trigonometric book volume 1_vo anh khoa_hoang ba minh
TRANSCRIPT
LNG GICMT S CHUYN V NG DNGTP 1 : BIN I LNG GIC V H THC LNG
V ANH KHOA HONG B MINH
V ANH KHOA HONG B MINH
LNG GICMT S CHUYN V NG DNGTP 1 : BIN I LNG GIC V H THC LNG
TP. H CH MINH, THNG 7 2011
LI NI UCun sch LNG GIC MT S CHUYN V NG DNG ny c bin son vi mc ch cung cp, b sung kin thc cho hc sinh THPT v mt s bn c quan tm n mng kin thc ny trong qu trnh hc tp v lm vic. cun sch ny, ngoi vic a ra nhng khi nim v dng bi tp c bn, chng ti s thm vo lch s v ng dng ca mn hc ny cc bn hiu r hn N xut pht t u v ti sao chng ta li phi hc n?. cc chng chnh, chng ti chia lm 3 phn : Phn I : Nu l thuyt cng v d minh ha ngay sau , gip bn c hiu v bit cch trnh by bi. ng thi a ra cc dng ton c bn, thng gp trong qu trnh lm bi trn lp ca hc sinh THPT. phn ny, chng ti s trnh by mt s bi bn c c th nm vng hn, trnh sai st. Phn II : Trong qu trnh tham kho v tng hp ti liu, chng ti s a vo phn ny cc dng ton kh nhm gip cho cc hc sinh bi dng, rn luyn k nng gii LNG GIC thnh tho hn khi gp phi nhng dng ton ny. Phn III : Chng ti s a ra li gii gi cho mt s bi, qua bn c kim tra li p s, li gii hoc cng c th tham kho thm. Trong qu trnh bin son, mc d chng ti c gng bng vic tham kho mt lng rt ln cc ti liu c sn v tip thu c chn lc kin t cc bn ng nghip dn hon thin cun sch ny, nhng kh trnh khi nhng thiu st bi tm hiu bit v kinh nghim cn hn ch, chng ti rt mong nhn c kin ng gp qu bu ca bn c gn xa. Chi tit lin h ti : [email protected] [email protected]
CC TC GI V ANH KHOA HONG B MINH.
LI CM NTrong qu trnh bin son, chng ti xin cm n n nhng bn cung cp ti liu tham kho v vui lng nhn kim tra li tng phn ca bn tho hoc bn nh my, to iu kin hon thnh cun sch ny : T Nguyn Nht Minh (H Quc T Tp.HCM) Ng Minh Nht (H Kinh T Tp.HCM) Mai Ngc Thng (H Kinh T Tp.HCM) Trn Lam Ngc (THPT Chuyn Trn i Ngha Tp.HCM) Nguyn Huy Hong (THPT Chuyn L Hng Phong Tp.HCM) Nguyn Hoi Anh (THPT Chuyn Phan Bi Chu Tp.Vinh) Phan c Minh (H Khoa Hc T Nhin H Ni)
v mt s thnh vin din n MathScope.
MC LCTP 1 : BIN I LNG GIC V H THC LNGCHNG 1 : S LC V KHI NIM V LCH S ....................................... 1 CHNG 2 : CC BIN I LNG GIC ........................................................ 4 2.1 CHNG MINH MT NG THC LNG GIC ................................... 7 BI TP T LUYN ................................................................................... 15 2.2 TNH GI TR CA BIU THC ............................................................... 21 BI TP T LUYN ................................................................................... 33 2.3 CHNG MINH NG THC LNG GIC SUY T NG THC LNG GIC KHC CHO TRC .......................................................... 36 BI TP T LUYN ................................................................................... 45 2.4 CHNG MINH BIU THC LNG GIC KHNG PH THUC VO BIN S ....................................................................................................... 46 BI TP T LUYN ................................................................................... 51 CHNG 3 : H THC LNG TRONG TAM GIC ....................................... 52 3.1 CHNG MINH NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC ......... 55 BI TP T LUYN ................................................................................... 77 3.2 CHNG MINH BT NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC ..................................................................................... 81 BI TP T LUYN .................................................................................. 133 3.3 NHN DNG TAM GIC V TNH CC GC TRONG TAM GIC..... 143 BI TP T LUYN .................................................................................. 191
C THM : TM LC TIU S CC NH KHOA HC C NH HNG N LNG GIC .................................................. 199 TI LIU THAM KHO ........................................................................................... 205
Chng 1 : S lc v khi nim v lch s
CHNG 1 S LC V KHI NIM V LCH SI. KHI NIM Trong ton hc ni chung v lng gic hc ni ring, cc hm lng gic l cc hm ton hc ca gc, c dng khi nghin cu tam gic v cc hin tng c tnh cht tun hon. Cc hm lng gic ca mt gc thng c nh ngha bi t l chiu di hai cnh ca tam gic vung cha gc , hoc t l chiu di gia cc on thng ni cc im c bit trn vng trn n v. Su xa hn, kha cnh hin i hn, nh ngha hm lng gic l chui v hn hoc l nghim ca phng trnh vi phn, iu ny cho php hm lng gic c th c i s l mt s thc hay mt s phc bt k.
( Dng th hm sin )
II.
LCH S Nhng nghin cu mt cch h thng v vic lp bng tnh cc hm lng gic c cho l thc hin u tin bi Hipparchus(1) (180-125 TCN), ngi lp bng tnh di cc cung trn v chiu di ca dy cung tng ng. Sau , Ptomely(2) tip tc pht trin cng trnh, tm ra cng thc cng v tr cho v , Ptomely cng suy din ra c cng thc h bc, cho php ng lp bng tnh vi bt k chnh xc cn thit no. Tuy nhin, nhng bng tnh trn u b tht truyn. Cc pht trin tip theo din ra n , cng trnh ca Surya Siddhanta(3) (th k 4-5) nh ngha hm sin theo na gc v na dy cung. n th k 10, ngi Rp dng c 6 hm lng gic c bn vi chnh xc n 8 ch s thp phn. Cc cng trnh u tin ny v cc hm lng gic c bn u c pht trin nhm phc v trong cc cng trnh thin vn hc, c th l dng tnh ton cc ng h mt tri.
1
Chng 1 : S lc v khi nim v lch s Ngy nay, chng c dng o khong cch ti cc ngi sao gn, gia cc mc gii hn hay trong cc h thng hoa tiu v tinh. Rng hn na, chng c p dng vo nhiu lnh vc khc : quang hc, phn tch th trng ti chnh, in t hc, l thuyt xc sut, thng k, sinh hc, dc khoa, ha hc, l thuyt s, a chn hc, kh tng hc, hi dng hc Ta ly v d t mt bi ton sau trch t Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight, Darkness and Time : Vic m hnh ha v s gi chiu sng ca mt tri l hm thi gian trong nm ti nhiu v khc nhau. Cho bit Philadelphia nm v Bc, tm hm biu th s gi chiu sng ca mt tri ti Philadelphia.
Ch rng mi ng cong tng t vi mt hm s sin m b di chuyn v ko cng ra. Ti cao ca Philadelphia, thi gian chiu sng ko di 14,8 gi vo ngy 21 thng 6 v 9,2 gi vo ngy 21 thng 12, vy nn bin ca ng cong (h s ko cng theo chiu dc) l :
H s no m chng ta cn ko cng th hnh sin theo chiu ngang nu chng ta o thi gian trong ngy? Bi c 365 ngy/ nm, chu k ca m hnh nn l 365. Nhng m giai on ca l , nn h s ko cng theo chiu ngang l :
2
Chng 1 : S lc v khi nim v lch s
Chng ta cng rng ng cong bt u mt chu trnh ca n vo ngy 21 thng 3, ngy th 80 ca nm nn chng ta phi phi dch chuyn ng cong v bn phi 80 n v. Ngoi ra, chng ta phi a n ln trn 12 n v. Do chng ta m hnh ha s gi chiu sng ca ca mt tri trong nm Philadelphia vo ngy th ca nm bng hm s : [ ]
3
Chng 2 : Cc bin i lng gic
CHNG 2 CC BIN I LNG GICI. BNG GI TR LNG GIC CA CC CUNG C LIN QUAN C BIT Ta gi cung c lin quan c bit vi cung l cc cung : i vi : B vi Hiu : vi : vi :
-
Hn km
cos sin tan cot Ngoi ra, c mt s hm lng gic khc :
II. 1.
CNG THC LNG GIC CNG THC C BN ( ( ) )
4
Chng 2 : Cc bin i lng gic
T hnh v thc tin trn, ta rt ra c mt s cng thc c bn v hm lng gic : 2. CNG THC CNG
(
)
3. a.
CNG THC NHN CNG THC NHN 2
{ ( b. CNG THC NHN 3 ( ( ( Cng thc tng qut i vi hm tan : ) ) ) ( ( ( ) ) ) )
5
Chng 2 : Cc bin i lng gic c. CNG THC TNH THEO
(
)
d.
CNG THC H BC
4. a.
CNG THC BIN I TCH THNH TNG [ [ [ [ ] ] ] ]
b.
TNG THNH TCH
(
)
( (
) )
6
Chng 2 : Cc bin i lng gic c. CNG THC B SUNG Trong { III. 1. ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( ) )
-
CC LOI TON V PHNG PHP GII CHNG MINH MT NG THC LNG GIC Ta thng s dng cc phng php : bin i v phc tp hoc nhiu s hng thnh v n gin; bin i tng ng; xut pht t ng thc ng no , bin i v ng thc cn chng minh. Trong khi bin i ta s dng cc cng thc thch hp hng n kt qu phi t c. Lu mt s cng thc trn phi chng minh trc khi s dng.
Bi 1: Chng minh cc ng thc sau : a.
b.Gii: a. Ta c :
b.
Ta c : ( )
7
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 2: Chng minh ng thc sau :
Gii: a. Ta c : ( )
b.
Ta c iu cn chng minh tng ng vi
iu ny hin nhin ng nn ta c iu phi chng minh. c. Ta c :
d.
Ta c : ( )
8
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 3: Chng minh : a. b. Suy ra gi tr :
Gii: a. Ta c :
Vy ta c iu phi chng minh. b. Ta c :
Nn
Vy ( ) ( )
Bi 4: Chng minh
p dng tnh tng sau :
9
Chng 2 : Cc bin i lng gic
Gii: Ta c : ( )
Suy ra
V
Nn
Bi 5: Cho Chng minh
vi
Gii: Ta c :
( 10
)
Chng 2 : Cc bin i lng gic Nn [ ]
Khi th th
Vy ta c iu phi chng minh. Bi 6: Chng minh
(H Nng 1998) Gii: t
Ta c :
[
(
)]
[
( (
)] )
Do
Bi 7: Chng minh
11
Chng 2 : Cc bin i lng gic Gii: Ta c iu cn chng minh tng ng vi
iu ny hin nhin ng nn ta c iu phi chng minh. Bi 8: Chng minh ( Gii: Ta c : ( ) ( ) )
Do , ta c iu phi chng minh. Bi 9: Chng minh
Gii: Ta c :
12
Chng 2 : Cc bin i lng gic ( )
Do , ta c iu phi chng minh. Bi 10: Chng minh (HSP Hi Phng 2001) Gii: t
Ta c :
p dng cng thc trn, ta c :
Nhn li, ta c :
Vy
13
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 11: Chng minh rng
( ( Gii: Ta c : S dng cng thc ny, ta c : )
)
..
