unidad i números complejos
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ING. IVÁN SAN JUAN LÓPEZ
Resolver problemas de aplicación e interpretar las soluciones utilizandomatrices y sistemas de ecuaciones lineales para las diferentes áreas de laingeniería. Identificar las propiedades de los espacios vectoriales y lastransformaciones lineales para describirlos, resolver problemas y vincularloscon otras ramas de las matemáticas.
OBJETIVO GENERAL DE LA MATERIA
COMPETENCIAS PREVIAS
Manejar el concepto de los números reales y su representacióngráfica.
Usar las operaciones con vectores en el plano y el espacio.
Resolver ecuaciones cuadráticas.
Emplear las funciones trigonométricas.
Graficar rectas y planos.
Obtener un modelo matemático de un enunciado.
Utilizar software matemático.
PROPOSITO Y
BENEFICIOS DEL CURSO
PROPOSITO:
Proporcionar al estudiante de ingeniería una herramienta pararesolver problemas de aplicaciones de la vida ordinaria y deaplicaciones de la ingeniería.Esta materia proporciona además conceptos matemáticos que seaplicarán en investigación de operaciones y en otras materias deespecialidad.
BENEFICIO:Obtener la capacidad para desarrollar un pensamiento lógico,heurístico y algorítmico al modelar fenómenos de naturalezalineal y resolver problemas.
CONTENIDO
1.4 Forma polar y exponencial de un número complejo.
1.3 Potencias de “i”, módulo o valor absoluto de un número complejo.
1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.
1.1 Definición y origen de los números complejos.
1.5 Teorema de De Moivre, potencias y extracción de raícesde un número complejo.
1.6 Ecuaciones polinómicas.
UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS
EJERCICIOS EN CLASE 40%
PARTICIPACIÓN
20%EJERCICIOS EXTRA CLASE
10%
MANEJO DE SOFTWARE30%
Discusión y trabajo en grupos.
Ejercicios en clase .
Investigaciones.
Practicas (software MAPLE).
Operación
PuntualidadParticipación activaRespetoPedir la palabraNo salirse del temaCelular en vibrador
Participación
ALGEBRA LINEAL
Es una de las ramas de lasmatemáticas que estudia conceptostales como vectores, matrices,sistemas de ecuaciones lineales y enun enfoque más formal, espaciosvectoriales, y sus transformacioneslineales.
UNIDAD I: NÚMEROS
COMPLEJOS
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN
DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Expresión de la forma a + bi, en donde a y bson números reales e i es imaginario
En matemáticas, los números reales son aquellosque poseen una expresión decimal e incluyentanto a los números racionales (como: 31, 37/22,25,4) como a los números irracionales, que no sepueden expresar de manera fraccionaria y tieneninfinitas cifras decimales no periódicas, talescomo: π
1.1 DEFINICIÓN Y ORIGEN
DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Un número imaginario es un número cuyocuadrado es negativo. Fue en el año 1777 cuandoLeonhard Euler le dio a el nombre de i, porimaginario de manera despectiva dando a entenderque no tenían una existencia real.
2
44
2
20164
)1(2
)5)(1(4)4()4(
2
4
054
2
2
2
x
x
x
a
acbbx
xx
ix
ix
ii
x
x
x
x
2
2
122
24
2
124
2
144
2
)1)(4(4
2
1
GRAFICA DE UN NÚMERO
COMPLEJO
Para graficar un número complejo se debe tener en cuenta losiguiente:
Teniendo un numero Z= a+bi
Donde
a y b son números
a es la parte real y se representara en el eje real del planocomplejo
b representa la parte imaginaria se representa en el ejeimaginario del plano complejo
GRAFICA DE UN NÚMERO COMPLEJO
EJEMPLOS DE NÚMEROS
COMPLEJOS
Números Complejos
i00
i20
i32i25
i03
NÚMEROS REALESNÚMEROS IMAGINARIOS PUROSCEROUNIDAD IMAGINARIACONJUGADO EN
aia 0bibi0
000 iii1
bia
Se dan nombres especiales a algunas clases particulares de números complejos, como son:
bia
biaz__
z
biaz__
Si , entonces el conjugado de z, denotado por
.
se define como:
Plano complejo. Un número complejo z se puederepresentar como un punto en un plano xy. El punto delplano (a,b) representara el número complejo z= a+bj , esdecir el número cuya parte real es a y cuya parte imaginariaes b.
