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7/21/2019 MECANICA GENERAllll

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1. Propiedades fundamentales de un fluido real

1.1. Introducción

Los fluidos son sustancias que fluyen, esto es, son materia en una forma tan fácilde distorsionar que no se puede decir que poseen una forma propia. A diferenciade los sólidos, en los cuales un esfuerzo cortante, aplicando por un tiemposuficientemente largo, producirá el cambio de forma que se desee.Por tanto, la propiedad mecánica fundamental de un fluido se refiere a que unfluido en reposo no puede existir ningún esfuerzo cortante.Los fluidos pueden clasificarse en dos categorías: (a) líquidos y (b) gases.

Los líquidos son prácticamente incompresibles; poseen un tamaño definido, perotoman la forma del recipiente que los contiene.Los gases se comprimen con facilidad; adoptan tanto la forma como el tamaño delrecipiente que los contiene y, si se les deja en libertad de expandirse, lo hacenindefinidamente.

Densidad

Su símbolo es ρ, y se define como la masa por una unidad de volumen con

dimensiones de

(unidades de

Gravedad específica (S)

Es la razón de la densidad de u fluido a la de alguna sustancia o fluido estándar.Para los líquidos, este estándar es el agua, usualmente a 4°C.

Comprensidad

La magnitud de la resistencia que un fluido ofrece a la compresión se expresa pormedio de lo que se denomina módulo de elasticidad volumétrico, K. si unacantidad de fluido a presión

y volumen

se somete a un incremento de presión

y este incremento provoca una variación del volumen , entonces

Módulo de elasticidad volumétrico,



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Dado que la deformación volumétrica es adimensional, K tendrá las unidades de lapresión, es decir, o (ya que Por tanto, para el agua, El reciproco de K es una medida directa de la comprensibilidaddel fluido.

Tensión superficial

Los efectos aparentes de la tensión, que se presentan en las superficies de loslíquidos cuando las superficies están en contacto con otro fluido o dolido,dependen fundamentalmente de la magnitud relativa de las fuerzasintermoleculares de cohesión y adhesión. En una superficie liquida en contacto conla atmosfera, la tensión superficial se manifiesta con una “piel” aparente sobre la

superficie, que resistirá cargas pequeñas. La tensión superficial, σ, es la fuerza en

superficie liquida, normal a una línea de longitud unitaria en la superficie:

y tiene dimensiones de o .Por ejemplo, el a 20°C posee una tensión superficial de 0.073 .

Presión de vapor

Todos los líquidos tienden a vaporizarse, es decir, cambian del estado líquido algaseoso. Si el espacio sobre el líquido está cerrado, las moléculas de gas queescapan de su superficie ejercen su propia presión parcial, conocida como presiónde vapor líquido. La presión de vapor aumenta con la temperatura.La ebullición tiene lugar cuando la presión arriba del líquido es igual o menor quela presión de vaporPor ejemplo, a 20°C el agua tiene una presión de vapor de 2337 y a 100°Ctiene una presión de vapor de 101325 .

Viscosidad

Un fluido no puede soportar esfuerzos cortantes en condición estática. Sinembargo, cuando existe una fuerza cortante y el flujo tiene lugar, entonces lavelocidad a la cual el fluido cede a la fuerza varía para diferentes fluidos. Lapropiedad en virtud de la cual un fluido puede resistir fuerzas cortantes al estar enmovimiento se denomina viscosidad.



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La ley de la viscosidad de newton afirma que el esfuerzo cortante es directamenteproporcional a la velocidad de deformación por corte (gradiente de velocidad),donde la constante de proporcionalidad está definida como el coeficiente deviscosidad absoluta, es decir,

(para un movimiento paralelo en línea recta),

Donde esfuerzo córtate,

gradiente de velocidad o velocidad de deformación en corte, y

μ= coeficiente de viscosidad absoluta

(nota: en los sólidos, , o sea, esfuerzo cortante α deformación por

corte.)

Por tanto ⁄ , lo cual se expresa dimensionalmente:

Condición “sin deslizamiento”

El efecto de la viscosidad es tal que las partículas del fluido inmediatamenteadyacente a una superficie solida no se mueven con respecto a esa superficie.

Las unidades usuales son N s/m2, centipoise (cP) (=10-3 N s/m2).De manera alternativa, dado que

, las dimensiones de la

viscosidad pueden expresarse como

, con unidades usuales

de .

Fluido newtoniano

Este es un fluido que obedece la ley de newton para flujo viscoso. Esto es, μ es

constante con respecto a la velocidad de corte ⁄ para una temperatura y unapresión dadas.



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Viscosidad cinemática

Su símbolo es y se define comola razón de la viscosidad absoluta a la densidad

del fluido, es decir,

Algunas unidades usuales son m2/s o Stokes (cm2/s)

Comúnmente se utilizan algunas unidades empíricas, relacionadas con el tiempo quetarda el fluido en pasar por un orificio estándar; de esta manera, en gran Bretaña seutilizan los segundo redwood y en estados unidos los segundos saybolt.

Estas unidades pueden convertirse a m2/s o a Stokes por medio de relaciones empíricas.

Fluido ideal

Se trata de un fluido en el cual los efectos debidos a la viscosidad, a la tensión superficialy a la presión de vapor son cero. Un líquido ideal también es incomprensible.

El concepto de fluido ideal es de utilidad en la solución de un gran número de problemasde fluidos.

Diagrama reologico (reograma)

Es una gráfica de τ, el esfuerzo viscoso, contra el coeficiente diferencial . En esiguiente diagrama se ilustran, para su comparación, tanto los fluidos newtonianos (unalínea recta que pasa por el origen) como tres tipos de fluidos no newtonianos.



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1.2 Ejemplos desarrollados

Ejemplo 1.1

En el siguiente diagrama se muestran dos placas que se encuentran a una distanci a ∆yuna de la otra . la placa inferior esta fija y la superior se encuentra libre para moverse bajola acción de una masa de 25g, como se muestra. Si el fluido entre placas es aceite dericino(con viscosidad absoluta de y el área de contacto de la placasuperior con el aceite es de 0.75m2, encuentre la velocidad de la placa superior cuando ladistancia que separa las placas es de 1cm.

Solución:

Ley de viscosidad: y si τ es constante,

..

De ahí que

.

Fuerza gravitacional sobre masa * + .

Esfuerzo cortante viscoso * +

Por tanto,

* +



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O sea, para el fluido (nota: para la placa inferior u=0 debido a la condición “sin deslizamiento”.)

De igual manera, la velocidad de la placa es de 0.503

debido a la condición “sin

deslizamiento”.

Ejemplo 1.2

En el siguiente diagrama se muestra una placa de peso insignificante, que se muevehacia arriba por la acción de una fuerza F cuando está situada de manera equidistanteentre dos superficies fijas. Los espacios a ambos lados de la placa movible se llenan depetróleo, con viscosidad absoluta de . Si el área de contacto a amboslados de la placa movible es de 2.5m2, encuentre el valor de la fuerza que se ejerce sobrela placa se su velocidad es constante a 2.5mm/s.

