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10
Capítulo
1Neste capítulo
Trigonometria em triângulos quaisquer
1. Revisãodetrigonometrianotriânguloretângulo
2.Senoecossenodeângulosobtusos
3.Leidossenos
4.Leidoscossenos
Pretende-secortarasfatiasdeumpãodeformaparafazerpequenossanduíchesconformeoesquemaaseguir.
3.Existemoutrasformasdesecolocarossanduíchesnessabandeja?Descrevaalgumasdelaseidentifiqueaquepermitecolocaramaiorquantidadedesanduíchesnessabandejasemquehajasobreposição.
Comece pelo que já sabe
Depoisdeprontospretende-secolocá-losemumabandejaretangular,detalmaneiraqueamaiorfacedecadasanduíche,ouseja,suafaceretangulardemaiorárea,fiqueemcontatocomabandeja.
1.Considerando-seaformaquesepretendecolocarossanduíchesnabandejaapresentada,dequantasmaneirasissopoderáserfeito?Façaumesquemapararepresentarcadaumadessasmaneiras.
2.Determinequaldessasmaneirasdeveserutilizadaparaquesetenhaomelhoraproveitamentodoespaço.
10 cm
2 cm10 cm 10 cm
10 cm
15cm
10cm
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1. Revisão de trigonometria nos triângulos retângulos
A seguir são apresentadas de modo conciso, e para efeito de revisão, algu-mas relações válidas para os triângulos retângulos.
Dado um triângulo retângulo ABC de hipotenusa a e catetos b e c é possí-vel escrever as seguintes relações.
Teorema de Pitágoras
O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos.
A
B Ca
cb a2 � b2 � c2
Relações métricas
Sendo n e m respectivamente as projeções dos catetos b e c sobre a hipotenusa, e h a altura relativa à hipotenusa, são válidas as seguintes relações:
A
B CH
a
m n
hc b b2 � a � n
c2 � a � mb � c � a � hh2 � m � n
Relações trigonométricas
A
B Ca
� �
cb
cateto oposto a � e
cateto adjacente a �
cateto oposto a �e
cateto adjacente a �
sen a 5 catetooposto a a
____________ hipotenusa 5 b __ a sen b 5 catetooposto a b
____________ hipotenusa 5 c __ a
cos a 5 catetoadjacente a a
_____________ hipotenusa 5 c __ a cos b 5 catetoadjacente a b
_____________ hipotenusa 5 b __ a
tg a 5 catetooposto a a
______________ catetoadjacente a a 5 b __ c tg b 5
catetooposto a b _____________ catetoadjacente a b 5 c __ b
Como a e b são ângulos complementares, ou seja, a 1 b 5 90°, valem as seguintes relações:
sen a 5 cos b 5 b __ a e sen b 5 cos a 5 c __ a
tg a 5 1 ____ tg b e tg b 5 1 ____ tg a
tg a 5 sen a ______ cos a e tg b 5
sen b ______ cos b
Projeção ortogonal de um segmento de reta
Em um plano, considere um `ponto P e uma reta r que não passa por P. Chama-se projeção ortogonal do ponto P sobre a reta r o ponto P’, que é o pé da perpendicular à reta r a partir de P.
P
P’
r
A projeção ortogonal de um segmento de reta em uma reta r é o conjunto das projeções de todos os pontos do segmento, ou seja, é um segmento.Observe que, se o segmento de reta for perpendicular à reta r, sua projeção resultará em um único ponto sobre r.
C
DA
projCDprojAB
B
r
A aplicação mais frequente da trigonometria é o cálculo da medida da projeção ortogonal.Se o segmento
___ AB tem
comprimento k, e o ângulo formado com a sua projeção é a, pode-se demonstrar que a medida da projeção ortogonal é igual a k ? cos a.
A
k
�projAB
B
r
De fato, considerando o triângulo retângulo formado ao projetar-se o segmento
___ AB , e chamando
de a o ângulo formado pelo segmento e sua projeção, tem-se que
cos a 5 projAB ______ k Æ
Æ projAB 5 k ? cos a
Saiba mais
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Trigonometria em triângulos quaisquer1
Tabela de razões trigonométricas A tabela a seguir apresenta os valores aproximados, com quatro casas deci-
mais, do seno, do cosseno e da tangente de ângulos entre 0° e 90°.
