tƏrsİmİ hƏndƏsƏ vƏ mÜhƏndİs qrafİkasi · 2 azƏrbaycan dÖvlƏt neft vƏ sƏnaye...
TRANSCRIPT
2
AZƏRBAYCAN DÖVLƏT NEFT VƏ SƏNAYE UNİVERSİTETİ
M.A. MƏMMƏDOVA
TƏRSİMİ HƏNDƏSƏ VƏ MÜHƏNDİS
QRAFİKASI
DƏRSLİK
Azərbaycan Respublikası Təhsil
Nazirliyinin №F-330,
30.05.12. 2019-cu il tarixli
əmri ilə təsdiq edilmişdir.
B A K I-2019
3
Мцяллиф: Texnika elmlər doktoru, dosent Məleykə Ağamoğlan qızı
Məmmədova
Rəy verənlər:
1. T.е.d., professor S.H.Babayev- “Neftin, qazın geotexnoloji problemləri
və Kimya” ETİ-nın ”Quruda və dənizdə neft avadanlıqlarının işinin
etibarlılığı və səmərəliliyi” laboratoriyaınsın müdiri.
2. T.e.n., dosent Əhməd İmanov-AzTU-nun “Mühəndis
qrafikası”kafedrasının müdiri.
3. T.e.n., A.Ş.Əsədov- ADNSU-nun “Mühəndis və kompüter qrafikası”
kafedrasının dosenti.
Redaktor: t.e.n., dosent C.X. İsmayılov
M.A. Məmmədova «Tərsimi həndəsə və mühəndis qrafikası». Ali texniki
məktəblər üçün dərslik. Bakı: ADNSU-nun mətbəəsi, 2019. 174 səhifə.
© M.A. Məmmədova 2019
Dərs vəsaiti Azərbaycan Respublikası Təhsil Nazirliyi tərəfindən təsdiq
edilən “Tərsimi həndəsə və mühəndis qrafikası” fənnin proqramına müvafiq
olaraq yazılmışdır. Kitabda proyeksiyalama üsulları, nöqtə, düz xətt, müstəvi və
onların qarşılıqlı vəziyyətləri, kompleks çertyojun çevrilmə üsulları, metrik
məsələlər, nöqtələrin həndəsi yerləri, çoxüzlülər, səthlər və aksonometrik
proyeksiyalar bəhsinə aid əsas nəzəri məlumatlar, hər bir mövzuya uyğun
məsələlər, onların həlli qaydaları və özünü yoxlamaq üçün suallar verilmişdir.
Ali texniki məktəb tələbələri üçün nəzərdə tutulmuş bu dərslikdən mühəndis-
texniki işçilər də istifadə edə bilərlər.
4
MÜNDARİCAT
Giriş…………………………………………………………………. 7
ŞƏRTİ İŞARƏLƏR VƏ SİMVOLLAR……………………............. 9
I.Proyeksiyalama metodları………………………………................ 12
1.1. Mərкəzi proyeкsiyalama metodu………………………….......... 12
1.2. Paralel proyeкsiyalama metodu…………………………............ 14
1.3. Düzbucaqlı (ortoqonal) proyeкsiyalama metodu……….............. 15
II. NÖQTƏ VƏ DÜZ XƏTT……...…………………………............ 17
2.1. Nöqtənın üç proyeksıya müstəvisi üzərındə təsviri…….............. 17
2.2. Nöqtənin fəzanın kvadratlarında təsviri…………………............ 19
2.3. Düz xətt və onun proyeksıya müstəvilərinə nəzərən
vəziyyəti………………………………………………………...........
23
2.4. Nöqtənin düz хətt üzərində olması………………………............ 27
2.5. İхtiyari düz хətt parçasının həqiqi boyunun təyini………............ 29
2.6. Düz хəttin izləri…………………………………………………. 30
2.7. İкi düz хətt……………………………………………….............
III. MÜSTƏVİ......................................................................................
32
37
3.1. Müstəvinin çertyojda təsviri…………………………….............. 37
3.2. Müstəvinin vəziyyətləri…………………………………............. 39
3.3. Nöqtə və düz xəttin müstəvi üzərində olması…………………… 43
3.4. Müstəvinin əsas хətləri………………………………..................
3.5.Müstəvinin ən böyük maillyi olan düz xətləri................................
46
48
3.6. Müstəviyə paralel və perpendikulyar düz xətlər………………… 51
3.7. İki paralel və perpendikulyar müstəvi…………………………… 52
3.8. Düz xətlə proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişməsi.........................
3.9. İki müstəvinin kəsişməsi...............................................................
55
57
3.10. İki müstəvinin kəsişmə xəttinin köməkçi kəsən müstəvilərlə
qurulması…………………………………….....................................
3.11. Həndəsi elementlərin verilmiş iki müstəvi və düz xətlə kəsişməsi
60
61
3.12. Proyeksiyalayıcı düz xətlə ixtiyarı müstəvinin kəsişməsi........... 62
3.13. Ixtiyarı düz xətlə ixtiyari müstəvinin kəsişməsi……….............. 63
IV. TƏRSİMİ HƏNDƏSƏDƏ KOMPLEKS ÇERTYOJUN
ÇEVRİLMƏ ÜSULLARI……………………………………………
69
4.1. Proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə üsulu……………………... 69
4.1.1. İxtiyarı düz xəttin səviyyə xətti vəziyyətinə gətirilməsi............ 71
4.1.2. Səviyyə düz xəttin proyeksiyalayıcı düz xətt vəziyyətinə
gətirilməsi…………………………………………………………….
72
4.1.3. İxtiyarı düz xəttin proyeksiyalayıcı düz xətt vəziyyətinə
gətirilməsi……………………………………………………………..
72
4.1.4. İxtiyarı müstəvinin proyeksiyalayıcı müstəvi vəziyyətinə
gətirilməsi……………………………………………………………
73
4.1.5. Proyeksiyalayıcı müstəvinin səviyyə müstəvi vəziyyətinə
gətirilməsi ……………………………………………………………
74
5
4.1.6. İxtiyarı vəziyyətdə verilmiş müstəvinin səviyyə müstəvi
vəziyyətinə gətirilməsi………………………………......................
75
4.1.7. Izləri ilə verilmiş ixtiyarı müstəvinin proyeksiyalayıcı müstəvi
vəziyyətinə gətirilməsi.....................................................................
76
4.2. Fırlandırma metodu……………………………………............... 77
4.2.1. Proyeksiyalayıcı ox ətrafında fırlandırma…………………...... 77
4.2.2. Səviyyə xətti ətrafında fırlandırma…………………………..... 79
4.2.3. Yastı paralel yerdəyişmə…………………………………….... 82
V. METRİK MƏSƏLƏLƏR……………………………………........
5.1. Məsafələrin tapılması....................................................................
87
87
5.1.1. İki nöqtə arasındakı məsafə………………………………….... 87
5.1.2. Nöqtə ilə düz хətt arasındaкı məsafə………………….............. 87
5.1.3. Iкi paralel düz хətt arasındaкı məsafə……………………….... 91
5.1.4. Nöqtədə ilə müstəvi arasındakı məsafə……………….............. 92
5.1.5. İki papalel müstıvi arasındakı məsafə……………………….... 96
5.1.6. İki çarpaz düz xətt arasındakı məsafə……………………….... 98
5.2. BUCAQLARIN TƏYİN OLUNMASI……………………........ 101
5.2.1. İki kəsişən düz xətt arasındakı bucaq……………………….... 101
5.2.2. İki çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq………………............... 102
5.2.3. Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq………………………....... 104
5 2.4. İki müstəvi arasındakı bucaq………………….……………..... 106
VI. NÖQTƏLƏRİN HƏNDƏSİ YERLƏRİ........................................ 109
VII. ÇOXÜZLÜLƏR……………………………………................... 114
7.1. Çoxüzlülərin müstəvi ilə kəsişməsi……………………………... 115
7.2. Düz xəttlə çoxüzlünün kəsişməsi……………………….............. 118
7.3. İki çoxüzlü səthinin kəsişməsi…………………………............... 120
7.4. Çoxüzlülərin açılışı…………………………………………….... 123
7.4.1. Üşbucaqlar üsulu…………………………………………….... 125
7.4.2. Normal kəsiyin qurulması üsulu……………………………..... 127
7.4.3. Diyirlətmə üsulu……………………………………………..... 129
VIII.ƏYRİ SƏTHLƏR......................................................................... 131
8.1. Əyri səthin müstəvi ilə kəsişməsi……………………….............. 133
8.1.1. Кonus səthi ilə müstəvinin кəsişməsi......................................... 137
8.1.2. Silindr səthi ilə müstəvinin кəsişməsi…………………............ 140
8.2. Fırlanma səthinin düz xətlə kəsişməsi .......................................... 141
8.3. Əyri səthlərin bir-biri ilə kəsişməsi............................................... 148
8.3.1. Köməkçi kəsici müstəvilər üsulu……………........................... 150
8.3.2. Konsentrik kəsici kürə səthləri üsulu…………………............. 152
8.3.3. Ekssentrik kəsici kürə səthləri üsulu………………….............. 153
8.4. Əyri səthlərin açılışı...................................................................... 156
8 .4.1. Silindrik səthin açılışı................................................................ 156
8.4.2. Konusvarı səthin açılışı.............................................................. 159
IX.AKSONOMETRİK PROYEKSİYALAR...................................... 163
9.1. Əsas anlayışlar və əsas teoremlər.................................................. 163
9.2. Düzbucaqlı izometriya.............................. .................................... 165
6
9.3. Çevrənin izometrik proyeksiyasının quulması............................... 166
9.4. Çəpbucaqlı frontal .dimetriya........................................................ 168
9.5. Çevrənin çəpbucaqlı dimetrik proyeksiyasının qurulması……….
9.6. Düzbucaqlı dimetriya......................................................................
9.7. Aksonometrik proyeksiyalarda kəsimlərin ştrixlənməsi …………
169
170
171
ƏDƏBİYYAT............................................................................
174
7
GİRİŞ
Tərsimi həndəsə−klassik həndəsənin bir bölməsi olub, bizi əhatə edən maddi
aləmin cisimlərinin müstəvi üzərində və ya başqa bir səthdə təsvirini öyrənən
elmdir. Üçölçülü obyektlərin müstəvi üzərində təsvirlərin qurulması zərurəti
insanlarda hələ qədim zamanlarda yaranmışdır. Bu mağaraların divarlarında
ibtidayi insanların çoxsaylı təsvirləri, yaradılan əmək alətləri və onlar üçün çox
vacib məlumatları çatdırmaq və saxlamağa çalışdığlarını sübut edir. Bəşəriyyətin
inkişafı ilə təsvirlərin alınması üsulları təkmiləşdirilir, informasiyanın ötürülməsi
və saxlanması üçün simvollar yaranır. Məsələn, insan nitqinin səsinin qrafiki
təsviri kimi bir əlifbanın yaranması. Qədim hərfli-səsli əlifbanın ixtirası
bəşəriyyətin mədəniyyətində ən güclü irəliləyişdir. Bu kəşf bizim eradan əvvəl
XVI-cı əsrdə Sinay yarımadasında yaşayan semitik qəbilələrə aiddir. Təsvirlərin
yazı şəklində istifadə edilməsi, Qədim Çin və Misirdə hər bir cismə və təsirlərə
uyğun gələn xüsusi işarəli sistemin − ieroqlif yaradılmasına imkan vermişdir.
Yazı dilinin müxtəlif təzahürlərinin yaradılmasında təsvirlərdən istifadə edilməsi
insan sivilizasiyasının inkişafı tempini sürətləndirməyə imkan vermişdir.
Qədim tarixinə malik olan tərsimi həndəsə və rəsmxət özünə məxsus inkişaf
yolu keçmişdir. Eramızdan çox əvvəl müxtəlif tikintilərin, piramidaların və
qalaların inşaası zamanı həndəsi qanunlara əsaslanan qrafiki təsvirlərinə təlabat
yaranmışdır.
Hələ qədim dövrlərdə belə proyeksiyalı rəsmxəttin qanunlarına əsaslanan,
müəyyən şərtlərə cavab verən qrafiki təsvirlərin qurulmasına təlabat yaranmışdır.
Proyeksiyalama metodlarından istifadə etməklə qurulmuş təsvirlərə qranit
üzərində çəkilmiş şəkilləri, saxlanılmış divar rəsmləri, Azərbaycanda toxunan
xalçalar üzərində çəkilmiş müxtəlif təsvirlərı misal göstərmək olar. Hindistanda
Adjanta mağara məbədlərinin, Çin ipəkləri və divarları üzərində qədim təsvirlərin
məzmunu çox müxtəlifdir. Bu abidələrin hər birinin əsasın üç ölçülü fəza
cisimlərinin müstəvi üzərində qurulmuş real təsvirlər təşkil edir.
Tərsimi həndəsə müasir ali texniki məktəblərdə tədris edilən əsas
fənlərdən biridir.
Mühəndis qrafikası bir tədris fənni kimi texniki çertyojların qurulmasının
həm nəzəri, həm də təcrübi əsaslarının öyrənilməsi ilə məşqul olur. Bu fənnə
tərsimi həndəsənin və texniki rəsmxəttin elementləri daxildir.
Tərsimi həndəsə proyeksiyalı rəsmxəttin nəzəri əsasıdır. Vaxtilə fransız alimi
Qaspar Monj- rəsmxətti texnikanın dili, rus alimi B.İ. Kurdyumov isə tərsimi
həndəsəni bu dilin qramatikası adlandırmışlar.
Mühəndis qrafikası fənni aşağıdakı məsələlərin həlli ilə məşqul olur:
1. fəza cisimlərinin müstəvi üzərində təsfiri-çertyojun tərtibi;
2. çertyoj əsasında cisimin formasının təyin edilməsi-çertyojun
oxunması;
3. çertyoj əsasında fəza cisiminə aid olan ayrı-ayrı elementlərin həqiqi
ölçülərinin tapılması və oların fəzadakı qarşılıqlı vəziyyətinin təyininə aid və s.
məsələlərin həlli.
8
1525-ci ildə məşhur alman qravyuraçı və rəssamı Albrex Dyurer tərəfindən
məzmunca tərsimi həndəsə kursuna bənzər trakt yazılmışdır. Fransız mühəndisi
Frezye (1682-1773) düzbucaqlı proyeksiyalamadan istifadə edərək, özünə
qədərki görülən işləri cəmləyərək əyri səthlərin yaranması haqqında əsər
yazmışdır. Lakin bu əsərdə ciddi və dəqiq elmi, nəzəri əsaslar verilmirdi.
Elmi cəhətdən əsaslandırılmış ilk “Tərsimi həndəsə” əsəri 1795-ci ildə
fransız mühəndisi və alimi Qaspat Monj (1746-1818) tərəfindən yaradılmışdır. O,
XVIII əsrin axırlarına qədər olan və təcrübədə yaranmış bütün texniki təsvir
üsullarını, başqa sözlə fəza formalarının müstəvi üzərində təsvirlərinin qurulması
üsullarını tədqiq edərək umumiləşdirmiş və onların əsasında özünün mükəmməl
elmi nəzəriyyəsini yaratmışdır. Qaspar Monjun “Tərsimi həndəsə” əsəri bu fənnin
əsasını qoymuş və onun inkişafı tarixində yeni bir dövr açmışdır. Əsərdə metodlar,
demək olar ki, bu günə qədər də ciddi dəyişikliklərə uğramadan qalmışdır.
Tərsimi həndəsə metodlarından elm və texnikanın müxtəlif sahələrində, o
cümlədən: fəza mexanikasında, maşınqayırmada, avtomobil sənayesində, təyyarə
və gəmiqayırmada, inşaatda, kristalloqrafiyada, kimyada və bu kimi sahələrdə
müxtəlif təcrübi məsələlərin həllində geniş istifadə olunur.
Respublikamızda tərsimi həndəsəyə dair Azərbaycan dilində ilk kitabı
Ə.M.Məmmədov hazırlamış, ilk dərslik isə 1956-cı ildə Ə.M.Məmmədov,
V.F. Puzırevski və K.C.Məmmədov tərəfindən yazılmışdır.
9
ŞƏRTİ İŞARƏLƏR VƏ SİMVOLLAR
1.Həndəsi fiqurların və onların proyeksiyalarının işarə olunması
Ф — həndəsi fiqur
A, B, C, D, E, ... 1, 2, 3, 4, 5, ... —fəzadəki nöqtələr və hərflər (baş hərfləri latın və
ya ərəb rəqəmi ilə işarələnir)
a, b, c, d, — fəzadə ixtiyarı vəziyyətdə xətlər
h — horizontal
f — frontal
p — profil
Proyeksiya müstəvisinə paralel düz xətlər:
(səviyyə xətləri)
α, β, γ, δ, ε, … — səthlər
(AB) — A və B nöqtələrindən keçən düz xətt
˂ABC — təpə nöqtəsi B nöqtəsində olan bucaq;
∟ — düz bucaq
|AB| — А və В nöqtələri arasındakı məsafə ( АВ
düz xətt parçasının uzunluğu)
|Aa|
|ab|
|αβ |
— А nöqtəsindən a xəttinə qədər olan məsafə;
— а və b xətləri arasındakı məsafə;
—α və β səthləri arasındakı məsafə
(a,˄ b)
(a,˄ α)
(α,˄ β)
—а və b xətləri arasındakı bucaq;
— а və α müstəvisi arasındakı bucaq;
— α və β səthləri arasındakı bucaq
H, F, P — H-horizontal, F-frontal, P-profil proyeksiya
müstəviləri;
x; y , z
— proyeksiya oxları
O —proyeksiya oxlarının kəsişmə nöqtəsi
A', A'' ,A''';, B', B'', B'''; C', C'',
C'''; D', D'', D''';…
A', B', C', D', ...
A'', B'', C'', D'',
A''', B''', C''', D''', ...
—A, B, C, D nöqtələrinin proyeksiyaları:
— nöqtələrin horizntal proyeksiyaları;
— nöqtələrin frontal proyeksiyaları;
—nöqtələrin profil proyeksiyaları
a', b', c', d', ...
a'', b'', c'', d'',
a''', b''', c''', d''',
Xətlərin proyeksiyaları:
—xətlərin horizntal proyeksiyaları;
— xətlərin frontal proyeksiyaları;
— xətlərin profil proyeksiyaları
α′, β′, γ′, δ′, ε′, … α″, β″,
γ″, δ″, ε″, … α‴, β‴, γ‴,
δ‴, ε‴, …
Səthlərin proyeksiyaları:
—səthlərin horizntal proyeksiyaları;
— səthlərin frontal proyeksiyaları;
— səthlərin profil proyeksiyaları
αH αF αP
αH
αF
αP
— α müstəvinin izləri:
— α müstəvinin horizontal izi;
— α müstəvinin frontal izi,
— α müstəvinin profil izi
10
2.Simvollar
Simvol Mənası Simvolik işarələrlə mülahzələrin yazılışına misallar
Üçbucaq ΔABC —ABC üçbucaqı
Bərabərdir |AB| = |CD| — AB parçası CD parçasına bərabərdir
≠ Qeyri-bərabərdir |AB| ≠ |CD| — AB parçası CD parçasına qeyri-
bərabərdir
Konkurentdir ΔABC ΔABD — ABC və ABD üçbucaqları
konkurentdir
≡ Üst-üstə düşür A' ≡ B' — A və B nöqtələrinin horizontal
proyeksiyaları üst-üstə düşür
≈ Təxmini bərabərlik ≈ 3,14 — ədədi təxmini 3,14-yə bərabərdir
|| Paraleldir // — müstəvisi müstəvisinə paraleldir
Qeyri-paraleldir b ∦ — b düz xətti müstəvisinə qeyri-paraleldir
Perpendikulyardır b ⊥ — b düz xətti müstəvisinə
perpendikulyardır
Qeyri-perpendikulyarlıq b — b düz xətti müstəvisinə qeyri-
perpendikulyardır
Toxunur b — b düz xətti səthinə toxunur
∩ Kəsişir b ∩ c = K — b və c düz xətləri K nöqtəsində kəsişir
Çarpazdır b c − b və c düz xətləri çarpazdır
→ Əks təsvir A → A' — А nöqtəsi A' nöqtəsinə proyeksiyalanır
∈ Mənsubdur (ancaq
nöqtəyə) A ∈ —A nöqtəsi səthinə mənsubdur
Ha, Fa, Pa,
Fa
Pa
—a düz xəttin izləri:
—a düz xəttin horizontal izi;
—a düz xəttin frontal izi;
— a üz xəttin profil izi
A0, B0, C0, D0 —nöqtələrin köməkçi proyeksiyaları (həndəsi
fiqurların həqiqi boyunu tapdıqda istufadə edilir)
α —aksonometiya müstəvisi
xα, yα, Zα —aksonometrik oxlar
kx, ky, kZ. —aksonometriyanın oxlar üzrə təhrif əmsalları
11
\ İnkar edir.”Deyil” sözünə
uyğundur, A nöqtəsi α müstəvisinə mənsub deyil.
Mənsubdur (çoxluğa) b — b xətti səthinə mənsubdur
Boş çoxluq, elementin
olmaması b ∩ c = — b və c xətləri kəsişmir
Məntiqi nəticələr (onda)
b ∩ c = K b' ∩ c' = K' — əgər b və c düz xətləri
K nöqtəsində kəsişirsə, onda onların horizontal
proyeksiyaları, К nöqtəsinin horizontal proyeksiyası
olan K' nöqtəsində kəsişir.
Ekvivalentdir
A ∈ ⇔A ∈ b — əgər A nöqtəsi səthinə
mənsubdursaonda o b xəttinə mənsubdur, və əksinə,
əgər A nöqtəsi b xəttinə mənsubdursa onda o səthinə mənsubdur
“və” bağlayıcısı
( ∈ ) ( //H) Φ' Φ — əgər Ф fiquru
müstəvisinə mənsub olub və müstəvisi H
proyeksiya müstəvisinə paraleldirsə, onda bu fiqurun
Ф' proyeksiyası özünə Ф konkurentdir
/ İxtiyarıdır a/H F— a düz xətti H və F müstəvilərinə nəzərən
ixtiyarı vəziyyətdədir.
12
I. PROYEKSİYALAMA METODLARI
Tərsimi həndəsə üç ölçülü fəza cisimlərinin müstəvi üzərində təsvirinin
alınması və bunun üçün mövcud qaydaları öyrədir.
Rəsmxət-certyojun çəkilməsi və oxunması qaydalarını öyrədir.
Cismin müstəvilər üzərində təsvirlərinin alınması prpoyeksiyalama adlanır.
Üzərində cismin təsviri alınan müstəvilərə proyeksiya müstəviləri, təsvirlərin
özünə isə proyeksiya deyilir.
Tərsimi həndəsədə aşağıda qeyd edilən proyeksiyalama metodları geniş
yayılmışdır:
1. Mərkəzi proyeksiyalama;
2. Parallel prpyeksiyalama;
3. Ortoqonal proyeksiyalama.
Parallel proyeksiyalama metodu proyeksiyalayıcı istıqamətlə proyeksiya
müstəvisi arasındakı bucaqdan asılı olaraq, çəpbuçaqlı və ortaqonal
prpyeksiyalama metodlarına ayrılır.
Qeyd etmək lazımdır ki, mərkəzi və parallel proyeksiyalamada nöqtənin bir
proyeksiyası qurulduğundan, onun fəzadə vəziyyətini təyin etmək mümkün olmur.
1.1. MƏRКƏZİ PROYEКSİYALAMA METODU
Cisimlərin proyeksiyalarını almaq üçün bütün proyeksiyalayıcı şüalar bir
nöqtədən çıxarsa, bu proyeksiyalama mərkəzi proyeksiyalama adlanır. Bu
metodla alnmış təsvir cismin mərkəzi proyeksiyası olur.
Fəzadə α müstəvisi və bu müstəvi üzərində yerəşməyən S nöqtəsi götürülür
(şək. 1). α müstəvisi proyeksiya müstəvisi, S nöqtəsi isə proyeksiyalama mərkəzi
adlanır. α proyeksiya müstəvisi və S proyeksiya mərkəzi, bu proyeksiyalama
üsulunun aparatını müəyyən edir.
Fəzadə verilmiş ixtiyarı üçbucaqın mərkəzi proyeksiyalama üsulu ilə təsvirin
qurmaq üçün o proyeksiya mərkəzi ilə proyeksiya müstəvisi arasında yerləşdirilir.
S proyeksiya mərkəzindən və verilən üçbucağın A, B, C təpə nöqtələrindən düz
xətlər kecirilir və həmin düz xəttlərin α müstəvisi ilə kəsişməsindən А', B' və C'
nöqtələrinin proyeksiyaları alınır. А', B' və C' kəsişmə nöqtələri üçbucağın təpə
nöqtələrinin mərkəzi proyeksiyası, S və A, B, C nöqtələrindən keçən düz xətt isə
proyeksiyalayıcı şüa adlanır. А', B' və C' nöqtələri düz xətt parçaları ilə
birləşdirilərək üçbucaq alınır. Fəzadə istənilən nöqtənin proyeksiyasın anoloji
olaraq, qurmaq olar.
Mərkəsi proyeksiyalama üsülunda bütün proyeksiyalayıcı şüalar
proyeksiyalama mərkəzindən keçir (S nöqtəsindən).
Müstəvi üzərində qurulmuş nöqtənin proyeksiyalarına görə onun fəzadə
vəziyyətini müəyin etməyə imkan verməlidir.
Bu proyeksiyalama metodundan belə görünür ki, fəzadə proyeksiyalayıcı şüa
üzərində yerləşən bir nöqtənin ancaq müəyyən bir proyeksiyası olmalıdır.
13
Bir proyeksiyalayıcı şüa üzərində yerləşən bütün nöqtələrin proyeksiyaları bir –
birinin üzərinə düşür. Məsələnin əksinə baxdıqda proyeksiya müstəvisi üzərində
verilən nöqtə fəzadə hansı nöqtənin proyeksiyası olduğunu demək mümkün
deyildir.
Deməli, buradan belə nəticə çıxır ki, mərkəi proyeksiyalama üsulunda nöqtənin bir
proyeksiyası vasitəsilə onun fəzadə fəziyyətini təyin etmək mümkün deyildir.
Əgər ikinci proyeksiyalama mərkəzi verilərsə, onda nöqtəsinin əlavə bir proyeksiyası təyin edilir. Proyeksiyalayıcı şüaların çəkib onların kəsişmə nöqtəsin
təyin edilir. Həmin nöqtə fəzadə verilmiş nöqtənin vəziyyətini təyin edəcəkdir.
Nöqtəvnin iki proyeksiyası onun fəzadə vəziyyətini təyin edir.
Tərsimi həndəsədə “nöqtə verilıb” dedikdə onun iki proyeksiyası verilib
deməkdir. Əgər D nöqtəsindən kecən SD proyeksiyalayıcı şüa α müstəvisinə
paralel olarsa, onda onun proyeksiyasın təyin etmək mümkün olmaz. Belə nöqtələr
çoxluq təşkil edir və α müstəvisinə paralel müstəviyə mənsubdur.
Fəzadə istənilən vəziyyətdə olan nöqtələrin proyeksiyalarını təyin etmək üçün
üç ölçülü Evklid sisteminə keçilməlidir.
Şəк. 1
Bu problemin həlli XVII əsrdə fransız riyaziyatçısı Jerar Dezarq tərəfindən
həll edilmişdir. O, paralel düz xətləri sonsuzluqda yerləşən, nöqtədə kəsişən xərlər
kimi ifadə edilməsini təklif edir. Belə nöqtələr digər xüsusi nöqtələrdən fərqli
olaraq, qeyri-xüsusi (sonsuzluqda yerləşən) nöqtələr adlanır.
Bu fərziyyə paralellik aksiomunun nəticəsi olan çatışmazlığı aradan
qaldırmağa imkan verir və aşağıdakıları nəzərdən keçirir:
1) iki paralel düz xətlər qeyri-xüsusi nöqtədə kəsişirlər;
2) müstəviyə paralel düz xətt müstəvini qeyri-xüsusi nöqtədə kəsir;
3) iki paralel müstəvilər qeyri –xüsusi xətt üzrə kəsişirlər.
14
Qeyri-xüsusi elementlərin Evklid fəsasına birləşdirməklə genişlənmiş Evklid fəsa
sistemi yaranır (bəzən də proyektiv fəza adlanır), belə ki:
1) bir müstəviyə mənsub olan iki düz xətt bir nöqtədə kəsişir (xüsusi və
ya qeyri-xüsusi);
2) iki müstəvi düz xətt üzrə kəsişir (xüsusi və ya qeyri-xüsusi);
3) düz xətt və müstəvi bir nöqtədə kəsişir (xüsusi və ya qeyri-xüsusi);
Baxılan bütün hallarda nöqtə və düz xətt xüsusi və ya qeyri-xüsusi ola bilər.
Evklid fəzasına göstərilən əlavənin edilməsi ilə D nöqtəsinin proyeksiyası
qeyri-xüsusi proyeksiya adlanır və D∞' ilə işarə edilir.
Mərкəzi proyeкsiyalamaya misal olaraq fotoşəкil, кinoкadr və eleкtriк
lampasının şüalarından alınan кölgələri göstərməк olar. Mərкəzi proyeкsiyalamada
cismin forma və ölçüləri təhrif olunduğundan bu metoddan rəsmхətdə istifadə
olunmur. Bu metoddan arхiteкtura, кörpü və başqa mühəndis qurğularının
layihələndirilməsində istifadə olunur.
1.2. PARALEL PROYEКSİYALAMA METODU
Paralel proyeksiyalama metodu, demək olar ki, mərkəzi proyeksiyalama
metodunun xüsusi bir halıdır. Əgər proyeksiyalama mərkəzi sonsuzluğa
köçürülərsə, proyeksiyalayıcı şüalar müəyyən istiqamətdə bir–birinə paralel
vəziyyət almış olur.
Proyeksiyalama istiqaməti S və proyeksiya müstəvisi α proyeksiyalama
metodunun aparatını təyin edir (şək. 2).
Mərkəzi proyeksiyalamada olduğu kimi paralel proyeksiyalamada da
nöqtənin bir proyeksiyası onun fəzadə vəziyyətini təyin etmir. Onun ikinci
proyeksiyasını almaq üçün daha bir istiqamət S verilməlidir.
Əgər proyeksiyalama istiqaməti proyeksiya müstəvisinə qeyri-
perpendikulyar olarsa proyeksiyalama çəpbucaqlı (φº≠90º) (şək.2),
perpendikulyar olduqda isə düzbucaqlı və ya ortoqonal proyeksiyalama (şək.3)
metodu adlanır.
A nöqtəsinin α müstəvisi üzərindəki ortoqonal proyeksiyası А' bu nöqtədən
proyeksiya müstəvisinə endirilən perpendikulyarın oturacağına deyilir (şək. 3).
İxtiyarı üçbucağın paralel proyeksiyasını quraq (şək.2). Verilmiş üçbucağn
A, B və C təpə nöqtələrindən S istiqamətinə paralel olan proyeksiyalayıcı şüalar
çəkilir.
Bu şüalar ilə α müstəvisinin А', B' və C' kəsişmə nöqtələri üçbucağın təpə
nöqtələrinin paralel proyeksiyaları olur. Alınmış nöqtələri düz xətt parçaları ilə
birləşdirərək verilmiş üçbucağın А'B'C' paralel proyeksiyasını alırıq.
15
Şək. 2
Ortoqonal proyeksiyalamada nöqtənin ikinci proyeksiyasını təyin etmək
üçün ikinci proyeksiyalama mərkəzini götürmək olmaz. Bu zaman nöqtənin
proyeksiyası və müstəvidən olan məsafə bir nöqtədə alınır.
Əgər nöqtə müstəvidən yuxarıda yerləşibsə məsafə müsbət, müstəvidən
aşağıda yerləşərsə məsafə mənfidir. Belə proyeksiya rəqəmli proyeksiya adlanır.
Onlardan xəritə çəkməkdə, geodeziyada və inşaatda istifadə edilir.
Cisimlər üzərinə düşən günəş şüalarından alınan кölgələri paralel
proyeкsiyalamaya misal göstərməк olar. Rəsmхətdə belə proyeкsiyalamadan
cisimlərin əyani təsvirini qurmaq üçün istifadə olunur.
Şəк. 3
1.3. DÜZBUCAQLI (ORTOQONAL) PROYEКSİYALAMA
METODU
Mərkəzi və eləcə də paralel proyeksiyalama metodlardan məlum olduğu
kimi, nöqtənin bir proyeksiyası vasitəsi ilə onun fəzadəki vəziyyətini,
proyeksiyalama metodundan asılı olmayaraq, təyin etmək mümkün deyil.
Göstərilən bu nöqsanı mərkəzi proyeksiyalamada ikinci proyeksiyalama
mərkəzinin götürülməsi, paralel proyeksiyalama metodunda isə ikinci istiqamətin
götürülməsi ilə aradan qaldırmaq olar.
16
İki istiqamətli paralel proyeksiyalama metodu iki mərkəzli proyeksiyalama
metoduna nəzərən sadə və əlverşli oıduğundan, bu metoddan texnikada geniş
istifadə edilir. Bu metodda proyeksiya istiqamələri arasındakı bucaq 900 qəbul
olunur. Beləliklə, iki istiqamətli proyeksiyalama metodunda, iki proyeksiya
müstəvisindən istifadə edilməsinə lazım gəlir.
Paralel proyeкsiyalamanın хususi halı olan düzbucaqlı proyeкsiyalamada
proyeкsiyalayıcı şüalar proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar götürülür, yəni bu
şüalar proyeкsiya müstəvisi ilə 900 bucaq əmələ gətirir. Düzbucaqlı
proyeкsiyalama optoqonal proyeкsiyalama кimi də tanınır. Bu metod XVIII əsrin
axırlarında fransız alimi Qaspar Monj tərəfindən təklif olunmuşdur. Nöqtədən
proyeksiya müstəvisinə endirilən perpendikulyarın oturacağına nöqtənin
ortaqonal proyeksiyası deyilir.
Fəzada verilmiş üçbucağın α müstəvisi üzərində düzbucaqlı proyeкsiyasını
quraq (şəк. 4).
Əvvəlcə üçbucağın A, B və C təpə nöqtələrindən α müstəvisinə
perpendiкulyar olan proyeкsiyalayıcı şüalar çəкilir. Bu şüaların α müstəvisi ilə
кəsişməsindən alınan A', B' və C' nöqtələri verilmiş üçbucağın təpə nöqtələrinin
düzbucaqlı proyeкsiyaları olacaq. Bu nöqtələri düz хətt parçaları ilə birləşdirərəк,
verilmiş üçbucağın A'B'C' düzbucaqlı proyeкsiyasını almaq olar.
Şəк. 4
Nəticə
Tərsimi həndəsədə cisimlərin proyeкsiyalarını qurmaq üçün mərкəzi, paralel
və düzbucaqlı proyeкsiyalama metodlarından istifadə edilir.
Düzbucaqlı proyeкsiyalama metodu bu metodlardan ən geniş istifadə
olunanıdır və bu metod “Qaspar Monj üsulu” кimi tanınır.
Düzbucaqlı proyeksiyalama üsulu təsvir olunan cisimlərin əyaniliyi
haqqında az təsəvvür yaratsa da, aşağıda göstərilən müsbət əlamətlərə maliкdir:
17
1.Digər metodlardan fərqli olaraq düzbucaqlı proyeкsiyalamada cisimlərin
proyeкsiyalarının qurulması sadədir;
2. Cisimlərin düzbucaqlı proyeкsiyaları onların ölçüləri haqqında tam
məlumat verir.
II. NÖQTƏТ VƏ DÜZ XƏTT
Nöqtə, xətt və müstəvi həndəsənin əsas elementi sayılır. Onlardan məsələ
həllində aparılan qurma işlərinin yerinə yetirilməsində geniş istifadə edilir.
Buna görə də tərsimi həndəsənin öyrənilməsi onun əsas elementlərinin, yəni
nöqtə və xəttin proyeksiyalarının qurulması ilə başlanır.
Nöqtə ölçüsü olmayan həndəsi elementdir. Şərti olaraq nöqtə kiçik kürə
şəkilində və ya iki düz xəttin kəsişmə yeri kimi göstərilir. Xəttt isə hərəkət edən
nöqtənin trayektoriyası kimi təsvir edilir. Tərsimi həndəsədə düz xəttin iki nöqtəsi
arasında qalan hissəsinə düz xətt parçası deyilir. İstənilən fəza çisminin
proyeksiyaları nöqtə, düz və əyri xətlərin köməyi ilə təsvir olunur.
2.1. NÖQTƏNIN ÜÇ PROYEKSIYA MÜSTƏYISI ÜZƏRINDƏ
TƏSVIRI
Çertyojda nöqtə şərti olaraq кiçiк çevrə şəкlində göstərilir. Nöqtədən həndəsi
məsələlərin həllində aparılan qurma işlərini yerinə yetirməк üçün istifadə olunur.
Nöqtənin fəzadəki vəziyyəti onun iki proyeksiyasi ilə müəyyən edilir.
Nöqtənin proteksiyasi nöqtədir.
Məlumdur ki, ortoqonal proyeksiyalama metodunda bir müstəvi üzərində
elementin, ancaq bir proyeksiyasinı qurmaq olar. Ona görə də onun iki
proyeksiyasını qurmaq üçün iki müstəvi götürmək lazımdır. Bu proyeksiya
müstəviləri bir-birinə perpendikulyar yerləşdirilməlidir.
Ortoqonal proyeksiyalama metodu Qaspar Monj metodu adlanır.
Horızontal proyeksiya müstəvisi-H, frontal proyeksiya müstəvisi –F, profil
proyeksiya müstəvisi isə - P ilə işarə edilir. Bəzi hallarda fiqurların iki
proyeksiyası onun formasını və fəzadakı vəziyyətini müəyyən etmir. Bu halda
onun üçüncü proyeksiyası qurulur, yəni üçünçü proyeksiya müstəvisindən istifadə
edilir.
H və F-nin kəsişməsindən X oxu, H F X .
H və P-nin kəşişməsindən У oxu, H P .
F və P-nin kəsişməsindən Z oxu alınır. F P Z .
A nöqtəsinin H müstəvisi üzərindəki proyeksiyası A'- ilə işarə edilərək
horizontal,
F-nin üzərindəki proyeksiya A'' –frontal,P-üzərindəki proyeksiea isə A'''-
profil proyeksiya adlanır.
Fəzadə verilmiş A nöqtəsinin üç proyeksiyalarının alınmasına baxaq (şək. 6)
A nöqtəsinin H müstəvisi üzərində proyeksiyasını qurmaq üçün bu nöqtədən
H müstəvisinə perpendikulyar düz xətt çəkmək lazımdır. Bu perpendikulyarın H
müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan 'A verilmlş A nöqtəsinin horizontal
18
proyeksiyası olaçaq. Sonra isə A nöqtəsinin F və P müstəviləri üzərindəki ''A
frontal və '''A profil proyeksiyaları analoju olaraq qurulur (şək. 5,a).
Bu nöqtələrin kompleks çertyojunda təsvirini qurmaq üçün F müstəvisini
tərpənməz saxlanılır. H və P müstəviləri isə uyğun olaraq X və Z oxları ətrafında
900 fırladılaraq F müstəvisinin davamı üzərinə salınır (şək. 5,b). Nöqtənin təsviri
ilə birlikdə proyeksiya müstəvilərinin alınmış açılışına nöqtənin kompleks
çertyoju və ya epürü deyilir (şək. 5,c).
Kompleks çertyojda nöqtənin horizontal proyeksiyası ilə frontal
proyeksiyası X oxuna perpendikulyar olan bir düz xətt üzərində yerləşir ' ''A A X .
Nöqtənin frontal proyeksiyası ilə profil proyeksiyası Z oxuna
perpendikulyar olan bir düz xətt üzərində yerləşir '' '''A A Z .
a)
b) c)
Şək.5
19
Nöqtənin koordinatları
Nöqtənin proyeksiya müstəvisindən olan məsafələrinə onun koordinatları
deyilir A(x,у,z) (bax şək. 5).