Cng li, ta c c iu phi chng minh. Ta s dng cng thc Ta c : [ ]
Vy ta c iu phi chng minh. Ta s dng cng thc Ta c : [ ]
Vy ta c iu phi chng minh. 14
Chng 2 : Cc bin i lng gic BI TP T LUYN 2.1.1. Chng minh cc ng thc sau a. b. c. 2.1.2. Chng minh
2.1.3. Chng minh ( p dng tnh tng : ) ( )
2.1.4. Chng minh
[
]
[
] l nghim ca phng trnh
2.1.5. Chng minh T suy ra gi tr ca
,
,
15
Chng 2 : Cc bin i lng gic 2.1.6. Cho 3 gc Chng minh tha
2.1.7. Chng minh
2.1.8. Chng minh
(HQG H Ni 1996) 2.1.9. Chng minh [ 2.1.10. Chng minh ]
2.1.11. Chng minh
2.1.12. Chng minh (HQG H Ni 2001) 16
Chng 2 : Cc bin i lng gic 2.1.13. Chng minh (H Phng Chy Cha Chy 2001) 2.1.14. Chng minh (HQG H Ni 1995) 2.1.15. Chng minh
2.1.16. Chng minh
2.1.17. Chng minh
2.1.18. Chng minh
2.1.19. Chng minh
( 2.1.20. Chng minh
)
(
)
17
Chng 2 : Cc bin i lng gic 2.1.21. Chng minh
2.1.22. Chng minh
GI GII BI TP T LUYN 2.1.1. S dng cng thc h bc. 2.1.3. t Khi ( p dng tnh tng, vit li thnh ) ( )
Ri s dng cng thc chng minh trn. 2.1.4. a)
b)
[ ]
c)
Ta c :
d)
Ta c iu cn chng minh tng ng vi :
18
Chng 2 : Cc bin i lng gic 2.1.5. S dng cng thc
Cho
, ta c :
Suy ra
2.1.6. p dng cng thc :
2.1.9. Cn chng minh [ ]
2.1.10.
2.1.12. Ta c :
2.1.13. Nhn 2 v cho 2.1.14. p dng cng thc
.
19
Chng 2 : Cc bin i lng gic Vit li 2.1.15. a) thnh
b)
S dng cng thc
Ta c iu phi chng minh tng ng vi [ 2.1.16. a. Cn chng minh ]
Suy ra
b.
Ta c iu cn chng minh tng ng vi
2.1.17. rng 2.1.18. p dng cng thc
2.1.19. Ta ch cn chng minh ( 20 ) ( ) ( ) ( )
Chng 2 : Cc bin i lng gic 2.1.21. S dng cng thc sau :
2. -
TNH GI TR CA BIU THC loi bi tp ny, ngoi cc cng thc bin i c bn, ta cn ch thm cc cng thc sau : ( ) ( ) ( )
-
Nh cung lin kt ta c th a cc cung ln hn khong . Khi cn rt gn biu thc
hay cung m v cung trong
Ta dng cng thc
-
Khi cn rt gn biu thc
Ta vit
V dng cng thc bin i tch thnh tng rt gn. Ngoi ra, tnh gi tr mt biu thc ta chng t cc s hng trong biu thc l nghim ca mt phng trnh, t ta dng cng thc Vite(4) tnh tng hoc tch ca lng phi tm. Cn nh li cng thc Vite bc 3 sau: Gi l 3 nghim ca phng trnh th
-
21
Chng 2 : Cc bin i lng gic
{ T c th suy ra
Bi 1: Tnh
Gii: Ta c :
(
)
Bi 2: Rt gn biu thc [ Tnh gi tr ca nu ( ) ]
22
Chng 2 : Cc bin i lng gic Gii: Ta c :
Mt khc Bi 3: Tnh gi tr ca cc biu thc sau
Gii: Ta c :
(
)
23
Chng 2 : Cc bin i lng gic
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Bi 4: Rt gn biu thc sau vi Gii: Ta c :
( | | { ( ) )
24
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 5: Tnh Gii: Ta c : . T chng minh l s v t.
Nn Suy ra t ; l nghim ca phng trnh
Hay
V
nn
V
nn
Gi s
l s hu t, suy ra ; cng l nhng s hu t.
cng l s hu t. ;
Nh vy ln lt ta c Do , M
cng l s hu t.
Nn l s hu t. (v l) Vy ta c iu phi chng minh.
25
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 6: Cho phng trnh tnh biu thc sau y theo c 2 nghim . . Hy
Gii: Ta xt 2 trng hp sau * Nu * Nu th th [ [ M ] ] .
Vy [ ( ( ) ) ]
Bi 7: Tm 1 phng trnh bc 3 c cc nghim l
T , tnh tng
Gii: Nu ta c {
26
Chng 2 : Cc bin i lng gic Th l 3 nghim ca phng trnh bc 3
Ta c :
( ( ( Vy phng trnh cn tm l )
) ) ( )
Suy ra
.
Bi 8: Chng minh rng
( ngh Olympic 30-4, 2006) Gii:
27
Chng 2 : Cc bin i lng gic Hay T ta c (loi v khng tha 3 nghim trn)
Nh vy nh l Vite, ta c { t { Khi { Suy ra
Do Nn Vy
28
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 9: Tnh tng { Vi Gii: T h ta c : { Suy ra .
Do {
{
Bi 10: Cho Hy tm
Gii: T gi thuyt, ta c :
V
nn
29
Chng 2 : Cc bin i lng gic
(
)
Bi 11: Rt gn biu thc sau Gii: Ta c :
Bi 12: ( ) (H Hu 1996) Gii: Ta c : ( )
30
Chng 2 : Cc bin i lng gic Mt khc :
Do
nn
Suy ra
( Bi 13: Tnh gi tr ca biu thc
)
Gii: Ta s p dng vo bi ton trn bng hng ng thc D thy ( ( Nh vy : nh l Vite, ta c : { Suy ra ) ) ( ) ( )
31
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 14: Cho l 3 nghim ca phng trnh :
Chng minh rng
Gii: bi ton ny, ta thy Do , theo nh l Vite, ta c : { Mt khc : ( ) ( )
.
p dng bt ng thc :
Ta c :
Cn chng minh bt ng thc :
Tht vy, vi (
, ta c : )
32
Chng 2 : Cc bin i lng gic Do ,
Vy ta c c iu phi chng minh. BI TP T LUYN 2.2.1. Tnh gi tr ca cc biu thc sau:
2.2.2. Tm 1 phng trnh bc 3 c cc nghim l
T , tnh tng
2.2.3. Cho
Tnh 2.2.4. Tnh
. , bit ( )
2.2.5. Rt gn cc biu thc sau :
33
Chng 2 : Cc bin i lng gic
(
)
(
) ( ) ( )
(
) (
( )
) (
( )
)
(
(
))
2.2.6. Tnh
2.2.7. Tnh
bit
34
Chng 2 : Cc bin i lng gic 2.2.8. Tnh theo bit
2.2.9. Cho
. Tnh gi tr ca cc biu thc sau
2.2.10. Cho
. Tnh
2.2.11. Cho
. Tnh
2.2.12. Cho
v
. Tnh
.
GI GII BI TP T LUYN 2.2.3. t { Ta c h phng trnh { 2.2.4. [ ]
2.2.6. [ 2.2.7. ]
35
Chng 2 : Cc bin i lng gic 2.2.8. T h thc
Ta bin i
theo
. , t ta
2.2.9. bc ca t bng bc ca mu, do c gi tr thc nn ln lt chia t v mu cho i vi v cho cho . 2.2.10.
2.2.11.
3. CHNG MINH NG THC LNG GIC SUY T NG THC LNG GIC KHC CHO TRC - y l loi bi tp chng minh ng thc lng gic c iu kin v t iu kin kt hp vi cc cng thc lng gic ph hp suy ra iu cn phi chng minh. Bi 1: Cho { Gii: Ta c :
. Chng minh rng :
Vy ta c iu phi chng minh. Bi 2: Chng minh rng nu v
Th
36
Chng 2 : Cc bin i lng gic Gii: Ta c : ( )
( Suy ra
)
Bi 3: Cho Chng minh rng
Gii: Ta c :
Khi :
Vy ta c iu phi chng minh. 37
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 4: Cho v tha
Chng minh rng :
c nghim ( ngh Olympic 30-4, 2006)
Gii: Ta c : [ ]
V Ta c 2 trng hp sau : Nu Nu
{
c v s nghim thuc th ( ) )
( )
(
y, ta s s dng nh l : Nu hm s lin tc trn on [ th tn ti t nht 1 im sao cho . Nh vy, ta thy
] v
38
Chng 2 : Cc bin i lng gic { ( ) Do , c nghim thuc . [ ]
Vy ta c iu phi chng minh. Bi 5: Cho Gii: Ta cn chng minh Tht vy, ta c M { l 2 gc nhn tha h {
Suy ra
M
l 2 gc nhn nn ta c iu phi chng minh.
Bi 6: Chng minh rng nu { Th
(H Thng Mi H Ni 1998)
39
Chng 2 : Cc bin i lng gic Gii: Ta c : [ ]
Bi 7: Cho
Chng minh rng
Gii: Ta c : ( ( [ ) ) ]
Vy ta c iu phi chng minh.
40
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 8: Cho { Chng minh rng : Gii: Ly suy ra : [ ]
Vy Ly suy ra :
[
]
Vy Do , ta c : [ Bi 9: Chng minh rng nu nh cn thit th
] , vi
tha cc iu kin xc
Gii: bi ton ny, ta s s dng cng thc
41
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 10: Cho Chng minh rng : Gii: t { Ta cn chng minh: Hay Tht vy, ta c : [ [ Vy ta c iu phi chng minh. Bi 11: Cho 3 s h thc : i mt khc nhau v 4 gc c lin h vi nhau bi ] ] .
Chng minh rng
Gii: p dng tnh cht ca t l thc, ta c :
Do ,
42
Chng 2 : Cc bin i lng gic [ Tng t, ta c : [ [ Cng cc ng thc trn li, ta c c iu phi chng minh. Bi 12: Cho ] ] ]
Chng minh rng : ( ngh Olympic 30-4, 2006) Gii: rng : [ Tng t vy, ta c : ]
Cng 3 ng thc li, ta c :
43
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 13: Cho
{
Chng minh rng
Gii: T gi thuyt, ta c :
Hay
[
]
Khi ,
Vy ta c iu phi chng minh.
44
Chng 2 : Cc bin i lng gic BI TP T LUYN 2.3.1. Cho 3 gc tha iu kin Chng minh : 2.3.2. Cho Chng minh rng
2.3.3. Cho
. Chng minh :
2.3.4. Cho
. Chng minh
2.3.5. Chng minh rng nu
Th 2.3.6. Cho Chng minh rng : . ( ngh Olympic 30-4, 2004) GI GII BI TP T LUYN 2.3.1. t Ta s chng minh Bin i t gi thuyt sau :
2.3.2. T gi thuyt, ta rt ra c Ch cn chng minh khi 2.3.3. , t gi thuyt, ta c : { 2.3.4. iu cn chng minh tng ng vi hay th ta c c iu phi chng minh.
45
Chng 2 : Cc bin i lng gic 2.3.5. T gi thuyt, ta bin i nh sau :
(
)(
)
( , ta c : )( )
)
Chia 2 v ca ng thc cho (
T , ta c iu phi chng minh. 2.3.6. bi 2.1.5 ta chng minh , nn Do , gi thuyt tng ng vi : Lu mnh : | Suy ra : Mt khc, ta c b :
l nghim ca phng trnh
nguyn t. . ( )
Nn Do , Trong ,
c hiu l
|
nhng
.
