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UNIVERSIDADE DE MATO GROSSO DO SUL – UFMS

CPTL DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS

RELATÓRIO DE PESQUISA

FILOSOFIA E HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

MATEMÁTICA ORIENTAL

CHINESA, HINDÚ E ÁRABE

Professor: Orientador Dr. Antônio Luiz Venezuela

Acadêmico Douglas Martins Santos

Três Lagoas – MS

Junho de 2012

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CPTL/UFMS

Disciplina: História e Filosofia da Matemática

Grupo nº: 13 Nomes:

Nome Douglas Martins Santos

Atividade nº: 006 à 008 Título da Atividade: Matemática Chinesa, Hindu e Arábica

Data da entrega: 12/06/2012

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Sumário

1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................... 4

2. DESENVOLVIMENTO DO TEMA ................................................................................................... 4

2.1 Matemática Chinesa ......................................................................................................................... 6

2.1.a Mapas .............................................................................................................................................. 9

2.2 Matemática Hindú .......................................................................................................................... 11

2.2.a Mapas ............................................................................................................................................ 15

2.3 Matemática Árabe .......................................................................................................................... 17

2.3.a Mapas ............................................................................................................................................ 20

3. EXERCÍCIOS ....................................................................................................................................... 22

4. BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................. 24

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1. INTRODUÇÃO

Com o domínio romano exercido em toda a Grécia e com o posterior fechamento da escola de

Atenas pelo imperador Justiniano, a matemática e as ciências gregas entraram em declínio. Muitos

pesquisadores pegaram seus manuscritos e fugiram da Grécia e proximidades para o oriente médio.

Isto fez com que a ciência oriental florescesse de maneira muito rápida. Este incremento das ciências

orientais foi muito importante para o desenvolvimento da matemática.

Durante todo o período em que o império romano dominou o mundo conhecido da época, tanto

economicamente quanto culturalmente, o oriente foi a parte mais desenvolvida. A parte ocidental não

foi baseada em uma economia de irrigação, sua agricultura era extensiva, o que não estimulou o

desenvolvimento da astronomia. Assim, o ocidente se contentou com um mínimo de astronomia,

alguma aritmética e algumas medições para o comércio e agrimensura. O estímulo para este

desenvolvimento veio do oriente. Após a separação política entre ocidente e oriente, este estímulo

praticamente desapareceu.

Com o domínio dos Sassânidas, reis persas que governaram a mesopotâmia (Ciro e Xerxes), esta

recuperou sua posição central ao longo das rotas comerciais, visto que sob o domínio romano e

heleno haviam perdido. Não há muitos registros Sassânidas desta época. O que se sabe que era uma

cultura muito rica, haja visto o conto “Mil e uma noites” de Omar Khayyam.

Depois da conquista árabe, em 641 teve origem Bagdá, em substituição à babilônia, que havia

desaparecido. A matemática do período islâmico revela a mesma mistura de influências que se

tornaram familiares em Alexandria e na Índia.

A matemática e a astronomia foram grandemente incentivadas pelos califas de Bagdá: Al-mansur

(754-775), Harun Al-raschid (766-809) e Al-mamun (813-833). Este último organizou em Bagdá a

“casa da sabedoria”, composta de uma biblioteca e um observatório.

As atividades matemáticas árabes começaram com a tradução dos Siddanthas hindus por Al-Fazari e

culminaram com uma grande importância com Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi, por volta de

825. Ele escreveu vários tratados sobre matemática e astronomia. Estes tratados explicavam o

sistema de numeração hindu. A europa ficou conhecendo este sistema de numeração graças a uma

cópia latina do século XII, visto que o original árabe se perdeu. A astronomia de Al-Khwarizmi era

um resumo dos Siddanthas, o qual mostrava uma influência grega nos textos sânscritos.

A civilização chinesa, bem como a civilização indiana, são muito mais antigas que as civilizações

grega e romana, mas não mais antigas que as civilizações egípcia e mesopotâmicas.

A civilização chinesa originou-se às margens dos rios Yang-Tsé e Amarelo. Podemos dividir a

história chinesa em quatro grandes períodos.

Os historiadores consideram muito difícil datar documentos matemáticos da China. O clássico mais

antigo da matemática chinesa “Chou Pei Suang Ching” tem uma variação de quase mil anos entre

suas datas mais prováveis de escrita.

Durante toda sua história, a ciência chinesa sofreu com vários problemas, que impediram sua

continuidade e aprimoramento. Em 213 a.c. o imperador da China mandou queimar os livros

existentes. Mesmo que algumas cópias tenham sido salvas, a perda foi irreparável. No século XX,

Mao-Tsé-Tung, com sua “Revolução Cultural” também promoveu uma queima generalizada de

livros, considerados “subversivos”.

Provavelmente houve contato cultural entre Índia e China e entre a China e o ocidente. Muitos dizem

que houve influência babilônica na matemática chinesa, apesar de que a China não utilizava frações

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sexagesimais. O sistema de numeração chinês era decimal, porém com notações diferentes das

conhecidas na época. Eles utilizavam o sistema de “barras” (I, II, III, IIII, T). Não podemos precisar

a idade deste sistema de numeração, porém sabe-se que ele é anterior ao sistema de notação

posicional.

Escavações arqueológicas ocorridas em Mohenjo Daro nos dão uma indicação de uma civilização

muito antiga e de uma cultura muito alta na Índia, ocorrida na mesma época em que eram

construídas as pirâmides no Egito. Posteriormente o país foi ocupado pelos invasores arianos que

impuseram o sistema de castas, o qual trouxe um atraso muito grande ao desenvolvimento. Estes

invasores arianos desenvolveram na índia a literatura sânscrita. Na mesma época em que Pitágoras

começou a desenvolver seus teoremas e axiomas na Grécia, Buda agia na Índia. Especula-se que

Pitágoras esteve em contato com Buda e que desenvolveu seu mais famoso teorema com os hindus.

