toÁn cao cẤp 1 - nguyenvantien0405.files.wordpress.com · ác dạng ma trận đặc biệt 1....

9/10/2016

1

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

MA TRẬNHỆ PHƯƠNG TRÌNH

TUYẾN TÍNH

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Định nghĩa ma trận

• Một ma trận A cấpmxn là một bảngsố hình chữ nhậtgồm mxn phần tử,gồm m hàng và ncột.

11 12 1

21 22 2

1 2

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

n

n

m m mn

a a a

a a aA

a a a

a a a

a a ahay A

a a a


Định nghĩa ma trận

• Ký hiệu ma trận:

• Ví dụ:

ij m nA a

1 2 7 0

4 5 7 1

0 2 8 9

A


Ma trận vuông• Nếu m=n ta nói A là ma trận vuông cấp n.

• Đường chéo chính gồm các phần tử:

11 12 1

21 22 2

ij

1 2

n

n

n n nn

n n

a a a

a a aA a

a a a

11 22, ,...,

nna a a


Các dạng ma trận đặc biệt1. Ma trận không:

2. Ma trận hàng

3. Ma trận cột

4. Ma trận tam giác trên

5. Ma trận tam giác dưới

6. Ma trận chéo

7. Ma trận đơn vị

8. Ma trận bậc thang


Ma trận không

• Tất cả các phần tử đều bằng 0.

• Ký hiệu: 0 hay 0mxn

0 0 0

0 0 00 0

0 0 0

m n

9/10/2016

2


Ma trận hàng, cột

• Ma trận hàng: chỉ có một hàng

• Ma trận cột: chỉ có một cột

1

21 2 3 4 5

4

5

A B


Ma trận tam giác trên

1 2 3 41 2 3

0 0 2 10 4 5

0 0 8 90 0 6

0 0 0 4

A B

• Ma trận vuông

• Các phần tử dưới đường chéo chính bằng 0


Ma trận tam giác dưới

1 0 0 01 0 0

2 0 0 03 4 0

0 6 8 05 0 6

9 3 1 4

A B


• Các phần tử trên đường chéo chính bằng 0


Ma trận chéo

1 0 0 01 0 0

0 0 0 0 00 4 0

0 0 8 0 00 0 6

0 0 0 4

aA B C

b


• Tam giác trên: dưới đường chéo chính bằng 0

• Tam giác dưới: trên đường chéo chính bằng 0


Ma trận đơn vị

2 3 4

1 0 0 01 0 0

1 0 0 1 0 00 1 0

0 1 0 0 1 00 0 1

0 0 0 1

I I I

• Ma trận chéo

• Các phần tử chéo đều bằng 1.

• Ký hiệu: In là ma trận đơn vị cấp n


Ma trận bậc thang

• Phần tử khác 0 đầu tiên của một hàng kể tửbên trái gọi là phần tử cơ sở của hàng đó.

• Ma trận bậc thang:

– Hàng không có phần tử cơ sở (nếu tồn tại) thì nằmdưới cùng.

– Phần tử cơ sở của hàng dưới nằm về bên phải(không cùng cột) so với phần tử cơ sở của hàngtrên.

9/10/2016

3


Ví dụ 1

2 1 0 0

0 0 7 1

0 4 8 9

0 0 0 9

3 1 0 0 3

0 0 0 1 2

0 0 0 9 1

A

B

Không là bậc thang

Không là bậc thang


Ví dụ 2

2 1 0 0

0 4 8 9

0 0 7 1

0 0 0 0

3 1 0 0 3

0 0 3 1 2

0 0 0 9 1

C

D

bậc thang

bậc thang


Các dạng phép toán trên ma trận

1. Ma trận bằng nhau

2. Cộng hai ma trận cùng cấp

3. Nhân một số với ma trận

4. Nhân hai ma trận

5. Ma trận chuyển vị

6. Lũy thừa của một ma trận


Hai ma trận bằng nhau

• Nếu các phần tử tương ứng bằng nhau.

1 2

4 5

2

1

4

5

a dA B

b c

a

dA B

b

c


Cộng hai ma trận

• Cộng các phần tử tương ứng với nhau

• Điều kiện: hai ma trận phải cùng cấp

1 2

4 5

2 1

4 5

a dA B

b c

a dA B

b c


Nhân một số với ma trận

• Nhân số đó vào tất cả các phần tử

1 2 6

4 5

2 22

2 2

2 6

4 5

a dA B

b c f

aA

b c

k dk kkB

k k fk

9/10/2016

4


Ví dụ

1 2 3 4 0 2 10 4

8 7 5 3 1 7 6 0

2 3 0 1 2 3 2 4

)

)2 3

1 2)3 7

A B

a A B

b A B

c A B


Phép nhân hai ma trận

• Cho 2 ma trận:

• Khi này ma trận A nhân được với ma trận B

• Điều kiện: số cột ma trận trước bằng số dòngma trận sau.