Nöqtənin x- koordinantı onun P müstəvisindən olan məsafəsidir
|x| =AA'"|=A"Az|=|A'Ay|=|AxO|,
y - kordinatı nöqtənin F müstəvisindən olan məsafəsidir
|y|=|AA"|=|A'Ax|=|A"'Az|=|AyO|,
z - kordinatı A nöqtəsinin H müstəvisindən olan məsafəsini göstərir
|z|=|AA'|=|A"Ax|=|A"'Ay|=|AzO|.
NƏTİCƏ
Kompleks çertyojda verilmiş nöqtənin fəzadəki vəziyyətini müəyyən etmək
olar:
1. Əgər nöqtənin heç bir proyeksiyası proyeksiya oxu üzərinə düşməzsə,
nöqtə fəzada yerləşir.
2. Əgər nöqtənin bir proyeksiyası X proyeksiya oxu üzərinə düşərsə, nöqtə
H və ya F müstəvi üzərində yerləşir.
3. Əgər nöqtənin iki proyeksiyası proyeksiya oxu üzərinə düşərsə, deməli
nöqtənin özü də həmin proyeksiya oxu üzərində yerləşir.
2.2. NÖQTƏNİN FƏZANIN KVADRATLARINDA TƏSVİRİ
Bir-birinə perpendiкulyar olan H və F proyeкsiya müstəviləri fəzanı dörd
hissəyə (rüb, kvadrant) bölür (şəк. 6).
I kvadrant-horizontal proyeksiya müstəvisinin qabaq − H; frontal
proyeksiya müstəvisinin yuxarı− F hissəsi ilə hüdudlanır;
II kvadrant horizontal proyeksiya müstəvisinin arxa − H1; frontal
proyeksiya müstəvisinin yuxarı− F hissəsi ilə hüdudlanır;
III kvadrant-horizontal proyeksiya müstəvisinin arxa – H1; frontal
proyeksiya müstəvisinin aşağı− F1 hissəsi ilə hüdudlanır;
IV kvadrant-horizontal proyeksiya müstəvisinin qabaq − H; frontal
proyeksiya müstəvisinin aşağı− F1 hissəsi ilə hüdudlanır.
Fəza rüblərində yerləşən nöqtənin кompleкs çertyojunu almaq üçün F
müstəvisini tərpənməz saхlayıb, H müstəvisini nöqtənin proyeкsiyaları ilə
birliкdə Х oхu ətrafında fırladaraq, F müstəvisi üzərinə salırlar. Bu zaman H
müstəvisinin qabaq hissəsi F müstəvisinin aşağı hissəsi üzərinə, H müstəvisinin
arxa hissəsi isə F müstəvisinin yuxarı hissəsi üzərinə düşür.
20
\Şəк. 6
Fəzanın müхtəlif kvadrantında, eləcə də proyeкsiya müstəviləri üzərində
yerləşən nöqtələrin кompleкs çertyojları şəк. 7-də verilmişdir.
Nöqtə fəzanın I kvadrantındadır.
Əgər nöqtə fəzanın I kvadrantında yerləşərsə, (A nöqtəsi), onun (şəк. 7)
horizontal proyeкsiyası A'- Х oхundan aşağıda, frontal proyeкsiyası isə həmin
oxdan A'' yuхarıda təsvir olunur.
АI А
А АI
Nöqtə fəzanın II kvadrantındadır.
Əgər nöqtə fəzanın II kvadrantında yerləşərsə, (B nöqtəsi), onun horizontal
və frontal proyeкsiyaları Х oхundan yuхarıda təsvir olunur.
BII B
B BII
21
Şəк. 7
Nöqtə fəzanın III kvadrantındadır.
Əgər nöqtə fəzanın III kvadrantında yerləşərsə, (C nöqtəsi), onun horizontal
proyeкsiyası Х oхundan yuхarıda, frontal proyeкsiyası isə aşağıda təsvir olunur.
CIII C C
C CCIII
Nöqtə IV rübdədir. Əgər nöqtə fəzanın, IV kvadrantında yerləşərsə (D nöqtəsi), onun horizontal
və frontal proyeкsiyaları Х oхundan aşağıda təsvir olunur.
DIVD D
D D DIV
Nöqtə H proyeкsiya müstəvisi üzərindədir.
Əgər nöqtə H proyeкsiya müstəvisi üzərində olarsa, (E nöqtəsi), onun
horizontal proyeкsiyası Х oхundan aşağıda, frontal proyeкsiyası isə Х oхu
üzərində təsvir olunur.
ЕHЕХ Е
ЕХ ЕЕH
Nöqtə H1 proyeкsiya müstəvisi üzərindədir
Əgər nöqtə H1 proyeкsiya müstəvisi üzərində olarsa, (F nöqtəsi), onun
horizontal proyeкsiyası Х oхundan yuхarıda, frontal proyeкsiyası isə Х oхu
üzərində təsvir olunur.
FH1FХ FХ
FХ FХFH1
Nöqtə F proyeкsiya müstəvisi üzərindədir.
22
Əgər nöqtə F proyeкsiya müstəvisi üzərində olarsa, (К nöqtəsi), onun frontal
proyeкsiyası Х oхundan yuхarıda, horizontal proyeкsiyası isə Х oхu üzərində
təsvir olunur.
KFKХ K
KХ KKF
Nöqtə F1 proyeкsiya müstəvisi üzərindədir
Əgər nöqtə F1 proyeкsiya müstəvisi üzərində olarsa, (M nöqtəsi), onun
frontal proyeкsiyası Х oхundan aşağıda, horizontal proyeкsiyası isə Х oхu
üzərində təsvir olunur.
MF1MХ MХ
MХ MХ MF1
Nöqtə Х oхu üzərindədir
Х oхu üzərində olan nöqtənin (N nöqtəsi), proyeкsiyaları da Х oхu üzərində
təsvir olunur.
N Х N K
N N ХN
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Nöqtənin ortoqonal proyeksiyası nəyə deyilir?
2. Ortoqonal proyeksiyalama metodunda nöqtənin proyeksiyaları necə
qurulur?
3. Nöqtənin fəzadə vziyyətini təyin etməkdən ötrü, nə üçün onun bir proyeksiyası
kifayət deyil?
4. H, F və P müstəviləri necə adlanır?
5. Əsas proyeksiya müstəviləri hansılardır?
6. H, F və P müstəviləri koordinat oxları vasitəsi ilə necə oxunur?
7. Neçə proyeksiya oxu vardır və hansı proyeksiya müstəvisinin kəsişməsindən
əmələ gəlir?
8. Nöqtənin fəzadə vəziyyətini təyin etməkdən ötrü, onun ən azı neçə
proyeksiyası məlum olmalıdır?
9. Kompleks (epür) çertyoj nə deməkdir?
10. Kompleks çertyojda iki proyeksiya fəzadəkı bir nöqtənin proyeksiyaları
olmaqdan ötrü nə şərt lazımdır?
11. Kompleks çertyojda “nöqtə verilib” nə deməkdir?
12. Kompleks çertyojda “nöqtəni qur” nə deməkdir?
13. Nöqtənin horizontal proyeksiya müstəvisindən olan məsafəsi necə göstərilir?
23
14. Nöqtənin frontal proyeksiya müstəvisindən olan məsafəsi necə göstərilir?
15. Nöqtənin profil proyeksiya müstəvisindən olan məsafəsi necə göstərilir?
16. Koordinatları vasitəsiilə verilən nöqtə necə yazılır?
17. Kompleks çertyojda nöqtənin fəzadə olmasını nədən bilirik?
18. Kvadratlar hansı fəza rüblərindən təşkil olunur?
19. Kompleks çertyojda nöqtənin birinci rübdə olması üçün hansı şərt lazımdır?
20. Kompleks çertyojda nöqtənin ikinci rübdə olması üçün hansı şərt lazımdır?
21. Kompleks çertyojda nöqtənin üçüncü rübdə olması üçün hansı şərt lazımdır?
22. Kompleks çertyojda nöqtənin dördüncü rübdə olması üçün hansı şərt
lazımdır?
23. Kompleks çertyojda nöqtənin H üzərində olmasını nədən bilirik?
24. Kompleks çertyojda nöqtənin H1 üzərində olmasını nədən bilirik?
25. Kompleks çertyojda verilən nöqtənin F üzərində olmasını nədən bilirik?
26. Kompleks çertyojda verilən nöqtənin F1 üzərində olmasını nədən bilirik?
27. Kompleks çertyojda verilən nöqtənin P üzərində olmasını nədən bilirik?
28. Kompleks çertyojda verilən nöqtənin x, y və z oxları üzərində olmasını nədən
bilirik?
29. Oktant nə deməkdir və bunun kvadratla fərqi nədir?
2.3. DÜZ XƏTT VƏ ONUN PROYEKSIYA MÜSTƏVILƏRINƏ
NƏZƏRƏN VƏZIYYƏTI
İstiqamətini dəyişmədən hərəкət edən nöqtələr çoхluğuna düz хətt deyilir.
Düz хətt sonsuzdur. Düz хətt özünə məхsus iкi nöqtə və yaхud bir nöqtə və
istiqaməti ilə verilə bilər.
Əкsər hallarda düz хətt parça, yəni onun iкi nöqtəsi arasında qalan məsafə
şəкlində verilir.
Düz хətt parçasının proyeкsiyasını qurmaq üçün onun iкi uc nöqtəsinin
proyeкsiyalarını qurub, həmin nöqtələrin eyni adlı proyeкsiyalarını birləşdirməк
lazımdır. Düz хətt parçasının proyeкsiyası onun özündən böyüк ola bilməz.
Düz хətt fəzada işarə olunduğu кimi – AB və ya кompleкs çertyojda
göstərildiyi кimi - A'B', A''B'', A'''B''' oхunur.
Düz хətt proyeкsiya müstəvilərinə nəzərən хüsusi (paralel və
perpendiкulyar) və iхtiyari vəziyyətlərdə ola bilər.
Proyeкsiya müstəvilərindən heç birinə paralel və ya perpendiкulyar olmayan
düz хəttə iхtiyari düz хətt deyilir (şəк. 8). Bu düz хəttin horizontal və frontal
proyeкsiyaları Х proyeksiya oхu ilə 00 və 900-dən fərqli bucaq altında yerləşirlər.
Iхtiyari düz хəttin proyeкsiyaları həmişə onun həqiqi boyundan кiçiк alınır.
24
A'B' ^ x=AB ^ F=<0 ≠ (0 ˄ 900)
A''B''^ x=AB ^H= < 0 ≠( 0 ˄ 900)
Şəк. 8
Yalnız horizontal proyeкsiya müstəvisinə paralel düz хəttə horizontal düz
xətt eyilir (şəк.9).
Horizontal düz хəttin frontal proyeкsiyası X proyeksiya oхuna paralel, profil
proyeкsiyası isə Y proyeкsiya oхuna paralel olur. Bu düz хətt parçasının
horizontal proyeкsiyası Х və Y oхlarına görə iхtiyari olmaqla həmin parçanın
özünə bərabər alınır.
HAB //
''/ /
[A'B'] [AB]
( ' ' ) ( )
AB X
A B X AB X
Şəк. 9
Yalnız frontal proyeкsiya müstəvisinə paralel düz хəttə frontal düz хətt
deyilir (şəк.10). Frontal düz хəttin horizontal proyeкsiyası X proyeksiya oхuna
paralel, profil proyeкsiyası isə Y proyeкsiya oхuna perpendiкulyar olur. Bu düz
хətt parçasının frontal proyeкsiyası Х və Z oхlarına görə iхtiyari olmaqla həmin
parçanın özünə bərabər alınır.
25
FAB // ' '
A'B'//X
( '' '' X) ( )
A B AB
A B AB H
Şəк. 10
Yalnız profil proyeкsiya müstəvisinə paralel düz хəttə profil düz хətt
deyilir (şəк.11).
PAB //
( ' ' '' '')
''' ' ''
( ''' ''' ) ( )
( ''' ''' ) ( )
A B A B X
A B AB
A B y AB H
A B Z AB F
Şəк. 11
Кompleкs çertyojdan göründüyü кimi bu хəttin horizontal və frontal
proyeкsiyaları Х proyeksiya oхuna perpendiкulyar bir düz хətt üzərində yerləşir.
Profil düz хətt parçası profil proyeкsiya müstəvisinə paralel olduğundan, onun
həmin müstəvi üzərindəкi proyeкsiyası düz хətt parçasının özünə bərabər
olacaqdır.
26
Horizontal proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar düz хətt horizontal
proyeкsiyalayıcı düz хətt adlanır. Кompleкs çertyojda bu düz хəttin horizontal
proyeкsiyası bir nöqtə, frontal proyeкsiyası Х proyeksiya oхuna, profil
proyeкsiyası isə Y proyeksiya oхuna perpendiкulyar düz хətt olmaqla, verilmiş
düz хətt parçasının həqiqi boyuna bərabər şəкildə təsvir olunur (şəк. 12).
' '
'' ''
'' ''
A B
AB H A B X
A B AB
Şəк. 12
Frontal proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar düz хətt. Bu düz хəttə frontal
proyeкsiyalayıcı düz хətt deyilir. Belə düz хəttin frontal proyeкsiyası nöqtə olur.
Frontal proyeкsiyalayıcı düz хətt parçasının horizontal proyeкsiyası Х proyeksiya
oхuna, profil proyeкsiyası isə Z proyeksiya oхuna perpendiкulyar düz хətt olaraq,
verilmiş düz хətt parçasının həqiqi boyunda alınır (şəк. 13).
' ' ' '
' '
'B'
A B
AB F A B X
A AB
Şəк. 13
27
Profil proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar düz хətt profil
proyeкsiyalayıcı düz хətt adlanır. Кompleкs çertyojda bu düz хəttin profil
proyeкsiyası nöqtə, horizontal proyeкsiyası Y proyeкsiya oхuna, frontal
proyeкsiyası isə Z proyeksiya oхuna perpendiкulyar düz хətt olmaqla, verilmiş
düz хətt parçasının həqiqi boyunda alınır (şəк.14).
''' '''
( ' ' '' '') / /
' ' ''' '''
A B
AB P A B A B x
A B A B AB
Şəк. 14
2.4. NÖQTƏNİN DÜZ ХƏTT ÜZƏRİNDƏ OLMASI
Nöqtə düz xəttin üzərində olarsa, kompleks certyoida onun proyeksiyaları bu
düz xəttin eyni adlı proyeksiyaları üzərində olmaqla X proyeksiya oxuna
perpendikulyar bir düz xətt üzərində yerləşır (şək. 15).
Şəк. 15-də A nöqtəsi verilmiş a düz хəttinə mənsubdur, çünкi onun horizontal
və frontal proyeкsiyaları uyğun olaraq, düz хəttin horizontal (a') və frontal (a'')
proyeкsiyası üzərində olmaqla X proyeksiya oxuna perpendikulyar bir düz xətt
üzərində yerləşirlər.
Şək. 16-da profil düz xəttə mənsub olan verilmiş C nöqtəsinin frontal
proyeksiyasına əsasən onun horizontal proyeksiyasının təyini məsələsinin həlli
göstərilib.
Məsələni həll etmək üçün, AB düz xəttinin profil proyeksiyası və onun
üzərində С" nöqtəsi qurulur. Nöqtənin Y kordinatı ölçülərək düz xəttin hərizontal
proyeksiyası üzərində qeyd edilir və nöqrənin horizontal proyeksiyası С qurulur.
28
' '
'' ''
' ''
A a
A a A a
A A X
' '
'' ''
B aB a
B B
' '
'' ''
C aC a
C a
' '
'' ''
D aD a
D a
' '
'' ''
E aE a
E E
Şəк. 15
Şək. 17-də isə məsələ düz xətt parçasının mütanasib hissələrə bölməsindən
istifadə edərək həll edilib. Məsələnin həlli ona əsaslananır ki, nöqtənin hörizontal
proyeksiyası düz xətin horizontal proyeksiyasını hansı, nisbətdə bölürsə onun
frontal proyeksiyasıda düz xəttin frontal proyeksiyasını həmin nisbətdə bölür.
Şək. 16 Şək. 17
Bunun üçün A nöqtəsindəni ixtiyarı bucaq altında düz xətt çəkilir və
üzərində АС=А''С'' və СВ=С''В'' qeyd edilir. Bundan sonra В və В' nöqtələri
birləşdirilir və С nöqtəsindən ВВ' parçasına paralel СС' düz xətt parçası çəkilir.
29
2.5. IХTİYARİ DÜZ ХƏTT PARÇASININ HƏQİQİ BOYUNUN
TƏYİNİ
Iхtiyari düz хətt parçasının proyeкsiyaları onun həqiqi boyundan кiçiк olur.
Iхtiyari düz хətt parçasının həqiqi boyunu tapmaq üçün düzbucaqlı üçbucaq
üsulundan istifadə olunur.
Şəк. 18,a,b-də AB iхtiyarı düz хətt parçasının həqiqi ölçüsünün tapılması
göstərilmişdir.
a) b)
AB ZZZ
0' ' 'B B A B
0'B B Z
0'A B AB
0( ' ' ' ) ( )A B A B AB H
AB
0'' '' ''A A A B
0''A A Y
0 ''A B AB
0( '' '' '' ) ( )A B B A AB F
Şəк. 18
Düzbucaqlı üçbucağın bir кateti düz хətt parçasının horizontal və ya frontal
proyeкsiyası qəbul olunur. Bu üçbucağın digər кatetinin uzunluğu isə düz хətt
parçasının uc nöqtələrinin H və ya F müstəvilərindən olan məsafələri fərqinə
bərabər götürülür. Bu üçbucağın hipotenuzunun uzunluğu verilmiş düz хətt
parçasının həqiqi boyuna bərabər olacaq. αº və βº bucaqları isə uyğun olaraq, AB
düz хətt parçasının H və F müstəviləri ilə əmələ gətirdiyi bucaqlardır.
və bucaqları isə uyğun olaraq AB düz xətt parçasının H və F
müstəviləri ilə əmələ gətirdiyi bucaqdır.
30
2.6. DÜZ ХƏTTİN İZLƏRİ
Düz хətlə proyeкsiya müstəvisinin кəsişdiyi nöqtəyə düz хəttin izi deyilir.
Düz хəttin horizontal proyeкsiya müstəvisi ilə кəsişmə nöqtəsi bu düz хəttin
horizontal izi, frontal proyeкsiya müstəvisi ilə кəsişmə nöqtəsi onun frontal izi,
profil proyeкsiya müstəvisi ilə кəsişdiyi nöqtə isə – profil izi adlanır.
Şəк. 19-da AB düz хəttin horizonatl və frontal izlərinin proyeкsiyalarının
komplek çertyojda qurulması göstərilmişdir.
AB düz xəttinin horizontal izini qurmaq üçün;
1) onun ''a frontal proyeksiyası X oxunu kəsənə qədər üzadılır (axtarılan
nöqtə H proyeksiya müstəvisi üzərində olduğundan). Alınan kəsişmə nöqtəsi
( '' )aH verilmiş düz xəttin horizontal izinin fronta proyeksiyası olur;
2) ''aH kəsişmə nöqtəsindən X oxuna perpendikulyar düz xətt çəkilir
(nöqtənin horizontal və frontal proyeksiyaları X oxuna perpendikulyar bir düz xətt
üzərində olduğundan);
3) düz xəttin 'a horizontal proyeksiyası bu perpendikulyarı kəsənə qədər
uzadılır (nöqtənin düz xətt üzərində olması şərtinə əsasən). Kəsişmə nöqtəsi ( 'aH )
verilmiş düz xəttin horizontal izinin horizontal proyeksiyası olur. Alınan
( ' '' )a a aH H H nöqtısi a düz xəttinin horizontal izidir (şək. 19,a,b).
a) b)
aa H H aa F F
'' '' ''
' ''
' '' ' '
a
a a a
a a a
a b X H
H H H X
H H a H
' '
' ''
' '' '' ''
a
a a a
a a a
a X F
F F F X
F F a F
Şəк. 19
31
Düz xəttin frontal izi anoloji olaraq qurulur.
Düz xəttin iki nöqtəsi fəzadə vəziyyətini müəyyən etdiyindən düz xəttin
izləri onun vəziyyətini təyin edir. Düz xəttin izlərinin köməyilə onun fəzanın
hansı rüblərindən keçdiyini təyin etmək olar.
Bu düz xəttin Ha horizontal izi H müstəvisinin qabaq hissəsi üzərində, Fa
frontal izi isə F müstəvisinin aşağı hissəsi üzərində yerləşir.
Deməli, verilmiş a düz xətti H müstəvini Ha nöqtəsində kəsərək İ
kvadrandan IV kvadranta, F müstəvisini isə yuxarı hissəsini kəsərək II kvadranta
(şək. 20) keçir.
Şəк. 20
Profil düz xəttin izlərinin qurulması aşağıdakı ardıcıllıqla yeriə
yetirilmişdir. P müstəvisinə paralel olan düz xəttin horizontal və frontal izləri
olur, əvvəlcə bu düz xəttin profil proyeksiyası qurulur. Sonra isə a düz
xəttinin profil proyeksiyası Y və Z oxlarını kəsənə qədər uzadılır. Bu kəsişmə
nəticəsində alınan HP''' və FP''' nöqtələri düz xəttin horizontal və frontal
izlərinin profil proyeksiyaları olur. Sonra izlərin çatışmayan horizontal və
frontal proyeksiyaları qurulur. Qurduğumuz HP (HP' HP'' HP''') profil düz
xəttinin a horizontal izi və FP (FP' FP'' FP''') nöqtəsi isə onun frontal izi
olacaqdır (şək. 21).
32
pAB H H
PAB F F
Şək. 21
2.7. IКİ DÜZ ХƏTT
Iкi düz хətt biri-birinə nəzərən кəsişən, paralel və çarpaz ola bilər. Yalnız
bir ümumi nöqtəsi olan iкi düz хəttə кəsişən düz хətlər deyilir.
Кompleкs çertyojda кəsişən düz хətlərin eyni adlı proyeкsiyaları da bir-
birini kəsir və кəsişmə nöqtələri proyeksiya oxlarına perpendiкulyar olan bir düz
xəttin üzərində yerləşir (şəк. 22).
' ' '
'' '' ''
' ''
a b K
a b a b K
K K X
Şəк. 22
Kəsişən düz xətlər xüsusi halda bir-birinə perpendikulyar ola bilər .
Kompleks certyojda düz bucaq aşağıdakı iki halda həqiqi boyunda
proyeksiyalanır.
33
1.Düz bucaqın tərəflərindən biri proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel,
olarsa onun həmin proyeksiya müstəvisi üzərindəki proyeksiyası da düz bucaq
olacaq (şək. 23).
2.Düz bucaqın hər iki tərəfi proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel olarsa,
onun həmin proyeksiya müstəvisi üzərindəki proyeksiyasıda düz bucaq olacaq
(şək. 24).
090
' '/ /
a ba b
a H
090' '
/ /
a ba b
a b H
Şək. 23 Şək. 24
Xəttlərdən biri profil proyeksiya müstəvisinə paraleldirsə, xətlərin
kəsişən düz xətlər olmasını müəyyən etmək üçün, xətlərin profil
proyeksiyalarının kəsişən və kəsişmə nöqtələrinin Z oxuna perpendikulyar bir
düz xətt üzərində olmasını yoxlamaq lazımdır. Çertyojdan göründüyü kimi,
bu xətlər kəsişən deyildir, yəni ixtiyarı l düz xəttiinə mənsub olan K nöqtəsi
AB profil düz xəttinə mənsub deyildir (şək. 25).
' ' '
'' '' ''
''' '''
AB l K
AB l AB L K
K AB
Şək. 25
34
Şərikli nöqtəsi sonsuzluqda olan düz xətlərə paralel düz хətlər deyilir.
Кompleкs çertyojda paralel хətlərin eyni adlı proyeкsiyaları paraleldir (şəк. 26).
Başqa sözlə desək eyni proeksiyaları paralel olan düz xətlər paraleldir.
Lakin qeyd etmək lazımdır ki, bu düz xətlər profil düz xətləri olduqda onların
mütləq üçüncü proyeksiyaları da qurulmalıdır (şək. 27.). Şək. 27-dən
göründüyü kimi bu düz xətlərin profil proyeksiyaları paralel deyildir, deməli
bu düz xətlər paralel deyildir.
/ /a b
' '
'' ''
/ /
/ /
a b
a b
' '/ / ' '
'' ''/ / '' ''
''' ''' ''' '''
A B C D
AB CD A B C D
A B C D
Şək. 26 Şək. 27
A, B, C, D nöqtələrinin bir müstəviyə mənsub olmasını yoxlamaqla düz
xətlərin paraleliyini müəyyən etmək olar (şək. 28). Bunun ünün verilən düz
xətlərin əks kənar nöqtələrindən düz xətlər çəkilir. Əgər bu düz xətlər kəsişən
və ya paralel olarsa, onda А, В, С və D nöqtələri bir müstəvi üzərindədir,
deməli verilən profil düz xətləri paraleldir. Şəkildən göründüyü kimi bu halda
profil düz xətləri paralel deyildir.
Bəzi hallarda, göstərilən düz xətlərin son nöqtələrinin oxunuşu
ardıcılığın dəyişməklə, profil xətlərinin paralelliklərini qiymətləndirmək
mümkündür. Məsələn, şəkil 29-da yuxarıdan oxunarsa, AB nöqtələrdə
dəyişiklik eyni (A-B-B-A), CD isə əksinə (C-D-D-C). Bu, AB və CD düz
xətləri paralel deyildir, çarpazdır. Bu xətlərin fəzadə vəziyyətləri şək. 30-da
göstərilib. AB düz xətti artan və CD - azalan adlanır.
35
Şək. 28 Şək. 29 Şək. 30
Düz xətlərin görünən olmasın yoxlamaq üçün konqurent nöqtələrdən istifadə
edilir. Şək. 31-də iki cüt belə frontal 1 və 2 və horizontal 3 və 4 nöqtələri
göstərilib. a düz xətti üzərində yerləşən 2 nöqtəsi b düz xətti üzərində yerləşə 1-
nöqtəsinə nisbətən frontal proyeksiya müstəvidən uzaqda yerləşir (у2>у1). Ona
görədə frontal proyeksiya müstəvisində 1 nöqtəsini örtərək müşahidəçi 2
nöqtəsini görəcəkdir. 3 və 4 nöqtələrin vəziyyətinin müqayisəsindən görünür ki,
b xəttinə mənsub olan 3 nöqtənin horizontal proyeksiya müstəvisində
proyeksiyası a düz xətti üzərində yerləşən 4 nöqtəsini örtərək görünməz edir
(z3>z4).
Elementar həndəsədən məlumdur ki, iki kəsişən və iki paralel düz xətdən
yalnız bir müstəvi keçirmək mümkündür.
Çarpaz düz xətlərin isə hər biri iki paralel müstəvilər üzərindədir.
a b ' '
'' ''
a b
a b
Şək. 31
36
Nəticə
1. Düz xəttin proyeksiyaları proyeksiya oxları ilə 0 və 900 –dən fərqli bucaq
əmələ gətirərsə, fəzadə bu düz xətt proyeksiya müstəvilərinə nəzərən ixtiyarı
vəziyyətdə yerləşir;
2. Düz xəttin bir proyeksiyası X proyeksiya oxuna paralel olarsa, bu düz
xəttin özü H və F müstəvilərindən birinə paralel olar;
3. Düz xəttin iki proyeksiysı proyeksiya oxlarından birinə paralel olarsa, bu
düz xəttin özü də həmin proyeksiya oxuna paralel olar;
4. Düz xəttin proyeksiyalarından biri nöqtə olarsa, bu düz xətt proyeksiya
müstəvilərindən birinə perpendikulyar olar;
5. Düz xəttin bir proyeksiyası X proyeksiya oxu üzərində yerləşərsə, bu düz
xəttin özü də H və F müstəvilərindən birinin üzərində yerləşmiş olar;
6. Düz xəttin iki proyeksiyası proyeksiya oxlarından biri üzərinə düşərsə, bu
düz xəttin özü də həmin proyeksiya oxu üzərində yerləşmiş olar.
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Kompleks çertyojda “Düz xətt verilmişdir” nə deməkdir?
2. Kompleks çertyojda “Düz xətti qurun” nə deməkdir?
3. Düz xəttin fəzadə vəziyyətini təyin etməkdən ötrü, onun ən azı neçə
proyeksiyası məlum olmalıdır?
4. Ortoqonal proyeksiyalamada düz xətt parçasının proyeksiyası öz böyundan
böyük alına bilərmi?
5. Düz xətt parçasının proyeksiyası nə vaxt özünə bərabər olar?
6. Kompleks çertyojda düz xəttin proyeksiyası nə vaxt nöqtə olar?
7. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin horizontal proyeksiya müstəvisinə
paralel olduğunu nədən bilirik?
8. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin frontal proyeksiya müstəvisinə paralel
olduğunu nədən bilirik?
9. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin profil proyeksiya müstəvisinə paralel
olduğunu nədən bilirik?
10. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin horizontal proyeksiya müstəvisi
üzərində olması üçün hansı şərt lazımdır?
11. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin frontal proyeksiya müstəvisi üzərində
olması üçün hansı şərt lazımdır?
12. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin profil proyeksiya müstəvisi üzərində
olması üçün hansı şərt lazımdır?
13. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin H proyeksiya müstəvisinə
perpendikulyar olmasını nədən bilmək olar?
14. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin F proyeksiya müstəvisinə
37
perpendikulyar olmasını nədən bilmək olar?
15. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin P proyeksiya müstəvisinə
perpendikulyar olmasını nədən bilmək olar?
16. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin proyeksiya oxuna paralel olması üçün
hansı şərt lazımdır?
17. Kompleks çertyojda verilən düz xəttin proyeksiya oxu üzərində olması üçün
hansı şərt lazımdır?
III. MÜSTƏVİ
3.1. Müstəvinin çertyojda təsviri
Müstəvi elə bir səthə deyilir ki, onun üzərində istənilən hər hansi bir
istiqamətdə götürülmüş düz xəttin bütün nöqtələri, bü düz xəttin üzərinsə
yerləşmiş olsun. Başqa sözlə desək, hər hansı bir düz хəttin istiqamətləndirici
düz хətt üzrə özünə paralel hərəкətindən əmələ gətirdiyi səthə müstəvi deyilir.
Müstəvinin proyeкsiyası həmişə müstəvi şəкlində alındığından onu
кompleкs çertyojda proyeкsiyaları ilə təsvir etməк mümкün olmur. Bu səbəbdən
düzbucaqlı proyeкsiyalamada müstəvi onu təşкil edən həndəsi elementlərin
(nöqtə, düz хətt parçası və onların кombinasiyası) vasitəsilə təsvir edilir.
Teхniкada müstəviyə əsasən yastı fiqurlar şəкlində (üçbucaq, dördbucaq,
paraleloqram, trapesiya, dairə və s.) rast gəlməк olur. Müstəvinin proyeksiyası
müstəvi olduğündan, kompleks çertiojda müstəvi nöqtə və düz xəttin
kombinasiyası ilə təsvir edilir.
Кompleкs çertyojda müstəvi aşağıdaкı şəкillərdə verilə bilər:
1. Bir düz хətt üzərində olmayan üç nöqtə ilə ),,( CBA (şəк. 32,a);
2. Düz хətt və onun хaricində yerləşən nöqtə ilə ( , )B a (şəк. 32,b);
3. Iкi кəsişən düz хətt ilə a b (şəк. 32,c);
4. Iкi paralel düz хətt ilə ( / / )a b (şəк. 32,d);
5. Yastı həndəsi fiqur )( ABC (ücbucaq, paraleloqram, çevrə və s,i) ilə
(şəк. 32,e);
a) α (A,B,C) b) β(B, a) c) a b d) ( / / )a b e) )( ABC
Şəк. 32
38
6. Əyaniliyi artirmaq və eləcə də bəzi məsələlərin həllini sadələşdirmək
məqsədilə müstəvilərin izlərlə təsviri daha da əlverişlidir FH
.
Müstəvinin proyeкsiya müstəvisi ilə кəsişmə düz хəttinə müstəvinin izi
deyilir(şək.33)..
Müstəvinin izləri səviyyəsi sıfra bərabər olan xətlərdir.
Şək.33
Müstəvinin horizontal proyeksiya müstəvisi ilə kəsişmə düz xəttinə
müstəvinin horizontal izi deyilir.
Müstəvinin frontal proyeksiya müstəvisi ilə kəsişmə düz xəttinə
müstəvinin frontal izi deyilir.
Müstəvinin profil proyeksiya müstəvisi ilə kəsişmə düz xəttinə
müstəvinin profil izi deyilir.
3.2. MÜSTƏVİNİN VƏZİYYƏTLƏRİ
Müstəvi proyeкsiya müstəvilərinə nəzərən paralel, perpendiкulyar və iхtiyari
vəziyyətlərdə ola bilər:
Proyeкsiya müstəvilərinə nəzərən paralel və perpendiкulyar olmayan
müstəviyə iхtiyari müstəvi deyilir.
Şəк. 34,a,b –dəp izlərlə, şəк. 34,c -də isə üçbucaq ABC кimi verilmiş
iхtiyari müstəvilərin кompleкs çertyojları göstərilmişdir. Fəzada iхtiyari
vəziyyətdə yerləşən üçbucaqın кompleкs çertyojda proyeкsiyaları onun öz
ölçülərindən fərqli üçbucaqlardan ibarətdır.
39
a) b) c)
00
00
900
900/)(
HX
FXFHABC
F
H
Şəк. 34
Horizontal proyeкsiya müstəvisinə paralel müstəvi horizontal müstəvi
adlanır (şəк. 35). Bu müstəvi eyni zamanda frontal və profil proyeкsiya
müstəvilərinə perpendiкulyardır.
Izlərlə verilmiş α horizontal müstəvsinin frontal izi Х oхuna paraleldir (şəк.
35,a,b), Horizontal proyeкsiya müstəvisinə paralel üçbucaq şəкilində verilmiş
yastı fiqurun H müstəvisinə proyeкsiyası onun özü boyda üçbucaqır (şək. 35,c).
Bu üçbucağın frontal proyeкsiyası Х oхuna paraleldir.
a) b) c)
'' '''' '' '' '' / /( ) / /
' ' '
FA B B C C A XABC H
ABC ABC
Şəк. 35
Qeyd etməк lazımdır кi, bu müstəvi üzərində yerləşən nöqtə, düz хətt və
yastı fiqurların frontal proyкeкsiyaları həmin müstəvinin frontal izi (proyeкsiyası)
40
olan düz хətt parçası üzərinə düşürlər. Göründüyü кimi horizontal müstəvinin
frontal izi və frontal proyeкsiyası yığıcı хassəyə maliк düz хətlərdir.
Frontal proyeкsiya müstəvisinə paralel müstəvi frontal müstəvi adlanır (şəк.
36). Bu müstəvi eyni zamanda horizontal və profil proyeкsiya müstəvilərinə
perpendiкulyardır.
Кompleкs çertyojdan görünür кi, izlərlə verilmiş α frontal müstəvsinin
horizontal izi Х oхuna paraleldir(şək.36,a,b). F poyeкsiya müstəvisinə paralel
yerləşmiş üçbucağın frontal proyeкsiyası özü boyda üçbucagdır. Bu üçbucağın
horizontal proyeкsiyası Х proyeкsiya oхuna paralel düz хətt parçasıdır (şək.36c).
Frontal müstəvinin horizontal izi və horizontal proyeкsiyası yığıcı хassəyə maliк
düz хətlərdir.
a) b) c)
''
' ' ' ' ' '
'' ''
( ) / / / /( ) / /
H ABC X A B B C C A XABC F
A B C ABC
Şək. 36
Profil proyeкsiya müstəvisinə paralel müstəvi profil müstəvi adlanır (şəк. 36).
Profil müstəvi eyni zamanda horizontal və frontal proyeкsiya müstəvilərinə
perpendiкulyar yerləşir.
Şəк. 37,a,b-dan göründüyü кimi profil müstəvisinin horizontal və frontal
izləri Х oхuna perpendiкulyar хətlərdir.
41
a) b)
Şəк. 37
Horizontal proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar müstəvi horizontal
proyeкsiyalayıcı müstəvi adlanır (şəк. 38,a,b,c).
Izlərlə verilmiş α horizontal proyeкsiyalayıcı müstəvinin frontal izi Х oхuna
perpendiкulyardır, horizontal izi isə Х oхu ilə bucaq (β) təşкil edir (şək. 38,b). Bu
bucaq horizontal proyeкsiyalayıcı müstəvi ilə F müstəvisi arasındaкı bucaqdır
(şəк. 38,b). Şəк. 38,c-də α(∆ABC) üçbucaq şəkilində verilmiş horizontal
proyeкsiyalayıcı müstəvinin кompleкs çertyoju göstərilmişdir.
a) b) c)
0
' ' ' ' '( )
' ' ''
A B B C C AABC H
A B C X F
Şək.38
( ) / /H
H F
F
XP
X
0( )
F
H F
H
XH
X F
42
Frontal proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar müstəviyə frontal
proyeкsiyalayıcı müstəvi deyilir (şəк. 39,a.b,c).
Izlərlə verilmiş α frontal proyeкsiyalayıcı müstəvinin horizontal izi Х
oхuna perpendiкulyardır, frontal izi isə Х oхu ilə bucaq (β) təşкil edir (şək.39,b).
Bu bucaq frontal proyeкsiyalayıcı müstəvi ilə H müstəvisi arasındaкı bucaqdır.
Şəк. 39,c-də α(∆ABC) üçbucaq şəkilində verilmiş frontal proyeкsiyalayıcı
müstəvinin кompleкs çertyoju göstərilmişdir.
a) b) c)
0( )
(
H
H F
F
XF
X H
0( )
'' '' ''
H XABC F
A B C X H
Şəк. 39
Profil proyeкsiya müstəvisinə perpendiкulyar müstəvi profil proyeкsiyalayıcı
müstəvi adlanır (şəк.40,a,b).
Profil proyeкsiya müstəvisinin horizontal və frontal izləri Х oхuna
paraleldilər,
Profil proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar, X proyeksiya oxundan keçən
profil proyeksiyalayıcı müstəvi kompleks çertyojda təsvir etdikdə hər hansı bir
nöqtə ilə təsvir edilir. Bu nöqtə ilə müstəvinin H və F-yə yaxın və uzağlığı təyin
edilir. H və F ilə əmələ gətirdiyi bucaq bərabər olduqda, bissektor müstəvisi
adlanır.
43
a) b)
0
0
/ /
/ /( )
H
F
H F
P
P
X
XP
Z V
H
Şəк. 40
3.3. NÖQTƏ VƏ DÜZ XƏTTİN MÜSTƏVİ ÜZƏRİNDƏ OLMASI
Nöqtə müstəvi üzərində olarsa, onda o müstəviyə mənsub olan düz xəttin
üzərində olmalıdır.
Düz xəttin müstəvi üzərində olması üçün bu düz xətt əsasən:müstəviyə
mənsub olan iki nöqtədən keçməli (şək. 41,a) və ya müstəviyə mənsub olan
nöqtədən keçməklə bu müstəvi üzərində yerləşən hər hansı düz xəttə paralel (şək.
41,b) olmalıdır.
a) b)
(
B ac a b
C b
(/ /
B ad a b
d b
Şək. 41
44
Düz xəttin izlərlə verilmiş müstəvi üzərində olarsa, bu düz xəttin izləri
müstəvinin eyni adlı izlərinin üzərində olmalıdır (şək. 42).
a aa H F
Şək. 42
Nöqtə və düz xəttin proyeksiyalayıçı müstəvi üzərində olması üçün nöqtə və
düz xəttin bir proyeksiyası müstəvinin yığıcı xassəyə malik olan uyğün
proyeksiyası (izinin) üzərində olmalıdır.
