univerzitet u ni u
TRANSCRIPT
UNIVERZITET U NI�U
PRIRODNO�MATEMATI�KI FAKULTET
INFORMATOR
Departamana za matematiku
Ni², 2017.
Drage budu¢e koleginice i kolege,
dobrodo²li u Ni²,
najve¢i grad u Jugoisto£noj Srbiji!
Pred vama se nalazi tekst koji ima za cilj da vas upozna sa na²imgradom, Fakultetom, Departmanom, studijskim programima i stude-ntskim ºivotom koji vas o£ekuje ukoliko se odlu£ite da od oktobrabudete studenti na Departmanu za matematiku Prirodno-matemati-£kog fakulteta u Ni²u.
Sadrºaj
1 Predgovor 7
2 Za²to studirati matematiku? 112.1 Za²to Departman za matematiku na PMF-u u Ni²u? . 122.2 Aktivnosti studenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 Kako do indeksa? 173.1 Pripremna nastava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Prijavljivanje kandidata . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2.1 Formiranje rang liste . . . . . . . . . . . . . . . 203.3 Polaganje prijemnog ispita . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1 Ulaganje prigovora na kona£nu rang listu . . . . 213.4 Upis primljenih kandidata . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Pravila studiranja 234.1 Vrste i nivoi studija na Fakultetu . . . . . . . . . . . . 234.2 Status studenata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Prava, obaveze i mirovanje studenata . . . . . . . . . . 25
5 Studijski programi na Departmanu za matematiku 295.1 Osnovne akademske studije . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Master akademske studije . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5
6
5.2.1 Op²ta matematika . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2.2 Matemati£ki modeli u �zici . . . . . . . . . . . 375.2.3 Verovatno¢a, statistika i �nansijska matematika 39
6 Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 43
7 �esto postavljana pitanja 73
1
Predgovor
Ni² je najve¢i grad jugoisto£ne Srbije, tre¢i po veli£ini u Srbiji, isedi²te Ni²avskog okruga. Nalazi se na raskrsnici najvaºnijih balkan-skih i evropskih saobra¢ajnih pravaca. U Ni²u se magistralni pravac,koji vodi sa severa, dolinom Morave iz pravca Beograda, ra£va napravac ka jugu, dolinom Vardara prema Solunu i Atini, i pravac kaistoku, dolinom Ni²ave i Marice prema So�ji, Istanbulu i dalje kaBliskom Istoku. Ovi putni pravci bili su poznati jo² od najstarijihvremena kao pravci kretanja naroda, robe i vojski ("Via Militaris"u periodu Rima i Vizantije, "Carigradski drum" u srednjevekovnomperiodu u doba Turaka).
Pored drumskih saobra¢ajnica, Ni² sa Evropom i svetom povezuje ivazdu²ni saobra¢aj. Aerodrom "Konstantin Veliki" je drugi aerodromu Srbiji po broju primljenih putnika godi²nje (posle aerodroma NikolaTesla). Ime je dobio po Konstantinu Velikom, rimskom imperatorukoji je ro�en u Ni²u 274. godine i kroz istoriju je poznat ne samokao vladar i mudar vojskovo�a, ve¢ i kao veliki vizionar i pobornikhri²¢anstva. Njegove vizije rezultirale su "Milanskim ediktom", kojije done²en 313. godine, i kojim je prestao progon hri²¢ana u Rimskomcarstvu.
7
8 Informator
Tu, na raskrsnici Evrope sa Malom Azijom i Crnomorskog pod-ru£ja sa Mediteranom, nalazi se grad koji je u dana²nje vreme vaºanprivredni, univerzitetski, kulturni, verski i politi£ki centar Srbije, gradkoji je bogat kulturno-istorijskim spomenicima (Medijana, Ni²ka tvr-�ava, �ele-kula, �egar, memorijalni park "Bubanj", logor "Crvenikrst", itd.), turisti£kim atrakcijama (Ni²ka Banja, Kameni£ki vis, Bo-janine vode, Cerjanska pe¢ina, itd.), ali i mestima za odmor i uºivanjeu samom gradu (Kazandºijsko soka£e, Park �air, Park Svetog Save,Obrenovi¢eva ulica).
Ni² je grad u kome se tokom cele godine odrºavaju kulturne ma-nifestacije, kao ²to su: festival gluma£kih ostvarenja "Filmski sus-reti", festival ozbiljne muzike "Nimus" (Ni²ke muzi£ke sve£anosti),dºez festival "Ni²vil", muzi£ki festival "Nisomnija", sajam knjiga uNi²u, me�unarodni festival amaterskih horova "Horske sve£anosti",festival de£ije muzike "Majska pesma" i druge. Pored festivala, tu je iNarodno pozori²te, tri bioskopa, brojne izloºbe, kao i koncerti raznihmuzi£kih pravaca.
Pored kulturnih, Ni² moºe da se pohvali i sportskim manifestaci-jama koje se organizuju, pre svega, u sportskom centru �air. Sport-ski centar �air raspolaºe Stadionom �air, Halom �air i zatvorenim
Predgovor 9
bazenom. Hala �air je dvorana u kojoj £esto svoje me£eve kao doma¢i-ni igraju ºenska i mu²ka odbojka²ka, rukometna i teniska reprezentacijaSrbije. Pored toga, me£evi kupa Radivoja Kora¢a u ko²arci se naj£e²¢eigraju upravo ovde. Na otvorenom bazenu �air je jula 2010. god.odrºan zavr²ni turnir Svetske lige u vaterpolu. U gradu postoji velikibroj sportskih i rekreativnih klubova, planinarsko dru²tvo, konji£kiklubovi, �tnes centri, teretane, plesne ²kole.
Ni² je tako�e i jedan od pet univerzitetskih centara na teritorijiRepublike Srbije. Univerzitet u Ni²u osnovan je 15. juna 1965. godine.Njegovim osnivanjem zaokruºuje se jedan zna£ajan period u novijojistoriji grada koji po£inje 1960. godine formiranjem prvih ni²kih fakul-teta pod okriljem Univerziteta u Beogradu. Uz porast broja studenata,razvoj novih nau£nih disciplina, ali i sve izraºenije potrebe privrednih idru²tvenih delatnosti za ²kolovanim kadrom, vremenom se Univerzitetu Ni²u razvijao i danas u svom sastavu broji trinaest fakulteta i oko30 000 studenata.
U okviru Univerziteta u Ni²u postoje tri studentska doma. Sobe sujednokrevetne, dvokrevetne ili trokrevetne. Svaka soba ima svoje ku-patilo, priklju£ak za telefon i besplatan internet. U svim studentskimdomovima nalaze se TV sale, £itaonice i kantine. Pravo na sme²taj
10 Informator
u studentskim domovima imaju svi studenti koji ispunjavaju uslovepredvi�ene konkursom. Konkurs za sme²taj studenata za bruco²e jepo£etkom septembra meseca, a za ostale studente sredinom septembraili po£etkom oktobra. Boravak u studentskim domovima obezbe�en jeu toku akademske godine, a izuzetno je mogu¢ i preko letnjeg raspusta.
Studentski restorani pruºaju kompletnu ishranu svim zaintereso-vanim studentima, pri £emu pravo na bene�ciranu ishranu imaju svistudenti koji se �nansiraju iz budºeta.
U okviru Univerziteta u Ni²u postoji Zavod za zdravstvenu za-²titu studenata u kome rade lekari raznih specijalnosti. U njima seobavlja i redovni sistematski pregled studenata po rasporedu koji jeuvek blagovremeno istaknut na oglasnoj tabli Prirodno-matemati£kogfakulteta.
Jedan od fakulteta na Univerzitetu u Ni²u je Prirodno-matemati£ki
fakultet. Osnovan je septembra 1999. godine izdvajanjem pojedinihdepartmana sa Filozofskog fakulteta. Ina£e, rad na departmanima zamatematiku, �ziku i hemiju se odvijao jo² od samog osnivanja Filo-zofskog fakulteta, ta£nije od 1971. godine, ²to zna£i da u narednoj²kolskoj godini deo sada²njeg Prirodno-matemati£kog fakulteta ulaziu £etrdeset ²estu godinu uspe²nog nastavno-nau£nog rada i postojanja.
Danas je ²est departmana u sastavu Prirodno-matemati£kog fakul-teta:
• Departman za matematiku,
• Departman za ra£unarske nauke,
• Departman za �ziku,
• Departman za hemiju,
• Departman za geogra�ju i
• Departman za biologiju i ekologiju.
2
Za²to studirati matematiku?
Matematika je jedna od najstarijih nauka £ije je podru£je izu£a-vanja vrlo te²ko precizno de�nisati, ali se obi£no uzima da izu£avakoli£ine, strukturu, prostor i promene. Sam njen naziv poti£e od staro-gr£ke re£i "mathema", koja zna£i u£enje, nauka, ²to samo oslikavaveliki ugled koji je matematika uºivala u anti£kim civilizacijama. Ma-tematika se razvijala kako sa potrebom da se re²e odre�eni problemiiz realnog sveta tj. prakse, tako i kao teorija koja svakog £asa moºena¢i neku svoju neo£ekivanu, ali vaºnu primenu.
Velika snaga matematike leºi u njenoj mogu¢nosti da sloºene prob-leme iz realnog sveta procesom apstrakcije svede na matemati£ki mo-del, a onda se primenom matemati£kih formula (ponekad i primenomra£unara za odre�ena sloºena izra£unavanja) dolazi do ta£nog ili do-voljno preciznog pribliºnog re²enja.
Matematika pruºa mo¢an alat za re²avanje problema iz oblastiizu£avanja svih prirodnih i tehni£kih, ali i velikog broja dru²tvenihnauka. Zahvaljuju¢i tome, dana²nji matemati£ari imaju ²iroke mo-gu¢nosti za primenu svog znanja u razumevanju fenomena spoljnogsveta, kako �zi£kih, tako i industrijskih, ekonomskih, biolo²kih, lingvi-sti£kih, muzi£kih, i mnogih drugih.
11
12 Informator
Iz pomenutih razloga, matemati£ari spadaju u retke stru£njake kojinemaju problema sa zapo²ljavanjem. Matemati£ari se danas zapo²lja-vaju na razli£itim poslovima u osnovnim, srednjim i visokim ²kolama,na fakultetima, nau£nim institutima, bankama, osiguravaju¢im dru-²tvima, institucijama za procenu i upravljanje rizikom, statisti£kimzavodima, velikim kompanijama u procesima odlu£ivanja i kontrolekvaliteta, berzama, kao i u razvojnim i istraºiva£kim centrima, u zemljii inostranstvu.
2.1 Za²to Departman za matematiku
na PMF-u u Ni²u?
Prirodno-matemati£ki fakultet u Ni²u je akreditovana i renomiranadrºavna obrazovno-nau£na ustanova. Departman za matematiku jejedan od najstarijih departmana ovog fakulteta i postoji skoro polaveka.
Nastavni proces na Departmanu za matematiku odvija se premabolonjskim principima. Studenti se motivi²u da, kroz doma¢e zadatke,kolokvijume i seminarske radove, aktivno u£estvuju u nastavi. Na tajna£in mogu savladati zna£ajan deo gradiva £ime sti£u pravo da nazavr²nom ispitu budu oslobo�eni tog dela. Kroz zavr²ne radove, uznesebi£nu pomo¢ nastavnika i saradnika departmana, studenti prover-avaju i unapre�uju svoje znanje. U isto vreme u£e vi²e o samomprocesu istraºivanja.
Prirodno-matemati£ki fakultet ostvaruje saradnju sa univerzite-tima, institutima i drugim fakultetima kako u zemlji tako i u inos-transtvu. Tako�e, fakultet u£estvuje u me�unarodnim programimakao ²to su: erasmus +, erasmus mundus, ceepus, mevlana,
tempus, horizon 2020, ipa.Ova saradnja pruºa mogu¢nost studentima da tokom studija duºe
Za²to studirati matematiku? 13
ili kra¢e vreme provedu van mati£nog fakulteta, a sve u cilju njihovogstru£nog usavr²avanja.
Na ovaj na£in studenti se povezuju sa svojim kolegama iz zemljei inostranstva tako da ne £udi podatak da su biv²i studenti Depart-mana za matematiku Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u uspe²nii konkurentni na najrazli£itijim zanimanjima u zemlji i inostranstvu,pogotovo u oblastima primene matemati£kih znanja u industriji, ak-tuarstvu, programerskim �rmama i bankama.
Na Departmanu za matematiku nastavni kadar se, pored nastavnogprocesa, veoma uspe²no bavi i nau£nim radom. Visok kvalitet nau£no-istraºiva£kog rada potvr�uje i veoma visok indeks citiranosti (SCI) is-traºiva£a zaposlenih na Departmanu za matematiku, kao i veliki brojradova objavljenih u vode¢im me�unarodnim i doma¢im £asopisima.Me�u predava£ima na Departmanu nalazi se i jedan dopisni £lan Srpskeakademije nauka i umetnosti, redovni profesor Prirodno-matemati£kogfakulteta u Ni²u Vladimir Rako£evi¢. Nastavnici i saradnici depart-mana u£estvuju na seminarima, nau£nim i stru£nim konferencijamau zemlji i inostranstvu, a i sami su organizatori zna£ajnih nau£nihskupova. Nau£ni rad nastavnika i saradnika u znatnoj meri prati iz-dava£ka delatnost. Iz oblasti matematike Prirodno-matemati£ki fakul-tet izdaje vrhunski me�unarodni nau£ni £asopis "Filomat", kao i me�u-narodni nau£ni £asopisi "Functional analysis, approximation and com-
putation" i "Applied Mathematics and Computer Science". Pored oz-biljnih nau£nih £asopisa, Fakultet izdaje i £asopis "Matematika i infor-
matika", koji se pre svega bavi promocijom matematike i informatike,i u kojem studenti mogu da na£ine svoje prve korake u pisanju nau£nihradova. U cilju podsticanja e�kasnosti nastavnog rada, objavljuju seudºbenici, zbirke zadataka, kao i monogra�je.
Zna£ajnu bazu nau£nog i nastavnog rada predstavlja bibliotekasa bogatim i savremenim fondom nau£ne literature iz zemlje i ino-stranstva. Biblioteka trenutno raspolaºe sa oko 40 250 naslova. Me�uovim naslovima je preko 6 600 knjiga, 283 diplomska i master rada
14 Informator
i oko 200 magistarskih teza i doktorskih disertacija iz matematike,kao i preko 300 £asopisa sa vi²e od 17 000 svezaka. �itaonica bib-lioteke je na raspolaganju studentima svakog radnog dana od 8 do19h. Pored biblioteke, u procesu u£enja, studentima su na raspo-laganju i tri ra£unarske u£ionice sa besplatnim pristupom internetu.Studenti imaju mogu¢nost da, preko studentskog portala, elektronskiprijavljuju ispite, prate raspored ispita za predstoje¢e ispitne rokovei raspored £asova, kao i da u svakom trenutku imaju uvid u podatkeiz svog studentskog dosijea kao ²to su broj ostvarenih ESP bodova,upisani semestar, poloºeni i prijavljeni ispiti itd.
Ukoliko ste radoznali, kreativni, ma²toviti, i volite mate-matiku, onda su studije matematike na Departmanu za mate-matiku Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u pravi izborza vas!
Ima¢ete priliku da vas stru£ni i savesni predava£i i saradnici uvodeu tajne matemati£kih teorija. Upozna¢ete neke od mnogobrojnih pri-mena matematike. Ste¢i ¢ete dovoljno (pred)znanja da moºete na-staviti master studije na Departmanu za matematiku na Prirodno-matemati£kom fakultetu u Ni²u, ili na drugim fakultetima u zemlji iinostranstvu. U okviru master studija vam se pruºa mogu¢nost da se
Za²to studirati matematiku? 15
usavr²avate iz odre�enih oblasti matematike, ali i da se bavite prime-nama matematike u �zici, �nansijama, biologiji, medicini, i drugimdru²tvenim i tehni£kim naukama.
Za one najambicioznije, koji imaju talenta i ºele da se bave nau£nimradom, doktorske studije matematike su pravi izbor.
Pored doktorskih studija koje se odvijaju na Departmanu za ma-tematiku, Prirodno-matemati£ki fakultet u Ni²u je jedan od osniva£aDoktorske ²kole matematike koja se realizuje na nivou cele Srbije sanajeminentnijim predava£ima iz na²e zemlje.
2.2 Aktivnosti studenata
Pored obaveza vezanih za samu nastavu, na Prirodno-matemati£-kom fakultetu i Departmanu za matematiku pruºa se i puno mogu-¢nosti za putovanja, bavljenje sportom, naukom i organizaciju drugihnenastavnih aktivnosti.
Departman za matematiku u£estvuje na festivalu "Nauk nije bauk".Ovaj festival okuplja zainteresovane iz svih oblasti nauke, i putempredavanja, izloºbi i eksperimenata, kroz igru i zabavu, mladima pri-bliºava misteriozni svet nauke.
U cilju popularizacije nauke, Prirodno-matemati£ki fakultet i De-partman za matematiku imaju i razvijenu saradnju sa Istraºiva£komstanicom "Petnica", koja predstavlja jednu od najve¢ih institucija zaneformalno obrazovanje u ovom delu Evrope. Na²i studenti, saradnicii nastavnici angaºovani su kao asistenti i predava£i u ovoj instituciji.Na programima matematike, koji se organizuju nekoliko puta godi²nje,oni kroz razne aktivnosti, a naro£ito kroz mentorski rad istraºiva£kihprojekata, pomaºu talentovanim srednjo²kolcima u prvim koracima kanau£nom radu.
Na Departmanu za matematiku postoje i planovi da se svake go-dine, maja meseca, obeleºava mesec matematike, uz prigodne ak-
16 Informator
tivnosti i sa ºeljom da se u ceo proces aktivno uklju£e kako studenti,tako i zainteresovani sugra�ani. Tako�e postoje planovi i volja da seDepartman za matematiku uklju£i i u realizaciju manifestacije "No¢istraºiva£a", koja predstavlja "druga£iji izlazak petkom uve£e", gdese u neformalnoj atmosferi, uz �lmove i muziku, istraºiva£ki poziv izakademskih klupa seli u svakodnevno okruºenje.
Studenti Prirodno-matemati£kog fakulteta su jako dobro organizo-vani. Naime, kroz Savez studenata i Studentski parlament uklju£ujuse u rad organa samog fakulteta i ²tite prava i interese studenata unjima. Iz redova studenata Studentskog parlamenta bira se Predsed-nik parlamenta i student prodekan. Studentski parlament se zalaºeza kvalitetnu nastavu i uslove studiranja, za²titu prava studenata,kvalitetno i pravovremeno informisanje studenata. Tako�e, Studentskisavez i Studentski parlament organizuju kulturna i sportska de²a-vanja, ostvaruju saradnju sa ostalim fakultetima i savezima studenatau zemlji i inostranstvu, organizuju humanitarne aktivnosti. Studentskiparlament ima svoje predstavnike u Savetu fakulteta, Nastavno-nau£-nom ve¢u fakulteta, Komisiji za obezbe�enje kvaliteta fakulteta i de-partmana, Studentskom parlamentu Univerziteta u Ni²u, Univerzitet-skom sportskom savezu.
Sportska sekcija Saveza studenata zaduºena je za formiranje tim-ova u ko²arci, fudbalu, rukometu, odbojci i drugim sportovima. Ovitimovi treniraju i spremaju se za odlazak na Primatijadu-susret stu-denata Prirodno-matemati£kih fakulteta Srbije, Crne Gore, RepublikeSrpske, Makedonije, Hrvatske i Bosne i Hercegovine, koja se svake go-dine organizuje na nekoj turisti£ki atraktivnoj destinaciji u zemlji iliregionu. Pored ovog takmi£enja, ekipe Prirodno-matemati£kog fakul-teta u£estvuju na turnirima koji se organizuju na nivou Univerziteta uNi²u, na kojima u£estvuju svi fakulteti. Vi²e o organizaciji sportskihtakmi£enja moºe se na¢i na sajtu Univerzitetskog sportskog savezaNi²a.
3
Kako do indeksa?
Put sticanja statusa studenta Departmana za matematiku Prirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u, sastoji se iz nekoliko koraka:
• pripremna nastava (nije obavezno),
• prijavljivanje kandidata,
• polaganje prijemnog ispita i
• upis primljenih kandidata.
17
18 Informator
3.1 Pripremna nastava
Pripremna nastava se organizuje na Departmanu za matematikusvake godine od sredine marta do sredine juna meseca radi bolje pripre-me kandidata za polaganje prijemnog ispita. Pripremnom nastavomsu obuhva¢ene oblasti matematike, po programu za gimnazije matema-ti£kog smera, iz kojih budu¢i studenti dobijaju zadatke na prijemnomispitu. To su:
• Rastavljanje polinoma na £inioce; Deljivost polinoma;
• Racionalni algebarski izrazi; Stepenovanje i korenovanje;
• Kompleksni brojevi; Polinomi;
• Linearne jedna£ine i nejedna£ine; Jedna£ine i nejedna£ine saapsolutnim vrednostima;
• Kvadratne jedna£ine, nejedna£ine i kvadratna funkcija; Bikvad-ratne i simetri£ne jedna£ine;
• Iracionalne jedna£ine i nejedna£ine;
• Eksponencijalna funkcija; Eksponencijalne jedna£ine i nejedna-£ine;
• Logaritamska funkcija; Logaritamske jedna£ine i nejedna£ine;
• Trigonometrija; Trigonometrijske jedna£ine i nejedna£ine;
• Povr²ina i zapremina poliedara i obrtnih tela;
• Analiti£ka geometrija u ravni; Krive drugog reda (krug, elipsa,hiperbola, parabola);
Kako do indeksa? 19
• Aritmeti£ki i geometrijski niz; Matemati£ka indukcija; Binomniobrazac.
Nastava se organizuje svake subote od 10 do 14h u nekoj od u£ionicana Prirodno-matemati£kom fakultetu, a drºe je nastavnici i sarad-nici Departmana za matematiku. Ukoliko imate dodatnih pitanja uvezi sa pripremnom nastavom moºete ih postaviti koordinatoru zapripremnu nastavu, profesorki dr Jasmini Ðor�evi¢ putem [email protected].
3.2 Prijavljivanje kandidata
Za upis na prvu godinu osnovnih akademskih studija mogu konku-risati lica sa zavr²enim srednjim obrazovanjem u £etvorogodi²njem tra-janju. Prijava kandidata se vr²i na ²alterima Sluºbe za nastavu i stu-dentska pitanja Fakulteta. Prilikom prijavljivanja na Konkurs za upisodgovaraja¢ih osnovnih akademskih studija, kandidat se opredeljujeza odgovaraju¢i studijski program i dostavlja konkursom propisanudokumentaciju.
20 Informator
3.2.1 Formiranje rang liste
Rang lista prijavljenih kandidata formira se za svaki studijski pro-gram posebno. Mesto kandidata na rang listi odre�uje se na osnovuop²teg uspeha u srednjoj ²koli i rezultata ostvarenih na prijemnomispitu.
Op²ti uspeh kandidata u srednjoj ²koli ra£una se kao zbir prose£nihocena iz svih predmeta u I, II, III i IV razredu, pomnoºen brojemdva. Po ovom osnovu kandidat moºe ste¢i najmanje 16, a najvi²e40 poena. Napomenimo da se prose£na ocena za svaki razred ra£unazaokruºivanjem na dve decimale.
3.3 Polaganje prijemnog ispita
Kandidat koji konkuri²e za upis u prvu godinu osnovnih akadem-skih studija za studijski program matematika polaºe prijemni ispitiz matematike. Prijemni ispit obuhvata gradivo predmeta matemati-ka koje je izu£avano u srednjoj ²koli u £etvorogodi²njem trajanju, aoblasti su navedene u Poglavlju 3.1. Prijemni ispit kandidat polaºeu pisanoj formi u prostorijama Fakulteta. Vreme i raspored pola-ganja prijemnog ispita su blagovremeno objavljeni na oglasnoj tabli isajtu Fakulteta. Vreme trajanja prijemnog ispita je 150 minuta. Pri-jemni ispit se sastoji od deset zadataka, od kojih svaki ta£no ur�enzadatak nosi maksimalno 6 poena, ²to zna£i da uspeh na prijemnomispitu donosi kandidatu najvi²e 60 poena. Broj poena koji kandidatostvaruje na prijemnom ispitu odre�uje se na osnovu kvaliteta izradetesta na prijemnom ispitu.
U prvu godinu osnovnih akademskih studija moºe se, bez prijemnogispita, upisati:
(a) lice koje ima ste£eno visoko obrazovanje u trajanju od najmanjetri godine,
Kako do indeksa? 21
(b) kandidat koji je kao u£enik srednje ²kole, osvojio jednu od prvetri nagrade na adekvatnom republi£kom takmi£enju iz odgovara-ju¢e oblasti koje organizuje resorno Ministarstvo, odnosno jednuod prve tri nagrade na adekvatnom me�unarodnom takmi£enju,iz odgovaraju¢e oblasti.
3.3.1 Ulaganje prigovora na kona£nu rang listu
Kandidat moºe uloºiti prigovor dekanu na kona£nu rang listu. Pri-govor se ulaºe u pisanoj formi. Dekan je duºan da odgovori na svakiuloºeni prigovor u pisanoj formi. Ako kandidat nije zadooljan od-govorom dekana, ima prava da podnese ºalbu na kona£nu rang listuSavetu Fakulteta. Savet Fakulteta razmatra i odlu£uje o eventualnimºalbama kandidata. Odluka Saveta Fakulteta je kona£na. Vreme zapodno²enje prigovora, ºalbi, kao i za davanje odgovora u okviru ovog£lana precizira dekan u skladu sa Konkursom. Po okon£anju svihnavedenih postupaka, isti£e se kona£na rang lista za svaki studijskiprogram na sajtu i oglasnim tablama Fakulteta.
3.4 Upis primljenih kandidata
Mesto na kona£noj rang listi i broj ukupno postignutih bodovaodre�uje da li se kandidat moºe upisati na prvu godinu studija, kao ida li ¢e biti �nansiran iz budºeta ili ¢e pla¢ati ²kolarinu kao samo�-nansiraju¢i student.
Kandidat moºe biti upisan na teret buºeta, ako se na kona£nojrang listi nalazi do broja odobrenog za upis sudenata na teret budºeta(koji je utvr�en konkursom za odre�eni studijski program), a ostvarioje najmanje 51 bod. Kandidat moºe biti upisan kao samo�nansiraju¢istudent ukoliko se na kona£noj rang listi nalazi do broja odobrenogza upis samo�nasiraju¢ih studenata (koji je utvr�en konkursom za
22 Informator
odre�eni studijski program), a ostvario je najmanje 31 bod.Studenti koji imaju maksimalan broj poena na prijemno ispitu i
maksimalan broj poena iz srednje ²kole prilikom dodele indeksa dobi-jaju na poklon komplet knjiga od Departmana za matematiku.
Studenti pri upisu dobijaju i svoju e-mail adresu pomo¢u kojemogu lak²e komunicirati sa predmetnim nastavnicima i saradnicima.
Ukoliko postoji mogu¢nost, dekan Fakulteta moºe doneti odlukuo preraspore�ivanju slobodnih budºetskih mesta sa jednog studijskogprograma na drugi, a u skladu sa odobrenim kvotama. Dekan Fakul-teta odre�uje dane za upis studenata u skladu sa kona£nom rang lis-tom.
4
Pravila studiranja
Fakultet organizuje i izvodi nastavu na studijskim programima utoku ²kolske godine koja po£inje 1. oktobra i traje 12 kalendarskihmeseci. �kolska godina deli se na zimski i letnji semestar, od kojihsvaki ima 15 nastavnih nedelja. Nastava se organizuje i izvodi posemestrima, u skladu sa studijskim programom.
Studijski program je skup obaveznih i izbornih predmeta, sa okvir-nim sadrºajem, £ijim se savladavanjem obezbe�uju neophodna znanjai ve²tine za sticanje diplome odgovaraju¢eg nivoa i vrste studija.
Studije na Fakultetu organizuju se na srpskom jeziku. Na Dok-torskoj ²koli matematike studije se izvode na srpskom ili engledskomjeziku.
4.1 Vrste i nivoi studija na Fakultetu
Obrazovna delatnost Fakulteta ostvaruje se kroz akademske studijena osnovu odobrenih, odnosno akreditovanih studijskih programa.
Studije su organizovane i izvode se kroz sva tri nivoa studija:
23
24 Informator
1. Studije prvog stepena su osnovne akademske studije koje imaju180 ESP bodova.
2. Studije drugog stepena su master akademske studije koje imaju120 ESP bodova.
3. Studije tre¢eg stepena su doktorske akademske studije koje imaju180 ESP bodova, uz predhodno ostvaren obim studija od naj-manje 300 ESP bodova na osnovnim i master akademskim studi-jama.
Ukupno angaºovanje studenta se sastoji od aktivne nastave (preda-vanja i veºbe), samostalnog rada, kolokvijuma, ispita i izrade zavr²nihradova.
4.2 Status studenata
Student Fakulteta je lice upisano na osnovne, master, specijali-sti£ke ili doktorske akademske studije na Fakultetu. Status studentadokazuje se indeksom. Studenti Fakulteta imaju status studenta kojise �nansira iz budºeta (budºetski student) ili studenta koji se sam �-nansira (samo�nansiraju¢i student). U pogledu prava i obaveza naFakultetu, potpuno su izjedna£eni buºetski i samo�nansiraju¢i stu-denti.
Student koji u teku¢oj ²kolskoj godini ostvari odre�en broj ESPbodova, propisanih zakonom, ima pravo da se u narednoj ²kolskoj go-dini �nansira iz budºeta. Student koji u teku¢oj ²kolskoj godini neostvari odre�en broj ESP bodova, nastavlja studije u statusu samo�-nasiraju¢eg studenta.
Student koji se �nansira iz budºeta moºe u tom statusu da imaupisan samo jedan studijski program na istom nivou studija.
Kako do indeksa? 25
Student koji se sam �nansira opredeljuje se u skladu sa studijskimprogramom za onoliko predmeta koliko je potrebno da se ostvari naj-manje 37 ESP bodova, osim ako mu je do zavr²etka studija ostalomanje od 37 ESP bodova.
Strani drºavljanin moºe se upisati na studijski program pod istimuslovima kao i doma¢i drºavljanin. Strani drºavljanin pla¢a ²kolarinu,osim ako me�unarodnim sporazumom nije druga£ije odre�eno. Stranidrºavljanin moºe se upisati na studije ako je zdravstveno osiguran.
4.3 Prava, obaveze i mirovanje studenata
Student ima pravo:
1. na upis, kvalitetno ²kolovanje i objektivno ocenjivanje,
2. na blagovremeno i ta£no informisanje o svim pitanjima koja seodnose na studije,
3. na aktivno u£estvovanje u dono²enju odluka, u skladu sa Za-konom i Statutom,
4. na samoorganizovanje i izraºavanje sopstvenog mi²ljenja,
5. na povlastice koje proizilaze iz statusa studenta,
6. na podjednako kvalitetne uslove studija,
7. na razli£itost i za²titu od diskriminacije,
8. da bira i da bude biran u Studentskom parlamentu i drugimorganima Fakulteta, odnosno Univerziteta.
Student je obavezan da:
26 Informator
1. uredno poha�a nastavu, izvr²ava obaveze predvi�ene studijskimprogramom i planom realizacije, op²tim i pojedina£nim aktimaFakulteta,
2. polaºe ispite na na£in i u rokovima kako je to utvr�eno aktimaFakulteta,
3. u£estvuje u vrednovanju kvaliteta nastave i nastavnika na na£inepredvi�ene op²tim i pojedina£nim aktima Fakulteta,
4. ispunjava nastavne i predispitne obaveze,
5. postupa u skladu sa aktima Fakulteta i Univerziteta,
6. po²tuje prava zaposlenih i drugih studenata na Fakultetu,
7. u£estvuje u dono²enju odluka u skladu sa Zakonom, Statutom iaktima Fakulteta.
Student ima pravo prigovora Nastavno-nau£nom ve¢u Fakultetaukoliko Fakultet prekr²i neku od obaveza u roku od 15 dana kada jepravo studenta povre�eno, izuzev ocenjivanja studenata.
Studentu se, na njegov zahtev, odobrava mirovanje prava i obavezau slu£aju:
1. teºe bolesti,
2. upu¢ivanja na stru£nu praksu u trajanju od najmanje ²est meseci,
3. odsluºenja i dosluºenja vojnog roka,
4. nege vlastitog deteta do godinu dana ºivota,
5. odrºavanje trudno¢e,
6. priprema za olimpijske igre, svetsko ili evropsko prvenstvo (kadaima satus vrhunskog sportiste),
Kako do indeksa? 27
7. u drugim slu£ajevima predvi�enim posebnim aktom Fakulteta.
Student koji je bio spre£en da polaºe ispit zbog bolesti ili odsustvazbog stru£nog usavr²avanja u trajanju od najmanje tri meseca, moºepolagati ispit u prvom narednom roku. Student u toku mirovanja svo-jih prava i obaveza ima pravo da polaºe ispite. Student kome mirujuprava i obaveze produºava rok zavr²etka studija za period mirovanja.
Student ima pravo da Nastavno-nau£nom ve¢u Fakulteta, prekoStudentskog parlamenta ili preko studenta prodekana, podnosi pred-loge koji se odnose na podizanje kvaliteta obrazovnog procesa, kao iorganizaciju i na£in izvo�enja nastave. Nastavno-nau£no ve¢e Fakul-teta razmatra predloge i o njima se iznja²njava.
Student ima pravo prigovora na ocenu dobijenu na ispitu, ako sma-tra da ispit nije obavljen u skladu sa pravilima studija, u roku od 36£asova od dobijene ocene.
Student koji nije zadovoljan prelaznom ocenom na ispitu, imapravo da podnese zahtev za polaganje ispita u narednom roku. Zahtevse podnosi studentskoj sluºbi. Prodekan za nastavu donosi odluku oponovnom polaganju ispita. Student koji ponovo polaºe ispit pla¢aposebnu naknadu tro²kova.
Odgovornost studenata ure�uje se Pravilnikom o disciplinskoj imaterijalnoj odgovornosti studenata Univerziteta.
Student sa posebnim potrebama-invaliditetom ima pravo da po-laºe prijemni ispit, kao i sve predispitne obaveze i ispite predvi�enestudijiskim programom, na na£in prilago�en njegovim mogu¢nostima.
Studenti koji studiraju osnovne, master, specijalisti£ke ili dok-torske akademske studije imaju pravo da zavr²e zapo£ete studije uperiodu koji je dvostruko duºi od vremena trajanja studija.
Prestanak statusa studenta zbog neblagovremenog zavr²etka stu-dija konstatuje dekan re²enjem sa dejstvom od prvog narednog danapo isteku roka.
Studentu se, na li£ni zahtev, moºe produºiti rok za zavre²etak
28 Informator
studija do dve ²kolske godine:
(a) ako je u toku studija ispunjavao uslove za odobrenje mirovanjaprava i obaveza, a to pravo nije iskoristio, odnosno nije ga isko-ristio u trajanju koje mu je, s obzirom na okolinosti, moglo bitiodobreno,
(b) ako je u toku trajanja studija zapo£eo i zavr²io drugi odobreni,odnosno akreditovani studijski program, na istom ili na vi²emstepenu, na Univerzitetu u Ni²u ili na drugom univerzitetu uzemlji ili u inostranstvu,
(c) u drugim slu£ajevima ako Nastavno-nau£no ve¢e smatra razlogeopravdanim.
Status studenta prestaje u slu£aju:
(a) ispisivanja sa studija,
(b) zavr²etka studija,
(c) neupisivanja ²kolske godine,
(d) ako ne zavr²i studije do isteka roka koji se odre�uje u dvostrukombroju ²kolskih godina potrebnih za realizaciju studijskog pro-grama,
(e) izricanja disciplinske mere isklju£enja sa studija na visoko²kol-skoj ustanovi.
5
Studijski programi naDepartmanu za matematiku
Na Departmanu za Matematiku Prirodno-matemati£kog fakultetau Ni²u nastava se odvija na slede¢im nivoima studija:
1. Osnovne akademske studije Matematika,
2. Master akademske studije Matematika,
3. Doktorske akademske studije Matematika,
4. Doktorska ²kola matematike.
5.1 Osnovne akademske studije
Studijski program Osnovne akademske studije Matematika trajetri godine (²est semestra). Broj ESP bodova koji se ostvaruju po-ha�anjem nastave i polaganjem ispita na ovom studijskom programuje 180. Nastava se organizuje prema novom studijskom programu koji
29
30 Informator
je akreditovan 2014. godine, kroz £asove predavanja i veºbi. Preda-vanja izvode nastavnici, a veºbe nastavnici ili saradnici Fakulteta. Svipredmeti su jednosemestralni. Pored obaveznih, postoji i lista izbornihpredmeta, ²to daje mogu¢nost studentima da samostalno kreiraju svojobrazovni pro�l i usmere svoje dalje obrazovanje ka ºeljenom moduluna master akademskim studijama. Od ukupnih 180 ESP bodova, stu-dent ostvaruje 144 ESP boda (ili 80%) u okviru obaveznih predmeta,dok 36 ESP bodova (20%) student ostvaruje polaganjem izbornih pred-meta.