;m n n kA B

.m k kn mnA B C


Qui tắc nhân

• Phần tử nằm ở vị trí ij của ma trận mới bằnghàng i của ma trận đầu nhân với cột j của matrận sau.

hang cotijc i j

C A B


Ví dụ• Các ma trận nào nhân được với nhau?

1 2 3 4 0 2 10 4

8 7 5 3 1 7 6 0

2 3 0 1 2 3 2 4

1 2

2 4 1 2 3

0 1 2 4 1

3 7

A B

C D


Định thức• Cho ma trận A vuông, cấp n.

• Định thức của ma trận A, ký hiệu:

• Đây là một số thực, được xác định như sau:

det A hay A

11 111 1

11 12

11 22 21 1221 22 2 2

det

det . .

A a thì A a

a aA thì A a a a a

a a


Định thức cấp n≥3• Dùng phần bù đại số

• Ma trận phụ hợp của phần tử aij, ký hiệu Mij làma trận nhận được từ ma trận A bằng cách bỏđi hàng thứ i và cột thứ j.

11 12 1

21 22 2

1 2

......

......

.............................

......

n

n

n n nn n n

a a a

a a aA

a a a

9/10/2016

5


4 4

3 21 0 9

1 7 1 2

2 14 0 6

6 42 1 13

A

Ví dụ• Cho ma trận:

23 23

3 21 9

2 14 6

6 42 13

M Mboû haøng 2 vaø coät 3

M23=???


Phần bù đại số

• Phần bù đại số của phần tử aij ký hiệu và xácđịnh như sau:

ij ij1 deti j

A M

ij ij1i j

A M


Khai triển định thức

• Định thức của ma trận vuông cấp n:

• Đây là khai triển theo dòng 1.

• Ta có thể khai triển dòng bất kỳ.

11 11 12 12 1 1det . . ...

n nA a A a A a A

1 1 2 2det . . ...

i i i i in inA a A a A a A


Ví dụ

• Tính định thức ma trận sau:

1 2 3 41 2 3

0 5 7 60 5 7

1 2 8 51 2 8

0 0 0 2

A B


Định thức cấp 3

• Ta dùng qui tắc sau:

11 12 13 11 12

21 22 23 21 22

31 32 33 31 32

a a a a a

A a a a a a

a a a a a

11 22 33 12 23 31 13 21 32

31 22 13 32 23 11 33 21 12

det . . . . . .

. . . . . .

A a a a a a a a a a

a a a a a a a a a


Ví dụ

• Tính lại định thức ma trận sau:

1 2 3 1 2 1

0 5 7 0 1 0

1 2 8 2 2 2

5 7 6 0 1 1

1 2 5 1 2 2

0 3 9 3 3

A C

m m

m

B D

m

9/10/2016

6


Tính chất của định thức

1. Ta có thể khai triển theo dòng hay cột bất kỳđể tính định thức.

2. det(A)=det(AT)

3. det(AB)=det(A). det(B)

4. det(kA)=kndet(A)

5. Đổi chỗ hai dòng(cột) của định thức thì địnhthức đổi dấu.

6. Nhân một dòng, một cột với số k khác khôngthì định thức tăng lên k lần.


Tính chất của định thức

7. Nếu thực hiện phép biến đổi sơ cấp thứ 3 thìđịnh thức không thay đổi.

8. Nếu định thức có một dòng, một cột bằng 0thì định thức bằng 0.

9. Nếu 2 dòng (cột) tỷ lệ thì định thức bằng 0.

10.Định thức của ma trận tam giác bằng tích cácphần tử trên đường chéo chính.

11.Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của haisố hạng thì tách tổng 2 định thức


Tính chất 11

Tách định thức: một dòng (cột) là tổng của hai sốhạng thì tách tổng 2 định thức

1 3 1 3 1 3

0 7 0 7 0 7

1 8 1 8 1 8

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 3 4 6 5 7

10 12

2 2

5 5

2

5 10 12 5 1

6 6

1

2

2 4 5

4 14

16 16

3 6 7

0 12 5


Ma trận nghịch đảo

• Ma trận vuông A cấp n được gọi là khả nghịchnếu tồn tại ma trận vuông B cấp n sao cho:

• Khi này B được gọi là ma trận nghịch đảo củama trận A. Ký hiệu: A-1

.

.n

n

AB I

B A I


Tính chất

1

1 1

11

. .n

A

AA A A I

A

i) khaû nghòch toàn taïi ma traän nghòch ñaûo A

ii)

iii) Ma traän nghòch ñaûo cuûa ma traän A (neáu coù)

thì duy nhaát, vaø:

A


Tính chất

1 1 1

1 1 1 1

11

1

. ;

1det

det

T

TT

AB B A

ABC C B A

A A

AA

iv) Cho A, B, C laø caùc ma traän khaû nghòch thì:

v) Neáu A khaû nghòch thì A cuõng khaû nghòch:

vi)

9/10/2016

7


Điều kiện để ma trận khả nghịch

• Cho ma trận A vuông cấp n. Ta có:

det 0

det 0

nA A I

A r A n

A A

A A

i) khaû nghòch

ii) khaû nghòch

iii) khaû nghòch

iv) khoâng khaû nghòch


Cách tìm ma trận nghịch đảo

• Phương pháp Gauss – Jordan

• Phương pháp Định thức


Ma trận nghịch đảo_1

• Ta có:

• Với C là ma trận chứa các phần bù đại số của A.