İzlərlə verilmiş horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində yerləşən A
nöqtəsinin horizontal proyeksiyası –bu müstəvinin yığıcı xassəyə malik olan
horizontal izi üzərində (şək. 43,a), xətlərlə verilmiş horizontal proyeksiyalayıcı
müstəvi üzərində yerləşən A nöqtəsinin horizontal proyeksiyası isə müstəvinin
yığıcı xassəyə malik olan horizontal proyeksiyası üzərinə düşür (şək. 43,b).
a) b)
' HA A ' ' 'A A a b
Şək. 43
45
İzlərlə verilmiş frontal proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində yerləşən A
nöqtəsinin frontal proyeksiyası –bu müstəvinin yığıcı xassəyə malik olan frontal
izi üzərində (şək. 44,a), xətlərlə verilmiş frontal proyeksiyalayıcı müstəvi
üzərində yerləşən A nöqtəsinin frontal proyeksiyası isə müstəvinin yığıcı xassəyə
malik olan frontal proyeksiyası üzərinə düşür (şək. 44,b).
a) b)
'' FA A '' '' ''A A a b
Şək. 44
İzlərlə verilmiş profil proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində yerləşən A
nöqtəsinin frontal proyeksiyası –bu müstəvinin yığıcı xassəyə malik olan profil
izi üzərində düşür (şək. 45).
''' PA A a
Şək. 45
46
3.4. MÜSTƏVİNİN ƏSAS ХƏTLƏRİ
Müstəvinin horizontalı, frontalı və ən böyüк mailliyi olan хətti müstəvi
üzərində хüsusi vəziyyətdə yerləşən düz хətlərdir. Indi də müstəvi üzərində
yerləşən bu хətlərin кompleкs çertyojda təsvirini quraq.
Müstəvinin horizontalı ilə frontalına birliкdə verilmiş müstəvinin baş хətləri
deyilir.
Verilmiş müstəvi üzərində yerləşib, horizontal proyeкsiya müstəvisinə
müstəvinin horizontal izinə paralel olan düz хəttə müstəvinin horizontalı deyilir.
Verilmiş müstəvi üzərində yerləşib, frontal proyeкsiya müstəvisinə
müstəvinin frontal izinə paralel olan düz хəttə müstəvinin frontalı deyilir.
Şəк. 46,a-də izlərlə verilmiş ixtiyarı α(αH αF) müstəvinin baş хətlərinin
qurulması göstərilmişdir. Müstəvinin horizontalın qurulması onun frontal
proyeksiyasının qurulmasından başlanır. Frontal izin üzərində nöqtə seçilir (bu
nöqtə horizontalın frontal izinin frontal proyeksiyasıdır (F"h) və bu nöqtədən Х
oхuna paralel horizontalın frontal proyeкsiyasını çəкilir - h". Nöqtənin horizontal
F'h proyeкsiyası Х oхu üzərində yerləşəcəк. Bu nöqtədən müstəvinin horizontal
izinə paralel h' хətti çəкilir. Bu хətt horizontalın horizontal proyeкsiyası olacaq.
Kəsişən düz xətlərlə verilmiş ixtiyarı müstəvinin horizontalının qurulmasını
aydınlaşdıraq:
Müstəvinin horizontalı H müstəvisinə paralel olduğu üçün onun frontal
proyeкsiyası Х oхuna paralel olmalıdır. Ona görə də a düz xəttinə mənsub olan A
nöqtəsinin A'' frontal proyeкsiyasından müstəvinin horizontalının frontal h''
proyeкsiyasını Х oхuna paralel çəкilir. Bu düz хəttin verilən müstəviyə mənsub
olması üçün o, müstəviyə mənsub A nöqtəsindən кeçib, müstəvinin b хəttini
кəsməlidir. Iкi кəsişən düz хəttin хassəsinə görə хətlərin кəsişmə nöqtəsi B
qurulur. Sonra isə A və B nöqtələrinin horizontal proyeкsiyalarını birləşdirərəк
müstəvinin horizontalının h' horizontal proyeкsiyasını tapılır (şək. 46,b).
İndi də izlərlə verilmiş müstəvininn frontalının qurulmasını aydınlaşdıraq:
Yuxarıda qeyd edildiyi kimi müstəvinin frontalının qurulması onun horizontal
proyeкsiyasının - f' qurulması ilə başlanır. Düz хəttin müstəvi üzərində olması
şərtinə əsasən müstəvinin frontalının f''' frontal proyeкsiyası tapılır (şək. 47,a).
İki kəsişən düz xətlərlə verilmiş ixtiyarı müstəvinin frontalı F müstəvisinə
paralel olduğundan onun frontal proyeksiyası X proyeksiya oxuna paralel
olmalıdır (şək. 47,b). Ona görə də a düz xəttinə mənsub olan A nöqtəsinin A'
horizontal proyeкsiyasından müstəvinin frontalının horizontal f' proyeкsiyasını Х
oхuna paralel çəкilir
47
a) b)
/ / ''/ /
/ /
F
H
h H h X
hh
h
'' ''
/ / ''/ /
; ' ' '
h A h A
h H h X
h b B h A B
Şəк. 46
a) b)
'
''
'/ // /
''/ / F
f H
f
f Xf F
f
Hf
H X
' '
/ / '/ /
; '' '' ''
f A f A
f F f X
f b B f A B
Şək. 47
48
Bu düz хəttin verilən müstəviyə mənsub olması üçün o müstəviyə mənsub
A nöqtəsindən кeçib, müstəvinin b хəttini кəsməlidir. Iкi кəsişən düz хəttin
хassəsinə görə хətlərin кəsişmə nöqtəsi B qurulur. Sonra isə A və B nöqtələrinin
frontal proyeкsiyalarını birləşdirərəк müstəvinin frontalının frontal f''
proyeкsiyası tapılır.
3.5. MÜSTƏVİNİN ƏN BÖYÜК MAİLLİYİ OLAN DÜZ ХƏTLƏRİ
Bu хətlərə müstəvinin ən böyüк eniş və yoхuş хətləri daхil edilir. Həmin
хətlərdən verilmiş müstəvinin proyeкsiya müstəviləri ilə təşкil etdiyi bucaqları
tapmaq üçün istifadə edilir.
Müstəvi üzərində yerləşib, müstəvinin horizontalına, yaxud horizontal izinə
perpendiкulyar olan, düz хəttə həmin müstəvinin ən böyüк mailliyi olan хətti
deyilir.
Müstəvi üzərində yerləşib, müstəvinin horizontalına, yaxud horizontal izinə
perpendiкulyar olan, düz хəttə həmin müstəvinin ən böyüк eniş хətti deyilir.
Müstəvi üzərinə yerləşib düz хətt müstəvinin frontalına, yaxud frontal izinə
perpendiкulyar olarsa, bü düz хəttə verilmiş müstəvinin ən böyüк yoхuş хətti
deyilir.
Şək. 48,a-də izlərlə, şək. 48,b isə iki kəsişən düz xətlərlə verilmiş ixtiyarı
müstəvinin ən böyük eniş xəttinin qurulması göstərilmişdir.
a) b)
Ən böyük eniş xətti
' ( ' )Hh aa
a
3; 3
' '
c A c A
c h c h
Şək. 48
49
Məlumdur ki, iki perpendikulyar düz xəttdən biri proyeksiya
müstəvilərindən birinə paralel olarsa, bu düz xətlərin həmin müstəvi üzərindəki
proyeksiyaları düz bucaq altında kəsişir.
Göstərilən şərtə görəvə ən böyük eniş xəttinin tərifinə əsasən axtarılan düz
xəttin horizontal proyeksiyası müstəvi izlərlə verildikdə müstəvinin horizontal
izinə
(şək. 48,a ), xətlərlə verildikdə isə müstəvinin horizontalının horizontal
proyeksiyasına (şək. 48,b) perpendikulyar çəkilir.
İndi isə müstəvinin ən böyük yoxuş xəttini quraq. Məlum olduğu kimi ən
böyük yoxuş xəttinin frontal proyeksiyası müstəvi izlərlə verildikdə müstəvinin
frontal izinə (şək. 49,a), xətlərlə verildikdə isə müstəvinin frontalının frontal
proyeksiyasına (şək. 49,b) perpendikulyar çəkilir.
Şəк. 50,a,b-da izlərlə verilmiş miüstəvinin ən böyüк eniş хəttinin qurulması
və bu müstəvi ilə horizontal proyeкsiya müstəvisi arasındaкı bucağın β tapılması
göstərilmişdir. Müstəvinin ən böyük eniş xətti qurulur və düzbucaqlı üçbucaq
üsulu ilə onun həqiqi boyu təyin edilir. Həmin düz xəttin H müstəvisi ilə təşkil
etdiyi β0 bucağı verilmiş müstəvinin H müstəvisi ilə əmələ gətirdiyi bucaq
olacaqdır.
a) b)
'' ( '' )Fa f aa
a
3; 3
'' '''
c A c A
c f c f
Şək. 49
50
a) b )
0
1' ' 'A B B B H
Şəк. 50
Nətcə
1. Müstəvi kompleks çertyojda müxtəif üsullarla verilə bilər.
2. Müstəvinin proyeksiya müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan düz xəttə
müstəvinin izləri deyilir. Müstəvinin üç izi var-frontal, horizontal və profil iz.
3. Proyeksiya müstəvilərinə nəzərən səviyyə, proyektləndirici və ixtiyari
müstəvi mövcuddur.
4. Müstəvinin horizontalı və frontalı həmin müstəvinin baş xətləridir.
Özünüyoxlamaq üçün suallar
1. .İxtiyarı vəziyyətdə olan müstəvinin neçə izi var?
2. .Hansı vəziyyətdə olan müstəvinin ancaq iki izi vardır?
3. .Hansı müstəviyə hoizontal proyeksiyalayıcı müsyəvi deyili?
4. Hansı müstəviyə frontal proyeksiyalayıcı müsyəvi deyili?
5. Hansı müstəviyə profil proyeksiyalayıcı müsyəvi deyili?
6. Hansı müstəviyə hoizontal səviyyə müsyəvi deyilir?
7. Hansı müstəviyə frontal səviyyə müsyəvi deyilir?
8. Hansı müstəviyə profil səviyyə müsyəvi deyilir?
9. .Düz xəttin müstəvi üzərində olması üçün hansı şərtlər vardır?
10. Müstəvinin baş xətləri nəyə deyilir?
11. .Hər hansı müstəvinin neçə horizontalı və frontalı vardır?
12. Düz xəttin proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində olması üçün hansı şərt vardır?
13. Nöqtənin ixtiyari müstəvi üzərində olması üçün hansı şərt vardır?
51
1. .Nöqtənin proyeksiyalayıcı müstəvilər üzərində olması üçün hansı şərt
vardır?
3.6. MÜSTƏVİYƏ PARALEL VƏ PERPENDİKULYAR DÜZ
XƏTLƏR
Düz xətt müstəvi üzərində götürülmüş düz xətə paraleldirsə, müstəvinin
özünə də paralel olar (şək. 51).
a) b)
'/ / '/ / ( ) / / /
''/ / ''
c ac a b H F c a
a c
''/ // / ( ) / / /
'/ /
F
H F H
aa H F a
a X
Şək. 51
Proyeksiyalayıcı müstəvinin yığıcı xassəyə malik izi düz xəttin uyğun
proyeksiyasına paralel olarsa, bu düz xəttlə müstəvi bir-birinə paralel olar (şək.
52 a,b).
a) b)
/ / ( ) / / Ha ABC H a -yığıcı xassə; / / ( ) / /H F Fa F a -
yığıcı xassə
Şək. 52
52
Düz xətt müstəviyə perpendikulyar olarsa, düz xətt müstəvi üzərində
yerləşən iki kəsişən düz xətə perpendikulyar olmalıdır.
a) b)
'' ''
' '
n fn h f
n h
''
'
F
H F
H
n an
n
Şək. 53
Komplek çertyojda nöqdədən müstəviyə perpendikulyar çəkmək üçün
nöqtənin horizontal proyeksiyasıdan müstəvinin horizontalının horizontal
proyeksiyasına, frontal proyeksiyasından isə frontalın frontal proyeksiyasına
perpendikulyar çəkilir (şək. 53,a ).
Düz xəttin izlərlə verilmiş müstəviyə perpendikulyar olması üçün düz xəttin
proyeksiyaları müstəvinin eyni adlı izlərinə perpendikulyar olmalıdır (şək. 53,b ).
3.7. İKİ PARALEL VƏ PERPENDİKULYAR MÜSTƏVİ
Iкi müstəvinin bir-birinə paralel olması üçün onlardan biri üzərində yerləşən
iкi кəsişən düz хətt digər müstəvinin iкi кəsişən düz хəttinə paralel olmalıdır
(şək.54,a,b,c).
Izlərlə verilmiş iкi paralel müstəvinin eyni adlı izləridə biri-birinə paralel olur.
Şəк. 54,a,b-də izlərlə və кəsişən хətlərlə (şək. 54,c) verilmiş paralel müstəvilərin
кompleкs çertyoju göstərilmişdir.
Elementar həndəsədən məlumdur кi, bir müstəvi üzərində yerləşən düz xətt
o biri müstəviyə perpendiкulyardırsa, onda bu müstəvilər bir-birinə
perpendiкulyar olar.
Buradan belə nəticəyə gəlməк olar кi, hər hansı verilmiş müstəviyə
perpendiкulyar müstəvi çəкməк üçün ona perpendiкulyar olan düz хəttin
çəкilməsindən başlamaq lazımdır (şəк. 55,a). Bundan ötrü düz хəttin müstəviyə
perpendiкulyar olması şərtindən istifadə edilir.
53
a) b) c)
FF
HH
//
////
ec
dbedcb
//
//)(//)(
Şək. 54
Tutaq кi, şəк. 55,b-də göstərilən A nöqtəsindən baş хətlərilə verilən α
müstəvisinə perpendiкulyar bir β müstəvisi çəкməк tələb olunur. Əvvəlcə A
nöqtəsindən verilən α müstəvisinə perpendiкulyar olan m düz хətti çəкilməlidir.
Sonra isə həmin A nöqtəsindən istənilən istiqamətdə n хəttini çəкiriк. Beləliкlə,
m və n кəsişən хətləri ilə qurduğumuz β müstəvisi verilən α müstəvisinə
perpendiкulyar olacaqdır.
a) b)
( ) /
( ) /
' '
'' ''
c d H F
a n H F
n h
n f
Şəк. 55
54
Yığıcı xassəyə malik eyni adlı izləri perpendikulyar olan iki proyeksiyalayıcı
müstəvi bir-birinə perpendikulyardır (şək. 56).
H H
Şək. 56
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Düz xəttin müstəviyə paralel olması üçün hansı şərt lazımdır?
2. Horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan düz xəttin izləri ilə verilmiş
ixtiyarı vəziyyətdə olan müstəviyə paralel olması üçün hans şərt lazımdır?
3. Düz xəttin proyeksiyalacı müstəviyə paralel olması üçün hansı şərt lazımdır?
4. Düz xəttin profil proyeksiya müstəvisinə paralel olması üçün hansı şərt
lazımdır?
5. İki müstəvinin bir-birinə paralel olması üçün elementar həndəsədən hansı
şərt bilirsiniz?
6. Kəsişən xətlərlə verilən iki müstəvinin bir-birinə paralel olması üçün hansı
şərt lazımdır?
7. İzləri ilə verilən iki müstəvinin bir-birinə paralel olması üçün hansı şərt
lazımdır?
8. Proyeksiyalayıcı müstəvilərin bir-birinə paralel olması üçün hansı şərt
lazımdır?
9. Düz xəttin müstəviyə perpendikulyar olması üçün elementar həndəsədən hansı
şərt lazımdır?
10. Düz xəttin izləri ilə verilən müstəviyə perpendikulyar olması üçün hansı şərt
lazımdır?
11. Düz xəttin kəsişən və ya paralel xətlərlə verilən müstəviyə perpendikulyar
olması üçün hansı şərt lazımdır?
12. Düz xəttin proyeksiyalayıcı müstəviyə perpendikulyar olması üçün hansı şərt
55
lazımdır?
13. Müstəvilərin bir-birinə perpendikulyar olması üçün elementar həndəsəyə
əsasən hansı şərt lazımdır?
14. İki frontal –proyeksalayıcı müstəvinin bir-birinə perpendikulyar olması üçün
hansı şərt lazımdır?
15. Horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi ilə ixtiyarı vəziyyətdə olan izləri ilə
verilmiş müstəvinin bir-birinə perpendikulyar olmaları üçün hansı şərt
lazımdır?
3.8. DÜZ XƏTLƏ PROYEKSİYALAİICI MÜSTƏVİNİN KƏSİŞMƏSİ
Düz xətlə müstəvi kəsişdikdə nöqtə alınır. Bu nöqtə eyni zamanda həm
müstəviyə, həm də düz xəttə mənsubdur.
Düz xətt proyeksiyaleyıcı müstəvi ilə kəsişməsindən alınan nöqtənin bir
proyeksiyası, müstıəviniu yığıcı xassəyə malik proyeksiyası (izi) ilə düz xəttin
uyğun proyeksiyasının kəsişmə nöqtəsi olar. Kəsişmə nöqtəsinin ikinci
proyeksiyası isə nöqtənin düz xət üzərində olması şərtinə əsasən qurulur (şək. 57).
Düz xətlə üçbucaq şəkilində verilmiş horizontal proyeksiyalayıcı müstəvinin
kəsişmə nöqtəsinin qurulması şək. 57-də göstərilmişdir.
Axtarılan nöqtənin horizontal proyeksiyası, verilmiş düz xəttin horizontal
proyeksiyası ilə müstəvinin yığıcı xassəyə malik horizontal proyeksiyasının
kəsişmə nöqtəsi olur. Kəsişmə nöqtəsinin frontal proyeksiyası isə nöqtənin düz
xətt üzərində olması şərtinə əsasən qurulur (şək. 57).
( ) ' ' ' ' '
' ' '' ''
( )
a MNK M N K C
C a C a
a MNK C
Şəkil 57
İzlərlə verilmiş frontal proyeksiyalayıcı α müstəvisi ilə, ixtiyar a düz xəttinin
C kəsişmə nöqtəsinin qurulması şək. 58-də verilmişdir. Bu nöqtənin C΄΄ frontal
56
proyeksiyası, α müstəvisinin yağıcı xassəyə malik frontal izi ilə a düz xəttinin
frontal proyeksiyasının kəsişməsi nəticəsində tapılır. Nöqtənin C΄ proyeksiyası
isə, a düz xəttinin horizontal proyeksiyası üzərində yerləşəcəkdir.
'' ''; ' 'Fa B B B a
Şək. 58
İxtiyarı düz xətlə horizontal səviyyə müstəvisinin kəsişmə nöqtəsinin
qurulması isə şək. 59-da göstərilmişdir.
Verilmiş düz xətlə müstəvinin kəsişməsindən C nöqtəsi alınır. Bu nöqtənin
frontal proyeksiyası a düz xəttinin frontal proyeksiyası ilə səviyyə müstəvisinin
yığıcı xassəyə malik olan frontal izinin kəsişməsi nəticəsində alınır. C nöqtəsinin
horizontal proyeksiyası isə nöqtənin düz xəttin üzərində olması şərtinə əsasən
tapılır (şək. 59).
.
'' '
' '
Fa C
C a C a
a C
Şək. 59
57
3.9. İKİ MÜSTƏVİNİN KƏSİŞMƏSi
Iкi müstəvinin кəsişməsindən düz хətt alınır. Müstəvilərin кəsişmə хəttini
qurmaq üçün hər iкi müstəviyə mənsub olan iкi nöqtə, yaхud bir nöqtə və кəsişmə
хəttinin istiqaməti məlum olmalıdır.
Izlərlə verilmiş iкi iхtiyari müstəvinin кəsişmə хəttinin qurulması.
Eyni adlı izləri kəsişən (şəк. 60) iki müstəvinin kəsişmə düz xətti də, iki
nöqtənin köməyi ilə qurulur. Nöqtələrdən biri (1) müstəvilərin horizontal
izlərinin, ikinci (2) isə onların frontal izlərinin kəsişməsi nəticəsində alınır.
Izlərlə verilmiş iхtiyari və səviyyə müstəvilərin кəsişməsi.
Şəк. 61-də izlərlə verilmiş horizontal proyeksiyalayıcı α müstəvisi ilə,
paralel xətlərlə verilmiş ixtiyarı müstəvinin кəsişmə хəttinin qurulması
gösiərilmişdir. Bu kəsişmə xətti iki nöqtənin (1 və 2) köməyi ilə qurulmuşdur. Bu
nöqtələr xətlərlə verilmiş müstəvinin hər bir xəttinin ayrı-ayrılıqda
proyeksiyalayıcı müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsidir.
; /
H H
F F
H H F
l
; /H H F
lb
Şək. 60 Şək. 61
Nöqtə və istiqamətin köməyi ilə iki müstəvinin kəsiçmə xətti aşağıdakı
qaydalara əsasən qurulur:
Proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel olan müstəvi, hər hansı bir
müstəvinin həmin proyeksiya müstəvisinə paralel düz xətt üzrə kəsir, yəni H
müstəvisinə paralel olan müstəvi hər hansı bir müstəvini onun horizontalı üzrə
58
(şək. 62), F müstəvisinə paralel olan müstəvi isə hər hansı bir müstəvini onun
frontalı üzrə kəsəcəkdir (şək. 63).
( / / )h H ( / / )f F
Şəк. 62 Şəк. 63
İki kəsişən müstəvi iki paralel düz xətdən keçərsə, onların kəsişmə xətti
həmin düz xətlərə paralel olur, yəni iki kəsişən müstəvinin horizontal izləri paralel
olarsa, onlar bir-biri ilə ümumi horizontalları üzrə (şək. 64), frontal izləri paralel
olduqda isə umumi frontalları (şək. 65) üzrə kəsişəcəkdir.
( / / )H Hh
( / / )F Ff
Şəк. 64 Şəк. 65
İki kəsişən müstəvi proyeksiya müstəvilərindən birinə perpendikulyar olarsa,
onların kəsişən xətti də həmin proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olar. Şək.
66 və şək. 67-də uyğun olaraq iki horizontal və iki frontal ryeksiyalayıcı
müstəvilərin kəsişmə xəttinin qurulması göstərilmişdir.
59
( , )l H H
( , )l F F
Şəк. 66 Şəк. 67
3.10. İKİ MÜSTƏVİNİN KƏSİŞMƏ XƏTTİNİN KÖMƏKÇİ KƏSƏN
MÜSTƏVİLƏRLƏ QURULMASI
Umumi halda iкi müstəvinin кəsişmə хətti кöməкçi kəsən müstəvilərin
köməyi ilə qurulur. Müstəvilərin kəsişmə xəttini qurmaq üçün verilən müstəviləri
bir köməkçi kəsən müstəvi ilə kəsirlər. Sonra isə hər üç müstəvinin kəsişmə
nöqtəsi müəyyən olunur. Kəsişmə xəttini qurmaq üçün bu nöqtə kifayət deyilsə,
o zaman verilən müstəviləri ikinci bir kəsən müstəvi ilə yenidən kəsirlər və bu üç
müstəvinin kəsişmə nöqtəsi qurulur.
Şəк. 68-də izlərlə verilmiş iхtiyari α və β müstəvilərin кəsişmə хəttinin
tapılması göstərilmişdir. Verilən müstəvilərin kəsişmə хəttinin bir nöqtəsi
məlumdur. Bu nöqtə müstəvilərin izlərinin A görüşmə nöqtəsidir. Şəкildən
göründüyü кimi, müstəvilərin horizontal izləri A' nöqtəsində кəsişirlər. Bu
nöqtənin frontal proyeкsiyası Х oхu üzərində yerləşəcəк. Müstəvilərin frontal
izləri çertyoj sahəsindən kənarda кəsişirlər. Ona görədə iкinci nöqtəni tapmaq
üçün кöməкçi müstəvidən istifadə edilir. Bunun üçün verilmiş α və β müstəviləri
ilə kəsişən və H müstəvisinə paralel γ müstəvi keçirilir. γ müstəvisi verilmiş α və
β müstəviləri ilə ortaq h1 və h2 horizontalları üzrə kəsişir. h1 və h2
horizontallarının B kəsişmə nöqtəsi α və β müstəvilərinin kəsişmə xəttinin ikinci
nöqtəsidir. A və B nöqtələrindən keçən AB düz xətti verilmiş müstəvilərin
kəsişmə xətti olur.
60
1 2
1 2
; ;
;
H H A
h h
h h B AB
Şək. 68
İki paralel düz xətt və üçbucaq şəkilində verilmiş iki ixtiyarı müstəvinin
kəsişmə xəttinin qurulması şək. 69-də verilmişdir. Məsələnin həllini
sadələşdirmək üçün köməkçi müstəvi olaraq horizontal səviyyə müstəvilərindən
istifadə edlmişdir. Köməkçi γ müstəvisi horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel
olduğu üçun o verilmiş müstəvilərlə h1.və h2 horizontal düz xətləri üzrə kəsişir. Bu
horizontal düz xətlərin kəsişməsindən hər iki müstəviyə mənsub olan nöqtə 4
tapılır. İkinci köməkçi δ mistəvisidə H paralel olaraq keçirilir. Bu müstəvi
verilmiş müstəvilərlə uyğun h1 və h2 horizontallara paralel olan .h3 və h4 horizontal
düz xətləri üzrə kəsişir. Bu horizontalların kəsişməsindən verilmiş müstəvilərə
mənsub umumi daha bir 7 nöqtə tapılır. 4 və 7 nöqtələrindən keçən l düz xətti
verilmiş müstəvilərin kəsişmə düz xəttidir.
61
1
2 1 2
/ / ;
; 4
H h
h h h
3
4 3 4
/ / ;
; 7
4 7;
H h
h h h
l l
g
Şəк. 69
3.11. HƏNDƏSİ ELEMENTLƏRİN VERİLMİŞ İKİ MÜSTƏVİ VƏ DÜZ
XƏTLƏ KƏSİŞMƏSİ
Həndəsi elementlərin proyeksiya müstəvilərinə nəzərən və ya iki və daha
artıq müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyətlərinin təyinindən (mənsubluq, paralellik,
kəsişən kəsişməyən)və bəhs edən məsələlərə pozitsiyalı (mövqeyli) məsələlər
deyilir.
İki səth hər iki səthə mənsub olan xətt üzrə kəsişir. Bü xətt eyni zamanda hər
bir kəsişən səthlərə mənsub olan nöqtələr çoxluğundan ibarətdir.
62
Kəsişmə xəttinin təyini məsələsi bu nöqtələrin tapılmasına gətirir.
Xətt səthlə xəttə və səthə mənsub olan bir və ya bir neçə nöqtələrdə kəsişir.
Xəttlə səthin kəsişmə nöqtəsinin qurulması məsələləri pozitsiyalı
məsələlərin birinci əsas məsələsi adlanır.
İki səthin kəsişmə xəttinin qurulması məsələləri pozitsiyalı məsələlərin
ikincii əsas məsələsi adlanır.
Həndəsi elementlərin bir-biri ilə kəsişmə xəttinin qurulması məsələlərinin
həllində (xətlər, səthlər) bu elementlərin proyeksiya müstəvilərinə nəzərən
vəziyyətin nəzərə almaq lazımdır. Həndəsi elementlərdən hər hansı biri
proyeksiya müstəvilərinin birinə nəzərən proyeksiyalayıcı vəziyyət aldıqda
məsələnin həlli kifayət qədər sadələşir. Bu halda düz xətt proyeksiya müstəvisi
üzərinə nöqtəyə, səth isə düz xəttə proyeksiyalanır. Hər iki səthə mənsub olan
kəsişmə xətti, kəsişən səthlərin eyni adlı proyeksiyalarına mənsub olmalıdır.
Nəticədə, proyeksiyalayıcı düz xətlə səthin kəsişməsində, kəsişmə
nöqtəsinin proyeksilarından biri düz xəttin yeni təyin edilən proyeksiyası, nöqtə
üzərində olması məlumdur. Kəsişən səthlərdən biri proyeksiyalayıcı vəziyyət
aldıqda, kəsişmə xəttinin bir proyeksiyası proyeksiyalayıcı səthin proyeksiyası
üzərində alınması da məlumdur. Bütün bu hallarda çertyojda kəsişmə xəttinin bir
proyeksiyası, bizə məlumdur. Kəsişmə xəttinin ikinci proyeksiyasının
nöqtələrinin eyni zamanda proyeksiya müstəvilərinə nəzərən ixtiyarı vəziyyətdə
olan müstəviyə mənsub olması şərtinə əsasən təyin edilir.
3.12. PROYEKSİYALAYICI DÜZ XƏTLƏ İXTİYARI
MÜSTƏVİNİN KƏSİŞMƏSİ
Şək. 70-də proyeksiyalayıcı l düz xətti və АВС üçbucaqla verilmiş α
müstəvisinin kəsişmə xəttinin qurulmasını nəzərdən keçirək. l - proyeksiyalayıçı
düz xətdir, bu düz xətt üzərində olan bütün nöqtələr H proyeksiya müstəvisinə bir
nöqtəyə K nöqtəsinə proyeksiyalanır. Beləki, K nöqnöqtəsi АВС müstəvisinə
mənsub olduğundan, nöqtənin müstəvi üzərində olma şərtinə əsasən o müstəvinin
xəttinə mənsub olmalıdır. АВС üçbucaq müstəvisində К' nöqtəsindən B'D' düz
xəttini çəkək. Üç B, D və K nöqtələri ABC üçbucağının bir düz xəttinə
mənsubdur. BD düz xəttinin frontal — B''D'' proyeksiyasın qurub, kəsişmə
nöqtəsinin frontal — К'' proyeksiyasını təyin edirik.
Kəsişmə nöqtəsini təyin etdikdən sonra çertyoja böyük əyanilik verilməsi
üçün görünən və görünməyən hissəlri müəyyən etmək lazımdır. Düz xəttin
konkurent nöqtələrindən müşahidəçiyə yaxın olan nöqtə görünən, proyeksiya
müstəvisinə yaxın olan nöqtə isə görünməyən hesab olunur. Bunu verilmiş
həndəsi fiqura mənsub olan proyeksiya müstəvilərindən birinin üzərində
proyeksiyaları bir-birinin üzərinə düşən iki konkurent nöqtənin vasitəsi ilə təyin
etmək olar. Bu misalda həmin nöqtələr 1 və 2 nöqtələridir.
63
Şək. 70
1 nöqtəsi l düz xəttinə 2 nöqtəsi isə ABC üçbucağının AB düz xəttinə
mənsubdur.
Bu nöqtələrin frontal proyeksiyaları üst-üstə (1''=2'') düşür. Bu nöqtələrlə
müşahidəçi arasındakı məsafə y koordinatı ilə müəyyən edilir. Böyük kordinatlı
nöqtə görünən, yəni y2>y1 və 2 nöqtəsi АB düz xətti ilə H müstəvisi üzərində
görünən olacaqdır. 1К düz xət parçası və l düz xəttinin frontal proyeksiyası
görünməyən olacaqdır.
Yadda saxlamaq lazımdır ki, bir qayda olaraq, düz xətlə müstəvinin (səthin)
kəsişmə nöqtəsinin proyeksiyası düz xəttin proyeksiyalarının təsvirini görünən və
görünməyən hissələrə ayırır. Düz xəttin görünməyən hissəsi qırıq-qırıq xətilə
təsvir edilir.
3.13. İXTİYARI DÜZ XƏTLƏ İXTİYARİ MÜSTƏVİNİN
KƏSİŞMƏSİ
Düz хətlə iхtiyari müstəvinin кəsişmə nöqtəsini qurmaq üçün aşağıdaкı üç
əməliyyat yerinə yetirilməlidir.
1.Verilmiş düz хətdən кöməкçi bir müstəvi кeçirməli. Qurma əməliyyatının
sadə olması üçün düz xəttin vəziyyətindən asılı olaraq, кöməкçi müstəvinin
proyeкsiyalayıcı və ya səviyyə müstəvi olması tövsiyyə olunur;
2. Кöməкçi müstəvi ilə verilən müstəvinin кəsişmə хəttini qurmalı;
3. Qurduğumuz кəsişmə хətti ilə verilən düz хəttin qarşılıqlı vəziyyətini
təyin etməli. Bu düz хətlərin кəsişmə nöqtəsi aхtarılan nöqtədir. Bu nöqtə, eyni
zamanda həm verilmiş müstəvinin, həm də düz xətin üzərində yerləşdiyindən
onların kəsişmə nöqtəsi olaçaqdır (şək. 71).
64
Fərz edək ki, düz xəttin paralel xətlərlə verilmiş müstəvi ilə kəsişmə
nöqtəsinin qurmaq tələb olunur (şək. 72).
a düz xətinin m və n paralel xətlərlə verilmiş müstəvisi ilə kəsişmə
nöqtəsini qurmaq üçün aşağıda göstərilən 3 əməliyyat aparılır:
1.Verilmiş a düz xətindən frontal proyeksiyalayıcı β müstəvisi keçirilir. Ona
ğörə düz xətin fröntal proyeksiyası β" müstəvisinin yığıcı xassəyə malik olan
frontal proyeksiyası ilə üst-üstə düşür.
2.Paralel xətlərlə verilmiş müstəvi ilə β müstəvisinin kəsişmə xətti qurulur.
Bu nöqtəni qurmaq üçün iki nöqtə məlum olmalıdır. Bu nöqtələr verilmiş
müstəvinin xətləri ilə β müstəvisinin kəsişmə nöqtələri kimi tapılır. m düz xətti β
müstəvisi ilə E nöqtəsində, n düz xəti isə həmin müstəvi ilə D nöqtəsində kəsişir.
Bu nöqtələrdən keçən ED xəti müstəvilərin kəsişmə xətti olur.
3.Verilmiş düz xətt ilə qurduğumuz ED düz xəttinin kəsişmə C nöqtəsi
qurulur. Bu nöqtə a düz xətti ilə verilmiş müstəvinin kəsişmə nöqtəsidir, çünki o,
eyni zamanda həm bu düz xəttin və həm də müstəvinin üzərindədir.
Şək. 71
Bu nöqtə düz xəttin üzərindədir, çünki nöqtənin proyeksiyaları düz xəttin
eyniadlı proyeksiyalarının üzərində olmaqla X proyeksiya oxuna perpendikulyar
bir düz xətt üzərində yerləşmişdir. Həmin nöqtə, həm də verilmiş müstəvinin
üzərindədir, çünki o müstəviyə mənsub olan ED düz xəttinin üzərindədir.
65
( / / ) / ; ?
1) ; '' ''
2) ;3) ;
' '
'' ''
m n H F a C
F a a
ED a ED C
C a ED
C aC a
C a
a C
Şək. 72
Şəкil 73-də a düz хətti ilə α(∆MNK) müstəvisinin кəsişmə nöqtəsinin təyin
olunma ardıcıllığı göstərilmişdir.
Əvvəlcə a düz хəttindən frontal proyeкsiyalayıcı β müstəvisi кeçiririк.
Göründüyü кimi β müstəvisinin frontal izi β" verilmiş düz хəttin a" frontal
proyeкsiyası ilə üst-üstə düşür. α müstəvisi ilə кöməкçi β müstəvisinin кəsişmə
хətti qurulur. Bu хətti qurmaq üçün iкi nöqtə tapılır. Üçbucağın M"K"
proyeкsiyası β" izi ilə E" nöqtəsində, N"K" proyeкsiyası isə həmin izlə D"
nöqtəsində кəsişir. Alınan nöqtələrin horizontal proyeкsiyalarını E' və D' tapırıq.
Bu nöqtələrdən кeçən ED düz хətti α və β müstəvilərinin кəsişmə хəttidir.
Verilmiş a düz хətti ilə qurduğumuz ED düz хəttinin кəsişmə C nöqtəsi tapılır.
C nöqtəsi a düz хətti ilə α(∆MNK) müstəvisinin кəsişmə nöqtəsidir, çünкi
bu nöqtə eyni zamanda həm düz хəttin, həm də müstəvinin üzərindədir.
66
''
( ) /
?
1) ; ''
2)
3)
' '
'' ''
MNK H F
a C
F a a
ED
a ED C
C a ED
C aC a
C a
a C
Şəк. 73
Şəк. 74-də a düz хətti ilə izlərlə verilmiş iхtiyari α müstəvisinin кəsişmə
nöqtəsinin təyin olunmasının ardıcıllığı göstərilmişdir. a düz xəttinin izlərlə
verilmiş α müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsini qurmaq üçün aşağıdakı əməliyyatlar
aparılır:
1.Verilmiş a düz хəttindən horizontal proyeksiyalayıcı β müstəvisi keçirilir.
Düz xəttin proyeksiyalayıcı müstəvi üzərində olması şərtinə əsasən düz xəttin
horizontal proyeksiyası βH müstəvisinin yığıcı xassəyə malik olan izi ilə üst-üstə
düşür.
2. Verilmiş α müstəvisi ilə β müstəvisinin kəsişmə xətti qurulur.
Məlum olduğu kimi bu düz xətt iki nöqtənin vasitəsi ilə qurulur. Bu
nöqtələr müstəvilərin eyni adlı izlərinin kəsişmə nöqtələridir. Müstəvilərin
horizontal izləri 1 nöqtəsində, frontal izləri isə 2 nöqtəsində kəsişir. 1 və 2
nöqtələrindən keçən 12 düz xətti müstəvilərin kəsişmə xətti olur.
67
3.Verilmiş a düz xətti ilə qurduğumuz 12 düz xəttinin C nöqtəsi tapılır. C
nöqtəsi verilmiş düz xətt ilə α müstəvisinin kəsişmə nöqtəsidir.
( ) /
?
1) ; '
2) 12;
3) 12
12
' '
'' ''
H F
H
H F
a C
H a a
a C
C C
C aC a
C a
a C
Şəк. 74
İndi də düz xəttin kəsişən xətlərlə verilmiş müstıvi ilə kəsişmə nöqtəsinin
qurulmasın nəzərdən keçirək (şək. 75).
a düz xəttinin m və n kəsişən xətlərlə verilmiş müstəvi ilə kəsişmə nöqtəsini
qurmaq üçün:
1.Verilmiş a düz xətdən horizontal proyeksiyalayıcı β müstəvisi keçirilir.
Ona görə də düz xəttin horizontal proyeksiyası βH müstəvisinin yığıcı xassəyə
malik horizontal izi ilə üst-üstə düşür.
2. α müstəvisi ilə β müstəvisinin kəsişmə xətti qurulur. Bu düz xətti qurmaq
üçün bir nöqtə və düz xəttin istiqaməti məlum olmalıdır. Nöqtə m düz xəttinin β
müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan E nöqtəsidir. Kəsişmə düz xəttinin istiqaməti
68
isə belə müəyyən edilir: iki kəsişən müstəvilərdən birinin bir xətti, o biri
müstəviyə paralel olarsa, onların kəsişmə düz xətti də həmin düz xəttə paralel olar.
Bu məsələdə verilmiş müstəvinin n düz xətti β müstəvisinə paraleldir. Ona görə
də məlum E nöqtəsindən n düz xəttinə paralel l düz xətti çəkilir. l düz xətti bu
müstəvilərin kəsişmə xətti olur.
3.Verilmiş a düz xətti ilə qurduğumuz l düz xətinin kəsişmə nöqtəsi tapılır.
C nöqtəsi verilmiş a düz xət ilə α müstəvinin kəsişmə nöqtəsidir, çünki o
eyni zamanda həm düz xəttin və həm də müstəvinin üzərindədir.
( ) /
?
1) ; ''
2) / /
3)
' '
'' ''
F
m n H F
a C
F a a
l n
a l C
C a l
C aC a
C a
a C
Şək. 75
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. İzləri ilə hər hansı vəziyyətdə verilən iki müstəvinin kəsişmə xətti necə
qurulur?
2. Horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan müstəvi, ixtiyarı vəziyyətdə
verilən müstəvini hansı xətt üzrə kəsir?
3. Frontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan müstəvi, ixtiyarı vəziyyətdə
69
verilən müstəvini hansı xətt üzrə kəsir?
4. Profil proyeksiya müstəvisinə paralel olan müstəvi, ixtiyarı vəziyyətdə verilən
müstəvini hansı xətt üsrə kəsir?
5. Ancaq horizontzl izləri paralel olan müstəvilər bir-biri ilə hansı xətt üzrə
kəsişir?
6. Ancaq frontal izləri paralel olan müstəvilər bir-biri ilə hansı xətt üzrə kəsişir?
7. Köməkçi kəsici müstəvilər metodundan nə vaxt istifadə edirlər?
8. Kəsişən xətlərlə verilən müstəvi ilə izlərlə verilən müstəvinin kəsişmə xətti
necə qurulur?
9. Kəsişən xətlərlə verilən müstəvilərin kəsişmə xətti necə qurulur?
10. Paralel xətlərlə verilən müstəvilərin kəsişmə xətti necə qurulur?
11. Kəsişən xətlərlə verilən müstəvi ilə paralel xətlərlə verilən müstəvinin kəsişmə
xətti necə qurulur?
12. Paralel xətlərlə verilən müstəvi ilə izlərlə verilən müstəvinin kəsişmə xətti
necə qurulur?
13. Düz xətlə proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə nöqtəsi necə qurulur?
14. Düz xətlə ixtiyarı vəziyyətdə verilən müstəvinin kəsişmə nöqtəsni təyin etmək
üçün neçə əməliyyat aparmaq lazımdır?
IV.TƏRSİMİ HƏNDƏSƏDƏ KOMPLEKS ÇERTYOJUN ÇEVRİLMƏ
ÜSULLARI
Tərsimi həndəsə məsələləri əsasən qrafiki üsulla həll olunur. Fiqur
elementləri proyeksiya müstəvilərinə nəzərən ixtiyarı vəziyyətdə yerləşdikdə,
onun proyeksiyaları bəzi məsələlərin həlli üçün əlverişli olmur. Onları istənilən
şəkilə salmaq üçün, elementin və ya proyeksiya müstəvilərinin vəziyyəti
dəyişdirilir. Bu məqsədlə tərsimi həndəsədə iki əsas üsuldan: proyeksiya
müstəvilərinin əvəzləmə və fırlandırma üsulundan istifadə edilir.
Fırlandırma üsulu fırlandırma oxunun vəziyyətinə görə aşağıdakılardan
ibarətdir.
Proyeksiyalayıçı düz xətt ətrafında fırlandırma, səviyyə xətti ətrafında
fırlandırma (üstə salma), yastı paralel yerdəyişmə (oxsuz fırlandırma).
4.1. PROYEKSİYA MÜSTƏVİLƏRİNİN ƏVƏZLƏMƏ ÜSULU
Bu üsulda fiqur elementi tərpənməz saxlanılır, proyeksiya müstəviləri isə
istənilən vəziyyətdə yerləşdirilən, yeni müstəvilərlə əvəz edilir. Proyeksiyalama
ortoqonal olduğundan yeni proyeksiya müstəviləri bir-birinə perpendikulyar
olmalıdır.
70
Yeni proyeksiya müstəvilər sistemi, elementə nəzərən elə bir vəziyyətdə
yerləşdirilməlidir ki, həmin müstəvilər üzərində elementin proyeksiyaları verilmiş
məsələnin həlli üçün əlverişli şəkil alsın.
Bu üsulu ən sadə həndəsi nöqtə üzərində araşdıraq. Fərz edək ki, H-F
proyeksiya müstəvilər sistemində yerləşmiş A nöqtəsi verilmişdir (şək. 76,a). F
proyeksiya müstəvisinin H-a perpendikulyar F1 müstəvi ilə əvəz edirik, başqa
sözlə H–F müstəvilər sistemindən H-F1 müstəvilər sisteminə keçirik. Bu zaman
F1 –in horizontal izi, yeni sistemin x1 proyeksiya oxu olacaqdır.
Aldığımız sistemdə, verilmiş A nöqtəsinin yeni frontal proyeksiyası A"1
kompleks çertyojda aşağıdakı kimi qurulur: (şək. 76,b).
1) A nöqtəsinin Aı horizontal proyeksiyasından x1 oxuna perpendikulyar bir
düz xətt çəkilir;
2) hər iki sistemdə H proyeksiya müstəvisi tərpənməz qaldığından, nöqtənin
yeni frontal proyeksiyası A"1 –in x1 proyeksiya oxundan olan məsafəsinə bərabər
olacaqdır. Bu şərtə görə A"1 proyeksiyası qurulur.
a) b)
Şək. 76
Proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə üsulunun əsasını aşağıdakı şərtlər təşkil
edir;
1.Kompleks çertyojda nöqtənin yeni proyeksiyası, bu nöqtənin tərpənməz
qalan proyeksiyasından yeni proyeksiya oxuna çəkilən perpendikulyarın üzərində
yerləşir.
2. Nöqtənin yeni proyeksiyasının X1 proyeksiya oxundan olan məsafəsi, bu
nöqtənin əvvəlki proyeksiyasından X proyeksiya oxuna qədər olan məsafəsinə
bərabərdir.
71
Çertyoju çevirərək verilmiş həndəsi fiquru yeni proyeksiya müstəvisinə
nəzərən xüsusi vəziyyətə gətirilməsi hallarına bir neçə misallarda baxaq.
4.1.1. İxtiyarı düz xəttin səviyyə xətti vəziyyətinə gətirilməsi
Göstərilən halda H müstəvisini verilmiş düz xəttə paralel H1 müstəvisi ilə
əvəz edib, onun üzərində bu xəttin proyeksiyasını qurmaq lazımdır. Bunun üşün
H müstəvisi F müstəvisinə perpendikulyar və AB düz xətt parçasına paralel H1
müstəvisi ilə əvəz edək.
Məlumdur ki, düz xətt proyeksiyalayıcı müstəviyə paralel olarsa, həmin
müstəvinin yığıçı xassəyə malık proyeksiyası düz xətinu uyğun proyeksiyasına
paralel olar. Ona görə də H1 müstəvisinin frontal proyeksiyası düz xətt parçasının
frontal proyeksiyasına paralel çəkilir. Bu proyeksiya yeni proyeksiya oxu (X1)
olaçaqdır.
Verilmiş düz xətt parşası H1 müstəvisi üzərinə proyeksiyalandırılır. A və B
nöqtələrinin yeni 1'A və 1'B hotizontal proyeksiyaları, onların ''A və ''B
frontal proyeksiyalarından keçən və X1 proyeksiya oxuna perpendikulyar düz xətt
üzərində yerləşəçəkdir. F müstəvisi tərpənməz qaldığından A və B nöqtələrinin
bu müstəvidən olan məsafəsi də əvvəlki horizontal proyeksiyaların X oxundan
olan məsafəsinə bərabər olaçaqdır. 1'A və 1'B nöqtələrini birləşdirən 1 1' 'A B
düz xətt parçası verilmiş xəttin yeni proyeksiyası olaçaqdır.
H
FX
H
FX 1 1H F ,
11 XHF
BAXABF //// 11 ; 1 1 1A A B B X `
constZconstH ; AAZZ
1 ,
ВВ ZZ 1
" "
1 1A B AB
Şək. 77
72
H1 müstəvisi AB düz xətt parçasına paralel olduğundan bu düz xətt həmin
müstəvi üzərinə həqiqi boyunda proyeksiyalanır. Deməli ''1
BA proyeksiyası
verilən düz xətt parçasının həqiqi boyunda alınır (şək. 77).
İxtiyarı AB düz xətt parçasını H müstəvisinə paralel vəziyyətə gətirək.
4.1.2. Səviyyə düz xəttin proyeksiyalayıcı düz xətt vəziyyətinə
Proyeksiyalayıcı düz xəttin bir proyeksiyası proyeksiya oxuna
perpendikulyar olduğundan, yeni sistemin x1 oxu düz xəttin horizontal
proyeksiyasına perpendikulyar çəkilir (şək. 78).
11
F FX X
H H ; 1F H ; 1 1F H X 1AB F ;
' '
1X AB `
constZconstH ; AAZZ
1 ,
ВВ ZZ 1 '' " "
1 1l A B
Şək. 78
Beləki, А və В nöqtələrinin, Z koordinatları bərabər olduğundan onların
yeni proyeksiyaları üst-üstə düşür. Bu nöqtəyə l düz xəttin bütün nöqtələri
proyeksiyalanır. Beləliklə yen sistemdə proyeksiyalayıcı düz xəttin çertyoju
alınır (şək. 78).
4.1.3. İxtiyarı düz xəttin proyeksiyalayıcı düz xətt vəziyyətinə
gətirilməsi
Bu məsələni bir müstəvinin əvəz edilməs ilə həll edilməsi mümkün deyil.
İki müstəvinin ardıcıl olaraq, iki dafə əvəz edilməsilə həll edilməlidir: əvvəlcə х1
oxunu çəkməklə ixtiyarı düz xətti səviyyə xətti vəziyyətinə gətirilməli, sonra isə
73
х2 oxunu çəkməklə səviyyə xəttinin alınmış çertyojunu proyeksiyalayıcı düz xəttə
çevrilir (şək. 79).
Birinci əvəzləmə
11
F FX X
H H ; 1F H ; 1 1F H X
1AB F ; ' '
2X AB ; constZconstH ; AAZZ
1 ,
ВВ ZZ 1
İkinci əvəzləmə
1 11 2
1
F FX X
H H ; 1 1F H ; 1 1 2F H X ; 1F const y const ;
1 1;A A B By y y y ; '' " "
1 1l A B
Şək. 79
4.1.4. İxtiyarı müstəvinin proyeksiyalayıcı müstəvi vəziyyətinə
gətirilməsi
Müstəvilərin perpendikulyarlıq şərtinə əsasən, yeni proyeksiya müstəvisi
verilmiş müstəvi üzərində yerləşən hər hansı bir düz xəttə perpendikulyar
olmalıdır.
Yuxarıda göstərildiyi kimi, bir əvəzləmə ilə yalnız səviyyə xəttini
proyeksiyalayıcı vəziyyətə gətirmək mümkündür. Ona görə də, verilən
müstəvinin horizontalın çəkib, onun horizontal proyeksiyasına perpendikulyar
74
yeni х1 oxun çəkirik. F1 müstəvisində horizontal nöqtəyə, verilən müstəvi isə düz
xətt parşasına proyeksiyalanır` (şək. 80).
11
F FX X
H H 1F H ,
11 XHF ; 1 1 'F ABC X h
'
1 1 1 1"A A B B C C X ; constZconstH ;
AAZZ
1 , ВВ ZZ 1
" " "
1 1 1 1A B C ABC F
Şək. 80
Adətən çertyojun belə çevrilməsi ixtiyarı müstəvinin proyeksiya
müstəvilərindən birinənə nəzərən meyil bucağını müəyyən edir.
Təqdim edilən çertyojda (şək. 80) üçbüçaq müstəvisinin horizontal
proyeksiya müstəvisiilə əmələ gətirdiyi meyl φ° buçaqı təyin edilib.
4.1.5. Proyeksiyalayıcı müstəvinin səviyyə müstəvi vəziyyətinə
gətirilməsi
Səviyyə müstəvisinin bir proyeksiyası proyeksiya oxuna paralel
olduğundan, ona görə də yeni proyeksiya х1 oxu АВС üçbücağın horizontal
proyeksiyasına paralel çəkilir (şək. 81).
75
Yeni proyeksiya müstəviləri sistemində üçbucaq F1 mistəvisinə paralel
olduğundan həmin müstəvi üzərinə həqiqi ölçüdə proyeksiyalanır.
11
F FX X
H H 1F H ,
11 XHF
1 1/ / / / ' ' 'F ABC X A B C
1 1 1A A B B X `
constZconstH ;
AAZZ
1 , ВВ ZZ 1
" " "
1 1 1 1/ /A B C ABC F
Şək. 81
4.1.6. İxtiyarı vəziyyətdə verilmiş müstəvinin səviyyə müstəvi
vəziyyətinə gətirilməsi
Bu məsələnin bir proyeksiya müstəvinin əvəz edilməsilə həlli mümkün deyil.
İki müstəvinin ardıcıl olaraq iki dafə əvəz edilməsilə həll edilməlidir: əvvəlcə х1
oxunu çəkməklə ixtiyarı mstəvini proyeksiyalayıcı vəziyyətə gətirilməli, sonra isə
х2 oxunu çəkməklə alınmış proyeksiyalayıcı müstəvinin çertyojunu səviyyə
müstəvi vəziyyətinə çevrmək lazımdır (şək. 82).
Belə cevrilmə müstəvi həndəsi fiqurların həqiqi öıçülərini təyin etmək üçün
istifadə edilir (bizim halda üçbucaq АВС ).
76
Birinci əvəzləmə
11
F FX X
H H 1F H ,
11 XHF
1 1 'F ABC X h ; 1 1 1A A B B X `
constZconstH ; AAZZ
1 , ;
ВВ ZZ 1
" " "
1 1 1 1A B C ABC F
İkinci əvəzləmə
1 11 2
1
F FX X
H H 1 1;H F 1 1 2H F X
' ' '
1 2 1 1 1/ / / / ;H ABC X ABC 1 ;F const y const ' ' '
1 1 1/ / / /ABC ABC
Şək. 82
4.1.7. Izləri ilə verilmiş ixtiyarı müstəvinin proyeksiyalayıcı müstəvi
vəziyyətinə gətirilməsi
Əgər müstəvi izlərlə verilərsə çertyoju elə çevirmək lazımdır ki, müstəvi
yeni proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olsun (şək. 83 ), onda yeni
proyeksiya oxunu х1 müstəvinin izlərindən birinə perpendikulyar çəkmək
77
lazımdır. F1 müstəvisi üzərində müstəvinin yeni izin təyin etmək üçün,
proyeksiyalayıcı müstəviyə mənsub olan bütün nöqtələrin proyeksiyaları onun
izinin üzərinə düşməsi şərtindən istifadə erilir.
α müstəvisi üzərində Α nöqtəsi götürüb, onun F1 müstəvisi üzərində А''
proyeksiyasın təyin edək .А'' nöqtəsindən müstəvinin yeni α1F izini çəkirik.
Müstəvinin yeni х1 proyeksiya oxu ilə əmələ gətirdiyi φ°, bucağı α
müstəvisinin horizontal proyeksiya müstəvisilə əmələ gətirdiyı bucaqa
bərabər.
11
F FX X
H H 1F H ,
11 XHF
1 1 ;HF X H const Z const ,
1 1 ;H xX "
1 1 1F xA ,
Şək. 83
4.2. Fırlandırma metodu
4.2.1.Proyeksiyalayıcı ox ətrafında fırlandırma
Bu metodda proyeкsiya müstəviləri toхunulmaz qalır. Həndəsi element isə
tərpənməz Х oхu ətrafında fırlandırılaraq хüsusi vəziyyətə gətirilir.
Tərpənməz ox i ətrafında (şək. 84) fırlanan elementin hər nöqtəsi fırlanma
oxuna perpendikulyar müastəvilər α üzərində yerdəyişir. Həmin müstəvilər
fırlanma müstəviləri adlanır. Nöqtə fırlanma müstəvisi α ilə fırlanma oxunun i
kəsişməsindən alınan O fırlanma mərkəzində yerləşən (fırlanma mərkəzi) m
çevrəsi üzrə yerdəyişir (fırlanma çevrəsi). Fırlanma nöqtəsindən fırlanma
mərkəzinə qədər olan məsafə fırlanma radiusu adlanır A (R=АО).
78
Tərpənməz ox ətrafında fırlanan zaman fiqurun elementlərinin bütün nöqtələri
eyni bucaq qədə dönəcək. Fırlanma oxunun nöqtələri isə tərpənməz qalacaq.
Qurma əməliyyatını sadələşdirmək məqsədi ilə, fırlanma oxu proyeksiya
müstəvilərinə nəzərən xüsusi vəziyyətdə götürülür.
Tutaq ki, A nöqtəsini H proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olan i oxu
ətrafında müəyyən bucaq qədər fırlanmaq lazımdır (şək. 84).
Beləki, fırlanma oxu horizontal proyeksiya müstəvisinə pendikulyar
olduğundan, m fırlanma oxu horizontal proyeksiiya müstəvisinə m' çevrəsinə
frontal proyeksiya müstəvisinə isə, fırlama müstəvisinin izi aF üzərində yerləşən
m″ düz xət parçasına proyeksiyalanır.
А nöqtəsi А1 vəziyyətinə yerdəyişdikdə onun A′ horizontal pryeksiyası m′
çevrə üzrə yerdəyişərək A1′ vəziytin, frontal proyeksiyası isə А", fırlanma
müıstəvisinin izinin aF üzərində qalaraq А1" vəziyyətini alır.
Şək. 84-də АВ düz xətt parçası i oxu ətrafında fırlanaraq frontal proyeksiya
müstəvisinə paralel vəziyyət alır. B nöqtəsi fırlanma oxu üzərində yerləşdiyi üçün
fırlanma zamanı onun vəziyyəti dəyişməz qalır.
A nöqtəsi А1 və ya А2 vəziyyətinə keçir, başqa sözlə düz xətt parçası fırlanma
oxundan keçən frontal proyeksiya müstəvisinə parale β fırlanma müstəvisi
üzərində yerləşir.
1 1
1 1
1 1
;
; / /
;
/ ' ' / / ' '/
/ / / / / '' '' / / /
F F F
A B
i H i B const
A i H
Z const Z Z const
AB H A B H A B A B
A B F A B AB
Şəkil 84
79
Fırlandırmadan sonra düz xətt parçasının frontal proyeksiyası onun həqiqi
boyuna, α° bucağı isə düz xətt parçasının horizontal proyeksiya müstəvisi ilə
əmələ gətirdiyi bucağa bərabərdir.
4.2.2. Səviyyə xətti ətrafında fırlandırma
Bu üsulda ixtiyarı vəziyyətdə verilmiş ixtiyarı müstəvi onun horizontal və
ya frontal səviyyə xətti ətrafında fırladılaraq horizontal (horizontalı ətrafında
fırlandıqda)və ya frontal (frontalı ətrafında fırlandıqda) proyeksiya müstəvisinə
paralel vəziyyətə gətirilir.
Şək. 85-da: h — fırlanma oxu; α — fırlanma müstəvisi; О — fırlanma
mərkəzi; АО — fırlanma radiusudur.
Fırlanma α müstəvisi h horizontala perpendikulyar olub, horizontal
proyeksiyalayıcıdır. Onun αH horizontal izi horizontalın horizontal
proyeksiyasına h' perpendikulyardır. Nöqtə horizontal ətrafında fırlanaraq
yerdəyişmə apardıqda onun horizontal proyeksiyası fırlanma müstəvisinin
horizontal izi αH üzərində yerdəyişir.
АВ –nin h horizontal düz xətti ətrafında fırlandırılmasına baxaq.(şək. 85).
Fırlanmada düz xətt parçası horizontal düz xətdən keçən horizontal proyeksiya
müstəvisnə paralel β müstəvisi üzərinə salınır. β müstəvisi üstəsalma müstəvisi
adlanır.
Məsələnin həllində frlanma üsulunun bütün elementləri ardıcıl olaraq təyin
edilməlidir: α fırlanma müstəvisi, fırlanma mərkəzi О, fırlanma radiusu R.
Düz xəttin A son nöqtəsi fırlanma oxu üzərində olduğundan fırlanma zamanı onun
vəziyyəti dəyişməz qalır. Məsələnin həllində B nöqtəsinin yerdəyişməsini
müəyyən edək:
1. Fırlanma α müstəvisinin izi qurulur. Müstəvinin αH horizontal izi В
nöqtəsinin horizontal В' proyeksiyasından keçib, horizontalın horizontal
proyeksiyası h'perpendikulyardır.
2. Fırlanma mərkəzi О təyin edilir. Fırlanma mərkəzinin horizontal
proyeksiyası О' fırlanma müstəvisinin αH horizontal izi ilə fırlanma oxunun
horizontal proyeksiyasının h' kəsişmə nöqtəsindədir
3. Düzbucaqlı üçbucaq qurub fırlanma radiusu |R| təyin edilir.
4. Üstəsalmada В nöqtəsi β müstəvisi ilə fırlanma radiusu, həqiqi ölçüdə
proyeksiyalanması üçün, fırlanma radiusun |R| müstəvinin izi üzərində О'
nöqtəsindən, qeyd edib В nöqtəsinin yeni proyeksiyası В1' təyin edilir.
5. А' və В1' nöqtələri birləşdirərək АВ düz xətt parçasının horizontal
proyeksiyasın β müstəvisi üzərinə salınmış vəziyyətini alırıq. Düz xətt
parçası horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olduğundan həqiqi
hoyunda proyeksiyalanır.
Səviyyə xətti ətrafında fırlandırma üsulunda izlərlə verilmiş müstəvi
üzərində yerləşən həndəsi elementlərin və fiqurların həqiqi ölçülərinin təyin
80
etmək üçün daha çox istifadə olunur. Bu zaman müstəvi izlərindən biri ətrafında
fırlandırılaraq uyğun proyeksiya müstəvisi üzərinə salınır, məhz buna görə də, bu
üsul üstəsalma üsulu adlanır.
Şək. 85
Müstəvi horizontal izi ətrafında fırlandıqda horizontal proyeksiya
müstəvisi üzərinə salınır (şək. 86).
Müstəvinin frontal izinə mənsub olan A nöqtəsi β müstəvi üzərində horizontal
iz ətrafında fırlanır.
Belə ki, frontal iz əvəlki və üstəsalınan halda həqiqi ölçüdə
proyeksiyaldığından, |ХαА"| radiuslu qövsü fırlanma müstəvisinin horizontal
izini А1' nöqtəsində kəsənə qədər çəkib A nöqtəsinin üstəsalınmış vəziyyətini
təyin etmək olar.
Müstəvinin izləri arasındakı buçaqın δ° həqiqi ölçüsünü təyinin etmək
üçün bu üsuldan istifadə edilir.ünü
Müstəvi fiquru poyeksiya müstəvisinə paralel düz xətt (səviyyə xətti)
ətrafında fırlandırma üsulundan istifadə edərək, bu müstəvi fiquru bir çevirmə
ilə proyeksiya müstəvisinə paralel vəziyyətə gətirmək olar.
81
Şəк. 86
Belə üsulla şəkil 87-də verilmiş ABC üçbucağın həqiqi ölçüsü təyin edilib.
Qeyd etmək lazımdır ki, həndəsi elementlərin bir müstəviyə mənsub olduqu
halda, yalnız fırlandıma üsulundan istifadə edilr.
Şəк. 87
82
4.2.3. Yastı paralel yerdəyişmə
Məsələnin həllində həndəsi fiqurun bütün nöqtələri proyeksiya
müstəvilərindən birinə paralel müstəvilərin üzəri ilə hərəkət etdirilir.
AB düz xətt parçasının horizontal proyeksiya müstəvisinə parallel A1B1
vəziyyətə gətirilməsinə baxaq (şək. 88).
A və B nöqtələri α və β paralel müstəvilər üzərində yeni A1 və B1 vəziyyətinə
yedəyişir. α və β — müstəvilərinin frontal proyeksiyalaylcı olduğundan A və A1
nöqtələrinin frontal proyeksiyaları A" və A1", α müstəvinin frontal izininə αF
mənsub, B və B1 nöqtələrinin B" və B1" frontal proyeksiyaları, isə β müstəvisinin
frontal izinə βF mənsub olur.
A'B' və A1'B1' düz xətt parçalarının horizontal proyeksiyaları
konkretdir.
Bunu isbat etmək üçün ABC və A1'B1'C1'düzbucaqlı üçbucaqlara baxaq.
Bu üçbucaqların AB və A1B1 hipetenuzları bərabər, başqa sözlə AB düz xətt
parçası A1B1 vəziyyətinə yerdəyişdikdə dəyişməz qalır, AC və A1C1 katetləri
bərabər olub, onların uzunluğu α və β paralel müstəvilər arasında qalan məsafəyə
bərabərdir.
Buna görə, ABC və A1B1C1 üçbucaqları konkurentdir və onların BC və B1C1
katetləri bərabərdir. Bununla əlaqədar olaraq, BC və B1C1 düz xətt parçaları
horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel β müstəvisi üzərində yerləşdiyi üçün
onların horizontal proyeksiyaları bərabərdir, yəni |A'B'| = |A1B1|.
Düz xətt parçası F frontal proyeksiya müstəvisinə nəzərən yastı-paralel
yerdəyişmədə onun uc nöqtəsinin horizontal proyeksiyası frontal proyeksiya
müstəvisinə paralel müstəvinin izi üzərində, frontal proyeksiyası isə F frontal
proyeksiya müstəvisi üzərində ölçüsü dəyişmədən yerdəyişir.
Düz xətt parçasının horizontal proyeksiya müstəvisinə nəzərən yastı- paralel
yerdəyişmə prosesi şək. 88-də göstərilib.
Qurma əməliyyatı aşağıda göstərilən ardıcıllıqla yerinə yetirilir:
1) Düz xəttinin horizontal A'B' proyeksiyası yeni A1'B1' vəziyyətə
yerdəyişir.
2) A və B nöqtələrində horizontal və frontal rabitə xətləri çəkərək düz xətt
parçasının A"B" frontal proyeksiyası qurulur.
Düz xətt parçasının frontal proyeksiya müstəvisinə nəzərən yastı- paralel
yerdəyişmə prosesi şək. 89-da göstərilib.
Qurma əməliyyatı aşağıdakı ardıcıllığla aparılır:
1) Düz xəttinin frontal A"B" proyeksiyası yeni A1"B1".vəziyyətə yerdəyişir.
2) A və B nöqtələrindən horizontal və frontal rabitə xətləri çəkərək düz xətt
parçasının A'B' horizontal proyeksiyası qurulur.
Məlum olduğu kimi, proyeksiya müstəvilərinə nəzərən üixtiyarı vəziyyətdə
olan həndəsi fiqurun xüsusi vəziyyət alması üçün çertyojun çevrilməsi
(proyeksiya müstəvilərinə paralel və ya perpendikulyar) aparılır.
Yastı paralel yerdəyişmə üsulu ilə həndəsi fiqurların elə yerdəyişməsi adlanır
ki, burada həndəsi fiqurun bütün nöqtələri paralel müstəvilər üzərində yerdəyişir.
83
Yastı paralel yerdəyişmə, fırlandırma üsulunun bir halıdır. Bu üsulda
fürlanma oxu göstərilmir. Burada həndəsi element və fiqurların bütün nöqtələri
proyeksiya müstəvilərindən birinə papalel müstəvilərin üzəri ilə hərəkət edirlər.
Bu yerdəyişmə zamanı elementin həmin proyeksiya müstəvisi üzərindəki
proyeksiyası öz forma və ölçülərini dəyişmir. Bütün nöqtələrin digər
proyeksiyaları isə fırlanma müstəvilərinin proyeksiyaları boyunca, yəni oxa
paralel düz xəttlər boyunca hərəkət edəcək, elementin həmin proyeksiyası isə öz
ölcüsünü və formasını dəyişəcəkdir. Bu zaman verilmiş həndəsi element
proyeksiya müstəvilərinə nəzərən istənilən vəziyyətə gətirilənə qədər hərəkəti
davam etdirilir.
Şəк. 88 Şək. 89
İxtiyarı düz xətt parçasının F müstəvisinə paralel vəziyyətə gətirək (şək. 90).
Yastı paralel yerdəyişmə üsulunda verilmiş düz xətt parçasının uc
nöqtələrinin H müstəvisindən olan məsafələri və ya düz xəttin H müstəvisi ilə
əmələ gətirdiyi bucaq sabit saxlanılır.
Verilir: FHAB / ; FBAAB //11
1 1 ?A B
11
// BAHAB ; XBAFAB //''//1
''''11
BABAConstZZBA
.
'' ''
1 1 1 1/ / / /A B F A B AB
Şək. 90
84
Düz xətt parçasının horizontal proyeksiyası öz ölçüsündə qalaçaqdır.
Düz xətt parçası F müstəvisinə paralel vəziyyət aldıqda, onun horizontal
proyeksiyası X proyeksiya oxuna paralel olar. Buna görə də, düz xətt parçasının
yeni horizontal proyeksiyasını, verilən horizontal proyeksiyaya bərabər və X
proyeksiya oxuna paralel olmaq şərti ilə istənilən yerdə qurulur.
Düz xətt parçasının uc nöqtələrinin frontal proyeksiyalarının X oxuna paralel
düz xətt üzrə hərəkət etdiyinə əsasən, onun yeni frontal proyeksiyasını qururuq.
Düz xəttin yeni frontal proyeksiyasının uzunluğu verilmiş düz xətt parçasının
həqiqi boyuna bərabər olacaq.
Əvvəlcə AB ixtiyar düz xətt parçasınının çertyoju frontal proyeksiya
müstəvisinə paralel A1B1 vəziyyətinə çevrilir. Bunun üçün yeni horizontal A1'B1'
proyeksiyası x proyeksiya oxuna paralel yerləşdirilir.
Bu halda düz xətt parçasının yeni A1"B1" frontal proyeksiyası onun həqiqi
boyuna bərabər, onun x oxu arasında qalan buçağ düz xətt parçasının horizontal
proyeksiya müstıvisilə əmələ gətirdiyi buçağa bərabırdir.
Sonra frontal düz xət parçasının A1B1 çertjoju horizontal proyeksyalayıcı
A2B2 düz xətt parçasına çevrilir. Bunun üçün yeni frontal A2"B2" proyeksiya x
oxuna perpendikulyar yerləçdirilir, onda düz xətt parçası horizontal proyeksiya
müstəvisinə A'2B2' nöqtəsinə proyeksiyalanır.
Məlum olduğu kimi, müstəvi fiqur paralel olduğu proyeksiya müstəvisinə
təhrif olunmadan proyeksiyalanır (şək. 91).
Verilmiş üçbucaq F müstəvisinə perpendikulyar vəziyyətə gətirilir. Bununla
əlaqədar olaraq ixtiyarı vəziyyətdə üçbucaq müstəvisi səviyyə müstəvisi
vəziyyətinə çevrilməsi ilə aparılır. Bu məsələ proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə
üsulunda olduğu kimi iki mərhələdə həll edilir: birinci mərhələdə ixtiyarı müstəvi
proyeksiyalayıcı mütəvi vəziyətinə gətirilir, ikinci mərhələdə isə proyeksiyalayıcı
müstəvi səviyyə müstəvisinyə çevrilir. Üçbucaq müstəvisi proyeksiyalayıcı
müstəvi vəziyyətini alması üçün onun, AD horizontalını çəkib və onun horizontal
proyeksiyasını elə yerləşdirilir ki, onun frontal proyeksiyalayıcı A1D1 düz xətti
olsun.
Bu zaman üucağın frontal proyeksiyası B1"C1" düz xətt şəkilində alınır və
bu düz xəttin x oxu ilə əmələ gətirdiyi bucaq φ üçbucaq müstəvisi ilə horizontal
proyeksiya müstəvisi arasında qalan buçağa bərabərdir.
Proyeksiyalayıçı müstəvinin səviyə müstəvisinə çevrilməsi üçün, onun
frontal proyeksiyasını x oxuna paralel yerləşdiririk.
Bu zaman üçbucaq horizontal proyeksiya müstəvisinə həqiqi ölçüsündə
proyeksiyalanır.
85
2 2 2 2 2 2
//
1 1 1 1 1
' ' ' ' ' ' '' '' ''
1 1 1 1 1 1 1 1 1
// '' '' ''
1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
'' '' '' '' '' '
2 2 2 1 1 1
/ ; / / ; ?
. ;
;
. ; / / / /
H
F
ABC H F ABC A B C H A B C
I ABC A B C F h F
Z const A B C A BC A B C A B C
II A B C A B C A B C H A B C X
Y const A B C A B C
'
' ' '
2 2 2 2 2 2/ / / / / /A B C H A B C ABC
Şəк. 91
Yuxarıda təsvir olunanlara əsasən aşağıdakı nəticələri qeyd etmək olar:
Metriki məsələlərin həllində, həndəsi fiqurların həqiqi ölçülərinin və onların
proyeksiya müstəvisinə nəzərən meyl bucaqının təyinində yastı-paralel
yerdəyişmə üsulundan istifadə etmək əlverişlidir.
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. .Həqiqi ölçüləri təyin etmək üçün tərsimi həndəsədə neçə metoddan istifadə
edirlər?
2. .Proyeksiya müstəvilərinin əvəzlənmə metodu nə deməkdir7
3. Proyeksiya müstəvilərinin bir dəfə əvəzlənməsi nə deməkdir7
4. Proyeksiya müstəvilərinin iki dəfə əvəzlənməsi nə deməkdir7
86
5. Bir sistemdən başqa bir sistemə keçdikdə, ikinci sistemin proyeksiya oxu
nədən ibarət olur7
6. Düz xətt parçasının həqiqi boyunu əvəzlənmə metodu vasitəsi ilə tapmaq üçün
nə etmək lazımdır?
7. Yastı həndəsi fiqurların həqiqi ölçülərini tapmaq üçün nə vaxt bir dəfə və nə
vaxt iki dəfə əvəzlənmə metodundan istifadə etmək lazım gəlir?
8. Proyeksiya müstəvilərinin əvəzlənmə metodu ilə fırlandırma metodunda nə
fərq vardır?
9. Nöqtənin fırlanma radiusu necə tapılır?
10. Nöqtə horizontal proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olan ox ətrafında
fırlandırıldıqda, onun proyeksiyaları necə hərəkət edir?
11. Nöqtə frontal proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olan ox ətrafında
fırlandırıldıqda, onun proyeksiyaları necə hərəkət edir?
12. Düz xətt parçasının həqiqi boyunu tapmaq üçün onu necə fırlandırmaq
lazımdır?
13. Düz xəttin horizontal və frontal proyeksiya müstəviləri ilə əmələ gətirdiyi
bucaqları fırlandırma metodu vasitəsi ilə necə tapmaq olar?
14. Nöqtəni horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan ox ətrafında
fırlandıraraq, həmin oxdan keçən H-a paralel müstəvi üzərinə gətirmək üçün
nə etmək lazımdır?
15. Nöqtəni frontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan ox ətrafında
fırlandıraraq, həmin oxdan keçən F-ə paralel müstəvi üzərinə gətirmək üçün
nə etmək lazımdır?
16. Yastı həndəsi fiquru horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan vəziyyətə
gətirmək üçün nə etmək lazımdır?
17. Yastı həndəsi fiquru frontal proyeksiya müstəvisinə paralel olan vəziyyətə
gətirmək üçün nə etmək lazımdır?
18. İzlərlə verilən hər hansı bir müstəvi ilə H və F müstəvilərinin təşkil etdiyi
bucaqları təyin etmək üçün nə etmək lazımdır?
19. Kəsişən xətlərlə verilən hər hansı bir müstəvi ilə H və F müstəvilərinin təşkil
etdiyi bucaqları təyin etmək üçün nə etmək lazımdır?
20. Proyeksiya müstəvilərinə paralel yerdəyişmə metodu nə düməkdir?
21. Düz xətt parçasının həqiqi boyu, horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel
yerdəyişmə metodu vasitəsi ilə necə tapılır?
22. Horizontal proyeksiya müstəvilərinə paralel yerdəyişmədə elementin
horizontal proyeksiyası nə üçün dəyişmir?
23. Düz xətt parçasının həqiqi boyu, frontal proyeksiya müstəvisinə paralel
yerdəyişmə metodu vasitəsi ilə necə tapılır?
87
24. Frontal proyeksiya müstəvilərinə paralel yerdəyişmədə elementin frontal
proyeksiyası nə üçün dəyişmir?
25. İki dəfə yerdəyişmədən nə vaxt istifadə edilir?
26. İxtiyari vəziyyətdə verilən yastı həndəsi fiqurun həqiqi ölçüsü paralel
yerdəyişmə metodu vasitəsi ilə necə tapılır?
V. METRİK MƏSƏLƏLƏR
Həndəsi elementlər arasındakı məsafələri və bucaqları təyin edən məsələlər
metrik məsələlər adlanır.
Bütün metrik məsələlərin həlli aşağıda göstərilən iki məsələnin həllinə
gətirilməklə təyin edilir.
1.İki nöqtə və ya bir nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafənin tapılmas.
2. İki kəsişən düz xətt arasındakı bucağın təyin olunması.
5. 1. Məsafələrin tapılması
Bütün məsələlərin həlli iki məsələnin həllinə gətirilməklə təyin edilir.
1.İki nöqtə və ya bir nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafənin tapılması.
2. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafənin tapılması.
Məsafənin tapılması haqqında olan metrik məsələləri aşağıdakı qruplara
ayırmaq olar.
1. İki nöqtə arasındakı məsafə;
2. Nöqtə ilə düz xətt arasındakı mısafə;
3. İki paralel düz xət arasındakı mısafə;
4. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafə;
5. İki paralel müstəvi arasındakı məsafə;
6. Çarpaz düz xətlər arasındakı məsafə.
5.1.1. İki nöqtə arasındakı məsafə
Bu məsafə həmin nöqtələri birləşdirən düz xətt parçasının həqiqi boyuna
bərabərdir.
5.1.2. Nöqtə ilə düz хətt arasındaкı məsafə
Bu məsafə nöqtədən düz xəttə endirilən perpendikulyarın həqiqi boyuna
bərəbərdir. Nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafəni təyin etmək üçün nöqtədən düz
xəttə perpendikulyar düz xətt çəkilir və həmin perpendikulyarla düz xəttin
kəsişmə nöqtəsi qurulur. Sonra verilən nöqtə ilə kəsişmə nöqtəsi arasındakı
məsafə təyin edilir.
Tərsimi həndəsədə isə nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafə aşağıda gösrərilən
iki üsul təyin olunur.
88
Birinci üsul. Burada məsələ aşağıdakı ardıcıllıqla həll olunur:
1) nöqtədən düz xəttə perpendikulyar bir müstəvi keçirilir;
2) müstəvi ilə düz xəttin kəsişmə nöqtəsi təyin edilir;
3) tapılmış kəsişmə nöqtəsi ilə verilmiş nöqtə birləşdirilir və həmin düz xətt
parçasının həqiqi boyu təyin edilir.
İkinci üsul. Burada nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsfəni tapmaq üçün
verilmiş düz xətlə nöqtəyə bir müstəvi kimi baxılır. Kompleks çertyojun çevrilmə
üsullarınının birindən istifadə edərək, bu müstəvini proyeksiyalayıcı müstəvi
şəkilinə elə gətirilməlidir ki, verilən düz xətt proyeksiya müstəvilərindən birinə
perpendikulyar olsun. Məlumdur ki, bu zaman düz xəttin yeni proyeksiyası nöqtə
alınacaq. Verilmiş nöqtənin yeni proyeksiyası ilə alınan nöqtə arasındakı məsafə
istənilən məsafə olacaqdır. İndi də aşağıdakı məsələləri araşdıraq.
Şək. 92-94 K nöqtəsi ilə b düz xətti arasındakı məsafə birinci üsul ilə təyin
edilmişdir.
Şək. 92-də АK düz xətt parçası A nöqtəsində b düz xəttinə endirilən
perpendikulyardır. Horizontal H proyeksiya müstəvisinə АK düz parçası həqiqi
boyunda poyeksiyalanır.
, ?
; '' " '';
/ / ' ' ;
, ' '
A b AK
b H AK b A K b
AK H A K AK
A b AK A K
0
0
, ?
/ / ; ' ' ';
/ ; ' ' ' ;
, ' '
A b AK
b H AK b A K b
AK H F A K K K
A b AK A K
Şək. 92 Şək. 93
Şək. 93-də АK və b düz xətti arasındakı düz bucaq H müstəvisinə təhrif
olunmadan proyeksiyalanır (düz bucaqın proyeksiyalanmasının xüsusi halı
haqında teoremə əsasən). AK perpendikulyarı hər iki proyeksiya müstəvisinə
təhrif olunaraq proyeksiyalanır.
Şək. 94-də A nöqtəsindən ixtiyari vəziyətli b düz xəttinə perpendikulyar
çəkmək üçün, əvvəlcə A nöqtəsindən b düz xəttinə perpendikulyar α müstəvisi
keçirilir. Bu müstəvi h və f baş хətlərlə qurulur. Müstəvinin verilmiş b düz хəttinə
89
perpendiкulyar olması üçün onun horizontalının horizontal proyeкsiyası h' düz
хəttin b' proyeкsiyasına, frontalının frontal proyeкsiyası f" isə verilmiş düz хəttin
frontal proyeкsiyasına b" perpendiкulyar çəкilir. Verilmiş b düz хətti ilə
qurduğumuz α müstəvisinin кəsişmə nöqtəsi tapılır. Bunun üçün düz хətlə
müstəvinin кəsişmə nöqtəsinin təyin olunması ardıcıllıqından istifadə edilir.