4. CHNG MINH BIU THC LNG GIC KHNG PH THUC VO BIN S - Khi gp biu thc c cha , ta thng s dng cc phng php sau : t n ph vi kt qu sau : Dng cc cng thc h bc t n ph theo - Ch : i vi nhng bn c bit v cc khi nim ca o hm cc hm s lng gic, ta c th dng kin thc Nu vi mi th l hm hng vi mi . 46
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 1: Chng minh cc biu thc sau khng ph thuc vo
Gii: [ ( [ ] [ ) ( ] ) ]
[ [
] ]
[ [
] ]
t
47
Chng 2 : Cc bin i lng gic
[
]
Bi 2: Chng minh : Nu th biu thc sau khng ph thuc vo
Gii: Ta c :
[ M Do , [ [ [ [ [ [ Do nn ] [ ] ] ] ] ] ] nn
]
.
48
Chng 2 : Cc bin i lng gic Bi 3: Cho
a. Chng minh : b. Tnh gi tr ca ( ) (H Hng c 1998) Gii: bi ny, ta c 2 cch chng minh. Cch 1: Ta chng minh Tht vy, ta c : l hm hng .
(
)
Cch 2: Ta c :
Nh vy, ( ) ( )
Bi 4: Tm
gi tr ca hm s sau khng ph thuc vo bin s
49
Chng 2 : Cc bin i lng gic Gii: Ta c :
( Vy ( khng ph thuc vo bin s th ) , khi . (
)
)
50
Chng 2 : Cc bin i lng gic BI TP T LUYN 2.4.1. Chng minh cc biu thc sau khng ph thuc vo bin s ( ( ) ) ( ( ) ) ( )
( )
2.4.2. Tm
gi tr ca hm s sau khng ph thuc vo bin s
GI GII BI TP T LUYN 2.4.2. Do , khng ph thuc vo bin s th
51
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
CHNG 3 H THC LNG TRONG TAM GICI. CC K HIU C BN : cc gc nh : di cnh i din vi nh : di ng cao h t nh : di ng trung tuyn k t nh : di ng phn gic trong k t nh : bn knh ng trn ngoi tip tam gic : bn knh ng trn ni tip tam gic : bn knh ng trn bng tip tam gic nh : na chu vi tam gic : din tch tam gic II. CC NH L V CNG THC C BN 1. NH L HM S SIN Trong tam gic , ta lun c :
T , ta c h qu sau :
2. NH L HM S COS Trong tam gic , ta lun c :
52
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
T , ta c h qu sau tnh s o gc ca tam gic
:
T h qu trn, ta c thm c kt qu sau :
3. NH L HM S TAN Trong tam gic , ta lun c :
4. NH L HM S COT Trong tam gic , ta lun c :
5. NH L CC HNH CHIU Trong tam gic , ta lun c :
6. CNG THC V DI TRUNG TUYN Trong tam gic , di 3 ng trung tuyn c xc nh bi cng thc :
T , ta c cng thc v tng bnh phng ca 3 ng trung tuyn trong tam gic
:
53
Chng 3 : H thc lng trong tam gic 7. CNG THC V DI PHN GIC TRONG Trong tam gic , di 3 ng phn gic trong c xc nh bi cng thc :
8. CNG THC V DI NG CAO Trong tam gic , di 3 ng cao c xc nh bi cng thc :
9. a.
CNG THC V DI BN KNH BN KNH NG TRN NI TIP
b.
BN KNH NG TRN NGOI TIP
c.
BN KNH NG TRN BNG TIP
54
Chng 3 : H thc lng trong tam gic 10. CNG THC V DIN TCH TAM GIC Ta c cng thc tnh din tch tam gic bng nhiu cng thc khc nhau :
{ Lu : Cng thc c nh ton hc v vt l Heron(5) pht hin nn thng c gi l Cng thc Heron. III. 1. CC LOI TON V PHNG PHP GII CHNG MINH NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC chng minh loi ton ny, chng ta c nhiu phng php gii khc nhau, chng hn nh : bin i v ny thnh v kia, xut pht t mt h thc ng bit suy ra ng thc cn chng minh, chng minh tng ng Trong lc chng minh, ta ch mt s k thut sau : S dng bin i lng gic : s dng cc cng thc bin i tch thnh tng hoc ngc li, cng thc h bc, cng thc cung c lin quan c bit nh : ( ( ) ( ) ( ) )
-
S dng nh l hm s sin, hm s cos : Ta thng dng nh l ny bin i h thc phi chng minh thnh mt h thc ch c hm s lng gic v dng cc cng thc bin i lng gic chng minh. S dng cng thc tnh din tch : dng tm mi quan h gia cc cnh, gc, bn knh ng trn ngoi tip, ni tip, bng tip.
55
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Trc ht, ta nn nh mt s ng thc c bn trn trong tam gic nhm gip cho chng ta s dng thnh tho cc k thut chng minh trong dng ton ny, ng thi lm tng nhy khi gp nhng bi ton phc tp khc. Bi 1: Chng minh cc ng thc c bn trong tam gic :
(H Tng Hp Tp.HCM 1995)
Gii: a. Ta c : ( ( b. Ta c : ( ( c. Ta c : [ [ ] ] ) ) ) )
56
Chng 3 : H thc lng trong tam gic d. Ta c : [ [ e. Ta c : ] ]
[ [ f. Ta c : ]
]
[ [ g. Ta c : ]
]
(
)
(
)
h.
Ta c :
( i. Ta c :
)
j.
Ta c : ( ) ( )
57
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 2: Chng minh trong tam gic , ta lun c
(H Giao Thng Vn Ti 1995) Gii: Ta c 2 cch chng minh bi ton ny Cch 1: Ta c :
Tng t :
Cng 3 ng thc trn, ta c iu phi chng minh. Cch 2: Theo nh l hm s cos, ta c : { Theo nh l hm s sin, ta c : { Suy ra :
Vy ta c iu phi chng minh. Bi 3: Trong tam gic , chng minh ng thc
(H Y Hi Phng 1998) Gii: Ta c :
58
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 4: Chng minh rng trong tam gic ( ta lun c ) (H Ngoi Thng H Ni 1998)
(H Ngoi Thng Tp.HCM 2001)
(H Ngoi Ng H Ni 1998)
(HQG H Ni 1998)
(H Dc H Ni 1998) Gii: a. Trong tam gic
, ta lun c :
Mt khc, ta li c :
Cng 3 ng thc trn v thm h thc sn c, ta c c iu phi chng minh. b. Ta c :
59
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Mt khc : ( ( ) ) [ ( ) ]
Tng t, ta c :
Suy ra
Ta xt : ( [ Vy ta c c iu phi chng minh. c. Ta c : ] ) ( )
d.
Ta c :
Tng t, ta c :
60
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Cng 3 ng thc trn li, ta c : ( M )
Nn e.
. Theo nh l cos, ta c :
Tng t, ta c :
Cng 3 ng thc trn ta c :
Vy ta c c iu phi chng minh. Bi 5: Chng minh rng trong tam gic ta lun c
(Hc Vin Quan H Quc T 1998)
(Hc Vin Quan H Quc T 2000)
(Hc Vin Ngn Hng 2000) Gii: a. Ta c :
61
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Mt khc :
(
)
(
)
Vy
b.
Ta c :
Do , iu cn chng minh tng ng vi :
(
)
(
)
(
)
iu ny hin nhin ng, ta c iu phi chng minh. c. cu a, ta chng minh :
Ta xt :
( Do ,
)
62
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 6: Cho tam gic . Chng minh rng :
Gii: a. Ta c :
Tng t, ta c :
Cng 3 ng thc trn, ta c : Vy theo nh l hm s sin, ta c iu phi chng minh. b. Ta c : Do , theo nh l hm s sin, ta c :
c.
Ta c :
63
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Mt khc, ta c : ( ( Tng t : ( ( Cng 3 ng thc trn, ta c c iu phi chng minh. Bi 7: Vi . Ta c mt s ng thc tng qut trong tam gic ) ) ) ) ( ( ) )
Gii: a. Ta c :
Ta xt : ( )
64
Chng 3 : H thc lng trong tam gic ( ) ( )
Tng t vy, ta c : ( ( Suy ra [ ( ) ( )] ) )
b.
Ta c :
Ta thy :
V ( Suy ra [ c. Ta c : ] )
[ d. Ta c :
]
M ( ) 65
Chng 3 : H thc lng trong tam gic ( ) ( )
V ( ( ) ( ) )
Suy ra [ ]
e.
Ta c :
[ f. Ta c :
]
[
]
Bi 8: Gi l tm ng trn ni tip tam gic . Chng minh rng
. t
66
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Gii:
Ta c :
Suy ra ( ) ( ) ( )
Bi 9: Cho tam gic . Chng minh
c 3 gc
theo th t to thnh cp s nhn cng bi
Gii: T gi thuyt, ta suy ra
{ a. Ta c :
67
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
(v Mt khc, trong tam gic
) ta lun c :
Nn . Do , ta c iu phi chng minh. b. Ta c :
(v ) Vy ta c iu phi chng minh. c. Trong tam gic , ta lun c : ( Vy ta c iu phi chng minh. d. Theo nh l hm s sin, iu cn chng minh tng ng vi )
Ta c :
Vy ta c iu phi chng minh.
68
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 10: a. Cho tam gic , . Chng minh rng
(H Cn Th 1998) b. Chng minh rng : trong tam gic nu thnh cp s cng th cng to thnh cp s cng. theo th t to
(H Thng Mi H Ni 2000) c. Cho tam gic c . Chng minh rng
(Tp ch Ton hc v Tui tr) Gii: a. Ta c gi thuyt tng ng vi
(
)
Theo nh l hm s sin, ta c iu phi chng minh. b. lp thnh cp s cng
[
]
69
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Theo nh l hm s sin, ta c iu phi chng minh. c. Theo nh l hm s sin, ta suy ra
p dng tnh cht t l thc, ta c :
ng thc ny ta thy c
nn
Gi s th Mt khc, do nn n y, ta c c mu thun. Do :
hay .
. Khi
(v
)
Bi 11: Cho tam gic sau :
c l tm ng trn ni tip. Chng minh cc ng thc
70
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
(
)
(
)
(
)
(
)
Gii: a. Ta cn chng minh :
Tht vy, ta c :
M theo nh l hm s sin, ta c :
Suy ra
Mt khc, ta li c : { Do ,
b.
Ta c :
71
Chng 3 : H thc lng trong tam gic c. Ta c :
d.
Theo nh l hm s sin, ta c :
Vy ta c iu phi chng minh. e.
Ta thy tam gic
vung ti nn
Tng t, ta c :
Mt khc, ta li c :
Nn
72
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 12: Cho tam gic . Chng minh rng ta lun c :
( ngh Olympic 30-4, 2007) Gii: Trc ht ta s chng minh : Tht vy ta c : ( )
Li c :
Tng t th ta cng c :
Vy
l nghim ca phng trnh sau :
Theo nh l Vite th : Vy ta c iu phi chng minh.
73
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 13: Chng minh rng trong tam gic a. b. c. d. e. Gii: a. Ta c : ( [ [ b. Ta c : [ [ [ ( ( c. Ta c : ) ( ) ) ] ] ] [ ] ] ] ) [ ] ta lun c :
d.
Ta c : [ ]
74
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
e.
Ta c : [ ]
( [ ]
)
Mt khc, theo cng thc Heron, ta c :
Suy ra Vy
. , ta lun c
Bi 14: Chng minh rng trong tam gic
Gii: a. Ta c :
75
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Ta li c :
Suy ra
b.
