nÚmeros complejos

JORGE CHIRINOS S. DANESSA CHIRINOS F. Página 1

UNIDAD I

SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

Antes de hacer el estudio de los números complejos, revisaremos cada uno de los sistemas de números que preceden a los complejos. El sistema de los números naturales está integrado por el conjunto N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ……………………….}, las operaciones totalmente definidas de adición y multiplicación, asociadas a la relación “menor o igual”. Los números naturales es un conjunto infinito, su elemento mínimo (menor) es el cero, no tiene elemento máximo. El sistema de los números enteros está integrado por el conjunto Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ……………………….}, las operaciones totalmente definidas de adición, sustracción y multiplicación, asociadas a la relación “menor o igual”. Los números enteros es un conjunto infinito, no tiene elemento mínimo (menor), ni elemento máximo. El sistema de los números racionales está integrado por el conjunto

Q =

0,,/ nZnZmn

m, las operaciones totalmente definidas de adición,

sustracción, multiplicación y división (divisor diferente de cero), asociadas a la relación “menor o igual”. Los números racionales es un conjunto infinito, no tiene elemento mínimo (menor), ni elemento máximo. En el conjunto de números racionales están todos los números naturales, todos los números enteros (NZQ) y también todos los números decimales cuyas cifras decimales se pueden contar y los números decimales periódicos. Los números decimales cuyas cifras decimales no terminan y no tienen período, a estos números los denominamos irracionales (I), por ejemplo el número =

3,14159……………..; el número e= 2,7182…………………; 2 , etc. Los números racionales e irracionales no tienen elementos comunes, es decir, su intersección es el conjunto vacío, QR =

El sistema de números reales está conformado por la unión de los números racionales con los números irracionales, esto es, R = Q I; las operaciones

totalmente definidas de adición, sustracción, multiplicación y división (divisor diferente de cero), asociadas a la relación “menor o igual”. Entre los números reales y la recta real existe una correspondencia biunívoca, es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real y a cada número real le corresponde un punto de la recta -∞ +∞

Propiedades fundamentales del sistema de números reales 1) Clausura o cerradura: a+bR y abR; a, bR 2) Asociativa: a+(b+c) = (a+b)+c, a(bc) = (ab)c 3) Identidad: a+0 = 0+a = a; a.1 = 1.a = a

4) Inverso o simétrico: a+(-a) = 0; a(a

1) = (

a

1)a = 1

5) Conmutativa: a+b = b+a; ab = ba 6) Distributiva: a(b+c) = ab+ac 7) Si a = b, entonces a+c = b+c, ac = bc 8) Si a+c = b+c, entonces a = b. Propiedad cancelación 9) Si ac = bc, c 0, entonces a = b. Propiedad cancelación 10) Si a y b son dos números reales, entonces a = b, ab. Propiedad de

la tricotomía. 11) Propiedad del anulación: a.0 = 0a = 0 12) Si ab = 0, entonces a = 0 v b = 0 13) Si ab 0, entonces a 0 y b 0 14) -a = (-1)a 15) -(a+b) = -a + (-b) y a-b = a+(-b) 16) a(-b) = (-a)b = -ab 17) -(-a) = a 18) (-a)(-b) = ab 19) Si a = -a, entonces a = 0 20) Si –a = -b, entonces a = b 21) Si a = b y c = d, entonces ac = bd

22) (a-1)-1 =

a

1

1= a

23) bc

ad

d

cb

a

24) baab

111

25) Si b

a = 0, entonces a = 0

26) c

a +

c

b =

c

ba

27) Si d

c

b

a , entonces ad = bc

28) bd

bcad

d

c

b

a

29) a ≤ b si y solo si -a ≥ -b y a-b 30) c ≥ 0, si y sólo si –c ≤ 0 y c>0 si y sólo si –c<0 31) Si a ≥ 0 y b ≥ 0, entonces a+b ≥ 0 y ab ≥ 0 32) Si a ≥ 0 y b ≤ 0, entonces a+b R y ab ≤ 0 33) Si a ≤ 0 y b ≤ 0, entonces a+b ≤ 0 y ab ≥ 0

34) Si a > 0 y b > 0, entonces a+b > 0, ab > 0 y b

a> 0

35) Si a < 0 y b < 0, entonces a+b < 0, ab > 0 y b

a> 0

36) Si a > 0 y b < 0, entonces a+b R, ab < 0 y b

a< 0

37) Si ab≥0, entonces a≥0 y b≥0 o a≤0 y b≤0 38) Si ab≤0, entonces a≤0 y b≥0 o a≥0 y b≤0 39) Si ab>0, entonces a>0 y b>0 o a<0 y b<0 40) Si ab<0, entonces a<0 y b>0 o a>0 y b<0 41) Si a ≥ b, entonces a – b ≥ 0

Si a>b, entonces a - b>0 42) (ab)n = anbn

43) (b

a)n =

n

n

b

a

44) an+m = anam 45) (an)m = anm

46) a-n= na

1, a 0

47) n

m

a

a = am-n

48) nnn baab

49) n

n

n

b

a

b

a

50) mnn m aa

51) nmn m aa

52) Si a es un número real, entonces a2 0 53) Si a es un número real diferente de cero, entonces a2 >0

54) Si b0 y a2 b, entonces - bab

55) Si b0 y a2 b, entonces a - b v a b

56) Si b0 y a2 < b, entonces - b < a b, entonces a < - b v a > b

58) ab si y sólo si a+cb+c 59) a0, entonces ab 62) Si a0, entonces ac<bc 63) Si ac<bc y c>0, entonces abc

66) Si

, entonces adbc

67) Si

>

, entonces ad>bc

68) Si c>0, entonces a≤b si y solo si c

a≤

c

b

69) Si c>0, entonces a>b si y solo si c

a>

c

b

70) Si c<0, entonces a≥b si y solo si c

a≤

c

b

71) Si ab y cd, entonces a+cb+d 72) Si a<b y c<d, entonces a+c<b+d 73) Si 0ab y 0 cd, entonces acbd 74) Si 0<a<b y 0<c<d, entonces ac<bd

75) 0<a≤b si y solo si 011

ba

La ecuación x2 + 1 = 0, no tiene solución en los reales, necesita un nuevo conjunto de números. Aplicaciones de las propiedades:

1) Si a24, entonces a - 4 v a 4 , esto es, a -2 v a 2, en intervalos

equivale a lo siguiente, a(- , -2] [2, + ). Propiedad 55.

