướ c lượ ng phươ ng sai của biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật chuẩn ............................................................. 932.4. Uớ c lượ ng xác suất p của biến ngẫu nhiên

phân phối theo qui luật không - một ................................................... 96

Chươ ng VII

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

§1. KHÁI NIỆM CHUNG ........................................................................ 1011.1. Giả thuyết thống kê ............................................................................ 1011.2. Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết thống kê ......................................... 1021.3. Miền bác bỏ giả thuyết thống kê ........................................................ 102

1.4. Giá tr ị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định .......................................... 1021.5. Quy tắc kiểm định giả thuyết thống kê .............................................. 102WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




1.6. Sai lầm loại một và sai lầm loại hai ................................................... 1021.7. Thủ tục kiểm định giả thuyết thống kê .............................................. 103§2. KIỂM ĐỊ NH THAM SỐ 2.1. Kiểm định giả thuyết về k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật chuẩn khi đã biết phươ ng sai ...................... 1032.2. Kiểm định giả thuyết về k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật chuẩn khi chưa biết phươ ng sai .................. 1062.3. Kiểm định giả thuyết về hai k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật chuẩn .......................................................... 1082.4. Kiểm định giả thuyết về phươ ng sai của biến ngẫu nhiên

phân phối theo quy luật chuẩn .......................................................... 1172.5. Kiểm định giả thuyết về tham số p của biến ngẫu nhiên

phân phối không - một ...................................................................... 1182.6. Kiểm định giả thuyết về hai tham số p của hai biến ngẫu nhiên

phân phối không - một ...................................................................... 120

Chươ ng VIII

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH VÀ CÁCH GIẢI ĐƠ N GIẢN

§1. Bài toán quy hoạch tuyến tính trong thực tế ....................................... 121§2. Bài toán quy hoạch tuyến tính ............................................................. 1232.1. Các định ngh ĩ a .................................................................................... 1232.2. Phân loại dạng bài toán ...................................................................... 1242.3. Quan hệ giữa bài toán xuất phát và bài toán mở r ộng ....................... 1282.4. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đơ n giản ..................................... 129

Chươ ng IX

PHƯƠ NG PHÁP ĐƠ N HÌNH

§1. Phươ ng pháp đơ n hình giải bài toán quy hoạch tuyến tính ................. 1311.1. Nội dung của phươ ng pháp ................................................................ 1311.2. Thuật toán đơ n hình giải bài toán dạng chuẩn .................................. 132§2. Thuật toán đơ n hình mở r ộng giải bài toán dạng chính tắc ................ 1372.1. Nội dung phươ ng pháp ....................................................................... 1372.2. Các ví dụ ............................................................................................ 137

Chươ ng X

BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

§1. Khái niệm bài toán đối ngẫu ............................................................... 1411.1.Định ngh ĩ a bài toán đối ngẫu .............................................................. 1411.2. Quy tắc lậ p bài toán đối ngẫu ............................................................. 144§2. Quan hệ giữa bài toán đối ngẫu và bài toán gốc ................................. 1472.1. Các định lý đối ngẫu .......................................................................... 147

2.2. Tìm nghiệm tối ưu của bài toán gốc qua nghiệm tối ưucủa bài toán đối ngẫu .......................................................................... 147WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§3. Ý ngh ĩ a của bài toán đối ngẫu ............................................................. 150Chươ ng XI

BÀI TOÁN VẬN TẢI

§1. Bài toán vận tải tổng quát .................................................................... 1521.1. Thiết lậ p bài toán ................................................................................ 1521.2. Đặt bài toán dạng bảng ....................................................................... 1531.3. Tính chất của bài toán vận tải ............................................................ 1541.4. Lậ p phươ ng án cơ bản ban đầu ......................................................... 154§2. Thuật toán “Quy 0 cướ c phí các ô chọn” ............................................ 1552.1. Nội dung thuật toán ............................................................................ 1552.2. Ví dụ ................................................................................................... 157§3. Phươ ng pháp thế vị ............................................................................. 1593.1. Cơ sở toán học .................................................................................... 1593.2. Thuật toán ........................................................................................... 160§4. Dạng đặc biệt của bài toán vận tải ...................................................... 1604.1. Bài toán không cân bằng thu phát ...................................................... 1602.2. Bài toán vận tải có ô cấm ................................................................... 1634.3. Bài toán "vận tải" có f(x) → max ....................................................... 164BÀI TẬP .................................................................................................. 166

Phụ lục 1. Giá tr ị hàm 2

2

2

1)(

u

eu−

=π

ϕ ...................................................... 188

Phụ lục 2. Giá tr ị hàm ∫ −

=Φu u

dueu

0

20

2

2

1)(

π ............................................. 189

Phụ lục 3. Giá tr ị tớ i hạn chuẩn ................................................................. 190Phụ lục 4. Giá tr ị tớ i hạn 2

χ ...................................................................... 191Phụ lục 5. Giá tr ị tớ i hạn Student .............................................................. 193DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................. 194

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



http://www.ebook.edu.vn 1

PHẦN I. LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học xác lậ p những quy luật tất nhiên ẩn dấu

sau những hiện tượ ng mang tính ngẫu nhiên khi nghiên cứu một số lớ n lần lặ p lại

cùng các hiện tượ ng ấy. Việc nắm bắt các quy luật này sẽ cho phép dự báo các hiện

tượ ng ngẫu nhiên đó sẽ xảy ra như thế nào.

Các phươ ng pháp của lý thuyết xác suất r ộng rãi trong việc giải quyết các bài

toán thuộc nhiều l ĩ nh vực khác nhau của khoa học tự nhiên, k ỹ thuật và kinh tế - xã

hội.

Chươ ng I

BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

§1. PHÉP THỬ VÀ CÁC LOẠI BIẾN CỐ

1.1. Phép thử và biến cố

Trong tự nhiên và xã hội, mỗi hiện tượ ng đều gắn liền vớ i một nhóm các điều kiệncơ bản và các hiện tượ ng đó chỉ có thể xảy ra khi nhóm các điều kiện cơ bản gắn liền vớ inó đượ c thực hiện. Do đó, khi muốn nghiên cứu một hiện tượ ng ta cần thực hiện nhómcác điều kiện cơ bản ấy.

Việc thự c hiện một nhóm các đ iề u kiện cơ bản để quan sát một hiện t ượ ng nào đ ó có

xả y ra hay không đượ c g ọi là thự c hiện một phép thử , còn hiện t ượ ng có thể xả y ra trong

k ế t quả của phép thử đượ c g ọi là biế n cố .

Ví d ụ 1.

Tung một con xúc xắc xuống đất là một phép thử, còn việc lật lên một mặt nào đó làmột biến cố.

Ví d ụ 2.

Kiểm tra chất lượ ng một sản phẩm của một nhà máy là một phép thử, k ết quả có thể

xảy ra của nó là sản phẩm đạt chất lượ ng hay không đạt chất lượ ng là các biến cố. Như vậy, một biến cố chỉ có thể xảy ra khi phép thử gắn liền vớ i nó đượ c thực hiện.

1.2. Phân loại các biến cố

1.2.1. Biến cố ngẫu nhiên

Là biế n cố có thể xả y ra hoặc không xả y ra khi thự c hiện một phép thử .

Các biến cố ngẫu nhiên đượ c kí hiệu là A, B, C, . . . hoặc A1, A2, ..., An, B1, B2, ..., Bn.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d ụ 3.

- Tung một con xúc xắc, gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt 1 chấm” khi đó A là biếncố ngẫu nhiên.

- Bắn phát súng vào bia, gọi B là biến cố “Trúng vòng 10” khi đó B là biến cố ngẫunhiên.

1.2.2 Biến cố chắc chắn

Là biế n cố nhấ t định xả y ra khi thự c hiện một phép thử .

Biến cố chắc chắn đượ c kí hiệu là U.

Ví d ụ 4.

- Thực hiện phép thử tung đồng xu. Gọi U là biến cố “Xuất hiện mặt sấ p hoặc mặtngửa”. U là biến cố chắc chắn.

- Chấm điểm bài thi của một học sinh vớ i thang điểm 10, gọi U là biến cố “Số điểmđạt đượ c không lớ n hơ n 10” thì U là biến cố chắc chắn.

1.2.3. Biến cố không thể có

Là biế n cố nhấ t định không xả y ra khi thự c hiện phép thử .

Biến cố không thể có đượ c kí hiệu là V.

Ví d ụ 5.

Chọn một học sinh trong một lớ p học không có nữ, thì biến cố “Chọn đượ c một học sinhnữ” là biến cố không thể có.

Tất cả các biến cố mà chúng ta gặ p trong thực tế đều thuộc một trong 3 loại biến cố k ể trên, tuy nhiên các biến cố ngẫu nhiên là các biến cố thườ ng gặ p hơ n cả.

Hai hay nhiề u biế n cố trong phép thử có khả năng xả y ra như nhau, đượ c g ọi là

đồng khả năng.

Ví d ụ 6.- Tung một đồng xu cân đối đồng chất, ta có số tr ườ ng hợ p đồng khả năng là 2.- Tung một con xúc xắc cân đối đồng chất, ta có số tr ườ ng hợ p đồng khả năng là 6.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§2. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Xác suấ t của một con biế n cố là một con số đặc tr ư ng cho khả năng khách quan

xuấ t hiện biế n cố đ ó khi thự c hiện phép thử . Như vậy bản chất xác suất của biến cố là một con số xác định. Để tính xác suất

ngườ i ta xây dựng các định ngh ĩ a và định lý sau đây.

2.1. Định ngh ĩ a cổ điển về xác suất

2.1.1. Định ngh ĩ a

Xác suấ t xuấ t hiện biế n cố A trong một phép thử là t ỉ số giữ a số k ế t cục thuận l ợ icho A và t ổ ng số các k ế t cục duy nhấ t đồng khả năng có thể xả y ra khi thự c hiện phép thử đ ó.

Nếu kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, m là số k ết cục thuận lợ i cho biến cố A, n là số k ết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử, ta có công thức sau:

(1.1)

Ví d ụ 1.

Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Gọi A là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm chẵn”, B là biến cố “Xuất hiện mặt có số chấm nhỏ hơ n 3”. Tính xác suất của A, B.

Giải

Khi gieo con xúc xắc một cách ngẫu nhiên ta có tổng số k ết cục duy nhất đồng khả năng là 6. K ết cục thuận lợ i cho biến cố A xảy ra là 3 và k ết cục thuận lợ i cho biến cố Bxảy ra là 2. Nên ta có:

2

1

6

3)A(P ==

3

1

6

2)B(P ==

2.1.2. Các tính chất của xác suất

a) Xác suất của biến cố ngẫu nhiên là một số dươ ng lớ n hơ n 0 và nhỏ hơ n 1

0 < P(A) < 1 b) Xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1P(U) = 1

c) Xác suất của biến cố không thể có bằng 0P(V) = 0

Như vậy xác suất của một biến cố bất k ỳ luôn luôn thoả mãn điều kiện1)A(P0 ≤≤ (1.2)

Mệnh đề đảo của hai tính chất b, c chưa chắc đúng, tức là nếu một biến cố có xácsuất bằng 1 thì chưa chắc là biến cố chắc chắn và nếu một biến cố có xác suất bằng 0 thìchưa chắc đã là biến cố không thể có.

P(A) =n

m

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




2.1.3. Các phươ ng pháp tính xác suất bằng định ngh ĩ a cổ điển

Phươ ng pháp suy luận trự c tiếp Nếu số các k ết cục trong phép thử là khá nhỏ và việc suy đoán là khá đơ n giản thì có

thể sử dụng phươ ng pháp suy luận tr ực tiế p.Phươ ng pháp dùng giải tích tổ hợ p Nếu số k ết cục của phép thử là r ất lớ n không thể suy đoán tr ực tiế p đượ c thì có thể

dùng các công thức của giải tích tổ hợ p để tính.

Ví d ụ 2.

Một ngườ i khi gọi điện thoại quên mất 2 số cuối của số điện thoại và chỉ nhớ đượ cr ằng chúng khác nhau. Tính xác suất để quay ngẫu nhiên một lần đúng số cần gọi.

Giải

Gọi B là biến cố “Quay ngẫu nhiên một lần đúng số cần gọi”. Tổng số k ết cục duynhất đồng khả năng là chỉnh hợ p chậ p 2 từ 10. Vậy n = 90, số k ết cục thuận lợ i cho biến

cố B xảy ra chỉ có 1. Do đó : P(B) =90

1

Ví d ụ 3.

Một hộ p gồm 10 sản phẩm, trong đó có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫunhiên 3 sản phẩm.Tính xác suất để

a. Cả 3 sản phẩm lấy ra đều chính phẩm

b. Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng hai chính phẩmGiải

a. Gọi A là biến cố “Lấy đượ c 3 chính phẩm”.

Tổng số k ết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử là số tổ hợ p chậ p 3 từ 10.Vậy n = 3

10C = 120.

Số k ết cục thuận lợ i cho A xảy ra là số tổ hợ p chậ p 3 của 6. Nên m = 3

6C = 20.

Do đó: P(A) =120

20

n

m=

b. Gọi B là biến cố “Trong 3 sản phẩm lấy ra có đúng 2 chính phẩm”.Ta có 2

6C cách lấy 2 chính phẩm và 14C cách lấy 1 phế phẩm. Số k ết cục thuận lợ i cho B

xảy là : m = 26C 1

4C

Do đó: P(B) =6

1

120

20

C

C.C

n

m36

14

26 ===

Ví d ụ 4.Lấy ngẫu nhiên 2 con bài trong một bộ bài các-tê đều đặn, cân đối. Tính xác suất của

các biến cố.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




a. Hai con đều lấy ra đều là con 2 b. Hai con bài lấy ra có 1 con 2 và 1 con Át (con xì)

Giải

Vì lấy 2 con bài một cách ngẫu nhiên trong bộ bài 52 con đều đặn nên tổng số k ếtcục duy nhất đồng khả năng xảy ra là tổ hợ p chậ p 2 của 52

n = 13262

52.51

!2!50

!52C2

52 ===

Gọi A là biến cố “Hai con bài lấy ra đều là con 2”. Ta có số k ết cục thuận lợ i choA xảy ra là số tổ hợ p chậ p 2 của 4

m1 = 6!2!2

!4C2

4 ==

Gọi B là biến cố “Lấy hai con bài có 1 con là 2 và 1 con Át”. Số k ết cục thuận lợ icho B xảy ra là m2 =

14

14CC = 4.4 = 16

Vậy P(A) = 0,00451326

6n

m1 ≈=

P(B) = 0,01211326

16

n

m2 ≈=

2.1.4. Ư u điểm và hạn chế của định ngh ĩ a cổ điển về xác suất

Định ngh ĩ a cổ điển về xác suất có một ưu diểm cơ bản là để tìm xác suất của biếncố ta không cần phải tiến hành phép thử (phép thử chỉ tiến hành một cách giả định). Ngoàira nếu đáp ứng đầy đủ các yêu cầu của định ngh ĩ a thì nó cho phép ta tìm đượ c một cáchchính xác giá tr ị của xác suất.

Tuy nhiên định ngh ĩ a cổ điển về xác suất cũng có những hạn chế đáng k ể. Nó đòihỏi số k ết cục duy nhất đồng khả năng có thể xảy ra trong phép thử phải là hữu hạn.Trong thực tế có nhiều phép thử mà số k ết cục có thể là vô hạn. Trong tr ườ ng hợ p nàyđịnh ngh ĩ a cổ điển về xác suất không thể áp dụng đượ c. Hạn chế này có thể khắc phụcđượ c bằng cách mở r ộng định ngh ĩ a cổ điển.

Hạn chế lớ n nhất của định ngh ĩ a cổ điển là trong thực tế nhiều khi không thể biểudiễn k ết quả của phép thử dướ i dạng tậ p hợ p các k ết cục duy nhất và đồng khả năng.Thườ ng thì tính đồng khả năng của các k ết cục đượ c suy ra từ tính đối xứng. Chẳng hạnkhi tung con xuc xắc ta giả thiết nó đều đặn và đồng chất. Những bài toán mà ta có thể đưa ra các giải thiết về tính đối xứng r ất hiếm khi gặ p trong thực tế.

2.2. Định ngh ĩ a thống kê về xác suất

2.2.1. Định ngh ĩ a tần suấtT ần suấ t suấ t hiện biế n cố trong n phép thử là t ỉ số giữ a số phép thử trong đ ó biế n

cố xuấ t hiện và t ổ ng số phép thử đượ c thự c hiện. Như vậy, nếu kí hiệu số phép thử là n, số lần xuất hiện biến cố A là k, tần xuất

suất hiện biến cố A là f(A) thì :

(1.3)f(A) =

n

k

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Cùng vớ i khái niệm xác suất, khái niệm tần suất là một trong những khái niệm cơ bản của lí thuyết xác suất.

Ví d ụ5.- Khi kiểm tra ngẫu nhiên 80 sản phẩm do một nhà máy sản xuất, ngườ i ta pháthiện ra 3 phế phẩm. Gọi A là biến cố “xuất hiện phế phẩm”. Vậy tần suất xuất hiện phế

phẩm bằng:

f(A) =80

3

- Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấ p khi gieo đồng tiền ngườ i ta tiến hànhtung một đồng tiền nhiều lần và thu đượ c k ết quả như sau:

Ngườ i làm

thí nghiệm

Số lần tung

(n)

Số lần đượ c

mặt sấ p (k)

Tần suất

f(A) = k/nBuffon 4040 2048 0,5069Pearson 12000 6019 0,5016Pearson 24000 12012 0,5005

Qua ví dụ trên ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện của mặt sấ p sẽ dao động ngày càng ít hơ n xung quanh giá tr ị không đổi là 0.5. Tính ổn định của tần suấtlà cơ sở để đưa ra định ngh ĩ a thống kê về xác suất

2.2.2. Định ngh ĩ a thống kê về xác suất

Xác suấ t xuấ t hiện biế n cố A trong một phép thử là một số p không đổ i mà t ần suấ t f xuấ t hiện biế n cố đ ó trong n phép thử sẽ hội t ụ theo xác suấ t về p khi số phép thử t ăng lên

vô hạn

Như vậy về mặt thực tế, vớ i số phép thử n đủ lớ n ta có thể lấy P(A) = f(A)

2.2.3. Ư u điểm và hạn chế của định ngh ĩ a thống kê về xác suất

Định ngh ĩ a thống kê về xác suất có ưu điểm lớ n là nó không đòi hỏi những điều kiệnáp dụng như đối vớ i định ngh ĩ a cổ điển . Nó hoàn toàn dựa trên các quan sát thực tế để

làm cơ sở k ết luận về xác suất xảy ra của một biến cố.Tuy nhiên, định ngh ĩ a thống kê về xác suất chỉ áp dụng đượ c đối vớ i các hiện tượ ng

ngẫu nhiên mà tần suất của nó có tính ổn định. Hơ n nữa để xác định một cách tươ ng đốichính xác giá tr ị của xác suất ta phải tiến hành trên thực tế một số đủ lớ n các phép thử.

Nói cách khác xác suất theo quan điểm thống kê là xác suất đượ c tính sau khi phép thử đãđượ c thực hiện. Trong thực tế nhiều bài toán r ất khó hoặc không thể tiến hành nhiều phépthử để dựa vào đó mà tính xác suất của một biến cố.

Tức là f n(A)hội tụ theo xác suất

P(A)n→∞

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§3. MỐI QUAN HỆ CÁC BIẾN CỐ

3.1. Tổng các biến cố

Định ngh ĩ a 1. Biế n cố C đượ c g ọi là t ổ ng hai biế n cố A và B, kí hiệu C = A + B nế uC chỉ xả y ra khi có ít nhấ t một trong hai biế n cố A và B xả y ra.

Định ngh ĩ a 2. Biế n cố A đượ c g ọi là t ổ ng của n biế n cố n21 A,...,A,A nế u A xả y ra

khi ít nhấ t có một trong n biế n cố ấ y xả y ra.

Kí hiệu A = ∑=

n

1iiA

Ví d ụ 1. Hai sinh viên A, B cùng dự thi môn Xác suất thống kê. Gọi A là biến cố “Sinh viên A thi đậu”, B là biến cố “Sinh viên B thi đậu”, và C là biến cố “Có ít nhất mộttrong hai sinh viên trên thi đậu”.

Ta có: C = A + B.

Ví d ụ 2. Kiểm tra n sản phẩm. Gọi iA là biến cố “Sản phẩm thứ i là xấu”, A là biếncố “Có ít nhất một sản phẩm xấu”.

Ta có n21 A...AAA +++=

3.2. Biến cố xung khắc

Định ngh ĩ a 3. Hai biế n cố A và B đượ c g ọi là xung khắ c vớ i nhau nế u chúng không

thể đồng thờ i xả y ra trong một phép thử .

Tr ườ ng hợ p ngượ c lại, nếu hai phép thử có thể xảy ra đồng thờ i trong một phép thử đượ c gọi là không xung khắc.

Ví d ụ 3. Có hai hộ p đựng một số quả cầu tr ắng và đen. Lấy ở mỗi hộ p một quả cầu.Gọi A là biến cố “Lấy đượ c hai quả cầu cùng màu”, B là biến cố “Lấy đượ c hai quả khácmàu”. Khi đó A, B là hai biến cố xung khắc.

Ví d ụ 4. Hai ngườ i A, B cùng bắn vào một tấm bia, gọi A là biến cố “Ngườ i A bắntrúng”, B là biến cố “Ngườ i B bắn trúng”. Khi đó hai biến cố A, B là không xung khắc.

Định ngh ĩ a 4. Nhóm n biế n cố n21 A,...,A,A đượ c g ọi là xung khắ c t ừ ng đ ôi nế u bấ tk ỳ hai biế n cố nào trong nhóm này cũng xung khắ c vớ i nhau.

Ví d ụ 5.: Trong một cái hộ p có 3 viên bi xanh, 4 viên bi vàng, 5 viên bi đỏ. Gọi 1A

là biến cố “Lấy đượ c hai viên bi xanh”, 2A là biến cố “Lấy đượ c hai viên bi vàng”, 3A là

biến cố “Lấy đượ c hai viên bi đỏ”. Khi đó 1A , 2A , 3A xung khắc nhau từng đôi một.

* Chú ý: Việc nhận xét tính chất xung khắc hay không xung khắc của biến cố chủ yếu dựa vào tr ực giác.

3.3. Nhóm biến cố đầy đủ

Định ngh ĩ a 5. Các biế n cố n21 A,...,A,A đượ c g ọi là một nhóm đầ y đủ các biế n cố nế u trong k ế t quả của một phép thử sẽ xả y ra một và chỉ một trong các biế n cố đ ó.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Nói cách khác các biến cố trên sẽ tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố nếu chúngxung khắc từng đôi một và tổng của chúng là một biến cố chắc chắn.

Ví d ụ 6. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong 1 kho hàng chứa sản phẩm do 3 nhà máy

sản xuất. Gọi iA là biến cố “Sản phẩm lấy ra do nhà máy thứ i sản xuất”, ta có 1A , 2A ,3A là một nhóm đầy đủ các biến cố.

3.4. Biến cố đối lập

Định ngh ĩ a 6. Hai biế n cố A và A g ọi là đố i l ậ p vớ i nhau nế u chúng t ạo nên một

nhóm đầ y đủ các biế n cố .

Ví d ụ 7. Bắn một phát đạn vào bia. Gọi A là biến cố “Bắn trúng bia”, A là biến cố “Bắn tr ượ t bia”. A và A là hai biến cố đối lậ p.

Ví d ụ 8. Trong một hộ p có 5 chính phẩm và 4 phế phẩm, lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Gọi A là biến cố “Lấy đượ c ít nhất 1 chính phẩm”, A là biến cố “Trong 3 sản phẩm lấy ra không có chính phẩm nào”. A và A là hai biến cố đối lậ p.

3.5. Tích các biến cố

Định ngh ĩ a 7. Biế n cố C đượ c g ọi là tích của hai biế n cố A và B nế u C xả y ra khi

và chỉ khi cả hai biế n cố A và B cùng đồng thờ i xả y ra, kí hiệu C = A . B.

Ví d ụ 9. Có hai hộ p đựng một số quả cầu tr ắng và đen. Gọi A là biến cố “Lấy đượ cquả cầu tr ắng ở hộ p thứ nhất”, B là biến cố “Lấy đượ c quả cầu tr ắng ở hộ p thứ hai”. GọiC là biến cố “Lấy đượ c hai quả cầu tr ắng”.

Ta có: C = A.BĐịnh ngh ĩ a 8. Biế n cố A đượ c g ọi là tích của n biế n cố n21 A,...,A,A nế u A xả y ra

khi cả n biế n cố nói trên cùng đồng thờ i xả y ra.

Kí hiệu A = ∏=

n

1iiA

Ví d ụ 10. Có n xạ thủ cùng bắn vào một mục tiêu, gọi iA là biến cố “Ngườ i thứ i bắn

trúng mục tiêu”, i = 1, 2,..., n. Khi đó, biến cố A = ∏=

n

1iiA là biến cố “Cả n xạ thủ cùng bắn

trúng”.3.6. Biến cố độc lập

Định ngh ĩ a 7. Hai biế n cố A và B đượ c g ọi là độc l ậ p vớ i nhau nế u việc xả y ra hay

không xả y ra của biế n cố này không làm thay đổ i xác suấ t xả y ra của biế n cố kia và

ng ượ c l ại.

Trong tr ườ ng hợ p việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này làm thay đổi xácsuất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố đó đượ c gọi là phụ thuộc nhau.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d ụ 11. Trong bình có 3 quả cầu tr ắng và 2 quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên 1 quả. Gọi

A là biến cố “Lấy đượ c quả cầu tr ắng”. Ta có P(A) =5

3. Quả cầu lấy ra đượ c bỏ vào bình

và tiế p tục lấy 1 quả cầu. Gọi B là biến cố “Lần thứ hai lấy đượ c quả cầu tr ắng”. Lúc nàyta có P(B) =

5

3, và không phụ thuộc vào k ết quả lấy lần tr ướ c (biến cố A). Cũng như vậy

xác suất lấy xảy ra biến cố A cũng không phụ thuộc vào k ết quả xảy ra biến cố B. Vậy hai biến cố A, B độc lậ p vớ i nhau.

Ví d ụ 12. Nếu ở ví dụ trên lần lượ t lấy ra hai quả cầu theo phươ ng thức không hoàn

lại và gọi A là biến cố “Lần thứ nhất lấy quả cầu tr ắng”, P(A) =5

3. Song biến cố B “Lần

thứ hai lấy đượ c quả cầu tr ắng” sẽ phụ thuộc vào k ết quả lấy lần thứ nhất. Nếu lần thứ

nhất lấy đượ c quả cầu tr ắng (biến cố A xảy ra) thì P(B) = 21 , nếu lần thứ nhất lấy đượ c

quả cầu đen (biến cố A không xảy ra) thì P(B) =4

3. Vậy A và B phụ thuộc nhau.

Chú ý: Tính độc lậ p của các biến cố có tính tươ ng hỗ. Nếu A và B độc lậ p vớ i nhauthì A và B, A và B, A và B cũng độc lậ p vớ i nhau.

Định ngh ĩ a 8. Các biế n cố n21 A,...,A,A đượ c g ọi là độc l ậ p t ừ ng đ ôi vớ i nhau nế umỗ i cặ p hai trong n biế n cố đ ó độc l ậ p vớ i nhau.

Ví d ụ 13: Tung một đồng xu 3 lần. Gọi iA (i 1,3)= là biến cố “Đượ c mặt sấ p ở lầntung thứ i”. Rõ ràng mỗi cặ p hai trong ba biến cố đó độc lậ p vớ i nhau.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§4. ĐỊNH LÝ CỘNG XÁC SUẤT

Chúng ta đã nghiên cứu các phươ ng pháp tính xác suất của các biến cố bằng cácđịnh ngh ĩ a xác suất. Song những cách tính tr ực tiế p này không phải là cơ bản trong lýthuyết xác suất. Việc áp dụng chúng không phải lúc nào cũng tiện lợ i và thực hiện đượ c.

Vì vậy để xác định xác suất của các biến cố ngườ i ta thườ ng không áp dụng các phươ ng pháp tính tr ực tiế p mà áp dụng phươ ng pháp gián tiế p, cho phép tính xác suất củamột biến cố dựa vào xác suất đã biết của các biến cố khác có liên quan vớ i nó thông quacác định lý xác suất.

4.1. Định lý

Xác suấ t của t ổ ng hai biế n cố xung khắ c bằ ng t ổ ng xác suấ t của các biế n cố đ ó.

Nếu hai biến cố A và B xung khắc vớ i nhau thì

P(A + B) = P(A) + P(B) (1.4)

Ví d ụ 1. Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có hai chi tiết hỏng. Tính xác suất để khilấy ngẫu nhiên ra 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.

Giải

Gọi 0A là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết hỏng”, 1A là biến cố

“trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”, A là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có khôngquá 1 chi tiết hỏng ”

A = 0A + 1A

Vì 0A , 1A là hai biến cố xung khắc nên

P(A) = P( 0A + 1A ) = P( 0A ) + P( 1A )

Dùng định ngh ĩ a cổ điển về xác suất ta có

15

2

C

C)A(P

610

68

0 ==

158

CC.C)A(P 610

5

8

1

21 ==

Vậy3

2

15

8

15

2)A(P =+=

4.2. Hệ quả

H ệ quả 1. Xác suấ t của t ổ ng các biế n cố xung khắ c t ừ ng đ ôi n21 A,...,A,A bằ ng t ổ ng

xác suấ t của các biế n cố đ ó.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(1.5)

H ệ quả 2. N ế u các biế n cố n21 A,...,A,A t ạo nên nhóm đầ y đủ các biế n cố thì t ổ ng

xác suấ t của chúng bằ ng 1.

(1.6)

H ệ quả 3. T ổ ng xác suấ t của hai biế n cố đố i l ậ p bằ ng 1.

1)A(P)A(P =+ (1.7)

Ví d ụ 2. Trong một cái hộ p có 3 viên bi vàng, 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh. Chọnngẫu nhiên một lần 2 bi từ trong hộ p. Tính xác suất của các biến cố sau:

A = “2 bi chọn ra cùng màu”B = “2 bi chọn ra khác màu”

C = “2 bi chọn ra có ít nhất 1 viên bi đỏ”.

Giải

Tổng số k ết quả đồng khả năng có thể xảy khi thực hiện phép thử là tổ hợ p chậ p 2của 12: 2

12Cn =

Gọi 1A là biến cố “2 bi chọn ra đều có màu vàng”

2A là biến cố “2 bi chọn ra đều có màu đỏ”

3A là biến cố “2 bi chọn ra đều có màu xanh”

Số k ết cục thuận lợ i cho 1A , 2A , 3A xảy ra tươ ng ứng là: 23C , 2

4C , 25C

;66

3

C

C)A(P

212

23

1 == ;66

6

C

C)A(P

212

24

2 == ;66

10

C

C)A(P

212

25

3 ==

a. Gọi A là biến cố “2 bi chọn ra cùng màu”: A = 1A + 2A + 3A

66

19

66

10

66

6

66

3)P(A+)P(A+)P(A = P(A) 321 =++=⇒

b. Vì A là biến cố “2 bi chọn ra cùng màu” nên A là biến cố “2 bi chọn ra khác màu”

66

47

66

19 -1=P(A)-1=)AP( =⇒

c. Gọi C là biến cố “2 bi chọn ra có ít nhất một bi đỏ”, C là biến cố “2 bi chọn ra khôngcó bi đỏ”. Trong hộ p có 8 bi không có màu đỏ nên số k ết cục thuận lợ i cho C là 28C2

8 =

33

14

66

28)C(P ==⇒

P(A1 + A2 + . . . + An ) = P(A1) + P(A2) + . . . + P(An)

P(A1) + P(A2) + . . .+ P(An) = 1

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




33

19

33

14 -1=)CP(-1=P(C) =⇒

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§5. ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT

5.1. Xác suất có điều kiện

Định ngh ĩ a. Xác suất của biến cố A đượ c tính vớ i điều kiện biến cố B đã xảy ra gọilà xác suất có điều kiện của A và kí hiệu là P(A/B).

Ví d ụ 1. Trong hộ p có 8 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lầnlượ t 2 sản phẩm. Tính xác suất để lần thứ hai lấy đượ c chính phẩm, biết r ằng lần thứ nhấtlấy đượ c chính phẩm.

Giải

Gọi A là biến cố “Lần thứ nhất lấy đượ c chính phẩm”, B là biến cố “Lần thứ hailấy đượ c chính phẩm”.

Sau khi lần thứ nhất lấy đượ c chính phẩm (biến cố A đã xảy ra) trong bình chỉ còn

lại 7 sản phẩm, trong đó có 4 chính phẩm. Vậy xác suất có điều kiện của B là:

7

4)A/B(P =

5.2. Định lý nhân xác suất

Xác suất của tích hai biến cố A và B bằng tích của một trong hai biến cố đó vớ i xácsuất có điều kiện của biến cố còn lại

(1.8)

5.3. Hệ quả

H ệ quả 1. N ế u P(B) > 0 thì xác suấ t của biế n cố A vớ i đ iề u kiện biế n cố B xả y ra đượ ctính theo công thứ c

(1.9)

Còn nế u P(B) = 0 thì xác suấ t trên không xác định. T ươ ng t ự , nế u P(A) > 0 thì ta

có

(1.10)

H ệ quả 2. Xác suấ t của tích n biế n cố phụ thuộc bằ ng tích xác suấ t của n biế n cố đ ó,

trong đ ó xác suấ t của mỗ i biế n cố tiế p sau đề u đượ c tính vớ i đ iề u kiện t ấ t cả các biế n cố tr ướ c đ ó đ ã xả y ra.

(1.11)

Nếu A và B độc lậ p thì

P(A. B) = P(A). P(B/A) = P(B). P(A/B)

P(A.B)P(A/B)

P(B)=

)A(P

)AB(P)A/B(P =

P(A1.A2 . . .An ) = P(A1).P(A2/A1). . . P(An/A1 . . . An-1)

P(A/B) = P(A) và P(B/A) = P(B)

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




H ệ quả 3. Xác suấ t của tích hai biế n cố độc l ậ p bằ ng tích các xác suấ t thành phần

(1.12)

H ệ quả 4. Xác suấ t của tích n biế n cố độc l ậ p toàn phần bằ ng tích các xác suấ t thành

phần

(1.13)

Ví d ụ 2. Một lớ p có 40 học sinh, trong đó có 15 học sinh giỏi Toán, 20 học sinh giỏi Văn,10 học sinh giỏi cả Toán và Văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớ p đó. Biết r ằng họcsinh đó đã giỏi Toán, tính xác suất học sinh đó giỏi Văn.

Giải

Gọi A là biến cố “Chọn đượ c học sinh giỏi Văn”Gọi B là biến cố “Chọn đượ c học sinh giỏi Toán”

A.B là biến cố “Chọn đượ c học sinh giỏi Văn và Toán”. Ta có xác suất cần tìm làP(A/B)

)B(P

)AB(P)B/A(P =

Ta có:

;40

10

C

C

)B.A(P 140

110

==

40

15

C

C)B(P

140

115 ==

3

2

15

10

40

15:

40

10)B/A(P ===⇒

Ví d ụ 3. Trong hộ p có 8 quả cầu tr ắng và 6 quả cầu đỏ giống nhau về hình dạng, kíchthướ c và tr ọng lượ ng. Lấy ngẫu nhiên lần lượ t không hoàn lại 3 quả cầu từ trong hộ p.Tính xác suất để 3 quả lấy ra đều màu tr ắng.

Giải

Gọi iA là biến cố “Quả cầu lấy lần thứ i có màu tr ắng”; i = 1, 2, 3.

Gọi A là biến cố “3 quả cầu lấy ra đều có màu tr ắng”

321 A.A.AA =

Ta có: P(A) = P( 321 A.A.A ) = )AA/A(P).A/A(P).A(P 213121

Vì lấy ra không hoàn lại nên )A(P 1 =14

8, )A/A(P 12 =

13

7,

12

6)AA/A(P 213 =

P(A.B) = P(A).P(B)

∏∏==

=n

1ii

n

1ii )A(P)A(P

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




P(A) =13

2

12

6.

13

7.

14

8=

Ví d ụ 4. Có hai hộ p đựng chi tiết. Hộ p thứ nhất đựng 5 cái ốc, trong đó có 4 cái tốt, hộ p

thứ hai đựng 6 cái vít trong đó có 5 cái tốt. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộ p một chi tiết. Tính xácsuất để lấy đượ c một bộ ốc vít tốt.

Giải

1A là biến cố “Lấy đượ c cái ốc tốt”

2A là biến cố “Lấy đượ c các vít tốt”

Khi đó A = 1A 2A

Vì 1A , 2A là hai biến cố độc lậ p nên

P(A) = )A(P).A(P 21 =32

65.

54

=

Ví d ụ 5. Một xí nghiệ p có 3 ô tô hoạt động độc lậ p. Xác suất để trong một ngày các ô tô bị hỏng là 0,1; 0,2; 0,15. Tìm xác suất để trong một ngày có đúng một ô tô bị hỏng.

Giải

Gọi iA là biến cố “Ô tô thứ i bị hỏng trong ngày”, i = 1, 2, 3.

A là biến cố “Trong ngày có đúng một ô tô bị hỏng”.

Khi đó

2 3 1 3 1 21 2 3

A A A A A A A A A A= + +

)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P)A(P 321321321 ++=

Vì )A(P 1 = 0,1; )A(P 2 = 0,2; )A(P 3 = 0,15 nên

)A(P 1 = 0,9; )A(P 2 = 0,8; )A(P 3 = 0,85

P(A) = 0,1.0,8.0,85 + 0,9.0,2.0,85 + 0,9.0,8.0,15 = 0,329

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§6. MỞ R ỘNG ĐỊNH LÝ CỘNG VÀ ĐỊNH LÝ NHÂN XÁC SUẤT

6.1. Định lý

Định lý 1. Xác suấ t của t ổ ng hai biế n cố không xung khắ c bằ ng t ổ ng xác suấ t của cácbiế n cố đ ó tr ừ đ i xác suấ t của tích các biế n cố đ ó.

(1.14)

Nếu các biến cố A, B độc lậ p thì công thức trên có dạng

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A)P(B) (1.15)

Còn nếu A, B là hai biến cố phụ thuộc thì công thức trên có dạng

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A).P(B/A) (1.16)

Nếu A, B là hai biến cố xung khắc thì tích AB là biến cố không thể có, do đó

P(AB) = 0. Ta thu đượ c công thức cộng xác suất đã xét ở phần tr ướ c.

6.2. Hệ quả

H ệ quả 1. Xác suất của tổng n biến cố không xung khắc đượ c xác định bằng công thức

(1.17)

H ệ quả 2. Xác suất của tích n biến cố đượ c xác định bằng công thức

(1.18)

Ví d ụ 1. Hai máy bay cùng ném bom một mục tiêu, mỗi máy bay ném một quả vớ i xácsuất trúng mục tiêu tươ ng ứng là 0,7 và 0,8. Tìm xác suất để mục tiêu bị ném trúng.

Giải

Gọi 1A là biến cố ‘Quả bom thứ nhất ném trúng mục tiêu”

Gọi 2A là biến cố ‘Quả bom thứ hai ném trúng mục tiêu”

Gọi A là biến cố “Mục tiêu bị ném trúng”. Áp dụng định lý trên ta có, 1A và 2A là

không xung khắc và độc lậ p nên

94.02,0.3,01)().(1)( 21 =−=−= A P A P A P .

6.3. Công thứ c Bernoulli

Các phép thử đượ c gọi là độc lậ p vớ i nhau nếu xác suất để xảy ra một biến cố nào đótrong từng phép thử sẽ không phụ thuộc vào việc biến cố đó có xảy ra ở các phép thử

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

P(∑=

n

1iiA ) = ∑

ii )A(P - ∑

< ji ji )AA(P + ∑

<< k jik ji )AAA(P . . . . + (-1)n-1P(A1A2…An)

)A....AA(P)1(......

)AAA(P)AA(P)A(P)A(P

n211n

k jik ji

ji ji

ii

n

1ii

+++−+

−++++−=

−

<<<=

∑∑∑∏

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§7. CÔNG THỨ C XÁC SUẤT ĐẦY ĐỦ - CÔNG THỨ C BAYES

7.1. Công thứ c xác suất đầy đủ

Nhóm n21 H,...,H,H là nhóm đầy đủ các biến cố. Giả sử biến cố A có thể xảy rađồng thờ i vớ i một trong các biến cố iH . Lúc đó xác suất của biến cố A đượ c tính bằng

công thức:

(1.20)

Các biến cố n21 H,...,H,H thườ ng đượ c gọi là các giả thuyết.

Ví d ụ 1. Một nhà máy có 3 phân xưở ng cách biệt cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ sản phẩm của phân xưở ng 1, 2, 3 lần lượ t là 35%, 25%, 40%. Tỉ lệ phế phẩm của phân

xưở ng 1, 2, 3 tươ ng ứng là 2%, 1%, 3%. Lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm trong kho hàng củanhà máy. Tính xác suất để sản phẩm đó là phế phẩm, cho biết ý ngh ĩ a của xác suất này.

Giải

Gọi iH là biến cố “Sản phẩm lấy ra là do phân xưở ng i sản xuất”, (i= 1, 2, 3).

Theo bài ta có

P( 1H ) = 35% = 0,35;

P( 2H ) = 0,25;

P( 3H ) = 0,4321 H,H,H là một nhóm đầy đủ các biến cố.

Gọi A là biến cố “Sản phẩm chọn ra là phế phẩm”. Áp dụng công thức xác suất đầyđủ, ta có:

∑=

=3

1iii )H/A(P)H(P)A(P

vớ i

P(A/ 1H ) = 2% = 0,02 ;

P(A/ 2H ) = 0,01 ;

P(A/ 3H ) = 0,03

%15,20215,003,0.4,001,0.25,002,0.35,0)A(P ==++=⇒

Vậy xác suất cần tìm là 0,0215. Xác suất này chính là tỉ lệ phế phẩm của nhà máy.

Ví d ụ 2. Trong một chiếc hộ p kín có 3 quả cầu xanh và 5 quả cầu đỏ hoàn toàn giốngnhau. Chọn ngẫu nhiên lần lượ t không hoàn lại 2 quả cầu từ trong hộ p. Tính xác suất để quả cầu lấy lần thứ 2 có màu xanh.

Giải

n

i ii 1

P (A ) P (H )P (A / H )=

= ∑

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Gọi A là biến cố “Quả cầu chọn lần thứ hai có màu xanh”, A xảy ra đồng thờ i vớ imột trong các biến cố:

1H là biến cố “Quả cầu chọn lần một có màu xanh”.

2H là biến cố “Quả cầu chọn lần một có màu đỏ”.

Ta có:

P( 1H ) =8

3; P( 2H ) =

8

5

1H , 2H là một nhóm đầy đủ các biến cố.

Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có:

P(A) = P( 1H )P(A/ 1H ) + P( 2H )P(A/ 2H )

vớ i

7

3)H/A(P

;7

2)H/A(P

2

1

=

=

8

3

7

3.

8

5

7

2.

8

3)A(P =+=⇒

7.2. Công thứ c Bayes

Giả sử biến cố A có thể xảy ra dồng thờ i vớ i một trong n biến cố n21 H,...,H,H tạonên một nhóm đầy đủ các biến cố. Lúc đó:

∑=

=n

1iii

iii

)H/A(P)H(P

)H/A(P)H(P)A/H(P (1.21)

Các biến cố n21 H,...,H,H thườ ng đượ c gọi là các giả thuyết. Các xác suất )P(H1 ,

)H(P 2 ,n

..., P(H ) đượ c xác định tr ướ c khi phép thử tiến hành, do đó thườ ng đượ c gọi là

các xác suất tiên nghiệm. Còn các xác suất )A/P(H1 , )A/H(P 2 , )A/H(P..., n đượ c xácđịnh sau khi phép thử đã tiến hành và biến cố A đã xảy ra, do đó đượ c gọi là các xác suấthậu nghiệm. Như vậy công thức Bayescho phép đánh giá lại xác suất xảy ra các giả thuyếtsau khi đã biết k ết quả của phép thử là biến cố A đã xảy ra.

Ví d ụ 3. Giả thiết như ví dụ 3. Ta thêm điều kiện giả sử sản phẩm lấy từ kho hàng là phế phẩm. Tính xác suất để phế phẩm đó của phân xưở ng j sản xuất. (j = 1, 2, 3)

Giải

Nếu sản phẩm lấy ra là phế phẩm, xác suất để phế phẩm đó do phân xưở ng thứ j sản

xuất là )A/H( j WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




H1: “Lấy đượ c lô thứ I”

H2: “Lấy đượ c lô thứ II”

Theo công thức xác suất đầy đủ ta có ∑==

2

1iii )H/A(P)H(P)A(P

Theo điều kiện đầu bài: P(H1) = P(H2) =2

1

3

2)H/A(P;

4

3)H/A(P 21 ==

Do đó: P(A) =24

17

3

2.

2

1

4

3.

2

1=+

Sau khi biến cố A đã xảy ra, xác suất của các biến cố H1, H2 thay đổi theo công thứcBayes như sau:

1 11

P ( H ) P ( A / H ) 3 1 7 9P ( H / A ) :

P ( A ) 8 2 4 1 7= = =

2 2

2

P(H )P(A / H ) 1 17 8P (H / A ) :

P(A ) 3 24 17= = =

Gọi B là biến cố “Sản phẩm lấy lần thứ hai là chính phẩm”. B có thể xảy ra vớ i một trong

hai giả thyết H1 và H2. Do đó theo công thức xác suất đầy đủ:)AH/B(P)A/H(P)AH/B(P)A/H(P)B(P 2211 +=

Vì sản phẩm thứ nhất đượ c bỏ lại lô, do đó tỷ lệ chính phẩm ở các lô đó vẫn không thayđổi. Vì thế:

3

2)AH/B(P;

4

3)AH/B(P 21 ==

71,0

204

145

3

2.

17

8

4

3.

17

9)B(P ==+=

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM


http://slidepdf.com/reader/full/toan-kinh-te-truong-cao-dang-kinh-te-ke-hoach-da-nang 29/202http://www.ebook.edu.vn 21

Chươ ng II

BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT

PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

Ở chươ ng I ta đ ã nghiên cứ u các loại biế n cố và phươ ng pháp tính xác suấ t xả y

ra của các biế n cố đ ó. Nó cho phép ta chuyể n sang nghiên cứ u khái niệm trung tâm

của lý thuyế t xác suấ t đ ó là khái niệm về biế n ng ẫ u nhiên (BNN).

§ 1. ĐỊNH NGHĨA VÀ PHÂN LOẠI BIẾN NGẪU NHIÊN

1.1. Định ngh ĩ a

M ột biế n số đượ c g ọi là ng ẫ u nhiên nế u trong k ế t quả của phép thử nó sẽ nhận

một và chỉ một trong các giá tr ị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động của cácnhân t ố ng ẫ u nhiên.

Các biến ngẫu nhiên kí hiệu là X, Y, Z,… hoặc X1, X2, …..,Xn; Y1, Y2, …Yn, ...

còn các giá tr ị có thể có của chúng đượ c kí hiệu là x, y, z hay x1, x2, …,xn; y1, y2,

…,yn...

Sở d ĩ biến X nào đó gọi là ngẫu nhiên vì tr ướ c khi tiến hành phép thử ta chưa có

thể nói một cách chắc chắn nó sẽ nhận giá tr ị bằng bao nhiêu, mà chỉ có thể dự đoán

điều đó vớ i một xác suất nhất định. Nói cách khác việc X nhận một giá tr ị nào đó (X =

xi), i = 1, 2, ..., n, về thực chất là các biến cố ngẫu nhiên. Hơ n nữa vì trong k ết quả của

phép thử biến X nhất định nhận một và chỉ một trong các giá tr ị có thể có của nó. Dođó { } ;n,1i,xX i == tạo nên một nhóm đầy đủ các biến cố.

Ví d ụ 1. Gieo 2 đồng tiền, gọi X là “Số mặt ngửa xuất hiện”. X là BNN vì trong k ết

quả của phép thử nó sẽ nhận đượ c một trong 3 giá tr ị có thể có là 0, 1, 2.

Ví d ụ 2. Ném phi tiêu, gọi Y là biến cho biết khoảng cách từ tâm của bia đến vị tríchạm của phi tiêu. Y khi đó là một BNN.

1.2. Phân loại biến ngẫu nhiên

1.2.1 Biến ngẫu nhiên rờ i rạc

BNN g ọi là r ờ i r ạc nế u các giá tr ị có thể có của nó l ậ p nên một t ậ p hợ p hữ u hạnhoặc đế m đượ c.

Nói cách khác, BNN sẽ là r ờ i r ạc nếu ta có thể liệt kê đượ c tất cả các giá tr ị có thể

có của nó.

Ví d ụ 3.

- Biến ngẫu nhiên chỉ số mặt ngửa xuất hiện khi gieo 2 đồng tiền là BNN r ờ i r ạc.

- Biến ngẫu nhiên chỉ số tuổi của sinh viên một tr ườ ng đại học là một BNN r ờ ir ạc.WW

D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M



1.2.2. Biến ngẫu nhiên liên tục

BNN g ọi là liên t ục nế u các giá tr ị có thể có của nó l ấ p đầ y một khoảng trên tr ục

số .