Studentu se daje mogu¢nost da 30 ESP bodova moºe ostvariti pola-ganjem predmeta sa bilo kog drugog akademskog studijskog programaosnovnih studija koje se realizuju na Prirodno-matemati£kom fakul-tetu u Ni²u (Ra£unarske nauke, Fizika, Hemija, Biologija, Geogra�ja).Jedino ograni£enje je da se studentu ne dozvoljava izbor sli£nih pred-meta po sadrºaju (na primer, ne dozvoljava se da student bira i polaºepredmet Matematika sa studijskog programa Hemija, i ne dozvoljavase da student bira i polaºe predmet Primena ra£unara u biologiji, sastudijskog programa Biologija). Posebna komisija razmatra i re²avazahteve studenata u vezi sa ovim pitanjem.
Dozvoljen je prelaz sa srodnog studijskog programa na osnovneakademske studije Matematika. Posebna komisija razmatra i re²avazahteve studenata u vezi sa ovim pitanjem, prema Pravilniku o os-tvarivanju studija na osnovnim i diplomskim akademskim studijamaPrirodno-matemati£kog fakulteta u Ni²u.
Polaganjem svih ispita na osnovnim akademskim studijama stu-dent ostvaruje 180 ESP bodova i sti£e stru£ni naziv "matemati£ar".
Ovaj studijski program omogu¢ava veliku mobilnost studenata nasrodne studijske programe u Srbiji i u svetu. Tako�e, studentimase pruºa mogu¢nost da sa ostvarenih jo² 60 ESP bodova sa masterstudija iz oblasti matematike (240 ukupno), steknu zvanje "diplomi-
rani matemati£ar". Raspored predmeta na studijskom programu, pogodinama, je slede¢i:
Studijski programi na Departmanu za matematiku 31
R. br. Naziv predmeta S ESPBPRVA GODINA
1 Matemati£ka logika i teorija skupova I 72 Matemati£ka analiza 1 I 83 Linearna algebra I 84 Teorija brojeva i polinoma I 75 Matemati£ka analiza 2 II 86 Elementarna matematika 2 II 77 Uvod u algebarske strukture II 88 Analiti£ka geometrija II 7
DRUGA GODINA9 Matemati£ka analiza 3 III 810 Uvod u numeri£ku analizu III 711 Geometrija III 812 Izborni predmet 1 III 713 Matemati£ka analiza 4 IV 814 Teorija mera i integrala IV 715 Uvod u verovatno¢u IV 816 Izborni predmet 2 IV 7
TRE�A GODINA17 Matemati£ka statistika V 718 Uvod u kompleksnu analizu V 819 Uvod u topologiju V 820 Izborni predmet 3 V 721 Uvod u diferencijalne jedna£ine VI 7.522 Funkcionalna analiza VI 7.523 Izborni predmet 4 VI 524 Izborni predmet 5 VI 525 Izborni predmet 6 VI 5
Ukupno ESP bodova 180
32 Informator
Vi²e informacija o samim predmetima, kako obaveznim, tako iizbornim, moºe se na¢i na sajtu Departmana za matematiku.
Na svakoj poziciji izbornog predmeta student bira jedan predmetod ponu�ena dva. Izborni predmeti na istoj poziciji imaju isti nedeljnifond £asova i nose isti broj ESP bodova. Fakultet je u obavezi daorganizuje nastavu iz svakog izbornog predmeta, bez obzira na brojprijavljenih studenata. Spisak izbornih predmeta, na ovom studijskomprogramu, nalazi se u slede¢oj tabeli:
Naziv predmeta S ESPBIzborni predmet 1
12Elementarna matematika 1
III 7Kona£no dimenzionalni vektorski prostori
Izborni predmet 2
16Elementarna geometrija
IV 7Metri£ki prostori i Riman-Stiltjesov integral
Izborni predmet 3
20Finansijska matematika
V 7Uvod u programiranje
Izborni predmet 4
23Pedagogija
VI 5Istorija i �lozo�ja matematike
Izborni predmet 5
24Psihologija
VI 5Engleski jezik
Izborni predmet 6
25Programski paketi u nastavi matematike
VI 5Metodi nacrtne geometrije
Studijski programi na Departmanu za matematiku 33
5.2 Master akademske studije
Studijski program Master akademske studije Matematika traje dvegodine (£etiri semestra). Broj ESP bodova, koji se ostvaruju po-ha�anjem nastave i polaganjem ispita na ovom studijskom programuje 120. Nastava se organizuje prema novom studijskom programu kojije akreditovan 2014. godine, kroz £asove predavanja i veºbi. Pre-davanja izvode nastavnici Fakulteta, a veºbe nastavnici ili saradnici.Sam studijski program je zami²ljen tako da omogu¢i studentu da krozobavezne i izborne predmete, sam kreira svoj obrazovni pro�l premasopstvenim interesovanjima.
Svi predmeti su jednosemestralni. Student je u obavezi da poloºi14 predmeta, kao i da uradi studijski istraºiva£ki rad, ²kolsku, odnosnostru£nu praksu i odbrani zavr²ni rad (master rad).
Studentu se daje mogu¢nost da 20 ESP bodova (u okviru kvoteESP bodova namenjenih izbornim predmetima) moºe ostvariti po-laganjem predmeta sa bilo kog drugog studijskog programa masterakademskih studija koje se realizuju na Prirodno-matemati£kom fakul-tetu u Ni²u. Jedino ograni£enje je da se studentu ne dozvoljava izborsli£nih predmeta po sadrºaju. Posebna komisija razmatra i re²avazahteve studenata u vezi sa ovim pitanjem.
Studijski istraºiva£ki rad predstavlja individualni rad studenta,pod nadzorom mentora za izradu master rada. Predvi�eno je damentor dostavi studentu materijal iz odre�ene oblasti matematike(poglavlja u knjigama, nau£ne radove vezane za jednu temu). Stu-dent je duºan da izu£i dostavljeni materijal, i da sklopi sve dostavljenesadrºaje u jednu celinu.
Master rad podrazumeva sistematizaciju znanja studenta u jed-noj od oblasti matematike: algebra, diferencijalne jedna£ine, verovat-no¢a, matemati£ka statistika, funkcionalna analiza, kompleksna anal-iza, matemati£ka analiza, diferencijalna geometrija. Izradom i odbra-nom master rada student dokazuje da je u potpunosti usvojio principe
34 Informator
matemati£kog razmi²ljanja i da je u stanju da prezentuje znanje izmatematike i njenih primena drugim licima, stru£nim i nestru£nim zamatematiku.
Polaganjem svih ispita i odbranom master rada, student ostvaruje120 ESP bodova i sti£e stru£ni naziv "master matemati£ar".
Dozvoljen je prelaz sa srodnog studijskog programa na masterakademske studije Matematika. Ve¢e Departmana za matematiku raz-matra i re²ava zahteve studenata u vezi sa ovim pitanjem.
Na master akademskim studijama iz matematike, student se opre-deljuje za jedan od tri modula:
1. Op²ta matematika,
2. Matemati£ki modeli u �zici,
3. Verovatno¢a, statistika i �nansijska matematika.
U nastavku navodimo tabele sa obaveznim i izbornim predmetima zasvaki od modula. Vi²e informacija o samim predmetima, sadrºajima,literaturi, nastavnicima i saradnicima na predmetima, mogu se na¢ina sajtu Departmana za matematiku.
5.2.1 Op²ta matematika
Modul Op²ta matematika je prirodni nastavak osnovnih akadem-skih studija Matematika. Studenti su u prilici da ovladaju logi£kimna£inom razmi²ljanja i zaklju£ivanja i da steknu veliko (pred)znanje izrazli£itih oblasti matematike. Ovaj modul omogu¢ava mobilnost stu-denata na srodne studijske programe u zemlji i inostranstvu. Studenti,po zavr²etku studja na ovom modulu, rade, pre svega u osnovnim isrednjim ²kolama, ali pronalaze svoje mesto u nau£nim institutima,na fakultetima, u razvojnim i istraºivackim centrima.
Studijski programi na Departmanu za matematiku 35
Modul Op²ta matematika predvi�a 9 obaveznih i 5 izbornih pred-meta. Od ukupno 120 ESP bodova, student ostvaruje 67.5 ESP bo-dova (ili 56.25%) u okviru obaveznih predmeta, 34.5 ESP bodova(28.25%) student ostvaruje polaganjem izbornih predmeta, 6 ESPbodova student ostvaruje ²kolskom praksom, 4 ESP boda studijskimistraºiva£kim radom, i na kraju 8 ESP bodova student ostvaruje iz-radom i odbranom master rada.
Raspored predmeta na studijskom programu:
36 Informator
R. br. Naziv predmeta S ESPBPRVA GODINA
1 Teorija verovatno¢a I 7.52 Diferencijalne jedna£ine i dinami£ki sistemi I 7.53 Teorija operatora I 7.54 Izborni predmet 1 I 7.55 Algebarske strukture II 7.56 Diferencijalna geometrija II 7.57 Parcijalne diferencijalne jedna£ine II 7.58 Kompleksna analiza II 7.5
DRUGA GODINA9 Neeuklidska geometrija III 7.510 Algebarska topologija III 7.511 Izborni predmet 2 III 7.512 Izborni predmet 3 III 7.513 Izborni predmet 4 IV 614 Izborni predmet 5 IV 615 �kolska praksa IV 616 Studijski istraºiva£ki rad IV 417 Zavr²ni rad (Master rad) 8
Ukupno ESP bodova 120
Na svakoj poziciji izbornog predmeta student bira jedan predmetod ponu�ena dva. Izborni predmeti na istoj poziciji imaju isti nedeljnifond £asova i nose isti broj ESP bodova. Spisak izbornih predmeta naovom modulu nalazi se u slede¢oj tabeli:
Studijski programi na Departmanu za matematiku 37
Naziv predmeta S ESPBIzborni predmet 1
4Osnovi Furijeove analize
I 7.5Teorija �ksne ta£ke i primene
Izborni predmet 2
11Metodika nastave matematike
III 7.5Mera i integracija
Izborni predmet 3
12Teorija skupova
III 7.5Banahove algebre i spektri
Izborni predmet 4
13Stohasti£ki procesi
IV 6Uop²teni inverzi
Izborni predmet 5
24Mere nekompaktnosti i primene
IV 6Matemati£ka logika
5.2.2 Matemati£ki modeli u �zici
Modul Matemati£ki modeli u �zici je prirodni nastavak osnovnihakademskih studija Matematika. Studenti su u prilici da ovladajuodgovaraju¢im matemati£kim metodama i modelima koji se prime-njuju u raznim oblastima savremene �zike. Ovaj modul omogu¢avamobilnost studenata na srodne studijske programe u zemlji i inostran-stvu. Studenti, po zavr²etku studja na ovom modulu, rade u kompani-jama, nau£nim institutima, na fakultetima, razvojnim i istraºivackimcentrima i u osnovnim i srednjim ²kolama.
Modul Matemati£ki modeli u �zici predvi�a 8 obaveznih i 6 izbornihpredmeta. Od ukupno 120 ESP bodova, student ostvaruje 60 ESPbodova (ili 50%) u okviru obaveznih predmeta, 42 ESP boda (35%)student ostvaruje polaganjem izbornih predmeta, 6 ESP bodova stu-dent ostvaruje stru£nom praksom, 4 ESP boda ostvaruje studijskim is-
38 Informator
traºiva£kim radom, i na kraju 8 ESP bodova student ostvaruje izradomi odbranom master rada.
