ucoz · УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ГАЗЕТА № 2 16–31 ЯНВАРЯ Жизнь...

УЧ

ЕБН

О-М

ЕТО

ДИ

ЧЕС

КА

Я Г

АЗЕ

ТА

№ 216–31 ЯНВАРЯ

2010

Жизн

ь украш

ает

ся д

вум

я в

ещам

и:

занят

ием

мат

емат

икой и

ее

преп

одава

нием

С. П

уасс

он

Инд

ексы

под

писк

и:

ката

лог

аген

тств

а «Р

осп

ечат

ь»

32 0

30 (д

ля и

нди

виду

альн

ых

под

пи

счи

ков)

32

594

(дл

я ор

ган

иза

ций

)ка

тало

г аг

ентс

тва

«Поч

та Р

осси

и»

79 0

73 (д

ля и

нди

виду

альн

ых

под

пи

счи

ков)

79

583

(дл

я ор

ган

иза

ций

)У

ЧЕБ

НО

-МЕТ

ОД

ИЧ

ЕСК

АЯ

ГА

ЗЕТА

№№№№1166––3311 ЯНВААРРЯ

22001100

№ 151–15 АВГУСТА

2010

Жизн

ь украш

ает

ся д

вум

я в

ещам

и:

занят

ием

мат

емат

икой и

ее

преп

одава

нием

С. П

уасс

он

де

Инд

ксы

од

ппо

иск

и::

ака

тло

г ен

аге

тств

Ра

«Рос

пе

ьча

ть»

2

3203

0 (д

ли

ня

иди

виал

дуа

ьны

х п

оди

счп

ико

в)32

53

94(д

ля о

рган

из

аац

ий

)к

лог

тств

ППоч

таР

сии

97907

3(

)79

57

83 (

для

орга

ни

за

аци

й)

УУЧ

ЕЕБН

ОО-ММ

ЕТОО

ДИ

ЧЕС

ККА

Я Г

АЗЕЕ

ТАУУ

ЧЕБ

НОО

-МЕЕТ

ОДД

ИЧ

ЕСК

ААЯ

ГАА

ЗЕТАА

УУЧ

ЕЕБН

ООММ

ЕТО

УУЧ

ЕББН

ООМ

ЕЕТО

УУЧ

ЕБН

ООМ

ЕЕТУУ

ЧЕБ

НОО

МЕЕТ

ООООООД

ИДД

ИО

ДИ

ДИИ

ЧЕС

ККА

ЯГА

ЗЕЕТА

ЧЕЕС

КАА

ЯГА

ЗЕТА

ИЧ

ЕСК

ААЯ

ГААЗЕ

ТАЧ

ЕСК

АЯ

ГААЗЕ

ТИ

ндек

сы п

одпи

ски

: ка

тало

г аг

ентс

тва

«Рос

печ

ать»

32

030

(для

ин

диви

дуал

ьны

х п

одп

исч

ико

в)

32 5

94 (

для

орга

ни

заци

й)

ката

лог

аген

тств

а «П

очта

Рос

сии

» 79

073

(для

ин

диви

дуал

ьны

х п

одп

исч

ико

в)

79 5

83 (

для

орга

ни

заци

й)

ЛЕ

ТН

ИЙ

ТЕ

МА

ТИ

ЧЕ

СК

ИЙ

НО

МЕ

Р

Фо

рм

ир

ов

ан

ие

ун

ив

ер

са

ль

ны

х

уч

еб

ны

х д

ей

ств

ий

пр

и о

бу

че

ни

и м

ате

ма

тик

е

СОДЕРЖАНИЕ

Официальные документы

Универсальные учебные действия.

Виды универсальных учебных

действий ................................................2–4

Предлагаю коллегам

В. Лукина

Исследовательская деятельность —

в практике ..............................................5–7

Е. Ягодкина

Проектная деятельность

на уроках математики ..........................8–12

Л. Яровикова

Проект «Математический

сундучок» .......................................... 13–16

Е. Блохина, М. Стефановская

Учебный проект «Теорема Пифагора».... 25

Компьютер на уроке математики

И. Савельева

Среда «Живая геометрия» ................ 17–24

Открытый урок

Г. Черных

Фрагмент урока

«Куб в технике оригами» ................... 26–27

В. Жилина, О. Яценко

Статистические характеристики ........ 28–30

Призвание — Учитель ........................... 30

Выставка работ

И. Митин

Математический кроссворд ............... 31–33

Н. Гуськова, А. Краснова

Зачем нужна математика? ................. 34–39

Т. Яковлева


в «Школе надомного обучения» и

проект «Школьный

калькулятор» .................................... 41–48

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ №15/20102

Понятие «универсальные

учебные действия»

В широком значении термин «универсальные учебные действия» означает умение учиться, то есть способность субъекта к саморазвитию и самосовершенствованию путем сознательного и активного присвоения нового социального опыта. В более узком (собственно психологиче-ском) значении этот термин можно определить как совокупность способов действия учащегося (а также связанных с ними навыков учебной рабо-ты), обеспечивающих самостоятельное усвоение новых знаний, формирование умений, включая организацию этого процесса.

Способность учащегося самостоятельно успеш-но усваивать новые знания, формировать умения и компетентности, включая самостоятельную ор-ганизацию этого процесса, то есть умение учиться, обеспечивается тем, что универсальные учебные действия как обобщенные действия открывают учащимся возможность широкой ориентации как в различных предметных областях, так и в строе-нии самой учебной деятельности, включающей осознание ее целевой направленности, ценностно-смысловых и операциональных характеристик. Таким образом, достижение умения учиться предполагает полноценное освоение школьни-ками всех компонентов учебной деятельности, включая: 1) познавательные и учебные мотивы; 2) учебную цель; 3) учебную задачу; 4) учебные действия и операции (ориентировка, преобра-зование материала, контроль и оценка). Умение учиться — существенный фактор повышения эффективности освоения учащимися предметных знаний, формирования умений и компетенций, образа мира и ценностно-смысловых оснований личностного морального выбора.

Функции универсальных

учебных действий:

— обеспечение возможностей учащегося само-стоятельно осуществлять деятельность учения, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, контролировать и оценивать процесс и результаты деятельности;

— создание условий для гармоничного раз-вития личности и ее самореализации на основе готовности к непрерывному образованию; обеспе-

чение успешного усвоения знаний, формирования умений, навыков и компетентностей в любой предметной области.

Универсальный характер учебных действий проявляется в том, что они носят надпредмет-ный, метапредметный характер; обеспечивают целостность общекультурного, личностного и познавательного развития и саморазвития лично-сти; обеспечивают преемственность всех ступеней образовательного процесса; лежат в основе орга-низации и регуляции любой деятельности учаще-гося независимо от ее специально-предметного содержания. Универсальные учебные действия обеспечивают этапы усвоения учебного содержа-ния и формирования психологических способ-ностей учащегося.

Реализация деятельностного подхода в образо-вании осуществляется в ходе решения следующих задач:

— определение основных результатов обучения и воспитания в зависимости от сформированности личностных качеств и универсальных учебных действий;

— построение содержания учебных предметов и образования в целом с ориентацией на сущ-ностные знания в соответствующих предметных областях;

— определение функций, содержания и струк-туры универсальных учебных действий для каж-дого возраста/ступени образования;

— выделение возрастно-специфической формы и качественных показателей сформированности универсальных учебных действий в отношении познавательного и личностного развития уча-щихся;

— определение круга учебных предметов, в рамках которых оптимально могут быть сформи-рованы конкретные виды универсальных учебных действий;

— разработка системы типовых задач для диагностики сформированности универсальных учебных действий на каждом этапе образователь-ного процесса;

— разработка системы задач и организация ориентировки учащихся в их решении, обеспечи-вающем формирование универсальных учебных действий.

{ ОФИЦИАЛЬНЫЕ ДОКУМЕНТЫ

Проект

№15/2010 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ3

Виды универсальных

учебных действий


Проект

В составе основных видов универсальных учеб-ных действий, соответствующих ключевым целям общего образования, можно выделить четыре бло-ка: личностный; регулятивный (включающий также действия саморегуляции); познаватель-ный; коммуникативный.

Личностные действия обеспечивают ценностно-смысловую ориентацию учащихся (знание моральных норм, умение соотносить по-ступки и события с принятыми этическими прин-ципами, умение выделить нравственный аспект поведения) и ориентацию в социальных ролях и межличностных отношениях. Применительно к учебной деятельности следует выделить три вида личностных действий:

— личностное, профессиональное, жизненное самоопределение;

— смыслообразование, то есть установление учащимися связи между целью учебной деятель-ности и ее мотивом, другими словами, между результатом учения и тем, что побуждает дея-тельность, ради чего она осуществляется. Ученик должен задаваться вопросом: «Какое значение и какой смысл имеет для меня учение?» — и уметь на него отвечать;

— нравственно-этическая ориентация, в том числе и оценивание усваиваемого содержания (исходя из социальных и личностных ценностей), обеспечивающее личностный моральный выбор.

Регулятивные действия обеспечивают уча-щимся организацию их учебной деятельности. К ним относятся:

— целеполагание как постановка учебной за-дачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;

— планирование — определение последова-тельности промежуточных целей с учетом конеч-ного результата; составление плана и последова-тельности действий;

— прогнозирование — предвосхищение резуль-тата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;

— контроль в форме сличения способа дей-ствия и его результата с заданным эталоном с целью обнаружения отклонений и отличий от эталона;

— коррекция — внесение необходимых до-полнений и корректив в план и способ действия в

случае расхождения эталона, реального действия и его результата;

— оценка — выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения;

— саморегуляция как способность к мобилиза-ции сил и энергии, к волевому усилию (к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и к преодо-лению препятствий.

Познавательные универсальные действия

включают: общеучебные, логические, а также постановку и решение проблемы.

Общеучебные универсальные действия:— самостоятельное выделение и формулиро-

вание познавательной цели;— поиск и выделение необходимой информации;

применение методов информационного поиска, в том числе с помощью компьютерных средств;

— структурирование знаний;— осознанное и произвольное построение

речевого высказывания в устной и письменной форме;

— выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

— рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов дея-тельности;

— смысловое чтение как осмысление цели чтения и выбор вида чтения в зависимости от цели; извлечение необходимой информации из прослушанных текстов различных жанров; определение основной и второстепенной информа-ции; свободная ориентация и восприятие текстов художественного, научного, публицистического и официально-делового стилей; понимание и адекватная оценка языка средств массовой ин-формации;

— постановка и формулирование проблемы, самостоятельное создание алгоритмов деятель-ности при решении проблем творческого и поис-кового характера.

Особую группу общеучебных универсальных действий составляют знаково-символические действия:

— моделирование — преобразование объ-екта из чувственной формы в модель, где вы-делены существенные характеристики объекта


(пространственно-графическая или знаково-символическая);

— преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предмет-ную область.

Логические универсальные действия:— анализ объектов с целью выделения при-

знаков (существенных, несущественных);— синтез — составление целого из частей, в

том числе самостоятельное достраивание с вос-полнением недостающих компонентов;

— выбор оснований и критериев для сравне-ния, сериации, классификации объектов;

— подведение под понятие, выведение след-ствий;

— установление причинно-следственных связей;— построение логической цепи рассуждений;— доказательство;— выдвижение гипотез и их обоснование.Постановка и решение проблемы:— формулирование проблемы;— самостоятельное создание способов решения

проблем творческого и поискового характера.Коммуникативные действия обеспечива-

ют социальную компетентность и учет позиции других людей, партнеров по общению или дея-тельности; умение слушать и вступать в диалог; участвовать в коллективном обсуждении проблем; интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие и сотрудничество со сверстниками и взрослыми.

К коммуникативным действиям относятся:— планирование учебного сотрудничества с

учителем и сверстниками — определение цели,

функций участников, способов взаимодействия;— постановка вопросов — инициативное со-

трудничество в поиске и сборе информации;— разрешение конфликтов – выявление,

идентификация проблемы, поиск и оценка аль-тернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация;

— управление поведением партнера — кон-троль, коррекция, оценка его действий;

— умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации; владение моноло-гической и диалогической формами речи в соот-ветствии с грамматическими и синтаксическими нормами родного языка.

Развитие системы универсальных учебных действий в составе личностных, регулятивных, познавательных и коммуникативных действий, определяющих развитие психологических спо-собностей личности, осуществляется в рамках нормативно-возрастного развития личностной и познавательной сфер ребенка. Процесс обучения задает содержание и характеристики учебной дея-тельности ребенка и тем самым определяет зону ближайшего развития указанных универсальных учебных действий (их уровень развития, соответ-ствующий «высокой норме») и их свойства.

Из книги: Асмолов А.Г., Бурменская Г.В., Володарская И.А. и др. Как проектировать универсальные учебные действия в началь-ной школе : от действия к мысли: пособие для учителя / Под ред. А.Г. Асмолова. — М.:Просвещение, 2008.


Проект

ФОТО НА КОНКУРС

Чем больше науки, тем умнее рукиАвтор: О.А. Петрова,

учитель математики средней школы № 5, г. Татарск, Новосибирская обл.


В. ЛУКИНА,пос. Марковский, Пермский край

Исследовательская деятельность —

в практике

Одна из важнейших задач школы — сформировать у уча-щихся умения, позволяющие им активно включаться в твор-ческую, исследовательскую де-ятельность. Практика работы в школе вселяет уверенность в том, что исследователь-ская деятельность может быть освоена только в действии и это действие направляет учитель. Исследовательская

деятельность школьников — это не альтернатива школьной программе, это «витамин» ин-тереса к науке, которого часто не хватает в школе, это одна из форм учебного процесса. Так или иначе исследовательской деятельностью занимаются все учащиеся школы. Написание рефератов и выполнение неко-торых видов работ невозможно без проведения каких-то, пусть

самых простых, исследований. Но в более серьезную научную работу, заниматься которой учащихся не обязывает учеб-ный план, вовлечены лишь некоторые. Причиной, на мой взгляд, является неумение учителя увидеть исследова-тельскую задачу, направить ученика на ее решение, т.е. включить его в исследователь-скую деятельность.

У любого учителя, я уверена, бывают ситуации на уроках и во внеурочной деятельности, подска-зывающие темы исследовательских работ. Таких моментов бывает много, надо уметь их увидеть. Вот несколько примеров из моей практики.

Лена Иванова (6-й класс). На занятии мате-матического кружка Лена делала доклад о записи чисел в Древней Руси. Рассказывала увлеченно, с интересом. Видя заинтересованность девочки, предложила ей книги по математике из своей би-блиотеки. О прочитанном Лена с удовольствием рассказывала на занятиях. В 8-м классе она позна-комилась с системами счисления, стала задавать много вопросов по этой теме. Так родилась тема ис-следования: «В мире чисел: системы счисления». На конференции научно-исследовательских работ этот материал был отмечен.

Горбунова Катя (10-й класс). Пришла ко мне на факультатив ученица из другого класса. Зна-комимся с многогранниками, изготавливаем их модели для кабинета математики и двигаемся по программе дальше. А Катю тема «Многогранни-ки» захватила, «не отпускает». Несколько месяцев труда завершились научно-исследовательской ра-ботой «Многогранники». На городском конкурсе ее работа была отмечена похвальным отзывом.

Халитов Вильдан (8-й класс). В школе шла подготовка к выборам президента кабинета ми-

нистров школьного самоуправления. На пост президента баллотировалась сестра Вильдана. Доверенным лицом кандидата был отец ученика. Естественно, что дома все время шло обсуждение грядущих выборов, шансов сестры на победу. И у Вильдана появляется вопрос: «Можно ли просчи-тать предполагаемый результат?» Ученик само-стоятельно сформулировал задачу. Так появилась тема исследования: «Демократия с точки зрения математики». Срочно отыскали литературу, изучили и применили к нашей ситуации. Так как тема эта очень актуальна, доклад ученика на городском конкурсе исследовательских работ слу-шали с огромным интересом, было задано много вопросов. Вильдан получил похвальный отзыв. Ученик успешно прошел социальную практику политолога, а его сестра победила на выборах и возглавила школьное самоуправление.

Редько Ксения (5-й класс). Во время школьной декады математики старшеклассники провели КВН с учащимися 5-х классов. Домашнее задание было следующим: найти пословицы, поговорки и загадки, содержащие числа. Ребята потрудились на славу, но прочитать все, что было собрано, из-за ограниченного времени, конечно, не успели. Оста-вить без внимания такой большой труд было нель-зя. Вот и предложила ребятам еще поработать над собранным материалом: осмыслить, исследовать. Ксения все систематизировала, проанализирова-ла и выступила с сообщением. Девочка проявила

ПРЕДЛАГАЮ КОЛЛЕГАМ


себя уже в 5-м классе как творчески одаренный человек и вдохновила ребят на подобную работу. После ее выступления несколько человек из 5-х классов стали заниматься исследовательской дея-тельностью по разным учебным дисциплинам.

Ханиева Алеся (11-й класс). Однажды на перемене услышала, что ребята обсуждают проблему финансовых пирамид. Оказывается, одному ученику попала на глаза статья «Скидка для простаков» в газете «Аргументы и факты». Ее он и принес в школу. Все понять и осмыслить самостоятельно ребята не смогли. Зачитали мне строки из статьи: «Каждый, кто учился в средней школе, помнит о существовании геометрической прогрессии. Система «1 + 4» — типичный ее пример». (Простим ошибку журналисту, она по-служила хорошему делу.)

Действительно, слова «геометрическая про-грессия» ученикам хорошо знакомы. Ребята ждали немедленных разъяснений по данному вопросу. Пришлось признаться, что не готова сию минуту объяснить технологию построения финансовых пирамид. Домой учащимся дала за-дание: кому-то — поисковую работу, кому-то — решение исследовательской задачи. И началась работа над проблемой, которая стала предметом исследования ученицы 11-го класса. Однокласс-ники с удовольствием помогали: подыскивали материал, читали, обменивались мнениями. Алеся собранный материал систематизировала, проанализировала и подготовила доклад «Чис-ловые последовательности и их применение в жизни». Выступила с ним на школьной, а затем на городской конференции. Успех Алеси ребята воспринимали как свой собственный. В процессе работы у них формировались коммуникативные навыки, умение работать в коллективе, развива-лись творческие способности. Надеюсь, эта работа останется в памяти ребят и убережет их от беды, связанной с азартными играми, финансовыми пирамидами и т.п.

Волошина Инна (8-й класс). В мой класс при-была новая ученица. Общительная, успевающая по всем предметам, она быстро подружилась с ребятами класса. Однако у нее никак не склады-вались отношения с двумя мальчишками. Инна интересовалась психологией, но не могла оценить ситуацию в силу своего возраста и отсутствия специальных знаний. Обратиться за профессио-нальной помощью не хотела. Тогда я предложила ей просчитать ситуацию с помощью математики. Нашли нужную литературу. У Инны не было обя-

занности что-то изучить по теме, она брала лишь то, что ей было необходимо. Девочка решала свою проблему, составляя психоматрицы однокласс-ников, училась правильно ими пользоваться. Работая, Инна поняла, что помощь психолога ей будет полезна, и приняла эту помощь. Тема ее ра-боты: «Нумерология с точки зрения математики». Инна выступила со своим докладом на школьной и городской конференциях. Выступление было убе-дительным и успешным. Еще долгое время к ней обращались ученики школы с просьбой провести исследования относительно них. А с мальчишка-ми Инна подружилась.

Русских Ольга (6-й класс). Обучение «от задач» более индивидуально, чем обучение «от теории». Оля — девочка, одаренная в математике, любозна-тельная. Для исследования ей были предложены олимпиадные задачи на тему «Делимость чисел». У Оли появилась новая возможность: углубить свои знания не за счет пассивного изучения сложной теории, а за счет активной самостоятельной работы при изучении того же самого материала. Исследо-вательская работа над задачей — существенная компонента математического образования. Оля «вжилась» в тему и со временем начала решать за-дачи, к которым раньше даже не могла приступить. Итогом ее работы стало сообщение, с которым она достойно выступила на школьной конференции исследовательских работ.

«Школьник получает свою задачу в гото-вом виде от учителя или из учебника... Между тем для математика выбор задачи является, возможно, самым важным шагом: он должен придумать, должен найти задачу, которая при-влекала бы его и заслуживала бы усилий, но в тоже время не оказалась для него непосильной». (А. Пойя).

Беляева Настя (9-й класс). Геометрия — наи-более сложный предмет школьной программы. Многие школьники не понимают эту науку и, по различным причинам, не могут решать геометри-ческие задачи. Одна из таких причин – неумение находить простой способ решения. Не все уча-щиеся видят различные пути решения одной и той же задачи. А Насте всегда хотелось найти правильный ответ разными способами. Именно когда задача рассматривается с разных сторон, перед нами предстает вся красота и могущество математики. Однажды на занятии факультатива я предложила задачу о биссектрисе: найти длины биссектрис треугольника, зная его стороны? Решили задачу одним способом. Дома ребята



должны были решить задачу другим способом. На следующем занятии Настя с гордостью де-монстрировала найденный ею способ. Закончила ответ, а мальчишка-одноклассник: «А еще другим способом?» А она задиристо отвечает: «И найду». Так и появилась тема исследования: «Биссектриса треугольника». Настя сформулировала задачу в общем виде и нашла пять способов ее решения. С докладом выступила на школьной конференции, затем — на городской и получила рекомендацию выступить на областной конференции.

«Знание — столь драгоценная вещь, что его не зазорно добывать из любого источника». ( Абу-ль-Фарадж аль-Исфахани).

Мне математика представляется огромным количеством железнодорожных путей. К пункту назначения можно прибыть разными поездами. Так же и в математике. К верному ответу можно прийти разными способами. Обычно мы выбираем

самый быстрый по времени путь для прибытия в место назначения. И при этом мы не видим всей красоты других городов и живописность природы других мест, которые остаются за пределами на-шего пути.

Исследовательские работы учащихся удачно вписываются в структуру учебного процесса, позволяя связать отдельные вопросы школьных курсов. Учебно-исследовательская деятельность не украшение, а существенная составляющая математического образования школьников.

Учитель, как организатор учебного процесса, должен проявить и управленческие способности, и творческий подход. Непосредственное же руко-водство учебно-исследовательской работой школь-ника — это вид педагогического взаимодействия, в котором максимально реализуются возможности сотрудничества, соавторства и сотворчества.


Танграм — увлекательная головоломкаАвтор: Н.И. Куксина, учитель математики средней школы № 9 г. Кандалакши

В декабре я была на курсах повышения квалификации в Мурманском областном институте повышения квалифи-кации работников образования и культуры. Для обмена опытом нас пригласили на открытые уроки в Мурманский политехнический лицей, где я и сделала фотографию, которую предлагаю на конкурс.



Е. ЯГОДКИНА,Москва


на уроках математикиМетод проектов возник в педагогической

практике в начале XX века, претерпел некоторую эволюцию, но суть и по сей день остается преж-ней: стимулировать интерес к определенным проблемам, предполагающим владение некото-рой суммой знаний и предусматривающим через проектную деятельность решение этих проблем; совершенствовать умение практически приме-нять полученные знания, развитие логического и творческого мышления.

Мне приходилось участвовать в различных конкурсах проектов: культурологический проект и проект воспитания толерантности участников об-разовательного процесса в рамках движения «Мо-сква на пути к культуре мира», программа «Здо-ровье», программа профилактики наркомании. А вот руководить проектной деятельностью детей не приходилось. Да и что такое проект по матема-тике, очень трудно представить. В одной гимназии разработали проект «Сорок сороков», в рамках которого учащиеся посещали церкви Москвы, об-щались со служителями и прихожанами, изучали историю и архитектуру храмов, реликвии. Вот бы придумать такой проект по математике! «Симме-трия в жизни», «Золотое сечение», «Многоуголь-ники и многогранники» — все это есть в интернете в большом количестве, доставай — и получишь хо-роший реферат, но не проект.

Два года назад я стала уделять больше вни-мания творческим заданиям. Задания эти были связаны с написанием сочинений по различным темам. Идея создания проекта «Математическая шкатулка» пришла сама собой.

Программа гимназии предполагает построе-ние модели культуросообразности, в рамках ко-торой перед учителем стоит цель формирования культурологического мировоззрения учащихся, что означает решение конкретной задачи — вы-деления практической значимости математики для других предметов и реальной жизни.

В отечественной психологии (Крутец-кий В.А. Психология математических способно-стей школьников) описана следующая структура математических способностей школьников:

1. Получение математической информации — способность к формализованному восприя-тию математического материала, схватыванию структуры задачи.

2. Переработка математической информа-ции — способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных от-ношений, числовой и знаковой символики, спо-собность мыслить математическими символами, способность к обобщению математических объ-ектов, отношений и действий, гибкость мысли-тельных процессов в математической деятельно-сти.

3. Хранение математической информации — математическая память на математические от-ношения, типовые характеристики, схемы рас-суждений и доказательств, методы решения за-дач и принципы подхода к ним.

Значит, надо строить обучение так, чтобы по-казать пятиклассникам, что математика разви-вает интеллект, что она «царица всех наук». Но сделать это не просто, в гимназии дети и их роди-тели мотивированы на изучение гуманитарных наук.

Вторая задача, стоящая перед учителем мате-матики, — это обучение детей принципам мате-матического моделирования каких-либо реаль-ных процессов.

Ни первая, ни вторая задачи не решаются без развития познавательного интереса учащихся к предмету. Еще великий французский математик и физик Блез Паскаль говорил о том, что «ма-тематика является слишком серьезной наукой, поэтому необходимо использовать любые воз-можности, чтобы сделать ее более заниматель-ной». Под занимательностью обучения можно понимать действия, которые вызывают интерес у школьников к учебному предмету.

Учебник Виленкина Н.Я. и др. «Математика. 5 класс» содержит задания культурологического характера. В течение года учащиеся выполняли эти творческие задания: писали сочинения о ма-тематике в профессии родителей, о процентах в нашей жизни, придумывали задачи со старин-



ными мерами измерения, искали исторические сведения о числах, строили круговые диаграм-мы для учебников природоведения и истории и по всем темам сочиняли сказки.

Лучшие работы учащихся мы оформили в виде двух альманахов творческих работ «Мате-матическая шкатулка». Альманахи на всерос-сийском конкурсе «Первые шаги» в 2009-м и 2010 г. получили медали «Вдохновение».

Далее приводим перечень заданий, по кото-рым работали дети, и расскажем о наиболее ин-тересных работах.

Задание 1. Прочитайте исторические справки на страницах 34–35 и 68–69 учебника Виленки-на Н.Я. и др. «Математика. 5 класс» и напишите сочинение на одну из тем: «Как люди научились считать», «Числа и народный фольклор», «Магия чисел», «Большие числа», «Интересные факты о числах».

Раздел «Как люди научились считать» начи-нается работой Газимагомедовой Патимы. Эпи-графом к сочинению она выбрала изречение из Древней индусской «Книги знаний» (1200 лет до н.э.): «Как гребешки на головах павлинов, как драгоценные камни на уборе змей, так над все-ми науками возвышается математика». Начи-нает она свое сочинение так: «С самого раннего детства мы пытаемся сосчитать, сколько у нас рук, ног, глаз, ушей, пальцев, сколько нам лет. Сколько ступенек на лесенке, сколько раз бьют часы, сколько лепестков у ромашки. Один, два, три, четыре...»

В своей работе «Два-пять шапок серебра» Кирилл Александров провел целое научное ис-следование. Он описывает свои впечатления при чтении книги П.П. Ершова «Конек-горбунок».

«Ну, я пару покупаю! Продаешь, ты?»— «Нет, меняю».«Что в промен берешь добра? —«Два-пять шапок серебра». —«То есть это будет десять».Царь тотчас велел ответить.

Загадочное «два-пять» не давало ему покоя. Сколько имел в виду Иван: 25 или 7 и почему царь говорит: «То есть это будет десять»? Разгад-ку Кирилл нашел в журнале «Наука и жизнь» и сделал следующий вывод: Иван, когда торговал-ся, оперировал пятаками, а более образованный царь переводил его примитивный счет в десятич-ную систему. Так в сказке нечаянно встретились разные системы счисления.

Степанова Настя придумала сказку о путеше-ствии арабских цифр в Рим: «А прохожие араб-ским цифрам в диковинку, состоят из палочек, галочек, крестиков. С прохожим по имени XIV наши цифры познакомились. Рассказали, кто они и откуда, и в гости пригласили. Римские цифры и вправду приехали в гости к арабским цифрам, и до сих пор дружат».

Многие ученики искали числа в русском фоль-клоре, в пословицах и поговорках, в сказках и за-гадках. У нас получился довольно полный набор этих изречений. Например, о числе «сорок» ре-бята собрали следующие сведения.

Пословицы:И один глаз, да зорок, не надо и сорок.Сидела сорок лет, высидела сорок реп.Сорокалетнюю рыбу плавать не учат.

Поговорки:«Сорок сороков» — число, превосходящее

всякое воображение. Когда-то говорили, что в Москве – сорок сороков храмов. Это, конечно, преувеличение, но церквей в столице и впрямь было много.

«Сорок тысячей» — в русских сказках и бы-линах равносильно тысячам тысяч, несметному количеству.

Значение слов:Слово «сороконожка» имеет смысл «много-

ножка».«Сорокоуст» — церковное молитвенное по-

миновение человека в течение сорока дней. Цер-ковь молится о здравии живых и о упокоении усопших.

Загадка: Полотно, а не дорожка, конь, не конь — соро-

коножка. По дорожке той ползет, весь обоз один везет.

[Железная дорога.]

Игра «Бег сороконожки»:Играющие в каждой команде бегут до финиша,

держась за веревку. Сказка «Али-баба и сорок разбойников».

Считалка:У сороконожки заболели ножки:Десять ноют и гудят,Пять хромают и болят.Помоги сороконожке Посчитать больные ножки.



Задание 2. Прочитайте историческую справку на с. 44 и выполните № 241. Составьте задачу с ис-пользованием старых русских мер веса.

Часть задач составлена учащимися без учета смены времен, и поэтому к этим задачам постав-лены вопросы для размышления, ответы на ко-торые потребуют заглянуть на страницы учебни-ка истории.

Например, к задаче Шихова Миши: «6 гномов копали в подземелье, и каждый нашел по боль-шому алмазу. Первый гном нашел алмаз равный 25 золотникам. Второй гном нашел алмаз на 5 зо-лотников тяжелее, чем у первого гнома. У тре-тьего гнома алмаз оказался в 5 раз легче, чем у первых двух. У четвертого — в 2 раза тяжелее, чем у второго гнома. У пятого — на 2 золотника легче, чем у третьего гнома. У шестого гнома в 2 раза легче, чем у первых пятерых. Потом гномы продали алмазы по 8 рублей за один золотник. Какую сумму они выручили?» — были поставле-ны следующие вопросы для размышления:

— Мерили ли алмазы в золотниках? — Мог ли один золотник стоить 8 рублей?— Существуют ли алмазы массой 25 золотни-

ков? К задаче Хоткина Андрея: «На мельницу при-

везли 10 мешков ржи и 14 таких же мешков пше-ницы. Всего привезли 1320 пудов зерна. Сколько пудов пшеницы привезли на мельницу?» — был поставлен вопрос чисто практического содер-жания: «Может ли в одном мешке уместиться 55 пудов пшеницы?»

Ответы на эти вопросы могут стать поводом для разработки нового интегрированного проек-та «Старинные задачи с точки зрения истории».

Часть задач была составлена в форме старин-ных задач. Например, «Матушка купила 2 косые сажени ткани, это 2æ248 = 496 см. Старшему сыну ушло на рубаху маховая сажень и 2 локтя ткани, то есть 176 + 9æ45 = 266 см. А младшему сыниш-ке всего два локтя на рубашонку – 90 см. Осталось ли матушке на юбку? (Гузенкова Анастасия)

А некоторые задачи были составлены в фоль-клорном жанре. Например, работа Колпакова Владимира «На ярмарке»:

«Продавалась курица в 3 фунта весом, несу-щая яйца, да не простые, а золотые. 1 фунт кури-цы стоил рубль с полтиной.

Продавался сом в 2 фунта, да не простой, а ученый. 1 фунт сома стоил рубль с двумя гри-венниками.

Продавались огурцы соленые, хрустящие, зе-леные. Полбочонка продали по 4 гривенника за

фунт, а другую половину — по полтине за фунт. А в бочонке-то было 32 фунта огурцов. Сколько денег выручил?

За сома — 120æ2 = 240 копеек, за курицу — 150æ3 = 450 копеек,за огурцы 40æ16 + 50æ16 = 1440 копеек.Всего 21 рубль 30 копеек. То-то женка будет

рада!»

Задание 3. Поговорите со своими родителями, бабушками и дедушками, со знакомыми взрослы-ми и постарайтесь узнать, нужна ли им в работе и в жизни математика, можно ли стать хорошим специ-алистом, не зная математики (№ 528 на с. 85). На-пишите сочинение «Математика в профессии моих родителей».

Все работы детей по теме «Математика в про-фессии моих родителей» подтверждали слова А.И. Маркушевича: «Через математические зна-ния, полученные в школе, лежит широкая дорога к огромным, почти необозримым областям труда и открытий». Дети рассказывали о математике в профессиях инженера, менеджера, бизнесме-на или домохозяйки, и вот к каким выводам они пришли:

— чтобы стать хорошим специалистом, нуж-на математика;

— все что связано с деньгами — это матема-тика;

— математика нужна везде и всюду;— математика — основа любой работы;— без знания математики жизнь была бы не-

совершенна;— если бы люди не умели считать и рассчиты-

вать — мир бы рухнул!Сочинения были написаны с любовью к своим

мамам и папам, бабушкам и дедушкам, с гордо-стью за них. Белоусов Александр писал о своем дедушке: «Мой дедушка рос обычным мальчи-ком. Он даже не знал, что будет математиком. Дедушке очень нравилась математика в школе. И в школе, и в институте он выигрывал все кон-курсы по математике. Затем математика помога-ла ему в его профессии.

Для меня мой дедушка – великий ученый по математике. Дедуля мне всегда помогал, если возникали трудности в учении. Другого такого дедушки не найти в мире!»

Ахматукаев Дени написал о своих чувствах: «Я очень люблю математику. Она нужна и в детстве, и когда повзрослеешь. Математика для меня — самый интересный предмет. Этот предмет не из легких, но «без труда не выло-



вишь рыбку из пруда». Мне интересно писать контрольные работы по математике. И домаш-няя работа тоже решается весело и легко. Если учить математику, знать ее, то в жизни мож-но многого добиться. Надо относиться к этому предмету серьезно, а то успеха в жизни не до-бьешься и жизнь пойдет наперекосяк. Когда по-взрослеешь, то учить математику будет поздно, лучше это делать заранее».

Задание 4. При изучении темы «Обыкновенные дроби» прочитайте историческую справку на стра-ницах 53–54 учебника и напишите сочинение на одну из тем: «История возникновения обыкновен-ных дробей» или «Сказки о дробях».

Дети пишут о математике, но в своих работах они затрагивают еще и нравственные проблемы. «Обыкновенные дроби помогают дружбе» — так называется работа Черкасова Дениса: «Можно купить торт и съесть самому, но это скучно и, главное, не вкусно, потому что может случиться несварение желудка или еще какая-нибудь не-приятность. А вот если пригласить друзей, раз-делить на всех, то получится праздник, веселье и дружба! Один торт разделим на четверых дру-

зей — по 14

торта каждому. Всем поровну!»

Колпаков Владимир пересказал всем извест-ную сказку «Колобок» на новый лад. В его сказке звери, которых встречал Колобок в лесу, откусы-вали от него какую-то часть.

Королев Димитрий назвал школу больницей, в которой лечат неправильные дроби, превращая их в смешанные числа.

Уварова Юля представляет неправильную дробь в виде головастика с пребольшущей голо-вой, которая становится красивой после выделе-ния из нее целой части.

Задание 5. При изучении темы «Десятичные дроби» прочитайте историческую справку на стра-ницах 78–79 учебника и напишите сочинение на одну из тем: «История возникновения десятичных дробей» и «Сказки о десятичных дробях».

Ассоциации у детей возникают самые неожи-данные. В сказке Овчаренко Златы обыкновен-ные дроби представлены в виде маленьких паро-возиков:

Локомотив 8 целых и 9 — вагон 10 — колеса.Процесс появления десятичной записи чисел

описан так: «паровозики столкнулись, колеси-

ки (знаменатели) укатились далеко, а палочка дроби перегнулась, и вместо нее получилась за-пятая».

Задание 6. При изучении темы «Округление чи-сел» найдите примеры точных и приближенных ве-личин в нашей жизни.

Добряков Иван написал сказку «Сервис для округления»: «Жила-была десятичная дробь 3,98634583. С таким большим хвостом одни про-блемы: бегая по улицам, она не проходила в пе-реулки. Захотела она стать короче и обратилась в сервис, где ей и помогли. Мастер был искусный и округлил ее до 4».

У Юрченко Юлии дробь хочет стать короче, так как много времени тратит на подпись тетра-дей в школе, а ее ругают за медлительность. Юля описывает в своей сказке процесс округления дробей не без кокетства:

«Спасибо! Мне очень нравится мое прибли-женное значение, и теперь я буду везде успе-вать», — сказала дробь 29,7, еще недавно быв-шая дробью 29,7185, и, поправив свой хвостик у зеркала, побежала на урок.

Задание 7. При изучении темы «Проценты» прочитайте историческую справку на странице 120 учебника и напишите сочинение «Проценты в на-шей жизни».

В этом разделе дети писали о выборах прези-дента и выборах старосты класса, о праздничных скидках в магазинах и дисконтных картах, о про-центном содержании различных веществ в воз-духе, воде, различных тканях, о рецептах блюд, о вкладах в банках, о социальных опросах.

Пятиклассница Абрамян Виктория написа-ла: «Вот так я учусь математике даже в магази-не».

Илья Першин придумал ряд задач на про-центы во время путешествия к морю: сначала о сорокапроцентной предоплате за билет, затем о процентных скидках на фрукты в ресторане и о процентном содержании соли в морской воде, на-конец сделал вывод: «Какие мы загорелые, све-жие и отдохнувшие после моря. А главное, уме-ло применили свои знания в решении сложных практических задач».

Очень интересными для учащихся являют-ся математические сказки с героями Г. Остера: непоседливой Мартышкой, рассудительным Удавом, болтливым Попугаем и очень умным Слоненком, которые сочинили Е.Б. Арутюнян и



Г.Г. Левитас. Они были выпущены в виде диа-фильма «Сказки на уроках математики 5 клас-са». Нам удалось сделать из этого диафильма презентацию и успешно использовать в препо-давании.

В сказке «Хитрые проценты» друзья поку-пают вертолет, который сначала стоил сто ба-нанов, потом подорожал на десять процентов, а затем подешевел на десять процентов. Эта зада-ча ранее входила в сборник олимпиадных задач, а теперь входит в сборник экзаменационных за-даний, что повышает значимость ее разбора с детьми на уроке.

Один из пятиклассников, Абрамян Юра, про-слушав эту историю, сочинил подобную сказку о покупке Незнайкой корабля. В его сказке Не-знайка задумался о кругосветном путешествии и решил купить корабль стоимостью 1000 рома-шек. Сначала цена корабля подорожала на 50%, а затем подешевела тоже на 50%. Знайка, Вин-тик и Шпунтик помогли Незнайке решить за-дачу на проценты: «В первом случае 50% взяли от начальной цены в 1000 ромашек, а во второй задаче 50% берем от новейшей цены в 1500 рома-шек». История закончилась тем, что Незнайка, купив корабль, отправился в кругосветное пу-

тешествие, и все стали называть его моряком, а Юра получил пятерку.

Задание 8. При изучении темы «Круговые диаграм-мы» прочитайте примеры, приведенные в тексте учеб-ника на с. 133–134. Составьте диаграмму, которую мож-но было бы поместить в учебники истории или приро-доведения для наглядности каких-либо сведений.

Нестеров Олег придумал задачу и составил диа-грамму для учебника природоведения: «Известно много животных, впадающих в зимнюю спячку. А вот желтый суслик, обитающий на юге России, впадает еще и в летнюю спячку. Это происходит в конце лета, когда начинается засуха и еды стано-вится мало. Летняя спячка длится примерно 3 ме-сяца и переходит прямо в зимнюю спячку. Суслик бодрствует и ведет активную жизнь только весной и в начале лета, на протяжении четырех месяцев. Постройте круговую диаграмму годового цикла суслика». А Королев Димитрий составил диаграм-му для учебника истории: «Конница Ганнибала состояла из испанских, гольских и африканских всадников. Испанских всадников было 120 тысяч человек, гольских около 120 тысяч, а африканских150 тысяч человек».

В чем мы видим полезность и значимость нашего проекта

Во-первых, в разработку проекта были вклю-чены все учащиеся 5-го класса. Работы почти всех учащихся попали в сборник (в первом сбор-нике работы 33 из 52 учащихся, а во втором 22 из 26 пятиклассников и 6 семиклассников). Если одна работа у ребенка была неудачной, то вторая, после анализа первой, была уже лучше, а третья попадала в сборник.

Во-вторых, работая над сочинениями по те-мам «Математика в профессии моих родителей», «Проценты в жизни», «Круговые диаграммы», пятиклассники начинали понимать значимость такой абстрактной науки, как математика, для других наук и повседневной жизни.

В-третьих, «Создание сказок — один из са-мых интересных для детей видов поэтического творчества. Вместе с тем это важное средство для умственного развития… Если мне удавалось добиться, что ребенок, в развитии мышления которого встречались серьезные затруднения, придумал сказку, связал в своем воображении несколько предметов окружающего мира — зна-чит можно сказать с уверенностью, что ребенок научился мыслить» (В.А. Сухомлинский).

Все сказки, которые сочинили дети, очень разные, но тема добра проходит сквозной линией во многих из них.

Проект позволяет развивать и раскрывать творческие способности учащихся, а это как раз то, о чем говорил президент Д.А. Медведев в по-слании Федеральному собранию: «Уже в школе дети должны получить возможность раскрыть свои способности, подготовиться к жизни в вы-сокотехнологичном конкурентном мире... (Учи-теля) должны помогать им становиться самосто-ятельными, творческими и уверенными в себе людьми».

Творческие проекты повышают уровень мо-тивации к изучению математики, помогают учащимся в формировании основных общема-тематических понятий, позволяют учащимся реализовать творческие способности, развивают математические умения и навыки. В процессе проектной деятельности у учащихся формиру-ются умения самостоятельно конструировать свои знания, ориентироваться в информацион-ном пространстве.



Скажи мне, и я забуду,Покажи мне, и, может быть, я запомню.Сделай меня соучастником, и я пойму.

Г. Драйден

Работая над выбранной мной методической темой «Развитие творческих способностей детей методом учебного проекта», я решила обобщить свой опыт по организации проекта «Матема-тический сундучок». В рамках этого проекта мои учащиеся два года (в 5-м классе, а затем и в 6-м) работали над одноимен-ным проектом. Он представля-ет собой, я не побоюсь этого слова, систему практических, творческих, исследовательских работ по темам школьной про-граммы по математике.

Считаю, что метод учебно-го проекта отличается от тра-диционной формы работы с учеником своей нестандартно-стью и позволяет решать акту-альные проблемы образования и воспитания в соответствии с требованиями времени. Ме-тод проекта позволяет ис-пользовать уже накопленный умственный багаж ученика, привести его в систему; пере-нести акцент на осознанное восприятие предмета во взаи-мосвязи с жизнью, мотивиро-вать дальнейшее творческое

развитие, опираясь на природ-ные задатки.

Своими наработками хочу поделиться с читателями га-зеты. Данный проект является продуктом совместной дея-тельности моей и моих учени-ков. Конечно, я понимаю, что он не является великим изо-бретением, но тот факт, что мои ребята искренне, твор-чески, с особым увлечением работали над ним, вселяет в меня надежду, что он будет интересен и полезен и моим коллегам.

Над проектом «Математический сундучок» мои ученики работали с 5-го класса. Из всего проекта можно выделить четыре вида работ: составление задач, творческие работы, исследовательские, голо-воломки. В 5-м классе учащимся больше всего нра-вилось составлять головоломки, которые позволя-ют интересно, в игровой, соревновательной форме изучать учебный материал. Работы «Головоломки» были трудными и требовали прочных знаний пред-мета, возникала необходимость работать со слова-рем, что вызвало особый интерес. Ребята с восхи-щением делились своими задумками друг с другом. Эти головоломки позволяют в необычной форме закрепить действия с обыкновенными и десятич-ными дробями. Выполнять такие задания ребятам очень интересно, они видят сразу свой результат, видят ошибки, оценивают свои способности.

В 6-м классе учащиеся продолжили работу над своими проектами, разрабатывая оригинальные задания по темам программы.

Первая работа: «Сказки на математический лад». Учащиеся придумывали свои версии различных ска-зок и воплощали их в виде математических задач.

Примеры задач, при решении которых ис-пользуются НОД и НОК.

1. Мачеха Золушке приказала пересадить цве-ты: 54 лилии, 90 роз, 51 гвоздику так, чтобы в каждом горшке оказалось равное наибольшее ко-личество цветов своего вида. Сколько цветов нуж-но посадить в один горшок? Сколько всего понадо-бится горшков? (Степанова Яна, 6 «А» класс)

2. Жили-были два лягушонка. Один лягу-шонок съедал в день 280 мошек, другой — 164. Сколько раз каждому надо открыть рот, чтобы поймать равное наибольшее число мошек? (По-ляков Костя, 6«А» класс)

3. Длина шага Крокодила Гены равна 50 см, а длина шага Чебурашки — 15 см. На каком пройденном расстоянии их шаги совпадут? (Вол-ков Ваня, 6«Б» класс)

4. Мачеха велела Хаврошечке заготовить на зиму компот из фруктов. Хаврошечка попроси-ла своих сестер помочь ей. Одноглазка принесла 8 яблок, Двухглазка — 16 слив, Трехглазка — 24 груши. Сколько нужно банок для компота, чтобы в каждой банке было равное наибольшее число фруктов своего вида? (Губин Саша, 6«А» класс)

Вторая работа: «Математика и музыка». В ходе работы нужно было найти строчки из песен, в ко-


Л. ЯРОВИКОВА,Советский р-н, Республики Марий Эл

Проект «Математический сундучок»


торых содержатся числа, и зашифровать их, а затем составить текст на установление свойств этих чисел (простое, составное, четное, нечетное и т.д.).

Зашифрованы строки из песен:•«Раз дощечка, два дощечка — будет лесенка»;•«Миллион алых роз»;•«Тридцать три коровы, тридцать три коровы»;•«Три танкиста, три веселых друга»;•«Один раз в год сады цветут»;•«5 минут, 5 минут бьют часы на старой башне».

Третья работа — «Старинным задачам — новую жизнь» — носит исследовательский характер и до-статочно трудоемкая. Нужно было пересмотреть много учебников, дополнительной литературы, что-бы найти старинные задачи, поговорки. Составить свою задачу оказалось тоже делом не совсем про-стым, так как нужно было разобраться со старинны-ми мерами длины, веса и площади.

1. Один богатый купец пришел на базар и

купил шубу за несколько гривен, черевички за12

часть стоимости шубы и самовар за 15

часть

стоимости шубы. Спрашивается, сколь сто-ит шуба, если всего купец потратил 17 гривен? (Степанова Яна, 6«А» класс)

2. Крестьянин выехал на лошади пахать свой

надел. В первый день он вспахал 16

всего надела,

во второй — 13

от остатка. Какую часть надела крестьянину осталось вспахать? (Леухин Павел, 6«А» класс)

3. Два купца решили посоревноваться, чья кобыла скачет быстрее. У первого купца кобыла

скачет за 4 минуты 13

версты, у второго за 5 ми-

нут 15

версты да еще 0,12 км. Сочти, чья кобы-

ла ускачет дальше за 3 часа? (Ефремова Катя, 6«А» класс)

4. Крестьянин вспахал 216 аршин земли. Капустой засадил 1

3 поля, 3

4 поля засадил кар-

тошкой, а остальная часть поля пустовала. Ка-кая часть поля пустовала? (Губин Саша, 6«А» класс)

Четвертую работу — «Математика — это...» — можно отнести к практическим работам. Слов, ко-торыми можно закончить эту фразу, множество. Математика — это наука, проект, цифры, работа, эв-рика, смекалка, творчество и т.д. Составить приме-ры, чтобы ответы представляли натуральные числа и соответствовали порядковому номеру букв алфа-вита, работа достаточно сложная. Но у ребят хвати-ло терпения, все получилось.

Губин Саша, 6«А» класс

1. 5 5 720 : ;

7 9 9− = 2. 1 1 4

: 2 2 ;2 2 5

+ =

3. 1 1: 5 ;

2 2+ = 4. 5 2 1

1 15 ;14 5 2

⋅ + =

5. 4 5 42 : 8 ;

5 14 25+ = 6. 2 3

17 1 ;3 5

+ ⋅ =

7. 11 8 65: 17 ;

13 13 104+ = 8. 2 3 5

19 : ;5 7 7

+ =

9. 1 2 42 ;

2 5 5⋅ + = 10. 5 1 7

26 4 : 3 .31 2 8

− =

Ответ: Т, В, Е, О, О, Р, С, Т, В, Ч — ТВОР-ЧЕСТВО.

Ефремова Катя, 6«А» класс

1. 26 24;

5 5+ = 2. 24 51

;5 5

+ =

3. 3 2;

9 3+ = 4. 8 28

;3 3

+ =

5. 4 23.

3 3+ =

Ответ: И, Н, А, К, З — ЗНАКИ.

Пятая работа — «Математическое украшение к Новому году» — выполнялась в преддверии Нового года. Нужно было составить гирлянду из примеров, ответы в которых давали бы некоторую последова-тельность.

Задание. Решите примеры и укажите зависи-мость, в которой представлены ответы.

Степанова Яна, 6«А» класс

1. 2 1 25 .

5 9 5⋅ + 2. 3 1

7 : 8 2 .5 20

+

3. 1 15 1.

2 2− ⋅ 4. 4 1

9 : 40.5 5

−

5. 12,75 : 4.

4+ 6. 2

4 3 3.3

⋅ −

7. 8,75 – 6,05 + 10,3. 8. 151,9 : 2,17æ0,1. Ответ: 1, 3, 5, 9, 15, 11, 13, 7.

Леухин Павел, 6«А» класс

1. 6 7 52 .

7 36 6⋅ + 2. 7 5

3 1 3,5.9 18

− +

3. 11 1 11 : 2 .

12 6 2− 4. 1 3

7 : 4 8.8 4

⋅

5. 5 5: 45.

42 14⋅ 6. 7

1, 8 0, 4 17 .25

⋅ +

7. 7 5 333 5 6 .

12 6 4− − 8. 3

24 0,72 : 1,2.5

−

Ответ: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24.



Силенкова Настя, 6«Б» класс

1. 2 31 : 0,5.

3 5⋅ 2. 0,2æ3 + 3,4.

3. 2 12 1 2.

3 2⋅ + 4. 10,5æ1,8 – 10,9.

5. 784 : 134.

12− 6. 0,72 : 1,2 + 11,4.

7. 28 : 2.

3+ 8. 1 1 5

3 14 .2 3 6

⋅ +

Ответ: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.

Васильева Юля, 6«Б» класс

1. 10,5 : 0,1.

5⋅ 2. 1 1

8 : 15.2 2

−

3. 2 3 12 1 .

3 4 2⋅ ⋅ 4. 1 2 2

1 3 .2 9 3

⋅ +

5. 1 110 : 1 3,75.

2 5− 6. 2 2

2,5 2 .3 3

⋅ −

7. 310 : 2 1,7.

5+ 8. 2 4

: 7,5.5 5

+

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Шестая работа — «Дом, который построю Я» — вы-полнялась по учебной теме «Масштаб». Перед учащи-мися стояла задача: спланировать все комнаты своего будущего дома и внести в таблицу исходных данных все размеры с учетом выбранного масштаба. Желание иметь свой большой, красивый дом придавало учени-кам сил и настойчивости для выполнения этой работы.

Седьмая работа — «Число π» — носила иссле-довательский характер: у предметов, которые нас окружают и имеют форму окружности, измерить длину и установить ее зависимость от радиуса. Ока-залось, что измерить радиус и длину окружности нетрудно, а вот сделать соответствующий вывод о зависимости этих величин — совсем непросто.

Восьмая работа — «Валентинка с модулем» — была выполнена ко Дню святого Валентина. Данная работа требовала знаний о модуле числа и умения изображать числа на координатном луче.

Девятая и десятая работы — «Математические открытки» — это поздравление одноклассников: девочки готовили математическое поздравление мальчикам ко Дню защитников Отечества, а маль-чики — девочкам к 8 Марта. Задание на открытке должно быть необыкновенным, с хитринкой.

Одиннадцатая работа: «Действия с рациональ-ными числами». В ней ребята составляли примеры, используя знания всех действий с рациональными

числами. Но чтобы придать работе новизну, мы ре-шили представить результат в форме теста.

Двенадцатая работа — «Доминошки с дробя-ми» — требовала от ученика умения составить до-мино с рядом обыкновенных дробей и с математиче-скими терминами. Похожие работы мы выполняли в 5-м классе, разница состояла только в том, что здесь использовалась другая учебная тема.

Тринадцатая работа — «Колесо фортуны» — под-разумевала разработку элементов познавательной игры с использованием умножения положительных и отрицательных чисел. Слова, которые нужно вос-становить в колесе фортуны, представляют замкну-тый круг. Для их прочтения нужно отыскать перво-начальное слово.

Четырнадцатая работа — «Комбинация геоме-трических фигур» — на первый взгляд, кажется про-стой. Действительно, придумать комбинацию фигур совсем несложно, сложнее найти рациональный спо-соб вычисления площади и периметра этой фигуры.

Пятнадцатая работа: «Путешествие по коорди-натной плоскости». Это работа, в задачу которой вхо-дило зашифровать слова по координатам точек (на любую понравившуюся тему) в виде пирамиды, ква-драта и т.д. Для этого нужно было сначала подобрать слова в рамках определенной темы и выбранной фор-мы (таблицы), а затем буквы, вошедшие в таблицу, за-менить их координатами.

Шестнадцатая работа: «События из моей жиз-ни в диаграмме». Нужно выбрать тему, собрать ма-териал, представить информацию в виде диаграммы и сделать вывод.

Семнадцатая работа — это отзыв ребят о про-ектной деятельности.

Таким образом, в течение учебного года шести-классники выполнили по проекту в письменном виде 17 работ. Некоторые работы включены мною во внеклассные разработки, иные переработаны и созданы новые, наиболее удачные работы вош-ли в нашу книгу «Проектные работы». Мы очень гордимся своей книжкой и считаем ее издание большим успехом. В нашей школе мы первыми стали заниматься проектной деятельностью и до-стигли определенных результатов. Этот детский проект является частью моего проекта, который был представлен на республиканский конкурс учителей-новаторов (я заняла 2-е место).



Отзыв на деятельность по проекту «Математи-ческий сундучок» ученицы 6«А» класса Ефремовой Екатерины.

Я уже второй год работаю над проектом «Ма-тематический сундучок». Мне очень нравится составлять проекты: делать головоломки, ребу-сы, составлять задачи. Но особенно мне нравит-ся выполнять творческие работы. В 5-м классе мною были выполнены работы: «Путешествие в страну Математика», «Улитка», «Площадь моей ладони и стопы». В 6-м класса — «Математика

и музыка», «Старые сказки на математический лад», «Математическое украшение к Новому году», «Дом, который построю я» и «Валентин-ка с модулем». Очень интересно самой состав-лять работы. Чувствуешь, что с каждым разом познаешь что-то новое, достигаешь результата, испытываешь радость. Писать рецензии на рабо-ты своих одноклассников дело серьезное и ответ-ственное, но тоже нужное и полезное. В дальней-шем я хочу составлять другие проекты. Я желаю всем удачи!


Дай списать!Автор: Г.Н. Звигинцева, учитель

математики средней школы № 37, пос. Вишневогорск,

Челябинская обл.

Группа готова? Отвечайте!Автор: В.В. Давыдова, учитель

математики средней школы № 30, г. Саранск, Республика Мордовия

На фото — учитель математики И.А. Уркуева проводит в 5-м классе

мероприятие «Математический поезд».



И. САВЕЛЬЕВА,Москва

Среда «Живая геометрия»В наш век ИКТ педагогика не отстает от других

областей и активно внедряет применение компью-терных технологий в образование. Появление новых компьютерных программ помогает сделать обучение наглядным, особенно важно это в геометрии. Напри-мер, изучая геометрические фигуры на плоскости и их свойства, учащиеся, не имея еще навыка построе-ния этих фигур с помощью циркуля и линейки, не могут в полной мере оценить важность и проверить правдоподобность доказываемого утверждения. В настоящее время существуют программы, позво-ляющие увидеть геометрические объекты, проверить их свойства, поэкспериментировать с ними, изменяя параметры. В 7–8-х классах, когда предмет геоме-трии только начинает входить в жизнь школьников, важно развить интерес учащихся к этому предмету, показать его красоту и необычность. В этом поможет компьютерная среда «Живая геометрия», которая легка в использовании, и на данном этапе обучения ее возможностей вполне хватит для того, чтобы сделать уроки необычными, запоминающимися. Я предлагаю некоторые лабораторные работы для 7-го класса (по учебнику Л.С. Атанасяна).

Перед началом учебного года рекомендуется подготовить для каждого ученика папку, в кото-

рой будут находиться следующие памятки (при-ведены далее).

Также каждую папку следует обеспечить ком-плектом лабораторных работ. Удобно завести и учительскую папку, в которую, помимо текста лабораторных работ, будут вложены и результы каждой лабораторной работы. Для некоторых работ необходимо будет подготовить исходный файл.

Каждая лабораторная работа помимо обяза-тельной части содержит дополнительную часть, которая заключается в ответе на непростой вопрос или дополнительном построении в рамках дан-ной темы. Такие вопросы отмечены знаком «*». Таким образом осуществляется дифференциация обучения.

Ученикам необходимо завести отдельную тетрадь, в которой они будут фиксировать шаги лабораторных работ.

Проверка результатов состоит из двух частей: практическую часть можно посмотреть непо-средственно на уроке (тогда результаты ученикам сохранять не нужно) или после урока (ученики со-храняют результаты в своей папке); теоретическая часть проверяется учителем в тетрадях.

Инструменты Cреда «Живая геометрия»

Меню

Название Закрыть

Восстановление

Свертывание

Пан

ель

ин

стру

мен

тов

Инструмент Стрелка

Растяжение

Панель инструментов

Стрелка

Точка

Циркуль

Линейка

Текст

Информатор

Отр

езок

Луч

Пря

мая

ПоворотСдвиг

КОМПЬЮТЕР НА УРОКЕ МАТЕМАТИКИ


Памятка по работе Среда «Живая геометрия»

1. Основные действия с мышкой:— установить курсор — двигать мышь, пока курсор не попадет на желаемый

объект;— щелкнуть — установить курсор на объект, быстро нажать и отпустить левую

кнопку мыши;— дважды щелкнуть — быстро щелкнуть дважды; — подвинуть — установить курсор, затем нажать левую кнопку мыши и, не

отпуская ее, переместить объект на нужное место, затем отпустить кнопку;— указать/выбрать/выделить — установить курсор, затем один раз щелкнуть

левой кнопкой мыши;— снять выделение — щелкнуть в любом месте рабочего поля вне объекта;— выделить последовательно — выделить несколько объектов именно в том

порядке, который указан в тексте.2. Алгоритм запуска программы «Живая геометрия»:— включить компьютер;— дождаться появления пиктограмм учебных программ;— щелкнуть дважды на ярлык «Живая геометрия».3. Для выхода из программы «Живая геометрия» в меню Файл выбрать команду

Выход.4. Алгоритм загрузки файла:— в меню Файл выбрать команду Открыть;— в диалоговом окне выбрать имя нужного файла и щелкнуть кнопку От-

крыть.5. Алгоритм сохранения файла:— в меню Файл выбрать команду Сохранить как; — в диалоговом окне выбрать нужную папку, написать имя файла и щелкнуть

кнопку Сохранить.6. Выбор инструментов на панели инструментов. Подведите курсор к нужному

инструменту; щелкнуть левой кнопкой мыши на нем (активный инструмент вы-свечивается).

7. Выбор команд из меню:— подведите курсор к меню;— нажмите левую кнопку мыши и, не отпуская ее, выберите из меню необхо-

димую команду;— отпустите кнопку мыши.8. Выделение одного объекта:— выбрать инструмент на панели инструментов;— выделить необходимый объект.9. Выделение нескольких объектов.— выбрать инструмент на панели инструментов;— удерживая клавишу Shift, выделить объект 1, объект 2, объект 3 и т.д.



Памятка по построению и Среда «Живая геометрия»измерению основных объектов

1. Построение точки. Выбрать инструмент и указать место на рабочем поле; снять выделение.

2. Построение отрезка.Способ I. Построить две точки (концы отрезка); выделить эти точки. В меню По-

строение выбрать команду Отрезок; снять выделение.Способ II. Выбрать инструмент ; указать место первого конца отрезка на ра-

бочем поле. Не отпуская левую кнопку мыши, растянуть отрезок до нужного размера и в нужном направлении. Снять выделение.

3. Построение луча. Выбрать инструмент . Щелкнуть на рабочем поле левой кноп-кой мыши, не отпуская ее, повернуть луч в нужном направлении. Снять выделение.

4. Построение прямой. Выбрать инструмент . Щелкнуть на рабочем поле левой кнопкой мыши и, не отпуская ее, повернуть прямую в нужном направлении. Снять выделение.

5. Построение угла. Построить вершину угла (точку) и два луча, выходящие из этой вершины.

6. Построение многоугольника (треугольника, четырехугольника и т.д.). Построить вершины многоугольника. Выделить все эти вершины. В меню Построение выбрать команду Многоугольник. Снять выделение.

7. Построение окружности.Способ I (по центру и точке, лежащей на окружности). Построить центр окружно-

сти (точку); построить любую точку, которая будет лежать на окружности. Выделить последовательно центр и точку. В меню Построение выбрать команду Окружность по центру и точке. Снять выделение.

Способ II (по центру и радиусу). Построить центр окружности (точку) и радиус окружности (отрезок, соединяющий центр и любую точку окружности). Выделить последовательно центр и радиус. В меню Построение выбрать команду Окружность по центру и радиусу. Снять выделение.

Способ III. С помощью инструмента Циркуль на Панели инструментов.8. Измерение длины отрезка. Выделить отрезок. В меню Измерение выбрать ко-

манду Длина. Снять выделение.9. Измерение длины окружности. Выделить окружность. В меню Измерение вы-

брать команду Длина. Снять выделение.10. Измерение градусной меры угла. Выделить последовательно точку, лежа-

щую на одной стороне угла, вершину угла и точку, лежащую на другой стороне угла. В меню Измерение выбрать команду Угол. Снять выделение.

11. Измерение площади:а) многоугольника: Выделить последовательно все вершины многоугольника.

В меню Измерение выбрать команду Площадь. Снять выделение;б) круга: Выделить круг. В меню Измерение выбрать команду Площадь.

Снять выделение.12. Обозначение объекта. Выделить объект (точку, отрезок и т.д.). В меню Вид

выбрать команду Показать имя. Снять выделение.



Лабораторная работа Среда «Живая геометрия»«Смежные и вертикальные углы»

Цель работы: исследовать свойства смежных и вертикальных углов.

Ход работы

1. Откройте файл Лр1.

2. Как называются углы АСD и ВСD (рис. 1)? Измерьте их и найдите сумму этих углов (заполните таблицу.)

3. Запишите названия углов GHE и GHF (рис. 2) в таблицу. Найдите сумму этих углов.

4*. Сравните получившиеся суммы углов в каждом случае и запишите Предполо-жение 1.

Угол Название углов Градусная мера Сумма углов∠ АСD

∠ АСD и ∠ ВСD — ____________∠ ВСD∠ GHE∠ GHF

Предположение 1 (свойство смежных углов):____________________________.5. Как называются углы KPM и NPL (рис. 3)? Измерьте их и запишите измерения

в таблицу. 6. Найдите на этом рисунке еще вертикальные углы. Измерьте их величины и за-

полните таблицу.7*. Сравните градусные меры вертикальных углов в каждом из двух случаев и за-

пишите Предположение 2.Угол Название углов Градусная мера Сравнение

∠ KPM∠ NPL

Предположение 2 (свойство вертикальных углов):________________________.



Лабораторная работа Среда «Живая геометрия»«Медианы, биссектрисы и высоты треугольника»

Цель работы: закрепить понятие медианы, биссектрисы и высоты треугольника, исследовать их свойства.

Ход работы


2. Убедитесь, выполнив необходимые измерения, что в треугольнике АВС (рис. 1) отрезки АD, ВF и СE являются медианами (запишите результаты измерений и по-рядок действий в тетрадь).

Чтобы проверить, являются ли отрезки медианами треугольника, необходимо____________________________________________________________________.

Результаты измерений:_____________________________________________.3. Измените форму треугольника, потянув за одну из его вершин. Посмотрите, что

произошло с точкой пересечения отрезков АD, ВF и СE.4*. Какое предположение можно сделать о точке пересечения медиан треугольника?Предположение 1. Медианы треугольника _____________________________. 5. Выполнив необходимые измерения, убедитесь, что в треугольнике HJK (рис. 2)

отрезки HL, JM и KN являются биссектрисами (запишите результаты измерения и порядок действий в тетрадь).

Чтобы проверить, являются ли отрезки биссектрисами треугольника, необхо-димо________________________________________________________________.

Линия соединения



Результаты измерений: ____________________________________________.6. Измените форму треугольника, потянув за одну из его вершин, и обратите вни-

мание на точку пересечения отрезков HL, JM и KN.7*. Какое предположение можно сделать о точке пересечения биссектрис треуголь-

ника?Предположение 2. Биссектрисы треугольника __________________________. 8. Убедитесь, что в треугольнике ТSU (рис. 3) отрезки ТX, SV и UN являются вы-

сотами (измерения и порядок действий запишите в тетрадь).Чтобы проверить, являются ли отрезки высотами треугольника, необходи-

мо__________________________________________________________________.Результаты измерений: ____________________________________________.9. Измените форму треугольника, потянув за одну из его вершин, и обратите вни-

мание на точку пересечения отрезков HL, JM и KN.10*. Какое предположение можно сделать о точке пересечения высот треугольника?Предположение 3. Высоты треугольника_______________________________.

Лабораторная работа Среда «Живая геометрия»«Свойства параллельных прямых»

Цель работы: закрепить понятия накрест лежащих, соответственных и односторонних углов при параллельных прямых и секущей.

Ход работы


2. Постройте точки пересечения параллельных прямых а, b и секущей с (Выделить секущую и одну из двух прямых; в меню Построение выбрать команду Точка на пере-сечении.) Обозначьте получившиеся точки.





3. Найдите на рисунке две пары накрест лежащих углов и измерьте их. Сравните их градусные меры.

4*. Сделайте Предположение 1 о накрест лежащих углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

5*. Проверьте, будет ли верно сделанное Предположение 1 в случае непараллель-ных прямых и секущей. (Для этого постройте прямую непараллельную двум данным, выполните необходимые измерения.)

6*. Если необходимо, исправьте сделанное ранее Предположение 1.

Вид угловИх номера на рисунке Градусная мера

1-я пара 2-я пара 1-я пара 2-я пара

Накрест лежащие

Предположение 1: ________________________________________________________________________________________________________________________.

7. Найдите на рисунке две пары соответственных углов и измерьте их. Сравните их градусные меры.

8*. Сделайте Предположение 2 о соответственных углах, образованных двумя па-раллельными прямыми и секущей.

9*. Проверьте, будет ли верно сделанное Предположение 2 в случае непараллель-ных прямых и секущей. (Сделайте необходимые измерения, использовав рисунок, выполненный в пункте 5.)

Вид угловИх номера на рисунке Градусная мера

1-я пара 2-я пара 1-я пара 2-я пара

Соответственные

Предположение 2: ________________________________________________________________________________________________________________________.

10. Найдите на рисунке две пары односторонних углов и измерьте их. Найдите сумму их градусных мер

11*. Сделайте Предположение 3 об односторонних углах, образованных двумя па-раллельными прямыми и секущей.

12*. Проверьте, будет ли верно сделанное Предположение 3 в случае непараллель-ных прямых и секущей. (Сделайте необходимые измерения, использовав рисунок, выполненный в пункте 5.)

Вид угловИх номера на рисунке Градусная мера Сумма градусных мер

1-я пара 2-я пара 1-я пара 2-я пара 1-я пара 2-я пара

Односторонние

Предположение 3: _________________________________________________________________________________________________________________________.




Лабораторная работа Среда «Живая геометрия»«Свойства равнобедренного треугольника»

Цель работы: закрепить свойство углов при основании равнобедренного треугольника, исследовать свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Ход работы


2. Является ли треугольник DCB (рис. 1) равнобедренным? Укажите основание треугольника.

Результаты измерений: _____________________________________________.3. Проверьте свойство углов при основании равнобедренного треугольника DCB.Результаты измерений: _____________________________________________.Предположение (свойство углов при основании равнобедренного треуголь-

ника): Углы __________ ________равнобедренного треугольника _____________.Для этого измените форму треугольника DCB, потянув за одну из его вершин так,

чтобы он снова стал равнобедренным с тем же основанием. Сравните углы при осно-вании нового треугольника.

4*. Проведите из вершины В треугольника DCB медиану, биссектрису и высоту. Является ли биссектриса, проведенная из вершины В, медианой и высотой? Ответ поясните.

Биссектриса, проведенная из вершины В равнобедренного треугольника DCB,____________________________________________________________________.

5*. На рисунке 2 построен тот же самый треугольник DCB. Проведите в нем бис-сектрису так, чтобы она являлась и медианой, и высотой.

6*. Выполните необходимые измерения и убедитесь, что построенная биссектриса действительно является медианой и высотой этого треугольника.

Чтобы биссектриса равнобедренного треугольника являлась медианой и высо-той, нужно провести ее ________________________________________________.

Биссектриса является медианой, так как ______________________________;является высотой, так как __________________________________.



Е. БЛОХИНА, М. СТЕФАНОВСКАЯ,Москва

Учебный проект

«Теорема Пифагора»

Цель проекта: практическое применение теоремы Пифагора.Задачи проекта: — познакомиться с биографией Пифагора; — рассмотреть несколько способов доказательства теоремы Пифагора; — научить применять теорему для решения задач; — показать практическую значимость теоремы Пифагора.Форма организации: групповая работа, индивидуальная.Деятельность: поисковая, исследовательская, творческая.Форма отчета: доклады, рефераты, математические газеты, презентации на электронных носителях.Учебник: Л.С. Атанасян. «Геометрия. 8 класс».Время работы: месяц.

Этапы работы над проектом

1-й этап

Ребята на уроке изъявили желание как можно больше узнать о Пифагоре, о самой известной те-ореме геометрии и о ее применении в повседнев-ной жизни. Так возникла идея создания проекта «Теорема Пифагора». Мы собрали и обобщили информацию по данной теме. Было прочитано, изучено, переосмыслено огромное количество литературы, посещено множество сайтов. Ре-зультатом работы должны стать выполнение ре-фератов и оформление стендов.

2-й этап

Весь класс был разделен на группы, которые исследовали следующие разделы: «Биография Пифагора», «Пифагор как философ», «Пифагор как педагог», «Теорема Пифагора». После нако-пления необходимого объема содержания было организовано групповое решение задач разных уровней; такие группы формировались на основе мониторинга успешности учащихся.

3-й этап

Отчет о проделанной работе был представлен на открытом заседании математического круж-ка. Учащиеся защищали рефераты по данной теме и представляли полученные результаты в виде презентаций. Итогом учебного проекта «Те-

орема Пифагора» стал вывод, который сделали учащиеся.

Вывод

Теорема Пифагора имеет огромное значение: она используется при решении задач в геоме-трии, она лежит в основе доказательства множе-ства геометрических теорем. Наука математика через теорему Пифагора тесно связана с искус-ством, музыкой, философией, астрономией. Тео-рема Пифагора — одно из сокровищ геометрии. И за эту ценность мы должны быть благодарны Пифагору — великому человеку, основополож-нику современной математики. Именно он вос-питал в человечестве веру в могущество разума, убежденность в познаваемости природы, уверен-ность в том, что ключом к тайнам мироздания является математика.

В ходе реализации проекта учащиеся знакомят-ся не только с основным материалом учебной темы, но и получают дополнительные знания по истории математики. Работа над проектом предполагает: самостоятельную исследовательскую деятельность учащихся по четко выстроенному плану; пред-ставление результатов в форме презентаций; по-зволяет развить навыки работы с информационно-коммуникационными технологиями.



Г. ЧЕРНЫХ,с. Чёрныш, Республика Коми

Фрагмент урока «Куб в технике оригами»

А теперь поработаем с волшебным квадра-том.

Японская мудрость издревле гласит: «Великий квадрат не имеет пределов». Попробуй простую фи-гурку сложить, и вмиг увлечёт интересное дело».

Какая геометрическая фигура упоминается в этом изречении?

[Квадрат.]Что такое квадрат?

[Прямоугольник, у которого все стороны равны.]

Из какой геометрической фигуры можно бы-стро получить квадрат?

[Из прямоугольника.]Как из прямоугольника получить квадрат?

[Лист бумаги прямоугольной формы складывается так, чтобы его короткая

сторона совместилась с длинной, оставшуюся часть отрезают.]

Как разделить квадрат пополам?[Разделить его пополам можно, складывая

четырьмя разными способами.]Кто может показать эти способы? (Идет по-

каз модели.)

Можно ли из квадрата, сгибая бумагу, по-лучить прямоугольник? Из прямоугольника — треугольник? Из треугольника — квадрат?

А что такое куб? [Многогранник, объемное тело,

у которого все грани равны и все ребра равны; все углы прямые.]

А можно ли сделать куб из листа бумаги? На сегодняшнем занятии мы сделаем куб из ква-дратного листа бумаги способом оригами.

Кто знает, что такое оригами? [Изготовление фигурок

из квадратного листа бумаги.]

Здесь не нужны волшебники и маги,Здесь нечего особенно мудрить...А нужно просто взять листок бумагиИ постараться что-нибудь сложить.

Методом оригами из одного листа бумаги, не применяя ни ножницы, ни клей, складывают тысячи разнообразнейших фигурок.

А теперь несколько советов.1. Складывать бумагу надо, во-первых, обя-

зательно на столе, тщательно проглаживая паль-цем каждую складку.

2. Старайтесь складывать лист как можно бо-лее ровно, точно.

3. Работайте спокойно и не торопясь. Со време нем эта работа станет для вас простой и привычной.

Сейчас мы с вами сделаем надувной куб. Сделайте квадрат, сложите из него треуголь-

ную основу, разме стите ее на столе прямым углом кверху. Найдите линию, соединяющую вершину пря мого угла с основанием, и совмести-те с ней линию основания слева и справа. То же самое проделайте с другой стороны.

Левый и правый угол совместите с сере динной линией так, чтобы они соприкаса лись, но не пе-рекрывали друг друга. Образу ющиеся при этом линии должны быть па раллельны серединной (получается «конфет ка»). То же самое проделай-те с другой стороны.

ОТКРЫТЫЙ УРОК


Чтобы при надувании конструкция сохра нила форму, оставшиеся после складывания свободные концы сложите пополам и спря чьте в «карманчи-

ки». То же самое проделайте со свободными кон-цами. Возьмите изделие в руки так, чтобы пальцы находились между слоями, и надуйте кубик.

1. Сделайте «двойной треугольник».

2. Согните бумагу по пунктирным линиям.

3. Снова по пунктир-ным линиям согните бумагу. Повторите дей-ствия на другой сторо-не.

5. Набираем воздуха в легкие и надуваем куб через отверстие, рас-положенное на одной из сторон.

6. У вас получился куб!

Покажите вершины куба, грани куба, ребра куба. Как найти объем куба? Запишите формулу объема куба.Измерьте ребро куба и вычислите его объем.

4. Загните уголки внутрь ранее загнутых «ушей». Уголки целиком вставлять в «уши» нельзя. Поэтому эти уголки заранее сгибаем пополам.


Фото автора статьи.


В. ЖИЛИНА, О. ЯЦЕНКО,с. Поспелиха, Алтайский край

Статистические характеристики

На изучение темы «Статистические характе-ристики» я отвожу четыре урока, тематически подразделяя следующим образом:

1. Среднее арифметическое.2. Размах. Мода.3. Медиана как статистическая характери-

стика.4. Исследовательская работа.Цели: дать начальные представления об основ-

ных этапах статистического исследования: сбора, систематизации и анализа статистических дан-ных; продемонстрировать, что таблицы, диаграм-мы и графики — удобный способ упорядочивания и систематизации больших объемов информации.

По данной теме использование компьютера (5–10 минут) было бы желательно на каждом

уроке. Но в школе один компьютерный класс, максимально загруженный уроками информати-ки, поэтому с использованием компьютера я за-планировала только заключительный урок.

За шесть недель до начала изучения темы я договорилась с ребятами седьмого класса и их классным руководителем, что с начала третьей четверти оценки в дневниках будут выставлять-ся (включая пение, физкультуру и труд) в ту не-делю, когда они получены.

На начало изучения темы для каждого уча-щегося была заготовлена индивидуальная карта (ИК) исследовательской работы. Домашние за-дания к урокам продуманы таким образом, что-бы исследовательская работа выполнялась в те-чение всей темы.

Индивидуальная карта исследовательской работы

Домашнее задание № 11. Составьте упорядоченный ряд оценок, выставленных в дневник, за 6 недель, отдельно

за каждую.2. Заполните в таблице 2-й столбец «Мои оценки».

Таблица 1

Временной промежуток Мои оценкиКласс

«1» «2» «3» «4» «5»1-я неделя2-я неделя3-я неделя4-я неделя5-я неделя6-я неделя

3. Вычислите среднее арифметическое за каждую неделю (результат округлите с точно-стью до одного знака после запятой).

4. Заполните в таблице 2-ю строку, «Я».Таблица 2

Средний баллНеделя 1-я 2-я 3-я 4-я 5-я 6-я

ЯКласс




Домашнее задание № 2Вычислите размах и моду за каждую неделю. Данные представьте в таблицах 3 и 4 в строке «Я».

Таблица 3Размах

Неделя 1-я 2-я 3-я 4-я 5-я 6-яЯ

Класс

Таблица 4Мода


Класс

Домашнее задание № 31. Найдите медиану упорядоченных рядов оценок за каждую неделю. 2. Результат представьте в таблице 5 в строке «Я».

Таблица 5Медиана


Класс

3. Заполните таблицу 6. Таблица 6

Мои оценкиНеделя 1-я 2-я 3-я 4-я 5-я 6-я Всего

«2»«3»«4»«5»

4. Составьте не менее трех вопросов по данным таблиц 1–6 и запишите их в индивидуаль-ной карте.

На третьем уроке совместно с детьми запол-няю в таблице 1 столбец «Класс» и составляю памятку.

Среднее арифметическое:

сумма чисел

количество чисел.Ca =

Размах: Pa = aнаиб – aнаим.Мода (Мо): наиболее часто встречающееся

число в наборе чисел.Медиана (Ме):— если в наборе чисел нечетное количество

чисел, то медианой этого набора служит чис-ло, стоящее посередине;

— если в наборе чисел четное количество чисел, то медиана — полусумма двух чисел, расположенных посередине этого набора.



Представляю вашему вниманию фрагментурока «Исследовательская работа».

Перед уроком на перемене просматриваю ИК и собираю вопросы, которые составили уче-ники.

В начале урока провожу устную работу с це-лью повторить основные понятия по следующим вопросам:

— Какие статистические характеристики вы знаете? Дайте их определения.

— Перечислите этапы работы со статистиче-скими данными.

Далее класс делю на шесть групп, которые определяю заранее.

Задание. Используя данные таблицы 1, за-полните в таблицах 3–5 строку «Класс».


Подведение итогов групповой работы:— Как вычислить размах для класса? — Каким образом найти медиану для класса?— Какие этапы работы со статистическими

данными мы выполнили?[Сбор и обработка

статистических данных.]Перейдем к анализу данных. Я озвучу вопро-

сы, которые вы составили дома. Прошу вас отве-тить на них.

— В какую неделю я учился лучше всего?— В какую неделю я учился хуже всего?— Какие оценки я получал чаще всего?

Работа за компьютером Задание. Представьте данные таблицы 2 в

виде столбчатой диаграммы; а данные таблицы 6 — в виде круговой. Используя данные исследо-вательской работы, оцените свою успеваемость по неделям и сравните ее с успехами класса. Ана-лиз запишите в ИК в свободной форме.


Дорогому юбиляру

Школьный учитель, преподаватель вуза, кандидат физико-мате-матических наук, док-тор педагогических на-ук, профессор, Заслу-

женный деятель науки РФ, лауреат премии Президента РФ в области образования, автор бо-лее 300 публикаций, среди которых свыше 100 книг по математике для школьников, абитури-ентов, студентов педвузов, учителей математи-ки, председатель диссертационного совета при МГПУ, организатор и бессменный научный ру-ководитель Всероссийского научного семинара преподавателей математики педвузов России — вот далеко не все ипостаси этого неординарного замечательного человека.

Несколько тысяч учителей математики Рос-сии благодарны Александру Григорьевичу за путевку в жизнь, которую дал им семинар Морд-ковича. Его участники стали и становятся пре-красными учителями, руководителями школ, кафедр, лабораторий, институтов.

Замечательный лектор, советник и наставник молодых коллег, Александр Григорьевич Морд-кович внес огромный вклад в отечественную педагогику и в становление математического факультета Московского городского педагогиче-ского университета.

Здоровья Вам, успехов, радости и поддерж-ки от близких и дорогих Вам людей, долгих лет жизни!

Коллеги по математическому факультету МГПУ

23 июля 2010 года встречает свое 70-летие наш коллега, Александр Григорьевич Мордкович

ПРИЗВАНИЕ — УЧИТЕЛЬ

Уважаемый Александр Григорьевич!От всей души поздравляем Вас с юбилеем и

желаем Вам крепкого здоровья, счастья, любви, внимания и заботы родных и близких Вам людей, хорошего настроения, неиссякаемой энергии и, конечно же, творческих успехов!

В этот торжественный день хочется от всего сердца поблагодарить Вас за Ваш труд – труд настоящего мудрого Учителя, требовательного, справедливого, бесконечно доброго и человечно-го. Вы обучили и дали путевку в жизнь не одному поколению учителей. Многие Ваши выпускники стали достойными, высокопрофессиональными специалистами. Спасибо Вам за это!

Безграничные слова благодарности хочется сказать Вам за созданные Вами прекрасные школьные учебники алгебры для учащихся 7, 8 и 9-х классов и алгебры и начал анализа для уча-щихся 10–11-х классов. Это учебники, по которым комфортно работать учителю, ведь в них заложе-но все: и скрупулезно подобранное содержание учебного материала, выстроенное в соответствии с важнейшим дидактическим принципом «от простого к сложному», и продуманная методика обучения, и научность, которая органично со-четается с доступностью изложения материала. Учебники, которые помогают родителям уча-щихся без особого труда вспомнить подзабытый со временем школьный материал и помочь своим детям. Учебники, по которым учатся дети во мно-гих регионах России. Низкий Вам поклон за этот колоссальный труд!

Коллектив учителей Юго-Западного округа г. Москвы


ИЛЬЯ МИТИН,ученик 8-го класса, пос. Понарино, Московская обл.

Математический кроссворд ПО ГОРИЗОНТАЛИ: 1. Число, которое делят.

3. Сторона угла. 6. Знак действия сложения. 7. Буква латинского алфавита, которой обычно обозначают неизвестное в уравнении. 11. Бывает усеченный. 15. Геометрическая фигура, связанная с Египтом. 16. Есть у функции. 18. ДВА + ДВА? Четыре. 21. Число, обозначавшее в древнерусском счете десять тысяч. 23. В результате выполне-ния этого действия получается произведение. 25. Простейший четырехугольник. 28. Она может быть обыкновенной, десятичной, правильной и неправильной. 30. Измерение тела, отмеряемое в вертикальном направлении. 31. В результате выполнения этого действия получается частное. 32. Отношение прилежащего катета к гипотену-зе. 34. Старорусская единица измерения длины, равна примерно 0,7112 м. 35. Его именем названа маленькая девочка— героиня сказки Андерсена. 37. Результат сложения. 38. Его не существует, если косинус угла равен нулю. 43. Одна из сторон прямоугольного треугольника. 44. В русском язы-ке ею заканчивается предложение, а в математике с нее начинается построение. 45. Царица наук. 47. У скольких нянек «дитя без глазу»? 50. На-правленный отрезок. 51. Что есть и у Земли, и в системе координат? 52. В русском языке — буква, в математике — ... 53. «Сторона» призмы. 55. Наи-меньшее натуральное число. 58. Ее необходимо решать. 63. Буква латинского алфавита, которой обычно обозначают неизвестное в уравнении. 64. Равенство с неизвестными. 65. Над этим математическим понятием смеялся весь класс Сережи Сыроежкина в фильме «Приключения Электроника». 68. Невероятно, но ... 71. «Ничто» в математике. 72. В химии связно с окислением, в математике — с показателем и основанием. 75. Геометрическое понятие, характеризующее наличие одинаковой формы у геометрических фигур, независимо от их размеров. 76. Вспомо-гательная теорема, с помощью которой доказы-вается другая теорема. 77. В зоологии — класс животных, в планиметрии — отрезок, соединяю-щий две точки. 78. ... Ньютона. 79. И в армии, и в статистике. 82. И у горы, и у треугольника, и у славы. 85. Одна из статистических характеристик. 87. Часть прямой, ограниченная с двух сторон. 88. Результат умножения. 89. И у успеха, и при сложении. 90. И Бермудский, и геометрический. 91. Правильный выпуклый двадцатигранник. 92. Характеристика из статистики.

ПО ВЕРТИКАЛИ: 2. Приставка, умень-шающая единицы измерения. 4. Буквы образ-вуют слово, а цифры... 5. 100 см. 8. Древнегре-ческий математик, физик, механик и инженер из Сиракуз (фото 3). 9. Тысячная доля кило-грамма. 10. Его форму имеет и мяч, и глобус. 11. Есть и у уравнения, и у растения. 12. Не знаменатель. 13. Древнегреческий философ и математик (фото 1). 14. «Покосившийся» прямоугольник. 17. Часть плоскости, ограни-ченная окружностью. 19. Табун, стая, рота — ... 20. Его мы вычисляем, когда решаем квадрат-ные уравнения. 22. Луч, делящий угол пополам. 24. 2 + 3 = 5. 25. Повзрослевший кубик. 26. Один из «родственников» квадрата. 27. От-резок, соединяющий центр окружности с любой ее точкой. 29. Прямой, наклонный, круговой. 31. Часть окружности. 33. Отношение противо-лежащего катета к гипотенузе. 36. Ее элементы теперь стали изучать и в школе. 39. Единица измерения углов. 40. 3 < 5. 41. Предложение, принимаемое без доказательства. 42. Геометри-ческая фигура, хорошо знакомая игрокам «Поле чудес». 46. Среднее арифметическое чисел 2 и 4.48. 0,01. 49. График квадратичной функции. 54. С помощью его теоремы любой отрезок можно разделить в любом отношении (фото 4). 56. Французский философ, естествоиспытатель, математик (фото 2). 57. С ее помощью решают задачи. 59. То же, что и дробь. 60. Свойство прямых не пересекаться. 61. Утверждение, требующее доказательства. 62. Знак действия

вычитания. 66. 11440

суток. 67. Он состоит из

одночленов. 68. Интернет-игра «Веселая...», а поменяешь ударение, получится фамилия ученого (фото 5). 69. Математический шифр. 70. «Адрес» точки. 73. Равенство, справедливое для любых допустимых значений входящих в него переменных. 74. ДЛИНА × ШИРИНА = ... 80. Старинная французская единица измерения расстояния. Бывает и сухопутное, и морское, и почтовое. 81. Большая сторона прямоугольного треугольника. 82. Действие, результатом ко-торого является разность. 83. Разность между наибольшим и наименьшим значениями резуль-татов наблюдений. 84. Геометрическая фигура, у которой две противоположные стороны парал-лельны, а две другие не параллельны. 86. Автор сборника задач для будущих студентов.

ВЫСТАВКА РАБОТ


1 2 3 4 5 6

7 8 9

10 11 12 13 14

15

16 17 18

19 20 21

22 23

24 25 26 27

28

29

Фото 1

30 31 32 33

Фото 2

34 35

36 37

38 39 40 41 42

43

44 45 46

47 48 49 50 51

52

53 54

55 56 57 58 59

60 61 62

63 64

65 66

67

68 69 70 71 72 73 74

75

76 Фото 3

77

78 79 80 81

82

83 84

85 86 87

Фото 4

88

89

90 Фото 5

91 92



Ответы к кроссворду со с. 31.По горизонтали: 1. Делимое. 3. Луч. 6. Плюс.

7. Игрек. 11. Конус. 15. Пирамида.16. График. 18. Равно. 21. Тьма.23. Умножение. 25. Квадрат. 28. Дробь. 30. Высота. 31. Деление. 32. Коси-нус. 34. Аршин. 35. Дюйм. 37. Сумма. 38. Тангенс. 43. Катет. 44. Точка. 45. Математика. 47. Семь. 50. Вектор. 51. Ось. 52. Цифра. 53. Грань. 55. Единица. 58. Задача. 63. Икс. 64. Уравнение. 65. Интеграл. 67. Факт. 71. Ноль. 72. Степень. 75. Подобие. 76. Лемма. 77. Хорда. 78. Бином. 79. Полигон. 82. Вершина. 85. Частота. 87. От-резок. 88. Произведение. 89. Слагаемое. 90. Тре-угольник. 91. Икосаэдр. 92. Мода.

По вертикали: 2. Милли. 4. Число. 5. Метр. 9. Грамм. 10. Шар. 11. Корень. 12. Числитель.13. Пифагор. 14. Параллелограмм. 17. Круг.19. Множество. 20. Дискриминант. 22. Биссектри-са. 24. Равенство. 25. Куб. 26. Ромб. 27. Радиус. 28. Архимед. 29. Цилиндр. 31. Дуга. 33. Синус. 36. Статистика. 39. Градус. 40. Неравенство. 41. Аксиома. 42. Сектор. 46. Три. 48. Процент. 49. Парабола. 54. Фалес. 56. Декарт. 58. Форму-ла. 59. Доля. 60. Параллельность. 61. Теорема. 62. Минус. 66. Минута. 69. Код.70. Координаты. 73. Тождество. 74. Площадь. 76. Многочлен. 80. Лье. 81. Гипотенуза. 82. Вычитание. 83. Раз-мах. 84. Трапеция. 86. Сканави.


Сделаем-ка еще один разрезик!Автор: И.Н. Гаврилова, учитель

математики средней школы № 3 г. Козьмодемьянска,

Республика Марий Эл

Тема первого внеклассного занятия – «Лист Мебиуса и его свойства». Ребята

склеивали лист Мебиуса и для сравнения трубку. Выяснили опытным путем, что

лист Мебиуса имеет одностороннюю поверхность и при его разрезании

получается перекрученное кольцо, а не два кольца. На вопрос: «Что же мы получим, если еще раз разрежем?» — большинство

предположило, что вновь получим перекрученное кольцо. Предположение оказалось ошибочным — получили два кольца. А при еще одном разрезании —

три кольца. Необычные свойства заинтриговали ребят!

Вот такая топология получается!Автор: В.И. Галошина, учитель математики

Яркульской средней школы, Новосибирская обл.



Н. ГУСЬКОВА, А. КРАСНОВА,г. Воронеж

Зачем нужна математика?Написать эти строки нас

побудила публикация «Школь-ная математика как культурно-историческая традиция» В. Бу-сева в журнале «Математика в школе», № 4/2009. «Зачем нужна математика?» — На этот вопрос приходится отвечать

каждому учителю математики. Мы преподаем математику в Воронежском государственном промышленно-технологическом колледже. Задав его, мы озада-чили учащихся. Краснова Алена написала ответ на 30 печатных листах, рассуждая о роли ма-

тематики в различных областях науки и человеческой деятель-ности. Мы сократили ее рефе-рат, кое-что добавили, кое-что исправили. В конце указана литература, на которую мы с шестнадцатилетней студенткой ссылаемся.

Введение

В принципе, математику можно рассматривать как разновидность уточненной, усовершенствован-ной логики. Математика — это орудие, гораздо бо-лее мощное, чем обыкновенный «здравый смысл», основанный на традиционной, «домашней» логике. Математика изучает математические модели реаль-ных процессов. Это позволяет человеку, владеюще-му математическим языком, глубже проникнуть в их суть, правильно ориентироваться в окружающей действительности. Математическая речь отличает-ся краткостью, четкостью, лаконичностью, гибко-стью, конструктивностью, критичностью и т.д.

Математика является не только мощным сред-ством решения прикладных задач и универсаль-ным языком науки, но также и элементом общей культуры. Всеобщая компьютеризация не только не уменьшила важность математического обра-зования, но и поставила перед ним новые задачи. Снижение математической культуры общества мо-жет превратить человека из хозяина компьютера в его прислугу и даже раба. Компьютерная нар-комания — весьма распространенная болезнь, по-разившая подрастающее поколение. Уже сегодня мы стоим на пороге своеобразной компьютерной диктатуры, а может и религии. Математическое образование должно помочь сохраниться на Зем-

ле виду homo sapiens, не дать ему переродиться в homo computericus.

Математика воспитывает такой склад ума, ко-торый требует критической проверки и логическо-го обоснования тех или иных положений и точек зрения. Элемент сомнения — это здоровое рацио-нальное зерно, которое присуще процессу матема-тического мышления и никогда не помешает любо-му профессионалу.

Степень научности той или иной дисциплины измеряется тем, насколько в ней применяется ма-тематика. О значении математики для человече-ства говорит тот факт, что «Начала» Евклида изда-вались наибольшее число раз (не считая Библии). Сейчас не удивишь словосочетаниями «матема-тическая лингвистика», «математическая биоло-гия», «математическая экономика» и т.п. В юри-спруденции применяются математические методы рассуждений, цель которых — выявить истину. Любой правовед должен уметь рассуждать логи-чески, применять на практике индуктивный и де-дуктивный методы, точно формулировать разного рода правила, предписания, инструкции и строго их исполнять. Поэтому, занимаясь математикой, будущий правовед формирует свое профессиональ-ное мышление.

Именно математика дает... наукам опреде-ленную меру уверенности в выводах, достичь ко-торой без математики они не могут.

А. Энштейн

Математика — это то, посредством чего люди управляют природой и собой.

А.Н. Колмогоров



Мы живем в век математики. С начала ХХ в. она активно проникает во все области человече-ского знания, подтверждая слова: «наука только тогда достигает совершенства, когда ей удается пользоваться математикой». «Математическое образование важно с различных точек зрения:

логической — изучение математики является источником и средством активного интеллекту-ального развития человека, его умственных спо-собностей;

познавательной — с помощью математики познается окружающий мир, его пространствен-ные и количественные отношения;

прикладной — математика является той базой, которая обеспечивает готовность человека как к овладению смежными дисциплинами, так и мно-гими профессиями, делает для него доступным непрерывное образование и самообразование;

исторической — на примерах из истории раз-вития математики прослеживается развитие не только ее самой, но и человеческой культуры в целом;

философской — математика помогает осмыс-лить мир, в котором мы живем, сформировать у человека развивающиеся научные представле-ния о реальном физическом пространстве».

Специфика математического знания

Леонардо да Винчи, Иммануил Кант, Карл Маркс и другие философы, пытаясь определить, что же такое наука, пришли к выводу, что в лю-бом учении научного ровно столько, сколько в нем математического. Процесс математизации неизбежен для преобразования любой отрасли знания в науку.

Специфика математического знания заклю-чается в том, что математики не изучают непо-средственно действительность, они изучают ее по идеальным моделям, которые являются обра-зами реальных предметов и явлений. Более того, многие абстрактные объекты возникают в ма-тематике, не имея своего реального прообраза; иногда уже после того, как объект возник и изу-чен в математике, находится реальный предмет, который может быть его прообразом. Так, Лоба-чевский изобрел гиперболическую геометрию «на бумаге», и только после его смерти был най-ден реальный объект — псевдосфера, на котором выполнялись законы геометрии Лобачевского. В тот момент, когда Энштейн предложил теорию относительности, геометрия Лобачевского уже была хорошо разработана, что позволило теории относительности развиваться очень быстро.

Не надо считать, что математизация — это простое применение каких-нибудь расчетов. Философ Сухотин, исследуя связи математики с другими науками, выделил три этапа математи-зации науки:

— описательно-количественная обработка материала,

— математическое моделирование изучаемо-го объекта (что позволяет заменить исследова-ние методом проб и ошибок целенаправленным изучением, раскрыть прогнозирующие функции математики),

— построение математической теории опреде-ленного класса (благодаря чему появились дис-циплины типа математической физики, матема-тической лингвистики, математической биоло-гии и т.д.).

В современном мире математизация науки часто проявляется как компьютеризация. Зада-чи, которые ставят науки перед математикой, так и звучат: «Как смоделировать на компьютере поведение такого-то объекта?», «Как эффективно на компьютере просчитать такой-то процесс?» — это, как и сама математизация, тоже естествен-ный процесс. С помощью ЭВМ у математиков появилась возможность в считанные минуты проводить вычисления, на которые раньше по-требовались бы годы. Кроме того, у всех ученых появилась возможность самые нудные, но авто-матизируемые этапы познания «сгрузить» на компьютеры, освободив тем самым время для творческой деятельности.

Наблюдения показывают, что при современ-ных скоростях технологических процессов чело-веческая психика уже не способна своевременно принять решение о дальнейшем их течении и на основании полученной информации осуществить необходимое управление. В результате такое управление запаздывает. Это относится не толь-

Математика — это орудие, специально при-способленное для того, чтобы иметь дело с отвле-ченными понятиями любого вида, и в этой обла-сти нет предела ее могуществу.

П. Дирак



ко к таким экзотическим областям деятельности, как, например, космические полеты, но и к таким обыденным процессам, как, например, производ-ство бумаги. Запаздывание человеческой реакции приносит огромные потери. Возникает необходи-мость передачи управления быстродействующим автоматам. Но для того, чтобы автомат мог управ-лять процессом, необходимо разработать коли-чественную теорию этого процесса, ведь машина не понимает слов: «делай лучше», «обрабатывай точнее», — машине нужно знать точные числовые

характеристики. Так прогресс в области техники неизбежно вызывает необходимость привлечения математических методов для решения насущных задач практики. Методы, возникшие в других дис-циплинах, нередко выходят за пределы специаль-ной области, но отличие математических методов состоит в том, что они применяются повсеместно, не зная исключений. Это и делает математику особой наукой, обладающей универсальным на-значением. Даже не наукой, а, как часто говорят, универсальным языком науки.

Математика и естествознание

У людей, усвоивших великие принципы ма-тематики, одним органом чувств больше, чем у простых смертных.

Ч. Дарвин

Один из первых ключевых моментов влияния математики на развитие естествознания — при-знание гелиоцентрической системы мира. Изучая движение небесных тел, Коперник предложил ге-лиоцентрическую гипотезу, а основным аргумен-том в ее пользу было то, что возникают «чудесные математические упрощения». Коперник не дожил до признания учеными его гипотезы, но основным аргументом в ее пользу и сейчас является замет-ное упрощение уравнений движения планет.

Математика, начиная с восемнадцатого века, заняла ведущее место в физической науке, что привело к значительному увеличению результа-тивности физики.

Декарт считал, что именно математический ме-тод открывает перед человеком путь к постижению законов природы. Он писал о математике: «Это бо-лее мощный инструмент познания, чем все осталь-ные, что дала нам человеческая деятельность, ибо он служит источником всего остального».

Галилей придерживался мнения о том, что природа сотворена по математическому плану: «Философия природы написана в величайшей книге... но понять ее сможет лишь тот, кто сначала выучит язык и постигнет письмена, которыми она начертана. А написана эта книга на языке матема-тики». Много ли проку в математических форму-лах? Ведь они просто описывают происходящее на точном языке. Тем не менее именно эти формулы оказались наиболее ценным знанием, которое лю-дям удалось получить о природе. Поразительные практические и теоретические достижения совре-менной науки стали возможны вследствие того, что человечество накопило количественное описа-тельное знание и научилось пользоваться им.

Именно в соответствии с принципом Галилея Ньютон открыл закон всемирного тяготения. Воз-можность получения математических следствий из этого физического закона принесла столь бо-гатые плоды, что эту процедуру стали считать неотъемлемой частью физики. Понимание физи-ческих причин явления было принесено в жертву математическому описанию и математическому предсказанию. Если Ньютону пришлось создать дифференциальное исчисление для целей физи-ки, то Максвелл уже чисто умозрительно вывел свои уравнения, показав, что математика может идти впереди эксперимента. Новый этап в раз-витии физики начался с открытием Энштейном теории относительности. В этом великом откры-тии тоже в значительной степени повинна мате-матика.

По словам Гёте, величайшее искусство как в теории, так и в практической жизни состоит в том, чтобы превратить проблему в постулат. Так и по-ступил Энштейн в 1905 г., предложив свою специ-альную теорию относительности. Одно из прин-ципиально новых положений специальной теории относительности — концепция локальной длины и локального времени. Их необычность не должна скрывать от нас то, что они гораздо лучше согла-суются с экспериментом, чем ньютоновские поня-тия абсолютного пространства и времени. Другое важное следствие из постулатов теории относи-тельности касается массы движущегося тела; оно гласит, что масса любого объекта увеличивается с увеличением скорости. В 1915 Энштейн опубли-ковал работы по общей теории относительности, где он описал пространство-время как единое гео-метрическое пространство. То, что Исаак Ньютон



считал силой, Альберт Энштейн определил как геометрическое искривление пространства. Эн-штейн открывает новую эру в физике, пользуясь чисто математическими гипотезами и методами. После Энштейна многие области физики превра-тились фактически в разделы математики. Если ранее математика обслуживала физику, то теперь математика способна направлять физическое ис-следование.

По-видимому, можно говорить о трех линиях, по которым осуществляется процесс математиза-ции естествознания:

— использование математики в качестве ап-парата вычислений;

— применение математических методов ис-следования;

— влияние математики как источника новых идей и концепций.

Математика и экономика

Пусть каждый математик работает в том на-правлении, к которому лежит его сердце.

Ф. Клейн

С появлением ЭВМ встали проблемы форма-лизации производств, ведь компьютеру надо за-дать конкретную программу действий. Возникла и такая проблема, как подсчет прибыли. Эконо-мика как наука существовала и до ХХ в., и в ней, несомненно, применялись математические мето-ды. Но в ХХ в. для экономики, особенно для ма-тематизированной ее части, наступил «золотой век». Почему математики с таким энтузиазмом взялись за экономические проблемы? Во-первых, деньги — это абстракция, некий всеобщий экви-валент, не имеющий постоянного реального ана-лога. Почти то же самое, что и числа. Во-вторых, — это практические результаты. Два выдающих-ся ученых-математика получили Нобелевскую премию по экономике. Это новосибирский мате-матик Л.В. Канторович и американец Дж. Нэш. Многие отрасли математики связаны с экономи-кой. Это теория игр — наука о максимизации вы-игрыша в некой конкурентной игре нескольких лиц. Это исследование операций с такими клас-сическими задачами, как задача коммивояжера (как обойти N городов за минимальное время), задача составления расписания (если известны времена выполнения каждого действия и пары (действие предшествует действию)), транспорт-

ная задача (как распределить продукцию N заво-дов по M потребителям, потратив на транспорти-ровку как можно меньше денег), задача о рюкза-ке (как уложить в рюкзак ограниченного объема товаров на возможно большую сумму) и т.д. Это линейное, математическое, дискретное програм-мирование. И другие отрасли математики. Даже постановки задач в этих областях — чисто эко-номические. К сожалению, еще долго придется учить экономистов тому, чтобы они научились разговаривать на языке математики. Например, среди экономистов часто принято так ставить за-дачу оптимизации: «при минимальных расходах добиться максимальной прибыли». Так сформу-лированная задача по меньшей мере бессмыс-ленна. Понятно, что минимальные расходы — нулевые. А при нулевых расходах (капитала, труда и т.д.) невозможно добиться никакой при-были. Правильная постановка задачи должна быть такой: «при заданных затратах найти спо-соб получить максимум прибыли», либо такой: «добиться заданной прибыли при минимальных расходах». Математики ничем не смогут помочь экономистам (да и другим ученым), если те не научатся правильно формулировать проблемы, возникающие в их областях.

Прикладная математика

Реальной опасности, стать слугой машины, нет, ибо любой более или менее механический процесс можно передать самой машине.

А.Тьюринг

В ХХ в. наметилась тенденция насыщения отраслей производства и других сфер общества специалистами-математиками. Так, всего за чет-верть века (начиная с 1939 г.) число математиков,

занятых в промышленности и государственных учреждениях США, Советского Союза и других стран, увеличилось в 12 раз. В начале 70-х годов ХХ в.в нашей стране в системе академических институ-



тов свыше 40% математиков работали в подразделе-ниях, не относящихся к физико-математическому

циклу, около 20% математиков работали в подраз-делениях по общественным наукам.

Моя телефонная сеть

Высшее назначение математики — находить порядок в хаосе, который нас окружает.

Н. Винер

Телефонная связь соединяет между собой де-сятки миллионов абонентов, позволяет людям общаться друг с другом, не пересекая государ-ственных границ. Естественно спросить: при чем здесь математика?

А при том, что прежде, чем приступить к строительству телефонной станции, нужно спро-ектировать и рассчитать, как долго придется або-нентам ожидать начала разговора. Как заранее рассчитать необходимое оборудование, чтобы

время ожидания абонента не превосходило 5–10 секунд? А там, где речь идет о расчете, не избе-жать обращения к математике. Согласно теореме российского математика А.Я. Хинчина, если по-ток вызовов состоит из большого числа независи-мых между собой вызовов отдельных абонентов, то суммарный поток будет близок к так назы-ваемому потоку Пуассона. Длительность одного разговора — тоже важный параметр, влияющий на время ожидания соединения.

Непостижимая эффективность математики

Математика — наука о порядке.А. Уайдхед

Почему математика эффективна при описа-нии физических явлений, которые непонятны для нас? Согласуется ли природа с человече-ской логикой? Ученым вплоть до ХVIII в. ответы на эти вопросы казались простыми и ясными. Полностью разделяя убежденность древних гре-ков в том, что мир устроен на математических принципах, исследователи видели в математике путь к познанию истин о природе. Иначе говоря, средневековые философы превратили Бога в не-погрешимого математика, стоящего над всем ми-ром, тем самым как бы отождествляя поиск ма-тематических законов природы с религиозными изысканиями.

Суть того, во что непоколебимо верили Де-карт, Кеплер, Галилей, Ньютон, Лейбниц и мно-гие другие основатели современной математи-ки, сводится к следующему: природе внутренне присуща скрытая гармония, которая отражается в наших умах в виде математических законов. В силу этой гармонии наблюдение в сочетании с математическим анализом позволяет пред-сказывать явления природы. Почтительное вос-хищение божественным планом творения по-степенно уступило место стремлению получить чисто математические результаты. Вера в Твор-ца во второй половине XVIII в. изрядно потуск-нела. Убеждение в том, что природа основана на математических принципах, было прочно, как

никогда. Задача математиков состояла в том, чтобы открывать эти принципы и познавать за-коны управления Вселенной, и сама математика считалась инструментом, как нельзя лучше при-способленным для решения этой задачи.

Развитие неевклидовой геометрии показало, что созданная человеком математика ничего не говорит о природе и имеет мало общего с дока-зательством существования Бога. Выяснилось также, что именно человек фиксирует порядок в природе, предполагаемую простоту и матема-тическую регулярность. Эварист Галуа (начало XIX в.) так отзывается о математике: «Эта наука скорее приспособлена к тому, чтобы изучать и искать истину, чем к тому, чтобы ее находить и познавать». Таким образом, сложилась явно про-тиворечивая, парадоксальная ситуация. С одной стороны, математика больше не претендует на роль носителя истины. С другой стороны, мате-матика подарила науке множество открытий, прекрасно согласующихся с повседневным опы-том: евклидову геометрию, гелиоцентрическую систему Коперника и Кеплера, всеохватываю-щую механику Галилея и Ньютона, физически необъясненную, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетизма Максвелла, теорию относительности Энштейна.

Философ Уильям Джемс выразил ту же идею: «Все грандиозные достижения математики и



естественных наук проистекают из нашего неу-томимого желания придать миру в наших умах более рациональную форму, чем та, которую придал ему грубый порядок нашего опыта». Многие математики соглашаются, что их наука находит необычайно широкое применение, но

признают свою несостоятельность в объяснении этого феномена. Хотя математика и является чисто человеческим творением, она открыла доступ к некоторым тайнам природы, чем по-зволила добиться успехов, превзошедших все ожидания.

Заключение

Математика — самая надежная форма проро-чества.

В. Швебель

Вначале вспомогательное средство расчета, математика превратилась в абсолютно необхо-димого помощника всех крупнейших исследова-ний нашего времени. Более того, оказалось, что на определенных этапах развития знаний мате-матика является единственным средством по-знания и, подобно скальпелю хирурга, помогает проникнуть во внутренние свойства изучаемых объектов. Известный российский математик Б.В. Гнеденко писал: «В наше время математи-зация знаний совершает своеобразный побед-ный марш. Многие области науки и практики, находившиеся вдали от использования матема-тических средств исследования, теперь усиленно стремятся наверстать упущенное. Причина это-го, конечно, заключается не в преходящей моде, а в том, что чисто качественное исследование явлений природы, экономики, врачебного дела, организации производства, как правило, оказы-вается недостаточным».

Действительно, как можно автоматизировать процесс выплавки стали или крекинга нефти без знания точных количественных закономер-ностей этих процессов? Как заставить работать линию связи, если не знать ни количественных

закономерностей поступления требований от абонентов, ни длительности обслуживания этих требований? Именно поэтому автоматизация технологических процессов и управления ими неизбежно приводит к необходимости использо-вания математики и, в свою очередь, заставляет математику разрабатывать новые методы.

Математика развивается. Она растет в выши-ну, так как на почве старых, насчитывающих века и тысячелетия теорий возникают новые пробле-мы. Она растет в ширину, потому что проникает в другие науки, захватывая все новые ряды яв-лений. Наконец, она растет в глубину, поскольку все прочнее утверждаются ее основы, совершен-ствуются методы и упрочиваются принципы. Но развитие математики неизбежно влечет развитие всех математизированных наук.

Никто не в состоянии дать однозначный ответ на вопрос, упорядочена ли природа, заложен ли в ее основе некий план. Но можно с полной уве-ренностью заявить, что самый могущественный из созданных человеком инструмент —матема-тика — позволяет нам достичь определенного по-нимания сложного и разнообразного мира при-родных явлений.

Литература

1. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: ИЛ, 1963.2. Вейль Г. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.3. Гнеденко Б.В. Введение в специальность математика. — М.: Наука, 1999.4. Грес П.В. Математика для гуманитариев. Учеб. пособие. — М.: Логос, 2004.5. Клайн М. Математика. Поиск истины. — М.: Мир, 1988.6. Клайн М. Математика: Утрата определенности. — М.: Мир, 1984.7. Курант Р. Математика в современном мире. — М.: Мир, 1967.8. Сухотин А.К. Философия в математическом познании. — Томск: Издательство Томского университета, 1977. 9. Тарский А. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. — М.: Наука, 1948.10. Энштейн А. Собрание научных трудов. — Т.2. Работы по теории относительности. 1921–1925 гг. — М.: На-

ука, 1966.



Т. ЯКОВЛЕВА,Москва


в «Школе надомного обучения» и проект

«Школьный калькулятор»В Москве в каждом учебном округе в соответствии с распоряжением правительства Москвы ор-

ганизованы школы для больных детей и детей-инвалидов.

«Школа надомного обучения» № 410 СВУО г. Москвы, в которой я работаю, открыта в 1997 году. Многие родители, имеющие детей с пробле-мами в здоровье, или не знают о существовании таких школ, или имеют искаженное представле-ние о них. Те же родители, чьи дети обучаются в нашей школе, довольны организацией учебно-воспитательного процесса.

Главная миссия школы — создание максималь-но благоприятных условий:

— для сохранности и улучшения состояния здоровья;

— обеспечения обучения, воспитания, со-циальной адаптации и интеграции в общество больных детей и детей-инвалидов, которые по состоянию здоровья не могут систематически по-сещать занятия в общеобразовательной школе, в возрасте до 18 лет (в соответствии с перечнем заболеваний).

У нас обучаются дети с 1-го по 11-й классы.Для них созданы различные формы обучения:

классно-урочная (при наличии 8 человек), груп-повая (до 4 человек), индивидуальное обучение как в условиях школы, так и на дому. В основу обучения заложен базовый общеобразовательный стандарт.

Всемерная экономия образовательного вре-мени — главный стратегический ресурс школы для детей с ограниченными возможностями. И серьезный профессиональный вызов ее педагогам, потому что предел педагогическим «фантазиям» жестко положен требованиями медиков – не на-рушать хрупкий баланс здоровья ребенка.

С 2004 года школа № 410 входит в состав экс-периментальной площадки, деятельность кото-рой направлена на использование возможностей компьютерных образовательных технологий для дистанционного обучения. Апробируются не только прикладные компьютерные программы, но и содержание новых интегративных курсов, фор-мы коллективной и индивидуальной проектной деятельности учащихся с применением новых ин-

формационных технологий. Педагогический кол-лектив школы № 410 старается работать с детьми на современном уровне. С 2005/06 учебного года наша школа участвует в научно-методическом проекте «Школьный калькулятор» фирмы CASIO. Широкие возможности калькуляторов позволяют использовать их на уроках алгебры при решении уравнений, при построении графиков, при про-верке вычислений и т.д., а на уроках геометрии — при нахождении значений синуса, косинуса, тангенса любого угла, величин углов по значению синуса, косинуса, при решении треугольников и т.д. Ученики с большим энтузиазмом осваивают калькулятор и успешно работают с ним.

Благодаря директору школы Н.Ф. Парши-ковой, которая стремится оснастить школу со-временными средствами обучения, у нас есть и графический калькулятор fx-9860 G с демонстра-ционной панелью, что открывает еще большие возможности в обучении.

Так как графические калькуляторы CASIO больше похожи на микрокомпьютеры, то они пре-красно вписываются в компьютерные технологии обучения, одним из акцентов которых является формирование исследовательских умений.

В этом году ученик 9-го класса нашей шко-лы Буйнов Максим стал автором научно-исследовательской работы (проекта) «Исследова-ние поведения кубической параболы у = ах3 + bх2 + + сх + d (а ≠ 0) в зависимости от знаков и соотноше-ния коэффициентов». Выбор кубической функции был обусловлен тем, что она, с одной стороны, достаточно сложна, чтобы быть темой научно-исследовательской работы, а с другой — доступна для исследования учеником 9-го класса.

При проведении исследований был исполь-зован графический калькулятор CASIO серии fx-9860 G. Возможность быстрого построения графиков с заданными коэффициентами и ис-пользование функции динамических графиков позволило сделать первые предположения о по-ведении кубической параболы в зависимости от



знаков и соотношений коэффициентов. После первых выводов ученик попытался найти зави-симость между коэффициентами и поведением функции, но при проверке были обнаружены зна-чения коэффициентов, при которых выведенная зависимость не срабатывала. Тогда мною было принято решение об изучении понятия произво-дной, с помощью которой задача, поставленная при исследовании, была решена.

Для представления работы в электронном и пе-чатном виде в Интернете была найдена программа построения графиков.

Таким образом, наличие графического кальку-лятора позволило перенести акцент с построения графика на исследование функции с применением новых знаний к конкретной задаче. При выпол-нении работы было построено более 60 графиков, ясно, что без калькулятора временные затраты были бы огромны.

Выполнение работы повысило интерес учаще-гося к построению графиков функции, позволило получить новые знания и усвоить способы само-стоятельной деятельности, развить его познава-тельные и творческие способности.

Хочется выразить признательность сотруд-никам отдела образовательных программ пред-ставительства компании CASIO в Москве: про-фессору И.Е. Вострокнутову, А. Груздинскому и Н. Никитиной, которые много времени и вни-мания уделяют участникам проекта «Школьный калькулятор».

Благодаря их помощи и сотрудничеству Буйнов Максим успешно выступил со своей работой на межокружной научно-практической конференции «Опыт и перспектива применения малых средств информационных технологий в обучении мате-матике, физике и другим естественно-научным дисциплинам».

Цель работы: исследование и выявление закономерностей поведения кубической параболы y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) в зависимости от знаков и соотношения коэффициентов.

Исследование поведения

кубической параболы y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

в зависимости от знаков и соотношения коэффициентов

Фрагмент

Задачи:1. Определение влияния коэффициента d на

наличие точек экстремума и расположение гра-фика функции y = ax3 + bx2 + cx + d относительно начала координат.

2. Выявление влияния коэффициентов а, b и c на наличие точек экстремума кубической па-раболы y = ax3 + bx2 + cx + d в зависимости от их знаков и соотношений между ними.

3. Определение влияния коэффициента а на положение экстремумов функции y = ax3 + bx2 ++ cx + d (при фиксированных значениях коэффи-циентов b и с).

4. Выявление влияния знаков коэффициен-тов а и b на координаты максимума функции y = ax3 + bx2 + cx + d при фиксированном значении коэффициента с.

5. Выявление влияния знаков коэффици-ентов а и b на координаты минимума функции

y = ax3 + bx2 + cx + d при фиксированном значении коэффициента с.

6. Определение влияния знака коэффициента а на промежутки возрастания и убывания функции y = ax3 + bx2 + cx + d.

1. Определение влияния коэффициента d на наличие точек экстремума и расположение гра-фика функции y = ax3 + bx2 + cx + d относительно начала координат.

Рассмотрим кубическую функцию в общем виде: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0).

D(y) = R, E(y) = R, y R(x) = 3ax2 + 2bx + c.Коэффициент d не влияет на производную

функции (так как производная константы равна нулю), следовательно, не будет влиять и на нали-чие или отсутствие экстремумов функции.

При изменении d происходит сдвиг графика вдоль оси ординат: при d > 0 происходит сдвиг вверх на d единиц, при d < 0 — вниз на d единиц, что иллюстрируют рисунки 1 и 2.



На рисунке 1 представлены графики функций, имеющих экстремумы:

�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

Рис. 1

На рисунке 2 представлены графики функций, не имеющих экстремумов:

�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

Рис. 2

Так как влияние значения коэффициента d полностью установлено, то далее будут рассма-триваться функции с коэффициентом d = 0, то есть функции следующего вида:

а) y = ax3;б) y = ax3 + bx2;в) y = ax3 + cx;г) y = ax3 + bx2 + cx.

