u posljednje vrijeme razvijeni su brojni drugi alati za ... · vještine učenika. u tome značajnu...
TRANSCRIPT
1
PRIMJENA V-DIJAGRAMA U RJEŠAVANJU MATEMATIČKIH PROBLEMA
Marija Juričić Devčić
Učiteljski fakultet, Zagreb
UVOD
Trendovi u obrazovanju u 21. stoljeću zahtijevaju nove pristupe učenju i poučavanju. Između ostalog,
inzistira se na inovativnim metodama poučavanja koje potiču aktivno učenje i razvijaju metakognitivne
vještine učenika. U tome značajnu ulogu imaju razni oblici vizualizacije znanja (knowledge
visualization).
Vizualizacija znanja je područje je koje se ubrzano razvija na prijelazu iz 20. u 21. stoljeće (Zhang i dr.,
2010). Još u drugoj polovini 20. stoljeća razvijaju se grafički alati koji, među ostalim, imaju dobro
prihvaćenu i uspješnu primjenu i u obrazovanju. Riječ je o mentalnim mapama T. Buzana i
konceptualnim (pojmovnim) mapama J. D. Novaka koje se pojavljuju gotovo istovremeno.
Dok se o mentalnim mapama u hrvatskim školama već dosta zna, manje su poznate konceptualne mape
koje u svijetu (ali ne i kod nas) imaju zapaženu primjenu u obrazovanju. Tehniku izrade konceptualnih
mapa razvio je Joseph D. Novak i njegov tim na Sveučilištu Cornell 70-ih godina prošlog stoljeća,
oslanjajući se pri tom na teoriju asimilacije. Teorija asimilacije je kognitivna teorija koju je razvio
američki psiholog David Ausubel početkom šezdesetih godina 20. stoljeća, a koja pretpostavlja da su
nova iskustva učenja uvijek integrirana u postojeće strukture znanja. Česta je usporedba konceptualnih
mapa s mentalnim mapama. Osnovna razlika među njima je u tome što se konceptualne mape temelje
na vezama između pojmova, dok je kod mentalnih mapa karakteristična stablasta struktura i radijalna
hijerarhijama.
U posljednje vrijeme razvijeni su brojni drugi alati za vizualizaciju znanja koji imaju primjenu i u
obrazovanju. Među različitim oblicima vizualizacije znanja, V-dijagram se naročito ističe kao alat
koji poboljšava metakognitivne sposobnosti učenika.
METAKOGNICIJA I SAMOREGULIRANO UČENJE
Metakogniciju je kao koncept koji se odnosi na učenje prvi opisao američki psiholog John H. Flavell
1976. godine. Najkraće rečeno, metakognicija je 'mišljenje o mišljenju' ili 'znanje o znanju'. Danas
postoje mnoge definicije metakognicije. Prema Flavellu, metakognicija je znanje o kogniciji i kontrola
kognicije. Prema definiciji američke psihologinje Ann L. Brown iz 1987. godine, metakognicija se
odnosi na znanje i upravljanje kognitivnim sustavom pojedinca. Slično, Garner i Alexander (1989)
definiraju metakogniciju kao skup znanja i izvršnih kontrola o procesu učenja. Metakognicija se, dakle,
2
sastoji od dvije komponente, a to su znanje o kogniciji i regulacija kognicije. Regulacija kognicije
odgovara znanju o načinu na koji učenici planiraju, implementiraju metode, promatraju, ispravljaju
pogreške i procjenjuju svoje učenje. Povezanost između tih faktora upućuje da znanje i regulacija
kognicije zajednički pomažu učenicima da se prilagode učenju na njima najbolji način. Wilson (1998)
metakognitivne funkcije: svijest, evaluaciju i regulaciju prikazuje modelom na slici 1.
Slika 1. Metakognitivne funkcije (Wilson, 1998).
Obzirom na razinu svjesnosti, Perkins (1992) definira četiri kategorije metakognitivnih učenika, a to su:
prešutni, svjesni, strateški i refleksivni učenici. 'Prešutni' učenici nisu svjesni svog metakognitivnog
znanja i ne razmišljaju o bilo kakvim posebnim strategijama učenja, nego su samo sposobni prihvatiti
da nešto znaju ili ne. 'Svjesni' učenici znaju da obavljaju neke specifične vrste mišljenja kao što su
stvaranje ideja, pronalaženje dokaza i slično, ali kod njih mišljenje nije nužno namjerno ili planirano.
'Strateški' učenici organiziraju svoje mišljenje korištenjem strategija kao što su rješavanje problema,
grupiranje i klasificiranje, traženje dokaza, donošenje odluka, itd. Oni poznaju i primjenjuju strategije
koje im pomažu u učenju. 'Refleksivni' učenici ne samo da upotrebljavaju strategije u svojem mišljenju,
nego se također reflektiraju na svoje učenje dok se ono događa, te s obzirom na uspjeh ili neuspjeh
strategija koje upotrebljavaju revidiraju iste kao prikladne ili neprikladne.