• Ma trận C gọi là ma trận phụ hợp của ma trận A

1 1

detTA C

A

ij ij1 deti j

ijc A M


Ví dụ 1

• Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau nếu có

3 4 6

0 1 1

2 3 4

A

det ???A


Ví dụ 1

• Tìm ma trận phụ hợp của A:

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1 1 0 1 0 1

3 4 2 4 2 3

4 6 3 6 3 4

3 4 2 4 2 3

4 6 3 6 3 4

1 1 0 1 0 1

c c c

c c c

c c c


Giải phương trình ma trận

a) Xét phương trình: A.X=B

Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B

b) Xét phương trình: X.A=B

Giả sử A khả nghịch. Khi đó: X=B.A-1

c) Xét phương trình: A.X.C=B

Giả sử A, C khả nghịch. Khi đó: X=A-1.B.C-1

Nhân tương ứng từng phía theo thứ tự của phương trình.

9/10/2016

8


Kiểm tra 30’

• 1) Thực hiện phép tính

1 2 3 4 0 2 10 4

8 7 5 3 1 7 6 0

2 3 0 1 2 3 2 4

1 2) )2 3 )

3 7

A B

a A B b A B c A B


Kiểm tra 30’

• 2. Tính định thức

• 3. Tìm ma trận nghịch đảo của A (nếu có):

0 1 1

1 2 2

3 3

m

D

m

3 4 6

0 1 1

2 3 4

A


Ví dụ

• Giải các phương trình sau:

1 2 3 5) .3 4 5 9

3 10 5 6 4 16) . .5 2 7 8 9 10

a X

b X


Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng

1. Đổi chỗ hai dòng với nhau

2. Thay một dòng bởi dòng đó nhân với một số khác 0

3. Thay một dòng bởi dòng đó cộng với dòng khác nhânvới một số.

4. Tổng hợp:

i jd d

.i id k d

.i i jd d d

. .i i jd k d d


Ví dụ• Thực hiện phép biến đổi ma trận:

• Ma trận A’ gọi là ma trận tương đương dòng vớima trận A. Ký hiệu: A’ ~ A

2 2 1

3 3 1

3 3 29

2 3 28

1 2 3 4

8 7 5 3 ? ??

2 3 0 1

?? '

d d dd d d

d d d

d dA

A


Hạng của ma trận

• Hạng của ma trận A là số dòng khác 0 của matrận bậc thang của ma trận A.

• Ký hiệu: r(A) hay rank(A)

• Ma trận bậc thang của A:

A→..bdsc theo dòng… →A’ (có dạng bậc thang)

9/10/2016

9


Ví dụ

• Tìm hạng của ma trận

3 21 0 9 0

1 7 1 2 1

2 14 0 6 1

6 42 1 13 0

A


Tính chất

)

)

) min ,

T

ij m n

i r A r A

ii A B thì r A r B

iii A a thì r A m n


Hệ phương trình tuyến tính

• Dạng tổng quát

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

...............................................

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b



• Dạng ma trận

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

...................... ... ...

...

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

A X B



• Dạng ma trận

• Ma trận A gọi là ma trận hệ số.

• X: ma trận cột các ẩn số

• B: ma trận cột các hệ số tự do

• Nghiệm của phương trình là một bộ số:

Sao cho khi thay vào thì mọi phương trình đềuthỏa mãn.

A X B

1 2 1 2, ,..., , ,...,

n nx x x c c c


Định lý Cronecker – Capeli

Cho phöông trình:

Ñaët

ma traän boå sung cuûa ma traän A

Tìm haïng cuûa ma traän

:

:

;

A X B

A A B

A A

9/10/2016

10


Định lý Cronecker – Capeli

i) Heä pt coù nghieäm duy nhaát

ii) Heä pt coù voâ soá nghieäm

iii) Heä pt voâ nghieäm

iv) Heä pt coù nghieäm

r A r A n

r A r A n

r A r A

r A r A


Ví dụ

• Hệ phương trình sau có nghiệm hay vô nghiệm

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2

2 4 1

3 4 0

2 4 1

x x x

x x x

x x x

x x x


Cách giải hpt tuyến tính

• Phương pháp Gauss – Jordan

• Phương pháp Cramer

• Phương pháp ma trận nghịch đảo


Phương pháp Gauss – Jordani) Laäp ma traän boå sung .

ii) Ñöa ma traän boå sung veà daïng baäc thang

baèng bieán ñoåi sô caáp treân doøng.

iii) Nghieäm cuûa heä cuoái laø nghieäm cuûa heä ñaàu.

iv) Giaûi n

bdsc dong

r r

A A B

A A B A A B

ghieäm töø döôùi leân treân.


