uporabna matematika v logistiki - ic geoss · 2019. 4. 7. · analiza je veja matematike, ki se...

UPORABNA MATEMATIKA V LOGISTIKIza višješolsko strokovno izobraževanje

MATEMATIČNA ANALIZA (FUNKCIJE, POLINOMI)

Analiza je veja matematike, ki se ukvarja zobravnavo funkcij in njihovih lastnosti. Najprejbomo spoznali definicijo funkcije ter osnovnelastnosti funkcij, nato pa sledi preglednajpomembnejših funkcij kot ponovitevsrednješolske snovi ter novi pojmi limita,odvod in integral funkcije. Pojem funkcije je vsplošnem zelo abstrakten, zato bodo nanekaterih mestih, kjer je seveda mogoče,podani primeri uporabe funkcij v logistiki.

MATEMATIČNA ANALIZA UML

2

Definicija in lastnosti funkcijeNaj bosta A in B neprazni množici.

Definicija funkcije


3


4


5

Monotonost funkcije


6

Linearna funkcija


7

Primer 1:


8

Enačba premice skozi dano točko z znanim k

Primer 2:


9


10

Naklonski kot premice


11


Primer 3:

12


Primer 4a:

13


14


Primer 4b:

15


16


Uporaba linearne funkcije v logistiki

VAJA 1:

17


18


19


VAJA 2:

20


21


22


Kvadratna funkcija

23


Primer 5:

24


25


Uporaba kvadratne funkcije v logistiki

VAJA 3:

26


Uporaba kvadratne funkcije v logistiki

VAJA 3:

27


Uporaba kvadratne funkcije v logistikiVAJA 3:

28


Racionalna funkcija

29


- Poli racionalne funkcije so tiste vrednosti spremenljivke x, v katerih jeimenovalec enak 0: q(x) = 0. Ko se vrednosti spremenljivke x bližajo polu,rastejo vrednosti funkcije čez vse meje, zato ima v polu graf funkcijenavpično asimptoto, ki je nikoli ne seka. V okolici polov lihe stopnje funkcijazamenja predznak, v okolici polov sode stopnje pa predznak ohrani.

Racionalna funkcija

30


Racionalna funkcija

31


Racionalna funkcija – oblika grafa v neskočnosti

32


Primer 6:

33


Uporaba racionalne funkcije v logistiki

VAJA 4:

34



VAJA 4: Rešitev:

35



36


Eksponentna funkcija

37



38



39


Eksponentna funkcijaPri risanju grafa eksponentne funkcije nam pomaga splošna oblika, ki je:

40



41

MATEMATIČNA ANALIZA UMLEksponentna funkcija

42


Uporaba eksponentne funkcije v logistiki

Problem skladiščenja pokvarljivega blaga, npr. jagod.

V skladišču imamo 100 kg pokvarljivega blaga. Vsak dan zgnije oziroma propade10 % količine prejšnjega dne. Raziščite propadanje blaga v naslednjih 5 dneh.

Rešitev:a) Definiramo f-jo, izpolnimo tabelo in rezultate narišemo v koordinatni sistem

VAJA 5:

43



b) Iz grafa približno ocenite koliko bo robe v skladišču po 12 dneh

44



VAJA 6:

45


Uporaba eksponentne funkcije v logistikiVAJA 6:

46


Logaritemska funkcije

47


Logaritemska funkcije

48


Uporaba logaritemske funkcije v logistiki

VAJA 7:

Problem skladiščenja pokvarljivega blaga (Vaja 6).

V skladišču imamo 100 kg pokvarljivega blaga (kapaciteta skladišča). Vsak danzgnije oziroma propade 10 % količine prejšnjega dne.

Izračunajte čas kdaj se:

a) se bo količina blaga v skladišču razpolovila,b) morajo naročiti blago, če je kriterij, da se sproži naročilo, ko količina blagapade na 1/3 kapacitete skladišča.

49


Uporaba logaritemske funkcije v logistiki

VAJA 7: Rešitev

a)

b)

50


Uporaba logaritemske funkcije v logistikiVAJA 8:

51

POLINOMI UML

52

POLINOMI UML

DEFINICIJA POLINOMA

POLINOM je funkcija ene spremenljivke, ki ima obliko:p(x) = anxn+an-1xn-1 + ... +a1x + a0,

Polinomska funkcija je definirana za vsako realno število.n (ki je lahko naravno število ali 0) imenujemo stopnja polinoma ,an-1,...a1,a0 so koeficienti polinoma in so realna števila,an imenujemo vodilni koeficient ,anxn imenujemo vodilni člen ,a0 pa imenujemo svobodni (konstantni) člen.

- če je kateri od koeficientov enak 0, člen s tem koeficientom izpustimo (ga ne pišemo)

- kadar an ni enak 0, potem pravimo, da ima polinom p(x) STOPNJO n.