Samoregulirano učenje ima korijene u teoriji socijalno-kognitivnog učenja kanadskog psihologa Alberta
Bandure. Osnova njegove teorije jest da je učenje rezultat djelovanja osobnih faktora, faktora okruženja
i faktora ponašanja. Osobni faktori uključuju učenikova uvjerenja i stavove koji utječu na učenje i
ponašanje. Faktori okruženja uključuju kvalitetu poučavanja, učiteljeve povratne informacije, pristup
informacijama i pomoć roditelja. Faktori ponašanja uključuju učinke prijašnje izvedbe i oponašanje
modela. Svaki od tih triju faktora utječe na preostala dva faktora, pa govorimo o modelu trijadne
recipročne uzročnosti koji prikazuje slika 2.
metakognicija
evaluacija
svijest
regulacija refleksija
monitoring
refleksija
3
Slika 2. Model trijadne recipročne uzročnosti A. Bandure.
Prema Schraw i dr., samoregulirano učenje sastoji se od tri glavne komponente: kognicije, metakognicije
i motivacije. Kognicija uključuje vještine potrebne za kodiranje, pamćenje i prisjećanje informacija.
Metakognicija uključuje vještine koje omogućuju učenicima razumijevanje i promatranje svojih
kognitivnih procesa. Motivacija uključuje uvjerenja i stavove koji utječu na uporabu i razvoj kognitivnih
i metakognitivnih vještina. Svaka od tih triju komponenti jest potrebna, ali nije dovoljna za
samoregulaciju. Primjerice, oni učenici koji posjeduju kognitivne vještine, a nisu motivirani da ih
upotrebljavaju, ne postižu onakve rezultate kao oni koji posjeduju vještine i motivirani su da ih
upotrebljavaju. Slično, oni koji su motivirani, a ne posjeduju potrebne kognitivne i metakognitivne
vještine, često ne uspijevaju dosegnuti visok stupanj samoregulacije. Ove tri osnovne komponente mogu
se još podijeliti na podkomponente, na način prikazan na slici 3.
Slika 3. Samoregulacija (Schraw i dr., 2006).
Faktori
ponašanja
Faktori
okruženja
Osobni
faktori
Samoregulirano učenje
Metakognicija Kognicija Motivacija
Jednostavne strategije
Rješavanje problema
Kritičko razmišljanje
Znanje o kogniciji
Regulacija kognicije
Samoučinkovitost
Epistemologija
4
RJEŠAVANJE PROBLEMA (PROBLEM SOLVING)
Rješavanje promlema ili (engl.) problem solving (PS) je postupak utvrđivanja određenog problema i
pronalaženja njegovog rješenja. Ima primjenu u raznim područjima, a kad je u pitanju matematika,
govorimo o rješavanju matematičkih problema (mathematical problem solving – MPS). Pri rješavanju
određenog problema koriste se razne strategije.
Strategije rješavanja matematičkih problema prvi je opisao mađarski matematičar George Pólya 1945.
godine u knjizi Kako ću riješiti matematički zadatak (How to solve it). Promatrajući rješavanje
matematičkih problema kroz četiri faze: (1) razumijevanje, (2) planiranje, (3) izvršavanja plana i (4)
osvrt, on je među prvima istaknuo važnost metakognitivnog znanja u matematici (Pólya, 1957).
Američki matematičar Alan H. Schoenfeld (1985) proučavao je ponašanje svojih studenata pri rješavaju
matematičkih problema. On je naučio studente da nakon izvjesnog razdoblja rješavanja matematičkih
zadataka zastanu i zapitaju se: Što sada radim?, Zašto to radim?, Kako mi to pomaže? itd. Studenti koji
su tako rješavali probleme (postavljajući si spomenuta metakognitivna pitanja) postizali su bolje
rezultate. Prema Schoenfeldu, metakognicija se sastoji se od triju važnih aspekata. To su: (1) znanje o
vlastitim misaonim procesima, (2) kontrola ili samoregulacija, i (3) vjerovanja i intuicija. Schoenfeld
također ističe da pri rješavanju problema učenici trebaju racionalno raspodijeliti raspoloživo vrijeme na
(a) razumijevanje problema, (b) planiranje, (c) donošenje odluke o tome što učiniti, i (d) izvršavanje
odluke o rješenju u zadanom vremenskom okviru. Tijekom rješavanja problema, oni bi trebali nadzirati
proces i pratiti napredak. Kad donesene odluke ne daju rješenje, treba pokušati nešto drugo ili napraviti
korekcije.
Za uspješno rješavanje problema prema Mayeru (1998) potrebne su tri osobine: vještina (kognitivne
vještine), meta-vještina (metakognitivne vještine kao sposobnost kontrole i monitoringa kognitivnih
procesa) i volja (motivacija). Međusobni odnos tih komponenti rješavanja problema prikazuje slika 4.
Slika 4. Komponente rješavanja problema (Mayer 1998).
Rješavanje
problema vještina
(skill)
meta-vještina
(meta-skill)
volja
(will)
5
V-DIJAGRAM
V-dijagram je model vizualizacije znanja koji je razvio D. Bob Gowin, profesor biologije sa Sveučilišta
Cornell. Namijenjen je boljem razumijevanju i rješavanju problema u raznim područjima znanosti, iako
ga se danas najviše upotrebljava u prirodnim znanostima i matematici. V-dijagram, poznat također i pod
nazivom V-heuristika, nastao je u kasnim 70-tim godinama 20. stoljeća. Profesor Bob Gowin je u
periodu dugom dva desetljeća pokušavao pomoći svojim studentima razumjeti prirodu znanja. Kako bi
studentima pomogao u strukturiranju svog znanja i rješavanju zadanog problema, Gowin je koristio niz
od pet pitanja koja su se odnosila na neki zadani problem:
1. Koja su fokusna pitanja?
2. Koji su ključni pojmovi?
3. Koje metode istraživanja se koriste?
4. Koje su glavne spoznajne tvrdnje?
5. Koje su vrijednosne tvrdnje?
Kako mnogi njegovi studenti i dalje nisu bili u stanju prepoznati vezu među pojmovima, fokusnim
pitanjima i objektima ili događajima koji se istražuju, Gowin je osmislio V-dijagram, čiji je zadatak bio
studentima olakšati spomenute poteškoće (Vanhear, 2006).
V-dijagrami su specifična vrsta kognitivnih mapa sa zadanom strukturom koja ima primjenu u učenju i
obrazovanju. V-dijagram je tehnika učenja zasnovana na teoriji konstruktivizma, usmjerena prema
učeniku te učenju istraživanjem i otkrivanjem, alat koji omogućava učenicima razumjeti kako su
događaji, procesi ili predmeti smisleno povezani, s ciljem da percipiraju spregu između onoga što je
poznato i ono što tek treba otkriti i razumjeti u rješavanju nekog znanstvenog problema (Gowin i
Alvarez, 2005).
V-dijagram, čije ime potječe od njegovog oblika (slovo 'V'), strukturalno i vizualno povezuje
metodološke aspekte neke aktivnosti s njenim temeljnim konceptualnim aspektima, oslanjajući se
pritom na značajnu ulogu pojmova u učenju i pamćenju. On ima dvije strane: konceptualnu (znanje) i
metodološku (procesi), koje su interakcijski povezane i ovisne, za što su odgovorna fokusna pitanja
izravno povezana s događajima i/ili objektima. Događaji i/ili objekti, koji se nalaze na dnu V-dijagrama,
su od izuzetne važnosti za formuliranje istraživačkih fokusnih pitanja, a samim tim i za daljnju
interakciju među komponentama povezanima s konceptualnom i metodološkom stranom dijagrama
(Calais, 2009).
Tijekom izrade V-dijagrama, bolje se uočavaju relevantni ključni pojmovi i/ili informacije, štoviše, ideje
se na taj način bolje organiziraju. Slika 5 prikazuje sve komponente V-dijagrama (Gowin i Alvarez,
2005).
6
Slika 5. Kostur V-dijagrama sa svim njegovim elementima (Gowin i Alvarez, 2005).
Ovaj oblik V-dijagrama doživljava svoje jednostavnije inačice i prilagodbe, obzirom na područje u
kojem se dijagram primjenjuje. Pri samoj izradi V-dijagrama, ispunjava se prvo konceptualna, a zatim
metodološka strana, i to u smjeru prikazanom na slici 6.
Slika 6. Smjer obilaska pri izradi V-dijagrama.
Korištenje V-dijagrama može se također upotpuniti izradom konceptualne mape zadanog problema. Pri
tom se izrađuju dvije konceptualne mape – jedna tijekom prolaska po konceptualnoj strani dijagrama, a
druga na kraju procesa izrade dijagrama. Cilj je uočiti razliku među mapama i otkriti što je pri rješavanju
problema naučeno (Vanhear, 2006).
FOKUSNA/ISTRAŽIVAČKA
PITANJA:
KONCEPTUALNO/TEORIJSKO
(mišljenje)
METODOLOŠKO
(radnje)
DOGAĐAJI I/ILI OBJEKTI:
VRIJEDNOSNE
TVRDNJE:
SPOZNAJNE
TVRDNJE:
TRANSFORMACIJE:
ZAPISI:
POGLED NA
SVIJET:
FILOZOFIJA:
TEORIJA:
PRINCIPI:
KONSTRUKCIJE:
POJMOVI:
FOKUSNA/ISTRAŽIVAČKA
PITANJA:
KONCEPTUALNO/TEORIJSKO METODOLOŠKO
DOGAĐAJI I/ILI OBJEKTI:
7
V-dijagram pruža dobru osnovu za evaluaciju znanja. U evaluaciji strukture znanja u V-dijagramu
služimo se Q-5 tehnikom (slika 7), postavljajući 5 pitanja o nekom obliku znanja (Što je pitanje? Koji
su ključni pojmovi? Koje metode su korištene? Koji odgovori su predstavljeni? Koja je vrijednost?).
Slika 7. Q-5 tehnika (Gowin i Alvarez, 2005).
V-dijagram može služiti i kao sredstvo ocjenjivanja znanja, pri čemu može biti vrednovan na različite
načine (Gowin i Alvarez, 2005). Okvir za izradu V-dijagrama može biti predložak u obliku nastavnog
listića i/ili predložak koji se može ispunjavati na računalu (offline i online).
PRIMJENA V-DIJAGRAMA U MATEMATICI
U suvremenoj nastavi matematike efikasno se koriste različiti oblici vizualizacije znanja, kao što su
mentalne i konceptualne mape, te V-dijagrami (Brinkmann, 2003; Afamasaga-Fuata'i, 2009, 2005,
2004). V-dijagram, koji u osnovi teži ka odgovoru na fokusno/istraživačko pitanje, naročito je pogodan
za primjenu u poučavanju i učenju matematike kao egzaktne znanosti. V-dijagram doživljava različite
inačice, ovisno o području, dobi učenika, primjeni i autoru koji ga primjenjuje. U svrhu rješavanja
matematičkih problema Karoline Afamasaga-Fuata'i predlaže pojednostavljen oblik V-dijagrama
prikazan na slici 8. Taj oblik V-dijagrama prihvaćen je i kod mnogih drugih stručnjaka koji se bave
ovim područjem obrazovanja.
Kao što je vidljivo iz slike 8, lijeva (konceptualna) strana sadrži pregled teorijskih činjenica, postupaka
i pravila koja mogu pomoći u rješavanju problema, dok desna (metodološka) strana dijagrama, čitajući
je u smjeru obilaska dijagrama - odozdo prema gore, predstavlja standardni način rješavanja zadatka u
kojem se polazi od zadanih veličina, transformacijama se rješava problem i na kraju se ispisuje odgovor
na pitanje iz zadatka. Zadatak je napisan na dnu dijagrama, dok se fokusno pitanje (na vrhu dijagrama)
odnosi na pitanje iz samog zadatka (Što se u zadatku traži?). Učenik se tijekom rješavanja problema
FOKUSNA/ISTRAŽIVAČKA
PITANJA
DOGAĐAJI/OBJEKTI
VRIJEDNOST
ODGOVORI
METODE
POJMOVI
8
može povremeno vraćati s desne strane na lijevu i obrnuto dopunjavajući dijagram novim spoznajama i
činjenicama.
Slika 8. V-dijagram koji se koristi u rješavanju matematičkih problema (Afamasaga-Fuata'i, 2005).
Komponente dijagrama mogu se mijenjati i prilagođavati prema dobi učenika. U primjeni V-dijagrama
u primarnom obrazovanju koristi se još jednostavnija inačica, koja olakšava postupak postavljanjem
niza pitanja na koja učenik treba odgovoriti (Vanhear, 2006).
Mogućnosti uporabe V-dijagrama još nisu dovoljno istražene. Za sada je nizom pokazatelja i istraživanja
(Afamasaga-Fuata'i, 2005, 2004) ustanovljeno da imaju svrhovitu primjenu u matematici, i to u:
1. rješavanju matematičkih problema;
2. uvođenju novih matematičkih pojmova;
3. evaluaciji učenikovih postignuća;
4. ocjenjivanju učenika.
Kako je V-dijagram usmjeren ka rješavanju problema ili traženju odgovora na fokusno pitanje, jasno je
da je jedna od najvažnijih njegovih primjena u prirodnim znanostima, a posebno i u matematici. Tijekom
rješavanja matematičkog problema pomoću V-dijagrama, a u cilju određivanja slijedećih stavki
dijagrama: objekti/događaji, fokusno pitanje, zapisi i pojmovi, Afamasaga-Fuata'i smatra ključnima
postavljanje pitanja kao što su: Koji se matematički pojmovi koriste u postavci problema? Što se u
zadatku traži? Koji su dani podaci? itd. Ova pitanja konzistentna su s prvim principom rješavanja
matematičkog problema koji pretpostavlja matematičar Pólya (razumijevanje problema). Ostala tri
njegova principa (donošenje plana, provođenje plana, osvrt unatrag) sadržani su također u izgradnji V-
dijagrama.
