PENGEMBANGAN MODEL

MODEL MATEMATIS

Pada model ini distributor melakukan pemesanan sejumlah Qd yang bersifat deterministik dan

jumlah yang harus diproduksi oleh produsen adalah sebesar n kali permintaan distributor (QP =

n.Qd). Tingkat produksi pada produsen diasumsikan tetap sebesar P ,dimana tingkat produksi

lebih besar dari tingkat permintaan (P > D). Pemesanan produk oleh distributor dilakukan pada

setiap periode.

Notasi yang digunakan dalam model ini meliputi :

D : jumlah permintaan (unit/tahun)

S : ongkos setup untuk produsen pada setiap setup (Rp/setup)

A : ongkos pemesanan produk untuk setiap memesan (Rp/pesan)

R : tingkat ongkos penanganan inventory yang dinyatakan sebagai pecahan.

P : tingkat produksi rata-rata produsen (unit/tahun)

C : ongkos produksi unit yang dikeluarkan oleh produsen (Rp/unit)

Co : harga pembelian tiap unit yang dibayar oleh distributor (Rp/unit)

Cr : ongkos restorasi pada sistem produksi oleh produsen (Rp/unit)

Cmr : ongkos perbaikan minimal repair per unit oleh produsen (Rp/unit)

θ1 : persentase defektif pada kondisi terkendali (in-control)

θ2 : persentase defektif pada kondisi tidak terkendali (out-of-control)

q(Q) : proporsi produk yang tidak memenuhi syarat sebelum dilakukan inspeksi

h1(τ) : hazard rate produk yang memenuhi syarat (conforming item) dengan parameter λ1 dan

β1

h2(τ) : hazard rate produk yang tidak memenuhi syarat (nonconforming item) dengan

parameter λ2 dan β2

ω : periode garansi

Model ini mempertimbangkan sistem produksi yang prosesnya mengalami penurunan kinerja.

Proses produksi dapat mengalami perpindahan status dari state in-control ke state out-of-

control. Diasumsikan bahwa pada saat berada pada state in-control, elapsed time ,X, mengikuti

distribusi eksponensial dengan finite mean 1/λ. Ketika sistem berpindah ke state out-of control,

proses produksi tetap berlanjut sampai akhir proses produksi selesai. Setelah proses produksi

selesai, sistem akan di-setup dengan biaya sebesar S>0.

Pada state out-of control, probabilitas sistem menghasilkan item yang tidak memenuhi syarat

(non-conforming item) lebih besar daripada saat sistem berada pada state in-control. Untuk

mengembalikan state dari out-of control ke in-control diperlukan tambahan biaya sebesar Cr>0

untuk proses produksi selanjutnya.

Diasumsikan untuk semua item yang diproduksi adalah operasional dan dapat diklasifikasikan

menjadi dua, yaitu item yang memenuhi syarat (conforming item) dan item yang tidak

memenuhi syarat (nonconforming item) tergantung dari performansi item sesuai dengan

spesifikasinya atau tidak. Jika h1(t) dan h2(t) adalah hazard rate untuk conforming dan

nonconforming item. Dengan mengasumsikan h1(t) <h2(t) untuk t≥0. Dalam sistem produksi

tersebut akan menghasilkan nonconforming item dengan probabilitas θ1 jika sistem berada

pada state in-control. Sedangkan pada state out-of-control, sistem produksi akan menghasilkan

nonconforming item dengan probabilitas θ2 dimana θ1<θ2. Produk dijual dengan garansi

minimal repair selama periode garansi ω dimana semua biaya klaim garansi ditanggung oleh

produsen. Produsen menanggung biaya minimal repair sebesar Cmr.