Polinome označimo z različnimi črkami.

Poglejmo si nekaj primerov:

53

POLINOMIRAČUNANJE S POLINOMI

Primer 1:

Strnimo ugotovitvi:- Vrednost polinoma za x = 0 je enaka prostemu členu polinoma.- Ničla polinoma je takšna vrednost za neodvisno spremenljivko x, da ima polinom

vrednost O.

Primer 2:

POLINOMI UML

POLINOMI

Polinom ničte stopnje je funkcija s predpisom f(x) = a0, pri čemer je a0 poljubno neničelno realno število. Vemo že, da so to konstantne funkcije, katerih grafi so vzporednice z abscisno osjo in sekajo ordinatno os v točki A(0,a0).

Polinom prve stopnje je funkcija s predpisom f(x)=a1x + a0,pri čemer je a1≠0.To so linearne funkcije, nam bolj poznane s predpisom f(x) =kx + n. Grafi so premice, katerih naraščanje oziroma padanjeje odvisno od k oziroma a1. Premice sekajo ordinatno os vtočki A(0,a0).

Polinom stopnje 2 je funkcija s predpisom f(x) = a2x2 + a1x + a0, kjer je vodilni koeficient a2≠0.Te funkcije imenujemo kvadratne funkcije in jih zapišemo v obliki f(x)=ax2+bx + c, a≠0. Grafi kvadratnih funkcij so parabole. Predznak vodilnega koeficienta a pomeni, kako je parabola obrnjena; prosti člen cpa pove, kje parabola seka ordinatno os.

POLINOMI UML

Povezava Pascalovega trikotnika in koeficientov pri potenciranjudvočlenika

Primerjajmo Pascalov trikotnik s koeficienti pri potenciranju dvočlenika. Kaj ugotovimo?

Opazimo, da vrstice Pascalovega trikotnika podajajo zaporedne koeficientečlenov v razvoju potence dvočlenika.

Računanje z izraziPascalov trikotnik

POLINOMI UML

PredstaviteljOpombe o predstavitvi

Eksponenti prvega in drugega člena pri potenciranju dvočlenika

Opazimo, da pri n-ti potenci dvočlenika torej eksponenti pri prvem členupadajo od n do 0.

Računanje z izraziPascalov trikotnik

POLINOMI UML

PredstaviteljOpombe o predstavitvi

POLINOMIRAČUNANJE S POLINOMI – ENAKOST POLINOMOV

Polinoma sta enaka, kadar imata enako stopnjo in enake koeficiente pri istih potencah.

Primer 3: Preveri, če je trditev pravilna in utemelji odgovor.

Ali sta polinoma p(x) = x3 – 2x + 1 in q(x) = x3 – 4x5 + 1 enaka?

Odg: NE. Polinoma nimata niti enake stopnje, prav tako nimata enakih vseh koeficientov.

POLINOMI UML


V tem poglavju si bomo pogledali računske operacije med polinomi. Polinome bomo seštevali, odštevali, množili s številom, prav tako se bomo naučili zmnožiti dva polinoma.Polinome seštejemo tako, da seštejemo koeficiente polinomov pri enakih potencah. Uporabimo pravilo, da lahko seštevamo le potence z enakimi osnovami in enakimi eksponenti.

Polinome odštejemo tako, da odštejemo koeficiente polinomov pri enakih potencah.Uporabimo pravilo, da lahko odštevamo le potence z enakimi osnovami in enakimieksponenti. Stopnja vsote oziroma razlike dveh polinomov je kvečjemu enaka višji odstopenj polinomov, lahko pa je nižja.

POLINOMI UML


Stopnja produkta dveh polinomov je enaka vsoti stopenj posameznih polinomov.Vodilni koeficient produkta dveh polinomov je enak produktu vodilnih koeficientovposameznih polinomov.Prosti člen produkta dveh polinomov je enak produktu prostih členov posameznihpolinomov.

Zmnoži polinoma p(x) = 2x5+ x + 1 in q(x) = x4 – x2.

Poenostavimo izraz:

(x-1)(x+1)+2(x-3)-x (Re: x2+x-7)

POLINOMI UML

POLINOMIDELJENJE POLINOMOV

Če je število a ničla polinoma p, je ostanek pri deljenju polinoma p s polinomom (x − a) enak 0 (deljenje se izide brez ostanka).

Rečemo, da polinom p(x) daje pri deljenju s polinomom q(x) kvocient r(x) in ostanek s(x), če velja in je stopnja polinoma s(x) strogo manjša od stopnje delitelja q(x).