2) Si a2≤9, entonces - 9 ≤ a ≤ 9 , es decir, -3 ≤ a ≤ 3, expresado en

intervalos, se tiene a[-3, 3]. Propiedad 54.

3) Si a2 < 16, entonces - 16 < a < 16 , esto es, -4 < a < 4, expresado en

intervalos, obtenemos a(-4, 4). Propiedad 56.

4) Si a2 > 1, entonces a < - 1 v a > 1 , es decir a < -1 v a > 1, en

intervalos, se tiene, a(- , -1) (1, + ). Propiedad 57.

5) Si a20, entonces aR. Propiedad 52.

6) Si a2>0, entonces aR-{0}. Propiedad 53. 7) Si a2<0, entonces a . Deducción de propiedad 53

8) Si a20, entonces a = 0. Deducción de propiedad 52.

9) Si a2 -4, entonces aR. Propiedad 52.

10) Si a2>-5, entonces aR. Propiedad 53. 11) Si a2< -8, entonces a . Deducción de propiedad 53

12) Si a2 -9, entonces a . Deducción de propiedad 52.

13) (a-1)20, entonces aR. Propiedad 52.

14) (a-2)2 >0, entonces aR-{2}. Deducción de propiedad 53. 15) (a-4)2 ≤0, entonces a = 4. Deducción de propiedad 52 16) (a-5)2 < 0, entonces a . Deducción de propiedad 53

17) (a+2)2 >0, entonces aR-{-2}. Deducción de propiedad 53

18) Si a>0, b>0, c>0 y d>0, entonces db

ca

22

+c

a+5 > 0

Demostración 1) a2+c2 > 0 Hipótesis, propiedades: 53 y 34 2) b+d >0 Hipótesis y propiedad 34

3)

>0 De 1), 2) y propiedad 34

4) c

a>0 Hipótesis y propiedad 34

5) 5>0 Definición de 5

6) db

ca

22

+c

a+5 > 0 De 3), 4), 5) y propiedad 34

19) Si a>0, b<0 y c>0, entonces

-abc>0

Demostración 1) –b>0 Hipótesis y propiedad 30 2) a-b = a+(-b) Propiedad 15 3) a+(-b)>0 Hipótesis, 1) y propiedad 34

4)

>0 Hipótesis, 3) y propiedad 34

5) b)c>0 Hipótesis, 1) y propiedad 34

6) (abc)>0 De 5) y propiedad 16

7)

-abc =

+(-abc) Propiedad 15

8)

+(-abc)>0 De 4), 5) y propiedad 34

9)

-abc>0 De 8) y propiedad 15

20) Si a>0, b<0 y c<0, entonces

>0

Demostración

1)

>o Hipótesis y propiedad 35

2) <0 Hipótesis y propiedad 35 3) >0 Definición de 3

4) >0 Hipótesis, 3) y propiedad 34

5)

<0 De 2), 4) y propiedad 36

6) -

>0 De 5) y propiedad 30

7)

=

) Propiedad 15

8)

)>0 De 1), 6) y propiedad 34

9)

>0 Sustitución de 7) en 8)

21) Si a>b>0, entonces a2>b2

Demostración 1) a>0 y b>0 Hipótesis 2) a>b hipótesis 3) a+b>0 De 1) y propiedad 34 4) a-b>0 De 2) y propiedad 41 5) (a+b)(a-b)>0 De 3), 4) y propiedad 34 6) a2 – b2>0 De 5) y productos notables 7) (a2 – b2)+b2>0+b2 De 6) y propiedad 59 8) a2 > b2 De 7) y propiedades 2, 4 y 3

22) Si a>b>0 y c>0, entonces

>

Demostración 1) a>0 y b>0 Hipótesis 2) ab>0 De 1) y propiedad 34 3) a>b y c>0 Hipótesis

4) ac>bc De 3) y propiedad 62 5) ab+ac>ab+bc De 4), 2) y propiedad 59 6) a(b+c)>b(a+c) De 5) y propiedad 6 7) 1>0, a+c>0 Definición de 1), 3) y propiedad 34

8)

>0,

>0 De 1), 7) y propiedad 34

9)

[

]>

[

] De 6), 8) y propiedad 62

10)

>

De 9) y propiedades 2, 3 y 4

23) Si a>0, b>0, c>0, d>0, y

>

entonces

>

Demostración 1) ad>bc Hipótesis y propiedad 67 2) bd>0 Hipótesis y propiedad 34 3) ad+bd>bc+bd De 1), 29 y propiedad 59 4) (a+b)d>b(c+d) De 3) y propiedad 6 5) 1>0, c+d>0 Definición de 1, hipótesis y propiedad 34

6)

>0 y

>0 De 5), hipótesis y propiedad 34

7)

(a+b)d>

b(c+d) De 4), 6) y propiedad 62

8)

>

De 7) y propiedades 2, 3 y 4

24) Si a, b, cR, entonces a2+b2+c2 ab+ac+bc

Demostración 1) (a-b)2= a2-2ab+b2 0 Binomio de Newton y propiedad 52 2) (a-c)2= a2-2ac+c2 0 Binomio de Newton y propiedad 52 3) (b-c)2= b2-2bc+c2 0 Binomio de Newton y propiedad 52 4) 2(a2+b2+c2)-2(ab+ac+bc)0 Adición de 1), 2) y 3) 5) 2(a2+b2+c2) 2(ab+ac+bc) De 4) y propiedades 58, 3 y 4 6) (a2+b2+c2) (ab+ac+bc) De 5 y propiedad 61

25) Si 0<a≤b y 0<c≤d, entonces

≤2

Demostración

1) 0<

≤

y 0<

≤

Hipótesis y propiedad 75

2)

≤

y

≤

Hipótesis y propiedad 68

3)

+

≤

+

De 1), 2) y propiedad 71

4)

≤

De 3) y propiedades 28 y 3

5) +ab>0 Hipótesis y propiedad 34

6)

≤


7)

+

≤

+


8)

≤

9) +cd>0 Hipótesis y propiedad 34

10)

≤


11)

≤

+


12)

≤


13)