Ví dụ

• Giải hệ phương trình sau:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 3 2 4 8

2 4 1 2 4 5 11) )3 4 0 4 3 2 1

2 4 1 6 7 10

x x x x y z

x x x x y za bx x x x y z

x x x x y z


Đề thi mẫu• Câu 5. Cho hệ phương trình:

• a) Giải hpt với m=1

• b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

3

2 3 0

3 2 7

x y z

x y z m R

x y mz m

9/10/2016

11


Phương pháp Cramer

• Điều kiện: số ẩn bằng số phương trình

• Ma trận Ai là ma trận có được từ ma trận Abằng cách thay cột thứ i bằng cột hệ số tự do.

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

...................... ... ...

...

n

n

n n nn m n

a a a x b

a a a x b

a a a x b


Phương pháp Cramer• Ví dụ: A1

• Thay cột1 bằngcột hệ sốtự do

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

12 1

22 2

1

1

2

2

...

...

...................... ...

...

...

...

......................

...

n

n

n n nn n

n

n

n nn n

a a a b

a a a bA B

a a a b

a a

a aA

a a

b

b

b


Phương pháp CramerÑaët:

Neáu thì heä coù nghieäm duy nhaát:

Neáu vaø toàn taïi thì heä voâ nghieäm.

Neáu thì heä voâ nghieäm

hoaëc voâ soá nghieäm.

Ta giaûi tieáp

1 1

1

det ; det ; ...; det

) 0

) 0 0

) ... 0

n n

ii

i

n

A A A

i

x

ii

ii

baèng phöông phaùp Gauss.


Ví dụ

• Giải và biện luận hệ phương trình sau

1 2 3

1 2 32

1 2 3

1 4

) ) 8

2 4

mx x x ax y z

a x mx x m b x by z

x by zx x mx m


Đề thi mẫu• Câu 5. Cho hệ phương trình:

• a) Giải hpt với m=1

• b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.

3

2 3 0

3 2 7

x y z

x y z m R

x y mz m


Phương pháp ma trận nghịch đảo• Ma trận A vuông hay số phương trình bằng số

ẩn.

• Nếu ma trận A khả nghịch thì:

.AX B

1. .AX B X A B

9/10/2016

12


Ví dụ

• Giải phương trình sau

1 2 3

1 2 3

1 2 3

2 2 1

2 3 6 1

7

x x x

x x x

x x x m


Hệ pt tuyến tính thuần nhất

• Dạng:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0

...............................................

... 0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x


Hệ pt tuyến tính thuần nhất

• Dạng:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... 0

... 0

...................... ... ...

... 0

n

n

m m mn m

a a a x

a a a x

a a a x

0A X


Định lý

• Hệ luôn có 1 nghiệm dạng:

• Đây gọi là nghiệm tầm thường của hệ.

• Nếu r(A)=n thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường.

• Nếu r(A)<n thì hệ có vô số nghiệm.

1 2, ,..., 0, 0,..., 0

nx x x


Định lý

• Nếu m=n thì:

• Nếu det(A)=0 thì hệ chỉ có nghiệm tầm thường.

• Nếu det(A)≠0 thì hệ có vô số nghiệm.


Ôn thi

• Tìm ma trận X biết

1 2 52 2 0

1 1 5 0 7 6

1 2 3 2 1 3

X

9/10/2016

13


Bài 1

• Cho hai ma trận:

• Tìm ma trận nghịch đảo của A.

• Tìm X biết: X.A=3B

1 2 3 1 2 1

3 2 4 3 1 0

2 1 0 2 1 1

A B


Bài 2

• Giải hệ phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

x x x x 0

3x x x 2x 5

5x x x 4

7x x x 3x 10


Bài 2

• Giải hệ phương trình sau

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2x y 3z 9 x y z 6

a) 3x 5y z 4 b) 2x 3y 4z 21

4x 7y z 5 7x y 3z 6

2x 2x x x 4

4x 3x x 2x 6c)

8x 5x 3x 4x 12

3x 3x 11x 5x 6


Bài 3

• Tìm m để ma trận sau khả nghịch

1 1

1 1

1 1 1

m

A m

m m


• Tìm m để hệ là hệ Crammer

• Giải nghiệm của hệ

Bài 4

1

1

1

mx y z

x my z

x y mz


Bài 5

• Tìm điều kiện để các hệ sau có nghiệm khôngtầm thường.

22x y z 0 a x 3y 2z 0

a) x y 2z 0 b) ax y z 0

5x y az 0 8x y 4z 0

9/10/2016

14


Bài 6

• Giải và biện luận theo m

mx y z 1 mx y z m

a) x my z 1 b) 2x (m 1)y (m 1)z m 1

x y mz 1 x y mz 1


Bài 7

• Tìm để hệ có nghiệm duy nhất

• Tìm a để hệ trên có nghiệm với mọi m

x y mz 1

x my z a

x (m 1)y (m 1)z b


Bài 2

• Giải và biện luận

1 2 3

1 2 3

21 2 3

2 2 2 4

3 3 3

x x mx m

m x x m x

x x x m m


MỘT SỐ MÔ HÌNH TUYẾN TÍNH TRONG PHÂN TÍCH

KINH TẾ

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH


Mô hình cân đối liên ngành

• Tên khác: Mô hình Input-Output Leontief

• Đặc điểm:

• 1. Mỗi ngành sản xuất một loại sản phẩm hàng

hóa thuần nhất hoặc sản xuất một số hàng hóa

phối hợp theo một tỷ lệ nhất định. Trong trường

hợp thứ hai ta coi mỗi tổ hợp hàng hóa theo tỉ lệ

cố định đó là một mặt hàng.

