Nội dungNội dung

• Đạo hàm

• Khảo sát hàm số

Lý thuyết

• Phân tích cận biên

• Độ co giãn của cung và cầu

• Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Ứng dụng

Đạo hàm (derivative)Đạo hàm (derivative)

Xét M0(x0,y0) (C) là đồ thị hàm số y = f(x)

Dy là sự thay đổi của y khi biến x thay đổi một lượng Dx

Dx = x - x0 gia số của đối số

Dy = f(x)-f(x0) = f(x0+Dx)-f(x0) gia số tương ứng của hàm số

Tỉ lệ thay đổi trung bình = ∆�

∆� độ dốc đường cát tuyến

Tỉ lệ thay đổi tức thời = lim∆�→�

(∆�

∆�)

độ dốc đường tiếp tuyến của (C) tại M0 (độ dốc của (C) tại M0) đạo hàm của y = f(x) tại x0, ký hiệu f’(x0) phương trình đường tiếp tuyến tại M0: (y – y0) = f’(x0)(x – x0)

Tính đạo hàm bằng MathematicaTính đạo hàm bằng Mathematica

f’[x] hay D[f,x]: Đạo hàm cấp 1 của hàm y = f(x)

f’’[x] hay D[f,{x,2}]: Đạo hàm cấp 2 của hàm y = f(x)

f’’…[x] hay D[f,{x,n}]: Đạo hàm cấp n của hàm y = f(x)

Khảo sát hàm sốKhảo sát hàm số

Sự biến thiên của hàm số

Tính lồi, lõm và điểm uốn của hàm số

Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số (cực trị địa phương)

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (cực trị toàn thể)

Khảo sát hàm sốKhảo sát hàm số

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a,b)

Hàm số đồng biến (đơn điệu tăng):

x(a,b), f’(x) > 0 f(x) đồng biến trên (a,b)

Hàm số nghịch biến (đơn điệu giảm):

x(a,b), f’(x) < 0 f(x) nghịch biến trên (a,b)

Sự biến thiên của hàm số

Khảo sát hàm sốKhảo sát hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a,b)

Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x)

Dấu hiệu lồi (convex):

x(a,b), f’’(x) < 0 (C) lồi trên (a,b)

Dấu hiệu lõm (concave):

x(a,b), f’’(x) > 0 (C) lõm trên (a,b)

Điểm uốn (inflection point):

x0(a,b), f’’(x0) = 0 và f’’(x) đổi dấu tại x0

(x0,f(x0)) là điểm uốn

Tính lồi, lõm và điểm uốn của hàm số

Khảo sát hàm sốKhảo sát hàm số

Tính lồi, lõm và điểm uốn của hàm số

y

O

M1

M2

C

A

B

a x0 b x

Lõm xuống

Lồi lên

Khảo sát hàm sốKhảo sát hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên (a,b)

Cực đại: (local/relative maximum point)

x0(a,b), f’(x0) = 0 và f’’(x0) < 0 (x0, f(x0)) là điểm cực đại

Cực tiểu: (local/relative minimum point)

x0(a,b), f’(x0) = 0 và f’’(x0) > 0 (x0, f(x0)) là điểm cực tiểu

Điểm cực đại, cực tiểu của hàm số (c.trị địa phương)

Khảo sát hàm sốKhảo sát hàm số

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a,b]

GTLN & GTNN của y = f(x) trên [a,b]

GTLN: (global/absolute maximum point)

GTLN f(x) = MAX{giá trị f(x) tại các điểm tới hạn, f(a), f(b)}

GTNN: (global/absolute minimum point)

GTNN f(x) = MIN{giá trị f(x) tại các điểm tới hạn, f(a), f(b)}

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (c.trị toàn thể)

Ứng dụngỨng dụng

Phân tích cận biên (Marginal Analysis)

Một số hàm cận biên thông dụng

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần (the law of diminishing return)

Quan hệ giữa hàm trung bình và hàm cận biên

Sự co giãn (Elasticity) của cung và cầu

Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Chọn mức sản lượng tối ưu

Chọn mức sử dụng tối ưu yếu tố đầu vào

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Cho hàm số y = f(x)

Hàm cận biên (biên, lề, biên tế): My = f’(x)

Giá trị My(x0) = f’(x0) được gọi là giá trị cận biên của hàm số y = f(x) tại điểm x0 (hay giá trị y-cận biên tại x0)

Tại x0, khi đối số x thay đổi 1 đơn vị thì giá trị hàm số f(x) thay đổi một lượng xấp xỉ bằng My(x0) = f’(x0).