Ta c :
Do , iu cn chng minh tng ng vi [ ] Mt khc, ta thy : [ ] [ ] [ ]
(
)
Tng t vy, ta c : [ [ ] ]
76
Chng 3 : H thc lng trong tam gic M ta li c :
Vy cng 3 ng thc trn, ta c c iu phi chng minh.
BI TP T LUYN 3.1.1. Cho tam gic . Chng minh rng
3.1.2. Cho tam gic
,
v
Chng minh rng 3.1.3. Cho tam gic c :
. (H Cn Th 2000)
Chng minh rng : 3.1.4. Cho tam gic 3.1.5. Cho tam gic c
. (H Tng Hp 1995) . Chng minh rng . (nh l Steiner(6) Lehmus(7))
tha h thc :
Chng minh rng :
77
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
3.1.6. Cho tam gic . 3.1.7. Trong tam gic
c
(H Dc H Ni 1998) . Chng minh rng tam gic nhn v
, chng minh rng :
GI GII BI TP T LUYN 3.1.1. a. Theo nh l hm s sin, ta c :
b.
Cn chng minh
c. d. e.
p dng nh l cc hnh chiu p dng nh l hm s cos S dng cng thc
78
Chng 3 : H thc lng trong tam gic 3.1.2. , t gi thuyt ta c :
( (
) )
3.1.3. :
3.1.4. Ta s dng cng thc v di phn gic trong : [ 3.1.5. a. : ]
b.
S dng ng thc :
3.1.6. T gi thuyt, ta c { {
{
}. Do
79
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
3.1.7. a. Ta c :
b.
:
(
)(
)
c.
:
d. e.
p dng nh l cc hnh chiu. Ta c :
Tng t vy, ta c :
80
Chng 3 : H thc lng trong tam gic 2. CHNG MINH BT NG THC LNG GIC TRONG TAM GIC Ngoi vic nh cc ng thc c bn v p dng cc k thut bin i chng minh ng thc lng gic vo dng ton ny, th ta cng nn nm c mt s k thut chng minh bt ng thc, chng hn nh : Dng cc quan h gia cnh v gc : , ta c : { T tnh cht trn, ta c c kt qu sau :
Trong tam gic
i. Cho
Dng cc bt ng thc c in : Bt ng thc Cauchy(8) : s khng m : th :
Du ii.
xy ra khi v ch khi Bt ng thc Bunyakovsky(9) : v | xy ra khi v ch khi : th :
Cho hai dy s thc : | Du
iii.
Bt ng thc Chebyshev(10) : v th :
Cho hai dy s thc tng :
81
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Cho dy s thc tng : v dy s thc gim th :
Du iv. Vi
xy ra khi v ch khi { Bt ng thc Bernoulli(11) : th vi mi :
Du v.
xy ra khi v ch khi [ Bt ng thc Jensen(12) : c o hm cp 2 trong khong v ( th : ) th : ( )
Cho hm s Nu vi mi
Nu vi mi
v
Du
xy ra khi v ch khi Dng o hm p dng tnh cht ng bin, nghch bin ca hm s.
Tng t nh dng chng minh ng thc lng gic trong tam gic, dng ny trc ht ta cng cn nm r mt s bt ng thc lng gic c bn trong tam gic.
82
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 1: Cho tam gic , chng minh rng :
Gii: a. Ta c :
Vy ta chng minh c
Tng t, ta c : ( Suy ra [ ( )] ( ) )
Do , b. Ta c :
83
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Suy ra
Tng t, ta c : ( Do , [ ( Suy ra ) ( )] )
Hay
c.
Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( ) ( )
d. -
Ta thy : Nu tam gic Nu tam gic
c mt gc t th bt ng thc hin nhin ng. nhn th theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( )
e.
p dng bt ng thc c bn chng minh cu a, ta c : [ ( )] ( )
Suy ra
84
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Vy ta c :
f.
p dng bt ng thc c bn chng minh cu b, ta c : [ ( ) ( )]
Suy ra
g.
Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( )
h.
Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( ) ( )
Bi 2: Cho tam gic
, chng minh rng :
85
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Gii: a. Ta c :
[ Nu gc t th [ ] . Suy ra
]
-
Nu gc
khng t th [ ]
b.
Ta c :
[ Nu gc t th [ ] . Suy ra
]
-
Nu gc
khng t th ( )
c.
Ta c :
d.
Ta c :
86
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Mt khc :
(
)
e.
Theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c :
f.
Ta c :
Suy ra
Do ,
g. (
Ta c : ) ( ( ) )
Suy ra ( Do , )
87
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 3: Cho tam gic , chng minh rng : n
Gii: a. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : b. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : c. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : d. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : e. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : f. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : 88
Chng 3 : H thc lng trong tam gic g. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : h. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : Ch : T cu e, f, g, h ta rt ra c kt qu sau :
Bi 4: Cho tam gic
, chng minh rng :
Gii: a. Ta c 2 cch chng minh : Cch 1: S dng ng thc Theo bt ng thc Cauchy, ta c : Suy ra Cch 2: Ta c
.
Mt khc :
89
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Nn
Tng t, ta c : ( Do , [ Suy ra b. Ta c : ( )] )
Do , c. ( Ta c : ) ( )
d. Ta s dng ng thc
Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( Suy ra 90 ) ( )
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 5: Chng minh rng trong tam gic a. b. c. (H Ngoi Thng 1996) d. e. ( ngh Olympic 30-4, 2007) Gii: a. p dng nh l cc hnh chiu, ta c : M Suy ra . Tng t, ta c : , ta lun c :
Cng 3 bt ng thc trn, ta suy ra c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic u. b. Ta c : Tng t, ta c :
Cng 3 bt ng thc trn, ta suy ra c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic u. c. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( )
Mt khc, theo bt ng thc Bunyakovsky v nh l hm s sin :
M ta c bt ng thc c bn :
91
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Do ,
Suy ra ( T ta c c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic d. Ta c : )
u.
T , ta c c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic e. Ta c : [ [
u.
] ]
Do ,
Mt khc :
T (*) v (**) th ta c :
92
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Vy ta c :
Du
xy ra khi v ch khi tam gic
u. ta c :
Bi 6: Chng minh rng trong tam gic
( ngh Olympic 30-4, 2006)
ngh Olympic 30-4, 2006)
( ngh Olympic 30-4, 2008)
( ngh Olympic 30-4, 2010) Gii: a. Ta c :
V
Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
93
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Hay ( Tng t, ta c : ( ( Cng 3 bt ng thc trn, ta c : ) ) )
Ta li c bt ng thc c bn :
Do , ta c c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic b. Ta c :
u.
[
]
Ta t : { {
Ta a iu cn chng minh tng ng vi ( Tht vy, ta c : ( Suy ra ( 94 ) ) ( ) ( ) ) [ ]
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
Do , ( [ Du c. xy ra khi v ch khi tam gic Bt ng thc tng ng vi u. ) ]
[ ] iu ny hin nhin ng. Du xy ra khi v ch khi cn ti v c gc l d. Ta c :
hay tam gic .
(
)
{ ( Tng t th th ta c )
Mt khc:
95
Chng 3 : H thc lng trong tam gic [ ]
Theo bt ng thc Cauchy, ta c : [ ]
Du
xy ra khi v ch khi tam gic
u.
Bi 7: Cho tam gic
, chng minh rng :
(H An Ninh H Ni 1997)
(HQG H Ni 1997) (H Bch Khoa H Ni 2000)
( ngh Olympic 30-4, 2008)
96
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Gii: a. iu cn chng minh tng ng vi :
Khi ta a bi ton v dng bt ng thc c bn :
Du b.
xy ra khi v ch khi tam gic Ta c : [ ] [
u. ]
Du xy ra khi v ch khi . Ch : T bi ton ny, ta rt ra c kt qu sau bng cch chng minh tng t : ( Du c. xy ra khi v ch khi tam gic u. Ta chng minh bt ng thc sau : Vi ( Tht vy, bt ng thc tng ng vi : ) v , )
iu ny hin nhin ng. p dng bt ng thc trn, ta c : ( Suy ra Tng t, ta c : )
97
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Cng 3 bt ng thc trn, ta c c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic u. d. Ta chng minh
Tht vy, xt hm s ( Vi Suy ra ( ) )
Hay
Chng minh tng t, ta c :
Nh vy, ta c : ( e. Bt ng thc tng ng vi )
Ta c :
98
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
( ( Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( Do , )( ) ( )( )
)
(
)
)
Ch : bi ton ny, ta c kt qu tng qut sau :
Bi 8: Trong tam gic
, chng minh rng :
( ) (H Bch Khoa H Ni 1999)
(HQG H Ni 2000)
99
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Gii: a. Theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c : ( )
Tng t, ta c :
Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
Mt khc : Do , Du b. xy ra khi v ch khi tam gic Ta chng minh u.
Tht vy, xt hm s
t Do ,
, ng bin. Suy ra
100
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Ta c ng bin. Suy ra
Vy bt ng thc trn ng.
p dng vo bi ton, ta c :
Tng t, ta c :
Do , ( Ta c bt ng thc c bn : ( Vy c. Ta c ng thc c bn sau : ) )
Do ,
Suy ra Du xy ra khi v ch khi tam gic u.
101
Chng 3 : H thc lng trong tam gic d. Ta c 2 trng hp : Nu tam gic vung hoc t th bt ng thc hin nhin ng. Nu tam gic nhn :
iu cn chng minh tng ng vi : ( )( )( )
Hay ( )( )( )
p dng cng thc
Ta a bi ton tr thnh :
Mt khc :
Tng t, ta c :
Suy ra
102
Chng 3 : H thc lng trong tam gic ( )
Du
xy ra khi v ch khi tam gic
u.
Bi 9: Cho tam gic
nhn, chng minh rng : (H Kinh T Quc Dn 1997)
( ngh Olympic 30-4, 2008)
Gii: a. Ta c :
Ta s chng minh
Tht vy, iu trn tng ng vi ( ( )( ) )( )
103
Chng 3 : H thc lng trong tam gic ( ( Gi s [ ] { )( ) }. [ ] )
Do , bt ng thc trn hin nhin ng. Ta xt hm s : [ ]
[ ( Suy ra nghch bin. Do , ( ) T , ta c : Du b. xy ra khi v ch khi tam gic vung cn ti . Theo bt ng thc Cauchy v bt ng thc c bn, ta c : Theo bt ng thc Bernoulli, ta c : ( Do , ) ( ) )
]
( )
(
)
Du c.
xy ra khi v ch khi . Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( ) ( ) ( )
104
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
( ) ( ) ) (
( ) ) ) (
( ) )
( (
(
) Mt khc, theo bt ng thc c bn, ta c : ( ( ) )
Cng 8 bt ng thc trn, ta c c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic u. d. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : Ta cn chng minh :
( Xt hm s
)
(
)
(
)
( ( Ta thy rng du trong bt ng thc
) )
khng th xy ra. Do , ng bin. Nn Suy ra
105
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Ln lt thay { }. Ta c iu phi chng minh. v cc s thc
Bi 10: Cho tam gic Hy chng minh rng
Gii: Bt ng thc cn chng minh tng ng vi
iu ny hin nhin ng. Do , ta c c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi { { {
Bi 12: Cho tam gic ( ( )(
nhn, hy chng minh rng )
)(
)
(
)
(
)
(
) ( ngh Olympic 30-4, 2006)
106
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Gii: a. Gi s Ta xt hm s
. ( )
Li xt hm s ( Do , Ta c ng bin. Suy ra nghch bin. Suy ra )
Theo bt ng thc Chebyshev cho 2 dy {
Vy ta c c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic b. Ta c :
u.
[ [ Suy ra
] ]
Theo nh l hm s sin, ta c :
Tng t, ta c : 107
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
{ Cng 3 bt ng thc trn, ta c : ( Mt khc, theo bt ng thc c bn, ta c : Do , ta c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic u. c. Theo nh l hm s sin, iu cn chng minh tng ng vi ( )( ) ( )( )( ) )( )
Ta cn chng minh ( ( Tht vy, ( ( )( ( ) ) ) ( ) )( ) )
Theo bt ng thc Cauchy, ta c : 108
Chng 3 : H thc lng trong tam gic ( ( Tng t, ta c : )( ) )
Nh vy
M theo bt ng thc c bn, ta c : Vy ta c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic d. Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( ) u.
Tng t, ta c : ( ( Cng 3 bt ng thc trn, ta c : ) )
[ p dng bt ng thc c bn, ta c :
]
Do , [ Vy ta c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic u. 109 ]
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 13: Chng minh rng nu cc gc ca tam gic nhn th cc cnh ca n tha mn tha iu kin
( ngh Olympic 30-4, 2008) Gii: Ta c :
Suy ra ( ) ( Theo nh l hm s sin, ta c : ) ( )
(
)
Theo tnh cht t l thc, ta c :
Suy ra ( Mt khc )
( )
110
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Da vo bng bin thin, ta rt ra kt qu ( Tuy nhin, du khng xy ra v ) . Do , ta c iu phi chng minh.
Bi 14: Cho tam gic khi
khng vung. Chng minh rng tam gic
t khi v ch
( ngh Olympic 30-4, 2009) Gii: Chiu thun: Gi s tam gic { ( ) c gc t v . Khi
Do , chiu thun ng. Chiu nghch: Gi s tam gic nhn. Ta suy ra Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
.
111
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Tng t, ta c ;
Do ,
iu ny v l. Vy chiu nghch ng. Vy ta c iu phi chng minh. Bi 15: Cho tam gic chng minh rng ( ngh Olympic 30-4, 2010) Gii: Khng mt tnh tng qut nn ta s gi s Ta c: .
Bi ton s a v chng minh: p dng hm s sin th p dng hm s cos th 112
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Ta c : Vy ta c iu phi chng minh. Bi 16: Cho tam gic c chu vi bng . Chng minh rng : ( )
( ngh Olympic 30-4, 2007) Gii: Ta c ( )( )( )
Mt khc
Suy ra
Vy
113
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 17: Cho tam gic c chu vi bng . Chng minh rng
(H S Phm Vinh 2001) Gii: Theo nh l hm s sin, ta c iu cn chng minh tng ng vi Gi s . Ta c : { Mt khc [ V ( { Nn ( Hay ) ) ( ) { ( ) ] nn {
Xt hm s [ )
114
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
T bng bin thin, ta c c Du xy ra khi v ch khi tam gic trong u. . Chng minh rng
Bi 18: Cho tam gic
Hn na, nu
. Chng minh rng
Gii: Do Mt khc do
nn nn {
. Suy ra
Vy u.
Du xy ra khi v ch khi tam gic Ta li c :
[ [ [ [ [ V nn Vy ta c iu phi chng minh. Bi 19: Cho tam gic c chu vi bng . Chng minh rng ] ] ]
] ]
115
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Gii: Gi s Do :
. Ta suy ra c
Mt khc, theo bt ng thc Cauchy, ta c : Suy ra
Hay
Nn
Do
Du
xy ra khi v ch khi tam gic
u. . Chng
Bi 20: Cho tam gic minh rng
khng vung tha
Gii: Ta c :
116
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Ta xt 2 trng hp : - Nu gc nhn th
. Do
, ta suy ra
Suy ra
. Do
V gc
nhn nn ta cng c
, suy ra
-
Tng t, nu gc
t th
Do
v
nn
Bi 21: Cho tam gic Chng minh rng c cc cnh v na chu vi tha mn .
Gii: Ta c : ( )
117
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Mt khc ( V ( ) ( Do , ( ) ) [ ( ( ) ) ] ) ( )
Du
xy ra khi v ch khi {
Bi 22: Cho tam gic
vung ti . Chng minh rng
Gii: - Nu - Nu Vy ta lun c ( )
th th
(
) ( )
Mt khc ( )
118
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Nn
Du
xy ra khi v ch khi tam gic
vung cn ti .
Bi 23: Cho tam gic
nhn. Chng minh rng
( ) ( ngh Olympic 30-4, 2006) Gii: Ta xt hm s
Theo bt ng thc Jensen, ta c : ( Do , )
( M theo bt ng thc c bn, ta c :
)
(
)
Mt khc do tam gic V hm s
nhn, suy ra ng bin nn ta c ( )
Do ,
( ) 119
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 24: Cho tam gic ( nhn. Chng minh rng
)
(
)
(
)
Gii: Ta xt hm s
(
)
( Do , theo bt ng thc Jensen, ta c : ( ) Hay
)
( )
( )
(
)
( Du
)
(
)
(
) u.
(
)
xy ra khi v ch khi tam gic
Bi 25: Cho tam gic
nhn, chng minh rng
Gii: Ta xt hm s ( )
Vy hm s
ng bin. Suy ra
p dng bt ng thc trn, ta c : {
120
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Do , Bi 26: Cho tam gic Gii: Theo ng thc c bn, ta c : Bt ng thc trn tng ng vi Ta xt hm s ( ) ( ) nhn. Chng minh rng ( )
T bng bin thin, ta c : p dng bt ng thc trn, ta suy ra { Cng 3 bt ng thc trn, ta c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic u. 121
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 27: Cho tam gic khng t v mi gc khng nh hn ( Gii: Gi s . Ta suy ra . Chng minh rng )
Ta c : [ V ( ) ]
Suy ra
[ Ta xt hm s
(
) ]
(
)
[
]
Suy ra hm s
nghch bin. Do , ( ) cn ( ) v c gc .
Vy ta c iu phi chng minh. Du xy ra khi v ch khi tam gic Bi 28: Cho tam gic
. Chng minh rng
122
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Gii: Ta c iu phi chng minh tng ng vi ( Theo nh l hm s sin, ta c
)(
)(
)
Ta xt hm s :
Suy ra hm s
nghch bin. Do ,
Vy . p dng bt ng thc trn, ta c : Hay Mt khc, theo bt ng thc c bn, ta c : Vy ta c iu phi chng minh. Bi 29: Cho tam gic . Chng minh rng
Gii: Ta xt hm s
123
Chng 3 : H thc lng trong tam gic T bng bin thin, ta c : , ta c :
Theo bt ng thc Bernoulli, vi [ Do , ]
Gi s : Suy ra { Khi Vy ta c iu phi chng minh. Bi 30: Cho tam gic . Chng minh rng
Gii: Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
(
)
Do , ( )
Theo bt ng thc c bn, ta c :
124
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Suy ra ( Hay ( Vy Du xy ra khi v ch khi tam gic u. Ch : Chng minh tng t bi ton trn, ta c cc bt ng thc sau : ) )
Bi 31: Cho tam gic
. Chng minh rng ( )
Gii: Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( )
(
)
(
)
(
)
125
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Do , Theo bt ng thc c bn, ta c : ( ) ( ) ( )
Suy ra ( Vy ( Du xy ra khi v ch khi tam gic ) u. ) ( ) ( )
Ch : Chng minh tng t bi ton trn, ta c cc bt ng thc sau :
Bi 32: Cho tam gic (
. Chng minh rng vi )( )(
, ta c : )
Gii: Ta c : ( ) ( )
126
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Theo bt ng thc c bn, ta c :
Do , theo bt ng thc Cauchy
( { Suy ra Du xy ra khi v ch khi tam gic u.
)
Ch : Chng minh tng t bi ton trn, ta c bt ng thc sau : ( ( )( )( ) )
Bi 33: Cho tam gic
. Chng minh rng
Gii: Ta c : ( Mt khc, theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( ) (
)
(
)
)
(
)
127
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Do , Du xy ra khi v ch khi tam gic cn
v c gc tha mn :
Bi 34: Cho tam gic
. Chng minh rng
Gii: Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
Suy ra ( )
Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
128
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Do ,
Mt khc, theo bt ng thc c bn, ta c :
Vy
Du
u.
xy ra khi v ch khi tam gic
Bi 35: Cho tam gic
. Chng minh rng
Gii: Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( ( ) )
Do , ta c ( p dng bt ng thc c bn { Ta suy ra ( Hay ) ) ( )
(
)
129
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Du
xy ra khi v ch khi tam gic
u.
Ch : T bi ton trn, ta c kt qu sau : Vi tam gic khng t Vi tam gic nhn
Bi 36: Cho tam gic
nhn. Chng minh rng vi
th
Gii: Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( )
( ) [ ( ) ]
Do , ( ) ( ( ) Ta xt hm s ( ) ( ) )
130
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Theo bt ng thc Jensen, ta c : ( Hay ( ) p dng bt ng thc trn, ta c Theo bt ng thc c bn, ta c ( ) )
Do , ( ) ( ) ( ) ( ) u. ( )
Du
( ) xy ra khi v ch khi tam gic
Ch : T bi ton trn, ta c cc bt ng thc tng qut sau :
Bi 37: Cho tam gic
nhn. Chng minh rng vi
th
131
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Gii: Theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c : ( p dng bt ng thc : ( ) Do , ) ( )
Du
xy ra khi v ch khi { {
Bi 38: Cho tam gic
. Chng minh rng
Gii: iu cn chng minh tng ng vi
Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
(
)( )
Do , ( Mt khc, theo ng thc c bn, ta c : ) ( )
132
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Suy ra Du xy ra khi v ch khi tam gic u.
Ch : T bi ton trn, ta c bt ng thc tng qut sau
( )
( )
BI TP T LUYN 3.2.1. Chng minh rng trong tam gic
ta lun c :
(
)
(
)
(
)
(
) (HQG H Ni 1998)
(
)
(
)
(
) (HQG H Ni 1995) 133
Chng 3 : H thc lng trong tam gic ( )( )( ) (H Ngoi Thng 1997) ( [ ( ) ] ( ) ( ) (H K Thut Qun S 1997) )
(H Bch Khoa Tp.HCM 1995)
(H Ngoi Thng 1996)
( ngh Olympic 30-4, 2007) 134
Chng 3 : H thc lng trong tam gic ( ngh Olympic 30-4, 2010) 3.2.2. Cho tam gic 3.2.3. Chng minh rng ( 3.2.4. Cho tam gic v ni tip tam gic c din tch l . Gi , chng minh rng v ) l bn knh ng trn ngoi tip nhn, chng minh rng vi ( )
3.2.5. Cho tam gic c tha . Chng minh rng
3.2.6. Cho tam gic
c 2 gc
tha
Chng minh rng
(H Bch Khoa H Ni 1998) 3.2.7. Cho tam gic Chng minh rng c cc gc tha mn :
135
Chng 3 : H thc lng trong tam gic 3.2.8. Cho tam gic c . Chng minh rng
3.2.9. Cho tam gic rng
c di 3 ng phn gic trong u nh hn . Chng minh
3.2.10. Cho tam gic nhn th
(
) (
)
3.2.1. a. [
GI GII BI TP T LUYN
iu cn chng minh tng ng vi ] [ ] [ ]
b.
Theo nh l hm s sin, ta c :
136
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Theo bt ng thc Cauchy, ta c : M theo bt ng thc c bn th Suy ra c.
p dng cng thc di trung tuyn v bt ng thc Cauchy
d.
Cn chng minh : ( )
e.