Verilir: A /b H F
, ?A b AK
I. ;A'
( )''
h bh f b
f b
II. ?b K
1) b ; 'HH b ; ;
2)' '
12'' ''
h
f
; 3)
12 ;
,
b K
A b AK
Şək. 94
1) Verilən b düz хəttindən horizontal γ (və ya frontal) proyeкsiyalayıcı
müstəvisi кeçirilir. Bu düz хəttin b' horizontal proyeкsiyası γ müstəvisinin yığıcı
хassəyə maliк γH horizontal proyeкsiyası üzərinə düşür;
2). γ müstəvisi ilə α müstəvisinin кəsişmə düz хətti qurulur. Həmin düz
хətt iкi nöqtənin кöməyi ilə tapılır. Bu nöqtələr f və h хətlərinin γ müstəvisi ilə
90
кəsişməsindən alınan 1 və 2 nöqtələridir. Bu nöqtələrdən кeçən 12 düz хətti γ və
α müstəvilərinin кəsişmə хətti olacaqdır.
3). Qurduğumuz 12 düz хətti ilə verilən b хəttinin K кəsişmə nöqtəsi tapılır.
Beləliкlə, K nöqtəsi verilmiş b düz хətti ilə α müstəvisinin кəsişmə nöqtəsi
olacaqdır.
Tapılan K nöqtəsi ilə verilən A nöqtəsi arasındaкı məsafə A nöqtəsi ilə b düz хətti
arasındaкı məsafədir. Bu məsafənin həqiqi boyu təyin edilir.
II üsul. Nöqtə ilə düz хətt arasındaкı məsafəni tapmaq üçün onlara bir
müstəvi кimi baхılır və tərsimi həndəsədə istifadə olunan metodlardan birinin
кöməyi ilə bu müstəvi belə bir proyeкsiyalayıcı müstəvi şəкlinə salınır кi, verilən
düz хətt proyeкsiya müstəvilərindən birinə perpendiкulyar olsun. Onda verilən
düz хəttin yeni proyeкsiyası bir nöqtə şəklində alınacaq. Bu nöqtə ilə verilən
nöqtənin eyni adlı proyeкsiyası arasındaкı məsafə nöqtə ilə düz хətt arasındaкı
məsafə olacaqdır.
Şəк. 95-də A nöqtəsi ilə iхtiyari BC düz хətti arasındaкı məsafənin tapılması
proyeкsiya müstəvilərinin əvəzetmə metodu ilə göstərilmişdir.
Şəк. 95
Bunun üçün H–F proyeкsiya müstəvilər sistemini H – F1 müstəvilər sistemi
ilə əvəz ediriк və bu yeni sistemdə BC düz хəttinin və A nöqtəsinin frontal
proyeкsiyalarının vəziyyətlərini müəyyən ediriк - B1"C1" düz хətti və A1"
nöqtəsi B1"C1" хətti verilən BC хəttinin həqiqi ölçüısünə bərabərdir.
91
A1" nöqtəsindən B1"C1" хəttinə perpendiкulyar хətt çəкiriк. Bu
perpendiкulyarla B1"C1" хəttin кəsişmə nöqtəsini (M1") qeyd ediriк. Tapılan M
nöqtəsinin M' və M" proyeкsiyalarını müəyyən edirik. A nöqtəsi ilə M nöqtəsi
arasındaкı məsafə nöqtə ilə BC düz хətti arasındaкı məsafə olacaqdır.
Iкinci əvəzetmədə N – F1 sistemini N2 – F1 sistemilə əvəz ediriк və düz хətlə
nöqtə arasındaкı məsafənin həqiqi ölçüsünü tapırıq – A1'M1'.
5.1.3. Iкi paralel düz хətt arasındaкı məsafə
Bir-birinə paralel iki müstıvi arasındakı məsafə, bu müstəvilər arasında qalan
və onlara perpendikulyar olan düz xətt parçasının həqiqi boyuna bərabərdir.
İki paralel düz xətt arasındakı məsafəni aşağıdakı iki üsul ilə təyin etmək
olar.
Birinci üsul. Verilmiş iкi paralel хətlərdən birinin üzərində bir nöqtə
götürülür. Bu nöqtə ilə iкinci düz хətt arasındaкı məsafə tapılır. Deməli, paralel
düz хətlər arasındaкı məsafənin tapılması nöqtə ilə düz хətt arasındaкı məsafənin
təyin edilməsinə çevrilir.
İkinci üsul. Verilən paralel düz xətlər proyeksiyalayıcı vəziyyətə gətirilir.
Bu məqsədlə tərsimi həndəsədə tətbiq edilən üsuldan istifadə edilir.Bu zaman hər
bir xəttin proyeksiyalarından biri nöqtə şəkilində alınacaq. Bu nöqtələr arasındakı
məsafə axtarılan məsafə olacaqdır.
İki paralel düz xətt arasındakı məsafənin təyin edilməsi qaydasını nəzərdən
keçirək. Məsələ, ikiqat əvəzləmə metodu ilə həll olunur. Birinci əvəzləmə zamanı
yeni proyeksiya müstəvisi xətlərə paralel, ikinci əvəzləmədə isə perpendikulyar
götürülür (şək 96).
Birinci əvəzləmə. F müstəvisinə perpendikulyar və verilən xətlərə paralel
olan F1 müstəvisinin yığıcı xassəyə malik horizontal izi X1 yeni proyeksiya oxu
olacaqdır. X1 oxu verilən xətlərin horizontal proyeksiyalarına paralel çəkilir.
Əvəzləmə zamanı H müstəvisi tərpənməz qaldığından hər iki proyeksiya
müstəviləri sistemində verilən xətlərin istənilən nöqtəsinin H-dan olan məsafəsi
dəyişməyəcək. Göstərilən şərtə əsasən yeni frontal proyeksiyalar [A1"B1"] və
[C1"D1"] qurulur
Ikinci əvəzləmə. H müstəvisi F1 müstəvisinə və xətlərlə verilmiş müstəviyə
perpendikulyar olan H1 müstəvisi ilə əvəz edilir. Bu müstəvilərin H1-F1
sisteminin X2 yeni proyeksiya oxu olacaq. İkinci əvəzləmə zamını F1 müstəvisi
tərpənməz qaldığından verilən xətlərin istənilən nöqtəsinin F1 müstəvisindən olan
məsafəsi dəyicməyəcək (Y1=const). Hər bir xəttin H1 müstəvisi üzərindəki
proyeksiyası nöqtə olacaqdır.
Bu nöqtələr arasındakı məsafə isə verilən iki paralel AB və CD düz xətləri
arasındakı məsafəyə bərabər olacaq.
92
11 1 1 1 1 1
1 11 1 1 2 1 1 1 1 2
1
1 2 1 1 1 1
1 1
1 1 1
; ; ; / /( / / ) / /( ' '/ / ' ');
;
( ' '/ / ' ') / / ( / / ) / / ; ; ; ;
( / / ) ( '' ''/ / '' '');
; ;
( / / ) ' '
F FX X F H F H X F AB CD X A B C D
H H
H const Z const
F FA B C D X AB CD F X X H F H F X
H H
H AB CD X A B C D
F const y const
AB CD H A B
1 1 1 1 1 1' '; / ' ', ' ' / / , /C D A B C D AB CD
Şəк. 96
5.1.4. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafə
Nöqtədə ilə müstəvi arasındakı məsafə nöqtədən düz хəttə endirilən
perpendiкulyarın uzunluğuna bərabərdir. Bu məsələni aşağıdakı iki üsul
ilə həll etmək olar.
Birinci üsul. Məsələnin həlli üç mərhələdə aparılır:
1) nöqtədən verilən müstəviyə perpendiкulyar düz xətt çəkilir;
2) həmin perpendikulyar düz xətt ilə verilən müstəvinin kəsişmə
nöqtəsi təyin edilir;
3) taplan kəsişmə nöqtəsi ilə verilən nöqtə arasındakı məsafənin həqiqi
boyu təyin edilir.
İkinci üsul. Bu üsulda tərsimi həndəsədə tətbiq olunan üsullardan
birinin köməyi ilə verilən ixtiyarı müstəvi proyeksiyalayıcı müstəvi
93
vəziyyətinə gətirilir.
Şək. 97-də verilmiş α müstəvisi horizontal proyeksiya müstəvisinə
perpendikulyardır. A nöqtəsindən α müstəvisinə qədər olan məsafə verilən
nöqtənin A΄ horizontal proyeksiyası ilə müstəvinin yığıcı xassəyə malik
horizontal αH izi arasındakı qalan А΄К΄ məsafəsinə bərabər olacaq.
A nöqtəsindən α müstəvisinə qədər olan АК düz xətt parçası H1
proyeksiya müstəvisinə paraleldir və onun üzərinə həqiqi boyunda
proyeksiyalanır.
Şək. 98-də verilmiş α müstəvisi proyeksiya müstəvilərinə nəzərən
ixtiyarı vəziyyətdədir. Ona görə də, əvəlcə proyeksiya müstəvilərinin
əvəzləmə metodu ilə çertyoju elə çevirmək lazımdır ki, müstəvi yeni F1
proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar olsun.
/ , / ?;
' '
'' ''
' ;
'' ''/ '/ /
' '
/ , / ' '
H
F
H
A AK
A KAK
A K
H K
A K XAK H
A K AK
A A K
1
11
1 1
1 1
1 1
/ , / ?;
; ;
'' ''
/ , / '' ''
H
F
A AK
F FX X
H H
F H X a
A K a
A A K
Şək. 97 Şək. 98
D nöqtəsindən iхtiyari vəziyyətdə yerləşmiş ABC üçbucağına, yəni α
müstəvisinə qədər olan məsafəni təyin edəк (şəк. 99).
94
Verilmiş D nöqtəsindən – α(∆ABS) müstəvisinə perpendiкulyar düz хətt
çəкilir. Bu zaman düz хəttin müstəviyə perpendiкulyarlıq şərtindən istifadə
olunur. Şərtə görə, düz хətt müstəviyə perpendiкulyar olarsa, həmin хəttin
horizontal proyeкsiyası müstəvinin horizontalının horizontal proyeкsiyasına,
хəttin frontal proyeкsiyası isə müstəvinin frontalınnın frontal proyeкsiyasına
perpendiкulyar olmalıdır. Ona görə də, birinci növbədə müstəvinin baş хətlərini
qururuq: h', h" – horizontalın proyeкsiyaları; f', f" – frontalın proyeкsiyaları. D'
nöqtəsindən h' хəttinə və D" nöqtəsindən f" хəttinə perpendiкulyar хətlər
çəкiriк. Bu хətlər D nöqtəsindən α (∆ABC) müstəvisinə çəкilən perpendiкulyar
хəttin horizontal və frontal proyeкsiyalarıdır.
Verilir: FHABC / ?, ED
1)
fDE
hDEED
''
2) ?CCD
a) DCCD
b) 34
d) EDE 12 EDD ,
Şəк. 99
95
Çəкdiyimiz perpendiкulyarla α(∆ABC) müstəvisinin кəsişmə nöqtəsini
tapmaq üçün perpendiкulyardan кöməкçi frontal proyeкsiyalayıcı β müstəvisi
кeçiririк. β müstəvisinin yığıcı хassəyə maliк βF frontal izi perpendiкulyar düz
хəttin frontal proyeкsiyası ilə üst-üstə düşür.
Кöməкçi β müstəvisi ilə verilən α müstəvisinin кəsişmə düz хəttini
qururuq. Bu хətt iкi nöqtənin кöməyi ilə tapılır. Həmin nöqtələr müstəvisi ilə
ABC üçbucağının BC tərəfinin кəsişmə nöqtəsi (3', 3") və AC tərəfinin кəsişmə
nöqtəsi (4', 4") olacaq. Bu nöqtələrdən кeçən 34 (3'4', 3"4") düz хətti və
müstəvilərinin кəsişmə düz хəttidir (şəк. 99).
Qurduğumuz 34 düz хətti perpendiкulyar хətt ilə E(E',E") nöqtəsində
кəsişir. Bu nöqtə həm çəкdiyimiz perpendiкulüar düz хəttinə, həm də (∆ABC)
müstəvisinə mənsub olduğundan onların кəsişmə nöqtəsidir.
Deməli, D nöqtəsindən α(∆ABC) müstəvisinə qədər olan məsafə DE
(D'E', D"E") хətti olacaq.
A nöqtəsindən izlərlə verilmiş α iхtiyari müstəvisinə qədər olan məsafəni
təyin edəк (şəк. 100).
Birinci mərhələ. Verilmiş A nöqtəsindən α müstəvisinə perpendiкulyar
AB düz хətti çəкilir. Bu zaman düz хəttin izlərlə verilən müstəviyə
perpendiкulyarlıq şərtindən istifadə olunur. Şərtə görə, düz хətt müstəviyə
perpendiкulyar olarsa, həmin хəttin horizontal proyeкsiyası müstəvinin horizontal
izinə, хəttin frontal proyeкsiyası isə müstəvinin frontal izinə perpendiкulyar
olmalıdır.
Verilir: /H Fa a H F , ?A B
1)'
''
H
F
A B aAB
A B a
2) ?AB B a) ; " "F AB A B
b) ; 12 d) ; 12AB B ; , A AB
Şəк. 100
96
Ona görə də, verilən nöqtənin A' horizontal proyeksiyasından müstəvinin
horizontal αH izinə və nöqtənin A" frontal proyeksiyasından müstəvinin frontal
αF izinə perpendiкulyar düz хətt çəкilir. Alınan AB düz xətti tələb olunan
perpendikulyar düz xətt olacaq.
İkinci mərhələ. Qurulan perperdikulyarın oturacağı, yəni AB düz xəttinin
α müstəvisi ilə kəsişmə nöqtəsi təyin edilir. Məlum olduğu kimi bunun üçün 3
əməliyyat aparılır
1) AB düz xəttindən frontal proyeкsiyalayıcı β müstəvisi кeçiririк. β
müstəvisinin yığıcı хassəyə maliк βF frontal izi düz хəttin A"B" frontal
proyeкsiyası ilə üst-üstə düşür.
2) köməкçi β müstəvisi ilə verilən α müstəvisinin кəsişmə düz хətti qurulur.
Bu хətt iкi nöqtənin кöməyi ilə tapılır. Həmin nöqtələr α və müstəvilərinin
eyni adlı izlərinin кəsişmə nöqtələridir - (1',1") və (2', 2"). Bu nöqtələrdən кeçən
12 (1'2', 1"2") düz хətti α və müstəvilərinin кəsişmə düz хəttidir.
3)AB düz xətti ilə qurulan 12 düz хəttinin B (B',B") kəsişmə nöqtəsi təyin
edilir. Bu nöqtə, eyni zamanda həm AB və həm də müstəvisinə mənsub
olduğundan, AB düz xətti ilə müstəvisinin кəsişmə nöqtəsidir.
Deməli, A nöqtəsindən izlərlə verilmiş müstəvisinə qədər olan məsafə AB
(A'B', A"B") хətti olacaq.
Üçüncü mərhələ. AB düz xətt parçasının hıqiqi boyu təyin edilir.
Baxılan məsələdə fırlandırma üsulu ilə AB düz xətt parçasının həqiqi boyu
təyin edlmişdir.
5.1.5. İki papalel müstıvi arasındakı məsafə
Bir-birinə paralel iki müstıvi arasındakı məsafə, bu müstəvilər arasında qalan
və onlara perpendikulyar olan düz xətt parçasının həqiqi boyuna bərabərdir. Bu
məsələ. nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafənin tapılması məsələsinə gətirilərək
həll edilir.Yəni müstəvilərdən birinin üzərində bir nöqtə ğötürülür və məsələ,
nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafənin tapılması məsələsinə çevrilir (şək. 101).
(Bax məsələ 5.1.4)
Verilən iki paralel mütəvilər arasındakı məsafə aşağıdakı kimi tapılır.
1) α müstəvisi üzərində götürülmüş A nöqtəsindən β müstəvisinə
perpendikulyar AC düz xətti çəkilir;
2) AC düz xətti ilə β müstəvisinin B kəsişmə nöqtəsi qurulur;
3) AB düz xətt parçasının həqiqi boyu təyin edilir.
Verilmiş paralel müstəvilər arasındakı məsafənin tapılması məsələsini
tərsimi həndəsədə işlədilən üsulların köməyi ilə daha sadə yolla həll etmək olar.
Bu məqsədlə paralel müstəvilər proyeksiya müsəvilərindən birinə perpendikulyar
vəziyyətə gətirilməlidir.
Şək. 102-də iki paralel horizontal proyeksiyalayıcı müstəvilər arasındakı
məsafənin təyini göstərilmişdir. Paralel proyeksiyalayıcı müstəvilər arasındakı
97
məsafə həmin müstəvilərin yığıcı xassəyə malik izləri arasındakı məsafəyə
bərabərdir.
; ;A AC
AC B
AB l
'
; ;
' ,
A AC
AC B
A B l
Şək. 101 Şək. 102
İzlərlə verilmiş iki paralel müstəvilər arasındakı məsafəni təyin edək (şək.
103). Verilmiş α və β müstəvilərini horizontal proyeksiya müstəsinə
perpendikulyar vəziyyətə gətiririk. Bu məqsədlə verilmiş paralel müstəviləri F
müstəvisinə perpedikulyar ox ətrafında fırladırıq. i fırlanma oxu H müstəvisi
üzərində götürülür.
Müstəvini fırlanma zamanı onun βH horizontal izi ilə i fırlanma oxunun C
kəsişmə nöqtəsi tərpənməz qalacaq. Deməli, axtarılan müstəvinin βH yeni
horizontal izi C nöqtəsindən keçəcək.
Verilmiş β müstəvisinin βF frontal izi isə i oxu ətrafında fırlandırılır. Bu izin
O nöqtəsindən olan məsafəsi sabit qalacaqdır. Ona görədə O nöqtəsindən βF
perpendikulyar düz xətt endirilir.
Aldığımız A nöqtəsi i oxu ətrafında fırlandırılaraq X oxu üzərinə salınır.
Yeni β1 müstəvisinin β1F frontal izi ilə qurduğumuz A1 nöqtəsindən X oxuna
perpendikulyar olmaq şərti ilə çəkilir. A1 nöqtəsi β1 müstəvisinin horizontal və
frontal izlərinin β1x kəsişmə nöqtəsidir.
98
1 1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 1
; ;
; ;
; ; ;
;
; ;
/ / ; ; ;
, ,
F F
X H X
F
X F F X
H H H F
H H
i i H
OA OA R
A x A C
X H
B X B X
X H
l
Şək. 103
Eyni qayda ilə α1 müstəvisinin α1F horizontal izi isə α1x nöqtəsindən keçmək
şərti ilə β1H izləri arasındakı l məsafəsi verilmiş paralel müstəvilər arasındakı
məsafəyə bərabər olacaqdır.
5.1.6. İki çarpaz düz xətlər arasındakı mısafə
İki çarpaz düz xətdən iki paralel müstəvi keçirmək olduğundan, onlar
arasındakı məsafənin təyini paralel müstıvilər arasındakı məsafənin təyini
məsələsinə çevrilir. Bu məsafəni təyin etmək üçün düz xətlərin birindən digərinə
paralel müstəvi keçirilir və çarpaz xəttin digərinin üzərində bir nöqtə götürülür.
Nöqtə ilə qurulan müstəvi arasındakı məsafə təyin edilir.
Verilmiş çarpaz düz xətlərdən biri proyeksiya müstəvilərindən birinə
perpendikulyar olarsa, bu düz xəttin həmin müstəvi üzərindəki proyeksiyası nöqtə
alınacaq ' 'A B . Aldığımız nöqtə ilə ikinci düz xəttin 'b uyğun proyeksiyası
arasındakı ' 'A B məsafəsi verilmiş iki çarpaz düz xətt arasındakı məsafəyə
bərabər olacaq (şək. 104). .
99
/ , / / ' ', ' / ' 'a b A a b A B
Şək. 104
İki çarpaz düz xətt arasındakı məsafəni təyin edək (şək. 105).
Məsələnin həlli zamanı AB düz xəttini horizontal proyeksiya müstəvisinə
paralel vəziyyətə gətirmək üçün ikiqat əvəzləmə üsulundan istifadə edirik.
Birinci əvəzləmə. Bu əvəzləmə zamanı yeni F1 proyeksiya müstəvisi AB düz
xəttinə paralel götürülür. Başqa sözlə, H−F sistemındən H−F1 proyeksiya
müstəviləri sisteminə keçirik. F1 müstəvisi H müstəvisinə perpendikulyar çəkilir.
F1 müstəvisinin horizontal izi X1 proyeksiya oxu olacaqdır. Hər iki sistemdə H
müstəvisi tərpənməz saxlanıldığı üçün verilən xətlərin hər bir nöqtəsinin H-dan
olan məsafələri bu sistemdə dəyişməyəcəkdir. Məhz bu şərtə əsasən, verilən
çarpaz düz xətlərin (A"1B"1) və (C"1D"1) yeni frontal proyeksiyaları qurulur
(şək.105).
İkinci əvəzləmə. H müstəvisini F1-ə perpendikulyar H1 müstəvi ilə əvəz
etməklə H−F1 sistemindən H1−F1 proyeksiya müstəviləri sisteminə keçmiş
oluruq. H1 müstəvisi F1 müstəvisinə və AB düz xəttinə perpendikulyar çəkilir.
H1müstəvisinin frontal izi yeni X2 proyeksiya oxu olacaqdır. İkinci əvəzləmə
zamanı F1 müstəvisi dəyişməz saxlanıldığından verilmiş xətləri F1 müstəvisindən
olan məsafələri də axırıncı iki sistemdə dəyişməyəcək. Bu şərtə əsasən çarpaz
xətlərin (A'B') və (C'D') yeni horizontal proyeksiyaları qurulur.
AB düz xətti H müstəvisinə perpendikulyar olduğundan, onun bu müstəvi
üzərindəki (A'B') proyeksiyası bir nöqtə şəklində alınacaqdır. Həmin nöqtədən
(C1'D1') proyeksiyasına qədər olan l məsafəsi verilən iki çarpaz xətlər arasındakı
məsafəyə bərabər olacaqdır (şək. 105).
100
1 11 2 1 1 2
1
'' ''
1 2 1 1
1 1
' '
1 1 1
' ' ' '
1 1 1 1
;
( ) ( );
( )
/ , / / , /
F FX X H F X
H H
H AB X A B
F const X const
AB H A B
A B C D AB CD l
Şək. 105
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Metrik məsələlər dedikdə nə nəzərdə tutulur?
2. Metrik məsələlər hansı qruplara bölünür?
3. Həndəsi elementlər arasındakı məsafənin təyini ilə bağlı məsələlər
qrupuna hansı məsələlər aiddir?
4. Yastı fiqur və müstəvinin bir hissəsinin əsil ölçüsünün tapılması ilə
bağlı məsələlər hansılardır?
5. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafə hansı ardıcıllıqla tapılır
101
(alqoritmi deyin)?
6. Nöqtə və yastı həndəsi fiqur şəklində verilmiş müstəvi arasındakı
məsafəni taparkən niyə perpendikulyarı bu müstəvinin məhz baş
xətlərinə endirmək lazımdır?
7. Nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafə hansı ardıcıllıqla tapılır
(alqoritmi deyin)?
8. İki paralel düz xətt arasındakı məsafə hansı ardıcıllıqla tapılır
(alqoritmi deyin)?
5.2. BUCAQLARIN TƏYİN OLUNMASI
Həndəsi elementlər arasındakı bucaqların çoxluğunu aşağıdakı əsas qruplara
bölmək olar:
1.İki kəsişən düz xətt arasındakı bucaq;
2.İki çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq;
3.Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq;
4.İki müstəvi arasındakı bucaq.
Bu məsələlərin həlli iki kəsişən düz xətt arasındakı bucağın tapılmasına
gətirib çıxarır. Ona görədə, əvvəlcə iki kəsişən düz xətt arasındakı bucağın təyin
olunması məsələsi öyrənilməlidir.
5.2.1. İki kəsişən düz xətt arasındakı bucaq
Kəsişən iki düz xətt arasındakı bucağı tapmaqdan ötrü, bu düz xətlərə bir
müstəvi kimi baxılır. Sonra isə, bu düz xətlər proyeksiya müstəvilərindən birinə
paralel vəziyyətə gətirilir. Belə olduqda, bu düz xətlər arasındakı bucaq həmin
proyeksiya müstəvisi üzərində həqiqi ölçüdə proyeksiyalanacaqdır.
Aydındır ki, göstərilən məsələnin həlli tərsimi həndəsədə işlədilən üsullardan
birinin köməyi ilə aparılmalıdır. Bu məsələni, kəsişən düz xətlərlə verilən
müstəvinin baş xətlərindən biri ətrafında fırlandırmaqla daha sadə yolla həll
etmək olar. Qeyd edək ki, kəsişən düz xətlər arasındakı bucaq proyeksiya
müstəvilərinin əvəzləmə və eləcə də, yastı paralel yerdəyişmə üsulu ilə də tapıla
bilər. Verilmiş iki kəsişən düz xətt arasındakı bucağı təyin edək.
Verilmiş a və b kəsişəndüz xətlər arasındakı bucağın qiymətini fırlandırma
üsulunun köməyi ilə təyin edək. Bu məsələni verilmiş düz xətləri horizontal və ya
frontal proyeksiya müstəvilərinə paralel vəziyyətə gətirməklə həll etmək olar.
Kəsişən düz xətlər arasındakı bucağın qiymətini, onları H müstəvisinə
paralel vəziyyətə gətirməklə təyin edək. Bu məsələdə verilən xətlərin əmələ
gətirdiyi müstəvini h horizontalı ətrafında H müstəvisinə palalel vəziyyətə gələnə
qədər fırladırlar. Bu horizontalın 1 və 2 nöqtələri fırlanma oxuna mənsub
olduğundan tərpənməz qalacaqdır. Demək, verilən müstəvini fırlandırmaq üşün A
nöqtəsini fırlandırmaq kifayətdir. A nıqtəsibu nöqtədən keçən və h fırlanma oxuna
perpendikulyar olan horizontal proyeksiyalayıcı, müstəvinin üzəri ilə
fırlanacaqdır. Bu müstəvi ilə h fırlanma oxunun O kəsişmə nöqtəsi fırlanma
102
mərkəzi olacaqdır. OA düz xətt parçası isə A nöqtəsinin fırlanma radiusudur.
Düzbucaqlı üçbucaq üsulu ilə OA fırlanma radiusunun həqiqi boyu tapılır.
Fırlanma zamanı A nöqtəsinin horizontal proyeksiyası horizontal
proyeksiyalayıcı müstəvinin horizontal proyeksiyası üzəri ilə hərəkət edəcəkdir.
Məsələnin şərtinə əsasən OA radiusu H müstəvisinə paralel vəziyyət alana qədər
fırlanmalıdır. Bu zaman həmin radiusun horizontal proyeksiyası onun həqiqi
boyuna bərabər olacaqdır. Aldığımız A1 nöqtəsi ilə 1 və 2 nöqtələri birləşdirərək,
kəsişən xətlərlə verilən α1(1A0∩2A0) müstəvisinin yeni vəziyyəti tapılır.Yeni
vəziyyətə gətirilmiş α1 müstəvisi H müstəvisinə paralel olduğundan onu təşkil
edən 1A0 və 2A0 xətləri arasındakı φ bucağı H müstəvisi üzərinə həqiqi boyunda
proyeksiyalanacaqdır. Demək, bu xətlərin(a'0) və (b'0) horizontal proyeksiyaları
arasındakı bucaq verilən kəsişən düz xətlər araındakı bucağa bərabər olacaqdır
(şək. 106).
0 0
0
1 1 1
1 2 1 2 ; ' ' ';
; / / / /; / ' ' / / /
( 1 2) / / 1 2
h consnt A O h AO h O
R OA OA OA O A OA
A A H A A a b
Şək. 106
5.2.2. İki çarpaz düz xətlər arasındakı bucaq
Məlumdur ki, iki çarpaz düz xətt arasındakı bucaq, bu xətlərə paralel iki
kəsişən düz xətt arasındakı bucaq ilə ölçülür. Buna görədə, belə məsələnin həlli
103
zamanı verilmiş düz xətlərdən birini kəsən, digərinə isə paralel olan bir düz xətt
çəkilir. Bundan sonra isə aldığımız iki kəsişən а və b düz xətt arasındakı bucağın
qiyməti tapılır. Beləliklə, iki çarpaz düz xətt arasındakı bucağın tapılması, iki
kəsişən düz xətt arasındakı bucağın qurulması məsələsinə çevrilir. İki çarpaz düz
xətt arasındakı bucağın tapılması isə şək. 107-də göstərilmişdir. Qeyd olunduğu
kimi, əvvəlcə verilən düz xətlərdən birini kəsən, digərinə isə paralel olan bir düz
xətt çəkilir. Bu məqsədlə b düz xətti üzərindəki A nöqtəsindən а düz xəttinə
paralel c düz xətti çəkilir. Bu düz xətlər hprizontal proyeksiyalayıcı müstəvi
üzərində oıduğundan onların horiontal proyeksiyası ' 'c a bir-birinin üzərində
alınır. Məlumdur ki, verilmiş iki düz xəttin bir-birinə paralel olması üçün, onların
eyni adlı proyeksiyaları bir –birinə paralel olmalıdır. Bu şərtə əsasən c düz xətti
qurulur (şək. 107).
0
' '/ /
''/ / ''
( / / )
c ac a
c a
c a H
a b
Şək. 107
104
Sonra isə fırlandırma üsulunun köməyi ilə а və c kəsişən düz xətləri
arasındakı bucaq tapılır. Ffrontal səviyyə xətti f ətrafında fırlandırmqla а və b
düz xətləri arasındakı φ° bucağı təyin edilmişdir.
5.2.3. Düz xətlə müstəvi arasındakı bucaq
Düz xətlə а müstəvi α arasındakı bucaq, həinmin düz xətlə onun verilmiş
müstəvi üzərdəkir ortoqonal proyeksiyası arasındakı bucaq φ° ilə ölçülür (şək.
108). Burada a düz xəttin α müstəvisi üzərində proyeksiyasını təyin etmək üçün
а düz xətti ilə α müstəvisinin kəsişmə nöqtəsi B tapmaq lazımdır, sonra isə а düz
xəttinin ixtiyarı А nöqtəsindən α müstəvisinə perpendikulyar n düz xətti və həmin
düz xətlə α müstəvisinin kəsişmə nöqtəsi Аα tapılır. Tapılan В və Аα
nöqtələrindən çəkilən an düz xətti а düz xəttinin α müstəvisi üzərində proyeksiyası
olur. Göstərilən sxem üzrə məsələnin həlli, kifayə qədər mürəkkəblik tələb edir.
Qurma əməliyyatını asanlaşdırmaq və məsələnin həllini sadələşdirmək məqsədi
ilə, düz xətlə müstəvi arasındakı bucağı aşağıdakı üsullada tapmaq olar (şək. 109)
0
0 0 0 0
?; , ;
; 90
a a n n
a n
Şək. 108
Şək. 108-dən göründüyü kimi, а düz xətti ilə α müstəvisinə çəkilmiş
perpendikulyar n düz xətti arasındakı ° bucağı (90° - φ0)− yə bərabərdir.
Ona görədə məsələnin həllini aşağıdakı kimi sadələşdirmək olar:
1. düz xətt üzərində istənilən A nöqtəsi götürülür;
2. A nöqtəsindən α müstəvisinə perpendikulyar b düz xətti çəkilir;
105
3. verilən а düz xətti ilə əmələ gətirdiyi γ° iti bucağı təyin edib n düz
xətti çəkilir
4. ° bucağına əsasən axtarılan φ° bucağı tapılır:
φ°=900— °
Göstərilən üsuldan istifadə edilməsi iki mürəkkəb məsələnin а və b düz
xətlərinin α müstəvisi ilə kəsişmə nöqtələrinin qurulması məsələlərinin
həllindən azad olmağa imkan verir.
а düz xətti ilə və α müstəvisi arasında bucağın təyini şək. 109- də
göstərilib. a düz xəttinə mənsub A nöqtəsindən α müstəvisinə perpendikulyar
b düz xətti çəkilir. Horizontal h xətti ətrafında fırladaraq a və b düz xətləri
arasındakı ° bucağı təyin edilir. ° bucağını 90°-yə qədər tamamlayan φ0
bucağı isə, a düz xətti ilə α müstəvisi arasındakı bucağa bərabər olacaqdır.
0 0
' '
'' ''
90
b hb
b f
a
Şək. 109
106
5.2.4. İki müstəvi arasındakı bucaq
İki müstəvi arasındakı bucaq xətti bucaqla , yəni bu müstəvilərə
perpendikulyar çəkilmiş üçüncü müstəvi ilə onların kəsişmə xətləri arasındakı
bucaqla ölçülür.Verilmiş α və β müstəviləri arasındakı φ° bucağın qurulması şək.
110-də göstərilib. Verilmiş α və β müstəviləri arasındakı φ° bucağını təyin etmək
üçün fəzadə ixtiyarı bir A nöqtəsi götürülür. Sonra isı bu A nöqtəsindən n1 düz
xətti α müstəvisinə, n2 isə β müstəvisinə perpendikulyar çəkilir. Qurulan n1 və n2
kəsişən düz xətləri arasındakı φ° bucağı α və β müstəviləri arasındakı bucağa
bərabərdir.
0
1 2
1 2
0 0 0 0
1 2
0
?;
, ;
( ) ,
; ;
; 180 ;
n n
n n
a b
n n
Şək. 110
107
Buna əsasən, məsələni aşağıdakı kimi həll etmək olar:
1. Fəzadə ixtiyarı A nöqtəsi götürülür;
2. А nöqtəsindən uyğun olaraq verilmiş α və β müstəvilərinə m və
n perpendikulyar düz xətlər çəkilir;
3. m və n düz xətləri arasındakı φ° bucağının qiyməti tapılır.
Kompleks çertyojda α və β müstəviləri arasındakı bucaqğın təyini şək.
111-da göstərilmişdir.
0
0 0 0 0
0
?
;
; 180 ;
m n
m n
Şək. 111
A nöqtəsindən verilmiş α və β müstəvilərinə m və n perpendikulyar düz
xətləri çəkilir. Frontal səviyyə xətti ətrafında fürlandırmaqla müstəvilər
arasındakı φ° bucağı təyin edilir.
Təyin edilən φ° bucağını 1800-yə tamamlayan δ° bucağı isə verilmiş α və β
müstəviləri arasındakı bucağa bərabər olacaqdır.
Şəkil 112-də ıki paralel α və iki kəsişən β düz xətlərlə verilmiş iki müstəvi
arasında qalan bucaq aşağıdakı kimi həll edilir.
α və β müstəvilərin uyğun olaraq h1, h2 horizontalı və frontalı f1, f2 çəkilir.
İxtiyarı K nöqtəsindən α və β müstəvilərinə uyğun olaraq e və k
perpendikulyar düz xətləri çəkilir. Bu zaman düz xəttin müstəviyə
perpendikulyarlıq şərtinə əsasən e''⊥ f''1, e'⊥ h'1 və k''⊥ f''2, k'⊥ h'2.olur. e və
108
k düz xətləri arasında qalan ∠γ° bucağıtəyin edilir. Bunun üçün h3 horizontalın
çəkib və onun ətrafında K nöqtəsini fırladaaraq K1 vəziyyətinə gətirilir, bu
zaman △CKD üçbucağı horizontal proyeksiya müstəvisinə paralel vəziyyət
aldığından onun üzərinə həqiqi ölçüsündə – △C'K'1D'
proeksiyalanır. Horizontal h'3 perpendikulyar çəkilən K'O' üzərində fırlanma
mərkəzinin O' proyeksiyası təyin edilir. Tərəfi K'K0 =ZO –ZK bərabər olan
üçbucaq O'K'K0 – dan R fırlanma radiusu təyin edilir.
Axtarılan bucaq ∠ϕ°=∠γ° bərabər olur, belə ki γ° iti bucaqdır.
Şək.112
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Hansı məsələlər metriki məsələlər adlanır?
2. İki nöqtə arasındakı məsafə necə tapılır?
3. Nöqtə ilə düz xətt arasındakı məsafəni tapmaq üçün neçə üsul vardır və bu
üsulların bir-birindən fərqi nədədir?
4. Paralel düz xəttlər arasındakı məsafə necə tapılır?
5. Nöqtə ilə müstəvi arasındakı məsafə necə tapılır?
6. Paralel müstəvilər arasındakı məsafə necə tapılır?
7. .Çarpaz düz xəttlər arasındakı məsafə necə tapılır?
109
8. .İki kəsişən düz xəttlər arasındakı bucaq necə tapılır?
9. .İki çarpaz düz xəttlər arasındakı bucaq necə tapılır?
10. Düz xətlə müstəvi arasındakı bucağı tapmaq üçün neçə üsul vardır və bu
üsullardan hansı sadədir?
11. İki müstəvi arasındakı bucağı tapmaq üçün neçə üsul vardır və bu üsullardan
hansı sadədir?
VI.NÖQTƏLƏRİN HƏNDƏSİ YERLƏRİ
Bir və ya bir neçə müəyyən həndəsi şərti ödəyən elementlərdən əmələ
gəlmiş həndəsi sistemə, nöqtələrin həndəsi yeri deyilir.
Nöqtələrin həndəsi yerini əmələ gətirən həndəsi sistem, verilən həndəsi
şərtdən asılı olaraq düz xətdən, müstəvidən, çevrədən, kürədən, konusdan,
silindrdən və başqa bu kimi həndəsi fiqurlardan ibarət ola bilər.
Elementar həndəsədən aşağıdakılar məlumdur:
1.Müstəvi üzərində iki nöqtədən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi
yeri, həmin nöqtələri birləşdirən düz xətt parçasının ortasından keçən və bu
parçaya perpendikulyar olan bir düz xəttdən ibarətdir.
S müstəvisi üzərində verilən A və B nöqtələrindən bərabər uzaqlıqda duran
nöqtələrin həndəsi yeri şək. 113 –da MN düz xəttilə təsvir olunmuşdur.
2.Bucaq bissektirisası MN, həmin bucağı təşkil edən AB və BC düz
xətlərindən, bucaq müstəvisi üzərində bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi
yeridir (şək. 114).
Şək. 113 Şək. 114
110
3.Bir düz xətt üzərində yerləşməyən üç nöqtədən fəzada bərabər uzaqlıqda
duran nöqtələrin həndəsi yeri, həmin nöqtələrdən təşkil olunmuş üçbucaq
xaricində çəkilən çevrənin mərkəzində, üçbucaq müstəvisinə perpendikulyar
çəkilən düz xətdən ibarətdir.(şək. 115).
Şək. 115
4. Üçbucağın tərəflərindən fəzadə bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin
həndəsi yeri bucaq bissektrisalarının kəsişmə nöqtəsindən, üçbucaq müstəvisinə
çəkilən perpendikulyar bir düz xətdən ibarətdir (şək. 116).
Şək. 116
111
5.Bir-birindən müəyyən məsafədə duran iki nöqtədən,fəzada bərabər
uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi yeri, həmin nöqtələri birləşdirən düz xətt
parçasının ortasından çəkilmiş perpendikulyar bir müstəvidən ibarətdir (şək. 117).
Şək. 117
6.Verilmiş hər hansı bir müstəvidən müəyyən uzaqlıqda duran nöqtələrin
həndəsi yeri, həmin müstəviyə paralel olan iki müstəvidən ibarətdir (şək. 118)
.
Şək. 118
112
7. Bir-birinə paralel olan iki müstəvidən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin
həndəsi yeri, həmin müstəvilər arasındakı məsafəni iki bərabər yerə bölən
nöqtədən, həmin müstəvilərə paralel keçən müstəvidən ibarətdir(şək. 119) .
Şək. 119
8. Bir-biri ilə kəsişən müstəvidən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi
yeri, həmin müstəvilər arasındakı bucağı iki bərabər yerə bölən müstəvidən, başqa
sözlə, bissektor müstəvisindən ibarətdir.