Solución:

Área total de contacto de la placa ;

* + * +

Ejemplo 1.3

En el siguiente diagrama, el espacio total entre las paredes fijas es de 12.7mm. Una placade dimensiones infinitas se jala hacia arriba entre un fluido de etilenglicol a la izquierda yun fluido de propilenglicol a la derecha. Encuentre la posición lateral de la placa cuandoesta llega a su posición de equilibrio, si el espesor de la placa es de 0.7937 mm.



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Solución:

Cuando la placa se encuentra en su posición de equilibrio lateral, el esfuerzo cortante encada lado es el mismo.

O sea, (∆μ es igual en ambos lados).

Por tanto,

Sin embargo,

Ejemplo 1.4

La presión que se ejerce sobre un líquido aumenta de 500 a 1000 kN/m2. El volumendisminuye en 1%. Determine el módulo de elasticidad volumétrico del líquido.

Solución:

Módulo de elasticidad volumétrico

Ahora, ,

y

Por lo tanto



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Ejemplo 1.5

El agua a 20°C posee un módulo de elasticidad volumétrico de Determine qué incremento de presión se requiere para disminuir su volumen en 1%

Solución:

4. MEDICIONES DE FLUJO

4.1 Introducción

Un estudio completo de las mediciones de flujo debe comprender mediciones deviscosidad y presión, así como también mediciones de velocidad y caudal.El trabajo de este capítulo se limita a los medidores de caudal cuyo funcionamiento sebasa en una diferencia de presión inducida.

4.2 Medidor de flujo Venturi

En su forma más sencilla, el medidor de flujo Venturi es un tubo corto cuya seccióndisminuye gradualmente a partir de los extremos, hasta formar en el medio una garantade diámetro más pequeño. Conforme el fluido pasa por el Venturi, su altura dinámicacinética (u2/2g) aumenta al acercarse a la garganta. En consecuencia, y dado que la altura

manométrica para medir la altura manométrica entre la entrada y la garganta.



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Para un fluido ideal, de acuerdo con la ecuación de Bernoulli,

Continuidad:

Y

Para un Venturi horizontal,

De donde

Aplicando los principios manométricos al nivel común A- A’ en la figura anterior,

Pero (mismo nivel) y, por tanto,

Dividiendo entre y reordenando, obtenemos



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De ahí que

Donde S es la gravedad especifica.

Fluido real

La fricción por viscosidad entre la entrada del Venturi y la garanta provoca una pérdida dealtura o degradación de energía, hf la altura manométrica medida será mayor que lacorrespondiente a un fluido ideal, y tanto la velocidad como la descarga, calculadas deacuerdo con las ecuaciones ideales, serán muy grandes. Por ello, las ecuaciones develocidad y descarga deben corregirse.

Definiendo, (coeficiente de velocidad),

Definiendo, (coeficiente de descargas),

En esta aplicación en particular, C D = C u. Dado que la altura manométrica medida esmayor que la altura manométrica ideal, tanto C D como C u son menores que la unidad.

(Usualmente tienen valores de alrededor de 0.97.) Aplicado la ecuación de Bernoulli, para un fluido ideal.



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Comparando (a) y (b), se observa que

De donde .

4.3 Orificio de arista viva

Se trata de una placa en la cual se ha perforado un orificio, que puede estar biselado paraobtener un borde afilado. Esta placa puede fijarse en uno de los lados de un tanque o enuna tubería o ducto. Este tipo de medidor de caudal es más barato que el medidor

Venturi, aunque implica un mayor grado de degradación de energía.Después de pasar por el orificio, la corriente del fluido continua contrayéndose por unadistancia corta (aproximadamente igual al diámetro del orificio) aguas abajo, antes deretornar la forma de lados paralelos. En esta sección, la presión a través de la corriente esuniforme y el área de sección transversal de corriente alcanza un mínimo, conocido comovena contracta.

En el caso del orificio en tubería, la corriente se expande más allá de la vena contractapara volver a llenar la tubería, aunque esta expansión va acompañada de la formación deremolinos y de una considerable degradación de anergia.

Orificio en el lado de un tanque

Dado que el área aguas arriba es grande comparada con las áreas del orificio y de lavena contracta, la velocidad de aguas arriba, conocida como velocidad de aproximación,puede tomarse como cero.La ecuación de Bernoulli, de la superficie del agua a la vena contracta, es



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Para un fluido real se toma en cuenta la degradación de energía:

No es conveniente incluir el área desconocida de la vena contracta, A2 .

Definiendo, O De donde (C C y C u se obtienen experimentalmente)

Ahora, para un fluido ideal (sin degradación de energía ni contracción),

Y dado que el coeficiente de descargar entonces

y

Orificio en tubería

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre una sección aguas arriba (1) y la vena contracta

(2), obtenemos un resultado similar al del medidor Venturi.

Sustituyendo A2 por A0CC obtenemos:



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Dado que esta expresión es compleja y que incluye dos coeficientes, con frecuencia laecuación de flujo se reduce ya sea a

O bien a (similar al orificio en el tanque, donde C no es el coeficiente de

descarga)

4.4 Tobera de medición

En esencia, se trata de un medidor Venturi sin difusor. Puede adaptarse dentro o al finalde una tubería. Las expresiones que se obtuvieron para una descarga a través delmedidor Venturi se aplican a una tobera. La ausencia del difusor provocara la formaciónde remolinos, por lo que la degradación de energía en una tobera es mucho mayor que enun Venturi.

4.5 Tubo de Pitot

En su forma sencilla, un tubo de Pitot es un tubo de vidrio con un extremo doblado a 90°que se sitúa en una corriente de líquido, con la abertura frente a la corriente. Inicialmente,el líquido se introduce en el tubo hasta que su energía cinética se convierte en energíapotencial. A partir de ese momento, el tubo lleno de líquido se comporta como un cuerposólido.



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La corriente de líquido fluye alrededor del tubo, y la línea de corriente central, cuyaenergía es (p/ρg +u2/2g) (donde p y u son los valores sin distorsionar aguas arriba deltubo), alcanza el reposo en la nariz del tubo de Pitot, punto A en la figura, sin degradaciónde energía. Por consiguiente, la altura de presión en A es (p/ρg +u2/2g). Sin embargo, laaltura de presión en A es igual a la altura estática del líquido en el tubo, es decir, (h + H).

En caso de que existe una superficie libre del líquido en OO’, (vea la figura).

De ahí que

O Debido a que el líquido en A esta estancada, A se denomina punto de estancamiento y lapresión en ese punto es la presión de estancamiento.

4.6 Tubo de Pitot estático

En la figura anterior, cuando OO’ no es una superficie libre, p/ρg ≠ H y se requiere medir

p/ρg de alguna manera.Los tubos de Pitot estáticos son una combinación de tubo de Pitot y tubo estático; puedenestar separados o combinados en la misma cubierta (vea la siguiente figura).

Con el tubo de Pitot se mide la altura de Pitot (=p/ρg +u 2/2g).Con el tubo estático se mide la altura estático (=p/ρg), es decir

Al conectar un manómetro entre los dos tubos, la altura manométrica hm será igual a ladiferencia u2/2g, con lo que se obtiene El tubo de Pitot estatico combina estos dos tubos y mide únicamente la velocidad local delflujo; no mide el caudal, a menos que se efectúen mediciones a lo largo del ducto. Si sediseña en forma adecuada, de acuerdo con normas británicas, no se necesitara un

coeficiente de corrección para el medidor; de lo contrario, En la norma Bristish Standard 1042 se pueden obtener valores de coeficientes dedescarga para todas las configuraciones usuales de flujo.




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Ejemplo 4.1

Se transporta aceite con gravedad específica de 0.88 por una tubería horizontal de 50 mmde diámetro, equipada con un medidor Venturi cuyo diámetro de garganta es 0.4 veces eldiámetro de la tubería. La caída de presión entre la entrada y la garganta se mide por

medio de un manómetro en U con mercurio de gravedad específica de 13.6, y ladiferencia de niveles en las columnas se lee como “x” mm. El coeficiente de descarga

para el Venturi es de 0.95. Demuestre que la velocidad de es

√ ¿De qué manera se modificara esta expresión si la tubería esta inclinada en θ grados

respecto a la horizontal?

Solución:

Que es independiente del termino z.

√

√ La expresión no cambia al variar θ.

Ejemplo 4.2

Se utiliza un medidor Venturi para medir el caudal de gasolina que sube por una tuberíainclinada a 35° respecto a la horizontal. Se mide la presión en la entrada y en la gargantadel medidor, con una distancia de 0.45 m entre los puntos de medición. Los diámetros deentrada y de la garganta son de 0,3 m y de 0,15 m respectivamente, y la diferencia en losniveles de mercurio en un manómetro conectado a lo largo del medidor es de50mm.Calcule el caudal en .Suponga que para el medidor.



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Ahora, si el manómetro se sustituye por dos manómetros de Bourdon situados en laentrada y en la garganta, encuentre la diferencia entre las lecturas manométricas para elmismo caudal. Las gravedades especificas son 0,78 para la gasolina y 13,6 para elmercurio.

Solución:

Como el ejemplo 4.1, con la forma original de ,

Ahora,

Donde ()

Y

Es decir , de gasolina.

Sin embargo, en manometría

Por tanto,



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Ejemplo 4.3

Gasolina que proviene de un tanque que pasa por un medidor Venturi vertical condiámetro de entrada de 150mm y diámetro de garganta de 375mm.La entrada seencuentra 380mm arriba de la garganta. Si instalan manómetros en la entrada y en lagarganta .Suponiendo que la degradación de energía entre la entrada y la garganta puedeexpresarse como , donde es la velocidad del flujo en la entrada, la diferencia depresión entre la entrada y la garganta resulta ser de .Encuentre el valor delcoeficiente de descarga y el caudal que pasa por el medidor, en .Suponga que lagravedad especifica de la gasolina es de 0,78.

Solución:

Ecuación de Bernoulli de 1 a 2:

Ecuación de continuidad de 1 a 2:

()

Por tanto,



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Así,

Donde

y

cuando no existe degradación de energía ,

Y por tanto

Altura manométrica

Ejemplo 4.4

El medidor Venturi de la siguiente figura se utiliza como instrumento de succión. Por



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medio de la ecuación de Bernoulli, determine el caudal volumétrico del aire que pasa porel Venturi en el instante en que se inicia la succión del liquido en la corriente de aire.Suponga que, en este caso , el aire es un fluido ideal incompresible. Considere que lasdensidades del aire y del liquido son de 1,25y 800 respectivamente.

Solución:

Datos, ;

Ecuación de Bernoulli de 1 a 2

Ecuación de continuidad de (1) a (2):

o

Por tanto,

Combinando ecuaciones,

Para el tubo de succión,

Por tanto ,

Ejemplo 4.5

Un orifico de 0,025m de diámetro descarga agua a una velocidad de 13,25 l/s; la alturaarriba del orificio es de 61m.Si el diámetro del chorro es de 0,023m, calcule :

a) El valor de todos los coeficientes



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b) La potencia del chorroc) La degradación de energía en el orificio

Solución:

Por tanto, coeficiente de velocidad ,

Coeficiente de contracción,

Coeficiente de descarga

Ejemplo 4.6

Un orificio de 0,025m de diámetro se encuentra en una placa que divide en doscompartimentos un tanque con agua. En un lado de la placa el nivel del agua se halla 6marriba del edificio y la superficie del agua se encuentra a presión atmosférica; del otrolado, el nivel del agua se encuentra 1,2m arriba del orificio y el aire que se halla arriba delagua se mantiene a una presión manométrica de 70.Determine el caudal del aguaque pasa por el orificio si el coeficiente de descarga es de 0,80.



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Solución:

Por consiguiente, la dirección del flujo va de 1 a 2 y

De donde

Ejemplo 4.7

Un orifico de 0,030m de diámetro se utiliza para medir el caudal del aire que circula poruna tubería cuyo diámetro es de 0,050m.El coeficiente de descarga del orificio es de0,0063, y el coeficiente de contracciones de 0.63.De acuerdo con los principios básicos,

demuestre que si H es la diferencia de alturas de presión entre la sección aguas arriba delorificio y la vena contracta,en metros de agua, y es la densidad del aire,el caudal

en esta dado por cuando la masa por de aire es de 1,2.

Solución:

De acuerdo con los principios básicos (vea la sec.4.3.)



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Donde h es la altura a través del orificio.

Suponiendo una tubería horizontal ,

Por tanto,

Pero, de acuerdo con la ecuación de continuidad, Por tanto, * +

Ejemplo 4.8

Se coloco un tubo de Pitote estático en el centro de una tubería cuyo diámetro tiene0,2m, con una de las salidas de frente a la corriente y la otra perpendicular. La diferenciade presión entre las dos salidas fue de 0,037m de agua .El coeficiente del tubo es 1.

Suponiendo que la velocidad media del agua en la tubería es 0,83 veces la velocidadmáxima, calcule la descarga que pasa por la tubería.

Solución:



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Área de la tubería

De acuerdo con la ecuación de Bernoulli para la línea central de la tubería,

Donde , y es la presión de estancamiento.

Por tanto ,

Y

Ejercicios

1. Derive una expresión para cauadl volumétrico que circula por un medidor Venturi yexplique el efecto de la friccion por viscosidad sobre la medición de altura , comopuede tomarse esto en cuenta.

2. Una tubería cuyo diámetro tiene 100mm debe llevar un caudal máximo de agua de0,0341

, el cual se medira por medio de un medidor Venturi colocado de

manera horizontal, y de un manometro en U de mercurio cuya longitud maxiam deescala es de 600mm.Calcule el diámetro de la garganta del Venturi que serequerirá para obtener una deflexión maxiam del manometro con el caudalmaximpo.Suponga que es 0,96 para el Venturi y que la gravedad especifica delmercurio es de 13,6.

RESPUESTA:0,0591m

3. Se hace pasar agua a través de un medidor Venturi horizontal cuya razón diámetrode garganta/diámetro de entrada es de 0,5.Un manometro en U de mercurio,conectado entre una conexión aguas arriba y una conexión en la garganta,registrauna diferencia de 250mm entre los niveles de mercurio.Calcule la velocidad delagua en la garganta por medio de la ecuación de Bernoulli.Ignore la degardacionde energía.