Ta c : ( )
| ( Do , ( f. Ta t : ) ( ) )| | |
137
Chng 3 : H thc lng trong tam gic rng
Khi ch cn chng minh g.
p dng nh l hm s cos, ta chng minh
h.
p dng nh l hm s sin, iu cn chng minh tng ng vi ( [ ( ) [ ( ( )] )
)]
i.
Cn chng minh ( )
j.
Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
138
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Theo bt ng thc Cauchy, ta c : { Suy ra
k.
Ta coi iu cn chng minh l bi ton xt du ca tam thc bc hai { Tng t nh cu k. Ta c ng thc c bn
l. m.
Bin i iu phi chng minh thnh ( n. o. p. q. Ta i t Ta s dng php bin i tng ng v rng ) ( ) ( )
[ r. Theo nh l hm s sin, ta c :
]
Bt ng thc tng ng vi ( )
139
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
( Ta c :
)
( s. Ta c bt ng thc cho tng ng vi
)
( t. Ta c :
)
(
)
(
)
[ ( Hay ( ) ) ]
140
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Mt khc [ ( ( ( ) ) ( ( ( ) ) ) ) ]
3.2.2. Chng minh tng t Bi 9 cu b, rng ( ) 3.2.3. Ta c : [ ( )] [ ( )]
3.2.4.
Theo bt ng thc Cauchy, ta c : ( Suy ra ) ( )
141
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
3.2.5. Ta c :
Mt khc theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c : Do
3.2.6.
V 3.2.7. Do , chn gc sao cho
Khi 3.2.8. T gi thuyt ta c . Do , bt ng thc tng ng vi ( Khi ta ch cn kho st hm s ( 3.2.9. : Gi s . Ta suy ra ] ]
142
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
{ Mt khc
( Do 3.2.10. a. Ta xt hm s ( b. Ta xt hm s ( c. Ta xt hm s ( )
)
)
)
3. -
-
NHN DNG TAM GIC V TNH CC GC TRONG TAM GIC y l loi ton c bn c tng kt cc loi ton v t nhng phng php trn. Khi mt tam gic tha 1 hay 2 ng thc hoc bt ng thc gia cc cnh v hm s lng gic ca cc gc, ta phi tm tnh cht ca tam gic , chng hn nh : tm s o ca gc, chng t gi tr hm lng gic ca gc, hoc chng minh l tam gic cn, vung, u Mt s k thut cn ch : nu gi thuyt cho t 2 h thc hoc bt ng thc tr ln, ta phi bin i h thc d trc, ngoi ra ta phi s dng bt ng thc dng trn.
143
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 1: Tnh cc gc ca tam gic , bit rng
(H M H Ni 2000)
(H S Phm K Thut Tp.HCM 2001) (H S Phm H Ni 2001) Gii: a. Gi thuyt tng ng vi
( ( { ) ( {
)
( )
)
b.
Gi thuyt tng ng vi
144
Chng 3 : H thc lng trong tam gic ( ( { c. ) { Gi thuyt tng ng vi Ta thy y l phng trnh bc 2 c nghim . Khi )
Suy ra Nh vy
.
Do : Bi 2: Tnh cc gc ca tam gic (H An Ninh 1998) (Tuyn sinh Khi A 2004) Gii: a. Theo nh l hm s sin, ta c : Theo nh l hm s cos, ta c : { bit
145
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Do , b.
. Gi thuyt tng ng vi
Mt khc : Do tam gic Nn khng t nn [
(
)
{ {
146
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 3: S o 3 gc ca tam gic lp thnh cp s cng v tha mn ng thc a. b. Gii: a. Gi s . Do , ta c : Tnh cc gc . Bit na chu vi tam gic bng 50. Tnh cc cnh ca tam gic. (H S Phm K Thut Tp.HCM 1993)
Mt khc : Khi :
{
Nh vy Vy b. Tam gic vung ti .
nn ta c :
{ Mt khc
147
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Suy ra { Bi 4: Xc nh cc gc ca tam gic {
tha cc iu kin sau : (H Tng Hp H Ni 1992)
Gii: Theo ng thc c bn, ta c :
Do , tam gic Chn
tn ti 1 gc t hoc vung.
. Ta xt :
Ta xt hm s [ )
Do , hm s
ng bin. Suy ra
148
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
( Nh vy, ta c :
)
{ { Bi 5: Cho cc gc ca tam gic tha mn h thc Bit rng gc nhn. Hy tnh gi tr gc .
Gii: Ta xt 3 trng hp sau : th . M theo nh l hm s cos, ta c
Mt khc, theo nh l hm s sin, ta suy ra : iu ny mu thun vi gi thuyt. M th
V gc
nhn nn
v
. Do ,
iu ny mu thun.
149
Chng 3 : H thc lng trong tam gic , d thy gi tr ny tha ng thc cho. c cc gc tha mn iu kin
Bi 6: Cho tam gic
Hy tnh gc . (H M-a Cht H Ni 1997) Gii: Theo cng thc bin i v nh l hm s sin, gi thuyt tng ng vi
Bi 7: Cho tam gic
c cc gc tha mn h thc
Hy tnh : Gii: Gi thuyt tng ng vi
(
)
( (
) )
150
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Mt khc, do
Nn
Bi 8: Chng minh rng tam gic
cn khi c cc gc tha mn h thc
(H Khoa Hc T Nhin H Ni 1994)
(H Dn Lp Phng ng 1997)
(H Thng Mi 1999) Gii: a. Gi thuyt tng ng vi
Vy tam gic b.
cn ti .
Gi thuyt tng ng vi
151
Chng 3 : H thc lng trong tam gic [ [
Vy tam gic cn ti . c. Gi thuyt tng ng vi
(
)
(
)
(
)(
)
Vy tam gic
cn ti . cn khi c cc gc tha mn h thc
Bi 9: Chng minh rng tam gic { ( ( ) )
(H Thy Li H Ni 2000) (H Giao Thng Vn Ti 2001)
(H Kin Trc Tp.HCM 2001) Gii: a. Ta ly h thc trn tr cho h thc di th :
152
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
(
)
Vy tam gic cn ti . b. Gi thuyt tng ng vi
(
)
Vy tam gic cn ti . c. Gi thuyt tng ng vi
Vy tam gic
cn ti .
153
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 10: Chng minh rng tam gic ( ) ( cn khi c cc gc tha mn h thc )
Gii: a. ( ( Gi thuyt tng ng vi ) ) ( ( ) )
( [ Vy tam gic b. cn ti .
)
Gi thuyt tng ng vi
(
)
(
)
154
Chng 3 : H thc lng trong tam gic ( ) ( )
[ Vy tam gic cn ti . c. Theo nh l hm s sin, ta c :
Do ,
Vy tam gic d. Ta c : {
cn ti .
Theo nh l hm s sin, ta c
Do , Vy tam gic cn ti . 155
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 11: Chng minh rng tam gic cn khi n tha mn h thc
Gii: a. Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
Du b.
xy ra khi v ch khi Ta lun c :
. Do , tam gic
cn ti .
Mt khc, theo bt ng thc Cauchy, ta c : { Suy ra Du c. xy ra khi v ch khi Ta c : [ Mt khc, theo bt ng thc Cauchy, ta c : . Do , tam gic ] cn ti .
Suy ra Du xy ra khi v ch khi ( . Do , tam gic ) cn ti .
156
Chng 3 : H thc lng trong tam gic d. Theo nh l hm s sin, gi thuyt tng ng vi :
Ta thy y l phng trnh bc hai theo Do , phng trnh c nghim khi v ch khi { Vy tam gic vung cn ti . {
, ta xt :
Bi 12: Chng t rng tam gic
vung khi tha mn h thc
(H Kinh T Tp.HCM 1990)
(H Kin Trc H Ni 1997)
(H Nng 1997)
(H Ngoi Thng 2001) Gii: a. Gi thuyt tng ng vi [
]
[
]
Vy tam gic
vung ti . 157
Chng 3 : H thc lng trong tam gic b. Theo nh l hm s sin, gi thuyt tng ng vi
Vy tam gic vung ti . c. Theo nh l cc hnh chiu, ta c :
Nn t gi thuyt, ta c :
Vy tam gic vung ti . d. Gi thuyt tng ng vi ( ( ( ( ( [ Vy tam gic vung. ) ) ) ) )( [ ( ) [ ) ( )
158
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 13: Chng minh rng tam gic vung nu n tha mn h thc
(H Cn Th 1996)
(H S Phm Vinh 2001)
Gii: a. T gi thuyt, ta vit li thnh Theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c : { Du xy ra khi v ch khi { Vy tam gic vung ti . b. Gi thuyt tng ng vi
Ta t
Ta c
[ [ [ ] [
] ]
159
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Vy tam gic vung ti . c. Theo nh l hm s sin, ta c
Do , gi thuyt tng ng vi
[ Ta xt : Vy tam gic : Nu tam gic v l. Nu tam gic vung ti vung ti th th phi nhn v [ iu ny v l. Nu tam gic . iu ny v l. . iu ny vung ti .
-
vung ti
th
Vy tam gic
vung ti .
160
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 14: Cho tam gic tha mn h thc :
Chng minh rng iu kin cn v tam gic
vung l
( ngh Olympic 30-4, 2006) Gii: Ta c :
Do , t gi thuyt ta c :
Mt khc :
Thay
vo
, ta c : ( )
Chiu thun: Gi s
Do ,
161
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
[
Xt
, ta c :
{
Vy tam gic
vung ti . vung ti , ta c :
Chiu nghch: Gi s tam gic
{
{
{
T
ta c
Vy ta c iu phi chng minh. Bi 15: Chng minh rng tam gic vung nu n tha mn h thc
{
162
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Gii: a. Ta c :
Do , h thc tng ng vi
[
[
[
Vy tam gic vung ti hoc . b. Ta p dng cng thc :
{
Mt khc, ta li c : { Theo cng thc Heron, ta suy ra
(
)(
)(
) 163
Chng 3 : H thc lng trong tam gic [ ][ ]
T
ta suy ra :
. Do ,
T
; theo nh l Vite, ta c
l nghim ca phng trnh [
Gi s rng
, suy ra {
Vy tam gic vung ti . c. bi ton ny, ta s s dng cng thc ( Do , gi thuyt tng ng vi ( ) )
Vy tam gic vung ti .
164
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 16: Chng minh nu tam gic khng t v tha mn h thc
th vung cn ti . ( ngh Olympic 30-4, 2007) Gii: Ta c
Suy ra :
Theo nh l hm s sin, ta c :
Theo bt ng thc Cauchy, ta li c :
Do ,
(
)
Du
xy ra khi v ch khi tam gic
vung cn ti .
165
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 17: Chng minh rng tam gic u nu tha mn h thc
Gii: a. Theo cng thc tnh din tch v nh l hm s sin, gi thuyt tng ng vi [( ) ( ) ( ) ]
Mt khc, theo bt ng thc Cauchy, ta c : Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. b. Trong tam gic ta lun c : Nn t gi thuyt ta c : Theo nh l hm s sin th t ng thc trn, ta c : Ta vit li ng thc thnh ( [ Mt khc, ta li c { Do [ Du xy ra khi v ch khi ] [ ] ] [ ) ] .
166
Chng 3 : H thc lng trong tam gic { Vy tam gic c. u.
Theo nh l cc hnh chiu, gi thuyt tng ng vi
H thc trn c vit li thnh
M trong tam gic
ta lun c : {
Du
xy ra khi v ch khi { u.
.
Vy tam gic d.
Theo nh l hm s sin, gi thuyt tng ng vi
H thc trn c vit li thnh [ M trong tam gic ta lun c : { ]
Du
xy ra khi v ch khi { u.
.
