SVEUČILIŠTE U SPLITUSVEUČILIŠTE U SPLITUPOMORSKI FAKULTET U SPLITUPOMORSKI FAKULTET U SPLITU

NUMERIČKO NUMERIČKO INTEGRIRANJEINTEGRIRANJE

Trapezna i Simpsonova Trapezna i Simpsonova metodametoda

Mr. sc. Tatjana Stanivuk Pomorski fakultet u Splitu

Uvod u numeričku Uvod u numeričku integracijuintegraciju

► Prvobitno je pojam integracije Prvobitno je pojam integracije podrazumijevao problem računanja podrazumijevao problem računanja površina, a kasnije je poopćen na problem površina, a kasnije je poopćen na problem numeričkog rješavanja integrala.numeričkog rješavanja integrala.

►Osnovni teorem integralnog računa daje Osnovni teorem integralnog računa daje nam vezu između integriranja i deriviranjanam vezu između integriranja i deriviranja

dakle, integriranje može biti i dakle, integriranje može biti i 'antideriviranje'. 'antideriviranje'.

)()( xfdttfdx

d x

a

2

0 0

sin. , ,...x x

npr e dx dxx

, .a b

►Numerička integracija je postupak pri kojem ne tražimo izraz za integral, nego samo računamo Numerička integracija je postupak pri kojem ne tražimo izraz za integral, nego samo računamo njegovu numeričku vrijednost. njegovu numeričku vrijednost.

►Naime, neelementarne integrale Naime, neelementarne integrale

aproksimiramo integralima funkcija koje možemo integrirati na segmentu Pri tom se javlja aproksimiramo integralima funkcija koje možemo integrirati na segmentu Pri tom se javlja greška ali se može učiniti dovoljno malom.greška ali se može učiniti dovoljno malom.

Trapezna formulaTrapezna formula

►Najjednostavnija metoda (ali ne i Najjednostavnija metoda (ali ne i najbolja) se sastoji u tome da se najbolja) se sastoji u tome da se površina ispod krivulje aproksimira površina ispod krivulje aproksimira nizom trapeza.nizom trapeza.

►Uglavnom se koristi u Francuskoj i Uglavnom se koristi u Francuskoj i Americi.Americi.

►Općenito se želi funkciju Općenito se želi funkciju f(x)f(x) integrirati u integrirati u granicama izmeđugranicama između aa i i bb..

2Trapezaa c

P h

► Površinu ispod krivulje zamjenimo tj. Površinu ispod krivulje zamjenimo tj. aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:aproksimiramo površinom trapeza i dobijemo:

interpolacija interpolacija 1 stupnja1 stupnja ( ) ( )

( )2

b

a

f a f bf x dx b a

► Točnost se povećava ako se zadani interval Točnost se povećava ako se zadani interval podijeli na podijeli na nn jednakih dijelova (podintervala) i nad jednakih dijelova (podintervala) i nad svakim se primjeni trapezna formula. svakim se primjeni trapezna formula.

n

abhxx ii

1

► Tako smo dobili niz integrala (površina Tako smo dobili niz integrala (površina

trapeza):trapeza):

► Zbrajanjem svih površina trapeza dobiva se Zbrajanjem svih površina trapeza dobiva se približna vrijednost integralapribližna vrijednost integrala

koju zovemo koju zovemo trapeznom formulomtrapeznom formulom, a , a možemo je zapisati i ovako:možemo je zapisati i ovako:

,2

)(1

0

10

x

x

hyy

dxxf ,2

)(2

1

21

x

x

hyy

dxxf

n

n

x

x

nn hyy

dxxf1

2)( 1

……

0

0 1 11 2

0 1 2 1

( ) ...2 2 2

2 ...2

nxn n

x

n n

y y y yy yf x dx h

hy y y y y

0 1 2 12 ...2

b

T n na

b aI f x dx y y y y y

n

Ocjena greške kod trapezne Ocjena greške kod trapezne formuleformule

► Pogrešku trapezne formule daje slijedeći Pogrešku trapezne formule daje slijedeći teorem. teorem.

TI

,b

T Ta

f x dx I R

''( )f x

2 3

2 2 22 ,

( ) ( ), max | ''( ) |.

12 12T

x a b

b a h b aR M M M f x

n

► Teorem: Teorem:

Ako je druga derivacijaAko je druga derivacija neprekidna i omeđena na intervalu , neprekidna i omeđena na intervalu , tada vrijedi:tada vrijedi:

pri čemu je trapezna formula, dok za ostatak vrijedi ocjenapri čemu je trapezna formula, dok za ostatak vrijedi ocjena

,a b

TR

► Želimo li da je dovoljno je tražiti da budeŽelimo li da je dovoljno je tražiti da bude

pri čemu je pri čemu je

TR 3

22( )

,12

b aM

n

3

2( )

.12

b an M

Simpsonova formulaSimpsonova formula

►Kod Simpsonove formule nešto je bolja Kod Simpsonove formule nešto je bolja točnost nego kod trapezne formule.točnost nego kod trapezne formule.

►Vrši se aproksimacija kvadratnom Vrši se aproksimacija kvadratnom funkcijomfunkcijom

►Graf Graf f(x)f(x) se zamjenjuje s se zamjenjuje s nn lukova lukova parabola .parabola .

►Dakle, sa Dakle, sa 33 točke može se odrediti točke može se odrediti

Lagrangeov interpolacijski polinom Lagrangeov interpolacijski polinom 2. 2. stupnja.stupnja.

►Dalje se može segment Dalje se može segment [a,b] dijeliti na dijeliti na podsegmente te vršiti interpolaciju podsegmente te vršiti interpolaciju kvadratnom funkcijom nad svakim pojedinim kvadratnom funkcijom nad svakim pojedinim segmentom. segmentom.

► Neka je Neka je jednadžba parabole kroz točke:jednadžba parabole kroz točke:

..

► Možemo uzeti da je Možemo uzeti da je

► Iz jednadžbe parabole slijedi :Iz jednadžbe parabole slijedi :

► PP - površina ispod luka parabole na segmentu od - površina ispod luka parabole na segmentu od –h–h do do h h ..

20

12

2

20 1 2

0 0 / 4

__________________

4 2 6

y Ah Bh C

y C

y A Bh C

y y y Ah C

),(),,(),,( 222111000 yxTyxTyxT

(2)

(1)

hxxhx 210 ,0,

= ( prema formuli = ( prema formuli (2)(2) ) = ) =

h

h

h

h

CxBxAx

dxCBxAxP23

232

3 3 2

3 222 2 6

3 2 3 2 3 3

Ah Bh Ah Bh hCh Ch Ah Ch Ah C

0 1 243

hy y y (2')

►Općenito se želi funkciju Općenito se želi funkciju f(x)f(x) integrirati u integrirati u granicama izmeđugranicama između aa i i bb..

b

a

dxxfI )(

bxxxxa m 2210 ...[a,b] podijelimo na n = 2m (paran broj) dijelova točkama :

Vrijednosti funkcije su, po točkama :

)(

.

.

.

)(

)(

22

11

00

mm xfy

xfy

xfy

na svakom podsegmentu j = 0, 1, 2, …, m-1 2 2 2,j jx x

► Zamijenimo luk krivulje s lukom parabole

koja prolazi točkama

► Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :Površina ispod luka parabole kroz 3 točke iznosi :

► Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine: Sada trebamo zbrojit sve ove dijelove površine:

jjj CxBxAy 2

),(),,(),,( 2222221212112222 jjjjjjjjj yxTyxTyxT

2 2

2

22 2 1 2 24

3

j

j

x

j j j j j jx

hA x B x C dx y y y

m

m

x

x

mmmmmm

x

x

x

x

x

x

yyyh

dxCxBxA

yyyh

dxCxBxA

yyyh

dxCxBxA

yyyh

dxCxBxA

2

22

6

4

4

2

2

0

)4(3

)(

.

.

.

)4(3

)(

)4(3

)(

)4(3

)(

1222112

1

654222

2

432112

1

210002

0

► Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo: Nakon što ove integrale zbrojimo dobit ćemo:

.b a

hn

2

0

0 2 1 3 5 2 1 2 4 6 2 2( ) 4( ... ) 2( ... )3

mx

m m mx

hf x dx y y y y y y y y y y

Neparni Parni

0 1 3 5 1 2 4 6( ) 4( ... ) 2( ... )3

b

S n n na

hf x dx I y y y y y y y y y y

► Kako je Kako je n=2mn=2m (paran broj), na intervalu (paran broj), na intervalu [a,b] dobijemo tzv. dobijemo tzv. Simpsonovu formuluSimpsonovu formulu::

gdje jegdje je

Ocjena greške kod Simpsonove Ocjena greške kod Simpsonove formuleformule

► Pogrešku Simpsonove formule daje Pogrešku Simpsonove formule daje slijedeći teorem. slijedeći teorem.

SI

,b

S Sa

f x dx I R

( )IVf x

4 3

4 4 42 ,

( ) ( ), max | ( ) |.

180 180

IVS

x a b

b a h b aR M M M f x

n

► Teorem: Teorem:

Ako je četvrta derivacijaAko je četvrta derivacija neprekidna i omeđena na intervalu , tada vrijedi:neprekidna i omeđena na intervalu , tada vrijedi:

pri čemu je Simpsonova formula, dok za ostatak vrijedi ocjenapri čemu je Simpsonova formula, dok za ostatak vrijedi ocjena ,a b

SR

►Za zadanu točnost εε broj korekcija je:

544 ( )

.180

b a Mn

PrimjeriPrimjeri

Primjer 1.

Izračunati I = , Izračunati I = , h = 0.1h = 0.1 , ,

trapeznom formulom. trapeznom formulom.

Naći ocjenu greške i pravu grešku.Naći ocjenu greške i pravu grešku.

1

0

1

1dx

x

Rješenje:

I = I =

1

1f x

x

0.1

1 010

0.1

h

b an

h

1

0

1

1dx

x

i xi yi=f(xi)

0 0,0 1,00000

1 0,1 0,90909

2 0,2 0,83333

3 0,3 0,76923

4 0,4 0,71429

5 0,5 0,66667

6 0,6 0,62500

7 0,7 0,58824

8 0,8 0,55556

9 0,9 0,52632

10 1,0 0,50000

0 1 2 12 ... 0.693772T n n

b aI y y y y y

n

Ocjena greške:Ocjena greške:

2

2( )

,12T

b a hR M

2,

max | ''( ) |x a b

M f x

1

1f x

x

2

1`

1f x

x

3

2`̀

1f x

x

2 30,1

2max | | 2

1xM

x

21 0.12 0.00167

12TR

Prava vrijednost:Prava vrijednost:

Prava greška:Prava greška:

, a to je < 0.00167.| | 0.00062TI I

I =I =1

10

0

1ln 1 ln 2 ln1 0.69314718

1dx x

x

Primjer 2.

Izračunati Izračunati II = Simpsonovom = Simpsonovom formulomformulom

za točnost za točnost ε ε == . .

Koliko koraka treba u trapeznoj formuli Koliko koraka treba u trapeznoj formuli za istu točnost?za istu točnost?

3

22x

dx

52 10

35

22

, 2 10dx

Ix

544

4,

( ), max | ( ) |

180IV

x a b

b a Mn M f x

22

3

4

5

66

1( )

( ) 2

( ) 6

( ) 24

120( ) 120

I

II

III

IV

f x xx

f x x

f x x

f x x

f x xx

→ 4 6 62,3 2,3

120 120max max 1.875

2x xM

x

Rješenje:

i xi f(xi)

0 2 0.25000

1 13/6 0.21302

2 14/6 0.18367

3 15/6 0.16000

4 16/6 0.14063

5 17/6 0.12457

6 18/6 0.11111

45

1 1.8754.777214 6

180 2 10n n

Kod Simpsonove formule mora biti parni broj, pa uzimamo prvi parni veći

32 mmn

→

6

1

n

abh

21

( )f xx

)...(2)...(46 226421253120

mmms yyyyyyyyyym

abI

Prava vrijednost:Prava vrijednost:

16666.06

1

2

1

3

11

1

3

2

3

2

3

2

12

x

xdxxI

0 6 1 3 5 2 41

( ) ( ) 4( ( ) ( ) ( )) 2( ( ) ( )6 3

10.25000 0.11111 4(0.21302 0.16000 0.12457) 2(0.18367 0.14063)

18

0.166667

s

s

s

I f x f x f x f x f x f x f x

I

I

Koraci za trapeznu formulu :Koraci za trapeznu formulu :

12

)( 23 Mab

n

2 4 4, 2,3

6 6max ''( ) max 0.375

2x a b xM f x

x

51 0.375

39.52847075 4012 2 10

n n

Potrebno je izvršiti 40 korekcija.

HVALAHVALANANA

PAŽNJIPAŽNJI