UNIVERZITA MATEJA BELA V BANSKEJ BYSTRICI

FAKULTA PRÍRODNÝCH VIED

Pavol Hanzel, Pavel Klenovčan

ČÍSLA A POČÍTANIE

BANSKÁ BYSTRICA

2013

Názov: Čísla a počítanie

Autori: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc.

Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc.

Vedecký redaktor: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.

Recenzenti: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.

Doc. RNDr. Tomáš Zdráhal, CSc.

Doc. PaedDr. Tomáš Lengyelfalusy, CSc.

© Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc.

Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc.

Všetky práva vyhradené. Žiadna časť tejto publikácie nesmie byť reprodukovaná a/alebo

distribuovaná v akejkoľvek forme a akýmikoľvek prostriedkami či uchovávaná v databáze

alebo systéme vyhľadávania bez predchádzajúceho písomného súhlasu vydavateľa a autorov.

Za jazykovú úpravu a odbornú stránku textu zodpovedajú autori.

ISBN 978-80-557-0638-2

Abstrakt

V tejto monografickej štúdii sa pokúsime priblížiť východiská pri zavádzaní a rozširovaní

číselných oborov. Predstavíme matematický pohľad na cestu budovania číselných oborov.

Podrobne charakterizujeme axiomatickú štruktúru oboru prirodzených čísel, ktorá je základom

pre všetky ďalšie číselné obory. Pri každom číselnom obore poukážeme na spojitosť s

vyučovaním matematiky na základných a stredných školách. Neopomenieme ani historické

pozadie rozvoja číselných sústav. V závere práce sa venujeme zápisu prirodzeného čísla

v rôznych 𝑧 − 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑘ý𝑐ℎ číselných sústavách.

Abstract

In this monographic study will attempt to bring background in establishing and expanding

the numeric fields. We introduce a mathematical view of the road-building numeric fields.

Characterize in detail the axiomatic structure of the field of natural numbers, which is the basis

for all other numerical fields. For each numerical domain will point to a connection with the

teaching of mathematics in primary and secondary schools. Aware that there is historical

background of the development of number systems. In conclusion we pay the entry of natural

numbers in a variety of system s-adic numbers.

Obsah

Použitá symbolika a zvýraznenie textu ......................................................................... 6

Predslov ............................................................................................................................ 7

Úvod .................................................................................................................................. 9

1 Číselné obory ............................................................................................................ 10

1.1 Rozširovanie číselných oborov ............................................................................ 11

2 Obor prirodzených čísel .......................................................................................... 13

2.1 Peanova aritmetika ............................................................................................... 14

2.1.1 Prvá skupina axióm - funkcia nasledovník ................................................... 15

2.1.2 Druhá skupina axióm - súčet prirodzených čísel .......................................... 16

2.1.3 Tretia skupina - súčin prirodzených čísel ..................................................... 17

2.1.4 Štvrtá skupina - indukcia .............................................................................. 17

2.1.5 Vlastnosti operácií sčítania a násobenia ....................................................... 17

2.2 Množinový prístup zavedenia prirodzených čísel ................................................ 20

2.2.1 Kardinálne číslo množiny ............................................................................. 22

2.2.2 Prirodzené čísla ako kardinálne čísla ........................................................... 24

2.2.3 Aritmetické operácie s kardinálnymi číslami ............................................... 25

2.2.4 Konečná a nekonečná množina .................................................................... 27

2.2.5 Usporiadanie na množine prirodzených čísel ............................................... 29

Cvičenie .................................................................................................................... 31

3 Obor celých čísel ...................................................................................................... 32

3.1 Rozšírenie oboru prirodzených čísel na obor celých čísel ................................... 34

3.2 Množina celých čísel ............................................................................................ 36

3.2.1 Súčet a súčin celých čísel ............................................................................. 36

3.2.2 Absolútna hodnota celého čísla .................................................................... 38

3.2.3 Usporiadanie na množine celých čísel ......................................................... 39

3.2.4 Záporné čísla – historický pohľad a modely ................................................ 39

3.2.5 Ďalšie spôsoby zavedenia oboru celých čísel ............................................... 41

Cvičenie .................................................................................................................... 44

4 Obor racionálnych čísel ........................................................................................... 45

4.1 Množina racionálnych čísel ................................................................................. 46

4.2 Vzťahy medzi množinami ℕ, ℤ,ℚ ....................................................................... 49

Cvičenie .................................................................................................................... 51

5 Obor reálnych čísel .................................................................................................. 52

5.1 Množina reálnych čísel ........................................................................................ 52

5.2 Súčet a súčin reálnych čísel ................................................................................. 54

Cvičenie .................................................................................................................... 59

6 Obor komplexných čísel .......................................................................................... 60

6.1 Množina komplexných čísel ................................................................................ 61

6.2 Algebrický tvar komplexného čísla ..................................................................... 61

6.3 Geometrická interpretácia - komplexná rovina .................................................... 62

6.4 Goniometrický zápis komplexného čísla ............................................................. 63

6.5 Vlastnosti operácií sčítania a násobenia............................................................... 64

Cvičenie .................................................................................................................... 66

7 Spočítateľné a nespočítateľné množiny ................................................................. 67

7.1 „Veľkosť“ množín ............................................................................................... 67

7.2 Spočítateľné množiny .......................................................................................... 68

7.3 Nespočítateľné množiny ...................................................................................... 70

Cvičenie .................................................................................................................... 75

8 Číselné sústavy ......................................................................................................... 76

8.1 Vyjadrenie prirodzeného čísla v pozičnej číselnej sústave .................................. 77

8.2 Počtové výkony s prirodzenými číslami .............................................................. 82

8.3 Kritériá (znaky) deliteľnosti ................................................................................. 89

Cvičenie .................................................................................................................... 95

9 Kultúra počítania ..................................................................................................... 97

10 Zoznam použitej literatúry ..................................................................................... 98

6

Použitá symbolika a zvýraznenie textu

ℕ = {0, 1, 2, … , 𝑛, … } - množina všetkých prirodzených čísel

ℤ = {0,±1, ±2,… ,±𝑛,… } - množina všetkých celých čísel

ℚ resp. ℝ - množina všetkých racionálnych resp. reálnych čísel

ℂ - množina všetkých komplexných čísel

𝑥 ∈ 𝑁,𝑀 ⊂ 𝑁,… – symbolika používaná pre množiny v školskej matematike

∧,∨,⟹,⟺ - logické spojky: konjunkcia, disjunkcia, implikácia a ekvivalencia

Dôležitá poznámka

Tvrdenie resp. matematická veta

Matematický pojem, definícia resp. axióma

Riešený príklad

7

Predslov

Veda stále ovplyvňuje silnejšie náš život. V súčasnosti neexistuje oblasť spoločenskej

praxe a ľudského života, ktorá by nebola zasiahnutá vedecko-technickým rozvojom. Dnešná

doba je charakteristická prudkým prenikaním počítačov do všetkých sfér nášho života. Zároveň

si však uvedomujeme, že veda sa vo svojom dlhom procese vývoja len postupne vydeľovala zo

súhrnného poznania okolitého sveta na ako ho poznáme v súčasnosti výrobný prostriedok.

Prešlo mnoho tisícročí, kým sa veda vyvinula do dnešnej podoby. Dlhodobý ale i obrovský

rozmach vedy sa snáď do popísať na ceste, ktorej na začiatku stálo číslo prirodzené a pokračuje

popri míľniku cesty nazvanom „samočinný počítač“.

Začiatok cesty sme si stanovili do obdobia vzniku prirodzeného čísla. Ako a kedy to bolo,

nie je jednoduché odpovedať. Na základe archeologických nálezov môžeme usudzovať na

obdobie 30 tisíc rokov pred naším letopočtom, do ktorého je datovaný známy doklad

o číselnom zázname, tzv. věstonická vrubovka.

O prirodzenom čísle sa veľa popísalo, vznikali rôzne teórie o prirodzených číslach, až

nakoniec sa zrodila teória množín (E. Zermelo 1908). Prvá písomná zmienka o prirodzených

číslach a o základných matematických operáciách (sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie) je

v moskovskom papyruse pochádzajúceho z roku 1890 pred n. l. a v Rhindovom papyruse, ktorý

vznikol asi 1850 rokov pred n. l.

Okolo roku 263 v Číne, Liou Hui1 si svoj voľný čas krátil vymýšľaním jednoduchého

zápisu pre svoje aktíva a pasíva svojej finančnej bilancie. Zavedie číslo „fu", ako dlžobnú

hodnotu, a má po starostiach. Trochu síce ešte potrvá, pokiaľ si ľudstvo vymudruje záporné

čísla označovať pomocou znamienka − (mínus). So zápornými číslami, tak ako ich dnes

poznáme, sa stretávame roku 1489 v knihe „Regel Algebra oder Cosse“ od chebského rodáka

Johanna Widmanna2.

Medzi kladnými a zápornými číslami sa nachádza nula. V matematike zohrala veľkú

úlohu a nemálo starostí narobila aj filozofom. Prvá zmienka o nule sa objavuje ojedinelo už

v Egypte v 2. až 1. storočí pred n. l. Presný matematický význam nuly bol popísaný až v 6.

storočí indo-arabskou matematikou. Dôležitú úlohu pri rozvíjaní pojmu čísla malo zavedenie

znakov čísel (číslic). Nám známe a najčastejšie používané „arabské“ číslice pochádzajú

z Indie a do Európy sa dostali zásluhou Arabov v 10. storočí. Staré kultúrne národy mali svoje

vlastné znaky (Číňania, Egypťania, Rimania a indiánsky kmeň Mayov).

1 Čínsky matematik Liu Hui (220 - 280). Preslávil sa komentármi k Deviatim traktátom. 2 Pozri [FOLTA, 1979].

8

Prvé vedecky spracované poznatky z aritmetiky pochádzajú zo starého Grécka.

Nachádzame ich v prácach Pytagora, Euklida a Diofanta. Práve obdobie antického Grécka je

poznamenané širokým rozvojom teórie čísel.

Možno konštatovať, že od čias antických Grékov aritmetika stagnovala až do 17.

storočia, keď sa zásluhou Fermata (1601–1665) začala prudko rozvíjať. Veľa (ne)matematikov

„vymýšľalo“ a skúmalo vlastnosti rôznych čísel. Napríklad Leonardo Pisánský, zvaný

Fibonacci (1170–1250) bol obchodníkom a cestovateľom. Jeho obchodné cesty často smerovali

do Grécka, Sýrie a Egypta – a ako to už pri cestovaní býva – máme dosť voľného času na

premýšľanie. Fibonacciho pri cestách trápila takáto úloha.

Koľko potomkov môže mať v jednom roku jediný pár mladých králikov, ak:

1. každý pár má v každom mesiaci jednu dvojicu potomkov, ktorá sa od druhého

mesiaca rozmnožuje rovnakým spôsobom,

2. nevyskytujú sa žiadne prípady uhynutia.

Neskôr sa rozvinula teória, ktorá skúma kategóriu takýchto čísel tiež nazývaných ako

Fibonacciho čísla.

Podobne lekár z Milána, Hieronimo Cardano (1501–1576) v knihe „Ars Magna“ vydanej

roku 1545 dáva podnet pre zavedenie imaginárnych čísel. Precíznejšiu teóriu spracuje roku

1572 Rafael Bombelli. Ku komplexným číslam sa postupne vracajú A. de Moivre (1730),

d´Alembert (1746), ale až Hamilton v roku 1835 publikuje teóriu komplexných čísel.

V histórii boli zaujímavé zastávky napríklad pri: Ludolphovom čísle π alebo pri

iracionálnom čísle 𝑒, ktoré je základom prirodzeného logaritmu.

Náš neúplný prierez o fundamentálnosti pojmu čísla nás doviedol až do doby

vysokovýkonných počítačov. Viete aké čísla používajú tieto zariadenia pri svojej činnosti? Sú

to len dve čísla: nula a jedna! A predsa, pomocou len týchto dvoch čísel a pomocou vopred

vypracovaného predpisu, môžu riešiť zložité úlohy vo veľmi krátkom čase.

Myšlienka na záver tohto predslovu.

Vzniklo číslo, ale ľudstvo sa muselo s ním naučiť „narábať“ (sčitovať, násobiť, a pod.). Vznikol

počítač a ľudstvo sa musí naučiť s ním „narábať“!

9

Úvod

Aritmetika (z gréckeho slova ἀριθμός, arithmos "číslo") je najstarší a najzákladnejší odbor

matematiky. Význam aritmetiky je pozorovateľný v bežnom živote. Aritmetické operácie

sčítania a násobenia používa takmer každý človek každý deň. Za základné aritmetické operácie

považujeme sčítanie, odčítanie, násobenie a delenie. Aritmetika zahŕňa aj zložitejšie operácie,

ako sú odmocniny, mocniny, logaritmy a pod.

Pojem prirodzeného čísla a algoritmy, ktoré popisujú sčitovanie a násobenie prirodzených

čísel, sú preto hlavným predmetom štúdia už na prvom stupni základnej školy. Neskôr sa žiaci

postupne oboznamujú s celými, racionálnymi, iracionálnymi a na strednej škole aj s

komplexnými číslami. Na túto skutočnosť musí byť dobre pripravený učiteľ matematiky. Učiteľ

matematiky musí poznať teoretické východiská zavedenia rôznych typov čísel ako aj

matematické zdôvodnenie vlastností aritmetických operácií. Vedná disciplína, ktorá skúma

vnútornú podstatu číselných štruktúr sa nazýva teoretická aritmetika.

Teoretická aritmetika je vedná disciplína matematiky, ktorá sa systematicky zaoberá

rôznymi spôsobmi zavádzania množiny prirodzených čísel a vlastnosťami aritmetických

operácií s týmito číslami. Množinu prirodzených čísel chápe ako východisko pre postupné

rozširovanie na množinu celých až komplexných čísel. Teoretická aritmetika každú číselnú

množinu definuje ako číselný obor, ktorý interpretuje ako algebrickú štruktúru s dvoma

binárnymi operáciami.

V predloženom texte sme sa snažili priblížiť východiská pri zavádzaní a rozširovaní

číselných oborov. Zdôrazníme tiež spojitosť s vyučovaním matematiky na základných a

stredných školách. Neopomenieme ani historické pozadie rozvoja číselných sústav.

V našej práci sme sa pokúsili nájsť kompromis medzi matematickou presnosťou a medzi

zrozumiteľnosťou. Našou snahou bolo, aby čitateľ získal na malom priestore prehľad o

základných číselných oboroch a číselných sústavách. Na niektorých vybraných miestach sme

ponúkli aj pohľad na určité didaktické aspekty tykajúce sa vnímania danej problematiky žiakmi

a študentmi základných a stredných škôl.

Tento text nemá typickú matematickú štruktúru "Axiómy" - "Definícia" - "Lema" -

"Dokaz lemy" - "Veta" - "Dokaz vety" - "Dôsledok" - Dokaz dôsledku" - atd. Nie je to ani "čistá

didaktika", ale nie je to ani také voľne rozprávanie. V texte je určitá (avšak dostatočná) miera

presnosti, technické detaily niektorých príslušných konštrukcií a dôkazov sa nachádzajú v

ďalšej odporučenej literatúre.

10

1 Číselné obory

Jedným z najčastejšie používaným pojmom, s ktorým sme sa doteraz pri štúdiu

matematiky stretávali je pojem čísla. Postupne sme sa oboznamovali s prirodzenými, celými,

racionálnymi a reálnymi číslami ako množinami čísel s určitou charakteristickou vlastnosťou.

Na strednej škole sme sa mohli stretnúť aj s učivom o komplexných číslach. Poznáme základné

vlastnosti sčítania, násobenia, odčítania, delenia, umocňovania, odmocňovania a usporiadania.

Základné aritmetické operácie sú úzko prepojené s konkrétnou číselnou množinou.

Číselný obor je množina čísel (číselná množina), na ktorej sú zavedené základné aritmetické

operácie, sčítanie a násobenie.

Číselné obory zavádzame postupne. Začíname oborom prirodzených čísel, ktorý rozšírime

na obor celých. Obor celých čísel rozšírime na obor racionálnych a obor racionálnych na obor

reálnych čísel. Nakoniec zavedieme komplexné čísla ako množinu všetkých usporiadaných

dvojíc reálnych čísel.

Potrebu rozširovania číselných oborov budeme demonštrovať na riešení jednoduchých

typov rovníc. Ukážeme, že niektoré rovnice nemajú žiadny koreň v určitom číselnom obore ale

v rozšírenom obore už majú korene. Budú nás zaujímať algebrické rovnice o jednej neznámej,

t.j. rovnice typu

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0 = 0,

kde sú konkrétne čísla s daného číselného oboru a je neznáma. Žiaci počas štúdia na

základnej a strednej škole sa oboznamujú s postupným riešením rovníc rôznych typov.

Uvedieme niekoľko prípadov, ktoré sa vyskytujú pri riešení rovníc.

I. Na prvom stupni základnej školy rovnicu:

𝑥 + 2 = 5 žiaci vedia riešiť, ale rovnicu

𝑥 + 5 = 2 nedokážu riešiť, keďže nepoznajú záporné čísla.

II. Na druhom stupni základnej školy:

2𝑥 − 5 = 0 žiaci vedia riešiť v obore racionálnych čísel

𝑥2 + 1 = 0 nevedia riešiť - nepoznajú komplexné čísla.

III. Na strednej škole už riešia ľubovoľné kvadratické rovnice s reálnymi koeficientmi

𝑎, 𝑏, 𝑐:

𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.

ia x

11

Z uvedeného vyplýva, že na prvom stupni ZŠ sa žiaci naučia počítať v obore prirodzených

čísel. Musíme teda zaviesť pojem prirodzeného čísla a určiť pravidlá pre aritmetické operácie

s týmito prirodzenými číslami.

Neskôr na vyšších stupňoch vzdelávania vznikne potreba zavedenia:

záporných čísel ako opačných čísel k prirodzeným,

racionálnych čísel pomocou kmeňových zlomkov,

iracionálnych čísel zavedením operácie odmocňovania,

komplexných čísel v algebrickom a goniometrickom tvare.

Učiteľ matematiky túto skutočnosť môže vhodne využiť pri motivácii žiakov

v tematických celkoch, ktoré sa zaoberajú riešením rovníc. Na druhej strane učiteľ matematiky

musí poznať teoretické východiská zavádzania a rozširovania číselných oborov.

1.1 Rozširovanie číselných oborov

Teoretická aritmetika pri zavadzaní a rozširovaní číselných oborov kladie dôraz

predovšetkým na:

Konštrukciu („vytvorenie“) číselnej množiny („nosiča“).

Zavedenie operácií sčítania a násobenia na tejto množine.

Popísanie základných vlastností aritmetických operácií.

To znamená, že v prvom rade musíme popísať spôsob ako vytvoríme konkrétny typ čísla.

Začneme vytvorením množiny prirodzených čísel. Pri každej ďalšej konštrukcii nového

číselného oboru budeme už vychádzať zo známych číselných oborov. Uvedieme zjednodušenú

ukážku konštrukcie číselného oboru racionálnych čísel, ak už poznáme prirodzené čísla i celé

čísla a vieme sčítať a vynásobiť ľubovoľné dve prirodzené čísla i celé čísla.

Nech 𝑞 ∈ ℕ je ľubovoľné prirodzené číslo rôzne od nuly a 𝑝 ∈ ℤ je ľubovoľné celé číslo.

Potom môžeme množinu racionálnych čísel ℚ zaviesť aj pomocou relácie ekvivalencie na

množine všetkých usporiadaných dvojíc celých čísel. Takéto dvojice (𝒑, 𝒒) môžeme

interpretovať aj ako zlomky 𝒑

𝒒 .

Na množine zlomkov {𝑎

𝑏, 𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℕ+} potom definujme rovnosť zlomkov takto:

𝑎

𝑏≝

𝑥

𝑦⟺ 𝑎. 𝑦 = 𝑏. 𝑥. Dá sa ukázať, že rovnosť zlomkov ≝ je relácia ekvivalencie, ktorá množinu

zlomkov rozdelí do disjunktných podmnožín. Napríklad podmnožina, ktorá obsahuje zlomok 1

2

bude obsahovať aj zlomky 2

4,3

6, … Všetky zlomky z tejto podmnožiny sa navzájom rovnajú.

12

Preto stačí vybrať jeden zlomok, ktorý bude reprezentovať túto podmnožinu a vyhlásiť ho za

racionálne číslo.

Za „reprezentanta“ racionálneho čísla zvolíme každý zlomok 𝑝

𝑞, ktorý je v základnom tvare

alebo tiež v primitívnom tvare. Teda, keď čísla 𝑝, 𝑞 sú nesúdeliteľné a zároveň 𝑞 > 0. Inými

slovami, ak zlomok 𝑝

𝑞 už nemôžeme krátiť.

Množina racionálnych čísel ℚ je množina všetkých zlomkov v základnom tvare .

Uveďme aj matematický zápis takejto množiny.

ℚ = {𝒑

𝒒, 𝒑 ∈ ℤ ∧ 𝒒 ∈ ℕ+ ∧ 𝑫(𝒑, 𝒒) = 𝟏}.

Operácie sčítanie a násobenie racionálnych čísel (usporiadaných dvojíc) potom môžeme

zaviesť pomocou pravidiel na súčet a súčin zlomkov. Prístup k zavedeniu racionálnych čísel

pomocou zlomkov je vhodný pre školskú matematiku, keďže žiaci sa oboznamujú najskôr so

zlomkami.

Zavedenie racionálnych čísel pomocou vhodnej relácie ekvivalencie na množine

karteziánskeho súčinu ℕ × ℕ nachádzame vo väčšine odbornej literatúry, ktorá sa venuje

teoretickej aritmetike. V tejto publikácii v kapitole „Racionálne čísla“ detailnejšie popíšeme

tento prístup.

Výklad o číselných oboroch začneme axiomatickou konštrukciou prirodzených čísel

a skončíme pri Gaussovej rovine komplexných čísel.

13

2 Obor prirodzených čísel

Prirodzené čísla si utvorili ľudia pri skúmaní vzťahov medzi súbormi reálnych objektov.

Ich vytvorenie bolo dôsledkom prirodzených potrieb pri riešení úloh bežného života ako napr.

pri určovaní počtu kusov dobytka v stáde alebo pri hľadaní spravodlivého spôsobu

rozdeľovania produktov spoločnej práce a pod.

Pri skúmaní vzťahov medzi skupinami objektov sa abstrahovalo od veľkosti, farby a

ďalších vlastností, ale podstatné bolo len to, či predmety dvoch súborov možno zoradiť do

dvojíc. Za najdôležitejšie zistenie pri „počítaní objektov“ bol objav ľudstva, pomocou ktorého

dokázali odpovedať na otázku:

V ktorej zo skúmaných skupín je menej, viac resp. rovnako objektov?

Z histórie vývoja matematiky sú známe tzv. vrubovky, ktoré slúžili na primitívne

určovanie počtu prvkov v skupine. Jedna z najstarších vruboviek bola objavená na Morave

v roku 1936. Z archeologických údajov vyplýva, že ide o prvý doklad číselného záznamu, ktorý

sa datuje do obdobia asi 30 tisíc rokov pred naším letopočtom.

Obrázok 1: Věstonická vrubovka

Ide o archeologický objav nazvaný podľa miesta nálezu - věstonická vrubovka3. Je to

stehenná kosť vlka, do ktorej je vyrytých 25 a 30 dobre hmatateľných zárezov. V prenesenom

význame môžeme vrubovku nazvať aj modelom pre "jednotkovú" číselnú sústavu (sústavu o

základe jeden), v ktorej poznáme len jeden zárez a prirodzené číslo vyjadríme počtom zárezov

na kosti.

Archeologické objavy dokázali, že ľudia už v prehistorickej dobe používali primitívne

modely pre počítanie s prirodzenými číslami. Neskôr s rozvojom civilizácie v Mezopotámii

a Egypte sa postupne zdokonaľovali počtové algoritmy. Dokonca v siedmom storočí nášho

letopočtu indo-arabská matematika zaviedla desiatkovú číselnú sústavu.

Napriek takýmto významným pokrokom sa mnoho storočí nedarilo vytvoriť axiomatickú

teóriu prirodzených čísel. Geometriu pritom axiomaticky spracoval už Euklides vo svojich

Základoch okolo roku 300 pred Kristom. Pokusy spracovať aj teóriu prirodzených čísel

3 Pozri [FOLTA, 1997]

14

axiomaticky boli neúspešné viac ako dve tisíc rokov. Dokonca Leopold Kronecker (nemecký

matematik 1823 - 1891) pri jednej prednáške roku 1886 povedal slávnu vetu:

Boh stvoril prirodzené čísla, všetko ostatné je ľudské dielo.4

Tieto problémy vyriešil až v 20. storočí G. Peano, ktorý zaviedol prirodzené čísla

axiomaticky.

Giuseppe Peano (1858 - 1932) bol taliansky matematik, filozof a logik. Bol jedným zo

zakladateľov modernej matematickej logiky a výrazne sa podieľal na vzniku teórie množín.

Jeho veľkým prínosom pre aritmetiku bol axiomatický prístup zavedenia oboru prirodzených

čísel, ktorý budeme na jeho počesť nazývať Peanova aritmetika.

Existujú aj iné spôsoby zavedenia prirodzených čísel. Jedným z nich je množinový

prístup, ktorý vychádza z axiomatickej teórie množín. Peanovej aritmetike a množinovému

prístupu zavedenia prirodzených čísel sa podrobnejšie venujeme v nasledujúcich dvoch

podkapitolách.

2.1 Peanova aritmetika

Pri axiomatickom budovaní aritmetiky musíme vybrať niekoľko "základných" tvrdení,

pomocou ktorých bude možné všetky ostatné odvodiť. Tieto základné tvrdenia budeme nazývať

axiómy a ich pravdivosť nemusíme overovať. Všetky ostatné vety musíme dokázať pomocou

zvolených axióm alebo už skôr dokázaných viet. Podobne pojmy, ktoré sa vyskytujú

v axiomatickej teórii sú buď základné alebo odvodené.

Východiskovým základným pojmom Peanovej aritmetiky je prirodzené číslo resp.

množina všetkých prirodzených čísel. Pojem „prirodzené číslo“ nedefinujeme, podobne ako v

euklidovskej geometrii nedefinujeme bod. Takéto východisko trochu pripomína Kroneckerov

výrok, že prirodzené sú dané vopred a mi im pripíšeme len nejaké vlastnosti. Axiomatická

teória však popisuje aj spôsob ich vytvárania.

V tejto súvislosti je vhodné si uvedomiť, že už deti v rannom veku nadobúdajú dosť dobrú

predstavu o prirodzenom čísle jeden napríklad tým, že chápu význam prosby Daj mi ... (cukrík

a pod.). Neskôr, ale tiež ešte v rannom veku začnú chápať význam slovného spojenia Ešte raz

alebo To je veľa a pod. Pripomeňme, že takýto vývoj zaznamenala aj naša civilizácia, dokonca

4 E. T. Bell, Men of Mathematics. New York 1986, str. 477.

15

ešte aj dnes existujú izolované kmeňové skupiny ľudí, ktorí poznajú len niektoré matematické

pojmy: jeden, dva, tri a veľa5.

Peanova aritmetika si kladie za cieľ vedecky popísať vnútornú štruktúru množiny

všetkých prirodzených čísel a zároveň popísať operácie sčítanie a násobenie na tejto množine.

Axiómy navrhnuté Peanom, ktoré platia pre prirodzené čísla, nemajú zložité matematické

vyjadrenie, preto si dovolíme ich uviesť v plnom znení. Komentár, ktorý k týmto axiómam

uvádzame, pomôže čitateľovi pochopiť filozofiu Peanovej aritmetiky. Uvedieme aj niektoré

jednoduché tvrdenia s ukážkami dôkazov. Prezentované dôkazy sa len v malej miere (možno

len matematickým jazykom) líšia od zdôvodnení vlastností sčítania a násobenia, ktoré sa

prezentujú v bežných učebniciach matematiky pre základné resp. pre stredné školy.

Axiómy rozdelíme do štyroch skupín:

Prvá skupina sa viaže na existenciu množiny prirodzených čísel.

Druhá skupina definuje binárnu operáciu sčítanie.

Tretia skupina definuje binárnu operáciu násobenie. n

V štvrtej skupine uvedieme princíp matematickej indukcie.

2.1.1 Prvá skupina axióm - funkcia nasledovník

Existuje množina prirodzených čísel ℕ s nasledujúcimi vlastnosťami:

I. Ku každému prirodzenému číslu 𝒏 ∈ ℕ existuje jediný nasledovník 𝑛 ∈ ℕ (tiež

prirodzené číslo!).

II. Existuje jedno prirodzené číslo, ktoré nie je nasledovníkom žiadneho prirodzeného

čísla.

III. Každé dve rôzne prirodzené čísla majú dvoch rôznych nasledovníkov.

Komentár.

Prirodzené číslo, o ktorom hovorí druhá axióma označujeme symbolom 𝟎 a nazývame

nula.

Nasledovník nuly 𝟎 označíme arabskou číslicou 1. Podobne budeme postupovať pri

ďalších nasledovníkoch. Teda budeme používať označenie:

𝟎 = 𝟏, 𝟏 = 𝟐, 𝟐 = 𝟑,…

Považujeme za dôležité upozorniť, že zároveň platia aj symetrické rovnosti:

1 = 0´, 2 = 1´, … Použitím arabských číslic môžeme množinu prirodzených čísel,

o ktorých hovorí prvá skupina axióm, symbolicky zapísať ako ℕ = {1,2, … , 𝑛, … }.