Os indianos dos primeiros tempos foram exterminados por volta de 1500 ac. Este país tinha como

política, vários pequenos principados desunidos, o que propiciou muitas invasões em seu território

(arianas, persas, gregas, árabes e ingleses). Estes invasores se estabeleceram como classe dominante,

evitando a miscigenação com o povo nativo.

Entre 3000 ac e 1500 ac viveu na índia um povo, da região do rio Indo, que cultivava a agricultura e

morava em cidades. Este povo foi destruído pelos arianos. Entre 1500 ac e 500 ac os arianos

desenvolveram o hinduismo, combinação de religião, filosofia e estrutura social, a qual veio a

desenvolver a base de sua civilização. O hinduismo é um conjunto de crenças e leis que se baseia em

três idéias principais: culto a um grande número de deuses, transmigração da alma e o sistema de

castas que dividia rigidamente a sociedade indiana em quatro classes: Brahmana (sacerdotes),

kshatriya (guerreiros), vaisya (comerciantes e artesãos) e sudra (camponeses).

A introdução de uma notação para uma posição vazia, o símbolo para o zero, um grande passo para o

nosso moderno sistema de numeração. Não se sabe se o número zero (diferente do símbolo para a

posição vazia) surgiu junto com os nove numerais hindus. É bem possível que o zero seja originário

do mundo Grego, talvez de Alexandria. Possivelmente foi transmitido à Índia depois que o sistema

posicional já estava estabelecido lá. É interessante observar que os Maias do Yucatán (México),

anterior à Colombo, usavam notação posicional, com notação para a “posição vazia”. Com a

introdução, na notação hindu, do décimo numeral, um ovo de ganso para o zero, o nosso moderno

sistema de numeração para os inteiros estava completo.

Outra contribuição importante dos hindus foi a introdução de um equivalente da função seno na

trigonometria para substituir a tabela de cordas dos gregos. A trigonometria hindu era um

instrumento útil e preciso para a astronomia.

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2 DESENVOLVIMENTO DO TEMA

2.1 MATEMÁTICA CHINESA

A civilização chinesa, bem como a civilização indiana, são muito mais antigas que as civilizações

grega e romana, Talvez especula-se que podem ser mais antigas que as civilizações egípcia e

mesopotâmicas.

A civilização chinesa originou-se às margens dos rios Yang-Tsé e Amarelo. Podemos dividir a

história chinesa em quatro grandes períodos:

China Antiga (2000 a.c. – 600 ac)

China Clássica (600 a.c. – 221 dc)

China Imperial (221 d.c. – 1911 dc)

China Moderna (1911 d.c. – hoje)

Apesar da china antiga ter sido governada por monarquias Hsia, Shang e Chou, o poder real estava

nas mãos de numerosos pequenos senhores, governantes de pequenas cidades. Este período foi

caracterizado por inúmeras guerras, taxas sobre a população e muita pobreza do povo.

Durante o período clássico, o filósofo Confúcio pregava uma total reestruturação social e política.

Confúcio pregava o respeito pelas autoridades, cuidados com a pobreza, humildade, ética por parte

dos governantes e não fazer aos outros o que não queremos que nos façam. Confúcio não conseguiu,

em vida, fazer com que suas idéias fossem aceitas pela aristocracia. No mesmo período é criado o

taoísmo por Chang Tzu (399 ac – 295 ac), o qual proclamava uma ordem no universo e recomendava

a paz e a benevolência governamental. Estes conceitos foram criados em virtude dos desgovernos

dos senhores e a miséria de seus súditos. Em 200 ac a dinastia Han criou um império que durou até o

fim da china clássica. Esta dinastia expandiu os limites da china e adotou o confucionismo como

religião oficial. Vindo da Índia, o budismo fundiu-se com o taoísmo e ganhou ampla aceitação entre

os camponeses.

No período imperial, a china esteve envolvida em várias lutas internas. Com a queda da dinastia Han,

os senhores começaram a lutar entre si para exercer o domínio em suas regiões. Em 618 dc a dinastia

Tang unificou a china. Depois dela seguiram-se as dinastias Sung e Yuan. Estas dinastias

patrocinaram as artes e a literatura, criando assim a era de ouro. Com isto a china alcançou grandes

dimensões e muita influência. Começa a ocorrer a abertura do comércio chinês com a Europa, via

oriente médio. As viagens de Marco Pólo à corte de Kublai Khan proporcionaram o primeiro contato

da civilização chinesa com o mercado europeu.

O império chinês durou muito mais tempo que o romano. Só foi rompido com a revolução de 1911.

É importante ressaltar que ao contrário do império romano, os imperadores chineses, principalmente

Kublai Khan, produziram uma cultura rica e uma base intelectual sólida. Enquanto os monarcas

romanos eram, geralmente militares analfabetos, os monarcas chineses valorizavam muito a

intelectualidade. Pelo fato de que os chineses se interessavam mais por literatura e arte, a matemática

e a ciência chinesa sofreram um atraso em relação as outras matérias.

Os historiadores consideram muito difícil datar documentos matemáticos da China. O clássico mais

antigo da matemática chinesa “Chou Pei Suang Ching” tem uma variação de quase mil anos entre

suas datas mais prováveis de escrita. A maior dificuldade em datar este documento ocorre porque foi

escrito por várias pessoas, em períodos diferentes. O Chou Pei indica que na China a geometria

originou-se da mensuração, assim como na babilônia, sendo um exercício de aritmética ou álgebra.

Neste trabalho há indicações que os chineses conheciam o teorema de Pitágoras.

