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– Typeset by GMNI & FoilTEX –

CALCULO MATRICIALDE ESTRUCTURAS DE BARRAS

(Articuladas 2D-3D)F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs

GMNI — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Departamento de Metodos Matematicos y de RepresentacionEscuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Universidad de A Coruna, Espana

e-mail: [email protected] web: http://caminos.udc.es/gmni

UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

mailto:[email protected]

http://caminos.udc.es/gmni

INDICE

I Ejemplos

I Ejes Locales y Globales

I Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad

I Ecuaciones de Equilibrio

I Numeracion Global: Matriz de Conectividad

I Equilibrio Elemental en Numeracion Global

I Equilibrio Global

I La Matriz de Rigidez es Semi-Definida Positiva

I La Matriz de Rigidez Coaccionada es Definida Positiva


Ejemplos (I)

Veanse los ejemplos siguientes:

Estructura Articulada 2D• Descripcion: ejemplo2.pdf

• Codificacion: ejemplo2.dat

Estructura Articulada 3D• Descripcion: ejemplo3.pdf

• Codificacion: ejemplo3.dat


Ejemplo (II)

Algunas variables importantes. . .

npoin=* (numero de nodos)

ndime=* (numero de coordenadas por nodo: 2 en 2D, 3 en 3D)

nelem=* (numero de elementos→ barras)

nnode=2 (2 nodos por elemento)

ndofn=* (NUMERO DE GDL POR NODO: 2 en 2D, 3 en 3D)

nprop=1 (numero de propiedades por material→ EA)

. . .

(*) Veanse ejemplos de codificacion de este tipo de problemas en los archivosejemplo2.dat y ejemplo3.dat.


Ejes Locales y Globales

Cambio de Base

r =

Q˜Te︷︸︸︷ cosα ∗ ∗cos β ∗ ∗cos γ ∗ ∗

r′,r′ =

cosα cos β cos γ

∗ ∗ ∗∗ ∗ ∗

︸︷︷︸

Q˜ er,

pues(Q˜ e)−1

= Q˜Te .


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (I)

Vector de desplazamientoselementales en ejes globales:

ue =

{u1,e

u2,e

}

u1,e =

u1,e

v1,e

w1,e

, u2,e =

u2,e

v2,e

w2,e

.


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (II)

Vector de desplazamientoselementales en ejes locales:

u′e =

{u′1,eu′2,e

}

u′1,e =

u′1,e

v′1,e

w′1,e

, u′2,e =

u′2,e

v′2,e

w′2,e

.

u′e = T˜eue, T˜e =

[Q˜ e O˜O˜ Q˜ e

].

(T˜e)−1 = T˜Te =⇒ ue = T˜Te u′e.UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (III)

Vector de deformacioneselementales:

εe = {∆Le} ,

∆Le = u′2,e − u′1,e.


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (IV)

Relacion desplazamientos—deformaciones:

εe = E˜ eu′e, E˜ e = [−1 0 0 +1 0 0 ] .

Luego,

u′e = T˜eueεe = E˜ eu′e

}=⇒ εe = E˜ e(T˜eue) =

B˜ e︷︸︸︷(E˜ eT˜e) ue.

ECUACION DE COMPATIBILIDAD:

εe = B˜ eue, B˜ e = [− cosα − cos β − cos γ +cosα +cos β +cos γ ].


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (V)

Vector de tensioneselementales:

σe = {Ne} ,

Ne =

(EAeLe

)∆Le.

ECUACION CONSTITUTIVA:

σe = D˜ eεe, D˜ e = [ EAeLe] .


Ecuaciones de Equilibrio (I)

Vector de fuerzaselementales en ejes globales:

fe =

{f1,e

f2,e

}

f1,e =

fx1,e

fy1,e

fz1,e

, f2,e =

fx2,e

fy2,e

fz2,e

.


Ecuaciones de Equilibrio (II)

Vector de fuerzaselementales en ejes locales:

f ′e =

{f ′1,e

f ′2,e

}

f ′1,e =

fx′

1,e

fy′1,e

fz′

1,e

, f ′2,e =

fx′

2,e

fy′2,e

fz′

2,e

.

f ′e = T˜efe, T˜e =

[Q˜ e O˜O˜ Q˜ e

].

(T˜e)−1 = T˜Te =⇒ fe = T˜Te f ′e.UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Ecuaciones de Equilibrio (III)

Relacion tensiones—fuerzas elementales:

f ′e = E˜Te σe, E˜Te =

−100

+100

.Luego,

f ′e = E˜Te σefe = T˜Te f ′e

}=⇒ fe = T˜Te (E˜Te σe) =

(T˜Te E˜Te )σe =

(E˜ eT˜e)T︸︷︷︸B˜ Te

σe.

ECUACION DE EQUILIBRIO

fe = B˜Te σe, B˜ e = [− cosα − cos β − cos γ +cosα +cos β +cos γ ].


Ecuaciones de Equilibrio (IV)

Luego,

εe = B˜ eueσe = D˜ eεefe = B˜Te σe

=⇒

σe = D˜ e(B˜ eue) =

S˜e︷︸︸︷(D˜ eB˜ e) ue,

fe = B˜Te (S˜eue) =(B˜Te S˜e)︸︷︷︸K˜ e

ue.

Matriz de Rigidez de Elemento:

K˜ e = B˜TeD˜ eB˜ e.ECUACION ELEMENTAL (Constitutiva+Compatibilidad+Equilibrio):

K˜ eue = fe.


Numeracion Global: Matriz de Conectividad

Vector de Desplazamientos Nodales:

u =

...

uipoin...

, uipoin =

uipoin

vipoin

wipoin

, ipoin = 1, . . . , npoin.

CAMBIO DE NUMERACION LOCAL A NUMERACION GLOBAL

Matriz de Conectividad: lnods(nnode,nelem) (*)

ipoin=lnods(inode,ielem) =⇒

ielem = elemento

inode = numeracion local {1,2} del nodo

ipoin = numeracion global del nodo

(*) Veanse ejemplos de codificacion de este tipo de problemas en los archivosejemplo2.dat y ejemplo3.dat.


Equilibrio Elemental en Numeracion Global

ielem

K˜ ielemuielem = fielem =⇒ K˜ ielemu = fielem.

La matriz de rigidez elemental expandida K˜ ielem se genera a partir de lamatriz de rigidez elemental K˜ ielem mediante el paso de numeracion local aglobal, de forma identica a como se realizo este proceso en el caso delcalculo matricial de circuitos.


Equilibrio Global (I)

El equilibrio de cada nodo estagobernado por la

LEY DE NEWTON:

La fuerza externa aplicada a cadanodo es igual a la suma de lasfuerzas elementales de todas lasbarras que confluyen en el.


Equilibrio Global (II)

Vector de Fuerzas Nodales:

f =

...

Fipoin...

, Fipoin =

Fxipoin

Fyipoin

F zipoin

, ipoin = 1, . . . , npoin.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO GLOBAL (Leyes de Newton):∑lnods(inode,ielem)=ipoin

finode,ielem = Fipoin

⇓∑ielem

fielem = f .


Equilibrio Global (III)

Las ecuaciones de equilibrio global pueden reescribirse en la forma matricial

K˜ ielemu = fielem∑ielem

fielem = f

=⇒

(∑ielem

K˜ ielem)

︸︷︷︸K˜

u = f .

Matriz de Rigidez Global:

K˜ =

(∑ielem

K˜ ielem)

︸︷︷︸ENSAMBLAJE DE LAS K˜ ielem

.

ECUACION DE EQUILIBRIO GLOBAL:

K˜ u = f .


Equilibrio Global (IV)

Luego, el sistema que hay que resolver es el siguiente:

K˜ u = f + R, K˜ = K˜ T ,con las condiciones de vinculacion

uV = pV ,

donde V es cada uno de los grados de libertad coaccionados (*).

(*) Para cada g.d.l. coaccionado V sera preciso indicar;

de que nodo se trata (ipoin),cual de sus g.d.l. esta coaccionado (idofn) ycual es el valor prescrito pV .


Equilibrio Global (V)

NOTA IMPORTANTE:

Observese que en estructuras articuladas 2D las componentes segun eleje z se anulan por lo que no es preciso tenerlas en cuenta, lo quepermite simplificar ligeramente la formulacion.


La Matriz de Rigidez es Semi-DEF. POS.

uTK˜ u =∑e

uT K˜ eu con K˜ =∑e

K˜ e=∑e

uTeK˜ eue donde K˜ e = B˜TeD˜ eB˜ e=∑e

uTe(B˜TeD˜ eB˜ e) ue

=∑e

(B˜ eue)T D˜ e (B˜ eue)=∑e

εTeD˜ eεe con εe = B˜ eue≥ 0, pues D˜ e = [EAe/Le] es SEMI-DEF +.

Luego uTK˜ u ≥ 0 ∀u =⇒ K˜ es SEMI-DEFINIDA POSITIVA.


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (I)

Sea K˜ V la matriz que se obtiene al ignorar las filas y columnas de la matrizK˜ correspondientes a g.d.l. coaccionados.

K˜ =

kv,v

, K˜ V =

.


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (II)

Sea u 6= 0 un vector en el que todos los componentes correspondientes ag.d.l. coaccionados son nulos.

Sea uV 6= 0 el vector que se obtiene al ignorar las filas del vector ucorrespondientes a g.d.l. coaccionados.

u =

0

, uV =

.

En estas condiciones uTVK˜ V uV = uTK˜ u, pues. . .


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (III)

uTVK˜ V uV = [ ]

,

uTK˜ u = [ 0 ]

kv,v

0

.


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (IV)

REDUCCION AL ABSURDO:

Supongamos que K˜ V no es definida positiva. . .

Luego ∃uV 6= 0 tal que uTVK˜ V uV = 0.

Entonces uTK˜ u = 0 con u 6= 0.

Luego (ver el apartado anterior) εTeD˜ eεe = 0 ∀e =⇒ εe = 0 ∀e, lo queindica que ninguna de las barras se deforma.

Por tanto, los componentes de u corresponden a los de un movimientode solido rıgido.

Pero los componentes de u correspondientes a los g.d.l. coaccionadosson nulos, por lo que (SI LA ESTRUCTURA ESTA CORRECTAMENTEMONTADA Y APOYADA), los movimientos de solido rıgido sonimposibles, y por tanto uV = 0 =⇒ CONTRADICCION.

Por tanto, K˜ V es DEFINIDA POSITIVA.


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