Nếu My(x0) = f’(x0) > 0 thì f(x) thay đổi cùng chiều với x

Nếu My(x0) = f’(x0) < 0 thì f(x) thay đổi ngược chiều với x

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Hàm sản xuất (Production function)

Q(L) [L là lượng lao động được sử dụng, Q là mức sản lượng tương ứng]

Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động(Marginal Physical Product of Labor)

MPP(L) = Q’(L)

Sản phẩm hiện vật cận biên của lao động

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Gọi Q là số đơn vị sản phẩm được sản xuất trong một thời đoạn nào đó.

Tổng chi phí (Total Cost)

TC(Q)

Chi phí cận biên (Marginal Cost)

MC(Q) = TC’(Q)

Chi phí trung bình (bình quân) (Average Cost)

AC(Q) = ��(Q) = TC(Q)/Q

Chi phí trung bình cận biên (Marginal Average Cost)

MAC(Q) = ��(Q) = AC’(Q)

Chi phí cận biên

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Tổng doanh thu (thu nhập) (Total Revenue)

TR(Q)

Doanh thu cận biên (Marginal Revenue)

MR(Q) = TR’(Q)

Doanh thu trung bình (Average Revenue)

AR(Q) = ��(Q) = TR(Q)/Q

Doanh thu trung bình cận biên (Marginal Average Revenue)

MAR(Q) = ��(Q) = AR’(Q)

Doanh thu cận biên

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Tổng lợi nhuận (Total Profit)

= TP(Q) = TR(Q) - TC(Q)

Lợi nhuận cận biên (Marginal Profit)

MP(Q) = TP’(Q) = TR’(Q) - TC’(Q)

Lợi nhuận trung bình (Average Profit)

AP(Q) = ��(Q) = TP(Q)/Q

Lợi nhuận trung bình cận biên (Marginal Average Profit)

MAP(Q) = ��(Q) = AP’(Q)

Lợi nhuận cận biên

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Chi phí Doanh thu Lợi nhuận

TổngTổng chi phí

TCTổng doanh

thu TRTổng lợi

nhuận TP

Cận biênChi phí cận

biên MCDoanh thu

cận biên MRLợi nhuận

cận biên MP

Trung bìnhChi phí trung

bình AC

Doanh thu trung bình

AR

Lợi nhuận trung bình

AP

Trung bìnhcận biên

Chi phí trung bình cận

biên MAC

Doanh thu trung bình cận biên

MAR

Lợi nhuận trung bình cận biên

MAP

Chi phí, doanh thu, lợi nhuận cận biên

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Hàm tiêu dùng (Consumption function) C(Y) [Y là thu nhập]

Xu hướng tiêu dùng cận biên (Marginal Propensity to Consume) MPC(Y) = C’(Y)

Hàm tiết kiệm (Savings function) S(Y) [Y là thu nhập]

Xu hướng tiết kiệm cận biên (Marginal Propensity to Save) MPS(Y) = S’(Y)

Xu hướng tiêu dùng, tiết kiệm cận biên

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Cho hàm số y = f(x)

Hàm cận biên: My = f’(x)

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần: Khi giá trị của x đủ lớn, nếu giá trị của x tăng thì giá trị cận biên My sẽ giảm, tức (My)’ = f’’(x) < 0.

Quy luật lợi ích cận biên giảm dần

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Cho hàm số y = f(x) với x > 0

Hàm trung bình (bình quân): �� =�

�

Ta có: �� � =�

�

�=

�������

�� =���

�

�

�=

�����

�

Khi My > Ay thì Ay tăng (đường cận biên nằm trên đường trung bình thì hàm trung bình tăng)

Khi My < Ay thì Ay giảm (đường cận biên nằm dưới đường trung bình thì hàm trung bình giảm)

Khi My = Ay thì hàm trung bình đạt cực trị (đường cận biên gặp đường trung bình tại điểm cực trị)

Quan hệ giữa hàm trung bình và hàm cận biên

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Chi phí trung bình: ��(�) =�� �

�

��′(�) =�� �

�

�

=��� � �

��(�)

�

�=

�� � ���(�)

�

Khi MC > AC thì AC tăng (chi phí cận biên lớn hơn chi phí trung bình thì chi phí trung bình tăng)

Khi MC < AC thì AC giảm (chi phí cận biên nhỏ hơn chi phí trung bình thì chi phí trung bình giảm)