Eje real
Eje Imaginario
Eje real
biazb
a
4+5i
Parte real positiva
Parte imaginaria positiva
-4+5i
Parte real negativa
Parte imaginaria positiva
-4-5i
Parte real negativa
Parte imaginaria negativa
4-5i
Parte real positiva
Parte imaginaria negativa
5i
Parte real cero
Parte imaginaria positiva
-5i
Parte real cero
Parte imaginaria negativa
2i
idbcadicbiadicbia
idbcadicbiadicbia
ibcadbdacbdibciadiacdicbia 2
dic
dic
dic
bia
dic
bia
.
1. Adición.
2. Sustracción.
3. Multiplicación.
4. División.
Al efectuar operaciones con números complejos, se procede comoen el algebra de números reales, reemplazando por -1.
Realizar las siguientes operaciones y escribir la respuesta enla forma a + bi.
a) ii 2742
b) ii 2639
iiiii 5326392639Cambiar de
signo
1.- =
2.- (2 – 3i) + (5 + 4i)=
3.- (3 + 4i) + (8 – 3i)=
4.- (3a + 4i) + (0 – 2i)=
5.- (3 + 2i) + (-3 +3i)=
6.- (-5 + 3i) – (4 -2i)=
7.- (1 + 2√-1) + (-2 - 2√-1)=
8.- (5 + 3i) + (3 – 6i)=
9.- (7 – 5i) – (4 – 3i)=
10.- (4 + 3i) – (1-2i)=
ii 2639
c)
15-2i-8(-1)15-2i+815+8-2i
23-2i
ii 4523
ii
i
iii
iiiiii
2238215
)1(8215
8101215
425243534523
2
d)i
i
32
23
i
i
i
i
i
i
32
32
32
23
32
23
iii
i4
6i4i9i6
i
iiii 2
13
5
13
12
94
512
)1(94
656
3)3(2
322233232222
Se multiplica por el conjugado del
denominador
(a+b)(a-b)=a2-b2
iia 31322)
ii 2422 ii 93313
iiiii 7193249324
iic 325)
iib 432)
i
id
2
64)
iie 6335)
iif 3457)
iig 2134)
i
ih
24
36)
iii 215233)
iij 543)
iik 324)
i
il
3
39)
ASÍ22 baz
a
b1tan
Z = 4+2i
"18.54'33º2647.4z
Z = -4+2i
180°-26°33’54.18”=153°26’5.82”
"82.5'26º15347.4z
Z = -4-2i
180°+26°33’54.18”=206°33’54.1”
Z = -4+2i
360°-26°33’54.18”=333°26’5.82”
"18.54'33º20647.4z "18.54'33º33347.4z
rsenb
ra cos
Aplicando:
a = 5 cos 30 = 4.33
b = 5 sen 30 = 2.5
Así la forma binómica de z= (5, 30°) es
= 4.33 + 2.5i
Representa gráficamente y expresa en forma polar los siguientes números complejos.
e) = -5 + 2i
Expresa la forma binómica de los siguientes números complejos:
nisennrisenrz nnn coscos
531 i
24313122
r
01 601
3tan
)60)(5(2)60)(5()60)(5cos(2cos31 05005 cisisenisennri n
05
3003231 cisi
Una variante de la forma polar se obtiene al tener en cuenta laconocida como fórmula de Euler:
sincos iei
irez
º60231 iei
Ejemplo
La raíz enésima de número complejo es otro númerocomplejo tal que:
Su argumento es:
EJEMPLO
Encontrar las cinco raíces quintas de . Dejar la respuesta en forma polar
iz 1
2111122
r
01 451
1tan
5
360
5
452
5
245
5
245cos2452
00
101
00
51
51
0 kcisk
isenk
cis
00101
7292 kcis
Si Si Si Si Si
0k 0101
00101
1 9272092 ciscisz
1k 0101
00101
2 81272192 ciscisz
2k 0101
00101
3 153272292 ciscisz
3k 0101
00101
4 225272392 ciscisz
4k 0101
00101
5 297272492 ciscisz
Las ecuaciones polinómicas son aquellas equivalentes a unaecuación cuyo primer término es un polinomio y el segundo escero. Así, una ecuación polinómica de grado n se puede escribirde la forma:
Donde son los coeficientes de la ecuación y
0... 01
1
1 axaxaxa n
n
n
n
01,..., ayaa nn
0na
a
acbbx
2
42
2,1
EJEMPLO:
Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones cuadráticas:
034 2 xx
)4(2
)3)(4(4)1()1( 2
2,1x
a
acbbx
2
42
2,1
3,1,4 cba
8
48112,1x
8
4712,1x
8
1471
8
)1)(47(12,1x
8
4712,1
ix
8
47
8
11
ix
8
47
8
12
ix
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE