MATEMATİK DÖNEM ÖDEVİ

TÜREV

Varsa, lim f(x)-f(xo) limitinin değerine f fonksiyonunun xo noktasındaki  

x- x x – xo

türevi denir. Bu türev f ’ (xo) veya df (xo) biçiminde gösterilir.dx

TANIM

f ‘(x0) = lim f (x0 + h) – f (x0) ,

f ‘(x) = lim f(x) – f(x0) eşitliğinde, x – x0xx0

x – x0 = x, f (x) – f (x0) = f yazılırsa ,

f ‘(x0) = lim f biçimine dönüşür.x x0

h0 h

x – x0 = h yazılırsa tanım;

UYARI

ÖRNEK :

f (x) = Vx olduğuna göre , f ‘ (1) = ?3

3

ÇÖZÜM :

f ‘ (1) = lim f (x) – f (1) = lim V x - 1 olur. x 1 x – 1 x 1 x – 1

V x = h alınırsa ,3

f ‘ (1) = lim h - 1 = lim h – 1 = 1 olur.h 1 h - 1 h 1 (h-1) (h + h + 1) 3

ÖRNEK :

f ( x) = lnx ise , f ‘ (x0) = ?

ÇÖZÜM :

f ‘ (x0) = lim ln (x0 + h ) – lnx0 = lim 1 . ln ( x0 + h ) = lim 1 . (1 + h ) = lim ( 1 + h ) olur.1/h

h 0 h h 0 h x0 h 0 h x0 h 0 x0

f ‘ (x0) = lim ln [(1+1 )u ] 1 = lim 1 ln ( 1 + 1 )u = 1 . lne = 1 olur. u x

08 u u x0 u x0 x0 8

e

ÖRNEK :

f (x) = x2 – 4 fonksiyonu , x0 = 2 de türevlimidir?

ÇÖZÜM : Soldan türev: lim x2 – 4 - 0 = lim - x2 + 4 = - 4

Sağdan türev: lim x2 – 4 - 0 = 4 tür.

x 2- x – 2 x 2- x – 2

x 2+ x - 2

O halde f ‘(2) yoktur.O halde f ‘(2) yoktur.

SAĞDAN TÜREV – SOLDAN TÜREV

lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine x0 noktasındaki soldan türev , lim f ( x0 + h ) – f ( x0) limitine de

x0 noktasındaki sağdan türev denir.

f fonksiyonunun x0 noktasında türevli olması için sağdan türevin soldan türeve eşit olması gerekir.

h0- h h0+ h

BİR FONKSİYONUN TÜREV FONKSİYONU

Bir f fonksiyonu x0 ( a , b ) için türevliyse, x ( a , b )için bir f ‘ ( x0 ) değeri elde edilecektir. Burada f ‘ (x0) , x0 ın bir fonksiyonudur.

A

C

A

C

ÖRNEK :

f ( x ) = 3x2 – 4x ise, f ‘ (x) = ?

UYARI :UYARI : Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur. Tek fonksiyonun türevi çift, çift fonksiyonun türevi tek fonksiyondur.

ÇÖZÜM:

F ‘(x0) = lim 3x2 – 4x –3x0 – 4x0 = lim 3 (x – x0) (x + x0) – 4 (x – x0)x x0 x – x0 x x0 x – x0

= lim ( x – x0 ) ( 3x +3x0 – 4) = 6x0 – 4 olur.x x0 x – x0

f ‘ ( x0 ) = 6x0 – 4 olduğundan , f ‘ (x) = 6x – 4 bulunur.

BAZI FONKSİYONLARIN TÜREVLERİ VE TÜREV ALMA METOTLARI

1. Sabit fonksiyonun türevi sıfırdır. f (x) = V 2 ise, f ‘ (x) = 0 dır.

2. Birim fonksiyonun türevi 1 dir. I (x) = x ise, I ‘ (x) = 1 dir.

3. f (x) = a.x ise, f ‘(x) = a dır. ( a R)

4. f (x) = a.x n ise, f ‘(x) = a.n..x n-1 ( n R)

5. y = a.f (x) ise, y ‘ = a.f ‘ (x) ( a R)

6. y = f (x) + g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) + g ‘ (x)

7. y = f (x) . g (x) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) + g ‘ (x) . f (x)

8. y = f ( x ) ise, y ‘ = f ‘ (x) . g (x) – g ‘ (x) . f (x)

C

C

C

g (x) (g (x) )2

ÖRNEKLER

1. f (x) = 3 x5 ise, f ‘(x) = 3 . 5 . x5-1 = 15 x4 tür.

2. f (x) = 4 ise, f (x) = 4 . x -3 olduğundan, f ‘ (x) = - 3 . 4 .x –3 – 1 = - 12 . x – 4 = - 12 bulunur. x3 x4

3. f (x) = 1 = 1 = x –1/3 olduğundan, f ‘(x) = - 1 . x - 1/3 – 1 = - 1 . x –4/3 = -1 = -1 olur.

3 V x x 1/3 3 3 3 .3 Vx4 3x 3Vx

4. f (x) = 5 x2 + 1 = 5 x2 + x –1 olduğundan, f ‘(x) = 10x – x -2 = 10 x - 1 dir.x x2

5. f (x) = Vx . (x3 – 2x) f ‘(x) = (Vx )’. (x3 – 2x) + (x3 – 2x)’ . Vx = 1 . (x3 – 2x) + (3x2 – 2) .Vx bulunur. 2 Vx

6. y = x - 1 ise, y ‘ = (x – 1)’ . (x2 – 2x) – (x2 – 2x)’ . (x – 1) = 1 . (x2 – 2x) – (2x – 2) . (x – 1) olur.x2 – 2x (x2 – 2x)2 (x2 – 2x)2

7. f (x) = sin x ise, f ‘(x) = cos x

8. f (x) = cos x ise, f ‘(x) = - sin x

9. f (x) = tan x ise, f ‘(x) = 1 + tan2 x = 1 = sec2 x cos2 x

10. f (x) = cot x ise, f ‘(x) = - (1 + cot2 x) = 1 = - cosec2 x sin2 x

ÖRNEK:

sin x + 1 ise,cos x – 1 y =

(sinx + 1)’ .(cosx – 1) – (cosx –1)’ . (sinx + 1) = + cosx (cosx – 1) + sinx (sinx + 1) (cosx – 1)2 (cosx – 1)2

y ‘=

cos2x + sin2x + sinx + cosx 1 + sinx – cosx olur.(cosx – 1)2 (cosx – 1)2

= =

TERS FONKSİYONUN TÜREVİ

f, (a , b) de türevli ve bire – bir , f –1 fonksiyonu da f (a , b) de türevli ise, f (x0) = y0 iken,

11. (f –1)’ (y0) = 1 olur. f ‘(x0)

4x + 1 ise, (f –1)’ (1) = ? f (x) =

ÖRNEK :

2x – 3

ÇÖZÜM :

y0 = 1 olduğundan 4x0 + 1 = 1 x0 = - 2 bulunur. 2x0 – 3

4 (2x – 3) – 2 (4x + 1) - 14 - 14 = - 2_ (2x – 3)2 (2x – 3)2 49 7 f ‘(x) = = f ’(-2) =

(f –1 )’ (1) = 1 1 -7 bulunur.f ‘(-2) -2 2

7

= =

TERS TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARI

f (x) = sin x fonksiyonu R de bire-bir değildir. Ancak uygun bir tanım kümesi seçilerek seçilen aralıkta bire-bir olması sağlanabilir. İşte f (x) = sin x fonksiyonunun bire-bir olduğu bir aralıkta;

f –1 (x) = sin –1 x ters fonksiyonu vardır ve y = arcsin x biçiminde gösterilir. Aynı biçimde y = arccos x, y = arctan x ve y = arccot x fonksiyonları elde edilebilir.

Burada; arcsin 1 , arc tan 1 ... v.s. yazılabilir.

Ayrıca, arc sin (sin x) = sin – 1 (sin x) = x

arc cot (cot x) = cot –1 (cot x) = x ...v.s. olur.

2 6 4

ÖRNEKtan (arc sin x) = ?

ÖRNEKtan (2 . arc sin x) = ?

ÇÖZÜM

arc sin x = y olsun. sin y = x olacaktır. Yandaki şekilden;

}

tan (arc sin x) = tan y x bulunur.

y

V 1 – x2 V 1 – x2

x 1

y

ÇÖZÜM

V 1 – x2

x 1

y

arc sin x = y olsun. sin y = x olur.

}y

tan (2.arc sin x) = tan (2y) = 2 tan y =

2x__ V 1 – x2

__x2__1 - 1 – x2

. 1 – x2 bulunur. 2x__V 1 – x2

=1 – 2x2

TÜREVİ

12. f (x) = arc sin x ise, f ‘(x) 1 . =

V 1 – x2

13. f (x) = arc cos x ise, f ‘(x) -1 . =

V 1 – x2

14. f (x) = arc tan x ise, f ‘(x) 1 . =

1 + x2

15. f (x) = arc cot x ise, f ‘(x) -1 olur. =

1 + x2

BİLEŞKE FONKSİYONUN TÜREVİ VE TÜREVDE ZİNCİR KURALI

f, x0 da, g de f (x0) da türevli fonksiyonlar olsun. Bu durumda, (gof) ‘(x0) = g ‘(f (x0)). f ‘(x0) olur.

Örneğin; y = 3 (x2 – 3x)5 fonksiyonu f (x) = x2 – 3x ve g (x) = 3x5 olmak üzere y = (gof) (x) fonksiyonudur.

g ‘(x) = 15x4, g ‘(f(x)) = 15(x2 – 3x)4 , f ‘(x) = 2x – 3 olduğundan,

y ‘ = g ‘(f(x)).f ‘(x) = 15(x2 – 3x)4 .(2x – 3) bulunur.

Daha çok fonksiyonun bileşkesi için; y = f (g (h (t (x) ) ) )

y ‘ = f ‘ (g (h (t (x) ) ) ) . g ‘(h (t (x) ) ) . h ‘(t (x) ) . t ‘(x) bulunur.

ÖRNEK

y = sin3 (x2 + x) ise, y ‘= 3 sin2 (x2 + x) . cos (x2 + x) .(2x + 1) olur.

ÖRNEK

y sin2 V cos (2x) ise, y ‘ = 2 sin V cos 2x . Cos V cos 2x . _____1____ . (- sin 2x) .2 olur.2 V cos 2x

UYARI

y = g (f (h (t (x) ) ) ) için:

u = t (x) y = g (f (h (u) ) )

v = h (u) y = g (f (v) )

z = f (v) y = g (z)

k = g (z) y = k yazılırsa, dy/dx = dy/dk . dk/dz . dz/dv . dv/du . du/dx eşitliği yardımıyla da türev alınabilir.

ÖRNEK

f (x) = sin3 (cos x) ise, f ‘(x) = ?

ÇÖZÜM u = cos x f (u) = sin3u, v = sin u f (v) = v3 df/dx= df/dv . dv/du . du/dx

= 3v2 . cos u . (- sin x) = (- 3 sin2u . cos (cos x) . sin x = - 3 sin2 (cos x) . cos (cos x) . sin x olur.

Buna göre türev kuraları;1. y = (f (x) )n ise, y ‘ = n . (f(x) )n – 1 . f ‘(x)

2 . V f (x)

2. y = V f (x) ise, y ‘ = _____f ‘(x)____

3. y = nV(f(x))m ise, y ‘ = _____ f ‘ (x) _____ n . n V f (x)n – m

4. y = cos f (x) = ise, y ‘ = - f ‘(x) . sin f (x)

5. y = sin(f (x) ) =ise, y ‘ = f ‘(x) . cos f (x)

7. y = tan(f (x) ) = ise, y ‘ = f ‘(x) . ( 1 + tan2 (f (x) )

6. y = arc sin (f (x) ) = ise, y ‘ = ____f ‘(x)___ V 1 – f 2 (x)

8. y = arc tan x ise, y ‘ = ____f ‘(x)____1 + f 2 (x)

ÖRNEK

f (x) = arc tan V x ise, f ‘(x) = ? ÇÖZÜM

f ‘(x) olur.