• 2. Các yếu tố đầu vào của sản xuất trong phạm vi

một ngành được sử dụng theo một tỷ lệ cố định.


Tổng cầu đối với sp mỗi ngành

- Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng

loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất

- Cầu cuối cùng từ phía người sử dụng sử dụng loại

sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu, bao gồm

các hộ gia đình, nhà nước, các hàng xuất khẩu.

9/10/2016

15


Mô hình I - O• Giả sử một nền kinh tế ngành gồm n ngành:

ngành 1, ngành 2, …, ngành n

• Có một phần khác của nền kinh tế (gọi là ngành

kinh tế mở) chỉ tiêu dùng sản phẩm của n ngành

kinh tế này.

• Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa của ngành i

được tính theo công thức:

1 2 ; 1,2, ,i i i in ix x x x b i n


Bảng I-O

Tổng cầu Cầu trung gian Cầu cuối cùng

x1 x11 x12 … x1n b1

x2 x21 x22 … x2n b2

… … … … … …

xn xn1 xn2 … xnn bn

• Ta có:

• Công thức:

1 2) ) iki i i in i ik

k

xi x x x x b ii a

x

Mua của ngành 1Bán của ngành 1


Mô hình I-O

• xi là tổng cầu hàng hóa của ngành i;

• xik là giá trị hàng hóa của ngành i mà ngành kcần sử dụng cho việc sản xuất (cầu trung gian);

• bi là giá trị hàng hóa của ngành i cần tiêu dùngvà xuất khẩu (cầu cuối cùng);

• Biến đổi (1)

1 21 2

1 2

; 1,2, , i i ini n i

n

x x xx x x x b i n

x x x


Mô hình I-O

• Đặt:

• Ta có mô hình I-O:

• Dạng ma trận:

ikik

k

xa tyle chi phi dau vao cua nganh k doi voi nganh i

x

1 11 1 12 2 1 1 11 12 11 1

2 21 1 22 2 2 2 2 21 22 2 2

1 1 2 2 1 2

...

...

... ........................................

...

n n n

n n n

nn n n nn n n n n nn

x a x a x a x b a a ax x

x a x a x a x b x a a a xhay

xx a x a x a x b a a a

1

2

...

n n

b

b

x b

. .X A X B X A X B I A X B


Một số thuật ngữ

• A gọi là ma trận hệ số đầu vào hay ma trận hệsố kĩ thuật

• X là ma trận tổng cầu (hay véc tơ sản xuất)

• B là ma trận cầu cuối cùng

• Chú ý:

1 2

1

1

) ... 1

) .

n

ik k k nk

i

i a a a a

ii X A X B X I A B


Dạng bài tập

• Xác định ma trận tổng cầu X

• Xác định tổng chi phí mỗi ngành

• Giải thích ý nghĩa kinh tế của các phần tử

• Lập bảng I-O từ A, X, B và ngược lại

• Tính toán khi thay đổi các ma trận kỹ thuật,tổng cầu, cầu cuối

9/10/2016

16


Ví dụ 1• Giả sử trong 1 nền kinh tế có 3 ngành sản xuất:

ngành 1, ngành 2, ngành 3. Cho biết ma trận hệsố kĩ thuật:

• a) Giải thích ý nghĩa con số 0,4 trong ma trận A

• b) Cho biết mức cầu cuối cùng đối với hàng hóa củacác ngành 1, 2, 3 lần lượt là 10; 5; 6 triệu USD. Hãy xácđịnh mức tổng cầu đối với mỗi ngành

0,2 0,3 0,2

0,4 0,1 0,2

0,1 0,3 0,2


Giải• a) Số 0,4 ở dòng thứ 2 và cột thứ nhất của ma

trận hệ số kĩ thuật có nghĩa là để sản xuất 1 $hàng hóa của mình, ngành 1 cần sử dụng 0,4$hàng hóa của ngành 2

• b) Ta có:

1

0,8 0,3 0,2 0,66 0,30 0,241

0,4 0,9 0,2 0,34 0,62 0,240,384

0,1 0,3 0,8 0,21 0,27 0,60

I A I A


Giải

• Ma trận tổng cầu:

• Như vậy tổng cầu đối với hàng hóa của ngành 1là 24,84; đối với hàng hóa của ngành 2 là 20,68;đối với hàng hóa của ngành 3 là 18,36 (triệuUSD)

1

0,66 0,30 0,24 10 24,841

0,34 0,62 0,24 5 20,680,384

0,21 0,27 0,60 6 18,36

X I A B


Mô hình cân bằng thị trường

1. Của 1 loại hàng hóa

2. Của n loại hàng hóa có liên quan

Chú ý:

Hàm cung Qs, hàm cầu Qd và giá P

SQ

( , , , 0)D

a bP

Q c dP a b c d


Một loại hàng hóa

• Mô hình cân bằng thị trường:

• Giá cân bằng:

• Lượng cân bằng:

SQ

S S

D D

D

Q a bP Q a bP

Q c dP Q c dP

Q a bP c dP

a cP

b d

S D

cd adQ Q

b d


Nhiều loại hàng hóa

• Hàm cung và hàm cầu:

• Trong đó Qsi, Qdi và Pi tương ứng là lượng cung,lượng cầu, giá hàng hóa i.

• Mô hình cân bằng: 1,2, ,Si DiQ Q i n

1 1 2 2

1 1 2 2

1,2, ,

Si io i i in n

Di io i i in n

Q a a P a P a P

Q b b P b P b P

i n

9/10/2016

17


Nhiều loại hàng hóa

• Chuyển vế ta có:

• Giải hệ trên ta tìm được giá cân bằng của nhàng hóa, từ đó tìm được lượng cung và cầucân bằng.

11 1 12 2 1 10

21 1 22 2 2 20

1 1 2 2 0

n n

n n

ik ik ik

n n nn n n

c P c P c P c

c P c P c P cc a b

c P c P c P c


Ví dụ 1

• Cho mô hình cân bằng kinh tế:

• Trong đó Y:thu nhập, Yd: thu nhập khả dụng, C:tiêu dùng; M nhập khẩu; I0: đầu tư; G0: chi tiêuchính phủ; X0: xuất khẩu; t: thuế suất

0 0 0

0,8

0,2

1

d

d

d

Y C I G X M

C Y

M Y

Y t Y


Ví dụ 1

• A. Khi I0, t không đổi, G0 tăng 1 đơn vị, x0 giảmmột đơn vị thì thu nhập cân bằng Y* thay đổinhư thế nào

• B. Giả sử I0=270; G0=430; X0=340; t=0,2 thì nềnkinh tế thặng dư hay thâm hụt ngân sách, thặngdư hay thâm hụt thương mại

• C. Chi I0=270; X0=340; t=0,2 tìm G0 để thunhập cân bằng là 2100

• D. Cho I0=340; X0=300; G0=400 tìm t để cân đốiđược ngân sách.


Giải

• Ta có:

• Thay vào ta có mô hình:

0 0 0

0,8

0,2

1

d

d

d

Y C I G X M

C Y

M Y

Y t Y

0 0 00,8 1 0,2 1

0,8 1

0,2 1

Y t Y I G X t Y

C t Y

M t Y


Giải

• Thay vào ta có mô hình:

0 0 0

0 0 0

0 0 00 0 0

0,6 1

0,8 1

1 0,6 1

0,8 1

0,8 1;

1 0,6 1 1 0,6 1

Y t Y I G X

C t Y

t Y I G X

C t Y

t I G XI G XY C

t t


Giải• Thu nhập cân bằng:

• Ta có:

• Vậy khi G0 tăng 1 đơn vị, X0 giảm một đơn vịthay đổi thì thu nhập quốc dân cân bằng khôngđổi.

0 0 0*

1 0,6 1

I G XY Y

t

0 0

1 1* ' ; * '

1 0,6 1 1 0,6 1G XY Y

t t

9/10/2016

18


Chú ý

• Mức thay đổi tính bằng vi phân toàn phần.

• Cho

• Ta có:

1 2 3, , ,..., nf f x x x x

1 21 2' ' ... 'nx x x ndf f dx f dx f dx


Giải

• B) Khi I0=270; G0=430; X0=340; t=0,2 thì:

• Ta có:

270 430 340

2000; 12801 0,6 1 0,2

Y C

0 0

0

30 0

0,2 0,2. 1 320 340d

NS T G tY G tham hut ngan sach

M Y t Y X co thang du


Giải

• C) Ta có:

• D) Ta có:

0 0 0 0

0

270 3402100 482

1 0,6 1 1 0,6 1 0,2

I G X GY G

t

0 0 00 400

1 0,6 1

340 400 300400 0,2

1 0,6 1

I G XtY G t

t

t tt


Chú ý

• Y: thu nhập, Yd: thu nhập khả dụng

• Ta có: Yd=Y-T; trong đó T: thuế

• Ngân sách: NS=T-G

• Cân đối ngân sách khi T=G

• Khi

• t: thuế suất hay mức tăng lên của thuế khi thunhập tăng 1 đơn vị

1dY t Y Y tY Y T


Chú ý

• Thâm hụt thương mại: (xuất – nhập)

• Nền kinh tế có thặng dư:

• Thâm hụt ngân sách: (thuế - chi tiêu CP)

0 0X M

0 0T G

0 0X M


Hệ số co giãn

• Cho hàm số y=f(x) với x,y là các biến số kinh tế,gọi x0 là một điểm thuộc TXĐ của hàm số.

• Giá trị

được gọi là hệ số co dãn của y theo x tại x0.

Tại x0, khi đối số x thay đổi 1% thì giá trị của hàm

số f(x) thay đổi một lượng xấp xỉ là 𝜀𝑥𝑦𝑥0 %.

00 0

0

( )( )

( )

y

x

y xx x

y x

9/10/2016

19


Ví dụ

• Xét hàm cầu của một loại hàng hóa D=D(p), tạimức giá p0.

• Hệ số co dãn của cầu theo giá tại mức giá p0:

• Áp dụng với hàm cầu D= 6p-p2 tại mức giá p0=4và giải thích ý nghĩa của kết quả nhận được.Cũng tại mức giá đó, nếu giá tăng 2% thì cầu sẽthay đổi như thế nào?V

00 0

0

'( )( )

( )

D

p

D pp p

D p


Giải

• Ta có:

• Ý nghĩa: Tại mức giá p0=4, nếu giá tăng 1% thìcầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ 1%. Còn nếu giátăng 2% thì cầu sẽ giảm một lượng xấp xỉ2.1%=2%.

( ) 6 2

(4) 2; (4) 8

(4) 2.4 .4 1

(4) 8

D

p

D p p

D D

D

D


Hệ số co giãn riêng

• Cho hàm số y=f(x1,x2,…,xn) với xi, y là các biếnsố kinh tế

• Tại điểm hệ số co giãn riêng củahàm f theo biến xi đo lượng thay đổi tính bằng% của f khi biến xi thay đổi 1% trong điều kiệncác biến độc lập khác không đổi là:

•

0 0 0

0 1 2, ,...., nM x x x

0 0 0 01 2

0 0 0

1 2

, ,....,.

, ,....,i

nf ix

i n

f x x x x

x f x x x


Hệ số co giãn riêng• Giả sử hàm cầu của hàng hóa 1 trên thị trường hai

hàng hóa có liên quan có dạng:

• p1, p2: giá của hàng hóa 1, 2.

• Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p1 đối với giácủa hàng hóa đó tại (p1,p2)

• Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá p2 đối với giácủa hàng hóa thứ hai tại (p1,p2)

• Xác định hệ số co giãn của cầu theo giá (p1,p2), và chobiết ý nghĩa của tại điểm (20,30).

2 2

1 1 2

56300 2

3dQ p p


Giải

• Ta có:

• Tại điểm (20,30) ta có:

• Điều đó có nghĩa khi hàng hóa 1 đang ở mức giá 20 và hàng hóa2 ở mức giá 30 nếu tăng giá hàng hóa 1 lên 1% còn giá hàng hóa2 không đổi thì cầu đối với hàng hóa 1 sẽ giảm 0,4%. Tương tự,nếu giá của hàng hóa 1 không đổi nhưng giá hàng hóa 2 tăngthêm 1% thì cầu đối với hàng hóa 1 cũng giảm 0,75%.

1 1

1 2

1 21 2

2 2 2 2

1 2 1 2

104 . ; .

5 536300 2 6300 2

3 3

d dQ Q

p p

p pp p

p p p p

1 1

1 20,4 ; 0,75d dQ Q

p p


Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân

• Mô hình cho dưới dạng:

• Trong đó:

– Y: tổng thu nhập quốc dân

– C: chi tiêu dùng dân cư

– T: thuế; I: đầu tư

– G: chi tiêu chính phủ

0 0

( ) ( 0,0 1)

( 0,0 1)

Y C I G

C a b Y T a b

T d tY d t

9/10/2016

20


Mô hình cân bằng thu nhập quốc dân

• Mục tiêu: giải tìm Y, C, T

• Biến đổi ta có hệ:

• Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mứctiêu dùng và mức thuế cân bằng.

0 0Y C I G

bY C bT a

tY T d


Mô hình CBTNQD _ không thuế

• Dạng:

• Mô hình cân bằng:

• Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mứctiêu dùng cân bằng.

0 0

( 0,0 1)

Y C I G

C a bY a b

0 0Y C I G

bY C a


Mô hình CBTNQD _ có XNK

• Dạng:

• Mô hình cân bằng:

• Giải hệ trên ta có mức thu nhập quốc dân, mứctiêu dùng cân bằng.

0 0Y C I G X N

C a b Y T

T d tY

0 0Y C I G

bY C a


Mô hình cân bằng hàng hóa và tiền tệ

• Mô hình IS-LM

• Khi có mặt thị trường tiền tệ, mức đầu tư I phụthuộc vào lãi suất r.

• Xét mô hình cân bằng thu nhập và tiêu dùngdạng:

1 1 1 1 ( , 0)I a b r a b

0

1 1 1 1, 0

0,0 1

Y C I G

I a b r a b

C a bY a b


Mô hình cân bằng hàng hóa và tiền tệ

• Thay thế I, C vào ta có phương trình IS:

• Trong thị trường tiền tệ, lượng cầu tiền L phụthuộc vào thu nhập Y và lãi suất r. Giả sử

• Giả sử lượng cung tiền cố định là . Điều kiệncân bằng thị trường tiền tệ là

1 1 0

1 1 0

(1 )

Y a bY a b r G

b r a a G b Y

2 2 2 2( , 0)L a Y b r a b

0 2 2 2 2 0M a Y b r b r a Y M


Mô hình IS-LM

• Phương trình IS:

• Phương trình LM:

• Hệ IS-LM:

• Giải hệ này ta được mức thu nhập và lãi suấtcân bằng

1 1 0 (1 )b r a a G b Y

2 2 0b r a Y M

1 1 0

2 2 0

(1 )b r a a G b Y

b r a Y M

9/10/2016

21


Ví dụ

• Cho

• a) Lập phương trình IS.

• b) Lập phương trình LM.

• c) Tìm mức thu nhập và lãi suất cân bằng củahai thị trường hàng hóa và tiền tệ.

•

0 0250 ; 4500 ; 34 15

10 0,3 ; 22 200 .

G M I r

C Y L Y r


Giải

• Phương trình IS. Ta có:

• Phương trình LM

• Mức thu nhập Y và lãi suất r cân bằng là nghiệmcủa hệ phương trình

0 (10 0,3 ) (34 15 ) 250

15 294 0,7

Y C I G Y Y r

r Y

0 22 200 4500 200 22 4500L M Y r r Y

15 294 0,7268,72 ; 7,06.

200 22 4500

r YY r

r Y


Giải toán ma trận bằng FX570 ES

1. Nhập ma trận.

• Nhấn Mode 6 (Matrix) Chọn 1( matA) Chọn matrix có số dòng và cột tương ứng cầntính toán.

• Nhập kết quả vào bằng phím =,

• Sau khi nhập xong ma trận A, có thể nhập thêmma trận B bằng cách: Nhấn Shift 4 (Matrix) 1(Dim) 2 (MatB)

• Lập lại tương tự cho MatC.


Giải toán ma trận bằng FX570 ES

2. Tính định thứcThao tác như sau để tính định thức cho MatA: Shift 4(Matrix) 7 (Det) Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) =3. Tìm ma trận nghịch đảoThao tác như sau để tìm ma trận nghịch đảo củaMatA: Shift 4 (Matrix) 3 (MatA) x-1

(x-1: là phím nghịch đảo của máy tính, dưới Mode)4. Giải phương trình: AX = BThao tác theo các bước bên trên để tính: MatA x-1

xMatB để cho kết quả của X.


Bài tập 1

• Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2. Ma trậnhệ số kỹ thuật:

• Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm củangành 1 và ngành 2 theo thứ tự là 120 và 60 tỉđồng. Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗingành.

0,2 0,3

0,4 0,1A


Bài tập 2• Giả sử nền kinh tế có 2 ngành sx 1 và 2, 3. Ma trận hệ

số kỹ thuật:

• Biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của từngngành là 40, 40, 110

• Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với từng ngành sx

• Tăng cầu cuối cùng của ngành 3 lên 10 đơn vị, cácngành khác không đổi. Xác định giá trị tổng cầu củacác ngành sx tương ứng.

0,4 0,1 0,2

0,2 0,3 0,2

0,1 0,4 0,3

A

9/10/2016

22


Bài tập 3

• Một nền kinh tế có 3 ngành sx và có mối quanhệ trao đổi hàng hóa như sau:

• Xác định tổng cầu, tổng chi phí mỗi ngành

• Lập ma trận hệ số kỹ thuật A

Ngành cung ứng sp (Out) Ngành sử dụng sp (Input)

1 2 3 B

1 20 60 10 50

2 50 10 80 10

3 40 30 20 40


Bài 4

• Cho biết hàm cung, cầu của thị trường 3 loạihàng hóa như sau:

• Xác định điểm cân bằng thị trường.

1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

8 2 10 2 14 2 2

5 4 2 4 1 4 .

D D D

S S S

Q P P P Q P P P Q P P P

Q P P P Q P P P Q P P P


Bài 5

• Cho tổng thu nhập quốc dân Y, mức tiêu dùng Cvà mức thuế T xác định bởi:

• trong đó I0=500 là mức đầu tư cố định; G0=20là mức chi tiêu cố định.

• Hãy xác định mức thu nhập quốc dân, mức tiêudùng và mức thuế cân bằng.

15 0,4( )

36 0,1

o oY C I G

C Y T

T Y


Bài 6

• Cho hàm cầu và hàm cung của thị trường 2 hànghòa

• Để các nhà sx cung ứng hàng hóa cho thị trường thìmức giá 1,2 phải thỏa điều kiện nào.

• Xác định giá và lượng cân bằng cho hàng hóa theo a

• Khi a tăng thì giá cân bằng của hàng hóa 1 thay đổinhư thế nào.

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2

18 3 12 2; 0

2 2

d d

s s

Q p p Q p pa

Q p Q ap

toÁn cao cẤp 1 - nguyenvantien0405.files.wordpress.com · ác dạng ma trận đặc biệt 1....

Documents