truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí · 2018-06-26 · truy...

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/

HƯỚNG DẪN GIẢI.

Vấn đề 1. Tiếp tuyến tại điểm thuộc đồ thị ( C ). Bài 1:

1. Ta có: 3 2y 5 x 6x 11x 6 0 x 1;x 2;x 3= − + − = = = =

Phương trình các tiếp tuyến: y 2x 3= + ; y x 7= − + ; y 2x 1= −

2. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 4y 1 0+ − =

1 1y x

4 4 = − + Tiếp tuyến có hệ số góc k 4=

2y' 4 x x 6 0 x 3;x 2 = + − = = − =

* x 3= − Phương trình tiếp tuyến 1 73

y 4(x 3) 4x6 6

= + + = +

* x 2= Phương trình tiếp tuyến 2 26

y 4(x 2) 4x3 3

= − − = −

Bài 2:

1. Gọi A(a;f(a)) là điểm thuộc đồ thị.

Khi đó tiếp tuyến tại A có hệ số góc 2k 3a 4a 1= + +

* Nếu 1

a ;a 13

= − = − hiển nhiên không có tiếp tuyến nào vuông góc với tiếp

tuyến tại A.

* Nếu k 0 . Ta xét phương trình: 2

2

13x 4x 1

3a 4a 1+ + = −

+ +

2

2

13x 4x 1 0

3a 4a 1+ + + =

+ + (1).

Để tồn tại tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến tại A thì (1) phải có nghiệm

2

1' 4 3(1 ) 0

3a 4a 1 = − +

+ +

2

2 2

1 1 3a 4a 20 0

33a 4a 1 3a 4a 1

+ − −

+ + + +

2 10 1 2 10a ; 1; ;

3 3 3

− − − + − − − +

.

2. Gọi M(m; 3m 2) d− +

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại 0 0A(x ;y ) :

2 30 0 0 0y (3x 3)(x x ) x 3x 2= − − + − +

Tiếp tuyến đi qua M 2 30 0 0 03m 2 (3x 3)(m x ) x 3x 2− + = − − + − +

20 0x (2x 3m) 0 − = .Yêu cầu bài toán m 0 = . Vậy M(0;2) .

https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/



3. Hai đường tiệm cận đứng và ngang của (C) có phương trình lần lượt là x = 2,

y = 2 ,suy ra giao điểm của chúng là I(2;2).

Tịnh tiến OI . Hệ trục Oxy Hệ trục IXY.

Công thức chuyển hệ tọa độ : I

I

x X x X 2

y Y y Y 2

= + = +

= + = +

Đối với hệ trục IXY .

Hai đường tiệm cận đứng và ngang của (C) có phương trình lần lượt là X = 0 ,

Y = 0.

(C) có phương trình là 2(X 2) m 4 m

Y 2 Y F(X)X 2 2 X

+ + ++ = = =

+ −.

Gọi X0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C) thì phương trình (d) là

02 20 00 0

m 4 m 4 m 4 2m 8Y (X X ) X

X XX X

+ + + += − − + = − + .

Gọi A là giao điểm của (C) với đường tiệm cận đứng của nó thì 0

2m 8A 0;

X

+

Gọi B là giao điểm của (C) với đường tiệm cận ngang của nó thì B( 02X ; 0)

Diện tích tam giác vuông IAB do (d) tạo với hai đường tiệm cận là

A B 00

1 1 1 2m 8S IA.IB Y X 2X 2m 8

2 2 2 X

+= = = = + .

2m 8 2 m 3S 2 2m 8 2

2m 8 2 m 5

+ = = −= + =

+ = − = − .

Bài 3: Giả sử (C) cắt Ox tại M(m;0) và N(n;0) cắt Oy tại A(0;c)

Tiếp tuyến tại M có phương trình: 2y (3m 2am b)(x m)= + + − .

Tiếp tuyến đi qua A nên ta có: 3 23m 2am bm c 0+ + + =

3 2 a2m am 0 m

2 + = = − (do 3 2am c 0m bm+ + + = )

Mà (C) cắt Ox tại hai điểm nên (C) tiếp xúc với Ox.

Nếu M là tiếp điểm thì suy ra Ox đi qua A vô lí nên ta có (C) tiếp xúc

với Ox tại N. Do đó: 3 2 2y x ax bx c (x n) (x m)= + + + = − −

Suy ra 2 3

2 2

a am ,nm 2n a 2 4

2mn n b a 32c

mn c 5a 16b

= − = − + = −

+ = =

= − =

(1).




Mặt khác AMNS 1 c n m 2 c a 8 = − − = − =

• a 0 ta có:

3

2

a 32c

ac 8

5a 16b

=

= −

=

vô nghiệm.

• a 0 ta có:

3

2

a 32c

ac 8 a 4,b 5,c 2

5a 16b

=

= = − = = −

=

Bài 4: Ta có 3y' 8x 8x= −

Gọi 0 0M(x ; y ) . Tiếp tuyến tại M có phương trình:

3 4 20 0 0 0 0y (8x 8x )(x x ) 2x 4x 1= − − + − − .

1. Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x 48y 1 0− + =

Nên ta có: 0 01

y'(x ). 1 y'(x ) 4848

= − = −

30 0 0 0x x 6 0 x 2 y 15− + = = − = .

Phương trình : y 48(x 2) 15 48x 81 = − + + = − − .

2. Vì tiếp tuyến đi qua A(1; 3)− nên ta có

3 4 20 0 0 0 03 (8x 8x )(1 x ) 2x 4x 1− = − − + − −

4 3 20 0 0 03x 4x 2x 4x 1 0 − − + − = 2

0 0 0(x 1) (x 1)(3x 1) 0 − + − =

• 0x 1 : y 3= = −

• 01 64 51

x : y x3 27 81

= = − − .

3. Giả sử tiếp xúc với (C) tại điểm thứ hai 4 2N(n;2n 4n 1)− −

Suy ra: 3 4 2: y (8n 8n)(x n) 2n 4n 1 = − − + − −

Nên ta có: 3 30 0

4 2 4 20 0

8x 8x 8n 8n

6x 4x 1 6n 4n 1

− = −− + − = − + −

2 20 0

2 20 0

x nx n 1 0

(x n)(3x 3n 2) 0

+ + − =

+ + − =

2 20 0

0

x x n n 1 0

x n 0

+ + − =

+ =

(I) hoặc 2 20 0

2 20

x x n n 1 0

3x 3n 2 0

+ + − =

+ − =

(II)

Ta có (I) 0x n

n 1

= −

= ;

2 20

0

2x n

3(II)1

x n3

+ =

=

vô nghiệm. Vậy : y 3 = − .




Bài 5:

1. Ta có 2f '(x) x 2x 2= − + . Giao điểm của (C) với trục Oy là A(0;1).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A là

A A Ay f '(x )(x x ) f(x ) f '(0).(x 0) f(0) 2x 1= − + = − + = +

2. Cách 1. Tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc với đường thẳng x

y 25

= − + ,suy ra

phương trình (d) có dạng : y = 5x + m.

(d) tiếp xúc với (C)

32

2

xx 2x 1 5x m (1)

3

x 2x 2 5 (2)

− + + = +

− + =

có nghiệm.

Giải hệ trên, (2) x = -1 x = 3.

Thay x = - 1 vào (1) ta được m = 8

3.

Thay x = 3 vào (1) ta được m = - 8 .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 5x + 8

3 hoặc y = 5x – 8 .

Cách 2. Tiếp tuyến (d) vuông góc với đường thẳng x

y 25

= − + suy ra hệ số góc

của (d) : k = 5.

Gọi 0x là hoành độ tiếp điểm của (d) với (C) ,ta có :

20 0 0 0 0k f '(x ) 5 x 2x 2 x 1,x 3= = − + = − = .