RESPUESTA:8.12m/s

4. El centro de un orificio se encuentra 0,152m arriba del fondo de un recipiente quecontiene agua, con profundidad de 0,762m.El agua sale horisontalmete por el



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orificio y golpea el plano horizontal que se extiende por la base del recipiente auna distancia de 0,597m de la vena contracta.Calcule.

(a) El valor del coeficiente de velocidad del orificio(b) La degradación de energía en el orificio, en m de agua

(Sugerencia:El chorro que emana de la pared del recipiente disminuye

verticalmente bajo la acción constante de la aceleración de lagravedad.Utilice las leyes de la mecánica.)RESPUESTA:0.98,0.0238m

5. Un chorro de agua sale por un orificio, bajo una altura h.Demuestre que el angulode impacto del agua que golpea una mesa horizontla situada a una distanciavertical por abajo del orificio esta dado por

Un recipiente colocado en una mesa horizontal tiene una tobera convergente-

divergente 0,20m arriba de la base.El rrecipiente contiene agua a un aaltura de1,40m sobre la base.La tobera tiene un diámetro de a,a5m y se llena con el flujo.Siel chorro golpea la mesa con un angulo de 23° respecto a la horizontal, calcule

(a) El coeficiente de velocidad de la tobera(b) El caudal de descarga

(Supponga que el coeficiente de contracción de la tobera es de uno)

RESPUESTA:0.961,0,00916( ) .

5.ECUACION DE MOMENTO PARA EL FLUJO PERMANENTE DEUN FLUIDO NO VISCOSO INCOMPRESIBLE

5.1 Introducción

Segunda ley del movimiento de Newton:

Fuerza=velocidad de variación de momento,

o

Está es estrictamente una ecuación vectorial con componentes en tres direcciones

perpendiculares, digamos .

Por tanto, para un sistema en el que actúan varias fuerzas,

Resolviendo en la dirección de ∑ Resolviendo en la dirección de y, ∑



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Resolviendo en la dirección de z, ∑

Considere el flujo permanente unidimensional de un fluido dentro de un tubo de corrienteen dirección de x. Para una sección ABCD (denominada volumen de control) del tubo decorriente, las fuerzas que se ejercen en el límite son:

Así, ∑ (la fuerza debida al peso no se incluye ya que no tiene componenteen dirección de x).

Durante un breve intervalo de tiempo

el fluido que se encuentra dentro de ABCD se

desplazará a

Sin embargo, para un régimen permanente el momento dentro de ABCD permaneceráconstante. Por consiguiente, cualquier variación en el momento será igual a la diferenciaentre el momento en la salida de la sección 2 y el de la entrada de la sección 1.

Para un caudal de masa el momento en la entrada 1

Para un caudal de masa el momento en la entrada 2

Variación del momento= Por lo tanto, de acuerdo con la ley de Newton,

∑ , para el

volumen de control ABCD.

Estrictamente, para el tubo de corriente que muestra es claro que debe habercomponentes de velocidad en la dirección de y, por tanto, son los componentes develocidad en dirección de x.

Al expresar :



MECANICA GENERAL

. Al expresar

Obtenemos:

De manera similar, para un tubo de corriente bidimensional,

La segunda ley de newton se transforma en:



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De donde se pueden obtener F y

5.2. Aplicaciones

Impacto de un chorro en una placa fija

Chorro horizontal, superficie plana perpendicular al fluido que llega

Chorro vertical, superficie plana perpendicular al fluido que llega



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La velocidad del chorro en el momento del impacto será menor que Al aplicar laecuación de Bernoulli entre 1 y 2 obtenemos:

Chorro horizontal, superficie plana inclinada respecto al fluido que llega

En el caso de un fluido ideal, la velocidad del chorro permanece constante después delimpacto.

Para calcular

Ecuación de la continuidad:

Momento en dirección de y:∑ ……………………………………………(1)

……………………………………………………………………(2)

Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 obtenemos al sumar:



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(al restar)

Chorro horizontal de un fluido real, que golpea una superficie curva

Debido a la viscosidad, la velocidad del chorro disminuirá conforme el chorro pasa sobrela superficie. Si k es la razón de la velocidad de salida a la velocidad de entrada,entonces

Al resolver en dirección de x obtenemos:

De donde:

Fuerza que se ejerce sobre una tobera

Para calcular la reacción entre un fluido y una tobera, y la fuerza neta que se requierepara mantener la tobera en posición cuando un fluido de gravedad específica S y a unapresión p justo aguas arriba de la tobera se descarga a la atmosfera: supongamos que F

es la reacción entre el fluido y la tobera.



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Ecuación de momento: ∑ Ecuación de Bernoulli:

Ecuación de continuidad:

De esta forma, F puede calcularse a partir de la ecuación de momento.

Degradación de energía en un ensanchamiento brusco de una tubería

En un ensanchamiento, la corriente del fluido se expande gradualmente para ocupar lanueva sección transversal. En este proceso se forman remolinos, que provocan unaconsiderable turbulencia y degradación de energía.

Ecuación de la continuidad :

Para valores conocidos de d1 y

d2 puede calcularse A1 y A2, de

donde a su vez se calculan u1 y

u2 ya que p1 y p2 y p son

valores conocidos. Entonces



MECANICA GENERAL

Ecuación de momento: Sin embargo, se ha encontrado de manera experimental que es aproximadamenteigual a

Por tanto

Ecuación de Bernoulli (para calcular la degradación de energía en el ensanchamientobrusco):

Y, sustituyendo en ecuaciones anteriores,

Degradación de energía

Si la salida desemboca en un recipiente grande (p. ej., un depósito),

Degrad ación de energía en una co ntr acc ión br us ca d e una tub ería

Después de pasar por una contracción brusca, el fluido forma una vena contracta demanera similar al flujo a través de un orificio. La degradación de la energía ocurredespués de la vena contracta, cuando la corriente del fluido se expande para ocupar lasección transversal de la tubería.

Entre las secciones 1 y 2:



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Y, como en el caso de una expansión brusca,

Degradación de energía

Sin embargo,

(donde es el coeficiente de contracción)

Y dado que

, entonces

Sustituyendo para

Sin embargo, en la práctica se ha encontrado que la degradación de energía puede llegar

hasta , y éste es el valor que normalmente se toma en cuenta.

Boquilla

Boqu i l la uniform e externa

La descarga a través de un orificio puede incrementarse colocando un tramo corto detubería alrededor del orificio. Una corriente líquida que pase por el orificio se contraerá enuna vena contracta, para después divergir y ocupar la totalidad de la sección transversal

de la tubería.



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Para el ensanchamiento entre la vena contracta (1) y la salida del tubo (2).

Dado que es atmosférica, la altura de presión será menor que la atmosférica. Portanto, la altura hidrostática ( ) entre la superficie libre en el tanque y la vena contracta

se incrementa como resultado de la colocación de la boquilla. Al aplicar la ecuación deBernoulli entre la superficie libre y la salida del tubo, haciendo caso omiso de ladegradación de energía aguas arriba de la vena contracta ( ).