≤2 De 12) y propiedades 66 y 4

Ejercicios I. Aplicando las propiedades respectivas determine el intervalo o conjunto al

cual pertenece “a”. 1) a2≤9 2) a2 > 1 3) a2

4 4) a2 < 1 5) a2≤ -1 6) a2 > -4 7) a2

-5 8) a2 < -9 9) (a+2)2 ≤0 10) (a+3)2 >0 11) (a+1)2

0 12) (a+1)2

< 0

13) (a-2)2 ≤ -5 14) (a-3)2 > -1 15) (a-1)2

-2 16) (a-1)2

< -4

17) - a2≤9 18) - a2 > -1 19) - a2

4 20) - a2 < -1

II. Demuestre que los enunciados que se dan a continuación se cumplen.

Justifique cada uno de los pasos 1) Si a2+c2=1 y b2+d2=1, entonces ac+bd≤1 2) Si a+b = 2, entonces a2+b2

2

3) Si a es un número real diferente de cero, entonces a2+

2

4) Si a>0 y b>0, entonces

√

5) Si 0<ab y c>d, entonces (a+b+c+d)2>4(ab+cd)+2(a+b)(c+d)

8) Si a es un número real mayor que 1, entonces a3+

> a2+

9) Si

=

, entonces (ac+bd)2 = (a2+b2)(c2+d2)

10) Si 0<a0

11) Si 0<a0

12) Si a>b y c>d, entonces ac+bd>ad+bc 13) Si a>b y b>0, entonces (a+b)2>b(b+a)

14) Si a>0, b>0 y c<0, entonces

>0

15) Si a<0, b>0 y c<0, entonces

>

SISTEMA DE NÚMEROS COMPLEJOS Para construir el nuevo conjunto de números denominado complejos, comenzaremos definiendo el conjunto producto RxR y la relación de equivalencia “≡” sobre este conjunto. Definición 1.1. Sea R el conjunto de los números reales. Definimos el conjunto producto de RxR del siguiente modo: RxR = {(a, b)/ aR y bR } Definición 1.2. Sean (a, b) y (c, d) dos elementos de RxR. Diremos que (a, b) y (c, d) son equivalentes y los denotaremos por (a, b) ≡ (c, d) si y solo si a=c y b=d. Si (a, b) y (c, d) no son equivalentes entonces a c o b d y se denota por (a, b) ≡ (c, d). Ejemplos: a) (7, 4) ≡ (7, 4) b) (-3, 6) ≡ (-3, 6) Teoremas fundamentales Teorema 1.1. La relación “≡” es de equivalencia (reflexiva, simétrica y transitiva) Observación 1.1. Cada una de las clases de equivalencia resultantes no contiene más de un elemento, en consecuencia la clase de equivalencia lo denotaremos por (a, b) en vez de [(a,b)]. Definición 1.3. El conjunto de los números complejos es el conjunto producto RxR y lo denotamos por C. Definición 1.4. Por número complejo entendemos un par ordenado de números reales, que designaremos por (a, b). La primera componente, a, se llama parte real del número complejo; la segunda componente, b, se llama parte imaginaria. Observación 5.2. Si z es un número complejo, entonces z=(a, b); a, bR Re(z)=a es la parte real de z Im(z)=b es la parte imaginaria de z


Si wC, entonces w=(c, d); c,dR Si vC, entonces v=(e, f); e,fR Si 0C, entonces 0=(0, 0); 0R Si 1C, entonces 1=(1, 0); 1,0R Si -1C, entonces –1=(-1, 0); -1R También se puede denotar por : z=(z1, z2); z1,z2R Definición 1.5. Sean z=(a, b) y w=(c, d) dos números complejos. Decimos que z=w si y solo si (a, b) ≡ (c, d), es decir: a=c y b=d; caso contrario, decimos que son diferentes, esto es, z w si y solo si o bien a b o c d Definición 1.6. Sean z=(a, b) y w=(c, d) dos números complejos. Definimos la suma de z y w mediante la expresión siguiente: z+w=(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d) Observación 1.3. La suma de números complejos es una operación totalmente definida, esto es z+w=vC Ejemplos 1) Si z=(2, -3) y w=(-1, 4), entonces z+w = (2-3, -3+4) = (-1, 1) 2) Si z=(-1, -5) y w=(-3, -7), entonces z+w = (-1-3, -5-7) = (-4, -12)

3) Si z=(

, -3) y w=(-

,

), entonces z+w = (

-

, -3+

) = (

,

) = (

,

)

4) Si z = (√ , 5√ ) y w = (√ , √ ), entonces z+w = (√ +√ , 5√ +√ ) =

(√ +2√ , 5√ +2√ ) = (3√ , 7√ )

5) Si z = (

,

) y w = (

,

), entonces z+w = (

+

,

+

) = (

,

)

Ejercicios En cada uno de los ejercicios, hallar z+w 1) z=(-2, -5) y w=(-2, -7) 2) z=(7, 4) y w=(3, 12)

3) z=(

, -5) y w=(-

,

)

4) Si z = (√ , 5√ ) y w = (√ , -√ )

5) Si z = (

, -

) y w = (-

,

)

Teorema 1.2. La adición de números complejos cumple con las siguientes propiedades: A) z+w = w+z B) z+(w+v) = (z+w)+v C) z+0 = 0+z = z, zC, 0 = (0, 0) D) Si z+v = w+v, entonces z = w Corolario 1.2.1. Si z=w, entonces z+v=w+v o v+z=v+w Corolario 1.2.2. Si z = w y v = x, entonces z+v = w+x Definición 1.7. El opuesto o inverso aditivo de un número complejo z = (a, b) denotado por –z se define de la siguiente manera:


- z = (-a, -b) Ejemplos 1) Si z = (1, -2) entonces –z = (-1, 2) 2) Si z = (-3, 4), entonces –z = (3, -4) 3) Si z = (-5, -2), entonces –z = (5, 2) 4) Si 2 = (2, 0), entonces –2 = (-2, 0) 5) Si -1 = (-1, 0), entonces –(-1) = 1 = (1, 0) Ejercicios Hallar el opuesto de cada número complejo 1) z = (-1, -2) 2) z = (-5, 8) 3) z = (3, 4) 4) 3 = (3, 0) 5) -2 = (-2, 0) Teorema 1.3. z+(-z) = (-z)+z = 0 Definición 1.8. La diferencia de los números complejos z y w denotada por “z-w”, es el número complejo v tal que z = w+v, esto es: z – w = v si y solo si z = w + v. z – w = (a, b) - (c, d) = (a - c, b - d) Ejemplos 1) Si z=(2, -3) y w=(-1, 4), entonces z-w = (2+1, -3-4) = (3, -7) 2) Si z=(-1, -5) y w=(-3, -7), entonces z-w = (-1+3, -5+7) = (2, 2)

3) Si z=(

, -3) y w=(-

,

), entonces z-w = (

+

, -3-

) = (

,

) = (

,

)

4) Si z = (√ , 5√ ) y w = (√ , √ ), entonces z-w = (√ -√ , 5√ -√ ) = (√ -

2√ , 5√ -2√ ) = (-√ , 3√ )

5) Si z = (

,

) y w = (

,

), entonces z-w = (

-

,

-

) = (

,

)

Ejercicios En cada uno de los ejercicios, hallar z-w 1) z=(-2, -5) y w=(-2, -7) 2) z=(7, 4) y w=(3, 12)

3) z=(

, -5) y w=(-

,

)

4) Si z = (√ , 5√ ) y w = (√ , -√ )

5) Si z = (

, -

) y w = (-

,

)

Observación 1.4. La diferencia de dos números complejos es una operación totalmente definida, esto es: z – w = vC. Teorema 1.4. z – w = z + (-w)


Corolario 1.4.1. z – w = - w + z Corolario 1.4.2. z – z = 0 Corolario 1.4.3. Si z=w y v=x, entonces z-v = w-x Teorema 1.5. El opuesto de un número complejo z, cumple con las siguientes propiedades. A) –(-z) = z B) –(z+w) = (-z) + (-w) C) Si z = -z, entonces z = 0 Corolario 1.5.1. – (z-w) = -w + z Corolario 1.5.2. Si z = 0, entonces z = - z Corolario 1.5.3. Si z+w = 0, entonces z = -w o w = -z Corolario 1.5.4. – 0 = 0 Corolario 1.5.5. Si z = w, entonces – z = - w Teorema 1.6. Si z = w, entonces z-v = w-v Corolario 1.6.1. Si z = w, entonces v-z = v-w Corolario 1.6.2. Si z-v = w-v, entonces z = w Corolario 1.6.3. Si v-z = v-w, entonces z = w Corolario 1.6.4. z - z = w – w Corolario 1.6.5. z – 0 = z Teorema 1.7. Si z – w = v, entonces z – v = w Teorema 1.8. Si z – w = v, entonces A) (z+x) – w = v+x B) z-(w+x) = v-x C) (z-x) – w = v - x D) z – (w-x) = v+x E) (z+x) – (w+x) = v F) (z-x) – (w-x) = v Corolario 1.8.1. z – (z-w) = w Corolario 1.8.2. (z+w) – w = z Corolario 1.8.3. (z-w) + w = z Corolario 1.8.4. z + (w-z) = w Corolario 1.8.5. z – (z+w) = -w Corolario 1.8.6. (z-w) – z = -w Corolario 1.8.7. Si z+w = v+x, entonces z-x = v-w Definición 1.9. Sean z=(a, b) y w=(c, d) dos números complejos. Definimos la multiplicación de z y w mediante la expresión siguiente: z.w=(a, b).(c, d)=(ac-bd, ad+bc) Ejemplos 1) Si z= (2, 5) y w=(3, 4), entonces zw = (2(3)-5(4), 2(4)+5(3)) = (-14, 23)


2) Si z= (-1, 3) y w=(2, -4), entonces zw = (-1(2)-3(-4), (-1)(-4)+3(2)) = (10, 10)

3) Si z=(

,

) y w=(

,

), entonces zw= (

(

)-

(

),

(

)+

(

)) = (

-

,

+

)

=(

,

) = (

,

)

4) Si z= (√ , 5√ ) y w = (√ , √ ), entonces zw = (√ (√ )-5 √ (√ ),

√ (√ )+5 √ (√ )) = (2√ - 10 √ , 4+30) = (- 10 √ , 34)

5) Si z = (

,

) y w = (

,

), entonces zw = (

) -

),

) +

)) = (

-

,

+

) = (

,

)

Ejercicios Hallar zw, en cada uno de los siguientes ejercicios 1) z= (-2, 5) y w=(3, -4) 2) z= (-1, -3) y w=(-2, -4)

3) z=(

, -

) y w=(-

,

)

4) z= (√ , 5√ ) y w = (√ , √ )

5) z = (

, -

) y w = (-

,

)

Observación 1.5. La multiplicación de números complejos es una operación totalmente definida, esto es z.w=vC Teorema 1.9. La multiplicación de números complejos cumple con las siguientes propiedades: A) zw = wz B) z(wv) = (zw)v C) z.1 = 1.z = z, 1 = (1, 0); 1 es denominado elemento neutro multiplicativo. D) Si zv = wv y v 0, entonces z = w E) z(w+v) = zw + zv Corolario 1.9.1. Si z= w, entonces zv = wv o vz = vw Corolario 1.9.2. Si z=w y v=x, entonces zv = wx Corolario 1.9.3. (z+w)v = zv + wv Corolario 1.9.4. z(w – v) = zw – zv Corolario 1.9.5. (z – w)v = zv – wv Corolario 1.9.6. (z+w)(v+x) = zv+zx+wv+wx Teorema 1.10. –(zw) = (-z)w = z(-w) Corolario 1.10.1. (-z)(-w) = zw Teorema 1.11. Si z w, entonces w z Teorema 1.12. z.0 = 0, zC Corolario 1.12.1. 0.z = 0.z = 0, zC Corolario 1.12.2. 0.i = i.0 = 0