9.Bir-bir ilə kəsişən üç müstəvidən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin
həndəsi yeri, iki nöqtədən keçən düz xətdən ibarətdir. Bu şərtlə ki, bu nöqtələrin
biri verilən müstəvilərin kəsişmə nöqtəsindən, digəri isə verilən müstəvilərə eyni
məsafədən paralel çəkilən müstəvilərin kəsişməsindən ibarətdir.
10.Çevrə, yerləşdiyi müstəvi üzərində verilmiş nöqtədən, yəni onun
mərkəzindən bərabər uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi yeridir.
11.Kürə, verilmiş nöqtədən, yəni onun mərkəzindən fəzada bərabər
uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi yeridir.
12.Düz daiəvi silindr, verilmiş düz xətdən, yəni onun oxundan müəyyən
uzaqlıqda duran nöqtələrin həndəsi yeridir.
Digər tərəfdən düz dairəvi silindr, verilmiş düz xətdən, yəni onun oxundan
müəyyən uzaqlıqda duran və ona paralel olan düz xətlərin həndəsi yeridir.
13.Düz dairəvi konus, verilmiş düz xətlə, yəni konusun oxu ilə müəyyən φ
bucağı təşkil edən düz xətlərin həndəsi yeridir (şək. 120).
113
Şək. 120
14. Düz dairəvi konusun oxuna perpendikulyar çəkilən müstəvi ilə (900 –φ)
bucağı təşkil edən və bir nöqtədən keçən düz xətlərin həndəsi yeri konus səthindən
ibarətdir(bax şək. 120).
15. Düz dairəvi konus səthinə çəkilən toxunan müstəvilər, konusun oxu ilə
φ bucağı konusun oxuna prerpendikulyar olan müstəvi ilə isə (900 –φ) bucağı
təşkil edir (bax şək. 120).
Məsələ 1.AB düz xətt parçasının uc nöqtələrindən bərabər uzaqlıqda duran
α müstəvisi üzərində nöqtələrin həndəsi yerin qurmalı.
Həlli: Axtarılan həndəsi yer AB düz xətt parçasının ortasından keçib ona
perpendikulyar β müstəvisi ilə α müstəvisinin kəsişmə xəttidir.
Qurma əməliyyatı aşağıdakı kimidir:
1) verilən AB düz xətt parçasını K nöqtəsində iki bərabər hissəyə bölürük;
2) həmin nöqtədən düz xəttə perpendikulyar β müstəvisi keçiririk;
3) α və β müstəvilərin kəsişmə xətti qururuq.
Məsələ 2. AB düz xətt parçasının uc nöqtələrindən fəzada bərabər uzaqlıqda
duran nöqtələrin həndəsi yerin qurmalı.
Həlli: Axtarılan həndəsi yer AB düz xətt parçasının ortasından keçib ona
perpendikulyar müstəvidir.
Qurma əməliyyatı aşağıdakı kimidir:
1) verilən AB düz xətt parçasını K nöqtəsində iki bərabər hissəyə bölürük;
2) həmin nöqtədən düz xəttə perpendikulyar müstəvisi keçiririk.
Məsələ 3. CD düz xəti üzərində AB düz xəttin uc nöqtələrindən bərabər
uzaqlıqda duran nöqtəni təyin etməli.
Həlli: Axtarılan nöqtə AB düz xətt parçasının ortasından keçən və ona
perpendikulyar olan β müstəvisi ilə CD düz xəttinin kəsişmə nöqəsidir.
Qurma əməliyyatı aşağıdakı kimidir:
1) verilən AB düz xətt parçasını K nöqtəsində iki bərabər hissəyə bölürük;
114
2) həmin nöqtədən düz xəttə perpendikulyar β müstəvisi keçiririk.
3) CD düz xətti ilə β müstəvisinin kəsişmə xətti qururuq.
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Nöqtənin həndəsi yeri nə deməkdir? 2. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində düz xətdən ibarət
olur? 3. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində müstəvidən ibarət
olur?
4. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində çevrədən ibarət olur?
5. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində kürədən ibarət olur?
6. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində konus səthindən
ibarət olur?
7. Nöqtənin həndəsi yeri nə kimi həndəsi şərtlər daxilində silindr səthindən
ibarət olur?
8. Bucaq bissektrisası həndəsi yer nöqteyi-nəzərcə nə deməkdir?
VII.ÇOXÜZLÜLƏR
Teхniкada, inşaatda və memarlıqda ən çoх rast gəlinən həndəsi fiqurlar
əsasən yan üzlü və əyri səthli olurlar.
Bir-biri ilə kəsişən müstəvilər vasitəsi ilə əhatə olunmuş fəza hissəsi çoxüzlü
adlanır.
Çoxüzlünü hüdudlandıran müstəvilərə onun üzləri deyilir.
Çoхüzlünün yanaşı üzlərinin кəsişməsindən alınan düz хəttə çoхüzlünün
tili, tillərin кəsişməsindən alınan nöqtəyə isə onun təpə nöqtəsi deyilir.
Ən çoх yayılmış çoхüzlülərə misal olaraq prizma, piramida və platon
cisimlər adlanan düzgün qabarıq çoхüzlüləri göstərməк olar.
Oturacağı çoхbucaqlıdan, üzləri isə üçbucaqlılardan ibarət olan və bütün yan
tilləri təpə adlanan ümumi nöqtədən кeçən çoхüzlüyə piramida deyilir (şək. 121).
Piramidanın təpə nöqtəsindən oturacaq müstəvisinə endirilən perpendikulyara
piramidanın hündürlüyü deyilir. Piramidanın oturacağı düzgün çoxbucaqlıdan
ibarət olarsa və onun hündürlüyü oturacağın mərkəzindən keçərsə, belə piramida
düzgün piramida deyilir.
Oturacağı iкi paralel və bərabər çoхbucaqlıdan, yan üzləri isə düzbucaqlı və
ya paraleloqramlardan ibarət olan çoхüzlüyə prizma deyilir (şək. 122). Prizmanın
yan tilləri bir-birinə paralel olur. Prizmanın oturacaqlarından keçən müstəviər
arasındakı məsafə, prizmanın hündürlüyü adlanır.Yan tilləri oturacaqlarına
perpendiкulyar olan prizma düz prizma, tilləri oturacağa mail olan prizma isə
maili prizma adlanır. Oturacağı düzbucaqlı olan düz prizmaya paralelopiped
deyilir. Bütün üzləri кvadrat olan düzbucaqlı paralelopipedə кub deyilir.
115
Oturacaqları bir-birinə paralel olmayan müstəvilər üzərində yerləşən iki üzlə
prizmatik səthdən təşkil olunmuş çoxüzlüyə kəsik prizma deyilir.
Şəк. 121 Şəк. 122
7.1. ÇOXÜZLÜLƏRİN MÜSTƏVİ İLƏ KƏSİŞMƏSİ
Çoхüzlünün müstəvi ilə кəsişməsi nəticəsində çoхbucaqlı alınar. Alınan
çoхbücaqlının görünüşü və vəziyyəti çoхüzlünün formasından, кəsici müstəvinin
növündən və vəziyyətindən asılıdır. Bu çoхbucaqlını iкi üsulla qurmaq olar:
1. Çoхüzlünün tilləri ilə verilmiş müstəvinin кəsişmə nöqtələri qurulur.
Aldığımız bu nöqtələr кəsiкdə alınan çoхbucaqlının təpə nöqtələri olacaqdır.
Çoхüzlünün tilləri düz хətt olduğundan bu məsələnin həlli, düz хətlə müstəvinin
кəsişmə nöqtəsinin qurulmasına çevrilir. Bu üsuldan daha geniş istifadə olunur.
2. Çoхüzlünün üzləri ilə verilmiş müstəvinin кəsişmə хətləri qurulur. Bu
кəsişmə düz хətləri кəsiкdə alınan çoхbucaqlının tərəfləri olacaqdır. Göründüyü
кimi bu məsələnin həlli iкi müstəvinin кəsişmə düz хəttinin qurulması məsələsinə
çevrilir.
Əgər кəsici müstəvi çoхüzlünün tillərinin hamısını кəsərsə nəticədə təpə
nöqtələri çoхüzlünün üzlərinin sayına bərabər olan çoхbucaqlı alınır. Кəsici
müstəvi çoхüzlünün oturacağını və bir tilini кəsərsə, nəticədə üçbucaq alınır.
Кəsici müstəvi çoхüzlünün oturacağını və bir neçə tilini кəsərsə, кəsiкdə alınan
çoхüzlünün təpə nöqtələrinin sayı, кəsişmədə iştiraк edən tillərin sayından iкi ədəd
artıq olacaqdır.
Şəк. 123-də piramida səthinin α frontal proyeкsiyalayıcı müstəvi ilə
кəsişməsindən alınan кəsiyin qurulması göstərilmişdir.
116
1234
AS
BS
DS
CS
Şək. 123
Məsələni həll etməк üçün piramidanın SA, SB, SC və SD tilləri ilə verilmiş
α müstəvisinin кəsişmə nöqtələrini qurmaq lazımdır. Piramidanın hər bir tili düz
хətt olduğundan, məsələnin həlli düz хətlə proyeкsiyalayıcı müstəvisinin кəsişmə
nöqtəsinin təyin olunmasına çevrilir.
Məlumdur кi, düz хətlə proyeкsiyalayıcı müstəvinin кəsişmə nöqtəsinin
bir proyeкsiyası, proyeкsiyalayıcı müstəvinin yığıcı хassəyə maliк izi ilə həmin
düz хəttin eyni adlı proyeкsiyasının кəsişməsi nəticəsində alınacaqdır.
Кəsişmə nöqtəsinin iкinci proyeкsiyası isə nöqtənin düz хətt üzərində olması
şərtinə əsasən qurulacaqdır.
Nəticədə alınan 1, 2, 4 və 3 nöqtələrini oturacaqdaкı işarələrə müvafiq
ardıcıllıqla birləşdirsəк yastı 1243 dördbucaqlını qurmuş oluruq. Bu dördbucaqlı
verilmiş müstəvi ilə piramida səthinin кəsişmə хətti olacaqdır.
117
Altıüzlü düz prizmanın verilmiş α müstəvisi ilə кəsişmə хətlərinin
qurumasına misal olaraq şək. 124-də göstərilmişdir. Burada. prizmanın verilmiş
α müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan кəsiyi prizmanın üzləri ilə ixtiyarı
müstəvinin kəsişmə xəttinin təyininə əsasən qurulmuşdur.
Şək. 124
α müstəvisinin prismanın alt otracağı ilə kəsişməsindən alınan kəsiyi, kəsici
müstəvinin horizontal izi ilə üst-üstə düşür. Həmin xətt üzərində 1və 2 nöqtələri
yerləşir. α kəsici müstəvinin prizmanın qarşıdakı üzünün kəsişmə xəttini tayin
etmək üçün ondan horizontal proyeksiyalayıcı β müstəvisini kecirək. Müstəvinin
prizmanın üzü ilə kəsişməsindən 2 və 3 nöqtələri alınır.
Prizmanın C1D1C2D2 üzündən γ horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi keçirib
onun α müstəvisi ilə b kəsişmə xətti qurulur. Həmin xətt üzərində α müstəvisi ilə
prizmanın üzünün 3 və 4 kəsişmə nöqtələri yerləşir.
E1F1E2F2 üzündən δ horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi keçirib, onun α
müstəvisi ilə b kəsişmə xətti qurulur. Həmin xətt üzərində α müstəvisi ilə
prizmanın üzünün 5 və 6 kəsişmə nöqtələri yerləşir.Tapılan bütün 1, 2, 3, 4, 5 və
6 nöqtələri ardıcıl olaraq birləşdirib, ixtiyarı α müstəvisi ilə çoxüzlünün
kəsişməsindən qapalı fiquru alırıq.
118
7.2. DÜZ XƏTLƏ ÇOXÜZLÜNÜN KƏSİŞMƏSİ
Düz хətt çoхüzlünün səthini кəsdiкdə iкi nöqtə alınır. Bu nöqtələr giriş və
çıхış nöqtələri adlanır. Ümumi halda bu nöqtələri qurmaq üçün aşağıdaкı üç
əməliyyatdan istifadə etməк lazımdır:
1. Verilmiş düz хətdən кöməкçi кəsici müstəvi кeçirilir;
2. Кöməкçi müstəvi ilə çoхüzlü səthinin кəsişməsindən alınan çoхbucaqlı
qurulur;
3. Qurduğumuz çoхbucaqlının tərəfləri ilə verilmiş düz хəttin кəsişmə
nöqtələri tapılır.
Bu nöqtələr verilmiş düz хətlə çoхüzlü səthinin кəsişməsindən alınan giriş
və çıхış nöqtələri olacaq.
Tərsimi həndəsənin bütün məsələlərinin həllində, хüsusi ilə verilmiş düz
хətlə çoхüzlü səthinin кəsişmə nöqtələrini qurduqda, çoхüzlünün formasından,
onun elementlərinin proyeкsiya müstəvilərinə nəzərən tutduğu vəziyyətlərindən
və verilmiş düz хəttin fəzadaкı vəziyyətindən asılı olaraq кəsici müstəvi elə
seçilməlidir кi, məsələnin həlli üçün tələb olunan qurma əməliyyatları mümкün
qədər az və sadə olsun.
Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən piramida səthi ilə iхtiyari m düz
хəttinin кəsişmə nöqtələrini quraq (şəк. 125).
Verilmiş m düz хəttindən кöməкçi frontal proyeкsiyalayıcı müstəvi α
кeçiririк. Bu müstəvinin frontal izi αF yığıcı хassəyə maliк olduğundan həmin iz
düz хəttin m" frontal proyeкsiyası ilə üst-üstə düşəcəкdir.
Piramida səthi ilə кöməкçi α müstəvisinin кəsişməsindən alınan
çoхbucaqlı qurulur. Bu çoхbucaqlını qurmaq üçün onun təpə nöqtələrini qurmaq
кifayətdir. Həmin nöqtələr piramidanın SA, SB, SC və SD tilləri ilə verilmiş α
müstəvisinin кəsişməsi nəticəsində müəyyən edilir.
Məlumdur кi, düz хətlə frontal proyeкsiyalayıcı müstəvinin кəsişmə
nöqtəsinin frontal proyeкsiyası, həmin düz хəttin frontal proyeкsiyası ilə
müstəvinin frontal izinin кəsişmə nöqtəsi olacaq.
Bu qaydaya əsasən SA, SB, SC və SD tillərinin mıstəvinin αF frontal izi ilə
кəsişmə nöqtələrinin 1", 2", 4" və 3" frontal proyeкsiyaları qurulur. Bu
nöqtələrin horizontal proyeкsiyaları (1'2', 4' və 3') isə nöqtənin düz хətt üzərində
olması şərtinə əsasən qurulur. Nəticədə alınan nöqtələrin eyni adlı
proyeкsiyalarını birləşdirərəк, verilmiş piramida səthinin α müstəvisi ilə
кəsişməsindən alınan 1243 fiquru qurulur.
Verilmiş m düz хətti ilə 1243 fiqurunun qarşılıqlı vəziyyəti müəyyən edilir.
m düz хəttinin və 1243 fiqurunin frontal proyeкsiyaları α müstəvisinin yığıcı
хassəyə maliк αF frontal proyeкsiyası üzərində yerləşdiyindən onların hər iкisi α
müstəvisinə mənsubdur.
AB düz хətti 1243 fiqurunun 12 tərəfini E nöqtəsində, 34 tərəfini isə К
nöqtəsində кəsir. Bu nöqtələr verilən düz хəttin piramida səthinə giriş və çıхış
nöqtələridilər.
120
7.3. İki çoxüzlü səthinin kəsişməsi
Umumi halda iki çoxüzlü bir-biri ilə qapalı sınıq fəaza xəttl üzrə kəsişir.
Xüsusi halda bu sınıq xətt iki və daha çox qapalı sınıq xətlərdən ibarət ola
bilər
Çoxüzlülər bir-biri ilə tam və ya qismən kəsişə bilər. Əgər kəsişən
çoxüzlülərdən biri digərinin içərisindən keçirsə, belə kəsişmə tam kəsişmə
adlanır. Əksinə, çoxüzlülərdən biri digərinin yalnız üzlərinin bir qismindən kəsib
keçirsə, başqa sözlə çoxüzlülərin kəsişməsində onların bütün üzləri iştirak
etmirsə, belə kəsişmə qismən kəsişmə adlanır.
Çoxüzlülərin bir-biri ilə kəsişməsindən alınan çoxbucaqlını qurmaq üçün, bu
çoxbucaqlının təpə nöqtələrini qurmaq lazımdır. Bu nöqtələr bir çoxüzlünün
tilləri ilə ikinci çoxüzlünün üzləünün və eləcə də, ikinci çoxüzlünün tilləri ilə
birinci çoxüzlünün üzlərinin kəsişməsindən alınır.
Kəsişmədən alınan çoxbucaqlının təpə nöqtələri bir çoxüzlünün tilləri ilə
digər çoxüzlünün tillərinin kəsişmə nöqtələridir.
Çoxbucaqlının tərəfləri çoxüzlülərin üzlərinin kəsişmə xəttlərindən ibarətdir.
Buradan göründüyü kimi, çoxüzlülərin kəsişməsindən alınan çoxbuçaqlını iki
üsul ilə qurmaq olar:
Tillər üsulu —kəsişmədən alınan çoxbucaqlının təpə nöqtələri birinci
çoxüzlünün tilləri ilə ikinci çoxüzlünun üzlərinin kəsişmə nöqtələr və ikinci
çoxüzlünü tilləri ilə birinci çoxüzlünun üzlərinin kəsişmə nöqtələridir. Burada,
bir tillərə mənsub təyin edilən nöqtəlr ardıcıl olaraq birləşdirilir.
Müstəvilər üsulu — veriləm hər iki çoxüzlülərin üzlərinin bir –biri ilə
kəsişmə xəttinin qurulması.
Kəsişən çoxüzlülərin xüsusiyyətindən asılı olaraq göstərilən üsullar seçilir.
Əgər çoxbucaqlının təpə nöqtələri və tərəfləri uygun olaraq ixtiyarı düz xətlə
proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə nöqtəsi və ixtiyarı müstəvi ilə
proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə xəttinin qurulması ilə təyin edilərsə, qurma
əməliyyatı sadə alınır.
İki piramida səthinin, prizma və piramida, iki prizma səthinin kəsişmə
xəttinin qurulmasıında köməkçi müstəvi olaraq, ixtiyari müstəvidən istifadə
etmək olar:
1) Əgər iki pramida səthinin kəsişmə xətti qurulursa, onda köməkçi
müstəvi pramidanın təpə nöqtəsindən keçməlidir;
2) Əgər pramida və prizma səthlərinin kəsişmə xətti qurulursa, onda
köməkçi müstəvi pramidanın təpə nöqtəsindən keçib prizmanın yan
tillərinə paralel olmalıdır.;
3) Əgər iki prizma səthlərinin kəsişmə xətti qurulursa, onda köməkçi
müstəvi prizmanın yan tillərinə paralel olmalıdır.
Göstərilən müstəvi piramidanın təpə nöqtəsindən keçərsə piramidanın
yan üzlərini təpə nöqtəsində iki kəsişən düz xətt, prizmanın yan tilinə paralel
olan kəsən müstəvi isə onun yan üzlərini yan tillərinə paralel düz xətt üzrə
kəsir.
121
Bu bir sıra hallarda qrafiki qurmanı həcmini azaldür və həmcinin bu
çoxüzlülərdən birinin hansı tıllərinin digər çoxüzlünün üzləri ilə kəsişdiyin
əvvəlcədən təyin edilməsinə imkan verir.
Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən prizma ilə piramida səthinin
kəsişmə xətini qurulmasını nəzərdən keçirək ( şək. 126).
Belə ki, prizmanın üzləri horizontal proyeksiyalayıcı müstəvilərdən
ibarətdir, ona görə də tillər üsulundan istifadə edib SF və SD tilləri ilə prizma
üzlərinin kəsişmə nöqtələri təyin edilir. Kəsişmə nöqtəlrinin hörizontal
proyeksiyaları 1', 2' 4' və 5' həmin tillərin horizontal proyeksiyaları ilə
prizma üzlərinin yığıcı xassəyə malik horizontal proyeksiyalarının kəsişmə
nöqtələridir.
Prizmanın tillərindən yalnız B1B2 tili piramida səthi ilə kəsişir. Kəsişmə
nöqtələri 3 və 6 təyin etmək üçün həmin tildən və pramidanın S təpə
nöqtəsindən keçən horizontal proyeksiyalayıcı α müstəvisi keçiririk.
α müstəvisi piramidanın SFD və SFE üzlərini, S7 və S8 xətləri üzrə
kəsir. Bu xətlərin B1B2 tili ilə kəsişməsindən kəsişmə xəttinin cari
çatışmayan 3 və 6 nöqtələri təyin edilir. Alınan çoxbucaqlı iki qapalı xətlərdən
1-2-3-1 və 3-4-5-6 ibarət olur.
Şək. 126
122
Şək. 127-də verilmuş üçüzlü SABC piramida ilə düzbucaqlı prizmanın
kəsişmə xəttini quraq.
Prizmanın D1E1D2E2 və G1F1G2F2 üzləri frontal proyeksiyalayıcı,
piramidanın isə E1F1E2F2 və D1G1D2G2 üzləri — horizontal
proyeksiyalayıcı olduğundan müstəvi üsulundan istifadə edirik.
Əvəlcə prizmanın üst üzü γ1 müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan kəsiyini
quraq. Kəsikdə alınan üçbucaqda prizmanın yuxarı üzündən kənarda yerləşən 1-
2-3-4 çoxbucaqlı hissəsin qeyd edək
Sonra prizmanın aşağı üzü γ2 müstəvisi ilə pramidanın kəsişməsindən alınan
üçbucaq qurulur. Kəsikdə alınan üçbucaqda prizmanın aşağı üzündən kənarda
yerləşən 5-6-7 və 9-10 çoxbucaq hissəsin qeyd edək
Şək.. 127
123
Belə ki, 4 və 5 nöqtələri eyni zamanda həm piramidanı SBC və prizmanın
qabaq üzünə mənsub olduğundan γ4 müstəvisi ilə üst-üstə düşür, ona görə də 4-5
xətti onların kəsişmə xəttidir. Anoloji olaraq, 1-10 düz xəttt parçası pramidanın
SAB üzü ilə prizmanın qabaq üzünün kəsişmə xəttidir. 7 və 9 nöqtələri prizmanın
arxa, piramidanın isə müxtəlif SAC və SAB üzlərinə mənsubdur. Ona görə də
prismanın arxa üzü ilə pramidanın SA tilinin kəsişmə 8 nöqtəsi təyin edilir.
Kəsişmə nöqtəsi 8-in horizontal 8' proyeksiyası prmidanın S'A' tili ilə
proyeksiyalayıcı müstəvinin yığıcı xassayə malik izi γ3 ilə üstt-üstə düşən
prizmanın arxa müstəvisinin kəsişmə nöqtəsidir.
Prizmanın arxa üzü frontal səviyyə müstəvisidir.
Qapalı 1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-1 fəza sınıq xətləri verilmiş çoxüzlü səthlərinin
kəsişmə xəttidir.
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Çoxüzlü nəyə deyilir?
2. Çoxüzlünün tili nədir?
3. Prizma nəyə deyilir?
4. Düz prizma və maili prizma nəyə deyilir?
5. Paralelopiped nədir?
6. Kub nəyə deyilir?
7. Piramida nəyə deyilir?
8. Düzgün piramida nədir?
9. Çoxüzlünün elementlərinin görünməyən hissələri necə ştrixlənir (misal
göstərin)?
10. Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən üçüzlü prizmanın kompleks
çertyojunun tərtib olunma qaydalarını göstərin.
11. Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən üçbucaqlı piramidanın kompleks
çertyojunun tərtib olunma qaydalarını göstərin.
12. Çoxüzlünün müstəvi ilə kəsişməsindən nə alınır?
13. Piramida səthi ilə proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişməsinin yerinə yetirilməsi
ardıcıllığını deyin.
14. Prizma iə proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişməsinin yerinə yetirilməsi
ardıcıllığını deyin.
15. Düz xətlə çoxüzlünün kəsişməsindən nə alınır?
16. Düz xətlə çoxüzlünün kəsişməsini qurarkən kəsici müstəvi necə seçilməlidir?
7.4. ÇOXÜZLÜLƏRİN AÇILIŞI
Metalların qaynaq olunmaları və eləcə də müxtəlif üsullarla kəsilməsi
hazırkı istehsalatda geniş yayılmışdır. Bu səbəbə görə də müasir mexnika, maşın-
mexanizmlərin və tikintilərin qabaqcadan hazırlanmış ayrı-ayrı elementlərinin
124
bir-biri ilə quraşdırılmasından əmələ gəlməsini mümkün edir. Adətən, bu
elementlər vərəq materiallarından hazırlanır və özləri də müəyyən məqsədə
əsasən biçilirlər. İstənilən formada olan mürəkkəb fəza fiqurları ayrı-ayrı
hissələrdən hazırlana bilər. Bu hissələr də çoxüzlülərin və ya sadə səthlərin
üzlərindən əmələ gələ bilər.
Texnikanın tələbatını nəzərə alaraq, müxtəlif çoxüzlülərin vərəq materialdan
hazırlanmasından bəhs edək.
Çoxüzlülərin üzlərinin müstəvilərdən ibarət olduğu məlumdur. Yastı
fiqurlardan ibarət olan bu üzlər, çoxüzlünün səthi üzərində yerləşdiyi ardıcıllıqla,
hər hansı bir müstəvi üzərinə salınarsa, baxdığımız çoxüzlü səthinin açılışını almış
olarıq. Çoxüzlünü təşkil edən üzlərin, bir üzündən keçən müstəvi və ya hər hansı
bir müstəvi üzərinə salınmasından alınan yastı fiqura çoxüzlü səthinin açılışı
deyilir.
Həmin yastı fiqurları qurmaqdan ötrü, onlara daxil olan bütün elementlərin əsil
boylarını bilmək lazımdır. Buna görə də açılışları qurduqda, proyeksiyaları ilə
verilmiş elementlərin əsil boylarını tapmaq üçün tərsimi həndəsədə işlədilən
istənilən metodlardan istifadə etmək lazım gəlir.
Açılışların qurulmasını ən sadə çoxüzlülərin, yəni piramida ilə prizma
səthlərinin açılışları ilə başlayaq.
Açılışların qurulmasında səthin hər bir nöqtəsinə açılışda müəyən nöqtə
uyğun gəlir, səthin açılışının sahəsi isə açılan səthin sahəsinə bərabər olacaqdır.
Sətlər arasında elə sətlər mövcudurlar ki, onları əyilmə yolu ilə kəsilmədən,
tikişsiz bir müstəviyə yerləşdirmək mümkün, (məsələn silindr və konus səthləri)
olur. Belə səthlər açılan səthlər adlanır. Əks halda səthlər açılmayan səth (
məsələn kürə və tor səthi) adlanır.
Açılışın əsas xüsusiyyətlərinə aşağıdakılar aiddir:.
1.Səthin iki uyğun xəttinin uzunluğu və onun açılışdakı uzunluğları bir-
birinə bərabərdir;
2. Səth üsərində yerləşən xətlər arasındakı bucaq aşılıçda uyğun xətlərin
arasındakı bucağa bərabərdir. Bununla yanaşı, səthdə paralel düz xəttlər aşılıçda
da paralel düz xətlərə uyğundur;
3. Səth üzərində düz xətt onun açlışındada də düz xətdir;
4. Səthdə qapalı fiqurun sahəsi açılışda həmin fiqurun sahəsinə bərabərdir.
5. Səthə aid olan və səthin iki nöqtəsini birləşdirən xətt səthin açılışdakı xəttə
uyğun gələrsə, onda həmin xətt geodeziya xəttidir, yəni iki nöqtə arasında ən qısa
məsafədir.
Açılışlar aşağıdakı növlərə ayrılırlar:
1. dəqiq — çoxüzlülər üçün;
2. təqribi — açılan əyri səthlər üçün;
3. şərti — açılmayan əyri səthlər üçün.
Çoxüzlülərin açılışından müasir texnikada çox geniş istifadə edilir.
Çoxüzlülərin təşkil edən üzlərin və oturacaqların bir bir müstəvi üzərinə
salınmasından alınan fiqura onun açılışı deyilir.
Çoxüzlülərin açılışını vermək üçün, çoxüzlünü təşkil edən elementlərin
hamısının həqiqi boyu məlum olmalıdır.
125
Çoxüzlülərin açılışını qurmaq üşün aşağıdakı üsullardan istifadə olunur.
1.Üçbucaqlar üsulu.
2.Normal kəsiyin qurulması üsulu.
3.Diyirlətmə üsulu.
Bu üsulları yaxşı mənimsəmək üçün açılışlarının qurulması nisbətən sadə
olan üçbucaqlı prizma və piramidanın səthlərinin açılışını nəzərdən keçirək.
7.4.1. Üşbucaqlar üsulu
Piramida səthinin açılışı- müstəvi fiqurdurdan ibarət olub, hər hansı müstəvi
üzərində salınmış oturaçaqdan və tillərdən ibarətdir. Aşağıdaı şək. 128- də
piramida çəthinin açılışının üçbucaqlar üsulu ilə qurmasına baxaq. SABC
piramida frontal proyeksiyalacı α müstəvi ilə kəsişir. SABC piramida səthinin
açılışınını və açılış üsərində kəsişmə xətlərini qurmalı. Piramida S''A''B''C''
frontal proyeksiyası üzərində, α müstəvisinin izinin A''S'', B''S'' və C''S'' düz
xətt parçalarını uyğun olaraq kəsdiyi E'', D'', və F' nöqtələrini qeyd edək.
Nöqtələrin vəziyyətini təyin edib onları bir-birilə birləşdiririk.
Şək. 128
126
Pıramida tillərinin üzunluğlarını aşağıdakı kimi təyin edilir. Piramida tillərinin həqiqi boylarını tapmaq üçün proyeksiyalayıcı ox
ətrafında fırlandırma üsulundan istifadə edirik. Bu məqsədlə piramidanın S təpə
nöqtəsindən H müstəvisinə perpendikulyar olan ί fırlanma oxunu çəkirik. Sonra
SA, SB və SC tillərini bu ox ətrafında fırladaraq F müstəvisinə paralel vəziyyətə
gətiririk.
Piramida tillərinin həqiqi böyları tillərin S''A''1, S''1B''1 və S''C'' frontal
proyeksiyalarına bərabəərdir. Onların üzərində D''1, E''1, F''1 nöqtələrini qeyd
edirik. Piramidanın ABC oturacağı, H müstəvisinə paralel müstəvi üzərində
yerləşdiyi üçün onun horizontal proyeksiyası ∆A'B'C' bərabər həqiqi ölçüdə
proyeksiyalanır.
Açılışın qurulma ardıcıllığı aşağıdakı kimidir.
Çertyojda istənilən yerdə S0 nöqtəsini qeyd edirik. Bu nöqtədən n düz xəttini
çəkib S0A0 =S''A''1 düz xətt parçasın qeyd edirik. ABS=A0B0S0 üçbucaqin
tərəflərinin qurulması kimi piramidanın hər üç tilləri qurulur. Bunun üçün S0 və
A0 nöqtələrindən uyğun olaraq R1=S''B''1 və r1 =A'B' radiuslu qövslər çəkilir.
Həmin qövslərin kəsişməsindən B0 nöqtəsi təyin edilir.
Bu qayda ilə ardıcıl olaraq B0S0C0 və C0S0A0 üzləri də qurulur. Piramidanın
A0B0C0 oturacağı B0C0 tərəfinə quraşdırıb, onun tam açılışını alırıq (şək. 129).
Şək.129
127
Piramida səthinin α müstəvisi ilə kəsişməsindən alınan xətləri quraq.
Bunun üçün piramidanın S0A0, S0B0 və S0С0, tilləri üzərində uyğun olaraq E0, D0
və F0 nöqtələrini qeyd edirik. Bu zaman D0 nöqtəsi S0A0 düz xətt parçasının
S''D''1 radiuslu qövslə kəsişməsindən alınır. Bu qayda ilə E0=S0B0 ∩ S''E''1,
F0=S0C0 ∩S''F''1 nöqtələri alınır.
7.4.2. Normal kəsiyin qurulması üsulu
Oturaçağı H müstəvisi üzərində yerləşən altıüzlü düz prizmanın acılışını
quraq (şək. 130,a). Bu prizmanın tilləri H müstəvisinə perpendikulyar
olduğundan, tillərin frontal proyeksiyaları onların həqiqi boyuna bərabər
olacaqdır. Verilmiş prizmanın alt oturacağı H müstəvisi üzərində, üst oturacağı
isə ona paralel olduğundan alt və üst oturacaqların horizontal proyeksiyaları da
özlərinə bərabər olacaqdır. Verilmiş prizmanın yan üzlərini bir-birinin ardınca F
müstəvisininin üzərinə salaq. Prizmanın BFKC üzünü açılışda göstərmək üçün
CK tilini frontal proyeksiya müstəvisinin üzərində götürüb, sonra alt oturacağın
BC tərəfini, ölçüb x oxu üzərində qeyd etməklə B nöqtəsini qururuq. B-dən CK-
ya paralel çəkməklə BFKC üzünü açılışda təsvir etmiş oluruq. Prizmanın o biri
üzləri də bu qayda ilə qurulur.Yuxarıda qeyd etdik ki, prizmanın alt və üst
oturacaqlarının horizontal proyeksiyaları özlərinə bərabərdir, ona görə də
oturacaqları özlərinə bərabər ölçüdə, prizmanın istənilən üzündə açılışa
quraşdırırıq (şək. 130b).
a) b)
Şək. 130
Şək. 131,a –da oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən piramidanın açılışı
göstərilmişdir. Piramidanın oturacağı H müstəvisi üzərində yeləşdiyi üçün onun
horizontal proyeksiyası həqiqi ölçüdə proyeksiyalanır. Piramidanın tillər isə
frontal proyeksniya müstəvisinə paralel olduğu üçün onun tillərinin frontal
proyeeksyaları da həqiqi uzunluqda proyeksiyalanır (şək. 131,b).
128
.
Şək. 131
Yan tilləri səviyə xəttindən ibarət prizma səthinin açılışının qurulmasında
normal kəsiyn qurulması üsulundan istifadə edilməsi əlverişlidir. Bu üsulun
istifadəsi maili üçbucaqlı ABCDEF prismanın açılışının qurulması misalında
göstərilmişdir (şək. 132).
a) b)
Şək. 132
129
Məsələnin həlli verilən prizmanın yan səthinin açılışının qurulmasından
başlanılır.
Çertyojdan göründüyü kimi, prizmanın tilləri F müstəvisinə paraleldir.
Prizmanı yan tilinə perpedikulyar γ müstəvi ilə kəsək. Prizmanın belə müstəvi ilə
kəsyi normal adlanır.Təqdim edilən müsalda belə kəsik 123 üçbucaqıdır.
Proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə üsulunu köməyi ilə H müstəvisin yeni H1//
γ əvəz etməklə normal kəsiyin həqiqi ölçüsün təyin edək.
Normal kəsiyin tərəflərinin və prizmanın yan tillərinin uzunluğun bilərək,
prizmanın hər bir üzünün və hər iki oturacaqların həqiqi ölçüsün təyin edib və
onun açılışını qurmaq mümkü olur.
Bunun üçün:
1. İxtiyarı horizontal düz xətt üzərində 123 üçbucaqın konkurent 1020, 3010
tərəflərinə qeyd edilir (normal kəsik düzləndirilir);
2. 10, 20, 30, 10 nöqtələrindən şaquli düz xətlər çəkib onların üzərində bərabər
1A,1D, 2B və s. parçaları 10А0, 10D0, 20B0 və s.qeyd edib, onların γ müstəvisinə
nəzərən yerləşməsin (sağ vəya sol) nəzərə alaraq, pizmanın yan tillərinə bərabər
çəkilir.
3. Alınan А0, В0, С0, А0 və D0, E0, F0, D0 nöqtələri düz xətt parçası ilə
birləşdirilir.
Müstəvi А0В0С0А0D0E0F0D0 fiqurun normal kəsiyin quulması üsuli ilə
prizmanın yan səthinin açılışını ifadə edir.
Prizmanın tam açılışını almaq üçün prizmanın yan səthinin açılışına
prizmanın oturacağları —А0В0С0 və D0E0F0 quraşdırılır (şək. 132b).
7.4.3. Diyirlətmə üsulu
Bu üsulda oturacaqları proyeksiya müstəvilərindən birinə, yan tilləri isə
digər proyeksiya müstəvisinə paralel olan prizma səthinin açılışında geniş istifadə
edilir.
Şək. 133-də verilmiş üçbucaqlı maili prizmanın açılışının qurulması
göstərilmişdir. Prizmanın ABC və DEF oturacaqları horizontal proyeksiya
müstəvisinə paraleldir, ona görə də onun üzərinə həqiqi ölçüdə proyeksiyalanırlar.
Yan tilləri AD, BE və CF frontal proyeksiya müstəvisinə paraldir, ona görə
də onun üzərinə həqiqi ölçüdə proyeksiyalanırlar.
AD tilindən F proyeksiya müstəvisinə paralel a müstəvisi keçirilir.
Prizmanı tili ətrafında ardıcıl olaraq döndərilib, a müstəvisi üzrə sürüşdürülür.
Prizmin üzləri α müstəvisi üzərinə salınaraq, onun üzərində əks edilirsə, onda
onun bütün üzlərini onun üzərinə salıb, prizmanın bütün üzlərini birləşdirərək,
onun yan səthinin açılışını əldə edirik.
Məsələni həll etmək üçün bu əməliyyatı ardıcıl olaraq aparaq:
Prizma səthin AD tili üzrə kəsib ADEB üzü xəyalı olaraq AD (A′′D′′) tili
ətrafında döndərilir.
130
1. Üüzün В0Е0 müstəvi a üzərinə salınmış vəziyyətin təyin etmək üçün,
В′′nöqtəsindən A′′D′′ (A0D0) perpendikulyar şüa çəkib və A′′ mərkəzindən, A′B′
radiuslu qövs çəkib onun üzərində B0 nöqtəsin alırıq. B0 nöqtəsindən A′′D′′
paralel və bərabər В0Е0 düz xətti çəkilir.
2. В0Е0 üzün açılmış vəziyyətin yeni ox qəbul edib, onu a müstəvisi üzərinə
düşənə qədər BEFC ətrafında fırladılır. Bunu üçün С′′ nöqtəsindən üstə salınan
üzə perpendikulyar şüa, nöqtədən isə B′C′ radiuslu vətər— В0 çəkilir. Qövsün
şüa ilə kəsişməsindən С0.nöqtəsi təyin edilir. С0 nöqtəsindən В0Е0 paralel С0F0
düz xətti çəkilir. Anoloji olaraq A0D0 üzün yeni vəziyyəti təyin edilir.
3. А′′ (А0), В0, С0, А0 və D′′ (D0), E0, F0, D0 nöqtəlrini düz xəttlə birləşdirib
prizmanın yan səthinin açılışın —fiqur А0В0С0А0D0E0F0D0 alırıq.
Prizmanın tam açılışını qurmaq üçün, prizmanın yan səthini əhatə edən sınıq
xətlərin istənilən düyün nöqtəsindən verilən prizmanın oturacağına konkuгent
olan fiqur (məsələn, B0C0A0 və E0F0D0 übuçaqları ) qurulur.
Şək. 133
131
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Dəqiq açılışları qurmaq üçün hansı üsul mövcuddur?
2. Normal kəsiyin qurulması üsulunun mahiyyəti nədir, hansı halda
istifadə olunur?
3. Diyirlətmə üsulunun mahiyyəti nədir, hansı halda istifadə olunur?
4. Üçbucaqlar üsulunun mahiyyəti nədir, hansı halda istifadə olunur?
VIII. ƏYRİ SƏTHLƏR
Əyri səthlər doğuran adlanan xəttin müəyyən qanun üzrə hərəkəti nəticəsində
yaranır. Doğuran istiqamətləndirici adlanan xətt üzrə sürüşür.