Khi MC = AC thì AC đạt cực tiểu (chi phí trung bình chỉ có thể đạt cực tiểu tại điểm mà chi phí cận biên bằng chi phí trung bình)

Quan hệ giữa hàm trung bình và hàm cận biên

Phân tích cận biênPhân tích cận biên

Doanh thu trung bình: ��(�) =�� �

�

��′(�) =�� �

�

�

=��� � �

��(�)

�

�=

�� � ���(�)

�

Khi MR > AR thì AR tăng (doanh thu cận biên lớn hơn doanh thu trung bình thì doanh thu trung bình tăng)

Khi MR < AR thì AR giảm (doanh thu cận biên nhỏ hơn doanh thu trung bình thì doanh thu trung bình giảm)

Khi MR = AR thì AR đạt cực đại (doanh thu trung bình chỉ có thể đạt cực đại tại điểm mà doanh thu cận biên bằng doanh thu trung bình)

Quan hệ giữa hàm trung bình và hàm cận biên

Sự co giãn (đàn hồi)Sự co giãn (đàn hồi)

Xét hàm số y = f(x)

Khi x thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi thế nào?

•D�

D�»�� �

• x thay đổi 1 đơn vị thì y thay đổi xấp xỉ f’(x) đơn vị Đạo hàm

Khi x thay đổi 1% thì y thay đổi thế nào?

•%D�

%D�=D�/�

D�/�=D�

D�

�

�»�� � .

�

�

• x thay đổi 1% thì y thay đổi xấp xỉ yx = �� � .�

�(%)

yx: Độ co giãn của y theo x

Sự co giãn (đàn hồi)Sự co giãn (đàn hồi)

Sự co giãn của cầu đo lường sự đáp ứng của lượng cầu với thay đổi về giá (các yếu tố khác không đổi). Độ co giãn của cầu (Elasticity of Demand) là tỉ lệ giữa phần trăm thay đổi của lượng cầu và phần trăm thay đổi của giá.

D = %����đổ��ượ���ầ�

%����đổ���á=

%D��

%D�= D��/��

D�/�= D��

D�

�

��

Theo đoạn cung (Arc Elasticity):

D = (�������)/���

(�����)/��

Theo điểm (Point Elasticity): (độ co giãn tức thời, DP0)

D = QD’(P)�

��

Độ co giãn của cầu (Elasticity of Demand)

Sự co giãn (đàn hồi)Sự co giãn (đàn hồi)

Sự co giãn của cung đo lường sự đáp ứng của lượng cung với thay đổi về giá (các yếu tố khác không đổi). Độ co giãn của cung (Elasticity of Supply) là tỉ lệ giữa phần trăm thay đổi của lượng cung và phần trăm thay đổi của giá.

S = %����đổ��ượ������

%����đổ���á=

%D��

%D�= D��/��

D�/�= D��

D�

�

��

Theo đoạn cung (Arc Elasticity):

S = (�������)/���

(�����)/��

Theo điểm (Point Elasticity): (độ co giãn tức thời, DP0)

S = QS’(P)�

��

Độ co giãn của cung (Elasticity of Supply)

Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tếSự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Bài toán

Tổng lợi nhuận = TR(Q) – TC(Q)

Chọn mức sản lượng Q để tối đa lợi nhuận .

Giải

Điều kiện cần để cực đại là ’ = 0

TR’(Q) – TC’(Q) = 0

TR’(Q) = TC’(Q)

MR(Q) = MC(Q)

Tại điểm Q0 mà MR = MC, điều kiện đủ để cực đại là ’’< 0

TR’’(Q0) < TC’’(Q0)

Chọn mức sản lượng tối ưu

Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tếSự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Bài toán

Hàm sản xuất Q = f(L)

Tổng lợi nhuận = pf(L) – wL – C0

với L: lượng lao động được sử dụng

p: giá sản phẩm trên thị trường

w: giá lao động (tiền công)

C0: chi phí cố định

Chọn L để tối đa lợi nhuận .

Chọn mức sử dụng tối ưu yếu tố đầu vào

Sự lựa chọn tối ưu trong kinh tếSự lựa chọn tối ưu trong kinh tế

Giải

Tổng lợi nhuận = pf(L) – wL – C0

Điều kiện cần để cực đại là ’ = 0

p f’(L) – w = 0

p MPP(L) = w

Tại điểm L0 mà p MPP(L0) = w, điều kiện đủ để cực đại là ’’ < 0

p f’’(L0) < 0

f’’(L0) < 0

Chọn mức sử dụng tối ưu yếu tố đầu vào