UKURAN PEMUSATAN

Dr. Srikandi Kumadji, MS

TopiK

UKURAN PEMUSATANMeanMedianModusGeometric mean

UKURAN LETAKKuartilDesilPersentil

Ringkasan Ukuran

Ukuran Pemusatan

MeanMedian

Modus

Geometric Mean

Ringkasan Ukuran

UKURAN LETAK

Desil

PersentilKuartil

Ukuran Pemusatan

Ukuran Pemusatan

Mean Median Modus

Geometric Mean1

1

n

ii

N

ii

XX

n

X

N

1/

12

n

Gn XXXX

Mean (Arithmetic Mean)

Mean (arithmetic mean) dari dataSample mean

Population mean

1 1 2

n

ii n

XX X X

Xn n

1 1 2

N

ii N

XX X X

N N

Sample Size

Population Size

Mean (Arithmetic Mean)(continued)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

Mean = 5 Mean = 6

Median

Median adalah : Nilai tengah dari deretan data

Urutkan dataLme = (n + 1)/2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14

Median = 5 Median = 5

Modus

Modus: Data yang paling sering munculRata-rata untuk data NominalJika data jumlahnya sama tidak ada

modus

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Mode = 9

0 1 2 3 4 5 6

No Mode

ARITHMETIC MEAN

1.

Xi = Titik Tengah Kelas

2. = Xo + C

di = Nilai skala pada tiap-tiap kelas, X0 = terbesar, di=0

if

fixi

= X

X

fi

fidi

ARITHMATIC MEAN

56,33

Besar Pengeluaran

Titik Tengah (Xi)

fi fixi

30 – 39 34,5 8 270

40 – 49 44,5 14 623

50 – 59 54,5 10 545

60 – 69 64,5 18 1.161

70 – 79 74,5 7 521,5

80 – 89 84,5 3 253,5

Jumlah 60 3.380

60

3380X =

atau

Rp 56.330,00

=

ARITHMATIC MEAN

56,33

Besar Pengeluaran

Titik Tengah (Xi)

fi di fidi

30 – 39 34,5 8 -3 -24

40 – 49 44,5 14 -2 -28

50 – 59 54,5 10 -1 -10

60 – 69 64,5 18 0 0

70 – 79 74,5 7 1 7

80 – 89 84,5 3 2 6

Jumlah 60 - 49

)60

49(

X =

atau

Rp 56.330,00

=

64,5 + 10

ARITHMATIC MEAN

56,33

Besar Pengeluaran

Titik Tengah (Xi)

fi di fidi

30 – 39 34,5 4

40 – 49 44,5 18

50 – 59 54,5 10

60 – 69 64,5 18

70 – 79 74,5 7

80 – 89 84,5 3

Jumlah 60

)60

49(

X =

atau

Rp 56.330,00

=

64,5 + 10

MEDIAN

Besar Pengeluaran

fi F

30 – 39 8 8

40 – 49 14 22

50 – 59 10 32

60 – 69 18 50

70 – 79 7 57

80 – 89 3 60

Jumlah 60 -

Median = CBb + Cme

bme

f

)FL(

Nilai Me = 49,5 + 10 10

)22 (30

= 57,5

= Rp. 57.500,00

LMe = 2

N=

2

60= 30

MODUS

Modus = CBb + Cd2d1

d1

Besar

Pengeluaran fi F

30 – 39 8 8

40 – 49 14 22

50 – 59 10 32

60 – 69 18 50

70 – 79 7 57

80 – 89 3 60

Jumlah 60 -

Mo = 59,5 + 10 11 8

8

= 63,71

= Rp. 63.710,00

d1 = 18 – 10 = 8 d2 = 18 – 7 = 11

GEOMETRIC MEAN

1/

1 2

n

G nX X X X

nn21 x...x.xXG =

Contoh

Perkembangan harga per lembar saham PT Caccikoe selama minggu terakhir bulan Februari 2013 di Bursa efek Jakarta adalah sebagai berikut.