Stopnja polinoma p1(x) je večja od stopnje delitelja - polinoma q(x), zato to ni naš željeni razcep. Deljenje s tem še ni končano

POLINOMI UML

POLINOMIDELJENJE POLINOMOV

POLINOMI UML

POLINOMIVrednost polinoma v točki - Hornejev algoritem

Definicijsko območje polinoma

je cela realna os, zato lahko vrednost polinoma izračunamo za poljubno realno število x.Če poskušamo vrednost polinoma višje stopnje v neki točki izračunati brez pomočikalkulatorja, pa ugotovimo, da potrebujemo za izračun vrednosti zelo veliko operacij inda večino časa delamo z zelo velikimi števili.

Primer 4: Izračunaj koliko je p(3), če je p(x) = x5 – 2x4 + x3 + x2 – 7x + 8.

Odg: 1 p(3) = 35 – 2·34 + 33 + 32 – 21 + 8 = 104

Če bi isto nalogo zadali srednješolcu v višjem letniku, bi jo rešil takole:

POLINOMI UML

POLINOMIVrednost polinoma v točki - Horneyev algoritem

Ni nam sicer še čisto jasno, kako je srednješolec prišel do enakega rezultata, vidimo palahko, da je uporabil manj množenj, v katerih so se pojavljala relativno majhna števila.Čarovnija se skriva v Horneyevem algoritmu, postopku, ki bistveno zmanjša številopotrebnih množenj in na zelo ekonomičen način izračuna vrednost polinoma v točki.Poglejmo si še enkrat izraz p(3) in ga preoblikujmo:

Iz podčrtanih členov izpostavimo 3

POLINOMI UML


Na videz smo dobili še bolj kompliciran izraz kot prej. V resnici pa smo zelo zmanjšali število množenj in prevedli nalogo na računanje z manjšimi števili (npr. samo za računanje potence 35 so potrebna štiri množenja, tukaj pa smo vsega skupaj množili štirikrat).Izračunajmo vrednost zgornjega izraza:

Ta postopek se imenuje Hornerjev algoritem.

POLINOMI UML


Primer 4: Izračunaj koliko je p(3), če je p(x) = x5 – 2x4 + x3 + x2 – 7x + 8.

Odg 1: p(3) = 35 – 2·34 + 33 + 32 – 21 + 8 = 104

Odg 2: Horneyev algoritem – rešitev izgleda na naslednji način:

POLINOMI UML


Primer 5: Hornejev algoritem

Na spodnji sliki imaš predstavljen Hornerjev algoritem po korakih.

Vrednost polinoma v točki x = –2 preberemo v zadnji vrstici. Torej p(–2) = 4.

POLINOMI UML

POLINOMIDeljenje z linearnim polinomom in Hornerjev algoritem

Dan imamo polinom p(x) = 2x6 – 4x5 – 498x3 + 50x2 + 22x + 88. Želeli bi izračunati p(7) – Odg: p(7)=-52.

Izračunamo lahko p(7) tudi s pomočjo deljenja polinoma p(x) s polinomom x – 7. Pa si poglejmo:

Števila v tretji vrstici Hornerjevega algoritma predstavljajo koeficiente polinoma, ki ga dobimo kot kvocient pri deljenju polinoma p(x) z linearnim polinomom.

POLINOMI UML

POLINOMINIČLE POLINOMA

Če je število a ničla polinoma p, je ostanek pri deljenju polinoma p s polinomom (x − a) enak 0 (deljenje se izide brez ostanka).

Rečemo, da polinom p(x) daje pri deljenju s polinomom q(x) kvocient r(x) in ostanek s(x), če veljain je stopnja polinoma s(x) strogo manjša od stopnje delitelja q(x).

Števila x1, x2, ..., xn, ki nastopajo v razcepljeni obliki, so ravno vse ničle polinoma p.Če so vsa ta števila med seboj različna, vidimo, da ima polinom stopnje n točno n ničel. Če so nekatera (ali tudi vsa) od teh števil med sabo enaka, je ničel seveda manj kot n.Če ničla xm v razcepljeni obliki nastopa k-krat, pravimo, da je to k-kratna ničla polinoma (oziroma ničla stopnje k). Če vsako ničlo polinoma štejemo tolikokrat, kolikor je njena stopnja, lahko rečemo, da ima polinom stopnje n vedno točno n ničel.

Ločimo tri vrste ničel:enostavne ničle (ničle prve stopnje).ničle sode stopnje (tj. stopnje 2., 4., 6. itd)lihe stopnje večje od 1 (tj. stopnje 3., 5., 7., itd)Polinom stopnje n ima vedno točno n ničel.

POLINOMI UML

POLINOMIISKANJE NIČLE POLINOMA

Žal ne obstaja preprosto splošno pravilo za iskanje ničel polinoma. Pri iskanju ničelnajpogosteje uporabljamo naslednji metodi:Razcepljanje: Polinom razcepimo po pravilih za razcepljanje izrazov in iz razcepljene oblike razberemo ničle.