Teorema 1.13. Si zw 0, entonces z 0 y w 0 Corolario 1.13.1. Si z 0 y w 0, entonces zw 0 Corolario 1.13.2. Si z w y v 0, entonces zv wv Corolario 1.13.3. Si zv wv y v 0, entonces z w Corolario 1.13.4. Si zw 0, entonces z 0 y w 0 Teorema 1.14. Si z = 0 o w = 0, entonces zw = 0 Corolario 1.14.1. Si zw = 0, entonces z = 0 o w = 0 Definición 1.10. El número complejo (0, 1) se representa por i y se llama unidad imaginaria. Teorema 1.15. i2 = -1 Definición 1.11. Un número complejo z = (a, b) se puede expresar en la forma z=a+bi. Denominada forma binómica de un número complejo. Definición 1.12. Sean z = (a, b) y w = (c, d) dos números complejos. Entonces: A) z+w = (a+c)+(b+d)i B) z.w = (ac-bd)+(ad+bc)i Ejemplos Expresar en su forma cartesiana y binómica: z+w, z-w y zw 1) Si z= (2, 5) y w=(3, 4), entonces

z+w = (5, 9) = 5+9i z-w = (-1, 1) = -1+i zw = (-14, 23) = -14+23i

2) Si z= (-1, 3) y w=(2, -4), entonces z+w = (1, -1) = 1+(-1)i z-w = (-3, 7) = -3+7i zw = (10, 10) = 10+10i

3) Si z=(

,

) y w=(

,

), entonces

z+w = (2,

) = 2+

i

z-w = (-1,

) = -1+

i

zw= (

,

) =

+

i

4) Si z= (√ , 5√ ) y w = (√ , √ ), entonces

z+w = (√ +2√ , 5√ +2√ ) = (√ +2√ ) + (5√ +2√ )i

z-w = (√ -2√ , 5√ -2√ ) = (√ -2√ ) + (5√ -2√ )i

zw = (- 10 √ , 34) = - 10 √ + 34i

5) Si z = (

,

) y w = (

,

), entonces

z+w = (

,

) =

+

i

z-w = (

,

) =

+

i


zw = (

,

) =

+

i

Ejercicios Expresar en su forma cartesiana y binómica: z+w, z-w y zw 1) z= (-2, 5) y w=(3, -4) 2) z= (-1, -3) y w=(-2, -4)

3) z=(

, -

) y w=(-

,

)

4) z= (√ , 5√ ) y w = (√ , √ )

5) z = (

, -

) y w = (-

,

)

Definición 1.13. Sean z y w dos números complejos con w 0. Definimos el

cociente de z y w y los denotamos por w

z, al número complejo v tal que z =

wv. Esto es:

w

z = v ↔ z = wv

Observación 1.6. El cociente de dos números complejos siempre existe, esto

es w

z = v, w 0

Observación 1.7. 0

z no existe

Definición 1.14. El inverso multiplicativo del número complejo z = (a, b) diferente de cero, se define del modo siguiente

22222222

,1

ba

bi

ba

a

ba

b

ba

a

z

Ejemplos

1) Si z = (-1, 2), entonces

= (

,

) = (

,

)

2) Si z = (-2, -3), entonces

= (

,

) = (

,

)

3) Si z = (3, 4), entonces

= (

,

) = (

,

)

4) Si z =(

,

), entonces

= (

,

) = (

,

) = (

,

)

5) Si z = (√ , 5√ ), entonces

= (

√

√ √ ,

√

√ √ ) = (

√

, √

)

Ejercicios Hallar el inverso multiplicativo de cada número complejo 1) z = (-2, -4) 2) z = (2, -5) 3) z = (7, 1)

4) z =(

, -

)

5) z = (√ , -3√ )


Teorema 1.16. El inverso multiplicativo de un número complejo goza de las siguientes propiedades:

A) z

z

1 = 1

B) z = z

1 si y solo si z = 1 ó z = -1

C)

z

1

1= z

E) zw

1=

z

1

w

1

Corolario 1.16.1. w

z=z(

w

1)

Corolario 1.16.2.

w

z

w

z 1

1

1

Corolario 1.16.3. z

w

w

z

1

Corolario 1.16.4. Si z 0 y w 0, entonces 1w

w

z

z

Corolario 1.16.5. zz

1

Corolario 1.16.6. 11

1

Definición 1.15. Sean z = a+bi y w = c+di dos números complejo, w 0.

Definimos el cociente de z y w y lo denotamos por w

z

= z(

) = (a, b)(

) = (

)

Ejemplos

1) Si z = (2, 1) y w = (3, 4), entonces

= (

) = (

) =

(

)

2) Si z = (3, -2) y w = (1, -2), entonces

= (

) =

(

)

3) Si z = (-4, -2) y w = (-3, -5), entonces

= (

)

= (

)


4) Si z = (

, -

) y w = (

,

), entonces

= (

(

)

(

) (

)

(

)(

) (

)(

)

(

) (

) ) =

(

) = (

)

5) Si z=(√ , 5√ ) y w=(√ , √ ), entonces

= (

√ √ √ √

(√ ) (√ )

(√ )√ ( √ )√

(√ ) (√ )

)

= (

)

Ejercicios

Hallar

y

, en cada uno de los siguientes ejercicios

1) z = (-2, 3) y w = (-3, 5) 2) z = (-3, -1) y w = (-1, -4) 3) z = (-4, 5) y w = (-3, 6)

4) z = (

, -

) y w = (-

,-

)

5) z=(√ , 4√ ) y w=( √ , √ )

Teorema 1.17. Si w

z= v, entonces es único

Teorema 1.18. Si z = w, entonces v

z =

v

w

Corolario 1.18.1. Si v

z =

v

w, entonces z = w

Corolario 1.18.2. Si z w, entonces v

z

v

w

Corolario 1.18.3. Si v

z

v

w, entonces z w

Teorema 1.19. Si w

z = v, entonces:

A) Si z = 0, entonces v = 0 B) Si z 0, entonces v 0

Corolario 1.19.1. z

0 = 0

Corolario 1.19.2. Si w

z = 0, entonces z = 0

Corolario 1.19.3. Si w

z 0, entonces z 0

Teorema 1.20. Si w

z = v y z 0, entonces

v

z = w

Teorema 1.21. Si w

z = v, entonces:


A) w

zu = v.u B)

wu

z =

u

v

C) w

u

z

= u

v D)

u

w

z = v.u

E) wu

zu = v F)

u

wu

z

= v

Corolario 1.21.1. (w

z)v =

w

zv y v(

w

z)=

w

vz


z)w = w(

w

z) = z


z)(

u

v) =

uw

vz

.

.

Corolario 1.21.4. w

z +

w

v =

w

vz

Corolario 1.21.5. w

z -

w

v =

w

vz

Corolario 1.21.6. Si z y w son números complejos, entonces (-z)w = z(-w) = (-1, 0)(zw)

Corolario 1.21.7. w

z

w

z

w

z

Corolario 1.21.8. w

z

w

z

Teorema 1.22. Si u

v

w

z , entonces zu = w.v

Teorema 1.23.