Ângulo sen cos tg Ângulo sen cos tg
0° 0,0000 1,0000 0,0000 46° 0,7193 0,6947 1,0355
1° 0,0175 0,9998 0,0175 47° 0,7314 0,6820 1,0724
2° 0,0349 0,9994 0,0349 48° 0,7431 0,6691 1,1106
3° 0,0523 0,9986 0,0524 49° 0,7547 0,6561 1,1504
4° 0,0698 0,9976 0,0699 50° 0,7660 0,6428 1,1918
5° 0,0872 0,9962 0,0875 51° 0,7771 0,6293 1,2349
6° 0,1045 0,9945 0,1051 52° 0,7880 0,6157 1,2799
7° 0,1219 0,9925 0,1228 53° 0,7986 0,6018 1,3270
8° 0,1392 0,9903 0,1405 54° 0,8090 0,5878 1,3764
9° 0,1564 0,9877 0,1584 55° 0,8192 0,5736 1,4281
10° 0,1736 0,9848 0,1763 56° 0,8290 0,5592 1,4826
11° 0,1908 0,9816 0,1944 57° 0,8387 0,5446 1,5399
12° 0,2079 0,9781 0,2126 58° 0,8480 0,5299 1,6003
13° 0,2250 0,9744 0,2309 59° 0,8572 0,5150 1,6643
14° 0,2419 0,9703 0,2493 60° 0,8660 0,5000 1,7321
15° 0,2588 0,9659 0,2679 61° 0,8746 0,4848 1,8040
16° 0,2756 0,9613 0,2867 62° 0,8829 0,4695 1,8807
17° 0,2924 0,9563 0,3057 63° 0,8910 0,4540 1,9626
18° 0,3090 0,9511 0,3249 64° 0,8988 0,4384 2,0503
19° 0,3256 0,9455 0,3443 65° 0,9063 0,4226 2,1445
20° 0,3420 0,9397 0,3640 66° 0,9135 0,4067 2,2460
21° 0,3584 0,9336 0,3839 67° 0,9205 0,3907 2,3559
22° 0,3746 0,9272 0,4040 68° 0,9272 0,3746 2,4751
23° 0,3907 0,9205 0,4245 69° 0,9336 0,3584 2,6051
24° 0,4067 0,9135 0,4452 70° 0,9397 0,3420 2,7475
25° 0,4226 0,9063 0,4663 71° 0,9455 0,3256 2,9042
26° 0,4384 0,8988 0,4877 72° 0,9511 0,3090 3,0777
27° 0,4540 0,8910 0,5095 73° 0,9563 0,2924 3,2709
28° 0,4695 0,8829 0,5317 74° 0,9613 0,2756 3,4874
29° 0,4848 0,8746 0,5543 75° 0,9659 0,2588 3,7321
30° 0,5000 0,8660 0,5774 76° 0,9703 0,2419 4,0108
31° 0,5150 0,8572 0,6009 77° 0,9744 0,2250 4,3315
32° 0,5299 0,8480 0,6249 78° 0,9781 0,2079 4,7046
33° 0,5446 0,8387 0,6494 79° 0,9816 0,1908 5,1446
34° 0,5592 0,8290 0,6745 80° 0,9848 0,1736 5,6713
35° 0,5736 0,8192 0,7002 81° 0,9877 0,1564 6,3138
36° 0,5878 0,8090 0,7265 82° 0,9903 0,1392 7,1154
37° 0,6018 0,7986 0,7536 83° 0,9925 0,1219 8,1443
38° 0,6157 0,7880 0,7813 84° 0,9945 0,1045 9,5144
39° 0,6293 0,7771 0,8098 85° 0,9962 0,0872 11,4301
40° 0,6428 0,7660 0,8391 86° 0,9976 0,0698 14,3007
41° 0,6561 0,7547 0,8693 87° 0,9986 0,0523 19,0811
42° 0,6691 0,7431 0,9004 88° 0,9994 0,0349 28,6363
43° 0,6820 0,7314 0,9325 89° 0,9998 0,0175 57,2900
44° 0,6947 0,7193 0,9657 90° 1,0000 0,0000 ∃
45° 0,7071 0,7071 1,0000
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Exercícios resolvidos
Determinar os valores de 1. x, y e z referentes às medidas do triângulo retângulo representado pela figura abaixo.
A
B C
100y x
z60 80
ResoluçãoClassificam-se os elementos do triângulo ABC.
A
B C
100y x
z60 80
Aplicando a relação métrica referente ao cate-to AC:
802 5 10 ? x Æ x 5 6 400 ______ 100 Æ x 5 64.
Como x 1 y 5 100 Æ y 5 100 2 64 Æ y 5 36.Aplicando a relação métrica referente à altura: z2 5 36 ? 64 Æ z 5 dXXXXXXX 36 ? 64 5 48, pois z . 0.Logo x 5 64, y 5 36 e z 5 48.
Uma escada de 25 dm está apoiada, na vertical, 2.em um muro, e a parte mais alta da escada está a 24 dm do chão. Deseja-se amarrar com uma cor-da o pé da escada no muro, para evitar que ela es-corregue. Qual deve ser o comprimento da corda,
sabendo que são necessários 5 dm para fazer as amarrações?
Resolução
Pode-se representar essa situação pela figura abaixo.
Pelo teorema de Pitágoras:
252 5 242 1 x2 Æ
Æ 625 5 576 1 x2 Æ
Æ 625 2 576 5 x2 Æ x2 5 49 Æ
Æ x 5 7 dm.Portanto, são necessários 7 1 5 5 12 dm de corda para amarrar o pé da escada no muro, pois x . 0.
Na figura a seguir, determinar os valores de seno, 3.cosseno e tangente para os ângulos a e b.
C
A B25 cm
� �
15 cm 20 cm
Resolução
sen a 5 catetooposto a a
____________ hipotenusa 5 20 ___ 25 5 4 __ 5
cos a 5 catetoadjacente a a
_____________ hipotenusa 5 15 ___ 25 5 3 __ 5
tg a 5 catetooposto a a
_____________ catetoadjacente a a 5 20 ___ 15 5 4 __ 3
Como a 1 b 5 90°, cos b 5 sen a 5 4 __ 5 ,
sen b 5 cos a 5 3 __ 5 e tg b 5 1 ____ tga 5 3 __ 4 .
Calcule o valor das expressões:6.
a) sen 47° 1 cos 32° _________________ cos 43° 1 sen 58° b) sen 18° 1 cos 72° ________________ sen 18°
O losango 7. ABCD da figura ao lado tem a medida da diago-nal menor igual a 4 cm. Determine o perímetro desse lo-sango, em centíme-tros, sabendo que sen 30° 5 0,5.
Exercícios propostos
Na figura abaixo, determine as medidas 4. x, y, t e z.
t4 y
x6 z
C
A
B D
2�
�
24 cm10 cm
26 cm
��
No triângulo ao lado de-5.termine os valores de seno, cosseno e tangen-te dos ângulos a e b.
24 dm 25 dm
x
cateto do ABC
cateto do ABC
altura
projeção do cateto
___ AC sobre a
hipotenusa ___
BC
projeção do cateto
___ AB sobre
a hipotenusa ___
BC
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14
Trigonometria em triângulos quaisquer1
Determine os valores das seguintes expressões:10.
a) sen 20° 1 sen 160° __________________ sen 20°
b) cos 50° 1 cos 130° __________________ cos 0°
c) sen 30° 1 sen 45° 1 sen 90° 1 sen 150° 1 sen 135°
d) cos 0° 1 cos 60° 1 cos 45° 1 cos 120° 1 cos 135°
e) (sen 135° 1 sen 45°)2 1 sen 0° 1 (sen 150° 1 sen 30°)2
__________________________________________________ sen2 45° 1 sen4 45°
f) (cos 0° 1 cos 30°)2 1 cos 135° 1 (cos 160° 1 cos 20°)2
___________________________________________ sen2 45° 1 cos2 45°
Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180°, quando a soma das medidas de dois ângulos for menor que 90°, isto é, (b 1 g) , 90°, a medida do outro ângulo será dada por a 5 180° 2 (b 1 g), ou seja, a . 90°. Mas, como se trata de um triângulo, 90° , a , 180°, ou seja, o ângulo a é um ângulo obtuso.
Senoecossenodeângulosobtusos
Seno Cosseno
sen x 5 sen (180° 2 x)
O seno de um ângulo obtuso é igual ao seno do suplemento desse ângulo.
cos x 5 2cos (180° 2 x)
O cosseno de um ângulo obtuso é oposto ao cosseno do suplemento desse ângulo.
Exemplo
O sen 120° é determinado pela relação sen x 5 sen (180° 2 x), pois 120° é um ângulo obtuso. O suplemento de 120° é dado por 180° 2 120° 5 60°.
Portanto, sen 120° 5 sen 60° 5 dXX 3
___ 2 .
Exemplo
O cos 135° é determinado pela relação cos x 5 2cos (180° 2 x), pois 135° é um ângulo obtuso. O suplemento de 135° é dado por 180° 2 135° 5 45°.
Portanto, cos 135° 5 2cos 45° 5 2 dXX 2
___ 2 .
2. Seno e cosseno de ângulos obtusos Utilizando as relações trigonométricas é possível resolver problemas que
envolvem qualquer triângulo. Quando se trabalha com triângulos que não são retângulos, porém, pode acontecer de um de seus ângulos internos ser obtuso, ou seja, a medida desse ângulo ser maior que 90°. De fato:
Seja ABC um triângulo, com ângulos internos de medidas a, b e g.Ânguloagudo
É um ângulo cuja medida está `compreendida entre 0° e 90°.
ÂnguloretoÉ um ângulo cuja medida é 90°.`
ÂnguloobtusoÉ um ângulo cuja medida `está compreendida entre 90° e 180°.
ÂnguloscomplementaresDois ângulos são `complementares se, e somente se, a soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, diz-se que um é o complemento do outro.
90° � �
�
ÂngulossuplementaresDois ângulos são `suplementares se, e somente se, a soma de suas medidas é igual a 180o. Neste caso, diz-se que um é o suplemento do outro.
180° � �
�
Pararecordar
Exercícios propostos
Determine os valores de seno e cosseno, conforme 8.indicado, dos seguintes ângulos obtusos.
a) sen 170° d) sen 140°
b) sen 125° e) cos 145°
c) cos 175° f) cos 165°
Julgue as sentenças abaixo como verdadeiras ou 9.falsas, justificando.
a) sen 135° . sen 45° e) cos 130° , cos 50°
b) sen 170° , sen 10° f) cos 150° . sen 30°
c) sen 165° 5 sen 15° g) cos 30° . sen 60°
d) cos 120° 5 cos 60° h) sen 45° 5 cos 135°
AC
B
�
�
�
a 1 b 1 g 5 180°
ObservaçãoEssas relações serão estudadas no capítulo sobre ciclo trigonométrico.
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Ângulos inscritosSe, em uma mesma `circunferência, dois ângulos inscritos têm o mesmo arco correspondente, então esses ângulos são congruentes.
M
P
P
NQN
Portanto, de acordo com a figura
N >
P.
Triângulos inscritosTodo triângulo inscrito `em uma circunferência, tal que um de seus lados corresponde ao diâmetro, será um triângulo retângulo.
A
C
r O
rD
B
Na figura, os triângulos ABD e BCD são retângulos, pois um de seus lados (o lado
___ BD)
corresponde ao diâmetro da circunferência.
Para recordar
3. Lei dos senosEm geral, os problemas de geometria que envolvem triângulos estão re-
lacionados com a determinação das medidas de seus lados e ângulos.Na maioria dos casos, esses problemas poderão ser resolvidos aplican-
do a lei dos senos e a lei dos cossenos, que serão apresentadas a seguir. Nesses casos será necessário dispor de apenas uma destas três informa-
ções: três lados; dois lados e um ângulo; ou dois ângulos e um lado.
A partir do vértice B, constrói-se o diâmetro ___
BD . Dessa maneira ficam de-terminados os triângulos retângulos ABD e BCD. Observe que:
��
A >
E e
C >
D , pois são ângulos inscritos que têm o mesmo arco corres-pondente;
BD�� 5 2r, pois representa um diâmetro da circunferência.
Como
A >
E , segue que sen
E 5 sen
A 5 a ___ 2r
Æ a _____ sen
A 5 2r.
Analogamente, como
C >
D , então
sen
C 5 sen
D 5 c ___ 2r
Æ c _____ sen
C 5 2r.
