ukuran pemusatan
DESCRIPTION
UKURAN PEMUSATAN. Dr. Srikandi Kumadji, MS. TopiK. UKURAN PEMUSATAN Mean Median Modus Geometric mean UKURAN LETAK Kuartil Desil Persentil. Ringkasan Ukuran. Ringkasan Ukuran. UKURAN LETAK. Ukuran Pemusatan. Mean. Modus. Persentil. Median. Kuartil. Desil. Geometric Mean. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
UKURAN PEMUSATAN
Dr. Srikandi Kumadji, MS
TopiK
UKURAN PEMUSATANMeanMedianModusGeometric mean
UKURAN LETAKKuartilDesilPersentil
Ringkasan Ukuran
Ukuran Pemusatan
MeanMedian
Modus
Geometric Mean
Ringkasan Ukuran
UKURAN LETAK
Desil
PersentilKuartil
Ukuran Pemusatan
Ukuran Pemusatan
Mean Median Modus
Geometric Mean1
1
n
ii
N
ii
XX
n
X
N
1/
12
n
Gn XXXX
Mean (Arithmetic Mean)
Mean (arithmetic mean) dari dataSample mean
Population mean
1 1 2
n
ii n
XX X X
Xn n
1 1 2
N
ii N
XX X X
N N
Sample Size
Population Size
Mean (Arithmetic Mean)(continued)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
Mean = 5 Mean = 6
Median
Median adalah : Nilai tengah dari deretan data
Urutkan dataLme = (n + 1)/2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14
Median = 5 Median = 5
Modus
Modus: Data yang paling sering munculRata-rata untuk data NominalJika data jumlahnya sama tidak ada
modus
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Mode = 9
0 1 2 3 4 5 6
No Mode
ARITHMETIC MEAN
1.
Xi = Titik Tengah Kelas
2. = Xo + C
di = Nilai skala pada tiap-tiap kelas, X0 = terbesar, di=0
if
fixi
= X
X
fi
fidi
ARITHMATIC MEAN
56,33
Besar Pengeluaran
Titik Tengah (Xi)
fi fixi
30 – 39 34,5 8 270
40 – 49 44,5 14 623
50 – 59 54,5 10 545
60 – 69 64,5 18 1.161
70 – 79 74,5 7 521,5
80 – 89 84,5 3 253,5
Jumlah 60 3.380
60
3380X =
atau
Rp 56.330,00
=
ARITHMATIC MEAN
56,33
Besar Pengeluaran
Titik Tengah (Xi)
fi di fidi
30 – 39 34,5 8 -3 -24
40 – 49 44,5 14 -2 -28
50 – 59 54,5 10 -1 -10
60 – 69 64,5 18 0 0
70 – 79 74,5 7 1 7
80 – 89 84,5 3 2 6
Jumlah 60 - 49
)60
49(
X =
atau
Rp 56.330,00
=
64,5 + 10
ARITHMATIC MEAN
56,33
Besar Pengeluaran
Titik Tengah (Xi)
fi di fidi
30 – 39 34,5 4
40 – 49 44,5 18
50 – 59 54,5 10
60 – 69 64,5 18
70 – 79 74,5 7
80 – 89 84,5 3
Jumlah 60
)60
49(
X =
atau
Rp 56.330,00
=
64,5 + 10
MEDIAN
Besar Pengeluaran
fi F
30 – 39 8 8
40 – 49 14 22
50 – 59 10 32
60 – 69 18 50
70 – 79 7 57
80 – 89 3 60
Jumlah 60 -
Median = CBb + Cme
bme
f
)FL(
Nilai Me = 49,5 + 10 10
)22 (30
= 57,5
= Rp. 57.500,00
LMe = 2
N=
2
60= 30
MODUS
Modus = CBb + Cd2d1
d1
Besar
Pengeluaran fi F
30 – 39 8 8
40 – 49 14 22
50 – 59 10 32
60 – 69 18 50
70 – 79 7 57
80 – 89 3 60
Jumlah 60 -
Mo = 59,5 + 10 11 8
8
= 63,71
= Rp. 63.710,00
d1 = 18 – 10 = 8 d2 = 18 – 7 = 11
GEOMETRIC MEAN
1/
1 2
n
G nX X X X
nn21 x...x.xXG =
Contoh
Perkembangan harga per lembar saham PT Caccikoe selama minggu terakhir bulan Februari 2013 di Bursa efek Jakarta adalah sebagai berikut.