Raspored predmeta na studijskom programu:
R. br. Naziv predmeta S ESPBPRVA GODINA
1 Diferencijalne jedna£ine i dinami£ki sistemi I 7.52 Teorija operatora I 7.53 Osnovi Furijeove analize I 7.54 Teorija verovatno¢a I 7.55 Parcijalne diferencijalne jedna£ine II 7.56 Klasi£na teorijska �zika II 7.57 Izborni predmet 1 II 7.58 Izborni predmet 2 II 7.5
DRUGA GODINA9 Kvantna mehanika III 7.510 Neograni£eni operatori matemati£ke �zike III 7.511 Izborni predmet 3 III 7.512 Izborni predmet 4 III 7.513 Izborni predmet 5 IV 614 Izborni predmet 6 IV 615 Stru£na praksa IV 616 Studijski istraºiva£ki rad IV 417 Zavr²ni rad (Master rad) 8
Ukupno ESP bodova 120
Na svakoj poziciji izbornog predmeta student bira jedan predmetod ponu�ena dva. Izborni predmeti na istoj poziciji imaju isti nedeljnifond £asova i nose isti broj ESP bodova. Spisak izbornih predmeta naovom modulu nalazi se u slede¢oj tabeli:
Studijski programi na Departmanu za matematiku 39
Naziv predmeta S ESPBIzborni predmet 1
7Teorija aproksimacija i kvadraturne formule
II 7.5Tenzorski ra£un
Izborni predmet 2
8Diferencijalna geometrija
II 7.5Stohasti£ki procesi
Izborni predmet 3
11Integralne jedna£ine i specijalne funkcije
III 7.5Teorija grupa i primene
Izborni predmet 4
12Numeri£ko re²avanje diferencijalnih jedna£ina
III 7.5Algebre operatora u kvantnoj mehanici
Izborni predmet 5
13Op²ta teorija relativnosti
IV 6Matemati£ki metodi nelinearne dinamike
Izborni predmet 6
14Simetrija u �zici
IV 6Atomska i molekularna �zika
5.2.3 Verovatno¢a, statistika i �nansijska matema-tika
Modul Verovatno¢a, statistika i �nansijska matematika je prirod-ni nastavak osnovnih akademskih studija Matematika. Ovaj modulje zasnovan na primeni stohasti£kih i statisti£kih modela u ekonomiji(posebno u �nansijama i osiguranju), medicini (posebno epidemiologijii biomedicini), biologiji (populacionoj dinamici pre svega), u dru²-tvenim i tehni£kim naukama. S obzirom na aktuelnost sadrºaja kojepokriva, ovaj modul omogu¢ava veliku mobilnost studenata na srodnestudijske programe u zemlji i inostranstvu. Studenti, po zavr²etku
40 Informator
studja na ovom modulu, rade u bankama, osiguravaju¢im dru²tvima,institucijama za procenu i upravljanje rizikom, statisti£kim zavodima,velikim kompanijama u procesima odlu£ivanja i kontrole kvaliteta,nau£nim institutima, fakultetima, razvojnim i istraºiva£kim centrima,kao i u obrazovanju.
Programom je predvi�eno da studenti na ovom modulu poha�ajunastavu iz 6 obaveznih i 8 izbornih predmeta. Od ukupno 120 ESPbodova, student ostvaruje 45 ESP bodova (ili 37.5%) u okviru oba-veznih predmeta, 57 ESP bodova (47.5%) polaganjem izbornih pred-meta, 6 ESP bodova student ostvaruje stru£nom praksom, 4 ESPBboda studijskim istraºiva£kim radom, i na kraju 8 ESP bodova stu-dent ostvaruje izradom i odbranom master rada.
Raspored predmeta na studijskom programu dat je u slede¢oj tabeli:
Studijski programi na Departmanu za matematiku 41
R. br. Naziv predmeta S ESPBPRVA GODINA
1 Teorija verovatno¢a I 7.52 Multivariaciona analiza I 7.53 Statisti£ki softver I 7.54 Izborni predmet 1 I 7.55 Stohasti£ki procesi II 7.56 Vremenski nizovi II 7.57 Aktuarska matematika II 7.58 Izborni predmet 2 II 7.5
DRUGA GODINA9 Izborni predmet 3 III 7.510 Izborni predmet 4 III 7.511 Izborni predmet 5 III 7.512 Izborni predmet 6 III 7.513 Izborni predmet 7 IV 614 Izborni predmet 8 IV 615 Stru£na praksa IV 616 Studijski istraºiva£ki rad IV 417 Zavr²ni rad (Master rad) 8
Ukupno ESPB bodova 120
Na svakoj poziciji izbornog predmeta, student bira jedan od po-nu�ena dva predmeta. Izborni predmeti na istoj poziciji imaju istinedeljni fond £asova i nose isti broj ESP bodova. Spisak izbornihpredmeta na ovom modulu nalazi se u slede¢oj tabeli:
42 Informator
Naziv predmeta S ESPBIzborni predmet 1
4Finansijska matematika
I 7.5Diferencijalne jedna£ine i dinami£ki sistemi
Izborni predmet 2
8Parcijalne diferencijalne jedna£ine
II 7.5Teorija uzoraka i planiranje eksperimenata
Izborni predmet 3
9Risovi prostori i primene u ekonomiji
III 7.5Metodika nastave matematike
Izborni predmet 4
10Finansijsko modeliranje 1
III 7.5Teorija masovnog opsluºivanja
Izborni predmet 5
11Teorija operatora
III 7.5Teorija rizika
Izborni predmet 6
12Teorija odlu£ivanja
III 7.5Regresiona analiza u �nansijama
Izborni predmet 7
13Stohasti£ki dinami£ki sistemi
IV 6Finansijsko modeliranje 2
Izborni predmet 8
14Statisti£ka kontrola kvaliteta
IV 6Ekonometrija
6
Re²eni zadaci sa prethodnihprijemnih ispita
ZADACI-JUN 2016.
1. Matemati£kom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj nvaºi jednakost:
1
1 · 3+
1
3 · 5+ · · ·+ 1
(2n− 1)(2n+ 1)=
n
2n+ 1.
2. Dat je aritmeti£ki niz a1, a2, a3 . . . . Zbir prva 3 £lana na neparnimmestima je 3, a zbir prva 3 £lana na parnim mestima je 12. Odreditiprvih ²est £lanova ovog aritmenti£kog niza.
3. Odrediti broj a tako da re²enja x1 i x2 kvadratne jedna£ine 4x2 −15x+ a = 0 zadovoljavaju uslov x21 = x2.
4. Re²iti nejedna£inux2 − 4x+ 3
x+ 1< 0.
5. Re²iti jedna£inu sinx−√
3 cosx = 2.
43
44 Informator
6. Izra£unati(−3 + i
√3)10
.
7. Re²iti jedna£inu 6 · 4x − 13 · 6x + 6 · 9x = 0.
8. Osnovica jednakokrakog trougla iznosi 2. Teºi²ne duºi koje supovu£ene na krake, seku se pod pravim uglom. Odrediti povr²inutrougla.
9. Duºina dijagonale jednakokrakog trapeza je 12, a ugao izmedudijagonale i osnovice tog trapeza je 30◦. Odrediti povr²inu tog trapeza.
10. Izra£unati zapreminu pravilne £etvorostrane piramide, koja imavisinu 8 i £iji je dijagonalni presek povr²ine 60.
Izrada zadataka traje 150 minuta.Svaki ta£no ura�en zadatak nosi 6 poena.
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 45
RE�ENjA:
1. Ako je n = 1, onda traºena jednakost jeste1
1 · 3=
1
3, ²to je
o£igledno ta£no.Indukcijska pretpostvka jeste da je traºeno tvr�enje ta£no za neki
prirodan broj n, tj. pretpostavimo da vaºi
1
1 · 3+
1
3 · 5+ · · ·+ 1
(2n− 1)(2n+ 1)=
n
2n+ 1.
Potrebno je dokazati tvr�enje za prirodan broj n+1, odnosno trebadokazati da vaºi
1
1 · 3+
1
3 · 5+ · · ·+ 1
(2n− 1)(2n+ 1)+
1
(2n+ 1)(2n+ 3)=
n+ 1
2n+ 3.
Na osnovu indukcijske pretpostavke sledi:
1
1 · 3+
1
3 · 5+ · · ·+ 1
(2n− 1)(2n+ 1)+
1
(2n+ 1)(2n+ 3)
=n
2n+ 1+
1
(2n+ 1)(2n+ 3)
=2n2 + 3n+ 1
(2n+ 1)(2n+ 3)=
n+ 1
2n+ 3.
Time je tvr�enje dokazano.
2. Neka je a1 prvi £lan, a d neka je razlika tog aritmeti£kog niza. Tadaje, na osnovu uslova zadatka, ispunjeno:
a1 + a3 + a5 = 3, a2 + a4 + a6 = 12.
Tako�e je
a2 = a1+d, a3 = a1+2d, a4 = a1+3d, a5 = a1+4d, a6 = a1+5d.
46 Informator
Dolazimo do sistema linearnih jedna£ina
3a1 + 6d = 3, 3a1 + 9d = 12,
odnosnoa1 + 2d = 1, a1 + 3d = 4,
£ija su re²enjaa1 = −5, d = 3.
Prvih ²est £lanova ovog aritmeti£kog niza jesu
a1 = −5, a2 = −2, a3 = 1, a4 = 4, a5 = 7, a6 = 10.
3. Na osnovu Vijetovih formula, vaºe jednakosti:
x1 + x2 =15
4, x1x2 =
a
4.
Ako tim uslovima pridruºimo pretpostavku zadatka x21 = x2, tada je
4x21 + 4x1 − 15 = 0, a = 4x31.
Re²avanjem prve jedna£ine dolazimo do zaklju£ka da moºe biti x1 =
−5
2, ili x1 =
3
2. Stoga postoje dve mogu¢nosti za a, i to: a = −125
2ili
a = 272.
4. Kako je x2−4x+ 3 = (x−1)(x−3), potrebno je re²iti nejedna£inu
(x− 1)(x− 3)
x+ 1< 0.
Znak svakog £inioca posmatramo u odnosu na karakteristi£ne ta£ke−1, 1, 3, i prikazujemo tabelarno:
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 47
−1 1 3x+ 1 − 0 + + + + +x− 1 − − − 0 + + +x− 3 − − − − − 0 +
(x− 1)(x− 3)
x+ 1− ∗ + 0 − 0 +
Sledi da je(x− 1)(x− 3)
x+ 1< 0 ako i samo ako je x < −1 ili 1 < x < 3.
5. Data jedna£ina moºe biti zapisana u ekvivalentnom obliku:
1
2sinx−
√3
2cosx = 1.
Kako je sinπ
3=
√3
2i cos
π
3=
1
2, poslednja jedna£ina je ekvivalentna
jedna£inisinx cos
π
3− cosx sin
π
3= 1,
ilisin(x− π
3
)= 1.
Re²enje ove jedna£ine jeste
x− π
3=π
2+ 2kπ, k ∈ Z,
odnosnox =
5
6π + 2kπ, k ∈ Z.
6. Neka je z = −3 + i√
3. Tada je |z| =√
12. Argument ϕ kom-
pleksnog broja z zadovoljava uslov tgϕ = −√
3
3. Kako broj z pripada
48 Informator
drugom kvadrantu (realan deo broja z je pozitivan, a imaginaran deo
broja z je negativan), sledi da je ϕ =5
6π. Stoga je
z = |z|(cosϕ+ i sinϕ) =√
12
(cos
5
6π + i sin
5
6π
).
Na osnovu Moavrove formule, vaºi
z10 = |z|10(cos 10ϕ+ i sin 10ϕ) = 125
(cos
25
3π + i sin
25
3π
).
7. Polaznu jedna£inu podelimo sa 9x, i dobijamo jedna£inu
6 ·(
4
9
)x− 13 ·
(2
3
)x+ 6 = 0.
Smenom t =
(2
3
)xdolazimo do kvadratne jedna£ine
6t2 − 13t+ 6 = 0,
£ija su re²enja t =2
3i t =
3
2. Ako je
(2
3
)x=
2
3, onda je jedno re²enje
x = 1. Ako je(
2
3
)x=
3
2, onda je drugo re²enje jedna£ine x = −1.
8. Neka je 4ABC polazni jednakokraki trougao (videti Sliku 1.),tako da je AB osnovica tog trougla. Povucimo sve tri teºi²ne duºitrougla, koje se seku u teºi²tu T . Neka je D sredina osnovice AB.Tada je AD istovremeno teºi²na duº i visina koja odgovara osnoviciAB. Stoga je AD = 1. Troguao ∆ABT je jednakokraki, sa pravimuglom u ta£ki T . Sledi da je trougao ∆ATD tako�e jednakokraki sa
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 49
pravim uglom u ta£ki D. Proizilazi da je DT = AD = 1. Poznatoje da teºiste T deli svaku teºi²nu duº, pa i duº CD u odnosu 2 : 1,posmatrano od C ka D. Dakle, CT : TD = 2 : 1. Sledi da je CD = 3.Na kraju, povr²ina trougla ∆ABC jeste
P =1
2· AB · CD = 3.
Slika 1.
9. Neka je AB = a duºa osnovica, a CD = b kra¢a osnovica trapeza(videti Sliku 2). Neka su ta£ke E i F na osnovici AB, tako da suCE = h i DF = h visine trapeza. Kako je EF = b, sledi da je
EB =a− b
2i AE =
a+ b
2. Uo£imo trougao ∆AEC, koji kod temena
E ima prav ugao, a kod temena A ima ugao od 30◦. Tada je CE =h = 6, a na osnovu Pitagorine tereme sledi AE = 6
√3. Proizilazi da
je povr²ina trapeza jednaka
P =a+ b
2h = 36
√3.
50 Informator
Slika 2.
