M I S K O L C I E G Y E T E M G A Z D A S G T U D O M N Y I K A R

P N Z G Y I T A N S Z K

Tzsdei ismeretek feladatgyjtemny

Miskolc, 2005

2

MISKOLCI EGYETEM GAZDASGTUDOMNYI KAR PNZGYI TANSZK sszelltotta: Galbcs Pter demonstrtor

3

1. feladat Egy 15 milli forint nvrtk vlt (N=15000000) mrcius 20-n jr le. A bank janur 10-n kvnja leszmtolni 25%-os bankri diszkontlb mellett (d=0,25). Mekkora sszeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatlb 30%, akkor a vltt rdemes leszmtoltatni, vagy hitelt rdemes felvenni? Megolds: A vltk leszmtolsakor hasznlt kplet:

tdNNPV = . A lejratig mg 69 nap van htra, gy a kpletbe behelyettestve:

1429109689,142910953656925,01500000015000000 = .

A vlt nvrtke teht 14291096 forint. Annak eldntshez, hogy a leszmtols, vagy a hitelfelvtel gazdasgosabb, fel kell hasznlni a diszkontlbnak megfeleltethet hitelkamatlb albbi kplett:

tddi = 1

* .

A feladat adataival behelyettestve:

%24,26262401,0

3656925,01

25,0* =

=i .

A diszkontlbnak megfeleltethet hitelkamatlb 26,24%. Mivel a tnyleges kamatlb magasabb, mint az egyenslyi szint, nem ri meg a hitelfelvtel, diszkontlni rdemesebb. A kszbnap meghatrozsa:

24433,2433653,01

25,0136511 =

=

=

idt

Vagyis a lejrat eltt 244, vagy tbb nappal mr megri a hitelfelvtel. 2. feladat Egy 20 milli forint nvrtk vlt. 2005. oktber 2-n jr le. A bank mrcius 2-n kvnja leszmtolni 16,5%-os bankri diszkontlb mellett. Mekkora sszeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatlb 17%, akkor a vltt rdemes leszmtoltatni, vagy hitelt rdemes felvenni? Megolds: A htralv napok szma 214. A vlt rtke 18065205,48 forint. A diszkontlbnak megfeleltethet hitelkamatlb 18,26%. Stratgia: hitelfelvtel. Kszbnap: 66. 3. feladat Egy 10 milli forint nvrtk vlt. 2005. jlius 28-n jr le. A bank prilis 7-n kvnja leszmtolni 26%-os bankri diszkontlb mellett. Mekkora sszeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatlb 30%, akkor a vltt rdemes leszmtoltatni, vagy hitelt rdemes felvenni? Megolds: A htralv napok szma 112. A vlt rtke 9202191,78 forint. A diszkontlbnak megfeleltethet hitelkamatlb 28,25%. Stratgia: diszkontls. Kszbnap: 188.

4

4. feladat Egy 45,2 milli forint nvrtk vlt. 2006. februr 28-n jr le. A bank 2005. jnius 30-n kvnja leszmtolni 29%-os bankri diszkontlb mellett. Mekkora sszeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatlb 40%, akkor a vltt rdemes leszmtoltatni, vagy hitelt rdemes felvenni? Megolds: A htralv napok szma 243. A vlt rtke 36473304,11 forint. A diszkontlbnak megfeleltethet hitelkamatlb 35,93%. Stratgia: diszkontls. Kszbnap: 347. 5. feladat Egy 36,5 milli forint nvrtk vlt. 2006. december 12-n jr le. A bank 2005. jnius 17-n kvnja leszmtolni 36%-os bankri diszkontlb mellett. Mekkora sszeget fog fizetni a bank? Ha a hitelkamatlb 37%, akkor a vltt rdemes leszmtoltatni, vagy hitelt rdemes felvenni? Megolds: A htralv napok szma 543. A vlt rtke 16952000 forint. A diszkontlbnak megfeleltethet hitelkamatlb 77,51%. Stratgia: hitelfelvtel. Kszbnap: 28. 6. faladat Egy ktvny futamideje 2 v, nvleges kamatlba 15% (K=150000). Az elvrt hozam 10% (r=0,1). A ktvny nvrtke 1 milli forint (N=1000000). A nvrtket egy sszegben, a futamid vgn fizetik ki. Mekkora a ktvny rfolyama, ha vente fizetnek kamatot? Megolds: A cash-flow brja az albbi mdon alakul:

A ktvny ves kamata 150000 forint. A ktvnyek nett rfolyama az albbi mdon hatrozhat meg:

( )( )( ) rr

rKr

NP nn

nN ++++= 111

11 .

Behelyettestve:

77686,10861,01,111,1150

1,111000 2

2

2 =+=NP .

5

A ktvny rfolyama teht 1086776,86 forint. Felhalmozdott kamattal ebben az esetben nem kell szmolni. 7. feladat Egy flvente kamatot fizet, 10 milli forint nvrtk ktvny 2007. december 30-n jr le. A ktvny nvleges kamata vi 15%. A befektetk ltal elvrt kamatlb 9%. Mennyi a ktvny falhalmozott kamata, a nett s a brutt rfolyama 2005. jnius 6-n? Megolds: Az egy alkalommal fizetett kamat 750000 forint (K=750000). A htralv peridusok szma 6. A kalkulatv kamatlb:

( ) %4,404403,0109,01 =+ . A ktvny nett rfolyama a 6. feladatnl ismertetett kplet segtsgvel szmolva 11604112,52 forint. A felhalmozott kamat (X) meghatrozst szemllteti az albbi bra:

Igaz, hogy:

tX

TK = ,

amelybl:

tTKX = .

A T az els kamatfizetsi idpont s a nulladik idpont kztti tvolsg (utbbira vonatkozan kerl meghatrozsra a ktvny nett rfolyama), a t pedig a nulladik idpont s a ktvny rfolyam-meghatrozsi napja kztti klnbsg. Behelyettestve (T=182; t=158) a felhalmozott kamatra 651098,9011 forint addik. A ktvny brutt rfolyama teht (amely a nett rfolyam s a felhalmozott kamat sszege) 2006. jnius 6-n 12255211,42 forint.

6

8. feladat Egy flvente kamatot fizet, 1 milli forint nvrtk ktvny 2006. december 15-n jr le. A ktvny nvleges kamata vi 20%. A befektetk ltal elvrt kamatlb 10%. Mennyi a ktvny falhalmozott kamata, a nett s a brutt rfolyama 2005. jnius 10-n? Megolds: A htralv peridusok szma 4. A kalkulatv elvrt hozam 4,88%. T=182, t=177. A ktvny nett rfolyama 1335997,055 forint, a felhalmozott kamat 97252,74725 forint. A ktvny brutt rfolyama 1433249,802 forint. 9. feladat Egy flvente kamatot fizet, 15 milli forint nvrtk ktvny 2007. mjus 15-n jr le. A ktvny nvleges kamata vi 25%. A befektetk ltal elvrt kamatlb 12%. Mennyi a ktvny falhalmozott kamata, a nett s a brutt rfolyama 2005. mjus 1-n? Megolds: A htralv peridusok szma 5. A kalkulatv elvrt hozam 5,83%. T=181, t=167. A ktvny nett rfolyama 20568624,26 forint, a felhalmozott kamat 1729972,376 forint. A ktvny brutt rfolyama 22298596,63 forint. 10. feladat Egy flvente kamatot fizet, 25 milli forint nvrtk ktvny 2007. oktber 20-n jr le. A ktvny nvleges kamata vi 14%. A befektetk ltal elvrt kamatlb 8%. Mennyi a ktvny falhalmozott kamata, a nett s a brutt rfolyama 2005. mrcius 8-n? Megolds: A htralv peridusok szma 6. A kalkulatv elvrt hozam 3,923%. T=182, t=139. A ktvny nett rfolyama 29042641,86 forint, a felhalmozott kamat 1336538,462 forint. A ktvny brutt rfolyama 30379180,32 forint. 11. feladat Mekkora tkt kell elhelyeznnk a bankban 7%-os kamatlb mellett, ha 15 ven t minden v vgn 100000 forint jradkot akarunk felvenni? Megolds: Az annuits jelenrtknek kplete:

( )( ) rr

rcPV nn

++=

111 .

A feladat szerint c=100000, n=15, r=0,07. Behelyettestve az elhelyezend tke 910791,12 forint.

7

12. feladat 15 ven keresztl minden hnapban egy bett utn 84385,7 forint kamatot kapunk. A bett hozama vi 6%. Mennyi a pnzram jelenrtke? Megolds: A 11. feladatnl emltett kplet az albbi alakra mdosul:

mr

mrmr

cPV tm

tm

+

+=

1

11,

ahol m az venknti kamatfizetsek szma. Behelyettestve:

10000000

1206,0

1206,01

11206,01

1512

1512

+

+=

PV .

A feladatban szerepl pnzram realizlshoz 10000000 forint sszeg bettet kell elhelyeznnk. 13. feladat Egy 1100 forint nvrtk rszvny kvetkez osztalkfizetsi idpontja 2005. jnius 12. A megelz vben szintn erre a napra esett az osztalkok kifizetse; akkor az osztalk mrtke 25% volt (DIV0=25%). A kvetkez idszakokban az osztalkok folyamatos emelkedsre lehet szmtani, a nvekeds teme vi 10% (g=0,1). Mennyi a rszvny brutt rfolyama 2005. janur 20-n? Az elvrt hozam 20% (r=0,2). Megolds: A feladat szvege alapjn DIV0=275. Az elre jelzett nvekeds alapjn DIV1=302,5. A szksges kplet:

grcP = .

Behelyettestve:

30251,02,0

5,302 ==P . A rszvny nett rfolyama teht 3025 forint. A felhalmozott osztalk (X) meghatrozsa a ktvnyek felhalmozott kamatnl alkalmazott eljrs mintjra trtnik. A feladat szerint T=365 s t=222. Behelyettestve:

184365222

1 = DIVX . A rszvny brutt rfolyama 2005. janur 20-n 3209 forint. 14. feladat Egy befektet Synergon-rszvny vsrlsra 2004. mrcius 22-n opcit kttt 2004. oktber 30-i lejrattal. A ktsi rfolyam 800 forint volt rszvnyenknt (X=800). Ismert

8

tovbb az is, hogy az opcis dj 200 forint volt (c=200). A Synergon rfolyama 2004. prilis 13-n 900 (S0=900), oktber 30-n pedig 1200 forint volt (S1=1200). Feladat: mennyi volt az egyes idpontokban az opci belsrtke, illetve idrtke? Megolds: A rendelkezsekre ll adatok alapjn kitlthet az albbi tblzat. Egy opci bels rtke meghatrozhat, ha megvizsgljuk, hogy az adott idpontban rvnyes prompt rfolyam mellett mennyit r az opci az opci vevjnek (mekkora nyeresge szrmazik abbl, ha az adott idpontban lehvja az opcit). Egy opci idrtke az az sszeg, amellyel a bels rtke meghaladja az opci djt figyelembe vve azt, hogy lejratkor az opci idrtke mindig zrus. Az opci rtke a bels rtk s az idrtk sszege. Ezek alapjn teht:

2004. prilis 13. 2004. oktber 30. Bels rtk 100 400 300 Idrtk 100 0 100 200 400 200 15. feladat Egy befektet MOL-rszvny eladsra opcit vsrolt 2004. janur 22-n. A lejrat idpontja 2004. jnius 30. volt. Tudjuk, hogy a ktsi rfolyam 16000 forint (X=16000), az opcis dj pedig 1000 forint volt (p=1000). Ismert tovbb az is, hogy 2004. februr 17-n a MOL rfolyama 15400 (S0=15400), 2004. jnius 30-n pedig 17000 forinton alakult (S1=17000). Megolds: Az 1. feladatban ismertetett mdszer segtsgvel elllthat az albbi tblzat:

2004. februr 17. 2004. jnius 30. Bels rtk 600 0 600 Idrtk 400 0 400 1000 0 1000 16. feladat A Synergon prompt rfolyama a mai napon 850 forint (S0=850). Becslsek szerint 1 v elteltvel az rtkpapr rfolyam vagy 900 forintra emelkedik, vagy 800 forintra sllyed. Mennyi annak a vteli opcinak az rtke, amely 870 forintos ktsi rfolyamra vonatkozik? A kockzatmentes kamatlb 10% (rf=0,1). A rszvny rfolyamnak mozgsa nem kveti a normlis eloszlst. Hny opci vsrlsval juthatunk a rszvnybe trtn befektetssel azonos pozciba? Megolds: A prompt rfolyamok ismeretben Su=900 s Sd=800. Az opci bels rtke meghatrozhat a ktsi rfolyam s a prompt rfolyamok segtsgvel:

Cu=30; Cd=0.

9

Olyan mestersges befektetsi portfolit kell alkotnunk, amelynl az rtkpaprok vsrlst hitelbl finanszrozzuk. A banktl akkora sszeg hitelt kapunk, amelynek trlesztse a kamatokkal egytt pesszimista vgkimenetel esetben is megoldhat:

( ) 724800 11,0 == eeSSPV trdd f A hitelsszeg mellett nrszre is szksg van a rszvny megvsrlshoz:

850724=126. Ennek alapjn a befektets rtke kedvez esetben 100, kedveztlen esetben pedig 0 ennyi marad ugyanis a rszvny eladsi rbl, ha a vsrlshoz ignybe vett hitelt kamataival egytt visszafizetjk. Meghatrozhat az m rtke, amely megmutatja, hogy hny vteli opcira van szksgnk ahhoz, hogy a rszvnnyel trtn befektetssel megegyez pnzramot kapjuk:

3333,3030800900 =

==

du

du

CCSS

m .

Mivel a feladat szerint nem ttelezhetjk fel a normlis eloszls fennllst, az albbi kpletet kell alkalmaznunk az opci helyes rnak meghatrozshoz:

tr

tr

d

tr

u

f

ff

e

dueuC

dudeC

c

+

= Az u s d paramterek meghatrozsa:

06,1850900

0

==SS

u u , illetve 94,0850800

0

==SS

d d .

Behelyettestve azt kapjuk, hogy:

4,3794,006,1

06,1094,006,194,030

11,0

11,011,0

+

=

e

ee

c .

A vteli opci helyes dja teht 37,4 forint. 17. feladat 2004. prilis 11-n a MOL prompt ra 16560 (S=16560) forint volt. Ismert az is, hogy ugyanezen napon 2004. jnius 30-ra vonatkozan a rszvny hatrids ra 19000 forinton alakult. Mennyi az rtkpapr hatrids egyenslyi ra, s milyen arbitrzs-technikval lne? A kockzatmentes kamatlb 7,75% (rf=0,0775). Hogy alakulna az ennek rvn elrhet nyeresg? A megolds sorn a brkeri jutalkkal nem kell szmolni. Megolds: prilis 11. s jnius 30. kztt 80 nap telik el, gy a hatrids egyenslyi r meghatrozsa:

1684416560 365800775,0 === eeSF trf .

Lthat, hogy az egyenslyi rfolyam a tnylegestl elmarad, gy megri a rszvnybe trtn befektets, vagyis hatridsen eladni, prompt pedig venni rdemes. Az gylethez nem szksges sajt er, a teljes vtelr hitelbl finanszrozhat. A vsrlshoz akkora sszeg hitelt kapunk, hogy a hatrids eladsi r fedezze az adssgszolglatot. A kapott hitel sszege:

10

( ) 1868019000 365800775,0

19000 ==

ePV . Az arbitrzsr nyeresge a hitelsszeg s a prompt vteli rfolyam klnbsge, vagyis 1836 forint. 18. feladat 2004. prilis 11-n a MOL prompt ra 16560 (S=16560) forint volt. Mennyi az rtkpapr hatrids egyenslyi ra 2004 jnius 30-n, s milyen arbitrzs-technikval lne? A kockzatmentes kamatlb 7,75% (rf=0,0775). Hogy alakulna az ennek rvn elrhet nyeresg? A brkeri jutalk mrtke 1%. Ismert, hogy az prilis 11-n fennll tnyleges hatrids rfolyamok a.) 17000 b.) 18000 c.) 16000 forinton alakulnak. Megolds: A brkeri jutalkok miatt kt hatrids rat kell meghatrozni. Vtelnl:

1701201,116560 365800775,0

1 =

eF Eladsnl:

1667599,016560 365800775,0

2 =

eF Els esetben, mivel a tnyleges hatrids rfolyam a kt egyenslyi rfolyam kz esik, nem nylik md arbitrzsra. Msodik esetben rdemes prompt venni s hatridsen eladni. A felvehet hitel sszege:

