[toán kinh tế ứng dụng] bài 2: hàm phi tuyến

Nội dungNội dung

• Phương trình bậc hai & hàm bậc hai

• Các đường bậc hai thông dụng

Lý thuyết

• Đường giới hạn khả năng sản xuất

• Mô hình lợi nhuận (bậc hai)

Ứng dụng

Nội dungNội dung

• Hàm mũ (Exponential Functions)

• Hàm logarit (Logarithmic Functions)

Lý thuyết

• Mô hình tăng trưởng dân số (Population Growth)

• Lãi tức kép (Compound Interest)

• Khấu hao giảm dần

Ứng dụng

Phương trình bậc 2 & hàm bậc 2Phương trình bậc 2 & hàm bậc 2

Dạng tổng quát: ax2 + bx + c = 0 (a0)

Cách giải: Tính D = b2 - 4ac

D > 0 2 nghiệm: ;

D = 0 nghiệm kép:

D < 0 vô nghiệm

Phương trình bậc 2

x xb

a1 2

2

xb

a1

2 D

xb

a2

2 D


Giải phương trình x2 -2x - 8 = 0

Ta có: a = 1, b = -2, c = -8

D = (-2)2 - 4*1*(-8) = 36 > 0 = 6

Giải phương trình x2 - 4x + 4 = 0

D = (-4)2 - 4*1*4 = 0

x1 = x2 =

Giải phương trình x2 + x + 1= 0

D = 12 - 4*1*1 = -3 < 0 Phương trình vô nghiệm


2

2 62

2x

1

2 64

2x

4

22

D


Cho tam thức bậc 2: P(x) = ax2 + bx + c

Ví dụ: Tìm miền xác định của hàm số y được xác định khi x2 - 2x - 8 0

Vậy D = ( -, -2] [ 4, +)

Dấu tam thức bậc 2

D > 0 D = 0 D < 0

x x1 x2 x x1 = x2 x

f(x) 0Trái

dấu a0 f(x) 0 f(x) Cùng dấu a

Cùng

dấu a

Cùng

dấu a

Cùng

dấu a

Cùng

dấu a

y x x 2 2 8

x 2 4

f(x) = x2 - 2x - 8 0 - 0+ +

-


Hàm bậc 2: y = f(x) = ax2 + bx + c với D = R

Đồ thị của hàm bậc hai là parabol: Có trục đối xứng // trục tung (x = )

Có đỉnh là giao điểm của parabol và trục đối xứng

Parabol hướng lên nếu a > 0 và hướng xuống dưới nếu a < 0

Hàm bậc 2

-4 -2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

-4 -2 2 4 6

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

a2

b

a2

bf;

a2

b

a < 0a > 0


Hàm bậc 2 y = f(x) = x2 - 2x - 8

Các đường bậc 2 thông dụngCác đường bậc 2 thông dụng

Phương trình của đường tròn tâm I(x0,y0) bán kính R:(x - x0)

2 + (y - y0)2 = R2

Phương trình đường tròn tâm O bán kính R: x2 + y2 = R2

Đường tròn

x

y

M(x1, y1)y1

x1x0

y0

I


Đường tròn


Trục lớn: A1A2= 2a, Trục nhỏ: B1B2 = 2bTiêu điểm: F1, F2 ; Tiêu cự: F1F2 = 2c

Với 2 tiêu điểm F1, F2 phân biệt cho trước, F1F2 = 2c(c2 = a2 – b2), đường ellip là tập hợp các điểm Msao cho MF1 + MF2 = 2a (a>c)

Phương trình chính tắc của ellipse:

Ellipse

Elip

x

y

-a a

b

-b

0

A1 A2

B1

B2

F1 F2

M

x

a

y

b

2

2

2

21


Ellipse

Hàm mũHàm mũ

Hàm số mũ cơ số a với a>0 và a1 có dạng y = ax

Miền xác định D = R, miền giá trị V = R+

Hàm mũ và đồ thị của nó

Hàm mũHàm mũ

Hàm mũ và đồ thị của nó

Hàm mũHàm mũ

1) Cho a,b > 0; a,b 1; x,y R

axay = ax+y

ax/ay = ax-y

(ab)x = axbx

(ax)y = axy

a-x = 1/ax = (1/a)x

2) ax = ay x = y

3) Nếu x 0, ax = bx a = b

Các phép tính về hàm mũ

Hàm mũHàm mũ

y = ex với

Hàm mũ cơ số e

m

1 2

10 2,59374

100 2,70481

… …

2,71828

1(1 )m

m

1e lim(1 ) 2,71828m

m m

Ước lượng ex theo phép nội suy Taylor:

Ước lượng ex theo liên phân số Euler:

John Napier

Hàm logaritHàm logarit

Hàm logarit cơ số a với a>0 và a1 có dạng:y = logax x = ay

D = R+ = (0,+) (vì x = ay > 0); V = R

y = log10x x = 10y

y = logex x = ey

Hàm logarit và đồ thị của nó

Hàm logaritHàm logarit

Cho a,b,c>0; a,b1; M,N>0

loga1 = 0 (tức a0 = 1)

logaax = x

logaMN = logaM + logaN

loga(M/N) = logaM - logaN

logaMk = k * logaM

logaM = logaN M = N

logab * logbc = logac

Các phép tính về logarit

loga xa x

Phương trình mũ và logaritPhương trình mũ và logarit

Ví dụ: Giải phương trình: 2x = 4x+1

Giải:

2x = 4x+1

2x = (22)x+1

2x = 22(x+1)

x = 2x + 2

x = -2


Ví dụ: Giải phương trình:

logax = (3/2)loga4 - (2/3)loga8 + loga2

Giải:

logax = loga43/2 - loga8

2/3 + loga2

logax = loga8 - loga4 + loga2

logax = loga[(8x2)/4]

logax = loga4

x = 4


Ví dụ: Giải phương trình:

log10x + log10(x+1) = log106

Giải:

Điều kiện x > 0, x+1 > 0 x > 0

log10(x)(x+1) = log106

x(x+1) = 6

x2 + x – 6 = 0

x = -3 hay x = 2

x = 2

Hàm mũ và logarit trong ExcelHàm mũ và logarit trong Excel

POWER(number, power): Trả về kết quả của một số (number) nâng lên một số mũ (power).

EXP(number): Trả về e nâng lên số mũ number.

SQRT(number): Trả về căn bậc hai của number.

LOG(number, [base]): Trả về logarit của một số (number) với cơ số base [mặc định là 10].

LOG10(number): Trả về logarit cơ số 10 của một số (number).

LN(number): Trả về logarit tự nhiên của một số (number).

Ứng dụngỨng dụng

Đường giới hạn khả năng sản xuất (PPF)

Đường giới hạn khả năng sản xuất (Production Possibilities Frontier - PPF) cho thấy các phương án kết hợp để công ty có thể sản xuất có hiệu quả trong điều kiện giới hạn về nguồn lực.

Điểm không khả thi



Độ dốc của tiếp tuyến thể hiện sự đánh đổi giữa 2 loại hàng hóa (chi phí cơ hội).


Sau khi thăm dò và phân tích thị trường, một công ty nhận thấy rằng:

Phương trình đường cầu (Demand Equation):Q = 6,000 – 30P

với Q là số đơn vị sản phẩm tiêu thụ ở mức giá P

Phương trình chi phí (Cost Equation): TC = 72,000 + 60Q

Phương trình doanh thu (Revenue Equation): TR = PQ

Phương trình lợi nhuận (Profit Equation): = TR – TC

Yêu cầu:

Tính giá bán hòa vốn và sản lượng hòa vốn

Xác định giá bán để có lợi nhuận lớn nhất

Mô hình lợi nhuận


Tính TC và TR theo P

Q = 6,000-30P

TC = 72,000+60Q = 72,000+60(6,000-30P) = 432,000-1,800P

TR = PQ = P(6,000-30P) = 6,000p-30p2

Tính giá bán hòa vốn và sản lượng hòa vốn

Tại điểm hòa vốn TR = TC: 432,000-1,800P = 6,000P-30P2

P2-260P+14,400 = 0

P1 = 80; P2 = 180

Q1 = 6,000-30*80 = 3,600; Q2 = 6,000-30*180 = 600

Xác định giá bán để có lợi nhuận lớn nhất

= TR-TC = (6,000P-30P2)-(432,000-1,800P)=-30P2 + 7,800P – 43,200

max khi 130


p 260 100

2

pb

a

2



40 80 120 160 200

-100000

100000

200000

300000

400000

x

y

Miền lãiMiền lỗ Miền lỗ

TR= 6,000P-30P2

TC = 432,000-1,800P

P

$


y=aebx (a > 0)

Tăng trưởng: b > 0

Suy thoái: b < 0

Hàm tăng trưởng dân số:P = P0e

kt

(k: hằng tăng trưởng)

Gọi d là thời gian để dân số tăng gấp đôi d = ?

Hàm tăng trưởng hay suy thoái


P = Po * 2t/d (doubling time growth model)

P: dân số ở thời điểm t

Po: Dân số ở thời điểm t = 0

d: Số năm để dân số tăng lên gấp đôi, khi t = d P = 2Po

Ví dụ: Nước Ethiopia hiện có dân số vào khoảng 42 triệu người, người ta đã ước tính sau 22 năm dân số Ethiopia sẽ tăng lên gấp đôi. Nếu mức tăng dân số tiếp tục như trên, thì dân số của Ethiopia sẽ là bao nhiêu sau 10 năm và 35 năm.

P = P0*2t/d = 42 *2 t/22

t = 10 P = 42 * 2(10/22) = 58 triệu

t = 35 P = 42 * 2(35/22) = 127 triệu

Mô hình tăng trưởng dân số (Population Growth)


Giả sử vốn gốc là P được đem cho vay với lãi suất là i mỗi năm và ghép lãi theo năm. Hỏi lượng tiền thu lại được vào năm thứ N sẽ là bao nhiêu?

Cuối năm 0: P (đầu năm 1)

Cuối năm 1: F1 = P + Pi = P(1+i)

Cuối năm 2: F2 = F1 + F1i = F1(1+i) = P(1+i)2

Cuối năm 3: F3 = F2 + F2i = F2(1+i) = P(1+i)3 …

Cuối năm N: FN = P(1+i)N

Lãi tức kép (Compound Interest)

Hàm Excel: FV(rate, nper, pmt, pv, type)


Mức khấu hao hàng năm được tính bằng cách nhân giá trị bút toán đầu năm với 1 tỉ lệ nhất định

Giá trị bút toán giảm dần trong khi tỉ lệ cố định nên khấu hao giảm dần khấu hao nhanh

Công thức: Khấu hao năm t: Dt = BVt-1 d (d là tỉ lệ khấu hao cố

định)

Giá trị bút toán cuối năm t:BVt = P(1 – d)t (P là nguyên giá)

Giá trị còn lại:SV = P(1 – d)N (N là vòng đời hữu dụng của tài sản)

Mô hình khấu hao giảm dần theo tỉ lệ cố định(Declining Balance Depreciation - DB)

[toán kinh tế ứng dụng] bài 2: hàm phi tuyến

Business