A) uw

vwzu

u

v

w

z

.

.

B) uw

zv

u

v

w

z

v

u

w

z

.

Corolario 1.23.1. uw

vwzu

u

v

w

z

.

.

Corolario 1.23.2. z = 2

zz

Corolario 1.23.3. Si z y w son números complejos y zw = 1, entonces z= w

1

Teorema 1.24. Sean z y w dos números complejos cualesquiera, entonces existe un número complejo u tal que z+u = w


Corolario 1.24.1. Si z y w son dos números complejos y z 0, entonces existe un número complejo v tal que z.v = w Definición 1.16. El número z = (a, 0) se denomina número complejo real, esto es: Si 1R, entonces 1 = (1, 0) Si -1R, entonces -1 = (-1, 0)

Si 2 R, entonces 2 = ( 2 , 0) Si xR, entonces x = (x, 0) Teorema 1.25. (a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0) Corolario 1.25.1. (a, 0)(b, 0) = (ab, 0)

Corolario 1.25.2. (a, 0) (b, 0) =

0,

b

a, b 0

Definición 1.17. Sea z = a+bi un número complejo, el número complejo a-bi

recibe el nombre de conjugado de z y se denota por z .

Esto es, si z = a+bi, entonces z = a-bi Ejemplos

En cada uno de los ejercicios hallar: , , , , y (

)

1) Si z = (2, 1) y w = (3, 4), entonces

z = 2+i, = 2-i, w = 3+4i, = 3-4i z+w = (5, 5) = 5+5i, = 5-5i z-w = (-1, -3) = -1+(-3)i, = -1-(-3)i = -1+3i zw = (2, 11) = 2+11i; = 2-11i

= (

) =

i, (

)

=

i

2) Si z = (3, -2) y w = (1, -2), entonces

z = 3+(-2)i, = 3-(-2)i = 3+i, w = 1+(-2)i, = 1-(-2)I = 1+2i z+w = (4, -4) = 4+(-4)i, = 4-(-4)i = 4+4i

z-w = (2, 0) = 2+(0)i, = 2-(0)i = 2 zw = (-1, -8) = -1+(-8)i; = -1-(-8)i = -1+8i

= (

) =

i, (

)

=

i

3) Si z = (-4, -2) y w = (-3, -5), entonces

z = -7+(-7)i, = -7-(-7)i = -7+7i, w = 3+4i, = 3-4i z+w = (5, 5) = 5+5i, = 5-5i z-w = (-1, -3) = -1+(-3)i, = -1-(-3)i = -1+3i zw = (2, 11) = 2+11i; = 2-11i

= (

) =

i, (

)

=

i =

i

4) Si z = (

, -

) y w = (

,

), entonces

z =

+

i, =

-

i =

+

i, w =

+

i, =

-

i

z+w = (

,

) =

+

i, =

-

i =

+

i

z-w = (

, -2) =

+(-2)i, =

-(-2)i =

+ 2i


zw = (

,

) =

+

i; =

-

i =

+

i

= (

) =

i, (

)

=

i =

i

5) Si z=(√ , 5√ ) y w=(√ , √ ), entonces

z = √ + 5√ i, = √ + 5√ i, w = √ + √ i, = √ + √ i

z+w = (6√ , 8√ ) = 6√ + 8√ i, = √ √

z-w = (2√ , 2√ ) = 2√ + 2√ i, = 2√ - 2√ i

zw = ( , ) = i; = i

= (

) =

i, (

)

=

i =

i

Ejercicios

En cada uno de los ejercicios hallar: , , , , , (

)

y (

)

1) z = (-2, -3) y w = (-4, -5) 2) z = (-2, -3) y w = (5, -6) 3) z = (4, -5) y w = (3, 7)

4) z = (

, -

) y w = (-

,

)

5) z=( √ , 2√ ) y w=( √ , √ ) Teorema 1.26. El conjugado de un número complejo goza de las siguientes propiedades

A) zz

B) wzwz

C) zw= z w

D)

w

z=

w

z

Corolario 1.26.1. wzwz

Corolario 1.26.2. z+ z = 2Re(z)

Corolario 1.26.3. z- z = 2iIm(z)

Corolario 1.26.4. Si z = a+bi, entonces z. z = a2+b2

Corolario 1.26.5. Si z = (a, 0), entonces z = a Definición 1.18. El módulo o valor absoluto de un número complejo z = (a, b) se define del modo siguiente

22 baz

El módulo de un número complejo es un número real Ejemplos

Hallar | |, | |, | | | |, | |, |

|

1) Si z = (2, 1) y w = (3, 4), entonces

| | = √ = √ , | | = √ = 5


z+w = (5, 5), | | = √ = √ = √

z-w = (-1, -3), | | = √ = √

zw = (2, 11), | | = √ = √ = √

= (

), |

| = √

=

√

2) Si z = (3, -2) y w = (1, -2), entonces

| | = √ = √ , | | = √ = √

z+w = (4, -4), | | = √ = √ = √

z-w = (2, 0), | | = √ = 2

zw = (-1, -8), | | = √ = √

= (

), |

| = √

=

√

3) Si z = (-4, -2) y w = (-3, -5), entonces

| | = √ = √ = 2√ , | | = √ = √

z+w = (5, 5), | | = √ = √ = √

z-w = (-1, -3), | | = √ = √

zw = (2, 11), | | = √ = √ = 5√

= (

), |

| = √

=

√

4) Si z = (

, -

) y w = (

,

), entonces

| |=√(

)

(

)

= √

=

√ , | | = √(

)

(

)

= √

=

z+w = (

,

), | |= √(

)

(

)

= √

=

√

z-w = (

, -2), | | = √(

)

= √

=

√

zw = (

,

), | | = √(

)

(

)

= √

=

√

= (

), |

| = √

=

√

5) Si z=(√ , 5√ ) y w=(√ , √ ), entonces

| | = √ √ √ = √ , | | = √ √ √ = √

z+w = (6√ , 8√ ), | | = √ √ √ = 10√

z-w = (2√ , 2√ ), | | = √ √ √ = 4

zw = ( , ), | | = √ = 2√

= (

), |

| = √

=

√

Ejercicios

Hallar | |, | |, | | | |, | |, |

| y |

|

1) z = (4, 5) y w = (-3, 2)

