TORSIONTORSION

La figura muestra un sistema de trasmisión polea correa accionada por un motor acoplado al árbol trasmisor.

El esfuerzo presente en este caso es el de TORSIÓN y el cálculo a la resistencia se produce planteando las condiciones de resistencia y la de rigidez.

DefiniciónDefinición..El estado tensional de la torsión es caracterizado por la presencia en la barra como único esfuerzo: del momento torsional Mz = Mtor (ver figura); es decir, el momento que actúa en el plano de la sección transversal de la barra (las demás componentes de las fuerzas interiores son nulas):

Qx = Qy = N = 0; Mx = My = 0

La barra que trabajan a torsión se llama árbol.

Generalmente los momentos torsores interiores son consecuencia de Generalmente los momentos torsores interiores son consecuencia de momentos exteriores que se transmiten al árbol en lugares donde se momentos exteriores que se transmiten al árbol en lugares donde se colocan poleas, ruedas dentadas, etc. colocan poleas, ruedas dentadas, etc.

Sin embargo, la carga transversal, cuando está aplicada con cierta Sin embargo, la carga transversal, cuando está aplicada con cierta desviación respecto al eje de la barra, también origina momentos desviación respecto al eje de la barra, también origina momentos torsores interiores; pero en este caso, en las secciones transversales torsores interiores; pero en este caso, en las secciones transversales de la barra simultáneamente a los momentos torsores, surgen de la barra simultáneamente a los momentos torsores, surgen también otros esfuerzos interiores, como las fuerzas cortantes y los también otros esfuerzos interiores, como las fuerzas cortantes y los momentos flectoresmomentos flectores

r

P

Mt

Generalmente en los problemas técnicos se dan por conocidos la Generalmente en los problemas técnicos se dan por conocidos la potencia que transmite un árbol y su velocidad angular, expresada potencia que transmite un árbol y su velocidad angular, expresada en revoluciones por minuto. Con estos datos se calcula el momento en revoluciones por minuto. Con estos datos se calcula el momento torsor Mtorsor Mtt que transmite el árbol. Como se sabe, la potencia en que transmite el árbol. Como se sabe, la potencia en

caballos de vapor es:caballos de vapor es:

Donde (P) es el esfuerzo circunferencial que se aplica al árbol, (v) es Donde (P) es el esfuerzo circunferencial que se aplica al árbol, (v) es la velocidad de un punto situado en la superficie de este, y (n)el la velocidad de un punto situado en la superficie de este, y (n)el número de revoluciones por minuto del árbol.número de revoluciones por minuto del árbol.

Puesto que: P.r=M, sustituyendo en la expresión anterior se obtiene:Puesto que: P.r=M, sustituyendo en la expresión anterior se obtiene:

Un caballo de vapor es igual a 0,736 KW, luego:Un caballo de vapor es igual a 0,736 KW, luego:

Utilizando el SIU, donde la potencia se expresa en W y la velocidad angular Utilizando el SIU, donde la potencia se expresa en W y la velocidad angular en radianes por segundo:en radianes por segundo:

Representación esquemática y equilibrio de Representación esquemática y equilibrio de árboles sometidos a momentos torsores árboles sometidos a momentos torsores

externosexternos

Los momentos torsores exteriores e interiores, los Los momentos torsores exteriores e interiores, los representaremos por una línea con dos círculos. En representaremos por una línea con dos círculos. En uno de ellos pondremos un punto, que indica el uno de ellos pondremos un punto, que indica el comienzo de la saeta (hacia el lector), y en el otro, comienzo de la saeta (hacia el lector), y en el otro, una cruz, que representará el final de la saeta que una cruz, que representará el final de la saeta que sale del lectorsale del lector

Regla del signoRegla del signo

Proponemos seguir la regla siguiente: El momento torsor Proponemos seguir la regla siguiente: El momento torsor en la sección a-a se considerará positivo, cuando el en la sección a-a se considerará positivo, cuando el momento exterior gira la parte separada en dirección momento exterior gira la parte separada en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, si se observa contraria a la de las manecillas del reloj, si se observa esta parte desde la sección. (Ver figura siguiente)esta parte desde la sección. (Ver figura siguiente)

Ejemplo de ilustraciónEjemplo de ilustración

el momento torsor en la sección es numéricamente el momento torsor en la sección es numéricamente igual a la suma algebraica de los momentos torsores igual a la suma algebraica de los momentos torsores exteriores que actúan por una de las partes de la exteriores que actúan por una de las partes de la sección.sección.

M’’tor =2tm

Si sobre la superficie de una barra de sección circular trazamos Si sobre la superficie de una barra de sección circular trazamos una red rectangular, entonces, después de ocurrir la una red rectangular, entonces, después de ocurrir la deformación, se observará lo siguiente:deformación, se observará lo siguiente:

1.1. La red rectangular se transforma en una red compuesta por La red rectangular se transforma en una red compuesta por paralelogramosparalelogramos

2.2. Las distancias entre secciones transversales no varían.Las distancias entre secciones transversales no varían.

3.3. El diámetro de la sección externa girará cierto ángulo El diámetro de la sección externa girará cierto ángulo respecto a su posición inicial, permaneciendo recto, al respecto a su posición inicial, permaneciendo recto, al igual que el resto de las secciones transversales.igual que el resto de las secciones transversales.

Tensiones en las barras de sección circular.Tensiones en las barras de sección circular.

Examinando la torsión en una barra cargada según el esquema mostrado, es fácil notar que el ángulo de giro de una sección que se encuentre a una distancia z del lugar del empotramiento del árbol será tanto mayor, cuanto mayores sean z y el momento torsioanl Mtor.