а) y = ax3, yR = 3ax2. Найдем нули произво-дной.

Так как уравнение 3ax2 = 0 имеет только один действительный корень при любом значении а и производная не меняет знака при прохождении через точку x0 = 0, то функция y = ax3 не будет иметь экстремумов при любом значении а. На рисунке 3 представлены графики функций с раз-ными значениями коэффициента а.

�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

��

��

Рис. 3

Функция y = ax3 нечетная, так как y(–x) == a(–x)3 = –y(x), следовательно, график функции симметричен относительно начала координат, что видно из рисунка 3.

Так как функции y = ax3 и y = ax3 + d не имеют точек экстремума, то при а > 0 функции будут возрастающими, а при а < 0 — убывающими. Это свойство иллюстрирует рисунок 4.

Рис. 4

y1 = x3 + 3x2 + 2x + 6 (№ 1);y2 = x3 + 3x2 + 2x (№ 2);y3 = x3 + 3x2 + 2x – 6 (№ 3).

y1 = –x3 + 3x2 – 5x + 6 (№ 1);y2 = –x3 + 3x2 – 5x (№ 2);y3 = –x3 + 3x2 – 5x – 6 (№ 3).

y1 = x3, y2 = –x3, y3 = –0,5x3, y4 = 0,05x3.

y1 = 2x3 + 5, y2 = –x3 – 6, y3 = –3x3 + 2, y4 = 0,03x3 – 3.



При увеличении | a | график функции растягивает-ся вдоль оси ординат в | a | раз. На рисунке 5 пред-ставлены графики функций, иллюстрирующие данное свойство.

�

�

��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

��

Рис. 5

б) y = ax3 + bx2, y R = 3ax2 + 2bx. Найдем нули производной.

Уравнение 3ax2 + 2bx = 0 имеет два действи-тельных корня при любых допустимых значениях а и b: x1 = 0, 2

2.

3b

xa

= −

�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

Рис. 6

Поэтому функция будет иметь две точки экс-тремума. На рисунке 6 представлены графики функций вида y = ax3 + bx2 с различными коэф-фициентами а и b.

Так как один из корней уравнения произво-дной функции равен нулю, а любая функция вида y = ax3 + bx2 проходит через начало коор-динат, то одна из точек экстремума функции будет иметь координаты (0; 0). При b < 0 это будет максимум функции, а при b > 0 — мини-мум функции.

Влияние знаков коэффициентов а и b на координаты точки максимума функции

y = ax3 + bx2

Знаки коэффициентов

Знак абсциссы

Знак ординаты Замечания Рисунок

b > 0, a > 0 «–» «+»

С увеличением а абсцисса стремится к нулю, а ордината уменьшается. Увеличение b приводит к увеличению ординаты и уменьшению абсциссы

7

b > 0, a < 0 «+» «+»

При уменьшении а абсцисса и ордината уменьшаются. При увеличении b ордината и абсцисса возрастают

8

b < 0,a —любоедопустимое число

0 ...

При b < 0 значение максимума функции равно коэффициенту d

9

�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

Рис. 7

y1 = –0,01x3 – 6, y2 = –3x3 + 2, y3 = 0,04x3 – 3, y4 = 2x3 + 3.

y1 = 2x3 + 5x2, y2 = –3x3 + 4x2, y3 = –x3 – 3x2, y4 = x3 – 4x2.

y1 = 4x3 + 6x2, xmax = –1, y(xmax) = 2;y2 = 5x3 + 2x2, xmax = –0,26667, y(xmax) = 0,4741;y3 = 3x3 + 7x2, xmax = –1,55, y(xmax) = 5,64609.



�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

Рис.10

�

�

� � ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

Рис.11

�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

��

Рис.12

�

�

� � ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

Рис. 8

�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

��

Рис. 9

Влияние знаков коэффициентов а и b на ко-ординаты минимума функции y = ax3 + bx2

Знаки коэффициентов

Знак абсциссы

Знак ординаты Замечания Рис,

b < 0, a > 0 «+» «–»

С уменьшением b абсцисса возрастает, а ордината уменьшается. С возрастанием а абсцисса уменьшается,а ордината возрастает

10

b < 0, a < 0 «–» «–»

С уменьшением b абсцисса и ордината уменьшаются. С уменьшением а абсцисса и ордината возрастают

11

b > 0, а —любое допустимое число

0 ...При b > 0 значение минимума функции равно коэффициенту d

12

y1 = –2x3 + 5x2, xmax = 1,66667, y(xmax) = 4,62963;y2 = –5x3 + 9x2, xmax = 1,2, y(xmax) = 4,32;y3 = –x3 + 2x2, xmax = 1,33333, y(xmax) = 1,18519.

y1 = –2x3 – 4x2 + 5, xmax = 0, y(xmax) = 5;y2 = 5x3 – 6x2 – 8, xmax = 0, y(xmax) = –8;y3 = x3 – 2x2, xmax = 0, y(xmax) = 0.

y1 = 2x3 – 3x2, xmin = 1, y(xmin) = –1;y2 = 2x3 – 6x2, xmin = 2, y(xmin) = –8;y3 = 4x3 – 4x2,xmin = 0,66667, y(xmin) = –0,59259.

y1 = –3x3 – 4x2, xmin = –0,88889, y(xmin ) = –1,0535;y2 = –5x3 – 10x2, xmin = –1,333333, y(xmin) = –5,92593;y3 = –8x3 – 16x2, xmin = –1,333333, y(xmin) = –9,48148.

y1 = –x3 + 2x2 + 5, xmin = 0, y(xmin) = 5;y2 = –4x3 + 3x2, xmin = 0, y(xmin) = 0;y3 = 3x3 + 8x2 – 8, xmin = 0, y(xmin ) = –8.



Влияние коэффициента а на промежутки возрастания и убывания функции y = ax3 + bx2

Знак а Промежутки возрастания

Промежутки убывания Рисунок

а > 0 (–∞; xmax], [xmin; +∞) [xmax; xmin] 13

a < 0 [xmin; xmax] (–∞; xmin], [xmax; +∞) 14

�

�

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

Рис. 13

�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

Рис. 14

в) y = ax3 + cx, y R = 3ax2 + c. Найдем нули про-изводной.

Если дробь 0,3ca

> то есть коэффициенты a и c

разного знака, то уравнение 3ax2 + c = 0 имеет два

действительных корня: 1 ,3c

xa

= 2 .3c

xa

= −

Функция будет иметь точки экстремума при любых допустимых значениях а и с. На рисунке 15представлены графики функций вида y = ax3 + cx с различными коэффициентами а и с.

�

�

� � � ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

��

Рис.15

Функция y = ax3 + cx нечетная, так как y(–x) == –y(x), следовательно, график функции симме-тричен относительно начала координат:

y(xmax) = –y(xmin).При увеличении | а | значение xmin и xmax стре-

мится к нулю. При увеличении | с | значение вы-

ражения 3ca

возрастает, следовательно, воз-

растают и значения | xmin | и | xmax |. Эти свойства проиллюстрированы на рисунке 16.

�

�

��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

��

�

��

��

Рис.16

y = 2x3 + 6x2

y = –2x3 + 6x2

y1 = –2x3 + 6x, y2 = 3x3 – 9x, y3 = 0,1x3 + x.

y1 = –2x3 + 6x, y2 = –43x3 + 6x, y3 = x3 – x, y4 = x3 – 8x.



Влияние коэффициента а на промежутки возрастания и убывания функции y = ax3 + cx

Знак а Промежутки возрастания

Промежутки убывания Рисунок

а > 0 (–∞; xmax], [xmin; +∞) [xmax; xmin] 17

a < 0 [xmin; xmax] (–∞; xmin], [xmax; +∞) 18

�

�

��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

Рис.17

�

�

� ��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

Рис.18

г) y = ax3 + bx2 + cx.Выявление влияния коэффициентов а, b и c на

наличие точек экстремума кубической параболы y = ax3 + bx2 + cx + d в зависимости от знаков и соотношений.

D(y R) = R, поэтому точек, в которых yR(x) не существует, нет.

y R(x) = 0, если 3ax2 + 2bx2 + c = 0, D = b2 – 3ac.Если D > 0, то уравнение имеет два различных

корня: 2

1

3,

3b b ac

xa

− + −=

2

2

3,

3b b ac

xa

− − −= которые

являются стационарными точками функции и будут в итоге точками экстремума.

Следовательно, при b2 > 3ac функция y = ax3 ++ bx2 + cx + d будет иметь две точки экстремума.

Выберем коэффициенты, удовлетворяющие условию b2 > 3ac.

Выбор коэффициентов и полученные функции представлены в таблице 1.

Таблица 1

a b c

Проверка условия b2 > 3ac

Функция

–2 –3 –1 9 > 6 y1 = –2x3 – 3x2 – x (№ 1)0,5 –3 4 9 > 6 y2 = 0,5x3 – 3x2 + 4x (№ 2)1 –2 –0,5 4 > –1,5 y3 = x3 – 2x2 – 0,5x (№ 3)

–0,65 –2 0,35 4 > –0,6825 y4 = –0,65x3 – 2x2 + 0,35 (№ 4)

Графики полученных функций представлены на рисунке 19.

�

�

��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

�

��

Рис. 19

Если D ≤ 0, то уравнение 3ax2 + 2bx + cx = 0 будет иметь только один корень или не иметь их вовсе.

Следовательно, при b2 ≤ 3ac функция y = ax3 ++ bx2 + cx + d не будет иметь точек экстремума.

y = x3 – 4

y = –0,1x3 + 3x



Рассмотрим функции, не имеющие точек экс-тремума.

Выберем коэффициенты a, b и с, удовлетворяю-щие условию b2 ≤ 3ac, при этом коэффициенты а и с должны быть одного знака, так как если b2 ≥ 0,то и 3ас ≥ 0.

Выбор коэффициентов и полученных функций представлен в таблице 2.

Таблица 2

a b cПроверка условия

b2 ≤ 3acФункция

2 0 0 0 ≤ 0 y4 = 2x3 (№ 4)–1 0,5 –2 0,25 ≤ 6 y5 = –x3 + 0,5x2 – 2x (№ 5)1 3 3 9 ≤ 9 y6 = x3 + 3x2 + 3x (№ 6)

Графики полученных функций представлены на рисунке 20.

�

�

��

��

��

��

��

�

�

��

��

�

��

�

�

�

�

�

�

��

�

�

�

��

Рис. 20

Аналогично в работе рассматриваются реше-ния и других задач исследования.

ВыводыВ результате выполненного исследования по-

ведения кубической параболы y = ax3 + bx2 + cx + d(a ≠ 0) выявлено следующее:

1) коэффициент d не оказывает влияния на наличие точек экстремума; при изменении ко-эффициента d происходит сдвиг графика вдоль оси ординат: при d > 0 происходит сдвиг вверх на d единиц, при d < 0 происходит сдвиг вниз на d единиц;

2) экстремумы функции существуют, если b2 > 3ac, и не существуют при b2 ≤ 3ac;

3) при наличии экстремумов и при фикси-рованных b и c, если a → –∞ или a → +∞, то xmin → xmax;

4) влияние знаков коэффициентов a и b на координаты максимума и минимума функции y = ax3 + bx2 + cx + d при фиксированном c;

5) при отсутствии экстремумов кубическая парабола будет иметь точку перегиба, при этом она будет либо возрастающей (при a > 0), либо убывающей (при a < 0);

6) при наличии экстремумов при a > 0 функ-ция будет возрастать на интервалах (–∞; xmax]; [xmin; +∞) и убывать на интервале [xmax; xmin]; при a < 0 функция будет убывать на интервалах (–∞; xmin]; [xmax; +∞) и возрастать на интервале [xmin; xmax].

Приведенный здесь фрагмент показывает, что без применения калькулятора подобная работа была бы недоступна учащимся.

Адрес редакции и издателя:ул. Киевская, д. 24, Москва 121165.Тел./Факс: (499) 249 3138Отдел рекламы: (499) 249 9870Редакция газеты «Математика»: тел.: (499) 249 3460E-mail: [email protected]: http://mat.1september.ru

Шеф-редактор: С. ОстровскийГлавный редактор: Л. РословаОтветственный секретарь: Т. ЧеркавскаяРедакторы: П. Камаев, И. Бокова, В. БусевКорректор: Л. ГромоваКомпьютерная верстка: Л. Кузьменок

УчредительООО

«Чистые пруды»

Газета«Математика»

выходит 2 раза в месяц

Цена свободная

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ «ПЕРВОЕ СЕНТЯБРЯ» главный редактор – А. Соловейчик

ГАЗЕТЫ ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА

Первое сентябрягл. ред. — Е. Бирюкова; Английский язык гл. ред. — Е. Громушкина; Библиотека в школегл. ред. — О. Громова; Биология гл. ред. — Н. Иванова;

Географиягл. ред. — О. Коротова;Дошкольное образованиегл. ред. — М. Аромштам;Здоровье детей гл. ред. — Н. Семина;Информатикагл. ред. — С. Островский;Искусствогл. ред. — М. Сартан;Историягл. ред. — А. Савельев;

Классное руководство и воспитание школьниковгл. ред. — О. Леонтьева;Литература гл. ред. — С. Волков;Математикагл. ред. — Л. Рослова;Начальная школагл. ред. — М. Соловейчик;Немецкий языкгл. ред. — М. Бузоева;Русский языкгл. ред. — Л. Гончар;

Спорт в школегл. ред. — О. Леонтьева;Управление школойгл. ред. — Я. Сартан;Физика гл. ред. — Н. Козлова;Французский языкгл. ред. — Г. Чесновицкая;Химиягл. ред. — О. Блохина;Школьный психологгл. ред. — И. Вачков.

Отпечатано с готовых диапозитивов редакции в ИД «Медиа-Пресса», ул. Правды, д. 24, Москва 125993

Индексы подписки:каталог агентства «Роспечать»

32 030 (для индивидуальных подписчиков) 32 594 (для организаций)

каталог агентства «Почта России» 79 073 (для индивидуальных подписчиков) 79 583 (для организаций)Зарегистрировано Министерством РФ по делам печати. ПИ № 77-7236 от 12.04.01Зак. № 815809 Тираж 19 000Подписано в печать 17.04.2009

Документооборот Издательского дома «Первое сентября» защищен антивирусной программой Dr.Web

Адрес редакции и издателя:ул. Киевская, д. 24, Москва 121165.Тел./Факс: (499) 249 3138Отдел рекламы: (499) 249 9870Редакция газеты «Математика»: тел.: (499) 249 3460E-mail: [email protected]: http://mat.1september.ru

Шеф-редактор: С. ОстровскийГлавный редактор: Л. РословаОтветственный секретарь: Т. ЧеркавскаяРедакторы: П. Камаев, И. Бокова, О. МакароваКорректор: Л. ГромоваКомпьютерная верстка: Л. Кукушкина

УчредительООО

«Чистые пруды»

Газета«Математика»

выходит 2 раза в месяц

Цена свободная

ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ «ПЕРВОЕ СЕНТЯБРЯ» главный редактор – А. Соловейчик

ГАЗЕТЫ ИЗДАТЕЛЬСКОГО ДОМА

Первое сентябрягл. ред. — Е. Бирюкова; Английский язык гл. ред. — Е. Громушкина; Библиотека в школегл. ред. — О. Громова; Биология гл. ред. — Н. Иванова;

Географиягл. ред. — О. Коротова;Дошкольное образованиегл. ред. — М. Аромштам;Здоровье детей гл. ред. — Н. Семина;Информатикагл. ред. — С. Островский;Искусствогл. ред. — М. Сартан;Историягл. ред. — А. Савельев;

Классное руководство и воспитание школьниковгл. ред. — О. Леонтьева;Литература гл. ред. — С. Волков;Математикагл. ред. — Л. Рослова;Начальная школагл. ред. — М. Соловейчик;Немецкий языкгл. ред. — М. Бузоева;Русский языкгл. ред. — Л. Гончар;

Спорт в школегл. ред. — О. Леонтьева;Управление школойгл. ред. — Я. Сартан;Физика гл. ред. — Н. Козлова;Французский языкгл. ред. — Г. Чесновицкая;Химиягл. ред. — О. Блохина;Школьный психологгл. ред. — И. Вачков.

Отпечатано в ОАО «Чеховский полиграфический комбинат», ул. Полиграфистов, д. 1, Московоская область, г.Чехов 142300

Индексы подписки:каталог агентства «Роспечать»

32 030 (для индивидуальных подписчиков) 32 594 (для организаций)

каталог агентства «Почта России» 79 073 (для индивидуальных подписчиков) 79 583 (для организаций)Зарегистрировано Министерством РФ по делам печати. ПИ № 77-7236 от 12.04.01Зак. № Тираж 19 000Подписано в печать 23.06.2010

Документооборот Издательского дома «Первое сентября» защищен антивирусной программой Dr.Web

Фото: фотобанк Shutterstock


ucoz · УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ ГАЗЕТА № 2 16–31 ЯНВАРЯ Жизнь...

Documents