( ) 1769718000 365800775,0

18000 =

ePV Az arbitrzsr nyeresge ismt a hitelsszeg s a prompt r kztti klnbsg, vagyis 1137 forint. Harmadik esetben nyeresges a prompt elads s a hatrids vtel kombinlsa. 19. feladat 2004. prilis 11-n a MOL prompt ra 16560 (S=16560) forint volt. Jnius 6-n a MOL rtkpaprjra vrhatan 10%-os mrtk osztalkot fizet. Mennyi az rtkpapr hatrids egyenslyi ra? A kockzatmentes kamatlb 7,75% (rf=0,0775). A megolds sorn a brkeri jutalkkal nem kell szmolni. A MOL-rszvny nvrtke 1000 forint. Megolds: A hatrids egyenslyi r meghatrozshoz mindenekeltt le kell vonni a prompt rfolyambl a vrhat osztalk mrtkt. Az osztalkot minden esetben a nvrtk alapjn hatrozzuk meg, gy DIV=100. A lpseket egyestve a szoksos kplet az albbiak szerint alakul:

1674310016560 365800775,0

365560775,0

= eeF

100 forintnyi osztalk esetn teht a MOL-rszvny egyenslyi rfolyama 16743 forinton alakul.

11

20. feladat 2004. mrcius 19-n a MOL prompt ra 16120 (S=16120) forint volt. prilis 1-n a MOL rtkpaprjra vrhatan 15%-os mrtk osztalkot fizet. Ismert tovbb, hogy oktber 30-n esedkes hatrids rfolyam a.) 19000 b.) 17000 c.) 16000 forinton alakul. Mennyi az rtkpapr hatrids egyenslyi ra? A kockzatmentes kamatlb 7,75% (rf=0,0775). A MOL-rszvny nvrtke 1000 forint. A brkeri jutalk mrtke 1,5%. A MOL-rszvny nvrtke 1000 forint. Milyen arbitrzs technikval lne a hrom esetben, s hogyan alakulna az gylettel elrhet nyeresg? Megolds: A hatrids egyenslyi r meghatrozsakor figyelembe kell venni az osztalkot, s a brkeri jutalkot is a brkeri jutalkot mindig a brutt r alapjn kell kalkullni. Termszetesen ebben az esetben is kt egyenslyi rfolyamunk lesz. Vtelhez:

17005150015,116120 3652250775,0

365120775,0

1

= eeF

Eladshoz:

16498150985,016120 3652250775,0

365120775,0

2

= eeF .

Az a.) feladatrsz esetben van lehetsg arbitrzs-gyletre, hiszen a tnyleges rfolyam magasabb, mint az egyenslyi. A felvehet hitel sszege:

( ) 1811419000 3652250775,0

19000 =

ePV . A nyeresg megszokott mdon a prompt rfolyam s a hitelsszeg klnbzete, azaz 1994 forint. A b.) esetben nem nylik md arbitrzs mveletre. A c.) esetben hatridsen vehet, s prompt eladhat a befektet. 21. feladat Az eurobza prompt rfolyama 2004. mrcius 8-n 25000 forinton alakult. Ugyanezen idpontban az eurobza hatrids rfolyama 2004. november 30-i lejrat mellett 30000 forint. Hogyan alakul az eurobza hatrids egyenslyi ra? Milyen arbitrzstechnikt alkalmazna? A kockzatmentes kamatlb 7,75% (rf=0,0775). A raktrozsi kltsg 2000 forint/h tonnnknt. Megolds: Az egyenslyi r meghatrozsa:

( ) 28006365267200025000 365

2670775,0

+=+= eeUSF trf Mivel a tnyleges hatrids r magasabb az egyenslyinl, hitelfelvtel mellett nyeresgesen valsthat meg az eurobza hatrids eladsa. A felvehet hitel sszege:

12

( ) 2834730000 3652670775,0

30000 =

ePV . A hatrids nyeresg sszege 341. 22. feladat Az Eur rfolyama 2004. mrcius 18-n 247 forint volt (S=247). Ugyanezen a napon a 2005. mrcius 18-i hatrids rfolyam 280 forinton alakul. A kockzatmentes eur-kamat 2,25% (rEUR=0,0225), a kockzatmentes forintkamat pedig 7,75% (rHUF=0,0775). Hogyan alakul egy v mlva az Eur egyenslyi rfolyama? Milyen arbitrzstechnika lenne nyeresgesen alkalmazhat? (Hitelsszeg: 1000000 forint = 4049 Eur). Megolds: Az egyenslyi rfolyam a kt kamatlb klnbsgnek segtsgvel hatrozhat meg az albbi mdon:

( ) ( ) 261247 10225,00775,0 == eeSF trr EURHUF . Mivel a tnyleges hatrids rfolyam magasabb az egyenslyinl, nyeresgesen lehet Eurt hatridsen eladni (illetve prompt vsrolni). A hitelt forintban vesszk fel, gy azt tvltva 4049 Eurval rendelkeznk. Ezt befektetve 1 v alatt 4141 Eurra fog gyarapodni a pnznk:

41414049 10225,0 e . Ezt az 1 v letelte utn visszavltjuk forintra a tnyleges, 280 forintos rfolyamon, gy a kamatperidus vgn 1159480 forinttal fogunk rendelkezni. Az ignybe vett forinthitel kapcsn felmerl adssgszolglat:

10805821000000 10775,0 e . Az gylettel realizlhat nyeresg a kamatozssal nyert forintsszeg s az adssgszolglat klnbsge, azaz hozzvetlegesen 78898 forint. Az arbitrzs-ngyszg az albbi mdon alakul:

23. feladat Az Eur rfolyama 2004. janur 2-n 247 forint volt (S=247). Ugyanezen a napon a 2004. jlius 2-i hatrids rfolyam 275 forinton alakul. Az Eurban denominlt bettek kamata 1,5%, az Eur-hitelek kamata 2,5%; a forint-bettek kamatlba 6%, mg a forintban felvett

13

hitelekre 8%-os kamatot kell fizetni. Hogyan alakul fl v mlva az Eur egyenslyi rfolyama? Milyen arbitrzstechnika lenne nyeresgesen alkalmazhat? (Hitelsszeg: 1000000 forint = 4049 Eur). Megolds: A rendelkezsre ll adatok alapjn felrhat az albbi tblzat:

Bettek kamata Hitelek kamata EUR 1,5% 2,5% HUF 6% 8%

A kamatrtk eltrsei miatt itt is kt egyenslyi rfolyam fog addni:

( ) 255247 5,0015,008,01 = eF ( ) 251247 5,0025,006,02 = eF

Mivel a tnyleges hatrids rfolyam magasabb, mint az egyenslyi rfolyamok (az Eur drgbb), hatridre nyeresgesen lehet Eurt eladni (forinthitelbl trtn prompt vsrlssal kombinlva). 1000000 forintos hitelsszeg esetn 4049 Eurval szmolhatunk, amely sszeg flvnyi kamatozs utn 4079 Eurra nvekszik. tvltva (a tnyleges 275 forintos rfolyamon) 1121725 forintot kapunk. A forinthitel adssgszolglata hozzvetlegesen 1040811 forint, a nyeresg gy 80914 forint. 24. feladat A Synergon rszvnynek prompt rfolyama 2004. prilis 19-n 850 forint (S=850). Ezen paprra vonatkozan egy befektet jnius 30-i lejrattal vteli opcit vsrol, amelynek ktsi rfolyama 900 forint (X=900). A kockzatmentes kamatlb 7% (rf=0,07). Az alaptermk rfolyamnak szrsa 30% (=0,3). Hogyan alakul a helyesen razott opci dja? A normlis eloszls felttelezhet az alaptermk rra vonatkozan. Megolds: A feladat a Black-Sholesmodell felhasznlsval oldhat meg. A d1 s d2 paramterek meghatrozsa:

26,02587,02365723,0

365723,0

3657207,0

900850ln

1 =

+

+

=d

( ) 39,03919,0365723,02587,02 ==d .

Igaz, hogy N(d1)=1N(d1). Ezek alapjn a norml eloszls tblzatbl knnyen meghatrozhat, hogy N(d1)=0,3974; N(d2)=0,3483. Ezeket behelyettestve a BlackSholes-kpletbe:

296187,283483,09003974,0850 3657207,0 == ec .

A helyesen razott opci dja teht 29 forint.

14

25. feladat A Synergon rszvnynek prompt rfolyama 2004. prilis 19-n 850 forint (S=850). A rszvnyre 2005. jnius 6-n vrhatan 20 forint osztalkot fognak fizetni. Ezen paprra vonatkozan egy befektet jnius 30-i lejrattal vteli opcit vsrol, amelynek ktsi rfolyama 900 forint (X=900). A kockzatmentes kamatlb 7% (rf=0,07). Az alaptermk rfolyamnak szrsa 30% (=0,3). Hogyan alakul a helyesen razott opci dja? A normlis eloszls felttelezhet az alaptermk rra vonatkozan. Megolds: Meg kell hatrozni az osztalk jelenrtkt, s ennek segtsgvel a mdostott prompt rfolyammal kell a BlackSholes-kpletet hasznlni:

183264,83020850 3654807,0* === eeDIVSS trf

43,04357,02365723,0

365723,0

3657207,0

900183264,830ln

1 =

+

+

=d

( ) 57,05689,0365723,04357,02 ==d

Ezek alapjn N(d1)=0,3336 s N(d2)=0,2843. Behelyettestve addik, hogy c=24,58. 26. feladat A Synergon rszvnynek prompt rfolyama 2004. prilis 19-n 850 forint (S=850). Ezen paprra vonatkozan egy befektet jnius 30-i lejrattal vteli opcit vsrol, amelynek ktsi rfolyama 900 forint (X=900), ktsi dja pedig 29 forint (a 24. feladat alapjn). A kockzatmentes kamatlb 7% (rf=0,07). Az alaptermk rfolyamnak szrsa 30% (=0,3). A normlis eloszls felttelezhet az alaptermk rra vonatkozan. Putcall paritssal szmolva mennyi az rtke egy hasonl lejrati idpont (2004. jnius 30.), illetve hasonl ktsi rfolyam (X=900) eladsi opcinak? Mennyi az idrtk s a bels rtk? Megolds: A putcall parits megmutatja, hogy egy meghatrozott ktsi rfolyam s lejrat eurpai vteli opci rtke levezethet egy hasonl ktsi rfolyam s lejrat eurpai eladsi opci rtkbl, s viszont. Igaz teht az, hogy:

SpXec trf +=+ . Az eladsi opci rtke gy:

658,6685029900 3657207,0 =+= ep .