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Outra publicação tão antiga quanto o Chou Pei, é o livro de matemática “Chui Chang Suan Shu”

(Nove capítulos sobre a arte da matemática, em torno de 1200 a.c.). Entre vários assuntos abordados,

chama a atenção problemas sobre mensuração de terras, agricultura, sociedades, engenharia,

impostos, cálculos, soluções de equações e propriedades dos triângulos retângulos. Nesta mesma

época os Gregos compunham tratados logicamente ordenados e expostos de forma sistemática. Os

chineses seguiam a mesma linha babilônica, compilando coleções com problemas específicos. Assim

como os Egípcios, os chineses alternavam, em seus experimentos, resultados precisos e imprecisos,

primitivos e elaborados. Nesta publicação aparecem soluções de sistemas lineares com números

positivos e negativos.

Como os chineses gostavam de resolver sistemas, os diagramas foram muito utilizados por eles. É

interessante observar que o quadrado mágico teve seu primeiro registro efetuado por este povo,

mesmo que sua origem é mais antiga, porém desconhecida.

Durante toda sua história, a ciência chinesa sofreu com vários problemas, que impediram sua

continuidade e aprimoramento. Em 213 a.c. o imperador da China mandou queimar os livros

existentes. Mesmo que algumas cópias tenham sido salvas, a perda foi irreparável. No século XX,

Mao-Tsé-Tung, com sua “Revolução Cultural” também promoveu uma queima generalizada de

livros, considerados “subversivos”.

Provavelmente houve contato cultural entre Índia e China e entre a China e o ocidente. Muitos dizem

que houve influência babilônica na matemática chinesa, apesar de que a China não utilizava frações

sexagesimais. O sistema de numeração chinês era decimal, porém com notações diferentes das

conhecidas na época. Eles utilizavam o sistema de “barras” (I, II, III, IIII, T). Não podemos precisar

a idade deste sistema de numeração, porém sabe-se que ele é anterior ao sistema de notação

posicional.

Esta notação em barras não era simplesmente utilizada em placas de calcular (escrita). Barras de

bambu, marfim ou de ferro eram carregadas em sacolas pelos administradores para que os cálculos

fossem efetuados. Este método era mais simples e rápido do que o cálculo realizado com ábaco,

soroban ou suan phan.

Os chineses conheciam as operações sobre frações comuns, utilizando o m.d.c. Trabalhavam com

números negativos por meio de duas coleções de barras (vermelha para os coeficientes positivos e

preta para os negativos), porém não aceitavam números negativos como solução de uma equação.

A matemática chinesa é tão diferente da matemática de outros povos da mesma época que seu

desenvolvimento ocorreu de forma independente.Lui Hui, no terceiro século, determinou um valor

para Pi utilizando, primeiro um polígono regular com 96 lados (3,14) e depois utilizando um

polígono regular com 3072 lados (3,14159).

O ponto alto da matemática chinesa ocorreu no século XIII durante o fim do período Sung. Nesta

época foi descoberta a impressão, a pólvora, o papel e a bússola. Obras chinesas desta época

influenciaram fortemente a Coréia e o Japão. Muitas desta obras desapareceram da China neste

período, reaparecendo apenas no século XIX.

Yang Hui (1261 – 1275), matemático talentoso trabalhou com séries numéricas e apresentou uma

variação chinesa para o triângulo de Pascal.

Resumindo as Principais obras chinesas são:

I-King(Livro das Permutações) –escrito por Won-wang(1182 –1135 a.C.)

K‟ui-ch‟ang Suan-shu (Nove capítulos sobre a arte da matemática) –data do Período Han(206 a.C. a

221 d.C.) mas, provavelmente possui material mais antigo; esse último material é uma síntese do

conhecimento matemático chinês antigo; O trabalho consta de 246 problemas sobre agricultura,

procedimentos em negócios, engenharia, agrimensura, resolução de equações e propriedades de

triângulos retângulos. São dadas regras de resolução, mas não há demonstrações no sentido grego.

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Em janeiro de 1984 foi a descoberta de um livro de Aritmética escrito em tiras de bambu,

desenterrado de túmulos que remontam a dinastia Han; Este trabalho foi transcrito por volta do

século II a.C. e é uma coleção de mais de 90 problemas envolvendo as quatro operações

fundamentais, tanto com inteiros como com frações, proporções, áreas e volumes; Atualmente é o

trabalho matemático chinês mais antigo de que se tem notícia.

Posterior ao Período Han viveu o matemático Sun-tzï, que escreveu um livro semelhante ao dos

Nove Capítulos sobre a Arte da Matemática; É nesse trabalho que se encontra o primeiro problema

chinês de análise indeterminada: “Um certo número desconhecido de coisas quando dividido por

3deixa resto 2, por 5 resto 3 e por 7 resto 2. Qual é o (menor) número?” Nele encontramos a

semente do famoso Teorema Chinês dos Restos da teoria dos números.

A imprensa se inaugurou no século VIII, mas o primeiro livro de matemática impresso de que se

tem notícia só apareceu em 1084; Num trabalho escrito por WangHs‟iao-t‟ung (por volta de 625)

encontra-se a primeira equação cúbica da matemática chinesa; Em 1274, Ch‟inKiu-shaofoi o

primeiro matemático a dar um símbolo específico para o zero: uma circunferência; Li Yeh(por volta

de 1248) introduziu uma notação para números negativos que consistia em fazer um traço diagonal

no dígito da direita de um número escrito no sistema científico ou no sistema de barras chinês.

O número - 10 724 seria escrito como:

Após o declínio da Matemática Grega Clássica, a matemática da China tornou-se uma das mais

criativas do mundo que só chegaria à Europa durante ou após o Renascimento.

