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1 Lycée Français de DOHA TES Année 2019 2020 M. Evanno Suites A) Suites géométriques. 1. Définition et formules. Définition : forme récursive Une suite est géométrique lorsque, à partir du terme initial, l’on passe d'un terme de la suite au terme suivant en multipliant toujours par le même nombre , appelé raison : ∀ ∈ ℕ : +1 avec 0 donné. Théorème : forme explicite La formule explicite du terme général en fonction de est : ∀ ∈ ℕ : = 0 × et ∀ ∈ ℕ et ∀ ∈ ℕ : = × . Démonstration : Le schéma ci-dessous permet d’établir la formule explicite du terme général en fonction de : ∀ ∈ ℕ : = 0 × et ∀ ∈ ℕ et ∀ ∈ ℕ : = × . 2. Reconnaissance de la nature. Propriété : Une suite ( ) est géométrique de raison si et seulement si : ∀ ∈ ℕ ∶ +1 = Propriété : Si une suite ( ) est définie pour tout entier par : alors : ( ) est géométrique de raison a et de terme initial 0 =. 3. Représentation graphique. La représentation graphique d’une suite géométrique de raison de raison est l’une des deux suivantes :

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Lycée Français de DOHA TES

Année 2019 – 2020 M. Evanno

Suites

A) Suites géométriques.

1. Définition et formules.

Définition : forme récursive

Une suite est géométrique lorsque, à partir du terme initial, l’on passe d'un terme de la suite au

terme suivant en multipliant toujours par le même nombre 𝑞, appelé raison :

∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛+1 = 𝑞 × 𝑢𝑛 avec 𝑢0 donné.

Théorème : forme explicite

La formule explicite du terme général en fonction de 𝑛 est :

∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛 et ∀𝑘 ∈ ℕ et ∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑘 × 𝑞𝑛−𝑘.

Démonstration :

Le schéma ci-dessous permet d’établir la formule explicite du terme général en fonction de 𝑛 :

∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛 et ∀𝑘 ∈ ℕ et ∀𝑛 ∈ ℕ : 𝑢𝑛 = 𝑢𝑘 × 𝑞𝑛−𝑘.

2. Reconnaissance de la nature.

Propriété :

Une suite (𝑢𝑛) est géométrique de raison 𝑞 si et seulement si :

∀𝑛 ∈ ℕ ∶𝑢𝑛+1

𝑢𝑛= 𝑞

Propriété :

Si une suite (𝑢𝑛) est définie pour tout entier 𝑛 par : 𝑢𝑛 = 𝑏 × 𝑎𝑛 alors :

(𝑢𝑛) est géométrique de raison a et de terme initial 𝑢0 = 𝑏.

3. Représentation graphique.

La représentation graphique d’une suite géométrique de raison de raison 𝑞 est l’une des deux suivantes :

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4. Sens de variation d’une suite.

Définition :

Une suite (𝑢𝑛) est croissante si et seulement si, pour tout entier 𝑛 on a :

𝑢𝑛+1 ≥ 𝑢𝑛 ou 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≥ 0.

Une suite (𝑢𝑛) est décroissante si et seulement si, pour tout entier 𝑛 on a :

𝑢𝑛+1 ≤ 𝑢𝑛 ou 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 ≤ 0.

Une suite (𝑢𝑛) est constante si et seulement si, pour tout entier 𝑛 on a :

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 ou 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 0.

Propriétés :

(𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 et de terme initial strictement positif.

• Si 𝑞 > 1, (𝑢𝑛) est strictement croissante.

• Si 0 < 𝑞 < 1, (𝑢𝑛) est strictement décroissante.

• Si 𝑞 = 0 ou si𝑞 = 1, (𝑢𝑛) est constante.

Démonstration :

Soit (𝑢𝑛) une suite est géométrique de raison q.

Alors pour tout entier 𝑛 : 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛+1 − 𝑢0 × 𝑞𝑛 = 𝑢0 × 𝑞𝑛(𝑞 − 1).

Or 𝑢0 > 0 et 𝑞 > 0.

D’où la variation de la suite (𝑢𝑛) dépend du signe de la raison 𝑞 − 1.

On en déduit les conclusions de la propriété précédente.

5. Somme des termes d’une suite géométrique.

Propriété :

Soit 𝑞 un nombre différent de 1 on a alors :

1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛 =1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞

Démonstration :

Posons 𝑆𝑛 = 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛 on a alors 𝑞𝑆𝑛 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 … + 𝑞𝑛+1.

D’où : 𝑆𝑛 − 𝑞𝑆𝑛 = 1 + 𝑞 + 𝑞2 … + 𝑞𝑛 − (𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 … + 𝑞𝑛+1) = 1 − 𝑞𝑛+1.

Or 𝑆𝑛 − 𝑞𝑆𝑛 = (1 − 𝑞)𝑆𝑛 = 1 − 𝑞𝑛+1.

D’où la formule :

𝑆𝑛 = 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯ + 𝑞𝑛 =1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞

Propriété :

Soit (𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 ≠ 1 et 𝑘 et 𝑛 deux entiers naturels (𝑘 ≤ 𝑛), on

a alors les deux formules ci-dessous :

𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 𝑢0 ×1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞

𝑢𝑘 + 𝑢𝑘+1 + 𝑢𝑘+2 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 𝑢0 ×1 − 𝑞𝑛+1−𝑘

1 − 𝑞

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B) Comportement d’une suite à l’infini.

1. Suite Divergente.

Notation :

La suite (𝑢𝑛) diverge vers +∞ ou admet +∞ comme limite si 𝑢𝑛 finit par devenir toujours plus

grand que n’importe quel réel 𝑀 à partir d’un rang 𝑛0 suffisamment grand.

On note : lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = +∞.

Notation :

La suite (𝑢𝑛) diverge vers −∞ ou admet −∞ comme limite si 𝑢𝑛 finit par devenir toujours plus

petit que n’importe quel réel 𝑀 à partir d’un rang 𝑛0 suffisamment grand.

On note : lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = −∞.

Notation :

On dit que la suite (𝑢𝑛) diverge et n'admet pas de limite si elle ne se stabilise autour d'aucune

valeur réelle.

2. Suite Convergente.

Notation :

On dit que la suite (𝑢𝑛) converge vers 0 (par exemple) si 𝑢𝑛 peut être rendu aussi proche de 0

qu’on veut à partir d’un rang 𝑛0 suffisamment grand.

On note : lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = 0.

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3. Limite d’une suite géométrique.

Propriétés :

(𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison 𝑞 et de terme initial strictement positif.

• Si 𝑞 > 1 alors lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = +∞. On peut donc dire que (𝑢𝑛) est divergente.

• Si 0 < 𝑞 < 1 alors lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = 0. On peut donc dire que (𝑢𝑛) converge vers 0.

• Si 𝑞 = 1 alors lim𝑛→∞

𝑢𝑛 = 𝑢0 car (𝑢𝑛) est constante.

Propriétés :

(𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison q et de terme initial strictement positif et 𝑆𝑛 est la

somme des 𝑛 + 1 premiers termes de cette suite, on a donc :

𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛 = 𝑢0 ×1 − 𝑞𝑛+1

1 − 𝑞

• Si 𝑞 > 1 alors lim𝑛→∞

𝑆𝑛 = +∞.

• Si 0 < 𝑞 < 1 alors lim𝑛→∞

𝑆𝑛 = 𝑢0 × 1

1 − 𝑞

Exercice n°1 :

(𝑢𝑛) est une suite géométrique de raison 4 et de premier terme 𝑢0 = 5.

1) Pour tout entier 𝑛, exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

2) Quelles sont les variations et la limite de (𝑢𝑛) ?

3) Calculer 𝑆8 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢8.

Exercice n°2 :

Anne a acheté une voiture d’une valeur de 28 000€. Chaque année, sa voiture perd 16% de sa

valeur. Pour tout entier 𝑛, on note 𝑢𝑛 la valeur, en euro, de la voiture après 𝑛 années de baisse.

1) Préciser la nature de la suite (𝑢𝑛) ainsi que ses éléments caractéristiques.

2) En déduire l’expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

3) Déterminer le sens de variation de cette suite ainsi que sa limite.

4) Justifier que la voiture a perdu 50% de sa valeur au bout de 4 ans.

5) On cherche à savoir à partir de combien d’année la valeur de revente de cette voiture

deviendra inférieure à 5000€.

a) Déterminer ce résultat par lecture graphique sur le graphique ci-dessous.

b) Vérifier ce résultat à l’aide de votre calculatrice.

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Exercice n°3 :

(𝑢𝑛) est une suite géométrique strictement positive telle que 𝑢2 = 72 et 𝑢4 = 2.

1) Pour tout entier 𝑛, exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

2) Quelles sont les variations et la limite de (𝑢𝑛) ?

3) Calculer 𝑆8 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢8.

Exercice n°4 :

On a représenté quatre suites 𝑢, 𝑣, 𝑤 et 𝑡 ci-dessous.

Lesquelles peuvent-être géométriques ? Préciser la raison.

Exercice n°5 :

(𝑢𝑛) est la suite définie pour tout entier 𝑛 par : 𝑢𝑛 = 4 × 2𝑛.

1) Préciser la nature de (𝑢𝑛).

2) Quelles sont les variations et la limite de (𝑢𝑛) ?

Exercice n°6 :

Calculer les sommes proposées :

1) 𝑆 = 1 + 2 + 4 + ⋯ + 512.

2) 𝑆 = 2 + 10 + 50 + ⋯ + 6250.

Exercice n°7 :

Déterminer les limites des suites définies pour tout entier 𝑛 par :

1) 𝑢𝑛 = (5

4)

𝑛

2) 𝑢𝑛 = 0,5𝑛

3) 𝑢𝑛 =3𝑛

5𝑛

4) 𝑢𝑛 = 1 − (2

3)

𝑛

5) 𝑢𝑛 = 2𝑛 − 100

6) 𝑢𝑛 = 0,5 × 2𝑛

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Exercice n°8 : Bac ES Pondichéry 2013

Le 1er janvier 2000, un client a placé 3000€ à intérêts composés au taux annuel de 2,5%. On note 𝐶𝑛 le capital du client au 1er janvier de l’année 2000 + 𝑛, où 𝑛 est un entier naturel.

1) Calculer 𝐶1 et 𝐶2. Arrondir les résultats au centime d’euro.

2) Exprimer 𝐶𝑛+1 en fonction de 𝐶𝑛.

3) En déduire que, pour tout nombre entier naturel 𝑛, on a :

𝐶𝑛 = 3000 × 1,025𝑛

4) On donne l’algorithme suivant :

a) Pour la valeur 𝑆 = 3300 saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau

suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.

b) En déduire la valeur de 𝑢 quand la valeur de 𝑆 saisie est 3300.

c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu avec

cet algorithme quand on saisit un nombre 𝑆 supérieur à 3300.

5) Au 1er janvier 2013, le client avait besoin d’une somme de 5000€.

a) Montrer que le capital de son placement n’est pas suffisant à cette date.

b) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, à partir du 1er janvier de quelle année le client

pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

Exercice n°9 :

Elise décide de vendre sa vieille voiture. Elle la propose d’abord au prix de 2000€.

Si elle ne trouve pas d’acheteur elle baissera son prix de 5% chaque mois.

1) Soit 𝑃𝑛 le prix de la voiture 𝑛 mois après sa mise en vente si elle n’a pas trouvé d’acheteur.

a) Pour tout entier 𝑛, exprimer 𝑃𝑛+1 en fonction de 𝑃𝑛.

b) Quelle est la nature de la suite (𝑃𝑛) ?

c) Préciser le sens de variation et la limite de (𝑃𝑛).

d) Pour tout entier 𝑛, exprimer 𝑃𝑛 en fonction de 𝑛.

e) Avec ce système quel sera le prix de la voiture d’Elise si elle ne trouve pas d’acquéreur

au bout de deux ans ?

2) Elise décide qu’elle ne baissera pas le prix de sa voiture en dessous de 1000€.

Ecrire un algorithme permettant de connaître le nombre de mois avant d’atteindre ce prix.

𝑛 ← 0

𝑢 ← 3 000

Tant que 𝑢 ≤ 𝑆

𝑛 ← 𝑛 + 1

𝑢 ← 1,025 × 𝑢

Fin Tant que

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Exercice n°10 : Bac ES Polynésie 2013

La production des perles de culture de Tahiti est une activité économique importante pour la

Polynésie Française. Les montants réalisés à l’exportation des produits perliers de 2008 à 2011

sont donnés dans le tableau suivant, en milliers d’euros :

1) Montrer que le taux d’évolution annuel moyen des montants à l’exportation des produits

perliers de Polynésie entre 2008 et 2011 est −8,06% arrondi au centième.

On admet que la production continuera à baisser de 8% par an à partir de 2011.

2) On considère l’algorithme suivant :

Si 𝑃 = 50 000 en entrée, qu’elle valeur de 𝑛 obtient-on en sortie par cet algorithme ?

Interpréter ce résultat dans le contexte de la production de perles.

3) Pour prévoir les montants réalisés à l’exportation des perles de Tahiti, on modélise la

situation par une suite (𝑢𝑛). On note 𝑢0 le montant en 2011, en milliers d’euros, et 𝑢𝑛 le

montant en 2011 + 𝑛, en milliers d’euros.

On a donc 𝑢0 = 63 182 et on suppose que la valeur baisse tous les ans de 8%.

a) Montrer que (𝑢𝑛) est une suite géométrique dont on précisera la raison.

b) Exprimer, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

c) Avec ce modèle, quel montant peut-on prévoir pour l’exportation des produits perliers

de Polynésie Française en 2016 ? On arrondira le résultat au millier d’euros.

4) Calculer le montant cumulé des produits perliers exportés que l’on peut prévoir avec ce

modèle à partir de 2011 (comprise) jusqu’à 2020 (comprise).

On donnera une valeur approchée au millier d’euros.

C) Suite arithmético-géométrique.

Définition :

Une suite est dite arithmético-géométrique s’il existe deux nombres réels 𝑎 et 𝑏 tels que pour

tout entier naturel 𝑛 :

𝑢𝑛+1 = 𝑎𝑢𝑛 + 𝑏.

Remarque : ces suites n’étant ni géométrique (𝑢𝑛+1 = 𝑎𝑢𝑛) ni arithmétique (𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 𝑏) on ne

peut pas donner leur forme explicite, nous utiliserons donc une suite auxiliaire afin de l’obtenir.

𝑛 ← 0

𝑢 ← 63 182

Tant que 𝑢 > 𝑃

𝑛 ← 𝑛 + 1

𝑢 ← 0,92 × 𝑢

Fin Tant que

𝑛 ← 𝑛 + 2011

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Etude d’une suite arithmético-géométrique :

Chloé dépose 1000€ sur un compte d’épargne rémunéré au taux mensuel de 0,2% et choisit

d’y ajouter à la fin de chaque mois la somme de 250€.

On note 𝐴𝑛 le montant, en euros, du capital acquis au bout de 𝑛 mois.

1) Exprimer 𝐴𝑛+1 en fonction de 𝐴𝑛.

Le coefficient multiplicateur associé à un taux d’intérêt de 0,2% est 1,002.

Donc pour tout entier 𝑛, 𝐴𝑛+1 = 1,002𝐴𝑛 + 250.

2) Soit (𝑣𝑛) la suite définie pour tout entier 𝑛, par : 𝑣𝑛 = 𝐴𝑛 + 125 000.

Montrer que (𝑣𝑛) est géométrique (on précisera sa raison et son premier terme).

∀𝑛 ∈ ℕ 𝑣𝑛+1 = 𝐴𝑛+1 + 125 000 = 1,002𝐴𝑛 + 250 + 125 000 = 1,002𝐴𝑛 + 125 250

= 1,002 (𝐴𝑛 +125 250

1,002) = 1,002(𝐴𝑛 + 125 000) = 1,002𝑣𝑛

Donc (𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison 1,002 et de terme initial :

𝑣0 = 𝐴0 + 125 000 = 126 000.

3) Exprimer 𝐴𝑛 en fonction de 𝑛.

(𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison 1,002 et de terme initial 𝑣0 = 126 000

donc ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑣𝑛 = 𝑣0 × 1,002𝑛 = 126 000 × 1,002𝑛.

D’où ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴𝑛 = 𝑣𝑛 − 125 000 = 126 000 × 1,002𝑛 − 125 000.

4) Etudier la monotonie de la suite (𝐴𝑛).

∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴𝑛 = 𝑣𝑛 + 125 000.