2) z = (-1, 2) y w = (4, -3) 3) z = (7, -2) y w = (-6, -5)

4) z = (

, -

) y w = (

,-

)

5) z=( √ , -2√ ) y w=( √ , √ )

Teorema 1.27. El módulo de un número complejo goza de las siguientes propiedades

A) z = 0 si y solo si z = 0

B) z >0 si y solo si z 0

C) z = zz

D) zz )Re(

E) zz )Im(

F) wzwz

G) wzzw

H) w

z

w

z

I) wzwz

Corolario 1.27.1. z. z = 2

z

Corolario 1.27.2. Si z =1 o w =1, entonces wz

wz

1= 1

Corolario 1.27.3. 22

wzwz = 222

2 wz

Corolario 1.27.4. Si z <1 y w <1, entonces wz

wz

1< 1

Corolario 1.27.5. w

w

z

zwzwz

2

1

Corolario 1.27.6. wz

zw

wz

zwwz

2

Definición 1.19. Si z = a+bi, definimos ez = ea+bi como el número complejo ez=ea(cosb+isenb) Teorema 1.28. Si z = a+bi y w = c+di, entonces ezew = ez+w

Corolario 1.28.1. Si z = a+bi y w = c+di, entonces wz

w

z

ee

e

Corolario 1.28.2. ez o, para todo zC Teorema 1.29. Si ez =1 , entonces b = 2n , nZ y a=0


Corolario 1.29.1. Si b = 2n , nZ y a=0, entonces ez = 1

Teorema 1.30. Si ez = ew, entonces z-w = 0+(2n )i, nZ Definición 1.20. Sea z = a+bi y z 0. La forma polar o trigonométrica de z se

expresa de la forma z = z (cos +isen ), siendo a = z cos , b = z sen y

tan = a

b, = arctan

a

b. El ángulo se denomina argumento de z y se denota

con Arg(z). Observación 1.8. El argumento de z puede ser positivo o negativo. Si es positivo se mide en el sentido antihorario y si es negativo en el sentido horario. Observación 1.9. La medida del argumento de z puede expresarse en grados o radianes. Obsercación 1.10. Si z = (0, 0), entonces el argumento de z no está definido. Observación 1.11. El argumento de z no es único. Si Arg(z) = , entonces

Arg(z) = +2k , kZ. Observación 1.12. Si = Arg(z) y 0 2 , entonces es llamado Argumento principal de z. El Argumento principal es único.

Observación 1.13. Si es el ángulo ubicado en el primer cuadrante y | |= | |, entonces Si z está ubicado en el segundo cuadrante, entonces = - Si z está ubicado en el tercer cuadrante, entonces = + Si z está ubicado en el cuarto cuadrante, entonces = 2 -

Tan0 = Tan = Tan = 0

Tan

= Tan

=

√

, Tan

= Tan

= -

√

Tan

= Tan

= 1, Tan

= Tan

= -1

Tan

= Tan

= √ , Tan

= Tan

= √

Tan

= Tan

=

Ejemplo 1. Expresar en su forma polar el número z = 1+i Solución z está ubicado en el primer cuadrante z = (1, 1)

22 11 z = 2

= arctan(1

1) = arctan 1 =

4


z = 2 (cos4

+isen

4

)

Ejemplo 2. Expresar en su forma polar z = -2

3

2

1 i

Solución

z está ubicado en el tercer cuadrante z = (-2

1, -

2

3 )

12

3

2

122

z

= arctan

2

12

3

arctan 3 = 3

4

z = cos3

4+isen

3

4

Ejemplo 3. Expresar en su forma polar o trigonométrica z = 2 3 -2i

Solución

z está ubicado en el cuarto cuadrante z = (2 3 , -2)

423222

z

= arctan

3

3arctan

32

2=

6

11

z = 4(cos6

11+isen

6

11)

Ejemplo 4. Expresar en su forma polar o trigonométrica z = -1+i

Solución

z pertenece al segundo cuadrante z = (-1, 1)

| |= √ = √

= arctan 1arctan1

1

=

4

3

z = √ (cos4

3+isen

4

3)

Ejemplo 5. Expresar en su forma polar o trigonométrica z = 1-√ i Solución

z pertenece al segundo cuadrante z = (1, -√ )

| |= √ √ = 2


= arctan 3arctan1

3

=

3

5

z = (cos3

5+isen

3

5)

Ejercicios Expresar en su forma polar o trigonométrica cada uno de los siguientes números complejos 1) z = 3-3i

2) z = -2-2√ i

3) z = √ +i

4) z = 2√ +2√ i

5) z = -

-

i

Teorema 1.31. Si z= z (cos +isen ) y w = w (cos +isen ), entonces

A) zw = z w (cos( + )+isen( + ))

B) w

z

w

z (cos( - )+isen( - ))

C) zz

11 (cos(- )+isen(- ))

Corolario 1.31.1. z=w si y solo si wz y Arg(z)=Arg(w)+2k , kZ.

Corolario 1.31.2. Si zw 0, entonces Arg(zw) = Arg(z) + Arg(w)

Corolario 1.31.3. Arg

w

z= Arg(z) – Arg(w)

Definición 1.21. Dados un número complejo z y un número entero n, definimos la n-ésima potencia de z y lo denotamos por zn del modo siguiente: zn = z.z.z.z.z.z.z............z n-veces zn es un número complejo. Ax.1.1. z0 = 1 Ax.1.2. zn+1 = znz, n0 Ax.1.3. z1 = z

Teorema 1.32. Si z= z (cos +isen ) y n es un número entero positivo,

entonces zn = z n(cos(n )+isen(n ))

Corolario 1.32.1. Si z= z (cos +isen ) y n es un número entero cualesquiera,

entonces zn = z n(cos(n )+isen(n ))

Ejemplos

En cada ejercicio, hallar: zw,

, , , y (

)

1) Si z = 2 (cos

+isen

) y w = cos

+isen

, entonces

zw = 2 (Cos(

+

) + isen(

+

)) = √ (Cos(

) + isen(

))


= √ (Cos(

-

) + isen(

-

)) = √ (Cos( ) + isen( ))

= (√ ) [ (

) (

)]

= [ (

) (

)] = (

) (

)

= √ [ (

) (

)] = 2√ [ ]

(

)

= (√

)

[ ] = 16√ [ ]