Suy ra phương trình (d):

8y 5(x 1) f(1) 5x

3y 5(x 3) f(3) 5x 8

= + + = +

= + + = −

.

3. Vì tam giác OAB là tam giác vuông tại O nên nó chỉ có thể vuông cân tại O ,

khi đó góc giữa tiếp tuyến (D) và trục Ox là 045 ,suy ra hệ số góc của (D) là

Dk 1=

Trường hợp Dk 1= ,khi đó phương trình (D) : y = x + a. (a 0)

(D) tiếp xúc (C)

32

2

xx 2x 1 x a (3)

3

x 2x 2 1 (4)

− + + = +

− + =

có nghiệm.

2(4) x 2x 1 0 x 1 − + = = .

Thay x = 1 vaò phương trình (3) ta được a = 4

3.




Vậy trong trường hợp này ,phương trình (D): y = 4

x3

+

Trường hợp Dk 1= − , khi đó phương trình (D): y = - x + a .

(D) tiếp xúc với (C)

32

2

xx 2x 1 x a (5)

3

x 2x 2 1 (6)

− + + = − +

− + = −

có nghiệm

(6) 2x 2x 3 0 − + = .P/t này vô nghiệm nên hệ (5), (6) vô nghiệm ,suy ra (D) : y

= - x + a không tiếp xúc với (C).

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x +4

3.

Bài 6: Ta có: 2y' 3x 4x m 1= − + −

1. Tiếp tuyến của m(C ) tại điểm có hoành độ x 1= có phương trình

y (m 2)(x 1) 3m 2 (m 2)x 2m= − − + − = − +

Yêu cầu bài toán m 2 3

2m 10

− =

vô nghiệm.

Vậy không tồn tại m thỏa yêu cầu bài toán.

2. Ta có: 2

2 4 4 7 2 7y' 3 x x m 3 x m

3 9 3 3 3

= − + + − = − + −

7y' m

3 − .

Tiếp tuyến tại điểm có hoành độ 2

x3

= có hệ số góc nhỏ nhất và hệ số góc có

giá trị : 7

k m3

= − .

Yêu cầu bài toán 7 11

k.2 1 m .2 1 m3 6

= − − = − =

.

3. Gọi 0 0A(x ;y ) là tọa độ tiếp điểm.

Phương trình tiếp tuyến tại A:

( )2 3 20 0 0 0 0 0y 3x 4x m 1 (x x ) x 2x (m 1)x 2m= − + − − + − + − +

( )2 3 20 0 0 0 0 0M 2 3x 4x m 1 (1 x ) x 2x (m 1)x 2m = − + − − + − + − +

3 20 0 02x 5x 4x 3m 3 0 + − + − = (*)

Yêu cầu bài toán (*) có đúng hai nghiệm phân biệt (1)

Xét hàm số: 3 2h(t) 2t 5t 4t, t= + −

Ta có: 2 1h'(t) 6t 10t 4 h'(t) 0 t ,t 2

3= + − = = = −




Bảng biến thiên

x − 2−

1

3 +

y' + 0 − 0 +

y

12 +

− 19

27−

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra 3 3m 12

(1) 193 3m

27

− = − = −

m 3

100m

81

= − =

là những giá

trị cần tìm.

Bài 7:

1. Xét hệ phương trình : 3

2

x 3x 2 0x 1

3x 3 0

− + + = = −

− + =

Vậy (C) tiếp xúc với Ox tại điểm có hoành độ x 1= − .

2. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox. 3x 3x 2 0 x 1,x 2− + + = = − = .

* x 1 y 0, y'(1) 0= − = = phương trình tiếp tuyến: y 0= .

* x 2 y 0,y'(2) 9= = = − phương trình tiếp tuyến: y 9(x 2) 9x 18= − − = − + .

3. Xét điểm M(m;0) Ox .

Cách 1: Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình: y k(x m)= − .

d là tiếp tuyến của (C) hệ 3

2

x 3x 2 k(x m)

3x 3 k

− + + = −− + =

có nghiệm x

Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc: 2 33(x 1)(x m) (x 3x 2) 0− − − − − =

2 2(x 1)(3x 3(1 m)x 3m) (x 1)(x x 2) 0 + − + + − + − − =

2(x 1)[2x (3m 2)x 3m 2] 0 + − + + + = ( )1

x 1 = − hoặc ( )22x (3m 2)x 3m 2 0 2− + + + =

Để từ M kẻ được ba tiếp tuyến thì ( )1 phải có nghiệm x , đồng thời phải có 3

giá trị k khác nhau, khi đó ( )2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1− , đồng

thời phải có 2 giá trị k khác nhau và khác 0




( )2 phải có hai nghiệm phân biệt khác 1− khi và chỉ khi :

2(3m 2)(3m 6) 0 m , m 2

33m 3 0

m 1

= + − −

+ −

( )3

Với điều kiện ( )3 , gọi 1 2x ,x là hai nghiệm của ( )2 , khi đó hệ số góc của ba

tiếp tuyến là 2 21 1 2 2 3k 3x 3, k 3x 3, k 0= − + = − + = .

Để hai trong ba tiếp tuyến này vuông góc với nhau 1 2k .k 1= − và 1 2k k

1 2k .k 1= − 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 29(x 1)(x 1) 1 9x x 9(x x ) 18x x 10 0 (i) − − = − − + + + =

Mặt khác theo Định lí Viet 1 2 1 23m 2 3m 2

x x ; x x2 2

+ ++ = = .

Do đó 28

(i) 9(3m 2) 10 0 m27

+ + = = − thỏa điều kiện ( )3 , kiểm tra lại ta

thấy 1 2k k

Vậy, 28

M ;027

−

là điểm cần tìm.

Cách 2: Gọi 0 0N(x ;y ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại N có phương trình :

( )20 0 0y 3x 3 (x x ) y= − + − + .

đi qua ( )20 0 0M 0 3x 3 (m x ) y = − + − +

20 0 0 0 03(x 1)(x 1)(x m) (x 1) (x 2) 0 − + − − + − =

20 0 0(x 1) 2x (3m 2)x 3m 2 0 + − + + + =

0

20 0

x 1

2x (3m 2)x 3m 2 0 (a)

= −

− + + + =

Từ M vẽ được đến (C) ba tiếp tuyến (a) có hai nghiệm phân biệt khác 1− ,

và có hai giá trị 20k 3x 3= − + khác nhau và khác 0 điều đó xảy ra khi và chỉ khi:

2 (3m 2)(3m 6) 0(3m 2) 8(3m 2) 0

3m 3 02 2(3m 2) 0

+ − = + − +

+ + +

m 1

2m ,m 2

3

−

−

(b) .

Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x 1= − có hệ số góc bằng 0 nên yêu cầu bài

toán 2 2( 3p 3)( 3q 3) 1 − + − + = − (trong đó p,q là hai nghiệm của phương trình

(a) ) 2 2 2 29p q 9(p q ) 10 0 − + + = 2 2 29p q 9(p q) 18pq 10 0 − + + + =

2 29(3m 2) 9(3m 2)9(3m 2) 10 0

4 4

+ + − + + + =

28m

27 = − . Vậy

28M ;0

27

−

.




Bài 8. Ta có 3y' 4x 4x= −

Gọi 0 0A(x ; y ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại A có phương trình

30 0 0 0: y (4x 4x )(x x ) y = − − +

1. Tiếp tuyến song song với d : y 24x 1= + nên ta có: 30 04x 4x 24− =

30 0 0 0x x 6 0 x 2 y 7 − − = = = .Vậy : y 24x 42 = − .

