unidad 1 nÚmeros complejos

1

APORTACION DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO. ....................................................................... 4

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO ..................................................................................................................... 4

COMPETECIAS PREVIAS.................................................................................................................................. 4

EXAMEN DIAGNOSTICO ............................................................................................................................... 5

UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS. .............................................................................................................. 6

DEFINICIÓN Y ORIGEN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS.................................................................................................. 9

Actividad 1 .............................................................................................................................................. 10

CONJUGADOS DE UN NÚMERO COMPLEJO. ............................................................................................................. 11

Actividad 2 .............................................................................................................................................. 11 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus

conjugados. ........................................................................................................................................... 11

OPERACIONES FUNDAMENTALES CON NÚMEROS COMPLEJOS. .................................................................................... 12

Actividad 3 .............................................................................................................................................. 12

El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos. ................. 12

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. .......................................................................................................... 13

Actividad 4 .............................................................................................................................................. 13

DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS. ..................................................................................................................... 14

Actividad 5 .............................................................................................................................................. 15

POTENCIAS DE “�” ............................................................................................................................................ 16

MODULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO. ....................................................................................... 16

Actividad 6 .............................................................................................................................................. 16

FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NÚMERO COMPLEJO. ...................................................................................... 17

Actividad 7 .............................................................................................................................................. 17

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO EN SU FORMA POLAR. .................................................................................. 18

Actividad 8 .............................................................................................................................................. 18 Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su forma polar

con sus conjugados. ............................................................................................................................ 18

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN SU FORMA POLAR. ............................................................... 19

Actividad 9 .............................................................................................................................................. 19

Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar. ...................................................... 19

TEOREMA DE MOIVRE. ...................................................................................................................................... 20

POTENCIAS DE UN NÚMERO COMPLEJO. ................................................................................................................ 20

Actividad 10 ............................................................................................................................................ 20

ECUACIONES POLINOMICAS. ................................................................................................................................ 21

RAÍCES DE UN POLINOMIO. ................................................................................................................................. 21

POLINOMIO COMPLEJO. ..................................................................................................................................... 22

Actividad 11 ............................................................................................................................................ 24

ACTIVIDAD FINAL DE NÚMEROS COMPLEJOS ............................................................................................ 25

UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES. ................................................................................................ 26

OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 26

DEFINICIÓN DE MATRIZ, NOTACIÓN Y ORDEN. ......................................................................................................... 27

OPERACIONES CON MATRICES. ............................................................................................................................ 28

Definición de suma. ................................................................................................................................. 28

Actividad 1 .............................................................................................................................................. 28

2

Multiplicación por un escalar. ................................................................................................................. 29

Actividad 2: ............................................................................................................................................. 29

Multiplicación de matrices. ..................................................................................................................... 29

Actividad 3 .............................................................................................................................................. 30

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES POR RENGLÓN. ................................................................................................. 30

Escalonamiento de una matriz. ............................................................................................................... 30

Matriz escalonada reducida. ................................................................................................................... 30

Actividad 3 .............................................................................................................................................. 31

Actividad 4 .............................................................................................................................................. 31

CALCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ. .............................................................................................................. 32

Actividad 5 .............................................................................................................................................. 33

DEFINICIÓN DE DETERMINANTE DE UNA MATRIZ. ..................................................................................................... 34

actividad 6 ............................................................................................................................................... 34

Definición de menores y cofactores de una matriz. ................................................................................ 35

Actividad 7 .............................................................................................................................................. 36

-Definición del determinante de una matriz por factores. ...................................................................... 36

Actividad 8 .............................................................................................................................................. 37

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA A TRAVÉS DE LA ADJUNTA. ................................................................................. 38

Actividad 9 .............................................................................................................................................. 40

UNIDAD 3: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. ...................................................................................... 41

ELIMINACIÓN GAUSSIANA. ................................................................................................................................. 41

ELIMINACIÓN GAUSS-JORDAN. ............................................................................................................................ 42

Actividad 1 .............................................................................................................................................. 43

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE LA INVERSA. ........................................................................... 43

Actividad 2 .............................................................................................................................................. 44