Em seguida constrói-se, a partir do vértice A, o diâ metro
___ AE . Assim, determina-se o triângulo retân-
gulo ACE. Observe que:
��
B >
F , pois são ângulos inscritos que têm o mes-mo arco correspondente;
AE�� 5 2r, pois representa um diâmetro da circun-ferência.
Portanto, como
B >
F , então
sen
B 5 sen
F 5 b ___ 2r
Æ b _____ sen
B 5 2r.
Assim, fica provada a lei dos senos, que pode ser resumida pela seguinte expressão.
a _____ sen
A 5 b _____
sen
B 5 c _____
sen
C 5 2r
Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos se-nos dos ângulos opostos, e essas razões são iguais à medida do diâmetro da circunferência circunscrita a esse triângulo.
Teorema
DemonstraçãoConsidere um triângulo ABC, com lados de medidas a, b e c e ângulos
internos de medidas
A ,
B e
C , inscrito em uma circunferência de centro O e raio R.
c
a
b
A
CB
O
A
B C
D
C
r O
a
cr b
A
B
A
C
D
E
A
E
O
F
r
rB
c b
CB
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Exercícios propostos
Exercícios resolvidos
x2
R
A
CBO
45°
M
N P30°60°
30 cm x
16
Trigonometria em triângulos quaisquer1
Um avião está voando a 5 000 m de altura. Um pas-17. sageiro avista o topo de dois prédios A e B a sua frente sob ângulos de depressão de 30° e de 75°, respectivamente, conforme mostra a figura. Saben-do que os prédios têm 100 m de altura, determine a distância entre esses prédios.
O triângulo 13. XYZ está inscrito em uma circunferência de centro O e raio R. De acordo com os dados da figu-ra, determine a medida do raio da circunferência.
Um triângulo 14. KLMestá inscrito em uma circunfe-rência de raio 4. Se L
KM 5 30°, determine a medi-
da do segmento ___
LM.
Na figura, 15. AB 5 12 cm, AC 5 9 cm e A CB 5 30°. De-
termine o seno do ângulo
B.
O quadrilátero 16. ABCD da figura é um retângulo. Sa-be-se que a medida de
___ BD é igual a 12 cm e que
A
BD5 30°. Chamando de a a medida do ângulo A ED e x a medida do segmento
___ BE, determine o va-
lor de x, quando a 5 60°.
No triângulo 18. RST abaixo determine a medida ST 5 x,
sabendo que sen 105° 5 dXX 6 1 dXX 2
________ 4 .
Investigação.19. Em dupla, deve-se construir um triângu-lo com varetas que possuam medidas iguais a 20 cm, 24 cm e 30 cm. Cada integrante deve medir um dos ân-gulos com um transferidor e em seguida utilizar essa medida para calcular a dos outros dois ângulos pela lei dos senos. Durante os cálculos, os integrantes não de-vem trocar informações. Após os cálculos, os integran-tes deverão comparar os resultados.a) Os resultados são exatamente iguais?b) Discutam quais etapas do processo de cálculo de-
vem ter contribuído para eventuais diferenças e discutam o que pode ser feito para minimizá-las.
R
X
ZY
O
60°
2 3
30°75°
A B
A
CB^
30°B
12 945° 30°
S x
2 m
T
R
D
A B
C
E
Considerar o triângulo 11. ABC inscrito na circunferên-cia de centro O. De acordo com as informações da figura, determinar o raio R da circunferência.
ResoluçãoPela lei dos senos, tem-se que AB_________
sen (A CB)
5 2R Æ
Æ dXX 2 ________ sen 45° 5 2R Æ
dXX 2 ___
dXX 2
___ 2 5 2R Æ R 5 1.
Em um triângulo 12. MNP, MN5 30 cm, M NP 5 60° e
M PN 5 30°. Determinar a medida do lado MP.
ResoluçãoDe acordo com o enunciado, tem-se a seguinte situação:
Pela lei dos senos, verifica-se que:
MN__________ sen (M
PN)
5 MP__________ sen (M
NP)
Æ 30 ________ sen 30° 5 x________ sen 60° Æ
30 ___ 1 __ 2
5 x___ dXX 3
___ 2 Æ x 5 30 dXX 3 cm.
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17
4. Lei dos cossenos O teorema de Pitágoras se mostra muito eficiente na determinação das
medidas dos lados de triângulos. Entretanto, sua utilização é limitada aos triângulos retângulos.
Será estudado a seguir outro teorema importante, chamado de lei dos cos-senos, que será utilizado com a mesma finalidade do teorema de Pitágoras, porém valerá para quaisquer triângulos. Considere para a construção de um triângulo os seguintes elementos.
Duas varetas de comprimentos �� a e b, fixadas em uma de suas extremidades (ponto O) de modo que seja possível apenas a rotação em torno desse ponto.
Um barbante, de comprimento �� c, fixado na outra extremidade de cada vareta.
��
O o ângulo entre as varetas a e b.
O quadro a seguir ilustra todas as possíveis situações para a construção de um triângulo.
a 5 90° a , 90° a . 90°
O b
ac
O b
a c
O b
a
c
Teorema de Pitágoras c2 5 a2 1 b2
Se o ângulo formado pelas varetas é igual a 90°, verifica-se que c2 é igual à soma de a2 com b2. Essa relação é verificada pelo teorema de Pitágoras.
c2 , a2 1 b2�ou�
c2 5 a2 1 b2� 2algo
Se o ângulo formado pelas varetas for
menor que 90°, ou seja, se for um ângulo
agudo, verifica-se que c2 é menor que a
soma de a2 com b2. Mas, se for subtraído um
número apropriado da soma de a2 com b2, o
valor restante poderá ser igual a c2.
c2 . a2 1 b2�ou�
c2 5 a2 1 b2� 1algo
Se o ângulo formado pelas varetas for maior
que 90°, ou seja, se for um ângulo obtuso,
verifica-se que c2 será maior que a soma de
a2 com b2. Mas, se for adicionado um número
apropriado à soma de a2 com b2, o valor
restante poderá ser igual a c2.
A seguir, será demonstrado que esse “algo” que deverá ser adicionado ou
subtraído é a expressão 2 ? a ? b ? cos
O .
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto.
Teorema
A demonstração do teorema será feita em duas etapas. Na primeira etapa será considerado o caso em que o triângulo é acutângu-
lo, ou seja, quando todos os ângulos são agudos.Na segunda etapa será estudado o caso em que o triângulo é obtusângulo,
ou seja, quando o triângulo tem um ângulo obtuso.Assim, todos os triângulos possíveis serão estudados, e o resultado obtido
em cada etapa é a lei dos cossenos.
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18
Trigonometria em triângulos quaisquer1
Triângulo acutângulo Triângulo obtusângulo
A
BB
DC
am n
hc b
BD
b
p aq
ch
180º � BC
A
Para analisar este caso, traça-se a altura do triângulo acutângulo ABC em relação ao lado BC. Assim, obtêm-se dois triângulos retângulos, ACD e ABD, em que são válidas as seguintes relações:
ACD : b2 5 n2 1 h2 I
ABC : c2 5 m2 1 h2 Æ h2 5 c2 2 m2 II
Substituindo a equação II em I tem-se
b2 5 n2 1 c2 2 m2 III
Da figura, sabe-se que a 5 m 1 n, então n 5 a 2 m
Substituindo na equação III obtém-se
b2 5 (a 2 m)2 1 c2 2 m2 5
5 a2 2 2am 1 m2 1 c2 2 m2 5
5 a2 2 2am 1 c2 IV
Como cos
B 5 m__ c tem-se m 5 c ? cos
B; substituindo em IV
conclui-se que
b2 5 a2 2 2 ? a ? c ? cos
B 1 c2
b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos
B
Para analisar este caso, traça-se a altura do triângulo obtusângulo ABC em relação ao lado BC. Assim, obtêm-se dois triângulos retângulos, ACD e ABD, em que são válidas as seguintes relações:
ACD: b2 5 h2 1 q2 I
q 5 p 1 a II
Substituindo a equação II em I, tem-se
b2 5 h2 1 (p 1 a)2 Æ b2 5 h2 1 p2 1 2pa 1 a2 III
No triângulo ABD são válidas as relações:
ACD:
c2 5 h2 1 p2
cos (180° 2
B) 5 p__ c Æ
p 5 c ? cos (180° 2
B) IV
Então, substituindo as equações de IV em III, obtém-se
b2 5 c2 1 2pa 1 a2 5
5 c2 1 2 ? a?c? cos (180° 2
B) 1 a2 V
Como cos (180° 2
B) 5 2cos
B, substituindo em Vtem-se:
b2 5 a2 1 c2 2 2 ? a ? c ? cos
B
Demonstração da lei dos cossenos
De acordo com a figura abaixo, determinar o va-20. lor da medida do lado BC.
Exercício resolvido
(BC)2 5 (AB)2 1 (AC)2 2 2 ? (AB) ? (AC) ? cos (B AC) 5
5 (8)2 1 (12)2 2 2 ? (8) ? (12) ? cos (120°)
Como 120° é um ângulo obtuso, o seu cosseno é determinado por:
cos x 5 2cos (180° 2 x) Æ cos 120° 5
5 2cos (180° 2 120°) 5 2cos (60°) 5 2 1 __ 2
Substituindo o valor do cosseno de 120° na ex-pressão encontrada, conclui-se que
(BC)2 5 64 1 144 2 192 ? ( 2 1 __ 2 ) 5 304
BC 5 dXXXX 304 5 4 dXXX 19
Resolução
Como são conhecidas as medidas dos lados AB e AC e do ângulo entre eles, é possível determinar a medida de BC utilizando a lei dos cossenos. Então:
B
8 12120°
C
A
ObservaçãoPara os triângulos retângulos aplica-se a lei dos cossenos sobre o ângulo de
90°. Será mostrado nos capítulos seguintes que cos 90° é igual a zero. Assumin-do essa informação e aplicando a lei dos cossenos, verifica-se que:
c2 5 a2 1 b2 2 2 ? a ? b ? cos 90° Æ c2 5 a2 1 b2
Portanto c2 5 a2 1 b2.Note que o resultado obtido é exatamente o teorema de Pitágoras. Com isso
prova-se a veracidade da lei dos cossenos também para triângulos retângulos.
50
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19
Exercícios propostos
B
4 5�
C
A
4 3
Na figura, 26. ABCD é um quadrilátero qualquer. Utilizando os dados da figura, determine a me-dida
___ BC.
Em um triângulo 21. ABC, sabe-se que AC 5 8 cm e BC 5 6 cm. Além disso, é conhecida a medida do ângulo A
CB, que vale 60°. Nessas condições, de-
termine a medida de ___
AB.
De acordo com a figura, determine cos 22. a.
O triângulo a seguir representa um canteiro delimi-23. tado pelas ruas representadas por
___ AB,
___ BC e
___ AC.
De acordo com os dados da figura, qual é o compri-mento da rua representada por
___ AC?
O quadrilátero 24. ABCD representa uma praça na for-ma de um trapézio.
Deseja-se construir uma cerca representada pela a diagonal
___ BD. O responsável pela compra do mate-
rial se equivocou e comprou 50% de material a mais do que o necessário para a construção da cerca. Ele comprou material para quantos metros de cerca?
O quadrilátero 25. RSTV abaixo é um paralelogramo. Utilizando as informações fornecidas na figura, de-termine a medida da diagonal
___ VS.
Construa, utilizando um compasso, um triângulo 27. com lados de medidas iguais a 3 cm, 4 cm e 5 cm.
a) Indique qual é o menor ângulo desse triângulo.
b) Calcule o valor do cosseno do ângulo indicado no item anterior.
A figura representa um mapa em escala 1 : 1 000, 28. indicando três pontos em uma selva. Os lados do triângulo representam os possíveis caminhos para deslocar-se entre esses pontos. Um grupo de amigos está na posição representada pelo ponto A. Quanto eles irão percorrer para chegar à posição representada pelo ponto C, sabendo que utilizarão o caminho mais curto?
Investigação.29. Em duplas, providencie seis vare-tas com 32 cm de comprimento, um transferidor e uma régua.Um integrante da dupla deverá cortar três das varetas nos seguintes comprimentos: 20 cm, 28 cm e 32 cm. O outro integrante deverá cortar as outras três varetas nas medidas: 12 cm, 28 cm e 32 cm de comprimento. Em seguida, cada um deverá juntar suas respectivas varetas e formar um triângulo. a) Com o transferidor, meça os três ângulos inter-
nos do triângulo formado.b) Utilizando a lei dos cossenos, calcule os três ân-
gulos internos desse triângulo.c) Verifique se os resultados obtidos nos itens an-
teriores são os mesmos.d) Compare os seus resultados com os do colega
da dupla. Os triângulos formados têm ângulos em comum?
C
BA
D
60° 45°
30°8 6
3
8 3
A
x 200 m
60°B
C
100 m
BA
C
30°
4 cm
4 3 cm
A B
CD
15 m
60°
8 m
T
SR
V
8
45°
12
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20
Exercícios complementares
1 Trigonometria em triângulos quaisquer
Algumas relações em triângulos retângulos
Uma reta 30. r tangencia duas circunferências de raios 6 dm e 4 dm, nos pontos P e Q. As distân-cias entre os centros A e B é de 14 dm, como mos-tra a figura.
Lei dos senos e lei dos cossenos
Em um triângulo 35. ABC, sabe-se que os lados ___
AB e ___ BC medem, respectivamente, 4 cm e 6 cm. O ângu-
lo entre esses dois segmentos mede 35°. Determi-ne a medida do lado
___ AC.
No mapa abaixo, está representado o quarteirão 36. ABCD. Deseja-se construir um calçadão retilíneo para pedestres ligando os vértices A e C. Sabendo que AD 5 400 m, DC 5 300 m e que a medida de A
DC
é 130°, determine o comprimento desse calçadão.
Com base nessas informações, determine:a) a distância entre P e Q.b) cos B
PQ.
c) sen A QP.
O diâmetro da circunferência da figura abaixo 31. mede 5 m. O ponto O é centro da circunferência, o ponto T é o ponto de tangência e P é um ponto da circunferência. Nessas condições, determine a dis-tância PQ 5 d.
Seno e cosseno de ângulos obtusos
Calcule o valor do seno e do cosseno dos seguin-33. tes ângulos.a) 110° c) 137° e) 160°b) 105° d) 142° f) 95°
Qual é o valor da expressão abaixo?34.
sen 135° 1 cos 120° 2 sen 150° 2 cos 135° _______________________________________ cos 60° 1 cos 45° 2 sen 30°
Em um triângulo 37. ABC são conhecidas as medidas de dois de seus lados, AC 5 3 m e BC 5 4 m. Cha-mando de a o ângulo B
AC, formado pelos lados AC
e AB, responda.a) Se AB 5 3 m, calcule o valor de cos a.b) Se sen (A
BC) 5 1 __ 4 , calcule o valor de sen a.
João possui um terreno quadrangular 38. MNPQ e de-seja construir um jardim limitado pelos segmentos ___
MQ, ___
QN e ___
MN, cujas medidas estão indicadas na fi-gura, em metros. Para que seu cachorro não des-trua as suas plantas, João irá construir uma cerca em torno do jardim. Determine quantos metros de cerca João deverá construir.
Calcule, de acordo com a figura abaixo, a medida 39. do lado
___ AC e o seno do ângulo B
CA.
rQP
A
B
4 dm6 dm
14 dm
R. Nazaré Paulista
R. B R
. Leite
R. Bernarda Luis R. R
aul A
dalb
erto
R. M
e. A
ng
élic
a R
esen
de
R.L
ivi
R. Eng.
Cam
pos
de
Mario
Praça JoséAlves Nendo
DC
A B
QP d
T
6 m
O
3
6
y
B C
A
x � 1
x � 2
120°x
M
Q
N
P
4
8
A
B C60°
Na figura, as medida do triângulo 32. ABC estão dadas em centímetros. De acordo com a figura, qual é o valor de y?
Para incluir esta página no sumário, clicar + shift + command na caixa com texto transparente abaixo
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21
Os triângulos 40. ABC e DEF abaixo são semelhantes. Determine a medida do segmento
___ DE , sabendo que
as dimensões dos triângulos ABC e DEF estão na razão de 1 : 2.
Um triângulo equilátero está inscrito em uma cir-41. cunferência de raio 3. Determine a medida do lado desse triângulo.
O triângulo abaixo foi construído em uma malha 42. quadriculada, onde cada quadrado mede 1 cm de lado. Determine o cosseno do ângulo
A .
Na figura a seguir, o triângulo43. PQR está inscrito na circunferência de centro O e raio 4. Com base nos dados da figura, determine a medida do lado
___ PQ .
No triângulo a seguir determine o valor de 44. x.
Os lados de um triângulo têm como medidas núme-45. ros inteiros consecutivos cuja soma é 15.a) Calcule a medida do maior ângulo desse triân-
gulo.b) Calcule a medida do menor ângulo desse triân-
gulo.
c) Se o seno do menor ângulo mede dXX 7
___ 4 , determine o seno do maior ângulo.
A NASA (Agência Espacial Norte-Americana) utiliza 46. braços mecânicos para ajudar nos reparos externos da espaçonave, como mostra a fotografia abaixo.
A figura abaixo esquematiza uma determinada po-sição do braço mecânico.
a) De acordo com os dados da figura, determine a distância entre os pontos A e D.
b) Mantendo fixas as posições de B, C e D, analise o que ocorre com a medida da distância entre A e D quando alteramos o ângulo A
B D.
Desafios de lógica
Um triângulo é formado por dez botões e está 47. apontando para cima. Mova apenas três botões para fazer o triângulo apontar para baixo.
Mexa apenas um palito para obter uma expres-48. são correta.a)
b)
A
B C
50
30°37°
D
E F30°37°
B
A
C
C
A2 m
5 m
25°20°
140°D
B
P
RQO
75°
4
45°
M
x
6 6
PN 15°15°
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1 Trigonometria em triângulos quaisquer
Integre o aprendizado
22
Algumas grandezas da Física, para ficarem com-49.pletamente definidas, requerem três atributos: módulo, direção e sentido. Essas grandezas são chamadas de grandezas vetoriais. O símbolo que representa uma grandeza vetorial é chamado de
vetor. Sejam ___
› V 1 e
___ › V 2 dois vetores. A soma desses ve-
tores é um terceiro vetor chamado de vetor resul-
tante ( ___
› V R), ou seja,
___ › V R 5
___ › V 1 1
___ › V 2.
Para determinar o vetor resultante, utiliza-se a regra do paralelogramo, que consiste em colocar as origens dos dois vetores em um mesmo ponto e construir um paralelogramo, com segmentos paralelos a esses ve-tores. O vetor soma (ou vetor resultante) será repre-sentado pela diagonal do paralelogramo, cuja origem também coincide com a dos dois vetores.
a) Sabendo que o custo de construção da pista de cooper é de RS|| 150,00 para cada metro de com-primento da pista, determine o valor total a ser gasto nessa construção.
b) Responda sem fazer contas: se o ângulo medir 145°, o custo da pista deve ser maior ou menor que a do item anterior? Por quê?
A figura a seguir representa um balão preso por 51.meio de dois cabos, nos pontos A e C.
a) Com base nessas informações, desenhe em seu ca-derno o vetor resultante da soma dos vetores repre-sentados abaixo e determine o valor de seu módulo.
b) Forme um grupo de cinco alunos. Utilizando ve-tores de mesmo módulo do item anterior, cada um deverá representar em uma folha separada a resultante das forças para um dos seguintes ângulos: 50°, 40°, 30°, 20° e 10°. Compare os resultados. O que acontece com o comprimento das resultantes?
c) Determine os valores das resultantes e verifique se os resultados obtidos são coerentes com as conclusões do item anterior.
Em uma cidade há uma praça em forma de um cír-50.culo de centro C e raio 2 km. O prefeito mandou construir uma pista de cooper, representada na fi-gura abaixo pelo segmento
___ AB .
a) Se o ângulo formado pelos dois cabos é de 138°, determine a distância entre os pontos A e C.
b) O que aconteceria com o ângulo entre os cabos se, mantendo a distância entre os pontos A e C, fossem reduzidos seus comprimentos?
c) Se a distância entre os pontos A e C for reduzi-da, o que acontece com o valor do ângulo forma-do pelos cabos? Justifique.
Um trator ficou atolado em uma estrada de terra. 52.Para retirá-lo, foram amarradas duas cordas para que dois ônibus pudessem puxá-lo para fora da es-trada, como ilustra a figura.
a) Determine a força resultante (o vetor resultante) equivalente a essas duas forças.
b) Para desatolar o trator é necessário que a for-ça resultante seja maior do que 23 N. Conforme o esquema representado, os ônibus conseguirão desatolá-lo? Em caso negativo, forneça um novo ângulo entre as forças com que os ônibus pos-sam desatolar o trator.
c) Em que situação se obtém a melhor concentra-ção de forças? Justifique.
VRV1
V2
60°
10
8
C
135°B A
B
100 m 75 m
F1 5 10 N F2 5 10 N20°
A C
Para incluir esta página no sumário, clicar + shift + command na caixa com texto transparente abaixo
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23
C
B A�
E
D
F
�
Considere um relógio circular de ponteiros. Do cen-53.tro às extremidades, o ponteiro dos minutos mede 20 cm, e o das horas mede 10 cm.a) Determine a distância entre as extremidades
dos ponteiros quando o relógio marca 5 horas.b) Indique um horário em que a distância entre as
extremidades dos ponteiros seja de 10 dXX 3 cm.
A pirâmide regular representada abaixo tem base 54.quadrada de lado 5 dXX 2 cm e altura 12 cm.
a) Determine o cosseno de B A C, ângulo formado
por duas arestas laterais consecutivas.b) Para que o ângulo do item anterior seja maior, o
que deve acontecer com a altura da pirâmide?
a) O que se pode aplicar para determinar as medi-das dos segmentos
___ BC e
___ DF ?
b) Para qual intervalo de valores de b o triângulo ABC é acutângulo?
c) Na figura ao lado, tem-se uma circunferência de raio 10 e centro O. Associe os tri-ângulos representados com os triângulos ABC e DEF.
d) Qual é a medida do ângulo M
P N?
e) Se BC 5 x e DF 5 y, qual é o valor de x2 1 y2?