2. Vì (C) nhận Oy làm trục đối xứng nên nếu d là một tiếp tuyến của (C) thì

đường thẳng d' đối xứng với d qua Oy cũng là tiếp tuyến của (C). Do đó, để

từ M vẽ được ba tiếp tuyến đến (C) thì trong ba tiếp tuyến đó phải có một tiếp

tuyến vuông góc với Oy. Mà (C) có hai tiếp tuyến cùng phương với Ox là:

y 2= − và y 1= − . Đường thẳng này cắt Oy tại 1 2M (0; 2), M (0; 1)− − .

Ta kiểm tra được qua 1M chỉ vẽ đến (C) được một tiếp tuyến, còn từ 2M vẽ

đến (C) được ba tiếp tuyến.

Vậy M(0; 1)− là điểm cần tìm.

3. Giả sử là tiếp tuyến tiếp xúc với (C) tại hai điểm phân biệt 4 2M(m;m 2m 1)− − và 4 2N(n;n 2n 1)− − với m n .

Ta có phương trình : y y'(m)(x m) y(m) = − +

: y y'(n)(x n) y(n) = − +

Suy ra y'(m) y'(n)

m.y'(m) y(m) n.y'(n) y(n)

=− + = − +

3 3

4 2 4 2

4n 4n 4m 4m

3m 2m 1 3n 2n 1

− = −

− + − = − + −

2 2

2 2 2 2 2 2

(n m)(n mn n ) (n m) 0

3(n m )(n m ) 2(n m ) 0

− + + − − =

− + − − =

2 2

2 2

n mn n 1 0

(n m) 3(n m ) 2 0 (*)

+ + − =

+ + − =

Từ (*) ta có: m n 0+ = hoặc 2 2 2n m

3+ = .

• 2m n 0 m n n 1 n 1+ = = − = =

• 2 2

2

1mn

2 3m n43

(m n)3

=

+ = + =

vô nghiệm.

Vậy y 2= − là tiếp tuyến cần tìm.

Bài 9:

Hàm số xác định với mọi x 1 .

Ta có: 2

4y'

(x 1)

−=

−




Tiệm cận đứng: x 1= ; tiệm cận ngang: y 2= ; tâm đối xứng I(1;2)

Gọi 0 0M(x ; y ) là tiếp điểm, suy ra phương trình tiếp tuyến của (C):

002

00

2x 24: y (x x )

x 1(x 1)

+− = − +

−−.

1. Vì tiếp tuyến song với đường thẳng d : y 4x 1= − + nên ta có:

0 0 020

4y'(x ) 4 4 x 0,x 2

(x 1)

−= − = − = =

−.

* 0 0x 0 y 2 : y 4x 2= = = − +

* 0 0x 2 y 6 : y 4x 14= = = − + .

2. Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông cân nên hệ số góc

của tiếp tuyến bằng 1 .

0 020

41 x 1,x 3

(x 1)

−= = − =

−

* 0 0x 1 y 0 : y x 1= − = = − −

* 0 0x 3 y 4 : y x 7= = = − +

3. Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại

00

0 0200

x 12x 6

2x 24A : A 1;y (1 x ) x 1

x 1(x 1)

= +

+− = − + − −−

Tiếp tuyến cắt tiệm ngang tại

0 002

00

y 2

2x 24B : B(2x 1; 2)2 (x x )

x 1(x 1)

=

+− −= − +

−−

Suy ra: 00

8IA ; IB 2 x 1 IA.IB 16

x 1= = − =

−

Chu vi tam giác IAB : 2 2P IA IB AB IA IB IA IB= + + = + + +

Mà 2 2IA IB 2 IA.IB 8; IA IB 2IA.IB 32+ = + =

Nên P 8 32 8 4 2 + = +

Đẳng thức xảy ra 20 0 0IA IB (x 1) 4 x 3,x 1 = − = = = −

Vậy ta có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán: : y x 1 = − − và : y x 7 = − + .

4. Tâm đối xứng I(1;2) , 002

00

2x 24I 2 (1 x )

x 1(x 1)

+− = − +

−−




00 0

0 0

x 121 x 1 x 3

x 1 x 1

+ = + − = +

− − vô nghiệm.

Vậy,không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua I.

Bài 10

Hàm số xác định với mọi x 2 − .

Ta có: 2

4y'

(x 2)=

+

Gọi 0 0M(x ; y ) (C) . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình

20 0

02 2 200 0 0

2x 2x4 4y (x x ) x

x 2(x 2) (x 2) (x 2)= − + = +

++ + +

1. Tiếp tuyến song song với đường thẳng y 4x 3= + khi và chỉ khi

20

0 020

20

44

(x 2)x 1; x 3

2x3

(x 2)

=

+ = − = −

+

.

Vậy trên (C) có hai điểm thỏa yêu cầu bài toán.

2. Gọi A, B lần lượt là giao điểm của tiếp tuyến với Ox, Oy

Suy ra 2 20 0

2 20 0

y 0

1A : 2x x x4

x 0 2(x 2) (x 2) y 0

=

= − + =

+ + =

20

1A( x ;0)

2 −

22 00 2

2 00

x 02x

B : B 0;2xy (x 2)

(x 2)

= = + +

Vì 0A,B O x 0 .

Tam giác AOB vuông tại O nên 40

AOB 20

x1 1S OA.OB

2 2 (x 2) = =

+

Suy ra 4

4 20AOB 0 02

0

x1S 9 9x (x 2)

18 (x 2) = = = +

+

2 00 0

200 0

x 13x x 2 0 (vn)

2x3x x 2 0

3

= + + = = − − − =

.




* 0 0 02 4

x 1 y , y'(x )3 9

= = = . Phương trình 4 2

: y x9 9

= +

* 0 0 02 9

x y 1, y'(x )3 4

= − = − =

Phương trình 9 2 9 1

: y (x ) 1 x4 3 4 2

= + − = + .

3. Ta có tâm đối xứng I( 2;2)−

Khoảng cách từ I đến tiếp tuyến 20

2 20 0

2x4: x y 0(x 2) (x 2)

− + =+ +

:

0

240

8 x 2 td 8

t 16(x 2) 16

+= =

++ +

, với 20t (x 2) 0= +

Do 2 2

t t 1d 2

16t 16 2 16t =

+

Đẳng thức xảy ra khi 2 20t 16 t 4 (x 2) 4= = + = 0 0x 0,x 4 = = − .

Bài 11 Ta có: 2y' 3(x 2x 3)= − −

1. Do 2y' 3 (x 1) 4 12 miny' 12 = − − − = −

, đạt được khi x 1= .

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y 12x 2= − + .

2. Gọi 0 0M(x ; y ) là tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến tại M: 0 0 0y y'(x )(x x ) y= − +

Hay kx y b 0− + = , Với 0k y'(x )=

Theo bài ra ta có: 2

k 1 5cos

41k 1. 2

− = =

+

2 2 241(k 1) 50(k 1) 9k 82k 9 0 − = + + + =1

k 9,k9

= − = − .

• 20 0 0 0k 9 x 2x 0 x 0,x 2= − − = = =

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến: y 9x 1= − + và y 9x 3= − −

• 20 0 0

1 9 321k 27x 54x 80 0 x

9 9

= − − − = =

Từ đó ta tìm được hai tiếp tuyến là: 01 9 321

y x y(x )9 9

= − − +

.

3. Gọi 0 0M(x ; y ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M:

0 0 0y y'(x )(x x ) y= − + .




Do tiếp tuyến đi qua A nên ta có phương trình 2 3 20 0 0 0 0 06 3(x 2x 3)( 1 x ) x 3x 9x 1= − − − − + − − +

3 20 0 0 0 0 0x 3x 2 0 (x 1) (x 2) 0 x 1,x 2 − − = + − = = − =

• 0x 1 y 6= − =

• 0x 2 y 9x 3= = − −

Bài 12: Gọi 0 0M(x ; y ) là tiếp điểm. Phương trình tiếp tuyến tại M

002

00

2x 11y (x x )

x 1(x 1)

−−= − +

−−.

1. Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 1

4− nên suy ra

0 020

1 1x 3,x 1

4(x 1)− = − = = −

−.

Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là:1 13

y x4 4

= − + và 1 5

y x4 4

= − + .

2. Tiếp tuyến cắt tiệm cận đứng tại 0

0

2xA(1; ),

x 1− cắt đường tiệm cận ngang

tại 0B(2x 1;2)− . Tâm đối xứng I(1;2)

Suy ra 00

2IA ,IB 2 x 1 IA.IB 4

x 1= = − =

−

Chu vi tam giác IAB : 2 2p AB IA IB IA IB IA IB= + + = + + +

Mặt khác: 2 2IA IB 2IA.IB 8; IA IB 2 IA.IB 4+ = + =

Nên p 2 2 4 + . Đẳng thức xảy ra IA IB =

20 0 0(x 1) 4 x 3,x 1 − = = = − .

Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: 1 13

y x4 4

= − + và 1 5

y x4 4

= − + .

3. Gọi H là hình chiếu của I lên . Ta có d(I, ) IH =

Trong tam giác vuông IAB ta có: 2 2 2

1 1 1 2 1

IA.IB 2IH IA IB= + =

Suy ra IH 2 . Đẳng thức xảy ra IA IB = .

Từ đó ta tìm được tiếp tuyến là: 1 13

y x4 4

= − + và 1 5

y x4 4

= − + .

4. Đường thẳng có VTCP 2

0

1u 1;

(x 1)

− = −

, 00

1IM (x 1; )

x 1= −

−.




0 0 030

1IM x 1 0 x 0,x 2

(x 1)⊥ − − = = =

−.

Từ đó ta tìm được tiếp tuyến: y x 1,y x 5= − + = − + .

Bài 13.

1. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng : 3 4 3 40 0 0 0 0y 4x (x x ) x 1 4x x 3x 1= − + − = − − trong đó x0 là hoành độ tiếp điểm

của (d) với (C).

A là giao điểm của (d) với trục Ox 40

30

3x 1A ;0

4x

+

B là giao điểm của (C) với trục Oy 40B(0; 3x 1) − − .

Diện tích của tam giác vuông OAB:

4 2 4 20 0

A B 3 30 0

(3x 1) (3x 1)1 1 1 1S OA.OB x y

2 2 2 84x x

+ += = = =

Xét trường hợp 0x 0 ,khi đó 4 20

30

(3x 1)1S .

8 x

+= .

Xét hàm số

4 20

0 030

(3x 1)f(x ) , x (0; ).

x

+= +

4 3 3 4 2 2 4 40 0 0 0 0 0 0

0 6 40 0

2(3x 1)12x .x (3x 1) .3x 3(3x 1)(5x 1)f '(x ) .

x x

+ − + + −= =

40 0 0 04

1 1f '(x ) 0 x x (do x 0)

5 5= = =

Bảng biến thiên của 0f(x )

Từ bảng biến thiên suy ra 0 4

64minf(x )

5 5= đạt được khi và chỉ khi 0 4

1x

5=




Suy ra 4

8minS

5 5= 0 4

1x

5 = .

Khi đó phương trình của (d) là 4

4 8y x

5125= − .

Vì trục Oy là trục đối xứng của (C) nên trong trường hợp x0 < 0, phương trình

của (d) là 4

4 8y x

5125= − − .

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là 4

4 8y x

5125= − .

2. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành là

( )4 2x 3 m 1 .x 3m 2 0− + + + = (1)

Đặt 2t x ,t 0= . Phương trình (1) trở thành : ( )2t 3 m 1 .t 3m 2 0− + + + = (2)

(Cm) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt Phương trình (1) có 4 nghiệm phân

biệt Phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt .

Vì (2) luôn có hai nghiệm là t 1, t 3m 2= = + với mọi m và vì m > 0 (giả thiết)

nên ta có 1 3m 2 + ,suy ra với mọi tham số m > 0 , (Cm) cắt Ox tại 4 diểm

phân biệt và nếu gọi A là giao điểm có hoành độ lớn nhất thì hoành độ A là

Ax 3m 2= + .

Gọi ( )4 2f(x) x 3 m 1 .x 3m 2= − + + + , phương trình tiếp tuyến d của (Cm) tại A

là 3A A A A A Ay f '(x )(x x ) f(x ) [4x 6(m 1)x ](x x )= − + = − + − ( vì Af(x ) 0= )

[4(3m 2) 3m 2 6(m 1) 3m 2](x 3m 2)= + + − + + − +

( ) ( )6m 2 3m 2 x 3m 2)= + + − +

Gọi B là giao điểm của tiếp tuyến d với trục Oy thì ( )( )( )B 0 ; 6m 2 3m 2+ + .

Tam giác mà tiếp tuyến d tạo với hai trục toạ độ là tam giác vuông OAB (

vuông tạiO) ,theo giả thiết ta có : OAB A BS 24 OA.OB 48 x y 48= = =

3m 2(6m 2)(3m 2) 48 + + + = (3).

Gọi ( ) 2f m 3m 2(6m 2)(3m 2) 3m 2(18m 22m 4)= + + + = + + +

23f '(m) (18m 22m 4) (36m 22) 3m 2 0

2 3m 2= + + + + +

+ với mọi m >0.

Suy ra hàm số f(m) đồng biến trên (0;+ ) và vì 2

f 243

=

, do đó phương

trình (3) chỉ có một nghiệm là 2

m 3

= trên (0;+ )




Bài 14:

1. Tiếp tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ 0x vuông góc với đường thẳng

1y x 3

2= +

2 20 0 0 0 0

1f '(x ). 1 3x 10x m 4 2 3x 10x m 6 0 (1)

2 = − − + + = − − + + =

0x tồn tại (1) có nghiệm 7

' 25 3(m 6) 0 m .3

= − +

2. Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox: 3 2 2x 5x (m 4)x m 0 (x 1)(x 4x m) 0 (2)− + + − = − − + =

2x 1, g(x) x 4x m 0 (3) = = − + =

(Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt Phương trình (2) có ba nghiệm phân

biệt

Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 1

' 4 m 0 m 4.

1 4 m 0 m 3

= −

− +

Vì x = 1 là hoành độ điểm A nên hoành độ của B, C là hai nghiệm x1, x2 của

phương trình (3), suy ra 2 21 1 1 2 2 2k 3x 10x m 4 , k 3x 10x m 4= − + + = − + +

Vì 1 2x 2 4 m , x 2 4 m= − − = + − .

( ) ( )2

1k 3 2 4 m 10 2 4 m m 4 = − − − − − + + 8 2m 2 4 m= − − −

( ) ( )2

2k 3 2 4 m 10 2 4 m m 4= + − − + − + + 8 2m 2 4 m= − + −

( ) ( )2 2

2 2 21 2k k 8 2m 2 4 m 8 2m 2 4 m 8m 72m 160 + = − − − + − + − = − +

2 2 21 2k k 160 8m 72m 0 m 0 m 9+ = − = = =

So với điều kiện m 4

m 3

chỉ nhận m = 0.

Vấn đề 2 Tiếp tuyến đi qua điểm

Bài 1:

1. Đường thẳng đi qua M(6;4) với hệ số góc k có phương trình :

y k(x 6) 4= − +




tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ 0x

2

1x k(x 6) 4 (1)

x 21

1 k (2)(x 2)

+ = − +

− − = −

có

nghiệm 0x

Thay (2) vào (1) và biến đổi, ta được:

0 0 0 020 0

1 1x 1 (x 6) 4 x 0,x 3

x 2 (x 2)

+ = − − + = = − −

Tahy vào (2) ta có: 3

k ,k 04

= = .

Vậy tiếp tuyến cần tìm là: y 4= và 3 1

y x4 2

= − .

2. Cách 1: Gọi ( )( )0 0x ; y x là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và ( )C , với

( ) 00

0

x 2y x

x 2

+=

−, tiếp tuyến d có hệ số góc ( )

( )0 2

0

4y' x

x 2

−=

−

, 0x 2 và d có

phương trình: ( )

( ) 002

00

x 24y x x

x 2x 2

+−= − +

−−

d đi qua điểm ( )A 6;5− nên có ( )

( ) 002

00

x 245 6 x

x 2x 2

+−= − − +

−−

phương trình

này tương đương với 20 0x 6x 0− = 0x 0= hoặc 0x 6=

Với 0x 0= , ta có phương trình: y x 1= − −

Với 0x 6= , ta có phương trình: x 7

y4 2

= − +

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y x 1= − − , x 7

y4 2

= − + .

Cách 2: Phương trình d đi qua ( )A 6;5− có hệ số góc k , khi đó d có phương

trình là : ( )y k x 6 5= + +

d tiếp xúc ( )C tại điểm có hoành độ 0x khi và chỉ khi hệ :




( )

( )

00

0

20

x 2k x 6 5

x 2

4k

x 2

++ + =

− = − −

có nghiệm 0x hay

( )

20 0

20

4x 24x 0

4k

x 2

− = = −

−

có nghiệm 0x

0

0

x 0, k 1 d : y x 1

1 x 7x 6, k d : y

4 4 2

= = − = − − = = − = − +

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài y x 1= − − , x 7

y4 2

= − + .

Bài 2:

1. Tiếp tuyến (d) của (C) song song với đường thẳng y = 9x – 7 ,suy ra phương

trình (d) có dạng : y = 9x + m (m - 7)

(d) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ 0x khi hệ 3 20 0 0

20 0

x 3x 2 9x m (1)

3x 6x 9 (2)

+ − = +

+ =

có nghiệm 0x

(2) 0x = 1 0x = - 3 .

Lần lượt thay 0x = 1 , 0x = - 3 vào (1) ta được m = - 7 , m = 25 và m = - 7 bị loại

Vậy phương trình tiếp tuyến (d): y = 9x + 25.

2. Phương trình tiếp tuyến (D) đi qua A(-2;7) có dạng y = k(x+2) +7 .

(D) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ 0x khi hệ 3 20 0 0

20 0

x 3x 2 k(x 2) 7 (3)

3x 6x k (4)

+ − = + +

+ =

có nghiệm 0x

Thay (4) vào (3) ta được: 3 2 20 0 0 0 0x 3x 2 (3x 6x )(x 2) 7+ − = + + + 3 2

0 0 0 02x 9x 12x 9 0 x 3 + + + = = −

Thay 0x = - 3 vào (4) ta được k = 9. Suy ra phương trình (D): y = 9x + 25.

Bài 3: Ta có: 4 3 2 3 2y x 4x 4x y' 4x 12x 8x= − + = − +

1. Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Parabol 2y x=

4 3 2 2 2 2x 4x 4x x x (x 4x 3) 0 x 0,x 1,x 3− + = − + = = = = .

• x 0= ta có phương trình tiếp tuyến là: y 0= .

• x 1= ta có phương trình tiếp tuyến là: y 1=

• x 3= ta có phương trình tiếp tuyến là: y 24x 63= − .

2. Cách 1: Gọi 0 0M(x ; y ) (C) .

Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình :




3 20 0 0 0 0y (4x 12x 8x )(x x ) y= − + − + .

3 2 2 20 0 0 0 0 0A 0 (4x 12x 8x )(2 x ) x (x 2) = − + − + −

3 20 0 0 0 0 0 0

4(2 x )(3x 10x 8x ) 0 x 0,x 2,x

3 − − + = = = = .

* 0 0 0x 0 y'(x ) 0,y 0= = = Phương trình tiếp tuyến y 0=

* 0 0 0x 2 y'(x ) 0,y 0= = = Phương trình tiếp tuyến y 0=

* 0 04 32 64

x y'(x ) ,y3 27 81

= = − = Phương trình tiếp tuyến: 32 64

y x27 27

= − + .

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k d : y k(x 2) = −

d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ 0x khi hệ 2 2

0 0 0

0 0 0

(2 x ) x k(x 2)

4x (x 2)(x 1) k

− = −

− − =

có

nghiệm 0x

Thay k vào phương trình thứ nhất ta được: 4 3 2 3 2 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0x 4x 4x (x 2)(4x 12x 8x ) x (3x 4)(x 2) 0− + = − − + − − =

0 0 04

x 0,x 2,x3

= = = .

* 0x 0 k 0= = Phương trình tiếp tuyến y 0=

* 0x 2 k 0= = Phương trình tiếp tuyến y 0=

* 04 32

x k3 27

= = − Phương trình tiếp tuyến32 64

y x27 27

= − + .

Bài 4:

1. Gọi (d) là tiếp tuyến cần tìm phương trình và 0x là hoành độ tiếp điểm của

(d) với (C) thì hệ số góc của

(d):2

20 0 0 0

9 1 9k y'(x ) 2x 2x 4 x

2 2 2

= = − + + = − −

0

9 1k x .

2 2= =

Vậy 9

maxk 2

= đạt được khi và chỉ khi 01

x2

= .

Suy ra phương trình tiếp tuyến (d) :9 1 1 9 25

y x y x2 2 2 2 12

= − + = −

.

2. Phương trình đường thẳng (D) đi qua điểm A(2;9) có hệ số góc k là y k(x 2) 9= − +




(D) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ 0x khi hệ

3200 0 0

20 0

2xx 4x 2 k(x 2) 9 (1)

3

2x 2x 4 k (2)

− + + − = − +− + + =

có nghiệm 0x .

Thay (2) vào (1) ta được : 3

2 200 0 0 0 0

2xx 4x 2 ( 2x 2x 4)(x 2) 9

3− + + − = − + + − +

3 20 0 0 04x 15x 12x 9 0 x 3 − + − = =

Thay 0x = 3 vào (2) ta được k = - 8 .

Vậy phương trình tiếp tuyến (D) là y = - 8x + 25.

3. Hai tiếp tuyến của (C) tại M1, M2 song song 2 2

1 2 1 1 2 2y'(x ) y'(x ) 2x 2x 4 2x 2x 4 = − + + = − + +

2 22 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2x x x x 0 (x x )(x x 1) 0 x x 1 (do x x ). − + − = − + − = + =

4. ( ) ( )1 1 1 2 2 2M x ;y ,M x ;y với

321

1 1 1

2xy x 4x 2

3= − + + − ,

322

2 2 2

2x y x 4x 2

3= − + + − .

3 3 2 21 2 1 2 1 2 1 2

2y y (x x ) x x 4(x x ) 4

3+ = − + + + + + −

3 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2[(x x ) 3x x (x x )] (x x ) 2x x 4 4

3= − + − + + + − + −

1 2 1 22 1

(1 3x x ) 1 2x x3 3

= − − + − =

Gọi I là trung điểm của 1 2M M thì

1 2I

1 2I

x x 1x

2 2y y 1

y2 6

+= =

+ = =

Vậy đường thẳng 1 2M M đi qua điểm cố định I1 1

;2 6

chính là điểm uốn của

đồ thị (C).

Bài 5:

1. Tiếp tuyến (d) của (C) vuông góc đường thẳng 4

y x 13

= + suy ra phương

trình (d) có dạng : 3

y x m4

= − + .




(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ 0x khi hệ

20

00

20 0

20

x 3x m

2 x 4

x 4x 3

4(2 x )

= − +

−− +

= −−

có nghiệm

0x 20 0

20

x 4x 3

4(2 x )

− + = −

− 0 0x 6 x 2 = = − ( )

3 9 3 1d : y x ,y x

4 2 4 2 = − − = − − .