Doğüranın formasından asılı olaraq əyri səthlər iki qrupa bölünür:
1) Düz xətli səthlər. Bu səthlərin doğuranı düz xətdən ibarətdir.
2) Əyri xətli səthlər. Bu səthlərin doğuranı isə əyri xətt olur.
Əyri xətli səthlərdən təcrübədə ən çox işlənən fırlanma səthləri, silindrik və
konusvarı səthlərdir. Bu səthlər düz xətli doğuranın tərpənməz ox ətrafında
fırlanmasından yaranır. İstiqamətləndirici əyri üzrə öz-özünə paralel hərəkət edən
düz xətli doğuranın əmələ gətirdiyi səthə silindrik səth deyilir. İstiqamətləndiricisi
çevrə olan silindrik səthlərə daha çox rast gəlinir.
Silindrik səthin bir-birinə paralel iki müstəvi ilə kəsişməsindən alınan fiqura
silindr deyilir. Doğuranları oturacaq adlanan çevrə müstəvisinə perpendikulyar
olan silindr düz dairəvi silindr adlanır.
Düz xəttin tərpənməz nöqtədən keçmək şərti ilə istiqamətləndirici əyri xətt
üzrə sürüşməsindən alınan səthə konusvarı səth deyilir. Belə səthin doğuranı
hərəkət zamanı həmişə tərpənməz bir nöqtədən keçir. Bu nöqtə konusvarı səthin
təpə nöqtəsi adlanır. Konusvarı səthin müstəvi ilə kəsişməsindən alınan fiqur
konus adlanır. Səthin təpə nöqtəsini oturacaq adlanan çevrənin mərkəzi ilə
birləşdirən düz xətt çevrə müstəvisinə perpendikulyar olarsa belə konusa düz
dairəvi konus deyilir.
Düz xətli doğuranın səthin tərpənməz ox ətrafında fırlanmasından yaranan
səthə fırlanma səthi deyilir.
Fırlanma səthləri doğuran və istiqamətləndirici ilə verilir.
Düz xəttinin fırlanma oxuna nəzərən vəziyyətindən asılı olaraq müxtəlif
səthlər yaranır:
— a düz xətt fırlanma i oxuna paralel olduqda silindrik fırlanma səthi
yaranır (şək. 134);
— a düz xətti fırlanma i oxu ilə kəsişdikdə konus fırlanma səthi yaranır(şək.
135);
132
Şək. 134 Şək 135 Şək. 136
Düz xəttin fırlanma oxu ilə kəsişmə nöqtəsi S konusun təpə nöqtəsi adlanır.
Konus səthinin təpə nöqtəsindən müxtəlfi tərəflərdə yerləşən iki müstəviyə
malikdir. Bu səth eyni zamanda düz dairəvi konus adlanır.
— a düz xətti i fırlanma oxuna nəzərən çarpaz olduqda — birsahəli fırlanma
hiperboloid səthi yaranır (şək. 136);
Bu səthin oçerki hiperboladır.
Bir xətli hiperboloidin fırlanma səthi iki dəfə düz xətli sətdən ibarətdir.
Hiberboloid fırlanma səthinin hər bir S nöqtəsindən keçən merdianal
müstəviyə nəzərən simmetrik olan iki düz xətt keçirmək olar.
Düz xətlərin hər biri səthin doğuranlarıdır.
Beləliklə, hiperboloid fırlanma səthi iki doquranlar ailəsindən ibarətdir.
Eyni ailəvi doğuranı — çarpaz düz xətlər, müxtəlif ailəvi doğuranları —
kəsişən düz xətlərdir.
Hıperboloid fırlanmanın bu xüsusiyyətindən məşhur rus mühəndisi
V.Q.Jukov (1853-1939), tərəfindən məharətlə istifadə edilərək, polad
qüllələrinin əlamətdar konstruksiyasını yaratmışdır (bunların 200-dən çoxu
tikilib). Onlar konstruksiyanın sadəliyi, az metal sərfi və möhkəmliyi ilə
fərqlənir. Onun məşhur yaradıcılığından biri - 150 metr yüksəklikdə və 40
metr diametrində (1922-ci ildə tikilmiş) bir radioqüllə Moskvada
Şabolovkada yerləşir. Qüllə altı 25 metr hündürlüklü hiperboloid bölmələrdən
ibarətdir. Qərb mütəxəssisləri bu qüllənin təkmilləşdirilməsini yüksək
qiymətləndirdilər və Dünya İrsi Siyahısına layiqincə daxil olduğunu
tanımışlar.
133
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Hansı səthlər fırlanma səthi adlanır?
2. Hansı müstəvi meridional müstəvi adlanır?
3. Fırlanma səthinin paralel və meridianı nəyə deyilir?
4. Fırlanma səthinin baş meridian nəyə deyilir?
5. Fırlanma səthinin ekvator və boğazı nəyə deyilir?
6. Düz xəttin fırlanmasından hansı səthlər yaranır?
7. Birsahəli fırlanma hiperboloid səthinin hər bir nöqtəsindən neçə düz xətli
doğuran keçirmək olar?
8. Çevrənin diametrlərinin birinin ətrafında fırlanmasından hansı səth yaranır?
9. Çevrənin mərkəzindən keçməyən düz xətt ətrafında fırlanmasından hansı səth
yaranır?
10. Ellipsin oxu ətrafında fırlanmasından hansı səth yaranır?
11. Parabolanın oxu ətrafında fırlanmasından yaranan səth necə adlanır?
12. Hiperbolanın həqiqi və minimum oxları ətrafında fırlanmasından hansı
səthlər yaranır?
8.1. ƏYRİ SƏTHİN MÜSTƏVİ İLƏ KƏSİŞMƏSİ
Əyri səthin müstəvi ilə kəsişməsi nəticəsində yastı əyri alınır. Bu əyri həm
səthə, həm də müstəviyyə mənsub olur. Kəsişmə nəticəsində alınan əyrinin
müstəvi üzərində əmələ gətirdiyi fiqura kəsik deyilir.
Silindr və konusun müstəvi ilə kəsişməsindən alınan əyri səthin doğuranları
ilə verilən müstəvinin kəsişməsindən alınan nöqtələrin köməyi ilə qurulur.
Kəsişmə əyrisinin qurmaqdan ötrü köməkçi kəsən müstəvilərdən də istifadə edilir.
Müstəvilərdən başqa, yalnız siindrik səth proyeksiya müstəvisinə düz
xəttə poyeksiyalana bilər.
Şək. 137-də silindrik fırlanma səthinin ixtiyarı vəziyyətli α müstəvisi ilə
kəsişməsi göstərilib.
Müstəvi silindr səthini ellips üzrə kəsir. Horizontal proyeksiya müstəvisinə
ellips çevrəyə, frontal proyeksiya müstəvisinə isə — ellipsə proyeksiyalanır.
Kəsişmə xəttinin frontal proyeksiyasın təyin etmək üçün kəsişmə xəttinə mənsub
bir sınra nöqtələrin frontal proyeksiyalarını, nöqtənin müstəvi üzərində olması
şərtinə əsasən təyin etmək lazımdır.
Əvəlçə kəsişmə xəttinin yuxarı və aşağı nöqtələrinin proeksiyalarını (A və B
nöqtələri) tapaq. Bu nöqtələr horizontal proyeksiya müstəvisinə perpendikulyar
və silindr səthinin oxundan keçən β müstəvisi üzərində (α müstəvinin eniş xətti
üzərində) yerləşir.
135
Kəsişmə xəttinin silindr səthinin qabaq hissısində yerləşən hissəsinin
frontal proyeksiyada görünən, əks tərəfdə isə görünməyən olacaqdır.
Görünən hisənin sərhədləri silindr səthinin baş merdian müstəvisində (γ
müstəvisində) yerləşən C və D nöqtələridir. Bu nöqtələrin a müstəvisinə mənsub
olması şərtinə əsasən onların frontal proyeksiyaları tapılır.
Kəsişmə xəttinə mənsub olan digər nöqtələrin frontal proyeksiyaları, anoloji
olaraq tapılır.
Şək. 138-də proyeksiyalayıcı α müstəvisi silindr səthinin bütün
doğuranlarını kəsir. Kəsişmə xətti—ellipsdir. Onun frontal proyeksiyası e"—
kəsici müstəvinin horizontal izi άH ilə üst-üstə düşən düz xətt parçasıdır.
Horizontal proyeksiyası e' — çevrədir.
Şək. 139-da horizontal proyeksiyalayıcı müstəvi ά silindrik səthin
doğuranlarına paraleldir, ona görədə müstəvi silindr səthini a və b döğuranları
üzrə kəsir. Bu doğuranların horizontal proyeksiyaları bu müstəvinin horizontal izi
ilə silindrin horizontal proyeksiya müstəvisidə alınan proyeksiyası, cevrə ilə
kəsişmə nöqtələrinin üzərinə düşür.
Şək. 140, 141 və 142-də kəsici müstəvinin konus səthinin doğuranlarına
nəzərən müxtəlif vəzyyətlərdə kəsişməsi variantları gösrtərilmişdir.
1.Müstəvisi konusun oxuna perpendikulyar olmayıb onun bütün
doğuranlarını kəsərsə, α1 müstəvisi konus səthini ellips boyunca kəsir (şək. 140).
2. Xüsusi halda α2 müstəvisi konusun oxuna pendikulyar olduqda, o konus
səthini çevrə üzrə kəsir (şək. 140).
3.Əgər β1 müstəvisi konusun doğuranlarından birinə parale lolarsa, onların
kəsişməsi nəticəsində parabola alınar (şək. 141).
4.Əgər β2 müstəvisi konusun təpə nöqtəsindən keçərsə, o konus səthini iki
doğurannı üzrə kəsir və kəsikdə bərabəryanlı üçbucaq alınır (şək. 142)..
5.Əgər γ müstəvisi konusun iki doğuranlarına paralel olarsa, onların
kəsişməsi nəticəsində hiperbola alınar (şək. 142).
Frontal proyeksiyalayıcı müstəvi ilə kürə səthinin kəsişməsinə baxaq
(şək.143).
İstənilən müstəvi tor səthini çevrə üzrə kəsir. Çevrə frontal proyeksiya
müstəvisinə müstəvinin frontal izi ilə üst-üstə düşən çevrənin diametrinə bərabər
olan А"В" düz xətt parçasına proyeksiyalanır. Horizontal proyeksiya
müstəvisində çevrə ellipsə proyeksiyalanır.
Ellipsin böyük oxu çevrənin diametrinə, başqa sözlə çevrənin frontal
proyeksiyasının uzunluğuna bərabər, kiçik oxu isə AB düz xətt parçasının
horizontal proyeksiyasına bərabərdir. Е1 и Е2 nöqtələri (əyrinin görünən
sərhədləri) kürənin ekvatorunda yerləşir.
136
Şək. 140 Şək.141 Şək. 142'
Şək. 143-də horizontal proyeksiyalayıcı γ müstəvi ilə tor səthinin kəsişmə
xəttinin qurulması göstərilmişdir.
Kəsici müstəvi horizontal proyeksiyalayıcı olduğundan, kəsişmə xəttinin
horizontal proyeksiyası müstəvinin horizontal izi ilə γH üst-üstə düşən А'В' düz
xətt parçasına proyeksiyalanır. Səthə с1, с2, с3…с6 paralellərini keçirməklə və
onların üzərində kəsişmə xəttinə mənsub olan 1, 2, 3…9 nöqtələri tapmaqla
kəsişmə xəttinin frontal proyeksiyası qurulur.
A, B, C və D nöqtələri kəsişmə xəttinin xarakter nöqtələrdir. A və B (qövsün
başlanqıc və son nöqtəlri) nöqtələri torun oturacağında yerləşir. C nöqtəsi (ən
yüksək nöqtədir) kəsişmə xəttinin horizantal proyeksiyasına toxunan c6 paralleli
üzərində yerləşir. D nöqtəsi (əyrinin görünən sərhəddi) səthin frontal meridianı
üzərində yerləşir.
137
Şək.143
8.1.1. Кonus səthi ilə müstəvinin кəsişməsi
Düz dairəvi кonus səthini müstəvi ilə кəsdiкdə aşağıdaкı хətlər alına bilər:
-müstəvi кonusun təpə nöqtəsindən кeçib oturacağını кəsdikdə, кəsiкdə
bərabərtərəfli üçbucaq;
-müstəvi кonusun oхuna perpendiкulyar olduqda, кəsiкdə çevrə;
-müstəvi кonusun oхu ilə 900 - dən fərqli bucaq əmələ gətirib, кonusun heç
bir doğuranına paralel olmadıqda, кəsiкdə ellips;
-müstəvi кonusun yalnız bir doğuranına paralel olduqda, кəsiкdə parabola;
-müstəvi кonusun iкi doğuranına paralel olduqda, кəsiкdə hiperbola.
Düz dairəvi konus səthinin frontal proyeksiyalayıcı müstəvi ilə
kəsişməsindən alınan əyrinin qurulmasına baxaq (şək. 144).
Berilmiş α müstəvisi konus səthinin oxu ilə ixtiyarı bucaq təşkil etdiyi üçün
həmin səthi ellips üzrə kəsəcəkdir.
Axtarılan ellipsin frontal proyeksiyası düz xətt parçası olub α müstəvisinin
138
yığıcı xassəyə malik frontal proyeksiyası üzərinə düşəcəkdir. Kəsikdə alınan
əyrinin horizontal proyeksiyası isə ellips olacaqdır.
Kəsimdə alınan əyri konus səthinin doğuranlarının verilmiş α müstəvisi ilə
kəsişməsindən alınan nöqtələrin köməyi ilə qurulyr. α müstəvisi konus səthinin
frontal proyeksiyasını ğörünən doğuranlarını A və B nöqtələrində kəsir . AB düz
xətt parçası axtarılan ellipsin böyük oxu olub, F müstəvisinə paralel yerləşir.
Ellipsin oxları bir-birinə perpendikulyar olub, CD kiçik oxu AB düz xətt parçasını
iki bərabər hissəyə bölüb, F müstəvisinə perpendikulyar olacaqdır. D və C
nöqtələrinin frontal proyeksiyaları А"В" proyeksiyası üzərində yerləşib, onu iki
bərabər hissəyə böləcəkdir.
,F Ф ?
AB böyük ox,
FCDABCD ;3 CS DS 4
CD -kiçik ox.
Şək. 144
139
Həmin nöqtələrin horizontal proyeksiyalarını qurmaq H müstəvisinə paralel
β köməkçi müstəvi keçirilir. β müstəvisi konus səthini çevrə boyunca α
müstəvisini isə onun horizontalı üzrə kəsəcəkdir. Aralıq E və F nöqtələri H paralel
köməkçi γ və δ paralel müstəvilərindən istıfadə edməklə qurulur.
Tapdığımız nöqtələrin horizontal proyeksiyalarını səlis əyri ilə birləşdirərək
ellipsi qururuq. Aldığımız bu ellips konus səthinin α müstəvisiilə kəsişməsi
nəticəsində alınan əyrinin horizontal proyeksiyası olacaqdır.
Müstəvi ilə əyri səthin кəsişməsindən həm müstəviyə həm də səthə mənsub
olan ya düz хətt və ya yastı əyri хətt alınır. Кəsişmə nəticəsində alınan хəttə кəsiк
deyilir.
Müstəvi ilə səthin кəsişmə хəttini qurmaq üçün əsas iкi üsuldan istifadə
edilir:
1. Səthin doğuranları ilə müstəvinin кəsişmə nöqtələri tapılır. Həmin nöqtələrin
həndəsi yeri müstəvi ilə verilmiş səthin кəsişmə хətti (кəsiyi) olur. Bu üsul
doğuranları düz хətdən ibarət olan səthlərin müstəvi ilə кəsiyinin qurulmasında
daha geniş istifadə edilir.
2. Кöməкci кəsici müstəvilərdən istifadə etməкlə, əsas etibarılə doğuranları
əyri хətdən ibarət olan səthlərin müstəvi ilə кəsişməsində istifadə olunur.
Şək. 145-də konus səthinin ixtiyarı vəziyyətli müstəvi ilə kəsişmə xəttinin
qurulması göstərilib. Bu halda α müstəvisi konus səthini ellips, oturacağın isə —
BC düz xətt parçası üzrə kəsir.
Şək. 145
140
Əvvəlcə kəsişmə nöqtəsininən yuxarı A nöqtəsin tapaq. Ən yuxarı nöqtə α
müstəvisinə perpendikulyar konus səthinin oxundan keçən horizontal proyeksiya
müstəvisinə perpendikulyar β müstəvisinə mənsubdur. Müstəvi β konusu SL
doğuranı üzrə, α müstəvisi isə a düz xətti üzrə kəsir. Bu düz xətlərin
kəsişməsindən A nöqtəsi tapılır. Aşağı nöqtələr konusun oturacaq müstəvisi γ ilə
α müstəvisinin kəsişmə xətti b horizontalı üzərində yerləşən B və C nöqtəlrindən
ibarətdir.
D nöqtəsi konusun kənar döğuranı üzərində—əyrinin frontal proyeksiyasının
görünən sərhəddində yerləşən nöqtədir. Bu nöqtəni tapmaq üçün konusun SK
doğuranı, müstəvini isə frontal е ilə kəsən köməkçi proyeksiyalayıcı ε müstəvidən
istifadə edilib. Onların kəsişməsindən —D nöqtəsi alınır.
Konus səthinin oxuna perpendikulyar köməkçi müstəvilərdən istifadə
etməklə aralıq nöqtəlri təyin edilir. Bu müstəvilər α müstəvisi ilə horizontal,
konus səthini ilə isə çevrə üzrə kəsişir. Məsələn δ müstəvisin keçirməklə, E və G
nöqtələrin tapaq. Bu nöqtələrin proyeksiyaları δ müstəvisi ilə konusun kəsişmə
xətti с çevrənin və δ və α müstəvilərinin kəsişmə xətti d horizontalın üzəində
yerləşir.
8.1.2. Silindr səth ilə müstəvinin кəsişməsi
Müstəvi ilə silindr səthi кəsişdiкdə aşağıdaкı хətlər alına bilər.
1. Müstəvi silindr oхuna paralel olarsa - düzbucaqlı;
2. Müstəvi silindrin oхuna perpendiкulyar olarsa - çevrə;
3.Müstəvi silindrin oхu ilə 00 və 900 – dən fərqli bucaq təşкil edərsə - ellips.
Şəк. 146-da düz dairəvi silindr səthinin frontal - proyeкsiyalayıcı müstəvi
ilə кəsişməsindən alınan fiqurun qurulması göstərilmişdir.
Çertyojdan göründüyü кimi müstəvi silindrin bütün yan səthini kəsir.
Məlumdur ki, müstəi silindrin oxu ilə ixtiyarı bucaq (900-dən fərqli) əmələ
gətirərsə, bu müstəvi ilə silindrin səthinin kəsişməsi nəticəsində ellips alınacaqdır.
Burada axtarılan kəsişmə əyrisi, yəni ellipsin frontal proyeksyası düz xətt
parçası olub, kəsən müstəvinin yığıcı xassəyə malik frontal izi üzərində
yerləşəcəkdir. silindr horizontal proyeksiyalayıcı olduğundan onun horizontal
proyeksiyası silindirin yığıcı xassəyə malik proyeksiyası cevrə üzərinə düşür.
Kompleks çertyojda əsişmə xəttinin yalnız profil ptoyeksiyasın qurmaq lazımdır.
Əvvəlcə хaraкteriк (1" və 7") nöqtələri müəyyən ediriк. Aralıq nöqtələri
qurmaq üçün silindrin doğuranları ilə verilən müstəvinin kəsişmə nöqtələri təyin
edilir. Doğuranların frontal proyeкsiyaları ilə verilən müstəvinin frontal izinin
кəsişmə nöqtələrini qeyd ediriк (K" ,4", 5" və 7" nöqtələri). Bu nöqtələrin profil
proyeкsiyalarını müəyyən etdiкdən sonra (K"' ,4"', 5"' və 7"' nöqtələri) onları
və хaraкteriк nöqtələri ardıcıl olaraq birləşdirilir (şəк. 146).
141
Şəк. 146
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Hansı müstəvilər proyeksiya müstəvisinə nəzərən proyeksiyalayıcı vəziyyət
ala bilər?
2. Proyeksiyalayıcı silindrik səth ilə ixtiarı müstəvinin kəsişmə xəttinin
proyeksiyası hansı xətdir?
3. Proyeksiyalayıcı silindrik səth ilə onun oxuna nəzərən ixtiyarı vəziyyətdə
yönələn proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə xəttinin proyeksiyası hansı
xətdir?
8.2. FIRLANMA SƏTHİNİN DÜZ XƏTLƏ KƏSİŞMƏSİ
Düz xətlə fırlanma səthinin kəsişmə məsələsi, çoxüzlülərin düz xətlə
kəsişməsi kimidir. Burada da onların kəsişməsi nəticəsində iki nöqtə alınır,
onlardan biri giriş, digəri isə çıxış nöqtəsi adlanır. Bu nöqtələri qurmaq üçün:
142
1) verilmiş düz xətdən köməkçi bir müstəvi keçirilir;
2) bu köməkçi müstəvi ilə fırlanma səthinin kəsişməsindən alınan əyri
qurulur;
3) verilmiş düz xətlə kəsişmə nəticəsində alınmış əyrinin kəsişmə nöqtəsi
qurulur.
Köməkçi müstəvi, düz xətdin və fırlanma səthinin proyeksiya müstəvilərinə
nəzərən vəziyyətindən asılı olaraq seçilməlidir.
Köməkçi müstəvisi elə seçilməlidir ki, kəsişmə nəticəsində sadə əyri alınsın.
Məsələn konusun təpəsindən keçən müstəvi onu doğuranları boyunca, yəni təpə
nöqtəsindən keçən iki kəsişən düz xətt boyunca kəsir.
Silindr isə oxuna paralel olan müstəvi onu doğuranları, yəni iki paralel düz
xətt boyunca kəsir.
Horizontal proyeksiya H müstəvisinə paralel AB düz xətti ilə, oturacağı H
üzərində yerləşən düz dairəvi konusun kəsişmə nöqtələrini qurmaq tələbolunursa,
onuaşağıdakı kimi yerinə yetirirlər.
Verilən AB düz xətti H müstəvisinə paralel olduğu üçün, bu düz xətdən
köməkçi müstəvini də H müstəvisinə paralel keçirmək əlverişlidir.Ona görə
ki,belə müstəvi konusun oxuna perpendikulyar olduğundan onu çevrə üzrə
kəsəcəkdir. Aldığımız bu çevrə ilə AB düz xəttinin və 1 və 2 kəsişmə nöqtələri
məsələdə tələb olunan giriş və çıxış nöqtələridir (şək.147 ).
Şək.147
143
Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən düz dairəvi konusun kəsişmə
nöqtələrinin qurulma qaydası şək. 148–də göstərilmişdir. Kəsişmə nöqtələrinini
qurmaq üçün a düz xəttindən və konusun S təpə nöqtəsindən keçmək şərti ilə
köməkçi α müstəvisini keçiririk. Bu müstəvini iki kəsişən düz xətt. kimi təsvir
edirik Düz xətlərdən biri verilmiş a düz xətti, digəri isə d düz xəttidir. Köməkçi
müstəvi konusu doğuranları üzrə kəsir. α müstəvisi ilə konusun kəsişməsindən
alınan doğuranları qurmalı. Bu doğuranların hər birini qurmaq üçün iki nöqtə
məlum olmalıdır.Nöqtələrin biri konusun S təpə nöqtəsi, ikinci nöqtəisə konusun
oturacaq çevrəsi ilə α müstəvisinin kəsişməsindən alınır Konusun oturacağı H
müstəvisi üzərində olduğu üçün α müstəvisinin αH horizontal izini qururuq. αH
horizontal izi a və d düz xələrinin aH və dH horizontal izlərindən keçən düz
xətlərdir.
α müstəvisinin aH horizontal izi konusun oturacağıolan 1 və 2 nöqtələrindən
keçir. 1və 2 nöqtələrini təpə nöqtəsi ilə birləşdirən 1S və 2S doğuranları a düz
xəttini E vəC nöqtələrində kəsir ki,bu nöqtələrdən biri giriş, digəri isə çıxış nöqtəsi
olacaqdır.
.
Şək.148
Şək. 149–da düz dairəvi silindrik səthlə hər hansı AB düz xəttinin kəsişməsi
təsvir olunmuşdur. Həmin silindrin doğuranları H müstəvisinə perpendikulyar
144
olduğundan, onun yan səthi horizontal proyeksiyalayıcı sıth olur. Silindrin üst
oturacağı H müstəvisinə paralel vəziyyətdə olduğundan, bu oturacaq frontal
proyeksiyalayıcı müstəvi hesab olunmalıdır. Buna görə də həmin məsələnin həlli,
AB düz xətti ilə horizontal proyeksiyalayıcı müstəvinin kəsişmə nöqtələrini
tapmaqdan ibarət olur.
Şək.149
Verilmiş a düz xətti ilə oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən maili
silindrin kəsişmə nöqtələrinin qurulması şək. 150-də göstərilmişdir.
Bu məsələni həll etmək üçün verilmiş a düz xəttinin hər hansı iki ixtiyarı A
və B nöqtələrindən silindrin doğuranlarına paralel c və d düz xətləri çəkilir. c
və d düz xətlərini silindrin doğuranlarına paralel çəkməklə γ müstəvisini
keçiririk ( bu müstəvi iki paralel düz xətt kimi təsvir olunur).
Alınan γ müstəvisinin γH horizontal izi qurulur. Silindrin alt oturacağı H
müstəvisi üzərində yerləşdiyi üçün γ müstəvisinin γH horizontal izini qurulur.
γH horizontal iz a və d düz xətlərinin aH və dH horizontal izlərindən keçən düz
xətt olar.
γ müstəvisini γH horizontal izi silindrin oturacağıolan çevrəni 1 və 2
nöqtələrindəkəsir. 1 və 2 nöqtələrindən çəkilən 1′1" və 2′2" doğuranları a düz
xəttini E və F nöqtələrində kəsir. Aldığımız bu nöqtələr məsələdə verilmiş düz
xətlə maili silindrin kəsişmə nöqtələri olub, biri giriş, digəri isə çıxış nöqtəsidir.
145
Şək.150
AB düz xətti ilə kürə səthinin kəsişmə nöqtələrinin qurulması şək.151-də
verilmişdir.
Kəsişmə nöqtələrini qurmaq üçün əvəzləmə üsulundan istifadə edirik. Bu
məsələdə F müstB düz xəttinə paralel və eləcə də H müstəvisinə perpendikulyar
F1 müstəvisi ilə əvəz edirik. Bundan sonra isə, AB düz xəttinin H−F1 sistemində
A"1B"1 frontal proyeksiyasını qururuq. Bunun üçün AB düz xəttinin F1
müstəvisinə paralel horizontal proyeksiyalayıcı a müsəvisini keçiririk. a müsəvisi
kürə səthini çevrə üzrə kəsir. H−F1 sistemində: kəsişmədən alınan çevrə ilə yeni
A"1B"1 frontal proyeksiyasının kəsişməsindən E"1 və F"1 nöqtələrini
qururuq. Sonra bu nöqtələrin əvvəlki (E, E") və (F, F")vəziyyətlərini alırıq. Bu
nöqtələr tələb olunan girişvə çıxış nöqtələri olur.
146
Şək.151
İxtiyarı düz xət ilə qapalı tor səthinin kəsişmə nöqtələrini təyin etmək üçün
düz xətdən δ(δF). frontal proyeksiyalayıcı müstəvi keçirilir (şək.152). Sonra
müstəvi ilə tor səthinin kəsişməsindən alınan kəsik qurulur:
Müstəvinin tor səthinin oturacağını kəsən 1 və 2 −nöqtələri və tor səthinin
görünən doğuranı üzərində olan 3− dayaq nöqtəsi qurma əməliyyatı aparmadan
təyin edilir;
Həmşinin 4 və 5 −nöqtələri də dayaq nöqtələridir (doğuran üzərində olub
proyeksiyaları tor səthinin oxu üzərinə düşür) .
Tor səthinə mənsub olan 4 və 5 −nöqtələr γF köməkçi müstəvi vasitəsi ilə
təyin edilir.
Aralıq 6,7,8,9 nöqtələri γ1F və γ2F müstəvilər keçirtməklə anoloji olaraq
qurulur.
Alınan nöqtələr səlis xətlə birləşdirilir.m –xətti tor səthi ilə δ(δF)
müstəvisinin kəsişmə xəttidir. Sonra alınan xətt ilə A və B və görünən və
görünməyən hissələri təyin edilir. A və Bnöqtələri düz xətlə tor səthinin axtarılan
kəsişmə nöqtələridir.
147
Şək.152
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Xətt ilə səthin kəsişmə nöqtəsi nəyə deyilir?
2. Nə üçün xətt və səth proyeksiyalayıcı vəziyyətdə olduqda onların kəsişmə
xəttinin qurulması əsaslı olaraq sadələşir?
3. Umumi halda xətt ilə səthin kəsişmə xəttini qurmasının həlli alqoritmin izah
etməli.
4. Hansı hallarda düz xətlə səthin kəsişmə nöqtəsin təyin etmək üçün köməkçi
proyeksiyalayıcı müstəvilərdən istifadə edilməsi əlverşlidir?
5. Hansı hallarda düz xətlə səthin kəsişmə nöqtəsin təyin etmək üçün köməkçi
ixtiyarı müstəvilərdən istifadə edilməsi əlverşlidir?
148
8.3. ЯЙРИ СЯТЩЛЯРИН БИР-БИРИ ИЛЯ КЯСИШМЯСИ
İki əyri səthin kəsişməsi nəticəsindəümumi halda birvə ya iki qapalı fəza
əyrisi alınır.Səthlərin kəsişmə əyrisinin qurulması onun xarakter və aralıq
nöqtələrinin tapılması ilə başlanır. Qeyd etmək lazı mdı r ki, həmin nöqtələr olub,hər iki səthə mənsubdur.
Umumi halda bu nöqtələri qurmaq üçün köməkçi səthdən istifadə
edilir. Köməkçi səth elə seçilməlidir ki, həmin səth ilə verilmiş səthlərin kəsişməsindən sadə həndəsi fiqur (düz xətt və ya çevrə) alınmş olsun.
Bu məqsədlə köməkçi səth olaraq müstəvi və kürə səthdən geniş istifadə edilir.
Bu halda sthlərin kəsişmə xəttinə mənsub olan nöqtələri təyin etmək üçün
köməkçi kəsən müstəvilər üsulundan istifadə edilir (şək. 153).
Bu metodun mahiyyəti, a və β səthlərin kəsişmə xəttinin nöqtələrini tapmaq
üçün köməkçi γ bir səth keçirilir və köməkçi səthlə verilmiş səthlərin kəsişməsinin
m və n xətləri təyin edilir.
Şək.153
Alınan xətlərin kəsişməsindən, köməkçi həm də kəsişən səthlərə mənsub
olan A və B nöqtəsi yerləşir. Yəni bu nöqtə səthlərin kəsişmə xəttinə aiddir.
Bir sıra köməkçi səthlərin keçirməklə, kəsişmə xəttinə mənsub olan kifayət
qədər nöqtələr tapırıq.
Köməkçi səth olaraq, həm əyri səthlərdən və həm də müstəvilərdən istifadə
etmək olar. Son halda təsvir olunan üsul köməkçi kəsən müstəvilər üsulu adlanır.
149
Köməkçi səthləri elə seçmək lazımdır ki, onun səthlərlə kəsişməsinin
qurma əməliyyatı sadə alınsın, və kəsişmə xətti proyeksiya müstəvisinə sadə
xətt şəkilində proyeksiyalansın (düz xətt və ya çevrə).
Yuxarıda göstərilən köməkçi səthlərdən əsasən iki fırlanma səthinin
kəsişməəyrisinin qurulmasında çox istifadə olunur.
Verilmiş səthləri formasından və onların oxlarının qarşılıqlı vəziyyətindən
asılı olaraq köməkçi səth seçilir.
Köməkçi səthlər üsulu ilə kəsişmə xəttinin nöqtələrinin qurulmasıüçün
aşağıdakı üç əməliyyat yerinə yetirilir.
Verilmiş əyri səthləri kəsən köməkçi səth keçirilir. Köməkşi səth elə seçilir
ki, verilmiş səthləri kəsdikdə alınanxətlərin proyeksiyaları düzxətt və ya
çevrələrdən ibarət olsun;
Köməkçi səth ilə verilmiş hər bir səthin kəsişməsindən alınan xətlər qurulur;
Qurulanan kəsişmə xətlərinin ortaq nöqtələri qurulur.
Bu nöqtələr verilmişiki səthin kəsişmə xətlərinin nöqtələri olur.
İki səthin kəsişmə xəttinin nöqtələrini xüsusi (xarakter vəya dayaq adlanan)
aralıq nöqtələrə ayırırlar.
Kəsişmə xəttini qurmaq üçün əvvəlcə onun xarakter nöqtələrini müəyyən
etmək lazımdr.
Характерик (dayaq) nöqtələri aşağıdakılardır:
1.Kəsişən səthlərin kənar doğuranları üzərində yerləşən nöqtəər.
2.Kəsişmə xəttinin yuxarı və aşağı, sağ və sol,qabaq və arxa nöqtələri.
3.Kəsişmə xəttinin görünən və görünməyən hissələrini ayıran nöqtələr.
Kəsişmə nöqtələrinin qalan nöqtələri isə aralq nöqtələri adlanı.
İki frlanma səthinin kəsişməsi nəticəsində ümumi halda bir,yaxud iki fəza
əyrisi alınır.Xüsusi halda bu fəza əyriləri yastı əyrilərə (ellips,çevrə,qövs) və düz
xətlərəçevrilə bilər.
Səthlərin kəsişmə xəttininin görünən və görünməyən hissələrini müəyyən
eərkən, nəzərdə almaq lazımdır ki,əyri səthlərin görünən doğuranlarının
kəsişməsindən –görünən nöqtələr; iki kəsişən doğuranlardan heç olmasa biri
görünməyən olduqda isə görünməyən nöqtələr alınır.
Fırlanma səthlərinin kəsişmə xətti aşağıdakı ardıcıllıq üzrəqurulur.
1. Verilmiş kəsişən slərdən hansının proyeksiyalayıcı olduğunu
müəyyənləşdirmək.Bu səthin yığıcı xassəyə malik proyeksiyalarıeyni zamanda
kəsişmə xəttinin də proyeksiyasıdır.
2. Kəsişməxəttinin hansı proyeksiyalarını qurmaq lazımolduğu
aydınlaşdırmaq.
3. Səthlərin kəsişməsindən alınan xətlərin yastı və ya fəza əyrisi olmasını
,eləcə də xətlərin proyeksiyalarının xarakterini aydınlaşdırmaq.
4. Səthlərin kəsişmə xəttinin nöqtələrini qurmaq üçün əlverişliüsul seçmək.
5. Kəsişmə xəttinin xarakter nöqtələrini qurmaq.
6. Kəsişmə xəttinin kifayət sayda aralıq nöqtələrini qurmaq.
7. Kəsişmə xəttinin görünən və görünməyən hissələrini aydınlaşdırmaq.
8. Kəsişmə xəttinə aid qurulmuşnöqtələri müəyyən ardıcıllıqla birləşdirmək.
150
8.3.1. Köməkçi kəsici müstəvilər üsulu
Səthlərin kəsişmə xəttininin nöqtələrini qurmaq üçün ən çox istifadə olunan
üsullardan biri köməkçi kəsən müstəvilər üsuludur.Köməkçi müstəvilər birqayda
olaraq proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel və ya perpendikulyar keçirilir.
Kəsişmə xəttinib üsulla əsasən qurduqda yuxarıda göstərilən ümumi qayda və
ardıcıllıqla istifadə edilir. qurulmasını
Şək.154-də iki müxtəlif diametrli silindr səthinin kəsişmə xəttinin qurulması
göstərilmişdir.Silindrlərin kəsişməsi nəticəsində iki simmetrik (sağ və sol) qapalı
fəza əyrisi alınır. Diamerti d1 olan silindr−horizontal,diametri d2 olan silindr isə
profil proyeksiyalayıcıdır. Məhz buna görə də, kəsişmə xəttinin horizontal və
profil proyeksiyaları silindrin yığıcı xassəyə malik proyeksiyaları üzərinə düşür.
Kompleks çertyojda kəsişmə xəttinin yalnız frontal proyeksiyasını qurmaq
lazımdır.
Məsələni köməkçi kəsən müstəvilər üsulun köməyi ilə hıll edək.
Bu məqsədlə frontal müstəvilər tətbiq etmək əlverişlidir. Onlar verilmiş
silindrləri doğuranları üzrə kəsir.
Kəsişmə xəttini qurmaq üçün əvvəlcə onun xarakter nöqtələrini tapmaq
lazımdır.
Hər iki silindrin fırlanma oxlarından frontal α köməkçi müstəvi keçirilir (şək.
154).
Şək.154
151
Bu müstəvi silindri kənar döğuranlar üzrə kəsir. Doğuranların kəsişməsi
nəticəsində 1 yuxarı və 2 aşağı, 3 və 4 arxa xarakter nöqtələri alınır. Bu nöqtələrin
1" və 2" frontal proyeksiyaları doğuranların frontal proyeksiyalarının kəsişdiyi
nöqtələrdir.
Kəsişmə xəttinin aralıq nöqtələrinini qurmaq üçün silindrlərin simmetriya
oxlarından eyni məsafədə frontal β1, β4 və β2, β3 köməkçi müstəvilər keçirilir
(şək.154).
β1 müstəvisi d1 diametrli silindri onun diametrinə bərabər çevrə üzrə, d2
diametrli silindri isə doğuranları boyunca kəsir. Alınmış doğuranların
kəsişməsindən 5 və 6 nöqtələri, həmin doğuranların frontal proyeksiyalarının
kəsişməsindən isə onların 5" və 6" frontal proyeksiyaları alınır.
Eyni qayda ilə digər 7,8,9,10,11 və 12 aralıq nöqtələr tapılır.
Alınmış nöqtələr ardıcıl olaraq səlıs əyri ilə birləşdirilərək, silindrlərin
kəsişmə xəttinin axtarılan frontal proyeksiyası qurulur.
Hər iki silindr frontal α müstəvisinənəzərən simmetrik olduğundan onların
kəssişmə xəttinin frontalproyeksiyasının görünən vəgörünməyən hissələri üst-
üstə düşür. Şək. 155-də О mərkəli kürə səthi ilə fülanma oxu horizontal proyeksiya
müstəvisinə perpendikulyar konusun kəsişmə xəttinin qurulması göstərilib.
Şək. 155
152
A, B və C kəsişmə xəttinin xaraktr nöqtələrinə (dayaq nöqtələri) aiddir. A və
B nöqtələri kəsişmə xəinin aşağı və yuxarı nöqtələridir. Onların frontal
proyeksiyaları konus oxundan və kürənin O mərkəzindən keçən ε müstəvisi
üzərində yerləşən verilən səthlərin böyük meridianın frontal proyeksiyalarının
kəsişmə xətti üzərində təyin edilir. C nöqtəsi kəsişmə xəttinin horizontal
proyeksiya müstəvisində görünən-görünməyən hissələrinin sərhəd nöqtəsidir.
Belə ki, konus səthi horizontal proyeksiyada tam görünür, amma tor səthinin
yuxar ıhissəsi e ekvatoruna qədər görünür, ona gərə də C nöqtəsi torun ekvatoru
üzərində yerləşir. C nöqtəsini təyin etmək üçün е ekvatorunudan α müstəvisi
keçirilir və müstəvinin konus səthi ilə kəsişməsindən alınan paralel c
proyeksiyası qurulur. Ekvator e və c paralelin proyeksiyalarının kəsişməsindən
alınan kəsişmə xəttinin görüntüsünü dəyişən iki, С1 və С2 nöqtələri alınır.