Untuk mendapatkan ekspektasi biaya garansi post-sale, terlebih dahulu menghitung ekspektasi

jumlah item yang tidak memenuhi syarat, N,saat berproduksi selama t waktu adalah :

N = θ1pt, untuk X ≥ t,

= θ1pX+ θ1p(t-X) untuk X < t,

Nilai ekspektasi untuk N adalah

E ( N )=∫t

∞

θ1 ptλ e−λx dx+∫0

t

[θ¿¿1 px+θ2¿ p(t−x )] λ e−λx dx ¿¿

E ( N )=θ1 pt+ p (θ1−θ2)1−e−λt

λ

Sehingga, ekspektasi jumlah conforming item dalam panjang siklus produksi t, adalah pt-E(N).

Fraksi dari non conforming item,yang dinotasikan q(t), dalam siklus produksi adalah

q (t )=E(N )

pt=θ2+(θ1−θ2)

1−e−λt

λ

Jenis garansi yang digunakan adalah free minimal repair warranty, failure process dari

conforming item (atau nonconforming item) diketahui sebagai nonhomogenous process dengan

intensitas h1(t)( atau h2(t)). Ekspektasi jumlah minimal repair untuk conforming item (atau

nonconforming item ) dengan periode garansi ω adalah

∫0

ω

h1 ( τ )dτ (atau )∫0

ω

h2 ( τ ) dτ. Sehingga, ekspektasi biaya garansi post-sale per item didapatkan

sebagai berikut

W ( t )=Cmr ¿

Maka, Total ekspektasi biaya produsen per tahun dapat dimodelkan sebagai berikut :

TC Produsen = biaya produksi + biaya setup + biaya penyimpanan + biaya restorasi + biaya

garansi.

TC pd (Q )=D .CP+D

n .Qd

. S+D . QD (2−n2. P

+ nD

−n+12. D )+Cr . D .¿¿

Dimana : h (τ )≔ λβ . β . τβ−1

Sedangkan ekspektasi biaya distributor per tahun dimodelkan sebagai berikut :

TC Distributor = biaya pembelian + biaya pemesanan + biaya penyimpanan produk + biaya

administrasi garansi.

TCD t (Q )=Co . D+ DQ

A+ Q2

r . Co

Sehingga total biaya gabungan dapat dirumuskan sebagai

JTC (Q )=D . CP+D

n.Qd

. S+D .QD( 2−n2.P

+ nD

−n+12.D )+C r . D .¿¿

Biaya Qualitas

No inspection

C i=Qp k2

Sampling inspection

C i=nk1+(Q−n ) p k2 Pa+(Q−n)(1−Pa)k 1

100 per cent inspection

C i=Q k1

Dimana :

Ci = quality cost per lot;

Q = lot size;

p = proportion nonconforming in the lot;

k2 = damage cost incurred (per item) if a nonconforming item slips through inspection;

n = sample size with sampling inspection;

k1 = inspection cost per item inspected;

Pa = probability that a lot will be accepted by the sampling plan.

Berikut ini adalah persamaan total cost untuk qualitas :

No inspection

TC q=DQ

X+ Q2

+ Dpk 2

Sampling inspection

TC q=DQ

X+ Q2

r+ DQ

¿

100 per cent inspection

C i=Q k1

Total biaya tanpa intergrasi

Total biaya pada produsen:

Model total ekspektasi biaya produsen pertahun :

TC pd (Q )=D .CP+D

n .Qd

. S+D . QD (2−n2. P

+ nD

−n+12. D )+Cr . D .¿¿

Untuk menentukan jumlah produksi produsen yang optimal, maka ekspektasi total biaya

diminimasi, dengan cara mencari turunan pertama dari fungsi TC pd (Q )terhadap Q.

ddQ

TC pd (Q )=−( D .n(n . Q )2 ) . S+ D(1

2.