Donde

es la degradación de energía debida al ensanchamiento entre 1 y 2.

y al asignar Es decir, ( ) Boqu i l la externa conv ergente-divergente

Esta boquilla disminuye la degradación de energía entre la vena contracta y la salida(compae con el Venturi).

Al tomar en cuenta los efectos por la fricción, ,

.



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(Nota: Si, como resultado de la colocación de la boquilla, la presión en la vena contractadisminuye a aproximadamente 0.25 bar, los gases disuelto en el fluido pueden separarsede la solución para así reducir la eficacia de la boquilla.)


Ejemplo 5.1

Se descarga agua verticalmente hacia abajo, desde una tubería cuyo diámetro es de 0.2m, en un tanque colocado sobre una báscula. La salida de la tubería se encuentra almismo nivel que la parte superior del tanque, que mide 3m de alto y posee un diámetro de1.25 m. Algunas mediciones con tubo de Pitot indican que la velocidad media del agua ala salida de la tubería, es de 2,7 m/s.Calcule el porcentaje de error en el pesaje debido a la fuerza dinámica del chorro si laslecturas de la escala se toman cuando el agua tiene 3 m de profundidad al principio y 2.8m al final.

Solución:

Peso del agua al inicio

Peso del agua al final De la ecuación de Bernoulli,

,

,



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Fuerza * + Y

Por tanto, la lectura (A) de la báscula

Y la lectura (B) Por lo que el peso registrado

Peso real Porcentaje de error

Ejemplo 5.2

Un chorro de agua que fluye en un plano horizontal se divide en dos partes iguales, comose muestra en la siguiente figura, por medio de un deflector fijo. Calcule la magnitud ydirección de las fuerzas en el deflector, en las direcciones x y y, sin tomar en cuenta ladegradación de energía.

Solución:

Si no existe degradación de energía, Los caudales volumétricos son:

( )



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(

)

* +

Ejemplo 5.3

Un chorro bidimensional de agua golpea una pared plana con un ángulo de 60°. El chorro

tiene un espesor de 80 mm y su velocidad es de 10 m/s. Calcule la fuerza normal que seejerce sobre la pared, por unidad de ancho, y el espesor de cada una de las dos capas deagua que fluyen por la pared. Remítase al diagrama y no tome en cuenta los efectos de lagravedad y viscosidad.

Solución:

Fuerza sobre la pared, por unidad de ancho:

* + √ Es decir, en dirección opuesta a la que se muestra en la figura.No existe ninguna fuerza paralela a la pared debido esfuerzos cortantes, por lo que nohay variación en el momento en esa dirección La velocidad de la corriente no varía si laviscosidad es insignificante.



MECANICA GENERAL

Ecuación de momento: (cuando no hay variación)Es decir,

Y, de (1) y (2) O sea,

Por tanto Ejemplo 5.4

Un tubo con diámetro de 0.15 m se dobla a 90°en un plano horizontal, y al doblarsedisminuye su diámetro en forma gradual a 0.07 m. La presión manométrica en el extremo

ancho del tubo es de 206 Calcule la magnitud y dirección de la fuerza horizontal

resultante sobre el codo cuando un caudal de 0.06 de agua circula por la tubería. Laentrada y la salida del tubo se encuentran en el mismo plano horizontal. La degradaciónde energía es insignificante.

Solución:


Ecuación de continuidad:



MECANICA GENERAL

Por tanto

( )

Por lo tanto, √ Por consiguiente, la fuerza de reacción en el codo con un ángulo ϴ respecto a lahorizontal, como se muestra.



MECANICA GENERAL

Ejemp lo 5.5

Un ensanchamiento cónico en una tubería vertical mide 1.5 m de largo y ensancha eldiámetro de la tubería de 0.3 m en el extremo bajo a 0.6 m en el extremo más ancho.Calcule la magnitud y dirección de la fuerza vertical sobre el ensanchamiento cuando uncaudal de 0.28 m3/s de agua fluye de manera ascendente por la tubería y la presiónmanométrica en el extremo angosto del ensanchamiento es de 207 kN/m 2. Suponga quela degradación de energía en el ensanchamiento puede expresarse como

donde y son las velocidades del flujo en la entrada y la salida, respectivamente.

Solución:



MECANICA GENERAL

Ahora,

(∆s similar);

(ascendente en el agua).

Ejemp lo 5.6

Una tobera cuyo diámetro mide 0.1 m esta fija por medio de 8 pernos al reborde de unatubería horizontal con diámetro de 0.3 m, y una descarga agua a la atmosfera. Calcule lacarga sobre cada perno cuando la presión manométrica en la tubería es de 550 kN/m2.Suponga que para la tobera, Cu=0.98 y CC=1.0



MECANICA GENERAL

Solución:

De donde se obtiene y

Ejemp lo 5.7

Un caudal de agua fluye a 0.075 m3/s por una tubería e la que existe una variación bruscade sección, de un diámetro de 0.25 m a uno de 0.35 m. calcule la degradación de energía,la diferencia de altura de presión a través de sección y la potencia que se requiere paravencer la degradación de energía, si el agua fluye de la sección más angosta a la másancha.



MECANICA GENERAL

Calcule de nuevo la potencia para el caso del flujo en dirección opuesta. Considere queCC=0.6

Solución:

Ejemp lo 5.8

Un tubo de 0.1 m de diámetro está unido, en una tubería, a un tubo de 0.15m de diámetro.Entre los rebordes de conexión hay una placa sujeta por medio de pernos, en la cual se



MECANICA GENERAL

ha practicado un orificio de arista viva cuyo diámetro es de 60 mm. El agua fluye con uncaudal de 0.34 m3/min desde la sección más pequeña a la más grande. Suponga que elvalor de Cu para es de uno y calcule la diferencia de presión entre los dos tubos.Considere que CC para el orificio es de 0.61 y suponga que la velocidad es uniforme através de los tubos en los cuales se toman las mediciones.

Solución:

* +



MECANICA GENERAL

Ejemplo 5.9

Se descarga agua desde un tanque a través de un orificio cuyo diámetro tiene 75 mm yque se encuentra en la pared del tanque. Calcule el caudal de descarga cuando l alturaarriba del orificio es de 1.25 m, y CD=0.6

Se coloca sobre el orificio una boquilla externa con forma de tramo de tubo, cuyo diámetrointerior es de 75 mm. Dentro de la boquilla, el flujo de agua se contrae a 0.6 veces lasección transversal del tubo para posteriormente expandirse hasta llenar el tubo. Calculeel porcentaje de incremento en el caudal que se obtiene al colocar la boquilla.

Solución: √



MECANICA GENERAL

Ejemplo 5.10

Un orificio de arista viva con área A se encuentra en el fondo de una vasija que contieneagua a una profundidad h. El orificio está equipado con un tubo exterior de área similar Ay longitud L. Después de pasar a través del plano del orificio, el agua se contrae hasta undiámetro igual a 0.6 veces A, para posteriormente expandirse hasta llenar el tubo exterior.Calcule el caudal de descarga en términos de h y L, tomando en cuenta que la fricción porviscosidad en el orificio es insignificante. Considere que la vena contracta se presenta enel plano del orificio y calcule la presión en ese lugar con respecto a la atmosfera.