Donc ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴𝑛+1 − 𝐴𝑛 = 𝑣𝑛+1 + 125 000 − (𝑣𝑛 + 125 000)

= 𝑣𝑛+1 + 125 000 − 𝑣𝑛 − 125 000

= 𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛

Or (𝑣𝑛) est géométrique de raison 1,002 > 1 et de premier terme 𝑣0 = 126 000 > 0, elle

est donc croissante d’où : 𝑣𝑛+1 − 𝑣𝑛 > 0.

Donc ∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴𝑛+1 − 𝐴𝑛 > 0

Donc la suite (𝐴𝑛) est strictement croissante.

5) Etudier la limite de la suite (𝐴𝑛).

Comme 1,002 > 1 on a lim𝑛→∞

1,002𝑛 = +∞ d’où lim𝑛→∞

126 000 × 1,002𝑛 = +∞

Donc lim𝑛→∞

𝐴𝑛 = lim𝑛→∞

126 000 × 1,002𝑛 − 125 000 = +∞

6) Au bout de combien de mois le montant du capital disponible dépassera-t-il 2000€ ?

On cherche à déterminer le plus petit entier 𝑛 tel que 𝐴𝑛 > 2 000. L’algorithme suivant

permet d’obtenir le rang à partir duquel les termes 𝐴𝑛 sont supérieurs à 2 000 :

𝐴 1000 1252 1504,5 1757,5 2011 𝐼 0 1 2 3 4

𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐴 < 2 000 𝑉𝑟𝑎𝑖 𝑉𝑟𝑎𝑖 𝑉𝑟𝑎𝑖 𝑉𝑟𝑎𝑖 𝐹𝑎𝑢𝑥

L’algorithme affichant 𝐼 = 4, on peut en déduire que le capital disponible dépassera 2 000€

à partir du 4ème mois.

𝐴 ← 1 000

𝐼 ← 0

Tant que 𝐴 ≤ 2 000

𝐼 ← 𝐼 + 1

𝐴 ← 1,002 × 𝐴 + 250

Fin Tant que

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Exercice n°11 :

Soit (𝑢𝑛) la suite définie pour tout entier 𝑛 par :

𝑢0 = 4 et 𝑢𝑛+1 = 2𝑢𝑛 − 1.

Soit (𝑣𝑛) la suite définie pour tout entier 𝑛 par :

𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 1

1) Déterminer 𝑢1 et 𝑢2.

2) Déterminer 𝑣0, 𝑣1 et 𝑣2.

3) Montrer que la suite (𝑣𝑛) est géométrique et préciser sa raison.

4) Pour tout entier 𝑛, exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.

5) En déduire une expression de 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

6) Etudier les variations des suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛).

7) Déterminer la limite de la suite (𝑣𝑛).

8) La suite (𝑢𝑛) est-elle convergente ?

Exercice n°12 : Bac ES Amérique du Nord 2014

Afin d’entretenir une forêt vieillissante, un organisme régional d’entretien des forêts décide

d’abattre chaque année 5% des arbres existants et de replanter 3 000 arbres. Le nombre d’arbres

de cette forêt est modélisé par une suite notée 𝑢 où 𝑢𝑛 désigne le nombre d’arbres au cours de

l’année 2013 + 𝑛. En 2013, la forêt compte 50 000 arbres.

1) Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2014.

2) Montrer que la suite 𝑢 est définie par 𝑢0 = 50 000 et pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑢𝑛+1 = 0,95𝑢𝑛 + 3000

3) On considère la suite 𝑣 définie pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑣𝑛 = 60 000 − 𝑢𝑛

a) Montrer que 𝑣 est géométrique de raison 0,95 et déterminer son premier terme.

b) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.

c) En déduire que pour tout entier naturel 𝑛, on a :

𝑢𝑛 = 60 000 − 10 000 × 0,95𝑛

d) Déterminer la limite de la suite 𝑢. Interpréter.

4) Résoudre, à l’aide de la calculatrice, l’inéquation : 𝑢𝑛 > 57 000. Interpréter.

5) On souhaite écrire un algorithme affichant pour un entier naturel 𝑛 donné, tous les termes

de la suite du rang 0 au rang 𝑛.

a) Parmi les trois algorithmes ci-dessous, un seul convient. Préciser lequel.

Algorithme n°1 Algorithme n°2 Algorithme n°3

b) Lorsque 𝐴 = 57 000 l’algorithme 1 affiche 24. Interpréter.

𝑁 ← 0

𝑈 ← 50 000

Tant que 𝑈 ≤ 𝐴

𝑁 ← 𝑁 + 1

𝑈 ← 0,95 × 𝑈 + 3000

Fin Tant que

Afficher N

Afficher 𝑁

𝑈 ← 50 000

Pour 𝐼 allant de 1 à 𝑁

Afficher 𝑈

𝑈 ← 0,95 × 𝑈 + 3000

Fin Pour

Afficher 𝑈

𝑈 ← 50 000

Pour 𝐼 allant de 1 à 𝑁

𝑈 ← 0,95 × 𝑈 + 3000

Fin Pour

Afficher 𝑈

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Exercice n°13 : Bac ES Liban 2014

La médiathèque d’une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2500

inscriptions en 2013. Elle estime que, chaque année, 80% des anciens inscrits renouvelleront

leur inscription l’année suivante et qu’il y aura 400 nouveaux adhérents.

On modélise cette situation par une suite numérique (𝑎𝑛).

On note 𝑎0 = 2 500 le nombre d’inscrits à la médiathèque en 2013 et 𝑎𝑛 représente le nombre

d’inscrits à la médiathèque pendant l’année 2013 + 𝑛.