Đối vớ i BNN liên tục ta không thể liệt kê đượ c tất cả các giá tr ị có thể có của nó.

Ví d ụ 4. BNN chỉ chiều cao của sinh viên đượ c chọn ra từ một tr ườ ng đại học hay

BNN chỉ khoảng cách từ tâm bia đến điểm bắn trúng là các BNN liên tục.

Có thể nói r ằng gần như tất cả các đại lượ ng ta gặ p trong thực tế đều là các BNN

và chúng sẽ thuộc về một trong hai loại BNN đã k ể trên.

§ 2. QUI LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Ta có thể ngh ĩ r ằng chỉ cần xác định các giá tr ị có thể có của một BNN là đủ để xác định BNN ấy. Tuy nhiên điều này chưa đủ. Trong thực tế có những đại lượ ng r ất

khác nhau mà các giá tr ị có thể có của chúng là giống nhau. Hơ n nữa việc các BNNnhận một giá tr ị nào đó trong k ết quả của phép thử chỉ là một biến cố ngẫu nhiên, do

đó nếu chỉ mớ i biết đượ c các giá tr ị có thể có của nó thì ta mớ i nắm đượ c r ất ít thông

tin về BNN ấy. Vì vậy ta còn phải xác định các xác suất tươ ng ứng vớ i các giá tr ị có

thể có của BNN để hoàn toàn xác định nó.


Qui luật phân phố i xác suấ t của biế n ng ẫ u nhiên là sự t ươ ng ứ ng giữ a các giá tr ị có thể có của nó và các xác suấ t t ươ ng ứ ng vớ i giá tr ị đ ó.

Ngườ i ta thườ ng dùng 3 phươ ng pháp để mô tả quy luật phân phối xác suất của

BNN. Ta sẽ lần lượ t nghiên cứu các phươ ng pháp đó.

2.2. Bảng phân phối xác suất

Định ngh ĩ a. Giả sử BNNRR X có thể nhận một trong các giá tr ị có thể có là x1,

x2, ..., xn vớ i các xác suất tươ ng ứng là p1, p2, .., pn. Thì bảng phân phối xác suất của

BNNRR X có dạng như sau:

X x1 x2 ... xk ... xn

P p1 p2 ... pk ... pn

Chú ý: các xác suất pi phải thoã mãn điều kiện

⎪⎩

⎪⎨⎧

=∑

∀≥

=

1 p

i 0 p

n

1ii

i

(2.1)

Ví d ụ 5. Bảng phân phối xác suất của BNN chỉ số mặt ngửa xuất hiện khi gieo ngẫu

nhiên 2 đồng tiền là:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



X 0 1 2

P4

1

4

2

4

1

Như ta đã biết các giá tr ị có thể có của X là 0, 1, 2

Và p1 = P(X = 0) = P(SS) =4

1

P2 = P(X = 1) = P(SN, NS) =4

2

P3 = P(X = 2) = P(SS)=4

1

Ví d ụ 6. Trong một hộ p có 3 viên bi đỏ và 2 viên bi xanh. Chọn ngẫu nhiên khônghoàn lại các viên bi trong hộ p cho đến khi đượ c bi xanh thì dừng lại. Gọi X là biến

ngẫu nhiên chỉ số bi đượ c chọn ra. Lậ p bảng phân phối xác suất của X.

Giải

Các giá tr ị có thể có của X là: 1, 2, 3, 4.

Gọi Ai là biến cố chọn bi lần i là đỏ

Gọi Bi là biến cố chọn bi lần i là xanh, 4,1i =

Ta có: p1 = P(X = 1) = P(B1) = 4,05

2

=

p2 = P(X = 2) = P(A1.B2) = P(A1).P(B2/A1) = 3,04

2.

5

3=

p3 = P(X = 3) = P(A1A2B3) = P(A1).P(A2/A1).P(B3/A1A2) = 0,2

p4 = 0,1

Vậy bảng phân phối xác suất của X là:

Ví d ụ 7.

Trong hộ p có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản phẩm. Xây

dựng qui luật phân phối xác suất của số chính phẩm đượ c lấy ra.

Giải

Gọi X là “Số chính phẩm đượ c lấy trong 2 sản phẩm”. Khi đó X là BNNRR vớ icác giá tr ị có thể có là 0, 1, 2.

Ta có p1 = P(X = 0) =15

2

C

C2

10

2

4 =

X 1 2 3 4

P 0,4 0,3 0,2 0,1

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



Tươ ng tự: p2 = P(X = 1) =15

8; p3 = P(X = 3) =

15

5

Như vậy qui luật phân phối xác suất của X có dạng:

2.3. Hàm phân bố xác suất


Khái niệm hàm phân bố xác suất áp dụng đượ c đối vớ i cả BNN r ờ i r ạc và liên

tục. Giả sử X là BNN, x là một số thực nào đó. Xét biến cố “BNN X nhận giá tr ị nhỏ hơ n X”, kí hiệu (X < x). Hiển nhiên x thay đổi thì P(X < x) cũng thay đổi theo. Như

vậy, xác suất này là một hàm số của x. Ta có định ngh ĩ a sau:

Hàm phân bố xác suấ t của biế n ng ẫ u nhiên X, kí hiệu F(x), là xác suấ t để biế nng ẫ u nhiên X nhận giá tr ị nhỏ hơ n x, vớ i x là một số thự c bấ t k ỳ:

F(x) = P(X < x) (2.2)

Đối vớ i từng loại BNN hàm phân bố xác suất đượ c tính theo công thức riêng.

Chẳng hạn nếu X là BNN r ờ i r ạc thì hàm phân bố xác suất đượ c xác định bằng công

thức:

∑=<xix

i p)x(F

Ví d ụ 8. Biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc X có bảng phân phối xác suất như sau:

Hãy xây dựng hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị.

Giải

Nếu 1x ≤ thì (X < x) = ∅

0)xX(P)x(F =<=⇒

Nếu 3x1 ≤< thì biến cố (X < x) chỉ xảy ra khi (X = 1)

⇒ F(x) = 0,1

Nếu 4x3 ≤< thì biến cố (X < x ) xảy ra khi (X = 1) hoặc (X = 3)

⇒ F(x) = 0,1+ 0,5 = 0,6

X 0 1 2

P15

2

15

8

15

5

X 1 3 4

P 0,1 0,5 0,4

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



Nếu x > 4 thì thì biến cố (X < x ) xảy ra khi (X = 1) hoặc (X = 3) hoặc (X = 4)

⇒ F(x) = 0,1+ 0,5 + 0,4 = 1

Vậy hàm phân bố xác suất của x có dạng như sau:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

≤<

≤<

≤

=

4 xkhi 1

4x3khi 0,6

3x1khi 1,0

1xkhi 0

)x(F

Đồ thị của hàm F(x) có dạng như sau:

0 1 3 4

Ví d ụ 9.

Lậ p hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ khoảng cách từ điểm bắn

trúng đến tâm bia. Biết r ằng bia có bán kính bằng 30.

x

Giải

Ta có miền giá tr ị của X là [0,30]

- Nếu =<⇒≤ )xX(0x ∅

0)x(F =⇒

- Nếu =<⇒≤< )xX(30x0 {tậ p các điểm nằm trong hình tròn tâm O bán kính x}

900

x

30

x)xX(P)x(F

2

2

2

=π

π=<=⇒

- Nếu x > 30 thì (X < x) là tậ p hợ p các điểm nằm trên bia

1)x(F =⇒

Vậy hàm phân bố xác suất của X là

0 1

0 6

1

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

≤<

≤

=

30 xkhi 1

30x0khi 900

x

0xkhi 0

)x(F2

Đồ thị của hàm F(x) có dạng như sau

0 30 x

Nhận xét:

Đồ thị của hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc có dạng bậc thang

vớ i số điểm gián đọan chính bằng số giá tr ị có thể có của X

Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì đồ thị của nó sẽ là một đườ ng cong liên tục.

2.3.2. Tính chất

Tính chấ t 1. Hàm phân bố xác suất luôn nhận giá tr ị trong đoạn [0,1]:

1)x(F0 ≤≤ (2.3)

Tính chấ t 2. Hàm phân bố xác suất là hàm không giảm tức là vớ i x1> x2 thì

)x(F)x(F 21 ≤

H ệ quả 1. Xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá tr ị trong khoảng [a,b) bằng

hiệu số của hàm phân bố xác suất tại hai đầu khoảng đó:

)a(F) b(F) bXa(P −=<≤ (2.4)

H ệ quả 2. Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận một giá tr ị xác định bằng

0.

P(X= x) = 0 (2.5)

H ệ quả 3. Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục X ta có các đẳng thứ sau đây:

) bXa(P) bXa(P) bXa(P) bXa(P ≤≤=<≤=≤<=<< (2.6)

Tính chấ t 3. Ta có biểu thức giớ i hạn sau:F(-∞) = 0; F(+∞) = 1. (2.7)

H ệ quả. Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận giá tr ị trong đoạn [a,b] thì vớ i x ≤a,

F(x) = 0 và vớ i x > b, F(x) = 1.

2.3.3. Ý ngh ĩ a của hàm phân bố xác suất

Hàm phân bố xác suất phản ảnh mức độ tậ p trung xác suất ở về phía bên trái của

một số thực x nào đó. Như đã biết toàn bộ xác suất của biến ngẫu nhiên bằng 1, do đó

giá tr ị của hàm phân bố xác suất tại một điểm x cho biết có bao nhiêu phần tr ăm của

một đơ n vị xác suất phân bố trong đoạn (-∞

, x).WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



Ví d ụ 10.

Biến ngẫu nhiên X có hàm phân bố xác suất như sau:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

≤<+

≤

=

3

1 xkhi 1

3

1x1-khi

4

3x

4

3

-1xkhi 0

)x(F

Tìm xác suất để trong k ết quả của phép thử, X nhận giá tr ị trong khoảng )3

1[0, .

Giải

Theo tính chất của hàm phân bố xác suất

)0(F)3

1(F)

3

1X0(P −=<≤

Vì trong đọan )3

1[0, giá tr ị của hàm F(x) bằng

4

3x

4

3)x(F +=

Do đó )0(F)3

1(F)

3

1X0(P −=<≤ =

4

1

2.4. Hàm mật độ xác suất

Đối vớ i BNN liên tục X có thể dùng hàm phân bố xác suất để mô tả quy luật

phân phối xác suất của nó. Tuy nhiên phươ ng pháp này có hạn chế. Hàm phân bố xác

suất không thể đặc tr ưng đượ c xác suất để BNN liên tục X nhận một giá tr ị xác định.

Vì thế đối vớ i BNN liên tục ngườ i ta thườ ng dùng hàm mật độ.

2.4.1. Định ngh ĩ a:

Hàm mật độ xác suấ t của biế n ng ẫ u nhiên liên t ục X, kí hiệu f(x), là đạo hàm bậc

nhấ t của hàm phân bố xác suấ t của biế n ng ẫ u nhiên đ ó.

f(x) = F’(x) (2.8)

2.4.2. Các tính chất

Tính chấ t 1. Hàm mật độ xác suất luôn không âm.

0)x(f ≥ (2.9)

Tính chấ t 2. Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục X nhận giá tr ị trong khoảng

(a,b) bằng tích phân xác định của hàm mật độ xác suất trong khoảng đó :

∫=<< b

a

dx)x(f ) bXa(P

(2.10)WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



Tính chấ t 3. Hàm phân bố xác suất F(x) của BNNLT X bằng tích phân suy r ộng

của hàm mật độ xác suất trong khoảng (-∞, x):

∫∞−

=x

dx)x(f )x(F (2.11)

Tính chấ t 4. Tích phân suy r ộng trong khoảng ( )∞∞− , của hàm mật độ xác suất

bằng 1.

1dx)x(f =∫+∞

∞− (2.12)

Chú ý: Để hàm số f(x) có thể là hàm mật độ xác suất của BNN liên tục X thì nó

phải thoã mãn hai tính chất cơ bản là tính chất 1 và tính chất 4, tức là:

⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=

∀≥

∫∞+

∞

1dx)x(f

x 0)x(f

-

(2.13)

Ví d ụ 11.

Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X có dạng:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤<

≤

=

1xkhi 1

1x0khi

0xkhi 0

)( 2ax x F

a. Tìm hệ số a

b. Tìm hàm mật độ xác suất f(x)c. Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá tr ị trong khoảng (0,25; 0,75)

Giải

a. X là BNN liên tục nên F(x) là hàm liên tục. Hàm số F(x) liên tục 1x ≠∀

F(x) liên tục tại x = 1

)1(F)x(FLim1x

=⇔+

→

)x(FLim1x −

→

=

2a(1) 1

a 1

⇔ =

⇔ =

b. Từ định ngh ĩ a hàm mật độ xác suất ta có:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤<

≤

==

1xkhi 0

1x0khi 2x

0xkhi 0

)x('F)x(f

c. Theo tính chất của hàm phân bố xác suất

P(0,25 < X < 0,75) = F(0,75) – F(0,25)

= (0,75)2 – (0,25)2 = 0,5WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



Ví d ụ 12 Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡ ππ∉

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ππ∈

=

2;

2- xkhi 0

2;

2-xkhi xcosa

)x(f

a. Tìm hệ số a

b.Tìm hàm phân bố xác suất F(x)

c.Tìm xác xuất để biến ngẫu nhiên X nhận giá tr ị trong khoảng ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ π

4,0 .

Giải

Theo tính chất của hàm mật độ xác suất:

2

1a

1a2xdxcosadx)x(f 2/

2/

=⇒

===∫ ∫+∞

∞−

π

π−

Để tìm hàm phân bố xác suất, ta sử dụng tính chất: ∫∞−

=x

dx)x(f )x(F

Vớ i 0dx0F(x) :2

xx

-

==π−

< ∫∞

Vớ i2

x2

π≤<

π−: F(x) = ( )∫∫

π−

π−

∞−

+=+x

2

2

1xsin2

1xdxcos

2

1dx0

Vớ i2

x π

> : F(x) = 1dx0xdxcos2

1dx0

x

2

2

2

2

=++ ∫∫∫π

π

π−

π−

∞−

Vậy hàm phân bố xác suất của X có dạng

( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

π>

π≤≤

π+

π<

=

2 x 1

2x

2

- 1xsin

2

1

2

- x 0

)x(F

Theo tính chất của hàm phân bố xác suấtWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



( )4

210sin

2

11

4sin

2

1

)0(F)4

(F)4

x0(P

=+−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

π=

−π

=π

<<

2.4.3. Ý ngh ĩ a của hàm mật độ xác suất

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X tại mỗi điểm x cho biết mức độ tậ ptrung xác suất tại điểm đó. Thật vậy, theo định ngh ĩ a của hàm mật độ ta có:

f(x) = F’(x) =x

)xxXx(Plim

x

)x(F)xx(Flim

0x0x ∆

∆+<≤=

∆

−∆+

→∆→∆

Như vậy hàm mật độ xác suất tại điểm x chính là giớ i hạn của xác suất để biến

ngẫu nhiên liên tục X nhận giá tr ị trong khoảng (x, x + ∆x) chia cho độ dài khoảng đó,

tức là giớ i hạn của mật độ xác xuất trung bình trên đoạn (x, x + ∆x) khi ∆x → 0.

§ 3. CÁC THAM SỐ DẶC TR Ư NG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Như đã thấy ở trên, quy luật phân phối xác suất của BNN hoàn toàn xác định

BNN ấy. Như vậy, khi ta đã xác định đượ c quy luật phân phối xác suất của một BNN

thì ta đã nắm đượ c toàn bộ thông tin về BNN đó. Tuy nhiên trong thực tế ta không chỉ cần đến những thông tin đó mà còn phải quan tâm đến những thông tin cô đọng phảnánh những đặc tr ưng quan tr ọng nhất của BNN đượ c nghiên cứu. Những thông tin cô

đọng phản ánh từng phần về BNN đượ c gọi là các tham số đặc tr ư ng.

3.1. Kì vọng

3.1.1. Định ngh ĩ aCho X là biế n ng ẫ u nhiên. Kì vọng toán của BNN X là một số thự c, kí hiệu

E(X), đượ c xác định như sau:

N ế u X là biế n ng ẫ u nhiên r ờ i r ạc có bảng phân phố i xác suấ t

X x1 x2 ... xk ... xn

P p1 p2 ... pk ... pn

thì

∑==

n

1iii px)X(E (2.14)

N ế u X là biế n ng ẫ u nhiên liên t ục có hàm mật độ xác suấ t là f(x) thì

∫= ∞

∞−dx)x(xf )X(E (2.15)

Ví d ụ 13.

Tìm kì vọng toán của BNN

a. X là BNN r ờ i r ạc có bảng phân phối xác suất làWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



b. X là BNN liên tục có hàm mật độ là

[ ]

[ ]⎩⎨⎧

∈

∉=

0,1 xkhi 2

0,1 xkhi 0)(

x x f

Giải

5,18

1.3

8

3.2

8

3.1

8

1.0)X(E.a =+++=

3

2dx0dxx2dx0dx)x(xf )X(E. b

1

1

0

20=∫+∫+∫=∫=

∞

∞−

∞

∞−

3.1.2. Các biến ngẫu nhiên độc lậpĐịnh ngh ĩ a.

Hai biến ngẫu nhiên gọi là độc lậ p vớ i nhau nếu qui luật phân phối xác suất của

BNN này không phụ thuộc gì vào việc BNN kia nhận giá tr ị bằng bao nhiêu.

Tươ ng tự các biến ngẫu nhiên gọi là độc lậ p vớ i nhau nếu các qui luật phân phối

xác suất của một số bất k ỳ các BNN nào không phụ thuộc vào việc BNN còn lại nhận

giá tr ị bằng bao nhiêu.

3.1.3. Các tính chất của kì vọng toán

Tính chấ t 1. Kì vọng toán của một hằng số bằng chính hằng số đó

E(C) = C

Tính chấ t 2. Kì vọng toán của tích giữa một hằng số vớ i một BNN bằng tích giữa

hằng số đó và kì vọng toán của BNN ấy

E(CX) = CE(X) (2.16)

Tính chấ t 3. Kì vọng toán của tổng hai BNN bằng tổng các kì vọng toán thành

phần

E(X + Y) = E(X) + E(Y) (2.17)

H ệ quả . Kì vọng toán của tổng n BNN X1, X2, .. , Xn bằng tổng các kì vọng toán

thành phần.

∑=∑==

n

1ii

n

1ii )X(E)X(E (2.18)

Tính chấ t 4. Kì vọng toán của tích hai BNN độc lậ p bằng tích các kì vọng thành

phần

E(X.Y) = E(X). E(Y) (2.19)

X 0 1 2 3

P8

1

8

3

8

3

8

1

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



H ệ quả . Kì vọng toán của tích n BNN X1, X2, .. , Xn độc lậ p lẫn nhau bằng tích

các kì vọng thành phần

( )∏=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛

∏==

n

1ii

n

1ii XEXE (2.20)

3.1.4. Bản chất và ý ngh ĩ a của kì vọng toán

Giả sử đối vớ i BNN X tiến hành n phép thử trong đó có n1 lần X nhận giá tr ị x1;n2 lần nhận giá tr ị x2; …; nk lần nhận giá tr ị xk . Giá tr ị trung bình của BNN X trong n

phép thử này là

1 1 2 2 k k 1 2 k

1 2 n

1 1 2 2 k k

x n x n ... x n n n nx x x ... x

n n n n

= x f x f ... x f

+ + += = + + +

+ + +

Theo định ngh ĩ a thống kê về xác suất khi ∞→n các tần suất hội tụ theo xác suất

về xác suất tươ ng ứng, do đó vớ i n đủ lớ n ta có thể viết:

)X(Ex

)X(E px... px pxx k k 2211

≈⇔

=+++≈ (2.21)

Vậy kì vọng toán của BNN gần bằng trung bình số học của các giá tr ị quan sát

của biến ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá tr ị trung tâm của phân phối xác suất của BNN.

Ví d ụ 14.

Tung con xúc xắc n lần. Tìm kì vọng của tổng số chấm thu đượ c sau n lần tung.

Giải

Gọi Xi ( n,1i = ) là số chấm thu đượ c ở lần tung thứ i.

Và X là BNN chỉ tổng số chấm thu đượ c sau n lần tung xúc xắc.

Vậy ta có ∑==

n

1iiXX

Theo tính chất của kì vọng toán ta có

E(X) = ∑=∑==

n

1ii

n

1ii )X(E)X(E

Mỗi BNN Xi đều có bảng phân phối xác suất sau:

Do đó ta có: E(Xi) =6

1( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 ) =

2

7

n27)X(E =⇒

X 1 2 3 4 5 6

P6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



3.2. Trung vị

Trung vị, ký hiệu là md là giá tr ị nằm ở chính giữa tậ p hợ p các giá tr ị có thể có

của biến ngẫu nhiên. Nói cách khác đó là giá tr ị chia phân phối của biến ngẫu nhiên

thành hai phần bằng nhau.

Nếu X là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc thì giá tr ị Xi sẽ có trung vị md nếu thoả mãn điềukiện

F(Xi) ≤ 0,5 < F(Xi+1) (2.22)

Còn nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì trung vị md là giá tr ị thoả mãn điều

kiện

∫∞−

dm

dx)x(f = 0,5 (2.23)

3.3. Mốt

Mốt, ký hiệu là m0, là giá tr ị của biến ngẫu nhiên tươ ng ứng vớ i:

- Xác suất lớ n nhất nếu là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc

- Cực đại của hàm mật độ xác suất nếu là biến ngẫu nhiên liên tục.

Trong thục tế có thể gặ p ngẫu nhiên không có giá tr ị Mốt hoặc ngượ c lại nhiềugiá tr ị Mốt cùng một lúc.

Ví d ụ 15.

Tìm trung vị và Mốt của biến ngẫu nhiên có bảng phân phối xác suất như sau:

Giải

Để tìm trung vị tr ướ c hết ta xây dựng hàm phân bố xác suất của X.

F(x) =

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

>

≤<

≤<

≤<

≤<

≤

25xkhi1

24x23khi87,0

23x22khi73,0

22x21khi55,021x20khi3,0

20xkhi0

Từ đó md = 21. Dễ thấy r ằng m0 = 20

3.4. Phươ ng sai

Trong thực tế nhiều khi chỉ xác định k ỳ vọng toán của BNN thì chưa đủ để xác

định BNN đó. Ta còn phải xác định mức độ phân tán của các giá tr ị của BNN xungquanh giá tr ị trung bình của nó nữa. Chẳng hạn khi nghiên cứu BNN là năng suất lúa

của một địa phươ ng nào đó, thì năng suất lúa trung bình (k ỳ vọng toán) mớ i chỉ phản

X 20 21 22 23 24 25

P0,

3

0,

25

0,

18

0,

14

0,

1

0,

03

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



ánh đượ c một khía cạnh của đại lượ ng đó mà thôi. Mức độ biến động năng suất ở các

thửa ruộng khác nhau xung quanh giá tr ị trung bình cũng là một khía cạnh quan tr ọng

cần nghiên cứu.


Phươ ng sai của biế n ng ẫ u nhiên X, kí hiệu V(X), là kì vọng toán của bình

phươ ng sai l ệch của biế n ng ẫ u nhiên so vớ i kì vọng toán của nó.V(X) = E[X-E(X)]

2 = E(X

2 ) – [E(X)]

2 (2.23)

a. Nếu X là BNN r ờ i r ạc thì phươ ng sai đượ c xác định theo công thức

[ ]

[ ]∑ −=

∑ −=

=

=

n

1i

2

i

2

i

n

ii

2

i

)X(E px

p)X(Ex)X(V

(2.24)

b. Nếu X là BNN liên tục thì phươ ng sai đượ c xác định bằng công thức

[ ]

[ ]∫ −=

∫ −=

∞

∞

∞

∞−

-

22

2

)X(Edx)x(f x

x)x(f )X(Ex)X(V

(2.25)

Ví d ụ 16. Tìm phươ ng sai của BNN sau:

a. X là BNN r ờ i r ạc có bảng phân phối xác suất là

b. X là BNN liên tục có hàm mật độ là

[ ]

[ ]⎩⎨⎧

∈

∉=

0,1 xkhi x2

0,1 xkhi 0)x(f

Giải

a. 5,18

1

.38

3

.28

3

.18

1

.0)X(E =+++=

[ ] ( ) 75,05,13)X(E)X(E)X(V

38

1.3

8

3.2

8

3.1

8

1.0)X(E

222

22222

=−=−=⇒

=+++=

b.

3

2dx0dxx2dx0dx)x(xf )X(E

1

1

0

20

=++== ∫∫∫∫ ∞

∞−

∞

∞−

X 0 1 2 3

P81

83

83

81

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



[ ]9

1)X(E)X(E)X(V

2

1dx0xdx2xdx0dx)x(f x)X(E

22

1

1

0

2022

=−=⇒

=++== ∫∫∫∫ ∞

∞−

∞

∞−

Hoặc áp dụng công thức: [ ]∫ −=∞

∞-

22 )X(Edx)x(f x)X(V để tính phươ ng sai V(X)

3.4.2. Các tính chất của phươ ng sai

Tính chấ t 1. Phươ ng sai của một hằng số bằng 0

V(C) = 0 (2.26)

Tính chấ t 2. Phươ ng sai của tích giữa một hằng số và một BNN bằng tích giữa

bình phươ ng hằng số đó và phươ ng sai của BNN ấy.

V(CX) = C2V(X) (2.27)

Tính chấ t 3. Phươ ng sai của tổng hai BNN độc lậ p bằng tổng các phươ ng sai

thành phần

V(X+Y) = V(X) + V(Y) (2.28)

H ệ quả 1. Phươ ng sai của tổng n BNN độc lậ p vớ i nhau bằng tổng các phươ ng

sai thành phần

∑=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ∑

==

n

1ii

n

1ii )X(VXV (2.29)

H ệ quả 2. Phươ ng sai của tổng một hằng số vớ i một BNN bằng phươ ng sai của

BNN đó.

V(C + X) = V(X) (2.30)

H ệ quả 3. Phươ ng sai của hiệu hai BNN độc lậ p bằng tổng các phươ ng sai thành

phần

V(X –Y) = V(X) – V(Y) (2.31)

3.4.3. Bản chất và ý ngh ĩ a của phươ ng sai

Phươ ng sai phản ánh mức độ phân tán của các giá tr ị của BNN xung quanh giá tr ị trung bình của nó là kì vọng toán.

Ví d ụ 17.

Tung con xúc xắc n lần. Tìm phươ ng sai của tổng số chấm thu đượ c sau n lần

tung.

Giải

Tươ ng tự như ví dụ trên ta có:

E(Xi) =2

7;

E( 2

iX ) = ( )691654321

61 222222

=+++++ WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



Suy ra:

V(Xi) =12

35

2

7

6

912

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

Vậy V(X) = n12

35

3.5. Độ lệch tiêu chuẩn

Độ l ệch tiêu chuẩ n của BNN X, kí hiệu xσ là căn bậc hai của phươ ng sai:

)X(Vx =σ (2.32)

Ta thấy r ằng đơ n vị đo của phươ ng sai bằng bình phươ ng đơ n vị đo của BNN. Vì

vậy khi cần phải đánh giá mức độ phân tán của BNN theo đơ n vị đo của nó ngườ i tathườ ng tính độ lệch tiêu chuẩn vì nó có cùng đơ n vị đo vớ i BNN cần nghiên cứu.

3.6. Giá trị tớ i hạn

Đối vớ i BNN liên tục X trong một số tr ườ ng hợ p ngườ i ta còn tìm một loại giá tr ị gọi là giá tr ị t ớ i hạn.

Giá tr ị tớ i hạn mức α của BNN X, ký hiệu làα

x , là giá tr ị của X thỏa mãn điều

kiện: α=> α

)xX(P (2.33)

Như vậy giá tr ị tớ i hạnα

x là giá tr ị sao cho diện tích giớ i hạn bở i tr ục hoành,

đườ ng cong hàm mật độ xác suất và đườ ng thẳng x =α

x bằng α.

f(x)

α

Oα

x x

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chươ ng III

MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

Ở chươ ng này ta sẽ nghiên cứ u một số quy luật phân phố i xác suấ t thông d ụng

nhấ t vớ i các biế n ng ẫ u nhiên r ờ i r ạc và liên t ục. Điề u đ ó làm cho việc phân loại các

biế n ng ẫ u nhiên trong thự c tham số theo các quy luật phân phố i xác suấ t đượ c d ễ

dàng hơ n.

Để làm rõ đặc đ iể m của mỗ i quy luật phân phố i xác suấ t ta sẽ xuấ t phát t ừ các ví

d ụ có tính đ iể n hình cho mỗ i quy luật để làm cơ sở xây d ự ng nhữ ng l ượ c đồ khác

nhau, t ừ đ ó đ i đế n các quy luật phân phố i xác suấ t t ươ ng ứ ng vớ i mỗ i l ượ c đồ.

Giả sử trong bình có N quả cầu trong đ ó có M quả cầu tr ắ ng và N – M quả cầu

đ en. M ỗ i phép thử là việc l ấ y ng ẫ u nhiên t ừ bình ra một quả cầu. Theo nhữ ng cách l ấ y

khác nhau sẽ d ẫ n đế n nhữ ng l ượ c đồ khác nhau và các quy luật phân phố i xác suấ t

khác nhau.

§1. QUY LUẬT KHÔNG - MỘT – A(p)

Giả sử từ bình lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Như vậy trong phép thử này chỉ có2 biến cố có thể xảy ra: hoặc lấy đượ c cầu tr ắng (biến cố A) hoặc lấy đượ c cầu đen(biến cố A không xảy ra hay biến cố A xảy ra). Xác suất để A xảy ra (lấy đượ c cầu

tr ắng) bằng p = N

M. Như vậy xác suất để A xảy ra (lấy đượ c cầu đen) bằng

q = p1 N

M1

N

M N−=−=

−.

Một cách tổng quát, giả sử ta tiến hành một phép thử, trong đó biến cố A có thể xảy ra vớ i xác suất bằng p. Gọi X là số lần xuất hiện biến cố A trong phép thử đó. Như

vậy X là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc vớ i hai giá tr ị có thể có bằng 0 (nếu biến cố khôngxuất hiện) hoặc bằng 1 (nếu biến cố xuất hiện). Hiển nhiên là xác suất để biến ngẫunhiên X nhận một trong hai giá tr ị có thể có nói trên có thể biểu thị bằng công thức:

x1xx q pP −= vớ i x = 0; 1 (3.1)

trong đó q = 1 – p.


Biế n ng ẫ u nhiên r ờ i r ạc X nhận một trong hai giá tr ị có thể có X = 0, 1 vớ i các

xác suấ t t ươ ng ứ ng đượ c tính bằ ng công thứ c (3.1) g ọi là phân phố i theo quy luật

không – một vớ i tham số là p. Quy luật không - một đượ c ký hiệu là A(p).

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Như vậy, bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luậtkhông – một có dạng:

(q = 1 – p)

1.2. Các tham số đặc trư ng của quy luật không - một

Theo bảng phân phối xác suất của X ta có:

E(X) = 0.q + 1.p = p

Như vậy E(X) = p.

Để tìm phươ ng sai, tr ướ c hết ta tìm 2E(X )

p p.1q.0)X(E 222 =+=

Từ đó: pq) p1( p p p)X(V2

=−=−= Như vậy V(X) = pq

Suy ra độ lệch chuẩn pq)X(Vx ==σ

Trong thực tế quy luật không - một thườ ng đượ c dùng để đặc tr ưng cho dấu hiệunghiên cứu định tính có hai phạm trù luân phiên. Chẳng hạn, khi muốn nghiên cứu giớ itính của khách hàng ta có thể đặc tr ưng cho giớ i tính bằng biến ngẫu nhiên vớ i 2 giá tr ị

bằng 0 (Nam) và bằng 1 (Nữ). Lúc đó, xác suất p sẽ đặc tr ưng cho tỷ lệ khách hàng nữ trong tậ p hợ p khách hàng. Nếu dấu hiệu định tính có hơ n 2 phạm trù thì có thể dùng

nhiều biến ngẫu nhiên phân phối “không - một” cùng một lúc.Về mặt lý thuyết quy luật không - một có thể đượ c dùng làm cơ sở để tìm quy

luật phân phối xác suất của các biến ngẫu nhiên khác.

§2. QUY LUẬT NHỊ THỨ C – B(n, p)

Giả sử ta có lượ c đồ Bernoulli, tức là:

- Tiến hành n phép thử độc lậ p,

- Trong mỗi phép thử chỉ có hai tr ườ ng hợ p: biến cố A xuất hiện hoặc biến cố Akhông xuất hiện,

- Xác xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p như vậy xác xuất biếncố A không xuất hiện là q = 1 – p.

Gọi X là “số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lậ p” nói trên thì X là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc vớ i các giá tr ị có thể có X = 0, 1, 2, . . ., n. Khi đó, xác xuất để X nhận những giá tr ị tươ ng ứng là :

xnxxnx q pCP −= vớ i x = 0, 1, 2, . . ., n (3.2)

X 0 1

P q P

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM





Biế n ng ẫ u nhiên r ờ i r ạc X nhận một trong các giá tr ị có thể có là 0, 1, 2, …, n vớ icác xác suấ t t ươ ng ứ ng đượ c tính bằ ng công thứ c (3.2) đượ c g ọi là phân phố i theo qui

luật nhị thứ c vớ i các tham số n và p.

Quy luật nhị thức đượ c kí hiệu là B( n, p).

Như vậy, bảng phân phối xác xuất của biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luậtnhị thức có dạng:

X 0 1 ... x ... n

P n00n q pC 1nx1

n q pC − ... xnxxn q pC − ... 0nn

n q pC

Trong thực tế, đôi khi ta phải tính xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá tr ị

trong khoảng [x, x+h] trong đó h là một số nguyên dươ ng (h ≤ n – x). Lúc đó ta có thể tính xác suất này theo công thức:

hx1xx p.... p p)hxXx(P ++ +++=+≤≤ (3.3)

Trong đó mỗi xác suất thành phần đượ c tính bằng công thức xnxxnx q pCP −=

2.2. Các tham số đặc trư ng của qui luật nhị thứ c

Giả sử biến ngẫu nhiên X phân phối theo qui luật nhị thức vớ i các tham số n và pthì kì vọng toán: E(X) = np

và phươ ng sai: V(X) = npqThật vậy, gọi Xi ( n,1i = ) là số lần xuất hiện biến cố A trong thử thứ i. Lúc đó các

phép thử tiến hành độc lậ p, các biến ngẫu nhiên Xi độc lậ p vớ i nhau và mỗi Xi đều phân phối theo quy luật không - một vớ i tham số là p. Như vậy số lần xuất hiện biếncố A trong n phép thử X bằng:

∑=

=n

1iiXX

Theo tính chất của k ỳ vọng toán và phươ ng sai ta có:

∑∑==

=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ =

n

1ii

n

1ii )X(EXE)X(E

Và ∑∑==

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

n

1ii

n

1ii )X(VXV)X(V

Vì Xi ( n,1i = ) cùng phân phối theo quy luật không - một vớ i tham số p, do đó:

E(Xi) = p, n,1i =

Và V(Xi) = pq

Từ đó: np)X(E)X(En

1ii == ∑

=

; npq)X(V)X(Vn

1ii == ∑

=

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Như vậy độ lệch tiêu chuẩn: npq)X(Vx ==σ

Ví d ụ 1. Một phân xưở ng có 10 máy hoạt động, xác suất để một máy bị hỏng trong mộtca là 0,2.

Tính xác suất để trong ca có không quá 2 máy bị hỏng.

Tính trung bình số máy bị hỏng trong ca.Giải

Gọi X là số máy bị hỏng của một ca, thì X tuân theo qui luật phân phối nhị thứcvớ i n = 10; p = 0,2.

a) Xác suất để trong ca có khôngquá 2 máy bị hỏng là:

[ ]

0,678

8,0.2,0.458,0.2,0.108,0

8,0.2,08,0.2,08,0.2,0282910

82210

91110

100010

=

++=

++=≤ C C C X P

b) Trung bình số máy bị hỏng trong ca:

E(X) = 10*0,2 = 2

Ví d ụ 2. Xác suất để một ngườ i đau bệnh T uống thuốc loại A khỏi bệnh là 0,7. Có 10ngườ i đau bệnh T dùng thuốc A. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số ngườ i khỏi bệnhtrong số 10 trên. Tìm k ỳ vọng, phươ ng sai của biến ngẫu nhiên X.

Giải

Dễ nhận thấy X tuân theo qui luật phân phối nhị thức, vớ i n = 10; p = 0,7. Do đóta có: E(X) = np = 10.0,7 = 7

V(X) = npq = 10.0,7.0,3 = 2,1.

Ngoài k ỳ vọng toán, phươ ng sai và độ lệch chuẩn, trong quy luật nhị thức thamsố Mốt cũng hay đượ c dùng.

Nếu X là biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật nhị thức thì Mốt 0m có thể tìmtr ực tiế p từ bảng phân phối xác suất bằng cách tìm trong số các giá tr ị có thể có của Xgiá tr ị tươ ng ứng vớ i xác suất lớ n nhất. Tuy nhiên, có thể tìm Mốt mà không cần phảixây dựng bảng phân phối xác suất. Nó đượ c xác định bằng công thức sau:

pnpmqnp 0 +≤≤− (3.7)

Thật vậy, vì Mốt là giá tr ị có xác suất lớ n nhất trong phân phối, do đó xác suấttươ ng ứng vớ i giá tr ị 0m phải không nhỏ hơ n xác suất tươ ng ứng vớ i các giá tr ị cạnh

nó là 0m - 1 và 0m + 1. Do đó ta có các bất đẳng thức sau:

1mm 00PP −≥

và 1mm 00PP +≥

Thay các biểu thức của xác suất vào các bất đẳng thức trên theo công thứcBernoulli:

1mn1m1mn

mnmmn

000000 q pCq pC +−−−− ≥ WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Hay:

1mn1m

00

mnm

00

0000 q p)!1m()!1mn(

!nq p

!m)!mn(

!n +−−−

−+−≥

−

Từ đó sau một vài phép biến đổi đơ n giản, ta có:

pnpm0 +≤ Tươ ng tự ta có:

1mn1m1mn

mnmmn

000000 q pCq pC −−++− ≥

Hay:

1mn1m

00

mnm

00

0000 q p)!1m()!1mn(

!nq p

!m)!mn(

!n −−+−

+−−≥

−

Từ đó ta có: qnpm0 −≥

K ết hợ p hai k ết quả vừa thu đượ c ta có công thức xác định Mốt 0m .

Ta chú ý r ằng, vì trong quy luật nhị thức Mốt phải là một giá tr ị nguyên, do đó cóthể xảy ra hai tr ườ ng hợ p: N ế u np + p là một số nguyên thì np – q cũng là một số nguyên, lúc đ ó M ố t sẽ cùng một lúc nhận hai giá tr ị 0m = np + p và 0m = np – q. Còn

nế u np + p là một số thậ p phân thì M ố t sẽ là giá tr ị nguyên nằ m trong khoảng hai số thậ p phân np + p và np - q.

Ví d ụ 3. Xác suất để mỗi hành khách chậm tàu là 0,02. Tìm số khách chậm tàu có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 hành khách.

GiảiBài toán thoả mãn lượ c đồ Bernoulli, do đó nếu gọi X là số hành khách chậm tàu

thì X là biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật nhị thức vớ i n = 855 và p = 0,02. Vậysố hành khách chậm tàu có khả năng xảy ra nhiều nhất chính là giá tr ị Mốt. Theo côngthức Mốt ta có:

pnpmqnp 0 +≤≤−

855.0,02 – 0,98 ≤ 0m ≤ 855.0,02 + 0,02

16,12 ≤ 0m ≤ 17,12

Vậy 0m = 17, tức là số hành khách chậm tàu có khả năng xảy ra nhiều nhất là 17.

Như đã trình bày ở trên, mối liên hệ giữa quy luật nhị thức và quy luật không -một đượ c thể hiện như sau: Nếu n21 XXX ..., , , là các biến ngẫu nhiên độc lậ p lẫn nhauvà cùng phân phối theo quy luật không - một vớ i tham số là p thì tổng của các biếnngẫu nhiên đó sẽ là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức vớ i tham số là n và p.

Mặt khác, nếu 21 XX , là các biến ngẫu nhiên độc lậ p và cùng phân phối nhị thứcvớ i các tham số tươ ng ứng là pn1 , và pn 2 , thì tổng 21 XXX += cũng sẽ phân phốinhị thức vớ i tham số 21 nn + và p (xem thêm mục 9 chươ ng IV - [1]).WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




2.3. Quy luật phân phối xác suất của tần suất

Trong thực tế nhiều khi ngườ i ta quan tâm đến tỷ lệ xuất hiện biến cố A tronglượ c đồ Bernoulli hơ n là số lần xuất hiện biến cố đó. Để làm điều đó, ta biến đổi biếnngẫu nhiên X thành tần suất xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lậ p qua phépchia:

nXf =

Chú ý r ằng việc chia biến ngẫu nhiên cho một hằng số không làm thay đổi phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên đó mà chỉ dẫn đến sự thay đổi của các tham số đặctr ưng. Vì vậy, tần suất f vẫn phân phối theo quy luật nhị thức vớ i tham số số là n và p.Lúc đó bảng phân phối xác suất của f có dạng:

f 0

n

1 …

n

x …

1

P n00n q pC 1n11

n q pC − … xnxxn q pC − … 0nn

n q pC

Lúc đó, các tham số đặc tr ưng của biến ngẫu nhiên f như sau:

pn

np)X(E

n

1

n

XE)f (E ===⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

Vậy E(f) = p (3.8)

và

n

pq

n

npq)X(V

n

1

n

XV)f (V

22 ===⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ = (3.9)

Từ đó:n

pq)f (Vf ==σ (3.10)

Quy luật phân phối xác suất của tần suất thườ ng đượ c gọi là quy luật nhị thứctheo tỷ lệ.

§3. QUY LUẬT POISSON – )(P λ

Giả sử tiến hành n phép thử độc lậ p, trong mỗi phép thử xác suất để biến cố Axảy ra đều bằng p và không xảy ra đều bằng q = 1 – p. Lúc đó, nếu gọi X là số lần xuấthiện biến cố A trong n phép thử đó thì X phân phối theo quy luật nhị thức và xác suấtđể X nhận một trong các giá tr ị có thể có của nó đượ c tính bằng công thức Bernoulli.Tuy nhiên, nếu số phép thử n quá lớ n mà xác suất p lại quá nhỏ thì việc tính toán sẽ gặ p nhiều khó khăn. Vì vậy, trong tr ườ ng hợ p này (n lớ n, p nhỏ) ngườ i ta sử dụngcông thức xấ p xỉ Poisson.

Như vậy, trong một số r ất lớ n các phép thử độc lậ p mà xác suất xuất hiện biến cố A trong mỗi phép thử lại r ất nhỏ ta phải tìm xác suất để biến cố A xuất hiện đúng x

lần.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Giả sử tích np luôn luôn bằng một giá tr ị không đổi np = λ , lúc đó công thứcBernoulli có thể viết như sau:

[ ] xnxx q p

!x

)1x(n)...2n)(1n(nP −−−−−

=

Vì np = λ nên p = n

λ

do đó:

[ ]

xnx

xnx

x

n1

!xn

1x1...

n

21

n

11

n1

n!x

)1x(n)...2n)(1n(nP

−

−

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ −

λ ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ −⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ −−−−=

Vì n lớ n, do đó thay cho xP ta tìm xn

Plim∞→

. Lúc đó, mỗi thừa số ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −

n

i1 vớ i

1x,1i −= đều tiến tớ i 1, còn giớ i hạnλ −

−

∞→=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ λ − e

n1lim

xn

n

Do đó: λ −

∞→

λ = e

!nPlim

x

xn

Như vậy là trong tr ườ ng hợ p số phép thử n r ất lớ n, xác suất p r ất nhỏ và tích np =λ không đổi, các xác suất xP của công thức Bernoulli có thể thay thế bằng công thứcxấ p xỉ Poisson sau đây:

...,2,1,0xe!x

Px

x =λ

= λ − (3.11)

Trong thực tế, công thức Poisson có thể dùng thay cho công thức Bernoulli nếuthoả mãn điều kiện n ≥ 20 và p ≤ 0,1.

Một cách tổng quát quy luật Poisson đượ c định ngh ĩ a như sau:


Biế n ng ẫ u nhiên r ờ i r ạc X nhận một trong các giá tr ị có thể có X = 0, 1, … vớ icác xác suấ t t ươ ng ứ ng đượ c tính bằ ng công thứ c (3.11) g ọi là phân phố i theo quy luật

Poisson vớ i tham số là λ .

Quy luật Poisson đượ c ký hiệu là )(P λ .

Như vậy, bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X phân phối theo quy luậtPoisson có dạng:

X 0 1 … x …

P!0

e0λ λ −

!1e

1λ λ − …!x

exλ λ − …

Nếu phải tìm xác suất để trong n phép thử biến ngẫu nhiên X phân phối theo quyluật Poisson nhận giá tr ị trong khoảng [x, x + h] trong đó h là một số nguyên dươ ng vàh ≤ n – x. Lúc đó ta có thể tính xác suất này theo công thức:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




hx1xx P...PP)hxXx(P ++ +++=+≤≤ (3.12)

trong đó mỗi xác suất thành phần đượ c tính bằng công thức (3.11).

Giữa các xác suất xP và 1xP − có mối liên hệ truy chứng sau đây:

1xx Px

P −

λ = (3.13)

Thật vậy, xét tỷ số:

x

)!1x(

e!x

e

P

P1x

x

1x

x λ =

−

λ

λ

=−λ −

λ −

−

Từ đó suy ra (3.13).

Ví d ụ 1. Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm là 4%. Ngườ i ta kiểm tra 150 sản phẩm của lô

hàng đó và nếu trong đó có không quá 2 phế phẩm thì lô hàng đượ c chấ p nhận. Tìmxác suất để lô hàng đượ c chấ p nhận.

Giải

Bài toán thỏa mãn lượ c đồ Bernoulli song vì n = 150 > 20 và p = 0,04 < 0,1. Dođó nếu gọi X là số phế phẩm của lô hàng thì X là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc và có thể coinhư phân phối theo quy luật Poisson vớ i tham số là λ = np = 150.0,04 = 6. Xác suất để lô hàng đượ c chấ p nhận chính là xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá tr ị trongkhoảng [0, 2]. Theo công thức (3.12) ta có:

210

PPP)2X0(P ++=≤≤

6600

0 )71,2()71,2(!0

1e

!0P −−λ − ==

λ =

6611

1 )71,2()71,2(!1

1e

!1P −−λ − ==

λ =

6622

2 )71,2(2

1)71,2(

!2

1e

!2P −−λ − ==

λ =

Do đó: 0063,071,2

5,2)71,2(

2

111)2X0(P

6

6 ≈=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡++=≤≤ −

3.2. Các tham số đặc trư ng của quy luật Poisson

Giả sử X phân phối theo quy luật Poisson. Ta sẽ chứng minh r ằng:

E(X) = λ (3.14)

Thật vậy, theo định ngh ĩ a của k ỳ vọng toán, ta có:

∑∑∑∑ ∞

=

−λ −

∞

=

λ −∞

=

λ −∞

= −

λ λ =

−

λ =

λ ==

1x

1x

1x

x

0x

x

0xx )!1x(

e)!1x(

e!x

xexP)X(E

Song ta lại có: λ ∞

=

−=

−λ ∑ e

)!1x(1x

1x do đó E(X) = λ =λ λ λ − ee WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Bằng cách tính tươ ng tự có thể tìm đượ c λ +λ = 22 )X(E .

Do đó: λ =λ −λ +λ = 22)X(V

Vậy V(X) = λ (3.15)

Như vậy là trong quy luật Poisson cả k ỳ vọng toán và phươ ng sai đều bằng λ . Đó

là tính chất đặc biệt của quy luật Poisson.Bằng cách so sánh các xác suất như đã làm trong quy luật nhị thức có thể chứng

minh r ằng nếu X phân phối theo quy luật Poisson thì Mốt đượ c xác định bằng côngthức:

λ ≤≤−λ 0m1 (3.16)

Ở đây cũng có thể xảy ra hai tr ườ ng hợ p: N ế u λ là một số nguyên thì M ố t sẽ cùng một lúc nhận hai giá tr ị nguyên là 0m = λ - 1 và 0m = λ . Còn nế u λ là một số

thậ p phân thì M ố t sẽ là giá tr ị nguyên nằ m trong khoảng hai số thậ p phân λ và λ - 1.

Ví d ụ 2. Xác suất để trong khi vận chuyển mỗi chai r ượ u bị vỡ là 0,001. Ngườ i ta tiếnhành vận chuyển 2000 chai r ượ u đến cửa hàng.

a. Tìm số chai vỡ trung bình khi vận chuyển.

b. Tìm số chai vỡ có khả năng nhiều nhất khi vận chuyển.

Giải

Bài toán thoả mãn lượ c đồ Bernoulli. Vì n = 2000 khá lớ n và p = 0,001 khá nhỏ và tích np = 2000.0,001 = 2 không đổi.

