transformación lineal_2
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COMO SE HACEN LAS CARICATURAS.
LILLY MENDOZAGINA VALLE
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una funcion que asigna a cada vectro v Є V un vector unico Tv Є W y que satisface , para cada u y v en V y cada escalar α,
T ( u + v ) = Tu + Tv y
T(αv) = αTv
Las transformaciones lineales tambien se denominan operadores lineales.
Ahora mostraremos algunas transformaciones matriciales geometricas que son muy interesantes
( R2 R2 ) : REFELEXIONES: Se define respecto a cualquier recta
en el plano, sobre todo las que atraviesan el origen y se definen con las fórmulas :
RY ( x, y ) = ( -x, y ) Rx (x,y) = (x.-y) x -1 0 -x x 1 0
x y 0 1 y y 0 -1
-y
Rd (x, y) = (y, x)
x 0 1 x y 1 0 y
(-x,y)
(x,-y)
(y,x)
Además existe la reflexión básica respecto al origen, cuya fórmula y matriz son:
Ro (x, y ) = (-x, -y ) -1 0 Esto también se
considera 0 -1 una rotación
180º en torno al origen.
COMPRESIONES-EXPANSIONES: Las compresiones y expansiones son escalamientos a lo largo de los ejes coordenados. Con más precisión: para c>0, la transformación Cx (x, y) = ( cx, y ) escala las coordenadas x en factor de c; dejando inalteradas a las coordenadas de y. Si 0 <x< 1 se trata de una compresión en dirección del eje positivo. Si c>1, se refiere a una expansión. También se tienen compresiones y expansiones a lo largo del eje y, expresadas por Cy ( x, y ) = ( x, cy ) para c>0 .
compresión ejemplo expansión
Otros tipos son los escalamientos simúltaneos a lo largo de los ejes X y Y, como Cxy (x, y ) = (cx, dy) con factores de escala c> o y d> 0 a lo largo de las direcciones X y Y.
CORTES: Un corte o deslizamiento a lo largo del eje x es una transformación de la forma Sx (x, y) = (x+cy, y ), en otras palabras , cada punto se mueve a lo largo de la direccióon x, una cantidad proporcional a la distancia al eje x. También hay cortes a lo largo del eje y
Sy (x, y) = ( x, cx + y ).
Deslizamiento a lo largo del eje x.
La constante c ,en la fórmula puede ser negativa y si tomaramos c= -2 tenemos ( x, -2x + y )
Deslizamiento a lo largo de la dirección negativa de y
Quienes trabajan gráficas en computadora, aplican transformaciones matriciales de corte y de otros tipos para modificar las imágenes. Estás operaciones se adaptan bien a los cálculos en computadora, porque se implementan con facilidad a los productos Ax.
ROTACIONES: Otro tipo común de transformación en el plano es la rotación o giro en torno a cualquier punto en el plano. Nos interesan principalmente las rotaciones en torno al origen y se definen por
RΘ x cos Θ -sen Θ x
y sen Θ cos Θ y
Y hace girar cada vector Θ rad. En sentido contrario al de las manecillas del reloj en torno al origen.
Por ejemplo calcularemos la imagen ( 1, 1 ) para Θ = П/2
Un caricaturista moderno emplea computadoras y algebra lineal para transformar las imágenes que dibuja. Supongamos que se trata de dar la sensación de movimiento a la imagen a inclinándola y estirándola ( horizontalmente ) en forma gradual para llegar a la figura b . Si el estiramiento gradual necesario, por ejemplo, a lo largo del eje x es 50% ¿cómo puedo modelarlo matemáticamente ?. El método deberá ser independiente de la imagen inicial para poder aplicarlo a otros cuadros. Como veremos en la respuesta interviene una sencilla multiplicación de matriz por vector.
a b
Obteniendo las imágenes de los puntos (0,2) ,(0,1) , (0.5, 0.5), (0,0), (1,0), (1,1), (-1,1 ), (-1,0 ) con
SX (x, y ) = ( x + 0.5y , y)
Sx x 1 0.5 x
y 0 1 y
1 0.5 0 0 0.5 0 1 1 -1 -1 0 1 2 1 0.5 0 0 1 1 0 1 0.5 0.75 0 1 1.5 -o.5 -1 2 1 0.5 0 0 1 1 0
Algebra Lineal con aplicaciones de George Nakos y David Joyner.
http://www.youtube.com/watch?v=XQgVix4vC64
http://www.youtube.com/watch?v=qSeYivHZpB8