Vy tam gic
167
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 18: Chng minh rng tam gic { { (H Kin Trc H Ni 1997) u nu tha mn h thc
{
(H Ngoi Ng H Ni 1997) { (H S Phm Vinh 1999) Gii: a. Ta k hiu { T ta nhn xt khng l gc ln nht v nu nht v theo nh l hm s sin, ta s c { iu ny mu thun vi gi thuyt. Vy phi l gc nhn. Ta c : dng. Do { nn 2 v ca 2 bt ng thc v u ln nht th cnh i din cng ln
V nn Vy . T ta c Mt khc, do hm s 168
.
nghch bin trong khong
nn t
ta c
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Nh vy, . Tm li, ta chng minh c tam gic b. Ta c :
u.
[
]
Khi ,
[ Vy tam gic c. Ta c : u.
Mt khc,
Vy tam gic d. Ta c :
u.
169
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Mt khc,
( Do ta c
)
Nn ( Do , )
Vy tam gic
u. u nu tha mn h thc
Bi 19: Chng minh rng tam gic
(Hc vin Bu Chnh Vin Thng 1997) { (H Y Thi Bnh 2000) { ( )
Gii: a. Theo ng thc c bn, ta c :
Gi thuyt tng ng vi 170
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Theo bt ng thc c bn, ta li c
Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. b. T Theo nh l hm s cos th
. , ta suy ra c
Mt khc ( ( ) )
Vy tam gic u. c. Gi thuyt tng ng vi
Ta xt : [ ]
171
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Do , { {
[ Ta thy : Do v | | | | . Suy ra : .
Do v nn . Suy ra : Vy t, iu ny mu thun gi thuyt. Do , t h thc , ta c :
Vy tam gic
u. u nu tha mn h thc
Bi 20: Chng minh rng tam gic
(H Y Dc Tp.HCM 2001)
{
Gii: a. Theo nh l hm s sin, ta c :
172
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Theo ng thc c bn, ta c : Do , Mt khc, theo bt ng thc Cauchy th : Suy ra Trong khi : Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. b. Theo ng thc c bn, ta c : .
Do , gi thuyt tng ng vi
Mt khc, theo bt ng thc Cauchy, ta c : { Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. c. Ta c :
.
(
)
173
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Do , gi thuyt tng ng vi
[ .
]
Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. Bi 21: Chng minh tam gic
khi tha mn ng thc sau
( ngh Olympic 30-4, 2006)
(Olympic 30-4, 2007) ( ) ( ngh Olympic 30-4, 2008) Gii: a. Ta c : ( )
Tng t vy, ta c : 174
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Do ,
(
) .
Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. b. Ta c :
{ Suy ra {
Khi , theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c : Hay Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. c. Ta c: .
Ta d on :
175
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Vy th ta cn chng minh
Ta c :
( Li c : | | T v | , ta c : | | | | |
)
Du d.
xy ra khi tam gic u. Theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c : ( )
Mt khc, theo bt ng thc Cauchy, ta c : Theo bt ng thc c bn, ta c :
Do ,
176
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Suy ra ( Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. Bi 22: Chng t rng tam gic . u nu )
Gii: a. Theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c : Mt khc, ta c :
{ Do ,
Theo nh l hm s sin v bt ng thc c bn, ta c :
Khi
177
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Hay
Du
xy ra khi v ch khi { u.
.
Vy tam gic b. Ta c :
Tng t vy, ta c :
Vy tam gic u. c. Theo nh l hm s cos, ta c :
Tng t, ta c : { Do ,
Mt khc, theo bt ng thc Cauchy, ta c :
Hay
178
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. d. Ta c : .
{ Do , gi thuyt tng ng vi ( Mt khc, theo bt ng thc Cauchy, ta li c : { Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. Bi 23: Xc nh c im ca tam gic . nu n tha mn h thc )
(
)
{
(H Lut H Ni 1995)
Gii: a. Ta c : { [ Do , gi thuyt tng ng vi [ Vy tam gic c t nht mt gc bng hoc . 179 ]
Chng 3 : H thc lng trong tam gic b. ( ( ( ( ( ( ( ( [ ( Ta xt : ) ) ) ) ) ( Gi thuyt tng ng vi ) ) )[ ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) ( ( ( ) ) ( ) ) )] ( ) )
(
)
Vy tam gic c t nht mt gc bng . c. Theo cng thc Heron v bt ng thc Cauchy, ta c : ( Do , )
Suy ra Hay Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. .
180
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 24: Nhn dng tam gic nu bit rng V Gii: T gi thuyt, ta c : ( ( { Ly , ta c : ( [ ( Mt khc : ( ( )( ) ( ) ( ) )( ) ( ) ) ] ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ) )
( ( )
)
181
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Theo bt ng thc Cauchy, ta c :
(
)
( Do ,
)(
)
[ Du xy ra khi v ch khi tam gic u.
(
) ]
Bi 25: Tm tt c cc c im ca tam gic {
ng thi tha iu kin
{
Gii: a. Theo nh l hm s cot, ta c :
Theo nh l hm s sin, ta c :
Do 182
nn
.
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Theo nh l hm s sin, ta li c : [ ]
( (
)( ) (
) )
Do ,
Mt khc, theo nh l hm s sin, ta li c :
Nn
Ta bit rng
iu ny khng th xy ra. Vy khng tn ti tam gic tha mn hai h thc cho. b. T gi thuyt, ta vit li thnh
Theo nh l cc hnh chiu v nh l hm s cos, ta c :
{ Do , gi thuyt tng ng vi
Mt khc, theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c :
183
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Nn
Theo bt ng thc c bn, ta c :
Do , du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u, c di cc cnh bng . c. H cho c vit li thnh { Xt , ta t . Khi :
.
Ta xt hm s
Do , hm s ng bin. Ta thy l nghim ca phng trnh v nht ca phng trnh. Suy ra : Xt , ta t . Khi : Ta xt hm s
l hm hng nn
l nghim duy
Suy ra v l hai nghim duy nht ca phng trnh. Vi th . Vi th (v l). Vy tam gic u. d. Theo cc ng thc c bn, ta c : { Kt hp vi gi thuyt, ta suy ra 184
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
Tng ng tam gic Gi s :
nhn. {
Theo bt ng thc Chebyshev, ta c :
Ta vit li bt ng thc trn thnh
Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. Bi 26: Tm c im ca tam gic
. nu n tha mn iu kin
( )
Gii: a. Theo nh l hm s cos, ta c : { Do , gi thuyt tng ng vi
Theo nh l hm s sin, ta vit h thc trn thnh
Theo bt ng thc Cauchy, ta c : [ ]
185
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
( Do , du xy ra khi v ch khi { { b. Ta c : { Theo bt ng thc Cauchy, ta c : Tng t, ta c : { Do , Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. c. Ta xt hm s .
)
Theo bt ng thc Jensen, ta c : ( Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. . ) ( )
186
Chng 3 : H thc lng trong tam gic d. Theo nh l hm s sin v ng thc c bn, ta c :
Do , gi thuyt tng ng vi
Mt khc, ta li c kt qu sau :
{ Nn h thc trn c vit li thnh
Theo bt ng thc Cauchy, ta c : { . nu n tha mn ng thc
Du xy ra khi v ch khi Vy tam gic u. Bi 27: Tm c im ca tam gic { Gii: a. { Ta c : { Do ,
(
)
(
)
187
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
[ Mt khc, theo ng thc c bn ta c : Suy ra, ta chn
[
Vy tam gic c t nht mt gc b. Theo nh l hm s sin, ta c :
[ .
Khi , thay
vo h thc
. Ta c :
Vy tam gic vung cn ti . c. T ng thc c bn : Ta suy ra : M
Mt khc cng t :
Do , Vy tam gic 188
. vung ti .
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Bi 28: Tm tt c cc tam gic c di 3 cnh l cc s nguyn dng, khng c c chung v tha mn ng thc ( )
( ngh Olympic 30-4, 2006) Gii: Ta c cng thc :
M theo cng thc Heron, ta li c :
Do ,
Theo ng thc c bn, ta c :
Kt hp vi gi thuyt, ta c ( Theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c : ( Du xy ra khi v ch khi ) ( ) ) ( )
Kt hp vi
, ta c :
{
{ 189
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Ch : n y, c bn bi ton hon thnh, nhng ta c th c c mt kt qu p hn na bng vic p dng nh l hm s sin, khi :
Ta chn : Vy tam gic
. c 3 cnh tha mn h thc : c 3 gc ) ( ngh Olympic 30-4, 2008) tha mn
Bi 29: Xc nh hnh dng ca tam gic (
Gii: ( ) ( Do , tam gic Ta c th gi s : ( )( ) nhn. Theo bt ng thc c bn, ta c : )
M [ Suy ra : ( Ta xt hm s ( ( ) ) ) ( )]
190
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
T bng bin thin, ta c Do , ( Du xy ra khi v ch khi { Vy tam gic u. )
BI TP T LUYN 3.3.1. Tnh cc gc ca tam gic
nu n tha mn
(H Cng on 2001) (H Vinh 2000)
(H An Ninh 2000) { (H Ngoi Thng Tp.HCM 1998)
191
Chng 3 : H thc lng trong tam gic { }
{
3.3.2. Hy xc nh cc gc ca tam gic
, bit rng ( ngh Olympic 30-4, 2006)
3.3.3. Tnh cc gc ca tam gic nhn
bit
( ngh Olympic 30-4, 2007) 3.3.4. Tnh s o cc gc ca tam gic thc : ( ) ( ngh Olympic 30-4, 2008) 3.3.5. Tnh din tch tam gic , bit rng c din tch v cc cnh tha mn h
3.3.6. Cho tam gic
c cc gc tha mn
Tnh
. cn khi cc gc tha mn h thc
3.3.7. Chng minh tam gic
192
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
{ 3.3.8. Chng minh tam gic vung khi n tha mn h thc
(
)
3.3.9. Chng minh rng tam gic
u nu n tha mn h thc
193
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
(
)(
)
{
{
3.3.10. Cho tam gic
nhn tha iu kin
194
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Chng minh rng tam gic l tam gic u. ( ngh Olympic 30-4, 2006) 3.3.11. Nhn dng c im ca tam gic nu bit
GI GII BI TP T LUYN 3.3.1. a. Theo ng thc c bn, gi thuyt tng ng vi
195
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
(Tam gic u) b. Bin i tng ng, ch xt trng hp (Tam gic c gc ) c. Theo ng thc c bn, ta c
v
(Tam gic c gc ) d. Theo bt ng thc Bunyakovsky, ta c : Theo nh l hm s sin, ta li c : Suy ra ( (Tam gic vung cn ) e. T gi thuyt ta suy ra tam giac { (Tam gic 3.3.2. Do , ( Gi s , ch c th xy ra kh nng ( { ( Theo bt ng thc Jensen, ta c : 196 ) ( ) ) ( ( ( ) ) ) ) ( ) [ vung cn ] hoc { hoc u) )
khng t. Do
Chng 3 : H thc lng trong tam gic
( Du xy ra khi v ch khi { {
)
3.3.3. p dng ng thc c bn :
Khi gi thuyt tng ng vi
Ta s xt hm s ( )
(
)
( )
3.3.4. Theo bt ng thc Cauchy, vi (Du Do Khi , chn ( ) , ta c : ( ( xy ra khi v ch khi v
ta c : ) )
) 197
Chng 3 : H thc lng trong tam gic Du xy ra khi v ch khi tam gic cn ti v gc .
3.3.10. cho c vit li Ta s chng minh : ( Ta t : )( )( )
{ Do , iu cn chng minh tng ng vi ( )( )( )
{
198
c thm : Tm lc tiu s cc nh khoa hc c nh hng n lng gic
c Thm
TM LC TIU S CC NH KHOA HC C NH HNG N LNG GIC
HIPPARCHUS (190120 TCN) Hipparchus l mt nh thin vn hc, a l hc, nh ton hc Hy Lp. ng c xem l ngi sng lp ra mn lng gic hc bi nhng tnh ton hm s lng gic u tin c gi l bng lng gic. Qua , ng tnh ton cc gi tr c bit ca lng gic bng cc m hnh hnh hc. Nh , ng c th gii c cc bi ton lng gic phng, cng nh lng gic cu. Hipparchus pht minh v s dng cc dng c thin vn c vng chia . ng xc nh c khong cch n Mt Tri v Mt Trng, l ngi u tin a ra mt m hnh v lng m t chnh xc s chuyn ng ca Mt Tri v Mt Trng. Vi l thuyt v nht nguyt v lng gic ca mnh, ng tr thnh ngi u tin xy dng v pht trin phng php tin on nht thc. Mt thnh tu khc ca ng cng c bit n l vic thit lp danh mc ta khong 850 ngi sao c ch r chi theo thang quy c.
(1)
PTOMELY (khong 85-165 TCN) Ptomely l nh bc hc c Hy Lp c sc nh hng ln n cc vn v thin vn hc, a l hc, quang hc v lng gic hc.
(2)
199
c thm : Tm lc tiu s cc nh khoa hc c nh hng n lng gic L mt ngi c nhu cu nghin cu thin vn hc v a l hc nn ng gp phn m rng thm cc ng dng ca hnh hc v lng gic hc. ng c cho l ngi u tin tm ra cng thc cng v tr cho v , t suy ra c cng thc h bc, cho php ng lp bng tnh vi bt k chnh xc cn thit no. Tuy nhin, nhng bng tnh trn u b tht truyn. Ngoi ra, ng cn nghin cu php chiu trong khng gian m ng cho l c ch cho vic nghin cu bu tri.
SURYA SIDDHANTA (khong th k 4-5) Surya Siddhanta l mt nh thin vn hc ngi n , nhng nhng cng trnh nghin cu ca ng gp phn pht trin cc vn v hm lng gic, l vic nh ngha hm sin theo na gc v na dy cung, c cho l m rng cc kt qu lng gic ca Ptomely. Xoay quanh cc cng trnh nghin cu ca ng, ngoi nhng php tnh lng gic phc v cho thin vn hc, ng c bit n bi nhng c tnh gn ng v ng knh ca cc hnh tinh. Chng hn nh ng knh ca sao Thy l 3.008 dm, sao Th l 73.882 dm, sao Ha l 3.772 dm
(3)
FRANNCOIS VITE (1540-1603) Francois Vite l mt lut gia, mt ngh s v l nh ton hc v i ngi Php, ng t ca mn i s hc. ng vit nhiu cng trnh v lng gic, i s v hnh hc, v l ngi ra cch gii thng nht cc phng trnh bc 2, bc 3 v bc 4 bng vic khm ph ra mi lin h gia cc nghim ca mt a thc vi cc h s ca a thc , ngy nay c gi l nh l Vite. 200
(4)
c thm : Tm lc tiu s cc nh khoa hc c nh hng n lng gic Cng chnh nh l Vite ca ng gp phn pht trin nhng k thut tnh ton quan trng trong cc bi ton v bin i lng gic, cng nh xc nh c chnh xc gi tr ca cc hm lng gic ng vi mi gc qua vic gii phng trnh. Ngoi ra, ng l ngi u tin pht trin h thng nhng phng php gii cc tam gic phng v tam gic cu bng cch dng c su hm lng gic. c bit ch l ng tm ra c cc biu thc cho theo mt cch tng qut v c gi cch gii lng gic cho trng hp bt kh quy ca cc phng trnh bc 3. Trong cng trnh ni ting ca Vite, ng pht trin nhiu k hiu i s v trnh by mt qu trnh c h thng tm xp x lin tip nghim ca phng trnh.
HERON (10-75) Heron l nh ton hc v vt l ngi Hy Lp, vo thi ng c bit n nh mt tc gia bch khoa trong hai lnh vc ny bi nhng cng trnh ca ng qu phong ph v ni dung cng nh nhiu v s lng. Mi lun vn ca ng thng hng ti tnh hu dng thc tin hn l tnh hon chnh v l thuyt.Cng trnh ca Heron c th chia thnh hai loi : C hc v Hnh hc. Ni v c hc th ng c cc cng trnh ni bt nh m t v xy dng thit b m cc phn ng bn trong tng t nh ng c tn la v ng c hi nc, cng trnh v my bn hng t ng Cn v hnh hc, y l cng trnh quan trng nht ca ng, tiu biu l tuyn tp Metrica gm 3 b. Trong tc phm ny, Heron rt ra c cng thc ni ting tnh din tch tam gic theo ba cnh v na chu vi, nay c gi l cng thc Heron. Ngoi ra, ng cn a ra cch tnh xp x v cn bc hai ca mt s nguyn khng chnh phng, cch tnh th tch cc hnh nn, hnh tr, hnh hp, hnh lng tr, hnh chp, hnh nn ct, hnh cu
(5)
201
c thm : Tm lc tiu s cc nh khoa hc c nh hng n lng gic
JAKOB STEINER (1796-1863) Jakob Steiner l nh ton hc ngi Thy S, c bit n vi cc cng trnh ni ting v hnh hc, v hu ht ng ch nghin cu v mn hc ny. Do , nh hng khng nh n cc vn v lng gic, c th l h thc lng trong tam gic, vn d c xy dng trn nn tng ca hnh hc v thin vn hc. T mt xut ca nh ton hc ngi c (7)Daniel Christian Ludolph Lehmus (17801863), ng chng minh c nh l rng iu kin cn v tam gic cn l hai ng phn gic trong bng nhau, ngy nay nh l ny mang tn Steiner Lahmus. Cc nghin cu quan trng nht ca ng l hnh hc x nh v nguyn l i ngu.
(6)
AUGUSTIN LOUIS CAUCHY (1789-1857) Augustin Louis Cauchy l nh ton hc ngi Php, c xem l ngi i u trong lnh vc gii tch ton hc. Nhng cng trnh ca ng hu ht t nn mng c s cho ton hc hin i nh l thuyt hm, vt l v gii tch ton hc. c bit cc nh ngha ca chng ta hin nay v gii hn, tnh lin tc, kh vi ch yu l do ng ngh, ng t ra tiu chun Cauchy ni ting nghin cu v s hi t ca dy trong cc khng gian ring bit. Ngoi ra, ng cn pht trin l thuyt chui, l thuyt nh thc, php tnh tch phn, l thuyt hm bin phc v c hng lot cng trnh cho cc lnh vc hnh hc, i s v l thuyt s Mt h qu nh trong cc cng trnh nghin cu ca ng l bt ng thc Cauchy, c nh hng to ln n ton hc, trong c bt ng thc lng gic.
(8)
202
c thm : Tm lc tiu s cc nh khoa hc c nh hng n lng gic
VIKTOR YAKOVLEVICH BUNYAKOVSKY (1804-1889) Viktor Yakovlevich Bunyakovsky l nh ton hc ngi Nga, c bit n vi khong 150 cng trnh v ton hc v c hc. V ng cn c bit nhiu hn v bt ng thc Bunyakovsky, ngy nay chng ta vn thng gi l bt ng thc Bunyakovsky-CauchySchwarz. ng cn nghin cu trong cc lnh vc l thuyt s, l thuyt xc sut v ng dng, hnh hc-c bit l l thuyt cc ng song song, c hc ng dng v thy tnh hc v quan tm n c tnh ton trong thc tin, bng chng l mt lot cng trnh v thng k v xc sut gp phn ng k vo vic pht trin l thuyt thng k ca nc Nga.
(9)
PAFNUTY LVOVICH CHEBYSHEV (1821-1894) Pafnuty Lvovich Chebyshev l mt nh ton hc ngi Nga, c coi l cha ca nn ton hc Nga. ng c bit ti bi cc cng trnh v l thuyt xc sut, l thuyt thng k v l thuyt s, c bit trong vic nghin cu s phn b cc s nguyn t trong dy s t nhin. ng cn nghin cu v gii tch ton hc, chng hn nh phng trnh vi phn. ng thit lp mt ngnh hon ton mi ni ting l L thuyt xp x tt nht cc hm s bng a thc. Ngoi ra, trong nn ton hc s cp, ng cng ng gp khng nh, chnh l bt ng thc Chebyshev ni ting.
(10)
203
c thm : Tm lc tiu s cc nh khoa hc c nh hng n lng gic
JAKOB BERNOULLI (1654-1705) Jakob Bernoulli l nh ton hc ngi Thy S. Cng trnh ca ng ch yu l hnh hc gii tch, l thuyt xc sut v php tnh bin phn. ng c bit n khi cng vi hai nh bc hc Isaac Newton (1643-1689) ngi Anh v Gottfried Wilhelm Leibniz (16461716) ngi c, pht trin php tnh vi phn v tch phn. ng l ngi nghin cu sm v xc sut ton hc. C nhiu loi trong ton hc mang tn ng : s phn phi Bernoulli, nh l Bernoulli trong xc sut v thng k, phng trnh Bernoulli trong phng trnh vi phn, bt ng thc Bernoulli
(11)
JOHAN LUDWIG WILLIAM VALDERMAR JENSEN (1859-1925) Johan Ludwig William Valdermar Jensen l nh ton hc v k s ngi an Mch. Tuy cng vic chnh ca ng l mt k s xut sc cho mt cng ty Copenhagen v hu ht cc nghin cu ton hc ca ng ch c thc hin trong thi gian rnh ri nhng ng t n mc rt cao v ton hc. ng nghin cu v chui di v tn, hm gamma, hm li. Qua , ng ng gp vo nn ton hc s cp : bt ng thc Jensen.
(12)
204
TI LIU THAM KHO[1] Trn Phng, Tuyn tp cc chuyn luyn thi i hc mn Ton H thc lng gic, NXB i hc Quc Gia H Ni, 2010. [2] Hunh Cng Thi, u Th Cp, Cc chuyn - Tm cc tr v Chng minh bt ng thc cha hm lng gic, NXB i hc Quc Gia Tp.HCM, 2007. [3] Nguyn Vn Nho, Nguyn Vn Th, Chuyn Lng gic, NXB Tng hp Tp.HCM, 2007. [4] [5] V Giang Giai, Tuyn tp 400 bi ton lng gic, NXB i hc S Phm, 2007. Phm Tn Phc, Cc chuyn Lng gic, NXB Tp.HCM, 1999.
[6] Hunh Cng Thi, Chuyn lng gic ng thc, Bt ng thc trong tam gic, Nhn dng tam gic, NXB i hc Quc Gia Tp.HCM, 2002. [7] [8] James Stewart, Calculus Concepts and Contexts, Richard Stratton, 2005. Tuyn tp thi Olympic 30 thng 4, Ln XII 2006, Ton hc, NXBGD, 2006. Tuyn tp thi Olympic 30 thng 4, Ln XIII 2007, Ton hc, NXBGD, 2007. Tuyn tp thi Olympic 30 thng 4, Ln XIV 2008, Ton hc, NXBGD, 2008. Tuyn tp thi Olympic 30 thng 4, Ln XV 2009, Ton hc, NXBGD, 2009. Tuyn tp thi Olympic 30 thng 4, Ln XVI 2006, Ton hc, NXBGD, 2010. Nguyn Phc Lc, Lch s Ton hc, NXBGD, 2008.
[9]
205