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UNITÀ 2 L’ELABORAZIONE DEI DATI IN FISICA

1. Gli errori di misura.

Sono gli errori che si commettono inevitabilmente quando si misura una qualunque grandezza fisica,

utilizzando un qualunque strumento e adoperando qualunque tecnica di misura, anche la più accurata.

A causa di questi errori, il valore reale di una grandezza fisica non può essere mai conosciuto esattamente,

ma solo con una certa approssimazione, cioè con un certo margine di errore.

Gli errori che si possono commettere durante la misura di una grandezza fisica sono di tre tipi: errori di

sensibilità, errori casuali, errori sistematici.

2. Errori di sensibilità. Sono dovuti alla limitata sensibilità dello strumento utilizzato, cioè alla minima quantità che lo strumento è

in grado di apprezzare, che corrisponde alla distanza tra due tacche consecutive sulla scala di lettura dello

strumento.

Per esempio, se misuriamo la lunghezza di una stanza con una rotella

metrica suddivisa in tacche di 1 cm, possiamo conoscere il valore di

questa lunghezza con l’errore di 1 cm poiché non siamo in grado di

valutare i millimetri. Possiamo scrivere, per esempio:

mdmcml 01,057,41,07,451457

Se misuriamo la lunghezza di un quaderno con un righello suddiviso in tacche di 1 mm, possiamo conoscere

il valore di questa lunghezza con l’errore di 1 mm, poiché non siamo in grado di valutare i decimi di

millimetro. Possiamo scrivere, per esempio: dmcmmml 01,097,21,07,291297

Se misuriamo lo spessore di una moneta con un calibro ventesimale,

possiamo conoscere questo spessore con l’errore di mmmm 05,020

1 ,

ma non siamo in grado di valutare centesimi di millimetro. Possiamo

scrivere, per esempio: cmmms 005,0165,005,065,1

Come si può notare l’errore di sensibilità può essere ridotto utilizzando uno strumento più sensibile, ma non

può mai essere eliminato completamente.

3. Errori casuali.

Gli errori casuali sono dovuti a vari fattori che possono influenzare il valore della misura sia per eccesso sia

per difetto.

Questi errori sono prodotti da cause imprevedibili che non si possono eliminare e che modificano

leggermente il normale funzionamento dello strumento di misura.

Quando la misura di una grandezza fisica contiene piccoli errori casuali, si dice che tale misura è precisa.

Questo succede quando, ripetendo più volte la misura, si ottengono valori abbastanza vicini tra loro.

Gli errori casuali possono essere prodotti:

da particelle di polvere che si sono accumulate nello strumento; questo avviene negli strumenti aventi un

indice che si muove su una scala graduata;

bilancia manometro igrometro

da piccole variazioni di temperatura o di umidità che avvengono durante le misure; questo avviene negli

strumenti che funzionano con la corrente;

amperometro voltmetro ohmetro

dagli scarsi riflessi dell’operatore che esegue le misure; questo avviene nelle misure di tempo eseguite con

un cronometro manuale.

cronometro analogico cronometro digitale

4. Errori sistematici.

Gli errori sistematici sono quelli che alterano il valore della grandezza misurata o sempre per eccesso o

sempre per difetto.

Questi errori possono essere causati:

da uno strumento di misura difettoso, come un righello deformato o un orologio che va avanti;

da uno strumento che non è stato tarato bene dall’operatore prima di fare le misure;

oppure da un metodo di misura errato eseguito dall’operatore.

Quando la misura di una grandezza fisica contiene piccoli errori sistematici, si dice che tale misura è

accurata.

Se l’operatore si accorge della presenza di errori sistematici, questi possono essere eliminati sostituendo lo

strumento con un altro che non sia difettoso, o tarandolo bene prima di eseguire le misure o utilizzando una

tecnica di misura più accurata.

5. La stima dell’errore.

Considerato che tutte le misure contengono sempre degli errori, bisogna trovare un modo per stimare il

valore più attendibile della grandezza misurata e l’errore complessivo da attribuire alla misura.

Secondo i risultati ottenuti dalle misure, si possono verificare tre casi:

a- ripetendo più volte la misura della grandezza si ottiene sempre lo stesso valore;

b- ripetendo più volte la misura della grandezza si ottengono valori diversi, ma non si vogliono fare molte

misure per non perdere troppo tempo;

c- ripetendo più volte la misura della grandezza si ottengono valori diversi e, anche a costo di perdere molto

tempo, si vogliono fare molte misure per avere un risultato più preciso.