Hari Harga
Senin Rp 9.900,00
Selasa Rp 10.100,00
Rabu Rp 10.200,00
Kamis Rp 10.550,00
Jumat Rp 10.800,00
Hitunglah rata-rata pertumbuhan harga saham perusahaan tersebut
Contoh
. Hari Harga Rasio Perubahan
(%)
Senin Rp 9.900 - -
Selasa Rp 10.100 1,0202 2,02
Rabu Rp 10.200 1,0099 0,99
Kamis Rp 10.550 1,0343 3,43
Jumat Rp 10.800 1,0237 2,37
Perkembangan Harga per lembar Saham PT Caccikoe
Rata-rata ukur
= (1,09089492)1/4
= 1,022 (pembulatan dari 1,021987843)
XG = 4 )0237,1)(0343,1)(0099,1)(0202,1(
Rata-rata Pertumbuhan
y = (XG -1) 100% = 2,2%
Bukti:
Hari Harga rasio
Senin Rp 9.900 -Selasa Rp 10.177,8 1,022
Rabu Rp 10.340,39 1,022
Kamis Rp 10.567,88 1,022
Jumat Rp 10.800,37 1,022
Varian 2: Rata-rata Pertumbuhan
1])([n PN/P0Di mana : y = Rata-rata pertumbuhan PN = Kuantitas pada tahun ke – N P0 = Kuantitas pada tahun dasar N = banyaknya periode
y =
%2,2022,0
1])/9.900800.10([4
atau
y =
Jadi rata-rata pertumbuhan harga per lembar saham adalah 2,2%
Varian 3: untuk meramalkan
PN = P0 (1 + y)N
y = Rata-rata pertumbuhan dalam desimal
Contoh:
Jika data yang ada hanya harga saham untuk hari Senin sebesar Rp 9.900,00. Kenaikan rata-rata 2,2 persen. Berapakah harga saham per lembar pada hari Jumat.
PN = 9.900 ( 1 + 0,022)4
= 9.900 (1,022)4
= 9.900 (1,090946826)
= 10.800,37358
= 10.800 (dibulatkan)
RATA-RATA TERTIMBANG
=
i
ii
B
X(B )BX
B = Rata-rata tertimbang/berbobot
Bi = Timbangan/bobot ke –i
Xi = Data ke-i dari variabel acak X
X
Contoh
Untuk meningkatkan penjualan, Toko Caccikoe sering memberikan potongan yang menarik kepada pembeli yang melakukan pembelian dalam jumlah banyak. Pada hari pertama bulan Maret 2010, jumlah pembeli yang melakukan pembelian pada toko tersebut ditunjukkan pada tabel berikut.
Tabel 3.8 Harga dan Volume Barang X dari 5 orang
Pembeli di Toko Caccikoe
Pembeli Harga/Kg Volume /Kg
Cacci Rp 2.500,00 375
Ade Rp 2.250,00 400
Nou Rp 2.700,00 300
Nina Rp 2.000,00 500
Edys Rp 2.750,00 225
Rata-rata Harga Juala. Jika dihitung dengan rumus rata-rata hitung:
=
= 2.440
Rata-rata harga jual sebesar Rp 2.440,00
5
27502000270022502500 X
Total Nilai Penjualan
Tabel 3.9 Harga dan Volume Barang X
Pembeli Harga/Kg Volume /Kg Nilai Penjualan Cacci Rp 2.500,00 375 Rp 937.500,00
Ade Rp 2.250,00 400 Rp 900.000,00
Nou Rp 2.700,00 300 Rp 810.000,00
Nina Rp 2.000,00 500 Rp 1.000.000,00
Edys Rp 2.750,00 225 Rp 618.750,00
Total Nilai Penjualan Rp.4.266.250,00
Jumlah Nilai Penjualana. Jika dihitung dengan rata-rata hitung: Rp 2.400,00
Tabel 3.10 Harga dan Volume Barang X
Pembeli Harga/Kg Volume /Kg Nilai Penjualan Cacci Rp 2.440,00 375 Rp 915.000,00
Ade Rp 2.440,00 400 Rp 976.000,00
Nou Rp 2.440,00 300 Rp 732.000,00
Nina Rp 2.440,00 500 Rp 1.220.000,00
Edys Rp 2.440,00 225 Rp 549.000,00
Total nilai penjualan Rp.4.392.000,00
Dapat dilihat bahwa hasil perhitungan tersebut tidak sama. Dalam menghitung rata-rata dalam kasus ini harus diperhatikan faktor lainnya yaitu volume penjualan yang fungsinya sebagai timbangan atau bobot.
Rata-rata hitung tertimbang atau rata-rata berbobot
Oleh karena itu, untuk kasus dengan volume atau bobot tidak sama, maka rata-rata dihitung dengan rumus:
i
ii
B
X(B )X B
=
)225500300400375(
00,250.266.4
)800.1(
00,250.226.4
=
=
Rp 2.370,138889 ≈ Rp 2.370,14 =
Jumlah Nilai Penjualan
Jika digunakan untuk menghitung nilai penjualan, hasilnya harus sama dengan Rp 4.266.250,00
Total Nilai Penjualan
Tabel 3.11 Harga dan Volume Barang X
Pembeli Harga/Kg Volume /Kg Nilai Penjualan Cacci Rp 2.370,14 375 Rp 888.802,50
Ade Rp 2.370,14 400 Rp 948.056,00
Nou Rp 2.370,14 300 Rp 711.042,00
Nina Rp 2.370,14 500 Rp 1.185.070,00
Edys Rp 2.370,14 225 Rp 533.281,50
Total Nilai Penjualan Rp.4.266.252,00
Hasil perhitungan tersebut memang tidak sama persis. Hal ini disebabkan pengaruh pembulatan dalam menghitung rata-rata tertimbang. Di atas yang seharusnya Rp 2.370,138889 sehingga hasilnya : Rp 2.370,138889 (375+400+300+500+225) = Rp 4.266.250,00
UKURAN LETAK
KuartilDesilPersentil
Kuartil
Membagi data atas 4 yang sama
Letak Kuartil ke- i
dan bukan ukuran Pemusatan = Median, Ukuran pemusatan
25% 25% 25% 25%
1Q 2Q 3Q
Data diurutkan: 11 12 13 16 16 17 18 21 22
1 1
1 9 1 12 13Position of 2.5 12.5
4 2Q Q
1Q3Q
2Q
1
4i
i nQ
KUARTIL
Ki = CBb + CKi
bKi
f
)F(L Besar Pengeluaran
fi F
30 – 39 8 8
40 – 49 14 22
50 – 59 10 32
60 – 69 18 50
70 – 79 7 57
80 – 89 3 60
Jumlah 60 -
Nilai K1 = 39,5 + 10 14
) (15 8
= 44,5
= Rp. 44.500,00
LK1 = 4
(60)1= 15
KUARTIL
Ki = CBb + CKi
bKi
f
)F(L Besar Pengeluaran
fi F
30 – 39 8 8
40 – 49 14 22
50 – 59 10 32
60 – 69 18 50
70 – 79 7 57
80 – 89 3 60
Jumlah 60 -
Nilai K3 = 59,5 + 10 18
) (45 32
= 66,72
= Rp. 66.720,00
LK3 = 4
)(603= 45
DESIL
Di = CBb + CDi
bDi
f
)F(L Besar Pengeluaran
fi F
30 – 39 8 8
40 – 49 14 22
50 – 59 10 32
60 – 69 18 50
70 – 79 7 57
80 – 89 3 60
Jumlah 60 -
Nilai D9 = 69,5 + 10 7
) (54 50
= 75,21
= Rp. 75.210,00
LD9 = 10
(60)9= 54
PERSENTIL
Pi = CBb + CPi
bP
f
)F(L Besar Pengeluaran
fi F
30 – 39 8 8
40 – 49 14 22
50 – 59 10 32
60 – 69 18 50
70 – 79 7 57
80 – 89 3 60
Jumlah 60 -
Nilai P10 = 29,5 + 10 8
) (6 0
= 37
= Rp. 37.000,00
LP10 = 100
(60)01= 6