1) verilən məsələ köməkçi konsentrik kürə üsulu ilə asanlıqla həll edilə bilər;
2) qurulan kəsişmə xəttinin frontal proyeksiyası paraboladır. Kəsişmə xəttinin
aralıq nöqtələrin bir sıra paralel horizontal β, γ, δ kəsici müstəvilər keçirməklə
tapılır. Bu müstəvilərin hər biri verilən səthlə çevrələr üzrə kəsişir (paralellər) с1, с2,
с3, с4, с5, с6 və onların kəsişməsindən istənilən D1, D2, E1, E2, F1, F2 nöqtələri təyin
edilir.
8.3.2. Konsentrik kəsici kürə səthləri üsulu
Bəzi hallarda səthlərin kəsişmə xəttinin qurulmasında köməkçi səth olaraq
müstəvi deyil, kürədən istifadə edilməsi məsədəuyğundur. Onların tətbiqi eyni
fırlanma oxlu sətlərin çevrə üzrə kəsişməsi xassəsinə əsaslanır. Bir umumi oxu
olan səthlərə eynioxlu səthlər deyilir. Bunun nəticəsi olaraq məlumdur ki, mərkəzi
fırlanma oxu üzərində yerləşən kürə bu səthi çevrə üzrə kəsir.
Bu üsul iki konsentrik və ekssentrik kəsici kürə usuluna ayrılırlar.
Umumi mərkəzli kürələrə konsentrik kəsici kürə deyilir.
Konsentrik köməkçi kürələr üsulundan üc şərti eyni zamanda nəzərə almaqla
istifadə edilir.
1. Hər iki kəsişən səthlər— fırlanma səthi olmalıdır.
2. Səthlərin oxları bir-birilə kəsişən olmalıdır.
3. Onlar proyeksiya müstəvilərindən birinə paralel olmalıdır.
Şək. 156-da oxları düz buçaq altında kəsişən silindr səthi ilə kəsik konusun
kəsişmə xəttinin frontal proyeksiyasının qurulması göstərilib
Köməkçi kürə səthi silindr və konusun səthlərinin fırlanma oxlarının
kəsişmə O nöqtəsindən keçirilir.
Böyük, köməkçi kürənin Rmax radiusunu O nöqtəsindən kəsişmə xəttinin ən
uzaq nöqtəsinə qədər olan məsafəsinə bərabərdir.
Kiçik, köməkçi kürənin Rmin radiusunu O nöqtəsindən verilən səthlərə
çəkilmiş normalların böyünün ölçüsünə bərabər götürmək lazımdır.
Verilm səthlərin kəsişmə xəttinin xarakter nöqtələri silindr və kəsik konusun
kənar doğuranlarının K və L kəsişdiyi 1 və 6 nöqtələrdir.
153
Kəsişmə xəttiin aralıq nöqtələrini qurmaq üçün Rmax və Rmin radiuslu kürələr
arasında O nöqtəsindən bir neçə köməkçi kürələr keçirməklazımdır. O
nöqtəsindən R radiuslu keçirilən kürə həmin radiusa bərabər çevrə şəkilində
proyeksiyalanır. R radiuslu çevrə silindri CD diametrli çevrə, konusu isə AB
diametrli çevrə üzrə kəsir. Çevrələrin proyeksiyalarını kəsişməsindən alınan düz
xətt parçalarının С"D" və А"В" kəsişməsindən 2"və 4" aralıq nöqtələri alınır.
Şək. 156
8.3.3. Ekssentrik kəsici kürə səthləri üsulu
Səthlərin kəsişmə xətlərinin qurulmasında əvvəlcədən təyin edilən mərkəz
nöqtəsindən yalnız bir kürə səthinin keçirilməsinin mümkün olduğu hallara da rast
gəlinir. Kəsişmə xəttinə mənsubolan ardıcıl nöqtələri təyin etmək üçün yeni
mərkəz nöqtəsinin vəziyyətinin və digər kürələrin radiuslarının ölçüsünün təyin
edilməsi lazım gəlir.
Səthlərin kəsişmə xətlərinin qurulmasında əvvəlcədən təyin edilən mərkəz
nöqtəsindən yalnız bir kürə səthinin keçirilməsinin mümkün olduğu hallara da rast
gəlinir. Kəsişmə xəttinə mənsub olan ardıcı lnöqtələri təyin etmək üçün yeni
mərkəz nöqtəsinin vəziyyətinin və digər kürələrin radiuslarının ölçüsünün təyin
edilməsi lazım gəlir.
154
Mərkəzləri bir-birinin üzərinə düşməyən kürələrə ekssentrik kürələr deyilir.
Bu üsuldan eyni zamanda üç şərti gözləməklə istifadə edilir:
1. Kəsişən səthlərdən biri — fırlanma səthi, digəri isə dairəvi en kəsikli (boru
və ya həlqəvi) olmalıdır.
2. Səthlər ümumi simetriya müstəviyə malkdir.
3. Simetriya müstəvisi proyeksiya müstəvilərindən birinə paraleldir.
Bu üsuldan istifadənin əsas üstünlüyü ondan ibarətdir ki, bir və eyni çevrə,
bu çvrənin mərkəzindən çəkilmiş çevrə müstəvisinə perpendikulyar olan müxtəlif
radiusu sonsuz sayda kürələr çoxluğuna mənsub ola bilir.
Müxtəlif mərkəzli və ya eksentrik kürə üsulundan umumu simmetriya
müstəvisi olan fırlanma səthlərinin kəsişmə xəttinin qurulmasında istifadə edilir.
Şək.157-də həlqəvi tor səthi ilə kəsik konusun kəsişmə xəttinin qurulması
göstərilmişdir. Şəkildən gıründüyü kimi tor və kəsik konusun oxları kəsişmir.
Lakin hər iki səthlərin umumi simmetriya frontal səviyyə müstəvisinə malikdirlər.
Bundan başqa hər iki səth çoxlu sayda dairəvi kəsiklərə malikdir.
Konusun oxu F frontal proyeksiya müstəvisinə paralel, torun oxu isə həmin
müstəviyə perpendikulyardır. Torun ox kəsiyinin çevrəsinin mərkəzi və konusun
oxu F-ə paralel olan bir müstəvi üzərində yerləşir.
Səthlərin kəsişmə xətti umumu simmetriya müstəvisinə paraleldir. Sətlərin
kəsişmə xəttinin iki xarakrer A – yuxarı və D – aşağı nöqtələri tor və konusun
oçerklərinin proyeksiyalarının kəsişmə nöqtələridi. Simmetriya müstəvisinə
mənsub olan səthlərin oçerklərinin kəsişməsindən A və D xarakter nöqtələri
qurma əməliyyatı aparılmadan təyin edilir. Kəsişmə xəttinin digər nöqtələri
köməkçi ekssentrik kürə səthlərinin köməyiilə qurulur.
Həlqəvi torun i mərkəsindən α frontal proyeksiyalayıcı müstəvi keçirilir.
Müstəvi toru 3 mərkəzi torun orta xətti üzərində yerləşən 12(1''2'') diametrli
cevrə üzrə kəsir.
Çevrənin 3 mərkəzindən α müstəvisinə konusun oxunu O(O'') nöqtəsində
kəsənə qədər perpendikulyar (torun orta xəttinə toxunan) düz xətt çəkilir. Sonra
O(O'' ) nöqtəsin məkəz qəbul edib, konusu çevrə üzrə kəsən kürə keçirilir.
O(O'') mərkəzindən R1 radiuslu çəkilən kürə toru 12 (1''2''), kəsik konusu isə
45(4''5'') diametrli çevrə üzrə kəsəcəkdir. Bu çevrələrin kəsişməsindən α
müstəvisi üzərində kəsişmə xəttinə mənsub olan B nöqtəsi alınır. Bu qayda ilə
kəsişmə xəttinə mənsub kifayət sayda nöqtələr qurmaq olar.
C nöqtəsini təyin etmək üçün O''1 mərkəzindən köməkçi ß frontal
proyeksiyalayıcı müstəvisi və R2 radiuslu kürə keçirilir. Kürə toru 67 (6''7'')
kəsik konus ilə 89 (8''9'') diametrli cevrələr üzrə kəsəir. Bu çevrələrin
kəsişməsindən ß müstəvisi üzərində kəsişməsindən kəsişmə xəttinin C nöqtəsi
alınır.
155
Şək. 157
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Səhlərin kəsişmə xəttini qurulmasında istifadə edilən köməkçi kəsici
müstəvilər üslun mayihəti nədir?
2. Hansı hallarda köməkçi səth olaraq ixtiyarıı vəziyyətdə müstəvilərdən
istifadə edilir?
3. Konusvarı və silindrik, iki konusvarı, iki silindrik səthlərin kəsişmə xəttin
qurarkən köməkçi müstəvi necə seçilir?
4. Hansı hallarda konsentrik kəsici kürə üsulundan istifadə edilir?
5. Köməkçi kəsici kürənin mərkəzi harada tapılır?
6. Tədbiq edilən kürələrin ən böyük və ən kiçik radiusları nəyə bərabərdir?
7. Konsentrik kürə üsulu ilə kəsişmə xəttinin nöqələrindən birinin qurmaq üçün
əməliyyatların ardıcıllığın təsvir edin.
8. Hansı hallarda ekssentrik kəsici kürə üsulundan istifadə edilir?
9. Ekssentrik kürə üsulu ilə kəsişmə xəttinin nöqələrindən birinin qurmaq üçün
əməliyyatların ardıcıllığın təsvi edin.
156
10. Hansı hallarda konus səthləri ümumi doğuranları üzrə kəsişirlər?
11. Hansı hallarda slindrik səthlər ümumi doğuranları üzrə kəsişirlər?
12. Eynioxlu fırlanma səthləri hansı xətt üzrə kəsişirlər?
8.4. ƏYRİ SƏTHLƏRİN AÇILIŞI
Səthlərin bir müstəvi üzərinə salınması nəticəsində alınan fiqura bu səthin
açılışı deyilir. Səthlər açılan və aşılmayan olur. Yanaşı döğuranları iki paralel və
ya iki kəsişən düz xətdən ibarət olan səthlər açılan səthlər adlanır. Doğuranları
belə xassəyə malik olan səthlərə silindr və konus səthlərini aid etmək olar.
Səthlərin açılışından texnikada geniş istifadə olunur.
8.4.1. Silindrik səthin açılışı
Düzdairəvi silindir səthinin açılışı dördbucaqlıdır. Bu dördbucaqlının
hündürlüyü silindrin doğuranına (l), uzunluğu isə silindrin oturacağını əmələ
gətirən çevrənin uzunluğuna (πD) bərabər olacaqdır. Bu silindrin tam açılışını
almaq üçün onun iki bərabər dairədən ibarət olan alt və üst oturacaqlarını silindrin
açılışına quraşdırmaq lazımdır (şək. 158).
Şək. 158
Silidrik səthlərin açılışının qurulmasının tələb edildiyi hallarda onu silindrik
səthin xaricinə (və ya daxilinə) çəkilən prizmatik səthə aproksimasiya edilir.
Sonra prizmanın yan səthini açılışında olduğu kimi, normal kəsik və diyirlətmə
üsulundan istifadə edilir.
Şək. 159-da dairəvi oturacaqlı ellipsik silindrin yan səthinin açılışı
göstərilib.
157
Verilən misalda silindrik səth oniki tilli prizmatik səthdə çəkilmişdir. Bu
səthin açılışı həmçinin şək. 159-də olduğu kimi diyirlətmə üsulu ilə yerinə
yetirilmişdir. Alınan açılış silindrik səthin təqribi açılışı olaraq qəbul edilir. Düz
silindr və konuu fırlanmasının açılışın qurmaq üçün səthin və açılışın
parametrlərinin analitik asılılığlarından istifadə etmək olar.
Məlumdur ki, R radiuslu h hündürlüklü silindrin yan səthi tərəfləri h və
2πR ölçülü düzbucaqlıdan ibarətdir.
Şək. 159
Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən düz dairəvi kəsik silindrin açılışının
qurulması qaydası şək. 160 və 161 –də göstərilmişdir.
Silindrin tam açılışı onun yan səthinin açılışından və iki oturacaqdan təşkil
olunur. Verilmiş kəsik silindrin alt oturacağı radiusu R olan çevrə, üst oturacağı
isə ellips olacaqdır.
158
Silindrin yan səthinin açılışını qurmaq üçün onun üzərində bir sıra
doğuranlar götürülür. Həmin dqğuranlar F- müstəvisinə paralel olduğundan
onların frontal proyeksiyaları həqiqi boylarına bərabər alınacaqdır (şək.160).
Silindrin yan səthinin açılışının uzunluğu onun alt oturacağının uzunluğuna
(2πR) bərabərdir. Bu uzunluğ doğuranların sayına bərabər hissələrə bölünür.
Sonra isə silindrin doğuranlarının həqiqi ölçüsü ayırdığımız uyğun nöqrələrdən
çəkilmiş şaquli xəttlər üzərində qeyd olunur. Aldığımız bu doğuranların uc
nöqtələrininin səlis əyri ilə birləşdirək, kəsik silindrin yan səthinin açılışını
qurmuş oluruq (şək. 160).
Şək. 160
Verilmiş silindrin tam açılışını almaqdan ötrü onun alt və üst oruracağı yan
səthin açılışına qoşulur (şək.161). Ust oturacağın həqiqi boyu tərsimi həndəsədə
işlədilən üsullardan birinin köməyi ilə qurulur. Baxdığımız məsələdə həmin
oturacağ proyeksiya müstəvilərinin əvəzləmə üsulu ilə tapılmışdır (şək. 160).
159
Şək. 161
8.4.2. Konusvarı səthin açılışı
Açılan bütün səthlər təqribi açılışdan ibarətdir, yəni bu səthlər çoxüzlülərin
(piramida və ya prizma) daxilinə və ya xaricinə aproksimasiya edilir ki, bu zaman
da onların dəqiqliyinin itməsinə gətirir (təxmini əvəz edilir).
Piramida səthinin açılışın aproksimasiya ya olunan konus səthinin təqribi
açılışı olaraq qəbul edilir. Piramidalı səthin tilləri sayı nə qədər çox olarsa,
səthlərin həqiqi və qurulmuş açılışı arasında fəqr bir o qədər az olar.
Şək. 162-də üçbucaqlar üsulu ilə konusun daxilinə çəkilmiş 12 bucaqlı
piramida ilə əvəz edilən konus səthinin açılışı göstərilib.
Səth simmetriya α müstəvisinə malik olduğundan açılış siimmetrik
fiqururdan ibarət olur. Bu müstəvidə ən qısa S-6 doğuranı yerləşir. Onun üzrə
səthin kəsilişi aparılmışdır. Səthin açılışının simmetriya oxu ən böyük doğuran S-
О ibarətdir. Doğuranların həqiqi uzunluqları S nöqtəsindən keçən horizontal
proyeksiyalayıcı düz xətt ətrafında fırlandırmaqla təyin edilir. Simmetriya
160
oxundan sağda S0-О0 bir-birinə eyni S0. təpəli bitişik altı üçbucaq çəkilir. Hər bir
üçbucaq üç tərəfli çəkilir, bu zaman iki tərəf doğuranın həqiqi uzunluğuna
bərabər, üçünçi isə qonşu bölgü nöqtələrinin oturacaq çevrə qövsünü gərən —
vətərə bərabərdir. Açılışda qurulan О0, 10, 20, ..., 60 nöqtələr səlist əyri ilə
birləşdirilir.
Açılışın ikinci yarısı birinciyə simmetrik olaraq qurulur.
Şək. 162
Şək.163,a-da oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən konusun frontal
proyeksiyasının görünən döğuranı həqiqi boyunda alınır. Kompleks çertyoja yaxın
yerdə bir S nöqtəsi qəbul edilir və bu nöqtədən l radiusu ilə φ0 mərkəzi bucağına
bərabər qövs çəkilir. Alınan dairəvi sektor konusun yan səthinin açılışını almaq
üçün,onun r radiuslu oturacağını dairəvi sektorun qövsünə quraşdırmaq lazımdır.
Kəsik konus səthinin açılışını qurmaq üçün isə onu tam konus şəkilinə
salmaq lazımdır (şək.163b). Alınan tam konusun açılışı yuxarıda göstərildiyi kimi
qurulur. Kəsik konusun açılışını almaq üçün qurulmuş tam konus səthinin
aşılışından tamamlayıcı konus səthinin açılışını çıxırlar.
Düz dairəvi konus səthinin açılışı nəticəsində mərkəzi bucağı φ0 olan
dairəvi sektor alınır. Bu bucaq aşağıdakı kimi hesablanır (şək.163,a): φ0= r∙3600/l
Burada r-konusun oturacaq çevrəsinin radiusu; l- konusun döğuranının
uzunluğudur.
161
a) b)
Şək. 163
Kəsik konusun tam açılışını almaq üçün isə, onun yan səthinin açılışına bu
konusun alt-dairəvi və üst-ellips oturacaqlarını da əlavə etmək –qoşmaq lazımdır.
Üst oturacağın həqiqi boyu üsullardan birinin köməyi ilə tapılır. Bu məsələdə
ellipsin həqiqi boyunu tapmaq üçün yastı-paralel yerdəyişmə üsulundan istifadə
olumuşdur. Kəsik konusun tam açılışı şək. 163,b-də göstərilmişdir.
Oturacağı H müstəvisi üzərində yerləşən düz dairəvi kəsik konusun
açılışının qurulması qaydası şək.164 və 165–də verilmişdir. Əvvəlcə konus
səthinin oturacağı ixtiyari sayda bərabər hissələrə (baxdığımız məsələdə 8
hissəyə) bölünür. Ayırdığımız nöqtələrdən konus səthinin doğuranları çəkilir.
Beləliklə, bu məsələdə, konus səthi səkkiz yan tili olan düzgün piramida səthi ilə
əvəz olunur.
Piramidanın tillərinin uzunluğu tam konusun doğuranlarının uzunluğuna (l)
bərabər olacaqdır. Məlum qayda ilə piramidanın səthinin açılışı qurulur. Açılışda
tapılan piramidanın tillərinin uc nöqtələrinin radiusu l olan qövs ilə birləşdirmiş
olsaq konus səthinin təqribi acılışı alınır.
Konus səthinin kəsik hissəsinin açılışını qurmaq üçün isə kəsiyin konus
səthi üzərində yerləşən A,B, C,D, ... nöqtələrindən istifadə olunur. Həmin nöqtələr
konusun qurduğumuz döğuranları üzərində olacaqdır. Məsələn, kəsiyin B nöqtəsi
konusun 2S doğuranı üzərində yerləşmişdir. B nöqtəsi ilə konusun təpə nöqtəsi
arasındakı BS məsafəsi qurulur. Bu məsələdə həmin məsafə fırlandırma üsulunun
köməyi ilə tapılmışdır (şək.164). Aldığımız B1S məsafəsini açılışın 20S0
doğuranı üzərindəə köçürməklə B nöqtəsinin açılış üzərindəki B0 vəziyyəti
qurulur. Eyni qayda ilə kəsiyin açılış üzərindəki A0, C0, D0, E0,...nöqtələri təyin
olunur. Alınan bu nöqtələri səlis əyri ilə birləşdirərək kəsiyin aşılışı qurulur (şək.
165).
163
IX. AKSONOMETRİK PROYEKSİYALAR
9.1. Əsas anlayış və təriflər
Dekart koordinat oxlar sisteminin şəkil müstəvisi ilə qarişılıqlı vəziyyətinin,
eyni zamanda proyeksiyalama istiqamətininin istənilən halda olması sonsuz
sayada aksonometrik oxların istiqamətləri və oxlar üzrə aksonometriyanın təhrif
əmsalları ilə bir –birindən fərqlənən çoxlu müxtəlif aksonometrik proyeksiyaların
yaradılması mümkündür.
Alman alimi Karl Polk 1860- cı ildə teorem tərtib etmişdir:”Bir müstəvi
üzərində yerləşən bir nöqtədən çıxan bir-biri ilə ixtiyarı buçaq təşkil edən üç
müxtəlif üzunluqlu düz xətt parçaları, düzbucaqlı koordinat sisteminin
başlanqıcından oxlar üzrə qoyulmuş üç bərabər düz xətt parçasının paralel
proyeksiyaları qəbul edilə bilər.
Bu teorem aksonometriyanın əsas teoremi adlanır.
Bu teoremə əsasən aksonometrik oxlar və təhrif əmsalları tamami ilə ixtiyarı
seçilə bilər.
Təcrübədə istifadə edilən aksonometrik proyeksiyaların sayı
məhdudlaşdırılmışdır. Məsələn ГОСТ 2.317-69 iki düzbucaqlı (izometrik və
dimetrik) və üç çəpbucaqlı (iki izometrik və bir –dimetrik) proyeksiyalardan
istifadə edilir.
Düzbucaqlı proyeksiyalama metodu ilə qurulmuş çertyojlar cismin forma və
ölçülərini göstərirsə də, onun əyani forması haqda tam aydınlıq yaratmırlar. Belə
halda cismin əyani təsvirinin qurulmasına ehtiyac yaranır və bu təsvir
aksonometrik proyeksiya və ya sadəcə aksonometriya adlanır.
Aksonometria yunanca axon (akso) – ox və metreo- ölçürəm mənası verən
iki sözdən ibarət olub, oxlar üzrə ölçürəm deməkdir.
Əgər proyeksiyalayıcı şüalar aksonometrik proyeksiya müstəvisinə
perpendikulyardırsa, belə aksonometriya düzbucaqlı, maili olduqda isə
çəpbucaqlı adlanır.
Şək.166–da koordinat oxlarının S istiqamətində α müstəvisi üzərinə
proyeksiyalanması sxemi göstərilmişdir.
α müstəvisi aksonomerik proyeksiya müstəvisi və ya şəkil müstəvisi
adlanır.
x, y və z koordinat oxları şəkil müstəvisinə aksonometrik ox adlanan x,
yα və Zα düz xətlərə proyeksiyalanır.
Əgər x, y və z oxları üzrə mx, my və mZ, parçaların qeyd etsək, onda
onların aksonometrk proyeksiyaları mxα, myα və mZα, bir –birinə və mx, my
və mZ. bərabər olmayan düz xətt parçası olar.
kx=mxα /mx, ky=myα /my, kZ=mZα /mZ nisbətləri oxlar üzrə aksonometrik
təhrif əmsalı adlanır.
164
Əgər proyeksiyalayıcı şüalar aksonometrik proyeksiya müstəvisinə
perpendikulyardırsa, belə aksonometriya düzbucaqlı, maili olduqda isə
çəpbucaqlı adlanır.
Şək.166
Düzbucaqlı koordinat oxları aksonometrik proyeksiya müstəvisinə təhrif
olunmuş şəkildə proyeksiyalandığı üçün cismin aksonometrik proyeksiyası da
təhrif olunur. X oxu üzrə təhrif əmsalı KX, Y oxu üzrə KY, Z oxu üzrə isə Kz ilə
işarə edilir.
Təhrif əmsalı S proyeksiyalama istiqamətinin şəkil müstəvisinənə
nəzərən meyil bucağından φ⁰ asılıdır.
Bu asılılığ aşağıdakı ifadədən təyin edilir.
k2x+k2
x+k2x =2+ ctg φ⁰ (1)
Təhrif əmsalının oxlar üzrə eynliyinə görə aksonometrik proyeksiyalar
aşağıdakı növlərə bölünürlər:
1. İzometrik proyeksiya: İzometriya – eyni ölçü deməkdir. Burada təhrif
əmsalları bütün aksonometrik oxlar üzrə eyni götürülür, yəni: Kx = KY = KZ.
2. Dimetrik proyeksiya. Dimetriya – iki aksonometrik ox üzrə ölçü eyni
olan deməkdir. Burada təhrif əmsallarından hər hansı ikisi bərabər, üçüncüsü isə
fərqli olurlar, yəni: KX=KY KZ; KX=KZ KY; KY=KZ KX.
3. Trimetrik proyeksiya. Trimetrik – üç ox üzrə ölçü müxtəlif olan
deməkdir. Burada təhrif əmsalları hər üç aksonometrik ox üzrə müxtəlif götürülür,
yəni:
KX=KY KZ.
Nöqtənin fəzadə və aksonosonometrik proyeksiyada qurulması şək.167-
də göstərilib. Fəza koordinat xətlərinə OAx , A'A aksonometrik çertyojda
165
müstəvi aksonometrik kordinat OαAxα, A'αAα, xətləri uyğun gəlir. Burada Aα
fəzadə verilmiş A nöqtəsinin aksonometrik proyeksiyasıdır.
İstənilən bir nöqtənin ortoqonal proyeksiyasının aksonometrik
proyeksiyasıyası onun ikincili proyeksiyası (şək. 167-də A'α fəzadə verilmiş A
nöqtəsinin A' horizontal proyeksiyasının ikinci proyeksiyasıdır) adlanır.
Şək. 167
Əgər fəzanın istənilən nöqtəsinin aksonometrik proyeksiyasını qurmaq
mümkünsə, onda istənilən fəza fiqurlarının aksonometrik proyeksiyaların qurmaq
olar.
Aksonometrik müstəvini və eləcə də proyeksiya şüalarını fəza koordinat
oxlarına istənilən vəziyyətdə götürmək mümkün olduqda , sonsuz miqdarda
aksonometrik proyeksiya almaq olar.
9.2. Düzbucaqlı izometriya
Düzbucaqlı izometriyada hər üç ox arasında qalan bucaqlar
1200 olur (şək.168)
İzometrik proyeksiya – eyni ölçü deməkdir.
Düzbucaqlı izometriyada kx =ky =kZ =k olduğundan, yəni bütün üç
aksonometrik oxlar üzrə təhrif əmsalları 0,82-yə bərabərtir.
166
Təcrübədə izometriyada təhrif əmsalları 1-ə bərabər qəbul edildiyindən,
bununla əlaqədar olaraq təsvirin xətti ölçüləri 1:0,82 nisbətində, yəni 1,22 dəfə
böyük alınır.
Şək. 168 Şək.169
Qurma əməliyyatını sadələşdirmək məqsədi ilə bu əmsallar 1.0 -ə
bərabər ğötürülür. Bunə görə də, cismin izometrik təsviri 1.22 dəfə böyük
alınsa da, onun bütün ölçülərini ortoqonal proyeksiyadan götürmək
mümkün olur.
Proyeksiya müstəvisinə paralel müstəvilər üzərində olan çevrələr
aksonometriya müstəvisinə ellips şəkilində təsvir olunur.
Çevrənin izometrik proyeksiyada H, F və P müstəviləri üzərində təsviri
şək.169-da göstərilmişdir.
İzometrik proyeksiyada x, y və z oxları üzrə təhrif edilmıdiyi halda
ellipsin böyük və kiçik oxu uyğun olaraq, 1,22d və 0,71d-ə bərabər olur.
İzometrik proyeksiyada x, y və z oxları üzrə təhrif edildiyi halda
isəmıdiyi halda ellipsin böyük oxu çevrənin diametrinəkiçik oxu isə 0 ,58d-
ə bərabər olur.
9.3. Çevrənin izometrik proyeksiyasının qurulması
Çevrənin hər üç aksonometrik müstəvi üzərindəki təsviri ellips alınır. Ellipsin
böyük oxu kiçik oxuna perpendikulyar olur. Ellipsi qurmaq çətin olduğundan onu
oval ilə əvəz edirlər. Ovalı qurmaq üçün bir-birilə qovuşan dörd çevrə qövsündən
istifadə olunur. Ovalın kiçik oxunun ölçüsü 0,7D-yə, böyük oxu isə 1,22D-yə bərabər
götürülür. Burada D – təsviri qurulan çevrənin diametridir. H müstəvisi üzərində
yerləşən çevrənin düzbucaqlı izometrik proyeksiyası aşağıdakı ardıcıllıqla qurulur
(şək.170):
Ovalın qurulma əməliyyatını asanлыгла izah etmək üçün tərəfləri koordinat
oxlarına paralel olan kvadratın daxilinə çəkilmiş çevrə gıtürülür. Məlumdur ki,
kvadrat düzbuçaqlı izometriyada romb şəklində təsvir olunur.
167
Horizontal proyeksiya mцstəvisi üzərində yerləşmиş kvadratın daxilinə çəkilmiş
çevrənin düzbuçaqlı izometrik proyeksiyasının qurulması aşağıdakı ardıcıllıqla yerinə
yetirilir.
1. O nöqtəsindən düzbuçaqlı izometrik proyeksiyanın Х vəY oxları keçirilir.
O nюqtəsindən başlayaraq Х və Y oxları цzərində təsvir ediləcək чevrənin radiusuna
bərabər düz xətt parçaları. Sonra isə qurulmuş M,N,E və F nöqtələrindən bu oxlara
paralel düz xətlər çəkilir. Bu xətlərин kəsişməsindən romb аlınır (şək.170, а).
2.Rombun diaqonalları qurulur. Ovalın böyük oxu rombun böyük diaqonalı,
kiçik oxu isə kiçik diaqonalı qəbul edilir. M, N, E və F nöqtələri ovalın qövslərinin
qovuşma nöqtələri olur. Rombun kiçik oxunun A və B uc nöqtələri mərkəz qəbul
edilir və radiusları R=BM və R=BN və məsafələrinə bərabər olan AB və CD
qövsləri çəkilir (şək.170,b);
3.Ovalın kiçik qövslərinin çəkmək üçün onların mərkəzini tapmaq lazımdır.
Bunun üçün B nöqtəsindən BM və BN düz xətləri keçirilir. BM və BN xətləri ilə
rombun böyük diaqonalının C və D kəsişmə nöqtələri tapılır.Bu nöqtələr ovalın kiçik
qövslərinin mərkəzləri olur. C mərkəzindən R1=CM radiusu ilə D mərkəzidən isə
R1=DN radiusu ilə çəkilən qövslər ovalın MN və FE böyük qövsləri ilə səlis
birləşdirilir (şək.170,v).
Şяк. 170
Beləliklə, H müstəvisində və ona paralel müstəvilər üzərində yerləşən
çevrələrin düzbucaqlı izometrik proyeksiyasında alınan ellipslər ovallar ilə əvəz
olunur. Eyni qayda ilə F və P müstəvilərində və onlara paralel müstəvilər üzərində
yerləşən ovalları qurmaq olar.
168
Müxtəlif çisimlərin və obyektlərin formasının xüsusiyyətlərini ən
açıq şəkildə çatdırmaq üçün onlar düzbucaqlı izometrik proyeksiyada
təsvir olunur.Bu halda çimin təsviri 1.06 dəfə böyüdülmüş şəkildə
adınır.
9.4. Çəpbucaqlı frontal dimetriya
Cismin çəpbucaq altında frontalproyeksiya müstəvisinə paralel olan
aksonometriya müstəvisinə proyeksiyalamaqla çəpbucaqlı frontal
dimetriyanı almaq olar.
Dimetrik proyeksiya. Dimetriya – iki aksonometrik ox üzrə ölçü eyni
olan deməkdir.
Dimetrik proyeksiyada kx=kZ=k və ky =0,5 k, olduğundan, 2k2 + k2/4=2,
k2=8/9, 8
0,949
k . Beləliklə düzbucaqlı dimetriyada təhrif əmsalları
kx = kZ =0,94 və ky =0,47.
Təcrübədə dimetriyada təhrif əmsalları kx =kZ =1 və ky =0,5, olduğundan
bununla əlaqədar olaraq təsvirin xətti ölçüləri 1:0,94 nisbətində, yəni 1,06
dəfə böyük alınır.
X və Z koordinat oxlarl aksonometrik proyeksiya müstəvisinə
paralelolduğu üçün onların təhrif əmsalı 1-ə, aralarındakı bucaq isə 900-
yə bərabərdir (şək.171).
Şək. 171
Qurma əməliyyatını sadələşdirmək və cismi daha aydın təsəvirini
almaqüçün ГОСТ 2.305-68-ə görə, y oxu üzrə təhrif əmsalı 0.5, x və y
aksonometrik oxu arasındakı bucaq isə 1350 qəbuk edilir.Deməli y
aksonometrik oxu horizontala görə 450bucaq altında olur.
Cismin çəpbucaqlı fronal dimetriyada aksonometrik təsvirini
qurmaq üçün x vəz oxları üzrə olan ölçülərni sabit saxlanılır, y oxu üzrə
olan ölçülərini isə iki dəfə kiçiltməklə çəkilir.
169
9.5. Çevrənin çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyalarının
qurulması
Kvadrat daxilinə çəkilmiş çevrənin proyeksiya müstəvilərinə paralel
müstəvilər üzərində yerləşən çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyalarının
qurulmasını öyrənək (şək. 172). x və z oxları üzrə təhrif əmsalları vahid
olduğundan F müstəvisi üzərində yerləşən çevrənin çəpbucaqlı frontal dimetrik
proyeksiyası da çevrə olaraq qalacaq. H və P müstəviləri üzərində yerləşən
çevrələrin çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyalarının qurulması aşağıda
göstərilən qayda ilə aparılır:
1.xoy müstəvisi üzərində yerləşən kvadratın çəpbucaqlı frontal dimetrik
proyeksiyası qurulur. Bu proyeksiya paralelloqram şəklində alınacaqdır. x və y
oxlarına paralel olaraq paraleloqramın simmetriya oxları çəkilir və bu oxların O1
kəsişmə nöqtəsi tapılır;
2.Simmetriya oxlarının paraleloqramın tərəfləri ilə kəsişməsindən alınan
M, N, K, və L nöqtələri qeyd olunur. Bu nöqtələr axtarılan ellipsin paraleloqramın
tərəflərinə toxunma nöqtələri olur;
3.Ellipsin aralıq nöqtələrini tapmaq üçün F müstəvisi üzərində qurulmuş
çevrədən istifadə olunur. Bu məqsədlə çevrənin radiusu dörd bərabər hissəyə
bölünür və alınan nöqtələrdən vətərlər keçirilir. Bu vətərlərin çevrə ilə kəsişmə
nöqtələri tapılır;
Şək. 172
4.Alınan nöqtələri H müstəvisi üzərindəki paraleloqram üzərinə
köçürmək üçün vətərlər qurulur. Bu vətərlər x oxuna paralel olduğundan öz
ölçüsündə alınacaqdır. Vətərlər arasındakı məsafələr isə y oxuna paralel
170
olduğundan iki dəfə kiçilir. Çevrə üzərində tapılan nöqtələr vətərlərin köməyi ilə
paraleloqramın üzərinə köçürülür. Beləliklə, ellipsi qurmaq üçün lazım olan aralıq
nöqtələr tapılır;
5.Tapılan bütün nöqtələr lekal vasitəsilə səlis əyri ilə birləşdirilərək
paraleloqramın daxilinə çəkilmiş ellips alınır.
Eyni üsuldan istifadə etməklə profil proyeksiya müstəvisinə paralel müstəvi
üzərində yerləşən kvadrat daxilinə çəkilmiş çevrənin çəpbucaqlı frontal dimetrik
proyeksiyasını qurmaq olar.
9.6. Düzbucaqlı dimetriya
Düzbucaqlı dimetriyada x və z oxları aksonometrik proyeksiya
müstəvisinə görə eyni maillik alrında götürülür (şək.173).Aksonometrik
müstəvidə z oxu vertikaldırsa, x horizontala görə 7010’, y oxu isə 410 25
bucaq altında olur (şək.173 ). x və z oxlarında təhrif əmsalı Kx=Kz=0.94,
y oxunda isə K y=0.47 olur. ГОСТ 2.305-68-ə görəbu əmsallar Kx=Kz=1
və Ky=0.5.
Şək.173
Çevrənin dimetrik proyeksiyada şək174-də xoy müstəvisində
ellipsin böyük diametri üfiqi vəziyyətdə, özü də oz oxuna
perpendikulyar, xoz müstəvisində ellipsin böyük oy oxuna
perpendikulyar,yoz müstəvisində isə ox oxuna perpendikulyar
götürülməlidir.
171
Şək.174
Burada ellepslərin hər birinin böyük jxu, təsvir edilən çevrənin
diametrinin 1,06-na, kiçik oqu isə 0.35-nə bərabərdir.
9.7. Aksonometrik proyeksiyalarda kəsimlərin qurulması və
ştrixlənməsi
Aksonometrik proyeksiyalarda cismin daxili formasını aydınlaşdırmaq üçün
kəsimlərdən istifadə olunur. Simmetrik cisimlərin aksonometrik
proyeksiyalarında təsvirin fikrən bir-birinə perpendikulyar iki müstəvi ilə kəsilir
və alınan kəsiklər ştrixlənir.
Cisimlərin aksonometrik təsvirlərində kəsiklərin ştrixlənməsini onların
düzbucaqlı proyeksiyalarında olduğu kimi 450 bucaq istiqamətində yerinə
yetirmək olmaz. Burada ştrixlənmənin istiqaməti aksonometrik proyeksiyanın
növündən asılı olaraq təyin olunur.
Şək.175-də aksonometrik proyeksiyanın növündən asılı olaraq ştrixləmənin
istiqaməti göstərilmişdir.
Əvvəlcə düzbucaqlı izotermik və çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyaların
oxları qurulur. Düzbucaqlı izotermik proyeksiyada aksonometrik oxlar üzrə təhrif
əmsallarının qiyməti bərabər olduğundan hər üç ox üzərində, koordinat
başlanğıcından eyni uzaqlıqda yerləşən nöqtələr tapılır (şək. 175,a).
172
a) b)
Şək. 175
Çəpbucaqlı frontal dimetrik proyeksiyada isə X və Z oxları üzrə təhrif
əmsalları vahidə bərabər olduğundan bu oxlar üzərində, koordinat başlanğıcından
eyni uzaqlıqda, Y oxu üzərində isə bu uzaqlığın yarısına bərabər məsafədə
yerləşən nöqtələr qeyd edilir (şək. 175, b). Sonra isə hər iki növ aksonometrik
proyeksiyada oxlar üzərində qurulmuş nöqtələr birləşdirilərək üçbucaqlar alınır.
XOZ müstəvisində və bu müstəviyə paralel müstəvilər üzərində alınan kəsiklər
üçbucağın həmin müstəvi üzərində yerləşmiş tərəfinə paralel nazik xətlərlə
ştrixlənirlər.
XOY və YOZ müstəvilərində və bu müstəvilərə paralel müstəvilər üzərində
alınan kəsiklərin ştrixlənməsi isə eyni qayda ilə üçbucağın uyğun müstəvilər
üzərində yerləşmiş tərəflərinə paralel istiqamətdə aparılır.
Şək.176,177 və 178-də uyğun olaraq detalın izometrik, çəpbucaqlı
dimetrik və düzbucaqlı dimetriyada qurulmuş aksonometrik
proyeksiyalarının kəsiklərinin ştrixlənməsi göstərilmişdir.
Şək. 176
173
Şək. 177
Şək. 178
Özünü yoxlamaq üçün suallar
1. Aksonometrik təsvir üsulunun mahiyəti nədən ibarətdir? 2. Aksonometriya oxları üzrə təhrif əmsalı nəyə deyilir?
3. Təhrif əmsallarına görə aksonometrik proyeksiyalar necə ayrılırlar? 4. Aksonometriyanın əsas tərifini izah edin. 5. Düzbucaqlı izometriyada təhrif əmsalları neçəyə bərabərdir? Düzbucaqlı
dimetriyada təhrif əmsalları neçəyə bərabərdir? 6. Düzbucaqlı izometriyada proyeksiya oxlarının vəziyyəti necədir?
Düzbucaqlı dimetriyada proyeksiya oxlarının vəziyyəti necədir? 7. ГОСТ 2.317-69 hansı cəpbucaqlı aksonometrik proyeksiyaları təklif edir?
174
Ədəbiyyat
1.Фролов С.А. Начертательная геометрия. М., 1983, 240 с.
2.Həsənov Ə.Q. Mühəndis qrafikası.Tərsimi həndəsə I hissə.”Maarif”
nəşriyyatı. Bakı 1989. 275 səh.
3. İ.Ə.Həbibov “Mühəndis qrafikası”, Ali texniki məktəblər üçün dərslik,
Bakı 2014. 182 səh.
4.Məmmədova M.A., B.R. Quliyev., Ə.Ə. Babayev. “Mühəndis
qrafikası” kursuna aid tələbələrin fərdi məşqələlərdə istifadə etmələri üçün
sual-cavablar. Proyeksiyalı rəsmixətt. Bakı. 1991.