2. Phương trình tiếp tuyến (d) của (C) đi qua A(2 ; - 2) có dạng : y = k(x – 2) – 2

.

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ 0x khi hệ

20

00

20 0

20

xk(x 2) 2 (1)

2 x

x 4xk

(2 x )

= − −

−− +

=−

có

nghiệm 0x2 20 0 0

020 0

x x 4x(x 2) 2

2 x (2 x )

− + = − −

− − 0

3 1x 2 y x

4 2 = − = − −

3.

2 2M M

M MM M

M M M M

x xyM (C) y

.2 x 2 xd(M,Ox) 2d(M,Oy)

y 2 x y 2x

= =

− − =

= =

2M MM MM M MM 2

M 2MMM M M

MM M M

4y 2xx xy 2x x 0y 3(*) 2 x xy 0 82x 3x 4x 0

yy 2x 2 x3

= = = = = −

== − = == −

Vì M không trùng với gốc tọa độ O nên chỉ nhận 4 8

M ;3 3

.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 8x – 8. 2

M MMM M MM 2

M 2MMM M M

M M M

y 2xx y 2x x 4y(*) 2 x x

y 82x x 4x 0y 2x 2 x

= − = − = =

− = −− = − = = − −

(do M O).

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y 8= − .

Bài 6:

Ta có 2y' 6x 6(m 1)x m= − + + , suy ra phương trình tiếp tuyến (d) là

y y'( 1)(x 1) y( 1)= − + + − = (12+7m)(x+1) – 3m – 4 y = (12+7m)x +4m+8

1. A(0;8) (d) 8 = 4m +8 m 0 = .




2. Gọi P,Q lần lượt là giao điểm của (d) với trục Ox và Oy thì 4m 8

P ;012 7m

+ −

+ ,

Q(0; 4m+8).

Diện tích: OPQ:

28m 32 32m1 1 4m 8S OP.OQ 4m 8

2 2 12 7m 12 7m

+ ++= = − + =

+ +

28 8S 8m 32m 32 12 7m

3 3= + + = +

22

2 2

58 5 m 0 m8m 32m 32 (12 7m) m m 0 33 3 .8 19 73

8m 32m 32 (12 7m) 3m 19m 24 0 m3 6

= = −+ + = + + = − + + = − + + + = =

Bài 7:

1. (C) tiếp xúc (P) tại điểm có hoành độ 0x khi hệ sau có nghiệm 0x

42 20

0 00 0

30 0 0

xx 0 x 62x 4 x m

4m 4 m 20

x 4x 2x

= = − + = +

= =

− =

2. 2.Phương trình tiếp tuyến (d): 4 4

2 3 2a ay y'(a)(x a) 2a 4 (a 4a)(x a) 2a 4

4 4= − + − + = − − + − +

43 23a

(a 4a)x 2a 44

= − − + +

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d): 4 4

2 3 2 4 2 3 4 2x 3a2x 4 (a 4a)x 2a 4 x 8x 4(a 4a)x 3a 8a 0

4 4− + = − − + + − − − + − =

2 2 22 2

x a(x a) (x 2ax 3a 8) 0

x 2ax 3a 8 0 (3)

= − + + − =

+ + − =

(d) cắt (C) tại hai điểm E,F khác M Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt

khác a 2 2

2

2 a 2' a 3a 8 0

.2a6a 8 0

3

− = − +

−

(*)

Tọa độ trung điểm I của E,F :

E FII

44 2

3 2 II

x xx ax a

27a

3a y 6a 4y (a 4a)( a) 2a 4 (do I (d)) 4

4

+ = −= = −

= − + + = − − − + +




4 22 2 2 2 a 07a a

I (P) : y x 4 6a 4 a 4 7a (1 ) 0 .a 24 4

= = − + − + + = − + − =

=

So với điều kiện (*) nhận a = 0.

Bài 8:

1. Hai đường cong đã cho tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ 0x hệ

phương trình :

220 00

0

20 0

020

x x 1x m (1)

x 1

x 2x2x (2)

(x 1)

− + = +

−

−=

−

có nghiệm 0x .

Ta có: 20 0 0(2) x (2x 5x 4) 0 x 0 − + = = thay vào (1) ta được m 1= − .

Vậy m 1= − là giá trị cần tìm.

2. 1(C ) và 2(C ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ 0x hệ phương trình

sau có nghiệm 0x :3 2 30 0 0 0 0

2 20 0 0

mx (1 2m)x 2mx 3mx 3(1 2m)x 4m 2

3mx 2(1 2m)x 2m 9mx 3(1 2m)

+ − + = + − + −

+ − + = + −

3 20 0 0

20 0

2mx (1 2m)x (3 8m)x 4m 2 0 (1)

6mx 2(1 2m)x 3 8m 0 (2)

− − + − + − =

− − + − =

có nghiệm 0x

Ta có : 20 0 0(1) (x 1)(2mx (1 4m)x 4m 2) 0 − − − − + =

0

20 0

x 1

2mx (1 4m)x 4m 2 0

=

− − − + =

• Với 0x 1= thay vào (2), ta có:1

m2

= .

• Với 20 02mx (1 4m)x 4m 2 0− − − + = (*) ta có :

0

20 0

0

x 1

(2) 4mx x 1 4m 0 (m 01 4mx

4m

= − + − = − =

vì m 0= hệ vô nghiệm)

Thay 01 4m

x4m

−= vào (*) ta được:

2 2(1 4m) (1 4m)2 4m 0

8m 4m

− −− + − =

2 3 648m 24m 1 0 m

12

− + = = .




Vậy 1 3 6

m ,m2 12

= = là những giá trị cần tìm.

3. (Cm) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ 0x khi hệ

3 2 20 0 0 0 0

20 0 0

x 4mx 7mx 3m x x 1 (1)(A)

3x 8mx 7m 2x 1

− + − = − +

− + = −

có nghiệm 0x .

Giải hệ (A), 3 20 0 0(1) x (4m 1)x (7m 1)x 3m 1 0 − + + + − − =

02

0 0 0 20 0

x 1(x 1)(x 4mx 3m 1) 0

x 4mx 3m 1 0

= − − + + =

− + + = Vậy (A)

20 0 0

2 20 0 0 0

x 1 x 4mx 3m 1 0

3x 2(4m 1)x 7m 1 0 (2) 3x 2(4m 1)x 7m 1 0 (2)

= − + + =

− + + + = − + + + =

Thay 0x = 1 vào (2) ta được m = 2.

Hệ 2 20 0 0 0

2 20 0 0 0

3x 2(4m 1)x 7m 1 0 (2) 3x 2(4m 1)x 7m 1 0 (2)

x 4mx 3m 1 0 (3) 3x 12mx 9m 3 0 (4)

− + + + = − + + + =

− + + = − + + =

Trừ hai phương trình (2) và (4) ,vế với vế ta được.

4m 0x – 2 0x – 2m – 2 = 0 0(2m 1)x m 1 (5) − = + .

Khi m = 1

2 thì (5) trở thành 0 = 3/2 (sai) do đó (5) 0

m 1x

2m 1

+ =

−.

Thay 0x = m 1

2m 1

+

− vào phương trình (3) ,ta được

2m 1 m 1

4m 3m 1 02m 1 2m 1

+ + − + + =

− −

3 2 14m 11m 5m 2 0 m 2 m m 1.

4 − + + = = = − =

Vậy các giá trị m cần tìm là m1

2; ;14

−

.

Bài 9: Ta có 2

2

x 2xy'

(x 1)

−=

−.

Gọi 0 0M(x ; y ) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d với (C)

2 20 0 0 0

0200

x 2x x x 1d : y (x x )

x 1(x 1)

− − += − +

−−.




1. Vì d song song với đường thẳng3 1

: y x4 4

= + , nên ta có:

220 00 0 0 02

0

x 2x 3x 2x 3 0 x 1,x 3

4(x 1)

−= − − = = − =

−.

• 0x 1= − phương trình tiếp tuyến:3 3

y x4 4

= − .

• 0x 3= phương trình tiếp tuyến:3 5

y x4 4

= + .

2. Cách 1: 2 20 0 0 0

0200

x 2x x x 1M d 3 ( 1 x )

x 1(x 1)

− − + = − − +

−−

2 2 20 0 0 0 0 0 03(x 1) (x 2x )( x 1) (x 1)(x x 1) − = − − − + − − +

20 0 0 0

12x 5x 2 0 x 2,x

2 − + = = = .

• Với 0x 2= Phương trình tiếp tuyến y 3= .

• Với 01

x2

= Phương trình tiếp tuyến y 3x= − .

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua M( 1;3)− , có hệ số góc k, khi đó phương

trình d có dạng: y k(x 1) 3= + +

d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ 0x khi hệ phương trình sau có nghiệm

0x :

20 0

00

20 0

20

x x 1k(x 1) 3 (1)

x 1

x 2xk (2)

(x 1)

− + = + +

−

−=

−

Thế (2) vào (1) ta được: 2 20 0 0 0

020 0

x x 1 x 2x(x 1) 3

x 1 (x 1)

− + −= + +

− −

20 0 0 0

12x 5x 2 0 x 2,x

2 − + = = = .

• Với 0x 2 k 0= = Phương trình tiếp tuyến y 3= .

• Với 01

x k 32

= = − Phương trình tiếp tuyến y 3x= − .

3. Đồ thị có hai tiệm cận x 1= và y x= suy ra giao điểm của hai tiệm cận là

I(1;1) .




Cách 1: 2 20 0 0 0

0200

x 2x x x 1I d 1 (1 x )

x 1(x 1)

− − + = − +

−−

2 20 0 0 0 0x 1 x 2x x x 1 2 0 − = − + + − + = vô nghiệm.

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I .

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua I, có hệ số góc k d : y k(x 1) 1 = − +

d là tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ 0x khi hệ

20 0

00

20 0

20

x x 1k(x 1) 1

x 1

x 2xk

(x 1)

− + = − +

−

−=

−

có nghiệm 0x

Thế k vào phương trình thứ hai ta được: 2 20 0 0 0

0 0

x x 1 x 2x1

x 1 x 1

− + −= +

− −

2 20 0 0 0 0x x 1 x 2x x 1 − + = − + − phương trình vô nghiệm

Vậy qua I không có tiếp tuyến nào kẻ đến (C).

4. m có hệ số góc m1

km

= .

Số tiếp tuyến thỏa mãn bài toán chính là số nghiệm của phương trình: 2

2m 2

m(x 2x)y'.k 1 1 (m 1)x 2(m 1)x 1 0 (*)

(x 1)

−= − = − + − + + =

−( với điều kiện

x 1 )

* Nếu m 1= − (*) vô nghiệm không có tiếp tuyến nào.

* Nếu m 1 − : (*) có ' m(m 1) = + và (*) có nghiệm x 1 m 0= =

• Khi m 0

m 1

− (*) có hai nghiệm phân biệt có hai tiếp tuyến

• Khi 1 m 0− thì (*) vô nghiệm không có tiếp tuyến nào.

Bài 10:

Cách 1: Gọi điểm 0 0M(x ; y ) (C) . Tiếp tuyến tại M của (C) có phương trình

002

00

x 23y (x x )

x 1(x 1)

+−= − +

−−.




0 02

00

3x x 2A m

x 1(x 1)

+ = +

−−

20 0 0 0m(x 1) 3x (x 2)(x 1) 0 − = + + − = (với

0x 1 ) 20 0(m 1)x 2(m 2)x m 2 0 − − + + + = (*).

Yêu cầu bài toán (*) có hai nghiệm a,b khác 1 sao cho

(a 2)(b 2) ab 2(a b) 40

(a 1)(b 1) ab (a b) 1

+ + + + +=

− − − + + hay là:

' 3(m 2) 0 m 1

m 1 0 2m

3m 2 0 3

= +

− − − −

.

Vậy

m 1

2m

3

−

là những giá trị cần tìm.

Cách 2: Đường thẳng d đi qua A, hệ số góc k có phương trình: y kx m= + .

d là tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ 0x khi hệ

00

0

20

x 2kx m

x 1

3k

(x 1)

+= +

−

− = −

có

nghiệm 0x . Thế k vào phương trình thứ nhất, ta đươc:

20 00 02

0 0

x 2 3xm (m 1)x 2(m 2)x m 2 0

x 1 (x 1)

+ −= + − − + + + =

− − (*).

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

' 3(m 2) 0m 2

m 1 (i)m 1

m 1 2(m 2) m 2 0

= + −

− − + + +

Khi đó tọa độ hai tiếp điểm là: 1 1 1 2 2 2M (x ; y ), M (x ; y ) với x1,x2 là nghiệm của (*)

và 1 21 2

1 2

x 2 x 2y ; y

x 1 x 1

+ += =

− −

Để M1, M2 nằm về hai phía Ox thì 1 2 1 21 2

1 2 1 2

x x 2(x x ) 4y .y 0 0 (1)

x x (x x ) 1

+ + +

− + +

Áp dụng định lí Viet: 1 2 1 22(m 2) m 2

x x ; x xm 1 m 1

+ ++ = =

− −.

9m 6 2(1) 0 m

3 3

+ −

−.

Kết hợp với (i) ta có

2m

3m 1

−

là những giá trị cần tìm.




2. (C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ 0x khi hệ

3 20 0 0

20 0

x 2(m 1)x 5mx 2m 0

3x 4(m 1)x 5m 0

− + + − + =− + + − =

(A) có nghiệm 0x .

Giải hệ (A).

200 0 0

220 00 0

x 2(x 2)(x 2mx m) 0(A)

3x 4(m 1)x 5m 0 (1)3x 4(m 1)x 5m 0

=− − + =

− + + =− + + =

Hoặc 20 0

20 0

x 2mx m 0

3x 4(m 1)x 5m 0

− + =

− + + =

Thay 0x = 2 vào (1) ta được 4

m3

= .

Hệ 2 20 0 0 0

2 20 0 0 0

x 2mx m 0 (2) 3x 6mx 3m 0 (3)

3x 4(m 1)x 5m 0 3x 4(m 1)x 5m 0 (1)

− + = − + =

− + + = − + + =

Trừ hai phương trình (1) và (3) , vế với vế ta được

0 0m

(m 2)x m xm 2

− = − = −−

.

Thay 0m

xm 2

= −−

vào (1), ta được : 2 2

2

m 2mm 0

m 2(m 2)+ + =

−−

3 2m 3m 2m 0 m 0 m 1 m 2 − + = = = = .Vậy m4

0;1; 2;3

.

3. ( )mC tiếp xúc với (d) tại điểm có hoành độ 0x khi hệ

4 20 0

30 0

x (m 1)x 4m 3 (1)

4x 2(m 1)x 0 (2)

− + + =

− + =

(A) có nghiệm 0x .

Giải hệ (A), 0(2) x 0 = hoặc 20

m 1x

2

+=

Thay 0x = 0 vào (1) ta được m = 3

4.

Thay 20

m 1x

2

+= vào (1) ta được

2 2m 1 (m 1)4m 3

2 2

+ +− + =

2m 14m 13 0 m 1 m 13. − + = = =

Khi 3

m4

= thì ( )mC tiếp xúc với (d) tại chỉ một điểm (0;3) nên 3

m4

= không

thỏa mãn yêu cầu của bài toán.

Khi m= 1 thì 20 0x 1 x 1= = ,suy ra ( )mC tiếp xúc với (d) tại hai điểm ( 1;3 ).




Khi m = 13 thì 20 0x 7 x 7= = ,suy ra ( )mC tiếp xúc với (d) tại hai điểm

( 7;3) . Vậy các giá trị m cần tìm là m = 1m = 13.

Bài 11:

1. Tam giác OAB vuông tại O , H là hình chiếu vuông góc của O lên AB ,suy ra

2 2

22

OA AH.AB OB HB OB4 2 tanOAB 2.

HA OAOAOB BH.BA

= = = = =

=

Hệ số góc của đường thẳng (d) : k = 2 .

Khi k = 2 ,phương trình (d) có dạng y = 2x + m.

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ 0x

00

0

20

2x 42x m (2)

x 1

22 (3)

(x 1)

−= +

−

= −

có nghiệm

0x . 2 0 00

0 0

x 1 1 x 2(3) (x 1) 1 .

x 1 1 x 0

− = = − =

− = − =

Thay 0x = 2 vào (2) ta được m = - 4 .


Vậy trong trường hợp này, phương trình tiếp tuyến (d) là y = 2x 4.

Khi k = - 2 , phương trình (d) có dạng : y = -2x + m


00

0

20

2x 42x m (4)

x 1

22 (5)

(x 1)

−= − +

−

= − −

có

nghiệm 0x .Phương trình (5) vô nghiệm nên hệ trên vô nghiệm.

Vậy phương trình tiếp tuyến (d): y = 2x 4.

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến (d) với (C), khi đó phương trình (d)

có dạng 00 0 0 02

00

2x 42y f '(x )(x x ) f(x ) (x x )

x 1(x 1)

−= − + = − +

−−

20 0

2 20 0

2x 8x 42x .

(x 1) (x 1)

− += +

− −

A là giao điểm của (d) với trục hoành 20 0A( x 4x 2;0) − + − .

B là giao điểm của (d) với trục tung 20 0

20

2x 8x 4B 0;

(x 1)

− + −

.

Diện tích tam giác OAB (vuông tại O) :




2 2 22 0 0 0 00 0 2 2

0 0

2x 8x 4 (x 4x 2)1 1S OA.OB x 4x 2 .

2 2 (x 1) (x 1)

− + − += = − + − =

− −

2 22 2 20 00 0 02

0

(x 4x 2)S 4 4 (x 4x 2) 4(x 1)

(x 1)

− += = − + = −

−

2 20 0 0 0 0

2 20 0 0 0 0

x 4x 2 2(x 1) x 6x 4 0

x 4x 2 2(x 1) x 2x 0

− + = − − + = − + = − − − =

0 0

0 0

x 3 5 x 3 5

x 0 x 2

= − = +

= =

.

Suy ra phương trình tiếp tuyến (d):

2 2

2 4 2 4y x , y x , y

2 5 2 5(2 5) (2 5)= + = + =

− +− + 2x+4 , y = 2x – 4 .

Bài 12:

1.

9A 0;A Oy

2.9

OA 9A 0;2

2

= −

Trường hợp 1. 9

A 0;2

. Khi đó phương trình tiếp tuyến (d) có dạng 9

y kx2

= + .


20 0

00

20 0

20

x 3x 9kx (2)

1 x 2

x 2x 3k (3)

(1 x )

− = +

−

− + −=

−

có nghiệm

0x . Thay (3) vào (2) ta được

2 200 0 0 0

0 2 3 2 220 0 0 0 0 0 0 00

x 1x 3x x 2x 3 9x

1 x 2 2(x 3x )(1 x ) 2x 4x 6x 9(1 x )(1 x )

− − + − = +

− − − = − + − + −−

00

200 0

x 3x 1.3

x5x 18x 9 05

= =− + =

Thay 0x = 3 vào (3) ta được 3

k2

= − .

Thay 0x = 3

5 vào (3) ta được

27k

2= − .




Vậy trong trường hợp này , phương trình của (d) là 3 9 27 9

y x ,y x2 2 2 2

= − + = − + .

Trường hợp 2: 9

A 0;2

−

.Khi đó phương trình (d) có dạng :

9y kx

2= − .


20 0

00

20 0

20

x 3x 9kx (4)

1 x 2

x 2x 3k (5)

(1 x )

− = −

−

− + −=

−

có nghiệm

0x . Thay (5) vào (4), ta được:

2 200 0 0 0

0 2 3 2 220 0 0 0 0 0 0 00

x 1x 3x x 2x 3 9x

1 x 2 2(x 3x )(1 x ) 2x 4x 6x 9(1 x )(1 x )

− − + − = −

− − − = − + − − −−

0

20 0

x 1

13x 18x 9 0 (vn)

+ + =

Do đó trong trường hợp này không có tiếp tuyến (d) thỏa đề.

Vậy phương trình tiếp tuyến (d) cần tìm là 3 9 27 9

y x ,y x2 2 2 2

= − + = − + .

3. a. Phương trình đường thẳng MN: M M

M N M N

y y x xy 3x 3.

y y x x

− −= = − +

− −

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng MN.

2 2x 3x 2x 3x 3 0 (vn)

3x 31 x x 1

− − + == − +

−

Suy ra đường thẳng MN và (C) không có điểm chung.

b. Tiếp tuyến (D) song song đường thẳng MN suy ra phương trình (D) có dạng

y = - 3x + m (m 3)

(D) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ 0x

20 0

00

20 0

20

x 3x3x m (6)

1 x

x 2x 33 (7)

(1 x )

− = − +

−

− + −= −

−

có

nghiệm 0x2

00 02 220 0 0 00

x 1x 2x 33

x 2x 3 3(1 x 2x )(1 x )

− + − = −

− + − = − + −−

0 02

00 0

x 1 x 0.

x 22x 4x 0

=

=− =






Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y 3x ,y 3x 8= − = − +

Khi m = 0 thì tiếp điểm của tiếp tuyến (D) với (C) là O(0;0).

Khi m = 8 thì tiếp điểm của tiếp tuyến (D) với (C) là K(2;2).

Vì đường thẳng MN và (C) không có điểm chung và

d(O, MN) =3

10 < d(K,MN) =

5

10 do đó điểm thuộc (C) có khoảng cách từ

đó đến đường thẳng MN là O .

Mặt khác EMN1

S MN.d(E,MN)2

= , độ dài MN không đổi ,do đó

SEMN nhỏ nhất d(E,MN) nhỏ nhất E O .

Vậy điểm cần tìm là gốc tọa độ O.

Bài 13:

1. Xét M(0;m) Oy . Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình:

y kx m= + .

d là tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành đồ 0x khi hệ

20 0 0 0

0

20 0

x 4x 2x 1 kx m

4x 11 k

4x 2x 1

+ + + = +

++ =

+ +

có nghiệm 0x .

Thay k vào phương trình thứ nhất ta được: 2

2 0 00 0 0 0

20 0

4x xx 4x 2x 1 x m

4x 2x 1

++ + + = + +

+ +

2 2 20 0 0 0 0 04x 2x 1 4x x m 4x 2x 1 + + = + + + + 0

020 0

x 1m f(x )

4x 2x 1

+ = =

+ +

(*)

Để từ M kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến đồ thị (*) có ít nhất một

nghiệm.

Xét hàm số f( 0x ), ta có: 00 0 0

2 30 0

3xf '(x ) f '(x ) 0 x 0

( 4x 2x 1)

−= = =

+ +

Mặt khác: 0 0x x

1 1lim f(x ) ; lim f(x )

2 2→+ →−= = −

Bảng biến thiên:

0x − 0 +

0f '(x ) + 0 −




0f(x ) 1

1

2−

1

2

(*) có nghiệm 1

m 12

− .

Vậy M(0;m) với 1

m 12

− là những điểm cần tìm.


truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí · 2018-06-26 · truy...

Documents