Nel caso a si prende come valore più probabile il valore misurato dallo strumento e come errore la

sensibilità dello strumento.

Per esempio, misurando la massa con una bilancia che ha la sensibilità di 0,1 Kg e leggendo sempre lo

stesso valore di 4,7 Kg si ottiene:

Kgmmm )1,07,4(

Misurando la massa con una bilancia che ha la sensibilità di 0,01 Kg e leggendo sempre lo stesso valore di

4,72 Kg si ottiene:

Kgmmm )01,072,4(

Nel caso in cui effettuando più misure si ottengono valori diversi, per esprimere il risultato complessivo

bisogna introdurre altri concetti.

6. La media, la semidispersione e lo scarto quadratico medio.

Se effettuando più volte la misura di una grandezza fisica si ottengono valori diversi, il valore più probabile

della grandezza misurata è la media aritmetica di questi valori.

Se vengono effettuate N misure, ottenendo i valori N21 ......x , , xx , la media aritmetica si calcola eseguendo il

rapporto tra la somma delle misure e il numero delle misure:

N

xxxx N

......21

Per valutare l’errore da attribuire alla misura, bisogna vedere quante sono le misure effettuate.

Se le misure sono poche )10( N , si considera come errore la semidispersione delle misure, cioè la

semidifferenza fra il valore massimo misurato Mx e il valore minimo misurato mx .

Quindi: 2

mM xxx

Se le misure sono numerose (N>10), è molto probabile che qualche misura abbia un valore anomalo, cioè o

molto più grande o molto più piccolo rispetto agli altri. Calcolando la semidispersione si avrebbe un valore

troppo grande e non sarebbe opportuno avere un errore elevato per una sola misura. Per questo motivo

quando le misure sono numerose è meglio assumere come errore lo scarto quadratico medio, che si indica

con e il cui valore non è molto influenzato da una misura anomala. Lo scarto quadratico medio è la radice

quadrata della media dei quadrati degli scarti. Lo scarto di una misura è la differenza tra quella misura e il

valore medio.

N

xxxxxx

N

sss NN

22

2

2

1

22

2

2

1 )(.....)()(......

7. L’errore assoluto, relativo e percentuale.

L’errore assoluto di una misura è l’errore che si commette quando si effettua la misura con uno strumento e,

secondo i casi che si possono presentare, può essere uguale o all’errore di sensibilità dello strumento o alla

semidispersione o allo scarto quadratico medio.

In generale, la grandezza fisica misurata si indica con x, il valore misurato si indica con x e l’errore

assoluto si indica con x . Il risultato della misura si scrive così: xxx

L’errore relativo di una misura è il rapporto tra l’errore assoluto e il valore misurato.

Si indica con rx e risulta che: x

xxr

L’errore percentuale di una misura è l’errore relativo moltiplicato per 100 ed espresso in percentuale.

Si indica con %x e risulta: )%100(% rxx

Per esempio, misurando la lunghezza di un chiodo con un righello tarato in millimetri, si ottiene il valore

misurato l= 55 mm, un errore di sensibilità di 1 mm e si scrive: mmlll )155( . Risulta perciò:

errore assoluto l = 1 mm

errore relativo 018,055

1

mm

mm

l

llr

errore percentuale %8,1)%100018,0()%100(% rll

8. La precisione di una misura.

La precisione di una misura coincide con il suo errore percentuale. Una misura è tanto più precisa quanto

minore è il suo errore percentuale.

9. La propagazione degli errori.

La propagazione degli errori è un problema che si presenta ogni volta che si esegue una misura indiretta e

consiste nel determinare come si propagano gli errori dalle grandezze fisiche misurate con gli strumenti alle

grandezze fisiche calcolate con la formula.

Per esempio, se si vuole misurare l’area di una banconota, si utilizza un righello tarato in millimetri, si

misura la base b e si ottiene un valore medio mmb 127 con un errore assoluto mmb 1 .

Si scrive: mmbbb )1127(

Poi si misura l’altezza h e si ottiene un valore medio mmh 67 con un errore assoluto mmh 1 .

Si scrive: mmhhh )167(

Successivamente si calcola il valore medio dell’area utilizzando la formula:

2850967127 mmmmmmhbA .

Per ottenere l’errore assoluto dell’area si calcolare il valore massimo dell’area AM, il valore minimo

dell’area Am e poi la semidifferenza tra AM e Am che ci darà l’errore assoluto dell’area ΔA.

2870468128 mmmmmmhbA MMM

2831666126 mmmmmmhbA mmm

2222

1942

388

2

83168704

2mm

mmmmmmAAA mM

Il calcolo dell’area alla fine si esprime in questo modo:

222222 10)94,109,85()1094,11009,85()1948509( mmmmmmAAA

Generalmente si scrive l’errore con una sola cifra e si ottiene il risultato definitivo:

2210)285( mmA

10. Le cifre significative di un numero decimale.

Sono le cifre che hanno effettivamente significato all’interno del numero.

Il numero di cifre significative si determina contando le cifre da quella più a destra (qualunque essa sia) a

quella più a sinistra che sia diversa da zero. Esempi:

3,47 ha 3 cifre significative;





Gli zeri che si trovano a sinistra non sono significativi, poiché si possono eliminare scrivendo il numero in

forma scientifica.

Per es. 3103,20023,0 e le cifre significative sono effettivamente due.

11. Le cifre significative di una misura diretta.

Sono le cifre che vengono effettivamente lette sullo strumento quando si esegue la misura diretta di una

grandezza fisica.

Esse sono tutte le cifre che si misurano con certezza e la prima cifra incerta.

Per esempio se si misura una lunghezza con una rotella metrica tarata in centimetri, si deve scrivere:

l=36,43 m

poiché i 36 m si misurano con certezza, i 4 dm si misurano con certezza e i 3 cm sono incerti poiché

potrebbero essere anche 2 o 4.

Per questa misura non ha senso scrivere l=36,432 m poiché lo strumento utilizzato non permette di

misurare i 2 millimetri.

D’altra parte non è corretto scrivere l=36,4 m poiché lo strumento utilizzato permette di apprezzare i

centimetri e bisogna indicarli.

12. Le cifre significative di una misura indiretta.

Sono le cifre che ha senso scrivere quando si calcola il risultato di una misura indiretta.

Queste cifre devono essere tante quante sono le cifre della misura meno precisa.

Per esempio, se abbiamo due lunghezze: ml 844,21 e ml 12,12 e con questi valori si eseguono dei

calcoli, il risultato finale deve essere scritto con tre cifre significative.

addizione: mmmmll 96,3 964,3 12,1 844,221

sottrazione: mmmmll 74,1 744,1 12,1 844,221

moltiplicazione: 22

21 19,3 18528,3 12,1 844,2 mmmmll

quoziente: 54,2...53928,212,1

844,2

2

1 m

m

l

l

13. Arrotondamento di un numero.

È un’operazione che bisogna eseguire per scrivere il risultato di una misura col giusto numero di cifre

significative, eliminando quelle non significative.

Se la cifra che si elimina è 0, 1, 2, 3, o 4, l’ultima cifra che rimane si lascia invariata (arrotondamento per

difetto);

Se la cifra che si elimina è 5, 6, 7, 8, o 9, l’ultima cifra che rimane si aumenta di una unità (arrotondamento

per eccesso).

Per esempio il numero 21,37642 contiene 7 cifre significative;

arrotondato con 6 cifre significative diventa: 21,3764




14. Il calibro ventesimale.

È uno strumento formato da una scala principale fissa tarata in millimetri e una scala secondaria scorrevole,

detta nonio (dal nome dell’inventore portoghese).

Con esso si possono misurare:

1. le dimensioni esterne di un oggetto posto tra le ganasce A;

2. le dimensioni interne di un oggetto posto tra le ganasce B;

3. la profondità di una cavità, mediante l’asticella C.

Si può notare che, quando le ganasce sono chiuse senza alcuno spessore in mezzo (Fig. 1), lo zero della

scala fissa è allineato esattamente con lo zero del nonio. Inoltre, 19 divisioni sulla scala fissa, cioè 19

millimetri, corrispondono a 20

divisioni sulla scala del nonio. Ciò

vuol dire che, mentre ogni divisione

della scala fissa corrisponde ad 1

millimetro, ogni divisione della scala

del nonio è un po’ più piccola e

corrisponde a 19/20 mm, infatti:

mmmm 1920

1920 Fig. 1 Calibro con le ganasce chiuse

Eseguendo la misura di uno spessore d, la scala del nonio si sposta rispetto alla scala principale e la

lunghezza dello spessore d è data proprio dalla distanza tra lo zero principale e lo zero del nonio.

Supponiamo che, eseguendo

la misura di uno spessore d,

si presenti la situazione indicata

in figura 2.

Si vede che lo spessore d risulta:

d = 1mm + AB Fig. 2 Ganasce del calibro quando si misura uno spessore d.