10. Neka je osnova piramide kvadrat ABCD, teme piramide neka jeS, i neka je O presek dijagonala osnove (videti Sliku 3.). Tada jeSO visina piramide, koja iznosi 8. Dijagonalni presek piramide jestebilo koji od podudarnih trouglova ∆ACS i ∆BDS. Visina OS ovihtrouglova je 8, a povr²ina je 60. Sledi da je AC = BD = 15. Kvadrat
ABCD ima dijagonalu 15, te je njegova stranica jednaka15√
2
2. Na
kraju, zapremina piramide je
V =1
3· 225
2· 8 = 300.
Slika 3.
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 51
ZADACI-JUN 2015.
1. Uprostiti izraz 1
(√a+√b)−2
−
( √a−√b
a3/2 − b3/2
)−1−1 · (ab)1/4,gde je a > 0, b > 0 i a 6= b.
2. Za kompleksan broj z = 1a−ia odrediti Re z, Im z i njegov trigono-
metrijski oblik ako je a < 0.
3. Odrediti a i b ako je pri deljenju polinoma P (x) = x5 + x4 − x3 +2x2 + ax+ b polinomom Q(x) = x2 − x− 2 ostatak jednak 7.
4. Odrediti vrednosti parametra a ∈ R za koje kvadratna jedna£ina
4x2 + 8ax− 12x+ 1 = 0
ima korene jednake po apsolutnoj vrednosti.
5. Re²iti nejedna£inu√x+ 1 +
√x− 3 ≤ 2.
6. Re²iti nejedna£inu
logx 2 · log2x 2 > log24x 2.
7. Re²iti jedna£inu
sin3x
2+ sinx =
11
4sin
x
2.
52 Informator
8. Odrediti jedna£inu kruºnice £iji je pre£nik duº AB, gde je A =(2,−3), B = (−1, 1), a zatim na pravoj 5x + y + 1 = 0 na¢i ta£ke izkojih se duº AB vidi pod pravim uglom.
9. Oko osnove kruºnog valjka opisan je jednakokraki trapez povr²ine50cm2 sa o²trim uglom od 300. Izra£unati povr²inu i zapreminu valjkaako je duºina njegove visine jednaka duºini kraka trapeza.
10. Tri broja £iji je zbir 7 obrazuju prva tri £lana opadaju¢e geometri-jske progresije. Ako se tim brojevima dodaju redom brojevi 1,3 i 4,dobijaju se prva tri £lana aritmeti£ke progresije. Odrediti ove brojeve.
Izrada zadataka traje 150 minuta.Svaki ta£no ura�en zadatak nosi 6 poena.
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 53
RE�ENjA:
1. Transformacijom izraza se dobija 1
(√a+√b)−2
−
( √a−√b
a3/2 − b3/2
)−1−1· (ab)1/4=
[(√a+√b)2 − a3/2 − b3/2
√a−√b
]−1· (ab)1/4
=
[a+ 2
√a√b+ b− (a1/2 − b1/2)(a+ a1/2b1/2 + b)
√a−√b
]−1· (ab)1/4
= (ab)−1/2 · (ab)1/4
= (ab)−1/4.
2. Kako je z = 1a−ia ·
a+iaa+ia
= 12a
+ i 12a, sledi da je Rez = 1
2a, Imz = 1
2a,
odakle je r =√
14a2
+ 14a2
= 1√2|a| , ϕ = arctan 1. Kako je a < 0, to je
ϕ = 5π/4 (ili ϕ = −3π/4). Prema tome, z = 1√2|a|
(cos 5π
4+ i sin 5π
4
)(ili z = 1√
2|a|
(cos −3π
4+ i sin −3π
4
)).
3. I. Kako je Q(x) = (x + 1)(x − 2) i P (x) = Q(x)S(x) + 7, gde jeS(x) odgovaraju¢i polinom stepena 3, to je P (−1) = 3 − a + b = 7 iP (2) = 48 + 2a + b = 7. Iz sistema −a + b = 4, 2a + b = −41 sledia = −15, b = −11.
II. Deljenjem polinoma P (x) polinomom Q(x) dobija se polinomS(x) = x3 + 2x2 + 3x + 9 i ostatak R(x) = (15 + a)x + 18 + b.Kako je poznato da je ostatak jednak 7, iz identiteta R(x) ≡ 7, tj.(15 + a)x + 18 + b ≡ 7 sledi da mora biti 15 + a = 0 i 18 + b = 7,odakle je a = −15, b = −11.
54 Informator
4. Ako je x1 = x2, po Vijetovim formulama je
2x1 = −8a− 12
4, x21 =
1
4.
Iz druge jedna£ine je x1 = ±12, tako da je a = 1 i a = 2.
Ako je x1 = −x2, tada je x1 + x2 = 0 i −x21 = 14, ²to je nemogu¢e.
Prema tome, koreni su jednaki po apsolutnoj vrednosti za a = 1ili a = 2.
5. Iz uslova x+ 1 ≥ 0 i x− 3 ≥ 0 sledi da mora biti x ≥ 3. Kako je
√x+ 1 ≤ 2−
√x− 3, x ≥ 3, (6.1)
i√x+ 1 ≥ 0, mora biti 2−
√x− 3 ≥ 0, odnosno 2 ≥
√x− 3. Odavde
je 4 ≥ x − 3, tj. x ≤ 7. Kvadriranjem nejedna£ine (6.1) dobijase 4√x− 3 ≤ 0. Prema tome, nejedna£ina ima jedinstveno re²enje
x = 3.
6. Nejedna£ina je de�nisana za x > 0, x 6= 1, x 6= 1/2, x 6= 1/4. U tomslu£aju ona je ekvivalentna sa nejedna£inom
1
log2 x· 1
1 + log2 x>
1
(2 + log2 x)2.
Kako je desna strana pozitivna, to mora biti log2 x > 0 i 1+log2 x > 0,ili log2 x < 0 i 1 + log2 x < 0, iz £ega sledi da je x > 1 ili 0 < x < 1/2.U tom slu£aju data jedna£ina se transformi²e u jedna£inu
(2 + log2 x)2 > log2 x · (1 + log2 x),
tj. u jedna£inu 3 log2 x > −4, iz koje sledi da je x > 2−43 . Prema
tome, x ∈ (2−43 , 1/2) ∪ (1,+∞).
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 55
7. Kako je sin 3x2
= sin(x+ x
2
), primenom adicione formule i for-
mula dvostrukog ugla data jedna£ina se transformi²e u ekvivalentnujedna£inu
sinx
2·[4 cos2
x
2+ 2 cos
x
2− 15
4
]= 0.
Ako je sin x2
= 0, tada je x = 2kπ, k = 0,±1,±2, . . .
Ako je 4 cos2 x2
+ 2 cos x2− 15
4= 0, smenom t = cos x
2, pri £emu je
| t |≤ 1, ova jedna£ina postaje 4t2+2t− 154
= 0, odakle je t1 = 3/4, t2 =−5/4. Iz zahteva | t |≤ 1 sledi da u obzir treba uzeti samo prvore²enje. Prema tome, re²enja jedna£ine su x = 2kπ, k = 0,±1,±2, . . .i x = ±2 arccos 3
4+ 4kπ, k = 0,±1,±2, . . .
8. Centar kruºnice O = (x0, y0) je sredina duºi AB, pa je x0 =1/2, y0 = −1.Kako je AB = 5, polupre£nik kruºnice je r =
√5, a
njena jedna£ina (x− 1
2
)2
+ (y + 1)2 =25
4.
Drugi deo zadatka se moºe re²iti na dva na£ina.I. Kako je svaki periferijski ugao nad pre£nikom prav, ta£ka M =
(α, β) iz koje se duº AB vidi pod pravim uglom, mora se nalaziti nakruºnici i na pravoj l : 5x + y + 1 =, tj. u preseku prave l i kruºnice.Zbog toga su njene koordinate re²enja sistema(
α− 1
2
)2
+ (β + 1)2 =25
4, 5α + β + 1 = 0.
Eliminacijom β se dolazi do jedna£ine 26α2 − α − 6 = 0 koja imare²enja α1 = 1/2 i α2 = −6/13. Kako je β = −5α − 1, odnosnoβ1 = −7/2 i β2 = 17/13, traºene ta£ke su M1 = (1/2,−7/2) i M2 =(−16/13, 17/13).
56 Informator
II. Neka je l1 prava odre�ena ta£kama A i M , a l2 prava odre�enata£kana B i M . Koe�cijenti pravaca ovih pravih su
k1 =β + 3
α− 2, k2 =
β − 1
α + 1.
Iz uslova normalnosti k1·k2 = −1 sledi (β+3)(β−1)+(α−2)(α+1) = 0.Kako je ta£kaM na pravoj l, to je 5α+β+1 = 0. Iz ove dve jedna£inese eliminacijom β dobija 26α2 − α− 6 = 0, ²to dovodi do re²enja kaou slu£aju I.
9. Kako se radi o tangentnom trapezu duºina osnovica a i b i kraka c,to je a+ b = 2c.
Ugao trapeza je 300, odakle je visina trapeza h = c sin 300 = c/2.Prema tome, povr²ina trapeza je
a+ b
2h =
c2
2= 50.
Otuda je c = 10. Polupre£nik valjka je r = h/2 = 5/2, a njegovavisina H = c = 10, tako da su povr²ina i zapremina valjka
P = 2πr(r +H) = 125π/2 cm2, V = πr2H = 125π/2 cm3.
10. Zadatak se moºe re²iti na vi²e na£ina.I. Neka su prva tri £lana geometrijske progresije q1 = r, q2 =
rq, q3 = rq2. Prva tri £lana aritmeti£ke progresije su a1, a2 = a1 +d, a3 = a2 + d. Kako je a1 = q1 + 1 = r+ 1, a2 = q2 + 3 = rq+ 3, a3 =q3 + 4 = rq2 + 4 i d = a2 − a1 = a3 − a2, to je
rq + 3− r − 1 = rq2 + 4− rq − 3,
odnosno r(q2−2rq+1) = 1. Odavde i iz uslova q1 +q2 +q3 = r(1+q+q2) = 7 eliminacijom r se dobija jedna£ina 6q2− 15q+ 6 = 0 koja ima
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 57
re²enja q = 2 i q = 1/2. Kako je geometrijska progresija opadaju¢a,u obzir se uzima samo drugo re²enje. Iz jedna£ine r(1 + q + q2) = 7sledi r = 4, pa je q1 = 4, q2 = 2, q3 = 1.
II. Kao u I, q1 = r, q2 = rq, q3 = rq2 i q1+q2+q3 = r(1+q+q2) = 7.Kako je a1 = a = q1 + 1, a2 = a + d = q2 + 3, a3 = a + 2d = q3 + 4,to je 3(a + d) = q1 + q2 + q3 + 8 = 15, tj. a2 = a + d = 5. Sa drugestrane, a2 = rq + 3 = 5, pa se r i q odre�uju iz sistema
rq = 2, r(1 + q + q2) = 7.
Odavde je 2q2 − 5q + 2 = 0, tj. q = 2 i q = 1/2. Za drugo re²enje, zakoje je geometrijska progresija opadaju¢a, je r = 4, a traºeni brojevisu q1 = 4, q2 = 2, q3 = 1.
58 Informator
ZADACI-JUN 2014.
1. Odrediti vrednost izraza
A =1 + (a+ x)−1
1− (a+ x)−1
[1− 1− (a2 + x2)
2ax
]ako je x = (a− 1)−1, a ∈ R \ {0, 1}.
2. Neka je zn =(√
3+i√3−i
)n, n ∈ N. Odrediti:
(a) z2014;
(b) sve prirodne brojeve n ∈ N za koje je zn = 1.
3. Ako je ostatak pri deljenju polinoma P (x) = x6 + x5− 2x4− 2x3−4x2 + ax+ b polinomom Q(x) = x2 − 4 jednak 5, odrediti a i b.
4. Re²iti jedna£inu√x− 2
√x− 1 +
√x+ 3− 4
√x− 1 = 1.
5. Odrediti parametar m tako da zbir kvadrata re²enja jedna£inex2 −mx+m− 1 = 0 bude minimalan.
6. Re²iti nejedna£inu
log2(x2 − x− 6) + log0.5(x
2 − 4x− 12) ≤ 2.
7. Re²iti jedna£inucos 4x+ 2 cos2 x = 1.
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 59
8. Data je prava (p) : 4x+ 6y = 1990 i parabola (P ) : y2 = 4x. Odre-diti uzajamno normalne tangente parabole, od kojih je jedna paralelnadatoj pravoj.
9. Prav valjak i kupa imaju zajedni£ku osnovu, a vrh kupe nalazi seu sredi²tu druge osnove valjka. Odrediti ugao izme�u izvodnice kupei ose valjka, ako je odnos povr²ine valjka i kupe 7:4.
10. Dat je niz brojeva a1 = 2, a2 = 3, a4 = 11, a5 = 18, . . ., takav darazlike njegovih uzastopnih £lanova obrazuju aritmeti£ki niz. Odreditia500.
Izrada zadataka traje 150 minuta.Svaki ta£no ura�en zadatak nosi 6 poena.
60 Informator
RE�ENjA:
1.
A =1 + 1
a+x
1− 1a+x
·(2ax− 1 + a2 + x2
2ax
)=a+ x+ 1
a+ x− 1· (a+ x)2 − 1
2ax
=a+ x+ 1
a+ x− 1· (a+ x− 1)(a+ x+ 1)
2ax
=(a+ x+ 1)2
2ax.
Za x = (a− 1)−1, izraz postaje
A =(a+ 1
a−1 + 1)2
2aa−1
=(a(a− 1) + 1 + (a− 1))2
2a(a− 1)=
a3
2(a− 1).
2. (a) zn =(√
3+i√3−i
)n=(
12
+√32i)n
= (eπi3 )n =⇒ z2014 = −1
2−√32i;
(b) zn = 1 ⇐⇒ 6 | n.3. Po²to je P (x) = Q(x)S(x) + 5, a Q(x) = (x+ 2)(x−2), za x = −2,odnosno x = 2, dobijamo:
64 − 32 − 32 + 16 − 16 − 2a + b = 564 + 32 − 32 − 16 − 16 + 2a + b = 5.
Stoga je a = −8 i b = −11.4. Re²enja traºimo u intervalu x ∈ [1,+∞). Kako je√
1− 2√x− 1 + x− 1 +
√4− 4
√x− 1 + x− 1 = 1
⇔√
(√x− 1− 1)2 +
√(√x− 1− 2)2 = 1,
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 61
po£etna jedna£ina je ekvivalentna slede¢oj jedna£ini;
|√x− 1− 1|+ |
√x− 1− 2| = 1.
Kako je
|√x− 1− 1| =
{ √x− 1− 1, x ≥ 2
1−√x− 1, x < 2,
i
|√x− 1− 2| =
{ √x− 1− 2, x ≥ 5
2−√x− 1, x < 5,
to se jedna£ina re²ava na tri intervala.1) Za 1 ≤ x < 2,
1−√x− 1 + 2−
√x− 1 = 1
⇔ 2√x− 1 = 2
⇔ x− 1 = 1⇒ x = 2.
Kako x = 2 ne pripada skupu [1, 2), jedna£ina u ovom slu£ajunema re²enja.
2) Za x ∈ [2, 5),√x− 1− 1 + 2−
√x− 1 = 1
⇒ 1 = 1.
Svako x intervala [2, 5) je re²enje jedna£ine.3) Za x ≥ 5,
√x− 1− 1 +
√x− 1− 2 = 1
⇔√x− 1 = 2
⇔ x = 5.
Re²enje jedna£ine je unija re²enja u sva tri slu£aja, tj. x ∈ [2, 5].
62 Informator
5. Primenom Vijetovih formula iz date jedna£ine, imamo x1 +x2 = mi x1 · x2 = m− 1. Dakle,
f(m) = x21 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = m2 − 2m+ 2.
Funkcija ima minimum u temenu parabole T(− b
2a, 4ac−b
2
4a
), tj. za
m = 1.6. Nejedna£ina je de�nisana za x2 − x − 6 > 0 i x2 − 4x − 12 > 0,tj. za x ∈ (−∞,−2)∪ (6,+∞). Nejedna£ina je ekvivalentna slede¢emizrazu:
log2(x2 − x− 6)− log2(x
2 − 4x− 12) ≤ 2
⇔ log2
x2 − x− 6
x2 − 4x− 12≤ 2
⇔ x2 − x− 6
x2 − 4x− 12≤ 22
⇔ −x2 + 5x+ 14
x2 − 4x− 12≤ 0
⇒ x ∈ (−∞,−2) ∪ [7,∞).
Iz uslova de�nisanosti logaritma sledi da je re²enje nejedna£ine x ∈(−∞,−2) ∪ [7,∞).7.
cos 4x+ 2 cos2 x = 1 ⇔ 2 cos2 2x− 1 + 21 + cos 2x
2= 1
⇔ 2 cos2 2x+ cos 2x− 1 = 0
⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x =1
2
⇔ 2x = π + 2kπ ∨ 2x = ±π3
+ 2kπ, k ∈ Z
⇔ x =π
2+ kπ ∨ x = ±π
6+ kπ, k ∈ Z.
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 63
8. Uslov dodira prave y = kx + n i parabole (P ) : y2 = 2px jep = 2kn, u na²em slu£aju je to 1 = kn. Dakle, za tangente (t1) : y =k1x+ n1, (t2) : y = k2x+ n2, vaºe uslovi k1n1 = 1 i k2n2 = 1.
Jedna£ina prave p se moºe predstaviti u obliku
y = −2
3x+
995
3.
Ako je t1 ‖ p, tada je k1 = −23, dok se iz uslova t1 ⊥ t2 zaklju£uje
da je k1k2 = −1, odnosno da je k2 = 32. Kako je n1 = 1
k1= −3
2i
n2 = 1k2
= 23, jedna£ine tangenti su
(t1) : y = −2
3x− 3
2, (t2) : y =
3
2x+
2
3.
9. Neka je R polupre£nik osnove i H visina kupe i valjka. Tada jeodnos povr²ina
PVPK
=2R2π + 2RπH
Rπ√R2 +H2 +R2π
=7
4.
Sre�ivanjem, dobijamo
8R2 + 8RH = 7R√R2 +H2 + 7R2
R + 8H = 7√R2 +H2 ↗2
R2 + 16RH + 64H2 = 49(R2 +H2)
48R2 − 16RH − 15H2 = 0/ : H2
48(RH
)2− 16
(RH
)− 15 = 0.
Re²enja su: RH
= 34i RH
= − 512. Kako je tanα = R
H> 0, to je
α = arctan 34.
64 Informator
10. Neka je aritmeti£ki niz sa op²tim £lanom bn, n ∈ N. Kako jea5 − a4 = b4 = 7 i b4 = b1 + 3d, zaklju£ujemo da je razlika uzastopnih£lanova aritmati£kog niza d = 2. Imamo da je:
a2 − a1 = 1 = b1;
a3 − a2 = 3 = b2;
a4 − a3 = 5 = b3;
. . .
a500 − a499 = 2 · 499− 1 = 997 = b499.
Sabiranjem levih i desnih strana jednakosti imamo
a500 − a1 = 1 + 3 + 5 + . . .+ 997 = 4992.
Dakle, a500 = 2 + 4992 = 249003.
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 65
ZADACI-JUN 2013.
1. Uprostiti izraz: (√ab− ab
a+√ab
):
4√ab−
√b
a− b.
2. Izra£unati:
i2008 + i2009
(i− 1)(i2010 − 1)
3. U jedna£ini 3x2 − 3(m − 1)x + m2 + 2 = 0 odrediti vrednostiparametra m tako da koreni jedna£ine zadovoljavaju uslov
x31 + x32 = −2.
4. Re²iti jedna£inu√
2x+ 8 +√x+ 5 = 7.
5. Re²iti jedna£inu
12 · 16x − 25 · 12x + 12 · 9x = 0 .
6. Re²iti jedna£inu
log3x
(3
x
)+ log2
3 x = 1
66 Informator
7. Re²iti jedna£inusin 2x+ 2 cos2 x = 0.
8. Odrediti jedna£inu kruga koji prolazi kroz ta£ke A(3, 4) i B(4, 5),a centar mu leºi na krugu x2 + y2 = 50.
9. Kolika je povr²ina pravilne £etvorostrane piramide £ija je osnovnaivica a = 6 cm, a visina 1 cm kra¢a od visine bo£ne strane?
10. Ako je zbir drugog i tre¢eg £lana geometrijskog niza jednak 6, a£etvrti £lan je za 24 ve¢i od drugog £lana, izra£unati prvi £lan niza ikoli£nik niza.
Izrada zadataka traje 150 minuta.Svaki ta£no ura�en zadatak nosi 6 poena.
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 67
RE�ENJA:
1. (√ab− ab
a+√ab
):
4√ab−
√b
a− b=a√ab+ ab− aba+√ab
· a− b4√ab−
√b
=a√ab(a− b)(
a+√ab)(
4√ab−
√b) =
a√a√b(√
a−√b)(√
a+√b)
√a(√
a+√b)
4√b(
4√a− 4√b)
=a 4√b(√
a−√b)
(4√a− 4√b) =
a 4√b(
4√a− 4√b)(
4√a+ 4√b)
(4√a− 4√b)
= a4√b(
4√a+
4√b)
= a4√ab+ a
√b .
2. Iz i4 = (i2)2
= (−1)2 = 1 sledi da je i2008 = (i4)502
= 1, i2009 =i2008 · i = i i i2010 = i2008 · i2 = −1, te je zato
i2008 + i2009
(i− 1)(i2010 − 1)=
1 + i
−2(i− 1)=
1
2· 1 + i
1− i· 1 + i
1 + i=
1
2· (1 + i)2
1− i2=
1 + 2i+ i2
4=i
2.
3. Kako je x1 + x2 = m− 1 i x1x2 =m2 + 2
3to imamo
68 Informator
−2 = x31 + x32 = (x1 + x2)(x21 − x1x2 + x22
)= (x1 + x2)
(x21 + 2x1x2 + x22 − 3x1x2
)= (x1 + x2)
[(x1 + x2)
2 − 3x1x2]
= (m− 1)[(m− 1)2 − (m2 + 2)
]= (m− 1)(−2m− 1)
odnosno 2 = (m − 1)(2m + 1) = 2m2 − m − 1. Re²enja jedna£ine
2m2−m−3 = 0 su brojevim1 =1 +√
25
4=
3
2im2 =
1−√
25
4= −1,
te su brojevi3
2i −1 traºene vrednosti parametra m.
4. Re²enja date jedna£ine, ukoliko ih ima, moraju zadovoljavati uslove2x+ 8 ≥ 0 i x+ 5 ≥ 0, dakle moraju pripadati skupu [−4,∞). Dakleto su oni brojevi x ∈ [−4,∞) koji zadovoljavaju uslov
√2x+ 8 = 7−
√x+ 5 . (6.2)
Broj x ∈ [−4,∞) zadovoljava jedna£inu (6.2) ako i samo ako zado-voljava konjunkciju slede¢a dva uslova{ √
x+ 5 ≤ 7 ,
2x+ 8 =(7−√x+ 5
)2Dakle re²enja polazne jedna£ine su svi oni brojevi x ∈ R za koje
vaºi −4 ≤ x ,x ≤ 44 ,46− x = 14
√x+ 5
(6.3)
Kako uslov x ≤ 44 povla£i da je 46 − x ≥ 0, to je sistem uslova(6.3) ekvivalentan sa {
x ∈ [−4, 44] ,(46− x)2 = 142(x+ 5)
(6.4)
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 69
Imamo (46 − x)2 = 142(x + 5) ⇐⇒ x2 − 288x + 1136 = 0, are²enja poslednje jedna£ine su brojevi 144 +
√2272102 = 284 i 144 −√
2272102 = 4. Sada iz 284 /∈ [−4, 44] i 4 ∈ [−4, 44], sledi da postojijedinstveno re²enje polazne jedna£ine i to je broj 4.
5. Deljenjem obe strane date jedna£ine sa 32x dobijamo ekvivalentnujedna£inu
12 ·(
4
3
)2x
− 25 ·(
4
3
)x+ 12 = 0 . (6.5)
Vidimo da su re²enja polazne jedna£ine svi oni brojevi x ∈ R za
koje je broj(
4
3
)xre²enje jedna£ine 12t2 − 25t+ 12 = 0. Re²enja ove
kvadratne jedna£ine su brojevi25 +
√49
24=
4
3i
25−√
49
24=
3
4. Kako
je(
4
3
)x=
4
3⇔ x = 1 i
(4
3
)x=
3
4⇔ x = −1, to su re²enja polazne
jedna£ine brojevi 1 i −1.
6. Re²enja date jedna£ine moraju zadovoljavati uslove x 6= 0, 3x > 0,
3x 6= 1,3
x> 0 i x > 0. Dakle re²enja ove jedna£ine su svi oni brojevi
x ∈(
0,1
3
)∪(
1
3,∞)
za koje vaºi
log3x 3− log3x x+ log23 x = 1 (6.6)
Kako je
log3x 3−log3x x=1
log3(3x)− 1
logx(3x)=
1
log3 3+log3 x− 1
logx 3+logx x
70 Informator
=1
1+log3 x− 1
1
log3 x+1
, to se smenom s = log3 x jedna£ina (6.6) svodi
na jedna£inu1
1 + s− 1
1
s+ 1
+ s2 = 1
koja je ekvivalentna sa1− s1 + s
+ s2 = 1 (6.7)
Jedna£inu (6.7) zadovoljavaju svi oni brojevi s ∈ R \ {−1} za kojevaºi
(1− s) = (1 + s)(1− s2) = (1 + s)2(1− s) .To su oni brojevi s 6= −1 za koje vaºi 1− s = 0 ∨ 1 = (1 + s)2. Dakleskup re²enja jedna£ine (6.7) je {1, 0,−2}. Otuda su re²enja polazne
jedna£ine svi oni brojevi x ∈(
0,1
3
)∪(
1
3,∞)
za koje vaºi log3 x ∈
{1, 0,−2}, pa je skup re²enja polazne jedna£ine skup {31, 30, 3−2} ={3, 1,
1
9
}.
7. Uslov 0 = sin 2x+2 cos2 x = 2 sin x cosx+2 cos2 x = 2 cos x(sinx+cosx) je ekvivalentan disjunkciji cosx = 0 ∨ sinx = − cosx, a onasa cosx = 0 ∨ (cosx 6= 0 ∧ sinx = − cosx).
Skup re²enja jedna£ine cosx = 0 je skup{π
2+ kπ | k ∈ Z
}.
Uslov cosx 6= 0 ∧ sinx = − cosx je ekvivalentan sa
x /∈{π
2+ kπ | k ∈ Z
}∧ tgx = −1 tj. sa x ∈
{−π
4+ kπ | k ∈ Z
}.
Zaklju£ujemo da je skup re²enja polazne jedna£ine skup{π2
+ kπ | k ∈ Z}∪{−π
4+ kπ | k ∈ Z
}.
Re²eni zadaci sa prethodnih prijemnih ispita 71
8. Neka je K proizvoljan krug, ta£ka C(p, q) njegov centar i broj rnjegov polupre£nik.
Uslov A,B ∈ K je ekvivalentan konjunkciji uslova
C ∈ s i r2 = (3− p)2 + (4− q)2 ,
gde smo sa s ozna£ili simetralu duºi AB. Koe�cijent pravca prave
AB je broj kAB =5− 4
4− 3= 1, pa kako je prava s normalna na pravu
AB, zaklju£ujemo da je koe�cijent pravca prave s broj ks = − 1
kAB=
−1. Prava s sadrºi sredi²te duºi AB £ije su koordinate(
7
2,9
2
), te je
y − 9
2= −
(x− 7
2
), odnosno y = −x+ 8, jedna£ina prave s. Dakle
A,B ∈ K ⇐⇒(q = −p+ 8 i r2 = (3− p)2 + (4− q)2
).
Ta£ka C pripada krugu £ija je jedna£ina x2 + y2 = 50 ako i samoako vaºi p2 + q2 = 50.
Iz prethodnog vidimo da je krug K kakav se traºi ako i samo ako jeure�eni par (p, q) koordinata njegovog centra re²enje sistema jedna£ina{
q = −p+ 8 ,p2 + q2 = 50
(6.8)
pri £emu istovremeno za njegov polupre£nik vaºi r2 = (3−p)2+(4−q)2.
Sistem (6.8) je ekvivalentan sistemu{q = −p+ 8 ,p2 + (8− p)2 = 50
72 Informator
Kako je p2 + (8− p)2 = 50⇔ p2 − 8p+ 7 = 0⇔ p ∈ {7, 1}, to su svare²enja tog sistema ure�eni parovi (7, 8−7) = (7, 1) i (1, 8−1) = (1, 7).Ako je (p, q) = (7, 1) onda je r2 = (3 − 7)2 + (4 − 1)2 = 25. Ako je(p, q) = (1, 7) onda je r2 = (3− 1)2 + (4− 7)2 = 13.
Zbog toga postoje ta£no dva kruga koja zadovoljavaju sve uslovezadatka, i to su dakle krugovi £ije su jedna£ine (x−7)2 +(y−1)2 = 25i (x− 1)2 + (y − 7)2 = 13.
9. Kolika je povr²ina pravilne £etvorostrane piramide £ija je osnovnaivica a = 6 cm, a visina 1 cm kra¢a od visine bo£ne strane?
10. Ako je x prvi £lan, a q koli£nik proizvoljnog geometrijskog niza,onda su prvi, drugi, tre¢i i £etvrti £lan tog niza brojevi x, xq, xq2 ixq3, tim redom, pa niz zadovoljava uslove zadatka ako i samo ako jepar (x, q) re²enje sistema jedna£ina{
xq + xq2 = 6 ,xq3 − xq = 24
(6.9)
Iz xq3−xq = xq(q+ 1)(q− 1) i xq+xq2 = xq(1 + q) imamo da je ovajsistem ekvivalentan sistemu{
xq(1 + q) = 6 ,6(q − 1) = 24
Iz druge jedna£ine ovog sistema dobijamo da je q = 5, a onda iz
prve i da je x =1
5. Zaklju£ujemo da sistem (6.9) ima ta£no jedno
re²enje i to je par (x, q) =
(1
5, 5
).
7
�esto postavljana pitanja
Pitanje: Da li je prijemni ispit teºak?Odgovor: Te²ko je iskreno i nepristrasno odgovoriti na to pitanje.Prijemni ispit je zami²ljen s jedne strane kao �nalna provera kojomDepartman za matematiku obavlja selekciju prijavljenih kandidata, asa druge strane i sami kandidati dobijaju pravu povratnu informacijuo svom znanju matematike. Onima koji kroz srednju ²kolu nisu imaliproblema sa matematikom prijemni ispit ne bi trebalo da predstavljaproblem. Ali testirajte svoje znanje. U prethodnoj glavi su zadaci saprijemnih ispita pa organizujte sebi proveru! Ili do�ite na probni pri-jemni koji se organizuje u sklopu pripremne nastave i sami se uveriteu teºinu zadataka.
Pitanje: �ta mi je potrebno od opreme?Odgovor: Poºeljno je imati ra£unar i pristup internetu, jer ¢ete nataj na£in mo¢i da pratite sve vezano za proces nastave (obave²tenjapredmetnih nastavnika, doma¢e zadatke, seminarske radove,...) kao ida nalazite sadrºaje koji bi mogli da unaprede proces spremanja ispita.
Pitanje: Da li je mogu¢e istovremeno studirati i raditi?
73
74 Informator
Odgovor: Mogu¢e jeste, ali imajte u vidu da kao studenti imateobavezu da prisustvujete nastavi i izvr²avate svoje predispitne obaveze,tako da je te²ko uskladiti i jedno i drugo. Ukoliko imate materijalnihpote²ko¢a, postoje razne studentske stipendije i krediti (Ministarstvoprosvete, nauke i tehnolo²kog razvoja, Republi£ka fondacija za mladetalente, lokalna samouprava, neka preduze¢a itd.) za koje moºete dakonkuri²ete, a uspeh na konkursu zavisi samo od vas i vaseg u£enja.Tako�e, stanovanje u studentskom domu i kori²¢enje studentske kan-tine ublaºava udarce na ku¢ni budºet. Budite u toku sa podno²enjemdokumentacija za stipendije, kredite, studentski dom i kantinu.
Pitanje: Kako odabrati izborni predmet sa spiska ponu�enih?Odgovor: Izborni predmeti se pojavljuju tek na drugoj godini, adotad ¢ete ve¢ malo bolje upoznati razne oblasti matematike. Uvekmoºete pitati za misljenje i starije kolege, mada je najbolje re²enjepogledati sadrºaj predmeta na sajtu i pitati predmetnog nastavnika osamom predmetu.
Pitanje: �ta ako varam na ispitu?Odgovor: Pre svega budite svesni da time £inite ozbiljan prestup, ida ¢ete, ako budete otkriveni, biti i adekvatno kaºnjeni (vise o samimkaznama moºe se na¢i u Statutu fakulteta). Sa druge strane, £ak iakoslu£ajno ne budete otkriveni odmah, to ²to niste nau£ili u okviru pred-vi�enog gradiva ¢e vas sigurno sa£ekati na nekom drugom ispitu, ima-ju¢i u vidu sloºenu strukturu matematike. Uostalom, ni sami studentine vole kada se mu£e da radom i zalaganjem steknu znanje i poloºeispit, dok neko na nepo²ten na£in dolazi do ocena i na taj na£in obe-smi²ljava koncept studiranja kao sticanja znanja zarad op²teg dobra.
Pitanje: �ta ukoliko zakasnim sa prijavom ispita?Odgovor: Ispite je mogu¢e prijaviti i ukoliko je rok za prijavu pro²ao,samo ²to ¢ete u tom slu£aju morati pored prijave ispita da platite i
�esto postavljana pitanja 75
odgovaraju¢u kaznu.
Pitanje: Da li je mogu¢e da neki semestar odslu²am na nekom dru-gom univerzitetu, moºda u inostranstvu?Odgovor: Naravno. Jedna od prednosti bolonjskog procesa je i mo-bilnost predava£a i studenata, u smislu da je mogu¢e iskoristiti neki odbrojnih projekata za razmenu studenata (u delu 2.1 su navedeni pro-grami i univerziteti sa kojima sara�uje Prirodno-matemati£ki fakultetu Ni²u).
Pitanje: Kako se odre�uje visina ²kolarine za obnovu godine?Odgovor: Na osnovu prijavljenih predmeta. Svaki prijavljen predmetza odre�enu ²kolsku godinu nosi odre�eni broj ESP bodova, a svakegodine se utvr�uje cena jednog boda. U zavisnosti od broja predmetakoje prenesete u slede¢u godinu odre�uje se visina ²kolarine.
Pitanje: Moºe li se ispit polagati pre no ²to ga odslu²am?Odgovor: Ne moºe. U Statutu fakulteta iz 2013, £lan 61, stav 1,stoji: Student polaºe ispit neposredno po okon£anju nastave iz togpredmeta, a najkasnije do po£etka nastave tog predmeta u narednoj²kolskoj godini.
Pitanje: Koliko puta imam pravo da iza�em na jedan ispit?Odgovor: Na ispit moºete izlaziti sve do po£etka nastave tog pred-meta u narednoj ²kolskoj godini. Broj izlazaka zavisi od broja ispitnihrokova u tom periodu.
Pitanje: Moºe li se studirati ubrzano?Odgovor: Moºe. Ukoliko u jednoj ²kolskoj godini odaberete daslu²ate i polaºete vi²e predmeta od predvi�enih brºe ¢ete do¢i doukupnog potrebnog broja ESP bodova za zavr²etak nivoa studija nakome se nalazite.
76 Informator
Pitanje: Kakva prava imaju studenti sa posebnim potrebama (inva-liditetom)?Odgovor: Student sa invaliditetom ima pravo da polaºe ispit na na£inprilago�en njegovim mogu¢nostima i potrebama, a u skladu sa poseb-nim pravilnikom.
Ako imate jo² neko pitanje posetite nas!
Ili nas kontaktirajte putem e-maila pm�[email protected], a mi¢emo se potruditi da damo odgovore na sva va²a pitanja. Dosta koris-nih informacija moºete na¢i i na sajtu Fakulteta, uklju£uju¢i i infor-macije o pripremnoj nastavi, konkursu za upis, prijemnom ispitu.
Vi²e informacija o samom Departmanu za matematiku, ali i oaktivnostima nastavnika i saradnika, kao i studenata departmana,moºete prona¢i i na Facebook stranici departmana.
�esto postavljana pitanja 77
78 Informator
Izdavač: Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet, Niš
Priređivači: dr Marija Krstić, dr Milan Zlatanović, dr Nebojša Dinčić, dr Jelena Milošević
Obrada na računaru: priređivači
Dizajn korica: Bratislav Radovanović
Štampa: Unigraf X copy
Tiraž: 100
Zabranjeno je reprodukovanje, distribucija, prerada ili druga upotreba ovog autorskog dela ili njegovih delova, uključujući fotokopiranje, štampanje ili čuvanje u elektronskom obliku, bez pisane dozvole izdavača. Navedene radnje predstavljaju kršenje autorskih prava.
CIP - Каталогизација у публикацији - Народна библиотека Србије, Београд 378.6:51(497.11)"2017"(036) INFORMATOR Departamana za matematiku / [priređivači Marija Krstić ... [at al.]]. - Niš : Prirodno-matematički fakultet,, 2017 (Niš : Unigraf X copy). - 76 str. : ilustr. ; 25 cm Na vrhu nasl.: Univerzitet u Nišu. - Tiraž 100. ISBN 978-86-6275-048-8 a) Природно-математички факултет (Ниш). Департман за математику - 2017 COBISS.SR-ID 231352076