2) Si z = 4(cos6

11+isen

6

11) y w = √ (cos

4

3+isen

4

3), entonces

zw = √ (Cos(

+

) + iSen(

+

)) = √ [ (

) (

)]

=

√ (Cos (

-

) + iSen(

-

)) = 2 √ [ (

) (

)]

= [ (

) (

)] = 1024[ (

) (

)]

= (√ ) [ (

) (

)] = 8 √ [ (

) (

)]

= √ [ (

) (

)] = 128√ [ (

) (

)]

(

)

= (

√ )

[ (

) (

)] = ( √ )

[ (

) (

)]

3) Si z = (cos3

5+isen

3

5) y w = 2 (cos

+isen

), entonces

zw = √ [ (

) (

)] = √ [ ]

=

√ [ (

) (

)] = 2 √ [ (

) (

)]

= [ (

) (

)] = 32[ (

) (

)]

= (√ ) [ (

) (

)] = 8 √ [ (

) (

)]

= √ [ ( )] = 16√ [ ]

(

)

= (

√ )

[ (

) (

)] = 16√ [ ]


4) Si z = √ (cos4

3+isen

4

3) y w = 2 (cos

+isen

), entonces

zw = √ √ [ (

) (

)] = [ (

) (

)]

=

√

√ [ (

) (

)] = [ (

) (

)]

= (√ ) [ (

) (

)] = 4√ [ (

) (

)]

= (√ ) [ (

) (

)] = 8 √ [ (

) (

)]

= [ (

) (

)] = 8[ (

) (

)]

(

)

= [ (

) (

)] = [ (

) (

)]

5) Si z = 1-i y w = 1- √ i, entonces z y w pertenecen al cuarto cuadrante

| |= √ , | |=2

= Arctan(-1) =

, = Arctan(-√ =

z = √

+ iSen

), w = 2(Cos

+ iSen

)

zw = √ [ (

) (

)] = [ (

) (

)]

=

√

[ (

) (

)] =

√

[ (

) (

)]

= (√ ) [ (

) (

)] = 4√ [ (

) (

)]

= (√ ) [ (

) (

)] = 8 √ [ (

) (

)]

= √ [ (

) (

)] = 16√ [ (

) (

)]

(

)

= (√

)

[ (

) (

)] =

√

[ (

) (

)]

Ejercicios

En cada ejercicio, hallar: zw,

,

, , , , (

)

y (

)

1) z = √ (

+ iSen

), w = 4(

+ iSen

)

2) z = 2√ (

+ iSen

), w = 2√ (

+ iSen

)


3) z = 2√ (

+ iSen

), w = 2(

+ iSen

)

4) z = -

+

i, w =

-

i

5) z = - √

-

i, w =

-

√

i

Teorema 1.32. La potenciación de números complejos cumple con las siguientes propiedades A) (zw)n = znwn

B) n

nn

w

z

w

z

C) zn+m = znzm D) (zn)m = znm

Corolario 1.32.1. z-n = (z-1)n = nz

1, z 0 y n>0

Corolario 1.32.2. Si n>0, entonces 0n = 0 Corolario 1.32.3. Si z 0, entonces zn 0

Corolario 1.32.4.

nn

z

w

w

z

Definición 1.22. Si z 0 y n un entero positivo, entonces existen exactamente n números complejos distintos z0, z1, z2, ..............., zn-1 llamadas raíces n-ésimas de z, tales que zk

n = z, para cada k = 0, 1, 2’, ............., n-1.

Zk = n z

n

kisen

n

k 22cos

= Arg(z)

Ejemplo 1. Hallar 3 1 i

Solución

Zk = 3 z

3

2

3

2cos

kisen

k

z = 1-i está ubicado en el cuarto cuadrante z = (1, -1)

22 11 z = 2

= arctan 1arctan1

1

=

4

7

Raíces: zk, k = 0, 1, 2

z0 = 3 2

3

024

7

3

024

7

cos

isen = 6 2

12

7

12

7cos

isen


z1 = 6 2

3

124

7

3

124

7

cos

isen = 6 2

12

15

12

15cos

isen

z2 = 6 2

3

224

7

3

224

7

cos

isen = 6 2

12

23

12

23cos

isen

Ejemplo 2. Hallar 4 333 i

Solución

Zk = 4 z

4

2

4

2cos

kisen

k

z = -3-3 3 i está ubicado en el tercer cuadrante z = (-3, -3 3 )

22333 z = 6

= arctan 3arctan3

33

=

3

4

Raíces: zk, k = 0, 1, 2, 3

z0 = 4 6

4

023

4

4

023

4

cos

isen = 4 6

33cos

isen

= 4 6 ( i2

3

2

1 )

z1 = 4 6

4

123

4

4

123

4

cos

isen = 4 6

6

5

6

5cos

isen

= 4 6 ( i2

1

2

3 )

z2 = 4 6

4

223

4

4

223

4

cos

isen = 4 6

3

4

3

4cos

isen

= 4 6 ( i2

3

2

1 )


z3 = 4 6

4

323

4

4

323

4

cos

isen = 4 6

6

11

6

11cos

isen

= 4 6 ( i2

1

2

3 )

Ejemplo 3. Hallar √

zk = √

[ (

) (

)]

Las raíces son:

z0 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z1 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z2 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z3 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z4 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

Ejemplo 4. Hallar √√

zk = √√

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

Las raíces son:

z0 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z1 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z2 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z3 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z4 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z5 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]


Ejemplo 5. Hallar √ √

zk = √ √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

Las raíces son:

z0 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z1 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z2 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z3 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z4 = √

[ (

) (

)] = √

[ ]

z5 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z6 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

z7 = √

[ (

) (

)] = √

[ (

) (

)]

Ejercicios

Hallar: √

, √

, √ , √

, √

, √

, √

; en cada uno de los siguientes

ejercicios

1) z = √ (

+ iSen

), w = 4(

+ iSen

)

2) z = 2√ (

+ iSen

), w = 2√ (

+ iSen

)

3) z = 2√ (

+ iSen

), w = 2(

+ iSen

)

4) z = -

+

i, w =

-

i

Teorema 1.33. La radicación de números complejos cumple con las siguientes propiedades

A) nnn wzzw

B) n

n

n

w

z

w

z

C) mnn m zz

D) nmn m zz

nÚmeros complejos

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