Per valutare AB bisogna vedere quale tacca del nonio è allineata esattamente ad una tacca della scala

principale. Tale allineamento avviene nel punto C, in corrispondenza della nona tacca del nonio, per cui

risulta che:

AB= AC- BC = mmmmmmmmmm 45,055,8920

19919

Perciò lo spessore d risulta: mmmmmmd 45,1 45,0 1

Siccome è possibile sbagliare la lettura di una divisione, cioè di 1/20 mm = 0,05 mm, la misura si deve

scrivere col giusto numero di cifre significative in questo modo:

mmmmmmd )05,045,1( 05,0 45,1

Osservare che la parte decimale del risultato si può leggere direttamente sul nonio senza eseguire calcoli,

poiché la tacca del nonio meglio allineata è la tacca successiva al numero 4, che corrisponde a 0,45 mm.

AB C

Supponiamo ora che, misurando la lunghezza l di un oggetto, si presenta la situazione indicata in fig. 3.

La lunghezza dell’oggetto é:

l = 19 mm + AB

L’allineamento fra la tacca del

nonio e la tacca della scala

principale avviene nel punto C, in

corrispondenza della tredicesima

tacca del nonio, per cui risulta

che: Fig. 3 Ganasce del calibro quando si misura una lunghezza l.

AB= AC- BC = mmmmmmmmmm 65,035,121320

1913113

Perciò la lunghezza risulta: mmmmmml 65,19 65,0 19

e il risultato della misura si scrive in questo modo: mml )05,065,19(

Osservare che la parte decimale del risultato si può leggere direttamente sul nonio, essendo la tacca meglio

allineata quella successiva al numero 6, che corrisponde proprio a 0,65 mm.

Come esercizio, valuta la lunghezza delle misure seguenti e scrivila con l’errore e col giusto numero di cifre

significative:

A

B C

1l

2l

3l

15. La rappresentazione dei dati sperimentali.

Se due grandezze fisiche x ed y sono in relazione tra loro, si può osservare che variando una di esse, per

esempio x, varia anche l’altra, cioè y.

Effettuando varie misure della x e varie misure della y si possono ordinare i dati in una tabella, poi si

possono rappresentare in un grafico cartesiano e infine dal grafico si può ottenere la legge fisica, cioè

l’equazione matematica che lega tra loro le grandezze x ed y.

I principali grafici che si possono ottenere sono:

1. proporzionalità diretta;

2. proporzionalità inversa;

3. proporzionalità quadratica diretta;

4. proporzionalità quadratica inversa;

5. relazione lineare.

Per ognuno di questi tipi di grafico bisogna saper fare due cose:

a) data la formula, saper disegnare il grafico;

b) dato il grafico, saper ricavare la formula.

16. La proporzionalità diretta.

La formula è del tipo: kxy dove k può essere un numero qualunque.

Il grafico che rappresenta questa formula è una retta che passa per l’origine degli assi e il valore di k si

chiama coefficiente angolare della retta.

Il valore del coefficiente angolare indica la pendenza della retta:

se il coefficiente angolare è grande, la retta è molto ripida (quasi verticale);

se il coefficiente angolare è piccolo, la retta è poco ripida (quasi orizzontale);

Esempio 1: Data la formula xy 2 disegnare il grafico.

Osservando la formula si riconosce che è quella di una proporzionalità diretta. Per disegnare il grafico si

assegnano alla x alcuni valori arbitrari e si calcolano i valori corrispondenti della y. Con questi valori si

costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con una linea si

ottiene una retta che passa per l’origine degli assi.

Esempio 2: Dato il grafico, ricavare la formula.

Osservando il grafico si riconosce che è una retta che passa per l’origine degli assi, perciò la formula

corrispondente è quella di una proporzionalità diretta e deve essere del tipo kxy

Ricavando k si ottiene: x

yk perciò il valore di k si ottiene considerando un punto qualsiasi del grafico e

calcolando il rapporto tra l’ordinata y e l’ascissa x.

Per esempio considerando il punto (2;6) si ottiene: ottiene: 32

6k

Perciò la formula che corrisponde al grafico è: xy 3

x y

0 0

1 2

2 4

3 6

17. La proporzionalità inversa.

La formula è del tipo: x

ky dove k può essere un numero qualunque.

Il grafico che rappresenta questa formula è una iperbole equilatera, cioè simmetrica rispetto alla bisettrice

del primo e terzo quadrante.

Esempio 1: Data la formula x

y8

disegnare il grafico.