A bels rtk ebbl 50, az idrtk pedig 16,658 forint. 27. feladat Mennyi annak az amerikai vteli opcinak az rtke, amely esetben az alaptermkl szolgl rszvny rfolyama 2004. prilis 19-n (a kts idpontjban) 16650 forint (S=16650), az rfolyam vltozsnak szrsa 40% (=0,4), a normalits pedig felttelezhet. Az opci lejrata 2004. december 30. A kockzatmentes kamatlb 7%

15

(rf=0,07). A ktsi rfolyam 16000 forint (X=16000). 2004. jnius 6-n a rszvnyre vrhatan 1600 forint osztalkot fognak fizetni (DIV=1600). Megolds: A BlackSholes-kplet segtsgvel kt idpontra vonatkozan kell kiszmolni az opci rtkt, hiszen az amerikai opcik brmikor lehvhatk. Az osztalkfizets napjn az opci rtke az albbi mdon alakul:

41,04105,02365484,0

365484,0

3654807,0

1600016650ln

1 =

+

+

=d

27,02654,0365484,04105,02 ==d .

Ebbl addik, hogy N(d1)= 0,6591 s N(d2)= 0,6064. Ezek alapjn c=1360,52. Msodik esetben az opci lejratig, vagyis december 30-ig kell kiszmtani az opci rtkt. Ekkor azonban az osztalk jelenrtkvel mdostani kell a prompt rfolyamot. A jelenrtk 1585,338818, gy a mdostott prompt rfolyam 15065; T=255 nap=255/365 v. Ezek alapjn d1=0,1333 s d2=(0,2010), N(d1)= 0,5517, N(d2)=0,4207. Az opci rtkre c=1901,42 addik. Lejratig tartva teht az opci rtke magasabb, rdemes teht megvrni a lejratot. 28. feladat Egy rszvnyre vonatkoz vteli opci esetben a ktsi r 14900 forint (X=14900). A rszvny prompt rfolyama 15150 forint (S=15150). Az opci ktsnek idpontja 2004. mjus 2. Az opci 2004. jnius 25-n jr le. A kockzatmentes kamatlb 7,5% (rf=0,075). Az alaptermk rnak szrsa 40% (=0,4). Az rvltozs esetben a normlis eloszls felttelezhet. Mennyi a helyesen razott vteli opci rtke? Megolds: A behelyettestsek rvn d1=0,25710,26; d2=0,10330,1; N(d1)=0,6026 s N(d2)=0,5398. Az opci djra addik, hogy c=1175,12. 29. feladat Egy rszvnyre vonatkoz vteli opci esetben a ktsi r 895 forint. A rszvny prompt rfolyama 975 forint. Az opci ktsnek idpontja 2004. februr 28. Az opci 2004. jlius 14-n jr le. A kockzatmentes kamatlb 7,75%. Az alaptermk rnak szrsa 35%. Az rvltozs esetben a normlis eloszls felttelezhet. Mennyi a helyesen razott vteli opci rtke? Megolds: A behelyettestsek rvn d1=0,6421380,64; d2=0,42770,43; N(d1)=0,7389 s N(d2)=0,6664. Az opci djra addik, hogy c=141,099.

16

30. feladat Egy rszvnyre vonatkoz vteli opci esetben a ktsi r 775 forint. A rszvny prompt rfolyama 1000 forint. Az opci ktsnek idpontja 2004. februr 12. Az opci 2004. szeptember 8-n jr le. A kockzatmentes kamatlb 7%. Az alaptermk rnak szrsa 45%. Az rvltozs esetben a normlis eloszls felttelezhet. Mennyi a helyesen razott vteli opci rtke? Megolds: Az osztalk jelenrtkvel cskkentett prompt rfolyam 802,4019. A behelyettestsek rvn d1=0,39; d2=0,0494910,05; N(d1)=0,6517 s N(d2)=0,5199. Az opci djra addik, hogy c=135,83. 31. feladat Egy "A" s "B" rszvnybl ll portfoli esetn az id mlsval az albbiak szerint alakultak a hozamok:

Id "A" rszvny "B" rszvny 1 5% 8% 2 10% 16% 3 15% 24%

A portfoliban az "A" rszvnybl 70%-nyi (WA=0,7), a "B" rszvnybl 30%-nyi (WB=0,3) tallhat. Hogyan alakul a portfoli hozama s kockzata? Milyenek az idelis rszarnyok a portfolin bell? Milyen az egyes rszvnyek kockzata? Megolds: A kt rszvny (tlagos) hozama a szmtani tlaggal, illetve kockzata (a hozamok szrsa) a kovariancia vagy a korriglt tapasztalati szrs alapjn knnyedn meghatrozhat:

( )=

=n

jjr rrn

s1

2

11

Ezek alapjn rA=10%, rB=16%. Az "A" rszvny kockzata: ( ) ( ) ( ) %5

210151010105 222 ==As .

Ehhez hasonlan sB=8%. A portfoli hozama az egyes rszvnyek tlagos hozamainak a portfolin belli rszarnyukkal slyozott tlaga: rP=11,8%. A kt rtkpapr kztti kovariancia meghatrozsa az ltalnos kplet segtsgvel trtnhet:

( )1

cov =ndxdy

xy .

Behelyettestve addik, hogy:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 402

1624101516161010168105;cov =++=BA rr . Az albbi sszefggssel meghatrozhat a korrelcis egytthat is:

185

40);cov(;

=== BABA

rr ssrr

BA .

17

A portfoli kockzatnak meghatrozsa az albbi kplettel lehetsges:

BA rrBABABBAAPssWWsWsWs ;

2222 2 ++= , amelynl itt 5,9% addik. Ha a paprok ellenttesen reaglnak, a korrelcis egytthat rtke (1) lesz, a kovariancia pedig (40). Ekkor a minimlis relatv kockzat portfoli slyai

( )( )

( )( ) %54,6140258

408;cov2

;cov22

2

22

2

=+=+

=BAAB

BABA rrss

rrsW .