___1___2 V x______________=1 + x

KAPALI FONKSİYONLAR VE TÜREVİ

F (x,y) = 0 biçimindeki bağıntılara kapalı fonksiyon denir. Burada, y = f (x) tir.

y3x2 + 2x2y + 3x – 5y2 +2 = 0 yx – x + y = 0 gibi.

ÖRNEKy .x2 + 5y2 x – x2 + 3y + 2 = 0 ise, y ‘ = ?

ÇÖZÜMy = f (x) olduğundan fonksiyon,

f (x) . x2 + 5 . (f (x) )2 . x – x2 + 3 f (x) + 2 = 0 biçiminde yazılabilir.

f ‘(x) . x2 + 2x .f (x) + 5 . 2f (x). f ‘(x) . x + 5 . (f (x) )2 – 2x + 2f ‘(x) = 0

f ‘(x) (x2 + 10x f (x) + 3) = -2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x

f ‘(x) olur. =- 2x f (x) – 5 (f (x) )2 + 2x___________________________

x2 + 10x f (x) + 3 y ‘ bulunur. =

- 2xy – 5y2 + 2x _______________ x2 + 10xy + 3

UYARI

y sabit düşünülerek alınan türev f ‘(x) , x sabit düşünülerek alınan türev f ‘(y) ise;

y ‘ =- f ‘(x)

f ‘(y)_________ olur.

LOGARİTMİK FONKSİYONLARDA TÜREV

1. y = lnx ise, y ‘ = 1/x 2. y = lnf (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x)

3. y = log a x ise, y ‘ = 1/x . log a e 4. y = log a f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) / f (x) . log a e

ÖRNEK

f (x) = ln (cos2x) ise f ‘(/8) = ?

ÇÖZÜM

f ‘(x) =- 2 sin 2x

cos 2x = - 2 tan 2x _____________

== - 2 tan __ - 2 bulunur.4

f ‘( )__8

ÜSTEL FONKSİYONLARDA TÜREV 1. y = e x ise, y ‘ = e x

2. y = e f (x) ise, y ‘ = f ‘(x) . e f (x)

3. y = a x ise, y ‘ = a x . lna

4. y = a f (x) ise, y ‘=f ‘(x) . a f (x) . lna

ÖRNEK y = (2x2 + 1)sin x ise, y ‘ = ?

ÇÖZÜM

Her iki tarafın doğal logaritması alınırsa

lny = ln (2x2 + 1)sin x lny = sin x . Ln (2x2 + 1)

cos x . ln (2x2 + 1) + . sin x ___ __________ y ‘ y

4x2x2 + 1

y ‘ = (2x2 + 1)sin x . [cos x . ln (2x2 + 1) + 4x . sin x ____________

2x + 1bulunur.

YÜKSEK MERTEBEDEN TÜREVLER ( ARDIŞIK TÜREV )

Bir y = f (x) fonksiyonun türevinin türevine 2 nci türev, onun da türevine 3 ncü türev denir.

y = f (x) in 3 ncü türevi y’’’ = f ‘’’(x) veya biçiminde gösterilir. d 3 f dx3

_______

ÖRNEK

dx df_____

d2f

dx2 _____ d4f

dx4 ____ d3f

dx3 ____ == = d5f

dx5

____ == 8x3 +15x2 , 24x2 +15x , 48x +15 , 48 , 0 bulunur.

f (x) = 2x4 + 5x3 + 7 ise ,

TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

f (x) – f (x0)____________ x – x0

oranı, AB kirişinin Ox ile pozitif yönde yaptığı açının tanjantı yani AB nin eğimidir. x x0 olması durumunda AB kirişi eğriye A noktasında çizilen teğete yaklaşır.

O halde, f ‘(x0) = lim değeri y = f (x) eğrisine, x = x0 da f (x) – f (x0)____________

x – x0 x x0

çizilen teğetin eğimini vermektedir.

y

f (x)

f (x0)

x x0

x

A B

C x – x0

.

y = f (x)

f (x) – f (x0)

ÖRNEK

f (x) eğrisine x0 = 1 de çizilen teğetin eksenlerle oluşturduğu üçgenin

alanı nedir ?

V x2x – 1 =

ÇÖZÜM

x0 = 1 y V 12 – 1 == 1, A (1,1) f ‘(x)

1_____2 Vx

. (2x – 1) – 2 . V x___________________________

(2x – 1)2=

m = f ‘(1) =

12

________________

. 1 – 2

1 = 12

___ - 2 = 32

- ___

değerleri y – y0 = m (x – x0) da yerine yazılırsa;

y – 1 = 32

- ___ (x – 1) y = 32

- ___ x + 5 2

___ olur.

53

___52

___

x = 0 y = , y = 0 x = ve A = ___ ___ _________ ___3 2255

.2512= olur.

ÖRNEK

y = x2 + 2x eğrisinin y = 4x + 1 doğrusuna paralel teğetinin A değme noktasının koordinatları nedir ?

ÇÖZÜM

y = 4x + 1 doğrusunun eğimi m = 4 olduğundan, teğetin eğimi de 4 olmalıdır.

f ‘(x0) = 4 2x0 + 2 = 4 x0 = 1

x0 = 1 y0 = 12 + 2 .1 = 3 ve A(1,3) olur.

ÖRNEK

Bir cisim 20m/sn ilk hızla dikey olarak fırlatılıyor. Bu cisim kaç metre yüksekliğe ulaşır?

ÇÖZÜM

Cisim maksimum yüksekliğe ulaştığında hızı sıfırdır.

x(t) at2 + V0 . t den, x(t) = -5t2 + 20t olur. 12

____=-

x’(t) = - 10t + 20 = 0 t = 2. saniye ve x(2) = -5.4 + 20.2 = 20 m yüksekliğe ulaşır.

ÖRNEK

ÇÖZÜM

5 m/sn I.

10m

2 m/sn

II.

Yandaki şekilde birbirini dik kesen iki yolda, iki aracın başlangıç durumları verilmiştir. Aynı anda ok yönünde 2m/sn ve 5m/sn hızlarla hareket eden bu iki aracın 1. Saniyede birbirlerinden uzaklaşma hızı ne olur ?

I . hareketli x(t) = 10 + 5t , II . hareketli x(t) = 2t kuralı ile yol alır. Aralarındaki uzaklık ;

l(t) = V 4t2 + (10 + 5t)2 l(t) = V 29t2 + 100t + 100 l(t) =58t + 100

2 V 29t2 + 100t + 100________________

ve l’(1) = 158______2 . V229

= V229______ 79 m/sn bulunur.

TÜREVİN HAREKET PROBLEMLERİNE UYGULANMASI

Zaman yol fonksiyonu verilen bir hareketlinin, t1 saniyede aldığı yol x (t1) olsun.

x (t) – x (t1)____________ t – t1

oranı t1, t zaman aralığındaki

ortalama hızı, t t1 için limitte t1 anındaki ani hızı verir.

Vort = x (t) – x (t1)____________

t – t1

, V (t1) =t t1

lim x t

_____ = x’ (t1) olur.

Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın Yani, yolun zamana göre türevi hızı verir. Benzer düşünülürse hızın zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği zamana göre türevinin (yolun zamana göre 2. türevi) anlık ivmeyi verdiği bulunur. bulunur.

TÜREVİN UYGULAMALARI

TANIM: Bir fonksiyonun [a,b] aralığında aldığı en büyük ve en küçük değerlere maximum ve minimum veya extramum değerler denir.

TANIM: Bir f(x) fonksiyonu > 0 için, (x1 - , x1 + ) aralığında extramum değer alıyorsa, bu değerlere yerel maximum ve minimum denir.

A

C CC

Yandaki şekilde f:[a,b] R, y = f(x) fonksiyonunun grafiği verilmiştir. a

y

x b 0 x3

x2x1

1. [a,b] aralığında, x = a için fonksiyonun minimum değeri, x = x3 için maximum değeri elde edilir.

2. x = x1 ve x = x3 için yerel maximum, x = x2 için yerel minimum var.

TEOREM: f:[a,b] R, fonksiyonu [a,b] de sürekli, (a,b) de türevli olsun. Bu fonksiyon x1 C (a,b) de extramum değer alıyorsa, f ‘(x1) = 0 dır.

TANIM: x1 < x2 f(x1) < f(x2) ise, artan

x1 < x2 f(x1) > f(x2) oluyorsa, f(x) azalan fonksiyon dur.

TEOREM: Bir fonksiyonun artan olduğu aralıkta türev pozitif, azalan olduğu aralıkta türev negatiftir.

f:[a,b] R

1. x1 ve x3 te yerel minimum, x2 de yerel maximum var. f ‘(x1) = f ‘(x2) = f ‘ (x3) = 0 dır.

x1

y

xabx2 x3x4 x5x6

y=f(x)

2. f, (a,x1), (x2,x3) aralıklarında azalan. Bu nedenle f ‘(x4)<0, f ‘(0)<0 dır.

3. f, (x1,x2), (x3,b) aralıklarında artan. Bu nedenle f ‘(x6) >0, f ‘(x5)>0 olur.

İKİNCİ TÜREVİN GEOMETRİK ANLAMI

İkinci türevin pozitif olduğu aralıklarda eğri içbükey, negatif olduğu aralıklarda eğri dışbükey dir. F “(x0) = 0 için, x0 da ikinci türev işaret değiştiriyorsa, x = x0 da dönüm noktası vardır denir.

Öğrendiklerimizi aşağıdaki grafikte özetleyelim.

x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8x

y

D.N D.ND.N

y=f(x)

1. f(x1) = 0, f ‘(x1)> 0, f “(x1)< 02. f “(x4) = f “(0) = 0, f ‘(x3) = f ‘(x5) = f ‘(x6),= f ‘(x8) = 03. f(x2) > 0, f ‘(x2)> 0, f “(x2) < 0

SONUÇLAR

I. f ‘(x1) = 0, f “(x1) > 0 ise, x1 de yerel minimum vardır.

II. f ‘(x2) = 0, f “(x1) < 0 ise, x2 de yerel maximum vardır.ÖRNEK

f(x) = x3 – 6x2 – 1 fonksiyonunun artan – azalan olduğu aralıklar, extramum noktalar ve dönüm noktasını bulunuz.

ÇÖZÜM

+ +

++

--

--

max. D.N min

Artan dış bükey

Azalan dış bükey

Artan iç bükey

Azalan iç bükey

y’=3x2-12x

y’’=6x-12

x 0 2 4

ÇÖZÜMLÜ TESTLER

f(x) =[x+1]+x2-x-6 +sgn x ise f ‘( ) = ?

ÇÖZÜM

1___2

x civarında; [x+1] = 1, x2-x-6 = -x2+x-6 ve sgn(x) = 1 olduğundan,=

f ‘(x) = 0-2x+1+0 = -2x+1 ve f ‘( ) = -2 . +1 = 0 bulunur.1___2

1___2

SORU - 1

1___2

1___2

A) 0 B) – 1 C) 1 D) – E)1___2

YANIT : A

SORU - 2

f(x) =x2 , g(x) = 6x – 1 ve h(x) = sinx olduğuna göre (fogoh)’( ) = ?6

_____

A) 12 V 3 B) 6 V 3 C) 3 V 3 D) 2 V 3 E) 3

ÇÖZÜM

(fogoh)’(x) = f ‘(g(h(x))) . g’(h(x)) . h’(x) olduğundan,

f ‘(x) = 2x f ‘(g(h(x))) = 2 . (6sinx – 1) g ‘(x) = 6 g‘(h(x)) = 6, h’(x) = cosx olduğundan,

(fogoh) ‘(x) = 2 . (6sinx – 1) . 6 . Cosx ve (fogoh) ‘ ( ) 2 . (6sin - 1) . 6 . cos

2 . (6. -1) . 6 . = 12V 3 olur.

6

___ 6

___ 6

___

12

___ _____V 32

YANIT : A

SORU - 3

A) B) C) D) E)

ÇÖZÜM

YANIT : E

x = arctan - arctan olduğuna göre, sin x = ?12

_____ 13

_____

17

_____ 1V 7

_____ V 7 2

_____ 5V 2

_____ 15 V 2

_____

x = arctan - arctan her iki tarafın tanjantı alınırsa;12

_____ 13

_____

tanx = tan(arctan ) – tan(arctan ) 1

2 __ 1

3 __

1 + tan(arctan ) . tan(arctan ) 12

__ 13

_______________________________ tanx

12

_____ 13

_____ - = 1

3_____1

2_____1+ .

_______________=

16

_____

16

_____1+

_________

=16

_____ 67

____ 17

_____. = olur. sinx = bulunur.15 V 2

_____

SORU - 4

lim sinx

A) B) C) - 1 D) + E) -

ÇÖZÜM

YANIT : D

x2+ x2 – 4x + 4_____________ = ?

12

___ 14

___ - -

lim sinx x2+ x2 – 4x + 4

_____________ =

lim . cos x x2+ 2x - 4

_____________ = +

SORU - 5

x

y

A

B

0-42

y= f(x)

y= 9x

-16

y = 9x – 16 doğrusunu apsisi – 4 olan A noktasından kesen ve aynı doğruya B noktasında teğet olan üçüncü derece fonksiyonu hangisidir ?

A) f (x) = x3 – 3x B) f (x) = x3 – 3x – 2 C) f (x) = x3 – x + 1

D) f (x) = x3 – 3x – 1 E) f (x) = x3 – 3x – 3 ÇÖZÜM

f (x) = x3 + ax2 + bx olur. x = 2 f (x) = 2 ve 4a + 2b = - 6 2a + b = - 3 ( I )

Ayrıca, ortak çözüm x = - 4 için sağlanmalıdır. Buna göre; x3 + ax2 + bx = 9x - 16 ifadesinde; x = - 4 ise, - 64 + 16 – 4b = - 36 – 16 4a – b = 3 ( II )

2a + b = - 3

YANIT A

4a – b = 3 a = 0, b = - 3 ve f (x) = x3 – 3x olur.

SORU - 6

f : [0 , 6] R olmak üzere üçüncü dereceden y = f (x) polinom fonksiyonunun grafiği yandaki şekilde verilmiştir. Aşağıdakilerden hangisi YANLIŞTIR ?

A) f (3) < 0 B) f ‘(3) < 0 C) f “(3) < 0

D) f ‘(1) > 0 E) f “(1) > 0

ÇÖZÜM

f , x = 1 civarında dış bükey olduğundan f ”(1) < 0 olmalıdır. Oysa, E çeldiricisinde bunun tersi yazılıdır.

YANIT E

02 4 5 6

y

x

D.N

SORU - 7

f (x) =

A) – 2 B) – 1 C) 0 D) 1 E) 2

ÇÖZÜM

f ‘(x) =

YANIT E

x2 + ax + 2x2 + 2x

eğrisinin – 1 apsisli noktasında extramumu vardır. a = ?

(2x+a)(x2+2x) – (2x+2) (x2+ax+2)(x2+2x)2

x = - 1 f ‘(x) = 0 olduğundan, (- 2 + a) (1 - 2) – (-2 + 2) (1 - a + 2) = 0 - 2 + a = 0

a = 2 olur.

SORU - 8

f (x) =

A) B) C) 2 D) 0 E) 1

ÇÖZÜM

YANIT D

x2 - 1ise f ’ (1) = ?

y = x olsun. l ny = (x2 –1) . l nx = 2x l nx + .(x2 – 1). l nx

f ’(x) = . [ 2x.l nx+ x2-1 ] f ’(1)=10.[2.1.0.0]=0 bulunur.

12

y1

y1x

x x

x2 – 1

x2 – 1

x

SORU - 9

A) B) C) D) E) e

e f (x) + e – f (x) = 2x ve f (1) = 2 olduğuna göre f ‘(1) = ?

2 e2 – e-2

2e e2 – e-2

e4 – e2 e2

e2 – 1

ÇÖZÜM

(ef (x) + e-f (x))’ = (2x)’ f ‘(x) . ef (x) - f ‘(x) . e-f (x) = 2 f ‘(x) = 2

ef (x) – e-f (x) olur.

f ‘(1) =2

e2 – e-2

YANIT D