Osservando la formula si riconosce che è quella di una proporzionalità inversa. Per disegnare il grafico si


costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con una linea

curva si ottiene un’iperbole equilatera.


Osservando il grafico si riconosce che è un’iperbole equilatera, perciò la formula corrispondente è quella di

una proporzionalità inversa e deve essere del tipo x

ky

Ricavando k si ottiene: xyk perciò il valore di k si ottiene considerando un punto qualsiasi del grafico

e calcolando il prodotto tra l’ascissa x e l’ordinata y.

Per esempio considerando il punto (5;2) si ottiene: ottiene: 1025 k

Perciò la formula che corrisponde al grafico è:

x y

1 8

2 4

4 2

8 1

xy

10

18. La proporzionalità quadratica diretta.

La formula è del tipo: 2kxy dove k può essere un numero qualunque.

Il grafico che rappresenta questa formula è una parabola con il vertice nell’origine degli assi.

Esempio 1: Data la formula 23xy disegnare il grafico.

Osservando la formula si riconosce che è quella di una proporzionalità quadratica diretta. Per disegnare il

grafico si assegnano alla x alcuni valori arbitrari e si calcolano i valori corrispondenti della y. Con questi

valori si costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con

una linea si ottiene una parabola con il vertice nell’origine degli assi.


Osservando il grafico si riconosce che è una parabola con il vertice nell’origine degli assi cartesiani, perciò

la formula corrispondente è quella di una proporzionalità quadratica diretta e deve essere del tipo 2kxy

Ricavando k si ottiene: 2x

yk perciò il valore di k si ottiene considerando un punto qualsiasi del grafico

e calcolando il rapporto tra l’ordinata e il quadrato dell’ascissa.

Per esempio considerando il punto (2;8) si ottiene: ottiene: 24

8

2

82

k

Perciò la formula che corrisponde al grafico è 22xy

x y

0 0

1 3

2 12

3 27

19. La proporzionalità quadratica inversa.

La formula è del tipo: 2x

ky dove k può essere un numero qualunque.

Il grafico che rappresenta questa formula è una iperbole non equilatera, cioè non simmetrica rispetto alla

bisettrice del primo e terzo quadrante.

Esempio 1: Data la formula 2

8

xy disegnare il grafico.

Osservando la formula si riconosce che è quella di una proporzionalità quadratica inversa. Per disegnare il

grafico si assegnano alla x alcuni valori arbitrari e si calcolano i valori corrispondenti della y. Con questi

valori si costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con

una linea si ottiene un’iperbole non equilatera.


Osservando il grafico si riconosce che è un iperbole non equilatera, perciò la formula corrispondente è

quella di una proporzionalità quadratica inversa e deve essere del tipo 2x

ky

Ricavando k si ottiene: yxk 2 perciò il valore di k si ottiene considerando un punto qualsiasi del

grafico e calcolando il prodotto tra il quadrato dell’ascissa e l’ordinata.

Per esempio considerando il punto (2;1) si ottiene: 4122 k

Perciò la formula che corrisponde al grafico è: 2

4

xy

x y

0,5 32

1 8

2 2

4 0,5

8 0,125

20. La relazione lineare.

La formula è del tipo: qmxy dove m e q sono due numeri qualsiasi.

Il grafico che rappresenta questa formula è una retta che non passa per l’origine degli assi.

Il numero m si chiama coefficiente angolare e indica l’inclinazione della retta.

Il numero q si chiama ordinata all’origine e rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con

l’asse y.

Esempio 1: Data la formula 12 xy disegnare il grafico.

Osservando la formula si riconosce che è quella di una relazione lineare. Per disegnare il grafico si


costruisce una tabella e si disegnano i punti ottenuti sul piano cartesiano. Collegando i punti con una linea si

ottiene una retta che non passa per l’origine degli assi.


Osservando il grafico si riconosce che è una retta non passante per l’origine degli assi, perciò la formula

corrispondente è quella di una relazione lineare e deve essere del tipo qmxy

Il coefficiente angolare m si determina scegliendo due punti qualsiasi della retta e calcolando il rapporto tra

la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse.

Per esempio, scegliendo i punti (0;2) e (2;8) si ottiene: 32

6

02

28

m

L’ordinata all’origine q è uguale all’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y. Nel grafico la

retta incontra l’asse y nel punto (0;2) di ordinata 2, perciò q=2.

La retta qmxy diventa quindi 23 xy

x y

0 1

1 3

2 5

3 7

unitÀ 2 l’elaborazione dei dati in fisica 1. gli errori di...

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