Solución:



MECANICA GENERAL

Ejemplo 5.11

Una tobera convergente-divergente esta fija en la pared de un tanque abierto quecontiene agua y, bajo una altura constante de 2.5 m arriba de la línea central de la tobera,descarga hacia la atmosfera.Calcula la razón del diámetro e salida al diámetro de garganta de la tobera para unadescarga máxima, efectuando las siguientes suposiciones:

(a) La altura del barómetro de agua es de 10.4 m.(b) La separación de gases disueltos tendrá lugar a una altura absoluta de 2.2 m.(c) La única degradación de energía hidráulica ocurre en la porción divergente de la

tobera, y corresponde al 20% de la degradación de energía que ocurriría en unensanchamiento brusco para la misma variación de área.Si el diámetro de la garganta es de 40 mm, calcule la descarga máxima.

Solución:



MECANICA GENERAL

√

√

√

√ .

6.CIRCULACIÓN DE FLUIDOS VISCOSOS INCOMPRESIBLES ENTUBERÍAS

6.1.INTRODUCCION

La circulación de fluidos por tuberías puede ser laminar o turbulento, de acuerdo con lasdefiniciones de la pagina XIV. El flujo en una tubería cerrada es el resultado de unadiferencia de presión entre la entrada y la salida. La presión varia con las propiedades delflujo es significativa en comparación con la velocidad sónica del medio fluido (como en lecaso de flujos compresible), la velocidad sónica también debe tomarse en cuenta.



MECANICA GENERAL

Por medio de la técnica de análisis dimensional (que se estudia en le siguientecapitulo).puede demostrarse que un problema general del flujo en tuberías puederesumirse como:

Un análisis de dimensión revela que

Donde el termino de la izquierda se denomina coeficiente de presión (cuando se multiplicapor ½ para que el denominador se convierta en un termino de energía cinética).el termino

de se denomina numero de reynoa del flujo y

es el numero de mach del flujo.

Puede demostrarse con facilidad que cada uno de estos términos es una razon defuerzas- en particular, el numero de reynos, de importancia en este capitulo, puedeexpresarse como

El numerador es una fueza de inercia y el denominador es una fuerza debida alaviscosidad.por consiguiente, el numerador de reynos es la razon de las fuerzas deinerciaa las furzas por viscosiada en le flujo.puede demostrase que el primer termino es larazon de fuerzas de presion alas fuerzas de inercia ,mnientras que el numero de machesd larazon de la fuerza dinamica ala velocidad del flujo, ala fuerza diamica ala velocidaddel sonido.

Un flujo real que circula por una tuberia muestra una resistencia al flujo debida al esfuerzo

cortante por viscosidad entre fluido y la pared de la tuberia



MECANICA GENERAL

Al aplicar la segunda ley del movimiento de newton al elemento del fluido que se muestraen la figura anterior,obtenemo

Fuerza=velocidad de variacion del momento

y al resolverlo alo largo de la linia de corriente

donde P es el perimetro mojado.

Con refrencia al capitulo3.pagina34,donde se derivo la ecuacion de Euler ,utilizamosahora la derivada total

Al dividir entre reordenamos se obtiene

Para un flujo compresible (y suponiendo que el esfurzo cortante r no varíacon s como en una tubería uniforme, si integramos respecto a s

Así entre puntos 1 y2, separamos por una distancia L

Ahora



MECANICA GENERAL

fomula de Darcy

este resultado es valido para el flujo laminar turbulento .se debe seleccionar un valor se fapropiado, tomando de alguna fuente de informacion determinada de maneraexperimentsl para cada caso particular (POR EJMPLO UN DIAGRAMA DE MOODY)

par una tuberia de seccion diferente de la circular ser utiliza un diametro equivalente ded2 de manera que

4.2 FLUJO ENTRE DOS DEPÓSITOS

Degradación de energía:

Cuando un flujo circular entre depósitos ocurre una degradación de energía mecánicadebido principalmente ala fricción en la tubería, aunque también a cambios bruscos desección, por ejemplo en la entrada y la salida de la tubería.



MECANICA GENERAL

Ecuación d Bernoulli entre la superficie de los dos depósitos de la figura:

Para tuberías largas, el termino (

) es muy grande comparación con1.5 y en tales casos

puede ignorar la degradación en la entrada en la salida



MECANICA GENERAL

Gradiente hidráulica

En la figura del pagina 81 abcd representa la altura total y AB en la tubería representa laaltura de potencial en cualquier punto. La diferencia entre estas alturas representara lasuma de las alturas de presión y cinética. Si se traza una línea por debajo de la línea de la

altura total y una distancia de esta línea, entonces la diferencia entre ed. y abrepresentara la altura de presión. El gradiente ed. se denomina gradiente hidráulico

Para una tubería uniforme, ed. es paralela abc y la distancia vertical entre e y d es h f di Les la distancia entre los depósitos, entonces el gradiente hidráulica

En tuberías largas

Las irregularidades verticales en la tubería son usualmente pequeñas en comparación conlas distancias horizontales. La longitud de la tubería puede tomarse como la distanciahorizontal entre los depósitos

La altura de presión en una tubería es igual ala distancia vertical entre la línea central dela tubería y el gradiente hidráulico .entre A y B, como entre C y D. la altura de presión espositiva, es decir. La presión es mayor que la atmosfera .en B Y C .la altura d presión esnegativa y la presión esta dado por debajo de la atmosfera

Una tubería que se eleva sobre su gradiente hidráulico se conoce como sifón. Opresiones

menores que aproximadamente 2.5m de agua, los gases se separan del agua losuficiente para provocar un rompimiento en e flujo. Ninguna sección de la tubería debetener una presión menor que 2.5m de agua 7.5m arriba de su gradiente hidráulico

Presión en un punto de la tubería



MECANICA GENERAL

Para calcular la presión en n punto intermedio C

Aplique la ecuación de Bernoulli entre los depósitos para encontrar la velocidad en latubería

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre A y C obtenemos

Dado que

; ;

Tuberías en serie

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre Ay B obtenemos



MECANICA GENERAL

Tubería en paralelo

Al aplicar la ecuación de Bernoulli entre A y B para cada tubería obtenemos

Tuberías en serie y en paralelo

Aplique la ecuación de Bernoulli entre A y Descansando cualquier degradación de energíaexcepto la fricción en la tubería. La degradación debería ala fricción es igual a través delos tuberías 1 y 2 que atreves de la tubería 1 y 3 e decir

En la ecuación de continuidad obtenemos



MECANICA GENERAL

A partir de estas ecuaciones se puede calcular y el caudal

Observase que al instalar dos o más tuberías en paralelo se reducirá la resistencia porfricción y por tanto el caudal se incrementara

Así mismo observase que si las dos tuberías en paralelos poseen en la misma longitud,

diámetro y su rugosidad, el flujo se dividirá equivalentemente entre ellas.

Tuberías con bombas

La bomba es necesaria para proporcionar al agua más altura suficiente, que permitaincrementar la altura de potencial en H y vencer la degradación en energía h f

Altura requerida para bomba=H+hf

Energía requerida/unidad de masa=g (H+hf )

Potencial requerida para bombas=vg (H+hf )

Si la eficiencia de la bomba es n, la potencia que la bomba requiere es = vg (H+hf )/n

Transmisión de potencia por tuberías

Una de la funciones de la tubería Esla trasmisión de potencia. Normalmente, el flujo querealiza el trabajo es aceite o agua (que se suponen incompresible).o bien, como en elcaso de los sistemas neumáticos, es el aire (flujo compresible).si H s la altura total inicial

(energía) disponible y hf es la degradación de energía dentro dela tubería debidito a la fricción por la viscosidad, entonces la

altura disponible en la salida de la tubería será (H+hf )

Esta altura puede trasmitirse será mg (H+hf) = vg (H+hf ), y la eficiencia de la trasmisión a través de latuberías (H+hf )/H.

Para el flujo en tubería, la perdida de la altura debido a la fricción es hf =4Flu2/2Gd



MECANICA GENERAL

V=A, dónde A es el área de la tubería

CONDICIÓN DE POTENCIA MÁXIMA

Derivando W respecto V

POTENCIA MAXIMA TRASMITIDA



MECANICA GENERAL

TOBERAS EN LA SALIDA DE UNA TUBERIA

Cuando la potencia se suministra en forma de un chorro de alta velocidad, se requiereuna tobera. Su suponemos que no existe degradación de energía en la tobera, la altura enla salida de la tobera se convierte talmente en energía cinética;

Donde Un= velocidad de la salida del flujo en la tobera

Para un tamaño dado de tobera, de acuerdo con la ecuación de continuidad de la masa,

Donde=A área de la sesión transversal de la tubería

An=área de la sección transversal de la tobera

Para la potencia máxima



MECANICA GENERAL

La degradación de energía en la tobera es significativa, se debe escribir de nuevo:

La condición para obtener W es también la condición para obtener el diámetro mínimoque se requiere en una tobera para trasmitir una potencia dad. Así

Para una transmisión máxima de potencia



MECANICA GENERAL

[ ]

[ ]

FACTOR DE FRICCION

El valor del factor de fricción f , depende del tipo del flujo que existe en la tubería que seconsidera, como se analizo con anterioridad. Se puede encontrar un valor único de f parael flujo laminar, como se muestra en el capitulo anterior respecto al flujo viscoso, pormedio de un razonamiento matemático adecuado.

Para el flujo turbulento, no es posible efectuar la derivada matemática de una distribuciónexacta de la velocidad de las tuberías. Por ello es necesario recurrir a técnicasdimensionales, razonamiento intuitivo y procedimientos experimentales para encontrar elvalor del factor de la fricción. El flujo cerca de la pared demuestra que existe un grannúmero de excresencias o protuberancias y cada una de ellas contribuye el efecto defricción. Puede demostrar que

Donde es una dimension caracteristica de la rugusidad de la pared o sencillamnete unaaltura promedio de las protuberencias. Por medio

del análisis dimensional se muestra que es la rugosidad relativa

Un diagrama de moody es una grafica de f contra el numero de reynos y y se puede

encontrarsele en cualquier texto estandar de flujos. A continuacion se muestra un



MECANICA GENERAL

bosquejo en el ejemplo anterior en uan seccion posterior en este capitulo

EJEMPLOS DESARROLLADOS

Ejemplo 6.1

En una tubería ABC que conecta dos depósitos tiene un diámetro de 75 mm. De A a B eshorizontal y de B a C descienda 3.3m. Las longitudes de AB y BC son de 24 m y 15mrespectivamente, si el nivel del agua del deposito en a es de 3.7m arriba de la tubería elnivel del segundo depósitos encuentran 1m arriba en C, calcúlese al cantidad de aguaque fluirá y la altura de presión absoluta en la tubería en B. suponga que f tiene un valorde 0.0006 y considerase que degradación de energía en la entrada es igual a1u2/2g.barométrico de agua muestra una lectura de 10.35

Solución:

Ecuación de Bernoulli de 1 a2

Ecuación de Bernoulli de 1 a B:



MECANICA GENERAL

Ejemplo6.2

Se descarga agua de un deposito por medio de una altura horizontal con 200mm dediámetro en una longitud de 1600mm otros 1600m .hay dos ángulos restos suaves encada tramo ,y la diferencia de la altura de presión estática entre los extremos entrada yde descarga tubería es de 35.5m .calcule la descarga en m3/s y la de gradación total deenergía en una tubería si el valor de f es de 0.008.considere que hf =0.45u2/2g cada

codo.

Solución:

Ecuación de Bernoulli de 1 a B:

Por lo anterior,

Y

Ejemplo 6.3



MECANICA GENERAL

Y la profundidad de la tubería bajo la cima = 9.1 - 4.1 = 5m.

Ejemplo 6.4

Una bomba envía un caudal de 0.0157 m3/s de agua de un deposito a otro cuya superficiese encuentra a un nivel 30.5 m arriba del primero. La tubería tiene un diámetro de 150 mm

en una longitud de 1.2 km, y cambia a un diámetro de 100 mm por el restante tramo de0.4 km.

El coeficiente de resistencia es de 0.009. Descarte cualquier degradación que no sea ladebida a la friccion en la tubería y calcule la potencia que se requiere para operar labomba, considerando que su eficiencia es de 0.7.

Solución:


Ecuacion de la continuidad:



MECANICA GENERAL

Ejemplo 6.5

Los tubos dentro de un enfriador de aceite poseen un diámetro exterior de 25 mm y unalongitud de 2.5 m, y todos están dispuestos de manera que los centros de tres tubosadyacentes forman un triangulo equilátero de 40 mm de lado. El enfriador contiene 150triangulos asi formados. Se bombea agua entre los tubos, en dirección longitudinal, a 3m/s. Calcule: (a) el caudal del agua, (b) la potencia que se requiere para vencer la friccionsi f =0.01.

Solución:

Diámetro hidráulico medio:

√



MECANICA GENERAL

√

Ejemplo 6.6

Una tubería de 1 m de diámetro y 500 m de longitud conduce agua por una elevación de50 m. si la presión manométrica en la entrada es de 750 kN/m2 y en la salida es de 150kN/m2, calcule el caudal en la tubería. Tome en cuenta únicamente la friccion en la tuberíay considere que f=0.008. ignore las velocidades de entrada y de salida.

Si la parte central de la tubería, con longitud de 300 m, se duplica, calcule la presión

manométrica en la salida, suponiendo que la presión de entrada y la descarga semantienen invariables. Calcule la potencia disponible debida a la presión del agua en lasalida de la tubería, en cada caso.

Solución:




MECANICA GENERAL


* +

Ejemplo 6.7

Calcule la potencia que puede transmitir a una maquina que se encuentra a 70000 m deuna planta hidroeléctrica, por medio de dos tuberías horizontales, cada una con un



MECANICA GENERAL

diametro de 0.1 m, instaladas en paralelo. La presión de entrada a las tuberías semantiene a 5.6 MN/m2 y la eficiencia de transmisión a lo largo de las tuberías es de 90 %.Si ahora se utiliza una tercera tubería con diámetro de 0.1 m. ¿Cuál será la disminuciónde presión que se puede permitir en el suministro para mantener la misma potencia ypresión en la maquina? ¿Cuál es la eficiencia de transmicion de estas condiciones?

Suponga que f= 0.008 para todas las tuberías y descarte cualquier degradacion deenergía, excepto la debida a la friccion en la tubería.

Solución:

Para una eficiencia de transmicion de 90%,



MECANICA GENERAL

Ejemplo 6.8

Una tubería de 0.5 m de diámetro y 2000 m de longitud se encuentra instalada desde undeposito hasta la tobera de un arueda de Pelton. La tobera se encuentra 300 m por

debajo del nivel del deposito. Suponga un coeficiente de velocidad de 0.98 para la toberay un coeficiente de friccion de 0.009 para la tubería. Calcule el diámetro de la tobera parauna transmisión máxima de potencia.

Si la eficiencia total de la rueda de Pelton, incluyendo la tobera, es de 0.82, calcule lageneración máxima de potencia.

Solución:

Para una potencia máxima.



MECANICA GENERAL

Ejemplo 6.9

(a) Si el coeficiente de friccion f en una tubería de diámetro uniforme esta dado por

(b) Por una tubería de 150 mm de diámetro y 3000 m de longitud circula aguaq a una

presión de 8.3. Suponiendo que la viscosidad cinetica del agua, v, es de 1.14 x

10-6 , ¿Cuál es la potencia máxima que puede transmitirse?

Solución

(a) De acuerdo a la sección 6.4,



MECANICA GENERAL

Ejemplo 6.10

Se requiere que la salida de un motor hidráulico de varios cilindros sea de 135 kW,cuando su eficiencia es de 73 %. Una planta hidroeléctrica que genera una presión de 8.3

MN/m2 suministra el agua por medio de 4 tuberias de 75 mm de diámetro y 3.2 km delongitud cada uno. Calcule la presión en el motor, la velocidad de flujo en las tuberías y laeficiencia de la transmicion. Considere que f = 0.008.

Solución:

( )



MECANICA GENERAL

Las dos soluciones para u en esta ecuación cubica son

Ejemplo 6.11

Calcule la disminución de la presión del fluido en cada uno de los siguientes casos:

(a) Aire a baja presión que fluye a una velocidad constante de 5 m/s por un ductogalvanizado de 20 m de longitud y sección transversal cuadrado de 2 m delado (ɛ=1.52309 x 10-4m).

(b) Agua que fluye a una velocidad constante de 2 m/s a la temperaturaatmosférica normal, a travez de una longitud de 20 m de tubería de hierro defundición cuya sección transversal es un circulo con diámetro de 0.1 m(ɛ=1.52309 x 10-6m)

(c) Freon-12 saturado liquido, a 300 K, que fluye a una velocidad constante de0.01 m/s en una longitud de 20 m de tubería extriuda cuya transversal es uncirculo con 0.02 m de diámetro (ɛ=1.52309 x 10-6m).Obtenga los valores de µ y ρ a partir de las tablas de Rogers y Mayhew.

*Todas las tuberías son horizontales.

Solución:

(a) De la pagina 16 de las tablas se obtiene µ = 1.846 x 10-5 kg/ms,



MECANICA GENERAL

De la tubería de Bernoulli, suponiendo que u y ρ son constantes y considerando que los

cambios de gz son insignificantes (tubería horizontal),

* +

* +



MECANICA GENERAL

Ejercicios 1. Defina el coeficiente de friccion, f, en tuberías. Explique, con referencias a una

gráfica de log f- log (Re), el significado de los términos: flujo laminar, flujoturbulento suave y flujo turbulento totalmente brusco.Dos tuberías, cada una de 800 m de longitud y 150 mm de 75 mm de diámetrorespectivamente, están conectadas en serie. La diferencia de altura total entre losextremos es de 30.5 m de agua y el caudal del agua que circula por la tuberías esde 5.4 dm3/s. ignore cualquier degradación de energía que no sea por friccion enla tuberías y calcule el esfuerzo cortante en la pared de cada tramo de la tubería.Suponga que f tiene el mismo valor para las dos tuberías.

(Respuesta: f= 0.00914, 0.427 N/m2

, 6.83 N/m2

)

2. Dos depósitos con una diferencia de niveles de 25 m se encuentran conectadospor una tubería de 0.3 m de diámetro y 8000 m de altitud. Se desea incrementar elcaudal en un 15 %por medio de una tubería en paralelo, en los últimos 4000 m.calcule el diámetro de esta tubería adicional, descartando cualquier degradaciónde energía excepto la debida a friccion en la tubería. Considere que f=0.006.

(Respuesta: 202mm)

3. Una tubería de 150 mm de diámetro va de un deposito da un punto que seencuentra a una distancia de 500 m, donde la tubería se bifurca en un ramal de300 m de longitud y 75 mm de diámetro, con el extremo abierto, y otro ramal condiámetro de 100 mm y longitud de 300 m cuyo extremo termina en una tobera de50 mm de diámetro. Los dos ramales descargar en la atmosfera, en un punto quese encuentra 18 m por debajo del nivel del deposito. calcule el caudal de cada ramal y la presión en la bifurcación si esta se encuentra10 m por debajo del nivel del deposito. Considere que CD=0.96 para la tobera, y f



MECANICA GENERAL

para todas las tuberías es 0.01. suponga que no existe degradacionde energía enla entrada.

(Respuesta: 0.00514 m3/s, 0.0099m3/s, 49kN/m2)

4. En una manguera de diamtero D y longitud L se le adapto una tobera de diámetro

d en el extremo. Si la degradación de energía en la tobera y en la entrada de latubería equivale al 10% de la degradación de energía de la tubería, demuestre quepara una altura de suministro fija la fuerza del chorro que sale por la tobera llega asu máximo cuando

Una manguera de 0.1 m de diámetro y 200 m de longitud, descarga agua por unatobera conectada a su extremo. La altura en la entrada de la manguera es de 40 mmedida antes de la tobera, cuyo coeficiente de velocidad es de 0.97. si la energíaútil del chorro corresponde al 70% de la altura suministrada, calcule el caudal del

agua en m

3

/s. para esa manguera , f=0.009. (Respuesta: 0.013 m3/s)

5. Un deposito suministra agua a una tobera de 200 mmm de diámetro y 300 m delongitud, la cual se bifurca en dos tuberías de 150 mm de diámetro y 150 m delongitud cada una. Ambos ramales se encuentran totalmente abiertos en susextremos. Uno de los ramales contiene salidas a lo largo de toda su longitud, de talforma que la mitad del agua que entra en el ramal se descarga uniformemente enel trayecto, a travez de estas salidas. Los extremos de salida de los ramales seencuentran al mismo nivel, 15 m por debajo del nivel del deposito. Calcule ladescarga que sale del extremo de cada ramal. Descarte la degradación de

energía, excepto la debida a la friccion en la tubería, y considere que f= 0.006para toda la tubería.

(Respuesta: 0.0327 m3/s, 0.0214 m3/s)

mecanica generallll

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