(2−n )P

+ nD

−12

.(n+1 )

D )+C r . D( λ .n . e

− λ. nQP

P )n .Q

−C r D(1−e

− λ. nQP )n

(n .Q )2+Cmr . D¿

Kemudian , Q menjadi optimal dengan TCpd (Q) = 0

Total biaya pada distributor :

Model total ekspektasi biaya distributor pertahun :

TCD t (Q )=Co . D+ DQ

A+ Q2

r . Co

Total cost biya kualitas :

TC q=DQ

X+ Q2

r+ DQ

¿

Sehingga total biaya gabungan dapat dirumuskan sebagai berikut :

JTC (Q )=Co .D+ DQ

A+ Q2

r .Co+DQ

X+ Q2

r+ DQ

¿

Untuk menentukan jumlah pesanan distributor setelah diintegrasikan dengan kualitas sehingga

dapat mendapatkan hasil yang optimal , maka ekspektasi biaya diminimasi , dengan cara mencari

turunan pertama dari fungsi JTC(Q) terhadap Q.

ddQ

JTC (Q )=−( D

Q2 ) . A+12

r . Co−( D

Q2 ) . X+12

. r−( D

Q2 ). (n. k 1+(Q−n ) . p . k2 Pa+(Q−n ) .(1−Pa) .k 1)

Kemudian , Q menjadi optimal dengan JTC(Q) = 0

Total biaya dengan intergrasi

Model total ekspektasi biaya produsen pertahun :

TC pd (Q )=D .CP+D

n .Qd

. S+D . QD (2−n2. P

+ nD

−n+12. D )+Cr . D .¿¿

Model total ekspektasi biaya distributor pertahun :

TCD t (Q )=Co . D+ DQ

A+ Q2

r . Co

Total cost biya kualitas :

TC q=DQ

X+ Q2

r+ DQ

¿

Sehingga total biaya gabungan dapat dirumuskan sebagai berikut :

JTC (Q )=D . CP+D

n.Qd

. S+D .QD( 2−n2.P

+ nD

−n+12.D )+C r . D .¿¿

Untuk menentukan jumlah produksi produsen dan jumlah pesanan distributor setelah

diintegrasikan dengan kualitas sehingga dapat mendapatkan hasil yang optimal , maka ekspektasi

biaya diminimasi , dengan cara mencari turunan pertama dari fungsi JTC(Q) terhadap Q.

ddQ

JTC (Q )=−( D.n

(n .Q )2 ). S+D( 12

.(2−n )

P+ n

D−1

2.

(n+1 )D )+ C r . D

n . Q.( λ .n. e

− λ. n .QP

P )−C r . D . n

(n . Q )2.(1−e

−λ .n . QP )+Cmr . D(( (θ1−θ2) . ( λ . e− λ. Q )

λ ) .(∫0

ω

h1 (τ ) dτ )+( (θ1−θ2 ) . ( λ . e−λ .Q )λ ).(∫

0

ω

h2 (τ ) dτ))−( DQ2 ). A+ 1

2r . Co−( D

Q2 ) . X+ 12

r−( DQ2 ) .(n . k1+ (Q−n ) . p . k2 Pa+(Q−n ) . ( 1−Pa ) . k1 )+(D

Q ) .(p .k 2 . Pa+(1−Pa ) .k 1)

Contoh Numerik Dan Analisis Parameter yang digunakan dalam analisis ini mengacu pada contoh numerik yang ada pada model

Yeh et.al (200).

Notasi

Nilai Notasi

Nilai

P 600 unit/tahun

h1(τ):  

D 400 unit/tahun

λ1 1/36

Cp $ 10 /unit β1  2S 100/setup h2(τ)  Co $ 20 /unit λ2 1/12A $ 15 /order β2 2r 0.1 Cmr $

0.1 /unit

Cr $ 200/restorasi

ω1 tahun

Cpins $ 0.1/unit    Cc $ 0.15/unit    θ1 15%    θ2 65%    λ 0,1    

Nilai ukuran lot optimal gabungan, total ongkos gabungan JTC(Q) diperoleh dengan memasukkan contoh

numerik pada software Maple 13.

Ukuran pemesanan (Q) dan produksi (nQ) pada model JELS ataupun pada kebijakan independen dapat

dilihat pada tabel 2.1 dibawah ini :

Nilai ukuran lot optimal gabungan, total ongkos gabungan JTC(Q) diperoleh