Hari Harga

Senin Rp 9.900,00

Selasa Rp 10.100,00

Rabu Rp 10.200,00

Kamis Rp 10.550,00

Jumat Rp 10.800,00

Hitunglah rata-rata pertumbuhan harga saham perusahaan tersebut

Contoh

. Hari Harga Rasio Perubahan

(%)

Senin Rp 9.900 - -

Selasa Rp 10.100 1,0202 2,02

Rabu Rp 10.200 1,0099 0,99

Kamis Rp 10.550 1,0343 3,43

Jumat Rp 10.800 1,0237 2,37

Perkembangan Harga per lembar Saham PT Caccikoe

Rata-rata ukur

= (1,09089492)1/4

= 1,022 (pembulatan dari 1,021987843)

XG = 4 )0237,1)(0343,1)(0099,1)(0202,1(

Rata-rata Pertumbuhan

y = (XG -1) 100% = 2,2%

Bukti:

Hari Harga rasio

Senin Rp 9.900 -Selasa Rp 10.177,8 1,022

Rabu Rp 10.340,39 1,022

Kamis Rp 10.567,88 1,022

Jumat Rp 10.800,37 1,022

Varian 2: Rata-rata Pertumbuhan

1])([n PN/P0Di mana : y = Rata-rata pertumbuhan PN = Kuantitas pada tahun ke – N P0 = Kuantitas pada tahun dasar N = banyaknya periode

y =

%2,2022,0

1])/9.900800.10([4

atau

y =

Jadi rata-rata pertumbuhan harga per lembar saham adalah 2,2%

Varian 3: untuk meramalkan

PN = P0 (1 + y)N

y = Rata-rata pertumbuhan dalam desimal

Contoh:

Jika data yang ada hanya harga saham untuk hari Senin sebesar Rp 9.900,00. Kenaikan rata-rata 2,2 persen. Berapakah harga saham per lembar pada hari Jumat.

PN = 9.900 ( 1 + 0,022)4

= 9.900 (1,022)4

= 9.900 (1,090946826)

= 10.800,37358

= 10.800 (dibulatkan)

RATA-RATA TERTIMBANG

=

i

ii

B

X(B )BX

B = Rata-rata tertimbang/berbobot

Bi = Timbangan/bobot ke –i

Xi = Data ke-i dari variabel acak X

X

Contoh

Untuk meningkatkan penjualan, Toko Caccikoe sering memberikan potongan yang menarik kepada pembeli yang melakukan pembelian dalam jumlah banyak. Pada hari pertama bulan Maret 2010, jumlah pembeli yang melakukan pembelian pada toko tersebut ditunjukkan pada tabel berikut.

Tabel 3.8 Harga dan Volume Barang X dari 5 orang

Pembeli di Toko Caccikoe

Pembeli Harga/Kg Volume /Kg

Cacci Rp 2.500,00 375

Ade Rp 2.250,00 400

Nou Rp 2.700,00 300

Nina Rp 2.000,00 500

Edys Rp 2.750,00 225

Rata-rata Harga Juala. Jika dihitung dengan rumus rata-rata hitung:

=

= 2.440

Rata-rata harga jual sebesar Rp 2.440,00

5

27502000270022502500 X

Total Nilai Penjualan

Tabel 3.9 Harga dan Volume Barang X

Pembeli Harga/Kg Volume /Kg Nilai Penjualan Cacci Rp 2.500,00 375 Rp 937.500,00

Ade Rp 2.250,00 400 Rp 900.000,00

Nou Rp 2.700,00 300 Rp 810.000,00

Nina Rp 2.000,00 500 Rp 1.000.000,00

Edys Rp 2.750,00 225 Rp 618.750,00

Total Nilai Penjualan Rp.4.266.250,00

Jumlah Nilai Penjualana. Jika dihitung dengan rata-rata hitung: Rp 2.400,00

Tabel 3.10 Harga dan Volume Barang X

Pembeli Harga/Kg Volume /Kg Nilai Penjualan Cacci Rp 2.440,00 375 Rp 915.000,00

Ade Rp 2.440,00 400 Rp 976.000,00

Nou Rp 2.440,00 300 Rp 732.000,00

Nina Rp 2.440,00 500 Rp 1.220.000,00

Edys Rp 2.440,00 225 Rp 549.000,00

Total nilai penjualan Rp.4.392.000,00

Dapat dilihat bahwa hasil perhitungan tersebut tidak sama. Dalam menghitung rata-rata dalam kasus ini harus diperhatikan faktor lainnya yaitu volume penjualan yang fungsinya sebagai timbangan atau bobot.