Créditos dados à civilização chinesa:

Um sistema de numeração decimal posicional; reconhecer os números negativos; obter valores

precisos de π; chegar ao método de Horner para soluções numéricas de equações algébricas;

apresentar os triângulo aritmético de Pascal; se interar do método binomial; empregar métodos

matriciais para resolver sistemas de equações lineares; resolver sistemas de congruências pelo

método hoje consubstanciado no Teorema Chinês do Resto; desenvolver as frações decimais;

desenvolver a Regra de Três; aplicar a regra de falsa posição dupla; desenvolver séries aritméticas de

ordem superior e suas aplicações à interpolação; desenvolver a Geometria Descritiva.

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2.1.a CONTEXTO HISTÓRICO MAPAS

Mapa China média, era Cristã Rota da Seda

Mapa topográfico da China

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O início da Agricultura Aprox. 6000 a.C. Fonte Atlas de H. Mundial Pág.63

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2.2 MATEMÁTICA HINDÚ

Pouco se sabe sobre a matemática hindu devido a falta de registros históricos autênticos, a fonte

histórica mais antiga: encontrada em Mohenjo Daronas ruínas de uma cidade de 5000 a.C.; e não se

sabe o fim que esse povo teve, pois, aparentemente foi totalmente dizimado, sabe-se que cerca de

4000 a.C., nômades chamados de arianos, vindos das planícies da Ásia Central atravessaram o

Himalaia e penetraram na Índia, outros foram para a Europa e formaram a raiz da raça indo-européia.

Há vestígios de que nessa cidade havia ruas largas, habitações de tijolos com banheiros ladrilhados,

redes de esgoto subterrâneas e piscinas públicas, o que indica que era uma civilização bem adiantada,

o povo dessa cidade tinha sistemas de escrita, contagem, pesos e medidas e cavava canais para

irrigação e durante o primeiro milênio de permanência dos arianos, eles aprimoraram a língua

sânscrita, escrita e falada; foram, também, os responsáveis pelo sistema de castas.

No século VI a.C., as tropas persas sob o comando de Dario invadiram a Índia, pertencem a esse

período o gramático Paninie o pregador religioso Buda e também as S‟ulvasütras (“as regras da

corda”) escritos religiosos de interesse da história da matemática, pelo fato de abarcarem regras para

a construção de altares que revela que eles tinham conhecimento dos ternos pitagóricos.

Por volta de 326 a.C., o noroeste da Índia foi conquistado temporariamente por Alexandre, o Grande;

após essa conquista, nesse lugar estabeleceu-se o Império Mauria que, com o tempo, espalhou seu

poder por toda a Índia e partes da Ásia Central; Açoka (272 –232 a.C.), o mais famoso dos reis

Maurias construiu grandes colunas de pedra, onde podemos encontrar, em algumas delas, os

espécimes preservados mais antigos dos atuais símbolos numéricos.

A dinastia Gupta era formada por imperadores nativos; era de ouro do renascimento sânscrito onde a

Índia tornou-se um centro de saber, arte e medicina, desenvolveram-se ricas cidades e fundaram-se

universidades; e se desenvolveu o SüryaSiddhãnta (“o conhecimento do Sol”) que foi o primeiro

trabalho astronômico importante, a partir daí, a matemática hindu subordinou-se mais à astronomia

do que à religião; no século VI, o astrônomo Varãhamihira fez um trabalho intitulado Pañca

Siddhãntikã que continha um bom sumário de trigonometria hindu antiga e uma tábua de senos

aparentemente oriunda da tábua de cordas de Ptolomeu.

De 450 d.C. a 1500, a Índia sofre sucessivas invasões: os Hunos, os árabes (séc. VIII), os árabes e

por último, os Persas (séc. XI)

Matemáticos eminentes que se destacaram nesse período: dois Ãryabhatas, Brahmagupta,

Mahãvïra e Bhãskara;

O mais velho dos Ãryabhatas Século VI escreveu um livro de astronomia intitulado Ãryabbatiya,

cujo 3º capítulo se dedica à Matemática, Há alguma confusão sobre esses homônimos, havendo a

possibilidade de que o trabalho de ambos não esteja corretamente diferenciado.

Brahmagupta, Século VII, Foi o mais eminente matemático hindu do século, viveu e trabalhou no

centro astronômico de Ujjain, na Índia Central, em 628 escreveu Brahma-sphuta-sidd‟hãntan (“o

sistema Brahma revisado”), trabalho de astronomia com 21 capítulos, dos quais o 12º e o 18º se

ocupam da matemática.

Mahãvïra, por volta de 850, Era de Misore, no sul da Índia, Escreveu um tratado sobre Matemática

Elementar.

Bhãskara, século VII, Viveu em Ujjain, em 1150 escreve Siddhãnta S‟iromani (“diadema de um

sistema astronômico”) que mostra poucos progressos em relação ao trabalho de Brahmagupta, as

duas partes mais importantes do trabalho de Bhãskara são Lilãvati(“bela”) e Vïjaganita(extração de

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raízes”) que tratam de aritmética e álgebra, respectivamente, depois de Bhãskara, a matemática hindu

fez apenas progressos irregulares até os tempos modernos.

A matemática Hindu no modernismo.

Em 1907 foi fundada a Sociedade Matemática Indiana;

Em 1909 surgiu em Madras o JournaloftheIndian MathematicalSociety;

A revista de estatística indiana, Sankhyã, começou a ser publicada em 1933;

Talvez o mais brilhante matemático indiano dos tempos modernos tenha sido Srinivasa Ramanujan.

Srinivasa Ramanujan (1887-1947) Amanuense pobre e gênio sem estudos formais, tinha uma

espantosa capacidade de perceber rápida e profundamente relações numéricas intrincadas, foi

“descoberto” em 1913 por G.H. Hardy (1877–1920), inglês especialista em Teoria dos Números e

que encaminhou Ramanujan para estudar na Universidade de Cambridge, na Inglaterra; esse

encontro resultou numa notável parceria matemática.

Os hindus escreviam sobre um pequeno quadro branco com uma pena mergulhada numa tinta branca

e rala que se podia apagar facilmente ou com uma vareta sobre uma tábua pequena branca e revestida

de certa

farinha vermelha, devido ao pequeno espaço e a legibilidade as figuras deviam ser razoavelmente

grandes, conseqüentemente eles desenvolveram processos de cálculo esquematizados de modo a

conservar o espaço de escrita apagando-se um dígito tão logo ele tivesse cumprido a sua função.

A adição hindu antiga talvez fosse efetuada da esquerda para a direita, ao contrário do que é feito

hoje, exemplo da adição de 345 com 488 resultando 833. Os algarismos riscados, na verdade eram

apagados.

Eram usados vários métodos de multiplicação.

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A maioria dos problemas aritméticos eram resolvidos pelos hindus pelo método de falsa posição,

outro método de resolução preferido era o da inversão. Citaremos abaixo um problema retirado do

Lilãvati e resolvido pelo método da inversão.

Problema:

“Linda donzela de olhos resplandecentes, uma vez que entendeis o método de inversão correto, dizei-

me qual é o número que multiplicado por 3, depois acrescido de ¾ do produto, depois dividido por 7,

diminuído de 1/3 do quociente, multiplicado por si mesmo, diminuído de 52, pela extração da raiz

quadrada, adição de 8 e divisão por 10 resulta no número 2?”

Eles escreviam os problemas em forma poética porque os textos escolares eram escritos em

versos, os problemas eram freqüentemente usados para entretenimento social, eles somavam

progressões aritméticas e geométricas e resolviam problemas de juros simples e compostos,

descontos e regras de sociedade, resolviam também problemas de misturas e de cisternas,

como os que se encontram nos textos modernos. Grande parte do conhecimento da

aritmética hindu provém do texto Lilãvatide Bhãskara, conta-se sobre esse trabalho uma

história romântica: “De acordo com essa história, a partir do seu horóscopo, Bhãskara tinha

previsto o dia e a hora propícia para o casamento da sua filha. Para saber a hora exata tinha

construído um relógio, colocando um copo com um pequeno orifício, por onde entrava água,

numa vasilha cheia de água. De tal forma que ao início da hora exata do casamento o copo

afundar-se-ia. Quando tudo estava pronto, Lilãvati, cheia de curiosidade, inclinou-se sobre a

vasilha e uma pérola do seu vestido caiu no copo e bloqueou o orifício. A hora do casamento

passou sem que o copo se afundasse. Lilãvati nunca se casou. Para consolar a sua filha

Bhãskara prometeu escrever-lhe um livro de matemática!”

Os hindus sincopavam sua álgebra, indicavam a adição por justaposição e a subtração

colocando-se um ponto sobre o subtraendo, na multiplicação colocavam bha (de bhavita,

“produto”) depois dos fatores, indicavam a divisão escrevendo o divisor debaixo do

dividendo, raiz quadrada era indicada colocando-se ka (de karana“irracionais”) antes da

quantidade;

Brahamagupta denota a incógnita por yã (de yãvttãvat, “tanto quanto”) , os inteiros

conhecidos eram antecedidos de rü(de rüpa, “número puro”), as incógnitas adicionais eram

indicadas pelas sílabas iniciais de palavras que expressam diferentes cores, como por

exemplo kã (de Kãlaka, “preto”), Assim, a expressão √ seria escrita pelos

Hindus pela expressão: yã kã 8 bha ka 10 rü 7. Os hindus aceitavam os números negativos e

irracionais, sabiam que uma equação quadrática (com raízes reais) tinham duas raízes

formais, e resolviam essas equações pelo método de complemento de quadrados, também

conhecido como método hindu, Bhãskara deu as duas seguintes identidades notáveis para

encontrar a raiz quadrada de números irracionais:

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No livro X dos Elementos de Euclides também se encontram essas identidades, mas numa linguagem

intrincada, difícil de entender, revelaram notável habilidade para resolver equações indeterminadas,

sendo os primeiros a descobrir métodos gerais neste ramo da matemática, ao contrário de Diofanto

que se contentava com uma solução racional qualquer, os hindus se empenhavam em encontrar todas

as soluções possíveis.

Encontraram soluções gerais para equações dos tipos: ax+by=c com a, b e c inteiros e y²=ax²+1

onde a não é um quadrado perfeito, nesta última equação, Brahmagupta e Bhãskara mostram como

de uma solução x, y onde xy0, podem-se encontrar infinitas outras.

Os hindus não eram proficientes em geometria. Sua geometria era empírica e em geral se ligava à

mensuração, às antigas Sulvasütras, mostra que os primitivos hindus aplicavam a geometria à

construção de altares usando da relação pitagórica, os hindus, como os gregos, consideravam a

trigonometria como uma ferramenta para a astronomia, pode-se considerar essa trigonometria mais

aritmética do que geométrica.

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2.2.a CONTEXTO HISTÓRICO MAPAS

Mapa da ìndia

Mapa da Indo China

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Escavações Arqueológicas Índia Antiga mais de 5000 anos

As mudanças climáticas provocaram o colapso de uma civilização hindu antiga com mais de 5.200 anos, é o

que afirmam os arqueólogos.

