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V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R,
I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto,
a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I ,
f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0,
a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h),
r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),
r(h)
h→ 0, h→ 0.
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V Polinomios de Taylor: Parte 1
Seja f : I → R, I intervalo aberto, a ∈ I , f ′(a) existe.
f ′(a) = limh→0
f (a + h)− f (a)
h.
Se h 6= 0, a + h ∈ I
f (a + h)− f (a)
h= f ′(a) + r1(h), r1(h)→ 0, h→ 0.
f (a + h) = f (a) + hf ′(a) + hr1(h).
f (a + h) = f (a) + hf ′(a)︸ ︷︷ ︸p(h)
+r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
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f (a + h) = p(h) + r(h),
r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
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f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
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f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0,
temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 17: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/17.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0.
Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 18: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/18.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),
p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 19: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/19.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 20: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/20.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 21: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/21.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato,
se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 22: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/22.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade,
devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 23: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/23.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster
q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 24: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/24.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a),
q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 25: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/25.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a)
e assim q(x) = p(x).
![Page 26: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/26.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim
q(x) = p(x).
![Page 27: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/27.jpg)
f (a + h) = p(h) + r(h),r(h)
h→ 0, h→ 0.
Definindo r(0) = 0, temos r ′(0) = 0. Entao p(0) = f (a),p′(0) = f ′(a).
p(h) e o unico polinomio de grau n ≤ 1 tal que p(0) = f (a) ep′(0) = f ′(a).
De fato, se q(x) = b1x + b0 tem essa propriedade, devemoster q(0) = b0 = f (a), q′(0) = b1 = f ′(a) e assim q(x) = p(x).
![Page 28: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/28.jpg)
Exemplo:
a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
![Page 29: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/29.jpg)
Exemplo: a = 0,
f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
![Page 30: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/30.jpg)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex ,
f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
![Page 31: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/31.jpg)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h)
= eh = (1 + h) + r(h)
![Page 32: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/32.jpg)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh
= (1 + h) + r(h)
![Page 33: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/33.jpg)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
![Page 34: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/34.jpg)
Exemplo: a = 0, f (x) = ex , f (0 + h) = eh = (1 + h) + r(h)
![Page 35: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/35.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R,
I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 36: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/36.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I .
Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 37: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/37.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se,
existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 38: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/38.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1
e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 39: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/39.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao
r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 40: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/40.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R
tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 41: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/41.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0,
r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 42: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/42.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0
e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 43: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/43.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 44: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/44.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h)
= p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 45: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/45.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 46: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/46.jpg)
Teorema
Suponha que f : I → R, I intervalo aberto e a ∈ I . Entao f ′(a)existe se, e somente se, existe um polinomio p de grau(p) ≤ 1 e
uma funcao r : {h ∈ R, a + h ∈ I} → R tais que r(h)h → 0 com
h→ 0, r(0) = 0 e
f (a + h) = p(h) + r(h)
se a + h ∈ I .
![Page 47: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/47.jpg)
Prova:
Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
![Page 48: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/48.jpg)
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
![Page 49: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/49.jpg)
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema,
entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
![Page 50: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/50.jpg)
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao
p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
![Page 51: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/51.jpg)
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),
p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
![Page 52: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/52.jpg)
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e,
como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
![Page 53: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/53.jpg)
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
![Page 54: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/54.jpg)
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h=
b1 +r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
![Page 55: V Polin^omios de Taylor: Parte 1 - Matemática da UFSCmtm.ufsc.br/~luciano/Video_aulas/Taylor/taylor1.pdf · VPolin^omios de Taylor: Parte 1 Seja f : I !R, I intervalo aberto, a 2I,](https://reader030.vdocuments.pub/reader030/viewer/2022040907/5e7e704523a1837d8e1a5dfa/html5/thumbnails/55.jpg)
Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h
→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
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Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1,
h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
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Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).
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Prova: Se f ′(a) existe, ja provamos a existencia de p e r comodescritos no teorema.
Suponha que existam p e r como no teorema, entao p(0) = f (a),p(h) = b1h + f (a) e, como f (a + h) = (b1h + f (a)) + r(h),
f (a + h)− f (a)
h= b1 +
r(h)
h→ b1, h→ 0.
Assim f ′(a) = b1 = p′(0).