Nama : Karina Dwi Lestari

NIM : 105060702111007

Tugas 3 Pengendalian Kualitas

DISTRIBUSI DISKRET

a. Distribusi Hipergeometrik

Probabilitas kejadian suatu obyek dengan tanpa dikembalikan disebut sebagai distribusi

hipergeometik. Distribusi ini memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

1. Sampel acak berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N benda.

2. Sebanyak k benda dapat diberi nama “sukses” sedangkan N – k, diberi nama “gagal”.

Distribusi hipergeometrik nilainya dapat dinyatakan sebagai h (x; N, n, k).

Sumber : Fauzy (2008:111)

Dimana: N = Total populasi atau sampel.

k = Jumlah benda yang diberi label “berhasil” yang tersedia

n = Jumlah percobaan atau jumlah sampel yang dipilih.

Sedangkan dalam populasi N benda terdapat lebih dari 2 jenis sampel yang berbeda, maka

sebaran peluang bagi peubah acak hipergeometrik X, yang menyatakan banyaknya keberhasilan

dalam contoh acak berukuran n, adalah:

Sumber: Hasan (208:63)

Dimana: N=N1 + N2 + N3 + … + Nn

x = x1 + x2 + x3 + … + xn

n = Jumlah sampel yang dipilih.

Gambar 1.1 Kurva Distribusi HipergeometrikSumber: Firman. 2010. http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/75/

Binomial_ distribution_pmf.svg/300px-Binomial_distribution_pmf.svg.png

b. Distribusi Binomial

Distribusi binomial atau distribusi Bernoulli (ditemukan oleh James Bernoulli) adalah suatu

distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dai dua kejadian

yang berkomplemen, seperti sukses-gagal, ya-tidak, baik-cacat. Ciri–ciri distribusi binomial :

1. Percobaannya terdiri atas n ulangan.

2. Dalam setiap ulangan, hasilnya dapat digolongkan sebagai berhasil atau gagal.

3. Peluang berhasil dinyatakan dengan p dan dalam setiap ulangan nilai p tetap. Peluang gagal

dinyatakan dengan q = 1 - p.

4. Ulangan-ulangan tersebut bersifat bebas satu sama lain.

Gambar 1.2 Kurva Distribusi BinomialSumber: Tito. 2009. http://www.learner.org/courses/mathilluminated/images/units/11/2288.png

Rumus distribusi binomial terbagi menjadi dua, yaitu:1. Rumus Binomial suatu peristiwaSecara umum rumus dari probabilitas binomial suatu peristiwa dituliskan :P (X = x) = b(x; n, p) = C xn . px . qn−x

Sumber : Fauzy (2008:101)Dimana :x = banyaknya peristiwa suksesn = banyaknya percobaanp = probabilitas peristiwa suksesq = 1 – p = probabilitas peristiwa gagal2. Probabilitas binomial kumulatifProbabilitas binomial kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa binomial lebih dari satu sukses. Probabilitas binomial kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan rumus :PBK = ∑

x=0

n

P (X=x)

PBK = P (X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + … + P(X = n)Sumber : Hasan (2008:59)c. Distribusi Poisson

Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, ditemukan oleh S.D.

Poisson (1781-1841), seorang ahli matematika bangsa Prancis. Distribusi Poisson termasuk

distribusi teoritis yang memakai variabel random diskrit. Distribusi Poisson adalah distribusi

nilai-nilai bagi suatu variabel random X(X diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi

dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu.

Gambar 1.3 Distribusi PoissonSumber: Lestari. 2010. www.gesaf.files.wordpress.com/distribusi-poisson

1. Rumus probabilitas Poisson suatu peristiwa

Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi Poisson dirumuskan :

P (X = x) = λx . e− λ

x !Sumber: Fauzy (2008:105)

Dimana : = rata-rata terjadinya suatu peristiwaλ

e = bilangan alam = 2,71828

Probabilitas terjadinya suatu kedatangan yang mengikuti proses Poisson, dirumuskan:

P (X = x) = e− λt ¿¿ Sumber: Hasan (2008:65)

Dimana: = tingkat kedatangan rata-rata per satuan waktuλ

t = banyaknya satuan waktu

x = banyaknya kedatangan dalam t satuan waktu

2. Probabilitas distribusi Poisson kumulatif

Probabilitas Poisson kumulatif adalah probabilitas dari peristiwa Poisson lebih dari satu.

Probabilitas Poisson kumulatif dapat dihitung dengan rumus :

PPK = ∑t=0

nλx e−λ

x !

PPK = ∑t=0

n

P (X=x )

PPK =P (X=0 )+P (X=1 )+P (X=2 )+…+P(X=n) Sumber : Hasan (2008:68)

3. Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial

Distribusi Poisson sebagai pendekatan distribusi binomial dirumuskan :

P (X = x) = (np)x . e−np

x !

Sumber : Hasan (2008:69)

Dimana : np = rata-rata distribusi binomial4. Rata-rata distribusi PoissonE (X )=μ=λ=n . p

d. Distribusi Pascal

Jika ulangan suatu percobaan independen dapat menghasilkan outcome sukses dengan

probabilitas p dan outcome gagal dengan probabilitas q = 1− p, maka distribusi probabilitas

variabel random X yaitu jumlah percobaan yang dibutuhkan sampai sukses ke-k

terjadi.Distribusi ini memiliki ciri-ciri sebagai berikut:1. Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas

2. Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin,

sukses atau gagal

3. Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam

setiap percobaan (trial)

4. Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses

diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu dengan rumus umum:

b¿ ( x ;k ; p )=(x−1k−1) pkq x−k, dimana x = k, k + 1, k + 2, ….

Sumber:www.docs.google.com/distribusi-diskrit-1

Gambar 1.4 Kurva Distribusi Pascal (Binomial Negatif)Sumber: Yayan. 2009. http://www.boost.org/doc/libs/1_35_0/libs/math/doc/sf_and_dist/

graphs/neg_binomial_pdf2.png

DISTRIBUSI KONTINYU

a. Distribusi Normal

Distribusi probabilitas normal adalah distribusi probabilitas kontinyu yang simetrik dan

mesokurtik. Dua parameter yang menentukan suatu bentuk kurva normal adalah rata-rata dan

standard deviasi. Suatu variabel x dikatakan berdistribusi Normal dengan rata-rata (mean) µ

dan variansi σ2, apabila x mempunyai fungsi densitas probabilitas :

f (x)= 1σ √2π

e−12

(x−μ)2

σ

Sumber : Hasan (2008:70)

Ditulis dengan : x ~ berdistribusi N (µ,σ2)

Gambar 1.5 Kurva NormalSumber: Kountur,2006

Grafik fungsi densitas normal sering disebut dengan kurva normal dengan rata-rata μ dan

standar deviasi σ . Sifat-sifat kurva normal:

a. Harga modus terletak pada x=μ

b. Simetris terhadap sumbu vertikal yang melalui μ

c. Mempunyai titik belok di x=μ±σ

d. Memotong sumbu mendatar secara asimtotis

e. Luas daerah di bawah kurva = 1

b. Distribusi Lognormal

Distribusi log-normal sama seperti distribusi normal memiliki 2 distribusi parameter. Jika

variabel random = ln x ~ berdistribusi Normal (µn ; σn2), Maka variabel random x dikatakan

berdistrbusi Lognormal (µn ; σn2)

f(x) = −( ln x−μn)

2

2σ n2 ; x > 0

f(x) = 1

x√2σn2 e ; x > 0

f(x) = 0 ; untuk x yang lain

Sumber : Wiyono. 2009. Uji Statistik.pdf

Fungsi Densitas Komulatif :

P(x < k) = P (Z ≤ ln k−μn

σn

)dengan Z ~ Normal (0;1)

Sumber : Wiyono. 2009. Uji Statistik.pdf

Gambar 1.6 Kurva Distribusi Lognormal

Sumber: Soleh. 2008. http://solehpunya.files.wordpress.com/2008/03/00-kuliah-03-02-distribusi-probabilitas-kontinyu-teoritis.pdf

c. Distribusi Eksponensial

Jika kejadian sukses bersifat kontinyu dan distribusi probabilitas juga bersifat kontinyu

(dalam kurun waktu tertentu), maka distribusi probabilitas tersebut dinamakan distribusi

probabilitas eksponensial.

P (T ≤ t )=1−e− λ

Nilai harapannya adalah:E (T )=1λ

Gambar 1.7 Kurva Distribusi EksponensialSumber:http://zoonek2.free.fr/UNIX/48_R/07.html

d. Distribusi Gamma

Tidak selamanya distribusi normal dapat digunakan untuk memecahkan masalah teknik

dan sains. Contohnya dalam teori antrian dan keandalan, kurang tepat bila digunakan

pendekatan dengan distribusi normal, distribusi Gamma lebih tepat menjadi solusinya.

Fungsi Gamma didefinisikan oleh:

Γ (α )=∫0

∞

xα−1e− xdx=(α−1 )Γ (α−1)

Bila α=n , maka Γ (n )=(n−1 )! .Sumber : staff.ui.ac.id/internal/130891107/material/bab07.ppt

00.10.20.30.40.50.60.70.80.91

0 1 2 3 4 5 6 7 8

x

f G(x;,)

fG(x;1,1)

fG(x;2,1)

fG(x;1,2)

fG(x;2,2)

fG(x;2,1/2)

Gambar 1.8 Fungsi Kepadatan Probabilitas Distribusi GammaSumber:staff.ui.ac.id/internal/130891107/material/bab07.ppt

Jika parameter skala sebuah distribusi gamma = 1 diperoleh suatu distribusi gamma

standard. Maka, jika X adalah variable acak kontinyu dari distribusi gamma standard fungsi

kepadatan probabilitasnya adalah:

f G ( x ,α )={xα−1 e−x

Γ (α ) x 0

Sedangkan fungsi distribusi kumulatif gamma standard adalah:

FG (x ,α )=P (X ≤x )=∫0

xt α−1 e−t

Γ (α )dt

Sumber : Fauzy (2008:130)

e. Distribusi Weibull

Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan swedia Waloddi Weibull pada

tahun 1939. Grafik distribusi Weibull untuk dan berbagai nilai parameter dilukiskan pada

gambar di bawah ini.

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

f(x)

Distribusi Weibull

Gambar 1.9 Distribusi WeibullSumber: 2529_Bab_6_Distribusi_kontinyu.ppt

Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan parameter, jika fungsi padatnya

berbentuk:

f ( x )={αβ x β−1 e−αxβ , x>00 , x yang lain

Dengan >0 dan >0Sumber : Aprisia. 2011. 2529_Bab_6_Distribusi_kontinyu.ppt

Jika =1, maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial. Jika >1, maka kurvanya

mirip lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak menceng.