El ángulo de distorsiónEl ángulo de distorsión de un elemento que se encuentra sobre la superficie de la barra se expresa por: dz

dmáx

Según Según la ley de Hooke para el deslizamientola ley de Hooke para el deslizamiento, , obtenemos, obtenemos,

dz

d

Como vemos, en la torsión, la deformación por Como vemos, en la torsión, la deformación por deslizamiento y las tensiones tangenciales son deslizamiento y las tensiones tangenciales son proporcionales a la distancia al centro de gravedad.proporcionales a la distancia al centro de gravedad.

dz

dGGG

Analicemos el equilibrio de la parte de la barra a la derecha de la sección a-a. La suma algebraica de los momentos respecto al eje de la

barra, que actúan sobre la parte separada, es igual a cero.

A

tor dAM 0 dAMA

Mtor es el momento torsor en la sección en cuestión.

Los momentos torsores, de que se habló anteriormente, no son Los momentos torsores, de que se habló anteriormente, no son más que los esfuerzos resultantes interiores. En realidad, en la más que los esfuerzos resultantes interiores. En realidad, en la sección transversal de una barra torsionada, actúan tensiones sección transversal de una barra torsionada, actúan tensiones tangentes, distribuidas de una manera lineal respecto al radio.tangentes, distribuidas de una manera lineal respecto al radio.

Introduciendo el valor de la tensión:

Teniendo en cuenta que,

02 dAdz

dGM

A

dz

dGGG

p

A

IdA 2

Donde Ip es el momento polar de inercia de la sección, hallaremos el ángulo unitario de torsión del árbol por:

P

tor

IG

M

dz

d

Siendo G IP la rigidez de la sección transversal de la barra durante la torsión; se mide en N m2.

El ángulo total de torsión del árbol en una longitud l es igual a:

l

p

tor

P

tor

IG

lMdz

IG

M

0

Introduciendo en la fórmula de las tensiones tangenciales el valor de:

Donde es el módulo polar de la sección

P

tor

I

M

P

tor

P

torr W

M

I

rM

max

r

IW P

se deduce que la tensión tangencial en cualquier punto de la sección de la barra, se expresa por:

dz

d

Las tensiones máximas en los puntos situados en el borde de la sección son:

En el caso de una sección circular maciza Wp se determina por,

Para un árbol anular, Wp se determina según:

Siendo: la relación del diámetro interior del

árbol al exterior.D

dc

334

2.0162/32

dd

dd

rIp

Wp 3max

16

d

M tor

43max 1

16

cD

M tor

)1(2.0)1(1616

)(2 434344

cDcD

D

dD

D

IpWp

La condición de resistencia estática de un árbol sometido a torsión se escribe así,

p

tor

W

Mmax

t )6.05.0(

Donde: es la tensión tangencial admisible

Cuando se trata de cargas estáticas, se considera:

Los árboles se calculan, además del cálculo a la resistencia, también a la rigidez limitando los ángulos unitarios de torsión a cierto valor admisible [].

Condición de rigidez:

p

tor

IG

Mmax

Ejemplos:Ejemplos:

1)1) Calcular el diámetro de un árbol de acero que gira con Calcular el diámetro de un árbol de acero que gira con una velocidad angular de 300 rev/min y transmite una una velocidad angular de 300 rev/min y transmite una potencia de 500 c.v. La tensión admisible es potencia de 500 c.v. La tensión admisible es [τ]=800kgf/cm2 y el ángulo de giro admisible, [τ]=800kgf/cm2 y el ángulo de giro admisible, [θ]=0,5grad/min, G = 8*10^5kgf/cm2.[θ]=0,5grad/min, G = 8*10^5kgf/cm2.

Resolución:Resolución:

El momento transmitido por el árbol se calcula por la El momento transmitido por el árbol se calcula por la fórmula siguiente:fórmula siguiente:

23 /10119300

5007162071620 cmkgf

n

NM

El momento torsor es constante en todas las secciones El momento torsor es constante en todas las secciones transversales del árbol, transversales del árbol,

Mtor = M = 119*103 kgf/cmMtor = M = 119*103 kgf/cm

Tensión, Deformación y desplazamiento en Tensión, Deformación y desplazamiento en torsión de barra de secciones no circularestorsión de barra de secciones no circulares

Tensión tangencial:Tensión tangencial: maxT

T

M

W

WWTT e e IITT - son características geométricas para secciones no circulares. - son características geométricas para secciones no circulares.

M

G IT

T

M

G IT

T

Deformación:Deformación:

Desplazamiento:Desplazamiento:

Tabla de los coeficientes a y b del modulo de Tabla de los coeficientes a y b del modulo de elasticidad en torsión de barra de secciones elasticidad en torsión de barra de secciones

rectangulares.rectangulares.

a/b 1 1.5 1.75 2 2.5 3 4 6 8 10  

α 0.208 0.231 0.239 0.246 0.256 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333

β 0.141 0.196 0.214 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333

η 1 0.859 0.82 0.795 0.766 0.753 0.745 0.743 0.743 0.743 0.743

2baWp 3baIp

TORSION EN PERFILES DE PAREDES TORSION EN PERFILES DE PAREDES DELGADASDELGADAS

Clasificación para el cálculo a torsión de perfiles Clasificación para el cálculo a torsión de perfiles delgados:delgados:

perfilesabiertos

rectificable

no rectificable

cerrados

W ST 1

32

331 SIT

Para perfiles abiertos rectificables, se considera S >> Para perfiles abiertos rectificables, se considera S >> y y l l >> >> . Las expresiones de W. Las expresiones de WTT e I e ITT se determina por: se determina por:

Torsión en perfiles abiertos rectificablesTorsión en perfiles abiertos rectificables

Perfil cerrado:Perfil cerrado:

W A

IA

T

TdS

2

42

*

*

min