Expressãoelinguagemmatemática
1. Observe
O esquema acima mostra que, ao variar em 1 unidade a medida de um dos lados do triângulo retângulo, mantendo as medidas dos outros la-dos, obtém-se outro triângulo diferente do primeiro. Observe que hou-ve uma transformação geométrica do seguinte modo: a transformação da medida de um único lado implica na transformação do ângulo reto.
A
C
B
P
NMO 1010
4
3
5
a2 � b2 � c2
4
4
�
5
a2 ? b2 � c2
4
2�
5
a2 ? b2 � c2
Subtrai-se1 unidade
Acrescenta-se1 unidade
As figuras abaixo representam um triângulo acu-55.tângulo ABC e um triângulo obtusângulo DEF, sendo a um ângulo obtuso. Sabe-se ainda que AB 5 AC 5 ED 5 EF 5 10 e que a e b são ângulos suplementares. Com base nessas informações res-ponda às seguintes questões.
2. ReflitaSimule mentalmente outras trans- �formações geométricas no triân-gulo retângulo, sempre acrescen-tando ou subtraindo 1 unidade de apenas um de seus lados. Que relação você imagina que possa existir entre a transformação da medida do lado e a transformação do ângulo reto?A mesma transformação geomé-�trica acima pode ser interpretada também algebricamente. Como fica a sentença algébrica a2 5 b2 1 c2 após a transformação geométrica?
3. InvestigueTeste o fato geométrico acima com �outros triângulos retângulos sem-pre utilizando a simulação mental.Verifique se em todas as simula-�ções feitas por você a validade das sentenças algébricas se con-firmam.
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Estratégias e soluções
24
Quemestáfalandoaverdade?
André, Bruno e Cláudia estavam
jogando futebol quando um
deles deu um chute forte e a bola acertou a
vidraça...
Alguma das crianças está falando a verdade? Qual?
»Identificaçãoeregistrodeinformações
Considere as falas das personagens na segunda cena para responder às próximas qua-tro questões.
1. Quais possibilidades de resposta para esse problema você imagina que possam ocorrer?
2.Se o André estiver mentindo, o que se pode concluir de imediato?
3.E se o Bruno estiver mentindo, qual é a conclusão imediata?
4.Se a Cláudia estiver mentindo, isso significa que o André e o Bruno estão falando a ver-dade?
»Elaboraçãodehipóteseseestratégiasderesolução
1. Considerando suas respostas anteriores, elabore todas as hipóteses para a resposta do problema, registrando-as em seu caderno.
2.Teste as hipóteses que você elaborou, confrontando cada uma com a fala das três crian-ças na segunda cena.
3.Alguma das três crianças está falando a verdade? Quem? Justifique sua resposta.
4.Qual das três crianças chutou a bola?
»Reflexão
1. É possível obter a solução do problema utilizando outra estratégia? Descreva-a.
2.Você já conhecia problemas como este? Descreva-os.
3.Um problema semelhante a este pode ser obtido considerando um único personagem que acusa a si próprio de mentiroso, como no quadro ao lado. Nesse caso, André está mentindo ou falando a verdade?
4.A simplificação da situação apresentada tornou o problema mais simples? Justifique.
5.É possível resolvê-lo? Explique.
Resolva os problemas 1 e 8 das páginas 366 e 367.
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25
Roteiro de estudos
Considere �� x um ângulo obtuso qualquer. Para determi-nar senos e cossenos de ângulos obtusos, podem-se utilizar as seguintes relações.
sen x 5 sen (180° 2 x)cos x 5 2cos (180° 2 x)
Desafio�1 Determine o valor de x para que as seguintes expressões sejam verdadeiras:a) sen (180° 2 x) 5 cos (180° 2 x)b) |sen (180° 2 x)| 5 |cos (180° 2 x)|
Desafio�2 Coloque os valores indicados abaixo em or-
dem crescente.
Seno e cosseno de ângulos obtusos
Retome os conteúdos com os exercícios propostos 8 e 9 e com os exercícios complementares 30 a 34.Resolva o exercício 30 de Vestibular e Enem.
Em um triângulo qualquer, o quadrado da medida de ��um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto.
Desafio�4 Considere o triângulo abaixo.
a b
c
Sabe-se que os lados do triângulo estão em centímetros e que são válidas as relações a seguir.
3 �� ? a 5 8 ? c 3 �� ? b 5 10 ? c
Qual é o valor aproximado do ângulo interno oposto ao lado que mede a centímetros?
Lei dos cossenos
Retome os conteúdos com os exercícios propostos 21 ao 29 e com os exercícios complementares 35, 37 e 38.Resolva os exercícios 21, 33 e 39 de Vestibular e Enem.
Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são ��proporcionais aos senos dos ângulos opostos, e essas razões são iguais à medida do diâmetro da circunfe-rência circunscrita a esse triângulo.
A
CB
O
a
c b
A^
C^B^
R
a______ sen
A 5 b_____
sen
B 5 c_____
sen
C 5 2R
Desafio�3 Uma bijuteria é moldada na forma de uma estrela regular de quatro pontas. Para ajudar a moldar essa bijuteria, são utilizadas duas circunferências, de modo que a maior tem raio igual a 4 cm. Com base nes-sas informações e conforme a figura abaixo, determine o perímetro da estrela.
Lei dos senos
Retome os conteúdos com os exercícios propostos 13, 15, 16 e 18 e com os exercícios complementares 40 e 43.Resolva o exercício 38 de Vestibular e Enem.
30°
B a
c
b
C
A
B^
b2 5 a2 1 c2 2 2 ?a ? c ? cos B
sen 120° sen 150° sen 135° sen 100°
cos 120° cos 135° cos 150°
Para incluir esta página no sumário, clicar + shift + command na caixa com texto transparente abaixo
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