5 [BARROW, 2000]

16

Tretia axióma hovorí, že nasledovník je prosté zobrazenie ℕ𝑑𝑜→ ℕ.

Pripomeňme, že v prvom ročníku na základnej škole deti sa začínajú najskôr zoznamovať

s číslami 1, 2, 3, 4, 5, 6 a až potom sa stretnú s pojmom nula. Dokonca aj z historického nula6

pohľadu sa objavuje až na konci 6. storočia v indo-arabskej matematike.

2.1.2 Druhá skupina axióm - súčet prirodzených čísel

Ku každým dvom prirodzeným číslam 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ existuje prirodzené číslo 𝑚 + 𝑛 nazývané

súčet týchto čísel, pričom platí:

IV. Nula je neutrálny prvok vzhľadom na súčet prirodzených čísel. Matematický

zápis 𝑚 + 0 = 𝑚, pre každé prirodzené číslo 𝑚 ∈ ℕ.

V. Pre pripočítanie nasledovníka k prirodzenému číslu platí vzťah: 𝑚 + 𝑛 =

(𝑚 + 𝑛), pre každé dve prirodzené čísla 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ.

Komentár.

Všimnime si, že pri sčítaní dvoch prirodzených čísel Peano vychádzal z existencie čísla

nula a existencie nasledovníka. Peano musel zodpovedať dve otázky. Prvá, čo sa stane

s prirodzeným číslom, keď k nemu pripočítame číslo nula (napríklad sprava). Druhá, ako bude

vyzerať súčet, keď pripočítame nasledovníka. Peano svoje odpovede sformuloval ako axiómy,

pričom uvedená V. axióma je rekurentným matematickým vyjadrením. Táto axióma nám

umožňuje sčitovať prirodzené čísla neobmedzene.

Ak v nej položíme 𝑛 = 0, tak dostaneme: 𝑚 + 0 = (𝑚 + 0), 𝑡. 𝑗.𝒎 = 𝒎+ 𝟏. Inými

slovami, nasledovníka ľubovoľného prirodzeného čísla 𝑚 získame pripočítaním čísla 1

k pôvodnému číslu m. Táto rekurentnosť umožňuje neobmedzené sčitovanie tak, ako to

prezentuje nasledujúci príklad.

Príklad.

Vypočítajte 2 + 3.

Číslo 3 je nasledovníkom čísla 2, teda platí: 3 = 2’. Po dosadení do 2 + 3 a po opätovnej

substitúcii: 2 = 1 a 1 = 0 dostaneme, že

𝟐 + 𝟑 = (2 + 1’)’= ((2 + 1)’)

’= (((2 + 0)’)

’)’

= (((2)’)’)’

= ((3)’)’= (4)´ = 𝟓

6 Pozri [STRUIK, 1963]

17

2.1.3 Tretia skupina - súčin prirodzených čísel

Ku každým dvom prirodzeným číslam 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ existuje prirodzené číslo 𝑚. 𝑛 nazývané

súčin týchto čísel, pričom platí:

VI. Nula je agresívny7 prvok vzhľadom na súčin prirodzených čísel. Matematický

zápis 𝑚. 0 = 0, pre každé prirodzené číslo 𝑚 ∈ ℕ.

VII. Pre vynásobenie nasledovníkom platí vzťah: 𝑚 ∙ 𝑛 = 𝑚 ∙ 𝑛 + 𝑚, pre každé dve

prirodzené čísla 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ

Podobne ako pri súčte, navrhnuté axiómy definujú súčin ľubovoľného prirodzeného čísla

a nuly resp. nasledovníka. V axióme VII je skrytý súčin 𝑚 ∙ (𝑛 + 1), ktorý v súlade so

zaužívanými pravidlami v matematike chceme, aby sa rovnal súčtu 𝑚 ∙ 𝑛 +𝑚.

Príklad.

Vypočítajte 3 . 2.

Číslo 2 je nasledovníkom čísla 1, teda platí: 2 = 1 a zároveň platí: 1 = 0’. Po dosadení do 3 . 2

dostaneme, že

3 . 2 = 3.1 = (3.1 + 3) = (3.0+ 3) = (3.0 + 3) + 3 = 3 + 3 = 6

2.1.4 Štvrtá skupina - indukcia

VIII. Ak 𝑀 je množina prirodzených čísel, ktorá obsahuje nulu (0 ∈ 𝑀 ) a zároveň

pre každé prirodzené číslo 𝑛 platí:

𝒏 ∈ 𝑴⟹ 𝒏 ∈ 𝑴

potom 𝑴 = ℕ.

Túto axiómu môžeme formulovať aj pomocou jazyka výrokovej logiky.

Nech 𝜑(𝑥) je výroková formula jazyka prirodzených čísel, ktorej premenná 𝑥 má

definičný obor množinu prirodzených čísel ℕ. Potom formula

[𝜑(0) ∧ ∀𝑥(𝜑(𝑥) ⟹ 𝜑(𝑥))] ⟹ [∀𝑥 ∈ ℕ: 𝜑(𝑥)]

je axióma, ktorá predstavuje formálny zápis matematickej indukcie.

2.1.5 Vlastnosti operácií sčítania a násobenia

Predchádzajúce axiómy umožňujú vytvorenie množiny prirodzených čísel spolu

s operáciami sčítania a násobenia. Operácie odčítania a delenia je možné zaviesť ako inverzné

operácie k týmto operáciám. K operáciám odčítania a delenia sa vrátime v kapitole Obor celých

7 Termín sa používa v teórii o algebrických štruktúrach

18

čísel. V tejto kapitole sa budeme ešte venovať vlastnostiam sčítania a násobenia. Zo základnej

školy si určite pamätáme, že napríklad platí:

Sčítanie aj násobenie je komutatívne, teda môžeme napr. napísať

𝟐 + 𝟑 = 𝟑 + 𝟐 = 𝟓 𝑎 𝑧á𝑟𝑜𝑣𝑒ň 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟑 ∙ 𝟐 = 𝟔

Riešenie danej rovnice sa nezmení, ak k obidvom stranám tejto rovnice pripočítame

resp. odpočítame to isté číslo, teda napríklad

[𝒙 + 𝟑 = 𝟓 | (−𝟑)] ⟹ [𝒙 = 𝟐] .

Podobná ekvivalentná úprava platí aj pre vynásobenie resp. vydelenie (pozor nenulovým

číslom!) obidvoch strán rovnice vhodným číslom.

Uvedieme niekoľko vlastností, ktoré platia pre sčítanie a násobenie prirodzených čísel

zavedených pomocou Peanových axióm. Takéto vlastnosti v matematike nazývame vety.

Vety o sčítaní a násobení prirodzených čísel

Pripočítanie nuly (zľava) k ľubovoľnému prirodzenému číslu je tiež neutrálna operácia.

Matematická formulácia:

Pre ľubovoľné prirodzené číslo 𝒏 ∈ ℕ platí vzťah: 𝟎 + 𝒏 = 𝒏.

Ak ľubovoľné prirodzené číslo vynásobíme nulou (zľava) dostaneme nulu. Matematická

formulácia:

Pre ľubovoľné prirodzené číslo 𝒏 ∈ ℕ platí vzťah: 𝟎 ∙ 𝒏 = 𝟎.

Operácie sčítania a násobenia sú komutatívne a asociatívne, naviac operácia násobenia je

distributívna k operácii sčítania.

Pre ľubovoľné prirodzené čísla 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℕ platia nasledujúce vzťahy:

𝒂 + 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 a zároveň 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂 … komutatívnosť

𝒂 + (𝒃 + 𝒄) = (𝒂 + 𝒃) + 𝒄 … asociatívnosť sčítania

𝒂. (𝒃. 𝒄) = (𝒂. 𝒃). 𝒄 … asociatívnosť násobenia

𝒂 ∙ (𝒃 + 𝒄) = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄 … distributívnosť násobenia k sčítaniu

Pri riešení rovníc využívame ekvivalentné úpravy dvoch druhov.

Pre ľubovoľné čísla 𝒙, 𝒚, 𝒏 ≠ 𝟎 ∈ ℕ platia nasledujúce vzťahy:

𝒙 + 𝒏 = 𝒚 + 𝒏 ⟹ 𝒙 = 𝒚 … krátenie pri sčítaní

𝒙 ∙ 𝒏 = 𝒚 ∙ 𝒏 ⟹ 𝒙 = 𝒚 … krátenie pri násobení

V Peanovej aritmetike samozrejme platí vlastnosť jednotky:

Pre ľubovoľné prirodzené číslo platí vzťah: 𝒏 ∙ 𝟏 = 𝟏 ∙ 𝒏 = 𝒏

19

Pri dokazovaní tvrdení uvedených v predchádzajúcich vetách sa vo väčšine prípadov

využije princíp matematickej indukcie a zároveň sa aplikujú vhodné Peanove axiómy.

V tejto publikácii si nekladieme za cieľ podávať podrobné matematické dôkazy

vlastností/tvrdení. Podrobné dôkazy predchádzajúcich tvrdení môže čitateľ nájsť v rôznych

vysokoškolských učebniciach z teoretickej aritmetiky8.

Uvedieme ukážku (filozofiu) dôkazu tvrdenia, ktoré sa nenachádza vo vyššie

sformulovaných vetách. Našou úlohou bude dokázať tvrdenie:

Pre ľubovoľné prirodzené číslo 𝒙 ∈ ℕ platí vzťah: 𝒙 = 𝒙 + 𝟏 = 𝟏 + 𝒙.

Prvá časť tvrdenia (𝑥 = 𝑥 + 1) vyplýva priamo s definície súčtu, presnejšie z druhej

axiómy pre sčítanie. Stačí si uvedomiť, že platí 𝑥 = 𝑥 + 0. Potom už ľahko spočítame, že pre

𝑥 platí:

𝒙 = (𝑥 + 0) =⏞𝑎𝑥𝑖ó𝑚𝑎 𝑝𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑖čí𝑡𝑎𝑛𝑖𝑒 𝑛𝑎𝑠𝑙𝑒𝑑𝑛í𝑘𝑎

𝑥 + 0 = 𝒙 + 𝟏

Druhá časť tvrdenia (𝑥 + 1 = 1 + 𝑥) vyplýva priamo z vety o komutatívnosti sčítania.

Toto tvrdenie môžeme dokázať aj pomocou matematickej indukcie. Ľahko sa presvedčíme, že

tvrdenie platí pre 𝑥 = 0:

𝟎 + 𝟏 =⏞(𝑣𝑒𝑡𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑖čí𝑡𝑎𝑛í 𝑛𝑢𝑙𝑦 𝑧ľ𝑎𝑣𝑎)

1 =⏞(𝑎𝑥𝑖ó𝑚𝑎 𝑜 𝑝𝑟𝑖čí𝑡𝑎𝑛í 𝑛𝑢𝑙𝑦)

𝟏 + 𝟎

Predpokladajme, že platí: 𝒙 + 𝟏 = 𝟏 + 𝒙.

[prvá časť implikácie (𝜑(𝑥) ⟹ 𝜑(𝑥)) o matematickej indukcii]

Ak ukážeme, že platí: 𝒙+ 𝟏 = 𝟏 + 𝒙,

[druhá časť implikácie (𝜑(𝑥) ⟹ 𝜑(𝑥))]

tak tvrdenie podľa axiómy indukcie bude platiť pre všetky prirodzené čísla. Začnime

s úpravou pravej strany poslednej rovnosti. Využitím druhej axiómy pre sčítanie postupne

dostaneme:

𝟏 + 𝒙 = (1 + 𝑥)’ =⏞

(𝑖𝑛𝑑𝑢𝑘č𝑛ý 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑝𝑜𝑘𝑙𝑎𝑑)

(𝑥 + 1)’ =

= ((𝑥 + 1) + 0)’

=⏞(𝑎𝑥𝑖ó𝑚𝑦)

(𝑥+ 0)’ = 𝒙+ 𝟏

čo bolo treba dokázať.

8 Napríklad: [POKORNÝ, 2010]

20

Uvedených osem axióm Peanovej aritmetiky úplne popisuje štruktúru číselného oboru

prirodzených čísel.

Prvé tri axiómy charakterizujú jeho nosiča - množinu prirodzených čísel. V školskej

matematike týmto trom axiómam zodpovedá zápis prirodzených čísel pomocou číselnej osi.

Obrázok 2: Číselná os pre prirodzené čísla

Ďalšie štyri axiómy sú potrebné, aby sme vedeli sčitovať a násobiť dve prirodzené čísla.

Posledná ôsma axióma o indukcii zaručuje, že žiadna iná množina vytvorená pomocou prvých

šiestich axióm nebude nič iné, len množina všetkých prirodzených čísel.

2.2 Množinový prístup zavedenia prirodzených čísel

Množinový prístup pri zavedení pojmu prirodzeného čísla sa opiera o axiomatickú teóriu

množín. Teóriu množín ako prvý systematicky spracoval Georg Ferdinand Ludwig Philipp

Cantor (1845 - 1918). Cantor je známy ako tvorca naivnej teórie množín, ktorú neskôr Ernst

Zermelo a Abrahám Fraenkel rozpracovali do axiomatickej podoby. Axiomatická teória množín

spolu s axiómou výberu sa stala základnou teóriou v matematike 20. storočia.

Uvedieme len niektoré axiómy z teórie množín, ktoré úzko súvisia s množinovým

prístupom zavedenia pojmu prirodzeného čísla. Pri formulovaní týchto axióm použijeme

matematickú symboliku a ich voľnejší výklad popíšeme v priložených komentároch.

Podrobnejší výklad k axiomatickej teórii množín čitateľ nájde v práci [BLAŽEK, 1985]

Axióma extenzionality

Dve množiny sa rovnajú práve vtedy, keď obsahujú rovnaké prvky.

𝑨 = 𝑩⟺ (𝒙 ∈ 𝑨 ⟺ 𝒙 ∈ 𝑩)

Axióma vymedzenia

Pre každú množinu 𝑨 existuje množina 𝑩 obsahujúca práve tie prvky z 𝑨, pre ktoré je splnená

výroková forma 𝝋(𝒙). Túto množinu symbolicky zapíšeme

𝑩 = {𝒙 ∈ 𝑨:𝝋(𝒙)}

Axióma nekonečna

Existuje aspoň jedna nekonečná množina.

21

Komentár k axiómam

Axióma extenzionality

Množiny, ktoré majú rovnaké prvky, sa rovnajú. Uvedomte si, že rovnosť dvoch množín

𝐴 = 𝐵 je binárna relácia. Táto relácia je reflexívna, symetrická a tranzitívna, lebo

ekvivalencia (𝑥 ∈ 𝐴 ⟺ 𝑥 ∈ 𝐵) má tieto vlastnosti.

Axióma vymedzenia

Pre výrokovú formu 𝜑(𝑥)9 definovanú na množine A existuje práve jedna množina 𝐵 =

{𝑥 ∈ 𝐴:𝜑(𝑥)}. Je to množina všetkých prvkom z množiny A, ktoré majú vlastnosť 𝜑(𝑥).

Niektoré zaujímavé dôsledky:

prázdnu množinu charakterizuje výroková forma 𝒙 ≠ 𝒙

podmnožina 𝐵 ⊂ 𝐴 je určená výrokovou formou 𝒙 ∈ 𝑩 ⟹ 𝒙 ∈ 𝑨

prienik dvoch množín určíme pomocou výrokovej formy 𝒙 ∈ 𝑨 ∧ 𝒙 ∈ 𝑩.

Axióma nekonečna

Podrobnejší matematický výklad, ktorý čitateľ nájde v práci [BLAŽEK, 1994]

popisuje konštrukciu aspoň jednej nekonečnej množiny. Konštrukcia nekonečnej množiny

(teda aj jej existencia) vychádza z myšlienky, že ak máme nejaký prvok 𝑥 potom vieme

vytvoriť aj množinu {𝑥} a následne aj množinu {𝑥, {𝑥} }.

Túto konštrukciu môžeme opakovať nekonečne krát. Napríklad vezmime si prázdnu

množinu ∅ ako nejaký konkrétny prvok. V podstate sme si vzali „nič“. Potom podľa axiómy

vymedzenia existuje množina {𝑥: 𝑥 = ∅} = {∅} . Teda množina, ktorá obsahuje prázdnu

množinu ako jediný prvok. Teraz podľa axiómy zdvojenia (túto sme v našom zozname

neuviedli) existuje množina {∅, {∅}}.

∅ ⟶ {∅} ⟶ {∅, {∅}} ⟶ {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ⟶ ⋯

V tomto rade máme množiny, ktoré zrejme majú nejaký počet prvkov:

∅ - nula prvkov

{∅} - jeden prvok

{∅, {∅}} - dva prvky atď.

Tento príklad nám ukazuje na možnú súvislosť teórie množín a aritmetiky. Práve o tom

je táto podkapitola.

9 Výroková forma 𝜑(𝑥) je výraz, ktorý obsahuje premennú 𝑥. Ak za premennú dosadíme vhodnú konštantu

dostaneme výrok. Napríklad 𝜑(𝑥): 𝒙 + 𝟑 = 𝟓 je výroková forma a 𝜑(2): 𝟐 + 𝟑 = 𝟓 je pravdivý výrok.

22

Nekonečným množinám sa budeme venovať podrobnejšie v samostatnej kapitole.

Ústredným pojmom pri množinovom prístupe v aritmetike prirodzených čísel je pojem

ekvivalentnosti dvoch množín. Pri jeho zavedení použijeme termín bijektívne zobrazenie medzi

dvoma množinami. Pri konečných množinách si takéto zobrazenie môžeme predstaviť tak, že

prvky dvoch množín navzájom pospájame podľa pravidla „jeden len s jedným“. Ak budú

pospájané všetky prvky v množine 𝐴 a zároveň všetky prvky v množine 𝐵, tak sme vytvorili

bijektívne zobrazenie. Takéto pravidlo používajú aj deti na prvom stupni základnej školy.

Napríklad, keď porovnávajú dve skupiny s rovnakým počtom prvkov.

Budeme hovoriť, že množina 𝐴 je ekvivalentná s množinou 𝐵, ak existuje prosté zobrazenie

množiny 𝐴 na množinu 𝐵 (bijekcia: 𝐴 ⟶ 𝐵). Skutočnosť, že množina 𝐴 je ekvivalentná

s množinou 𝐵 budeme zapisovať symbolom 𝑨 ≈ 𝑩.

2.2.1 Kardinálne číslo množiny

Nech 𝑀 je nekonečná množina a 𝑃(𝑀) jej potenčná množina10. Existenciu množiny 𝑀

zaručuje axióma nekonečna. Definujme binárnu reláciu 𝑅 na potenčnej množine 𝑃(𝑀):

𝑹 = {(𝑨,𝑩) ∈ 𝑷(𝑴) × 𝑷(𝑴):𝑨 ≈ 𝑩}.

Príklad.

Nech 𝑀 = ℕ = {0,1,2, … , 𝑛, … } je množina prirodzených čísel. Potom relácia 𝑅 bude

obsahovať napríklad dvojice:

({𝟎}, {𝟏}), ({1}, {2}), ..., ({0}, {7}), ..., jednoprvkových podmnožín

({𝟎, 𝟏}, {𝟏, 𝟐}), , ..., ({0,1}, {5,7}), ..., dvojprvkových podmnožín

({𝟎, 𝟏, 𝟐}, {𝟏, 𝟐, 𝟒}), , ..., ({0,1,2}, {5,7,8}), ..., trojprvkových podmnožín

atď.

Veta o ekvivalentnosti množín

Nech 𝑷(𝑴) je potenčná množina. Binárna relácia 𝑹 = {(𝑨,𝑩) ∈ 𝑷(𝑴) × 𝑷(𝑴): 𝑨 ≈ 𝑩} je

reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Dôkaz.

Binárna relácia 𝑅 = {(𝐴, 𝐵) ∈ 𝑃(𝑀) × 𝑃(𝑀):𝐴 ≈ 𝐵} je zrejme reflexívna. Stačí

uvažovať o identickom zobrazení na množine 𝐴, ktoré je zrejme bijektívne. V takom

prípade dostaneme 𝐴 ≈ 𝐴, z čoho vyplýva (𝐴, 𝐴) ∈ 𝑅.

10 Potenčná množina P(S) je množina všetkých jej podmnožín.

23

Pre ľubovoľnú usporiadanú dvojicu (𝐴, 𝐵) ∈ 𝑅 musí v zmysle definície relácie 𝑅

existovať bijekcia 𝑓: 𝐴 ⟶ 𝐵. Uvažujme o inverznom zobrazení 𝑓−1: 𝐵 ⟶ 𝐴. Také

zobrazenie existuje a zrejme je aj bijektívne. To znamená, že platí (𝐵, 𝐴) ∈ 𝑅. Tým

sme dokázali, že 𝑅 je symetrická.

Tranzitívnosť relácie vyplýva z toho, že zloženie dvoch bijektívnych zobrazení je

bijekcia.

Dôsledok.

Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine 𝑃(𝑀). Existuje rozklad množiny 𝑃(𝑀) podľa

relácie 𝑅.

Takýto rozklad označíme symbolom 𝑃(𝑀) ∕ 𝑅. Skúmajme teraz triedy tohto rozkladu.

Príklad.

Nech 𝑀 = ℕ = {0,1,2, … , 𝑛, … } je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad

𝑃(ℕ) ∕ 𝑅 bude obsahovať napríklad triedu, ktorá obsahuje:

všetky jednoprvkové podmnožiny: 𝑻{𝟏} = {{0}, {1}, {2}, … , {𝑛}, … }

alebo všetky dvojprvkové podmnožiny: 𝑻{𝟎,𝟏} = {{0,1}, {0,2}, … , {1,2}, … , {1, 𝑛}, … }.

Označenie pre triedy rozkladov 𝑻{𝟏}, 𝑻{𝟎,𝟏},... môžeme nahradiť jednoducho symbolmi 1, 2,...,

čo sú vlastne arabské číslice pre označenie prirodzených čísel.

Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí (pod)množina 𝐴, môže byť symbolicky

zapísaná ako 𝑇𝐴 = {𝑋 ∈ 𝑃(𝑀):𝑋 ≈ 𝐴}. Teda je to množina všetkých podmnožín 𝑋 množiny

𝑀, ktoré sú ekvivalentné s podmnožinou 𝐴.

1. Trieda rozkladu, ktorá prináleží prázdnej množine ∅ môžeme zapísať v tvare: 𝑇∅ =

{𝑋 ∈ 𝑃(𝑀): 𝑋 ≈ ∅}. Zrejme obsahuje len jednu množinu a to je práve prázdna množina.

Teda 𝑇∅ = {∅} obsahuje množinu, ktorá má nula prvkov.

2. Trieda rozkladu, ktorá prináleží množine 𝐴 = {𝑎} môžeme zapísať v tvare: 𝑇𝐴 =

{𝑋 ∈ 𝑃(𝑀): 𝑋 ≈ {𝑎}}. Prvkami tejto triedy sú všetky množiny, ktoré majú práve jeden

prvok.

3. Ak zvolíme konečnú množinu 𝑁𝑘 = {𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘}, tak trieda rozkladu prislúchajúca

množine 𝑁𝑘 bude obsahovať všetky konečné množiny, ktoré obsahujú práve k prvkov.

Tieto úvahy nás vedú ku konštatovaniu, že všetky množiny v danej triede rozkladu majú

rovnaký počet prvkov. To nás oprávňuje zaviesť pojem kardinálneho čísla množiny.

24

Tvrdenie uvedené v predošlej vete platí aj pre systém 𝑆 všetkých množín. Systém všetkých

množín je korektný termín v axiomatickej teórii množín. Termín množina všetkých množín je

nekorektný a vedie k známym Zenónovým apóriam, ktoré sa objavujú pri úvahách

o nekonečne.

Kardinálne číslo množiny

Každej triede rozkladu 𝑇𝐴 = {𝑋 ∈ 𝑆: 𝑋 ≈ 𝐴} na systéme 𝑆 všetkých množín priradíme symbol,

ktorý nazveme kardinálne číslo množiny 𝑨. Symboly používané pre kardinálne číslo množiny

𝑨 sú: 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) alebo �̿� prípadne |𝑨|.

2.2.2 Prirodzené čísla ako kardinálne čísla

Nech 𝑺 je nekonečná množina a nech 𝑲 je ľubovoľná konečná podmnožina množiny 𝑆.

Potom množina ℕ = {𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑲),𝑲 ⊂ 𝑺} je množina prirodzených čísel.

Prirodzené čísla ako kardinálne čísla konečných množín sú východiskom pre zavedenie

pojmu prirodzeného čísla v školskej matematike. Na prvom stupni základných škôl sa žiaci

oboznamujú s prirodzenými číslami tak, že skúmajú vlastnosti konkrétnych konečných

množín pomocou spájania prvkov v týchto množinách.

Napríklad pomocou nasledujúceho diagramu ukážu, že počet „krúžkov“ v prvej skupinke

je rovný počtu „štvorčekov“ v druhej skupinke. Spoločnú vlastnosť týchto dvoch skupín neskôr

pomenujú slovom tri a na označenie použijú arabskú číslicu 3.

Obrázok 3: Porovnávanie množín

Terminológiu teórie množín v zásade nepoužívajú, ale používajú termíny ako skupina,

hromada, a pod. Uvedomme si, že grafické spájanie predstavuje prosté zobrazenie z jednej do

druhej množiny.

Nasledujúci príklad z pracovného listu pre prvý ročník základnej školy hovorí

o kardinálnom čísle množiny, ktorá má práve štyri prvky. Žiaci sú nútení abstrahovať od farby

a veľkosti jabĺk v skupine. Príklad môže byť modifikovaný rôznymi typmi otázok. Napríklad

môžeme sa pýtať, koľko je červených jabĺk a pod. Úlohy tohto typu neskôr rozširuje tak, že

25

vytvárame skupinky rôznych druhov ovocia a zároveň zväčšujeme jeho množstvo. To nám

umožní meniť charakteristickú vlastnosť pre konkrétnu podmnožinu ovocia.

Príklad.

Na obrázku sú jablká rôznej farby a veľkosti. Pýtame sa: Koľko jabĺk vidíme na obrázku?

Obrázok 4: Jablká

Odpovedáme: Na obrázku vidíme 4 jablká.

2.2.3 Aritmetické operácie s kardinálnymi číslami

Sčítanie kardinálnych čísel

Nech 𝐴, 𝐵 sú dve konečné a zároveň disjunktné množiny, ktorých kardinálne čísla sú

𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨), 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩). Potom pod súčtom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne

číslo zjednotenia 𝑨 ∪ 𝑩. Symbolicky:

𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) + 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) = 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨 ∪ 𝑩), ak 𝑨 ∩ 𝑩 = ∅

V definícii predpokladáme, že množiny 𝐴, 𝐵 sú disjunktné. Ak množiny 𝐴, 𝐵 nie sú

disjunktné, tak vieme nájsť množiny 𝐴∗, 𝐵∗, ktoré budú disjunktné a zároveň bude platiť 𝐴 ≈

𝐴∗, 𝐵 ≈ 𝐵∗. 11 Potom pod súčtom kardinálnych čísel množín 𝐴, 𝐵 budeme rozumieť súčet

kardinálnych čísel množín 𝐴∗, 𝐵∗. Ak má byť definícia súčtu dvoch kardinálnych čísel korektná,

tak nemôže závisieť od výberu množín 𝐴, 𝐵. Dokážeme nasledujúce tvrdenie.

Veta o súčte kardinálnych čísel

Nech 𝐴, 𝐵 sú množiny, pre ktoré platí 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅ a nech 𝐴∗, 𝐵∗ sú ľubovoľné disjunktné

množiny, pre ktoré platí 𝐴 ≈ 𝐴∗, 𝐵 ≈ 𝐵∗. Potom platí:

𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) + 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) = 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨∗ ∪ 𝑩∗)

Dôkaz. Stačí ukázať, že existuje bijekcia 𝑓: 𝐴 ∪ 𝐵 ⟶ 𝐴∗ ∪ 𝐵∗.

1. Množiny 𝐴,𝐴∗ sú ekvivalentné existuje bijekcia 𝑓1: 𝐴 ⟶ 𝐴∗.

2. Podobne pre množiny 𝐵,𝐵∗ vieme nájsť bijekciu 𝑓2: 𝐵 ⟶ 𝐵∗

3. Definujme zobrazenie 𝑓: 𝐴 ∪ 𝐵 ⟶ 𝐴∗ ∪ 𝐵∗ takto:

𝑓(𝑥) = {𝑓1(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐴

𝑓2(𝑥), 𝑥 ∈ 𝐵 .

11 Premyslite dôkaz tohto tvrdenia.

26

Zobrazenie 𝑓(𝑥) je zrejme bijekcia. Ilustrujte to konkrétnom príklade a premyslite

podrobný zápis dôkazu.

Príklad.

Nech 𝐴, 𝐵 sú množiny, pre ktoré platí 𝐴 = {1,2,3} a 𝐵 = {3,4}. Vypočítajte súčet 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) +

𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵) .

Keďže množiny 𝐴, 𝐵 nie sú disjunktné, nahraďme napríklad množinu 𝐵 inou ale s ňou

ekvivalentnou množinou. Napríklad 𝐵∗ = {𝑎, 𝑏}, ktorá obsahuje písmená. Potom už bude platiť

𝐴 ∩ 𝐵∗ = ∅ a podľa predchádzajúcej vety dostaneme:

𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) + 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴 ∪ 𝐵∗) = 𝑐𝑎𝑟𝑑({1,2,3, 𝑎, 𝑏}) = 𝟓 .

Na začiatku tejto podkapitoly sme uviedli, že axiomatická teória množín sa stala

základnou teóriou v matematike 20. storočia. Silu teórie množín teraz môžeme prezentovať pri

odvodení vlastností sčítania prirodzených čísel, ak využijeme vlastnosti zjednotenia dvoch

množín. Pre zjednotenie dvoch množín (a teda aj disjunktných množín) platí komutatívny

a asociatívny zákon. Ak označíme

𝑐𝑎𝑟𝑑(∅) = 0, 𝑐𝑎𝑟𝑑({𝑎}) = 1, ..., 𝑐𝑎𝑟𝑑({𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘}) = 𝑘,

tak tvrdenia z Vety o sčítaní a násobení prirodzených čísel týkajúce sa komutatívnosti,

asociatívnosti a distributívnosti uvedené v Peanovej aritmetike sú jednoduchým dôsledkom

tvrdení z teórie množín.

Napríklad platí 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) + 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) = 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) + 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) lebo platí 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐵 ∪ 𝐴.

Táto skutočnosť je hlavným dôvodom, prečo sa v školskej matematike zavádzajú

prirodzené čísla ako kardinálne čísla konečných množín.

Násobenie kardinálnych čísel

Nech 𝐴, 𝐵 sú dve konečné množiny, ktorých kardinálne čísla sú 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨), 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩).

Potom pod súčinom týchto kardinálnych čísel budeme rozumieť kardinálne číslo

karteziánskeho súčinu 𝑨 × 𝑩. Symbolicky:

𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨) ∙ 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑩) = 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑨 × 𝑩).

Pre karteziánsky súčin dvoch množín platí komutatívny a asociatívny zákon. To znamená,

že násobenie prirodzených čísel je komutatívne a asociatívne. Tiež platí množinová rovnosť (v

logike jej zodpovedá tautológia)

𝐴 × (𝐵 ∪ 𝐶) = (𝐴 × 𝐵) ∪ (𝐴 × 𝐶),

odkiaľ vyplynie distributívnosť násobenia voči sčítaniu. Pomocou množinových rovností

môžeme ľahko ukázať vlastnosť násobenia číslami nula a jedna.

27

V tejto podkapitole sme niekoľko krát použili termín konečná resp. nekonečná množina,

ktorých význam intuitívne chápeme. V teórii množín sa zaužívali dva prístupy k definovaniu

pojmu konečná resp. nekonečná množina. Uvedieme obidva prístupy. Predtým ešte uvedieme

aký je vzájomný vzťah medzi Peanovou aritmetikou a množinovým prístupom.

Vzájomný vzťah medzi Peanovou aritmetikou a množinovým prístupom popisuje

nasledujúca konštrukcia. Nasledovníka prirodzeného čísla 𝑛 zavedieme ako kardinálne číslo

množiny 𝐴 ∪ {𝑥}, kde 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴) = 𝑛 a zároveň 𝑥 ∉ 𝐴.

2.2.4 Konečná a nekonečná množina

Tarskeho definícia konečnej množiny: Množina A je konečná, pokiaľ každá neprázdna

podmnožina potenčnej množiny 𝑃(𝐴) má aspoň jeden maximálny prvok vzhľadom k

usporiadaniu „byť podmnožinou“. Nekonečná množina je taká množina, ktorá nie je konečná.

Príklad.

Maximálny prvok množiny 𝐴 = {{1}, {2}, {1,2,3}} je podmnožina {1,2,3}, pretože množiny

{1}, {2} sú zároveň jej podmnožinami. Prešetrením všetkých možných podmnožín množiny

𝑃(𝐴) zistíme, že každá má maximálny prvok. Z uvedeného vyplýva, že množina 𝐴 je konečná.

Mimochodom počet všetkých podmnožín množiny 𝐴 = {{1}, {2}, {1,2,3}} je rovný 23 = 8!

Pri množinách s veľkým počtom prvkov je aplikácia Tarskeho definície príliš náročná

a rozsiahla.

Dedekindova definícia nekonečnej množiny: Množina 𝐴 je nekonečná, ak je ekvivalentná

s nejakou jej vlastnou podmnožinou. Konečná množina je taká množina, ktorá nie je nekonečná.

Pre naše ďalšie skúmania vlastností prirodzených čísel bude vhodná Dedekindova

definícia nekonečnej množiny. Ukážeme, že množina všetkých prirodzených čísel je nekonečná

množina.

28

Veta o nekonečnosti množiny prirodzených čísel

Množina všetkých prirodzených čísel je nekonečná množina

Dôkaz.

Nech 𝑀 = ℕ− {0} je množina všetkých prirodzených čísel okrem nuly. Zrejme platí:

𝑀 ⊂ ℕ . Definujme zobrazenie

𝜐: ℕ ⟶ 𝑀,

kde 𝜐(𝑛) označuje nasledovníka prirodzeného čísla 𝑛. Z definície nasledovníka vyplýva, že

funkcia nasledovník je prostá. Keďže 0 ∉ 𝑀, tak zobrazenie 𝜐 bude aj zobrazením „na“. Pozri

obrázok.

Obrázok 5: Bijekcia

To znamená, že množina prirodzených čísel je ekvivalentná so svojou vlastnou

podmnožinou. Odtiaľ vyplýva, že množina ℕ nekonečná.

V definícii kardinálneho čísla sme predpokladali, že 𝑆 je systém všetkých množín. To

znamená, že tento systém obsahuje aj množinu všetkých prirodzených čísel ℕ. Preto má zmysel

pýtať sa, aké je kardinálne číslo množiny všetkých prirodzených čísel. Je zrejmé, že to nemôže

byť žiadne prirodzené číslo.

V opačnom prípade, by množina ℕ všetkých prirodzených čísel bola konečná.

Pripomíname, že sme prirodzené čísla v predchádzajúcej časti zaviedli takto: Nech 𝑆 je

nekonečná množina a nech 𝑲 je ľubovoľná konečná podmnožina množiny 𝑆. Potom množina

ℕ = {𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑲),𝑲 ⊂ 𝑺} je množina prirodzených čísel.

Na označenie kardinálneho čísla množiny všetkých prirodzených čísel použil Cantor

písmeno hebrejskej abecedy ℵ - alef, pričom pridal dolný index 0. Z uvedeného vyplýva, že

𝒄𝒂𝒓𝒅(ℕ) ≝ ℵ𝟎.

Úvahy aplikované v dôkaze vety o nekonečnosti množiny prirodzených čísel nám

umožňujú tvrdiť, že pre kardinálne číslo množiny 𝑀 = ℕ− {0} platí:

𝒄𝒂𝒓𝒅(ℕ − {𝟎}) = ℵ𝟎 ale tiež platí ℵ𝟎 + 𝟏 = ℵ𝟎.

Analogickými úvahami by sme prišli k záveru, že

𝒄𝒂𝒓𝒅(ℕ − 𝑵𝒌) = ℵ𝟎, kde 𝑁𝑘 = {1,2, … , 𝑘}

29

Uvedené vzťahy sa často interpretujú známou historkou, ako sa ubytovať v „nekonečnom

hoteli“12. Kardinálne číslo ℵ0 je prvým nekonečným kardinálnym číslom. Teória, ktorá skúma

vzťahy medzi nekonečnými kardinálnymi číslami, tvorí samostatnú časť v teoretickej

aritmetike a nesie názov Spočítateľné a nespočítateľné množiny. Kapitolu o obore

prirodzených číslach uzavrieme podkapitolou o usporiadaní na množine prirodzených čísel.

2.2.5 Usporiadanie na množine prirodzených čísel

Pri štúdiu binárnych relácií sme sa stretli s pojmom lineárneho usporiadania. Vo

všeobecnosti binárnu reláciu nazývame lineárnym usporiadaním, ak táto relácia je

antisymetrická, tranzitívna a úplná. V prípade, že relácia je zároveň antireflexívna hovoríme

o ostrom lineárnom usporiadaní.

Na množine prirodzených čísel ℕ zavedieme binárnu reláciu ≤ takto:

Prirodzené číslo 𝑚 je menšie nanajvýš rovné číslu 𝑛 (označenie 𝑚 ≤ 𝑛 ) práve vtedy, ak

existuje prirodzené číslo 𝑝 ∈ ℕ a zároveň 𝒎+ 𝒑 = 𝒏, kde 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ.

Z vlastností množiny prirodzených čísel ako kardinálnych čísel vyplýva, že existujú

množiny 𝑁𝑚 = {1,2, … ,𝑚} a 𝑁𝑛 = {1,2, … , 𝑛} a zároveň pre ich kardinálne čísla platí:

𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑁𝑚) = 𝑚, 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑁𝑛) = 𝑛.

Teraz môžeme reláciu ≤ zaviesť nasledovne: 𝑚 ≤ 𝑛 práve vtedy, ak 𝑁𝑚 ⊂ 𝑁𝑛. Takto

definovaná binárna relácia ≤ má tri základné vlastnosti: je antisymetrická, tranzitívna a úplná.

Veta o lineárnom usporiadaní množiny prirodzených čísel

V nasledujúcej vete použijeme formálne matematické zápisy z dôvodu, aby sme čitateľovi

priblížili aj ukážku čisto matematického dôkazu. Komentár k nasledujúcej vete prenechávame

pre čitateľa.

Binárna relácia ≤ je lineárnym usporiadaním.

Relácia ≤ je antisymetrická:

∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∧ (𝑛 ≤ 𝑚) ⟹ 𝑚 = 𝑛

Relácia ≤ je tranzitívna:

∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∧ (𝑛 ≤ 𝑘) ⟹ 𝑚 ≤ 𝑘

Relácia ≤ je úplná:

∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∨ (𝑛 ≤ 𝑚)

12 Viac na http://necyklopedie.wikia.com/wiki/Paradox_nekonečna

30

Dôkaz.

1. Antisymetričnosť. Predpokladajme, že výrok ∀𝑚, 𝑛 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∧ (𝑛 ≤ 𝑚) je

pravdivý. Z definície binárnej operácie ≤ vyplýva, že existujú prirodzené čísla 𝑝1, 𝑝2 a

zároveň platia rovnosti:

𝑚 + 𝑝1 = 𝑛 a zároveň 𝑛 + 𝑝2 = 𝑚.

Dosaďme do druhej rovnosti za číslo n hodnotu 𝑚 + 𝑝1. Po vhodných úpravách (ak

použijeme asociatívnosť pre sčítanie a vlastnosť nuly) dostaneme rovnosť 𝑚 +

(𝑝1 + 𝑝2) = 𝑚 + 0. Využitím vlastnosti „vety o krátení pre sčítanie“ dostaneme, že

𝑝1 + 𝑝2 = 0. Posledná rovnosť platí len pre 𝑝1 = 𝑝2 = 0. Dokážte to! Záver: 𝒎 = 𝒏.

2. Tranzitívnosť. Predpokladajme, že výrok ∀𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ: (𝑚 ≤ 𝑛) ∧ (𝑛 ≤ 𝑘) je

pravdivý. Z definície operácie ≤ vyplýva, že existujú prirodzené čísla 𝑝1, 𝑝2 a zároveň

platia rovnosti:

𝑚 + 𝑝1 = 𝑛 a zároveň 𝑛 + 𝑝2 = 𝑘.

Dosadením za 𝑛 dostaneme (𝑚 + 𝑝1) + 𝑝2 = 𝑘 a využitím asociatívnosti sčítania

dostaneme požadované tvrdenie.

Dôkaz posledného tvrdenia prenechávame na čitateľa.

Operácie sčítania a násobenia prirodzených čísel sú kompatibilné s reláciou lineárneho

usporiadania v nasledujúcom význame. Pre ľubovoľné prirodzené čísla knm ,, platí:

1. Ak 𝑚 ≤ 𝑛, tak 𝑚 + 𝑘 ≤ 𝑛 + 𝑘 .

2. Ak 𝑚 ≤ 𝑛, tak 𝑚. 𝑘 ≤ 𝑛. 𝑘 .

Dokážte tieto tvrdenia využitím vlastností kardinálnych čísel. Zrejme druhé tvrdenie

triviálne platí pre 𝑘 = 0.

V školskej matematike tieto tvrdenia môžeme prezentovať ako ekvivalentné úpravy pri

riešení nerovníc. Pričítanie prirodzeného čísla k obidvom stranám nerovnice a vynásobenie

oboch strán nerovnice nenulovým prirodzeným číslom (teda kladným).

31

Cvičenie

1. Spočítajte a zdôvodnite:

0 + 2 = 0 . 2 =

5 + 1 = 5 . 1 =

4 + 3 = 4 . 3 =

2. Pomocou matematickej indukcie dokážte, že pre ľubovoľné prirodzené čísla 𝑥, 𝑦 ∈ ℕ

platí:

𝑥 = 0 + 𝑥 = 𝑥 + 0

𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥

𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑦 ∙ 𝑥

3. Dokážte, že pre všetky prirodzené čísla 𝑛 ≥ 1 platí:

1 + 3 +⋯+ (2𝑛 − 1) = 𝑛2

13 + 23 +⋯+ 𝑛3 =1

4𝑛2(𝑛 + 1)2

4. Zdôvodnite priamo z definície, prečo platí:

0 ≤ 2 5 ≤ 12

32

3 Obor celých čísel

Ako sme ukázali na začiatku prvej kapitoly jednoduchá algebrická rovnica 𝑥 + 5 = 2,

ktorej koeficienty 1, 2, 5 sú prirodzené čísla nemá v obore prirodzených čísel riešenie. Naše

vedomosti z elementárnej matematiky nám napovedajú, že riešenie existuje v inom číselnom

obore, v obore celých čísel. Jednoducho, ak budeme aplikovať jednu z ekvivalentných úprav

„odčítanie“ čísla 5 k obidvom stranám rovnice, tak dostaneme

(𝑥 + 5) − 5 = 2 − 5.

Po úprave na ľavej strane rovnice dostaneme 𝑥, ale na pravej strane rovnice to nie je

prirodzené číslo. Výsledkom je záporné číslo -3. Táto jednoduchá rovnica a jej riešenie skrýva

v sebe základnú myšlienku pre zavedenie celých čísel. Pomocou inverznej operácie k sčítaniu

– pomocou odčítania. V kapitole o prirodzených číslach sme sa nezmienili o možnostiach

odčítania v množine ℕ. Zrejme niekedy odčítať dve prirodzené čísla vieme a niekedy nie. Vo

všeobecnosti odčítanie v obore prirodzených čísel zavedieme nasledovne.

Nech 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ sú prirodzené čísla. Ak existuje jediné prirodzené číslo 𝑟 ∈ ℕ, pre ktoré je

splnená rovnosť 𝑚 + 𝑟 = 𝑛, tak toto číslo nazveme rozdielom čísel 𝑛,𝑚 v tomto poradí

a budeme ho označovať symbolom 𝒏 −𝒎.

Zrejme pre čísla 2, 5 neexistuje rozdiel 𝑟 = 2 − 5. Pri jeho hľadaní vlastne riešime

rovnicu 5 + 𝑟 = 2, čo je naša rovnica z úvodu tejto kapitoly.

Keď chcel človek vyjadriť hodnoty menšie ako nula (nadmorská výška pod úrovňou

morskej hladiny, teplota pod 0°𝐶 a pod.) začal používať aj opačné čísla k prirodzeným číslam.

Opačné číslo k prirodzenému číslu 𝑛 ∈ ℕ, ktoré už nevyjadruje počet prvkov nejakej množiny

(nie je to už prirodzené číslo), označme symbolom −𝒏. Číslo opačné k prirodzenému číslu

budeme nazývať záporné číslo. Opačné číslo −𝑛 jednoznačne dokážeme určiť pomocou

prirodzeného čísla 𝑛. Jednoducho postačí, ak budeme požadovať platnosť vzťahu

𝑛 + (−𝑛) = 0.

Napríklad pri interpretácii pojmu záporného čísla (−3) v piatom ročníku základnej školy

s výhodou môžeme použiť termín „pasíva“. Na druhej strane prirodzené číslo 3 interpretujme

ako „aktíva“. Žiaci potom budú prirodzene chápať, že platí aj rovnosť

3 + (−3) = 0 alebo rovnosť (−3) + 3 = 0.

Túto rovnosť potom využijú pri riešení rovnice 𝑥 + 5 = 2. Po jednoduchej úprave

(asociatívnosť sčítania prirodzených čísel) dostanú rovnicu

(𝑥 + 3) + 2 = 2.

33

Predpokladajme, že od obidvoch strán rovnice žiaci vedia odčítať to isté prirodzené číslo.

V tomto prípade zvolia číslo 2. Poznamenajme, že toto odčítanie je predstavuje vetu o krátení

pri sčítaní. Po odčítaní dostaneme „jednoduchšiu“ rovnicu

𝑥 + 3 = 0.

Keďže už ukázali, že platí rovnosť 3 + (−3) = 0, tak zrejme dokážu nájsť riešenie rovnice.

Bude ním záporné číslo 𝑥 = (−3).

Navrhnutý spôsob riešenia rovnice 𝑥 + 5 = 2 je nepraktický, ktorý žiakom na 2. stupni

ZŠ nebude vyhovovať. Zrejme by očakávali, že bude výhodnejšie poznať rozdiel (2 − 5)

a danú rovnicu potom riešiť pomocou odčítania čísla 5 od obidvoch strán rovnice. K tomu budú

potrebovať nové teoretické rozšírenie oboru prirodzených čísel práve o takéto rozdiely.

Celé čísla (prirodzené čísla spolu so zápornými) môžeme v určitom širšom význame

chápať ako všetky možné rozdiely dvoch prirodzených čísel. Problém je však v tom, že niektoré

rozdiely neexistujú v množine prirodzených čísel.

Napríklad ako sme už poukázali rozdiel (2 − 5), ktorý by mal byť riešením našej rovnice

neexistuje v množine prirodzených čísel. Na druhej strane, zrejme aj rozdiel (0 − 3) je

riešením našej rovnice. Všimnime si jednu podstatnú skutočnosť. Ak rozdiel prirodzených čísel

(2 − 5) a zároveň aj rozdiel (0 − 3) je hľadaným riešením rovnice, potom musí platiť rovnosť

(𝟐 − 𝟓) = (𝟎 − 𝟑).

Po jednoduchej úprave (postupné pričítanie čísla 5 a čísla 3 k obidvom stranám rovnosti)

dostaneme rovnosť

𝟐 + 𝟑 = 𝟎 + 𝟓.

To znamená, že dva rozdiely prirodzených čísel (𝟐 − 𝟓) a (𝟎 − 𝟑) budú predstavovať to isté

záporné číslo (−3) práve vtedy, ak platí rovnosť 𝟐 + 𝟑 = 𝟎 + 𝟓.

Platnosť poslednej rovnosti vieme bez problémov overiť, pretože sčitovať prirodzené čísla

sme sa naučili v prvej kapitole.

Z uvedeného vyplýva, že celé čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc prirodzených čísel,

pričom dve dvojice prirodzených čísel (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) budú predstavovať to isté celé číslo, ak

bude platiť rovnosť 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏.

34

3.1 Rozšírenie oboru prirodzených čísel na obor celých čísel

Nech ℕ je množina všetkých prirodzených čísel a nech ℕ × ℕ je karteziánsky súčin tejto

množiny. Definujme binárnu reláciu 𝑅 ⊂ ℕ × ℕ takto:

(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏.

Slovom:

Dve usporiadané dvojice prirodzených čísel (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) sú v relácii13, ak platí rovnosť 𝑎 +

𝑑 = 𝑐 + 𝑏 (súčet prvého člena prvej dvojice s druhým členom druhej dvojice sa rovná súčtu prvého člena druhej

dvojice s druhým členom prvej dvojice).

Relácia R je reflexívna, symetrická a tranzitívna.

Dôkaz:

1. Nech 𝑅 je binárna relácia s požadovanou vlastnosťou a nech (𝑥, 𝑥) ∈ ℕ × ℕ je

ľubovoľná dvojica prirodzených čísel. Potom zrejme platí (𝑥, 𝑥)𝑅(𝑥, 𝑥), lebo platí 𝑥 +

𝑥 = 𝑥 + 𝑥. Odkiaľ dostaneme, že relácia 𝑅 ⊂ ℕ × ℕ je reflexívna.

2. Nech ľubovoľné dve usporiadané dvojice sú v relácii 𝑅: (𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑). Posledný vzťah

je ekvivalentný s rovnosťou: 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏. Rovnosť prirodzených čísel je symetrická,

preto tiež platí: 𝑐 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑑. Táto rovnosť je ekvivalentná so vzťahom (𝑐, 𝑑)𝑅(𝑎, 𝑏),

preto platí: binárna relácia je 𝑅 symetrická.

3. Nech platí (𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) a zároveň (𝑐, 𝑑)𝑅(𝑒, 𝑓). Z definície relácie 𝑅 vyplýva, že musí

platiť 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏 a zároveň 𝑐 + 𝑓 = 𝑑 + 𝑒. Pripočítajme k prvej rovnosti číslo 𝑓 a

k druhej rovnosti číslo 𝑏. Dostaneme rovnosti 𝑎 + 𝑑 + 𝑓 = 𝑐 + 𝑏 + 𝑓, 𝑐 + 𝑓 + 𝑏 =

𝑑 + 𝑒 + 𝑏.

Zrejme platí 𝑐 + 𝑏 + 𝑓 = 𝑐 + 𝑓 + 𝑏 (komutatívnosť sčítania). Ak využijeme, že

rovnosť prirodzených čísel je tranzitívna, tak dostaneme 𝑎 + 𝑑 + 𝑓 = 𝑑 + 𝑒 + 𝑏. Teraz

stačí aplikovať komutatívnosť a vetu o krátení a dostaneme (𝑎, 𝑏)𝑅(𝑒, 𝑓).

Dôsledky:

Relácia R je reláciou ekvivalencie na množine ℕ × ℕ.

Existuje rozklad množiny ℕ × ℕ podľa relácie R.

Tento rozklad budeme označovať symbolom ℕ × ℕ/𝑅. Skúmajme triedy rozkladu.

13 Binárna relácia 𝑅 je množina, ktorej prvky sú dvojice prirodzených čísel!

35

Nech ℕ = {0,1,2, … , 𝑛, … } je množina všetkých prirodzených čísel. Potom rozklad ℕ ×

ℕ ∕ 𝑅 je množina, ktorej prvky/triedy sú podmnožiny karteziánskeho súčinu. Každá trieda

obsahuje len prvky, ktoré sú usporiadanými dvojicami prirodzených čísel!

Príklad.

Označme symbolom 𝑻(𝟏,𝟎) triedu, ktorá obsahuje dvojicu (𝟏, 𝟎) ∈ ℕ × ℕ. Potom trieda

𝑇(1,0) bude obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu (𝒏 + 𝟏, 𝒏), lebo platí (1, 0)𝑅(𝑛 +

1, 𝑛) ⟺ 1 + 𝑛 = (𝑛 + 1) + 0. Triedu 𝑇(1,0) môžeme určiť vymenovaním jej prvkov:

𝑻(𝟏,𝟎) = {(1, 0), (2, 1), (3, 2), … , (𝑛 + 1, 𝑛),… }.

Podobne by sme ukázali, že trieda 𝑇(0,1), ktorá obsahuje dvojicu (0,1) ∈ ℕ × ℕ bude

obsahovať aj všetky usporiadané dvojice typu (𝑛, 𝑛 + 1).

𝑻(𝟎,𝟏) = {(0, 1), (1, 2), … , (7, 8), … , (𝑛, 𝑛 + 1),… }.

Označenie pre triedy rozkladov 𝑻(𝟏,𝟎), 𝑻(𝟎,𝟏) môžeme nahradiť aj inými symbolmi.

Napríklad v literatúre sa objavujú symboly (1, 0)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅, (0, 1)̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅. My použijeme jednoduchšie symboly

1, -1, čo sú vlastne arabské číslice pre označenie celých čísel.

Poznámky.

Vo všeobecnosti trieda rozkladu, do ktorej patrí usporiadaná dvojica (𝑎, 𝑏) je množina

všetkých usporiadaných dvojíc (𝑥, 𝑦), ktorá môže byť symbolicky zapísaná ako

𝑻(𝒂,𝒃) = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℕ × ℕ: 𝒂 + 𝒚 = 𝒙 + 𝒃}

Všimnime si, že triedy rozkladu, ktoré prináležia usporiadanej dvojici (𝑎, 𝑏), kde 𝑎 ≥

𝑏, budú reprezentované prirodzenými číslami. V prípade, že 𝑎 < 𝑏 dostaneme triedy

rozkladu, ktoré budú reprezentované zápornými číslami.

Naše úvahy o triedach rozkladu ℕ × ℕ/𝑅 nás oprávňujú zaviesť množinu všetkých celých

čísel ako množinu tried tohto rozkladu. Zhrňme si naše úvahy:

1. Za základnú (východiskovú) množinu sme zvolili množinu prirodzených čísel ℕ,

ktorú sme napríklad popísali Peanovou aritmetikou.

2. Vytvorili sme množinu všetkých usporiadaných dvojíc (𝑥, 𝑦) prirodzených čísel

pomocou karteziánskeho súčinu ℕ × ℕ.

3. Dvojice prirodzených čísel sme zatriedili do skupín tak, že pre ľubovoľné dve dvojice

čísel (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) z rovnakej skupiny platí rovnosť 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏.

Uvedieme definíciu množiny celých čísel, ktorá vychádza z týchto úvah.

36

3.2 Množina celých čísel

Nech 𝑅 ⊂ ℕ × ℕ je relácia ekvivalencie, pre ktorú platí:

(𝑎, 𝑏)𝑅(𝑐, 𝑑) ⟺ 𝑎 + 𝑑 = 𝑐 + 𝑏

a nech ℤ = ℕ × ℕ/𝑅 je rozklad množiny ℕ × ℕ podľa relácie 𝑅. Potom prvky množiny ℤ

budeme nazývať celé čísla.

Poznámka.

Nech (𝑎, 𝑏) ∈ ℕ × ℕ, potom v prípade:

𝑎 ≥ 𝑏 triedu rozkladu 𝑇(𝑎,𝑏) budeme označovať symbolom 𝒏, kde 𝑛 = 𝑎 − 𝑏 je

prirodzené číslo, zrejme platí 𝑻(𝒂,𝒃) =𝑻(𝒂−𝒃,𝟎) ≝ 𝒏. Tieto čísla budeme nazývať

nezáporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom ℤ+.

𝑎 < 𝑏 triedu rozkladu 𝑇(𝑎,𝑏) budeme označovať symbolom −𝒏, kde 𝑛 = 𝑏 − 𝑎 je

zrejme prirodzené číslo. V tomto prípade je 𝑻(𝒂,𝒃) =𝑻(𝟎,𝒃−𝒂) ≝ −𝒏. Takéto celé čísla

budeme nazývať záporné celé čísla a množinu všetkých nezáporných čísel symbolom

ℤ−.

3.2.1 Súčet a súčin celých čísel

Relácia ekvivalencie 𝑅 z predchádzajúcej definície nám zabezpečila, že máme „nosič“ pre

celé čísla. Teraz musíme definovať súčet a súčin celých čísel. Nech 𝑇(𝑎,𝑏) a 𝑇(𝑐,𝑑) sú dve celé

čísla (dve triedy rozkladu), potom súčet ⊕ a súčin ⊙ 14 týchto celých čísel popisujú

nasledujúce dve definície.

Sčítanie celých čísel: 𝑻(𝒂,𝒃)⊕𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂+𝒄,𝒃+𝒅)

Násobenie celých čísel: 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻((𝒂.𝒄+𝒃.𝒅),(𝒂.𝒅+𝒃.𝒄))

Zvoľme si tri celé čísla 𝟐, 𝟑, −𝟑. Z definície množiny celých čísel vyplýva, že tieto čísla

sú triedy rozkladu ℕ × ℕ/𝑅. Bez ujmy na všeobecnosti môžeme povedať, že platia vzťahy

𝑇(2,0) ≝ 𝟐, 𝑇(3,0) ≝ 𝟑, 𝑇(0,2) = −𝟐, 𝑇(0,3) = −𝟑.15

Interpretujme súčet tried

𝟐⊕ 𝟑 = 𝑇(2,0)⊕𝑇(3,0) = 𝑻(2+3,0+0) = 𝑇(5,0) = 𝟓

𝟑⊕ (−𝟐) = 𝑇(3,0)⊕𝑇(0,2) = 𝑻(3+0,0+2) = 𝑇(3,2) = 𝟏

𝟐⊕ (−𝟑) = 𝑇(2,0)⊕𝑇(0,3) = 𝑻(2+0,0+3) = 𝑇(2.3) = −𝟏

14 Bežne používané symboly pre sčítanie a násobenie v algebrických štruktúrach. 15 Uvedené vzťahy nezávisia od výberu reprezentantov. Napríklad 𝑇(2,0) = 𝑇(3,1) = 𝑇(n+2,n). Pozri cvičenia

k tejto kapitole.

37

Interpretujme súčin tried

𝟐⊙ 𝟑 = 𝑇(2,0)⊙𝑇(3,0) = 𝑻((2⋅3+0⋅0),(2⋅0+0⋅3)) = 𝑇(6,0) = 𝟔

𝟐⊙ (−𝟑) = 𝑇(2,0)⊙𝑇(0,3) = 𝑻((2⋅0+0⋅3),(2⋅3+0⋅0)) = 𝑇(0,6) = −𝟔

(−𝟐)⊙ (−𝟑) = 𝑇(0,2)⊙𝑇(0,3) = 𝑻((0⋅0+2⋅3),(0⋅3+2⋅0)) = 𝑇(6,0) = 𝟔

Poznámka.

Súčin 𝑻(𝒂,𝒃). 𝑻(𝒄,𝒅) si ľahko zapamätáme pomocou súčinu dvojčlenov

(𝒂 − 𝒃)(𝒄 − 𝒅) = (𝒂. 𝒄 + 𝒃. 𝒅) − (𝒂. 𝒅 + 𝒃. 𝒄).

Takto definovaný súčet a súčin celých čísel je korektný. To znamená, že nie je závislý od

výberu „reprezentantov“ 𝑻(𝒂,𝒃), 𝑻(𝒄,𝒅). Korektnosť definície súčtu znamená, že platí

nasledujúce tvrdenie.

Ak 𝑻(𝒂,𝒃) = 𝑻(𝒑,𝑞) a zároveň 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒓,𝒔), tak:

𝑻(𝒂,𝒃)⊕𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒑,𝑞)⊕𝑻(𝒓,𝒔)

𝑻(𝒂,𝒃)⊙𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒑,𝑞)⊙𝑻(𝒓,𝒔)

Dôkazy týchto tvrdení presahujú rámec tejto publikácie. Vo vysokoškolských kurzoch

z aritmetiky ich študenti dostávajú ako samostatné cvičenia.

Na základe predchádzajúcich úvah môžeme množinu celých čísel symbolicky zapísať ako

množinu:

ℤ = {… ,−3, −2,−1, 0, 1, 2, 3, … }

alebo

ℤ = { 0, ±1,±2,±3, … }.

Vlastnosti celých čísel

1. Pre súčet a súčin celých čísel (tried rozkladu) platí vlastnosť komutatívnosti

a asociatívnosti, pričom súčin je distributívny k sčítaniu.

2. Neutrálny (nulový) prvok pre sčítanie je trieda 𝑻(𝒙,𝒙) ≝ 𝟎.

3. Neutrálny (jednotkový) prvok pre násobenie je trieda 𝑻(𝒙+𝟏,𝒙) ≝ 𝟏.

4. Pre operáciu sčítania k ľubovoľnému číslu (triede) 𝑻(𝒂,𝒃) existuje inverzný prvok

(opačné číslo) 𝑻(𝒃,𝒂). Budeme používať označenie 𝑻(𝒃,𝒂) = −𝑻(𝒂,𝒃) . Napríklad

k celému číslu 𝑇(3,1) ≝ 𝟐 opačné číslo je 𝑇(1,3) = −𝑇(3,1) ≝ −𝟐.

5. Pre ľubovoľné tri celé čísla platia vzťahy (vety o krátení):

𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐 , 𝑎 = 𝑏 ⟺ 𝑎 ∙ 𝑐 = 𝑏 ∙ 𝑐.

38

Pre operáciu násobenia neexistujú inverzné prvky. Napriek tomu má zmysel hovoriť

o inverznej operácii k násobeniu. Budeme ju nazývať delenie.

Ak pre dve celé čísla 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≠ 0 existuje jediné číslo 𝑑 ∈ ℤ, pre ktoré platí rovnosť 𝑎 =

𝑏 ⋅ 𝑑, tak číslo 𝑑 ∈ ℤ nazveme podielom celých čísel 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ v tomto poradí. Symbolicky

zapíšeme 𝑑 = 𝒂 ∶ 𝒃.

Tiež budeme hovoriť, že číslo 𝑏 ∈ ℤ je deliteľ čísla 𝑎 ∈ ℤ.

V ďalšom texte budeme pre súčet i súčin celých čísel používať symboly používané pre

sčítanie a násobenie prirodzených čísel: +, ∙ 16

3.2.2 Absolútna hodnota celého čísla

Každému celému číslu 𝑥 môžeme priradiť nezáporné celé číslo, ktoré sa volá absolútna

hodnota tohto čísla.

Absolútnu hodnotu celého čísla 𝑥 ∈ ℤ označujeme |𝑥| a definujeme takto:

|𝑥| = 𝑥, ak 𝑥 ≥ 0

|𝑥| = −𝑥, ak 𝑥 < 0

V zmysle tejto definície bude absolútna hodnota nezáporného čísla rovná tomu istému

číslu.

Príklad.

Pre nezáporné celé číslo (napríklad pre 𝑥 = 5) bude absolútna hodnota to isté nezáporné

číslo. Symbolicky |5| = 5, |0| = 0, čo sú zrejme nezáporné celé čísla.

Pre záporné celé číslo (napríklad pre 𝑥 = −3) bude absolútna hodnota opäť nezáporné číslo,

presnejšie bude to opačné číslo k tomuto číslu. Symbolicky: |−3| =

−(−3) = 3.

K číslu (triede) 𝑻(𝟎,3) je opačné číslo (trieda) −𝑻(𝟎,3) = 𝑻(𝟑,0) = 3.

V nasledujúcom tvrdení sú zahrnuté niektoré základné vlastnosti absolútnej hodnoty.

Vlastnosti absolútnej hodnoty celých čísel

Pre ľubovoľné reálne čísla 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ platí:

1. |𝑥| = |−𝑥|

2. |𝑎 + 𝑏| ≤ |𝑎| + |𝑏|

3. |𝑎. 𝑏| = |𝑎|. |𝑏|.

16 Uvedomte si, že operácie sčítania a násobenia v obore celých čísel sú odlišné od operácii sčítania a násobenia

v obore prirodzených čísel. Napriek tomu má zmysel používať rovnaké symboly v obidvoch oboroch.

39

3.2.3 Usporiadanie na množine celých čísel

Podobne ako na množine prirodzených čísel môžeme zaviesť aj usporiadanie na množine

celých čísel.

Na množine celých čísel ℤ zavedieme binárnu reláciu ≤ takto:

Celé číslo 𝑎 je menšie nanajvýš rovné celému číslu 𝑏 (označenie 𝑎 ≤ 𝑏 ) práve vtedy, ak

existuje prirodzené číslo 𝑝 ∈ ℕ a zároveň 𝑎 + 𝑝 = 𝑏.

Takto definovaná binárna relácia ≤ má tri základné vlastnosti: je antisymetrická,

tranzitívna a úplná. Dôkazy týchto tvrdení sú analogické ako pri množine prirodzených čísel.

Usporiadanie ≤ celých čísel uvedené v našej definícii budeme jednoducho nazývať prirodzené

usporiadanie. Viac o usporiadaní celých čísel čitateľ môže získať v literatúre [KLENOVČAN,

HAVIAR, 1996, 1998]

3.2.4 Záporné čísla – historický pohľad a modely

Dejiny matematiky nám naznačujú, že ak chceme pochopiť podstatu pojmu záporného

čísla, tak to nebude ľahká vec. Matematici v rôznych historických obdobiach považovali

záporné čísla za absurdné (Diofantos), klamné (Descart) a fiktívne (Bombelli). „Táto

informácia nám prezrádza, že záporné čísla neboli pre týchto matematikov prirodzené a ich

prijatie nebolo elementárne.“ [KAPUSTOVÁ, 2012].

Podľa doteraz známych archeologických objavov záporné čísla sa objavili po prvýkrát

v čínskej matematike. V knihe „Deväť kapitol matematického umenia“ (Jiu Zhang Suan-shu17),

ktorá v súčasnej podobe pochádza z obdobia dynastie Han (202 pred n. l - 220 n. l.) sú použité

červené „úsečky“ pre kladné čísla a čierne pre záporné čísla18.

Obrázok 6: Kladné a záporné čísla v Číne

17 Tiež Chou Pei Suan Ching, (周髀算經) 18 TEMPLE, 1986, str. 141.

40

Tento systém je presný opak súčasného zapisovania kladných a záporných čísel v oblasti

bankovníctva, účtovníctva a obchode, kde červené čísla označujú záporné hodnoty a čierne

číslice znamenajú kladné hodnoty. Bežne sa hovorí: Firma sa ocitla v červených číslach.

V 7. storočí nášho letopočtu v Indii, boli záporné čísla použité na vyjadrenie dlhu. Indický

matematik Brahmagupta19 v Brahma-Sphuta-Siddhanta, píše o záporných čísel pri riešení

kvadratickej rovnice. Tiež uvádza pravidlá pre operácie sčítania a násobenia so zápornými

číslami. Používal termíny "dlh“ a „úver“.

Islamskí matematici v 8. storočí prevzali záporné čísla od indickej matematiky, pomocou

ktorých tiež vyjadrovali dlhy. Známy islamský text, ktorý používa záporné čísla je Kniha o

nevyhnutnosti aritmetiky pre pisárov a podnikateľov od Abū al-Wafā' al-Būzjānī.

Záporné čísla „prišli“ do Európy cez latinské preklady arabských a indických diel.

Európski matematici sa bránili konceptu záporných číslach až do 17. storočia, hoci Fibonacci

používal pri riešení finančných problémov záporné čísla (Libier Abaci, 1202). Gottfried

Wilhelm Leibniz bol prvý matematik, ktorý systematicky využíval záporné čísla.

Zaujímavý model pre záporné čísla - čierne a červené paličky - vychádza z čínskeho

spôsobu zápisu záporných čísel. Tento model je vhodný aj pre žiakov základných škôl. Stačí

im povedať pravidlo: Jedna čierna a jedna červená palička sa vyruší. Teda rovnaký počet

čiernych a červených paličiek dáva nulu. Potom napríklad rovnosť 3 + (−2) = 1 môžeme

reprezentovať ako obrázok

Obrázok 7: Sčítanie – čínsky model

Model „Tajná chodba“ je popísaný v práci [HEJNÝ, 2004], v ktorom používame

pravidlo: Vystúp o jeden schod predstavuje prirodzené číslo 1 a zostup o jeden schod

predstavuje záporné číslo (−1). Potom matematickú úlohu na sčítanie v obore celých čísel

môžeme prezentovať ako prechádzku po chodbe, v ktorej sa nachádzajú viaceré schodištia

v smere nahor ako aj nadol.

Pravdepodobne najprirodzenejším a najpraktickejším modelom pre operácie sčítania ale

i násobenia v obore celých čísel zrejme ostane číselná os. V tomto prípade na grafické

19 Pozri http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta

41

znázornenie celých čísel využívame priamku 𝑜 ako jednorozmerný geometrický útvar, na ktorej

vyznačíme dva pevné body 0,1. Označme veľkosť úsečky, ktorá je určená týmito bodmi

symbolom: 𝑑(0,1) = 1𝑗.

Celému číslu 𝑎 ∈ ℤ potom priradíme bod na priamke podľa pravidiel:

1. Napríklad, ak číslo 𝑎 = 3 je nezáporné, tak jeho obraz na číselnej osi bude bod 3 na

polpriamke 01⃗⃗⃗⃗ , pričom pre veľkosť úsečky 03 bude platiť 𝑑(03) = 3. 𝑑(01) = 3𝑗.

2. Ak číslo 𝑎 = −4 je záporné, tak jeho obraz na číselnej osi bude bod −4 na opačnej

polpriamke k polpriamke 01⃗⃗⃗⃗ , pričom vzdialenosť bodu (−4) bude rovná číslu

|−4|. 𝑑(01) = 4𝑗.

Číselná os je teda priamka, na ktorej sú znázornené celé čísla. Využívame ju hlavne

v školskej matematike v aplikačných úlohách o teplote alebo úlohách z finančnej

matematiky o aktívach a pasívach. Teplomer s výhodou používame na interpretáciu záporných

čísel, napríklad pri úlohe:

Večer bola teplota vzduchu 𝟑℃ . V noci klesla teplota o 𝟓℃. Aká bola teplota vzduchu

ráno?

Na číselnej osi môžeme aplikovať model profesora Milana Hejného Panáček, ktorý sa

pohybuje po priamke vpravo a vľavo (alebo dopredu a dozadu).

3.2.5 Ďalšie spôsoby zavedenia oboru celých čísel

Zavedenie oboru celých čísel ℤ pomocou relácie ekvivalencie (𝑎 + 𝑑 = 𝑏 + 𝑐) na

množine karteziánskeho súčinu ℕ × ℕ si vyžaduje od študujúceho dobrú počtársku zručnosť

pri práci s dvojicami dvojíc prvkov. To niekedy prináša mnohé numerické chyby, najmä pri

dôkazoch tvrdení o vlastnostiach operácií sčítania a násobenia.

Existujú aj iné spôsoby zavedenia oboru celých čísel. Mac Lane a Birkhoff v ich dobre

známej knihe Algebra uvádzajú nasledujúci spôsob.

Najskôr si označia množinu kladných prirodzených čísel 𝑃 = {𝑝 ∈ ℕ: 𝑝 > 0} a zároveň

vytvoria množinu {−}, ktorá obsahuje len jeden prvok " − ". Množinu celých čísel ℤ

jednoducho zavedú ako disjunktné zjednotenie množín ({−} × 𝑃)⨃ℕ, pričom usporiadanú

dvojicu ({−}, 𝑝) označia symbolom – 𝑝. Neformálne tak vytvorili množinu celých čísel ℤ =

42

{… ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … }. Je to jednoduché a prirodzené. Väčší problém nastane pri

definovaní sčítania a násobenia. MacLane a Birkhoff definujú najskôr funkciu „odčítania“

𝒇: ℕ × ℕ → ℤ pre všetky 𝑚, 𝑛, 𝑘 ∈ ℕ pomocou pravidiel

𝒇(𝒏 + 𝒌, 𝒏) = 𝒌, 𝒇(𝒎,𝒎 + 𝒌) = −𝒌.

Súčet dvoch celých čísel potom definujú nasledovne

𝑓(𝑢)⊕ 𝑓(𝑣) = 𝑓(𝑢 + 𝑣), 𝑢, 𝑣 ∈ ℕ × ℕ.

Na prvý pohľad je takáto definícia veľmi jednoduchá. Sčítanie celých čísel je zavedené

pomocou „sčítania usporiadaných dvojíc“ prirodzených čísel, ktoré sa chápe ako „sčítanie po

zložkách“20. Problém je v tom, že treba dokázať existenciu a korektnosť takto definovaného

sčítania 𝑓(𝑢)⊕ 𝑓(𝑣). Naznačíme myšlienku dôkazu.

Z vlastností funkcie „odčítania“ 𝒇: ℕ × ℕ → ℤ vyplýva, že pre pevne zvolené celé číslo

𝑎 ∈ ({−} × 𝑷)⨃ℕ existuje nekonečne veľa dvojíc 𝑢 ∈ ℕ × ℕ, pre ktoré zároveň platí 𝑎 =

𝑓(𝑢). V karteziánskom súradnom systéme všetky takéto dvojice 𝑢 = (𝑚, 𝑛) reprezentujú body

s celočíselnými súradnicami (𝑚, 𝑛), ktoré ležia v prvom kvadrante a zároveň na polpriamke.

MacLane a Birkhoff dvojice tvaru (𝑚,𝑚) nazývajú diagonále dvojice. Na obrázku č.8 sú to

body ležiace na modrej polpriamke..

Ukázať korektnosť sčítania 𝑓(𝑢)⊕ 𝑓(𝑣) znamená dokázať tvrdenie:

Pre ľubovoľné dve reprezentácie 𝑢, 𝑢´ celého čísla 𝑎 (𝑎 = 𝑓(𝑢) = 𝑓(𝑢´)) a zároveň pre

ľubovoľné dve reprezentácie 𝑣, 𝑣´ celého čísla 𝑏 (𝑏 = 𝑓(𝑣) = 𝑓(𝑣´)) platí vzťah

𝒇(𝒖)⊕ 𝒇(𝒗) = 𝒇(𝒖´) ⊕ 𝒇(𝒗´), 𝑢, 𝑢´, 𝑣, 𝑣´ ∈ ℕ × ℕ.

Dôkaz, ktorý je uvedený v práci [BIRKHOFF,1979] využíva vlastnosti funkcie

„odčítania“ 𝑓: ℕ × ℕ → ℤ a k nej pravej inverznej funkcie 𝑔: ℤ → ℕ × ℕ. Dôkaz je ukážka

typického matematického prístupu. Pri súčine dvoch celých čísel postupujú analogicky.

20 Ak (𝑝, 𝑞), (𝑟, 𝑠) ∈ ℕ × ℕ sú dve usporiadané dvojice, tak ich súčet je dvojica (𝑝 + 𝑟, 𝑞 + 𝑠) ∈ ℕ × ℕ.

43

Obrázok 8: Funkcia "odčítania"

Spôsob zavedenia celých čísel podľa MacLane, Birkhoff vlastne ukrýva rozklad množiny ℕ ×

ℕ podľa relácie „odčítania“. Relácia je zrejme ekvivalencia a triedy rozkladu sú dvojice ležiace

na polpriamkach rovnobežných s polpriamkou, ktorá obsahuje len diagonálne dvojice.

44

Cvičenie

1. Spočítajte a zdôvodnite:

𝟐 ⨁(−𝟑) =

(−𝟓 )⨁(−7) =

𝟑 ⨀ (−𝟐) =

(−𝟓 )⨀(−𝟕) =

2. Dokážte, že pre ľubovoľné celé čísla 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℤ platí:

𝑎 + (−𝑏) = −(𝑏 + (−𝑎))

(−𝑎) + (−𝑏) = −(𝑎 + 𝑏)

𝑎 ∙ (−𝑏) = −(𝑎 ∙ 𝑏)

(−𝑎) ∙ (−𝑏) = 𝑎 ∙ 𝑏

3. Dokážte, že pre dve triedy 𝑇(𝑎,𝑏), 𝑇(𝑐,𝑑) rozkladu ℕ × ℕ ∕ 𝑅 platí práve jeden zo

vzťahov: 𝑇(𝑎,𝑏) = 𝑇(𝑐,𝑑) alebo 𝑇(𝑎,𝑏) ∩ 𝑇(𝑐,𝑑) = ∅. Dve triedy sa buď rovnajú alebo

nemajú žiadny spoločný prvok!

4. V množine celých čísel riešte:

a. rovnicu |𝑥| + 2 = 5

b. nerovnicu |𝑥| + 2 ≤ 5.

5. Ukážte, že množinu celých čísel možno rozdeliť do dvoch disjunktných skupín

ℤ2𝑘 = {0,±2 , ±4,… ,±2𝑘,… } a ℤ2𝑘+1 = { ±1 , ±3,… ,±(2𝑘 + 1), … },

kde 𝑘 je prirodzené číslo. Čísla z množiny ℤ𝟐𝒌 nazývame párne celé čísla a čísla

z množiny ℤ𝟐𝒌+𝟏 nazývame nepárne celé čísla.

6. Dokážte, že platí 𝑇(2,0) = 𝑇(3,1) = 𝑇(n+2,n).

45

4 Obor racionálnych čísel

Ľahko sa presvedčíme, že algebrická rovnica 6𝑥 + 3 = 6, ktorej koeficienty sú celé čísla

nemá v obore celých čísel riešenie. Stačí pripočítať k obidvom stranám rovnice číslo −3

a dostaneme rovnicu

6𝑥 = 3,

ktorej riešením nemôže byť celé číslo.

Na ľavej strane rovnice 6𝑥 = 3 máme párne číslo 2 ∙ (3𝑥) = 2 ∙ 𝑘, ale na pravej strane nepárne

číslo 3 = 2. 1 + 1. To nie je možné!

Na chvíľu predpokladajme, že existuje celé číslo, ktoré je riešením danej rovnice 6𝑥 = 3.

Z predchádzajúcej kapitoly vieme, že také číslo 𝑥 musí byť podiel 𝟑 ∶ 𝟔 celých čísel 3, 6. Teda

muselo by platiť: 𝑥 = (3 ∶ 6).

Zároveň zo základnej školy vieme, že rovnicu 6𝑥 + 3 = 6 môžeme upraviť na tvar 2𝑥 +

1 = 2 . Riešením tejto rovnice je číslo 𝑥 =1

2, ktoré nie je celé. Zlomok

1

2 vlastne predstavuje

podiel 𝟏 ∶ 𝟐, teda 𝑥 = (1 ∶ 2).

Ľahko sa presvedčíme, že rovnica 6𝑥 + 3 = 6 má nanajvýš jedno riešenie. Totiž, ak by

existovali dve rôzne riešenia 𝑥1, 𝑥2[𝑥1 ≠ 𝑥2], tak by muselo platiť 6𝑥1 + 3 = 6 a zároveň

6𝑥1 + 3 = 6. Odkiaľ dostaneme, že 6𝑥1 + 3 = 6𝑥1 + 3. Aplikovaním viet o krátení v obore

celých čísel dostaneme 𝑥1 = 𝑥2, čo je v spore s predpokladom.

Zistili sme, že riešením rovnice 6𝑥 + 3 = 6 sú „podiely“ (3 ∶ 6), (1 ∶ 2). Lenže takéto

podiely v obore celých čísel neexistujú. Na druhej strane, ak zostrojíme vhodný číselný obor,

v ktorom rovnica bude mať riešenie, tak musí platiť (3 ∶ 6) = (1 ∶ 2). V nasledujúcej časti

vytvoríme obor racionálnych čísel, v ktorom naša rovnica bude mať riešenie.

Racionálne čísla môžeme v určitom širšom význame chápať ako všetky možné podiely

dvoch celých čísel. Ukázali sme jednu podstatnú skutočnosť. Ak „podiel“ celých čísel (3 ∶ 6)

a zároveň aj podiel (1 ∶ 2) je hľadaným riešením rovnice, potom musí platiť rovnosť

(𝟑 ∶ 𝟔) = (𝟏 ∶ 𝟐).

Ak na chvíľu použijeme označenie 𝑥1 = (3 ∶ 6) a 𝑥2 = (1 ∶ 2), tak je zrejmé, že

(𝑥1 = 𝑥2) ⟺ (6𝑥1 = 6𝑥2) ⟺ (1. 6. 𝑥1 = 2. 3. 𝑥2).

Po vykrátení dostaneme ekvivalentnú rovnosť: (𝟏. 𝟔 = 𝟐. 𝟑).

Inými slovami „Rovnosť podielov (𝟑 ∶ 𝟔)=(𝟏 ∶ 𝟐) je ekvivalentná s rovnosťou súčinov

(𝟏. 𝟔 = 𝟐. 𝟑). Rovnosť podielov dvoch celých čísel sme nahradili rovnosťou, kde sa vyskytuje

46

len súčin celých čísel. Súčin je však neobmedzene definovaná operácia v obore celých čísel, t.j.

vieme vynásobiť ľubovoľné dve celé čísla.

Z uvedeného vyplýva, že racionálne čísla môžeme zaviesť pomocou dvojíc celých čísel,

pričom dve dvojice celých čísel (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) budú predstavovať to isté racionálne číslo

[(𝒂, 𝒃) = (𝒄, 𝒅)], ak bude platiť rovnosť [𝒂 ∙ 𝒅 = 𝒄 ∙ 𝒃].

4.1 Množina racionálnych čísel

V tejto kapitole nebudeme podrobne rozoberať postup definovania racionálnych čísel.

Zameriame sa na vzájomný vzťah medzi zavedením množiny celých čísel a zavedením

množiny racionálnych čísel. Z tabuľky č.1 je zrejmé, že rozdiel je len v základnej množine a

v predpise pre reláciu ekvivalencie.

Pri celých číslach sú východiskom prirodzené čísla a pri racionálnych číslach už môžeme

použiť celé čísla! Relácia ekvivalencie pri celých číslach predstavuje „rozdiel“ prirodzených

čísel a pri racionálnych číslach je to „podiel“ celých čísel.

Tabuľka 1: Vzťah medzi Z a Q

Celé čísla, označenie ℤ Racionálne čísla, označenie ℚ

Definujeme binárnu reláciu

𝑹 ⊂ ℕ × ℕ 𝑹 ⊂ ℤ × ℤ∗

celé číslo – ako „rozdiel“ racionálne číslo – ako „podiel“

(𝒂, 𝒃)𝑹(𝒄, 𝒅) ↔ 𝒂 + 𝒅 = 𝒄 + 𝒃 (𝒂, 𝒃)𝑹(𝒄, 𝒅) ↔ 𝒂 ∙ 𝒅 = 𝒄 ∙ 𝒃

Relácia je reláciou ekvivalencie

Existuje rozklad na množine ℕ × ℕ resp. ℤ × ℤ∗

𝑻(𝒂,𝒃) = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℕ × ℕ: (𝒙, 𝒚)𝑹(𝒂, 𝒃)} 𝑻(𝒂,𝒃) = {(𝒙, 𝒚) ∈ ℤ × ℤ∗: (𝒙, 𝒚)𝑹(𝒂, 𝒃)}

𝑇(1,2) = {(1,2), (0,1), (5,6), … } = −𝟏 𝑇(1,2) = {(1,2), (2,4), … } =𝟏

𝟐

Upozornenie: Pri racionálnych číslach musí pre každú dvojicu (𝑥, 𝑦) platiť: 𝑦 ≠ 0.

47

Rozdiely v definícii operácií sčítania a násobenia popisuje tabuľka č.2.

Tabuľka 2: Sčítanie a násobenie

Definujeme operáciu sčítanie v (ℤ,,⊙) a (ℚ,,⊙)

Celé čísla - (ℤ,,⊙) Racionálne čísla - (ℚ,,⊙)

𝑻(𝒂,𝒃) 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂+𝒄,𝒃+𝒅) 𝑻(𝒂,𝒃) 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂∙𝒅+𝒄∙𝒃,𝒃∙𝒅)

(𝟐, 𝟏)(𝟑, 𝟓) ↔ (4, 5) ↔ 𝑇(0,1) ↔ −𝟏 (𝟐, 𝟏)(𝟑, 𝟓) ↔ (13, 5) ↔ 𝑇(13,5) ↔𝟏𝟑

𝟓

𝟏 + (−𝟐) = −𝟏 𝟐

𝟏+𝟑

𝟓=𝟏𝟑

𝟓

Operácia sčítania je komutatívna, asociatívna

Definujeme operáciu násobenie v (ℤ,,⊙) a (ℚ,,⊙)

𝑻(𝒂,𝒃) 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂∙𝒄+𝒃∙𝒅,𝒂∙𝒅+𝒃∙𝒄) 𝑻(𝒂,𝒃) 𝑻(𝒄,𝒅) = 𝑻(𝒂∙𝒄,𝒃∙𝒅)

(𝟐, 𝟏) ⊙ (𝟑, 𝟓) ↔ (11, 13) ↔ 𝑇(0,2) ↔ −𝟐 (𝟐, 𝟏)⊙ (𝟑, 𝟓) ↔ (6, 5) ↔ 𝑇(6,5) ↔𝟔

𝟓

𝟏 ∙ (−𝟐) = −𝟐 𝟐𝟏⁄ ∙ 𝟑 𝟓⁄ = 𝟔 𝟓⁄

Operácia násobenia je komutatívna, asociatívna a

distributívna vzhľadom na operáciu sčítania

(ℤ,,⊙) je obor integrity (ℚ,,⊙) je teleso21

Postupy pri dôkazoch vlastností operácií v množine ℚ všetkých racionálnych čísel sú

analogické ako pre množinu celých čísel ℤ.

Z tvrdenia (ℚ,,⊙) je teleso, vyplýva aj skutočnosť, že pre ľubovoľné racionálne číslo

𝑟 ≠ 0 existuje inverzné číslo 𝑟−1 ∈ ℚ. Ak označíme 𝑟 = 𝑇(𝑝,𝑞), tak 𝑟−1 = 𝑇(𝑞,𝑝). V tomto

prípade je 𝑝 ≠ 0 a naviac [𝑟 ⊙ 𝑟−1 = 𝟏 ] ⇔ [ 𝑝

𝑞⋅𝑞

𝑝= 1]. Dôkaz tvrdenia: Operácia sčítania

a násobenia je komutatívna, ... prenechávame čitateľovi ako samostatné cvičenie.

Zjednodušene povedané množinu racionálnych čísel reprezentujú všetky zlomky, ktoré sú

v základnom tvare. Mimochodom sú to aj všetky celé čísla, lebo pre 𝑎 ∈ ℤ je zlomok 𝑎

1

21 Termíny používané v algebre

48

v základnom tvare a teda reprezentuje racionálne číslo. Zlomky je možné zobraziť aj na číselnej

osi, ak využijeme prirodzené usporiadanie na množine racionálnych čísel. Napríklad pre

zlomky 1

3,1

2 platí 0 <

1

3<1

2< 1, preto obrazy týchto zlomkov budú ležať medzi bodmi 0,1.

Príklad.

Nech 𝑎, 𝑏 ∈ ℚ sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú body

𝐴, 𝐵. Ukážeme, že aritmetický priemer 𝑎+𝑏

2 je opäť racionálne číslo a jeho obraz na číselnej osi

je stred úsečky 𝐴𝐵.

Aritmetický priemer 𝑎+𝑏

2 je zlomok. Môžu nastať dva prípady:

1. Zlomok 𝑎+𝑏

2 je v základnom tvare (nemožno ho krátiť). V tomto prípade daný zlomok

reprezentuje racionálne číslo určené triedou rozkladu 𝑇(𝑎+𝑏,2).

2. Zlomok 𝑎+𝑏

2 nie je v základnom tvare: Vtedy existuje nejaké prirodzené číslo 𝑘, ktorým

zlomok vykrátime na základný tvar 𝑝

𝑞. Z vlastností o krátení zlomkov totiž musí platiť

𝑎+𝑏

2=𝑝.𝑘

𝑞.𝑘=𝑝

𝑞 . Z týchto rovností ľahko odvodíme, že platí rovnosť (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑞 = 𝑝 ∙ 2.

Posledná rovnosť hovorí, že dvojica (𝑎 + 𝑏, 2) je ekvivalentná s dvojicou (𝑝, 𝑞).

Obidve dvojice patria do rovnakej triedy rozkladu, preto musí platiť 𝑇(𝑎+𝑏,2) = 𝑇(𝑝,𝑞) .

Posledná rovnosť hovorí, že zlomok 𝑎+𝑏

2 reprezentuje racionálne číslo.

Ukázať, že obraz aritmetického priemeru bude stred úsečky je jednoduché. Stačí si uvedomiť,

že pre stred 𝑆 úsečky 𝐴𝐵 platí vzťah |𝐴𝑆| = |𝑆𝐵|.

Skutočnosť, že aritmetický priemer dvoch racionálnych čísel je opäť racionálne číslo, je

veľmi zaujímavá z hľadiska rozloženia racionálnych čísel na číselnej osi.

Vytvorme algoritmus „aritmetický priemer“:

1. Nech 𝑎1, 𝑎2 sú dve rôzne racionálne čísla a ich reprezentácie na číselnej osi nech sú

body 𝐴1, 𝐴2. Označme stred úsečky 𝐴1𝐴2 symbolom 𝐴3, ktorý reprezentuje

aritmetický priemer 𝑎3 =𝑎1+𝑎2

2 .

2. Prvý krok zopakujme s racionálnymi číslami 𝑎𝑘, 𝑎𝑘+1 postupne pre 𝑘 = 2, 3, …

Tento algoritmus nie je konečný, pretože pre ľubovoľne veľké prirodzené číslo 𝑘 sú body

𝑨𝒌, 𝑨𝒌+𝟏 rôzne!

Interpretujme niekoľko krokov tohto algoritmu. V prvom kroku zvoľme racionálne čísla 𝑎1 =

0, 𝑎2 = 1. Aritmetický priemer týchto čísel je 𝟏

𝟐. Zobrazme tieto tri čísla na číselnej osi.

Vypočítajme aritmetické priemery

49

𝟎+

𝟏

𝟐

𝟐=𝟏

𝟒,𝟏

𝟐+𝟏

𝟐=𝟑

𝟒

a zobrazme čísla 𝟏

𝟒, 𝟑

𝟒 na číselnej osi. Teraz môžeme vypočítať ďalšie aritmetické priemery

𝟏

𝟖,

𝟑

𝟖,𝟓

𝟖,𝟕

𝟖 a zároveň vyznačiť ďalšie stredy úsečiek.

Postupne na číselnej osi budú pribúdať ďalšie a ďalšie stredy úsečiek. Po dostatočnom počte

krokov bude množina stredov úsečiek „hustá“. Pozri obrázok č.9.

Obrázok 9: Hustota racionálnych čísel

Úvahy o hustote množiny ℚ nás navádzajú k tvrdeniu, že obrazy racionálnych čísel

„pokryjú“ celú číselnú os. Takýto záver by bol predčasný.

Napríklad √2

2 nie je racionálne číslo (neskôr ukážeme, že je to iracionálne číslo). Jeho obraz

leží niekde v otvorenom intervale (0, 1). Ak budeme toto číslo postupne deliť dvomi, tak

dostaneme nekonečne veľa iracionálnych čísel ležiacich v otvorenom intervale (0, 1).

4.2 Vzťahy medzi množinami ℕ, ℤ,ℚ

Prirodzené čísla a celé čísla

Zaujímavú podmnožinu množiny celých čísel tvoria nezáporné celé čísla, ktoré sú

reprezentované triedami rozkladu 𝑇(𝑛,0), kde 𝑛 ∈ ℕ. Na označenie tejto podmnožiny používame

symbol ℤ+. Skúmajme vlastnosti tejto podmnožiny. Ľahko nahliadneme, že platí

𝑇(𝑚,0)⊕𝑇(𝑛,0) = 𝑇(𝑚+𝑛,0) a zároveň 𝑇(𝑚,0)⊙𝑇(𝑛,0) = 𝑇(𝑚.𝑛,0)

pre ľubovoľné dve prirodzené čísla 𝑚, 𝑛. Súčet a súčin dvoch nezáporných celých čísel je opäť

nezáporné celé číslo.

Uvažujme o usporiadaných trojiciach (ℕ,+, . ) a (ℤ+,⊕,⊙). Takýmto trojiciam v algebre

hovoríme algebrické štruktúry. Definujme zobrazenie 𝑓: ℕ → ℤ+ pomocou predpisu 𝒏 ↦

𝑻(𝒏,𝟎).

Zobrazenie 𝑓 zrejme dvom rôznym prirodzeným číslam priradí dve rôzne triedy resp.

dve rôzne nezáporné celé čísla.

Pre ľubovoľné nezáporné celé číslo 𝑇(𝑛,0) existuje prirodzené číslo 𝑛, pre ktoré platí

𝑓(𝑛) = 𝑇(𝑛,0).

50

Uvedené dve vlastnosti hovoria, že zobrazenie 𝑓: ℕ → ℤ+ je bijektívne zobrazenie. Z vlastnosti

súčet a súčin dvoch nezáporných celých čísel je opäť nezáporné celé číslo vyplýva, že

𝒇(𝒎 + 𝒏) = 𝒇(𝒎)⊕ 𝒇(𝒏) a zároveň 𝒇(𝒎.𝒏) = 𝒇(𝒎)⊙ 𝒇(𝒏)

V množine celých čísel sme našli podmnožinu ℤ+, ktorá má „rovnaké“ vlastnosti ako

množina všetkých prirodzených čísel. V algebre tomu hovoríme, že štruktúry (ℕ,+, . ) ,

(ℤ+,⊕,⊙) sú izomorfné.

Celé čísla a racionálne čísla

V množine racionálnych čísel je zaujímavá podmnožina ℚ∗ reprezentovaná triedami

rozkladu 𝑻(𝒂,𝟏), ktorým odpovedajú zlomky v základnom tvare 𝑎

1. Podobne ako

v predchádzajúcej časti nájdeme bijekciu 𝑓: ℤ → ℚ∗, ktorá „zachováva“ súčet a súčin.

Podmnožina ℚ∗ má „rovnaké“ vlastnosti ako množina všetkých celých čísel.

Závery z týchto dvoch častí znázornime graficky.

Obrázok 10: Vzťahy medzi číselnými množinami

51

Cvičenie

1. Popíšte triedy rozkladu v obore racionálnych čísel pre súčet a súčin tried 𝑇(1,2), 𝑇(4,3).

𝑇(1,2)⊕𝑇(4,3) =

𝑇(1,2)⊙𝑇(4,3) =

2. Vyznačte na číselnej osi zlomky, ktoré reprezentujú všetky triedy rozkladu

z predchádzajúceho cvičenia.

3. Ukážte, že (−3) nie je prirodzené číslo a 1

2 nie je celé číslo.

4. Pomocou tried rozkladu dokážte, že pre ľubovoľné racionálne čísla 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℚ platí:

𝑎 ⊕ 𝑏 = 𝑏 ⊕ 𝑎,

𝑎 ⊙ 𝑏 = 𝑏 ⊙ 𝑎

𝑎 ⊙ (𝑏 ⊕ 𝑐) = ((𝑎 ⊙ 𝑏)⊕ (𝑎 ⊙ 𝑐))

5. Ukážte, že pre ľubovoľné racionálne číslo 𝑟 ∈ ℚ rôzne od nuly existuje racionálne číslo

−𝑟 ∈ ℚ, pre ktoré platí 𝑟⊕ (−𝑟) = 0.

52

5 Obor reálnych čísel

Matematik Pytagorovej školy menom Hippasus (5. storočie pred n. l.) dokázal, že

uhlopriečka 𝑢 štvorca s jednotkovou stranou 𝑎 = 1 nemôže byť vyjadrená racionálnym

číslom22. Nepoznáme jeho dôkaz, ale keďže bol členom Pytagorovej školy určite dospel

k rovnici 𝑢2 = 12 + 12 a po jednoduchej úprave dostal ekvivalentnú kvadratickú rovnicu s

celočíselnými koeficientmi

𝒖𝟐 = 𝟐.

S využitím vlastností deliteľnosti ukážeme, že táto rovnica nemá v obore racionálnych čísel ℚ

riešenie.

Dokážeme to nepriamo.

Nech existuje racionálne číslo 𝑟 ∈ ℚ, ktoré je riešením našej rovnice. Potom zrejme 𝑟 =

𝑝

𝑞 , pričom celé čísla 𝑝, 𝑞 sú nesúdeliteľné, ich najväčší spoločný deliteľ je rovný číslu 1. Po

dosadení do rovnice 𝑢2 = 2 a po ekvivalentných úpravách dostaneme rovnosť

𝒑𝟐 = 𝟐. 𝒒𝟐.

Na pravej strane rovnosti je určite číslo párne. Z vlastností deliteľnosti celých čísel

vyplýva, že číslo 2 delí číslo na pravej strane rovnosti a zároveň musí deliť aj číslo na ľavej

strane rovnosti. Využijeme skutočnosť, že druhá mocnina párneho čísla je opäť párne číslo

a druhá mocnina nepárneho čísla je nepárne číslo. [Pozri cvičenie]. Teda číslo 𝑝2 je párne, preto

musí byť aj číslo 𝑝 párne. To znamená, že je v tvare 𝑝 = 2𝑘. Po dosadení do rovnosti 𝑝2 =

2. 𝑞2 dostávame

(2𝑘)2 = 2. 𝑞2 ⟺ 𝟐𝒌𝟐 = 𝒒𝟐.

Analogickou úvahou zistíme, že číslo 𝑞 je párne. Keďže aj číslo 𝑝 je párne, tak najväčší

spoločný deliteľ čísel 𝒑, 𝒒 je väčší alebo rovný číslu 2. To je spor s našim predpokladom, že

riešením je racionálne číslo 𝑟 =𝑝

𝑞 , kde 𝑝, 𝑞 sú nesúdeliteľné celé čísla.

Ak označíme jedno riešenie rovnice 𝑢2 = 2 symbolom √2 (druhá odmocnina z dvoch), tak toto

číslo nie je racionálne číslo. Zrejme aj −√2 je riešením rovnice 𝑢2 = 2 a tiež nie je racionálne.

5.1 Množina reálnych čísel

Pri definovaní pojmu reálne číslo vychádzame z existujúcej množiny racionálnych čísel,

ale rozšírenie neurobíme pomocou karteziánskeho súčinu. Konštrukcia, ktorá popíše reálne

číslo je náročnejšia ako pri celých resp. racionálnych číslach. Zo strednej školy si možno

22 Podľa povesti bol Hippasus zvrhnutý z lode do mora a utopený, aby tento objav zostal utajený.

53

pamätáte, že √2 má nekonečný a neperiodický dekadický rozvoj. Dokonca niektorí si pamätajú

aj niekoľko cifier za desatinnou čiarkou, napr. √2 ≈ 1.41421 . Na stránke Wikipedie23 môžete

nájsť až 10 miliónov cifier. Vyjadriť √2 presne ciframi sa nikomu nemôže podariť. Môžeme

však nájsť racionálne číslo, ktoré aproximuje √2 s vopred danou presnosťou, napr. na 10

miliónov cifier.

Z matematického pohľadu vieme nájsť vhodnú postupnosť racionálnych čísel, ktorej

členy sa budú „približovať“ k druhej odmocnine z dvoch. Ak vezmeme do úvahy všetky možné

konvergentné postupnosti racionálnych čísel, tak ich limity budú zahŕňať aj čísla typu √𝑛.

Zostáva otázkou, či popíšeme všetky neracionálne čísla. Odpoveď na túto otázku je kladná.

K tomu by sme však potrebovali „trochu“ viac z matematickej analýzy prípadne algebry. My

zvolíme cestu, ktorou sa vybral Dedekind.

Reálne číslo pomocou dedekindových rezov na množine ℚ.

Podmnožinu 𝛼 ⊂ ℚ nazývame rezom množiny ℚ , ak:

1. Podmnožina 𝛼 je neprázdna množina: 𝛼 ≠ ∅.

2. Doplnok podmnožiny 𝛼 v množine ℚ je tiež neprázdny: ℚ− 𝛼 ≠ ∅.

3. Nech 𝑎 je prvkom rezu 𝛼 a nech 𝑏 ∈ ℚ má vlastnosť 𝑏 ≤ 𝑎. Potom musí aj racionálne

číslo 𝑏 patriť do rezu: 𝑏 ∈ 𝛼.

4. Rez 𝛼 nemá najväčší prvok. Ak 𝑎 ∈ 𝛼, tak existuje a´∈ 𝛼 , pre ktoré je 𝑎 < 𝑎´.

Množinu všetkých rezov množiny ℚ označíme symbolom ℝ . Prvky patriace do množiny ℝ

voláme reálne čísla.

Poznámky:

Množinu reálnych čísel sme vytvorili pomocou už známej množiny racionálnych čísel. Proces

tvorby sa opiera o podmnožiny 𝛼 ⊂ ℚ, ktoré majú predpísané štyri vlastnosti.

Prvé dve vlastnosti hovoria, že za podmnožinu nemôžeme vziať prázdnu množinu

ani množinu všetkých racionálnych čísel.

Tretia vlastnosť požaduje, aby podmnožina 𝛼 ⊂ ℚ bola „slušne“ usporiadaná: Ak

podmnožina 𝛼 obsahuje racionálne číslo 𝑎, tak táto podmnožina musí obsahovať

aj všetky racionálne čísla menšie od čísla 𝑎. Ak by sme zobrazili bod 𝐴

reprezentujúci racionálne číslo 𝑎 ∈ ℚ, tak podmnožina 𝛼 musí obsahovať

polpriamku smerujúcu doľava od bodu 𝐴.

23 http://en.wikipedia.org/wiki/Square_root

54

Štvrtá vlastnosť hovorí, že podmnožine 𝜶 ⊂ ℚ zodpovedá na číselnej osi sprava

otvorený interval (−∞,𝜶). Pozri obrázok č. 11.

Obrázok 11 Rez na množine racionálnych čísel

Príklady.

1. Nech 𝑟 ∈ ℚ je ľubovoľné ale pevne zvolené racionálne číslo. Pomocou výrovej

formy 𝑥 < 𝑟 vytvorme množinu �̅� = {𝑥 ∈ ℚ: 𝑥 < 𝑟}. Potom �̅� je rezom na množine

racionálnych čísel, ktorý reprezentuje racionálne číslo r. Ukážte, že množina �̅� má

všetky štyri vlastnosti.

2. Zameňme výrokovú formu x < 𝑟 za výrokovú formu x2 < 2. Dostaneme opäť rez

r̅ = {x ∈ Q: x2 < 2}, ktorý reprezentuje iracionálne číslo √2 .

Reálne čísla, ktoré nie sú racionálne budeme nazývať iracionálne čísla. Príkladmi

iracionálnych čísel sú druhé odmocniny z prvočísel24, číslo 𝜋 alebo prirodzený základ

logaritmov 𝑒.

5.2 Súčet a súčin reálnych čísel

Operácie sčítanie a násobenie dvoch reálnych čísel zavedieme pomocou súčtu a súčinu

dedekindových rezov. Princíp je pomerne jednoduché. Nech 𝛼, 𝛽 sú dva rezy. Z definície

vyplýva, že prvkami rezov sú len racionálne čísla. Sčítať resp. vynásobiť dve racionálne čísla

už vieme.

1. Vytvorme množinu 𝛼 ⨁ 𝛽 všetkých možných súčtov 𝑎 + 𝑏, kde 𝑎 ∈ 𝛼 a zároveň 𝑏 ∈

𝛽 sú racionálne čísla.

i. Množina 𝛼 ⨁ 𝛽 je určite neprázdna, lebo obsahuje racionálne číslo 𝑎 = 𝑎 + 0

a racionálne číslo 𝑏 = 0 + 𝑏.

ii. Ukážeme, že množina ℚ− (𝛼 ⨁ 𝛽 ) je neprázdna. Vieme, že množina ℚ− 𝛼 aj

množina ℚ− 𝛽 sú neprázdne. Nech racionálne čísla 𝑎⋆, 𝑏⋆ sú prvky týchto

množinových doplnkov, potom musí platiť 𝑎 < 𝑎⋆ a zároveň 𝑏 < 𝑏⋆ pre

24 Prvočíslo 𝑝 má len dva kladné delitele, sú to čísla 1, 𝑝.

55

ľubovoľné prvky 𝑎, 𝑏 rezov 𝛼, 𝛽. Z týchto dvoch nerovností ľahko vyplynie, že

𝑎 + 𝑏 < 𝑎⋆ + 𝑏⋆, odkiaľ máme 𝑎⋆ + 𝑏⋆ ∈ ℚ − (𝛼 ⨁ 𝛽 ).

iii. Nech 𝑟 ∈ 𝛼 ⨁ 𝛽 a nech 𝑟∗ je racionálne číslo, pre ktoré platí 𝑟∗ < 𝑟 (resp. 𝑟 =

𝑟∗ + 𝑘). Z definície množiny 𝛼 ⨁ 𝛽 vyplýva, že existujú dve racionálne čísla

𝑟1 ∈ 𝛼, 𝑟2 ∈ 𝛽, pričom 𝑟 = 𝑟1 + 𝑟2. Po dosadení dostaneme

𝑟∗ = 𝑟1 + (𝑟2 − 𝑘),

čo znamená, že 𝒓∗ je súčtom dvoch racionálnych čísel.

iv. Množina 𝛼 ⨁ 𝛽 nemá najväčší prvok. V opačnom prípade, ak by 𝐾 ∈ 𝛼 ⨁ 𝛽 bol

najväčší prvok, tak musia existovať dve racionálne čísla 𝑎 ∈ 𝛼, 𝑏 ∈ 𝛽, pričom

𝐾 = 𝑎 + 𝑏. Bez ujmy na všeobecnosti predpokladajme, že 𝑎 ≤ 𝑏. Nech 𝑟 =

𝑟1 + 𝑟2 je ľubovoľný prvok rezu 𝛼 ⨁ 𝛽. V prípade, že 𝑟2 ≤ 𝑎 dostaneme

𝒓𝟐 ≤ 𝑎 + (𝑏 − 𝑎) ≤ 𝑏 + (𝑎 − 𝑎) ≤ 𝒃.

V prípade, že 𝑎 < 𝑟2 dostaneme

𝒓𝟐 ≤ 𝑟2 + (𝑏 − 𝑎) < (𝑟2 − 𝑎) + 𝑏 ≤ 𝒃.

V obidvoch prípadoch je racionálne číslo 𝑏 najväčším prvkom pre rez 𝛽, čo je

spor s predpokladom. Pozri obrázok č. 12.

Obrázok 12: Najväčší prvok

56

2. Vytvorme množinu 𝛼 ⨀ 𝛽 všetkých vhodných súčinov 𝑎 ⋅ 𝑏, kde 𝑎 ∈ 𝛼 a zároveň 𝑏 ∈

𝛽 sú racionálne čísla. Podobnými úvahami ako pri súčte vieme dokázať, že 𝛼 ⨀ 𝛽 je

rezom na množine racionálnych čísel. Pozri cvičenie.

Závery, ktoré sme urobili pri popise množín 𝛼 ⨁ 𝛽 , 𝛼 ⨀ 𝛽 nás oprávňujú k definovanie

súčtu a súčinu reálnych čísel.

57

Definujeme operácie sčítanie a násobenie pre (ℝ,⨁,⨀)

sčítanie násobenie

𝜶 ⨁ 𝛃 = {𝑎 + 𝑏: (𝑎 ∈ 𝛼)(𝑏 ∈ 𝛽)} 𝜶 ⨀ 𝛃 = {𝑎 ⋅ 𝑏: (𝑎 ∈ 𝛼)(𝑏 ∈ 𝛽)}

Operácia sčítania a násobenia je komutatívna, asociatívna25

Operácia násobenia je distributívna k sčítaniu

(ℝ,⨁,) je komutatívna grupa (ℝ,⨀) je komutatívna grupa

Štruktúra (ℝ,⨁,⨀) je archimedovsky usporiadané pole26

Zavedenie oboru reálnych čísel na základnej škole nie je prijateľné pomocou

dedekindových rezov, ale ani pomocou postupností racionálnych čísel. Napriek tomu sa

didaktika matematiky musí vysporiadať s týmto problémom. Navrhuje, aby sa žiaci s reálnymi

číslami zoznamovali viac na empirickej báze. To znamená, aby bol kladený dôraz na popísanie

vlastností konkrétnych čísel, ktoré nie sú racionálne. Žiaci by mali hľadať vhodné aproximácie

iracionálnych čísel.

Napríklad pre √2 pomocou vhodného tabuľkového kalkulátora zistia, že

Obrázok 13 Druhá odmocnina z dvoch – Excel

Pre aproximáciu čísla 𝜋 by učiteľ mohol využiť Archimedovu metódu vpisovania

pravidelných 𝑛 − 𝑢ℎ𝑜𝑙𝑛í𝑘𝑜𝑣 do kruhu s polomerom 𝑟 = 1. Takýto pravidelný 𝑛 − 𝑢ℎ𝑜𝑙𝑛í𝑘 sa

skladá z 𝑛 rovnoramenných trojuholníkov. Obsah jedného takéhoto trojuholníka ∆ 𝑆𝑈𝑉 určíme

pomocou vzorca 1

2sin

360

𝑛. Tu by mohol nastať problém s funkciou sínus, ak ju žiaci nepreberali.

V tom prípade si môžu odvodiť iný vzorec pomocou Pytagorovej vety. Výpočet hodnoty

25 Pozri cvičenie 26 Viac v práci [HAVIAR, M., KLENOVČAN, P., 1998]

58

obsahu vpísaného 𝑛 − 𝑢ℎ𝑜𝑙𝑛í𝑘 učiteľ môže prezentovať napríklad pomocou appletu

znázorneného na obrázku č. 14 alebo výpočtom pomocou tabuľkového kalkulátora. Funkčný

applet získate tak, že kliknete na obrázok.

Obrázok 14: Obsah kruhu

Po reálnych číslach v teoretickej aritmetike nasledujú zvyčajne komplexné čísla, ktoré sa

zavádzajú len na stredných školách. Existujú ale stredné školy, ktoré toto učivo nemajú

zaradené do svojich školských vzdelávacích programov.

59

Cvičenie

1. Ukážte, že množina �̅� = {𝑥 ∈ ℚ: 𝑥 < 𝑟} má všetky štyri vlastnosti uvedené v definícii

rezu pre ľubovoľné racionálne číslo 𝑟 ∈ ℚ.

2. Ukážte, že √3,√2

2 nie sú racionálne čísla. Vyznačte na číselnej osi body, ktoré

reprezentujú reálne čísla √3, 𝜋.

3. Nech 𝛼 ⨀ 𝛽 je množina všetkých možných súčinov 𝑎 ⋅ 𝑏, kde 𝑎 ∈ 𝛼 a zároveň 𝑏 ∈ 𝛽

sú racionálne čísla. Dokážte, že 𝛼 ⨀ 𝛽 je rez na množine racionálnych čísel.

4. Dokážte, že operácie sčítanie a násobenie reálnych čísel sú komutatívne i asociatívne.

5. Dokážte, že množina ℚ− (𝛼 ⨁ 𝛽 ) je neprázdna. Návod: Zvoľte racionálne čísla 𝑎⋆ ∈

ℚ − 𝛼 a 𝑏⋆ ∈ ℚ− 𝛽, pre ktoré platí 𝑎 < 𝑎⋆, 𝑏 < 𝑏⋆.

6. Dokážte, že operácia násobenia je distributívna k sčítaniu.

60

6 Obor komplexných čísel

Pri riešení kvadratickej rovnice zistíme, že rovnica

𝑥2 + 1 = 0

nemá riešenie v obore reálnych čísel.

V opačnom prípade, ak by existovalo reálne číslo 𝑎 ∈ ℝ, ktoré je koreňom hľadanej rovnice,

tak musí byť splnená rovnosť 𝑎2 + 1 = 0. Súčet na ľavej strane rovnosti je súčtom dvoch

reálnych čísel:

reálneho čísla 𝑎2, ktoré je v tvare druhej mocniny27, preto musí platiť 𝑎2 ≥ 0,

čísla 1, ktoré je zrejme kladné.

Ich súčet bude kladné číslo väčšie alebo rovné číslu 1. Teda platí 𝒂𝟐 + 𝟏 ≥ 1 > 0. To je spor

s predpokladom, že existuje reálne číslo 𝑎, ktoré je riešením rovnice 𝑥2 + 1 = 0.

Skutočnosť, že rovnica 𝑥2 + 1 = 0 nemá v obore reálnych čísel riešenie, nás privádza

k myšlienke rozšíriť obor reálnych čísel na taký číselný obor, kde rovnice tohto typu budú mať

riešenie. Budeme požadovať, aby existovalo nejaké „imaginárne“ číslo 𝑖, pre ktoré je druhá

mocnina rovná −1.

Na chvíľu si predstavme, že také číslo 𝑖 už máme. Nech platí 𝑖2 = −1, potom zrejme bude

platiť aj rovnosť (2𝑖)2 = (2𝑖) ⋅ (2𝑖) = 4𝑖2 = −4 resp. pre ľubovoľné reálne číslo 𝑘 bude

(𝑘𝑖)2 = −(𝑘2). Čísla 𝑖, 2𝑖, … , 𝑘𝑖, … nie sú reálne, ale podľa nášho pracovného návrhu sú

„imaginárne“. Musíme ich nejako formálne odlíšiť od reálnych čísel. Urobme to takto:

1. Reálne číslo 𝑟 ∈ ℝ zapíšme ako usporiadanú dvojicu (𝑟, 0).

2. „Imaginárne“ číslo 𝑘𝑖 zapíšme ako usporiadanú dvojicu (0, 𝑘𝑖).

3. Súčty dvojíc definujeme takto:

(𝑥, 0)⨁(𝑦, 0) = (𝑥 + 𝑦, 0), (0, 𝑢𝑖)⨁(0, 𝑣𝑖) = (0, (𝑢 + 𝑣)𝑖)

resp. pre dvojice (𝑥, 𝑢𝑖), (𝑦, 𝑣𝑖)

(𝑥, 𝑢𝑖)⨁(𝑦, 𝑣𝑖) = (𝑥 + 𝑦, (𝑢 + 𝑣)𝑖)

4. Súčiny dvojíc definujeme ako „súčiny dvojčlenov“. Vo všeobecnosti súčin vytvoríme

pomocou vzťahu(𝑥, 𝑢𝑖)⨀(𝑦, 𝑣𝑖) = (𝑥𝑦 − 𝑢𝑣, 𝑥𝑣 + 𝑢𝑦).

Operácia násobenia usporiadaných dvojíc (𝑥, 𝑢𝑖), (𝑦, 𝑣𝑖) je založená na násobení dvoch

dvojčlenov typu 𝐴 + 𝐵.

27 Druhá mocnina reálneho čísla je vždy nezáporné číslo.

61

Zo základnej školy poznáme vzorec pre násobenie dvoch rovnakých dvojčlenov alebo vzorec

pre druhú mocninu dvojčlena:

(𝐴 + 𝐵) ⋅ (𝐴 + 𝐵) = 𝐴2 + 2𝐴𝐵 + 𝐵2.

Formálne dosaďme 𝐴 = 0, 𝐵 = 𝑖 a dostaneme

(0 + 𝑖) ⋅ (0 + 𝑖) = (0 ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 ⋅ 𝑖 + (𝑖)2).

Ak využijeme náš pracovný návrh a dosadíme 𝑖2 = −1, tak výsledok súčinu dvojčlenov

(0 + 𝑖) ⋅ (0 + 𝑖) môžeme zapísať ako dvojčlen (−1 + 0).

Vidíme, že súčin „imaginárneho“ čísla (0, 𝑖) so sebou je číslo reálne (−1, 0)!

V tejto časti urobíme rozšírenie oboru reálnych čísel ℝ na obor komplexných čísel ℂ

nasledovne.

6.1 Množina komplexných čísel

Nech ℂ = ℝ × ℝ je karteziánsky súčin na množine reálnych čísel, potom prvky karteziánskeho

súčinu ℝ ×ℝ nazveme komplexné čísla.

V podstate je to veľmi jednoduché zavedenie komplexných čísel, lebo vytvorenie

karteziánskeho súčinu je jednoduché. Z definície vyplýva:

Komplexné číslo 𝒛 je usporiadaná dvojica reálnych čísel: 𝒛 = (𝒂, 𝒃).

1. Nosič oboru komplexných čísel je karteziánsky súčin ℝ × ℝ.

2. Zavedieme operácie sčítania a násobenia komplexných čísel podľa pravidiel:

Operácia sčítania: (𝑥1, 𝑦1)⨁(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1 + 𝑥2, 𝑦1 + 𝑦2)

Operácia násobenia: (𝑥1, 𝑦1)⨀(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥1𝑥2 − 𝑦1𝑦2, 𝑥1𝑦2 + 𝑦1𝑥2)

Poznámka.

Nech 𝑧 = (𝑎, 𝑏) je komplexné číslo, potom reálne číslo 𝑎 sa nazýva reálna časť

komplexného čísla 𝑧. Podobne reálne číslo 𝑏 sa nazýva imaginárna časť.

Dve komplexné čísla (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑) sa rovnajú, ak platí 𝑎 = 𝑐 ∧ 𝑏 = 𝑑.

6.2 Algebrický tvar komplexného čísla

Pri zavádzaní komplexných čísel môžeme využiť aj inú symboliku. Napríklad, každé

komplexné číslo 𝒛 = (𝒂, 𝒃) možno zapísať v tvare 𝒂 + 𝒊𝒃, kde 𝑎, 𝑏 sú reálne čísla a 𝒊 je tzv.

imaginárna jednotka, pre ktorú platí 𝑖2 = −1.

Operácie súčet a súčin zavedieme ako súčet a súčin algebrických dvojčlenov. Potom pre

súčet a súčin komplexných čísel bude platiť:

(𝑎 + 𝑖𝑏)⨁(𝑐 + 𝑖𝑑) = ((𝑎 + 𝑐) + 𝑖(𝑏 + 𝑑))

62

(𝑎 + 𝑖𝑏)⨀(𝑐 + 𝑖𝑑) = ((𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + 𝑖(𝑎𝑑 + 𝑏𝑐))

Zápis komplexného čísla v tvare 𝑎 + 𝑖𝑏 sa nazýva algebrický28.

Príklad.

Nájdite také reálne čísla x, y, pre ktoré bude platiť:

(2 − 𝑖)𝑥 + (5 + 6𝑖) = 1 − 3𝑖

Riešenie. Ak upravíme ľavú stranu rovnice na tvar a + bi, dostaneme:

(2𝑥 + 5𝑦) + 𝑖(−𝑥 + 6𝑦) = 1 − 3𝑖

Ak využijeme vlastnosť, ktorá platí pre rovnosť komplexných čísel, tak dostaneme sústavu

rovníc

2𝑥 + 5𝑦 = 1

−𝑥 + 6𝑦 = −3

Riešením sústavy je dvojica reálnych čísel 𝑥 =21

17, 𝑦 =

−5

17.

Z definície súčinu dvoch komplexných čísel vyplynie zaujímavá vlastnosť, ak jedno z čísel

bude reálne. Nech 𝑧1 = (𝑎 + 𝑖𝑏) je komplexné číslo a nech 𝑧2 = (𝑘 + 𝑖0) = 𝑘 je reálne číslo.

Potom 𝑘(𝑎 + 𝑖𝑏) = (𝑘𝑎 + 𝑖𝑘𝑏).

6.3 Geometrická interpretácia - komplexná rovina

Existuje bijektívne zobrazenie 𝑓 („prosté“ a „na“) množiny všetkých komplexných čísel ℂ

na body euklidovskej roviny Ε2.

𝑓: ℂ ⟶ Ε2, 𝑧 = (𝑎, 𝑏) ↦ Z(𝑎, 𝑏),

kde Z(𝑎, 𝑏) je bod Z ∈ Ε2 so súradnicami (𝑎, 𝑏).

Ak v rovine zvolíme pravouhlý súradnicový systém, tak obrazom každého komplexného

čísla bude práve jeden bod roviny. Obrazom komplexného čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏) resp. 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 je

bod Z so súradnicami (𝑎, 𝑏). Pozri obrázok č. 15.

Obrázok 15: Obraz komplexného čísla

28 V literatúre sa tiež používa termín algebraický.

63

Niekedy však za obraz čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏) pokladáme vektor, ktorý je daný orientovanou

úsečkou so začiatočným bodom (0, 0) a koncovým bodom so súradnicami (𝑎, 𝑏).

6.4 Goniometrický zápis komplexného čísla

Pri zavádzaní goniometrických funkcií sínus a kosínus pomocou jednotkovej kružnice sme

ukázali29, že platia rovnosti:

sin𝜑 =𝑏

𝑟, cos 𝜑 =

𝑎

𝑟 ,

kde 𝑟 = √𝑎2 + 𝑏2 a 𝜑 je orientovaný uhol ∢𝑍𝑂𝑃. Pre 𝑟 = 1 pozri obrázok č. 16.

Obrázok 16: Funkcia sínus

Číslo 𝑟 predstavuje veľkosť vektora 𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗ ⃗. Táto veľkosť sa nazýva absolútna hodnota

komplexného čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏) a označuje sa symbolom |𝑧|. Platí teda |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2.

Z rovností sin𝜑 =𝑏

𝑟, cos 𝜑 =

𝑎

𝑟 môžeme vyjadriť reálnu aj imaginárnu zložku komplexného

čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏). Dostaneme

𝑎 = 𝑟 ⋅ cos 𝜑, 𝑏 = 𝑟 ⋅ sin 𝜑.

Vypočítané hodnoty teraz môžeme dosadiť do algebrického tvaru komplexného čísla 𝑎 + 𝑖𝑏.

Dostaneme nový zápis resp. nový tvar komplexného čísla

𝑧 = |𝑧|(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑)

ktorý nazývame goniometrický tvar komplexného čísla.

Príklad.

Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla 𝒛 = √𝟑 − 𝒊.

1. Najskôr si vypočítame absolútnu hodnotu hľadaného komplexného čísla. Vypočítame, že

|𝑧| = √√32+ 12 = 2.

29 Možno už na strednej škole.

64

2. Potom určíme veľkosť uhla 𝜑, pre ktorý platí cos𝜑 =√3

2 a sin𝜑 =

1

2. Uhol, pre ktorý platia

tieto dve rovnosti sa nachádza v II. kvadrante a jeho veľkosť je 150° =5𝜋

6.

3. Goniometrický tvar komplexného čísla je 𝑧 = 2 (cos5𝜋

6+ 𝑖 sin

5𝜋

6).

6.5 Vlastnosti operácií sčítania a násobenia

Podobne ako pri predchádzajúcich oboroch aj pri komplexných číslach platia vlastnosti

o komutatívnosti, asociatívnosti atď. Uvedieme ich stručnú formuláciu.

1. Pre súčet a súčin komplexných čísel platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti,

pričom súčin je distributívny k sčítaniu.

2. Neutrálny (nulový) prvok pre sčítanie je komplexné číslo (0, 0).

3. Neutrálny (jednotkový) prvok pre násobenie je komplexné číslo (1, 0).

4. K ľubovoľnému komplexnému číslu 𝑧 = (𝑎, 𝑏) existuje inverzný prvok vzhľadom

na sčítanie. Takýto prvok budeme nazývať opačné komplexné číslo. Je to dvojica

−𝑧 = (−𝑎,−𝑏).

5. K ľubovoľnému nenulovému komplexnému číslu 𝑧 = (𝑎, 𝑏) existuje inverzný prvok

vzhľadom na súčin. Budeme ho označovať symbolom 𝑧−1.

Prvé tri vlastnosti vyplývajú priamo z definície operácií sčítania a násobenia v obore

komplexných čísel.

Ukážeme napríklad, že platí komutatívnosť sčítania:

(𝑥1, 𝑦1)⨁(𝑥2, 𝑦2) = (𝑥2, 𝑦2)⨁(𝑥1, 𝑦1).

1. Ľavú stranu rovnosti upravíme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel, ktoré

sme vyjadrili v algebrickom tvare. Dostaneme

(𝑥1 + 𝑖𝑦1)⨁(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = ((𝑥1 + 𝑥2) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2)).

Ak využijeme komutatívnosť sčítania reálnych čísel, tak dôjdeme k rovnosti

((𝑥1 + 𝑥2) + 𝑖(𝑦1 + 𝑦2)) = ((𝑥2 + 𝑥1) + 𝑖(𝑦2 + 𝑦1)).

2. Pravú stranu rovnosti tiež upravme aplikovaním definície súčtu komplexných čísel.

Dostaneme rovnosť (𝑥2, 𝑦2)⨁(𝑥1, 𝑦1) = ((𝑥2 + 𝑥1) + 𝑖(𝑦2 + 𝑦1)).

3. V prvom aj v druhom prípade sme dostali rovnaký výsledok. To znamená, že platí

komutatívny zákon pre sčítanie komplexných čísel.

Štvrtú vlastnosť overíme prostým sčítaním komplexného čísla 𝑧 = (𝑎, 𝑏) a opačného čísla

−𝑧 = (−𝑎, −𝑏). Sčítanie dvojíc „po zložkách“ vedie k rovnosti

(𝑎, 𝑏)⨁(−𝑎,−𝑏) = (𝑎 − 𝑎, 𝑏 − 𝑏) = (0, 0).

65

Pri dôkaze piatej vlastnosti budeme postupovať konštruktívnym spôsobom. To znamená

„skonštruujeme“ inverzné číslo 𝑧−1 ku komplexnému číslu 𝑧 = (𝑎, 𝑏) ≠ (0, 0).

Predpokladajme, že existuje takýto inverzný prvok a nech 𝑧−1 = (𝑥, 𝑦). Potom musí platiť

rovnosť

(𝑎, 𝑏)⨀(𝑥, 𝑦) = (1, 0),

ale táto rovnosť predstavuje rovnicu o dvoch neznámych 𝑥, 𝑦. Upravme ju na tvar

(𝑎𝑥 − 𝑏𝑦, 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦) = (1, 0).

Porovnanie dvoch usporiadaných dvojíc vedie na sústavu dvoch rovníc o dvoch neznámych.

𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1, 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 0,

ktorej riešením sú reálne čísla 𝑥 =𝑎

𝑎2+𝑏2 , 𝑦 =

𝑏

𝑎2−𝑏2.

Na záver tejto kapitoly uvedieme vetu, ktorá má veľké uplatnenie pri numerických

výpočtoch s komplexnými číslami.

Moivreova veta

Francúzsky matematik Abraham de Moivre 30 sformuloval vetu, podľa ktorej môžeme

jednoducho umocňovať komplexné čísla vyjadrené v goniometrickom tvare. Moivreova veta

hovorí, že pre ľubovoľné komplexné číslo 𝑧 = |𝑧|(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑) a ľubovoľné celé číslo 𝑛

platí:

𝑧𝑛 = |𝑧|𝑛(cos 𝑛𝜑 + 𝑖 sin 𝑛𝜑).

V literatúre môžeme nájsť aj odvodený tvar Moivreovej vety pre súčin dvoch

komplexných čísel 𝑧1 = |𝑧1|(cos𝜑 + 𝑖 sin𝜑) a 𝑧2 = |𝑧2|(cos𝜓 + 𝑖 sin𝜓). Pre súčin týchto

dvoch komplexných čísel platí:

𝑧1⨀𝑧2 = |𝑧1. 𝑧2|(cos(𝜑 + 𝜓) + 𝑖 sin(𝜑 + 𝜓)).

Poznámka.

Dôležité je uvedomiť si, že komplexnými číslami končí rozširovanie číselného oboru.

V roku 1799 Gauss dokázal, že každá algebrická rovnica, ktorej koeficienty sú komplexné

čísla, má v obore komplexných čísel riešenie. To znamená, že obor komplexných čísel už nie

je potrebné ďalej rozširovať.

30 Abraham de Moivre sa narodil vo Vitry, v oblasti Champagne 26. mája 1667.

66

Cvičenie

1. Nájdite všetky komplexné čísla, ktoré sú riešením rovnice:

𝑥2 + 2𝑥 + 5 = 0.

2. Nájdite goniometrický zápis komplexného čísla 𝑧 = 2 + 3𝑖.

3. Dokážte, že pre súčet a súčin komplexných čísel vyjadrených v goniometrickom tvare

platí vlastnosť komutatívnosti a asociatívnosti. Pri násobení použite Moivrovu vetu.

4. Nájdite inverzný prvok k číslu (3, 5).

5. Vypočítajte 𝑧5, ak 𝑧 = 2 + 3𝑖.

6. Dokážte, že operácia násobenia komplexných čísel je distributívna k sčítaniu.

67

7 Spočítateľné a nespočítateľné množiny

Aktuálne nekonečno neexistuje!

Henri Poincaré

Každý z nás sa určite v bežnom živote stretol s úlohou, v ktorej bolo treba porovnať

veľkosť nejakých skupín prvkov. Napríklad už žiakom na základnej škole otázky typu Kto

z triedy má najviac nasporených peňazí? sú celkom prirodzené. V obchode často krát

porovnávame naše finančné možnosti s cenou tovaru: Môžem si dovoliť kúpiť ...?

Z matematického pohľadu porovnať veľkosť dvoch konečných množín znamená spočítať

počty ich prvkov.

Predstavme si, že nepoznáme žiadnu teóriu o číslach ale poznáme len pojmy jeden, dva

a viac. Našou úlohou bude zistiť, ktorých krúžkov je viac – modrých alebo červených? Pozri

obrázok č. 17. Úlohu jednoducho vyriešime tak, že budeme spájať jeden modrý krúžok

s jedným červeným krúžkom. Dostaneme sa do situácie, keď už nemôžeme spájať a pritom

máme ešte voľné dva modré krúžky. Vtedy „slávnostne“ vyhlásime, že modrých krúžkov je

viac ako červených krúžkov.

Obrázok 17: Porovnávanie množín

7.1 „Veľkosť“ množín

Oveľa väčší problém vznikne, ak by sme sa pokúsili nájsť odpoveď na otázku: Je celých

čísel je viac ako prirodzených? V tejto otázke mimovoľne myslíme, že vezmeme všetky celé

i všetky prirodzené čísla.

Na základe Dedekindovej definície nekonečnej množiny už vieme, že množina ℕ

všetkých prirodzených čísel je nekonečná. V tretej kapitole sme ukázali, že množina všetkých

celých čísel ℤ je rozšírením množiny ℕ. Z toho vyplýva, že množina ℕ je vlastnou

podmnožinou množiny ℤ. Našu otázku teraz mierne preformulujme: Ktorá z nekonečných

množín má viac prvkov, množina ℕ alebo množina ℤ? Ak použijeme metódu „spájania“, tak

toto spájanie môžeme matematicky vyjadriť funkciou 𝑓: ℤ ⟶ ℕ, ktorá zobrazuje nezáporné

68

celé číslo 𝑛 na prirodzené číslo (2𝑛 − 1) a záporné celé číslo −𝑛 na prirodzené číslo 2𝑛. Pozri

obrázok č. 19.

Obrázok 18: Celé a prirodzené čísla

Zobrazenie 𝑓: ℤ ⟶ ℕ je bijektívne, preto množiny ℕ, ℤ sú ekvivalentné. Ich kardinálne

čísla sú rovnaké, teda 𝑐𝑎𝑟𝑑 ℕ = 𝑐𝑎𝑟𝑑 ℤ = ℵ0. Tento záver by nás naviedol na odpoveď:

Množiny ℕ, ℤ majú „rovnaký počet“ prvkov.

Na druhej strane intuitívny prístup k vlastnosti byť vlastnou podmnožinou nás navádza na

odpoveď, ktorá vo svojej podstate protirečí predchádzajúcej odpovedi.

Množina ℤ má „viac“ prvkov ako množina ℕ.

Tento zdanlivý rozpor matematika vyriešila ako vždy „po svojom“. Cantor navrhol, aby

sa nepoužíval termín veľkosť množiny ale zaviedol nový termín mohutnosť množiny.

V školskej matematike pracujeme len s konečnými číselnými množinami, preto termín počet

prvkov množiny má zmysel. Chápe sa ním mohutnosť konečnej množiny, čo predstavuje

prirodzené číslo.

V matematike sa na označenie „veľkosti“ množiny používa pojem mohutnosť množiny .

7.2 Spočítateľné množiny

V druhej kapitole sme zaviedli pojem konečnej a nekonečnej množiny. Profesor Zlatoš

vo svojej práci Ani matematika si nemôže byť istá sama sebou prezentuje zaujímavé pohľady

na konečno a nekonečno. V nasledujúcom odseku uvádzame niektoré jeho myšlienky týkajúce

sa prirodzeného nekonečna.

To, čo „vidíme“ pred obzorom, môžeme oprávnene prehlásiť za konečné. Vidieť

neznemená len pohľad zrakom, ale ľubovoľné vedomé zmyslové, prípadne i čisto myšlienkové

uchopenie nejakého javu.

Javy, vstupujúce až k (do) obzoru nazveme prirodzené nekonečno.

69

Každý náš pohľad ohraničuje obzor. Číselnú os prirodzených čísel môžeme pokladať za

prirodzené nekonečno. Obzor bude v tomto prípade to, čo nikdy nemôžeme dosiahnuť. To, čo

je za týmto obzorom, už nevidíme. Svet plynule pokračuje aj za obzorom (tam práve

„nevidíme“).

Množina ℕ všetkých prirodzených čísel (nekonečná množina) zohráva ústrednú rolu

medzi nekonečnými množinami. Nekonečné množiny rozdelíme do dvoch kategórií

1. Spočítateľné množiny.

2. Nespočítateľné množiny

Nekonečná množina 𝑀 je spočítateľná, ak je ekvivalentná s množinou prirodzených čísel.

V terminológii kardinálnych čísel:

Existuje bijekcia 𝑓:𝑀 → ℕ, odkiaľ dostávame 𝒄𝒂𝒓𝒅 (𝑴) = ℵ𝟎.

Množina všetkých racionálnych čísel je spočítateľná.

Príklad.

Uvažujme o množine ℤ⊞ všetkých možných zlomkov nad oborom celých čísel, ktoré

sa nachádzajú v schéme na obrázku č. 20. Schéma je matica s nekonečným počtom riadkov

a stĺpcov.

Obrázok 19: Matica zlomkov

V matici najskôr vyznačme záhlavie (žltý riadok a stĺpec) pomocou množiny celých

čísel, ktoré sú usporiadané do postupnosti {0, 1, −1, 2, −2,… , 𝑘, −𝑘,… } kde 𝑘 je prirodzené

70

číslo. Prvky matice budú zlomky 𝑚

𝑛 , pričom celé čísla 𝑚, 𝑛 ∈ ℤ sú v záhlaví matice. Zrejme sa

v matici budú nachádzať všetky možné zlomky nad oborom celých čísel. Nie všetky zlomky

budú v základnom tvare. Napríklad zlomok 2

2, ktorý sa nachádza v treťom riadku a zároveň

v treťom stĺpci nie je v základnom tvare. Zlomok 2

2 sa dá vykrátiť na zlomok

1

1, ktorý sa

nachádza na inom mieste matice.

Z kapitoly o racionálnych číslach vieme, že každé racionálne číslo môžeme vyjadriť

v tvare zlomku. Predchádzajúce úvahy o „matici všetkých zlomkov“ nám umožňujú urobiť

záver, že množina racionálnych čísle je podmnožinou množiny ℤ⊞.

1. Musí teda platiť: 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℚ) ≤ 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℤ⊞).

Množina všetkých prirodzených čísel je podmnožinou množiny všetkých racionálnych

čísel.

2. Preto platí 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ) ≤ 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℚ).

Orientované úsečky vyznačené v matici popisujú zobrazenie 𝑓: ℤ⊞ → ℕ, ktoré je

bijektívne.

3. Platí 𝑐𝑎𝑟𝑑 (ℤ⊞) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ).

Z týchto troch (ne)rovností dostaneme záver 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℚ) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ) = ℵ0.

Množina racionálnych čísel je spočítateľná.

Pre spočítateľné množiny platí:

Ľubovoľná podmnožina spočítateľnej množiny je nanajvýš spočítateľná množina.

Zjednotenie a prienik dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina.

Karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín je tiež spočítateľná množina.

Dôkazy týchto tvrdení prenechávame na čitateľa vo forme cvičení.

7.3 Nespočítateľné množiny

Pri skúmaní kardinality nekonečných množín sme zatiaľ zistili, že tri základné číselné

množiny sú spočítateľné. Z definície je to množina všetkých prirodzených čísel, potom sme

ukázali, že aj množiny celých i racionálnych čísel sú spočítateľné. Pre kardinálne čísla týchto

množín platí

𝑐𝑎𝑟𝑑(ℕ) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℤ) = 𝑐𝑎𝑟𝑑(ℚ) = ℵ0.

71

Zostáva nám množina všetkých reálnych a komplexných čísel. Množinu reálnych čísel

hlbšie skúmal už G. Cantor, ktorý pomocou diagonálnej metódy dokázal tvrdenie

Množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľná.

Cantorova diagonálna metóda je dôkaz, ktorý ukazuje, že množina všetkých reálnych čísel

v intervale (0, 1) nie je spočítateľná množina.

Naznačíme hlavnú myšlienku dôkazu.

Predpokladajme, že množina ℝ je spočítateľná. To znamená, že všetky reálne čísla

z intervalu (0, 1) môžeme usporiadať do postupnosti:

𝛼1 = 0, 𝒂𝟏𝟏𝑎12𝑎13𝑎14𝑎15…

𝛼2 = 0, 𝑎21𝒂𝟐𝟐𝑎23𝑎24𝑎25…

𝛼3 = 0, 𝑎31𝑎32𝒂𝟑𝟑𝑎34𝑎35…

𝛼4 = 0, 𝑎41𝑎42𝑎43𝒂𝟒𝟒𝑎45…

𝛼5 = 0, 𝑎51𝑎52𝑎53𝑎54𝒂𝟓𝟓…

kde 𝛼𝑘 je dekadický rozvoj reálneho čísla z intervalu (0, 1). Reálne čísla, ktoré nemajú

jednoznačný dekadický rozvoj31, budú v postupnosti reprezentovať ich „jednoduchšie“

dekadické rozvoje. Týmto spôsobom zaručíme, že postupnosť bude obsahovať všetky reálne

čísla z intervalu (0, 1).

Ukážeme, že existuje reálne číslo 𝛽 = 0, 𝑏1𝑏2𝑏3𝑏4𝑏5… , ktoré patrí do intervalu (0, 1),

ale nie je uvedené v postupnosti 𝛼1𝛼2𝛼3𝛼4𝛼5….

Stačí vziať 𝒃𝒊 ≠ 𝒂𝒊𝒊 . Zrejme 𝜷 ≠ 𝒂𝒊 pre ľubovoľné 𝑖 ∈ ℕ. Pri konštrukcii reálneho

čísla 𝛽 nepoužívame číslice 0, 9.

Týmto postupom by sme sa dostali k sporu.

Dokážte, že:

A. Množina všetkých reálnych čísel je nespočítateľná.

B. Množina všetkých bodov danej úsečky je nespočítateľná.

C. Množina všetkých priamok v rovine je nespočítateľná.

31 Niektoré reálne čísla nemajú jednoznačný dekadický rozvoj. Číslo, ktoré má konečný desatinný rozvoj možno

zapísať dvoma rozličnými spôsobmi. Od určitého miesta môže postupnosť číslic v jeho zápise pozostávať zo

samých núl alebo samých deviatok. Napr.: 0,2 = 0,200000 ... = 0,199999 ...

72

Kardinálne číslo množiny reálnych čísel nazývame mohutnosť kontinua,

označujeme ho symbolom 𝒄.

Symbolicky: 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑹) = 𝒄 , kde ℝ je množina reálnych čísel.

Hľadajme odpovede na otázky:

Aký je vzťah medzi spočítateľnými množinami a množinami mohutnosti kontinua?

Existujú nekonečné množiny väčšej mohutnosti, ako je mohutnosť kontinua?

Existuje „najväčšie“ kardinálne číslo?

Najskôr dokážeme tvrdenie známe ako Cantor-Bernsteinova veta. Nech sú 𝐴, 𝐵

ľubovoľné množiny, ktorých kardinálne čísla sú 𝑎 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴), 𝑏 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵).

1. Nech sú A, B ľubovoľné množiny a nech existujú injektívne zobrazenia

𝑓: 𝐴 → 𝐵 , 𝑔: 𝐵 → 𝐴 .

Potom sú množiny A, B ekvivalentné.

2. Nech pre kardinálne čísla 𝑎 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐴), 𝑏 = 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝐵) platí 𝑎 ≤ 𝑏 𝑏 ≤ 𝑎,

potom sa kardinálne čísla 𝑎, 𝑏 rovnajú: 𝒂 = 𝒃.

Dôkaz:

Keďže 𝑓 je injekcia32, tak obrazom prvku 𝑎 ∈ 𝐴 je nanajvýš jeden prvok 𝑏 ∈ 𝐵: 𝑓(𝑎) =

𝑏. Tento prvok, ak existuje, má najviac jedného rodiča 𝑎´ = 𝑓−1(𝑏) atd.

Obrázok 20: Cantorova veta

Takýmto spôsobom sledujme všetkých predkov daného prvku 𝑎 ∈ 𝐴 tak dlho ako to je

len možné. Môžu nastať tri navzájom sa vylučujúce prípady:

1. každý predok daného prvku má rodiča; t.j. existuje nekonečná reťaz predkov,

2. prvok má takého predka v množine A, ktorý už nemá rodiča (reťaz končí v A),

3. prvok má takého predka v množine B, ktorý už nemá rodiča (reťaz končí v B).

Vzhľadom na uvedené tri prípady rozdelíme A na tri podmnožiny 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 a podobne

32 Injektívne zobrazenie je prosté zobrazenie

73

rozdelíme B na tri podmnožiny 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3.

Definujme zobrazenie 𝒉:𝑨 → 𝑩 takto:

ℎ(𝑥) = {𝑓(𝑥), 𝑎𝑘 𝑥 ∈ 𝐴1 ∪ 𝐴3𝑔−1(𝑥), 𝑎𝑘 𝑎𝑘 𝑥 ∈ 𝐴2

,

ktoré je bijektívne. Odtiaľ vyplýva pravdivosť prvého tvrdenia v Cantorovej vete. Druhé

tvrdenie je jednoduchým dôsledkom prvého tvrdenia.

Pre ľubovoľnú množinu 𝑀 a pre množinu všetkých jej podmnožín 𝑃(𝑀) platí nerovnosť:

𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑴) < 𝑐𝑎𝑟𝑑(𝑷(𝑴)).

Dôkaz tvrdenia:

1. Zobrazenie 𝑓: 𝑀 → 𝑃(𝑀), kde 𝒙 ↦ {𝒙} je zrejme injekcia. Preto platí: 𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑴) ≤

𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑷(𝑴)).

2. Zložitejšie bude ukázať, že neexistuje injekcia 𝑔: 𝑃(𝑀) → 𝑀. Dokážeme to tak, že nájdeme

aspoň jednu množinu X, ktorá sa „nemá na čo zobraziť“. Predpokladajme, že taká injekcia

𝑔: 𝑃(𝑀) → 𝑀 existuje. Nech X je množina

𝑿 = {𝒂 ∈ 𝑴; 𝒂 𝒈−𝟏(𝒂)}

všetkých prvkov množiny M, ktoré nepatria do svojho vzoru. Takáto množina je určite

neprázdna. Označme 𝒈(𝑿) = 𝒙 resp. 𝑿 = 𝑔−1(𝑥). Môžu nastať dva prípady: 𝒙 𝑿 alebo

𝒙 ∈ 𝑿.

𝒙 𝑿 𝒙 ∉ 𝒈−𝟏(𝒙)

potom podľa definície množiny 𝑿 by malo

platiť 𝒙 ∈ 𝑿

𝒙 ∈ 𝑿 𝒙 ∈ 𝒈−𝟏(𝒙)

potom podľa definície množiny 𝑋 musí

𝒙 ∉ 𝑿

Obrázok 21: Množina všetkých podmnožín

V obidvoch prípadoch sme dospeli k sporu. Tým je veta dokázaná.

Toto tvrdenie umožňuje vytvárať nové (väčšie) kardinálne čísla.

Poznámky.

1. Kardinálne číslo množiny 𝑃(𝑀) označujeme tiež symbolom 𝟐𝒄𝒂𝒓𝒅(𝑴).

2. Ak za 𝑀 zvolíme množinu prirodzených čísel, dostaneme nerovnosť: ℵ𝟎 < 𝟐ℵ𝟎.

3. Pretože množina ℝ všetkých reálnych čísel je nespočítateľná, tiež platí: ℵ𝟎 < 𝒄.

4. Neskôr ukážeme, že platí rovnosť: 𝟐ℵ𝟎 = 𝒄

74

Medzi kardinálnymi číslami ℵ0 a 𝒄 neexistuje iné kardinálne číslo. Pre mohutnosť kontinua

platí: 𝒄 = 𝟐ℵ𝟎

Dôkaz:

Každú podmnožinu A množiny prirodzených čísel ℕ je možné jednoznačne zadať

pomocou charakteristickej funkcie:

𝝌𝑨(𝒙) = {𝟏, 𝒙 ∈ 𝑨𝟎, 𝒙 ∉ 𝑨

.

Napríklad množine 𝐴 = {1, 3, 7} resp. množine 𝐵 = {0, 6, 7} priradíme postupnosti :

𝐴 = {1, 3, 7} ↔ ⟨0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, … ⟩

𝐵 = {0, 6, 7} ↔ ⟨1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, … ⟩

Postupnosť ⟨0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, … ⟩ možno považovať za dvojkový zápis reálneho čísla

𝑎 = (0,01010001)2, ktoré patrí do intervalu (0,1).

𝑎 = 0. 2−1 + 1. 2−2 + 0. 2−3 + 1.2−4 + 0. 2−5 + 0. 2−6 + 0. 2−7 + 1. 2−8

To znamená, že existuje bijekcia z intervalu (0,1) do systému podmnožín 𝑃(𝑁) množiny

prirodzených čísel, čím je veta dokázaná.

75

Cvičenie

1. Dokážte, že:

Množina všetkých párnych prirodzených čísel je spočítateľná.

Množina všetkých bodov danej úsečky je nespočítateľná.

2. Dokážte, že pre spočítateľné množiny platí:

Ľubovoľná podmnožina spočítateľnej množiny je spočítateľná množina.

Zjednotenie a prienik dvoch spočítateľných množín je spočítateľná množina.

Karteziánsky súčin dvoch spočítateľných množín je tiež spočítateľná množina.

76

8 Číselné sústavy

Keď bolo v prehistorickej dobe známe len niekoľko málo najmenších prirodzených čísel,

nebol problém vyjadrovať ich napríklad pomocou vrypov na tyči alebo pomocou kamienkov.

Napríklad vo Věstoniciach bola nájdená vlčia kosť zo staršej doby kamennej, na ktorej bolo 55

vrypov. Ako však začali pribúdať ďalšie čísla, stal sa taký spôsob zápisu neprehľadný. Veľkým

pokrokom preto bolo, keď sa značky začali zoskupovať do skupín o rovnakom počte. Tak sa

zrodila myšlienka číselných sústav. Tak napríklad v Zaire bola nájdená tyč (obr. 22)

z doby asi pred 10 000 rokmi, na ktorej už bolo zrejmé zoskupovanie vrypov.

Obrázok 22: Kosť s drážkam nájdená pri osade Ishango v Zaire

Neskôr prišli matematici na to, že je výhodné označiť vzniknutú skupinu novým znakom.

Tak vznikli aditívne nepozičné sústavy. Každý znak mal svoju hodnotu a číslo sa určilo sčítaním

hodnôt všetkých znakov. Nezáležalo na tom, v akom poradí sme znaky napísali. Takáto sústava

bola používaná napr. v starom Egypte. Z tej doby je známy aj Rhindov papyrus (18. až 16.

storočie pred Kristom) . Určité znaky takejto sústavy má aj rímska sústava, pomocou ktorej sa

počítalo v Európe až do 16. storočia.

Veľmi skoro sa objavila myšlienka, aby pozícia znaku určovala aj jeho hodnotu. Tak sa začali

objavovať pozičné sústavy. Príkladom bolo vyjadrovanie čísel u starých Sumerov a neskôr u

stredoamerických indiánov Mayov (4. storočie pred Kristom). V histórii sa popri desiatkovej

sústave objavili aj sústavy o iných základoch. Historicky doložené sú sústavy o základoch 5, 7,

9, 12, 20 a 60, ale tiež kombinované sústavy ako napr. 5 - 20. Skutočne dôsledná desiatková

pozičná sústava vznikla asi v 6. až 8. storočí v Indii. Indickí matematici mali totiž veľkú vášeň

pre počítanie s veľkými číslami a tak výhody počítanie v pozičnej desiatkovej sústave dokázali

naplno oceniť. Z Indie sa potom táto sústava rozšírila do celého sveta. Do Európy ju priniesli

Arabi v desiatom storočí. Trvalo však celých 600 rokov, než túto sústavu Európa dôsledne

prijala. Matematici ju samozrejme prijali oveľa skôr a jedným z najväčších propagátorov bol

v 12. storočí veľký taliansky matematik Fibonacci. Využívanie rímskych číslic v Európe trvalo

až do šestnásteho storočia. Až potom ich nahradili arabské číslice.

77

8.1 Vyjadrenie prirodzeného čísla v pozičnej číselnej sústave

Historický prehľad „kultúry počítania“ je podrobne spracovaný napríklad aj v knihe Pí na

nebesích (Barrow 1992, český preklad 2000). V súvislosti so zavedením sústav s rôznymi

základmi uvádza, že technika počítania na prstoch je zaujímavá už preto, že je podľa všetkého

nejakým spôsobom spojená so základom číselnej sústavy, v ktorej sa počíta. Mohli by sme síce

počítať do nekonečna a pre každé nové číslo mať iné slovo, taký postup by však bol ťažkopádny

a nepraktický a naša pamäť by bola čoskoro zaťažená nad únosnú mieru. Účinnejšie je mať

určitý počet ako hromadnú jednotku. Tak je možné počítať päť oviec na jednej ruke a na tej

istej ruke začať znova a pritom si zaznamenávať počet pätíc na prstoch druhej ruky. Táto

myšlienka tvorí základ všetkých číselných sústav. Počet, ktorý určuje veľkosť hromadnej

jednotky sa nazýva základ číselnej sústavy. V našej desiatkovej sústave je základom číslo 10.

Objav toho, ako pomocou desiatich znakov označiť ľubovoľné prirodzené číslo patrí

určite medzi najväčšie objavy, ku ktorým ľudstvo vo svojich dejinách dospelo. Navyše nejde

len o to, že rôznym prirodzeným číslam odpovedajú jednoznačne rôzne zápisy, ale dôležité je

aj to, že sa s takýmito zápismi dá efektívne počítať. Ak sa napríklad v stredoveku u nás používali

rímske číslice, bolo numerické počítanie veľmi komplikované a dokázať spamäti vypočítať

napr. 17.23 dokázali iba vynikajúci počtári.

Obrázok 23: Margareta philosophica

Zástancovia rímskych číslic počítali tak, že pohybovali žetónmi či guličkami na počítacím

stole alebo abaku. Nemohli gumovať a mali oveľa menej priestoru pre uchovanie informácií

počas výpočtu aj po ňom. Do 14. storočia sa vďaka zvyšujúcim sa nárokom na zložité

matematické výpočty a vďaka rastúcej dostupnosti papiera preukázalo, že „pero je mocnejšie

ako abakus“. Drevoryt Gregora Reischa z roku 1504 (obr. 23) s názvom Margareta philosophica

(Perla filozofia) ukazuje kontrast medzi výkonnosťou algoritmika vľavo (Boetius) a

neschopnosťou abakistu vpravo (nešťastný Pytagoras).

78

Na nasledovnom príklade budeme ilustrovať podstatu vyjadrovanie čísel v číselných

sústavách.

Príklad.

Ukážeme graficky, ako by sme dospeli k zápisu počtu hviezdičiek na nasledovnom obrázku

(obr. 24) v číselnej sústave so základom 4 (v štvorkovej číselnej sústave).

Poznámka. Vieme, že zápis počtu hviezdičiek z obrázka v (nám dobre známej) desiatkovej

sústave je 27 (dve desiatky a sedem jednotiek).

Obrázok 24: Grafické znázornenie počtu predmetov v sústave o základe 4

Na obrázku je 27 hviezdičiek a zoskupili sme ich do skupín po štyri hviezdičky. Dostali

sme 6 skupín po štyri hviezdičky a 3 zostali nezoskupené. Týchto 6 skupín opäť zoskupíme po

4 Dostali sme 1 veľkú skupinu, zostali dve malé skupiny a ešte máme tri voľné (nezoskupené)

hviezdičky.

Zápis čísla 27 v sústave o základe 4 teda vyzerá nasledovne: 123, čo čítame „jedna dva

tri“. Čítanie „sto dvadsať tri“ je používané iba pre desiatkovú sústavu. Samozrejme číslice

(cifry) sme si požičali z desiatkovej sústavy. Aby nedošlo k nedorozumeniu, v akej sústave

práve pracujeme, napíšeme základ sústavy ako index, tzn.

(27)10 = (123)4.

Poznámka.

Pri desiatkovej sústave väčšinou index 10 nepíšeme. V prípade, že ak nemôže dôjsť

k nedorozumeniu, tak vynecháme aj zátvorky.

Teda zápis (27)10 = (123)4 môžeme nahradiť aj zápisom 27 = 1234.

79

Samozrejme to postupné zoskupovanie, ktoré je znázornené na obrázku môžeme zapísať

postupne ako delenie (so zvyškom) číslom 4:

27 = 4.6 + 3

6 = 4.1 + 2

1 = 4.0 + 1

Potom už stačí napísať získané zvyšky v poradí ako idú zdola nahor (a dopísať index 4). Pri

prevode čísla z desiatkovej sústavy do inej sústavy (v našom prípade do štvorkovej) sme počítali

v desiatkovej sústave, t.j. v pôvodnej sústave a použili sme tzv. algoritmus postupného delenia.

Bolo by užitočné, keby si čitateľ uchoval predstavu, ktorú sme si práve o vyjadrení čísla

v štvorkovej sústave vytvorili. Už žiaci základnej školy vedia, že napr. zápis 5 652 v desiatkovej

sústave znamená

5.103 + 6.102 + 5.10 + 2.

Podobne teraz vieme, že zápis 1234 v štvorkovej sústave znamená 1.42 + 2.4 + 3.

Doterajšie úvahy a pozorovania teraz sformulujeme precíznejšie a vyslovíme vetu, na

ktorej spočíva vyjadrovanie čísel v pozičnej číselnej sústave so základom 𝑧.

Veta o rozvoji prirodzeného čísla v číselnej sústave o základe 𝒛. Nech 𝑧 je prirodzené

číslo, 𝑧 > 1. Potom každé nenulové prirodzené číslo 𝑥 je možné jednoznačne vyjadriť

v tvare:

(R) 𝑥 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0,

kde 𝑎𝑖 sú prirodzené čísla pre ktoré platí 0 ≤ 𝑎𝑖 < 𝑧, pre 𝑖 ∈ {0,1,2, … 𝑛} a 𝑎𝑛 0.

Ak je prirodzené číslo 𝑥 zapísané v tvare (R) hovoríme, že sme ho vyjadrili v číselnej

sústave o základe z alebo v 𝑧-adickej sústave. Skrátene píšeme

𝑥 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2…𝑎1𝑎0)𝑧 .

Pri zápise konkrétneho čísla môžeme zátvorky v predchádzajúcom zápise vynechať.

Číslo z nazývame základom číselnej sústavy. Symboly 𝑎𝑛, 𝑎𝑛−1, 𝑎𝑛−2, … , 𝑎1, 𝑎0 sa nazývajú

číslice alebo cifry. O číslici 𝑎𝑖 hovoríme, že je 𝑖 − 𝑡𝑒ℎ𝑜 rádu alebo rádu 𝑖. Číslo 𝑧𝑖 sa volá

jednotka rádu i. Ak je z = 10, tak bude písať len 𝑥 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1𝑎𝑛−2…𝑎1𝑎0 a hovoriť, že číslo x

je zapísané v desiatkovej (dekadickej) sústave.

80

Veta o rozvoji prirodzeného čísla predstavuje základ vyjadrovania prirodzených čísel

v sústave o základe 𝑧 a preto (aspoň stručne) popíšeme jej dôkaz. To, čo bude v dôkaze

popisované vo všeobecnej rovine, sme už mali možnosť vidieť v konkrétnej situácii v príklade

„prevodu čísla 27 do sústavy o základe 4“.

Dôkaz vety o rozvoji prirodzeného čísla. Ak 𝑛 = 0, tak 𝑥 = 𝑎0. Pre 𝑛 > 0 je 𝑥 ≥ 𝑧.

Myšlienka vytvorenia rozvoja (R) pre číslo 𝑥 spočíva v tom, že číslo 𝑥 delíme základom 𝑧,

potom vzniknutý neúplný (čiastočný) podiel opäť delíme číslom 𝑧, atď. Toto delenie robíme

tak dlho, kým čiastočný podiel nie je nulový. Zo získaných zvyškov potom vytvoríme rozvoj.

Uvedený popis teraz zapíšeme podrobnejšie.

Deľme číslo 𝑥 základom 𝑧. Dostávame 𝑥 = 𝑧. 𝑞0 + 𝑎0, kde 0 ≤ 𝑎0 < 𝑥. Teraz vydelíme

neúplný podiel 𝑞0 opäť základom 𝑧. Dostávame 𝑞0 = 𝑧. 𝑞1 + 𝑎1. Takto pokračujeme ďalej.

Pretože 𝑥 > 𝑞0 > 𝑞1 > 𝑞2 > ⋯, dostaneme sa po určitom počte delení k neúplnému podielu

𝑞𝑛 = 0. Popísaný postup zapíšeme prehľadnejšie:

𝒙 = 𝑧. 𝑞0 + 𝑎0 0 𝑎0 < 𝑧

𝑞0 = 𝑧. 𝑞1 + 𝑎1 0 𝑎1 < 𝑧

𝑞1 = 𝑧. 𝑞2 + 𝑎2 0 𝑎2 < 𝑧

𝑞𝑛−2 = 𝑧. 𝑞𝑛−1 + 𝑎𝑛−1 0 𝑎𝑛−1 < 𝑧

𝑞𝑛−1 = 𝑧. 𝑞𝑛 + 𝑎𝑛 𝟎 ≤ 𝒂𝒏 < 𝑧

Tieto rovnosti násobíme postupne číslami 1, 𝑧, 𝑧2, . . . , 𝑧𝑛−1, 𝑧𝑛. Ak potom všetky získané

rovnosti sčítame, dostaneme:

𝑥 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0.

Pretože delenie so zvyškom je jednoznačné je jednoznačným aj uvedené vyjadrenie čísla

𝑥. Precízny zápis dôkazu jednoznačnosti vyjadrenia prirodzeného čísla v tvare (R) je možné

urobiť metódou matematickej indukcie.

Z vety o rozvoji vyplýva, že k zápisu prirodzeného čísla v číselnej sústave o základe 𝑧

potrebujeme práve 𝑧 rôznych symbolov pre označenie jednotlivých číslic. Ak chceme napríklad

vyjadrovať čísla v päťkovej číselnej sústave budeme k tomu potrebovať päť číslic. Zvyčajne sa

to robí tak, že symboly pre číslice sa „požičajú“ z desiatkovej číselnej sústavy. V prípade

päťkovej sústavy to teda budú: 0, 1, 2, 3 a 4.

Postup, ktorým sme sa k rozvoju (R) dostali, môžeme využiť pri prevode čísla z jednej

číselnej sústavy do inej. Predvedieme to na nasledujúcom príklade.

81

Príklad.

Zapíšeme číslo 482 v číselnej sústave o základe 5. Postupným delením čísla 482 a následných

čiastočných podielov číslom 5 postupne dostávame.

482 = 5.96 + 2

96 = 5.19 + 1

19 = 5.3 + 4

3 = 5.0 + 3

Teraz už stačí vypísať získané zvyšky zdola nahor a z uvedenej schémy už bezprostredne

vyplýva, že 482 = 34125.

Ak ale chceme vyjadrovať čísla napríklad v sústave o základe 12, musíme mať

k dispozícii 12 číslic. Dohodneme sa, že číslo 10 označíme číslicou (symbolom) 𝐴 a číslo 11

označíme číslicou (symbolom) 𝐵. Pri vyššom základe ako 12 postupujeme analogicky

a využívame ďalšie písmená (C, D, E, ...). Teraz môžeme riešiť aj nasledujúci príklad.

Príklad.

Zapíšeme číslo 279 v číselnej sústave o základe 12. Postupným delením čísla 279 a následných

čiastočných podielov číslom 12 postupne dostávame.

279 = 12.23 + 3

23 = 12.1 + 11 (B)

1 = 12.0 + 1

Vypíšeme získané zvyšky zdola nahor a dostávame, že 279 = 1B312.

Naozaj, 1B312 = 1.122 + 11.12 + 3 = 279.

82

8.2 Počtové výkony s prirodzenými číslami

Teraz sa budeme zaoberať počítaním v číselných sústavách. Začneme sčítaním. Využitie

algoritmu pre sčítanie viacciferných čísel v desiatkovej sústave poznáme už zo základnej školy.

Príklad.

Vypočítame v desiatkovej sústave s využitím algoritmu pre písomné sčítanie nasledovné súčty:

a) 263 + 324,

b) 2 638 + 785.

Riešenie.

a) 263 3 + 4 = 7

+324 2 + 6 = 8

587 3 + 2 = 5

b) 2 638 8 + 5 = 10 + 3

+ 785 1 + 3 + 8 = 10 + 2

3 423 1 + 6 + 7 = 10 + 4

1 + 2 = 3

V prípade a) sa jedná o tzv. sčítanie bez prechodu cez základ a v prípade b) o sčítanie

s prechodom cez základ.

Okomentujme teraz postup v prípade b). Tento postup spočíva v tom, že najprv sčítame

číslice rádu 0, t.j. 5 + 8 = 13 = 10 + 3. Napíšeme číslicu 3 hľadaného súčtu a číslicu 1

pripočítame k súčtu číslic rádu 1, t.j. 1 + 3 + 8 = 12 = 10 + 2. Napíšeme číslicu 2 a číslicu 1

pripočítame k súčtu číslic rádu 2, t.j. 1 + 6 + 7 = 14 = 10 + 4. Napíšeme číslicu 4 a číslicu 1

pripočítame k súčtu číslic rádu 3, t.j. 1 + 2 + 0 = 3. Napíšeme číslicu 3. Skrátený (schematický)

zápis uvedeného „komentára“ je v riešení príkladu časti b) uvedený vpravo od zápisu tzv.

písomného sčítania (sčítania podľa algoritmu). Samozrejme pri praktických výpočtoch už

uvedené komentáre nezapisujeme.

Analogicky môžeme postupovať v číselnej sústave s ľubovoľným základom. Užitočné je

ale (pre zjednodušenie výpočtov) mať napísanú tzv. tabuľku základných spojov pre sčítanie pre

danú sústavu. To odpovedá aj postupu v školskej praxi, kde žiaci pred tým ako majú zvládnuť

sčítanie viacciferných čísel s využitím algoritmu, tzv. písomné sčítanie, musia najprv ovládať

základné spoje sčítania pre čísla 0, 1, 2, ..., 9.

Napíšme teraz tabuľku (tab. 3) základných spojov pre sedmičkovú číselnú sústavu. Kvôli

prehľadnosti v tabuľke vynechávame index 7.

83

Tabuľka 3: Tabuľka základných spojov pre sčítanie v sedmičkovej sústave

Pomocou tejto tabuľky ukážeme príklad sčítania viacciferných čísel v sedmičkovej

sústave.

Príklad.

Vypočítame v sedmičkovej sústave s využitím algoritmu pre písomné sčítanie nasledovné

súčty:

a) 1347 + 2317,

b) 2 5367 + 5547.

Riešenie.

a) 1347 4 + 1 = 5

+2317 3 + 3 = 6

3657 1 + 2 = 3

b) 2 5367 6 + 4 = 107 + 3

+ 5547 1 + 3 + 5 = 107 + 2

3 4237 1 + 5 + 5 = 107 + 4

1 + 2 = 3

V prípade a) sa jedná o tzv. sčítanie bez prechodu cez základ a v prípade b) o sčítanie

s prechodom cez základ.

Zapíšme ešte raz trochu podrobne postup pri hľadaní súčtu 2 5367 + 5547:

2 5367 + 5547 = (2.73 + 5.72 + 3.7 + 6) + (5.72 + 5.7 + 4) =

= 2.73 + (5 + 5).72 + (3 + 5).7 + (6 + 4) = 2.73 + (5 + 5).72 + (3 + 5).7 + (7 + 3) =

= 2.73 + (5 + 5).72 + (1 + 3 + 5).7 + 3 = 2.73 + (5 + 5).72 + (7 + 2).7 + 3 =

= 2.73 + (1 + 5 + 5).72 + 2.7 + 3 = 2.73 + (7 + 4).72 + 2.7 + 3 =

= (1 + 2).73 + 4.72 + 2.7 + 3 = 3.73 + 4.72 + 2.7 + 3 = 3 4237.

Všimnime si, že to, čo sme robili pri riešení príkladu v časti b) je vlastne skrátený zápis

predchádzajúceho (pomerne zdĺhavého) päťriadkového výpočtu. Využívali sme základné

vlastnosti operácií sčítania a násobenia prirodzených čísel a postupovali sme tak, aby sme vo

84

výslednom rozvoji dostali číslo zapísané v sedmičkovej sústave (t.j. aby pred mocninami

základu 7 boli čísla menšie ako 7). V obidvoch prípadoch sme postupovali podľa algoritmu pre

sčítanie, ktorý teraz uvedieme pre číselnú sústavu so základom 𝑧. Pre tento prípad pripustíme

aj zápis prirodzeného čísla v tvare (00 . . . 0𝑒𝑛 . . . 𝑒1𝑒0)𝑧.

Algoritmus pre sčítanie. Nech 𝑥 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧, 𝑦 = (𝑏𝑛𝑏𝑛−1…𝑏1𝑏0)𝑧. Potom

𝑥 + 𝑦 = (𝑑𝑛+1𝑐𝑛𝑐𝑛−1…𝑐1𝑐0)𝑧,

pričom o číslach 𝑐0, 𝑐1, . . . , 𝑐𝑛, 𝑑𝑛+1 platí

𝑎0 + 𝑏0 = 𝑑1. 𝑧 + 𝑐0, 0 𝑐0 < 𝑧,

𝑑1 + 𝑎1 + 𝑏1 = 𝑑2. 𝑧 + 𝑐1, 0 𝑐1 < 𝑧,

𝑑2 + 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑑3. 𝑧 + 𝑐2, 0 𝑐2 < 𝑧,

𝑑𝑛 + 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 = 𝑑𝑛+1. 𝑧 + 𝑐𝑛, 0 𝑐𝑛 < 𝑧.

Dôkaz možno urobiť podobnou metódou ako to bolo pri „vete o rozvoji prirodzeného

čísla“. Stačí prvú rovnosť vynásobiť číslom 1, druhú číslom 𝑧 atď., až poslednú číslom 𝑧𝑛

a takto získané rovnosti sčítať.

Skôr ako sa budeme zaoberať odčítaním, musíme vedieť porovnať prirodzené čísla, t.j.

musíme vedieť zistiť, ktoré z nich je väčšie.

Usporiadanie prirodzených čísel. Z dvoch čísel v danej číselnej sústave je väčšie to, ktoré má

v zápise väčší počet cifier. Ak majú rovnaký počet cifier, tak je väčšie to, ktoré má pri

porovnávaní číslic rovnakého rádu sprava skôr väčšiu číslicu.

Odčítanie je inverznou operáciou k sčítaniu a preto pri odčítaní dvoch prirodzených čísel

môžeme využiť poznatky o sčitovaní. Postup najprv ukážeme na príklade rozdielu dvoch čísel

zapísaných v desiatkovej sústave a budeme ilustrovať využitie písomného odčítania.

Príklad.

Vypočítajme rozdiel 738 – 253. Využijeme rozvoje daných čísel a postupne upravujeme:

738 – 253 = (7.102 + 3.10 + 8) – (2.102 + 5.10 + 3) =

(6.102 + 13.10 + 8) – (2.102 + 5.10 + 3) = 4.102 + 8.10 + 5 = 485.

Všimnite si, že pri úprave sme vyžili to, že k číslu 738 sme vhodne pripočítali číslo 100 aj

odčítali číslo 100, teda použili sme úpravu „a – b = (a – c + c) – b“.

Skrátený písomný zápis (aj so schematickým komentárom) teda bude:

85

738 3 + 5 = 8

- 253 5 + 8 = 10 + 3

485 2 + 4 = 6

Všimnime si, že aj tu využívame, že odčítanie je inverznou operáciou k sčítaniu. Prvý riadok

schematického zápisu 3 + 5 = 8 vlastne znamená, že sa pýtame na riešenie rovnice 3 + 𝑥 = 8

(„3 plus koľko je 8“), kde 𝑥 je rozdiel čísel 8 a 3.

Ukážeme si aj trochu odlišný postup. Opäť využijeme rozvoje a upravujeme:

738 – 253 = (7.102 + 3.10 + 8) – (2.102 + 5.10 + 3) =

= (7.102 + 13.10 + 8) – (3.102 + 5.10 + 3) = 4.102 + 8.10 + 5 = 485.

V tomto prípade sme číslo 100 pripočítali aj k číslu 738 aj k číslu 253. Použili sme úpravu „a –

b = (a + c) – (b + c)“. Skrátený písomný zápis (aj so schematickým komentárom) teda bude:

738 3 + 5 = 8

– 253 5 + 8 = 10 + 3

485 3 + 4 = 7

Posúďte, ktorý z uvedených dvoch postupov sa v súčasnosti používa v školskej praxi.

Ukážeme ešte jeden príklad pre odčítane v sedmičkovej sústave.

Príklad.

Vypočítame v sedmičkovej sústave rozdiel 6457 – 2517.

6457 1 + 4 = 5

– 2517 5 + 6 = 107 + 4

3647 3 + 3 = 6

Využívanie algoritmu pre násobenie v desiatkovej sústave poznáme. Uvedieme najprv

algoritmus pre násobenie prirodzeného čísla jednociferným číslom v číselnej sústave so

základom 𝑧 a ukážeme jeho použitie. Jeho formálny dôkaz by bolo opäť možné urobiť podobne

ako dôkaz „vety o rozvoji prirodzeného čísla“.

Algoritmus pre násobenie prirodzeného čísla jednociferným číslom.

Nech 𝑥 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧 a nech 𝑏 je jednociferné číslo. Potom

𝑥 ∙ 𝑏 = (𝑑𝑛+1𝑐𝑛𝑐𝑛−1…𝑐1𝑐0)𝑧,

pričom o číslach 𝑐0, 𝑐1, . . . , 𝑐𝑛, 𝑑𝑛+1 platí

𝑎0 ∙ 𝑏 = 𝑑1 ∙ 𝑧 + 𝑐0, 0 𝑐0 < 𝑧,

𝑑1 + 𝑎1 ∙ 𝑏1 = 𝑑2 ∙ 𝑧 + 𝑐1, 0 𝑐1 < 𝑧,

𝑑𝑛 + 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = 𝑑𝑛+1 ∙ 𝑧 + 𝑐𝑛, 0 𝑐𝑛 < 𝑧.

86

Pri násobení v desiatkovej sústave využívame základné spoje násobenia (tzv. malú

násobilku). Pretože nasledovná ukážka bude ukážkou násobenia v číselnej sústave so základom

7 využijeme tabuľku základných spojov násobenia pre sedmičkovú sústavu. Kvôli prehľadnosti

v tabuľke vynechávame index 7.

Tabuľka 4: Tabuľka základných spojov pre násobenie v sedmičkovej sústave

Budeme ilustrovať využitie algoritmu násobenia jednociferným číslom.

Príklad.

Vypočítame súčin 1367.4. Využijeme rozvoj a úpravy robíme tak, aby sme vo výslednom

rozvoji dostali číslo zapísané v sedmičkovej sústave (t.j. aby pred mocninami základu 7 boli

čísla menšie ako 7):

1367.4 = (1.72 + 3.7 + 6).4 = 4.72 + 12.7 + 24 = 4.72 + 12.7 + 3.7 + 3 =

= 4.72 + 15.7 + 3 = 4.72 + (2.7 + 1).7 + 3 = 4.72 + 2.72 + 1.7 + 3 =

6.72 + 1.7 + 3 = 6137.

Uvedieme skrátený písomný zápis (aj so schematickým komentárom):

1367 4.7 = 24 = 3.7 + 3

. 4 3 + 4.3 = 15 = 2.7 + 1

6137 2 + 4.1 = 6

Na ďalšom príklade ukážeme postup pri písomnom násobení viacciferných čísel.

Príklad.

Vypočítame súčin 567. 243.

Riešenie. Využijeme základné vlastnosti operácií sčítania a násobenia prirodzených čísel

a postupnými úpravami dostávame:

567. 243 = 567.(2.102 + 4.10 + 3) = 567.2.102 + 567.4.10 + 567.3 =

= 1 134. 102 + 2 268.10 + 1 701 = 113 400 + 22 68 + 1 701 = 137 781.

Vidíme, že pre ukončenie výpočtu potrebujeme vlastne poznať algoritmus násobenia

jednociferným číslom, násobenie mocninou základu („pripísanie núl“) a algoritmus pre

sčítanie. Zápis písomného výpočtu môže byť potom napríklad nasledovný

87

567

.243

1701

22680

113400

137781

Pri praktických výpočtoch vynecháme v štvrtom riadku zápis nuly na mieste jednotiek

a v piatom riadku vynecháme zápisy núl na mieste jednotiek a desiatok (v našom zápise sú

prečiarknuté).

Delenie je inverznou operáciou k násobeniu a preto pri delení dvoch prirodzených čísel

môžeme využiť poznatky o násobení. Písomné delenie dvoch prirodzených čísel v pozičnej

číselnej sústave spočíva v tom, že od delenca odčítame čo najväčší násobok deliteľa. Delenca

preto zapíšeme v tvare súčtu, ktorého každý sčítanec s výnimkou posledného (ktorý bude

zvyškom) je násobkom deliteľa. Tieto sčítance potom vydelíme deliteľom a získané podiely

sčítame. Na príklade ukážeme postup, o ktorý sa opiera písomné delenie.

Príklad.

Vypočítame podiel 4 087 : 7.

Riešenie. Úpravou delenca postupne dostávame

4 087 = 3500 + 560 + 2+ + 6 = 5.7.102 + 8.7.10 + 3.7 + 6 = (5.102 + 8.10 + 3).7 + 6 = 583.7 + 6.

Pri delení čísla 4 087 číslom 7 dostávame teda neúplný (čiastočný) podiel číslo 583 a zvyšok je

6.

Vidíme, že obtiažnym môže byť určenie hľadaných násobkov deliteľa, najmä v prípade

delenia viacciferným číslom. Písomný zápis potom môže byť napríklad nasledovný:

4 087 : 7 = 583 (neúplný podiel)

–3 500

587

–560

27

–21

6 (zvyšok)

Opäť v zápise niektoré číslice vynechávame (v našom zápise sú prečiarknuté). Ako sme

už na začiatku hovorili, jednotlivé číslice neúplného podielu odhadujeme. Najskôr hľadáme čo

najväčší násobok čísla 7, ktorý nie je väčší ako 40 (stoviek). Je to číslo 5 (stoviek). Od čísla 40

odčítame číslo 7.5 = 35. K rozdielu 40 – 35 = 5 pripíšeme číslicu 8. Dostávame číslo 58

(desiatok) a toto číslo opäť delíme číslom 7, teda hľadáme čo najväčší násobok čísla 7, ktorý

nie je väčší ako číslo 58. Je to číslo 8 (desiatok). Od čísla 58 odčítame číslo 7.8 = 56. K rozdielu

88

58 – 56 = 2 pripíšeme číslicu 7. Dostávame číslo 27. Hľadáme čo najväčší násobok čísla 7,

ktorý nie je väčší ako číslo 27. Je to číslo 3. Od čísla 27 odčítame číslo 7.3 = 21. Vzniknutý

rozdiel 27 – 21 = 6 je menší ako deliteľ 7 a je to hľadaný zvyšok.

Zvyčajne sa ale používa jednoduchší skrátený zápis, napríklad

4 087 : 7 = 583 (6)

58

27

6

Postup pri písomnom delení budeme ešte ilustrovať na príklade delenia v číselnej sústave

so základom 8.

Príklad.

Vypočítame podiel 413208 : 5.

Riešenie. Pre uľahčenie hľadania príslušných násobkov zostrojíme najprv tabuľku násobkov

čísla 5 v osmičkovej číselnej sústave. Nahradí nám to pre daný príklad tabuľku základných

spojov (poznanie „malej násobilky“).

n 1 2 3 4 5 6 7

5.n 5 128 178 248 318 368 438

Tabuľka 5: Tabuľka násobkov čísla 5 jednocifernými číslami v osmičkovej číselnej sústave

Upozorňujeme, že v priebehu výpočtu nebudeme zapisovať index číselnej sústavy.

413208 : 5 = 65348

–36

33

–31

22

–17

30

–24

4

Pri delení čísla 413208 číslom 5 je teda čiastočný podiel 65348 a zvyšok je 4.

89

8.3 Kritériá (znaky) deliteľnosti

Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí pojem deliteľnosť prirodzených (ale

aj celých) čísel. Mnohé z vlastností deliteľnosti sú využiteľné aj v rôznych oblastiach

matematiky. Známu a často používanú vetu a delení so zvyškom sme využili napríklad už aj pri

dôkaze vety o rozvoji prirodzeného čísla. Pretože aj v tejto časti využijeme niektoré vlastnosti

deliteľnosti, stručne si ich pripomenieme. Začneme už spomínaným delením so zvyškom.

Veta o delení so zvyškom. Ku každým dvom prirodzeným číslam 𝑎, 𝑏, (𝑏 ≥ 0), existuje jediná

dvojica celých čísel 𝑞, 𝑟, pre ktorú platí:

𝑎 = 𝑏. 𝑞 + 𝑟, 𝑟 < 𝑏.

Číslo 𝑎 nazývame delenec, číslo 𝑏 deliteľ, číslo 𝑞 čiastočný (alebo neúplný) podiel a číslo 𝑟

zvyšok.

Tvrdenie vety je intuitívne jasné. Hovorí, že pri delení prirodzeného čísla a nenulovým

prirodzeným číslom b dostaneme (čiastočný) podiel q a zvyšok r < b, pričom podiel a zvyšok

sú delencom a deliteľom jednoznačne určené.

Hovoríme, že prirodzené číslo b delí prirodzené číslo a, ak existuje prirodzené číslo c, že platí

𝑎 = 𝑏. 𝑐. V takomto prípade píšeme 𝒃|𝒂 a hovoríme tiež, že číslo a je deliteľné číslom b alebo,

že číslo a je násobkom čísla b. Ak číslo b nedelí číslo a píšeme 𝒃 ∤ 𝒂.

V nasledujúcom tvrdení zhrnieme niektoré zo základných vlastností deliteľnosti

prirodzených čísel.

Základné vlastnosti deliteľnosti. Pre ľubovoľné prirodzené čísla 𝑎, 𝑏, 𝑐 platí:

a) 1|𝑎, 𝑎|𝑎, 𝑎|0,

b) ak 𝑏|𝑎, 𝑎 0, tak 𝑏 < 𝑎,

c) ak 𝑏|𝑎 a 𝑎|𝑐, tak 𝑏|𝑐,

d) 𝑎|𝑏 a 𝑏|𝑎 práve vtedy, keď 𝑎 = 𝑏,

e) ak 𝑎|𝑏 a 𝑎|𝑐, tak 𝑎|(𝑏 + 𝑐),

f) ak 𝑎|𝑏 a 𝑎|𝑐 a 𝑏 ≥ 𝑐, tak 𝑎|(𝑏 – 𝑐).

Ako ukážku urobíme dôkaz časti c). Ak 𝑏|𝑎 a 𝑎|𝑐, tak existujú prirodzené čísla 𝑥, 𝑦, pre

ktoré platí 𝑎 = 𝑏. 𝑥, 𝑐 = 𝑎. 𝑦. Po dosadení dostávame 𝑐 = 𝑏. (𝑥. 𝑦), kde 𝑥. 𝑦 je prirodzené číslo

a preto 𝑏|𝑐.

90

Poznámka.

Často budeme využívať najmä tvrdenie e) a f). Z uvedených tvrdení bezprostredne vyplýva, že

ak je prirodzené číslo zapísané ako súčet dvoch prirodzených čísel, napríklad 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 a dve

z nich sú deliteľné číslom d, tak aj to tretie je deliteľné číslom d.

Ďalej sa budeme venovať niektorým vybraným kritériám (znakom) deliteľnosti.

Skúmajme, kedy je prirodzené číslo deliteľné dvomi. Napíšme si niekoľko prirodzených čísel

deliteľných dvomi: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30. Všimnime si ich posledné

cifry. Vidíme, že na mieste jednotiek sa striedajú iba číslice 0, 2, 4, 6, 8.

Toto pozorovanie ľahko zovšeobecníme pre ľubovoľné prirodzené číslo. Napíšme rozvoj

čísla x v desiatkovej číselnej sústave. Nech

𝑥 = 𝑎𝑛10𝑛 + 𝑎𝑛−110

𝑛−1 + 𝑎𝑛−210𝑛−2 +⋯+ 𝑎110

1 + 𝑎0.

Po úprave dostávame

𝑥 = 10(𝑎𝑛10𝑛−1 + 𝑎𝑛−110

𝑛−2 + 𝑎𝑛−210𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) + 𝑎0.

Pretože sčítanec 10(𝑎𝑛10𝑛−1 + 𝑎𝑛−110

𝑛−2 + 𝑎𝑛−210𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) je deliteľný číslom 2, tak

deliteľnosť čísla x závisí len od toho, či aj druhý sčítanec, t.j. cifra nultého rádu 𝑎0 je párna.

Súčasne vidíme, že od poslednej cifry závisí aj deliteľnosť číslom 5 a 10.

Tvrdenia, ktoré umožnia zistiť, či nejaké číslo je deliteľné iným (obvykle jednociferným)

bez toho, aby sme vykonali delenie jedného druhým, sa volajú kritériá alebo znaky deliteľnosti.

Niektoré z nich teraz uvedieme vo všeobecnejšom tvare pre číselnú sústavu so základom z.

Nech 𝑎 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧 a nech 𝑝 delí 𝑧. Potom číslo 𝑎 je deliteľné číslom 𝑝 vtedy a len

vtedy, keď 𝑝 delí 𝑎0.

Dôkaz. Ak 𝑝 | 𝑧, t.j. 𝑧 = 𝑝. 𝑞, 𝑞 ∈ ℕ, tak

𝑎 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−1 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−2 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0 =

= 𝑧(𝑎𝑛𝑧𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−2 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) + 𝑎0 =

= 𝑝. 𝑞(𝑎𝑛𝑧𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−2 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) + 𝑎0.

Pretože sčítanec 𝑝. 𝑞(𝑎𝑛𝑧𝑛−1 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−2 + 𝑎𝑛−2𝑧𝑛−3 +⋯+ 𝑎1) je deliteľný číslom 𝑝, tak

číslo 𝑎 je deliteľné číslom 𝑝 vtedy a len vtedy, keď 𝑝 delí 𝑎0.

Z uvedeného tvrdenia vyplýva priamo dôsledok pre desiatkovú číselnú sústavu.

91

Dôsledok. Prirodzené číslo 𝑚 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 zapísané v desiatkovej sústave je deliteľné

číslom 2 (resp. 5, resp.10) vtedy a len vtedy, keď je číslom 2 (resp. 5, resp.10) deliteľné číslo

𝑎0.

Na príklade ukážeme použitie uvedeného kritéria v číselnej sústave so základom 9.

Príklad.

Číslo 12169 je deliteľné číslom 3 lebo 3 delí 6. Presvedčte sa o tom vydelením aj výpočtom

v desiatkovej číselnej sústave.

V nasledujúcich úvahách využijeme nasledovné pomocné tvrdenia.

Pre ľubovoľné celé číslo 𝑚 a pre ľubovoľné prirodzené číslo 𝑛 existuje také celé číslo 𝑥, že

(𝑚 + 1)𝑛 = 𝑚. 𝑥 + 1,

(𝑚 − 1)2𝑛 = 𝑚. 𝑥 + 1,

(𝑚 − 1)2𝑛+1 = 𝑚. 𝑥 − 1.

Dôkaz uvedených tvrdení vyplýva priamo z binomickej vety alebo ho možno ľahko urobiť

s využitím matematickej indukcie.

Dôkaz (matematickou indukciou) vzťahu a).

I. Pre 𝑛 = 0 je 𝑥 = 0.

II. Ukážeme, že z platnosti daného vzťahu pre 𝑛 = 𝑘 vyplýva platnosť daného vzťahu

pre 𝑛 = 𝑘 + 1. Predpokladajme, že vzťah a) platí pre 𝑛 = 𝑘, t.j., že

(𝑚 + 1)𝑘 = 𝑚. 𝑦 + 1, 𝑦 ∈ ℤ.

Potom

(𝑚 + 1)𝑘+1 = (𝑚 + 1)𝑘. (𝑚 + 1) = (𝑚. 𝑦 + 1). (𝑚 + 1) =

= 𝑚2. 𝑦 + 𝑚 + 𝑚. 𝑦 + 1 = 𝑚. (𝑚. 𝑦 + 1 + 𝑦) + 1 = 𝑚. 𝑥 + 1,

kde 𝑥 = (𝑚. 𝑦 + 1 + 𝑦) ∈ ℤ.

Príklad.

Uvažujme štvorciferné číslo 𝑥 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 zapísané v desiatkovej sústave. Jeho rozvoj je

𝑥 = 𝑎. 103 + 𝑏. 102 + 𝑐. 10 + 𝑑 = 1 000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑.

Po ďalšej (trochu umelej ale pochopiteľnej) úprave dostávame

𝑥 = 999𝑎 + 𝑎 + 99𝑏 + 𝑏 + 9𝑐 + 𝑐 + 𝑑 = 9. (111𝑎 + 11𝑏 + 𝑐) + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑).

92

Pretože sčítanec 9. (111𝑎 + 11𝑏 + 𝑐) je deliteľný číslom 9, tak číslo x je deliteľné číslom 𝟗

práve vtedy, keď je číslom 𝟗 deliteľný ciferný súčet 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 + 𝒅 čísla 𝒙 = 𝒂𝒃𝒄𝒅.

Uvedený postup je vlastne ukážkou kritéria pre deliteľnosť štvorciferného čísla číslom 9.

Ľahko si už vieme predstaviť zovšeobecnenie kritéria (znaku) deliteľnosti číslom 9

v desiatkovej sústave pre ľubovoľné prirodzené číslo. Uvedený postup môže byť motiváciou

(návodom) pre analogické kritérium v ľubovoľnej číselnej sústave.

Teraz uvedieme dve kritéria pre deliteľnosť v číselnej sústave o základe z. Prvé pre

deliteľnosť číslom z – 1 a druhé pre deliteľnosť číslom z + 1.

Kritérium deliteľnosti číslom z – 1. Prirodzené číslo 𝑎 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧 je deliteľné

číslom 𝑧 − 1 vtedy a len vtedy, keď číslo 𝑎𝑛+𝑎𝑛−1+…+𝑎1+𝑎0 je deliteľné číslom 𝑧 – 1.

Dôkaz. Napíšeme rozvoj čísla 𝑎 v 𝑧 − 𝑎𝑑𝑖𝑐𝑘𝑒𝑗 sústave. Po úprave s využitím pomocného

tvrdenia a) ((𝑚 + 1)𝑛 = 𝑚. 𝑥 + 1) postupne dostávame

𝑎 = 𝑎𝑛𝑧𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑧

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑧 + 𝑎0 =

= 𝑎𝑛(𝑧 − 1 + 1)𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑧 − 1 + 1)

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1(𝑧 − 1 + 1) + 𝑎0 =

= 𝑎𝑛((𝑧 – 1)𝑏𝑛 + 1) + 𝑎𝑛−1((𝑧 – 1)𝑏𝑛−1 + 1) + . . . . . + 𝑎1(𝑧 – 1 + 1) + 𝑎0 =

= 𝑎𝑛(𝑧 – 1)𝑏𝑛 + 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1(𝑧 – 1)𝑏𝑛−1 + 𝑎𝑛−1+ . . . . . + 𝑎1(𝑧 – 1) + 𝑎1 + 𝑎0 =

= (𝑧 – 1)(𝑎𝑛𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑏𝑛−1+ . . . . . + 𝑎1) + (𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 + 𝑎0) =

= (𝑧 – 1)𝐴 + (𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 + 𝑎0),

kde 𝐴 = 𝑎𝑛𝑏𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑏𝑛−1+ . . . . . + 𝑎1 ∈ ℤ. Pretože sčítanec (𝑧 – 1)𝐴 je deliteľný číslom

(𝑧 – 1), tak číslo 𝑎 je deliteľné číslom (𝑧 – 1) vtedy a len vtedy, keď (𝑧 – 1) delí ciferný súčet

𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 + 𝑎0 čísla 𝑎.

Príklad.

Číslo 14368 je deliteľné číslom 7 lebo 7 delí ciferný súčet 1 + 4 + 3 + 6. Presvedčte sa

o tom vydelením aj výpočtom v desiatkovej číselnej sústave.

Pre desiatkovú sústavu vyplýva z kritéria deliteľnosti číslom z – 1 kritérium deliteľnosti

číslom 9.

Dôsledok. Prirodzené číslo zapísané v desiatkovej sústave je deliteľné číslom 9 práve vtedy,

keď jeho ciferný súčet je deliteľný číslom 9.

Pred uvedením kritéria pre deliteľnosť číslom z + 1 v číselnej sústave o základe

z uvedieme nasledovný príklad.

93

Príklad.

Uvažujme štvorciferné číslo 𝑥 = 𝑎𝑏𝑐𝑑 zapísané v desiatkovej sústave. Jeho rozvoj je

𝑥 = 𝑎. 103 + 𝑏. 102 + 𝑐. 10 + 𝑑 = 1 000𝑎 + 100𝑏 + 10𝑐 + 𝑑.

Po ďalšej (trochu umelej) úprave dostávame

𝑥 = 1 001𝑎 – 𝑎 + 99𝑏 + 𝑏 + 11𝑐 – 𝑐 + 𝑑 =

= 11.91𝑎 – 𝑎 + 11.9𝑏 + 𝑏 + 11𝑐 – 𝑐 + 𝑑 =

= 11. (91𝑎 + 9𝑏 + 𝑐) + (𝑑 + 𝑏) – (𝑐 + 𝑎).

Pretože sčítanec 11. (91𝑎 + 9𝑏 + 𝑐)je deliteľný číslom 11, tak číslo x je deliteľné číslom 11

práve vtedy, keď je číslom 11 deliteľný rozdiel súčtu cifier párneho rádu a súčty cifier

nepárneho rádu.

Uvedený postup je ukážkou kritéria pre deliteľnosť štvorciferného čísla číslom 11.

Ľahko si už vieme predstaviť zovšeobecnenie kritéria (znaku) deliteľnosti číslom 11

v desiatkovej sústave pre ľubovoľné prirodzené číslo. Uvedený postup môže byť motiváciou

(návodom) pre analogické kritérium v ľubovoľnej číselnej sústave.

Kritérium deliteľnosti číslom 𝒛 + 𝟏. Prirodzené číslo 𝑎 = (𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0)𝑧 je deliteľné

číslom 𝑧 + 1 vtedy a len vtedy, keď číslo 𝑎0 – 𝑎1 + 𝑎2 – 𝑎 3+ . . . + (−1)𝑛. 𝑎𝑛 je deliteľné

číslom 𝑧 + 1.

Dôkaz tohto tvrdenia je analogický ako dôkaz kritéria deliteľnosti číslom z – 1. Aj v tomto

prípade dostávame pre desiatkovú sústavu priamy dôsledok pre kritérium deliteľnosti číslom

11.

Dôsledok. Prirodzené číslo 𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 zapísané v desiatkovej sústave je deliteľné

číslom 11 práve vtedy, keď je deliteľné číslom 11 číslo 𝑎0 – 𝑎1 + 𝑎2 – 𝑎 3+ . . . + (−1)𝑛. 𝑎𝑛.

Postup (úpravy), ktoré sme využili pri dôkazoch jednotlivých kritérií, resp. pri príkladoch

umožňuje dokázať aj niektoré ďalšie kritériá pre deliteľnosť v desiatkovej sústave. Niektoré

z nich uvedieme.

Kritérium deliteľnosti číslom 4 (číslom 25). Prirodzené číslo 𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 je deliteľné

číslom 4 (číslom 25) vtedy a len vtedy, keď číslo 𝑎1. 10 + 𝑎0, t.j. jeho posledné dvojčíslie a1a0

je deliteľné číslom 4 (číslom 25).

Kritérium deliteľnosti číslom 3. Prirodzené číslo 𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 zapísané v desiatkovej

sústave je deliteľné číslom 3 práve vtedy, keď jeho ciferný súčet 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 +⋯+ 𝑎1 + 𝑎0 je

deliteľný číslom 3.

94

Využitie niektorých kritérií ukážeme na nasledovnom príklade.

Príklad.

Budeme hľadať cifry a, b tak, aby 7-ciferné číslo 6701a1b bolo deliteľné číslami 4 a 11.

Riešenie. 4|6701a1b práve vtedy, keď 4|1b, teda keď b {2, 6}.

Ak b = 2, tak 11|6701a12 práve vtedy, keď 11|(2 + a + 0 + 6) – (1 + 1 + 7), teda keď 11|(a – 1),

z čoho dostávame, že a = 1. Jedno z riešení je teda číslo 6701112.

Ak b = 6, tak 11|6701a16 práve vtedy, keď 11|(6 + a + 0 + 6) – (1 + 1 + 7), teda keď 11|(a +

3), z čoho dostávame, že a = 8. Ďalšie z riešení je teda číslo 6701816.

Daná úloha má teda dve riešenia. Sú to čísla 6701112 a 6701816.

95

Cvičenie

1. Číslo 32517 zapíšte v číselnej sústave so základom a) 5, b) 2.

Výsledok: a) 141235, b) 100100010112.

2. Číslo 3A1B12 zapíšte v číselnej sústave so základom 2.

Výsledok: 11001111101112.

3. Ak medzi číslice dvojciferného čísla vpíšeme 0, tak dostaneme trojciferné číslo, ktoré

je o 11 väčšie ako 8 násobok pôvodného. Určte pôvodné číslo.

Výsledok: 37.

4. Nájdite všetky trojciferné čísla s danou vlastnosťou: ak pred hľadané číslo napíšeme

číslicu, ktorá je na mieste jednotiek, tak dostaneme štvorciferné číslo, ktoré je o 18

menšie ako 7 násobok hľadaného čísla.

Výsledok: 503.

5. Vypočítajte

a) 375268 + 157668,

b) 621347 – 152467,

c) 2A91B12 + 1645412,

d) 2315412 – A47112.

Výsledok: a) 555148, b) 435557, c) 4517312, d) 148A312.

6. Vypočítajte

a) 53728 . 6,

b) 26358 . 578,

c) 160148 : 5,

d) 2154378 : 628.

Výsledok: a) 407348, b) 2037238, c) 26348, d) 26518 (zvyšok 358).

7. Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby výsledok bol správny:

a) *333 + 2*22 + 66*6 = **9* ,

b) 8*06 – 78*8 = **8*,

c) *12BB13 + *C*613 + 357A*13 = 113*9513 .

Výsledok: a) 1333 + 2022 + 6636 = 9991, b) 8906 – 7818 = 1088,

c) A122B13 + 9C0613 + 357A113 = 11399513.

96

8. Doplňte miesto hviezdičiek číslice tak, aby bol súčin správny

3 * *

* * 3

* * *

* * *

* * * * * 3

9. V čísle 837521584 vyškrtnite 4 číslice tak, aby ste dostali 5-ciferné číslo deliteľné

číslami 9 a 5. Nájdite všetky možnosti.

Výsledok: 87525, 37215.

10. Ukážte, že číslo 𝑎 = 𝑎𝑛𝑎𝑛−1…𝑎1𝑎0 je deliteľné číslom 4 (číslom 25) práve vtedy,

keď číslo 𝑎1. 10 + 𝑎0, t.j. jeho posledné dvojčíslie a1a0 je deliteľné číslom 4 (číslom

25).

Návod: Všimnite si v texte úvahy o deliteľnosti číslami 2, 5 a 10.

11. Nech číslo 𝑥 má v desiatkovej číselnej sústave zápis 𝑥 = 𝑎2𝑎1𝑎0. Ukážte, že

a) 7 delí 𝑥 práve vtedy, keď 7 delí 2. 𝑎2 + 3. 𝑎1+𝑎0,

b) 7 delí 𝑥 práve vtedy, keď 7 delí 𝑎2𝑎1 – 2. 𝑎0.

Návod: a) V rozvoji 𝑥 = 100. 𝑎2 + 10. 𝑎1 + 𝑎0 vhodne upravte jednotlivé sčítance.

b) Ako prvý krok využite úpravu 𝑥 = 100. 𝑎2 + 10. 𝑎1 + 𝑎0=

= 10. ( 10. 𝑎2 + 𝑎1) + 𝑎0 = ...

12. Nájdite celé číslo 𝑥 a cifru y tak, aby (360 + 3. 𝑥)2 = 492𝑦04.

Návod: Využite, že ľavá strana danej rovnice je deliteľná číslom 9.

Výsledok: Cifra y = 8 a číslo x = 114 alebo x = -354.

97

9 Kultúra počítania

Vieme už (dohodli sme sa), že počet, ktorý určuje veľkosť hromadnej jednotky sa volá

základ číselnej sústavy, v číselnej sústave, a že počas historického vývinu sa objavovali rôzne

číselné sústavy. Najčastejšie to boli sústavy so základom 2, 5, 10, 20 a 60. Podrobne sú tieto

sústavy a rozvoj počítania zmapované v rôznej literatúre. Jednou z nich je spomínaná

publikácia Pí na nebesích (John D. Barrow, český preklad 2000), z ktorej čerpáme tieto

záverečné poznámky.

Pri pohľade späť na vývoj počítania sa dajú identifikovať kľúčové kroky, ktoré umožnili

prechod od základných pojmov počítania k zložitým a účinným schémam. Nestačí len pochopiť

pojem kvantita, ale je nutné vytvoriť aj účinnú metódu pre zápis čísel. Videli sme (a snáď sa aj

presvedčili) aký dôležitý je výber dobrého spôsobu zápisu a rozumný základ číselnej sústavy

pre počítanie smerom k vyšším násobkom základného čísla. V desiatkovej sústave sú to

desiatky, stovky tisícky, atď. Ešte dôležitejším sa ukázalo prijatie pozičnej číselnej sústavy so

symbolom pre nulu. Tie kultúry, ktoré to dokázali rýchlo zistili, že majú v rukách spôsob

zápisu, ktorý dokáže omnoho viac ako len zapisovať čísla.

98

10 Zoznam použitej literatúry

[1] BARROW, J. D.: Pí na nebesích. Český preklad. Mladá fronta,2000.

[2] BIRKHOFF, G., Mac LANE, S.: Prehľad modernej algebry, ALFA, 1979.

[3] BLAŽEK, J.,VOJTÁŠKOVÁ, J.: Teorie množín. PF UJEP, Ústí nad Labem, 1994.

[4] BLAŽEK, J.: Algebra a teoretická aritmetika. Praha: SPN, 1985.

[5] DRÁBEK, J. a kol.: Základy elementární aritmetiky pro učitelství 1. stupně ZŠ. SPN

Praha, 1985.

[6] FOLTA, J.: Věstonická vrubovka. Vesmír 76, 310, 1997/6. Dostupné na internete

http://www.vesmir.cz/clanek/vestonicka-vrubovka

[7] FOLTA, J., NOVÝ, Ľ.: Dějiny přírodních věd v datech. Mladá fronta, Praha, 1979.

[8] HANZEL. P.,: Kardinálne a ordinálne čísla z pohľadu prípravy učiteľov pre I. stupeň

ZŠ. In: Acta Univ. Matthaei Belli, PF UMB č. 2, Banská Bystrica 1995, s. 155-162.

[9] HANZEL. P.,: Aritmetika v štúdiu učiteľstva I. stupňa ZŠ. In: Matematika v příprave

učitelu elementární školy, Litoměřice, 2000, s. 148-153.

[10] HANZEL. P.,: Číslo – jeho rôznorodosť a jednoduchosť. In: Acta Fac. Paed. Banská

Bystrica. Prírodné vedy IX. Bratislava, SPN 1989, s. 23-29.

[11] HEJNÝ, M. Teória vyučovania matematiky 2. Bratislava: SPN 1990. ISBN 80-08-

01344-3.

[12] HEJNÝ, M.; NOVOTNÁ, J.; STEHLÍKOVÁ, N. Dvacet pět kapitol z didaktiky

matematiky. Praha: PedF UK, 2004. dostupné online

[13] HAVIAR, M., KLENOVČAN, P.: Algebra I, algebraické štruktúry. Univerzita Mateja

Bela, Banská Bystrica 1998.

[14] KLENOVČAN, P., HAVIAR, A., HAVIAR, M.: Úvod do štúdia matematiky.

Univerzita Mateja Bela, Pedagogická fakulta, Banská Bystrica 1996.

[15] HÍC, P.: Blended Learning in Arithmetic Teaching. In: ICETA 2012, 10th IEEE

International Conference on Emerging eLearning Technologies and Applications.

Košice, TU, 2012, s. 127-130. ISBN 978-1-4673-5123-2

[16] HÍC, P., POKORNÝ, M.: Interaktívne prvky v e-learningovom kurze Aritmetika. In:

Matematika 5, UP, Olomouc, 2012, s. 84-88. ISBN 978-80-244-3048-5, ISSN 0862-

9765

[17] KAPUSTOVÁ, L.: Epistemologické prekážky žiakov spojené s prijímaním záporných

čísel. Dizertačná práca, MFF UK Bratislava, 2012.

[18] KATRIŇÁK, T. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika, Bratislava 2002.

99

[19] KLENOVČAN, P.: Algebra a aritmetika v príprave učiteľov I. stupňa ZŠ. In:

Matematika v přípravĕ učitelů 1. stupnĕ ZŠ, Olomouc, 1999, s. 38-40.

[20] KLENOVČAN, P.: Operácie a rovnice. Rozhledy mat.-fyz., r. 76, 1999, s. 61-68.

[21] KLENOVČAN, P.: Základy elementárnej aritmetiky . Univerzita Mateja Bela,

Pedagogická fakulta, Banská Bystrica 2000.

[22] KLENOVČAN, P.: Matematika v príprave učiteľov pre 1. stupeň ZŠ a kreditový

systém. In: Podíl matematiky na přípravě učitele primární školy. Sborník mezinárodní

konference. – Olomouc, Univerzita Palackého v Olomouci, 2002.

[23] KLENOVČAN, P.: Autentickosť a bádanie vo vyučovaní matematiky. Univerzita

Mateja Bela, Banská Bystrica 2007, 2007. ISBN 978-80-8083-516-3.

[24] KOPECKÝ, M.: Aritmetika. UPOL Olomouc, 2006

[25] KOPKA, J.: Hrozny problému ve školské matematice. Acta Universitatis Purky-nianae

40, Studia Matematica I., Ústí nad Labem, 1999

[26] KOPKA, J.: Kapitoly o přirozených čislech. UJEP Ústí nad Labem, 2003.

[27] PARTOVÁ, E.: Prirodzené čísla. PF UK v Bratislave, 2002.

[28] POKORNÝ, M.: Interactive Elements Can Increase the Efficiency of e-learning Course.

Advances in Education Research. ISSN 2160-1070 (in print)

[29] POKORNÝ, M.: E-learningové kurzy ako efektívny nástroj vo vyučovaní matema-

tických predmetov na PdF TU. Praha, powerprint, 2011. ISBN 978-80-87415-25-2

[30] POKORNÝ, M., MALATINSKÁ, S.: Interaktívne prvky vo vyučovaní pozičných čí-

selných sústav. In: Matematika v primárnej škole, rôzne cesty, rovnaké ciele. Prešovská

univerzita, Prešov, 2013, s. 276-280. ISBN 978-80-555-0765-1

[31] ROGERS L.: The History of Negative Numbers. Mathematics Enrichment,

http://nrich.maths.org/5961

[32] STRUIK D. J.: Dějiny matematiky, Praha: Orbis, 1963.

[33] ŠALÁT, T. a kol.: Algebra a teoretická aritmetika, ALFA, 1986

[34] ŠALÁT, T. a kol.: Malá encyklopédia matematiky. Bratislava, Obzor, 1981

[35] TEMPLE , R.: The Genius of China: 3,000 Years of Science, Discovery, and Invention.

New York, 1986: Simon & Schuster , ISBN 0-671-62028-2 .

[36] ZLATOŠ, P.: Ani matematika si nemôže byť istá sama sebou. Iris 1995, ISBN 80-

88778-09-3.

[37] ZNÁM, Š.: Teória čísel. Bratislava, Alfa, 1977

Autori: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc., Doc. RNDr. Pavel Klenovčan, CSc.

Vedecký editor: Prof. RNDr. Ondrej Šedivý, CSc.

Názor: Čísla a počítanie

Vydavateľ: Vydavateľstvo Univerzity Mateja Bela v Banskej Bystrici - Belianum

Tlač: Fakulta Prírodných Vied, UMB v Banskej Bystrici

Grafická úprava: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc.

Návrh obálky: Prof. RNDr. Pavol Hanzel, CSc.

Vydanie: prvé

Rozsah: 99 strán, 4,45 AH

Formát: A5

Náklad: 100 ks

Miesto vydania: Banská Bystrica

Rok vydania: 2013

ISBN 978-80-557-0638-2