Rata-rata hitung tertimbang atau rata-rata berbobot

Oleh karena itu, untuk kasus dengan volume atau bobot tidak sama, maka rata-rata dihitung dengan rumus:

i

ii

B

X(B )X B

=

)225500300400375(

00,250.266.4

)800.1(

00,250.226.4

=

=

Rp 2.370,138889 ≈ Rp 2.370,14 =

Jumlah Nilai Penjualan

Jika digunakan untuk menghitung nilai penjualan, hasilnya harus sama dengan Rp 4.266.250,00

Total Nilai Penjualan

Tabel 3.11 Harga dan Volume Barang X

Pembeli Harga/Kg Volume /Kg Nilai Penjualan Cacci Rp 2.370,14 375 Rp 888.802,50

Ade Rp 2.370,14 400 Rp 948.056,00

Nou Rp 2.370,14 300 Rp 711.042,00

Nina Rp 2.370,14 500 Rp 1.185.070,00

Edys Rp 2.370,14 225 Rp 533.281,50

Total Nilai Penjualan Rp.4.266.252,00

Hasil perhitungan tersebut memang tidak sama persis. Hal ini disebabkan pengaruh pembulatan dalam menghitung rata-rata tertimbang. Di atas yang seharusnya Rp 2.370,138889 sehingga hasilnya : Rp 2.370,138889 (375+400+300+500+225) = Rp 4.266.250,00

UKURAN LETAK

KuartilDesilPersentil

Kuartil

Membagi data atas 4 yang sama

Letak Kuartil ke- i

dan bukan ukuran Pemusatan = Median, Ukuran pemusatan

25% 25% 25% 25%

1Q 2Q 3Q

Data diurutkan: 11 12 13 16 16 17 18 21 22

1 1

1 9 1 12 13Position of 2.5 12.5

4 2Q Q

1Q3Q

2Q

1

4i

i nQ

KUARTIL

Ki = CBb + CKi

bKi

f

)F(L Besar Pengeluaran

fi F

30 – 39 8 8

40 – 49 14 22

50 – 59 10 32

60 – 69 18 50

70 – 79 7 57

80 – 89 3 60

Jumlah 60 -

Nilai K1 = 39,5 + 10 14

) (15 8

= 44,5

= Rp. 44.500,00

LK1 = 4

(60)1= 15

KUARTIL

Ki = CBb + CKi

bKi

f

)F(L Besar Pengeluaran

fi F

30 – 39 8 8

40 – 49 14 22

50 – 59 10 32

60 – 69 18 50

70 – 79 7 57

80 – 89 3 60

Jumlah 60 -

Nilai K3 = 59,5 + 10 18

) (45 32

= 66,72

= Rp. 66.720,00

LK3 = 4

)(603= 45

DESIL

Di = CBb + CDi

bDi

f

)F(L Besar Pengeluaran

fi F

30 – 39 8 8

40 – 49 14 22

50 – 59 10 32

60 – 69 18 50

70 – 79 7 57

80 – 89 3 60

Jumlah 60 -

Nilai D9 = 69,5 + 10 7

) (54 50

= 75,21

= Rp. 75.210,00

LD9 = 10

(60)9= 54

PERSENTIL

Pi = CBb + CPi

bP

f

)F(L Besar Pengeluaran

fi F

30 – 39 8 8

40 – 49 14 22

50 – 59 10 32

60 – 69 18 50

70 – 79 7 57

80 – 89 3 60

Jumlah 60 -

Nilai P10 = 29,5 + 10 8

) (6 0

= 37

= Rp. 37.000,00

LP10 = 100

(60)01= 6