FOKUSNO PITANJE:
Što se u zadatku traži?
KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA
OBJEKTI/DOGAĐAJI
Kako je zadan problem?
SPOZNAJNE
TVRDNJE:
Što je odgovor na
fokusno pitanje?
TRANSFORMACIJE:
Kako principe, pojmove i
zapise možemo
upotrijebiti u određivanju
metode rješavanja
problema?
ZAPISI:
Koji su dani podaci?
TEORIJA:
Koje su relevantne
teorije?
PRINCIPI:
Koji su relevantni
principi koji rješavaju
zadani problem?
POJMOVI:
Koji su glavni
pojmovi? Relevantni
pojmovi?
Međudjelovanje
dviju strana
9
PRIMJERI
Promotrimo primjenu V- dijagrama u rješavanju matematičkih problema na sljedećim primjerima:
Zadatak 1: Skupini djece treba razdijeliti 72 kune tako da svako dijete dobije istu svotu. Kad bi djece
bilo 3 manje, svako dijete bi dobilo po 2 kune više. Koliko je djece u skupini?
Slika 9.
FOKUSNO PITANJE:
Koliko je djece u skupini?
KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA
OBJEKTI/DOGAĐAJI
Skupini djece treba razdijeliti 72 kune tako da svako dijete
dobije istu svotu. Kad bi djece bilo 3 manje, svako dijete bi
dobilo po 2 kune više. Koliko je djece u skupini?
SPOZNAJNE TVRDNJE:
U skupini je dvanaestero djece. Svako dijete
je dobilo 6 kuna.
TRANSFORMACIJE:
Postavimo jednadžbu:
72
𝑥+ 2 =
72
𝑥 − 3
Množenjem jednadžbe s 𝑥ሺ𝑥 − 3ሻ i
dijeljenjem s 2 dobivamo kvadratnu
jednadžbu
𝑥2 − 3𝑥 − 108 = 0,
čija su rješenja 𝑥1 = 12 i 𝑥2 = −9.
Drugo rješenje odbacujemo jer nije prirodan
broj.
Dakle, 𝑥 = 12.
ZAPISI:
Svota iznosi 72 kune. Broj djece označimo s
𝑥.
TEORIJA:
• zadaci riječima
• jednadžbe
PRINCIPI:
1. Omjer: 𝐴
𝐵= 𝐴 : 𝐵
2. Kvadratna jednadžba:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
3. Rješenja kvadratne
jednadžbe:
𝑥1,2 =−𝑏 ± ξ𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
POJMOVI:
Omjer, kvadratna jednadžba,
rješenje jednadžbe, prirodan
broj.
10
Zadatak 2: Nađi implicitnu jednadžbu pravca koji prolazi točkom ሺ3, ˗3ሻ i s koordinatnim osima zatvara
trokut površine 6.
Slika 10.
FOKUSNO PITANJE:
Kako glasi implicitna
jednadžba traženog pravca?
KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA
OBJEKTI/DOGAĐAJI
Nađi implicitnu jednadžbu pravca koji prolazi točkom
ሺ3, ˗3ሻ i s koordinatnim osima zatvara trokut površine 6.
SPOZNAJNE TVRDNJE:
Pravci koji prolaze točkom ሺ3, − 3) i s
koordinatnim osima zatvaraju trokut površine
6 kvadratnih jedinica imaju jednadžbe
𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 i 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0.
TRANSFORMACIJE:
Površina trokuta =1
2ሺosnovica×visinaሻ =
ȁ𝑚𝑛ȁ
2= 6 kvadratnih jedinica.
Slijedi: 𝑛 =12
𝑚 .
(𝑛 = −12
𝑚 odbacujemo jer je u tom slučaju
trokut prevelik!)
Prema principu 2 jednadžba pravca je
𝑥
𝑚+
𝑦
𝑛= 1.
Slijedi: 𝑥
𝑚+
𝑚𝑦
12= 1. (1)
Pravci prolaze točkom ሺ3, − 3ሻ, pa
uvrštavanjem odgovarajućih vrijednosti 𝑥 i 𝑦
u jednadžbu (1) dobivamo:
3
𝑚−
3𝑚
12= 1. (2)
Rješavanjem jednadžbe (2) dobivamo
𝑚1 = −6 i 𝑚2 = 2.
Uvrštavanjem vrijednosti od 𝑚 u (1)
dobivamo jednadžbe pravaca 𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0
i 3𝑥 + 𝑦 − 6 = 0.
ZAPISI:
Površina = 6 kvadratnih jedinica. Točka ima
koordinate ሺ3, ˗3ሻ.
TEORIJA:
• relacije i funkcije
• analitička geometrija u
ravnini
• geometrija (trokuta)
• jednadžbe
PRINCIPI:
1. Implicitni oblik jednadžbe
pravca glasi:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
2. Segmentni oblik jednadžbe
pravca glasi:
𝑥
𝑚+
𝑦
𝑛= 1,
gdje je 𝑚 odsječak na osi 𝑥
i 𝑛 odsječak na osi 𝑦.
3. Površina trokuta iznosi:
𝑃 =1
2ሺosnovica×visinaሻ.
POJMOVI:
Jednadžba, koordinatne osi,
pravac, točka, površina, trokut,
osnovica, visina, kvadratna
jedinica.
11
Zadatak 3: Duljine stranica paralelograma su 𝑎 = 25 cm i 𝑏 = 6 cm, a duljina jedne dijagonale je
𝑒 = 29 cm. Izračunaj površinu paralelograma.
Slika 11.
FOKUSNO PITANJE:
Kolika je površina
paralelograma?
KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA
OBJEKTI/DOGAĐAJI
Duljine stranica paralelograma su 𝑎 = 25 cm i 𝑏 = 6 cm,
a duljina jedne dijagonale je 𝑒 = 29 cm. Izračunaj
površinu paralelograma.
SPOZNAJNE TVRDNJE:
Površina paralelograma iznosi:
𝑃 = 120 cm2.
TRANSFORMACIJE:
Površina trokuta ABC iznosi
𝑃1 = ඥ𝑠ሺ𝑠 − 𝑎ሻሺ𝑠 − 𝑏ሻሺ𝑠 − 𝑒ሻ
gdje je
𝑠 =𝑎 + 𝑏 + 𝑒
2=
25 + 6 + 29
2= 30 cm.
Dakle,
𝑃1 = ඥ30ሺ30 − 25ሻሺ30 − 6ሻሺ30 − 29ሻ
= ξ30 ⋅ 5 ⋅ 24 ⋅ 1
= ξ6 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 4
= 6 ⋅ 5 ⋅ 2 = 60 𝑐m2.
Površina paralelograma iznosi:
𝑃 = 2𝑃1 = 2 ⋅ 60 = 120 cm2. ZAPISI:
𝑎 = 25 cm, 𝑏 = 6 cm, 𝑒 = 29 cm.
TEORIJA:
• geometrija (trokuta i
četverokuta)
• površina
• korjenovanje
PRINCIPI:
1. Dijagonala dijeli
paralelogram na dva
sukladna trokuta.
2. Površina trokuta kojem su
zadane duljine stranica 𝑎, 𝑏 i 𝑐 iznosi:
𝑃 = ඥ𝑠ሺ𝑠 − 𝑎ሻሺ𝑠 − 𝑏ሻሺ𝑠 − 𝑐ሻ,
gdje je 𝑠 poluopseg trokuta
(Heronova formula).
3. Poluopseg trokuta iznosi:
𝑠 =𝑎 + 𝑏 + 𝑐
2.
POJMOVI:
Četverokut, paralelogram,
dijagonala, trokut, sukladnost,
površina, poluopseg, Heronova
formula.
12
Zadatak 4: Čaša valjkastog oblika visine 10 cm i promjera baze 6 cm napunjena je tekućinom do pola
visine. Ako u tekućinu uronimo kuglu polumjera 1.5 cm, za koliko će se podići razina vode u čaši?
Slika 12.
FOKUSNO PITANJE:
Za koliko će se podići razina
vode u čaši?
KONCEPTUALNA STRANA METODOLOŠKA STRANA
OBJEKTI/DOGAĐAJI
Čaša valjkastog oblika visine 10 cm i promjera baze 6 cm
napunjena je tekućinom do pola visine. Ako u tekućinu
uronimo kuglu polumjera 1.5 cm, za koliko će se podići
razina vode u čaši?
SPOZNAJNE TVRDNJE:
Razina vode u čaši podići će se za 0.5 cm.
TRANSFORMACIJE:
Volumen tekućine je
𝑉1 = 𝑟2𝜋𝐻
2= 32𝜋 ⋅ 5 = 45𝜋 cm3,
a volumen kugle iznosi
𝑉kugle =4
3𝑅3𝜋 =
4
3⋅ ൬
3
2൰
3
𝜋 =9
2𝜋 cm3.
Uranjanjem kugle u tekućinu razina tekućine
će se podići za 𝑥 centimetara.
Zbroj volumena tekućine i volumena kugle
odgovara volumenu valjka promjera baze 6 cm
i visine 𝐻
2+ 𝑥:
𝑉1 + 𝑉kugle = 𝑟2𝜋 ⋅ ൬𝐻
2+ 𝑥൰ = 𝑟2𝜋
𝐻
2+ 𝑟2𝜋𝑥.
Odavde slijedi da je 𝑟2𝜋𝑥 = 𝑉kugle, odnosno
9𝜋𝑥 =9
2𝜋, pa je 𝑥 = 0.5 cm.
ZAPISI:
𝐻 = 10 cm, 2𝑟 = 6 cm, 𝑅 = 1.5 cm.
TEORIJA:
• geometrija prostora
• geometrija ravnine
• obla tijela
• volumen (obujam)
• jednadžbe
PRINCIPI:
1. Volumen valjka iznosi:
𝑉valjka = 𝑟2𝜋𝐻,
gdje je 𝑟 polumjer baze
valjka, a 𝐻 visina valjka.
2. Promjer kruga jednak je
𝑑 = 2𝑟,
gdje je 𝑟 polumjer kruga.
3. Volumen kugle iznosi:
𝑉kugle =4
3𝑅3𝜋,
gdje je 𝑅 polumjer kugle.
POJMOVI:
Valjak, baza, krug, promjer
kruga, polumjer kruga, visina
valjka, kugla, polumjer kugle,
volumen.
13
Slike 9, 10, 11 i 12 prikazuju po jedno od više mogućih načina rješavanja zadanih problema pomoću
V-dijagrama. Različiti učenici različito pristupaju istom problemu, pa će se i njihovi dijagrami utoliko
razlikovati. Dakle, kod izrade V-dijagrama zahtijeva se točno rješenje zadatka, ali nema 'jedinstvenog'
i 'točnog' V-dijagrama. Upravo zbog toga je implementiranje ove didaktičke metode u nastavu
matematike izazov učiteljima i učenicima. Konceptualna i metodološka strana dijagrama koje su u
međusobnoj interakciji odgovor su na vječno pitanje učenika (i učitelja) kako povezati teorijsko znanje
matematike s rješavanjem zadataka. Struktura dijagrama pomaže učenicima zapisati rješenje zadatka
korak po korak, daje pregled potrebnih elemenata zadatka i teorije potrebne za rješavanje istog, dok
učitelju omogućava uvid u učenikovo razumijevanje problema i matematičkih područja koja su
relevantna za rješavanje problema.
V-dijagram je podrška učiteljima koji konstantno nastoje dizajnirati izazovne, istraživačke zadatke kako
bi svoje učenike dodatno motivirali i potaknuli na učenje matematike, imajući u vidu stalnu potrebu i
važnost razvijanja učenikovog konceptualnog razumijevanja, kritičkog mišljenja, matematičkog načina
razmišljanja i matematičkog jezika (Afamasaga-Fuata'i, 2005).
ZAKLJUČAK
Zahtjevi za novim pristupima učenju i poučavanju postaju sve jači. V-dijagrami imaju mogućnost na
zanimljiv način vizualizirati informacije i znanje. U svijetu se sve više koriste u nastavi i učenju, a
učenici i učitelji ih dobro prihvaćaju. Osobito su pogodni za rješavanje problema u prirodnim
znanostima i matematici. Učitelji ih također koriste u nastavi matematike pri uvođenju novih
matematičkih pojmova. Širom svijeta su provedena mnoga istraživanja koja upućuju na zaključak da
uporaba ovih grafičkih alata pomaže boljem razumijevanju matematičkih sadržaja, te potiče
metakognitivne i kognitivne procese učenja. Također pozitivno djeluju i na motiviranost učenika, pa bi
ih stoga trebalo koristiti i u praćenju učenikovog napretka, pri evaluaciji učenikova usvajanja novih
pojmova i sadržaja, te u ocjenjivanju učenika.
Prema tome, ovaj oblik vizualizacije znanja pokazuje se kao vrlo efikasan alat za rješavanje
matematičkih problema, ali isto tako i za ocjenjivanje te evaluaciju matematičkog znanja.
LITERATURA
1. Afamasaga-Fuata’i, K. (2004). Concept maps & vee diagrams as tools for learning new mathematics
topics. In Cañas, A. J., Novak J. D. & González F. M. (Eds.), Concept Maps: Theory, Methodology,
Technology. Proceedings of the First International Conference on Concept Mapping, Pamplona,
Spain.
14
2. Afamasaga-Fuata’i, K. (2005). Students’ conceptual understanding and critical thinking? A case for
concept maps and vee diagrams in mathematics problem solving. In Coupland, M., Anderson, J. &
Spencer, T. (Eds.), Making Mathematics Vital. Proceedings of the Twentieth Biennial Conference
of the Australian Association of Mathematics Teachers (AAMT), (pp. 43-52). January 17 – 21,
2005. University of Technology, Sydney, Australia.
3. Afamasaga-Fuata’i, K. (2008). Concept mapping & vee diagramming a primary mathematics sub-
topic: “time”. In Cañas, A. J., Reiska, P., Åhlberg, M. & Novak, J. D. (Eds.), Concept Mapping:
Connecting Educators. Proceedings of the Third International Conference on Concept Mapping,
Tallinn, Estonia & Helsinki, Finland.
4. Afamasaga-Fuata'i, K. (Editor) (2009). Concept Mapping in Mathematics: Research into Practise.
Springer.
5. Åhlberg, M. (2004). Varieties of concept mapping. In Canas, A. J., Novak J. D. & González F. M.
(Eds.), Concept Maps: Theory, Methodology, Technology. Proceedings of the First International
Conference on Concept Mapping, Pamplona, Spain.
6. Bembenutty H., White M.C., Vélez M.R. (2015). Self-regulated Learning and Development in
Teacher Preparation Training. In: Developing Self-regulation of Learning and Teaching Skills
Among Teacher Candidates. SpringerBriefs in Education. Springer, Dordrecht
7. Brinkmann, A. (2003). Graphical Knowledge Display – Mind Mapping and Concept Mapping as
Efficient Tools in Mathematics Education. Mathematics Education Review, 16, 35-48.
8. Calais, G. J. (2009). The Vee Diagram as a Problem-Solving Strategy: Content Area
Reading/Writing Implications. National Forum Teacher Education Journal, 19(3), 1-8.
9. Gowin, D. B., Alvarez, M. C. (2005). The Art of Educating with V Diagrams. Cambridge University
Press.
10. Juričić Devčić, M., Topolovec, V., Mrkonjić, I. (2012). Kognitivni, metakognitivni i motivacijski
aspekti rješavanja problema. U: Orel, M. (ur.), EDUvision 2012, Modern Approaches to Teaching
Coming Generation, Ljubljana, 95-107.
11. Juričić Devčić, M. (2014). V-dijagrami u matematičkom obrazovanju. U: Prskalo, I. i dr. (ur.), 14.
Dani Mate Demarina - Suvremeni izazovi teorije i prakse odgoja i obrazovanja. Zagreb, Učiteljski
fakultet Sveučilišta u Zagrebu, 129-138.
12. Mayer, R. E. (1998). Cognitive, metacognitive, and motivational aspects of problem solving.
Instructional Science 26: 49–63.
13. Novak, J. D., Gowin, D. B. (1984). Learning How to Learn. New York: Cambridge University
Press.
14. Novak, J. D. (1998). Learning, Creating, and Using Knowledge: Concept Maps as Facilitative
Tools in Schools and Corporations. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
15
15. Novak, J. D., Cañas, A. J. (2008). The Theory Underlying Concept Maps and How to Construct
Them. Technical Report IHMC CmapTools 2006-01 Rev 01-2008, Florida Institute for Human and
Machine Cognition.
16. Perkins, D. (1992). Smart Schools: Better Thinking and Learning for Every Child. New York: Free
Press.
17. Pólya, G. (1957). How to solve it. 2nd ed. NJ: Princeton University Press.
18. Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical Problem Solving. San Diego: Academic Press Inc.
19. Schoenfeld, A. H. (1987). What’s all the fuss about metacognition? Ch. 8 in A. H. Schoenfeld (Ed.),
Cognitive Science and Mathematics Education. Hillsdale, NJ: Erlbaum.
20. Schoenfeld, A. H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and
sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook for Research on Mathematics
Teaching and Learning (pp. 334-370). New York: MacMillan.
21. Schraw, G., Moshman, D. (1995). Metacognitive Theories. Educational Psychology Review 7:4, pp.
351–371. Dostupno na: http://digitalcommons.unl.edu/edpsychpapers/40
22. Schraw, G., Crippen, K. J., Hartley, K. (2006). Promoting Self-Regulation in Science Education:
Metacognition as Part of a Broader Perspective on Learning. Research in Science Education, 36,
111–139.
23. Tekeş, H., Gönen, S. (2012). Influence of V-diagrams on 10th grade Turkish students’ achievement
in the subject of mechanical waves. Science Education International, 23(3), 268-285.
24. Tergan, S. O., Keller, T. (Editors) (2005). Knowledge and Information Visualization. Springer.
25. Thiessen, R. (1993). The Vee Diagram: A Guide for Problem Solving. AIMS Newsletter, May/June
1993, 3-11.
26. Vanhear, J. (2006). Vee Heuristics, Concept Mapping and Learning Patterns in Environmental
Education: Merging Metacognitive Tools and Learning Processes to improve facilitation of
learning with primary school children. Unpublished M. Ed. Thesis: University of Malta.
27. Wilson, J. (1998). Metacognition within mathematics: A new practical multi-method approach.
MERGA 21. Dostupno na: http://www.merga.net.au/documents/RP_Wilson_1998.pdf
28. Zhang, J., Zhang, J., Zhong, D. (2010). Knowledge Visualization: An Effective Way of Improving
Learning. Second International Workshop on Education Technology and Computer Science.