Do đó nếu gọi X là số chai r ượ u bị vỡ khi vận chuyển thì X là biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật Poisson vớ i tham số là λ = np = 2.

Do đó:

a. Số chai vỡ trung bình chính là k ỳ vọng toán của X. Ta có:

E(X) = λ = 2 (chai)

b. Số chai vỡ có khả năng xảy ra nhiều nhất là giá tr ị Mốt 0m .

Ta có λ ≤≤−λ 0m1 . Vì λ = 2 nên Mốt sẽ nhận 2 giá tr ị là 0m = 2 và 0m = 1. Như

vậy số chai vỡ có khả năng nhiều nhất là 1 và 2 chai.

Chú ý r ằng nếu 21 X,X là các biến ngẫu nhiên độc lậ p và cùng phân phối theo quy

luật Poisson vớ i tham số tươ ng ứng là 1λ và 2λ thì tổng 21 XXX += cũng sẽ phân

phối Poisson vớ i tham số là 21 λ +λ (xem thêm mục 9 chươ ng IV-[1]).

Quy luật Poisson có ứng dụng r ộng rãi trong nhiều l ĩ nh vực thực tế như kiểm trachất lượ ng sản phẩm, lý thuyết phục vụ công cộng, lý thuyết quản lý dự tr ữ v.v…Trong lý thuyết phục vụ công cộng, ngườ i ta đề cậ p đến các hệ thống phục vụ dòngcác yêu cầu đến như dòng ngườ i vào cửa mậu dịch, dòng các con tàu đến cảng chờ bốcxế p, dòng xe ôtô vào một xưở ng sửa chữa, dòng khách vào một cửa hàng cắt, sấy tóc

v.v…Trong nhiều tr ườ ng hợ p dòng các yêu cầu đó thườ ng là dòng tối giãn tức là thoả

mãn các điều kiện dừng, không hậu quả và đơ n nhất. Trong những dòng tối giãn như WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




vậy số yêu cầu đến hệ thống trong một khoảng thờ i gian nào đó thườ ng phân phối theoquy luật Poisson, do đó ta có thể đánh giá đượ c các tính chất của những dòng yêu cầunày, từ đó đưa ra những phươ ng thức tổ chức hệ thống để đạt hiệu quả kinh tế và k ỹ thuật cao nhất.

§4. QUY LUẬT PHÂN PHỐI CHUẨN - ),( N 2σµ


Biế n ng ẫ u nhiên liên t ục X nhận các giá tr ị trong khoảng ),( ∞+−∞ g ọi là phân

phố i theo quy luật chuẩ n vớ i các tham số µ và 2σ , nế u hàm mật độ xác suấ t của nó có

d ạng:

2

2

2

)x(

e

2

1)x(f σ

µ−−

πσ

= (3.17)

Nếu tiến hành khảo sát hàm số trên và vẽ đồ thị của nó ta sẽ thu đượ c các k ết quả sau đây:

a. Hàm số xác định trên toàn tr ục Ox

b. Vớ i mọi giá tr ị của x hàm số luôn luôn dươ ng, như vậy, đồ thị của nó luônnằm cao hơ n tr ục Ox

c. Khi ±∞→ x thì f(x) → 0 tức là tr ục Ox là đườ ng tiệm cận ngang

d. Ta tìm đạo hàm bậc nhất

2

2

2

)x(

3e

2

x)x('f σ

µ−−

πσ

µ−−=

Dễ dàng thấy r ằng µ== xkhi0)x('f ; µ<> xkhi0)x('f , µ>< xkhi0)x('f .

Như vậy khi x = µ hàm số có cực đại bằngπσ 2

1

e. Hiệu x - µ trong biểu thức của hàm f(x) nằm trong dạng bình phươ ng, tức làhàm số đối xứng qua đườ ng thẳng x = µ.

f. Ta tìm điểm uốn của hàm. Đạo hàm bậc hai

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

σ

µ−−

πσ−= σ

µ−−

2

22

)x(

3

)x(1e

2

1)x(''f

2

2

g. Dễ dàng thấy r ằng khi x = σ+µ và x = σ−µ đạo hàm bậc hai bằng 0 và đi

qua hai điểm đó nó đổi dấu (tại cả hai điểm đó hàm số đều bằnge2

1

πσ).

Như vậy các điểm:

⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

πσσ−µ

e21, và ⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

πσσ+µ

e21, là các điểm uốn.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Vậy đồ thị của hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn có dạng như sau(hình 3.1) (xem trang sau)

Hai tham số µ và σ có ý ngh ĩ a r ất quan tr ọng trong phân phối chuẩn (bản chấtcủa nó sẽ đượ c trình bày về sau). Khi µ và σ thay đổi, dạng đồ thị của hàm mật độ xácsuất f(x) cũng thay đổi như sau:

- Khi µ thay đổ i thì d ạng của đườ ng cong f(x) không thay đổ i song nó sẽ chuyể nd ịch sang phải hoặc sang trái theo tr ục Ox. Khi µ t ăng lên thì đồ thị sẽ d ịch sang phải,

còn khi µ giảm thì đồ thị sẽ d ịch sang trái.

- Khi σ thay đổ i thì d ạng của đồ thị sẽ thay đổ i theo. N ế u σ t ăng lên thì đồ thị sẽ thấ p xuố ng và phình ra, còn khi σ giảm thì đồ thị sẽ cao và nhọn thêm.

Trên hình 3.2 ta minh họa đồ thị f(x) vớ i ba giá tr ị khác nhau của σ .

µµ−δ µ+δ x

f(x)

Hình 3.1. Đồ thị hàm f(x) của phân phối chuẩn

f(x)

xµ

Hình 3.2. Sự thay đổi của f(x) theo σ

Theo tính chất của hàm mật độ xác suất, ta có hàm phân bố của biến ngẫu nhiên

X phân phối theo quy luật chuẩn đượ c xác định bằng biểu thức:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




∫∞−

σ

µ−−

πσ=

x

2

)x(

dxe2

1)x(F

2

2

4.2. Các tham số đặc trư ng của quy luật chuẩn

Ta sẽ chứng minh r ằng trong quy luật chuẩn thì µ chính là k ỳ vọng toán còn σ

chính là độ lệch chuẩn của X. Thật vậy, theo định ngh ĩ a k ỳ vọng toán của biến ngẫunhiên liên tục ta có:

∫∫+∞

∞−

σ

µ−−

+∞

∞− πσ== dxxe

2

1dx)x(xf )X(E

2

2

2

)x(

Ta thực hiện phép đổi biến số: z =σ

µ−x

Từ đó x = µ+σz , dx = dzσ . Chú ý r ằng khi đổi biến các cận lấy tích phân khôngthay đổi, ta có:

∫∫∫+∞

∞−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

−

π

µ+σ

π=µ+σ

π= dze

2dzze

2

1dze)z(

2

1)X(E 2

z

2

z

2

z 222

Tích phân thứ nhất bằng không do hàm dướ i dấu tích phân là hàm lẻ mà cận lấy

tích phân lại đối xứng. Còn tích phân thứ hai bằng: )Poisson phântích(2dze 2

z2

π=∫+∞

∞−

−

Do đó: E(X) = µ (3.18)

Theo định ngh ĩ a phươ ng sai của biến ngẫu nhiên liên tục và do E(X) = µ ta có:

∫+∞

∞−

σ

µ−−

µ−πσ

= dxe)x(2

1)X(V

2

2

2

)x(2

Ta thực hiện phép đổi biến số z =σ

µ−x, từ đó σ=µ− zx , dx = dzσ . Chú ý r ằng

cận lấy tích phân không thay đổi, ta có:

∫+∞

∞−

−

π

σ= dzez

2)X(V 2

z2

22

Lấy tích phân từng phần bằng cách đặt u = z, dzzedv 2

z2

−= ta tìm đượ c V(X) = 2σ

Do đó: σ==σ )X(Vx (3.19)

Như vậy k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn là E(X) = µ vàV(X) = 2σ . Phân phối chuẩn đượ c ký hiệu N ),( 2σµ .

Có liên quan mật thiết vớ i biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn là một phân phốikhác gọi là phân phối chuẩn hóa.

Giả sử biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn có k ỳ vọng toán bằng µ và độ lệch

chuẩn bằng σ. Xét biến ngẫu nhiên :

σ

µ−=

XU

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM





Biế n ng ẫ u nhiên U nhận các giá tr ị trong khoảng ),( ∞+−∞ g ọi là tuân theo quy

luật phân phố i chuẩ n hóa nế u hàm mật độ xác suấ t của nó có d ạng:

2

u2

e

2

1)u(

−

π

=ϕ (3.20)

u10-1

Hình 3.3. Đồ thị của hàm )u(ϕ

Đồ thị của hàm )u(ϕ có dạng như hình vẽ.

Đặc điểm của đồ thị này là nó lấy tr ục tung làm tr ục đối xứng. Các giá tr ị củahàm )u(ϕ đượ c tính sẵn thành bảng (Phụ lục 1).

Hàm phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên U phân phối chuẩn hóa có dạng:

∫∞−

−

π=Φ

u

2

u

due2

1)u(

2

Ta tìm các tham số đặc tr ưng của biến ngẫu nhiên U phân phối chuẩn hóa:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

σ

µ−=

XE)U(E

Theo tính chất của k ỳ vọng toán ta có:

])X(E[1

)X(E1

)U(E µ−σ=µ−σ=

Song E(X) = µ, do đó E(U) = 0.

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

σ

µ−=

XV)U(V

Cũng theo tính chất của phươ ng sai ta có:

)X(V1

)X(V1

)U(V22 σ

=µ−σ

=

Song V(X) = 2σ , do đó V(U) = 1.Phân phối chuẩn hóa đượ c ký hiệu là N(0, 1).

)u(ϕ

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ngoài các tham số đặc tr ưng là k ỳ vọng toán µ và phươ ng sai 2σ , trong phân phối chuẩn có một tham số khác có nhiều ứng dụng trong thực tế, đó là giá tr ị tớ i hạnchuẩn.


Giá tr ị t ớ i hạn chuẩ n mứ c mứ c α , ký hiệu là uα , là giá tr ị của biế n ng ẫ u nhiên U

có phân phố i chuẩ n hóa thỏa mãn đ iề u kiện P(U > uα ) = α .

Vì U chuẩn hóa nên theo (3.20) ta có hàm mật độ của U là:

ϕ(u) = 2

u2

e2

1 −

π

Theo tính chất hàm mật độ thì

P(U > uα) = ∫+∞

α

ϕu

du)u(

Do đó: P(U > uα) = ∫+∞

−

απ u

2

u2

e2

1 = α.

Cho tr ướ c α, dựa vào biểu thức trên ngườ i ta tính đượ c uα và ngượ c lại.

Các giá tr ị của uα đượ c tính sẵn thành bảng (Phụ lục 3).

Trên đồ thị giá tr ị tớ i hạn chuẩn uα là giá tr ị sao cho diện tích giớ i hạn bở i đườ ngcong phân phối chuẩn hóa, tr ục Ou và đườ ng thẳng u = uα bằng α .

u0 Hình 3.4. Giá trị tớ i hạn chuẩn αu

Từ hình vẽ ta thấy ngay giá tr ị tớ i hạn chuẩn có tính chất sau đây:

αα− −= uu1

Sau đây ta sẽ xây dựng một số công thức có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán thực tế.

4.5. Công thứ c tính xác xuất để biến ngẫu nhiên X phân phối chuẩn nhận giá trị

trong khoảng (a, b)Ta biết r ằng nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác xuất là f(x) thì xác

xuất để X nhận giá tr ị trong khoảng (a, b) sẽ đượ c tính theo công thức

αuα−1u

)u(ϕ

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




a. Tìm tỷ lệ nam tr ưở ng thành có tầm vóc trên 180cm

b. Tìm tỷ lệ nam tr ưở ng thành có chiều cao từ 158cm đến 175cm

c. Những ngườ i có chiều cao dướ i 155cm gọi là bị lùn. Tính xác suất để trong4 ngườ i bất k ỳ thì có ít nhất 1 ngườ i bị lùn.

GiảiGọi X là biến ngẫu nhiên chỉ chiều cao của nam giớ i khi tr ưở ng thành. Theo giả

thiết X có phân phối chuẩn vớ i 5;165 =σ=µ .

a. Tỷ lệ nam tr ưở ng thành có tầm vóc trên 180cm là:

0 0 0

180 165P(X 180) ( ) 0,5 (3)

5

0,5 0, 4987 0,0013

−⎛ ⎞> = Φ +∞ − Φ = − Φ⎜ ⎟

⎝ ⎠

= − =

b. Tỷ lệ nam tr ưở ng thành có chiều cao từ 158cm đến 175cm là:

8964,04192,04772,0

)4,1()2()4,1()2(

5

165158

5

165175)170X158(P

0000

00

=+=

Φ+Φ=−Φ−Φ=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ=<<

c. Xác suất để một ngườ i là bị lùn:

0228,05,04772,0

5,0)2()(5

165155)155X(P 000

=+−=

+Φ−=−∞Φ−⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ=<

Gọi Y là số ngườ i bị lùn trong số 4 ngườ i bất k ỳ (các giá tr ị có thể có của Y = 0,

1, 2, 3, 4)

Xác suất để trong 4 ngườ i bất k ỳ có ít nhất 1 ngườ i bị lùn là:

0881,0

9772,01

9772,0.0228,0C1

)0Y(P1)1Y(P1)1Y(P

4

4004

≈

−=

−=

=−=<−=≥

Ví d ụ 2. Một nhà sản xuất cần mua một loại gioăng cao su có độ dày từ 0,118cm đến0,122cm. Có hai cửa hàng cùng bán loại gioăng này vớ i độ dày là các biến ngẫu nhiên

phân phối chuẩn vớ i các đặc tr ưng đượ c cho trong bảng sau:

Cửa hàng Độ dày trung bình Độ lệch chuẩn Giá bánA 0,12 0,001 3 USD/hộ p/1000chiếcB 0,12 0,0015 2,6 USD/hộ p/1000chiếc

Hỏi nhà sản xuất nên mua gioăng của cửa hàng nào?

Giải

Để quyết định nên mua gioăng của cửa hàng nào thì tr ướ c hết phải xác định đượ ctỷ lệ gioăng đáp ứng đượ c yêu cầu của nhà sản xuất trong mỗi hộ p sản phẩm của haicửa hàng. Gọi AX , BX tươ ng ứng là độ dày của gioăng do cửa hàng A và B bán. Theo

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




giả thiết thì AX và BX là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Vì vậy tỷ lệ gioăngdùng đượ c của hai cửa hàng tươ ng ứng là:

9544,0)2(2

001,0

12,0118,0

001,0

12,0122,0

)122,0X118,0(P)122,0X118,0(P

0

00

AA

=Φ=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ=

<<=≤≤

8164,0)33,1(2

0015,0

12,0118,0

0015,0

12,0122,0

)122,0X118,0(P)122,0X118,0(P

0

00

BB

=Φ=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Φ=

<<=≤≤

Sau cùng ta cần biết giá bán đối vớ i mỗi chiếc gioăng dùng đượ c của mỗi cửa

hàng. Giá bán đối vớ i mỗi chiếc gioăng dùng đượ c của cửa hàng A là4,954

3= 0,00314

(USD) và của cửa hàng B là4,816

6,2= 0,00318 (USD).

Vậy nhà sản xuất nên mua gioăng của cửa hàng A.

4.6. Xác xuất của sự sai lệch giữ a biến ngẫu nhiên và k ỳ vọng toán của nó

Trong thực tế nhiều khi ta phải tính xác suất để biến ngẫu nhiên X phân phốichuẩn nhận giá tr ị sai lệch so vớ i k ỳ vọng toán của nó về giá tr ị tuyệt đối nhỏ hơ n mộtsố dươ ng cho tr ướ c, tức là phải tìm xác suất để xảy ra bất đẳng thức µ−X < ε.

Ta thay bất đẳng thức trên bằng bất đẳng thức kép tươ ng đươ ng vớ i nó:µ - ε < X < µ + ε

Sử dụng công thức (3.21) ta có:

( )

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

σ

εΦ=

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

σ

εΦ+⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

σ

εΦ=⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

σ

ε−Φ−⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

σ

εΦ=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

σ

µ−ε−µΦ−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

σ

µ−ε+µΦ=

ε+µ<<ε−µ=ε<µ−

0

0000

00

2

)X(PXP

Vậy ta có công thức:

( ) ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

σ

εΦ=ε<µ− 02XP (3.22)

Ví d ụ 3. Chiều dài của chi tiết máy do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên

phân phối chuẩn vớ i µ = 20cm và σ = 0,2cm. Chi tiết đượ c coi là đạt tiêu chuẩn nếuchiều dài thực tế của nó sai lệch so vớ i chiều dài trung bình không quá 0,3cm.

a. Tìm tỷ lệ chi tiết máy đạt tiêu chuẩn.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




µ+2σ µ+3σµ−3σ µ−2σ µ

f(x)

x

95,44%

99,73%

Hình 3.5. Quy tắc hai xích ma và ba xích ma

Trong thực tế quy tắc hai xích ma và ba xích ma đượ c áp dụng như sau: Nếu quyluật phân phối xác xuất của biến ngẫu nhiên đượ c nghiên cứu chưa biết, song nếu nóthỏa mãn điều kiện hai xích ma, ba xích ma thì có thể xem như biến ngẫu nhiên đó

phân phối chuẩn.

Mặt khác nếu biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn thì 95,44% các giá tr ị của nó sẽ nằm trong khoảng (µ - 2σ, µ + 2σ) còn hầu như toàn bộ giá tr ị của nó sẽ nằm trongkhoảng (µ - 3σ, µ + 3σ).

4.8. Phân phối xác suất của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo cùng mộtquy luật.

Giả sử 21 X,X là các biến ngẫu nhiên độc lậ p. 1X phân phối theo quy luật chuẩn

vớ i k ỳ vọng toán 1µ , phươ ng sai 21σ còn 2X cũng tuân theo quy luật chuẩn vớ i k ỳ

vọng toán 2µ , phươ ng sai 22σ . Lúc đó tổng của chúng là biến ngẫu nhiên 21 XXX +=

cũng phân phối theo quy luật chuẩn vớ i k ỳ vọng toán 21 µ+µ , phươ ng sai 22

21 σ+σ (xem

thêm mục §9 chươ ng IV - [1]). Tính chất trên cũng có thể mở r ộng cho một số bất k ỳ các biến ngẫu nhiên độc lậ p lẫn nhau và cùng phân phối chuẩn.

Mặt khác n21 X...,,X,X là các biến ngẫu nhiên độc lậ p lẫn nhau và cùng phân phối theo một quy luật phân phối xác suất nào đó (không nhất thiết là quy luật chuẩn)

vớ i các k ỳ vọng toán )X(E...,,)X(E,)X(E n21 và các phươ ng sai V(X1), V(X2),…,

V(Xn) đã biết thì biến ngẫu nhiên ∑=

=n

1iiXX sẽ phân phối xấ p xỉ chuẩn vớ i

∑=

=n

1ii )X(E)X(E và ∑

=

=n

1ii )X(V)X(V khi n khá lớ n (n > 30).

Tính chất trên thườ ng đượ c gọi là định lý giớ i hạn trung tâm của Liapunố p (xemthêm mục §4 chươ ng V - [1]).

4.9. Sự hội tụ của quy luật nhị thứ c và quy luật Poisson về quy luật chuẩn

Khi sử dụng quy luật nhị thức, nếu n khá lớ n thì việc tính toán theo công thứcBernoulli sẽ gặ p khó khăn. Lúc đó nếu p nhỏ đến mức np ≈ npq thì có thể dùng quy

)u(ϕ

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




luật Poisson thay thế cho quy luật nhị thức. Song nếu p lại không nhỏ (p > 0,1) thìkhông thể dùng quy luật Poisson để thay thế đượ c. Lúc đó có thể dùng quy luật chuẩnđể thay thế cho quy luật nhị thức.

Trong thực tế quy luật chuẩn có thể thay thế cho quy luật nhị thức nếu thỏa mãn

đồng thờ i hai điều kiện là n > 5 và 3,0n

1

p

p1

p1

p<

−−

−

Lúc đó biến ngẫu nhiên X phân phối nhị thức có thể coi như xấ p xỉ phân phốichuẩn vớ i k ỳ vọng toán np=µ và phươ ng sai npq2 =σ .

Từ đó⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −ϕ≈== −

npq

npx

npq

1q pC)xX(P xnxx

n (3.25)

Công thức (3.25) đượ c gọi là định lý địa phươ ng Laplace.

Mặt khác

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −Φ−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ −+Φ≈+++=+≤≤ ++

npq

npx

npq

nphxP...PP)hxXx(P 00hx1xx (3.26)

Công thức (3.26) đượ c gọi là định lý tích phân Laplace (xem thêm mục §4chươ ng V - [1]).

Ví d ụ 4. Xác suất để sản phẩm sau khi sản xuất không đượ c kiểm tra chất lượ ng bằng0,4. Tìm xác suất để trong 600 sản phẩm đượ c sản xuất ra có:

a. 260 sản phẩm không đượ c kiểm tra chất lượ ng b. Có từ 100 đến 200 sản phẩm không đượ c kiểm tra chất lượ ng.

Giải

Bài toán thỏa mãn lượ c đồ Bernoulli, do đó nếu gọi X là số sản phẩm không đượ ckiểm tra chất lượ ng thì X phân phối theo quy luật nhị thức vớ i hai tham số n = 600 và

p = 0,4. Song vì n > 5 và

n

1

p

p1

p1

p −−

− = 3,00167,0

600

1

4,0

4,01

4,01

4,0<≈

−−

−

Nên có thể coi X ~ )144npq,240np( N 2 ==σ==µ .

a. Ta có:

0082,00989,012

1)67,1(

12

1

6,0.4,0.600

240260

6,0.4,0.600

1)260X(P

≈=ϕ≈

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −ϕ≈=

0 0

0 0

200 600.0,4 100 600.0,4

b. P(100 X 200) 600.0,4.0,6 600.0,4.0,6

( 3,33) ( 11,67) 0,4988 0,5 0,0012

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− −≤ ≤ ≈ Φ − Φ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≈ Φ − − Φ − ≈ − + =

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Đối vớ i quy luật Poisson thì quá trình hội tụ của nó về quy luật chuẩn sẽ diễn rakhi λ > 20. Vì vậy nếu X phân phối Poisson song λ > 20 thì có thể xem X phân phốichuẩn vớ i λ =µ và λ =σ2 .

4.10. Ứ ng dụng của quy luật chuẩn

Quy luật phân phối chuẩn là quy luật phân phối xác suất đượ c áp dụng r ộng rãitrong thực tế. Trong nhiều l ĩ nh vực của khoa học và đờ i sống ta đều gặ p các biến ngẫunhiên phân phối chuẩn. Lý do của sự phổ biến đó không những đã đượ c giải thíchtrong định lý giớ i hạn trung tâm như đã xét ở trên mà còn từ hệ quả của định lý đó:

N ế u biế n ng ẫ u nhiên X là t ổ ng của một số l ớ n các biế n ng ẫ u nhiên độc l ậ p và giá tr ị của mỗ i biế n chỉ chiế m giá tr ị r ấ t nhỏ trong t ổ ng đ ó thì X sẽ có phân phố i xấ p xỉ chuẩ n. Trong thực tế ta gặ p chính xác các biến ngẫu nhiên như vậy. Chẳng hạn trongcông nghiệ p ngườ i ta đã xác định đượ c r ằng kích thướ c của các chi tiết do các nhà máysản xuất ra sẽ phân phối chuẩn nếu quá trình sản xuất diễn ra bình thườ ng. Trong nôngnghiệ p năng suất của một loại cây tr ồng tại các thửa ruộng khác nhau cũng phân phốichuẩn. Năng suất lao động của các công nhân có cùng tay nghề và cùng làm một côngviệc như nhau cũng phân phối chuẩn. Nhu cầu về các loại hàng hoá khác nhau cũng

phân phối chuẩn v.v… Ngườ i ta ghi nhận r ằng các năng lực về trí tuệ và thể lực conngườ i cũng phân phối theo quy luật chuẩn. Thậm chí cả một số chỉ tiêu về sinh lý củanhững ngườ i cùng giớ i (chẳng hạn chiều cao, vòng ngực, chiều dài cánh tay v.v…)cũng phân phối theo quy luật chuẩn. Sự nhận biết này cho phép lậ p k ế hoạch sản xuấtquần áo may sẵn, sản xuất hàng loạt sao cho đáp ứng một cách hợ p lý nhất kích cỡ củangườ i mua, tránh tình tr ạng thừa, thiếu do không vừa kích cỡ v.v…. Tóm lại, khó cóthể liệt kê đượ c các hiện tượ ng và l ĩ nh vực trong đó có thể áp dụng quy luật phân phốichuẩn.

§5. QUY LUẬT “KHI BÌNH PHƯƠ NG” – χ 2(n)

Biến ngẫu nhiên liên tục 2χ gọi là phân phối theo quy luật “khi bình phươ ng” vớ in bậc tự do nếu hàm mật độ xác suất của nó đượ c xác định bằng biểu thức sau:

(3.27)

trong đó ∫∞

−−=Γ 0

t1x dtet)x( là hàm Gamma. 1)1(,)x(x)1x( =Γ Γ =+Γ , do đó nếu n là

một số nguyên thì !n)1n( =+Γ

vớ i x ≤ 0

vớ i x > 0

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Γ

= −1

2n

2x

2

n x.e

2

n.2

1

0

)x(f

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




α

x

f(x)

Hình 3.6. Đồ thị hàm f(x) của quy luật “khi bình phươ ng”

Đồ thị hàm f(x) có dạng như ở hình 3.6. Có thể chứng minh đượ c r ằng biến ngẫunhiên 2χ phân phối theo quy luật “khi bình phươ ng” vớ i n bậc tự do thì k ỳ vọng toán

n)(E 2 =χ và phươ ng sai n2)(V 2 =χ

Ngoài ra trong quy luật “khi bình phươ ng” giá tr ị tớ i hạn “khi bình phươ ng” mứcα, ký hiệu )n(2

αχ là giá tr ị của biến ngẫu nhiên 2χ tuân theo quy luật phân phối “khi

bình phươ ng” vớ i n bậc tự do thỏa mãn điều kiện:

α=χ>χ α )(P )n(22

Các giá tr ị tớ i hạn )n(2αχ đã đượ c tính sẵn thành bảng (Phụ lục 4).

Ý ngh ĩ a của nó đượ c thấy rõ ở hình 3.6.

Khi số bậc n tự do tăng lên, quy luật “khi bình phươ ng” sẽ xấ p xỉ quy luật chuẩn.

Quy luật “khi bình phươ ng” có tính chất sau đây: Nếu 21χ và 2

2χ là các biến ngẫunhiên độc lậ p cùng phân phối theo quy luật “khi bình phươ ng” vớ i số bậc tự do tươ ngứng là 1n và 2n thì tổng của chúng là biến ngẫu nhiên:

22

21

2 χ+χ=χ cũng phân phối theo quy luật “khi bình phươ ng” vớ i số bậc tự don = n1 + n2.

Trong thực tế quy luật “khi bình phươ ng” thườ ng đượ c sử dụng trong tr ườ ng hợ p

sau đây: Giả sử có các biến ngẫu nhiên )n,1i(X i = độc lậ p, cùng phân phối theo quyluật chuẩn hoá tức là có k ỳ vọng toán bằng không và độ lệch tiêu chuẩn bằng một. Nếuxét tổng bình phươ ng của các biến ngẫu nhiên nói trên ta có:

∑=

=χn

1i

2i

2 X

Biến ngẫu nhiên 2χ sẽ phân phối theo quy luật “khi bình phươ ng” vớ i n bậc tự do.

)n(2αχ

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§6. QUY LUẬT STUDENT – T(n)

Biến ngẫu nhiên liên tục T gọi là phân phối theo quy luật Student vớ i n bậc tự donếu hàm mật độ xác suất của nó đượ c xác định bằng biểu thức sau:

t,1n

t1

2

1n)1n(

2

n

)t(f

2

n2

∀⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −Γ −π

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ Γ

=

−

(3.28)

Trong đó )( xΓ là hàm Gamma.

Đồ thị của hàm f(t) có dạng như ở hình 3.7.

Có thể chứng minh đượ c r ằng nếu biến ngẫu nhiên T phân phối theo quy luật

Student vớ i n bậc tự do thì k ỳ vọng toán E(T) = 0 và phươ ng sai2n

n)T(V

−=

αα

t

f(t)

Hình 3.7. Đồ thị hàm f(t) của quy luật Student

Giá tr ị tớ i hạn Student, ký hiệu )n(t α , là giá tr ị của biến ngẫu nhiên T phân phối

theo quy luật Student vớ i n bậc tự do, thỏa mãn điều kiện:

α=> α )tT(P )n(

Các giá tr ị tớ i hạn )n(t α đượ c tính sẵn thành bảng (Phụ lục 5).

Giá tr ị tớ i hạn Student có tính chất sau đây:)n(

1)n( tt α−α −=

Ý ngh ĩ a của nó đượ c thể hiện trên hình 3.7.

Khi số bậc tự do tăng lên, phân phối Student sẽ hội tụ r ất nhanh về phân phốichuẩn hóa. Do đó nếu n khá lớ n (n > 30) có thể dùng phân phối chuẩn hóa thay cho

phân phối Student.

Tuy nhiên cần phải nhấn mạnh r ằng số bậc tự do nhỏ (n < 30) việc thay thế quyluật Student bằng quy luật chuẩn có thể dẫn đến những sai sót r ất lớ n. Chẳng hạn vớ i

n = 4 và α = 0,05 thì giá tr ị tớ i hạn Student 604,4t )4( 005,0 = trong khi đó 58,2u 005,0 = , tứclà lệch nhau 4,604 – 2,58 = 2,024.

)n(t α )n(

1t α−

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chươ ng IV

LUẬT SỐ LỚ N

Như đ ã thấ y ở các chươ ng tr ướ c, không thể d ự đ oán tr ướ c đượ c một cách chắ c

chắ n xem BNN sẽ nhận giá tr ị nào trong các giá tr ị có thể có của nó khi thự c hiện phép thử . Điề u đ ó phụ thuộc vào nhiề u nhân t ố mà ta không thể tính hế t đượ c. Tuy

nhiên vấ n đề sẽ khác đ i khi ta xét cùng một lúc một số l ớ n các BNN. V ớ i một số đ iề u

kiện khá r ộng rãi, hành vi t ổ ng thể của một số l ớ n các BNN l ại g ần như mấ t đ i tính

ng ẫ u nhiên mà tr ở nên có quy luật. Nói cách khác, khi ta t ổ ng hợ p một số l ượ ng l ớ n

các BNN thì tính ng ẫ u nhiên của hiện t ượ ng mấ t đ i và quy luật t ấ t nhiên của nó đượ c

bộc l ộ. Ở đ ây ta chỉ xét một số định lý có nhiề u ứ ng d ụng hơ n cả trong thự c t ế bao

g ồm một số định lý của luật số l ớ n và định lý giớ i hạn trung tâm.


Dãy biế n ng ẫ u nhiên X 1 , X 2 , …, X n đượ c g ọi là tuân theo luật số l ớ n nế u t ồn t ại

dãy số thự c a1 , a2 , …, an sao cho

1n

a...aa

n

X ... X X P lim n21n21

n=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ε<

+++−

+++

∞→

(4.1)

vớ i mọi ε > 0 cho tr ướ c.

4.2. Luật số lớ n dạng Tchebycheff (Trêbư sép)4.2.1. Bất đẳng thứ c Trêbư sép

N ế u biế n ng ẫ u nhiên X có k ỳ vọng và phươ ng sai hữ u hạn thì vớ i mọi ε > 0 cho

tr ướ c ta có

( )2n

) X ( V 1 ) X ( E X P lim

ε−≥ε<−

∞→

(4.2)

hay

( ) 2n

) X ( V ) X ( E X P lim

ε≤ε≥−

∞→

(4.3)

Chứ ng minh: Ta sẽ chứng minh cho tr ườ ng hợ p X là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc.Việc chứng minh cho tr ườ ng hợ p X là biến ngẫu nhiên liên tục cũng tiến hành tươ ngtự.

Giả sử X là biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc vớ i các giá tr ị có thể có là x1, x2,…, xn vớ i cácxác suất tươ ng ứng p1, p2, …, pn. Ta giả thiết thêm là k giá tr ị đầu tiên của X thỏa mãnđiều kiện |xi – E(X)| < ε, còn n – k giá tr ị còn lại thỏa mãn điều kiện |xi – E(X)| ≥ ε. Vìcác biến cố để thực hiện các bất đẳng thức |xi – E(X)| < ε và |xi – E(X)| ≥ ε đối lậ p vớ inhau, do đó:

( ) −=ε<− 1)X(EXP ( )ε≥− )X(EXP (4.4)WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Theo định ngh ĩ a phươ ng sai của biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc ta có:

[ ] +−= 12

1 p)X(Ex)X(V [ ] +− 22

2 p)X(Ex …+ [ ] +− k 2

k p)X(Ex

[ ] ++−+ ++ ... p)X(Ex 1k 2

1k [ ] n2

n p)X(Ex −

Rõ ràng là tất cả các số hạng của tổng trên đều không âm. Nếu ta bỏ bớ t đi k số hạngđầu của tổng trên thì tổng chỉ có thể giảm đi. Do đó:

[ ] ++−≥ ++ ... p)X(Ex)X(V 1k 2

1k [ ] n2

n p)X(Ex −

Đối vớ i các giá tr ị )n,1k i(;x i += theo giả thiết ta đều có |xi – E(X)| ≥ ε; )n,1k i( +=

do đó [xi – E(X)]2 ≥ ε2; nếu trong mỗi số hạng ta thay một thừa số [xi – E(X)]2 bằng ε2 thì bất đẳng thức đã cho tiế p tục mạnh thêm. Ta có

[ ] 2n1k p... p)X(V ε++≥ +

Theo định lý cộng xác suất tổng [ ]n1k p... p ++

+ là xác suất để biến ngẫu nhiên Xnhận một trong các giá tr ị xk+1, …, xn song mọi giá tr ị nói trên đều thỏa mãn bất đẳngthức |xi – E(X)| ≥ ε. Từ đó suy ra là tổng [ ]n1k p... p +++ chính là xác suất

P(|xi – E(X)| ≥ ε).

Từ đó ta có:

2).|E(X)-X|(P)X(V εε≥≥

Hay

2V(X))|E(X)-X|(Pε

≤ε≥ (4.5)

Thay (4.5) vào (4.4) ta thu đượ c:

2

V(X)-1)|E(X)-X|(Pε

≥ε<

Bất đẳng thức đã đượ c chứng minh.

Về mặt thực tiễn bất đẳng thức Trêbưsép chỉ cho phép đánh giá cận trên hoặc cậndướ i xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá tr ị sai lệch so vớ i k ỳ vọng toán của nó lớ nhơ n hoặc nhỏ hơ n ε. Đôi khi sự đánh giá đó là hiển nhiên và không có ý ngh ĩ a. Chẳnghạn V(X) ≥ ε2 thì bất đẳng thức Trêbưsép cho k ết quả hiển nhiên song nó có ưu điểmlà áp dụng đượ c đối vớ i mọi biến ngẫu nhiên mà không cần biết quy luật phân phối xácsuất của nó. Về mặt lý thuyết, bất đẳng thức có ý ngh ĩ a r ất to lớ n. Nó đượ c sử dụng để chứng minh các định lý của luật số lớ n.

Ví d ụ 1. Thu nhậ p trung bình hàng năm của dân cư một vùng là 700 USD và độ lệchchuẩn là 120 USD. Hãy xác định một khoảng thu nhậ p hàng năm xung quanh giá tr ị trung bình của ít nhất 95% dân cư vùng đó.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Giải Gọi X là thu nhậ p hàng năm của dân cư vùng đó thì X là biến ngẫu nhiên vớ i quy

luật phân phối xác suất chưa biết song có k ỳ vọng toán E(X) = 700 và độ lệch chuẩn

xσ = 120. Do đó theo bất đẳng thức Trêbưsép:

2V(X)-1)|E(X)-X|(Pε

≥ε< 95,0120-1)|700-X|(P 2

2

=ε

≥ε<⇒

Từ đó ε = 536,656.

Vậy ít nhất 95% dân cư vùng đó có thu nhậ p hàng năm nằm trong khoảng

(700 – 536,656; 700 + 536,656) tức là khoảng (163,344; 1236,656).

4.2.2. Luật số lớ n dạng Trêbư sép (Định lý Trêbư sép)

N ế u các biế n ng ẫ u nhiên X 1 , X 2 , …, X n độc l ậ p t ừ ng đ ôi, có các k ỳ vọng toán hữ uhạn và các phươ ng sai đề u bị chặn trên bở i hằ ng số C )n ,1i;C ) X ( V ( i =≤ thì vớ i

mọi ε d ươ ng bé tùy ý ta luôn có:

1n

) X ( E ... ) X ( E ) X ( E

n

X ... X X P lim n21n21

n=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ε<

+++−

++

∞→

(4.6)

Chứ ng minh: Xét biến ngẫu nhiên X là trung bình số học của các biến ngẫu

nhiên Xi, )n,1i( = : n

X...XXX n21 +++=

Ta có:

∑==

+++=

n

1i i

n21 )X(En

1)

n

X...XX(E)X(E

∑=

=+++

=

n

1ii2

n21 )X(Vn

1)

n

X...XX(V)X(V

Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép đối vớ i biến ngẫu nhiên X :

22

n

1ii

2 n

)X(V

1)XV(

-1)|)XE(-X|(Pε

−=ε

≥ε<

∑=

Theo giả thiết n,1i;C)X(V i =≤ , do đó trong biểu thức trên nếu ta thay mỗi V(Xi);

n,1i = bằng C thì bất đẳng thức sẽ mạnh thêm:

222 n

C1

n

nC1)|)XE(-X|(P

ε−=

ε−≥ε<

Lấy giớ i hạn cả hai vế khi ∞→n , ta có

1n

C1lim)|)XE(-X|(Plim

2nn=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

ε−≥ε<

∞→∞→

Xác suất của một biến cố không thể lớ n hơ n 1, do đó 1)|)XE(-X|(Plimn

=ε<∞→

.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




4.3. Luật số lớ n dạng Bernoulli

4.3.1. Định lý Poisson (Poát – xông)

Cho một dãy n phép thử độc l ậ p, mỗ i phép thử chỉ xuấ t hiện biế n cố A hoặc và

ở phép thử thứ i có P(A) = pi , n ,1i = . Đặt

n

Xf = g ọi là t ần suấ t xuấ t hiện biế n cố A.

(X là số l ần xuấ t hiện biế n cố A trong dãy phép thử ).

Khi đ ó ta có : 1 pn

1 f P lim ,0

n

1ii

n=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ <−>∀ ∑

=∞→

ε ε (4.8)

4.3.2. Luật số lớ n dạng Bernoulli (Định lý Bernoulli)

Cho một dãy n phép thử độc l ậ p, mỗ i phép thử chỉ xuấ t hiện biế n cố A hoặc và

ở phép thử thứ i có P(A) = pi = p, n ,1i = . Đặtn

Xf = g ọi là t ần suấ t xuấ t hiện biế n cố

A.

Khi đ ó ta có : ( ) 1 p f P lim ,0n

=<−>∀∞→

ε ε (4.9)

Chứ ng minh: Xét biến ngẫu nhiênn

Xf = là tần suất xuất hiện biến cố A trong n

phép thử độc lậ p.

Ta có:

)X(En

1

n

X

E)f (E =⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ =

)X(Vn

1

n

XV)f (V

2=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

X là số lần xuất hiện biến cố A trong n phép thử độc lậ p, theo giả thiết xác suất xuấthiện biến cố A trong mỗi phép thử đều bằng p. Như vậy X phân phối theo quy luật nhị thức vớ i các tham số n và p.

Do đó ta có E(X) = np và V(X) = np(1 – p).

Từ đó: pnp

n

1)X(E

n

1)f (E ===

n

) p1( p) p1(np

n

1)f (V

2

−=−=

Áp dụng bất đẳng thức Trêbưsép đối vớ i biến ngẫu nhiên f ta có:

( )2n

) p1( p1 pf P

ε

−−≥ε<−

Lấy giớ i hạn của hai vế khi ∞→n WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




( ) 1n

) p1( p1lim pf Plim

2nn=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛

ε

−−≥ε<−

∞→∞→

Mặt khác, vì xác suất không thể lớ n hơ n 1, do đó:

( ) 1 pf Plimn

=ε<−∞→

Định lý đã đượ c chứng minh.

Định lý Bernoulli chứng minh sự hội tụ theo xác suất của tần suất xuất hiện biếncố trong n phép thử độc lậ p về xác suất xuất hiện biến cố đó trong mỗi phép thử khi số

phép thử tăng lên vô hạn. Nó chứng tỏ sự ổn định của tần suất xung quanh giá tr ị xácsuất của biến cố đó.

Định lý Bernoulli là cơ sở lý thuyết của định ngh ĩ a thống kê về xác suất, do đó nócũng là cơ sở cho mọi áp dụng của định ngh ĩ a thống kê về xác suất trong thực tế.

Chú ý r ằng trong các định lý của luật số lớ n ta chỉ đề cậ p đến sự hội tụ theo xác suất

chứ không phải sự hội tụ theo ngh ĩ a thông thườ ng của giải tích toán học. Chẳng hạntheo định lý Bernoulli không thể k ết luận r ằng pf lim

∞→n= tức là không thể k ết luận khi

n đủ lớ n thì f sẽ luôn luôn sai lệch không đáng k ể so vớ i p. Sự hội tụ theo xác suất chỉ có ngh ĩ a là khi n đủ lớ n thì việc f và p sai lệch nhau không đáng k ể sẽ có thể xem như có xác suất bằng 1. Như vậy thì vớ i từng giá tr ị riêng biệt của n, bất đẳng thức có thể vẫn không thỏa mãn, tức là f và p vẫn có thể sai lệch nhau đáng k ể. Vì vậy định lýBernoulli có thể viết ngắn gọn như sau:

Hội tụ theo xác suấtf p

n → ∞

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




PHẦN II. THỐNG KÊ TOÁN

Chươ ng V

CƠ SỞ LÝ THUYẾT MẪU

§1. KHÁI NIỆM TỔNG THỂ VÀ MẪU

1.1. Khái niệm

Trong thực tế thườ ng phải nghiên cứu một tậ p hợ p các phần tử đồng nhất theo

một hay nhiều dấu hiệu nghiên cứu định tính hoặc định lượ ng đặc tr ưng cho các phần

tử đó. Chẳng hạn, một doanh nghiệ p phải nghiên cứu tậ p hợ p các khách hàng của nó

thì dấu hiệu nghiên cứu có thể là mức độ hài lòng của khách hàng đối vớ i sản phẩmhoặc dịch vụ của doanh nghiệ p, còn dấu hiệu định lượ ng là nhu cầu của khách hàng về

số lượ ng sản phẩm của doanh nghiệ p.

Để nghiên cứu tậ p hợ p các phần tử này theo một dấu hiệu nhất định đôi khi ngườ ita sử dụng phươ ng pháp nghiên cứu toàn bộ, tức là thống kê toàn bộ tậ p hợ p đó và

phân tích từng phần tử của nó theo dấu hiệu nghiên cứu. Chẳng hạn để nghiên cứu dân

số của một nướ c theo các dấu hiệu như tuổi tác, trình độ văn hoá, địa bàn cư trú, cơ cấu nghề nghiệ p…có thể tiến hành tổng điều tra dân số và phân tích từng ngườ i theo

các dấu hiệu trên, từ đó tổng hợ p thành dấu hiệu chung cho toàn bộ dân số của nướ cđó. Tuy nhiên trong thực tế việc áp dụng phươ ng pháp này gặ p phải những khó khănchủ yếu sau:

- Nếu quy mô của tậ p hợ p quá lớ n thì việc nghiên cứu toàn bộ sẽ đòi hỏi nhiều

chi phí vật chất và thờ i gian.- Nhiều khi cũng do quy mô của tậ p hợ p quá lớ n nên có thể xảy ra tr ườ ng hợ p

tính trùng hoặc bỏ sót các phần tử của nó.

- Do quy mô nghiên cứu lớ n mà trình độ tổ chức nghiên cứu lại hạn chế dẫn đếncác sai sót trong quá trình thu thậ p thông tin ban đầu, hạn chế độ chính xác của k ết quả

phân tích.

- Trong nhiều tr ườ ng hợ p không thể nắm đượ c toàn bộ các phần tử của tậ p hợ pcần nghiên cứu, do đó không thể tiến hành nghiên cứu toàn bộ đượ c.

- Nếu các phần tử của tậ p hợ p lại bị phá hủy trong các quá trình nghiên cứu thì

phươ ng pháp nghiên cứu toàn bộ tr ở thành vô ngh ĩ a.

Vì thế trong thực tế phươ ng pháp nghiên cứu toàn bộ thườ ng chỉ đượ c áp dụng

đối vớ i các tậ p hợ p có quy mô nhỏ, còn chủ yếu ngườ i ta áp dụng phươ ng pháp nghiên

cứu không toàn bộ, đặc biệt là phươ ng pháp nghiên cứu chọn mẫu. Phươ ng pháp này

chủ tr ươ ng từ tậ p hợ p cần nghiên cứu chọn ra một số phần tử (gọi là mẫu), phân tích

các phần tử này và dựa vào đó mà suy ra các k ết luận về tậ p hợ p cần nghiên cứu. Nếumẫu đượ c chọn ra một cách ngẫu nhiên và xử lý bằng các phươ ng pháp xác suất thì

vừa thu đượ c các k ết luận một cách nhanh chóng, đỡ tốn kém mà vẫn đảm bảo đượ cđộ chính xác cần thiết.

Việc thu thậ p, sắ p xế p và trình bày các số liệu của tổng thể hoặc một mẫu gọi làthống kê mô tả. Còn việc sử dụng thông tin của mẫu để tiến hành các suy đoán, k ếtluận về tổng thể gọi là thống kê suy diễn.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




1.2. Tổng thể nghiên cứ u


Tậ p hợ p các phần tử đồng nhất theo một dấu hiệu nghiên cứu định tính hoặc định

lượ ng nào đó đượ c gọi là tổng thể nghiên cứu hay tổng thể.

Số phần tử có trong tổng thể thườ ng kí hiệu là N và gọi là kích thướ c của tổngthể. Thườ ng thì kích thướ c N của tổng thể là hữu hạn, song nếu tổng thể quá lớ n hoặckhông thể nắm đượ c toàn bộ các phần tử của tổng thể ta có thể giả thiết r ằng kích

thướ c của tổng thể là vô hạn. Điều giả thiết này dựa trên cơ sở là khi tăng kích thướ ccủa tổng thể lên khá khá lớ n thì thực tế không ảnh hưở ng gì đến k ết quả tính toán trên

số liệu của từng bộ phận rút ra từ tổng thể đó.

Dấu hiệu nghiên cứu đượ c ký hiệu là χ . Dấu hiệu nghiên cứu χ hoàn toàn có thể mô hình hóa bằng một biến ngẫu nhiên X. Khi đó X đượ c gọi là biến ngẫu nhiên gốc.

Việc mô hình hóa dấu hiệu nghiên cứu χ bằng biến ngẫu nhiên X cho phép áp dụng

các công cụ xác suất đã xét ở phần tr ướ c trong việc nghiên cứu tổng thể.

1.2.2. Các tham số đặc trư ng của tổng thể

a. Trung bình tổng thể

Giả sử trong tổng thể kích thướ c N dấu hiệu định lượ ng χ nhận các giá tr ị

1x , 2x ,…, Nx . Trung bình tổng thể, ký hiệu là m, là trung bình số học của các giá tr ị của dấu hiệu trong tổng thể.

∑=

= N

1i

ix N

1m

(5.1)

Nếu trong tổng thể dấu hiệu χ chỉ nhận các giá tr ị 1x , 2x ,…, k x vớ i các tần số

tươ ng ứng 1 N , 2 N ,…, k N thì trung bình của tổng thể đượ c xác định bằng biểu thức:

∑=

=k

1i

ii Nx N

1m (5.2)

Bản chất của trung bình tổng thể có thể làm rõ như sau: Giả sử tổng thể kích

thướ c N bao gồm các phần tử mang các giá tr ị khác nhau của dấu hiệu nghiên cứu χ là

1x , 2x ,…, Nx . Giả sử từ tậ p hợ p này lấy ngẫu nhiên ra một phần tử thì xác suất để lấy

đượ c phần tử mamg giá tr ị i

x hiển nhiên là ) N,1i( N

1= . Như vậy giá tr ị của dấu hiệu

χ có thể xem như một biến ngẫu nhiên X vớ i các giá tr ị có thể có là 1x , 2x ,…, Nx và

các xác suất tươ ng ứng đều bằng N

1. Từ đó:

mx N

1

N

1x...

N

1x

N

1x)X(E

N

1i

i N21 ==+++= ∑=

Như vậy m = E(X).

Mở r ộng k ết quả thu đượ c cho tổng thể vớ i dấu hiệu nghiên cứu liên tục ta thu

đượ c k ết quả là nếu xem dấu hiệu nghiên cứu như biến ngẫu nhiên X thì trung bìnhtổng thể chính là k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên đó.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Ví d ụ 1. Tổng thể nghiên cứu là một xí nghiệ p có N = 80 công nhân vớ i dấu hiệu

nghiên cứu là năng suất lao động (sản phẩm/đv thờ i gian). Số liệu của tổng thể theo

dấu hiệu nghiên cứu đượ c cho trong bảng sau:

Bảng 5.1

Năng suất lao động ix Số công nhân i N ii x N 100 6 600

110 10 1100

120 20 2400

130 24 3120

140 14 1960

150 6 900

N = 80 10080 Nxk

1i

ii =∑=

Tìm năng suất lao động trung bình của mỗi công nhân.

Giải

Theo công thức (5.2) ta có:

1261008080

1 Nx

N

1m

k

1i

ii === ∑=

Ngoài trung bình tổng thể m (mà thực chất là trung bình số học) là loại trung bình

đượ c sử dụng nhiều nhất, trong thực tế, tùy thuộc vào từng tr ườ ng hợ p ngườ i ta còn

tính các loại trung bình sau.

* Trung bình đ iề u hòa: Tươ ng tự như trung bình số học trong đó thay cho các giá

tr ị của dấu hiệu nghiên cứu ngườ i ta dùng giá tr ị nghịch đảo của chúng. Như vậy nếu

ký hiệu trung bình điều hòa là hm thì ta có công thức:

∑=

= N

1i i

h

x

1

Nm (5.3)

Nếu dấu hiệu nghiên cứu của tổng thể nhận các giá tr ị 1x , 2x ,…, k x vớ i các tần số

tươ ng ứng 1 N , 2 N ,…, k N thì:

∑=

=k

1i i

i

h

x

N

Nm (5.4)

Ví d ụ 2. Một xí nghiệ p có hai phân xưở ng cùng lắ p ráp một loại sản phẩm. Phân xưở ng

thứ nhất lắ p ráp một sản phẩm hết 15 phút, phân xưở ng thứ hai hết 20 phút. Cho biếttrong một ngày mỗi phân xưở ng làm việc 8 giờ , hãy tính thờ i gian trung bình để lắ p

ráp một sản phẩm.Giải

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Trong tr ườ ng hợ p này muốn tính thờ i gian trung bình để lắ p ráp một sản phẩmkhông thể dùng công thức trung bình số học vì thờ i gian trung bình để lắ p ráp một sản

phẩm phải bằng tổng số thờ i gian sản xuất chia cho tổng số sản phẩm đượ c lắ p ráp

trong thờ i gian đó. Theo công thức (4.4) ta có:

14,17

7

120

2060.8

1560.8

60.860.8

x N

Nm

k

1i i

i

h ≈=

+

+==

∑=

phút

Chú ý r ằng cũng giống như trung bình số học, trung bình điều hòa chỉ đượ c áp

dụng khi các giá tr ị của dấu hiệu nghiên cứu có quan hệ tổng.

* Trung bình nhân: là căn bậc N của tích các giá tr ị của dấu hiệu trong tổng thể.

Vậy nếu ký hiệu trung bình nhân là gm thì:

N N21g x...xxm = (5.5)

hoặc N N

k

N

2

N

1g

k 2i

x...xxm = (5.6)

nếu dấu hiệu chỉ nhận các giá tr ị 1x , 2x ,…, k x vớ i các tần số tươ ng ứng 1 N , 2 N ,…, k N

Ví d ụ 3. Trong khoảng thờ i gian 10 năm, tốc độ tăng giá tr ị sản lượ ng của một xí

nghiệ p như sau: Có năm năm tốc độ tăng so vớ i năm tr ướ c là 110%, có hai năm tốc độ

tăng là 125% và có ba năm tốc độ tăng là 115%. Tìm tốc độ tăng tr ưở ng trung bình

hàng năm của xí nghiệ p trong 10 đó.

Giải

Ở đây tốc độ tăng tr ưở ng giá tr ị sản lượ ng không có quan hệ tổng (vì gốc so sánh

khác nhau) mà có quan hệ tích. Do đó để tính tốc độ tăng tr ưở ng bình quân hàng nămso vớ i năm tr ướ c đó ta phải tính số trung bình nhân. Theo công thức (5.6) ta có:

%7,116hay167,115,1.25,1.1,1x...xxm 10 325 N N

k

N

2

N

1gk 2i ≈==

Trong kinh tế và xã hội, trung bình nhân thườ ng chỉ dùng để tính tốc độ tăng

tr ưở ng bình quân.

b. Phươ ng sai tổng thể

Phươ ng sai tổng thể, ký hiệu là 2σ , là trung bình số học của bình phươ ng các sai

lệch giữa các giá tr ị của dấu hiệu trong tổng thể và trung bình tổng thể.

∑=

−=σ N

1i

2

i

2 )mx( N

1 (5.7)

Nếu trong tổng thể dấu hiệu χ chỉ nhận các giá tr ị 1x , 2x ,…, k x vớ i các tần số

tươ ng ứng 1 N , 2 N ,…, k N thì phươ ng sai của tổng thể đượ c xác định bằng biểu thức:

∑=

−=σk

1i

2

ii

2 )mx( N N

1 (5.8)

Về thực chất phươ ng sai tổng thể chính là phươ ng sai của biến ngẫu nhiên trong

tổng thể đó. Nó phản ánh mức độ phân tán các giá tr ị của dấu hiệu χ xung quanh giátr ị trung bình tổng thể.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Trong thực tế, để tiện cho tính toán, phươ ng sai tổng thể thườ ng đượ c tính bằng

công thức sau:

2k

1i

2

ii

2 mx N N

1−=σ ∑

=

(5.9)

Thật vậy, theo định ngh ĩ a ta có:

2k

1i

2

ii

22k

1i

2

ii

k

1i

i

2k

1i

ii

k

1i

2

ii

k

1i

2

i

2

ii

k

1i

2

ii

2

mx N N

1

mm2x N N

1 N

N

1.mx N

N

1.m2x N

N

1

)mmx2x( N N

1)mx( N

N

1

−=

+−=+−=

+−=−=σ

∑

∑∑∑∑

∑∑

=

====

==

(vì ∑=

=k

1i

ii mx N N

1và ∑

=

=k

1i

i 1 N N

1)

c. Độ lệch chuẩn chủa tổng thể

Độ lệch chuẩn của tổng thể là căn bậc hai của phươ ng sai tổng thể, ký hiệu

∑=

−=σ=σ N

1i

2

i

2 )mx( N

1 (5.10)

Ví d ụ 4. Vớ i các số liệu cho trong bảng 5.1, hãy tìm phươ ng sai và độ lệch chuẩn của

năng suất lao động của công nhân xí nghiệ p đó.

Giải

Theo số liệu bảng 5.1, ta có:

1284000x Nk

1i

2

ii =∑=

Theo công thức (4.9) ta có:

174126128400080

1mx N

N

1 22k

1i

2

ii

2 =−=−=σ ∑=

Do đó: 19,13174 ≈=σ

Vì có thể đặc tr ưng dấu hiệu nghiên cứu trong tổng thể bằng một biến ngẫu nhiênX nên các tham số đặc tr ưng khác của biến ngẫu nhiên X như Mốt, Trung vị,…cũng

đều là các tham số đặc tr ưng của tổng thể.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§2. MẪU NGẪU NHIÊN

2.1. Định ngh ĩ a mẫu ngẫu nhiên

Các tham số đặc tr ưng của tổng thể có thể xác định đượ c một cách tr ực tiế p nếu

áp dụng phươ ng pháp nghiên cứu toàn bộ tổng thể. Song do những hạn chế như đã xét

ở mục §1, chẳng hạn quy mô quá lớ n của tổng thể hay mức độ kém tin cậy của số liệu

điều tra nên việc tính toán vừa khó khăn, tốn kém mà vẫn không thu đượ c k ết quả chính xác. Đặc biệt, khi không thể nắm đượ c kích thướ c của tổng thể (và phải coi N là

vô hạn) thì thực tế là không thể nghiên cứu tr ực tiế p tổng thể đượ c. Vì vậy, thườ ng

ngườ i ta áp dụng phươ ng pháp mẫu bằng cách chọn ra từ tổng thể n phần tử và chỉ tậ ptrung nghiên cứu các phần tử đó mà thôi. Tậ p hợ p n phần tử này đượ c gọi là mẫ u kích

thướ c n.

Để có thể căn cứ vào thông tin của mẫu đưa ra những k ết luận đủ chính xác về dấu hiệu nghiên cứu trong tổng thể thì tr ướ c hết mẫu đượ c chọn phải mang tính đạidiện cho tổng thể, tức là phản ánh đúng đặc điểm của tổng thể theo dấu hiệu nghiên

cứu đó. Để đảm bảo đượ c tính đại diện của mẫu và tiện cho việc mô hình hóa, mẫuđượ c tạo lậ p vớ i những giả thiết sau:

- Lấy lần lượ t từng phần tử vào mẫu. Phươ ng pháp này gọi là phươ ng pháp đơ ngiản để phân biệt vớ i cách lấy một lúc nhiều phần tử vào mẫu.

- Mỗi phần tử đượ c lấy vào mẫu một cách hoàn toàn ngẫu nhiên, tức là mọi phần

tử của tổng thể đều có thể đượ c lấy vào mẫu vớ i khả năng như nhau.

- Các phần tử đượ c lấy vào mẫu theo phươ ng thức hoàn lại, tức là tr ướ c khi lấy

phần tử thứ k thì tr ả lại tổng thể phần tử thứ (k – 1) mà ta đã nghiên cứu xong

(k = n,2 ).

Trong thực tế nếu kích thướ c của tổng thể khá lớ n còn mẫu chỉ chiếm một phầnr ất nhỏ của tổng thể thì phươ ng thức lấy mẫu hoàn lại và không hoàn lại cho ta các k ếtquả sai lệch không đáng k ể. Đặc biệt khi kích thướ c của tổng thể là vô hạn còn kích

thướ c mẫu là hữu hạn thì không còn sự khác biệt giữa hai phươ ng thức lấy mẫu nói

trên nữa. Lúc đó có thể chọn mẫu theo phươ ng thức không hoàn lại và vẫn có thể giả

thiết mẫu đượ c chọn theo phươ ng thức hoàn lại.

Giả sử theo một phươ ng pháp nào đó từ tổng thể lấy ra n phần tử tạo nên mẫu

kích thướ c n. Vì mẫu đượ c lấy ra theo nguyên tắc đơ n giản, ngẫu nhiên và hoàn lại nên

có thể mô hình hóa mẫu đượ c chọn như sau:

Gọi )n,1i(X i = là giá tr ị của dấu hiệu χ đo lườ ng đượ c trên phần tử thứ i của

mẫu. Vì có thể mô hình hóa dấu hiệu χ bằng một biến ngẫu nhiên X vớ i một quy luật

phân phối xác suất nào đó nên việc chọn mẫu kích thướ c n theo nguyên tắc trên có thể xem như tiến hành n phép thử độc lậ p đối vớ i X và lúc đó các giá tr ị iX của dấu hiệuthu đượ c trên mẫu có thể xem như các biến ngẫu nhiên thu đượ c qua việc tiến hành n

phép thử độc lậ p đối vớ i biến ngẫu nhiên X. Từ đó ta có định ngh ĩ a sau:

Đị nh nghĩ a. M ẫ u ng ẫ u nhiên kích thướ c n là t ậ p hợ p của n biế n ng ẫ u nhiên độc

l ậ p 1 X , 2 X ,…, n X đượ c thành l ậ p t ừ biế n ng ẫ u nhiên X trong t ổ ng thể nghiên cứ u và

có cùng quy luật phân phố i xác suấ t vớ i X.Mẫu ngẫu nhiên thườ ng đượ c ký hiệu là )X...,,X,(XW n21=

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chú ý r ằng vớ i cách xây dựng mẫu ngẫu nhiên như vậy thì các biến ngẫu nhiên

1X , 2X ,…, nX của mẫu không những có cùng dạng phân phối xác suất vớ i biến ngẫu

nhiên gốc X, tức là có cùng hàm phân bố xác suất F(x), mà các tham số đặc tr ưng của

chúng cũng bằng các tham số đặc tr ưng của X, tức là:

m)X(E)X(E...)X(E)X(E n21 ===== (5.11)

2

n21 )X(V)X(V...)X(V)X(V σ===== (5.12)

Chẳng hạn gọi X là số chấm thu đượ c khi tung một con xúc xắc, X là biến ngẫu

nhiên vớ i bảng phân phối xác suất như sau:

X 1 2 3 4 5 6

P6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

6

1

Nếu tung con xúc xắc 3 lần và gọi )3,1i(X i = là số chấm xuất hiện ở lần tung thứ

i thì ta có 3 biến ngẫu nhiên độc lậ p tạo nên mẫu ngẫu nhiên kích thướ c n = 3:

)X,X,(XW 321=

Hơ n nữa, mỗi biến ngẫu nhiên iX trong mẫu đều có bảng phân phối xác suất

giống như bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, do đó:

i,)X(E6

21)6...21(

6

1)X(E i ∀==+++=

i,)X(V

12

35

6

21)6...21(

6

1)X(V

2

222

i ∀==⎟

⎠

⎞⎜

⎝

⎛ −+++=

Lúc đó việc thực hiện một phép thử đối vớ i mẫu ngẫu nhiên W chính là việc thực

hiện một phép thử đối vớ i mỗi thành phần của mẫu. Giả sử 1X nhận giá tr ị 1x , 2X

nhận giá tr ị 2x ,…, nX nhận giá tr ị nx . Tậ p hợ p n giá tr ị 1x , 2x ,…, nx tạo thành một

giá tr ị của mẫu ngẫu nhiên, hay còn gọi là một mẫu cụ thể, ký hiệu:

)x,...,x,x(w n21=

Chẳng hạn, trong thí dụ trên nếu tiến hành một phép thử đối vớ i mẫu ngẫu nhiên

bằng cách tung cụ thể 3 lần, lần đầu đượ c 4 chấm, lần thứ hai đượ c 3 chấm và lần thứ

ba đượ c 6 chấm thì ta thu đượ c mộ mẫu cụ thể )6,3,4(w = . Nếu thực hiện một phép

thử khác đối vớ i W ta lại có thể thu đượ c một mẫu cụ thể khác, chẳng hạn w = (2, 3,

5)…

Như vậy mẫu ngẫu nhiên là tậ p hợ p của n biến ngẫu nhiên, còn mẫu cụ thể lại là

tậ p hợ p của n giá tr ị cụ thể quan sát đượ c khi thực hiện một phép thử đối vớ i mẫu ngẫunhiên.

2.2. Các phươ ng pháp chọn mẫu

Như đã trình bày ở trên, vớ i những cách thức tiến hành phép thử khác nhau, ta sẽ

thu đượ c những mẫu cụ thể khác nhau từ cùng một mẫu ngẫu nhiên song phải đảm bảo

yêu cầu là mẫu phải đại diện cho tổng thể nghiên cứu.Tùy thuộc vào đặc điểm của từng tổng thể nghiên cứu mà mẫu có thể đượ c chọn

theo nhiều phươ ng pháp khác nhau để đảm bảo về tính đại diện của mẫu. Sau đây làWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




một vài phươ ng pháp chọn mẫu chủ yếu thườ ng đượ c sử dụng để nghiên cứu tổng thể

kinh tế - xã hội.

2.2.1. Mẫu đơ n giản: là loại mẫu đượ c chọn tr ực tiế p từ danh sách đã đượ c đánh

số của tổng thể. Từ tổng thể kích thướ c N ngườ i ta dùng cách rút thăm đơ n giản ra n

phần tử của mẫu theo một bảng số ngẫu nhiên nào đó. Như vậy bất cứ phần tử nào của

của tổng thể đều có thể đượ c lấy vào mẫu vớ i khả năng như nhau. Phươ ng pháp này cóưu điểm cho phép thu đượ c mẫu có tính đại diện cao, có thể suy r ộng các k ết quả của

mẫu cho tổng thể vớ i một sai số xác định, song để vận dụng phải có toàn bộ danh sách

của tổng thể nghiên cứu, do vậy phươ ng pháp này thườ ng đượ c sử dụng đối vớ i tổng

thể có quy mô nhỏ.

Chẳng hạn để điều tra sản lượ ng nuôi tr ồng thuỷ sản trong một thôn, ngườ i ta lậ pdanh sách các hộ gia đình nuôi tr ồng thuỷ sản dựa trên sổ theo dõi nhân khẩu của thôn,

sau đó rút thăm ngẫu nhiên không lặ p lại từ danh sách đã lậ p để chọn ra các hộ cần

điều tra.

2.2.2. Mẫu hệ thống: là loại mẫu đã đượ c đơ n giản hoá trong cách chọn, trongđó chỉ có phần tử đầu tiên đượ c chọn một cách ngẫu nhiên, sau đó dựa trên danh sách

đã đượ c đánh số của tổng thể để chọn các phần tử tiế p theo vào mẫu theo một thủ tục

nào đó.

Chẳng hạn trên danh sách đượ c đánh số thứ tự gồm các hộ nuôi tr ồng thuỷ sản

của thôn, ta chọn ngẫu nhiên chủ hộ đầu tiên, giả sử có thứ tự là 3 trong danh sách, các

hộ tiế p theo đượ c chọn điều tra có số thứ tự cách nhau 4 đơ n vị: 7, 11, 15,…

Nhượ c điểm của phươ ng pháp này là dễ mắc sai số hệ thống nếu như tổng thể

không đượ c sắ p xế p theo thứ tự ngẫu nhiên mà theo một thứ tự chủ quan nào đó. Tuy

vậy do cách thức đơ n giản của nó, phươ ng pháp chọn mẫu ngẫu nhiên hệ thống thườ ng

đượ c dùng ở cấ p chọn mẫu cuối cùng khi tổng thể tươ ng đối thuần nhất.

2.2.3. Mẫu phân nhóm: Trong chọn mẫu phân nhóm ngườ i ta chia tổng thể ra

thành các nhóm có độ thuần nhất cao để chọn ra các phần tử đại diện cho từng nhóm.

Việc phân nhóm có hiệu quả khi tổng thể nghiên cứu không thuần nhất theo dấu hiệu

nghiên cứu. Sau khi đã phân nhóm thì kích thướ c mẫu đượ c phân bổ cho mỗi nhóm

theo một quy tắc nào đó, chẳng hạn tỷ lệ thuận vớ i kích thướ c của mỗi nhóm.

Thí dụ như khi điều tra sản lượ ng khai thác thủy sản, ngườ i ta thườ ng phân loại

tàu thuyền theo nhóm kích thướ c, theo nghề,… vì đó là yếu tố ảnh hưở ng đến loài và

sản lượ ng đánh bắt, sau đó sử dụng hai phươ ng pháp chọn mẫu ngẫu nhiên ở trên để chọn ra các đơ n vị điều tra cuối cùng.

2.2.4. Mẫu chùm: Trong một số tr ườ ng hợ p, để tiện cho việc nghiên cứu ngườ ita muốn quy diện nghiên cứu gọn về một khu vực nhất định chứ không để cho các

phần tử của mẫu phân tán quá r ộng. Ngườ i ta chia tổng thể nghiên cứu thành nhiều

khối đơ n vị và từ đó chọn ngẫu nhiên một số khối và điều tra tất cả các phần tử trong

khối đã chọn. Theo phươ ng pháp này tổng thể phải đượ c chia thành các khối theo

nguyên tắc:

- Mỗi phần tử của tổng thể chỉ đượ c phân vào một khối

- Mỗi khối chứa nhiều phần tử khác nhau về dấu hiệu nghiên cứu, sao cho nó cóđộ phân tán cao như của tổng thể.

- Phân chia các khối tươ ng đối đồng đều nhau về quy mô.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chẳng hạn trong điều tra sản lượ ng khai thác thuỷ sản, do các cảng cá (bến cá)

nằm phân tán ở ven biển nên cách chọn mẫu này tỏ ra là một lựa chọn phù hợ p. Ngườ ita sẽ chia các cảng cá (bến cá) thành các khối theo từng khu vực địa lý, sau đó chỉ điều

tra một số khối. Cách chọn mẫu điều tra này phải thoả mãn hai tiêu chí:

- Nhóm đượ c chọn điều tra phải có số lượ ng tàu thuyền hoạt động đủ lớ n và có

nhiều nghề hoạt động.- Thuận lợ i cho việc đi lại của ngườ i điều tra, tức là ngườ i điều tra có thể k ết hợ p

đến một số hoặc toàn bộ các bến cá trong thờ i gian ngắn nhất.

Phươ ng pháp chọn mẫu chùm có ưu điểm là tiết kiệm thờ i gian và chi phí đi lạivà không cần phải lậ p danh sách tất cả các đơ n vị trong tổng thể. Tuy nhiên phươ ng

pháp này cũng có nhượ c điểm là nếu các đơ n vị mẫu tậ p trung, không phân bố đồng

đều trong tổng thể sẽ làm giảm tính đại diện của mẫu nên sai số chọn mẫu sẽ tăng.

2.2.5. Mẫu nhiều cấp: Nếu các phần tử của tổng thể phân tán quá r ộng và thiếu

thông tin về chúng, ngườ i ta thườ ng chọn mẫu theo nhiều cấ p. Khi chọn nhiều cấ p ta

có các đơ n vị mẫu ở mỗi cấ p.

Chẳng hạn trong điều tra sản lượ ng khai thác, ngườ i ta thườ ng chọn đơ n vị mẫu

cấ p 1 là các bến cá và đơ n vị mẫu cấ p 2 là các tàu khai thác thuỷ sản.

Việc chọn mẫu ở mỗi cấ p có thể tiến hành theo phươ ng pháp chọn mẫu ngẫunhiên đơ n giản, chọn mẫu hệ thống, chọn mẫu chùm hay chọn mẫu phân nhóm.

2.3. Thang đo các giá trị mẫu

Biến ngẫu nhiên trong tổng thể nghiên cứu có thể là định tính hoặc định lượ ng,

do đó mẫu rút ra từ tổng thể cũng gồm các giá tr ị định tính hoặc định lượ ng. Vì vậy,

để biểu diễn các giá tr ị của dấu hiệu nghiên cứu trong tổng thể cũng như của mẫu phảidùng các thang đo khác nhau nhằm mục đích lượ ng hóa dấu hiệu nghiên cứu đó.

Trong kinh tế xã hội các thang đo đượ c sử dụng là:

2.3.1. Thang định danh:

Là việc đánh số những tính chất hay phạm trù cùng loại. Chẳng hạn, thang giớ itính gồm hai phạm trù là nam [0] và nữ [1]. Màu sắc sản phẩm có thể có nhiều hơ n hai

phạm trù là xanh [1], đỏ [2], vàng [3], tr ắng [4]…Giữa các con số ở đây không có

quan hệ hơ n kém do đó không thể thực hiện các phép tính số học đối vớ i chúng. Thang

định danh thườ ng chỉ dùng để đếm tần số của các hiện tượ ng xảy ra. Thang định danh

là phép đo khái quát không nhằm cung cấ p thông tin cụ thể, chính xác về đặc tính vàsự khác biệt của các đối tượ ng đo.

2.3.2. Thang thứ bậc:

Là loại thang định danh mà giữa các phạm trù đã có quan hệ thứ bậc hơ n kém.

Chẳng hạn, để đặc tr ưng cho trình độ học vấn có thể dùng thang thứ bậc: thất học [0],

tiểu học [1], trung học [2], đại học tr ở lên [3]; để đặc tr ưng thái độ của khách hàng đối

vớ i giá sản phẩm có thể dùng thang đo: r ẻ [1], vừa phải [2], đắt [3]. Đươ ng nhiên sự

sai khác giữa các phạm trù không bắt buộc phải đều nhau. Xét về mặt toán học, tậ phợ p các phạm trù đó đã đượ c sắ p xế p nhưng chưa có một metric. Thang thứ bậc cũng

là phép đo khái quát không nhằm cung cấ p thông tin cụ thể, chính xác về đặc tính vàmức độ khác biệt giữa các đối tượ ng mà chỉ nhằm chỉ ra vị trí, mối tươ ng quan thứ bậccủa các đối tượ ng đo.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




2.3.3. Thang đo khoảng:

Là khoang đo thứ bậc có các khoảng cách đều bằng nhau giữa các bậc. Một thang

đo như vậy đã có k ết cấu metric, có thể đánh giá đượ c sự khác biệt giữa các phạm trù

bằng loại thang đo này mặc dù điểm gốc ở đây chỉ là tươ ng đối. Vớ i thang đo khoảng

việc cộng và tr ừ các số đo mớ i bắt đầu có ý ngh ĩ a, trên cơ sở đó có thể tính đượ c các

tham số đặc tr ưng như trung bình, phươ ng sai v.v…Yêu cầu có khoảng cách đều nhaulà đặt ra đối vớ i thang đo, còn đối vớ i lớ p các hiện tượ ng đượ c đo bằng thang này thì

không bắt buộc phải đều nhau. Chẳng hạn, để đặc tr ưng lứa tuổi có thể dùng thang đo

khoảng: Tr ẻ (dướ i 35 tuổi) [30], trung niên (từ 36 đến 60 tuổi) [50], già (từ 60 tuổi tr ở lên) [70]. Để thu đượ c thang đo khoảng có thể bắt đầu bằng thang thứ bậc sau đó

chuẩn hóa sao cho các khoảng cách đều nhau để đượ c một thang đo khoảng, sao cho

việc tính toán các tr ị số đo tr ở nên có ý ngh ĩ a.

Các thang đo định danh, thứ bậc và thang đo khoảng dùng để đặc tr ưng các giá tr ị của dấu hiệu nghiên cứu định tính.

2.3.4. Thang đo tỷ lệ: Là thang đo khoảng vớ i một điểm gốc tuyệt đối. Chỉ vớ i thang đo tỷ lệ ta mớ i có

thể đo lườ ng các hiện tượ ng như các đơ n vị đo lườ ng vật lý thông thườ ng và mớ i có

thể thực hiện đượ c tất cả các phép toán vớ i các tr ị số đo theo ngh ĩ a là lượ ng thông tin

sẽ tăng lên cùng vớ i tr ị số đo. Chẳng hạn, dùng thang đo vận tốc (km/h), số km/h nói

lên tốc độ chuyển động của một vật, mỗi km/h chỉ sự gia tăng tốc độ theo khoảng, còn

ở 0 km/h thì vật đứng yên. Trong l ĩ nh vực đo đánh giá nhận thức, thái độ, năng lực,

hành vi của một cá nhân trên thực tế không có điểm gốc thực sự mà ta phải tự đặt điểmgốc. Thang đo tỷ lệ đượ c dùng để đặc tr ưng các giá tr ị của dấu hiệu nghiên cứu định

lượ ng.

Mỗi thang đo cấ p cao hơ n có thể chuyển xuống một thang đo cấ p thấ p hơ n, chẳng

hạn chuyển thang đo tỷ lệ thành thang đo thứ bậc nhưng ngượ c lại thì không đượ c.

Khi nghiên cứu một dấu hiệu của tổng thể hay của một mẫu đượ c rút ra từ tổng

thể thì việc đầu tiên là phải xác định đúng thang đo cho các giá tị điều tra của tổng thể hay của mẫu làm cơ sở cho quá trình xử lý tiế p theo.

2.4. Một số phươ ng pháp mô tả số liệu mẫu

2.4.1. Bảng phân phối tần số thự c nghiệm:

Giả sử từ tổng thể vớ i biến ngẫu nhiên gốc X rút ra một mẫu cụ thể kích thướ c n,

trong đó giá tr ị 1x xuất hiện vớ i tần số 1n , 2x xuất hiện vớ i tần số 2n ,…, k x xuất hiệnvớ i tần số k n (trong đó các giá tr ị của X có thể đượ c đo bằng các thang khác nhau tùy

thuộc vào việc χ là định tính hay định lượ ng). Lúc đó, sau khi các ix đã đượ c sắ p xế ptheo trình tự tăng dần, giá tr ị của mẫu cụ thể w của mẫu có thể mô tả bằng bảng phân

phối tần số thực nghiệm sau:

ix 1x 2x … ix … k x

in 1n 2n … in … k n

trong đó ∑=

=

k

1i

inn WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




2.4.2. Bảng phân phối tần suất thự c nghiệm:

Nếu ký hiệun

nf i

i = (5.13) là tần suất xuất hiện giá tr ị ix trong mẫu thì lúc đó giá

tr ị của mẫu cụ thể w có thể mô tả bằng bảng phân phối tần suất thực nghiệm như sau:

ix 1x 2x … ix … k x

if 1f 2f … if … k f

Từ (4.13) suy ra 1f k

1i

i =∑=

.

Ví d ụ 1. Điều tra k ết quả môn thi Toán kinh tế của một lớ p gồm 50 sinh viên đượ c cho

như sau:

Bảng 5.2

Điểmthi3 4 5 6 7 8 9 10

Số SV

tươ ng

ứng

10 5 5 5 10 5 5 5

Như vậy, giá tr ị của mẫu đã đượ c mô tả dướ i dạng bảng phân phối tần số thực

nghiệm. Còn bảng phân phối tần suất thực nghiệm có dạng:

ix 3 4 5 6 7 8 9 10

if 0,2 0,1 0,1 0,1 0,2 0,1 0,1 0,1

2.4.3. Đa giác tần số, đa giác tần suất:

Để mô tả số liệu mẫu một cách rõ ràng hơ n cho phép đưa ra những nhận xét sơ bộ ban đầu về tổng thể, ngườ i ta còn xây dựng các loại đồ thị khác nhau của phân phối

thực nghiệm.

a. Đa giác tần số: là một đườ ng gãy khúc mà các đoạn thẳng của nó nối các điểm)n,x( 11 , )n,x( 22 ,…, )n,x( k k trên mặt phẳng.

b. Đa giác tần suất: là một đườ ng gãy khúc mà các đoạn thẳng của nó nối các

điểm )f ,x( 11 , )f ,x( 22 ,…, )f ,x( k k trên mặt phẳng.

Ví d ụ 2. Vẽ đa giác tần suất của phân phối thực nghiệm sau:

ix 1 3 5 7

if 0,1 0,3 0,4 0,2

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




1 2 3 4 5 6 70

0,1

0,2

0,3

00,4

0,1

0,3

0,4

0,2

Hình 5.1. Đa giác tần suất

Đa giác tần suất thườ ng đượ c dùng để mô tả các số liệu mẫu theo thờ i gian.

Khi dấu hiệu nghiên cứu có phân phối liên tục thì nên xây dựng biểu đồ tần số

hoặc biểu đồ tần suất.

c. Biểu đồ tần số:

Chia khoảng chứa tất cả các giá tr ị quan sát đượ c của mẫu thành một số đoạn có

chiều dài bằng h và tại mỗi đoạn đưa vào các tần số tươ ng ứng vớ i đoạn đó. Như vậy,

biểu đồ tần số sẽ là một hình bậc thang tạo nên bở i nhiều hình chữ nhật có đáy bằng hvà chiều cao bằng

h

n i . Lúc đó, diện tích của hình chữ nhật thứ i là ii n

h

n.h = và cũng

chính là tổng tần số ứng vớ i đoạn thứ i, vì vậy diện tích của tất cả các hình chữ nhật sẽ

bằng kích thướ c mẫu n.

Ví d ụ 3. Đo chiều cao của 100 cây cho k ết quả ở bảng sau:

Bảng 5.3

Khoảng chiều cao (cm) Tổng tần số tươ ng ứng in

h

n i

5 – 10 4 0,8

10 – 15 6 1,2

15 – 20 16 3,2

20 – 25 36 7,2

25 – 30 24 4,8

30 – 35 10 2,0

35 – 40 4 0,8

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Vẽ biểu đồ tần số ứng vớ i mẫu trên.

5 10 15 20 25 30 350

1

2

3

4

5

6

7

8

40

0,81,2

3,2

7,2

4,8

2,0

0,8

Hình 5.2. Biểu đồ tần số

d. Biểu đồ tần suất:

Chia khoảng chứa tất cả các giá tr ị quan sát đượ c của mẫu thành một số đoạn có

chiều dài bằng h và tại mỗi đoạn đưa vào các tần suất tươ ng ứng vớ i đoạn đó. Như

vậy, biểu đồ tần suất sẽ là một hình bậc thang tạo nên bở i nhiều hình chữ nhật có đáy bằng h và chiều cao bằng

h

f i . Lúc đó, diện tích của hình chữ nhật thứ i là ii f

h

f .h = và

diện tích của tất cả các hình chữ nhật sẽ bằng 1.

Ví d ụ 4. Vẽ biểu đồ tần suất của phân phối thực nghiệm cho ở bảng sau:

ix 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

if 0,04 0,08 0,12 0,04 0,12 0,2 0,12 0,12 0,08 0,08

1 2 3 4 5 6 70

0,04

0,08

0,12

8 9 10

00,20

0,16

0,04

0,12

0,04

0,20

0,12

0,08

Hình 5.3. Biểu đồ tần suất

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

∑∑∑ =

== n

nx

nx1n

1xnx

1n

1s

2n

1i

iin

1i

i2i

2n

1i

2i

2 (5.22)

* Nếu mẫu chỉ nhận các giá tr ị 1x < 2x < … < k x xuất hiện vớ i các tần số tươ ng

ứng 1n , 2n ,…, k n thì phươ ng sai mẫu đượ c tính bằng biểu thức:

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

∑∑∑ =

== n

nx

nx1n

1xnnx

1n

1s

2k

1i

iik

1i

i2i

2k

1i

i2i

2 (5.23)

Nếu biến ngẫu nhiên gốc X có m)X(E = và 2)X(V σ= thì 22 )S(E σ= và

22* )S(V σ= .

3.2.4. Độ lệch chuẩn mẫu

Độ lệch chuẩn mẫu, ký hiệu S, là căn bậc hai của phươ ng sai mẫu.

Như vậy: 2n

1i

i )XX(1n

1S ∑

=

−−

= (5.24)

Giá tr ị của nó trên một mẫu cụ thể là một số xác định, ký hiệu là s.

Ví d ụ 2. Vớ i số liệu cho ở bảng 4.2 và gọi X là số điểm thi môn Toán kinh tế. Hãy tính

x , 2s và s.

Để tiện cho việc tính toán ta có thể lậ p bảng tính toán sau:

ix in iinx i

2i nx

3 10 30 90

4 5 20 80

5 5 25 125

6 5 30 1807 10 70 490

8 5 40 320

9 5 45 405

10 5 50 500

∑ n = 50 310 2190

Từ đó, theo (4.18), ta có:

2,631050

1nxn

1xk

1i

ii === ∑=

(điểm)WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




và theo (4.23), ta có:

469,550

3102190

150

1

n

nx

nx1n

1s

2

2k

1i

iik

1i

i2i

2 ≈⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

=

∑∑ =

=

và 339,2ss 2 ≈= .

Ví d ụ 3. Vớ i số liệu cho ở bảng 4.3 và gọi X là chiều cao của cây. Hãy tính x , 2s và s.

Để tiện cho việc tính toán ta có thể lậ p bảng tính toán sau:

ix in iinx i

2i nx

7,5 4 30 225

12,5 6 75 937,5

17,5 16 280 4900

22,5 36 810 18225

27,5 24 660 18150

32,5 10 325 10562,5

37,5 4 150 5625

∑ n = 100 2330 58625

Từ đó, theo (4.18), ta có:

k

i i

i 1

1 1x x n 2330 23,3

n 100=

= = =∑

và theo (4.23), ta có:

2k

i i 2k i 12 2

i i

i 1

x n1 1 2330

s x n 58625 43,798n 1 n 100 1 100

=

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎡ ⎤⎝ ⎠⎢ ⎥= − = − ≈⎢ ⎥⎢ ⎥− − ⎣ ⎦⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∑

và 2s s 6,618= ≈ .

3.2.5. Tần suất mẫu

Tần suất mẫu là một thống kê, kí hiệu là f, là tỷ số giữa số phần tử mang dấu hiệu

nghiên cứu trong mẫu và kích thướ c mẫu.

Xf

n=

Tần suất mẫu là một tr ườ ng hợ p riêng của trung bình mẫu X khi xem dấu hiệunghiên cứu trong tổng thể như biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật không – một.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




CHƯƠ NG VI

ƯỚ C LƯỢ NG CÁC THAM SỐ CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN

Giả sử cần nghiên cứu dấu hiệu χ trong tổng thể. Như đã phân tích ở chươ ng tr ướ c,một trong những mục tiêu cơ bản của việc nghiên cứu là xác định các tham số đặc tr ưngcủa tổng thể như trung bình, phươ ng sai, độ lệch chuẩn, xác suất . . . Đó là những chỉ tiêutổng hợ p để phân tích tổng thể cần nghiên cứu.

Nếu dấu hiệu nghiên cứu trong tổng thể có thể xem như một biến ngẫu nhiên X vàgiả sử bằng phân tích lý thuyết đã xác định đượ c dạng phân phối xác xuất của nó thì vấnđề xác định các tham số đặc tr ưng của tổng thể sẽ đượ c quy về bài toán xác định các thamsố đặc tr ưng của quy luật phân phối xác xuất xác định biến ngẫu nhiên X. Chẳng hạn nếu

đã biết đượ c r ằng dấu hiệu nghiên cứu trong tổng thể có thể xem như biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn thì bài toán đặt ra là phải ướ c lượ ng (tức là phải xác địnhmột cách gần đúng) các tham số k ỳ vọng toán µ và phươ ng sai σ2 của nó vì các tham số trên hoàn toàn xác định quy luật phân phối chuẩn và thực chất chúng chính là trung bìnhvà phươ ng sai của tổng thể.

Như vậy, bài toán ướ c lượ ng tham số có thể phát biểu như sau: Cho biến ngẫu nhiênX vớ i quy luật phân phối xác xuất đã biết song chưa biết tham số θ nào đó của nó. Phảiướ c lượ ng (xác định một cách gần đúng) giá tr ị của θ.

§1. PHƯƠ NG PHÁP ƯỚ C LƯỢ NG ĐIỂM

1.1. Phươ ng pháp hàm ướ c lượ ng

1.1.1. Khái niệm.

Giả sử cần ướ c lượ ng tham số θ của biến ngẫu nhiên gốc X, từ tổng thể lậ p mẫungẫu nhiên kích thướ c n:

W = (X1, X2, . . . , Xn)

Chọn thống kê θ* = f(X1, X2, . . . , Xn) mà thực chất là một thống kê đặc tr ưng

tươ ng ứng vớ i tham số θ cần ướ c lượ ng. Chẳng hạn, để ướ c lượ ng k ỳ vọng toán m của biến ngẫu nhiên gốc, chọn thống kê trung bình mẫu X , để ướ c lượ ng phươ ng sai σ2 của biến ngẫu nhiên gốc chọn thống kê phươ ng sai mẫu S2 . . . Nếu lậ p một mẫu cụ thể và tínhđượ c giá tr ị θ* = f(x1, x2, . . . , xn) của thống kê θ trên mẫu cụ thể thì ướ c lượ ng của θ làgiá tr ị vừa tính.

1.2.1. Các tiêu chuẩn lự a chọn hàm ướ c lượ ng

a. Ướ c lượ ng không chệch

Định ngh ĩ a. Thố ng kê θ * của mẫ u đượ c g ọi là ướ c l ượ ng không chệch của tham sô ́ θ

của bi

ế n ng

ẫ u nhiên g

ố c n

ế uWW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




E( θ *) = θ

Ngượ c lại, nếu E(θ*) ≠ θ thì θ* đượ c gọi là ướ c lượ ng chệch của θ

Chú ý. θ* là ướ c lượ ng không chệch của θ không có ngh ĩ a là mọi giá tr ị của θ* đều bằng vớ i θ mà chỉ có ngh ĩ a: trung bình các giá tr ị của θ* bằng θ. Từng giá tr ị của θ* cóthể sai lệch r ất lớ n so vớ i θ.

b.Ướ c lượ ng hiệu quả

Định ngh ĩ a. Thố ng kê của mẫ u đượ c g ọi là ướ c l ượ ng hiệu quả nhấ t của tham số θ của biế n ng ẫ u nhiên g ố c X nế u nó là ướ c l ượ ng không chệch và có phươ ng sai nhỏ nhấ t so vớ i mọi ướ c l ượ ng không chệch khác đượ c xây d ự ng trên cùng mẫ u đ ó.

Nếu θ* đã là một ướ c lượ ng không chệch của θ thì trong nhiều tr ườ ng hợ p giá tr ị nhỏ nhất của phươ ng sai V(θ*) có thể tìm đượ c dựa vào bất đẳng thức Cramer – Rao

đượ c phát biểu như sau:Cho mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, . . . , Xn) đượ c xây dựng từ biến ngẫu nhiên gốc X

có hàm mật độ xác suất f(x,θ) thỏa mãn một số điều kiện nhất định (thườ ng đượ c thỏamãn trong thực tế, là các phân phối xác suất đã xét ở chươ ng tr ướ c) và θ* là một ướ clượ ng không chệch bất k ỳ của θ thì

(6.1)

Ngườ i ta chứng minh đượ c trung bình mẫu X là ướ c lượ ng hiệu quả nhất của k ỳ vọng toán µ của biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể khi X phân phối chuẩn N(µ, σ2).

c. Ướ c lượ ng vữ ng.

Định ngh ĩ a. Thố ng kê θ * của mẫ u đượ c g ọi là ướ c l ượ ng vữ ng của tham số θ của

biế n ng ẫ u nhiên g ố c X nế u θ * hội t ụ theo xác suấ t đế n θ khi n → ∞ .

Tức là vớ i mọi ε dươ ng bé tùy ý ta luôn có:

)(Plim *

nε<θ−θ

∞→= 1

1.1.3. Một vài k ết luận của phươ ng pháp hàm ướ c lượ ngDùng các tiêu chuẩn nêu trên để đánh giá các thống kê đặc tr ưng mẫu khác nhau

cho phép ta lựa chọn đượ c những thống kê tốt nhất, tức là ướ c lượ ng một cách chính xácnhất các tham số đặc tr ưng của tổng thể. Có thể đưa ra một số k ết luận chung sau đây

- Vì trung bình mẫu X là ướ c lượ ng không chệch, hiệu quả nhất và vững của trung bình tổng thể m và đồng thờ i là ướ c lượ ng tuyến tính không chệch tốt nhất do đó nếuchưa biết m có thể dùng X để ướ c lượ ng nó.

V( *)2]

)),x(f (ln[nE

1

θ∂

θ∂≥

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Từ tổng thể lậ p mẫu ngẫu nhiên kích thướ c n

W = (X1, X2, . . . Xn)

Và từ đó xây dựng thống kê G = f(X1, X2, . . . Xn, θ) sao cho quy luật phân phối xácxuất của G không phụ thuộc vào các đối số của nó và hoàn toàn xác định. Lúc đó vớ i độ tin cậy bằng (1-α) cho tr ướ c có thể tìm đượ c cặ p giá tri α̣1, α2 sao cho α1 + α2 = α vàtươ ng ứng vớ i chúng tìm đượ c cặ p giá tr ị

1g

α và

2g

α thỏa mãn điều kiện

P(G <1

gα

) = α1 (6.3)

P(G >2

gα

) = α2 (6.4)

Từ trên suy ra P(1

gα

< G <2

gα

) = 1 – (α1 + α2) = 1 - α (6.5)

Như vậy vớ i độ tin cậy bằng 1 - α ta xây dựng đượ c khoảng tin cậy (1

gα

,2

gα

) cho G.

Bằng các phép biến đổi tươ ng đươ ng ta có :

P(G1 < θ < G2) = 1- α

Đây là khoảng tin cậy cần tìm.

2.2. Ướ c lượ ng k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luật chuẩn

Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X phân phối chuẩn N(µ,σ2) nhưng chưa biết tham sô ́µ của nó. Để ướ c lượ ng µ từ tổng thể ta lậ p mẫu ngẫu nhiên kích thướ c n :W = (X1, X2, ..., Xn).

Để chọn thống kê G thích hợ p ta xét hai tr ườ ng hợ p sau

2.2.1. Đã biết phươ ng sai 2 của biến ngẫu mhiên gốc X trong tổng thể

Lúc đó ta chọn thống kê

G = U =σ

µ−=

µ− n)X(

)X(Se

X (6.6)

Trong đó X là trung bình mẫu. Ở phần tr ướ c ta biết thống kê U phân phối chuẩn hóa N(0,1). Do đó vớ i độ tin cậy (1-α) cho tr ướ c tìm đượ c cặ p α1 và α2 sao cho α1 + α2 = α từ

đó tìm đượ c hai giá tr ị tớ i hạn tươ ng ứng của phân phối chuẩn hóa là 11U α− , 2Uα thỏa mãn:P(U <

11U α− ) = α1

P(U >2

Uα ) = α2

Từ đó suy ra P(11U α− < U <

2Uα ) = 1 – (α1 + α2 ) = 1 - α

Vì1

Uα có tính chất11U α− = -

1Uα nên biểu thức trên có thể viết

P(-1

Uα < U <2

Uα ) = 1- α (6.7)

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Thay U =σ

µ− n)X( vào biểu thức trên ta có

P(12

Un

XUn

X αα

σ+<µ<

σ− ) = 1- α (6.8)

Ý ngh ĩ a của biểu thức thu đượ c: vớ i độ tin cậy bằng (1- α) tham số µ của biến ngẫunhiên gốc X sẽ nằm trong khoảng

(6.9)

Trong thực tế ta chỉ sử dụng một số tr ườ ng hợ p đặc biệt sau- Khoảng tin cậy đối xứng: α1 = α2 = α/2. Lúc này khoảng tin cậy của µ là

(6.10)

Nếu kí hiệu ε = 2/Un

α

σ thì biểu thức của khoảng tin cậy có dạng (X - ε; X + ε). ε

đượ c gọi là độ chính xác của ướ c lượ ng. Nó phản ánh mức độ sai lệch của trung bình mẫuso vớ i trung bình của tổng thể vớ i xác xuất (1- α) cho tr ướ c.

- Khoảng tin cậy bên phải: α1 = 0 và α2 = α. Khi đó1

Uα = U0 = + ∞

Khoảng tin cậy của µ là

(6.11)

Biểu thức này đượ c dùng để ướ c lượ ng giá tr ị tối thiểu của µ.

- Khoảng tin cậy bên trái: α2 = 0 và α1 = α. Khi đó Uα = U0 = + ∞

Khoảng tin cậy của µ là

(6.12)

Biểu thức này đượ c dùng để ướ c lượ ng giá tr ị tối đa của µ.

Vớ i cùng độ tin cậy (1- α) hiển nhiên khoảng tin cậy nào ngắn hơ n sẽ tốt hơ n. Trongtr ườ ng hợ p này độ dài khoảng tin cậy I sẽ ngắn nhất khi khoảng tin cậy là đối xứng. Lúc

đó độ dài khoảng tin cậy bằng hai lần độ chính xác và đượ c xác định bằng biểu thức

2 1(X U ; X U )

n nα α

σ σ− +

)Un

X;Un

X( 2/2/ αα

σ+

σ−

);Un

X( +∞σ

− α

(-∞; α

σ+ U

nX )

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




I = 2 ε = 2/Un

2α

σ (6.13)

Từ công thức này ta sẽ thu đượ c công thức xác định kích thướ c mẫu tối thiểu n saocho vớ i độ tin cậy bằng (1- α) cho tr ướ c, độ dài khoảng tin cậy không vượ t quá giá tr ị I0 cho tr ướ c. Công thức có dạng

n ≥ 22/2

0

2

UI

4α

σ (6.14)

Bài toán xác định kích thướ c mẫu tối thiểu n theo công thức trên thườ ng đượ c đặt ratr ướ c khi chọn mẫu, khi phải xác định kích thướ c mẫu cần điều tra để đáp ứng những yêu

cầu chất lượ ng cho tr ướ c về độ tin cậy và độ chính xác của ướ c lượ ng.Khi thực hiện một phép thử đối vớ i mẫu ta thu đượ c mẫu cụ thể w = (x1, x2, . . . ,xn)từ đó tìm đượ c giá tr ị cụ thể x của trung bình mẫu. Lúc đó vớ i độ tin cậy (1- α), qua mẫucụ thể, khoảng tin cậy của µ là

(g1; g2) = (12

Un

x;Un

x αα

σ+

σ− ) (6.15)

Ví d ụ 1. Tr ọng lượ ng của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luậtchuẩn vớ i độ lệch chuẩn là 1 gam. Cân thử 25 sản phẩm loại này ta thu đượ c k ết quả như

sau

Tr ọng lượ ng (gam) 18 19 20 21

Số sản phẩm tươ ng ứng 3 5 15 2

Vớ i độ tin cậy 0,95 hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của tr ọng lượ ng trung bình củaloại sản phẩm nói trên.

Giải

Gọi X là “Tr ọng lượ ng sản phẩm” theo giải thiết X phân phối chuẩn vớ i σ =1. Vậytr ọng lượ ng trung bình của sản phẩm chính là tham số µ. Đây là bài toán ướ c lượ ng bằngkhoảng tin cậy đối xứng giá tr ị của tham số µ của phân phối N(µ, σ2) khi đã biết phươ ngsai của nó. Vậy ta có khoảng tin cậy

)Un

X;Un

X( 2/2/ αα

σ+

σ−

Lấy từ tổng thể ra một mẫu ngẫu nhiên kích thướ c n = 25, gọi Xi là tr ọng lượ ng củasản phẩm thứ i (i = 25,1 ) ta cóWW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




2.2.2 Chư a biết phươ ng sai 2 của biến ngấu nhiên gốc X trong tổng thể và kíchthướ c mẫu n < 30

Lúc đó thống kê

G = T =S

n)X( µ− (6.16)

Trong đó S là độ lệch chuẩn mẫu. Phần tr ướ c ta biết thống kê T phân phối theo quyluật Student vớ i (n- 1) bậc tự do. Vì vậy vớ i độ tin cậy bằng (1- α) cho tr ướ c có thể tìmđượ c cặ p giá tr ị α1 và α2 sao cho α1 + α2 = α, từ đó tìm đượ c hai giá tr ị tớ i hạn Studenttươ ng ứng là )1n(

11T −

α− và )1n(

2T −

α thỏa mãn diều kiện :

P(T < )1n(

11T −

α−) = α1 ; P(T > )1n(

2T −

α ) = α2

Từ đó ta có1 2

(n 1) ( n 1)

1P(T T T )− −

−α α< < = 1- (α1 + α2) = 1- α

Vì giá tr ị tớ i hạn Student có tính chất )1n(

1T −

α= )1n(

11T −

α−− nên biểu thức có thể viết

1 2

(n 1) (n 1)P( T T T ) 1− −

α α− < < = − α (6.17)

Từ đây ta có

P()1n(

1

)1n(

2 Tn

S

XTn

S

X −

α

−

α +<µ<− ) = 1- α (6.18)

Như vậy, khoảng tin cậy của µ vớ i độ tin cậy (1- α) là

)Tn

SX;T

n

SX( )1n(

1

)1n(

2

−

α

−

α +− (6.19)

Ta xét các tr ườ ng hợ p đặc biệt sau

- Khoảng tin cậy đối xứng khi α1 = α2 = α/2

(6.20)

- Khoảng tin cậy bên phải khi α1 = 0; α2 = α

(6.21)

- Khoảng tin cậy bên trái khi α2 = 0; α1 = α

(6.22)

)Tn

SX;Tn

SX( )1n(2/

)1n(2/

−

α

−

α +−

);Tn

SX( )1n( +∞− −

α

)Tn

SX;( )1n( −

α+−∞ WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Trong tr ườ ng hợ p này độ dài khoảng tin cậy I cũng là ngắn nhất khi khoảng tin cậylà đối xứng, do đó nó cũng bằng hai lần độ chính xác và đượ c xác định bằng biểu thức

I = 2ε =

)1n(

2/Tn

S2 −

α (6.23)

Tươ ng tự như phần a ta có công thức xác định kích thướ c mẫu tối thiểu n sao cho độ tin cậy bằng (1 - α) cho tr ướ c, độ dài khoảng tin cậy không vượ t quá giá tr ị I0 cho tr ướ c:

n ]TI

S4[ )1m(2

2/20

2−

α≥ (6.24)

Vớ i )1m(2/T −

αlà giá tr ị thỏa mãn

P( )1m(2/

n

1ii

)1m(2/

n

1ii T

nSX

n1T

nSX

n1 −

α=

−α

=+∑<µ<−∑ ) = 1 - α (6.25)

Ví d ụ 2. Để xác định tr ọng lượ ng trung bình của các bao bột trong kho, ngườ i ta đem cânngẫu nhiên 15 bao trong kho đó và tìm đượ c x = 39,8 kg, s2 = 0,144. Hãy tìm khoảng tincậy đối xứng của tr ọng lượ ng trung bình của các bao bột trong kho vớ i yêu cầu độ tin cậycủa việc ướ c lượ ng là 99%. Giả thiết tr ọng lượ ng đóng bao của các bao bột là biến ngẫunhiên phân phối chuẩn.

Giải

Gọi X là “Tr ọng lượ ng bột đóng bao”, theo giả thiết X phân phối chuẩn. Vậy tr ọnglượ ng đóng bao trung bình chính là giá tr ị µ. Đây là bài toán ướ c lượ ng bằng khoảng tincậy đối xứng giá tr ị tham số µ của phân phối N(µ, σ2) khi chưa biết σ2 của X. Vậy ta cókhoảng tin cậy :

)Tn

SX;T

n

SX( )1n(

2/)1n(

2/−

α

−

α +−

Cân ngẫu nhiên 15 bao bột, gọi Xi (i = 15,1 ) là tr ọng lượ ng của bao thứ i ta có mẫungẫu nhiên W = (X1,. . . , X15).

Vớ i độ tin cậy 1 - α = 0,99 thì α/2 = 0,005 tra bảng phân phối Student có14

005,0T = 2,977. Vậy vớ i độ tin cậy 0,99 khoảng tin cậy đối xứng của µ là:

( 977,215

SX;977,2

15

SX +− )

Vớ i mẫu cụ thể ta tính đượ c x = 39,8, s2 = 0,144 nên s = 0,397. Vậy vớ i độ tin cậy0,99 qua mẫu cụ thể khoảng tin cậy đối xứng của µ là :

(39,8 - 977,2

15

0,379 39,8;977,2

15

379,0+ ) = (39,5023; 40,0977)WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




2.3.2. Chư a biết k ỳ vọng toán µ

Ta chọn thống kê

G = χ2 =2

2S)1n(

σ

− (6.33)

Ta thấy χ2 phân phối theo quy luật “khi bình phươ ng” vớ i (n-1) bậc tự do. Vì vậy,vớ i độ tin cậy (1-α) cho tr ướ c, có thể tìm đượ c hai giá tr ị α1 và α2 sao cho α1 + α2 = α, từ đó ta tìm đượ c hai giá tr ị tớ i hạn “khi bình phươ ng” tươ ng ứng là )1n(2

11−

α−χ và )1n(2

2

−

αχ thỏa

mãn điều kiện :

P(χ2 < )1n(2

11−

α−χ ) = α1

P(χ2

>)1n(2

2

−

αχ ) = α2 do đóP( )1n(2

11−

α−χ < χ2 < )1n(2

2

−

αχ ) = 1 – (α1 - α2) = 1 -α (6.34)

Vậy vớ i độ tin cậy (1 - α) khoảng tin cậy của σ2 là

(6.35)

Ta xét các tr ườ ng hợ p đặc biệt sau:- Nếu α1 = α2 = α/2, khoảng tin cậy của σ2 là

(6.36)

- Nếu α1 = 0; α2 = α, ta có các khoảng tin cậy bên phải của σ2

(6.37)

- Nếu α2 = 0; α1 = α, ta có khoảng tin cậy bên trái của σ2

(6.38)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

χ

−

χ

−−

α−

−

α

)1n(2

11

2

)1n(2

2

2 S)1n(;

S)1n(

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

χ

−

χ

−−

α−

−

α

)1n(22/1

2

)1n(22/

2 S)1n(;

S)1n(

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +∞

χ

−−

α

;S)1n()1n(2

2

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

χ

−−

α−)1n(2

1

2

S)1n(;0

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d ụ 4. Vớ i độ tin cậy 0,95 hãy ướ c lượ ng phươ ng sai của kích thướ c các chi tiết cho ở bảng sau:

Kích thướ c chi tiết (cm) Số chi tiết tươ ng ứng

54,795 – 54,805

54,805 – 54,815

54,815 – 54,825

54,825 – 54,835

54,835 – 54,845

54,845 – 54,855

54,855 – 54,865

54,865 – 54,875

6

14

33

47

45

33

15

7n = 200

Giải

Đây là bài toán ướ c lượ ng phươ ng sai của phân phối N(µ, σ2 ) khi chưa biết µ. Vậykhoảng tin cậy của σ2 có dạng

Nếu α1 = α2 = α/2, khoảng tin cậy của σ2 là

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

χ

−

χ

−−

α−

−

α

)1n(2

2/1

)1n(2

2/

2 2

S)1n(;

S)1n(

Qua mẫu cụ thể ta tìm đượ c:

S2 = 0.0002689; n = 200

Tra bảng 2χ : 8,284;98,198 2(199)

0,025

)199(2

975,0 ≈χ≈χ

Vậy vớ i độ tin cậy 0,95 qua mẫu cụ thể này khoảng tin cậy của σ2 là:

199.0,0002689 199.0,0002689;

284,8 198,98

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Hay (0,000188< 2σ <0,000269).

2.4. Uớ c lượ ng xác suất p của biến ngẫu nhiên phân phối theo qui luật không - một

Giả sử trong tổng thể biến ngẫu nhiên gốc X phân phối theo một qui luật nào đókhác vớ i qui luật chuẩn. Trong tr ườ ng hợ p này, để ướ c lượ ng giá tr ị của k ỳ vọng toán mchưa biết ta có thể chọn thống kê

G = U =σ

− n)mX(

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Nếu đã biết phươ ng sai σ2 của X, hoặc thống kê

G = U =S

n)mX( −

Nếu chưa biết phươ ng sai σ2 của X.

Ta đã biết nếu kích thướ c mẫu đủ lớ n, cả hai thống kê trên đều phân phối xấ p xỉ chuẩn hoá N(0,1). Do đó vẫn có thể tiến hành thủ tục ướ c lượ ng bằng khoảng tin cậy như đã xét ở phần trên. Sau đây ta xét một tr ườ ng hợ p cụ thể khá thông dụng trong thực tế là

bài toán ướ c lượ ng k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theo qui luật không - một.

Giả sử trong tổng thể kích thướ c N có M phần tử mang dấu hiệu nghiên cứu .Nếu lấyra ngẫu nhiên 1 phần tử và gọi X là số phần tử mang dấu hiệu nghiên cứu đượ c lấy ra thìX là biến ngẫu nhiên phân phối theo qui luật không - một:

X 0 1P 1-p p

Trong đó p là xác suất để lấy ngẫu nhiên một phần tử thì đượ c phần tử mang dấu hiệunghiên cứu.

N

M p =

Ta đã biết trong qui luật không - một thì E(X) = p và V(X) =n

) p1( p −, như vậy ướ c lượ ng

k ỳ vọng toán của qui luật này cũng chính là ướ c lượ ng xác suất p, mà p lại là tần suất củatổng thể, phản ánh cơ cấu của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu đó. Như vậy đây là bàitoán ướ c lượ ng cơ cấu của tổng thể. Nếu thoả mãn điều kiện:

n > 5 và 3,0n

p

p1

p1

p

<

−−

−

Thì thống kê

G = U =) p1( p

n) pf (

)f (Se

) pf (

−

−=

− (6.39)

Phân phối xấ p xỉ N(0,1). Vì vậy, vớ i độ tin cậy (1- α ) cho tr ướ c có thể tìm đượ c hai giátr ị tớ i hạn chuẩn u1-α/2 và uα/2 thoả mãn điều kiện:

P(U<u1-α/2) =2

α

P(U>uα/2) =2

α

Từ đó P(u1-α/2<U< uα/2) = 1-(α/2+ α/2) = 1- α WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Do uα/2 = - u1-α/2 nên

P(-uα/2<U< uα/2) = 1- α (6.40)

Phép biến đổi tươ ng đươ ng đối vớ i biểu thức trong ngoặc của (6.40) đượ c tiến hành như sau: Thay U từ (6.39) vào ta có

-uα/2 <) p1( p

n) pf (

−

−< uα/2

Tươ ng đươ ng vớ i <−

−

) p1( p

n) pf ( uα/2

Bình phươ ng hai vế ta thu đượ c n(f-p)2<p(1-p) 22/u α. Khai triển và chuyển vế ta thu đượ c

bất phươ ng trình

(n+ 0nf p)unf 2( p)u 222/

222/ <++− αα

Giải ra ta đượ c:

22/

22/2/

22/

21 un

u4

1);f 1(nf uu

2

1nf

p, pα

ααα

+

+−±+

= (6.41)

Như vậy vớ i độ tin cậy (1-α) khoảng tin cậy đối xứng của p là:

(p1 < p < p2) (6.42)

vớ i p1, p2 đượ c xác định từ (6.41)

Việc áp dụng công thức (6.41), (6.42) khá phức tạ p và chỉ cho phép tìm khoảng tincậy đối xứng của p. Do đó nếu có thể điều tra một mẫu có kích thướ c n khá lớ n (n )100≥ thì ta có thể chọn thống kê

G = U =)f 1(f

n) pf (

−

− (6.43)

Nó cũng phân phối xấ p xỉ N(0,1), do đó vớ i độ tin cậy (1- )α cho tr ướ c có thể tìm đượ ccặ p giá tr ị 1α và 2α sao cho α=α+α 21 , từ đó tìm đượ c hai giá tr ị tớ i hạn chuẩn tươ ng

ứng là11u α− và

2u α thoả mãn điều kiện:

P(U< 111 )u α=α−

Và P(U> 22)u α=α

từ đó P(11u

α−<U<

2u

α) = 1- ( α=α+α )21

Thay giá tr ị của U từ (6.43) và sử dụng tính chất1-11

u-u αα = sau phép biến đổi tươ ng

đươ ng ta có

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Đây là bài toán ướ c lượ ng tham số p của qui luật phân phối A(p) bằng khoảng tincậy bên trái.

Vậy khoảng tin cậy của p có dạng (6.48):

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∞− αu

n

)f 1(f ;

Qua mẫu cụ thể ta có f = .05,0400

20= Vớ i 1- α =0,95 -> 645,1u 05,0 = .Vậy vớ i độ tin cậy

0,95 qua mẫu cụ thể này khoảng tin cậy của p là:

( )645,1

400

95,0.05,005,0; +∞−

Hay p < 0.0679, hay tỷ lệ phế phẩm tối đa của máy đó là 6,79%

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chươ ng VII

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ

§1. KHÁI NIỆM CHUNG

Ở chươ ng tr ướ c ta đ ã nghiên cứ u các tham số đặc tr ư ng của t ổ ng thể trên cơ sở

thông tin của mẫ u bằ ng phươ ng pháp ướ c l ượ ng. Chươ ng này tiế p t ục nghiên cứ u d ấ u

hiệu của t ổ ng thể bằ ng một phươ ng pháp khác là kiể m định giả thuyế t thố ng kê. V ớ i

nhữ ng thông tin bổ sung phươ ng pháp này cho phép giải quyế t nhiề u bài toán đ a d ạng

hơ n liên quan đế n d ấ u hiệu nghiên cứ u trong t ổ ng thể .

1.1. Giả thuyết thống kê

Giả sử dấu hiệu nghiên cứu trong tổng thể có thể xem như biến ngẫu nhiên X.

Nếu chưa biết dạng phân phối xác suất của nó, song có cơ sở cho r ằng X phân phối

theo một quy luật A nào đó, ngườ i ta đưa ra giả thuyết: Biến ngẫu nhiên X phân phối

theo quy luật A.

Cũng có tr ườ ng hợ p dạng phân phối xác suất của X đã biết song tham số đặc

tr ưng của nó lại chưa biết, nếu có cơ sở giả thiết r ằng giá tr ị của tham số bằng θ0 (θ0 là

hằng số đã biết), ngườ i ta đưa ra giả thuyết θ = θ0.

Khi nghiên cứu hai hay nhiều biến ngẫu nhiên thuộc các tổng thể khác nhau hay

thuộc cùng một tổng thể thườ ng phải xét xem chúng độc lậ p hay phụ thuộc nhau, các

tham số đặc tr ưng của chúng có bằng nhau hay không. Nếu chưa biết một cách chắcchắn song có cơ sở để nhận định về các vấn đề đó cũng có thể đưa ra các giả thuyếttươ ng ứng.

Đị nh nghĩ a. Giả thuyế t thố ng kê là giả thuyế t về d ạng phân phố i xác suấ t củabiế n ng ẫ u nhiên, về các tham số đặc tr ư ng của biế n ng ẫ u nhiên hoặc về tính độc l ậ pcủa các biế n ng ẫ u nhiên.

Giả thuyết thống kê đưa ra đượ c ký hiệu là H0 và đượ c gọi là giả thuyế t g ố c. Khiđưa ra một giả thuyết thống kê, ngườ i ta còn nghiên cứu kèm theo nó mệnh đề mâu

thuẫn vớ i nó gọi là giả thuyết đối và ký hiệu là H1 để khi giả thuyết H0 bị bác bỏ thì

thừa nhận giả thuyết H1. H0 và H1 tạo nên cặ p giả thuyết thống kê.

Chẳng hạn ta nghiên cứu nhu cầu thị tr ườ ng về một loại hàng hóa nào đó. Ta có

thể đưa ra cặ p giả thuyết thống kê sau:

H0: Nhu cầu trung bình về loại hàng hoá này là μ = 1000 đơ n vị/ tháng, lúc đó các giả thuyết đối tươ ng ứng của nó là:

H1: μ > 1000; H1: μ < 1000; H1: μ ≠ 1000.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Vì các giả thuyết thống kê có thể đúng hoặc sai nên cần kiểm định, tức là tìm ra

k ết luận về tính thừa nhận đượ c hay không của giả thuyết đó. Việc kiểm định này gọi

là kiể m định thố ng kê vì nó dựa vào thông tin thực nghiệm của mẫu để k ết luận.

Phươ ng pháp chung để kiểm định một giả thuyết thống kê như sau: Tr ướ c hết giả sử H0 đúng và từ đó dựa vào thông tin của mẫu rút ra từ tổng thể tìm đượ c một biến cố

A nào đó sao cho xác suất xảy ra biến cố A bằng α bé đến mức có thể sử dụng nguyên

lý xác suất nhỏ tức là có thể coi A không xảy ra trong một phép thử về biến cố này.

Lúc đó trên một mẫu cụ thể thực hiện một phép thử đối vớ i biến cố A, nếu A xảy ra thì

điều đó chứng tỏ H0 sai và bác bỏ nó, còn nếu A không xảy ra thì ta chưa có cơ sở để bác bỏ H0.

1.2. Tiêu chuẩn kiểm định giả thuyết thống kê

Từ biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể lậ p mẫu ngẫu nhiên kích thướ c n

W = (X1, X2, …, Xn)

và chọn thống kê

G = f(X1, X2, …, Xn,θ0)

trong đó θ0 là tham số liên quan đến giả thuyết cần kiểm định. Điều kiện đặt ra đối vớ ithống kê G là nếu H0 đúng thì quy luật phân phối xác suất của G hoàn toàn xác định.

Thống kê G đượ c gọi là tiêu chuẩ n kiể m định.

1.3. Miền bác bỏ giả thuyết thống kê

Sau khi đã chọn đượ c tiêu chuẩn kiểm định G, do quy luật phân phối xác suất của

G đã biết nên vớ i một xác suất khá bé bằng α cho tr ướ c có thể tìm đượ c miền Wα

tươ ng ứng sao cho vớ i điều kiện giả thuyết H0 đúng xác suất để G nhận giá tr ị thuộcmiền Wα bằng α. Điều kiện này đượ c viết như sau:

P(G∈Wα/H0) = α (7.1)

Biến cố (G∈Wα) đóng vai trò như biến cố A nói trên và vì α khá bé nên theo

nguyên lý xác suất nhỏ có thể coi như nó không xảy ra trong một phép thử.

Giá tr ị α gọi là mứ c ý nghĩ a của kiểm định. Wα đượ c gọi là miề n bác bỏ giả

thuyết H0 vớ i mức ý ngh ĩ a α.

Lúc đó miền giá tr ị còn lại của G, ký hiệu làα

W đượ c gọi là miền không bác bỏ

giả thuyết (miền thừa nhận giả thuyết). Điểm giớ i hạn phân chia miền bác bỏ và không bác bỏ gọi là giá tr ị t ớ i hạn.

1.4. Giá trị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định

Thực hiện một phép thử đối vớ i mẫu ngẫu nhiên W = (X1, X2, …, Xn) thu đượ cmột mẫu cụ thể w = (x1, x2, …, xn) và qua đó tính đượ c một giá tr ị cụ thể của tiêu

chuẩn kiểm định G: Gqs = f(x1, x2, …, xn, θ0). Giá tr ị này đượ c gọi giá tr ị quan sát của

tiêu chuẩn kiểm định.

1.5. Quy tắc kiểm định giả thuyết thống kê

Sau khi đã tính đượ c giá tr ị quan sát Gqs

của tiêu chuẩn kiểm định, ta so sánh giá

tr ị này vớ i miền bác bỏ Wα và k ết luận theo quy tắc sau:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




- Nếu giá tr ị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định thuộc miền bác bỏ (Gqs ∈ Wα) bác bỏ

H0 thừa nhận H1.

- Nếu giá tr ị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định không thuộc miền bác bỏ (Gqs ∉Wα) thì

điều đó chưa khẳng định r ằng H0 đúng mà chỉ có ngh ĩ a là chưa khẳng định đượ c H0

sai. Do đó qua mẫu cụ thể này chưa có cơ sở để bác bỏ H0 (trên thực tế vẫn thừa nhận

H0).

1.6. Sai lầm loại một và sai lầm loại hai

Vớ i quy tắc kiểm định như trên có thể mắc hai loại sai lầm:

Sai l ầm loại 1: Bác bỏ giả thuyết H0 trong khi H0 đúng. Xác suất mắc phải sai

lầm này đúng bằng mức ý ngh ĩ a α. Sai lầm này có thể sinh ra do kích thướ c mẫu quá

nhỏ, do phươ ng pháp lấy mẫu v.v…

Sai l ầm loại 2: Thừa nhận H0 trong khi H0 sai.

Trong thực tế ngườ i ta tiến hành như sau: Sau khi đã ấn định một mức ý ngh ĩ a α và vớ i mẫu kích thướ c n xác định thì trong vô số các miền bác bỏ Wα tươ ng ứng có thể tìm đượ c, ta chọn ra miền bác bỏ Wα sao cho xác suất mắc sai lầm loại 2 là nhỏ nhất.

1.7. Thủ tục kiểm định giả thuyết thống kê

Ta xét thủ tục kiểm định vớ i giá tr ị cho tr ướ c α và khi chỉ kiểm soát khả năng

mắc sai lầm loại 1.

− Xây dựng giả thuyết gốc H0 cần kiểm định.

− Từ tổng thể nghiên cứu lậ p mẫu ngẫu nhiên kích thướ c n.

− Chọn tiêu chuẩn kiểm định G và xác định quy luật phân phối xác suất củanó vớ i điều kiện giả thuyết H0 là đúng.

− Vớ i mức ý ngh ĩ a α cho tr ướ c xác định miền bác bỏ tốt nhất tùy thuộc vào

giả thuyết đối H1.

− Lậ p mẫu cụ thể và tìm giá tr ị của tiêu chuẩn kiểm định trên mẫu.

− So sánh giá tr ị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định vớ i miền bác bỏ và k ết

luận.

§2. KIỂM ĐỊNH THAM SỐ

2.1. Kiểm định giả thuyết về k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theoquy luật chuẩn khi đã biết phươ ng sai

Giả sử biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể phân phối theo quy luật chuẩn N(μ, 2

σ ) vớ i phươ ng sai đã biết nhưng chưa biết k ỳ vọng toán μ. Nếu có cơ sở để giả thiết r ằng giá tr ị của nó bằng μ0 ta đưa ra giả thuyết thống kê:

Ho: μ = μ0

Để kiểm định giả thuyết trên từ tổng thể lậ p mẫu kích thướ c n:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




W = (X1, X2, …, Xn)

Vì đã biết phươ ng sai 2σ của biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể nên tiêu

chuẩn kiểm định đượ c chọn là thống kê

σ

µ−

==

n)X(

UG0

(8.2)

Nếu giả thuyết H0 đúng thì ta có

=σ

µ−=

n)X(U 0

σ

µ− n)X(

U phân phối N(0,1).

Nếu cho tr ướ c mức ý ngh ĩ a α thì tùy thuộc vào dạng của giả thuyết đối H1 miền

bác bỏ “tốt nhất” đượ c xây dựng theo các tr ườ ng hợ p sau:

a)⎩⎨⎧

µ>µ

µ=µ

01

00

:H:H

Lúc đó vớ i mức ý ngh ĩ a α cho tr ướ c có thể tìm đượ c giá tr ị tớ i hạn chuẩn uα sao cho

α=>=∈ αα )uU(P)H/WG(P 0

Ta thu đượ c miền bác bỏ bên phải Wα đượ c xác định bằng biểu thức

⎪⎭

⎪⎬⎫

>

⎩⎨⎧

σ

µ−== αα uU;

n)X(UW 0 (8.3)

b)⎩⎨⎧

µ<µ

µ=µ

01

00

:H

:H

Lúc đó vớ i mức ý ngh ĩ a α cho tr ướ c có thể tìm đượ c giá tr ị tớ i hạn chuẩn u1-α sao cho

α=−<=<=∈ αα−α )uU(P)uU(P)H/WG(P 10

Ta thu đượ c miền bác bỏ bên trái Wα đượ c xác định bằng biểu thức

⎪⎭

⎪⎬⎫

−<

⎩⎨⎧

σ

µ−==

ααuU;

n)X(UW 0 (8.4)

c)⎩⎨⎧

µ≠µ

µ=µ

01

00

:H

:H

Lúc đó vớ i mức ý ngh ĩ a α cho tr ướ c có thể tìm đượ c hai giá tr ị tớ i hạn chuẩn là u1-α/2

và uα/2 sao cho

α=>=

>+−<=

>+<=∈

α

αα

αα−α

)uU(P

)uU(P)uU(P

)uU(P)uU(P)H/WG(P

2/

2/2/

2/2/10

Ta thu đượ c miền bác bỏ hai phía đượ c xác định bằng biểu thứcWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




⎪⎭

⎪⎬⎫

>

⎩⎨⎧

σ

µ−== αα 2/

0 uU;n)X(

UW (8.5)

Lậ p mẫu cụ thể w = (x1, x2, …, xn) và tính giá tr ị quan sát tiêu chuẩn kiểm định

σ

µ−= n)x(U 0qs

và so sánh vớ i Wα để k ết luận:

- Nếu Uqs ∈ Wα thì bác bỏ H0, thừa nhận H1;

- Nếu Uqs ∉ Wα thì chưa có cơ sở để bác bỏ H0.

Ví d ụ 1. Gạo đượ c đóng gói 20kg một bao trên máy tự động. Tr ọng lượ ng các bao gạotuân theo quy luật chuẩn vớ i độ lệch chuẩn 2kg. Nghi ngờ máy hoạt động không bình

thườ ng nên các bao gạo có xu hướ ng bị đóng thừa. Ngườ i ta cân thử 100 sản phẩm và

thu đượ c k ết quả sau:

Tr ọng lượ ng gạo (kg) 19 20 21 22 23

Số bao tươ ng ứng 10 60 20 5 5

Vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05 hãy k ết luận điều nghi ngờ nói trên.

Giải

Gọi X là tr ọng lượ ng bao gạo. Theo giả thiết X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy

luật chuẩn vớ i σ = 2. Bài toán yêu cầu kiểm định tham số µ của biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn khi đã biết phươ ng sai của tổng thể.

- Cặ p giả thuyết thống kê:

⎩⎨⎧

>µ

=µ

20:H

20:H

1

0

- Tiêu chuẩn kiểm định:

2

100)20X(U

−=

Trong đó X là trung bình mẫu ngẫu nhiên kích thướ c n = 100.

Vớ i α = 0,05 ta có uα = u0,05 = 1,65.

- Miền bác bỏ: Wα = (1,65; +∞)

Từ mẫu cụ thể ta có:

35,2055206010

5.235.2220.2160.2010.19x =

++++

++++=

- Giá tr ị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




=−

=2

100)20x(Uqs 75,1

2

100)2035,20(=

−

Như vậy Uqs ∈ Wα.Bác bỏ H0 thừa nhận H1, tức là máy có xu hướ ng đóng thừa tr ọng

lượ ng vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05.

2.2. Kiểm định giả thuyết về k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theoquy luật chuẩn khi chư a biết phươ ng sai

Tiêu chuẩn kiểm định là thống kê

S

n)X(TG 0µ−

== (8.6)

Nếu giả thuyết H0 đúng thì ta có

Sn)X(T 0µ−=

Sn)X( µ−=

T phân phối T(n-1), tùy thuộc vào dạng của giả thuyết đối H1, miền bác bỏ “tốt nhất”

đượ c xây dựng theo các tr ườ ng hợ p sau:

a)⎩⎨⎧

µ>µ

µ=µ

01

00

:H

:H

Lúc đó vớ i mức ý ngh ĩ a α cho tr ướ c có thể tìm đượ c giá tr ị tớ i hạn Student )1n(t −

α sao

cho

α=>=∈ −

αα )tT(P)H/WG(P )1n(0

Ta thu đượ c miền bác bỏ bên phải Wα đượ c xác định bằng biểu thức

⎪⎭

⎪⎬⎫

>

⎩⎨⎧ µ−

== −

αα

)1n(0 tT;S

n)X(TW (8.7)

b)⎩⎨⎧

µ<µ

µ=µ

01

00

:H

:H

Lúc đó vớ i mức ý ngh ĩ a α cho tr ướ c có thể tìm đượ c giá tr ị tớ i hạn Student )1n(1t

−

α−sao

cho

α=−<=<=∈ −

α

−

α−α )tT(P)tT(P)H/WG(P )1n()1n(10

Ta thu đượ c miền bác bỏ bên trái Wα đượ c xác định bằng biểu thức

⎪⎭

⎪⎬⎫

−<

⎩⎨⎧ µ−

== −

αα

)1n(0 tT;S

n)X(TW (8.8)

c)⎩⎨⎧

µ≠µ

µ=µ

01

00

:H:H WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Lúc đó vớ i mức ý ngh ĩ a α cho tr ướ c có thể tìm đượ c hai giá tr ị tớ i hạn Student là)1n(

2/t −

α và

)1n(2/1t

−

α− sao cho

α=>=

>+−<=

>+<=∈

−

α

−

α

−

α

−

α

−

α−α

)tT(P)tT(P)tT(P

)tT(P)tT(P)H/WG(P

)1n(2/

)1n(

2/

)1n(

2/

)1n(2/

)1n(2/10

Ta thu đượ c miền bác bỏ hai phía đượ c xác định bằng biểu thức

⎪⎭

⎪⎬⎫

>

⎩⎨⎧ µ−

== −

αα

)1n(2/

0 tT;S

n)X(TW (8.9)

Lậ p mẫu cụ thể w = (x1, x2, …, xn) tính đượ c x , s và giá tr ị quan sát tiêu chuẩn kiểmđịnh

s

n)x(T 0

qs

µ−=


- Nếu Tqs ∈ Wα thì bác bỏ H0, thừa nhận H1;

- Nếu Tqs ∉ Wα thì chưa có cơ sở để bác bỏ H0.

Ví d ụ 2. Tr ọng lượ ng đóng bao của các bao đạm trong kho là biến ngẫu nhiên phân

phối chuẩn vớ i tr ọng lượ ng trung bình theo quy định là 50kg. Nghi ngờ bị đóng thiếu,

ngườ i ta đem cân ngẫu nhiên 25 bao và thu đượ c các số liệu sau:

Tr ọng lượ ng đạm (kg) Số bao tươ ng ứng

48 – 48,5 2

48,5 – 49 5

49 – 49,5 10

49,5 – 50 6

50 – 50,5 2

Vớ i ý ngh ĩ a α = 0,01 hãy k ết luận về điều nghi ngờ nói trên.

Giải

Gọi X là tr ọng lượ ng đóng bao. Theo giả thiết X phân phối chuẩn. Vậy tr ọng

lượ ng đóng bao trung bình chính là tham số µ. Đây là bài toán kiểm định giả thuyết về tham số µ của phân phối chuẩn N(µ, 2

σ ) khi chưa biết 2σ .


⎩⎨⎧

µ<µ

µ=µ

01

00

:H:H WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M





S

25)50X(T

−=

Trong đó X và S là trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu ngẫu nhiên kích thướ c

n = 25

Vớ i α = 0,01 ta có (n 1) (24)

0,01 0,01t t 2, 402−

= =

- Miền bác bỏ: Wα = )402,2;( −−∞

Từ mẫu cụ thể ta lậ p bảng tính x và s

xi ni xi ni2ii xn

48,25 2 96,5 4656,125

48,75 5 243,75 11882,8125

49,25 10 492,5 24255,625

49,75 6 298,5 14850,375

50,25 2 100,5 5050,125

n = 25 ∑= 751231 , ∑

= 06260695 ,

Từ đó: 27,4925

75,1231x ==

22 1 1231,75

s 60695,062 0,28125 1 25

⎡ ⎤= − ≈⎢ ⎥

− ⎣ ⎦

2s s 0,53= ≈

- Giá tr ị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định

887,653,0

25)5027,49(Tqs −=

−=

Vậy Tqs ∈ Wα: Bác bỏ H0, thừa nhận H1, tức là qua mẫu cụ thể này thừa nhận đạm bị đóng thiếu vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,01.

2.3. Kiểm định giả thuyết về hai k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối theoquy luật chuẩn

Giả sử có hai tổng thể nghiên cứu, trong đó các biến ngẫu nhiên X1 và X2 cùng

phân phối chuẩn vớ i các k ỳ vọng toán là µ1, µ2 và các phươ ng sai là 22

21 σ σ , . Nếu µ1 và

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




µ2 chưa biết song có cơ sở để giả thiết r ằng giá tr ị của chúng bằng nhau ngườ i ta đưa

ra giả thuyết thống kê

H0: µ1 = µ2

Để kiểm định giả thuyết trên ta xét một số tr ườ ng hợ p sau:

1. N ế u đ ã bi ế t các phươ ng sai 21σ và 2

2σ của các bi ế n ng ẫ u nhiên g ố c trong t ổ ng

thể và t ừ hai t ổ ng thể trên có thể rút ra hai mẫ u độc l ậ p kích thướ c n1 và n2:

1 2 11 1 1 1nW (X ,X ,...,X )=

1 2 22 2 2 2nW (X ,X ,..., X )=

Lúc đó tiêu chuẩn kiểm định đượ c chọn là thống kê

2

2

2

1

2

1

2121

nn

)()XX(UG

σ+σ

µ−µ−−== (8.10)

Ngườ i ta chứng minh đượ c thống kê U phân phối N(0,1). Nếu giả thuyết H0 đúng

thì thống kê U có dạng

2

22

1

21

21

nn

)XX(U

σ+

σ

−= (8.11)

và cũng phân phối N(0,1). Vì vậy vớ i mức ý ngh ĩ a bằngα

cho tr ướ c và tùy thuộc vào

dạng của giả thuyết đối H1, vớ i phươ ng pháp xây dựng giống như đã làm ở các phần

trên ta thu đượ c các miền bác bỏ Wα tươ ng ứng sau:

a)⎩⎨⎧

µ>µ

µ=µ

211

210

:H

:H

Miền bác bỏ bên phải Wα đượ c xác định bằng biểu thức

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

>

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

σ+

σ

−== αα uU;

nn

)XX(UW

2

22

1

21

21 (8.12)

b)⎩⎨⎧

µ<µ

µ=µ

211

210

:H

:H

Miền bác bỏ bên trái Wα đượ c xác định bằng biểu thức

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−<

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

σ+

σ

−== αα uU;

nn

)XX(UW

2

22

1

21

21 (8.13)

c)⎩⎨⎧

µ≠µ

µ=µ

211

210

:H

:H

Miền bác bỏ hai phía đượ c xác định bằng biểu thức

⎪

⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

>

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

σ

+

σ

−== αα 2/

2

22

1

21

21 uU;

nn

)XX(UW (8.14)

Lậ p hai mẫu cụ thể w1, w2 tính đượ c các trung bình mẫu

1n

1 1i

i 11

1x x

n =

= ∑ ;2n

2 2i

i 12

1x x

n =

= ∑

và tính đượ c giá tr ị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định

2

2

2

1

2

1

21qs

nn

)xx(U

σ+σ

−=


- Nếu Uqs ∈ Wα thì bác bỏ H0, thừa nhận H1

- Nếu Uqs ∉ Wα thì chưa có cơ sở để bác bỏ H0

Ví d ụ 3. Tại một xí nghiệ p ngườ i ta xây dựng hai phươ ng án gia công cùng một loại

chi tiết. Để đánh giá xem chi phí trung bình về nguyên liệu theo hai phươ ng án ấy có

khác nhau hay không ngườ i ta tiến hành sản xuất thử và thu đượ c các k ết quả sau:

Phươ ng án 1 2,5 3,2 3,5 3,8 3,5

Phươ ng án 2 2,0 2,7 2,5 2,9 2,3 2,6

Vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05 hãy k ết luận về vấn đề trên biết r ằng chi phí nguyên liệu

theo cả hai phươ ng án gia công đều là các biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn vớ i.16,02

221 =σ=σ

Giải

Gọi X1 và X2 tươ ng ứng là chi phí nguyên liệu theo hai phươ ng án gia công trên.

Theo giả thiết X1, X2 phân phối chuẩn. Vậy chi phí nguyên liệu trung bình theo các phươ ng án đó là µ1và µ2. Vậy đây là bài toán kiểm định giả thuyết về hai k ỳ vọng toán

của biến ngẫu nhiên phân phối chuấn khi đã biết hai phươ ng sai.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM





⎩⎨⎧

µ≠µ

µ=µ

211

210

:H

:H


6

16,0

5

16,0

)XX(U 21

+

−=

Do α = 0,05 ⇒ .96,1uu 025.02/ ==α

- Miền bác bỏ Wα = );96,1()96,1;( ∞+∪−−∞

- Từ mẫu cụ thể ta tính đượ c

1 2,5 3,2 3,5 3,8 3,5x 3,35

+ + + += =

2

2,0 2,7 2,5 2,9 2,3 2,6x 2,5

6

+ + + + += =

- Giá tr ị quan sát của tiêu chuẩn kiểm định:

33,3

6

16,0

5

16,0

)5,23,3(Uqs =

+

−=

Vậy Uqs ∈ Wα: Bác bỏ H0, thừa nhận H1, tức là qua mẫu cụ thể này thừa nhận chi phínguyên liệu theo hai phươ ng án gia công trên thực sự khác nhau vớ i mức ý ngh ĩ aα = 0,05.

2. N ế u chư a bi ế t các phươ ng sai 21σ và 2


thể song gi ả đị nh r ằng chúng bằng nhau ( 21σ = 2

2σ ).

Ta giả định r ằng có thể điều tra đượ c hai mẫu độc lậ p kích thướ c n1 và n2.


21 p

2121

n

1

n

1S

)()XX(TG

+

µ−µ−−== (8.15)

vớ i2nn

S)1n(S)1n(S

21

222

211

p−+

−+−= (8.16)

Ngườ i ta chứng minh đượ c T phân phối Student vớ i n1 + n2 – 2 bậc tự do.

Vớ i điều kiện giả thuyết H0 là đúng thì tiêu chuẩn kiểm định tr ở thànhWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Vớ i2nn

s)1n(s)1n(s

21

222

211

p−+

−+−=




Ví d ụ 4. Một nghiên cứu đượ c thực hiện đối vớ i 20 ngườ i ở một phườ ng và 19 ngườ i ở một phườ ng khác trong thành phố để xem thu nhậ p trung bình hàng năm (tính bằng

triệu đồng) của dân cư hai phườ ng đó có thực sự khác nhau hay không. Các số liệu

mẫu thu đượ c như sau:

n1 = 20; 1x = 18,27; 74,8s21 =

n2 = 19; 2x = 16,78; 58,6s22 =

Vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05 có thể cho r ằng thu nhậ p trung bình của dân cư hai phườ ng

đó khác nhau không? Giả thiết thu nhậ p hàng năm của dân cư hai phườ ng đó cùng

phân phối chuẩn vớ i phươ ng sai như nhau.

Giải

Gọi X1, X2 tươ ng ứng là thu nhậ p hàng năm của dân cư hai phườ ng đó. Theo giả

thiết X1và X2 phân phối chuẩn vớ i các phươ ng sai 22

21 σ=σ . Vậy đây là bài toán kiểm

định giả thuyết về hai k ỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên phân phối chuấn khi chưa biết

hai phươ ng sai nhưng giả định chúng bằng nhau.

- Cặ p giả thuyết thống kê

⎩⎨⎧

µ≠µ

µ=µ

211

210

:H

:H

- Tiêu chuẩn kiểm định

21 p

21

n

1

n

1S

)XX(T

+

−=

Do α = 0,05 ⇒ .96,1tt)37(

025,0)2nn(

2/21 ≈=

−+

α

- Miền bác bỏ

Wα = );96,1()96,1;( ∞+∪−−∞

- Từ mẫu cụ thể ta tính đượ c

773,221920

58,6.1874,8.19s p =

−+

+=

- Giá tr ị quan sát của tiêu chuẩn kiểm địnhWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




677,1

19

1

20

1.773,2

)78,1627,18(Tqs =

+

−=

Tqs ∉ Wα do đó vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05 qua hai mẫu cụ thể đã cho chưa có cơ sở để

bác bỏ H0, tức là có thể cho r ằng thu nhậ p trung bình hàng năm của dân cư hai phườ ngđó là như nhau.

3. N ế u chư a bi ế t các phươ ng sai 21σ và 2


thể song không thể cho r ằng chúng bằng nhau ( 21σ

22σ ).

Lúc đó nếu có thể điều tra đượ c từ tổng thể hai mẫu độc lậ p kích thướ c n1, n2 thì

chọn lậ p thống kê

2

2

2

1

2

1

2121

nS

nS

)()XX(TG

+

µ−µ−−== (8.21)

Ngườ i ta chứng minh đượ c T phân phối Student vớ i số bậc tự do là

)1n()C1(C)1n(

)1n)(1n(k

122

2

21

−−+−

−−= (8.22)

vớ i

2

2

2

1

2

1

1

21

nS

nS

n

S

C

+

=

Nếu giả thuyết H0 là đúng thì tiêu chuẩn kiểm định tr ở thành

2

22

1

21

21

n

S

n

S

)XX(TG

+

−== (8.23)

và phân phối T(k). Vì vậy miền bác bỏ mức α đượ c xác định bằng các công thức sau:

a)⎩⎨⎧

µ>µ

µ=µ

211

210

:H

:H

Miền bác bỏ bên phải Wα đượ c xác định bằng biểu thức

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

>

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

−== αα

)k (

2

22

1

21

21 tT;

n

S

n

S

)XX(TW (8.24)

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




b)⎩⎨⎧

µ<µ

µ=µ

211

210

:H

:H

Miền bác bỏ bên trái Wα đượ c xác định bằng biểu thức

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

−<

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

−== αα

)k (

2

22

1

21

21 tT;

n

S

n

S

)XX(TW (8.25)

c)⎩⎨⎧

µ≠µ

µ=µ

211

210

:H

:H

Miền bác bỏ hai phía đượ c xác định bằng biểu thức

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

>

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

−==

αα

)k (2/

2

22

1

21

21 tT;

n

S

n

S

)XX(TW (8.26)

Lậ p hai mẫu cụ thể w1, w2 tính đượ c 1x , 2x , 22

21 s,s và tính đượ c giá tr ị quan sát

của tiêu chuẩn kiểm định

2

22

1

21

21qs

n

s

n

s)xx(T

+

−=




Ví d ụ 5. Để kiểm nghiệm hiệu quả của một loại thuốc tẩy giun cho lợ n, ngườ i ta bắt

ngẫu nhiên 14 con lợ n từ một tr ại chăn nuôi và chia thành hai nhóm: Nhóm 1: Cho uống thuốc tẩy giun

Nhóm 2: Không cho uống thuốc tẩy giun

Sau thờ i gian dùng thuốc, khi giết thịt, hai nhóm lợ n trên cho k ết quả sau về số giun có

trong những con lợ n thuộc hai nhóm trên.

Nhóm 1 18 43 28 50 16 32 13

Nhóm 2 40 54 26 63 21 37 39

Vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05 hãy xem loại thuốc tẩy giun nói trên có thực sự hiệu quả hay không?WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




Giải

Gọi X1, X2 là số giun trong mỗi con lợ n thuộc hai nhóm trên. Theo giả thiết X1 và

X2 phân phối chuẩn vớ i 21σ và 2

2σ chưa biết và không thể cho r ằng chúng bằng nhau.

Vậy số giun trung bình là µ1và µ2.


⎩⎨⎧

µ<µ

µ=µ

211

210

:H

:H


2

22

1

21

21

n

S

n

S

)XX(T

+

−=

Từ 2 mẫu cụ thể tính đượ c

n1 = 7; 1x = 28,57; 21s = 198,62

n2 = 7; 2x = 40; 22s = 215,33

Ta có

2

22

1

21

1

21

n

s

n

s

n

s

C

+

= = 0,4798

Suy ra)1n()C1(C)1n(

)1n)(1n(k

122

2

21

−−+−

−−=

=)17()4798,01(4798,0).17(

)17)(17(22

−−+−

−− ≈ 12

Vớ i α = 0,05 suy ra)12(

05,0t = 1,782

- Miền bác bỏ

Wα = )782,1;( −−∞


49,1

7

33,215

7

62,198

)4057,28(Tqs −=

+

−=

Tqs ∉ Wα do đó vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05 chưa có cơ sở để bác bỏ H0, tức là chưa thể cho r ằng loại thuốc tẩy giun đượ c thử nghiệm là có hiệu quả.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




20

22qs

s)1n(

σ

−=χ


- Nếu2

qsχ ∈ Wα thì bác bỏ H0, thừa nhận H1;

- Nếu 2qsχ ∉ Wα thì chưa có cơ sở để bác bỏ H0.

Ví d ụ 6. Để kiểm tra độ chính xác của một chiếc máy ngườ i ta đo ngẫu nhiên kích

thướ c của 15 chi tiết do máy đó sản xuất và tính đượ c s2 = 14,6. Vớ i mức ý ngh ĩ a

α = 0,01 hãy k ết luận máy móc có hoạt động bình thườ ng không, biết r ằng kích thướ cchi tiết là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn có dung sai theo thiết k ế là σ

2 = 12.

Giải

Gọi X là kích thướ c chi tiết, theo giả thiết X phân phối chuẩn.


⎪⎩

⎪⎨⎧

>σ

=σ

12:H

12:H

21

20

- Tiêu chuẩn kiểm định

=

σ

−=χ=

2

0

22 S)1n(

G

12

S).14( 2

Vớ i α = 0,01 suy ra)14(

01,0χ = 29,14

- Miền bác bỏ

Wα = );14,29( ∞+


=χ2qs 033,17

12

6,14).14(=

2qsχ ∉ Wα do đó vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,01 chưa có cơ sở để bác bỏ H0, tức là có thể

nói máy móc vẫn hoạt động bình thườ ng.

2.5. Kiểm định giả thuyết về tham số p của biến ngẫu nhiên phân phối không -một

Giả sử trong tổng thể nghiên cứu biến ngẫu nhiên gốc X phân phối không - một

vớ i tham số là p. Nếu chưa biết p song có cơ sở giả thiết r ằng giá tr ị của nó bằng p0, ta

đưa ra giả thuyết thống kê

H0: p = p0

Từ tổng thể lậ p mẫu ngẫu nhiên kích thướ c n

W = (X1, X2, ..., Xn)WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ngườ i ta chứng minh đượ c r ằng vớ i n > 5 và 3,0n

pp1

p1p

−−

−

thì thống kê

) p1( p

n) pf (UG

00

0

−

−== (8.31)

phân phối xấ p xỉ N(0,1). Do đó vớ i mức ý ngh ĩ a α và tùy thuộc vào giả thuyết đối H1,

các miền bác bỏ đượ c xác định như sau.

a)⎩⎨⎧

>

=

01

00

p p:H

p p:H

⎪⎭⎪⎬⎫

>⎪⎩⎪⎨⎧

−−== αα uU;

) p1( pn) pf (UW00

0 (8.32)

b)⎩⎨⎧

<

=

01

00

p p:H

p p:H

⎪⎭

⎪⎬⎫

−<⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−== αα uU;

) p1( p

n) pf (UW

00

0 (8.33)

c)⎩⎨⎧

≠=

01

00

p p:H p p:H

⎪⎭

⎪⎬⎫

>⎪⎩

⎪⎨⎧

−

−== αα 2/

00

0 uU;) p1( p

n) pf (UW (8.34)

Vớ i mẫu cụ thể w = (x1, x2, …, xn) tìm đượ c giá tr ị quan sát Uqs của tiêu chuẩn

kiểm định, so sánh vớ i Wα và k ết luận.

Ví d ụ 7. Tỷ lệ khách hàng tiêu dùng một loại sản phẩm ở địa phươ ng A là 60%. Sau

một chiến dịch quảng cáo ngườ i ta muốn đánh giá xem chiến dịch quảng cáo này cóthực sự mang lại hiệu quả hay không. Để làm điều đó ngườ i ta đã phỏng vấn ngẫunhiên 400 khách hàng thì thấy có 250 ngườ i tiêu dùng loại sản phẩm nói trên. Vớ i mức

ý ngh ĩ a 0,05 hãy k ết luận về hiệu quả của chiến dịch quảng cáo đó.

Giải

Gọi p là tỷ lệ khách hàng tiêu dùng loại sản phẩm đó ở địa phươ ng A. Đây là bài

toán kiểm định tham số p của phân phối A(p).


⎩⎨

⎧

>

=

6,0 p:H

6,0 p:H

1

0

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




vì n > 5 và 3,002,0400

6,0

4,0

4,0

6,0

<=

−

nên

-Tiêu chuẩn kiểm định

) p1( p

n) pf (U

00

0

−

−=

Vớ i α = 0,05 suy ra uα = u0,05 = 1,65

- Miền bác bỏ là

Wα = (1,65 ; +∞)

Vớ i f = 625,0400

250= ta có


02,14,0.6,0

400)6,0625,0(Uqs =

−=

α∉ WUqs nên chưa có cơ sở bác bỏ H0, tức là chưa thể nói chiến dịch quảng cáo có

hiệu quả vớ i mức ý ngh ĩ a 5%.

2.6. Kiểm định giả thuyết về hai tham số p của hai biến ngẫu nhiên phân phốikhông - một

Giả sử có hai tổng thể nghiên cứu, trong đó các biến ngẫu nhiên X1 và X2 cùng

phân phối không - một vớ i các tham số tươ ng ứng là p1 và p2. Nếu p1 và p2 chưa biết

song có cơ sở để giả thiết r ằng giá tr ị của chúng bằng nhau, ta đưa ra giả thuyết thống

kê

H0: p1 = p2

Để kiểm định giả thuyết trên, từ các tổng thể rút ra hai mẫu ngẫu nhiên độc lậ pkích thướ c n1 và n2.

1 2 11 1 1 1nW (X ,X ,...,X )=

1 2 22 2 2 2nW (X ,X ,..., X )=


2

22

1

11

2121

n

) p1( p

n

) p1( p

) p p()f f (UG

−+

−

−−−== (8.35)

Ngườ i ta chứng minh đượ c U phân phối xấ p xỉ chuẩn hóa nếu n1 > 30 và n2 > 30.

Nếu giả thuyết H0 đúng (p1 = p2 = p) thì tiêu chuẩn kiểm định tr ở thànhWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−==

21

21

n

1

n

1) p1( p

)f f (UG (8.36)

thông thườ ng p chưa biết nên đượ c thay bằng ướ c lượ ng của nó là

21

2211

nn

f nf nf

+

+= (8.37)

Như vậy ta có tiêu chuẩn kiểm định

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−==

21

21

n

1

n

1)f 1(f

f f UG (8.38)

phân phối xấ p xỉ N(0,1) nếu n1 > 30 và n2 > 30. Do đó tuỳ thuộc vào giả thuyết đốiH1, các miền bác bỏ mức α đượ c xác định như sau

a)⎩⎨⎧

>

=

211

210

p p:H

p p:H

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ +−

−== αα uU;

n

1

n

1)f 1(f

f f UW

21

21 (8.39)

b)⎩⎨⎧

<

=

211

210

p p:H

p p:H

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−<

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−== αα uU;

n

1

n

1)f 1(f

f f UW

21

21 (8.40)

c)⎩⎨⎧

≠

=

211

210

p p:H

p p:H

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

>

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

−== αα 2/

21

21 uU;

n

1

n

1)f 1(f

f f UW (8.41)

Vớ i hai mẫu cụ thể ta tính đượ c các giá tr ị cụ thể của f 1, f 2, f và giá tr ị quan sát

Uqs của tiêu chuẩn kiểm định và so sánh vớ i Wα để k ết luận.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d ụ 8. Kiểm tra ngẫu nhiên các sản phẩm cùng loại do hai nhà máy sản xuất thu

đượ c các số liệu sau:

Nhà máy Số sản phẩm đượ c kiểm tra Số phế phẩm

A n1 = 1000 x1 = 30

B n2 = 900 x2 = 30

Vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05 có thể coi tỷ lệ phế phẩm của hai nhà máy là như nhau

không?

Giải

Gọi p1, p2 tươ ng ứng là tỷ lệ phế phẩm của hai nhà máy A và B. Như vậy đây là

bài toán kiểm định cặ p giả thuyết thống kê:

Cặ p giả thuyết thống kê⎩⎨⎧

≠=

211

210

p p:H p p:H vớ i n1 và n2 khá lớ n.

Tiêu chuẩn kiểm định là:

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +−

−=

900

1

1000

1)f 1(f

f f U 21

Do α = 0,05 ⇒ uα/2 = 96,1u 025,0 = nên miền bác bỏ là );96,1()96,1;( +∞∪−−∞ .

Vớ i hai mẫu cụ thể ta tìm đượ c

;02,01000

20f 1 == 033,0900

30f 2 == ;

;0263,09001000

3020f =

+

+=

.81,1

900

1

1000

19737,0.0263,0

033,002,0Uqs −=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

−=

Uqs ∉ Wα vậy chưa có cơ sở để bác bỏ H0, tức là có thể coi tỷ lệ phế phẩm hai nhà máynhư nhau vớ i ý ngh ĩ a 5%.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



http://www.ebook.edu.vn124

PHẦN III. QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chươ ng VIII


§1-BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH TRONG THỰ C TẾ Quy hoạch tuyến tính là một trong những lớ p bài toán tối ưu quan tr ọng nhất

và đượ c ứng dụng r ộng rãi trong thực tiễn. Tr ướ c khi định ngh ĩ a bài toán quy hoạch

tuyến tính và nghiên cứu nó, ta hãy xét một bài toán thực tế điển hình (và đơ n giản) có

thể phát biểu toán học thành quy hoạch tuyến tính? Chúng ta sẽ thấy mô hình toán học

thật đẹ p và tự nhiên. Thế nhưng mãi đến năm 1947, G. B. Dantzig mớ i đưa ra đượ c mô

hình toán học này khi nghiên cứu các bài toán lậ p k ế hoạch cho không quân Mỹ. Ngay

sau khi Dantzig đưa ra quy hoạch tuyến tính, ngườ i ta thấy r ất nhiều bài toán thực tế

thuộc các l ĩ nh vực khác nhau có thể mô tả toán học là quy hoạch tuyến tính.

Ví d ụ1. Bài toán l ậ p k ế hoạch sản xuấ t :Công ty Reddy Mikks sản xuất sơ n nội thất và sơ n ngoài tr ờ i. Nguyên liệu gồm

hai loại A và B vớ i tr ữ lượ ng là 6 tấn và 8 tấn tươ ng ứng. Để sản xuất một tấn sơ n nội

thất cần 2 tấn nguyên liệu A và 1 tấn nguyên liệu B. Để sản xuất một tấn sơ n ngoài tr ờ icần 1 tấn nguyên liệu A và 2 tấn nguyên liệu B. Qua tiế p thị đượ c biết nhu cầu thị tr ườ ng là như sau (cho một ngày).

- Nhu cầu sơ n nội thất không hơ n nhu cầu sơ n ngoài tr ờ i quá 1 tấn.

- Nhu cầu cực đại của sơ n nội thất là 2 tấn.

Giá bán sỉ là 2000 USD một tấn sơ n nội thất và 3000 USD một tấn sơ n ngoài

tr ờ i.Vấn đề cần sản xuất mỗi ngày như thế nào để doanh thu là lớ n nhất.

Gọi x1 và x2 là số lượ ng (tính theo tấn), sơ n nội thất và sơ n ngoài tr ờ i tươ ng ứng

cần sản xuất trong ngày. Đây sẽ là các biế n hoặc các phươ ng án của bài toán. Khi đó

doanh thu trong ngày sẽ là:

f(x) = z = 2x1 + 3x2

và đượ c gọi là hàm mục tiêu. Ở đây đơ n vị tiền tính bằng nghìn USD.

Các ràng buộc trên biến x1, x2 sẽ gọi là các ràng buộc của bài toán như sau.

Nguyên liệu sử dụng không đượ c quá tr ữ lượ ng:

2x1 + x2 ≤ 6 (nguyên liệu A)

x1+ 2x2 ≤ 8 (nguyên liệu B)

Sản xuất không nhiều hơ n nhu cầu thị tr ườ ng:

x1 - x2 ≤ 1

x1 ≤ 2

Sản lượ ng phải là số thực không âm:

x1≥ 0, x2 ≥0

Ta gọi phươ ng án (x1, x2) là chấ p nhận đượ c nếu nó thỏa mọi ràng buộc. Khi đó (x1,

x2) cũng gọi là nghiệm chấ p nhận đượ c. WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




V ậ y bài toán tr ở thành :

Tìm phươ ng án chấ p nhận đượ c làm cực đại hàm mục tiêu z và đượ c viết ở dạng

toán học như sau:

z = 2x1 + 3x2 → max

2x1+ x2 ≤ 6

x1+ 2x2 ≤ 8

x1 - x2 ≤ 1

x1 ≤ 2,

x1≥ 0, x2 ≥0,

Ví d ụ 2. Bài toán khẩ u phần ăn.Giả sử ngườ i ta muốn chế biến món ăn từ nhiều thành phần (thực phẩm) sao cho

đủ các chất bổ (như chất đạm, chất đườ ng, chất béo…) mà giá thành lại r ẻ nhất.

Giả sử có n thành phần, vớ i giá một đơ n vị (khối lượ ng) thành phần j là c j,

j = n,1 . Đồng thờ i có m chất. Biết r ằng một đơ n vị thành phần j chứa aij đơ n vị chất i,

i = 1,…, m và mức chấ p nhận đượ c số đơ n vị chất i trong hỗn hợ p là nằm giữa bi ≥ 0và ui ≥ 0, i = 1,…,m.

Gọi x j là số đơ n vị khối lượ ng của thành phần j trong một đơ n vị khối lượ ng của

món ăn. Khi đó, tươ ng tự như ví dụ trên bài toán tr ở thành:

z = f(x) = ∑=

n

1 j

j jxc → min

bi ≤ ∑=

n

1 j

jijxa ≤ ui, i = 1,…, m.

∑=

n

1 j

jx = 1

x j ≥ 0 , j = 1, …, n.

Ví d ụ 3. Bài toán vận t ải.Hàng hóa đượ c vận chuyển từ m kho đến n cửa hiệu bán lẻ. Lượ ng hàng ở kho i

là si ≥ 0 (tấn ), i = 1,…, m và cửa hiệu j có nhu cầu d j ≥ 0 (tấn), j = 1,…, n. Cướ c vận

chuyển một tấn hàng từ kho i đến cửa hiệu j là cij đồng. Giả sử tổng hàng ở các kho và

tổng nhu cầu bằng nhau:

∑=

m

1i

is = ∑=

n

1 j

jd

(a)

Bài toán đặt ra là lậ p k ế hoạch vận chuyển để tiền cướ c là nhỏ nhất, vớ i điều kiện

là mỗi cửa hàng đều nhận đủ và mỗi kho đều trao hết hàng.

Gọi lượ ng hàng vận chuyển từ kho i đến cửa hàng j là xij, thì k ế hoạch vận

chuyển, tức là phươ ng án theo ngh ĩ a chung, là ma tr ận (x ij) cấ p m x n. Dạng toán học

của bài toán là:

∑∑ →=i j

ijij minxcz

i = 1,…, m; j = 1,…, n.

i

n

1 j

ij sx =∑=

, i = 1,…, m (b)WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




∑=

m

1i

ijx = d j , j = 1,…, n

Mô hình này gọi là mô hình vận tải đóng. Nếu không có giả thiết (a) và ràng buộc

(b) đổi lại là ∑=

m

1iij

x ≤ si , tức là các kho có thể không trao hết, thì mô hình đượ c gọi là

mô hình vận tải mở .

§2-BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

2.1.Các định ngh ĩ aBài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát là bài toán tìm cực tr ị (cực tiểu hoặc cực

đại) của một hàm tuyến tính xác định trên tậ p hợ p nghiệm của một hệ thống hỗn hợ pcác phươ ng trình và bất phươ ng trình tuyến tính.

f(x) = ∑=

n

1 j

j jxc → min (max)

∑=

n

1 j

jijxa = bi (i ∈ I1)

∑=

n

1 j

jijxa ≥ bi (i ∈ I2)

Hàm f(x) gọi là hàm mục tiêu, mỗi phươ ng trình hoặc trong hệ điều kiện gọi là

một ràng buộc. Ta sẽ định ngh ĩ a một số khái niệm liên quan tớ i bài toán.

Phươ ng án: Một véc tơ x thỏa mãn mọi ràng buộc của bài toán gọi là một phươ ng án.

Phươ ng án t ố i ư u: Một phươ ng án tại đó tr ị số hàm mục tiêu đạt cực tiểu (hoặc cực

đại) gọi là phươ ng án tối ưu.

Một bài toán có ít nhất một phươ ng án tối ưu gọi là bài toán giải đượ c, một bài

toán không có phươ ng án tối ưu gọi là bài toán không giải đượ c, tuy nhiên cần chú ý

hai tr ườ ng hợ p:

+ Thứ nhất: Bài toán không có phươ ng án.

+ Thứ hai: Bài toán có phươ ng án nhưng tr ị số hàm mục tiêu không bị chặn trên tậ p phươ ng án, hay nói cách khác là tr ị số hàm mục tiêu giảm (tăng) vô hạn, tức là f(x) →

-∞ (+∞ ) trên tậ p phươ ng án.

Để phân biệt tính chất của các ràng buộc đối vớ i một phươ ng án ta sẽ làm quen

vớ i hai khái niệm ràng buộc chặt và lỏng.

- Nếu đối vớ i phươ ng án x mà ràng buộc thỏa mãn vớ i dấu đẳng thứ, ngh ĩ a là:

i j

n

1 j

ij bxa =∑=

thì ta nói phươ ng án x thỏa mãn chặt ràng buộc i hay ràng buộc i là chặt đối vớ i phươ ng án x.

- Nếu đối vớ i phươ ng án x mà ràng buộc i thỏa mãn vớ i dấu bất đẳng thức thực

sự, ngh ĩ a là :

∑=

n

1 j jij

xa > bi

thì ta nói phươ ng án x thỏa mãn lỏng ràng buộc i hay ràng buộc i là l ỏng đối vớ i phươ ng án x.WW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




2.2.Phân loại dạng bài toánTa thấy mọi bài toán đều đượ c dẫn về mô hình gồm 3 phần:

1. Hàm mục tiêu: Là một t ổ hợ p tuyế n tính của các ẩ n số , biể u thị một đại l ượ ng

nào đ ó mà ta phải quan tâm trong bài toán như : T ổ ng số lãi thu đượ c, t ổ ng số vố n bỏ

ra, giá thành sản phẩ m…

2. Các ràng buộc của bài toán: Là các phươ ng trình hoặc bấ t phươ ng trình tuyế ntính n ẩ n số , nả y sinh do tài nguyên hạn chế , k ế hoạch sản phẩ m, yêu cầu về k ỹ thuật

trong sản xuấ t…

3. Các hạn chế về d ấ u của các ẩ n số : Trong các ví d ụ ở bài 1, x j không âm (nó

thườ ng là số sản phẩ m, số vố n, số ng ườ i…). Tuy nhiên, trong tr ườ ng hợ p t ổ ng quát,

x j có thể không l ớ n hơ n 0 (như x j là nhiệt độ bảo quản thự c phẩ m).

Căn cứ vào kiểu ràng buộc, các kiểu hạn chế dấu của các ẩn số, dạng ma tr ận hệ số các ràng buộc và dấu các số hạng tự do bi (i = m,1 ), ngườ i ta phân dạng bài toán thành

ba loại chính sau đây:

Dạng t ổ ng quát

(1) f(x) = ∑=

n

1 j

j jxc → min (max) i ∈ I1

(2)

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∈≥

∈≤

∈=

∑∑

∑

=

=

=

3i

n

1 j

ij

2i

n

1 j jij

1i

n

1 j

jij

Ii ba

Ii bxa

Ii bxa

(3) x j ≥ 0 ( j ∈ J1) , x j ≤ 0 ( j ∈ J2), x j tùy ý ( j ∈ J3).

Trong đó, các tậ p I1, I2, I3 r ờ i nhau và I1∪ I2∪ I3 = I = {1, 2, 3,…, m}; J1, J2, J3 r ờ inhau và J1∪J2∪J3 = J = {1, 2, 3,…, n};

A = (aij)mxn là ma tr ận hệ số ràng buộc.

B = (b1, b2, …, bm) là véc tơ các số hạng tự do.

C = ( c1, c2, …, cn) là véc tơ các ẩn trong hàm mục tiêu.Ví d ụ 1. Bài toán sau đây có dạng tổng quát:

(1) f(x) = 3x1 - x2 + 2x3 + x4 + 5x6 → max

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤+++

−≥++−

=+−

≤+++−

100xx2xx

18xx2xx

20xx2x4

17xx2xxx2

4321

5321

321

54321

(3) x1, x4 ≥ 0; x2, x5 ≤ 0; x3 tùy ý.

I1 = {2}, I2 = {1, 4}, I3 = {3}, I = {1, 2, 3, 4}

J1 = {1, 4}, J2 = {2, 5}, J3 = {3}, J = {1, 2, 3, 4, 5} WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Dạng chính t ắ c

(1) f(x) = ∑=

n

1 j

j jxc → min (max)

(2) ∑=

n

1 j

jijxa = bi ( i = 1, …, m)

(3) x j ≥ 0 ( j = 1, .., n)Hệ ràng buộc của bài toán chính tắc gồm hai nhóm, một nhóm là các ràng buộc

phươ ng trình, còn nhóm ràng buộc bất phươ ng trình tr ở thành các ràng buộc về dấu

đối vớ i các biến (mọi biến đều không âm).

I1 = I, I2 = I3 = ∅; J1 = J, J2 = J3 = ∅.

Ví d ụ 2.

Bài toán sau đây cũng có dạng chính tắc:

(1) f(x) = 3x1 - x2 + x3 -3x4 + x5 → min

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+

−=−−

=+−+

17xx2x

18xxx0x3xxx2

543

432

4321

(3) x j = 0 (j = 5,1 )

Từ cách viết của hệ phươ ng trình ta suy ra những cách thể hiện khác của bài toán dạng

chính tắc:

f(x) = ∑=

n

1 j

j jxc → min (max)

∑=

n

1 j j jAc = b

x j ≥0 (j = 1,…,n)

Hoặc có thể viết dướ i dạng ma tr ận hệ ràng buộc:

Ax = b, x ≥0

Đối vớ i bài toán dạng chính tắc ta có một mệnh đề quan tr ọng sau: M ọi bài toán quy

hoạch tuyế n tính đề u có thể quy về bài toán d ạng chính t ắ c t ươ ng đươ ng theo nghĩ a tr ị t ố i ư u của hàm mục tiêu trong hai bài toán là trùng nhau và t ừ phươ ng án t ố i ư u của

bài toán này ta suy ra phươ ng án t ố i ư u của bài toán kia.

Thật vậy ràng buộc về dấu luôn có thể đưa về dạng không âm bằng cách đổi biến.Còn nếu biến số x j không có ràng buộc dấu thì do đặc điểm của các số ta đặt x j = x' j -

x" j , vớ i x' j, x" j ≥ 0. Nếu một ràng buộc có dạng ∑=

n

1 j

jijxa ≤ bi thì có thể thay bằng

∑=

n

1 j

jijxa + x p

i = bi vớ i x p

i ≥ 0 và hệ số của x p

i trong f(x) bằng 0, tươ ng tự nếu ràng buộc

i có dạng ∑=

n

1 j

jijxa ≥ bi thì ta thay bằng ∑=

n

1 j

jijxa - x p

i = bi vớ i x pi ≥ 0. Các biến x

pi gọi là

các biến phụ (ẩn phụ). Bằng cách xử lí như vậy mọi bài toán đều có thể đưa về dạng

chính tắc. Trong thực hành khi sử dụng biến phụ ta đánh tiế p số thứ tự biến số, khôngdùng kí hiệu riêng.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Bài toán d ạng chuẩ nMột lớ p quan tr ọng của bài toán dạng chính tắc là bài toán dướ i đây gọi là bài toán

dạng chuẩn:

(1) f(x) = ∑=

n

1 j

j jxc → min (max).

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++++

=++++=++++

++++

++++

++++

mnnm2m2mm1m1mmm

2nn22m2m21m1m22

1nn12m2m11m1m11

bxa...xaxax

........................................................................

bxa...xaxax bxa...xaxax

(3) x j ≥ 0 ( j = 1,…, n)

Trong đó bi ≥ 0 (i = 1, …, m), ngh ĩ a là bài toán dạng chính tắc có vế phải không âm

và mỗi phươ ng trình đều có một biến số vớ i hệ số bằng 1 đồng thờ i không có trong

phươ ng trình khác (gọi là biến cô lậ p vớ i hệ số bằng 1).

A =

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+

+

mnmm

nm

nm

aa

aa

aa

...1...00

...

...0...10

...0...01

)1(

2)1(2

1)1(1

Định nghĩ a 1: Các ẩ n ứ ng vớ i các véc t ơ cột đơ n vị trong ma tr ận A đượ c g ọi là ẩ n cơ bản. Ẩ n cơ bản ứ ng vớ i véc t ơ đơ n vị thứ i g ọi là ẩ n cơ bản thứ i ( i = 1,…,m). Các ẩ ncòn l ại là các ẩ n không cơ bản.

Định nghĩ a 2: M ột phươ ng án mà các ẩ n không cơ bản đề u bằ ng không g ọi là phươ ngán cơ bản.

Từ hệ phươ ng trình ràng buộc của bài toán dễ dàng suy ra một phươ ng án:

x0= (b1 , b2 ,…,bm, 0, 0, …,0) , đó là phươ ng án cơ bản.

Một phươ ng án cơ bản có đủ m thành phần dươ ng gọi là không suy biến. Nếu có

ít hơ n m thành phần dươ ng gọi là suy biến.

Ví d ụ 3.

Bài toán sau đây có dạng chuẩn:

(1) f(x) = 3x1 + 2x2 + 3x3 + x4 -2x5 + x6 → min

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+++

=+−+−

=++

28x3xx2x

0xx4x4x3

20xx2x2

4321

6421

541

(3) x j ≥0 ( j = 1, …, 6)

A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

003121

104043

012002

Ẩn cơ bản thứ nhất là: x5, ẩn cơ bản thứ hai là: x6, ẩn cơ bản thứ ba là x3. Phươ ngán cơ bản ban đầu là: (x1, x2 , x3, x4, x5, x6 ) = (0, 0, 28, 0, 20, 0) là phươ ng án cơ bản

suy biến.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Đư a d ạng chính t ắ c về d ạng chuẩ n Nếu trong bài toán dạng chính tắc, có một số hạng tự do b i nào đó âm, ta chỉ cần

đổi dấu hai vế để đượ c bi > 0.

Vậy từ đây ta có thể giả thiết bài toán ta đang xét có bi ≥ 0 (i = m,1 )

(1) f(x) = ∑=

n

1 j

j jxc → min (max)

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

=++

=++

mnnm11m

2nn2121

1nn1111

bxa...xa

....................................

bxa...xa

bxa...xa

(3) x j > 0 (j = n,1 )

Ta thêm vào mỗi phươ ng trình một ẩn giả (biến giả) không âm xn+i ≥ 0 vớ i hệ

số 1. Trong hàm mục tiêu → min, các ẩn giả có hệ số M (một số lớ n hơ n số nào cần sosánh); còn khi f(x) → max các ẩn giả trong hàm mục tiêu có hệ số -M. Ta có bài toán

mớ i gọi là bài toán mở r ộng của bài toán xuất phát.

(1) f ( x ) = ∑=

n

1 j

j jxc ±M∑=

+

m

1 j

in jxc → min (max)

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++

=+++

=+++

+

+

+

mmnnnm11m

22nnn2121

11nnn1111

bxxa...xa

....................................

bxxa...xa

bxxa...xa

(3) x j ≥ 0; (j = mn,1 + )

A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

1...00a...a

...

0...10a...a

0...01a...a

mn1m

n221

n111

Ta thấy bài toán có dạng chuẩn vớ i ẩn cơ bản thứ i là xn+i (i = m,1 ) chính là các ẩn

giả.

Chú ý:

Ta hãy phân biệt ẩn phụ và ẩn giả vớ i 3 ý sau:

- Ẩn phụ để đưa bài toán tổng quát về chính tắc còn ẩn giả đưa chính tắc về

chuẩn.

- Trong hàm mục tiêu hệ số của ẩn giả bằng M (f(x) → min) và f(x) = -M (f(x)

→max); còn ẩn phụ luôn có hệ số bằng 0.

- Ẩn phụ là con số thực giúp ta biến bất phươ ng trình về phươ ng trình còn ẩn giả

thì hai vế bằng nhau mà vẫn cộng thêm nhằm để tạo véc tơ đơ n vị.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Vậy bài toán dạng tổng quát nào cũng đưa về đượ c về bài toán dạng chính tắc và bài

toán dạng chính tắc nào cũng đưa đượ c về bài toán mở r ộng dạng chuẩn.

2.4. Giải bài toán quy hoạch tuyến tính đơ n giảnKhi bài toán chỉ có hai biến, ta có thể giải bài toán bằng hình học.

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chuẩn vớ i hai biến số:

c1x1 + c2x2 → min

vớ i điều kiện1i

a x1 +2i

a x2 ≥ bi , i = 1,…, m

Kí hiệu: D = {x = (x1, x2):1i

a x1 +2i

a x2 ≥ bi , i = 1,…, m}

Từ ý ngh ĩ a hình học, ta biết r ằng mỗi bất phươ ng trình tuyến tính

1ia x1 +

2ia x2 ≥ bi

xác định một nửa mặt phẳng. Như vậy tậ p D đượ c xác định như là giao của m nửa mặt phẳng sẽ là một đa giác lồi trên mặt phẳng.

Phươ ng trình c1x1 + c2x2 = α khi α thay đổi sẽ xác định trên mặt phẳng các

đườ ng thẳng song song vớ i nhau, mà ta sẽ gọi là các đườ ng mức (vớ i giá tr ị mức α).

Mỗi điểm x* = (x

*1, x

*2) ∈ D là phươ ng án tối ưu sẽ nằm trên đườ ng mức vớ i

mức α* = c1*

22

*

1 xcx + .

Bài toán đặt ra có thể phát biểu dướ i dạng ngôn ngữ hình học như sau: Trong số

các đườ ng mức cắt tậ p D, hãy tìm đườ ng mức vớ i giá tr ị mức nhỏ nhất.Bây giờ , có thể nhận thấy là, nếu dịch chuyển song song các đườ ng mức theo

hướ ng véc tơ pháp tuyến của chúng c = (c1, c2) thì các giá tr ị mức sẽ tăng, nếu dịchchuyển theo hướ ng ngượ c lại thì giá tr ị mức sẽ giảm. Vì vậy, để giải bài toán đặt ra ta

có thể tiến hành như sau: Bắt đầu từ một đườ ng mức cắt D ta dịch chuyển song songcác đườ ng mức theo hướ ng ngượ c vớ i hướ ng véc tơ c = (c1, c2) cho đến khi nào việc

dịch chuyển tiế p theo làm cho đườ ng mức không còn cắt D nữa thì dừng. Các điểmcủa D nằm trên đườ ng mức cuối cùng này sẽ là các lờ i giải cần tìm, còn giá tr ị của nósẽ là các giá tr ị tối ưu của bài toán. Nhắc lại bài toán của công ty Reddy Mikks là bài toán quy hoạch tuyến tính.

2x1 + 3x2→ max

2x1 + x2 6≤

x1 + 2x2 ≤ 8x1 - x2 ≤ 1x2 ≤2x1≥ 0, x2≥ 0

x1

x2

3x1+2x2=α

• D

x2

00 x

1 WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Đườ ng mứ c của hàm mục tiêu là đườ ng thẳng 3x1+ 2x2 = α. Khi cho α tăng dần

ta thấy điểm cuối cùng mà đườ ng mức α còn cắt miền chấ p nhận đượ c là đỉnh D. D là

giao điểm hai đườ ng x1 + 2x2 = 6 và 2x1 + x2 = 8. Giải hệ hai phươ ng trình này ta

đượ c: x1 =3

10; x2 =

3

4, chính là nghiệm chấ p nhận đượ c tối ưu. Giá tr ị mục tiêu tối ưu

là: z*= 3

37 nghìn USD

Qua bài toán cụ thể trên ta có thể nhận xét sơ bộ như sau:a- Miền chấ p nhận đượ c của bài toán quy hoạch tuyến tính là tậ p lồi đa diện. Nếu nó

giớ i nội (tức là đa diện lồi) thì bài toán có nghiệm tối ưu là một đỉnh. Tr ườ ng hợ pnghiệm tối ưu không duy nhất nhưng miền chấ p nhận đượ c (thậm chí không giớ i nội)có đỉnh (h.a) thì vẫn luôn có nghiệm tối ưu là đỉnh. b- Tr ườ ng hợ p không có nghiệm tối ưu thì hàm mục tiêu không giớ i nội trên miền

chấ p nhận đượ c (h.b).c- Tr ườ ng hợ p miền chậ p nhận đượ c không có đỉnh đượ c minh họa ở (h.c). Bài toán

quy hoạch tuyến tính có thể không có nghiệm tối ưu hoặc có nhưng không có nghiệmtối ưu là đỉnh. Những nhận xét hình học trên đây vẫn đúng cho cả tr ườ ng hợ p nhiều biến (hơ n 2).

x2

P

x1

(h.c)

x2

P

0 x1

z = α

h.a

x2

z = α

P

0 x1

(h.b)

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chươ ng IX


§ 1. PHƯƠ NG PHÁP ĐƠ N HÌNH GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCHTUYẾN TÍNH

1.1. Nội dung của phươ ng pháp Như ở chươ ng 1 đã xét, ta chỉ cần giải bài toán dạng chuẩn .Ta sẽ sử dụng một số tính chất của bài toán dạng chuẩn:Tính chấ t 1: Nếu bài toán có phươ ng án tối ưu thì cũng có phươ ng án cơ bản tối ưu.Tính chấ t 2: Số phươ ng án cơ bản là hữu hạn.Tính chấ t 3: Điều kiện cần và đủ để bài toán có phươ ng án tối ưu là hàm mục tiêu

của nó bị chặn dướ i khi f(x) → min và bị chặn trên khi f(x) → max trên tậ p hợ p các phươ ng án.

Do tính chất 1, ta giớ i hạn chỉ xét các phươ ng án cơ bản. Xuất phát từ phươ ng áncơ bản ban đầu (vớ i bài toán dạng chuẩn phươ ng án này luôn có), ta sẽ có "tiêu chuẩn

tối ưu" để kiểm tra hai điều:

a) Phươ ng án này tối ưu?

b) Bài toán này không có phươ ng án tối ưu? Nếu một trong hai điều kiện trên đượ c khẳng định thì bài toán giải xong. Nếu cả hai điền kiện trên không đượ c khẳng định thì ta chuyển sang phươ ng án cơ bản

thứ hai. Vớ i phươ ng án cơ bản thứ hai này, ta lại dùng "tiêu chuẩn tối ưu" để kiểm tra

hai điều (a) và (b) trên … Cứ tiế p tục như vậy và vì phươ ng án cơ bản là hữu hạn nênsau một số hữu hạn lần chuyển phươ ng án cơ bản ta sẽ giải xong bài toán.Việc chuyển từ phươ ng án cơ bản này sang phươ ng án cơ bản khác đượ c thực hiện

bằng cách thay đổi hệ ẩn cơ bản.

Ta giả thiết f(x) → min

Phươ ng án cơ bản ban đầu là xo = (b1, …, bm, 0, …, 0). Giá tr ị hàm mục tiêu ứng vớ i

phươ ng án này là f o = f(xo) =∑

=

m

1i

ii bc . Vớ i mỗi ẩn x j, ta tính "ướ c lượ ng" của của nó là:

jΔ = ∑

=

−m

1i

jiji cac

Các cột của A ứng vớ i các ẩn cơ bản là véc tơ đơ n vị, nên dễ thấy

j∆ = 0 (j = m,1 ).

Bây giờ vớ i phươ ng án bất k ỳ x = (x1, …, xn) ta có công thức liên hệ giữa hàm mụctiêu ứng vớ i x và f 0 như sau:

f(x) = f o - ∑+=

∆n

1m j

j jx (*)

Như vậy:

Nếu j∆ ≤ 0 ∀ j thì f(x) ≥ f o và vì x là phươ ng án bất k ỳ nên xo là phươ ng án tối ưu.

Nếu tồn tại j∆ > 0 khi đó có hai khả năng:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




+ Tồn tại j∆ > 0 nhưng mà aij ≤ 0 (i = m,1 ) thì ta có thể tìm đượ c một dãy phươ ng án

xk mà f(x

k ) → -∞ (**). Theo tính chất thì bài toán không có phươ ng án tối ưu.

+ Nếu tồn tại j∆ > 0 nhưng vớ i mọi j∆ > 0 đều tồn tại aij > 0 thì ta có thể điều chỉnh

phươ ng án để đượ c phươ ng án cơ bản tốt hơ n. Ngườ i ta chứng minh đượ c nếuv

∆ > 0

mà ta đưa xv vào hệ ẩn cơ bản, thì hàm mục tiêu nói chung giảm đi một lượ ng tỷ lệ vớ i

v∆ . Điều này gợ i ra hai ý:

i) j∆ ≤ 0 vớ i mọi j không những là điều kiện đủ mà còn là điều kiện cần để có

phươ ng án tối ưu, vì nếu tồn tại j∆ > 0 thì hoặc bài toán không có phươ ng án hoặc

có thể điều chỉnh đượ c phươ ng án tốt hơ n.

ii) Nếu tìm ẩn đưa vào, thì nên chọn ẩn ứng vớ i j∆ > 0 lớ n nhất.

Ở đây phươ ng án không thể âm, vậy nên ta phải có arv > 0 để

b'r =rv

r

a

b ≥ 0. Hơ n nữa vớ i i ≠ r, b'i = bi -

rv

r

a

baiv , nếu aiv ≤ 0 thì b'i ≥ 0. Nếu aiv > 0

thì muốn b'i ≥ 0 phải có .a

b

a

b

rv

r

iv

i ≥

Từ các phân tích trên, ta đã tr ả lờ i hai vấn đề:

+ "Tiêu chuẩn tối ưu": sau khi tính các j∆ (j = n,1 )

i) j∆ ≤ 0 ∀ j thì phươ ng án là tối ưu.

ii) Tồn tại j∆ > 0 mà aij ≤ 0 (i = m,1 ), thì bài toán đang xét không có phươ ng án

tối ưu.

+ Trong tr ườ ng hợ p cả i) và ii) không xảy ra, ta chuyển sang phươ ng án khác, ẩn đưa

vào là xv có ướ c lượ ngv

∆ > 0 lớ n nhất, ẩn đưa ra là xr vớ irv

v

a

b= min

⎩⎨⎧

iv

i

a

b vớ i aiv >0.

Chú ý: Vớ i f(x) → max ta có vài thay đổi:

+ Nếu j∆ ≥ 0 ∀ j thì phươ ng án là tối ưu.

+ Nếu tồn tại j∆ < 0 mà aij ≤ 0 ( i = m,1 ) thì bài toán không có phươ ng án tối ưu .

+ Tr ườ ng hợ p cần tìm ẩn đưa vào thì cần lấy ẩn có j∆ âm nhỏ nhất.

1.2. Thuật toán đơ n hình giải bài toán dạng chuẩnThuật toán gồm 5 bướ c:

1.2.1.Trườ ng hợ p f(x) min

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Bướ c 1: Lậ p bảng ban đầu:

Hệ

số

Ẩn

cơ bản

Phươ ng

án

c1 c2 … cr … cm cm+1 … cv … cn θi

x1 x2 … xr … xm xm+1 … xv … xn

c1

c2

cr

cm

x1

x2

xr

xm

b1

b2

br

bm

1 0 … 0 … 0 a1 m+1 …a1v … a1n

0 1 … 0 … 0 a2 m+1 …a2v … a2n

0 0 … 1 … 0 ar m+1 … arv … arn

0 0 … 0 … 1 am m+1…amv …amn

θ 1

θ 2

θ r

θ m

f(x)f 0 0

1∆ 02∆ …

0r

∆ …0m

∆ 1+∆m

…v

∆ …n

∆

Trong đó f 0 = ∑=

m

1i

ii bc và jΔ = ∑=

−m

1i

jiji cac

Bướ c 2: Kiểm tra tính tối ưu

i) Nếu jΔ < 0 ∀ j thì phươ ng án đang xét là tối ưu và giá tr ị hàm mục tiêu tươ ng ứng

là f(x) = f 0

ii) Nếu tồn tại j∆ > 0 mà aij ≤ 0 (i = m,1 ), thì bài toán không có phươ ng án tối ưu.

Nếu cả hai tr ườ ng hợ p trên không xảy ra thì chuyển sang bướ c 3.

Bướ c 3: Tìm ẩn đưa vào: Nếu

jv max=∆ j∆ thì xv đượ c chọn đưa vào, cột v là cột chủ yếu.

Bướ c 4: Tìm ẩn đưa ra

Ta tính θi =iv

i

a

b vớ i các aiv > 0. Nếu υr =

i

minυi thì xr là ẩn đưa ra. Hàng r là hàng

chủ yếu phần arv là phần tử tr ục xoay.

Bướ c 5: Biến đổi bảng:+ Thay xr bằng xv và cr bằng cv. Các ẩn cơ bản khác và hệ số tươ ng ứng để nguyên.

+ Chia hàng chủ yếu (hàng r) cho phần tử tr ục xoay arv ta đượ c hàng r mớ i gọi làhàng chuẩ n.

+ Muốn có hàng i mớ i (i ≠ r), ta lấy -aiv nhân vớ i hàng chuẩn r ồi cộng vào hàng i cũ.Có thể tính theo sơ đồ sau:

aij aiv

arj arv

a'ij = aij - arj aiv / arvWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




+ Muốn có hàng cuối mớ i, ta lấy -v

∆ nhân vớ i hàng chuẩn r ồi cộng vào hàng cuối cũ.

Hàng cuối (gồm f và j∆ ) cũng có thể tính tr ực tiế p như ở bướ c 1 vớ i bảng mớ i vừa tạo

đượ c.

Chú ý: Bướ c 5 tạo ra bảng ban đầu cho phươ ng án cơ bản thứ hai nên chính là bướ c 1của vòng 2. Ta lại chuyển sang bướ c 2 của vòng 2 là kiển tra tính tối ưu…

Ví d ụ 1. Giải bài toán:

(1) f(x) = 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 - 5x5 → min

(2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤+

=+++

=−−−

36xx3

30x2

3x

2

1xx2

32x9x2x6x

52

5432

5421

(3) x j ≥ 0 (j = 5,1 )

Giải Ta có ma tr ận hệ ràng buộc là:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

10030

2/32/1120

92061

Bài toán chưa chính tắc, đưa về dạng chính tắc ta có:

(1) f(x) = 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 - 5x5 + 0x6 → min

(2)

⎪⎪⎩

⎪

⎪

⎨

⎧

=++

=+++

=−−−

36xxx3

30x23x

21xx2

32x9x2x6x

652

5432

5421

(3) x j ≥ 0 (j = )6,1

A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −−−

110030

02

3

2

1120

092061

và bi > 0 (i = 3,1 )

Bài toán đã có dạng chuẩn, nên có thể đưa số liệu vào bảng để giải:

Hệ số

Ẩn cơ bản

Phươ ngán

2 5 4 1 -5 0 θi

x1 x2 x3 x4 x5 x6

24

0

x1

x3

x6

3230

36

10

0

-62

3

01

0

-21/2

0

-93/2

1

00

1

f(x) 184 0 -9 0 -3 -7 0

Ta thấy jΔ ≤ 0 ∀ j nên phươ ng án tối ưu là: (32, 0, 30, 0, 0, 36). Tuy nhiên x6 là ẩn

phụ không cần quan tâm, (x1, x2, x3, x4, x5) = (32, 0, 30, 0, 0). Vớ i phươ ng án này

hàm mục tiêu đạt đượ c là f(x) = 184.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d ụ 2.

Giải bài toán:

(1) f(x) = 6x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 - 7x6 + 7 → min

(2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−++

−=+−

=+−+−

36x3xxx4

9x2xx2

15xxxx

6541

631

6421

(3) x j ≥ 0 (j = 6,1 )

GiảiBài toán có dạng chính tắc nhưng b2 = -9 < 0 nên ta nhân hai vế phươ ng trình thứ

hai của hệ ràng buộc vớ i -1:

(1) f(x) = 6x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 - 7x6 + 7 → min

(2)⎪

⎩

⎪⎨

⎧

=−++

=−+−

=+−+−

36x3xxx4

9x2xx2

15xxxx

6541

631

6421

(3) x j ≥ 0 (j = 6,1 )

A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

−−

312004

200102

101011

Hệ số Ẩn cơ bản

Phươ ngán

6 1 1 3 1 -7 θi

x1 X2 x3 x4 x5 x6

1

11

x2

x3

x5

15

92

-1

-24

1

00

0

10

-1

02

0

01

1

-2-3

15/1

f(x) 26+7 -5 0 0 -2 0 3

-7

11

x6

x3 x5

15

3947

-1

-41

1

23

0

10

-1

-2-1

0

01

1

00

F(x) -19+7 -2 -3 0 1 0 0

Sau khi lậ p bảng ban đầu, ta chuyển sang kiểm tra tính tối ưu. Ta thấy 6∆ = 3 > 0, nên

phươ ng án chưa tối ưu và chưa có dấu hiệu chứng tỏ bài toán không có phươ ng án tốiưu. Ta chuyển sang bướ c 3 là tìm ẩn đưa vào. Ta thấy chỉ có x6 có

6∆ > 0 nên x6 đượ c

chọn đưa vào.

Trên cột ứng vớ i x6 chỉ có a16 = 1 > 0 nên ẩn đưa ra là x2 (vì chỉ tính đượ c θ1 nên θi

nhỏ nhất cũng là θ1).

Sau khi biến đổi bảng ta thấy 4∆ = 1 > 0 nên phươ ng án mớ i cũng chưa tối ưu.

Ta lại thấy 4∆ = 1 > 0 mà mọi ai4 đều âm (-1, -2, -1) nên bài toán này không có

phươ ng án tối ưu.Chú ý: Ở hàm mục tiêu có hằng số 7 nên sau khi tính hàm mục tiêu theo cách thông

thườ ng ta phải cộng thêm 7. Ngoài ra mọi tính toán đều bình thườ ng.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




1.2.2. Trườ ng hợ p f(x) maxTa có thay đổi sau

i) Ở bướ c 2 (kiểm tra tính tối ưu)

a) Phươ ng án tối ưu khi j∆ ≥ 0 ∀ j

b) Nếu tồn tại j∆ < 0 mà aij ≤ 0 ∀i thì bài toán không có phươ ng án tối ưu .

ii) Ở bướ c 3: Ẩn chọn đưa vào là ẩn có j∆ < 0 và nhỏ nhất.

Ví d ụ 3. Giải bài toán:

(1) f(x) = -2x1+ 6x2 + 4x3 -2x4 + 3x5→ max

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

=++

=++

36xx3

60xx2x4

52x4x2x

52

432

321

(3) x j ≥ 0 ( j = 5,1 )

Ta có A =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

10030

01240

00421

Bài toán đã có dạng chuẩn vớ i ẩn cơ bản thứ nhất là x1, ẩn cơ bản thứ hai là x4 và ẩn

cơ bản thứ ba là x5. Đưa số liệu vào bảng để giải.


Phươ ngán

-2 6 4 -2 3 θi

x1 X2 x3 x4 x5

-2-2

3

x1

x4

x5

5260

36

10

0

24

3

4

2

0

01

0

00

1

1330

f(x) -116 0 -9 -16 0 0

4-23

x3

x4 x5

133436

1/4-1/2

0

1/2

3

3

100

010

001

2634/312

f(x) 92 4 -1 0 0 0

46

3

x3

x2

x5

22/334/3

2

1/3-1/6

½

01

0

10

0

-1/61/3

-1

00

1

f(x) 310/3 23/6 0 0 1/3 0

Sau khi lậ p bảng ban đầu ta thấy phươ ng án cơ bản ban đầu chưa tối ưu và chưa có

dấu hiệu phươ ng án bài toán không có phươ ng án tối ưu. Ta tìm ẩn đưa vào là x3 có

3∆ = -16 âm nhỏ nhất. Trên cột này có a13 = 4 > 0 và a23 = 2 > 0 nên ta tính đượ c

θ1 = 13, θ2 = 30 ẩn đưa ra là x1 ứng vớ i θ1 nhỏ nhất. Phần tử tr ục xoay là 4.

Sau khi biến đổi bảng lần thứ nhất ta thấy phươ ng án vẫn chưa tối ưu vì còn2

∆ = -1

< 0 và chưa có dấu hiệu bài toán không có phươ ng án tối ưu nên ẩn chọn đưa vào là x2.

Ẩn đưa ra là x4 ứng vớ i θ2 = 34/3 nhỏ nhất. Phần tử tr ục xoay là 3.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Biến đổi bảng một lần nữa ta thấy ≥∆ j 0, ∀ j. Vậy phươ ng án tối ưu là (x1, x2, x3, x4,

x5) = (0, 34/3, 22/3, 0, 2) vớ i giá tr ị hàm mục tiêu tươ ng ứng là: f(x) = 1033

1

§2 -THUẬT TOÁN ĐƠ N HÌNH MỞ R ỘNG GIẢI BÀI TOÁN DẠNG CHÍNHTẮC

2.1. Nội dung phươ ng pháp Như ở chươ ng 1 khi gặ p bài toán dạng chính tắc chưa phải dạng chuẩn, ta dùng ẩn

giả để đưa về dạng chuẩn và giải bài toán ấy k ết quả là:i) Nếu bài toán mở r ộng không có phươ ng án tối ưu, thì bài toán xuất phát không có

phươ ng án tối ưu.

ii) Nếu bài toán mở r ộng có phươ ng án tối ưu mà các ẩn giả đều bằng 0, thì bỏ phần

ẩn giả đi, ta còn lại phươ ng án tối ưu của bài toán xuất phát.

iii) Nếu bài toán mở r ộng có phươ ng án tối ưu mà trong đó còn ít nhất một ẩn giả dươ ng thì bài toán xuất phát không có phươ ng án.

Chú ý:

a) Khi giải bài toán mở r ộng, j∆ và )x(f sẽ gồm hai phần: Một phần phụ thuộc M

và một phần không phụ thuộc M, nên hàng cuối của bảng chia hai dòng nhỏ, dòng

trên ghi phần không phụ thuộc M, dòng dướ i ghi hệ số M. Cả hai dòng đều tuân theo

phép biến đổi bảng. Thí dụ 3∆ = 2M - 9 thì ở cột 3 dòng trên ghi -9, dòng dướ i ghi 2.

Do M là r ất lớ n nên khi xét dấu j∆ ta chỉ cần quan tâm dòng dướ i. Khi nào dòng dướ i

bằng không mớ i quan tâm đến dòng trên.Còn muốn so sánh jΔ nào lớ n hơ n (hay nhỏ) hơ n ta cũng chỉ cần quan tâm đến dòng

dướ i, tr ừ khi dòng dướ i bằng nhau mớ i chú ý đến dòng trên. b) Mỗi khi một ẩn giả bị đưa khỏi hệ ẩn cơ bản thì sẽ không đượ c đưa tr ở lại, vì vậy

có thể không cần chú ý đến các cột ứng vớ i ẩn giả.

2.2. Các ví dụ Ví d ụ 1. Giải bài toán sau

(1) f(x) = x1 + 2x2 + x4 - 5x5 → min

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++−

=−−−

=−−

3

2x

3

1x

3

4x

3

2x

3

1x

5x2x5x7x

0x9x3

54321

5432

43

(3) x j ≥ 0 ( j = ( 5,1 )

Bài toán đã có dạng chính tắc vớ i các bi ≥ 0

A =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−

3/13/43/23/1125710

09300

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ta thấy còn thiếu véc tơ đơ n vị thứ nhất và thứ hai, nên ta phải thêm ẩn giả x6 và x7

vào phươ ng trình thứ nhất và thứ hai để bài toán có dạng chuẩn:

(1) )x(f = x1 + 2x2 + 0x3 + x4 - 5x5 + Mx6 + Mx7 → min

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++−

=+−−−

=+−−

3

2x

3

1x

3

4x

3

2x

3

1x

5xx2x5x7x

0xx9x3

54321

75432

643

(3) x j ≥ 0; j = ( 7,1 )

Ta đưa số liệu vào bảng để giải:

Hệ số

Ẩn cơ bản

Phươ ng án

1 2 0 1 -5 θi

x1 x2 x3 x4 x5

M

M1

x6

x7

x1

0

52/3

0

01

0

1-1/3

-3

-72/3

-9

-54/3

0

-21/3

5/1

)( x f 2/3 0 -7/3 2/3 1/3 16/3

5 0 1 -10 -14 -2

M

2

1

x6

x2 x1

0

5

7/3

0

0

1

0

1

0

-3

-7

5/3

-9

-5

-1/3

0

-2

-1/3

)( x f

37/3 0 0

3

47−

3

34− 2/3

0 0 0 -3 -9 0

Ở bướ c 1 ta tính đượ c )x(f = 5M + 2/3 ta viết 2/3 lên trên và 5 xuống dướ i

3

16M2Δ

31M14Δ

3

2M10Δ

3

7MΔ

0Δ

5

4

3

2

1

+=

+=

+=

−=

=

Ta viết phần không phụ thuộc M lên trên còn phần hệ số của M xuống dướ i. Ta thấy

có 2∆ > 0 nên phươ ng án chưa tối ưu.

Vì 2∆ > 0 duy nhất nên ta chọn ẩn đưa vào là x2. Trên cột này duy nhất có a22 = 1 > 0

nên ẩn đưa ra là x7. Phần tử tr ục xoay là 1.

Sau khi biến đổi bảng, ta thấy có

3

2Δ5 = > 0 mà ai5 ≤ 0 ∀ i nên bài toán mở r ộng

không có phươ ng án tối ưu và ta suy ra bài toán xuất phát cũng không có phươ ng ántối ưu.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d ụ 2. Giải bài toán sau:

(1) f(x) = - x1 +7x2 +9x3 → min

(2) ⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=+−

=+−−

7x5x53

1xx

3

1x

3

2

21

321

(3) x j ≥ 0 (j = )3,1

A =⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−

−−

055

13

1

3

2

Ta thấy b1 =2

1 > 0, b2 = 7 > 0 nhưng còn thiếu véc tơ đơ n vị thứ hai nên ta phải thêm

ẩn giả x4 vào phươ ng trình thứ hai để có bài toán dạng chuẩn.(1) )x(f = - x1 +7x2 +9x3+Mx4 → min

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++−

=+−−

7xx5x5

3

1xx

3

1x

3

2

421

321

(3) x j ≥ 0 (j = 4,1 )

Bài toán đã có dạng chuẩn, nên ta có thể đưa số liệu vào bảng để giải:Hệ số

Ẩn cơ bản Phươ ng án -1 7 9 θi

x1 x2 x3

9M

x3

x4 1/37

-2/3

-5

-1/3

5

1

0 7/5

)( x f 3 10 -10 0

7 -5 5 0

97

x3

x2

22/157/5

-1-1

01

10

)( x f 23 -15 0 0

Sau một lần biến đổi bảng ta thấy:

x = (x1, x2, x3, x4) = (0, 7/5, 22/15, 0) là phươ ng án tối ưu của bài toán mở r ộng mà ẩn

giả x4 = 0 nên phươ ng án tối ưu của bài toán xuất phát là:(x1, x2, x3) = (0, 7/5, 22/15)

Vớ i phươ ng án này hàm mục tiêu đạt đượ c là f(x) = 23.

Ví d ụ 3. Giải bài toán :

(1) f(x) = 2x1 + 4x2 -2x3 → min

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤−−

=++

=+−

18xxx

50x2xx2

27xx2x

321

321

321

(3) x j ≥ 0 (j = ( 3,1 )

Đưa về dạng chính tắc ta có:

(1) f(x) = 2x1 + 4x2 -2x3+ 0x4 → min

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−

=++

=+−

18xxxx

50x2xx2

27xx2x

4321

321

321

(3) x j ≥ 0 (j = ( 4,1 )

A =

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

1111

0212

0121

Còn thiếu véc tơ đơ n vị thứ nhất và thứ hai nên ta phải thêm ẩn giả x5 và x6 và lần

lượ t hai phươ ng trình thứ nhất và thứ hai để bài toán có dạng chuẩn:

(1) )x(f = 2x1 + 4x2 -2x3+ 0x4 + Mx5 + Mx6→ min

(2)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−−

=+++

=++−

18

5022

272

4321

6321

5321

x x x x

x x x x

x x x x

(3) x j ≥ 0 (j = ( 6,1 )Ta đưa số liệu vào bảng để giải


Phươ ng án 2 4 -2 0 υi

x1 x2 x3 x4

M

M0

x5

x6

x4

27

5018

1

21

-2

11

1

2

-1

0

0

1

27

25

)x(f 0 -2 -4 2 0

77 3 -1 3 0

M

-2

0

x5

x3

x4

2

25

43

0

1

2

-5/2

1/2

-1/2

0

1

0

0

0

1

)x(f -50 -4 -5 0 0

2 0 -5/2 0 0

Đến đây phươ ng án đã tối ưu:

x = (x1, x2, x3, x4, x5, x6) = (0, 0, 25, 43, 2, 0)

nhưng còn ẩn giả x5 = 2 > 0 nên bài toán xuất phát không có phươ ng án.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chươ ng X


§ 1-KHÁI NIỆM BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Khái niệm bài toán đối ngẫu của bài toán quy hoạch tuyến tính gốc đượ c xây dựngtheo quy trình sau: Đầu tiên, ngườ i ta định ngh ĩ a bài toán đối ngẫu của bài toán dạngchính tắc. Đối vớ i bài toán dạng tổng quát bất k ỳ, ngườ i ta đưa nó về dạng chính tắc.

Bài toán đối ngẫu của bài toán chính tắc vừa đượ c đưa về đượ c xem là bài toán đốingẫu của bài toán dạng tổng quát ban đầu.

Vì mọi bài toán đều có thể đưa đượ c về dạng chính tắc nên mọi bài toán đều có bàitoán đối ngẫu của nó.

Tuy nhiên, khi chú ý đến các biện pháp đưa bài toán tổng quát về dạng chính tắc, tacó thể đưa ra quy tắc lậ p ngay bài toán đối ngẫu của bài toán tổng quát bất k ỳ, bỏ qua

bướ c đưa bài toán về dạng chính tắc.

1.1.-Định ngh ĩ a bài toán đối ngẫu1.1.1. Bài toán đố i ng ẫ u D của bài toán g ố c P d ạng chính t ắc

Cho bài toán gốc:

(1) f(x) = ∑=

→n

1 j

j j minxc (max)

(2) ∑=

n

1 j

jijxa ≤ bi ( i = m,1 )

(3) x j ≥ 0 (j = n,1 )

Bài toán D sau đây gọi là bài toán đối ngẫu của nó:

(1) g(y) = ∑=

m

1i

ii y b → max (min)

(2) ∑=

m

1i jijya ≤ (≥ ) c j (j = n,1 )

(3) yi tùy ý dấu (i = m,1 )

Nhận xét:

- Hàm mục tiêu của P, f(x) → min thì hàm mục tiêu của D g(y) → max và ngượ c lại.

- Các ràng buộc ở bài toán D đều là bất đẳng thức "≤" nếu f(x) → min hoặc "≥" nếu

f(x) → max.- Số ẩn của bài toán này là số ràng buộc của bài toán kia và ngượ c lại.- Hệ số trong hàm mục tiêu của bài toán này là vế phải của hệ ràng buộc trong bài

toán kia.

- Ma tr ận hệ số các ràng buộc ở hai bài toán là chuyển vị của nhau.

1.1.2.Bài toán đố i ng ẫ u của bài toán d ạng t ổ ng quát bấ t k ỳ

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Để dễ hình dung, ta xét m = 2 và n = 3 vớ i f(x) → min.

(1) f(x) = c1x1 + c2x2 + c3x3 → min

(P) (2)⎩⎨⎧

=++

=++

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

(3) x j ≥ 0 (j = 3,1 )

(1) g(y) = b1 y1 + b2y2 → max

(D) (2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+

≤+

≤+

3223113

2222112

1221111

cyaya

cyaya

cyaya

(3) yi dấu tùy ý (i = 2,1 )

- Bây giờ ta giả sử trong (P) ràng buộc thứ nhất không có dấu "=" mà là dấu "≥ " .

(1) f(x) = c1x1 + c2x2 + c3x3 → min

(P') (2)⎩⎨⎧

=++

≥++

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

(3) x j ≥ 0 (j = )3,1

Đưa bài toán này về dạng chính tắc ta có:

(1) f(x) = c1x1 + c2x2 + c3x3+ 0x4 → min

(2)⎩⎨⎧

=++

=−++

2323222121

14313212111

bxaxaxa

bxxaxaxa

(3) x j ≥ 0 (j = 4,1 )

Bài toán đối ngẫu của bài toán này sẽ là

(1) g(y) = b1 y1 + b2y2 → max

(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=≤+−

≤+

≤+

≤+

0cy0y

cyaya

cyaya

cyaya

421

3223113

2222112

1221111

(3) yi dấu tùy ý

Cũng có ngh ĩ a là:(1) g(y) = b1 y1 + b2y2 → max

(D') (2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+

≤+

≤+

3223113

2222112

1221111

cyaya

cyaya

cyaya

(3) y1≥ 0, y2 dấu tùy ý

Tức là ở bài toán (P) nếu ràng buộc thứ i có dấu "≥ " thì trong bài toán (D) ẩn thứ i,

yi ≥ 0.

- Tươ ng tự ta thấy r ằng nếu ràng buộc thứ i ở bài toán (P) có dấu "≤ " thì trong bài

toán (D) ẩn thứ i, yi ≤ 0.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Bây giờ ta lại giả sử ở P ẩn x1≤ 0

(1) f(x) = c1x1 + c2x2 + c3x3 → min

(P') (2)⎩⎨⎧

=++

=++

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

(3) x j ≥ 0 (j = 3,2 ), x1≤ 0

Bài toán chính tắc có dạng (thay x1 bằng -t1)

(1) f(x) = -c1t1 + c2x2 + c3x3 → min

(2)⎩⎨⎧

=++−

=++−

2323222121

1313212111

bxaxata

bxaxata

(3) t1, x2, x3 ≥ 0

Bài toán đối ngẫu sẽ là:

(1) g(y) = b1 y1 + b2y2 → max

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+

≤+

−≤−−

3223113

2222112

1221111

cyaya

cyaya

cyaya

(3) y1, y2 tùy ý

Cũng có ngh ĩ a là:

(1) g(y) = b1 y1 + b2y2 → max

(D') (2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+

≤+

≥+

3223113

2222112

1221111

cyaya

cyaya

cyaya

(3) y1, y2 tùy ý

Tức là nếu ở bài toán (P) ẩn thứ i ≤ 0 thì ràng buộc thứ i của (D) sẽ đổi ngượ c dấu

bất đẳng thức lại.

- Bây giờ ta giả sử x1 tùy ý. Ta thay x1 = x'1 - x''1

Bài toán dạng chính tắc là:

(1) f(x) = c1x'1 -c1x"1+ c2x2 + c3x3 → min

(2)⎩⎨⎧

=++−

=++−

2323222

''

121

'

121

1313212

''

111

'

111

bxaxaxaxa

bxaxaxaxa

(3) x'1 , x''1, x2, x3 ≥ 0

Bài toán đối ngẫu của bài toán này là:

(1) g(y) = b1 y

1 + b

2y

2 → maxWW

W D YKEM

QUYNHON

UCOZ CO

M




(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤+

≤+

−≤−−

≤+

3223113

2222112

1221111

1221111

cyaya

cyaya

cyaya

cyaya

(3) y1, y2 tùy ý

Từ hai ràng buộc đầu ta có: c1 ≤ a11y1 + a21y2 ≤ c1 tức là

a11y1 + a21y2 = c1

Vậy bài toán đối ngẫu là

(1) g(y) = b1 y1 + b2y2 → max

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤+

≤+

=+

3223113

2222112

1221111

cyaya

cyaya

cyaya

(3) y1, y2 tùy ý.

Có ngh ĩ a là, nếu ở P ẩn thứ i tùy ý, thì ở (D) ràng buộc thứ i là phươ ng trình.

Từ đó ta có thể bỏ qua giai đoạn chuyển bài toán về dạng chính tắc, mà đưa ra quy

tắc tìm bài toán đối ngẫu của bài toán dạng tổng quát dạng tổng quát bất k ỳ dướ i đây.

1.2. Quy tắc lập bài toán đối ngẫu

Bài toán P (bài toán gốc) Bài toán D (bài toán đối ngẫu)

f(x) = ∑=

→n

1 j

j j minxc g(y) = ∑=

→m

iii maxy b

Ràng buộc thứ i: ∑=

n

1 j

jijxa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

≥

≤

bi

Ẩn thứ i: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

≥

≤ 0

tùy ý

Ẩn thứ j: x j ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

≤

≥0

tùy ý

Ràng buộc thứ j:∑=

m

1i

iijya

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

≥

≤

c j

Ví d ụ 1.

Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán:

(1) f(x) = 5x1 - x2 + 2x3 + 3x4 - 6x5 → minWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(2)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤+

≤+−−−

−≥++++

=+++−

6xx

30xxx2x2x3

10xxxxx

80x4x3x2xx3

31

54321

54321

54321

(3) x1 ≤ 0; x2, x3 ≥ 0, x4, x5 tùy ýBài toán đối ngẫu là:

(1) 80y1 -10y2 + 30y3 + 6y4 → max

(2)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=++

=−+

≤+−+

−≤−+−

≥+++

6yyy4

3yyy3

2yy2yy2

1yyy

5yy3yy3

321

321

4321

321

4321

(3) y1 tùy ý, y2 ≥ 0, y3, y4 ≤ 0

Ví d ụ 2.Tìm bài toán đối ngẫu:

(1) f(x) = x1 + x2 + 3x3 → min

(P) (2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤

≥+−

=+−

4x

6x3xx2

5x3x

3

321

21

(3) x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 tùy ý


(1) 5y1 + 6y2 + 4y3 → max

(D) (2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+

≥−

≤+−

3yy3

1yy3

1y2y

32

21

21

(3) y1 tùy ý, y2≥ 0, y3 ≤ 0

Bây giờ ta tìm bài toán đối ngẫu của bài toán vừa tìm đượ c.

Có thể viết bài toán D dướ i dạng sau: Chuyển hàm mục tiêu về dạng min, nhân hai vế

của ràng buộc vớ i -1.(1) -5y1 - 6y2 - 4y3 → min

(D) (2)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−

−≤+−

−≥−

3yy3

1yy3

1y2y

32

21

21

(3) y1 tùy ý, y2≥ 0, y3 ≤ 0


(1) -x1 - x2 - 3x3 → max

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

−≥−

−≤−+−

−=−

4x

6x3xx2

5x3x

3

321

21

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(3) x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 tùy ý

Bài toán này chính là bài toán (P). Vậy bài toán đối ngẫu của bài toán đối ngẫu chính

là bài toán gốc. Ta có bảng sau áp dụng cho bài toán có dạng f(x)→ max

Bài toán P (bài toán gốc) Bài toán D (bài toán đối

ngẫu)

f(x) = maxxcn

1 j

j j →∑=

g(y) = ∑=

→m

1i

ii miny b

Ràng buộc thứ i:∑=

n

1 j

jijxa

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

≥

≤

bi

Ẩn thứ i: ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

≤

≥ 0

tùy ý

Ẩn thứ j: x j ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

≤

≥ 0

tùy ý

Ràng buộc thứ j:∑=

m

1i

iijya

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

≤≥

c j

Ví d ụ 3. Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

(1) f(x) = 2x1 + 3x2 - x3 + x4 → max

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+++

=+++

≤+−−

20xx3xx5

7xx2xx

5xxxx2

4321

4321

4321

(3) x1,x2 ≥ 0, x3 ≤ 0, x4 tùy ý.

Bài toán đối ngẫu là:

(1) 5y1 + 7y2 + 20y3 → min

(2)

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++

−≤++−

≥++−

≥++

1yyy

1y3y2y

3yyy

2y5yy2

321

321

321

321

(3) y1 ≥ 0, y2 tùy ý, y3 ≤ 0.

Ví d ụ 4. Lậ p bài toán đối ngẫu của bài toán sau:

(1) f(x) = 2x1+ 2x2 - 2x3 + 4x5 → min

(2)⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤++−+

=+−+−

≥++++−

10xxx3x2x

3xx3x2xx4

7x3xxxx2

54321

54321

54321

(3) x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 ≤ 0, x4 tùy ý, x5 tùy ý.

Bài toán đối ngẫu sẽ là:WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(1) 7y1 + 3y2 + 10y3 → max

(2)

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=++

=+−

−≥−+

≥+−

≤++−

4yyy3

0yy3y

2y3y2y

2y2yy

2yy4y2

321

321

321

321

321

(3) y1 ≥ 0, y2 tùy ý, y3 ≤ 0.

§2- QUAN HỆ GIỮ A BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU VÀBÀI TOÁN GỐC

2.1. Các định lý đối ngẫu Đị nh lý 1: Vớ i mỗi bài toán (P) và (D), chỉ xảy ra một trong ba tr ườ ng hợ p sau:

a) Cả hai đều không có phươ ng án. b) Cả hai đều có phươ ng án, lúc đó cả hai cùng có phươ ng án tối ưu và giá tr ị hai

hàm mục tiêu đối vớ i phươ ng án tối ưu bằng nhau.

c) Một trong hai bài toán không có phươ ng án, còn bài toán kia có phươ ng án.

Khi đó bài toán có phươ ng án sẽ không có phươ ng án tối ưu và hàm mục tiêu của nó

không bị chặn.

Hệ quả 1: Nếu một trong hai bài toán có phươ ng án tối ưu thì bài toán kia cũng có


Hệ quả 2: Điều kiện cần và đủ để hai phươ ng án xo của P và y

o của D tối ưu là:

f(xo) = g(yo) (*)

Đị nh lý 2: ( Độ l ệch bù yế u)

Điều kiện cần và đủ để hai phươ ng án xo của P và y

ocủa D tối ưu là:

)m,1i(0) bxa(y

)n,1 j(0)cya(x

n

1 j

i

0

jij

0

i

m

1i

j

0

iij

0

j

==−

==−

∑

∑

=

= (**)

Trong các thừa số trên nếu thừa số này đã khác 0 thì thừa số kia phải bằng 0.

2.2. Tìm nghiệm tối ư u của bài toán gốc qua nghiệm tối ư u của bài toán đối ngẫuGiả sử ta đã giải đượ c bài toán đối ngẫu. Khi đó:

a) Nếu bài toán đối ngẫu không có phươ ng án tối ưu thì bài toán gốc cũng không có


b) Bài toán đối ngẫu có phươ ng án tối ưu: y0 = ( ),...,, 00

2

0

1 m y y y

Theo định lý 2 ta tiến hành như sau:

Thứ nhất: Nếu có 0

iy > 0 thì ta có ∑=

n

1 j

jijxa = bi

(điều này để cho∑=

n

1 j

jijxa - bi = 0, để tích 0iy )0) bxa( i

n

1 j

0 jij =−∑=

Thứ hai: Thay y0 = ( ),...,, 00

2

0

1 m y y y vào các biểu thứcWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




)n,1 j(0cya j

m

1i

0

jij ==−∑=

Nếu vớ i chỉ số j nào đó biểu thức này khác 0 thì x j = 0.

Vớ i các phươ ng trình ở phần thứ nhất và k ết quả ở bài toán thứ hai, ta tìm đượ cnghiệm tối ưu của bài toán gốc.

Ví d ụ 1. Ta quay lại thí dụ 2.1 ở bài 1 chươ ng 2.

Cho bài toán gốc:

(1) f(x) = 2x1 + 5x2 + 4x3 + x4 - 5x5 → min

(2)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤+

=+++

=−−−

36xx3

30x2

3x

2

1xx2

32x9x2x6x

52

5432

5421

(3) x j ≥ 0 (j = 5,1 )

Bài toán đối ngẫu của nó là:

(1) 32y1 + 30y2 + 36y3 → max

(2)

⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−≤++−

≤+−

≤

≤++−

≤

5yy2

3y9

1y2

1y2

4y

5y3y2y6

2y

321

21

2

321

1

(3) y1 , y2 tùy ý, y3 ≤ 0.

Bài toán gốc ta đã giải đượ c phươ ng án tối ưu là:

X0 = (32, 0, 30, 0, 0) vớ i f(x0

) = 184.

Ta tìm phươ ng án tối ưu của bài toán đối ngẫu.

Thứ nhất: 0

1 x = 32 > 0 → y1 = 20

3 x = 30 > 0 → y2 = 4

Thứ hai: Thay x0 = (32, 0, 30, 0, 0) vào biểu thức 2x2 + x5 - 36 nhận đượ c từ ràng

buộc thứ 3 của bài toán gốc. Ta có 0 - 36 < 0. Vậy y3 = 0.

Vậy phươ ng án tối ưu là: y0 = (2, 4, 0) vớ i g(y

0) = 32.2 + 30.4 + 36.0 = 184 = f(x

0).

Ví d ụ 2. Ta có bài toán gốc:

(1) f(x) = 52x1 + 60x2 + 36x3 → min

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Bài toán đối ngẫu của nó có dạng:

g(y) = ∑=

m

1i

ii y b → max

j

m

1i

jij cya ≤∑=

y j ≥ 0, i = 1, … , m

Bây giờ xét công việc làm ăn của một ông chủ sản xuất thuốc bổ. Gọi yi là giá một

đơ n vị chất dinh dưỡ ng i dướ i dạng thuốc viên của nhà sản xuất thuốc. Nếu bà nội tr ợ biết giá của các loại thuốc bổ yi, i = 1, …, m (cũng chính là giá một đơ n vị chất dinh

dưỡ ng tươ ng ứng), bà ta sẽ phải lựa chọn xem nên mua thuốc hay mua thực phẩm để

đáp ứng yêu cầu về chất dinh dưỡ ng trong khẩu phần.

Vì giá một đơ n vị thực phẩm j là c j và giá tr ị của các chất dinh dưỡ ng có trong một

đơ n vị thực phẩm j là∑=

m

1i

jijya , nên bà nội tr ợ sẽ không mua thực phẩm j nếu như :

∑=

m

1i

jijya < cj

ngh ĩ a là nếu bất đẳng thức trên đượ c thực hiện thì bà nội tr ợ sẽ đặt x j = 0. Tươ ng tự

như vậy, nếu như nhà sản xuất thuốc đặt giá tr ị dươ ng cho một đơ n vị thuốc bổ i

(yi > 0), thì bà nội tr ợ sẽ cố gắng đáp ứng ở mức tối thiểu về chất dinh dưỡ ng i:

i

n

1 j

jij bxa ≤∑=

= bi

Tươ ng tự như vậy có thể phân tích hành vi của nhà sản xuất thuốc. Ta thấy những

phân tích kinh tế ở trên là phù hợ p vớ i những k ết quả của lý thuyết đối ngẫu (định lý

về độ lệch bù) đối vớ i cặ p bài toán quy hoạch tuyến tính gốc - đối ngẫu là cặ p bài toánmà bà nội tr ợ và nhà sản xuất thuốc cần giải khi muốn tối ưu hóa công việc của mình.

Nếu ta giải đượ c một trong hai bài toán, coi như đã giải đượ c bài toán kia. Vậy nếu

gặ p bài toán khó giải thì r ất có thể bài toán đối ngẫu sẽ dễ giải hơ n. Một trong các thí

dụ loại này là bài toán:

(1) f(x) = minxc j j →∑

(2) )m,1i( bxa i

n

1 j

jij =≥∑=

(3) x j ≥ 0 (j = n,1 )

Ta giả thiết c j ≥ 0, (j = n,1 ) Nếu giải tr ực tiế p, ta phải đưa m ẩn phụ vớ i hệ số -1, r ồi lại thêm m ẩn giả vớ i hệ số 1

mớ i đưa đượ c về dạng chuẩn để giải bằng thuật toán đơ n hình. Còn nếu đưa về bài

toán đối ngẫu:

(1) g(y) = ∑=

m

1i

ii y b → max

(2) )n,1 j(cya j

m

1i

jij =≤∑=

(3) y j ≥ 0, i = 1, … , m.thì chỉ cần đưa m ẩn phụ vớ i hệ số 1 là ta có ngay bài toán dạng chuẩn.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ngoài ra ngườ i ta còn chứng minh đượ c: Khi đã có phươ ng án tối ưu của bài toán đối

ngẫu, tức là ở bảng 0 j ≥∆ ∀ j.

Lúc đó: x0 = ( )Δ,...,Δ,Δ nm2m1m +++ chính là phươ ng án tối ưu của bài toán gốc. Trong đó

jm+∆ là ướ c lượ ng của ẩn phụ ym+j.

Bằng lý thuyết của bài toán đối ngẫu ngườ i ta đã đưa ra các thuật toán giải một số bài

toán quan tr ọng trong kinh tế như phươ ng pháp thế vị giải bài toán vận tải và phươ ng pháp điều chỉnh nhân tử giải bài toán sản xuất đồng bộ đượ c trình bày ở các chươ ng

sau.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Chươ ng XI


§1. BÀI TOÁN VẬN TẢI TỔNG QUÁT

1.1.Thiết lập bài toánGiả sử có m nơ i là A1, A2,…, Am cung cấ p loại mặt hàng nào đó vớ i khối lượ ng

tươ ng ứng là a1, a2,…, am. Cùng lúc đó có n nơ i là B1, B2,…, Bn tiêu thụ hàng đó vớ ikhối lượ ng yêu cầu tươ ng ứng là b1, b2, …, bn (đơ n vị khối lượ ng tính bằng tấn). Tagọi Ai là điểm phát hàng thứ i (i = m,1 ) và B j là điểm thu hàng thứ j (j = n,1 ). Để đơ ngiản lúc đầu ta giả thiết tổng lượ ng hàng phát đi ở các điểm phát bằng tổng lượ ng hàngthu về ở các điểm thu ) ba( ji∑ = . Điều kiện này gọi là cân bằng thu - phát.

Giả sử chi phí chuyên chở một tấn hàng từ Ai đến B j là cij đồng. Ma tr ậnC = (cij)mxn gọi là ma tr ận cướ c phí.

Hãy lậ p k ế hoạch vận chuyển từ mỗi điểm phát đến mỗi điểm thu bao nhiêu tấn hàngđể:- Các điểm phát đều phát hết hàng.- Các điểm thu đều thu đủ hàng yêu cầu.- Tổng cướ c phí phải tr ả là ít nhất.

Phân tích: Đặt xij là số tấn hàng chuyển từ Ai đến B j.a) Tất nhiên xij ≥ 0 (i = )m,1 ; (j = n,1 )

b) Tổng lượ ng hàng phát đi từ Ai đến mọi B j là:

xi1 + xi2 + … + xij + … + xin =∑=

m

1iijx ; j = 1,…, n.

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=+++++

=+++++

=+++++

mmnmj2m1m

2n2 j22221

1n1 j11211

ax...x...xx

...

ax...x...xx

ax...x...xx

Tổng này bằng ai là lượ ng hàng cần phát ở Ai (i = m,1 ).c) Tổng lượ ng hàng thu về B j từ mọi Ai là:

x1j + x2j + … + xij + … + xmj = ∑=

m

1iijx

Tổng này phải bằng b j là lượ ng hàng B j yêu cầu (j = n,1 )d) Tổng cướ c phí phải tr ả: ∑∑

i jijijxc

Tổng chi phí vận chuyển từ mọi điểm phát i tớ i mọi điểm thu j.Tổng này càng nhỏ càng tốt.Từ các phân tích trên, ta có mô hình bài toán:

(1) ∑∑i j

ijijxc → min

(2)

⎢⎢⎢

⎢

⎣

⎡

==

==

∑

∑

=

=

)n,1 j( bx

)m,1i(ax

j

m

1iij

i

n

1 j

ij

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(3) xij ≥ 0 (i = m,1 ; j = n,1 ).Một ma tr ận X = (xij)mxn thoả (2) và (3) gọi là một phươ ng án của bài toán vận tải.

Một phươ ng án thoả mãn (1), tức là tốn cướ c phí nhỏ nhất so vớ i mọi phươ ng án, gọilà phươ ng án tối ưu.

1.2. Đặt bài toán dạng bảngBài toán vận tải là bài toán quy hoạch quy hoạch tuyến tính nên có thể giải như ở chươ ng 2. Nhưng khi đó ẩn số khá nhiều và số ràng buộc khá lớ n. Trong đó m ràng

buộc đảm bảo cho m điểm phát hết hàng và n ràng buộc đảm bảo cho n điểm thu nhậnđủ hàng nhưng do tính chất đặc biệt của bài toán vận tải, nên ngườ i ta ngh ĩ ra mộtthuật toán hiệu quả hơ n. Ta trình bày bài toán dướ i dạng bảng:

ThuCướ c

Phát

B1

b1

B2

b2…

B j b j

…Bn

bn

A1 : a1 c11

x11

c12

x12

… c1j

x1

… c1n

x1n

… … … … … … …

Ai : aici1

xi1

ci2

xi2

… cij

xij

… cin

xin

… … … … … … …

Am : amcm1

xm1 cm2

xm2

… cmj

xmj

… cmn

xmn

Trong mỗi hàng đặc tr ưng cho một điểm phát và mỗi cột đặc tr ưng cho một điểm

thu. Mỗi ô đặc tr ưng cho một tuyến đườ ng từ Ai đến B j gọi là ô (i,j).

Định ngh ĩ a: M ột dãy các ô của bảng mà 2 (và không quá 2) ô liên tiế p của dãy luônnằ m trên cùng một hàng hoặc cùng một cột g ọi là một dây chuyề n. M ột dây chuyề nkhép kín g ọi là một vòng. Ví d ụ 1. Trong bảng bên các ô có đánh dấu "x" lậ p thành một dây chuyền. Dãy 6 ô củata là: (1) (2) (3) (4) (5) (6)

(1,2) (1,3) (2,3) (2,4) (4,4) (4,1)

x xx x

x x

Ta thấy hai ô liên tiế p (tùy theo các chỉ số đánh ở trên) bao giờ cùng nằm trên cùnghàng hoặc cùng một cột.

Ví d ụ 2. Trong bảng sau ta có 6 ô tạo thành vòng.

x xx x

x x

Định ngh ĩ a: Nhữ ng ô ứ ng vớ i xij > 0 trong một phươ ng án nào đ ó đượ c g ọi là ôchọn. Nhữ ng ô còn l ại đượ c g ọi là ô loại.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ô chọn đặc tr ư ng cho có tuyế n đườ ng ta có vận t ải hàng qua.Định ngh ĩ a: M ột phươ ng án mà các ô chọn không t ạo thành vòng g ọi là phươ ng án

cơ bản. M ột phươ ng án cơ bản có đủ m + n - 1 ô chọn g ọi là không suy biế n, nế u có íthơ n m + n -1 ô chọn là suy biế n.

1.3.Tính chất của bài toán vận tảiTính chấ t 1: Bài toán vận tải cân bằng thu phát luôn có phươ ng án tối ưu.Tính chấ t 2: Giả sử ta có bảng m hàng, n cột và E là một tậ p hợ p gồm m + n -1 ô của

bảng không chứa vòng. Giả sử (i, j) là ô của bảng không thuộc E. Nếu ta bổ sung (i, j)vào E để đượ c E1 thì E1 sẽ chứa vòng duy nhất là V. Cuối cùng nếu loại khỏi E1 một ôtuỳ ý thuộc vòng V để đượ c E2, thì E2 lại gồm m + n -1 ô của bảng không chứa vòng.

Ví d ụ 3. Trong bảng sau gồm 4 hàng 4 cột có tậ p E gồm m + n -1 = 4 + 4 -1 = 7 ôkhông chứa vòng có đánh dấu "x" (4, 4) là ô của bảng không thuộc E .

x x x x

xx

x (4,4)

Khi bổ sung (4, 4) vào E sẽ có vòng duy nhất đượ c đánh dấu trong bảng. Vì là vòngduy nhất, nên tất nhiên là mất đi một ô của V thì sẽ mất vòng.

Chú ý: Trong định ngh ĩ a phươ ng án cơ bản không suy biến ta đòi hỏi số ô chọn làm + n -1. Trong tr ườ ng hợ p suy biến, ta có thể bổ sung một số ô loại sao cho phươ ngán cơ bản là m + n - 1 ô chọn. Các ô loại đượ c bổ sung này gọi là các "ô chọn 0".

1.4. Lập phươ ng án cơ bản ban đầuTa dùng phươ ng pháp ưu tiên phân phối nhiều nhất vào ô có cướ c phí nhỏ nhất. Giả

sử trong ma tr ận cướ c phí C = (cij)mxn, crs nhỏ nhất trong các cij. Khi đó, ta phân phốitối đa vào ô (r, s), cụ thể:

Trong tr ườ ng hợ p thứ nhất, điểm Ar đã phát hết hàng nên có thể xóa đi hàng r của bảng, ở điểm thu Bs chỉ còn cần bs - ar tấn hàng.

Trong tr ườ ng hợ p thứ hai, điểm thu Bs đã nhận đủ hàng nên có thể xóa đi cột s của bảng và ở điểm phát Ar chỉ còn lại ar - bs tấn hàng. Trong bảng còn lại vớ i số hàng vàcột ít hơ n, ta lại phân phối như trên cho đến khi hết hàng. Các ô chọn tìm đượ c sẽ không chứa vòng và là phươ ng án cơ bản. Nếu chưa đủ m + n -1 ô thì ta bổ sung thêmmột số ô chọn 0 cho đủ m + n - 1 ô không tạo thành vòng.

xrs =⎩⎨⎧

>

≤

sr s

sr r

ba b

baa

nếu

nếu

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d ụ 4.

jcij

i

B1 20

B2

40B3 30

A1 : 30

1

x20

3

x10

5

A2 : 255 4 2

x25

A3 : 358 5

x30

4x

5

Thứ tự phân như sau:+ Phân vào ô (1,1) 20 tấn, cột 1 bị xóa và ở A

1 còn 10 tấn.

+ Phân vào ô (2,3) 25 tấn, hàng 2 bị xóa, B3 còn cần 5 tấn.+ Phân vào ô (1,2) 10 tấn, hàng 1 bị xóa, B2 còn cần 30 tấn.+ Phân vào ô (3,3) 5 tấn, cột 3 bị xóa, A3 còn cần 30 tấn.+ Phân 30 tấn vào (3,2). Kiểm tra lại có 5 ô chọn đúng bằng m + n -1 nên không phải

bổ sung thêm ô chọn 0.Ví d ụ 5.

jcij

i25 25 10

105 3 1

x10

30

7x

25

6x

5

8x

0

203 2

x20

2

+ Phân vào (1, 3) 10 tấn, hàng 1 cột 3 bị xóa.+ Phân vào (3, 2) 20 tấn, hàng 3 bị xóa, điểm thu 2 còn thiếu 5 tấn.+ Phân vào (2, 2) 5 tấn, cột 2 bị xóa điểm phát 2 còn 25 tấn.+ Phân 25 tấn của điểm phát 2 cho điểm thu 1 tại ô (2,1).Đếm lại thấy có ô chọn trong khi m + n -1 = 3 + 3 -1 = 5. Vậy còn thiếu 1 ô, ta bổ sungthêm ô chọn 0, chẳng hạn ô (2, 3).

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




§ 2-THUẬT TOÁN "QUY 0 CƯỚ C PHÍ CÁC Ô CHỌN"

2.1. Nội dung thuật toán Định lý: Nếu ta cộng vào hàng i của ma tr ận cướ c phí C = (c)ij số r i tuỳ ý (i = 1,

…, m) và cộng vào cột j số s j tuỳ ý (j = 1, …, n), ta sẽ có bài toán vận tải mớ i vớ i matr ận cướ c phí C' = (c'

ij)

mxn (c'

ij = c

ij + r

i + s

j) tươ ng đươ ng vớ i bài toán ban đầu (ngh ĩ a là

phươ ng án tối ưu của bài toán này cũng là phươ ng án tối ưu của bài toán kia và ngượ clại).

Thuật toán g ồm 3 bướ c: Bướ c 1: Quy 0 cướ c phí các ô chọn :

Giả sử ta đã có phươ ng án cơ bản ban đầu vớ i m + n -1 ô chọn (có thể có một số ôchọn 0). Ta cộng vào hàng i của ma tr ận cướ c phí C số r i (i = m,1 ) và cộng vào cột j số

s j (j = n,1 ). Ta chọn các si và s j thế nào cho ở ma tr ận cướ c phí mớ i C' các ô chọn đềucó c'ij = 0.

Bướ c 2: Ki ể m tra tính t ố i ư u+ Nếu sau khi quy 0 các ô chọn mà các ô loại đều có cướ c phí ≥ 0 thì phươ ng án

đang xét là tối ưu.+ Nếu sau khi quy 0 cướ c phí các ô chọn mà có ít nhất một ô loại có cướ c phí < 0, thì

phươ ng án đang xét không phải tối ưu ta chuyển sang bướ c 3.

Bướ c 3: Xây d ự ng phươ ng án mớ i t ố t hơ n+ Tìm ô đư a vào: Giả sử ô (i*,j*) có cướ c phí âm nhỏ nhất thì ô (i*,j*) là ô đưa vào.+ Tìm vòng đ iề u chỉ nh: Bổ sung ô (i*,j*) vào m + n -1 ô chọn ban đầu sẽ xuất hiện

vòng duy nhất là V gọi là vòng điều chỉnh.+ Phân ô chẵ n l ẻ của vòng V : Ta đánh số thứ tự các ô của vòng V bắt đầu từ ô (i*,j*).

Khi đó, V phân thành hai lớ p:VC: Các ô có thứ tự chẵnVL: Các ô có thứ tự lẻ

+ Tìm ô đư a ra và l ượ ng đ iề u chỉ nh:

Giả sử 00C jiij

V) j,i(xxmin =

∈, khi đó (io,jo) là ô đưa ra và 00 ji

x là lượ ng điều chỉnh.

Nói cụ thể: Tìm xem trong các ô có số thứ tự chẵn, ô nào có phân ít hàng nhất thì ô

đó là ô đưa ra, còn lượ ng hàng ở ô này là lượ ng hàng điều chỉnh.+ Lậ p phươ ng án mớ i: X' = (x'ij)mxn đượ c tính như sau:

Tức là ô có thứ tự chẵn của vòng đượ c bớ t hàng đi. Ô có thứ tự lẻ đượ c cộng thêmhàng. Ô ngoài vòng điều chỉnh vẫn giữ nguyên lượ ng hàng cũ.

Nhận xét:- Ô (i0,j0) tr ướ c có 00 ji

x tấn. Vì là ô chẵn nên bị tr ừ đi 00 jix tấn và thành ô loại.

x'ij =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∉

∈+

∈−

V) j,i(x

V) j,i(xx

V) j,i(xx

ij

L

jiij

C

jiij

00

00

nếu

nếu

nếu

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




X' =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0070

102010

5000

Ta đã có phươ ng án cơ bản mớ i gồm m + n - 1 ô chọn, nên lại quay tr ở về bướ c 1.

Bướ c 1: Quy 0 cướ c phí ô chọnCho r 2 = 0 ⇒ s1 = 0, s2 = 0, s3 = 1, r 1 = -1, r 3 = 0.Ma tr ận cướ c phí mớ i là:

Bướ c 2: Kiểm tra tính tối ưuTa thấy các ô loại đều có cướ c phí dươ ng vậy phươ ng án

X' =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

0070

102010

5000

là phươ ng án tối ưu.

Ngh ĩ a là: Ta chuyển 50 tấn hàng của A1 về cả B3; 40 tấn của A2 về cho B1= 10 tấn,

B2 = 20 tấn, B3 = 10 tấn, chuyển toàn bộ hàng của A3 về cho B1.Vớ i phươ ng án tối ưu này cướ c phí phải tr ả là:

f(x') = 1.50 + 3.10 +2.20 + 6.10 + 7.70 = 670 (đơ n vị tiền) Nếu dùng phươ ng án ban đầu thì:

f(x) = 1.0 + 3.20 + 2.20 + 7.60 + 11.10 = 680 (đơ n vị tiền).

§ 3. PHƯƠ NG PHÁP THẾ VỊ

3.1. Cơ sở toán học

Bài toán vận tải dạng tổng quát là:(1) f(x) = ∑∑

i jijijxc → min

(2)

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

==

∑

∑

=

=

)n,1 j( bx

)m,1i(ax

j

m

1iij

n

1 jiij

(3) xij ≥ 0 (i = m,1 ; j = n,1 )Bài toán đối ngẫu của bài toán này là:

(1) g(u,v) = maxv bua j

n

1 j j

m

1iii →+∑∑

==

7 7 0x

0x

0x

0x

0 x 3 1

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(2) ui + v j ≤ cij (i = m,1 ; j = n,1 )(3) ui, v j tùy ý

Các cặ p bài toán đối ngẫu là:xij ≥ 0 ⇔ ui + v j ≤ cij (i = m,1 ; j = n,1 ).

Giả sử ta có phươ ng án cơ bản ban đầu vớ i m + n -1 ô chọn X = (xij)mxn . Ta xác địnhhệ thống thế vị hàng ui và thế vị cột v j sao cho ở các ô chọn ui + v j = cij tức là

jδ = ui + v j - cij = 0 vớ i xij > 0. Hệ thống (ui, v j) đã thoả mãn điều kiện của định lý độ

lệch bù yếu. Vậy nếu nó là phươ ng án của bài toán đối ngẫu thì theo định lý này,X = (xij)mxn là phươ ng án tối ưu của bài toán vận tải. Điều kiện để (ui,v j) là phươ ng áncủa bài toán đối ngẫu là: ui + v j ≤ cij, còn dấu thì tuỳ ý. Ở các ô chọn điều này đã có,nếu ở các ô loại cũng có thì bài toán giải xong, tức là 0ij ≤δ vớ i mọi ô loại thì bài toán

giải xong. Nếu tồn tại ijδ > 0 thì (ui , v j) chưa phải là phươ ng án của bài toán D nên

X = (xij)mxn chưa phải là phươ ng án tối ưu.

Lúc này ta phải điều chỉnh lại X và (ui,v j) bằng cách đưa ô có ijδ > 0 lớ n nhất vào vàloại ra một ô.

Việc tìm ui, v j làm gần giống như tìm r i và s j ở bài 2 của chươ ng này.

3.2. Thuật toán Bướ c 1: Tìm thế vị hàng và cột

Cho 0iu , hoặc 0 j

v nào đó bằng 0. Sau đó xét các ô chọn. Nếu ô nào trên hàng có ui đã

biết thì tìm v j = cij - ui , nếu ô nào trên cột đã biết v j thì tìm ui = cij - v j. Bướ c 2: Kiểm tra tính tối ưu

Tính ijδ = ui + v j - cij cho các ô loại (các ô chọn ijδ = 0). Nếu 0δ ij ≤ ∀ i,j thì phươ ngán tối ưu. Nếu tồn tại ijδ > 0 thì chuyển sang bướ c 3.

Bướ c 3: Lậ p phươ ng án mớ i tốt hơ n+ Tìm ô đưa vào: Ô loại có ijδ > 0 lớ n nhất

+ Xác định vòng điều chỉnh+ Phân ô chẵn lẻ + Tìm ô đưa ra và lượ ng điều chỉnh+ Lậ p phươ ng án mớ i tốt hơ n

Các việc làm ở bướ c 3 giống như thuật toán quy 0 cướ c phí các ô chọn. Sau khi có phươ ng án mớ i, lại tr ở về bướ c 1 và cứ tiế p tục cho đến khi tìm đượ c phươ ng án tốiưu.

Thuật toán này dựa trên khái niệm bài toán đối ngẫu và định lý độ lệch bù yếu khátr ừu tượ ng đối vớ i các bạn không nắm chắc cơ sở toán. Về tiến trình tính toán thìkhông gọn nhẹ bằng thuật toán quy 0 cướ c phí các ô chọn vì các ijδ tính ở bướ c này

không đượ c dùng ở bướ c sau. Còn ở thuật toán tr ướ c cij ở các bướ c sau thườ ng r ất nhỏ,hầu hết là bằng 0. Về mức độ hiệu quả thì hai phươ ng pháp hoàn toàn như nhau. Taquan tâm đến phươ ng pháp quy 0 cướ c phí các ô chọn vì nó r ất tr ực quan.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Ví d ụ 1. Giải bài toán vận tải cho bằng bảng dướ i đây:

jcij

i20 40 60

80 3 4 1

30 4 2 350 1 5 6

∑ ia = 80 + 30 + 50 = 160

∑ j b = 20 + 40 + 60 = 120

Ta đưa thêm tr ạm thu giả thứ tư vớ i lượ ng hàng cần thu b4 = 160 - 120 = 40, để làm cho cân bằng thu phát.

s1 = -1 s2 = -4 s3 = -1 s4 = 0Bằng cách ưu tiên phân phối vào các ô có cướ c phí nhỏ như trình bày ở mục 4 bài 1

ta có phươ ng án như trong bảng trên gồm m + n -1 = 3 + 4 - 1 = 6 ô chọn.

Ta áp dụng thuật toán để giải và đượ c ma tr ận cướ c phí mớ i là:

Ta thấy các ô loại đều đã có cướ c phí ≥ 0 nên phươ ng án đang xét là tối ưu.

jcij

i20 40 60 40

80

3 4x

10

1x

60

0x

10

30

4 2x

30

3 0

50

1x

20

5 6 0x

30

2 0x

0x

0x

5 0x

4 2

0x

3 1 0x

r = 0

r 1= 0

r 2= 2

r 3= 0

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




X =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

300020

00300

1060100

Tức là 80 tấn hàng của điểm phát thứ nhất phát cho điểm thu thứ hai 10 tấn, điểmthu thứ ba 60 tấn còn dư 10 tấn. 30 tấn của điểm phát thứ hai phát cả cho điểm thu

thứ hai. 50 tấn hàng của điểm phát thứ ba phân cho điểm thu thứ nhất 20 tấn còn dư 30tấn.

Vớ i phươ ng án tối ưu này cướ c phí phải tr ả là:f(x) = 4.10 + 1.60 + 2.30 + 1.120 = 180 (đơ n vị tiền).

2.2. Bài toán vận tải có ô cấmTrong thực tế có một số tuyến đườ ng (đặc tr ưng bở i các ô) không thể chuyển hàng

qua đượ c: cầu phà bị hỏng, cự ly quá xa không thể k ị p thờ i gian, hoặc chuyển đến nơ ihàng bị hỏng do không có điều kiện bảo quản tốt trên đườ ng, không có phươ ng tiệnvận tải thích hợ p, k ế hoạch vận tải phải đảm bảo cho một tr ạm phát nào đó phát hết

hàng hoặc một tr ạm thu phải thu đủ hàng khi không cân bằng thu phát… Các ô ứngvớ i các tuyến đườ ng này gọi là các "ô cấ m".Để áp dụng thuật toán này, ta thay cij ở các ô cấm là M (một số lớ n hơ n bất k ỳ số nào

cần so sánh) và sau đó giải bình thườ ng. Nếu ở phươ ng án tối ưu nhận đượ c mà có ítnhất một ô cấm là ô chọn, thì bài toán vận tải không có phươ ng án.

Ví d ụ 2. Trong thí dụ ở bài thuật toán quy 0 bướ c chọn ta đã giải và có phươ ng án vậntải tối ưu. Nhưng ngay sau đó đượ c tin cây cầu A bị hư hỏng nặng mà tuyến đườ ng từ A3 tớ i B3 và A2 tớ i B1 đều phải qua hai cây cầu đó. Hãy sửa phươ ng án tối ưu đã lậ pđượ c để đượ c phươ ng án tối ưu trong tình hình mớ i.

s1 = -M s2 = -2 s3 = -6

Tr ướ c hết ô (2,1) và ô (3,3) là ô cấm nên ta thay c21 = M, c33 = M. Ta lấy phươ ng ántối ưu làm phươ ng án xuất phát và tiến hành thuật toán.

jcij

i

B1 80

B2

20B3 60

A1 : 50

5 4 1x

50

A2 : 40

Mx

10

2x

20

6x

10

A3 : 70

7x

60

9 M

r 1 = 5

r 2 = 0

r 3 = M-7

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




s1 = M -10 s2 = 0 s3 = 0

Như vậy sau một lần sửa lại phươ ng án ta đã đi tớ i phươ ng án tối ưu vì các ô loại đã cócướ c phí dươ ng.

X =

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

0070

20200

40010

Vớ i phươ ng án này tổng cướ c phí phải tr ả là:f(x) = 5.10 + 1.40 + 2.20 + 6.20 + 7.70 = 740 (đơ n vị tiền).

Như vậy để tránh cây cầu này ta phải tốn thêm lượ ng tiền vận chuyển là:740 - 670 = 70 (đơ n vị tiền).

4.3. Bài toán "vận tải" có f(x) max Nhiều bài toán trong thực tế không phải bài toán vận tải nhưng có dạng gần giống bài

toán vận tải, chỉ khác là hàm mục tiêu dần tớ i cực đại:(1)

∑∑i j ijijxc → max

(2)

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

==

∑

∑

=

=

)n,1 j( bx

)m,1i(ax

j

m

1iij

i

n

1 jij

(3) xij ≥ 0 (i = m,1 ; j = n,1 ).

Việc giải bài toán này không có gì đặc biệt, cần phải chú ý các điểm sau:- Khi lậ p phươ ng án phân phối ban đầu thì ưu tiên phân vào ô có cij lớ n nhất.

-M + 10x

(1) 10

7 0x

(4) 400

x(2)

0x

20

x

(3) 200

x70

M 2M - 13

0x

7 0x

M - 10 0x

0x

0x

10 M - 3

r 1 = 0

r 2 = 0

r 3 = -M+10

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




BÀI TẬP

Phần I

LÝ THUYẾT XÁC SUẤT

Chươ ng IBIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

1. Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất. Tính xác suất để xuất hiện mặt sấ p?

2. Gieo hai đồng tiền cân đối đồng chất cùng một lúc. Tìm xác suất để cùng mộtlúc xuất hiện 2 mặt sấ p?

3. Gieo đồng thờ i hai con xúc xắc. Tìm xác suất.

a. Tổng số chấm xuất hiện bằng 5. b. Tổng số chấm xuất hiện bằng 6.

4. Trong tháng 12 có 3 ngườ i cùng sinh ra. Tính xác suất để họ (3 ngườ i) sinh ra 3ngày khác nhau?

5. Một khóa số có 3 vòng, một ngườ i quên mã khóa chỉ nhớ r ằng có chữ số 5.Tính xác suất để anh ta mở đượ c ngẫu nhiên.

6. Một hộ p có 6 quả cầu tr ắng và 4 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 quả. Tìm xácsuất các biến cố sau đây:

a. Lấy đượ c hai quả đỏ.

b. Lấy đượ c hai quả khác màu.

c. Lấy đượ c ít nhất một quả đỏ.

7. Một tổ có 10 ngườ i. Trong đó có 6 nam và 4 nữ. Chọn 3 ngườ i đi học. Tính xácsuất để trong 3 ngườ i trong đó có một ngườ i nam.

8. Trong một tuần một cái máy hỏng 3 lần. Tính xác suất để nó hỏng vào 3 ngàykhác nhau.

9. Một hộ p có 20 quả bóng bàn, lấy ra 5 quả để chơ i sau đó bỏ lại. Tính xác suấtđể lấy 5 quả tiế p theo ra chơ i toàn đượ c quả mớ i.

10. Một hộ p có 6 quả cầu xanh, 4 quả cầu đỏ, 5 cầu vàng. Lấy ra 3 quả, tính xácsuất để lấy ra đượ c:

a. 3 quả khác màu.

b. 2 quả đỏ.

c. Không quả vàng.

11. Có 2 hộ p sản phẩm, hộ p một chứa 8 tốt và 2 xấu, hộ p hai chứa 7 tốt và 3 xấu. Ngườ i ta lấy ở mỗi hộ p ra một sản phẩm. Tính xác suất để:

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




a. Cả hai sản phẩm lấy ra đều tốt.

b. Có ít nhất một sản phẩm tốt.

12. Có hai hộ p. Hộ p một chứa 6 bi xanh, 4 bi đỏ, 5 bi vàng. Hộ p hai chứa 5 bixanh, 4 bi đỏ, 6 bi vàng. Lấy ở mỗi hộ p ra một viên bi. Tính xác suất:

a. Lấy ra hai viên bi cùng màu. b. Có đúng một viên bi vàng.

c. Có ít nhất một viên bi đỏ.

d. Hai viên bi khác màu.

13. Có hai hộ p sản phẩm, hộ p một chứa 8 tốt và 2 xấu, hộ p hai chứa 7 tốt và 3 xấu. Ngườ i ta lấy một sản phẩm ở hộ p 1 và hai sản phẩm ở hộ p 2. Tính xác suất để:

a. Cả 3 sản phẩm đều tốt.

b. Có đúng một sản phẩm tốt.

c. Có ít nhất một sản phẩm tốt.

d. Có hai sản phẩm tốt.

14. Có 3 ngườ i, mỗi ngườ i rút một quân bài không hoàn lại. Tính xác suất để:

a. Cả 3 ngườ i rút đượ c quân đỏ.

b. Ngườ i thứ nhất không rút đượ c quân đỏ.

c. Chỉ ngườ i thứ ba rút đượ c quân đỏ.

15. Một ngườ i mua 2 lần một mặt hàng, xác suất để mua đượ c hàng tốt là 0,95 ở lần1. Xác suất mua đượ c hàng tốt ở lần hai là 0,99 nếu mua phải hàng xấu ở lần 1.Xác suất mua đượ c hàng tốt ở lần hai không đổi nếu lần 1 mua đượ c hàng tốt.Tính xác suất.

a. A: “Cả hai lần mua đượ c hàng tốt”.

b. B: “Đúng một lần mua đượ c hàng tốt”.

c. C: “Ít nhất một lần mua đượ c hàng tốt”.

16. Có 9 sản phẩm mỗi lần lấy 3 sản phẩm để kiểm tra, sau đó bỏ lại lấy tiế p 3 sản phẩm khác. Tính xác suất để sau 3 lần kiểm tra đượ c tất cả các sản phẩm.

17. Hộ p 1 chứa 6 bi xanh, 4 bi đỏ. Hộ p 2 chứa 7 bi xanh, 3 bi đỏ. Một ngườ i lấy 1viên bi ở hộ p 1 bỏ nhầm vào hộ p hai nên phải lấy 1 viên bi ở hộ p hai tr ả lại hộ p1. Tính xác suất để thành phần viên bi không đổi.

18. Một phân xưở ng có 5 máy hoạt động độc lậ p. Xác suất một máy bị hỏng là 0,2.Tính xác suất để:

a. 3 máy bị hỏng.

b. Không quá 2 máy bị hỏng.

c. Có ít nhất 1 máy bị hỏng.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




19. Tỷ lệ phế phẩm của 1 lô hàng là 10%. Một ngườ i mua 5 sản phẩm từ lô hàng.Tính xác suất để ngườ i đó mua đượ c:

a. Ít nhất 1 sản phẩm tốt.

b. Ít nhất 1 sản phẩm xấu.

c. Ít nhất 4 sản phẩm tốt.20. Có một thùng sản phẩm gồm 3 hộ p. Hai hộ p loại 1 đạt chất lượ ng 90% tốt. Một

hộ p loại 2 đạt chất lượ ng 80% tốt. Ba hộ p giống nhau về hình thức. Lấy ngẫunhiên 1 hộ p và từ đó lấy ra một sản phẩm. Tính xác suất để lấy ra 1 sản phẩmtốt.

21. Một lô hàng có 7 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Ngườ i thứ nhất đã lấy ngẫunhiên 2 sản phẩm. Ngườ i thứ hai lấy tiế p 1 sản phẩm nữa. Tính xác suất để ngườ i thứ 2 lấy đượ c sản phẩm tốt.

22. Một hộ p có 5 chi tiết máy, 3 chi tiết loại A; 2 chi tiết loại B. Hình thức giốngnhau, xác suất để sau một năm sử dụng không bị hỏng đối vớ i chi thiết loại A là0,9; loại B là 0,8. Ngườ i ta lấy ngẫu nhiên 2 chi tiết đem ra sử dụng. Tính xácsuất:

a. Sau một năm sử dụng cả hai chi tiết không bị hỏng.

b. Sau một năm sử dụng chỉ có một chi tiết bị hỏng.

23. Có hai hộ p đựng bi. Hộ p một chứa: 7 vàng, 3 xanh, 5 đỏ. Hộ p hai chứa: 8 vàng,4 xanh, 3 đỏ. Ngườ i ta chuyển 1 viên bi từ hộ p 1 sang hộ p 2; sau đó lấy mỗihộ p ra một viên bi. Tính xác suất để lấy đượ c 2 viên cùng màu.

24. Có 5 xạ thủ trong đó có 3 xạ thủ đạt huy chươ ng vàng, hai xạ thủ đạt huychươ ng bạc. Xác suất để xạ thủ đạt HCV bắn trúng đích là 0,99; xạ thủ HCB

bắn trúng đích là 0,95. Lấy ngẫu nhiên 1 ngườ i ra cho bắn thử 1 viên đạn thìtr ượ t. Tính xác suất để đó là xạ thủ đạt HCV.

25. Có hai hộ p sản phẩm, hộ p một chứa 7 tốt và 3 xấu, hộ p hai chứa 8 tốt và 2 xấu. Ngườ i ta chuyển 2 sản phẩm từ hộ p 1 sang hộ p 2, sau đó lấy ở hộ p hai ra 1 sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy ở hộ p hai ra là tốt.

26. Có hai hộ p sản phẩm, hộ p một chứa 7 tốt và 3 xấu, hộ p hai chứa 8 tốt và 2 xấu.

Ngườ i ta chuyển 2 sản phẩm từ hộ p 1 sang hộ p 2. Sau đó lấy ngẫu nhiên từ hộ p2 ra một sản phẩm tốt. Tính xác suất để sản phẩm tốt của hộ p 1 chuyển sang.

27. Có 5 sản phẩm: 3 hộ p loại một và 2 hộ p loại hai. Hộ p loại 1 đạt chất lượ ng90%, hộ p loại 2 đạt chất lượ ng 70%. Ngườ i ta lấy ngẫu nhiên 1 hộ p và từ đó lấyra một sản phẩm thì đượ c sản phẩm xấu; lấy tiế p một sản phẩm thứ 2 cũng từ hộ p đó. Tính xác suất để sản phẩm thứ 2 là tốt.

28. Tỷ lệ ngườ i bị bệnh H là 5% tại 1 vùng. Việc chẩn đoán bệnh H đượ c tiến hànhqua hai bướ c chẩn đoán lâm sàng và xét nghiệm toàn bộ. Nếu chẩn đoán lâmsàng k ết luận là có bệnh thì ngườ i ta sẽ cho xét nghiệm toàn bộ. Khả năng chẩn

đoán lâm sàng đúng là 80% vớ i ngườ i có bệnh và sai đối vớ i ngườ i không có bệnh là 3% (không có bệnh mà k ết luận là có bệnh). Xét nghiệm toàn bộ độclậ p vớ i chẩn đoán lâm sàng và khả năng k ết luận đúng vớ i ngườ i có bệnh làWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




99%, chỉ có 1% ngườ i không có bệnh bị k ết luận là có bệnh. Kiểm tra ngẫunhiên 1 ngườ i và ngườ i này đượ c kiểm tra qua 2 bướ c trên, k ết luận cuối cùnglà ngườ i này có bệnh. Khả năng k ết luận bị sai là bao nhiêu? (Trên thực tế không có bệnh mà k ết luận là có bệnh).

Chươ ng II

BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT

1. Gieo 2 đồng tiền cân đối, đồng chất. Gọi X là : “Số mặt ngửa xuất hiện”. Hãyxây dựng quy luật phân phối xác suất của X.

2. Tung một con xúc xắc. Gọi X là: “Số chấm xuất hiện”. Hãy xây dựng quy luật phân phối xác suất của X.

3. Một lô hàng có 8 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu, một ngườ i mua 2 sản phẩm.Xây dựng quy luật phân phối xác suất sản phẩm tốt mà ngườ i đó mua đượ c.

4. Một ngườ i thử súng theo nguyên tắc có viên đạn trúng thì dừng, vớ i xác suấttrúng là 0,3. Xây dựng quy luật phân phối xác suất của số viên đạn đượ c phát.

5. Một xí nghiệ p có hai ô tô tải hoạt động. Xác suất trong ngày làm việc các ô tô bị hỏng tươ ng ứng bằng 0,1 và 0,2. Gọi X là số ô tô bị hỏng trong thờ i gian làmviệc.

a. Tìm quy luật phân phối xác suất của X.

b. Thiết lậ p hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị của nó.

6. Biến ngẫu nhiên r ờ i r ạc X có bảng phân phối xác suất như sau:

X 0 1 2

P45

1

45

16

45

28

Hãy tìm hàm phân bố xác suất của X và vẽ đồ thị.

7. X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân bố.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>

≤<

≤

=

1x1

1x0ax

0x0

)x(F 2

a. Tìm a.

b. Tìm P[4

3X

4

1<< ]

c. Tìm hàm mật độ xác suất của f(x).

d. Tìm xác suất để biến ngẫu nhiên X nhận giá tr ị trong khoảng (0,25 ;0,75).

8. Biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất như sau:

vớ i

vớ i

vớ i

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




⎪⎩

⎪⎨

⎧

π>

π≤<

≤

=

x0

x0xsina

0x0

)x(f

a. Tìm a

b. Tìm P[2

X4

π<<π ]


⎩⎨⎧

<

≥=

−

0x0

0xke)x(f

x

a. Tìm k.

b. Tìm P [0< X <e].

10. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xác

suất như sau:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥=

400x0

400xx

a)x(f 2

a. Tìm a.

b. Tìm xác suất để một sản phẩm có tuổi thọ ít nhất là 600 giờ .

11. Một bài kiểm tra có một câu lý thuyết và một câu bài tậ p. Khả năng làm đượ ccâu lý thuyết là 0,8; bài tậ p là 0,4. Lý thuyết 4 điểm, bài tậ p 6 điểm. Tính điểm

trung bình của khả năng đó12. Một công ty bảo hiểm bán bảo hiểm nhân thọ hàng năm. Dự định bồi thườ ngmột vụ tử vong là 5 triệu. Một độ tuổi nào đó có tỷ lệ tử vong là 5%. Mức phí

bảo hiểm phải quy định bao nhiêu để không bị lỗ. Biết r ằng chi phí hành chínhcho một hợ p đồng bảo hiểm là 30000 đồng.

13. Tuổi thọ của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ xácsuất như sau:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<

≥=

400x0

400xx

a)x(f 3

a. Tính tuổi thọ trung bình

b. Nếu bảo hành trong thờ i hạn là 600 giờ thì tỷ lệ bảo hành là bao nhiêu.

c. Nếu thờ i gian bảo hành là T muốn tỷ lệ bảo hành là 15%. Tính T.

14. Giả sử tỷ lệ bảo hành của một sản phẩm là 15%. Khi bán một sản phẩm cửahàng kinh doanh sản phẩm này lãi 200000 đồng. Nếu nó bị hỏng trong thờ i gian

bảo hành phải chi phí sửa chữa mất 600000 đồng. Tính tiền lãi trung bình khi bán một sản phẩm.

15. Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X như sau:

vớ i

vớ i

vớ i

vớ i

vớ i

vớ i (giờ )

vớ i (giờ )

vớ i (giờ )

vớ i (giờ )

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




X -5 2 3 4

P 0,4 0,3 0,1 0,2

Tính E(X), V(X), xσ .


⎩⎨⎧

∉∈=

)1,0(x0)1,0(xx2)x(f

Tìm E(X), V(X).

17. Hai loại động cơ có giá bán ngang nhau nhưng chi phí sửa chữa hàng năm tuỳ theo mức độ hỏng hóc ta thống kê như sau.

Động cơ Mức 1 Mức 2 Mức 3

Loại AP 0,03 0,1 0,15

Chi phí sửa chữa 1.500.000 1.000.000 300.000

Loại B P 0,02 0,09 0,2Chi phí sửa chữa 2.000.000 1.100.000 200.000

Nên mua loại động cơ nào?

18. Khi kinh doanh ở hai thị tr ườ ng A và B một nhà đầu tư đang xem xét nên đầutư vào thị tr ườ ng nào. Ta biết đượ c phần tr ăm lãi suất của 2 thị tr ườ ng là các

biến ngẫu nhiên có bảng phân phối như sau. Biết r ằng lãi suất hai thị tr ườ ng độclậ p .

XA -2 0 2 4

PA 0,15 0,2 0,4 0,25

XB -1 1 3 5

PB 0,2 0,2 0,4 0,2

a. Muốn lãi suất cao nên đầu tư vào đâu?

b. Muốn độ r ủi ro thấ p nên đầu tư vào đâu?

c. Ngườ i ta muốn giảm thiểu độ r ủi ro bằng đầu tư cả hai thị tr ườ ng.Chọn tỷ lệ đầu tư như thế nào.

19. Có 10 máy hoạt động xác suất để một máy bị hỏng là 0,2. Nếu một máy hỏngcần 2 ngườ i sửa chữa.

a. Tính xác suất để trong ca có không quá hai máy bị hỏng.

b. Tính trung bình số máy bị hỏng trong ca.

c. Cần bố trí bao nhiêu ngườ i tr ực để sửa máy mà đảm bảo sẵn sàng sửachữa vớ i xác suất cao nhất.

20. Xác suất để một ngườ i đau bệnh T uống thuốc loại A khỏi bệnh là 0,7. Có 10

ngườ i đau bệnh T dùng thuốc A. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số ngườ i khỏi bệnh trong số 10 ngườ i trên. Tìm k ỳ vọng, phươ ng sai của X.

vớ ivớ i

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




21. Xác suất để một chai r ượ u bị vỡ trên đườ ng vận chuyển là 0,002. Tính xác suấtđể khi vận chuyển 1000 chai có không quá 3 chai bị vỡ .

22. Trung bình 1 phút ở tổng đài 108 của một tỉnh có 3 cuộc gọi. Tính xác suất để trong 1 phút không quá 2 cuộc gọi.

23. Chiều cao của một nam tuổi 20 ở một vùng nào đó là biến ngẫu nhiên có phân

phối chuẩn trung bình là 1,62 m. Độ lệch chuẩn là 0,05 m. Tìm tỷ lệ số ngườ icó chiều cao từ 1,58 m đến 1,7m. Những ngườ i có chiều cao dướ i 1,55 m gọi là bị lùn. Tính xác suất trong 4 ngườ i có ít nhất 1 ngườ i bị lùn.

24. Số điểm của thí sinh tuân theo quy luật chuẩn. Trung bình là 600 điểm. Độ lệchchuẩn là 50 điểm.

a. Tính tỷ lệ số thí sinh có điểm trên 500.

b. Ngườ i ta phát thưở ng 10% cho ngườ i dự thi bằng cách chọn nhữngngườ i có điểm cao. Nên quy định điểm thưở ng là bao nhiêu.

25. Tr ọng lượ ng của một loại sản phẩm tuân theo quy luật chuẩn. Biết r ằng 20% số

sản phẩm có tr ọng lượ ng nhỏ hơ n 24kg, 10% sản phẩm có tr ọng lượ ng lớ n hơ n26,5kg. Nếu chỉ chấ p nhận những sản phẩm sai khác so vớ i trung bình khôngquá 0,8kg thì lựa chọn đượ c bao nhiêu phần tr ăm.

26. Có 2 hộ p gioăng cao su. Mỗi hộ p 1000 chiếc, vớ i các tiêu chuẩn k ỹ thuật.

µ σ

A 120mm 3mm

B 120mm 2mm

Giá của loại sản phẩm A là 3$ 1 hộ p 1000 chiếc, giá của loại B là 3,5$ 1 hộ p1000 chiếc. Ngườ i ta chỉ chấ p nhận những sản phẩm có chiều dày từ 118mm – 122mm.

a. Nên mua hộ p loại sản phẩm nào?

b. Một ngườ i khách mua sản phẩm A và nói r ằng lựa chọn đượ c 80% số chitiết thì sai số ông ta yêu cầu là bao nhiêu?

27. Tuổi thọ trung bình của một loại sản phẩm tuân theo quy luật phân phối chuẩnlà8 năm, độ lệch chuẩn là 1 năm. Khi bán một sản phẩm lãi 300.000 đồng. Nếu bị hỏng trong thờ i gian bảo hành thì phải bồi thườ ng sửa chữa 500.000 đồng.

a. Tính tỷ lệ sản phẩm có độ bền trên 8 năm. b. Ngườ i ta bảo hành trong thờ i hạn 7 năm thì số lãi trung bình khi bán hết

lô hàng 1000 sản phẩm là bao nhiêu?

c. Muốn nâng tổng số lãi lên 20% nữa thì trong khi mọi chi phí không thayđối thì quy định thờ i gian bảo hành trong bao lâu?

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Phần II

THỐNG KÊ TOÁN

1. Gặt ngẫu nhiên 365 điểm tr ồng lúa của một huyện thu đượ c các số liệu đượ c sắ pxế p thành bảng sau:

Năng suất(tạ/ha)

25 30 33 34 35 36 37 39 40

Số điểm gặt 6 13 38 74 106 85 30 10 3

Tính trung bình mẫu, phươ ng sai mẫu, độ lệch chuẩn mẫu.

2. Tr ọng lượ ng của một loại sản phẩm là biến ngẫu nhiên phân phối theo quy luậtchuẩn vớ i độ lệch chuẩn là 1 gam. Cân thử 25 sản phẩm loại này ta thu đượ c k ết quả sau.

Tr ọng lượ ng (gam) 18 19 20 21

Số sản phẩm tươ ng ứng 3 5 15 2

Vớ i độ tin cậy 0,95 hãy tìm khoảng tin cậy đối xứng của tr ọng lượ ng trung bình củaloại sản phẩm nói trên.

3. Một thiết bị sản xuất những thanh kim loại có độ phân tán 0,01cm2, các chi tiết cắtra có chiều dài tuân theo quy luật chuẩn. Đo thử một số chi tiết cho thông tin sau:

Chiều dài (cm) 7 7,5 8 8,5 9 9,5

Số chi tiết 2 6 7 8 7 6

a. Ướ c lượ ng chiều dài trung bình của các chi tiết bằng khoảng tin cậy đối xứngvớ i độ tin cậy là 0,95.

b. Muốn độ chính xác tăng lên gấ p 3 lần mà vẫn giữ độ tin cậy trên thì phải kiểmtra bao nhiêu chi tiết.

c. Ướ c lượ ng chiều dài trung bình tối đa của các chi tiết vớ i độ tin cậy là 0,9.

4. Vớ i độ tin cậy 95%, hãy ướ c lượ ng xăng hao phí trung bình cho một ô tô chạy từ Ađến B nếu chạy thử 30 lần trên đoạn đườ ng này ngườ i ta ghi nhận đượ c lượ ng xănghao phí như sau:

Lượ ng xănghao phí (lít)

9,6 – 9,8 9,8 - 10,0 10 – 10,2 10,2 – 10,4 10,4 – 10,6

Số chi tiết 3 5 10 8 4

Biết r ằng lượ ng xăng hao phí là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn.

5. Theo dõi mức doanh thu hàng ngày của một tr ạm lệ phí giao thông ta có các thôngtin sau:

Doanh thu (triệu đồng) 11 – 12 12 – 13 13 – 14 14 – 15 15 - 16

Số ngày 4 6 8 7 6a. Ướ c lượ ng doanh thu trung bình vớ i độ tin cậy 0,95 bằng khoảng tin cậy đối

xứng.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Năng suất (tạ/ha) 7 9 11 13 7

Số điểm thu hoạch 2 7 12 3 1

a. Vớ i độ tin cậy 90%, hãy tìm khoảng tin cậy năng suất trung bình của vùng này.

b. Cần phải kiểm tra bao nhiêu điểm thu hoạch vớ i độ tin cậy như trên để độ dài

khoảng tin cậy đối xứng không vượ t quá 0,03 tạ/ha.c. Vớ i độ tin cậy 95%, hãy tính năng suất trung bình tối thiểu của vùng này, biết

r ằng năng suất ngô của vùng này là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn.

12. Sau khi kiểm tra ngẫu nhiên chiều dài 25 chi tiết máy do một tổ cơ khí sản xuấtngườ i ta tính đượ c độ lệch chuẩn mẫu là 0,5 cm. Biết r ằng chiều dài của loại chi tiếtmáy đó có luật phân phối chuẩn. Hãy ướ c lượ ng khoảng tin cậy của 2σ vớ i độ tincậy là 0,95.

13. Một thiết bị sản xuất những thanh kim loại các chi tiết cắt ra, có chiều dài trung bình là 8,5 cm. Đo thử một số chi tiết cho thông tin sau. Biết r ằng chiều dài tuân

theo quy luật chuẩn.Chiều dài (cm) 7 7,5 8 8,5 9 9,5

Số chi tiết 2 6 7 8 7 6

a. Ướ c lượ ng độ phân tán của chiều dài vớ i độ tin cậy là 0,95.

b. Ướ c lượ ng độ phân tán tối thiểu của chiều dài các chi tiết vớ i độ tin cậy là 0,9.

14. Năng suất giống ngô A ở một vùng đượ c báo lên qua 101điểm thu hoạch có k ếtquả như sau:

Năng suất (tạ/ha) 7 9 11 13 7Số điểm thu hoạch 22 18 12 28 21

a. Vớ i độ tin cậy 95%, hãy ướ c lượ ng độ phân tán của năng suất ngô vùng này, biếtr ằng năng suất ngô của vùng này là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật chuẩn.

b. Tìm khoảng tin cậy bên trái và bên phải của 2σ vớ i độ tin cậy 90%.

15. Một thiết bị tự động có độ lệch chuẩn là 0,2kg. Tr ọng lượ ng quy định là 25kg. Ngườ i ta nghi r ằng nó đóng thừa tr ọng lượ ng. Khi cân thử một số bao cho k ết quả sau.

Tr ọng lượ ng (kg) 24 24,5 25 25,5 26Số bao 4 6 10 8 8

Biết r ằng tr ọng lượ ng tuân theo quy luật chuẩn, vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05. Việcngườ i ta nghi ngờ có đúng không?

16. Theo dõi mức tiêu hao nhiên liệu trên một đoạn đườ ng ta có k ết quả sau:

Nhiên liệu (lít) 10 11 12 13 14

Số lần 5 7 8 10 6

Mức khoán nhiên liệu là 12 lít vậy có cần thay đối không ? mức ý ngh ĩ a α = 0,05.

17. Thông qua một mẫu gồm 100 gia đình ngườ i ta thu đượ c k ết quả là chi tiêu trung bình hàng tháng của các gia đình đó là 2,455 triệu đồng vớ i độ lệch chuẩn là 0,3

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




triệu đồng. Vớ i mức ý ngh ĩ a 0,05 có thể cho r ằng chi tiêu trung bình hàng tháng củacác gia đình ít hơ n 2,5 triệu đồng hay không. Giả thiết mức chi tiêu phân phốichuẩn.

18. Tr ọng lượ ng sản phẩm X là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn vớ i độ lệch chuẩn là2kg và tr ọng lượ ng trung bình là 20 kg. Nghi ngờ máy hoạt động không bình

thườ ng làm thay đối tr ọng lượ ng trung bình của sản phẩm. Cân thử 100 sản phẩmthu đượ c k ết quả sau:

Tr ọng lượ ng (kg) 19 20 21 22 23

Số sản phẩm tươ ng ứng 10 60 20 5 5

Vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05 hãy k ết luận về điều nghi ngờ nói trên.

19. Trong điều kiện chăn nuôi bình thườ ng, lượ ng sữa trung bình của một con bò là14kg. Nghi ngờ điều kiện chăn nuôi bò kém đi làm cho lượ ng sữa giảm xuống.

Ngườ i ta điều tra mẫu 25 con bò và tính đượ c lượ ng sữa trung bình của một controng một ngày 12,5kg và độ lệch chuẩn mẫu s = 2,5 kg. Vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05hãy k ết luận điều nghi ngờ nói trên.

20. Tr ướ c đây sai số chuẩn của một chiếc cân tạ là 0,1 kg. Sau một thờ i gian sử dụngnghi ngờ sai số tăng lên. Ngườ i ta cân thử một vật qua một số lần đượ c k ết quả như sau:

Khối lượ ng (kg) 105 105,2 105,4 105,6 105,8

Số lần 2 3 5 2 1

Vớ i mức ý ngh ĩ a 0,05 kiểm tra lại điều nghi ngờ trên có đúng không.

21. Một giống lúa trong trong phòng thí nghiệm cho năng suất 40 tạ/ha. Độ phân tán1,2 (tạ/ha)2. Khi triển khai gieo cấy đại trà ngườ i ta thu hoạch thử một số điểm có

k ết quả sau:

Khối lượ ng (tạ/ha) 38 39 40 41 42 43

Số điểm 10 20 30 20 10 10

a. Ướ c lượ ng năng suất trung bình vớ i độ tin cậy 0,95.

b. Có thể cho r ằng năng suất thực tế không ổn định như trong thí nghiệm không?Mức ý ngh ĩ a α = 0,05.

c. Năng suất khi gieo cấy có đạt đượ c như trong thí nghiệm không? α = 0,05.

22. Từ một mẫu kích thướ c n = 25 rút ra từ tổng thể phân phối chuẩn ngườ i ta thuđượ c s2 = 144. Vớ i mức ý ngh ĩ a 0,01 hãy kiểm định cặ p giả thuyết.

H0 :2σ = 138; H1:

2σ > 138.

23. Tr ọng lượ ng sản phẩm X là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn. Tr ướ c đây sai số chuẩn của tr ọng lượ ng là 0,5 kg. Qua thờ i gian cải tiến k ỹ thuật ngườ i ta nghi ngờ sai số giảm xuống. Cân thử 100 sản phẩm thu đượ c k ết quả sau:

Tr ọng lượ ng (kg) 19 20 21 22 23

Số sản phẩm tươ ngứng 10 60 20 5 5

Vớ i mức ý ngh ĩ a α = 0,05 hãy k ết luận về điều nghi ngờ nói trên.WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Phần III

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNHChươ ng VIII


1- Công ty bao bì dượ c cần sản xuất 3 loại hộ p giấy: Đựng thuốc B1, đựng cao saovàng và đựng quy sâm đại bổ hoàn. Để sản xuất các loại hộ p này, công ty dùng cáctấm bìa có kích thướ c giống nhau. Mỗi tấm bìa có 5 cách cắt khác nhau.

Cách Hộ p B1Hộ p caosao vàng

Hộ p quysâm

1 2 0 22 0 7 43 8 0 34 1 6 25 9 2 0

Theo k ế hoạch số hộ p B1 phải có là 1500, số hộ p quy sâm là 2000, số hộ p cao sao

vàng tối thiểu là 1000. Cần phươ ng án cắt sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là ít nhất.Hãy lậ p mô hình giải bài toán.

2- Xí nghiệ p cơ khí An Phú cần cắt 1000 đoạn thép dài 0,55m; 800 đoạn dài 0,8m và1120 đoạn dài 0,45m làm một số chuồng gà. Để có các đoạn thép này, xí nghiệ p dùng3 loại thanh thép: loại I dài 1,2m, loại II dài 1,5m và loại III dài 1,8m. Các cách cắtthép cho trong bảng dướ i:

Loạithép

Cáchcắt

0,55m 0,8m 0,45m Thừa

I: 1,2m123

120

000

102

0,20,10,3

II: 1,5m

1234

1100

1010

0213

0,150,050,250,15

III:1,8m

123

4

100

0

112

0

120

4

00,10,2

0

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Cần tìm phươ ng án cắt sao cho tổng số mẩu thép thừa là ít nhất. Lậ p mô hình bàitoán.3- Một tổ sản xuất định tr ồng 4 loại hoa: hồng, huệ, lay ơ n, cúc. Chi phí trung bình cho100 bông hoa mỗi loại về lượ ng phân hữu cơ , lượ ng phân hoá học, số ngày công, diệntích đất cũng như tiền lãi thu về cho ở bảng dướ i:

Tài nguyên Đơ nvị

Chi phí cho 100 bông hồngHồng Huệ Lay ơ n Cúc

ĐấtCông

Phân hữu cơ Phân hóa

học

Hangàytấntấn

0,0010,02

0,0050,004

0,0020,010,0040,002

0,0030,3

0,0030,003

0,0010,010,0060,004

Lãi đ 20.000 25.000 28.000 29.5000

Biết tổng số công dự tr ữ đượ c đượ c 2000 ngày; diện tích: 3,5 ha; phân hữu cơ : 50tấn; phân hoá học: 35 tấn. Cần lậ p k ế hoạch tr ồng sao cho tổng số lãi thu đượ c lớ nnhất.Lậ p mô hình bài toán.

4- Xét các bài toán sau:1/ (1) f(x) → min

(2) ⎢⎣

⎡

=+++

=+++

20x5xx2x4

17x4x3xx2

5431

5321

(3) x j ≥ 0 (j = 5,1 )

2/ (1) f(x) → max

(2)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−+

=−+

=++−+

32xx2xx

16x2xx

32xxx2xx

4321

432

54321

(3) x1, x3 ≤ 0; x2 ≥ 0; x4, x5 tuỳ ý.

3/ (1) f(x) → min

(2)

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=++−

=+++

=−++

6xx4x2

20x5xx2x4

17x4x3xx2

651

5431

5321

(3) x j ≥ 0 (j = 6,1 )

4/ (1) f(x) → max

(2)

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

≥++

=+++

≤−−

8x3xx2

15xxx2x

5x2xx

321

4321

321

(3) x j ≥ 0 (j = 4,1 )WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




5/ (1) f(x) → min

(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

≥++

≤++

−=−−

8xx3x2

15xx2x

7x2x2x

431

432

321

(3) x j ≥ 0 (j = 4,1 )a) Những bài toán nào đã có dạng chính tắc?

b) Những bài toán nào có dạng chuẩn? Ẩn cơ bản là những ẩn nào? Thứ tự của nónhư thế nào? Hãy tìm phươ ng án cơ bản ban đầu của nó.

c) Bài toán nào chưa có dạng chuẩn hãy đưa về dạng chuẩn sau đó cho biết ẩn nào làẩn cơ bản, ẩn cơ bản ấy là ẩn gì (ẩn chính? ẩn phụ? ẩn giả?), thứ tự của nó như thế nào? Phươ ng án cơ bản ban đầu của bài toán dạng chuẩn này thế nào?

Chươ ng IX


1- Giải bài toán:(1) f(x) = 2x1 - x2 +2x3 → min

(2) ⎢⎣

⎡

=+

=+

10xx

7x4x

32

31

(3) x j ≥ 0 (j = 3,1 )

2- Giải bài toán:(1) f(x) = 4x1 + x2 - 2x3 → max

(2) ⎢⎣

⎡

=−

=+

5

8

21

32

x x

x x

(3) x j ≥ 0 (j = 3,1 )

3- Giải bài toán:(1) f(x) = x1 - 2x2 + x3 → min

(2) ⎢⎣

⎡

≤−+

≤++

102

122

321

321

x x x

x x x

(3) x j ≥ 0 (j = 3,1 )

4- Giải bài toán:(1) f(x) = x1 + 2x2 - x3 → max

(2) ⎢⎣

⎡

≥++

≤++−

53

1032

321

321

x x x

x x x

(3) x j ≥ 0 (j = 3,1 )

5- Giải bài toán:(1) f(x) = 3x1 + x2 - 3x3 → max

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

=+−

=−+

4x2x3

5x5x10

2xx2x

32

32

321

(3) x j ≥ 0 (j = 3,1 )

6- Giải bài toán:(1) f(x) = 2x1 + x2 - x3 →min

(2)

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=−−

=+−+−

=−+−−

23x2

1x2x

10xxx2x2

12xx3xx4

321

5321

4321

(3) x j ≥ 0 (j = 5,1 )

7- Giải bài toán:(1) f(x) = x4 + x5 + 20 → max

(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

=++

=−−

=++

2xxx

2x3xx

7x3x2x

441

543

542

(3) x j ≥ 0 (j = 5,1 )

8- Giải bài toán:

(1) f(x) = x1 + 2x2 - x3 = max

(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+−

≥++

−≥++

4x2xx2

6x2xx

6x2x4x4

321

321

321

(3) x j ≥ 0 (j = 3,1 )

9- Giải bài toán:(1) f(x) = x1 + 2x2 + 3x3 + x4 → max

2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

=+++

=++

−=−+−

10xxx2x20x5xx2

15x3x2x

4321

321

321

(3) x j ≥ 0 (j = 4,1 )

10- Giải bài toán:(1) f(x) = x1 + x2 + x3 + 5 → min

(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

=++

≤++

≤+

0xxx2

20x5xx

15x3x2

432

321

32

(3) x j ≥ 0 (j = 4,1 )WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




11- Giải bài toán:(1) f(x) = -2x1 + x2 + x4 → min

(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

≤−−

=+++

≤−+

18xxx2

27xxxx

15xxx

321

4321

321

(3) x j ≥ 0 (j = 4,1 )

Chươ ng X


1- Cho bài toán gốc: (1) f(x) = 2x1 + 4x2 + x3 + x4 → min

(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

≤+−

≤−−≤+−

3xx4x

3x2x1xx3x

432

42

421

(3) x j ≥ 0 (j = 4,1 )a) Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán này.

b) Giải bài toán gốc này và suy ra k ết quả về bài toán đối ngẫu của nó.

2- Cho bài toán gốc:(1) f(x) = 27x1 + 50x2 + 18x3→ max

(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

−≤−+

≤−+−≤++

2xx2x

4xx2x2xx2x

321

322

321

(3) x1, x2 tùy ý, x3 ≤ 0a) Lậ p bài toán đối ngẫu.

b) Giải bài toán đối ngẫu và suy ra k ết quả của bài toán gốc.

3-Cho bài toán gốc:(1) f(x) = -2x1 + x2 + x4 → min

(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

≤−−

=+++≤−−

18xxx2

27xxxx15xxx

321

4321

321



4- Cho bài toán gốc:(1) f(x) = 2x1 + 3x2 + 3x3 → maxWWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




(2)⎢⎢⎢

⎣

⎡

≤++

≤++

≤++

20x2x2x

15x2xx

12xxx

321

321

321



Chươ ng XI


1- Bài toán vận tải đượ c cho bở i bảng :

B j ij

c

Ai

B1 60

B2 70

B3 40

B4 30

A1 : 100 2 1 4 3A2 : 80 5 3 2 6A3 : 20 6 2 1 5

2- Giải bài toán vận tải cho bở i bảng sau:

ThuPhát 41 18 57 63 34 28 49

40 11 21 19 37 15 30 2450 22 12 34 14 20 25 3160 18 33 13 29 17 36 2140 32 24 27 18 28 23 2630 23 28 35 25 25 27 29

3- Bài toán vận tải đượ c cho bở i bảng

ji

10 30 50

25 7 6 510 2 1 445 3 5 2

a) Lậ p mô hình bài toán b) Mô hình như thế nào nếu tr ạm thu thứ hai phải nhận đủ hàng?c) Giải bài toán trong hai tr ườ ng hợ p.

4- Thế vận hội đượ c tổ chức đồng loạt cùng ngày ở 4 địa điểm. Các nhu cầu vật chất(tấn) đượ c) phát đi từ 3 địa điểm. Các dữ liệu về yêu cầu thu phát và cự ly (km) đượ c

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




cho trong bảng dướ i. Do đặc điểm của các phươ ng tiện vật chất, thờ i gian và phươ ngtiện vận tải, nên không thể chuyển quá xa trên 150km. Tìm phươ ng án chuyên chở saocho tổng số T.km là nhỏ nhất.

Thu

Phát15 10 17 18

20 160 50 100 7030 100 200 30 6010 50 40 30 50

Máy N.suất

C.nhân

I1

II1

III1

A:1 19 21 25B:1 20 18 24C:1 17 26 18

b) Mô hình sẽ thay đổi như thế nào nếu công nhân B khôngđứng đượ c máy I.

c) Giải bài toán trong hai tr ườ ng hợ p.

6- Giải bài toán vận tải cho bở i bảng sau:

ji

20 40 60 30

50 1 5 6 280 3 4 1 730 4 2 3 5

7- Giải bài toán 6 vớ i điều kiện f(x) → max8- Giải bài toán cho bở i bảng:

ji

20 100 145 30 150

120 6 3 1 4 5150 1 2 5 4 3150 2 4 3 1 625 3 1 4 2 7

9- Giải bài 8 vớ i f(x) → max

5- Ba công nhân A, B, C phải đứng 3 máy tiện I, II, III để sản xuất một chi tiết máy. Năng suất của mỗi công nhân đối vớ i mỗi loại máy (chi tiết/ ngày) đượ c cho trong bảng dướ i. Muốn có phươ ng án phân công nhân đứng máy để đượ c tổng số chi tiếttrong ngày là lớ n nhất.

a) Lậ p mô hình bài toán.

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




10- Để chuẩn bị bán hàng vào dị p Tết nguyên đán, đội vận tải phải chuyển hàng từ 4 xínghiệ p: A, B, C, D đến 5 cửa hàng: C1, C2, C3, C4, C5. Số tấn hàng ở các xí nghiệ p, số tấn hàng cần ở các cửa hàng, cự ly giữa các xí nghiệ p và các cửa hàng (km) đượ c chotrong bảng:

H

XN

C1

10C2

10C3

10C4

20C5 20

A:5 5 1 4 6 7

B:15 3 4 2 7 8C:20 4 3 1 7 9D:30 6 5 4 9 11

Muốn có k ế hoạch vận chuyển sao cho tổng số T.km là nhỏ nhất.a) Giải bài toán. b) Giải bài toán trong tr ườ ng hợ p cây cầu A vừa bị đổ mà tuyến đườ ng từ A đến C2 vàtừ C đến C3 đều phải qua cầu này.11- Xí nghiệ p có 30 công nhân nam, 20 công nhân nữ và 10 công nhân lớ n tuổi. Xínghiệ p có 10 máy A, 25 máy B, 25 máy C. Bảng năng suất (chi tiết/h) đượ c cho ở dướ i.

MáyCN

A B C

Nam 50 45 30 Nữ 40 42 28Lớ n tuổi -- 38 25

Hãy phân công nhân đứng máy thế nào để tổng số chi tiết làm đượ c trong giờ là lớ nnhất biết công nhân lớ n tuổi không đứng đượ c máy A.

a) Lậ p mô hình bài toán. b) Giải bài toán.

12- Cần tr ồng 30 ha lúa X18; 20 ha lúa X32 và 40 ha lúa X105. Tổng diện tích có 25 hađất loại I, 25 ha đất loại II, 40 ha đất loại III. Bảng năng suất (tấn/ha) cho ở dướ i.

ấtLúa

I II III

X18 - 8 6X32 6 9 7X105 5 4 6

Hãy lậ p k ế hoạch phân phối đất cho tổng sản lượ ng cao nhất biết lúa X18 không thể tr ồng trên đất I.

a) Lậ p mô hình bài toán.

b) Giải bài toán.

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Phụ lục 2. Giá trị hàm ∫ −

=Φ

u u

dueu0

20

2

2

1)(

π

u .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.00 .0000 .0040 .0080 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0359

0.10 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753

0.20 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

0.30 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

0.40 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

0.50 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

0.60 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549

0.70 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

0.80 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

0.90 .3159 .3186 .3212 .3238 .3261 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

1.00 .3413 .3431 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621

1.10 .3647 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .38301.20 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015

1.30 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177

1.40 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319

1.50 .4332 .4345 .4357 .4370 .4383 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441

1.60 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545

1.70 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633

1.80 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706

1.90 .4713 .4719 .4726 4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767

2.00 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4012 .4817

2.10 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 4842 .4846 .4850 .4854 .48572.20 .4861 .4864 4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890

2.30 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 4916

2.40 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 4932 .4934 .4936

2.50 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952

2.60 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4969

2.70 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974

2.80 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981

2.90 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 4985 .4985 .4986 4986

3.00 4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

u Area3.50 .49976737

4.00 .49996833

4.50 .49999660

5.00 .49999971

WW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Phụ lục 3. Giá trị tớ i hạn chuẩn

u .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0.00 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641

0.10 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .4247

0.20 .4207 .4168 .4129 -4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .38590.30 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .3483

0.40 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3256 .3121

0.50 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .2776

0.60 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .2451

0.70 .2420 .2389 .2358 .2327 .2297 .2266 .2236 .2206 .2177 .2148

0.80 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .2977 .1949 .1922 .1894 .1867

0.90 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .1611

1.00 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379

1.10 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .1170

1.20 .1151 .1131 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .0985

1.30 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .0823

1.40 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0721 .0708 .0694 .0681

1.50 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0571 .0559

1.60 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455

1.70 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .0367

1.80 .0359 .0331 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0301 .0294

1.90 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0239 .0233

2.00 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183

2.10 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143

2.20 .0139 .0136 .0132 .0129 .0125 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110

2.30 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .00842.40 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064

2.50 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048

2.60 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036

2.70 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026

2.80 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .0019

2.90 .0019 .0018 .0018 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014

3.00 .0013 .0013 .0013 .0012 .0012 .0011 .0011 .0011 .0010 .0010

u Area

3.500 .00023263

4.000 .00003167

4.500 .00000340

5.000 .00000029

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Phụ lục 4. Giá trị tớ i hạn 2 χ

df α = .999 α = .995 α = .99 α = .975 α = .95 α = .9

1 .000002 .000039 .000157 .000982 .003932 .01579

2 .002001 .01003 .02010 .05064 .1026 .2107

3 .02430 .07172 .1148 .2158 .3518 .58444 .09080 .2070 .2971 .4844 .7107 1.064

5 .2102 .4117 .5543 .8312 1.145 1.610

6 .3811 .6757 .8721 1.237 1.635 2.204

7 .5985 .9893 1.239 1.690 2.167 2.833

8 .8571 1.344 1.646 2.180 2.733 3.490

9 1.152 1.735 2.088 2.700 3.325 4.168

10 1.479 2.156 2.558 3.247 3.940 4.865

11 1.834 2.603 3.053 3.816 4.575 5.578

12 2.214 3.074 3.571 4.404 5.226 6.304

13 2.617 3.565 4.107 5.009 5.892 7.042

14 3.041 4.075 4.660 5.629 6.571 7.790

15 3.483 4.601 5.229 6.262 7.261 8.547

16 3.942 5.142 5.812 6.908 7.962 9.312

17 4.416 5.697 6.408 7.564 8.672 10.09

18 4.905 6.265 7.015 8.231 9.390 10.86

19 5.407 6.844 7.633 8.907 10.12 11.65

20 5.921 7.434 8.260 9.591 10.85 12.44

21 6.447 8.034 8.897 10.28 11.59 13.24

22 6.983 8.643 9.542 10.98 12.34 14.04

23 7.529 9.260 10.20 11.69 13.09 14.85

24 8.085 9.886 10.86 12.40 13.85 15.6625 8.649 10.52 11.32 13.12 14.61 16.47

26 9.222 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29

27 9.803 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11

28 10.39 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94

29 10.99 13.12 14.26 16.06 17.71 19.77

30 11.59 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60

40 17.92 20.71 22.16 24.43 26.51 29.05

50 24.67 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69

60 31.74 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46

70 39.09 43.28 45.44 48.76 51.74 55.3380 46.52 51.17 53.54 57.13 60.39 64.28

90 54.16 59.20 61.75 65.65 69.13 73.29

100 61.92 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36

120 77.76 83.85 86.92 91.57 95.70 100.62

240 177.95 187.32 191.99 198.98 205.14 212.39

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Phụ lục 4 (ti ế p theo)

α = .1 α = .05 α = .025 α = .01 α = .005 α = .001 df

2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.83 1

4.605 5.991 7.378 9.210 10.60 13.82 2

6.251 7.815 9.348 11.34 12.84 16.27 37.779 9.488 11.14 13.28 14.86 18.47 4

9.236 11.07 12.83 15.09 16.75 20.52 5

10.64 12.59 14.45 16.81 18.53 22.46 6

12.02 14.07 16.01 18.48 20.28 24.32 7

13.36 15.51 17.51 20.09 21.95 26.12 8

14.68 16.92 19.02 21.67 23.59 27.88 9

16.99 18.31 20.48 23.21 25.19 29.59 10

17.28 19.68 21.92 24.72 26.76 31.27 11

18.55 21.03 23.34 26.22 38.10 32.91 12

19.81 22.36 24.74 27.69 29.82 34.53 13

21.06 23.68 26.12 29.14 31.32 36.12 14

22.31 25.00 37.49 30.58 32.80 37.7 15

23.54 26.30 28.85 32.00 34.27 39.25 16

24.77 27.59 30.19 33.41 35.72 40.79 17

25.99 28.87 31.53 34.81 37.16 42.31 18

27.20 30.14 32.85 36.19 38.58 43.82 19

28.41 31.41 34.17 37.57 40.00 45.31 20

29.62 32.67 35.48 38.93 41.40 46.80 21

30.81 33.92 36.78 40.29 42.80 48.27 22

32.01 35.17 38.08 41.64 44.18 49.73 23

33.20 36.42 39.36 42.98 45.56 51.18 2434.38 37.65 40.65 44.31 46.93 52.62 25

35.56 38.89 41.92 45.64 48.29 54.05 26

36.74 40.11 43.19 46.96 49.65 55.48 27

37.92 41.34 44.46 48.28 50.99 5689 28

39.09 42.56 45.72 49.59 52.34 58.30 29

40.26 43.77 46.98 50.89 53.67 59.70 30

51.81 55.76 59.34 63.69 66.77 73.40 40

63.17 67.50 71.42 76.15 79.49 86.66 50

74.40 79.08 83.30 88.38 91.95 99.61 60

85.53 90.53 95.02 100.43 104.21 112.32 7096.58 101.88 106.63 112.33 116.32 124.84 80

107.57 113.15 118.14 124.12 128.30 137.21 90

118.50 124.34 129.56 135.81 140.17 149.45 100

140.23 146.57 152.21 158.95 163.65 173.62 120

268.47 277.14 284.80 293.89 300.18 313.41 240

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM




Phụ lục 5. Giá trị tớ i hạn Student

df α = .1 α = .05 α = .025 α = .01 α = .005 α = .001

1 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657 318.309

2 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.327

3 1.638 2.353 4.182 6.541 5.041 10.2154 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173

5 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.893

6 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208

7 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785

8 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501

9 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297

10 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144

11 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025

12 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930

13 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852

14 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787

15 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733

16 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686

17 1.333 1.740 2.110 2.657 2.898 3.646

18 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610

19 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579

20 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.552

21 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527

22 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505

23 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485

24 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.46725 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450

26 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435

27 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421

28 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408

29 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396

30 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385

40 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307

60 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232

120 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160

240 1.285 1.651 1.970 2.342 2.596 3.125Inf. 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090

WWW D Y

KEMQUY

NHON UCO

Z COM



DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Nguyễn Cao Văn, Trần Thái Ninh (2002), Lý thuyế t xác suấ t và Thố ng kê

toán, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

[2] Thái Xuân Tiên, Đặng Công Hanh, Đặng Ngọc Dục (1996), Giáo trình Lý

thuyế t xác suấ t và Thố ng kê toán, Đà Nẵng.

[3] Trần Túc (2001), Quy hoạch tuyế n tính, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

[4] Đặng Văn Uyên (1989), Quy hoạch tuyế n tính, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

[5] Trần Vũ Thiệu (2004), T ố i ư u tuyế n tính, Nxb Giáo dục, Hà Nội.

[6] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nươ ng (2000), Quy hoạch tuyế n tính, Nxb

Giáo dục, Hà Nội. UCOZ CO

M

toán kinh tế, trường cao đẳng kinh tế - kế hoạch Đà nẵng, 2009

Documents