Resuelva usando la inversa � − 2� + 3� = 9 − � + 3� = −42� − 5� + 5� = 17 ............................ 44

SOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES POR REGLA DE CRAMMER. ......................................................................... 44

UNIDAD 4: ESPACIOS VECTORIALES. .......................................................................................................... 47

OBJETIVO DE LA UNIDAD ............................................................................................................................. 47

DEFINICIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL. ................................................................................................................ 48

DEFINICIÓN DE SUBESPACIOS VECTORIALES Y SUS PROPIEDADES. ................................................................................. 49

COMBINACIÓN LINEAL. INDEPENDENCIA LINEAL. ..................................................................................................... 50

DEFINICIÓN DE DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL. ................................................................................. 51

-Comprobación para la independencia y dependencia lineal. ................................................................ 51

CONJUNTO GENERADOR. .................................................................................................................................... 52

-Definición de un conjunto generador de un espacio vectorial. .............................................................. 52

BASE Y DIMENSIÓN............................................................................................................................................ 53

-Base de un espacio vectorial. ................................................................................................................. 53

-Base canónica. ....................................................................................................................................... 53

UNIDAD 5: TRANSFORMACIONES LINEALES. .............................................................................................. 54

INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES. .............................................................................................. 55

TRANSFORMACIÓN LINEAL. ................................................................................................................................. 56

Actividad 1 .............................................................................................................................................. 57

3

Actividad 2 .............................................................................................................................................. 57

NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. ............................................................................................ 58

MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. ........................................................................................................... 58

APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES: REFLEXIÓN, DILATACIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN. ...................... 60

-Contracción y dilatación. ....................................................................................................................... 61

-Escalonamiento simultaneo. .................................................................................................................. 61

-Rotación. ................................................................................................................................................ 61

4

APORTACION DE LA ASIGNATURA AL PERFIL DEL EGRESADO.

El álgebra lineal aporta al ingeniero, la capacidad para desarrollar un pensamiento

lógico, heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de la naturaleza lineal y

resolver problemas. Esta asignatura proporciona al estudiante de ingeniería una

herramienta para resolver problemas de aplicación de la vida diaria y aplicaciones

en la ingeniería.

OBJETIVO GENERAL DEL CURSO

Resolver problemas de aplicación e interpretar soluciones utilizando matrices y

sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de la ingeniería.

Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y las transformaciones

lineales para describirlos, resolver problemas y vincularlos con otras ramas de las

matemáticas.

COMPETECIAS PREVIAS.

• Manejar el concepto de los números reales y su representación gráfica

• Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.

• Resolver ecuaciones cuadráticas � = &'±√'*&+,-.,

• Emplear las funciones trigonométricas.

• Graficar rectas y planos.

• Obtener un modelo matemático de un enunciado.

• Utilizar software matemático.

5

EXAMEN DIAGNOSTICO

1.- ¿Que son los números reales y cuál es su interpretación geométrica en /.�/0?

2.- ¿Qué es un vector y cuál es su interpretación geométrica en 2 y 3

dimensiones?

3.- ¿Cuál es la fórmula general para obtener las raíces de un polinomio de grado

2?

EJECICIO: Encuentre las raíces de los siguientes polinomios.

1.-�. + 6� + 5

2.- �2 + 2� + 1

3.- �2 + � + 10

6

• Investigación del tema 1.1 10%



• Cuadro sinóptico “números complejos 10%

y sus formas de representarse”

• Problemario de operaciones con números complejos 10%

• Examen escrito (80% asistencia) 50%

UNIDAD 1 NÚMEROS COMPLEJOS.

OBJETIVO DE LA UNIDAD

Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así

como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en

ecuaciones diferenciales y en diferentes aplicaciones de ingeniería.

Criterios de evaluación

7

Rubricas:

ACTIVIDAD 1 % puntuación obtenida

INVESTIGACION DEL TEMA 1.1 PUNTUACION MAXIMA 10%

Definiciones 2.50%

Por qué la introducción de "i" 2.50%

quien o quienes propusieron los números complejos y en q tiempo 2.50%

entregado en tiempo y forma 2.50%

10.00%



sumas de 2 y más de 2 números complejos 2.00%

resta de 2 y más de 2 números complejos 2.00%

división de 2 números complejos 2.00%

multiplicación de 2 números complejos 2.00%


10.00%



cuanto vale "i" 2.50%

cuanto vale cada potencia de "i" hasta la potencia 10 2.50%

como calcular la magnitud de un numero complejo 2.50%


10.00%


CUADRO SINOPTICO

forma polar 1.00%

forma exponencial 1.00%

forma rectangular 1.00%

interpretacion grafica y algebraica (z=a+ib) de cada forma 6.00%


10.00%

8


SOLUCION DE PROBLEMARIO

todos los problemas resueltos 1.00%

todos los problemas con graficas 2.00%

resultados correctos de los problemas 5.00%


10.00%

EXAMEN %

puntuación obtenida

EXAMEN ESCRITO 50%

9

Definición y origen de los números complejos.

Un número complejo es una expresión de la forma:

Donde a y b son números reales, “a” se denomina la parte real de Z y se denota

por ReZ. Y “b” se denomina la parte imaginaria de Z y se denota por ImZ.

En ocasiones la representación 3 = 4 + �5 recibe el nombre de formacartesiana o

rectangular del número complejo Z.

Un error muy común en los alumnos el confundir la parte

imaginaria, ejemplo: cual es el valor de a y b en el siguiente

número complejo:

6 = 7 + 89

La respuesta correcta es 4 = 7:5 = 8

El error común es 4 = 7:5 = 89

Es posible graficar un número complejo Z en el plano ;�, �= graficando ReZ en el

eje X e ImZ en el eje Y. Entonces se puede pensar que cada número complejo es

un punto en el plano ;�, �=. Con esta representación el plano (x, y) se denomina

plano complejo.

� = > + ?@

/AB → �DEB → �B1 = 2+ 3?B2 = �2� ?B3 = �1� ?B4 = 2

10

Actividad 1

Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos.

El docente deberá revisar lo siguiente:

• Que haya por lo menos un número en cada cuadrante

• Que haya por lo menos un número en la parte positiva y negativa de los

ejes coordenados

11

Conjugados de un número complejo.

Sea 3 = 4 � �5 entonces z̄ (se lee como z conjugada) es 3̄ = 4 � �5 que se

obtiene reflejando a “z” con respecto al eje “x”

Ejemplo:

� = 2 � 3? �̄ 2 � 3?

� 2 �̄ 2

� �4? �̄ 4?

Actividad 2

Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos con sus

conjugados.




ejes coordenados

12

Operaciones fundamentales con números complejos.

Los números se pueden sumar y multiplicar utilizando las reglas normales del

algebra, sea 3 = 4 � �5 un número complejo sea G = H � 9I un número complejo

también la suma queda definida como:

3 � G = ;4 � H= � �;5 � I= 3 − G = (4 − H) + �(5 − I)

Como puede observar se utiliza la letra a y b, mismos que

son números reales, eh aquí el porqué, de no incluir la i en la

letra b, como se explicó anterior mente

Ejemplo:

� = 2 + 3? J = 5 + ?

� + J = (2 + 3?) + (5 + ?) = 7 + 4? � − J = (2 + 3?) − (5 + ?) = −3 + 2?

3� + K+J = L3(2 + 3?)M + NK

+(5 + ?)O 3� + K

+J = (6 + 9?) + PQ+ + K

+?R 3� + K

+J = .S+ + 0T

+ ?

Actividad 3

El alumnos deberá evaluar las siguientes operaciones de suma de número complejos. Sea:

zK = 2 + ? z. = 5 + 3? z0 = −2 − ? z+ = 3?

zK + z. + 7z0 + z+ = zK + 2z. = z0 − z+ = z+ + zK − z0 = 2zK − 7z0 + 2? =

13

Multiplicación de números complejos.

Para la multiplicación de números complejos utilizamos la misma regla que para la

multiplicación de 2 binomios, tomado en cuenta que V = √−1, esto se observa en

el ejemplo siguiente:

Sea � = > + V@ � J = W + VX calcule � ∗ J

� ∗ J = (> + ?@)(W + ?X)

� ∗ J = >W + ?>X + ?@W + ?@X � ∗ J = >W + ?(>X + @W) + (−1)@X � ∗ J = (>W − @X) + V(>X + @W)

Ejemplo:

Sea � = 3 + 2? y J = 1 + ?

� ∗ J = (3 + 2?)(1 + ?) � ∗ J = 3 + 3? + 2? + 2?. � ∗ J = 3 + 5? + 2?.

� ∗ J = 3 + 5? + 2(−1) � ∗ J = 3 + 5? − 2 � ∗ J = 1 + 5?

Actividad 4

El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos

Sea: zK = 1 � ? z. = 2 � 2? wK = �1 � ? w. = 3?

Calcule:

a) zK + z. + wK + w. =

b) (zK ∗ z.) + (wK + w.) =

c) L(zK ∗ wK) − (w. ∗ z.)MzK =

d) L(wK + zK + z.)2iM−5zK =

? = √−1

?2 = ([−1)2

?2 = −1

14

División de números complejos.

Para la división de números complejos, utilizaremos una de las propiedades de los

conjugados la cual dice que � ∗ �̅ = >. + @.

Y la forma de calcularlo es la siguiente:

Sea � = > + ?@ y J = W + ?X

J� =

J ∗ �̄�̄ ∗ � =

;W � ?X=;> � ?@=;> � ?@=;> � ?@=

J� = J ∗ �̄

�̄ ∗ � = >W − ?@ + ?>X − ?2@X>2 − ?>@ + ?>@ − ?2@2

J� = J ∗ �̄

�̄ ∗ � = >W − ?(>X − @W) + @X>2 + @2

J ∗ �̄�̄ ∗ � = G

3 = (4H + 5I) + �(4I − 5H)48 + 58

Ejemplo:

2 + ?3 + 4?

a = 3 c = 2

b = 4 d = 1

J� = ](3)(2) + (4)(1) + ?^(3)(1) − (4)(2)_`

32 + 42 J� = L(6 + 4) + ?(3 − 8)M

9 + 16 J� = 10 − 5?

25 J� = 10

25 − 525 ?

J� = 2

5 − 15 ? = 0.4 − 0.2?

15

Actividad 5

El alumno realizara las siguientes divisiones de números complejos. El docente le

explicara al alumnado que puede hacer el procediendo completo o en su defecto

utilizar la formula

1.- KK&?

2.- .b?K&?

3.- .b?K&? �

.&?Kb? ?

4.- N.b?K&? �.&?Kb? � ?O

.

5.- NKb?K&?O0

16

Potencias de “�”

?0 = 1 ?1 [�1 ?2 �1 ?3 �1 ∗ ? �? ?4 ;�1=;�1= 1 ?5 1 ∗ ? ?

?6 ? ∗ ? �1 ?7 �1 ∗ ? �? ?8 �? ∗ ? 1 ?9 1 ∗ ? ? ?10 ? ∗ ? �1 ?11 �1 ∗ ? �?

?12 �? ∗ ? 1 ?13 1 ∗ ? ? ?14 ? ∗ ? �1 ?15 �1 ∗ ? �?

Modulo o valor absoluto de un número complejo.

Sea 3 4 � �5 un número complejo, su modulo se denota por |z| que es

magnitud de Z.

La magnitud de 3 |3| √48 � 58

El argumento de Z denotado por ArgZ se define como el ángulo entre la recta ΘZ

y el lado positivo del eje X.

Actividad 6

Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su

forma polar (magnitud y argumento).




ejes coordenados

17

Forma polar y exponencial de un número complejo.

Anterior mente realizamos operaciones fundamentales tales como la suma, la

resta, la multiplicación y la división de número complejos en su forma rectangular o

cartesiana, en el caso de la multiplicación y la división es más sencillo calcularlas

si se conoce la forma polar del número complejo, para esto definiremos como está

conformada la forma polar y exponencial de un número complejo.

Sea 3 = 4 � �5. Su forma polar es: 3 = d;Hefg � �fhig= = d∟g = dH9fg.

Donde

d = |3| = √48 � 58.