Igaz, hogy WB=1WA, teht WB=38,46% 32. feladat Egy elemz cg ngy rszvnyre vonatkoz becslseit tartalmazza az albbi tblzat:

Rszvny Jelenlegi r Negyedv

mlva vrhat r

Negyedv mlva vrhat

osztalk i

A 3000 3100 180 0,5 B 1000 1100 75 1,16 C 20000 22000 1400 1,5 D 800 900 50 0,9

A piac vrhat hozama 9% lesz az elkvetkez negyedvben. A kockzatmentes kamatlb vi 8%. Mely paprok fell-, s mely paprok alulrtkeltek? Mely paprokba rdemes fektetni? Megolds: A rszvnyek elvrt hozamt (CAPM-szerinti hozamt) az albbi kplettel hatrozhatjuk meg: ( ) ifmfi rrrr += . A feladat alapjn rm=9%, rf=8/4=2%. Ezek alapjn CAPMA=5,5%; CAPMB=10,12%; CAPMC=12,5%; CAPMD=8,3%. Az egyes rtkpaprok tnyleges hozamai meghatrozhatk az albbi kplettel:

+=

0

1lnPDIVPr .

Ennek alapjn rA=8,9%; rB=16,13%; rC=15,7%; rD=17,18%. Az egyes rszvnyek esetben az i rtkek, amelyek pozitivitsa jelzi az alulrtkeltsget, a tnyleges s az elvrt hozam klnbsgeknt hatrozhatk meg. Ezek szerint A=3,4%; B=6,01%; C=3,2%; D=8,88%. Valamennyi papr alulrtkelt, legerteljesebben a D rszvny, gy leginkbb abba rdemes befektetst eszkzlni. 33. feladat A gazdasgi kiltsokra vonatkoz becsls adatait az albbi tblzat tartalmazza:

A vltozs irnya Valsznsg pi "A" rszvny

rA "B" rszvny

rB Piaci hozam

rM Recesszi 0,2 15% 8% 6%

Kis nvekeds 0,6 0% 16% 12%

18

Nagy nvekeds 0,2 20% 10% 18% A kincstrjegy hozama jelenleg vi 7% (rf=0,07). Hogyan alakul az egyes paprok btja, alfja, illetve a portfolin belli idelis rszarnya? Megolds: A vrhat hozam meghatrozsa:

( ) =

=n

iii rprE

1.

Ezek alapjn E(rA)=1%; E(rB)=13,2%; E(rM)=9,6%. Az egyes rszvnyek, illetve a teljes piac hozamnak szrsa (a kockzat) a korriglt tapasztalati szrs kpletvel hatrozhat meg, ahol a slyokat itt a valsznsgek, az tlagokat pedig a vrhat hozamok fogjk adni. Azaz:

( ) ( ) ( ) %13,111202,0106,01152,0 222 =++=As ( ) ( ) ( ) %48,32,13102,02,13166,02,1382,0 222 =++=Bs

Ezekhez hasonlan sM=8,14%. A kovariancia meghatrozsakor a slyokat ismt a valsznsgek adjk: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) 4,806,9181202,06,912106,06,961152,0;cov

=+++=MA rr

Hasonlkppen szmolva cov(rB;rM)=14,88; cov(rA;rB)=2,8. Az egyes rszvnyekre vonatkoz bta meghatrozshoz szksges kplet: ( )

2

;cov

M

mii s

rr= . Ebbl addik, hogy A=1,21; B=0,22. A mr ismert mdon CAPMA=10,146%; CAPMB=7,572%. Az alfa rtknek meghatrozsnl a vrt hozamok rtkt cskkentjk a CAPM-szerinti hozamokkal. A=9,146%; B=5,628%. B alulrtkelt, gy az abba val befektets tnik kifizetdnek. WA=7,74%; WB=92,26%. 34. feladat Az "A" s "B" rszvny hozamait tartalmazza az albbi tblzat:

v "A" rszvny "B" rszvny 1991 9 8 1992 14 9 1993 19 5 1994 7 4 1995 5 9 1996 9 3 1997 2 2 1998 8 9 1999 17 7

Milyen az egyes paprok vrhat hozama? Mekkora a paprok kovariancija s korrelcis egytthatja? Mekkora az egyes paprok kockzata? Megolds: E(rA)=7,6%; E(rB)=6,2%; cov(rA;rB)=12,9; sA=8,9%; sB=2,8%; =0,52.

19

35. feladat Klnbz llampaprok adatait tartalmazza az albbi tblzat:

Nvrtk Lejrat vi kamat rfolyam 100 0,2 0 96 100 1 0 93 100 1,5 10 104 100 2 12 110 100 2,5 14 120

A fl v mlva esedkes, fl ves lejrat ktvny rfolyama 96,9 (0,5DWIX0,5=96,9). Milyen arbitrzs-technikval hasznlhat ki a helyzet? Megolds: A feladat a bootstrap-mdszer segtsgvel oldhat meg. Az egyes lejratokon rvnyes kamatlbak (amelyek a hozamgrbe egyes pontjait adjk) meghatrozhatk annak ismeretben, hogy az rfolyam s a nvrtk kztt a lejrati id s a kamatlb teremt kapcsolatot:

10096 5,05,0 = re %16,85,0 =r

Az ltalnos kplet:

tPN

rt

=ln

Ebbl r1=7,26%. A kamatfizetst is tartalmaz vekben az albbi egyenlsgeket lehet felrni:

5,110726,05,00816,0 5,110555104 ++= reee %99,65,1 =r

25,10699,010726,05,00816,0 2106666110 +++= reeee %4,62 =r

5,22064,05,10699,010726,05,00816,0 5,21077777120 ++++= reeeee %05,55,2 =r

Az implicit forward, vagyis az m v mlva n ves lejrat kamatlbak meghatrozshoz szksges kplet: ( )

nrmrnm

r mnmnm+= + .