1) Justifier que, pour tout entier naturel 𝑛, on a la relation :

𝑎𝑛+1 = 0,8 × 𝑎𝑛 + 400

2) On pose, pour tout entier naturel 𝑛, on a : 𝑣𝑛 = 𝑎𝑛 − 2 000.

a) Démontrer que (𝑣𝑛) est géométrique de premier terme 𝑣0 = 500 et de raison 𝑞 = 0,8.

b) En déduire que le terme général de la suite (𝑎𝑛) est : 𝑎𝑛 = 500 × 0,8𝑛 + 2 000.

c) Calculer la limite de la suite (𝑎𝑛).

d) Que peut-on en déduire pour le nombre d’adhérents à la médiathèque si le schéma

d’inscription reste le même au cours des années à venir ?

3) On propose l’algorithme suivant :

a) Expliquer ce que permet de calculer cet algorithme.

b) À l’aide de la calculatrice, déterminer le résultat obtenu grâce à cet algorithme et

interpréter la réponse dans le contexte de l’exercice.

Exercice n°14 : Bac ES Asie 2013

Le gestionnaire d’une salle de concert constate que, chaque année, le nombre d’abonnés est

constitué de 70% des abonnés de l’année précédente, auxquels s’ajoutent 210 nouveaux

abonnés. Le nombre d’abonnés en 2010 était de 600.

On définit la suite (𝑢𝑛) par : 𝑢0 = 600 et pour tout entier naturel 𝑛 :

𝑢𝑛+1 = 0,7𝑢𝑛 + 210

1) On utilise un tableur pour calculer les termes de la suite (𝑢𝑛).

Proposer une formule à écrire en 𝐵3 pour calculer 𝑢1 ; cette formule « tirée vers le bas »

dans la colonne devra permettre de calculer les valeurs successives de la suite (𝑢𝑛).

𝑁 ← 0

𝐴 ← 2 500

Tant que 𝐴 − 2 000 > 50

𝑈 ← 0,8 × 𝐴 + 400

𝑁 ← 𝑁 + 1

Fin Tant que

Afficher 𝑁

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2) On pose, pour tout entier naturel 𝑛 :

𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 700

a) Démontrer que la suite (𝑣𝑛) est géométrique de raison 0,7. Préciser son premier terme.

b) Justifier que pour tout entier naturel 𝑛 :

𝑢𝑛 = 700 − 100 × 0,7𝑛

3) Soit 𝑛 un entier naturel. Démontrer que 𝑢𝑛 ≥ 697 est équivalent à 0,7𝑛 ≤ 0,03.

4) Pour résoudre cette inéquation, on utilise l’algorithme suivant :

a) Quelle valeur de 𝑁 obtient-on en sortie ? (On fera tourner l’algorithme).

b) En utilisant l’étude précédente de la suite (𝑢𝑛), déterminer à partir de quelle année le

nombre d’abonnés atteindra au moins 697.

Exercice n°15 : Bac ES Métropole 2013 (Sujet annulé)

Un industriel étudie l’évolution de la production des jouets sur la machine 𝑉𝑃1𝑂𝑂𝑂 de son

entreprise. En 2000, lorsqu’il l’a achetée, elle pouvait produire 120 000jouets par an. Du fait

de l’usure de la machine, la production diminue de 2% par an.

On modélise le nombre total de jouets fabriqués au cours de l’année 2000 + 𝑛 par la suite (𝑢𝑛).

On a donc 𝑢0 = 120 000.

1) Montrer que, pour tout entier naturel 𝑛 :

𝑢𝑛 = 120 000 × 0,98𝑛

2) Quel a été le nombre de jouets fabriqués en 2005 ?

3) Déterminer à partir de quelle année, le nombre de jouets fabriqués sera strictement inférieur

à 100 000.

4) Cet industriel décide qu’il changera la machine lorsqu’elle produira moins de 90 000 jouets

par an. Recopier et compléter les lignes 4 et 5 de l’algorithme ci-dessous afin qu’il permette

de déterminer le plus petit entier naturel 𝑛 tel que : 𝑢𝑛 < 90 000.

5) Exprimer : 1 + 0,98 + 0,982 + ⋯ + 0,98𝑛 en fonction de 𝑛.

6) On pose : 𝑆𝑛 = 𝑢0 + 𝑢1 + 𝑢2 + ⋯ + 𝑢𝑛.

Montrer que : 𝑆𝑛 = 6 000 000 − 6 000 000 × 0,98𝑛+1.

7) En déduire le nombre total de jouets fabriqués pendant les 15 premières années de

production.

𝑁 ← 0

𝑈 ← 1

Tant que 𝑈 > 0,03

𝑁 ← 𝑁 + 1

𝑈 ← 0,7 × 𝑈

Fin Tant que

𝑁 ← 0

𝐴 ← 120 000

Tant que 𝐴 ≥ 90 000

𝑁 ←…………..

………………………..

Fin Tant que

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Exercice n°16 : Bac ES Doha 2013

Les services de la mairie d’une ville ont étudié l’évolution de la population de cette ville.

Chaque année, 12,5% de la population quitte la ville et 1 200 personnes s’y installent.

En 2012, la ville comptait 40 000 habitants.

On note 𝑈𝑛 le nombre d’habitants de la ville en l’année 2012 + 𝑛.

On a donc 𝑈0 = 40 000 et on admet que (𝑈𝑛) est définie pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑈𝑛+1 = 0,875 × 𝑈𝑛 + 1200

On considère la suite (𝑉𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑉𝑛 = 𝑈𝑛 − 9 600

Les questions numérotées de 1 à 5 de cet exercice forment un questionnaire à choix multiples

(QCM). Pour chacune des questions, quatre affirmations sont proposées : une seule réponse

est exacte. Une réponse exacte rapporte 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse

ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Pour chaque question, le candidat notera sur sa copie le numéro de la question suivi de la

proposition qui lui semble correcte. Aucune justification n’est demandée.

1) La valeur de 𝑈1 est :

a) 6 200.

b) 35 000.

c) 36 200.

d) 46 200.

2) La suite (𝑉𝑛) est :

a) géométrique de raison −12,5%. b) géométrique de raison 0,875.

c) géométrique de raison −0,875.

d) arithmétique de raison −9 600.

3) La suite (𝑈𝑛) a pour limite :

a) +∞.

b) 0.

c) 1 200.

d) 9 600.

4) On considère l’algorithme suivant :

Cet algorithme permet d’obtenir :

a) la valeur de 𝑈40 000.

b) toutes les valeurs de 𝑈0 à 𝑈𝑛.

c) le nombre de termes inférieurs à 1200.

d) le plus petit rang n pour lequel on a 𝑈𝑛 ≤ 10 000.

5) La valeur affichée est :

a) 33.

b) 34.

c) 9 600.

d) 9 970,8.

𝑁 ← 0

𝑈 ← 40 000

Tant que 𝑈 > 10 000

𝑁 ← 𝑁 + 1

𝑈 ← 0,875 × 𝑈 + 1 200

Fin Tant que

Afficher 𝑁

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Exercice n°17 : Bac ES Nouvelle Calédonie 2010

Partie A : Observation d’une suite de nombres

1) On donne ci-dessous la représentation graphique des 16 premiers termes d’une suite (𝑢𝑛) dans

le plan muni d’un repère orthogonal.

Conjecturer la monotonie et la limite de la suite (𝑢𝑛).

2) Les quatre premiers termes de la suite (𝑢𝑛) ont été calculés avec un tableur :

La suite (𝑢𝑛) peut-elle être une suite géométrique ? Justifier votre réponse.

Partie B : Étude de la suite

La suite (𝑢𝑛) observée dans la Partie A est définie pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑢𝑛+1 = 0,6𝑢𝑛 + 8 et 𝑢0 = 161

1) Soit (𝑣𝑛) la suite définie pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 20

a) Montrer que (𝑣𝑛) est une suite géométrique.

On précisera le premier terme et la raison.

b) Donner l’expression de 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.

c) En déduire que pour tout entier naturel 𝑛, on a :

𝑢𝑛 = 20 + 141 × 0,6𝑛

d) Calculer la somme : 𝑣0 + 𝑣1 + ⋯ + 𝑣40.

2) Déterminer la limite de la suite (𝑣𝑛) et en déduire celle de la suite (𝑢𝑛).

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Exercice n°18 : Exercice avec prise d’initiative

Dans une réserve africaine les observateurs en place ont constaté que la population d’animaux

d’une espèce donnée est en baisse de 10% tous les ans depuis plusieurs années. Actuellement,

en 2014, cette population a été évaluée à 500 animaux.

On fait l’hypothèse que cette tendance va se poursuivre dans les années à venir. On s’intéresse

à l’évolution de la population d’animaux à partir de 2014.

La situation peut être modélisée par une suite (𝑢𝑛), le terme 𝑢𝑛 donnant une estimation du

nombre d’animaux dans la réserve l’année 2014 + 𝑛.

Partie A : Prévisions quant à l’évolution de cette population

On considère l’algorithme suivant :

1) On saisit la valeur 250 pour 𝑄. Pour cette valeur de 𝑄, en suivant pas à pas l’algorithme

précédent, recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que

nécessaire.

2) Pour tout entier naturel 𝑛, on note 𝑢𝑛 la population de ces animaux en 2014 + 𝑛.

On a 𝑢0 = 500.

a) Exprimer 𝑢𝑛 en fonction de 𝑛.

b) Quelle est la limite de (𝑢𝑛) ?

c) Déterminer la plus petite valeur de 𝑛 telle que 𝑢𝑛 ≤ 1 et interpréter ce résultat.

Partie B : Prévisions avec une introduction d’animaux dans cette réserve

Afin de compenser cette baisse de population, on décide d’introduire dans cette réserve, tous

les ans dès 2015, 80 animaux prélevés dans une autre réserve.

1) Donner dans un tableau, l’évolution de la population d’animaux de 2014 à 2018.

2) Donner un modèle mathématique qui permette le calcul de cette population pour toute année

2014 + 𝑛 tant que l’évolution reste la même.

3) Peut-on prévoir, à l’aide de ce modèle, une stabilisation de la population ?

𝑁 ← 0

𝑃 ← 500

Tant que 𝑃 > 𝑄

𝑃 ← 0,9 × 𝑃

𝑁 ← 𝑁 + 1

Fin Tant que

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Exercice n°19 : Bac ES Métropole 2015

Le fonctionnement de certaines centrales géothermiques repose sur l’utilisation de la chaleur

du sous-sol. Pour pouvoir exploiter cette chaleur naturelle, il est nécessaire de creuse plusieurs

puits suffisamment profonds. Lors de la construction d’une telle centrale, on modélise le tarif

pour le forage du premier puits par la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 non nul, par

la relation : 𝑢𝑛 = 2 000 × 1,008𝑛−1 où 𝑢𝑛 représente le coût en euros du forage de la 𝑛ème

dizaine de mètres.

On a ainsi 𝑢1 = 2 000 et 𝑢2 = 2 016, c’est-à-dire que le forage des dix premiers mètres coûte

2 000 euros, et celui des dix mètres suivants coûte 2 016 euros.

Dans tout l’exercice, arrondir les résultats obtenus au centième.

1) Calculer 𝑢3 puis le coût total de forage des 30 premiers mètres.

2) Pour tout entier naturel 𝑛 non nul :

a) Exprimer 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑢𝑛 et préciser la nature de la suite (𝑢𝑛).

b) En déduire le pourcentage d’augmentation du coût du forage de la 𝑛 + 1ème dizaine de

mètres par rapport à celui de la 𝑛ème dizaine de mètres.

3) On considère l’algorithme ci-dessous :

La valeur de 𝑛 saisie est 5.

a) Faire fonctionner l’algorithme précédent pour cette valeur de 𝑛. Résumer les résultats

obtenus à chaque étape dans le tableau ci-dessous (à recopier sur la copie et à compléter

en ajoutant autant de colonnes que nécessaire).

b) Quelle sera stockée dans 𝑆 à la fin de l’algorithme ? Interpréter cette valeur dans le

contexte de cet exercice.

Exercice n°20 : Bac ES Antilles–Guyane 2016

Afin de lutter contre la pollution de l’air, un département a contraint dès l’année 2013 certaines

entreprises à diminuer chaque année la quantité de produits polluants qu’elles rejettent dans l’air.

Ces entreprises ont rejeté 410 tonnes de ces polluants en 2013 et 332 tonnes en 2015.

On considère que le taux de diminution annuel de la masse de polluants rejetés est constant.

1) Justifier que l’on peut considérer que l’évolution d’une année sur l’autre correspond à une

diminution de 10%.

2) En admettant que ce taux de 10% reste constant pour les années à venir, déterminer à partir de

quelle année la quantité de polluants rejetés par ces entreprises ne dépassera plus le seuil de

180 tonnes, fixé par le conseil départemental.

𝑢 ← 2 000

𝑆 ← 2 000

Pour 𝑖 allant de 2 à 𝑛

𝑢 ← 𝑢 × 1,008

𝑆 ← 𝑆 + 𝑢

Fin Tant que

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Interrogation de mathématiques

Exercices préparés à la maison

Niveau : TES

Thème : Suites

Exercice n°1 : Bac ES Antilles Guyane 2014

Un opérateur de téléphonie mobile constate que, chaque année, il perd 8% de ses précédents

abonnés et que, par ailleurs, il gagne 3 millions de nouveaux abonnés. En 2013 le nombre

d’abonnés est de 20 millions. On s’intéresse au nombre d’abonnés, en millions, pour l’année

2013 + 𝑛. En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être

modélisée par la suite (𝑢𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛, par :

{𝑢0 = 20

𝑢𝑛+1 = 0,92𝑢𝑛 + 3

Le terme 𝑢𝑛 donne une estimation du nombre d’abonnés pour l’année 2013 + 𝑛.

Partie A :

1) En utilisant cette modélisation, l’opérateur décide d’arrondir les résultats à 10−3.

À quoi correspond ce choix d’arrondi ?

Déterminer le nombre d’abonnés en 2014 et en 2015.

2) On définit la suite (𝑣𝑛) par 𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 37,5 pour tout entier naturel 𝑛.

Démontrer que (𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison 0,92. Préciser son premier terme.

3) Exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.

En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛, on a :

𝑢𝑛 = −17,5 × 0,92𝑛 + 37,5

4) Déterminer le nombre d’abonnés en millions en 2020. Arrondir les résultats à 10−3.

5) Déterminer la limite de la suite (𝑢𝑛).

L’opérateur peut-il espérer dépasser 30 millions d’abonnés ?

Partie B :

Compte tenu des investissements, l’opérateur considère qu’il réalisera des bénéfices lorsque le

nombre d’abonnés dépassera 25 millions.

1) Recopier et compléter l’algorithme suivant afin de déterminer le nombre d’années

nécessaires à partir de 2013 pour que l’opérateur fasse des bénéfices.

2) En quelle année l’opérateur fera-t-il des bénéfices pour la première fois ?

𝑢 ← 20

𝑁 ← 0

Tant que …………………

𝑢 ← 0,92 × 𝑢 + 3

𝑁 ← 𝑁 + 1

Fin Tant que

Afficher ………………….

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Exercice n°2 : Bac ES Centres étrangers 2015

Depuis le 1er janvier 2015, une commune dispose de vélos en libre-service. La société

𝐵𝑖𝑐𝑦𝑐𝑙’𝐴𝑖𝑚𝑒 est chargée de l’exploitation et de l’entretien du parc de vélos. La commune

disposait de 200 vélos au 1er janvier 2015.

La société estime que, chaque année, 15% des vélos sont retirés de la circulation à cause de

dégradations et que 42 nouveaux vélos sont mis en service.

On modélise cette situation par une suite (𝑢𝑛) où 𝑢𝑛 représente le nombre de vélos de cette

commune au 1er janvier de l’année 2015 + 𝑛.

1) Déterminer le nombre de vélos au 1er janvier 2016.

2) Justifier que la suite (𝑢𝑛) est définie par 𝑢0 = 200 et, pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑢𝑛+1 = 0,85𝑢𝑛 + 42

3) On donne l’algorithme suivant :

a) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les résultats à l’unité. Quel

nombre obtient-on à l’arrêt de l’algorithme ?

b) Interpréter la valeur du nombre 𝑈 obtenue à l’issue de l’exécution de cet algorithme.

4) On considère la suite (𝑣𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 280

a) Montrer que la suite (𝑣𝑛) est géométrique de raison 0,85 et de premier terme 𝑣0 = −80.

b) Pour tout entier naturel 𝑛, exprimer 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.

c) En déduire que, pour tout entier naturel 𝑛, on a :

𝑢𝑛 = −80 × 0,85𝑛 + 280

d) Calculer la limite de la suite (𝑢𝑛) et interpréter ce résultat.