Uma das maiores civilizações que já existiram, mas pouquíssimo conhecida, foi uma das primeiras culturas

urbanas, assim como o Egito e a Mesopotâmia. O império se estendia ao longo de mais de um milhão de

quilômetros quadrados através das planícies do rio Indo do Mar da Arábia, atravessando o Ganges, sobre o que

hoje é o Paquistão, no noroeste da Índia e o leste do Afeganistão. Agora, pela primeira vez, os cientistas

acreditam ter descoberto que mudanças climáticas foi o ingrediente-chave no colapso da civilização. O estudo

também resolve um debate de longa data sobre a origem e o destino de Sarasvati, a deusa da hindu da

sabedoria, representada por um rio. Dr. Liviu Giosan, geólogo do Woods Hole Oceanographic Institution

(WHOI) e principal autor do estudo, disse: “Nós reconstruímos a paisagem dinâmica da planície onde a

civilização hindu se desenvolveu há 5.200 anos, construindo cidades, desintegrando-se lentamente há 3.000

anos”. Os Harappanos podem ter representado aproximadamente 10% da população mundial, vivendo ao longo

de rios, usando esta localização como forma de subsistência para a fertilidade das terras irrigadas. Apesar da

localização nas proximidades de rios, existem vários registros de assentamentos localizados em regiões de

vasto deserto. A civilização que ficou esquecida até a década de 1920, recebeu desde então, uma enxurrada de

pesquisas, mostrando ser uma cultura sofisticada com inúmeras rotas comerciais internas e ligações bem

estabelecidas com a Mesopotâmia. Os arqueólogos também descobriram construções de edifícios, sistemas de

saneamento, arte e um tipo de escrita que precisa de especialistas para desvendar e decifrar o significado. Uma

equipe internacional de cientistas ficou no local por mais de 5 anos, combinando fotos de satélite e dados

topográficos para fazer mapas digitais de relevo. Dorian Fuller, arqueóloga da University College London,

disse: “Uma vez que tivemos essas informações sobre a história geológica, conseguimos reexaminar o que

sabemos sobre os assentamentos, o que as pessoas estavam plantando na época, a agricultura e padrões gerais

de ocupação”. A pesquisa elaborou 10 mil anos de informações geológicas. “Os Harappanos eram um povo

empreendedor, aproveitando uma janela de oportunidade – uma espécie de civilização prodígio”, disse Dr.

Giosan. Os rios nas proximidades da civilização começaram a secar há 3.900 anos, o que obrigou a população

a migrar para o leste, em direção à bacia do Ganges, onde as chuvas eram mais confiáveis. Esse êxodo

provocou mudanças drásticas na civilização, reduzindo a grande nação para pequenas comunidades, não

suportando o antigo sistema de grandes cidades. Fonte Journal Ciência 2008.

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2.3 MATEMÁTICA ÁRABE

As bases fundamentais das matemáticas modernas foram estabelecidas, não há centenas, mas milhares de anos

antes do surgimento do Islão, pelos Assírios, Babilónios e Gregos que já conheciam o conceito de zero, o

Teorema de Pitágoras, bem como numerosos outros desenvolvimentos nesta ciência. Por outra parte, a

matemática indiana manifesta-se brilhantemente a partir do século V com Aryabhata, o primeiro grande

matemático e astrónomo indiano e aparece independente da dos gregos. Outro matemático indiano,

Brahmagupta, é sem dúvida o primeiro, em cálculos comerciais, a usar os números negativos. Emprega os

números decimais (grafismo muito próximo dos nossos números actuais ditos “árabes”) e principalmente o

zero, cujo aparecimento foi um passo gigante na álgebra.

A Índia sofrerá as invasões muçulmanas e os árabes adoptarão os trabalhos dos matemáticos indianos. Foi

assim que os muçulmanos se apropriaram destes trabalhos indianos em matemática, sendo transmitidos pelos

Árabes (Mouros) aquando das suas invasões na Península Ibérica.

Foi a era maometana que proporcionou o grande desenvolvimento da matemática árabe.No século sétimo da

era cristã, enquanto Brahmaguta fazia seus escritos de elevada matemática a península arábica passava por uma

crise sem precedentes, porque o Império Sabeano havia caído e era habitada por nômades do deserto, os

beduínos, que eram, também , guerreiros. Foi então que nasceu e cresceu ali, na mesma condição, o seu grande

reformador : Maomé, que, mercador, andou durante muitos anos em longas viagens, estabelecendo contatos

com judeus e cristãos. E, a certo momento, por inspiração mística, tornou-se o grande líder de seu povo,

unindo-o sob o Corão e conduzindo-o para um futuro glorioso durante muitos séculos, com muitas conquistas

territoriais e adquirindo, em contato com as culturas submetidas, ilustração e sofisticação, especialmente na

matemática, assim como já ocorrera com os gregos, dois mil anos antes de Cristo, e com os romanos, um

milênio depois. E o seu ponto forte foram as artes e a matemática.No início, enquanto Maomé vivia , judeus e

cristãos eram protegidos por ele e seus seguidores e encontravam guarida e proteção em suas terras. A religião

assim instituída por ele tinha por princípio a fraternidade entre os monoteístas , o que somente começou a

deteriorar-se depois de sua morte, quando seus seguidores, ainda guerreiros, dedicaram-se à expansão do

Império Islâmico e interesses materiais produziram diferenças e discórdias, como acontece em todas as

sociedades humanas.E foi por volta de 750 que tudo se abrandou e o Império Árabe se dividiu em dois (os

ocidentais, em Marrocos e os orientais, que se estabeleceram em Bagdad).Assim é que em Bagdad o califa al-

Mansur surgiu um grande e novo Centro da Matemática e deu-se o Milagre Árabe, repetição histórica do

Milagre Grego e do Milagre Romano.

Final do século VIII - Foi traduzido para o árabe o livro Sidhanta,dos hindus e o Tetrabiblos astrológico de

Ptolomeu e, então, está fincada a pedra filosofal da hegemonia matemática árabe.Foram três os grandes

mecenas da cultura islâmica que nascia- os califas al-Mansur, Harum al-Rachid (nosso conhecido do célebre

“Mil e Uma Noites”, com a princesa Scheherazade) e al-Mamum.Al-Mansur foi o grande unificador. Sob ele

se desenvolveu a alquimia e a astrologia. Harum al-Rachid - sob seu reinado se traduziu grande parte dos

escritos da matemática de Euclides para a língua árabe, na verdade franca entre os intelectuais especialmente.

Al-Mamum decidiu e determinou a tradução para o árabe de todos os escritos gregos que fossem encontrados e

assim o foram o Almagesto de Ptolomeu e uma versão integral de Os Elementos de Euclides. Foi ele quem

erigiu em Bagdad a “Casa da Sabedoria” (“Bat al-hikma”), somente comparável, no mundo antigo, ao Museu

de Alexandria. Os manuscritos gregos foram obtidos através de tratados com o Império Bizantino.Casa da

Sabedoria - Grandes vultos :Mohammed ibu-Musa al-Khowarizmi – ficou tão conhecido na Europa Ocidental

quanto Euclides, graças a seus feitos no campo da astronomia, baseado inicialmente em ensinamentos vindos

da Índia, através dos Sindhind. Morreu por volta de 850 e são seus maiores feitos : mais de meia dúzia de obras

de astronomia e matemática.Tabelas astronômicas, tratados sobre o astrolábio e o relógio de sol, livros de

aritmética e álgebra. Fez uma exposição (que em nossos dias se chamaria propaganda) tão elaborada e

sofisticada dos numerais hindus que hoje nós ocidentais usamos, que até os nossos dias há a impressão de que

eles foram criação árabe, e por isso são chamados arábicos, embora ele afirmasse sempre a origem

hindu.Morreu em 850.

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Al-Khowarizimi é considerado o “Pai da Álgebra”. Do seu nome nos veio o nome da nova notação dos

números - alkhowarizimi? algorismi ? algorismo ou algoritmo?algarismo - é sua grande marca na aritmética;

Do nome de sua principal obra veio o nome da matéria que hoje estudamos : Al-jabr Wa‟l muqabalah ?

almucabola ?mucabala. “ A palavra al-jabr presumivelmente significa algo como “restauração”ou

“completação” e parece referir-se à transposição de t ermos subtraídos para o outro lado da equação, a palavra

muqabalah, ao que se diz, refere-se a “redução” ou “equilíbrio” – isto é, ao cancelamento de termos

semelhantes em lados opostos da equação. A influência árabe na Espanha muito depois do tempo de al-

Khowarizmi pode ser vista no Dom Quixote, onde a palavra algebrista é usada para indicar um “restaurador”

de ossos.” (In História da Matemática, idem, fls. 156). Grande Computador da Humanidade :Foram tantas as

influências na cultura árabe, pois tiveram a oportunidade de ler e estudar os antigos tratados da Mesopotâmia,

da Índia, da Grécia, de Roma e outras culturas que os precederam e contemporâneos, que é difícil de dizer a

qual linha dentre essas ela se filiou. Mas pode-se dizer que, do conjunto de todas surgiu algo novo, com

características místicas e pragmáticas, com o abandono de determinadas tendências hinduístas que não se

desenvolveram e pereceram, como a análise indeterminada. Assim, a partir do século nono, foi realmente a

matemática árabe que passou a influir em todo o mundo conhecido : eles foram como que um gigantesco

computador da humanidade que recolheu dela todos os dados importantes e, fazendo uma “mixagem” ,

apresentaram novas descobertas, que deram origem à moderna matemática, que levou o homem ao espaço

sideral. E aí se incluem as artes, a música – com a introdução das escalas maiores e menores ainda não

conhecidas no ocidente e que permitiram uma infinita combinação de ritmos e sons riquíssimos a uma música

ocidental que se resumia mais nos “cantochões” religiosos que não possuíam muitas variedades melódicas (

são aquelas que usam bemóis e sustenidos), a astronomia, a navegação, a matemática.

Outros grandes vultos da Casa da Sabedoria :

„Abd-al-Hamid ibn-Turk – século nove – equação quadrática, discriminante negativo, prova da equação sem

solução, figuras geométricas. Sua principal obra é chamada “Necessidades Lógicas em Equações Mistas”,

semelhante ao Al-jabr, mas com maiores esclarecimentos – usa figuras geométricas para provar que, quando o

discriminante é negativo, uma equação quadrática não tem solução.Thabit ibn-Qurra – século nove -

equivalente árabe de Papus de Alexandria, ambos comentadores da matemática superior. Fez provas de

alternativas do teorema de Pitágoras, trabalhou em segmentos parabólicos, quadrados mágicos, trissecções de

ângulos e novas teorias astronômicas, propondo a chamada “trepidação dos equinócios”.Abu‟l Wefa – século

dez - sistematização da trigonometria , que se chama trigonometria árabe, introduzindo a noção de fórmulas

para provar teoremas, tais como para ângulo duplo ou metade, lei para triângulos esféricos, nova tabela para

ângulos diferentes, diferindo (1/4)º, usando o equivalente a oito casas decimais.Al-Karkhi – século onze –

primeiras soluções numéricas das equações de forma ax²n + bxn = c . Bases para a matemática da

Renascença.Al-Biruni e Alhazen – século doze o primeiro e dez, o segundo - o primeiro, vários trabalhos,

inclusive de física, com discussão sobre se a Terra gira em torno do seu eixo,mas não deu a resposta, problema

de gnonon, ou do cálculo das sombras hindu, estudos sobre gravidade específica e poços artesianos, solução

aproximada em fraçõpes sexagesimais , fórmula trigonométrica para cós 3? , facilitou a solução da equação x³

= 1 + 3x ; o segundo superou o primeiro e é conhecido por esse nome no Ocidente, mas o seu nome é

realmente Ibn-al-Haitham e viveu entre 965 e 1039 – escreveu o tratado “Tesouro da Óptica”, inspirado em

Ptolomeu sobre a refração e reflexão e influenciou cientistas da Europa na Renascença - estrutura do olho,

aumento aparente do tamanho da Lua quando próxima do horizonte, avaliação da altura da atmosfera, o célebre

“problema de Alhazen sobre ponto de reflexo em espelho esférico, área limitada por arco parabólico.

IbnYunus– final do século XI - uma das fórmulas para “produto da soma” muito utilizado na Renascença.

OMAR KHAYYAM - viveu no século XII – é mais conhecido no Ocidente como o maior poeta persas (as suas

célebres Rhubayatas) , mas foi um gênio polivalente e teve na matemática uma de suas maiores formas de

expressão. Conhecido como “fabricante de tendas”, também, escreveu um tratado de Álgebra, superior ao de

al-Khowarizmi e dava soluções aritméticas e algébricas para equações do segundo grau; outros trabalhos :

equações do 3º grau em soluções algébricas, secções cônicas, avanço na direção da matemática de Descartes,

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que viria quase quinhentos anos depois, chegou perto de definir os números irracionais.Uma obra citada por ele

em sua Álgebra foi perdida e nela ele expunha um método para encontrar as potências quarta, quinta ,sexta e

mais altas de um binômio – seria um arranjo ao triângulo de Pascal – os chineses e hindus, na mesma época,

também fizeram a mesma coisa e as evidências que se tem hoje da pouca possibilidade de comunicação entre

aqueles povos exclui a possibilidade de uma cópia ou de troca de idéias entre eles. Elaborou um teorema sobre

o Postulado das Paralelas , o quinto de Euclides, que sempre foi um desafio até mesmo para gregos e até

mesmo no século dezoito na Europa – “Omar Khayyam partiu então de um quadrilátero com dois lados iguais,

ambos perpendiculares à base (usualmente chamado”quadrilátero de Saccheri”, novamente em reconhecimento

de esforços no século dezoito ) e perguntou como seriam os outros ângulos (os superiores) do quadrilátero, que

são necessariamente iguais um ao outro. Há é claro , três possibilidades. Os ângulos podem ser 1) agudos, 2)

retos, ou 3) obtusos. Omar Khayyam excluiu a primeira e a terceira possibilidade, baseando-se em um

princípio, que atribuiu a Aristóteles, que diz que duas retas convergentes devem cortar-se – novamente um

enunciado equivalente ao postulado das paralelas de Euclides.” (Idem, fls 166). Nasir Eddin –século XII e Al-

Kashi, no século XV.

Recentes pesquisas, mostram um quadro novo da dívida que nós devemos a matemática de Árabe Islam.

Certamente muitas das idéias que previamente era pensado que tinha sido concepções novas brilhantes devido

a matemáticos europeus do décimo sexto século, são conhecidos em época anteriores, agora podem ter sido

desenvolvido quatro séculos mais cedo por matemáticos árabes. Em muitos aspectos a matemática estudada

hoje é de longe mais íntima na aparência Arábica que Grega.

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2.3.a CONTEXTO HISTÓRICO MAPAS

Conquistas Árabes

Expansão Árabe do Islã

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Mapa da Região Árabe

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EXERCÍCIOS

06 – Cap.12 Descreva alguns pontos em que a álgebra hindu diferia marcadamente da Grega.

Mais que isto iremos expor de forma organizada as diferenças marcantes entre as duas

matemáticas, a matemática grega e a matemática hindu.

13 – Cap.12 Use um esquema em gelosia para achar o produto de 345 e 256.

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Coloca-se os números como dispostos na primeira figura colocando o 345 na parte superior e

o 256 na coluna lateral direita, após multiplicamos os números da coluna da direita por cada

um da linha superior colocamos eles na disposição sendo unidade à direita da diagonal e

dezena à esquerda da diagonal dos quadrados, a partir daí somamos cada diagonal e

colocamos o resultado nos quadrados sem diagonal. O resultado é 88.320 que pode ser visível

na primeira coluna e na última linha.

01 – Cap.13 Comparar quanto ao seu efeito sobre a cultura, as conquista árabes das terras

vizinhas com as conquistas anteriores de Alexandre o Grande, e as conquistas dos Romanos

Os árabes assim como os romanos, ao conquistar os povos, conseguiam absorver e aprimorar

as suas tecnologia e cultura, há quem diga que os Romanos forma conquistados pelos Gregos e

não o contrário devido a assimilação de uma cultura, os árabes também eram desta forma,

eles ansiavam pelas informações e pela sabedoria dos povos conquistados, e podemos verificar

o impacto que a cultura dos conquistados causou no povo Árabe.

14 – Cap.13 Prove a Fórmula de Ybn-Yunus 2cosxcosy = cos(x+y) + cos(x-y)

Vou Provar pelo método direto ok!

Temos que :

2cosx cosy = cosx cosy + cosx cosy = cosx cosy + cosx cos + senx seny – senx seny =

= cosx cosy – senx seny + cosx cosy + senx seny = (cosx cosy – senx seny) + (cosx cosy + senx seny)=

= cos(x+y) + cos(x-y) dos teoremas fundamentais

sen(a+b)=sena cosb + cosa senb

sen(a-b)=sena cosb - cosa senb

cos(a+b)=cosa cosb - sena senb

cos(a-b)=cosa cosb + sena senb

∴ 2cosxcosy = cos(x+y) + cos(x-y)

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BIBLIOGRAFIA

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