Ennek segtsgvel 0,5r0,5=6,36%; 1r0,5=6,45%; 1,5r0,5=4,63%; 2r0,5=-0,35%. A fl v mlva rvnyes ktvnyrfolyam alapjn szmtott kamatrta:

%3,65,09,96

100ln=

=r .

Mivel ez a kamat alacsonyabb, mint az ltalunk szmtott implicit forward rta, rdemes kt hitelt felvenni, s egy bettet elhelyezni, az albbi kamatok mellett:

20

36. feladat Klnbz llampaprok adatait tartalmazza az albbi tblzat:

Nvrtk Lejrat vi kamat rfolyam 100 0,2 0 94 100 1 0 89 100 1,5 10 100 100 2 12 103 100 2,5 14 105

A fl v mlva esedkes, fl ves lejrat ktvny rfolyama 90 (0,5DWIX0,5=90). Milyen arbitrzs-technikval hasznlhat ki a helyzet? Megolds: A korbban vzolt mdon r0,5=12,38%; r1=11,65%; r1,5=9,65%; r2=9,98%; r2,5=11,43%. Az implicit forward kamatlbak: 0,5r0,5=10,92%; 1r0,5=5,65%; 1,5r0,5=10,97%; 2r0,5=17,23%. A DWIX rfolyama alapjn szmolt kamatlb 21,07%. gy ves lejrat hitel vehet fel nyeresggel, s ktszer flvre kell befektetni:

21

37. feladat A bza december 15-i hatrids ra mjus 12-n 26000 forint tonnnknt. Mutassa be a fedezeti gylet kockzatcskkent hatst, ha a termel november 15-n adja el bzjt! November 15-n az azonnal bzar a.) 10000 b.) 40000 forint tonnnknt. A trolsi s gynki kltsgek elhanyagolhatk. A kockzatmentes kamatlb 6%. Megolds: A termel mjus 12-n hatridre elad a 26000 forintos tonnnknti rfolyamon, majd november 15-n prompt is elad az akkor rvnyes azonnali ron, s ekkor december 15-i lejrattal hatridsen vesz is. A kt december 15-i hatrids rfolyam november 15-n 10049, illetve 40198 forint tonnnknt. Az a.) esetben a hatrids nyeresg 15951, a b.) esetben 14198 forint tonnnknt. A tnyleges (hatrids nyeresggel mdostott) prompt eladsi r 25951, illetve 25802 forint tonnnknt. A tnyleges prompt rtl fggetlenl a tnyleges eladsi rak gyakorlatilag azonosnak tekinthetk a fedezeti gylet hatsaknt. 38. feladat A MOL tart az olajrak emelkedstl, ezrt mjus 15-n hatridre vsrol kolajat augusztus 31-i hatridre. Az gylet ktsekor a kolaj ra 50USB/barrel. Milyen irny fedezeti gyletet kt a MOL? Mutassa be a fedezeti gylet kockzatcskkent hatst! Jlius 15-n a kolaj ra a.) 20USD/barrel b.) 100USD/barrel. A kockzatmentes kamatlb 3%. Trolsi kltsg 1USD/barrel/h. Megolds: A MOL hatridsen vesz mjus 15-n augusztus 31-i lejrattal, majd jlius 15-n prompt vesz, s ezen a napon hatrids eladsi gyletet is kt, szintn augusztus 31-i lejrattal. A mjus 15-n kttt, augusztus 31-i lejrat hatrids vteli r 54,08USD/barrel. A jlius 15-n rvnyes, augusztus 31-re szl hatrids eladsi rak 21,65, illetve 101,96USD/barrel. A hatrids nyeresg teht 32,43, illetve 47,88USD/barrel. A tnyleges vtelr 52,43, illetve 52,12USD/barrel. 39. feladat Egy termelnek vrhatan 25000 tonna bzja lesz. A bza minsge I. osztly. A tzsdn viszont kizrlag eurbzra lehet kontraktust ktni. Egy kontraktusban 100 tonna bza van. A malmi bza rvltozsnak szrsa 35% (S=35). A hatrids termk rvltozsnak szrsa 45% (F=45). A kt termk kztti korrelci 0,82 (=0,82). Mi a hatrids kts irnya? Mekkora a hatrids kontraktusszm? Megolds: A fedezeti arny meghatrozsa:

F

Sh = .

22

Behelyettestve h=0,63. A fedezeti arny ismeretben meghatrozhat a hatrids kontraktusszm is:

1585,15710063,025000 = .

Eszerint hatridsen vesznk 158 kontraktus eurbzt. 40. feladat Egy befektet megtudja, hogy a MOL kvetkez negyedvi eredmnye jelentsen meghaladja az elemzk vrakozsait. Szvesen venne a MOL rszvnyeibl, azonban fl a makropiac gyengesgtl, illetve egy ltalnos rszvnyr-cskkenstl. Ezrt a kockzatok ellen be szeretn biztostani magt. A MOL btja 1,4. A befektetni kvnt sszeg 10 milli forint. A hatrids BUX-kontraktus rtke a BUX minden pontjra 100 forint. Jelenleg a hatrids BUX rtke 16750 pont. Megolds: A rszvnypiaci kontraktusszm meghatrozhat:

83582,810016750

4,110000000_ ==

=pontBUX

btesszegndbefeketeteszmkontraktus .

Vagyis a befektet vesz 10 milli forint rtkben MOL-rszvnyt, s elad 8 kontraktus BUX-ot hatridre.