PRIMER:p(x) = x3 – 3x2 Ničle: x3 – 3x2 = x2 (x – 3) = 0

x1 = 0, x2 = 0 (sodi ničli), x3 = 3 (liha ničla)

Hornerjev algoritem: Ničlo a »uganemo« in s Hornerjevim algoritmompreverimo, da je to res ničla, potem pa polinom razcepimo v obliko:p(x) = (x − a) k(x).

Da je ugibanje res inteligentno, se ravnamo po naslednjih pravilih:(1) Vedno najprej poskusimo s številom 1 in -1. Cele ničle polinoma s celimi koeficienti nato iščemo samo med delitelji prostega člena.

POLINOMI UML

Primer 6: Podan je polinom

a) Izračunajte ničlo polinoma in začetno vrednost polinoma pb) Skicirajte graf polinoma p in izračunajte vrednost polinoma p za x = - 4c) Polinom p(x) delite s polinomom q(x) = x – 2. Zapišite količnik in ostanek.

POLINOMI UML

Rešitev:

a) Ničle polinoma: Polinom je 3.stopnje, pomeni da ima tri (3) ničle in sicer so možne naslednje: +- 1, +- 2, +-4

Uporabimo Horneyev algoritem

POLINOMI UML

Primer 6: nadaljevanje a)

73

POLINOMI UML

Primer 6: nadaljevanje b) Graf polinoma p(x)

74

POLINOMI UML

Primer 6: nadaljevanje b)

75

POLINOMI UML

Primer 6: nadaljevanje c) Izračun p(x)/q(x)

Delimo lahko polinoma na klasični način Horneyev algoritem

76

POLINOMI UML

VAJA 9

Polinom druge stopnje 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ∙ 𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏 ∙ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐, kjer so koeficienti 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐 realna števila, seka točke A (-1, -16), B (2, -1) in C (3, 0).

Izračunajte koeficiente 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑐𝑐 polinoma, napišite enačbo polinoma, ter izračunajte teme T (𝑥𝑥0,𝑦𝑦0). Narišite graf f(x).

Rešitev:

Koordinate vsake točke A, B in C uvrstimo v enačbo polinoma 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 �𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏 � 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 in dobimo sistem treh enačb s tremi neznankami:

77

POLINOMI UML

VAJA 9

78

POLINOMI UML

VAJA 9

79

POLINOMI UML

VAJA 9

80

POLINOMI UML

VAJA 10

81

POLINOMI UML

VAJA 10

82

Številka diapozitiva 1Številka diapozitiva 2Številka diapozitiva 3Številka diapozitiva 4Številka diapozitiva 5Številka diapozitiva 6Številka diapozitiva 7Številka diapozitiva 8Številka diapozitiva 9Številka diapozitiva 10Številka diapozitiva 11Številka diapozitiva 12Številka diapozitiva 13Številka diapozitiva 14Številka diapozitiva 15Številka diapozitiva 16Številka diapozitiva 17Številka diapozitiva 18Številka diapozitiva 19Številka diapozitiva 20Številka diapozitiva 21Številka diapozitiva 22Številka diapozitiva 23Številka diapozitiva 24Številka diapozitiva 25Številka diapozitiva 26Številka diapozitiva 27Številka diapozitiva 28Številka diapozitiva 29Številka diapozitiva 30Številka diapozitiva 31Številka diapozitiva 32Številka diapozitiva 33Številka diapozitiva 34Številka diapozitiva 35Številka diapozitiva 36Številka diapozitiva 37Številka diapozitiva 38Številka diapozitiva 39Številka diapozitiva 40Številka diapozitiva 41Številka diapozitiva 42Številka diapozitiva 43Številka diapozitiva 44Številka diapozitiva 45Številka diapozitiva 46Številka diapozitiva 47Številka diapozitiva 48Številka diapozitiva 49Številka diapozitiva 50Številka diapozitiva 51Številka diapozitiva 52Številka diapozitiva 53Številka diapozitiva 54Številka diapozitiva 55Številka diapozitiva 56Številka diapozitiva 57Številka diapozitiva 58Številka diapozitiva 59Številka diapozitiva 60Številka diapozitiva 61Številka diapozitiva 62Številka diapozitiva 63Številka diapozitiva 64Številka diapozitiva 65Številka diapozitiva 66Številka diapozitiva 67Številka diapozitiva 68Številka diapozitiva 69Številka diapozitiva 70Številka diapozitiva 71Številka diapozitiva 72Številka diapozitiva 73Številka diapozitiva 74Številka diapozitiva 75Številka diapozitiva 76Številka diapozitiva 77Številka diapozitiva 78Številka diapozitiva 79Številka diapozitiva 80Številka diapozitiva 81Številka diapozitiva 82

uporabna matematika v logistiki - ic geoss · 2019. 4. 7. · analiza je veja matematike, ki se...

Documents