Su forma exponencial es: 3 = dh�g

Ejemplo:

Sea � = 3 � 4? � = k∟l� = kA?mk =?l =? POLAR

� = 5;Wop53.13 � ?pAq53.13= 5∟53.13 5WVp53.13

EXPONENCIAL

� 5A?Q0.K0

Actividad 7

El alumno deberá convertir los siguiente números complejos a su forma polar y

verificarlos realizando su interpretación gráfica. Tanto en polar como en

rectangular

a) z 3 � 4?

b) z �3 � 4?

c) z �3 � 4?

d) z 2?

e) z 7

f) z 4 � 4?

g)z �4 � 4?

l rs&K P>@R

l rs&K t43u

l 53.13

k [>. � @.

k [3. � 4.k = 5

18

Conjugado de un número complejo en su forma polar.

Sea 3 = 4 � �5 y en su forma polar 3 = d∟g el conjugado del número z complejo

queda definido como: 3̄ = 4 � �5. Y en su forma polar: 3̄ = d∟� g.

Ejemplo:

� = 5∟30

�̄ = 5∟-30

Actividad 8

Proponga al estudiante representar gráficamente a 10 números complejos en su

forma polar con sus conjugados.




ejes coordenados

19

Multiplicación y división de números complejos en su forma polar.

Para la multiplicación y división de números complejos es muy útil la forma polar,

porque facilita los cálculos.

MULTIPLICACION: Sea 3v = dv∟gv y sea 38 = d8∟g8 la multiplicación queda

definida como la multiplicación de las magnitudes y da como resultado la magnitud

y el ángulo como la suma de los ángulos de los números complejos.

3v ∗ 38 dv ∗ d8∟gv � g8

DIVISION: 3v38

dvd8

∟gv � g8

Ejemplo: Sea 3v v � � y 38 = 8� 8�. Calcule en forma polar 3v ∗ 38 y 3v38

Actividad 9

El alumno deberá realizar las siguientes operaciones con números complejos en

su forma polar

Sea zK 4 � 6? y z. 2 � 5?.

Calcule zK ∗ z., z. ∗ zK, zK/z., z./zK. Recuerde la conversión de un número complejo en su forma polar.

Sea z r∟θ la forma polar de un número complejo en su forma compacta.

Recuerde que z r;cosθ � ?senθ= también es u forma polar.

y z;{|}~ � �}��~=y = z{|}~ � �z}��~

1 � ?2 � 2? 1.41

2.82 ∟45 � 45

1 � ?2 � 2? 1.41

2.82 ∟0

1 � ?2 � 2? 0.5∟0

�1 ∗ �2 ;1.41=;2.82=∟45 � 45

�1 ∗ �2 3.97∟90

-DIVISION

-MULTIPLICACION

k1 [1 � 1 1.41

k2 [4 � 4 2.82

l1 45l2 45

�1 1.41∟45

�2 2.82∟45

FORMA POLAR

a b

20

Teorema De Moivre.

El teorema de moivre es utilizado para encontrar las potencias y raíces de un

número complejo

Potencias de un número complejo.

Si B1 ∗ B2 ∗ B3 … Bq k1 ∗ k2 ∗ k3 … kq∟l1 � l2 � l3 … lq y los números complejos

B1, B2, B3, … Bq son idénticos podemos decir que:

Bq = kq∟ql = kq(cos(ql) + ?pAq(ql))

Esto permite evaluar números complejos a potencias enteras:

Ld(Hefg + ?fhig)Mi = di(Hefig) + ?fhi(ig)

Ejemplo:

(1 + ?)10 = ([2)10 = ∟10(45)

Actividad 10

El alumno deberá calcular las siguientes potencias utilizando z = 1 � i a) Z. =

b) ZK� =

c) Z0� =

Si necesitamos calcular la raíz de un número complejo utilizaremos:

ZK �⁄ = rK �⁄ ∟ θ + πkm

K= 0, 1, 2,…m-1

m≥1

21

Ecuaciones polinomicas.

Llamamos polinomio a toda expresión de la forma: >�� + >�&K��&K + ⋯ >K� + >�.

Donde “n” y >�,>�K, … >K,>� son números reales denominados coeficientes.

Si >q diferentes de cero, decimos que el polinomio tiene grado “n” y >� es el

coeficiente principal. El coeficiente >� recibe el nombre de término independiente.

Ejemplo: 4�5 + 3�4 − 2�3 − 12 � + 1 es un polinomio.

1.- ¿Cuáles son los coeficientes?

2.- ¿Cuál es el grado del polinomio?

3.- ¿Cuál es el coeficiente principal?

4.- ¿Cuál es el término independiente?

Raíces de un polinomio.

Un número “a” es una raíz de un polinomio P(x) si el polinomio se anula para ese

valor es decir “X = a” esa raíz de P(x) si y solo P(a) = 0.

Ejemplo:

� = 1Apk>V��;�= = �Q � �0

X = 1

�;�= = �Q � �0�;1= = 1Q � 10�;1= = 0Es raíz

X = -1

�;�1= = ;�1=Q� ;�1=0

�;�1= = �1 � ;�1=�;�1= = 0Es raíz

X = 2

�;2= = ;2=Q � ;2=0

�;2= = 32 − 8�;2= = 24

22

Denominamos ecuación polinomica a toda ecuación de la forma P(x) = 0 donde

P(x) es un polinomio.

Resolver una ecuación polinomica es hallar los valores de “x” que anulan el

polinomio, es decir equivalen a encontrar sus raíces.

Polinomio complejo.

�;�= = >�� >�&K��&K �⋯>K�K � >�

Una raíz del polinomio P es un complejo Z que cumple con P(2) = 0 (esto es una

ecuación polinomica compleja) un polinomio �;B=� (de grado n) tiene exactamente

“n” raíces complejas. B1, B2, B3, … Bq

Para determinar dichas raíces podemos utilizar el Teorema de Moivre.

Ejemplo:

J2 + 25 = 0

J = √−25 = (−25)K .⁄ = (−25 + 0?)K .⁄ J = �K .⁄ = (−25 + 0?)K .⁄

� = −25 + 0? E = 2 E − 1 = 1 � = 0,1

k = [(−25). + 0. k = 25 l = 180

Para B1 = 0

6i �⁄ = [(d)i� ∟ i�g + 8� �i

�

NOTA: Formula cuando requiere elevar a una fracción utilizaremos:

� = 0,1 E − 1

l>ksB k = |�|

23

B1 = (25)1 2⁄ ∟ 180 + 2(180)(0)2

B1 = 5∟90

Para B2 = 1

B2 = (25)1 2⁄ ∟ 180 + 2(180)(1)2

B2 = 5∟270 − 360 B2 = 5∟ − 90

24

Actividad 11

El alumno deberá encontrar las raíces de los siguientes polinomios complejos.

a) wQ � ^1 � √3?_ = 0

b) w+ 0⁄ + 2? = 0

25

Actividad final de números complejos

I. Realice Las siguientes operaciones con números complejos.

a) (1 + 2?) − (3 + 4?)(4 − 2?)

b) Qb+?.&.? − 0b.?

K&?

c) N0b+?&K&?O0

d) ;1 � 2?=;3 + 4?) + (3 − 4?)(4 − 2?)

e) (−2 − 3?)K 0⁄

f) (−√3 + √2?). + √3WVp115°

g) Q√.b0√K?

√0

II. Resuelva las siguientes operaciones.

1.- �2 � ? = �1? 2.- �0 Q⁄ � ? = √3

3.- �� − 2�0 + 2 = 0

4.- �. + (1 − ?)� − ? = 0

26

UNIDAD 2: MATRICES Y DETERMINANTES.

OBJETIVO DE LA UNIDAD

Manejar las matrices, sus propiedades y operaciones a fin de expresar, conceptos

y problemas mediante ellas, en los sistemas de ecuaciones lineales, asi como en

otras áreas de las matemáticas y la ingeniería, para una mejor comprensión y una

solución más eficiente.

Utilizar el determinante y sus propiedades para probar la existencia. Y el cálculo

de la inversa de una matriz.

unidad 1 nÚmeros complejos

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