N.  Duceux  –  LFIB  –TS   Page  1      

Algorithmique  –  Application  aux  limites  de  suites    

Boucle  conditionnelle  «  tant  que  »    Dans  une  boucle  «  tant  que  »,  le  traitement  est  répété  tant  que  la  condition  est  vraie.  Quand  la  condition  est  fausse,  on  sort  de  la  boucle.    Algorithme  1  –  Suite  divergent  vers  +∞  

(𝑢!)  est  la  suite  définie  pour  tout  nombre  entier  naturel  𝑛  par  𝑢! = 𝑛!  

On  donne  l’algorithme  suivant  :  

Entrée  Saisir  la  valeur  A  Initialisations  U  prend  la  valeur  0  N  prend  la  valeur  0  Traitement  Tant  que  U<=A              N  prend  la  valeur  N+1              U  prend  la  valeur    N!  Fin  Tant  que  Sortie  Afficher  N  

 

1) Quel  est  le  rôle  de  cet  algorithme  ?  

2) Qu’affiche  l’algorithme  lorsque  l’on  saisit  en  entrée  :  𝐴 = 10!  ?        𝐴 = 10!"  ?  

 

Adaptation  de  l’algorithme  au  langage  des  calculatrices  TI  et  CASIO  

CASIO   TI  

-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐Diverge-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  ?→ 𝐴 ↲  ∅ → 𝑈  ∅ → 𝑁  While  𝑈 ≤ 𝐴 ↲  𝑁 + 1   →  𝑁  ↲  𝑁! → 𝑈  WhileEnd  ↲  «  Le  plus  petit  entier  est  »  :  N    ⊿  

PROGRAM  :Diverge  :  Prompt  𝐴  :  ∅ → 𝑈  :  ∅ → 𝑁  :  While  𝑈 ≤ 𝐴  :  𝑁 + 1   →  𝑁  :  End  :  Disp  «  Le  plus  petit  entier  est  »  ,  N    

 

Exercice  1  

En  s’inspirant  de  l’algorithme  précédent,  écrire  un  algorithme  permettant  de  déterminer  le  seuil  à  

partir  duquel,  les  termes  de  la  suite  (𝑢!),  définie  pour  tout  nombre  entier  naturel  𝑛  par    

𝑢! = 𝑛! + 2𝑛 + 10,  sont  plus  grand  que  𝐴  et  donc  montrer  qu’elle  diverge  vers  +∞.  

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Exercice  2–  Suite  géométrique  divergent  vers  +∞  

Ecrire  un  algorithme  permettant  de  montrer  qu’une  suite  géométrique  est  non  bornée  et  diverge  vers  

+∞.  On  précisera  bien  les  conditions  sur  le  premier  terme  et  sur  la  raison  de  la  suite.  

 

Algorithme  2  –  Suite  convergente    

(𝑢!)  est  une  suite  définie  pour  tout  nombre  entier  naturel  𝑛  ayant  pour  limite  𝑙.  

On  souhaite  déterminer  le  rang  𝑛  à  partir  duquel  la  distance  entre  𝑢!  et  𝑙  est  inférieure  à  un  réel  𝑒  fixé.  

Variables      𝑁  entier  Initialisation                𝑢⟵ 𝑎                𝑁 ← 0  Traitement                Tant  que   𝑢 − 𝑙 ≥ 𝑒                                  𝑁⟵ 𝑁 + 1                                      Fin  Tant  que          Sortie                  Afficher    «  le  seuil  est  »  ,  𝑁  

 

Exercice  3  

1) En  s’inspirant  de  l’algorithme  précédent,  déterminer  un  algorithme  permettant  de  déterminer  le  

seuil  à  partir  duquel  la  suite  (𝑢!),  définie  par  𝑢! =!!!!!!!

,  prend  toutes  ses  valeurs  dans  l’intervalle  

0; 𝑒  où  𝑒  est  un  nombre  fixé.  Tester  l’algorithme  sur  la  calculatrice  pour  𝑒 = 10!!.  

2) Retrouver  par  le  calcul,  le  seuil  à  partir  duquel  𝑢! < 0,5.  

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Exercice  4  –  Suite  géométrique  convergente  

Ecrire  un  algorithme  qui  permet  de  déterminer  le  seuil  à  partir  duquel  une  suite  géométrique  de  

premier  terme  𝑎 > 0  et  de  raison  0 < 𝑞 < 1  prend  des  valeurs  données  inférieures  à  un  réel  𝑒  fixé.  

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Exercice  5  

Pour  une  suite  convergente,  calculer  le  rang  à  partir  duquel  les  termes  de  la  suite  sont  dans  un  

intervalle  donné.    

(𝑢!)  est  la  suite  définie  pour  tout  nombre  entier  naturel  𝑛  par  𝑢! =!!!!!!!

 

1) Quelle  est  la  limite  de  la  suite  (𝑢!)  ?  

2) On  se  propose  de  déterminer  le  plus  petit  nombre  entier  naturel  𝑁  tel  que  pour  tout  nombre  entier  

naturel  𝑛 ≥ 𝑁,  𝑢!  appartient  à  l’intervalle   1,999; 2,001  

Le  problème  invite  à  calculer  les  termes  de  la  suite  (𝑢!)  tant  que  𝑢! ≤ 1,999  ou  𝑢! ≥ 2,001.  

L’affectation  «  𝑁 + 1 → 𝑁  »  est  exécutée  tant  que  la  condition  «  𝑢! ≤ 1,999  ou  𝑢! ≥ 2,001  »  est  

réalisée.  

Algorithme  correspondant  avec  ALGOBOX:  

VARIABLES            N  est  du  type  nombre  DEBUT  ALGORITHME            N  prend  la  valeur  0                        TANT  QUE  (F1(N)<=1,999    ou  F1(N)>=2,001)  FAIRE                                          DEBUT  TANT  QUE                                          N  prend  la  valeur  N+1                                          FIN  TANT  QUE              AFFICHER  «  Le  rang  est  »              AFFICHER  N  FIN  ALGORITHME      Utiliser  une  fonction  F1(X)=(2X+1)/(X+1)    

Adaptation  de  l’algorithme  au  langage  des  calculatrices  TI  et  CASIO.  

Rentrer  la  fonction  𝑥 → !!!!!!!

 dans  Y1  

CASIO   TI  

-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐RANG-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐  

∅ → 𝑁 ↲  

While  Y1(N)  ≤  1.999  Or    Y1(N)  ≥  2.001↲  

N+1  →  N  ↲  

WhileEnd  ↲  

«  Le  plus  petit  entier  est  »  :  N    ⊿  

PROGRAM  :RANG  

:  ∅ → 𝑁  

:  While  Y1(N)  ≤  1.999  ou  Y1(N)  ≥  2.001  

:  N+1  →  N  

:  End  

:  Disp  «  Le  plus  petit  entier  est  »  ,  N