INFORME DE MECANICA

ELEMENTAL:

“OSCILACIONES”

INTEGRANTES:

Carlos, Cruz.

Rodriguez, Iris.

2014

RESUMEN: En la realización de esta experiencia se analizarán fenómenos que abarcan las

oscilaciones armónicas en un sistema; el cual en este caso a trabajar es el de masa-resorte.

Estudiaremos experimentalmente el movimiento armónico amortiguado de una masa

sujetada en el extremo libre de un resorte.

En este práctico tiene como principal objetivo:

Calcular mediante la experiencia lo siguiente;

- la frecuencia natural del sistema (𝜔𝑜) para oscilaciones libre.

- la constante elástica del resorte (𝑘).

- la constante de amortiguamiento (𝛽) debida al rozamiento con el aire.

- la frecuencia (Ω) y el período (𝑇) de las oscilaciones amortiguadas.

- el tiempo de vida (𝜏).

Luego con el frecuencímetro buscar la frecuencia de resonancia del sistema.

INTRODUCCION:

Una partícula ligada a uno de los extremos de un resorte dispuesto en posición vertical (y liberada

desde la posición sin deformar del mismo) realiza un movimiento oscilatorio, el cual, si no existen

fuerzas disipativas, es armónico simple. El sistema (formado por la partícula y el resorte) oscila en

torno a su posición de equilibrio con la frecuencia natural del sistema masa-resorte y amplitud

constante. Este comportamiento oscilatorio se observa por que la fuerza producida por el resorte,

en primera aproximación, es proporcional a su deformación, ley de Hooke. Matemáticamente este

enunciado se puede expresar de la siguiente forma:

F=-K.∆X

donde k es la constante del resorte y ∆X la deformación del mismo, es el desplazamiento de la

partícula a partir de su posición de equilibrio y el signo negativo indica que la fuerza

tiene dirección opuesta al desplazamiento.

Gonzalo P. La ley de Hooke, masa y periodo de un resorte. Revista Española de Física, V-5, nº 1,

1991, pp. 36.

en nuestra experiencia el roce del aire amortigua la oscilación, se observara que la amplitud de las

oscilaciones va disminuyendo con cada oscilación, pero en nuestro caso utilizamos un

frecuencímetro aplicando estímulos de varias frecuencias a fin de estimar la frecuencia de

resonancia de nuestro sistema y hallar los parámetros correspondientes.

MATERIALES UTILIZADOS Frecuencímetro: para medir la frecuencia (Ω)

Resonador: para generar ondas de frecuencia

Cinta métrica: con una incertidumbre de 0.25 cm

Balanza: con una incertidumbre de 0.20 g

Masas : 21g, 29g, 30g, 39g, 49g.

1 resorte

METODOS

Para calcular 𝑘 planteamos las ecuaciones de newton para las fuerzas que actúan sobre la masa

que cuelga en el extremo de un resorte vertical, considerando un sistema de referencia en sentido

positivo hacia abajo, obtendremos la siguiente ecuación:

𝑝 − 𝑓𝑒 = 𝑚 × 𝑎 Considerando que el resorte esta en equilibrio en el momento que realizamos las

mediciones la aceleración es nula por lo tanto deducimos que:

𝑚 × 𝑔 = 𝑓𝑒 = 𝑘(𝐿 − 𝑙𝑜) (1)

En donde 𝑚 es la masa, 𝑔 es la aceleración de la gravedad, 𝑙𝑜 es la longitud en reposo del resorte,

𝐿 será la variable (las posiciones de equilibrio del resorte) y 𝑘 es la constante de elasticidad del

resorte la cual será determinada realizando reiteradas mediciones de la longitud de equilibrio del

resorte colgando en su extremo libre distintas masas a fin de adquirir datos suficientes para

utilizar cuadrados mínimos para encontrar la recta que mejor se ajusta a nuestros datos en donde

la pendiente es 𝑘.

A partir del 𝑘 hallado podemos calcular la frecuencia natural del sistema (𝜔𝑜) mediante la

siguiente ecuación:

𝜔𝑜 = 𝑘

𝑚 (2)

En este experimento también buscaremos determinar de manera aproximada la constante de

amortiguamiento debida al rozamiento con el aire (𝛽)

A partir de la ecuación Ω = 𝜔𝑜2 −

𝛽2

2 (*) en donde Ω es la frecuencia de resonancia del

sistema, la cual la obtenemos aplicando estímulos de varias frecuencias y examinando en que

momento hay mayor respuesta y el valor será determinado escogiendo un Ω𝑚𝑎𝑥 y un Ω𝑚𝑖𝑛

entonces será

Ω =Ω𝑚𝑎𝑥 +Ω𝑚𝑖𝑛

2 (**) y su error correspondiente ∆Ω =

Ω𝑚𝑎𝑥 −Ω𝑚𝑖𝑛

2 (***)

De la ecuación (*) despejamos 𝛽 para finalmente obtener la constante de amortiguamiento

𝛽 = 2 × (𝜔𝑜2 − Ω2) (3)

Ya con datos suficientes también calculamos la frecuencia (𝜔1) y el periodo (𝑇) de las

oscilaciones amortiguadas de nuestro sistema dadas por las ecuaciones:

𝜔1 = 𝛽2

4−𝜔𝑜

2 (4)

𝑇 =2×𝜋

𝜔1 (5)

Finalizando nuestra experiencia calculando el tiempo de vida que va estar dado por:

𝜏 =2

𝛽

Cabe señalar que todos los cálculos se harán teniendo en cuenta las incertidumbres, todas las

mediciones estarán dadas con su correspondiente error y todos los cálculos se harán propagando

dicha incertidumbre.

Resultados

Las mediciones realizadas arrojaron los siguientes resultados:

Tabla 1: resultado de las mediciones efectuadas

Numero de ensayos Masas (m) [kg] Longitud de equilibrio

Error= 0.20 kg (L) [mts] Error= 0.25 mts

1 0.029 kg 0.123 mts

2 0.047 kg 0.175 mts

3 0.021 kg 0.101 mts

4 0.030 kg 0.124 mts

5 0.039 kg 0.152 mts

Aquí se efectuaron varias mediciones con el fin de alcanzar datos suficientes para realizar un

análisis estadístico utilizando cuadrados mínimos para hallar la recta que mejor concuerda con

nuestros datos como se puede ver en la siguiente grafica:

Figura 1: dispersión lineal del peso en función de las L de equilibrio

0,00 0,06 0,12 0,18

0,0

0,2

0,4

0,6

L[M]

p=mxg [N]

peso

longitud de equilibrio

De esta manera determinamos que La pendiente de la resta es la constante de elasticidad del

resorte con su error correspondiente

𝑘 = (3.8158 ± 0.0021)𝑁

𝑀

Una vez hallada la constante elástica del resorte se deduce fácilmente la frecuencia natural del

sistema (𝜔𝑜) la cual la obtenemos sustituyendo en la ecuación (2)

𝜔0 = 3.816

0.047= 9.01 𝑠−1 y un error obtenido a partir de propagar los errores ∆𝜔 = 0.04 𝑠−1

Por lo tanto

𝝎𝒐 = (𝟗.𝟎𝟏± 𝟎.𝟎𝟒)𝒔−𝟏

El siguiente paso es hallar el valor de la constante de amortiguamiento (𝛽) para ello

primeramente determinamos el valor de la resonancia del sistema dando un valor estimado de

resonancia máxima Ω𝑚𝑎𝑥 = 1.305 𝑕𝑧 y una frecuencia de resonancia mínima = 1.295 𝑕𝑧 y

citando las ecuaciones (**) y (***) conseguimos:

Ω = (1.300 ± 0.005)𝑕𝑧

De esta manera obtenido Ω recurrimos a la ecuación (3) sustituyendo

𝛽 = 2 × (9.012 − 1.302) = 12.61 y por propagación de errores ∆𝛽 = 0.06

Por lo visto

𝜷 = (𝟏𝟐.𝟔𝟏± 𝟎.𝟎𝟔)𝒔−𝟏

Es el valor de la constante de amortiguamiento debida al rozamiento con el aire.

También podemos calcular sin inconvenientes a partir de los resultados obtenidos la frecuencia

(𝜔1) y el periodo (𝑇) de las oscilación amortiguada de nuestro resorte, solicitando las ecuaciones

(4) para hallar la frecuencia y la ecuación (5) para obtener el periodo de este modo se tiene que:

𝜔1 = (12.61)2

4− 9.012 = 𝑖6.44 𝑠−1 y propagando errores ∆𝜔1 = 𝑖0.08 𝑠−1 por lo tanto

𝝎𝟏 = 𝒊(𝟔.𝟒𝟒± 𝟎.𝟎𝟖)𝒔−𝟏

Como se puede ver la frecuencia de oscilación del oscilador amortiguado es un numero complejo

esto quiere decir que el sistema esta poco amortiguado es un caso de subamortiguamiento.

Y para calcular el periodo sustituimos en la ecuación (5)

𝑇 =2 × 𝜋

𝜔1 =

2 × 𝜋

6.44= 0.97 𝑠

De esta manera

𝑻 = (𝟎.𝟗𝟕± 𝟎.𝟎𝟖)𝒔

Por último calculamos el tiempo de vida que está dada por la ecuación:

𝜏 =2

𝛽 Sustituyendo los por los valores obtenidos anteriormente resulta que:

𝜏 =2

12.61 𝑠−1 = 0.16 𝑠 Propagando el error se obtiene:

𝝉 = (𝟎.𝟏𝟔± 𝟎.𝟎𝟔)𝒔

CONCLUSION:

Mediante la experiencia pudimos cumplir con los objetivos propuestos en el resumen.

Por un lado con el resorte en posición de equilibrio hallamos la constante de elasticidad que

depende de cada resorte tanto factores geométricos como el tipo de material es decir depende de

la forma y tipo del resorte en nuestro caso particular estimamos que el valor de la constante de

recuperación de nuestro resorte es

𝑘 = (3.8158 ± 0.0021)𝑁

𝑀 luego valiéndonos de esta información hallada estimamos el valor de

la frecuencia natural del sistema ωo = (9.01 ± 0.04)s−1 . por otro lado estudiamos como varia la frecuencia de resonancia para

luego estimar la constante de amortiguamiento debido al rozamiento con el aire β = (12.61 ± 0.06)s−1 para finalmente conseguir la frecuencia de amortiguamiento del sistema ω1 = i(6.44 ± 0.08)s−1 al obtener un numero complejo quiere decir que es un sistema poco

amortiguado ya que el rozamiento con el aire presenta poca viscosidad también obtuvimos el

tiempo requerido para completar una oscilación (periodo) T = (0.97 ± 0.08)s también el tiempo

de vida τ = (0.16 ± 0.06)s de las oscilaciones amortiguadas. De esta manera estudiamos

experimentalmente el movimiento armónico amortiguado de una masa sujetada en el extremo

libre de un resorte.