5) La société 𝐵𝑖𝑐𝑦𝑐𝑙’𝐴𝑖𝑚𝑒 facture chaque année à la commune 300 (par vélo en circulation

au 1er janvier.

Déterminer le coût total pour la période du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2019, chacun

des termes utilisés de la suite (𝑢𝑛) étant exprimé avec un nombre entier.

𝑈 ← 200

𝑁 ← 0

Tant que 𝑁 < 4

𝑈 ← 0,85 × 𝑈 + 42

𝑁 ← 𝑁 + 1

Fin Tant que

Afficher 𝑈

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Exercice n°3 : Bac ES Pondichéry 2014

Une association décide d’ouvrir un centre de soin pour les oiseaux sauvages victimes de la

pollution. Leur but est de soigner puis relâcher ces oiseaux une fois guéris.

Le centre ouvre ses portes le 1er janvier 2013 avec 115 oiseaux.

Les spécialistes prévoient que 40% des oiseaux présents dans le centre au 1er janvier d’une

année restent présents le 1er janvier suivant et que 120 oiseaux nouveaux sont accueillis dans

le centre chaque année.

On s’intéresse au nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier des années suivantes.

La situation peut être modélisée par une suite (𝑢𝑛) admettant pour premier terme 𝑢0 = 115, le

terme 𝑢𝑛 donnant une estimation du nombre d’oiseaux l’année 2013 + 𝑛.

1) Calculer 𝑢1 et 𝑢2. Avec quelle précision convient-il de donner ces résultats ?

2) Les spécialistes déterminent le nombre d’oiseaux présents dans le centre au 1er janvier de

chaque année à l’aide d’un algorithme.

a) Parmi les trois algorithmes proposés ci-dessous, seul l’algorithme 3 permet d’estimer le

nombre d’oiseaux présents au 1er janvier de l’année 2013 + 𝑛.

Expliquer pourquoi les deux premiers algorithmes ne donnent pas le résultat attendu.

Algorithme n°1 Algorithme n°2 Algorithme n°3

b) Donner, pour tout entier naturel 𝑛, l’expression de 𝑢𝑛+1 en fonction de 𝑢𝑛.

3) On considère la suite (𝑣𝑛) définie pour tout entier naturel 𝑛 par :

𝑣𝑛 = 𝑢𝑛 − 200

a) Montrer que (𝑣𝑛) est une suite géométrique de raison 0,4. Préciser 𝑣0.

b) Exprimer, pour tout entier naturel 𝑛, 𝑣𝑛 en fonction de 𝑛.

c) En déduire que pour tout entier naturel 𝑛, on a :

𝑢𝑛 = 200 − 85 × 0,4𝑛

d) La capacité d’accueil du centre est de 200 oiseaux.

Est-ce suffisant ? Justifier.

Pour 𝑖 allant de 1 à 𝑁

𝑈 ← 115

𝑈 ← 0,4 × 𝑈 + 115

Fin Pour

Afficher 𝑈

𝑈 ← 115

Pour 𝑖 allant de 1 à 𝑁

𝑈 ← 0,6 × 𝑈 + 120

Fin Pour

Afficher 𝑈

𝑈 ← 115

Pour 𝑖 allant de 1 à 𝑁

𝑈 ← 0,4 × 𝑈 + 120

Fin Pour

Afficher 𝑈

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Exercice n°4 : Bac ES Antilles-Guyane 2018

On définit deux suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) par, pour tout entier naturel 𝑛 :

{𝑢0 = 10

𝑢𝑛+1 = 𝑢𝑛 + 0,4 et {

𝑣0 = 8𝑣𝑛+1 = 1,028𝑣𝑛

1) Parmi ces deux suites, préciser laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique ; donner

leurs raisons respectives.

2) Exprimer 𝑢𝑛 et 𝑣𝑛 en fonction de l’entier naturel 𝑛.

3) On donne l’algorithme suivant dans lequel 𝑛 est un entier naturel, et 𝑈 et 𝑉 sont des réels

qui désignent respectivement les termes de rang 𝑛 des suites (𝑢𝑛) et (𝑣𝑛) :

En sortie de cet algorithme, 𝑛 a pour valeur 46. Interpréter ce résultat.

4) En 1798, l’économiste anglais Thomas Malthus publie

«𝐴𝑛 𝑒𝑠𝑠𝑎𝑦 𝑜𝑛 𝑡ℎ𝑒 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑙𝑒 𝑜𝑓 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛» dans lequel il émet l’hypothèse que

l’accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources

alimentaires, conduira son pays à la famine.

Il écrit :

« Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n’est arrêtée par aucun

obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une

progression géométrique. [. . . ] Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de

l’état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les

plus favorables de l’industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une

progression arithmétique.»

En 1800, la population de l’Angleterre était estimée à 8 millions d’habitants et l’agriculture

anglaise pouvait nourrir 10 millions de personnes. Le modèle de Malthus admet que la

population augmente de 2,8% chaque année et que les progrès de l’agriculture permettent

de nourrir 0,4 million de personnes de plus chaque année.

On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes.

a) Quelle aurait été, en million d’habitants, la population de l’Angleterre en 1810 ?

On arrondira le résultat au millième.

b) À partir de quelle année la population de l’Angleterre aurait-elle dépassé 16 millions

d’habitants ?

c) À partir de quelle année la population de l’Angleterre serait-elle devenue trop grande

pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture ?