Variables Aléatoires&

Lois de Probabilités Usuelles

Pr. A. SOULAYMANI

II- Distribution de Poisson

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e P

ois

son

I- Définition:On dit qu’une Variable Aléatoire X suit une Loi de Poisson:

♣ Si sa distribution est discontinue ( V.A. Discrète) pouvant prendre toutes les valeurs possible {0, 1, 2, …i, …... n}

♣ Si les probabilités de réalisation de X sont très faibles.

&

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e P

ois

son

La rareté du phénomène dans une Distribution de Poisson ne peut être défini que lorsque l’effectif étudié est très élevé.

Poisson a montré que la probabilité pour qu’un événement de cette catégorie se réalise k fois est:

!)(

k

mekXP

Km

Où m représente la moyenne de cette distribution et e = 2,71828.

Pr. A. SOULAYMANI

II- Paramètres d’une distribution de Poisson:La rareté du phénomène (p très petit, et q tend vers 1, nous conduit à une valeur moyenne:

npm Et une variance 2:

npmX 2

Loi d

e P

ois

son

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e P

ois

son

La loi de poisson est considérée comme la limite de la loi binomiale lorsque le phénomène est très rare et l’effectif est très élevé. Dans ce cas m=np et n tend vers l’infini.

D’une manière générale, on admet qu’une distribution suit une loi de Poisson dès que:

550 npetn

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e P

ois

son

Le tableau suivant se rapporte au cas d’une distribution discontinue où p = 0,1 et n = 10.

110).1,0( npm

X=k Loi binomiale Loi de Poisson

0 0,348 0,367

1 0,387 0,368

2 0,194 0,184

3 0,057 0,061

4 0,011 0,015

5 0,0015 0,003

Cf. Lecture à partir des tables théoriques

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e P

ois

son

Le tableau montre que même si on n’atteint pas des valeurs de n >= 50, les valeurs de probabilité p(X=k) obtenues par les 2 lois sont très proches.

La représentation graphique d’une distribution de poisson montre généralement une dissymétrie à gauche ( puisque p <<<< q).

Cependant, si la valeur moyenne augmente ( si n augmente) , la distribution devient de + en + symétrique

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e P

ois

son

0 1 2 3 2 3 0,00E+00

5,00E-02

1,00E-01

1,50E-01

2,00E-01

2,50E-01

3,00E-01

3,50E-01

4,00E-01

m=1 3,67E-01 3,68E-01 1,84E-01 6,10E-03 1,50E-02 3,00E-03

m=2 1,35E-01 2,71E-01 2,70E-01 1,81E-01 9,00E-02 3,60E-02

0 1 2 3 4 5

p=0,1

P(X=k)

X

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e P

ois

son

Pour m=10, p=0,1, on aura une distribution relativement symétrique.

0 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 202

m=10P(X=k)

Pr. A. SOULAYMANI

III- Utilisation des Tables théoriques:Loi d

e P

ois

son

!)(

k

mekXP

Km

L’utilisation des tables théoriques facilite le calcul des probabilités

K

K

m = np

K m=1

0

1

2

3

4

5

6

0,368

0,368

0,184

0,061

0,015

0,003

0,001

Pr. A. SOULAYMANI

II- Distribution Normale

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e n

orm

ale

I- Introduction à la variation continue:Si l’effectif d’un échantillon augmente infiniment, l’étendue des classes tend vers zéro.

De là, la représentation graphique des probabilités prend une allure caractéristique, appelée distribution en cloche.

Cette forme particulière de la distribution des probabilité est caractéristique de la variation continue.

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e n

orm

ale

En effet, si l’on considère une V.A. X, très nombreuse et classée par ordre croissant;

La différence entre deux valeurs élémentaires successives (x2 – x1) tend vers une quantité infiniment petite dx.

L’ensemble des valeurs de x est représenté par la fonction y = f (x) où y représente la densité de probabilités ou de fréquences relatives.

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e n

orm

ale

La probabilité de la quantité dx étant par définition très réduite et tend vers zéro.

Dans ces conditions, toute probabilité ne peut être définie que par un intervalle donné et non pour une valeur particulière de x.

La distribution de la densité de probabilité aura l’aspect suivant:

La distribution de la densité de probabilité aura l’aspect suivant:

Pr. A. SOULAYMANIa a’ bX

Compte tenu de la continuité de y=f(x) dans l’intervalle [a-b], la surface totale sous la courbe est:

b

a

dxxfbxaP 1)()(La probabilité d’un intervalle [a-a’] est:

'

)()'(a

a

dxxfaxaP

Loi d

e n

orm

ale

Pr. A. SOULAYMANI

La moyenne:

Loi d

e n

orm

ale

II- Paramètres d’une distribution Normale:

b

a

iib

ai dxxfxxpXXE )()(

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e n

orm

ale

La variance:

dxxfxxxxpxxnN

b

a iiib

aiiib

aixi)()()()(

1 2222

b

a

b

a

b

a

x dxxfxdxxxfxdxxfx )()(2)(222

222 )( xdxxfxb

a

x

1x

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e n

orm

ale

II- Étude de la Loi Normale:

Soit X, une variable aléatoire, continue.On dit que X suit une loi normale η(x,x), ou loi de Laplace Gauss si:♣ ses réalisations apparaissent dans l’intervalle:

,

♣ Si la densité de probabilité associée à ces réalisations est définie par:

2

2)(2/1

2

1)( x

xx

x

exfy

et

Avec:

☻ e = 2,72☻ = 3,14☻ s2 = Variance de X☻ s = Ecart – type de X

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e n

orm

ale

En pratique, on procède à un changement de cette variable (on dit qu’on norme la variable).

Pour cela, on pratique le changement de X par t tel que:

x

XXt

On dit que la variable X, suit une loi normale (ou loi de Laplace Gauss de moyenne x et d’écart type s. On résume cette loi par la notation η(x , x)

La nouvelle variable t est dite variable Centrée, réduite, da moyenne t = 0 et sa variance st

2=1. Elle est notée ηt (0,1).

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e n

orm

ale

L’allure de la fonction f(t) de la nouvelle variable ηt (0,1) centrée, réduite de moyenne nulle et d’écart type égal à l’unité est le suivant:

t

La fonction f(t) de la variable ηt (0,1) est toujours symétrique:

)()( tftft

Avec:

2

2

2

1)(

t

etf

Y= f(t) :densité de probabilité

ηt (0,1)

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-t 0 +t

f(t)

F(x)

Pr. A. SOULAYMANI

Loi d

e n

orm

ale

La fonction intégrale (t) ou (t) de la loi normale centrée réduite ηt (0,1) est:

0

20

20

2

1)()(

t tt

dtedttft

On démontre que: 12

1)()( 2

2

dtedttftt

f(t)

t0ta

ttb

Pr. A. SOULAYMANI

f(t)

t0ta

ttb

(t0)

Loi d

e n

orm

ale

Ainsi, la fonction intégrale (t0) constitue la fonction de répartition de t, c’est-à-dire:

On peut aussi calculer la probabilité associée à un intervalle. En effet, la surface (t)comprise entre ta et tb est:

)()( 00 tTPt

)()()()( tbTPtTPtTtPt aba

)()()( abt

Pr. A. SOULAYMANI

)()( 00 tTPt t

Tab

le d

e la L

oi d

e n

orm

ale

On lit t en additio

nnant entête de

ligne et de colonne. A l'intersection,

on lit la

probabilité P(T< =t).

C'est à

dire observer d

es valeurs inférie

ures

ou égales à m + t

* s pour d

es VA

normales non centré

es réduites.

(1)=P(T<=1)=0,8413

P(1<=T<=2)= P(T<=2)-P(T<=1) = 0,9777 – 0,8413 = 0,1364

III- Utilisation des Tables théoriques:f(t)

t0tattb

(t0)

Pr. A. SOULAYMANI

IV- Exemples:

Soit X une variable suivant une loi normale η ( = 1,=1)1. ♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7.

2. ♣ Déterminer la constante a telle que: P(X≤a) = 0,6.

4-1. Exemple 1:

Pr. A. SOULAYMANI

IV- Exemples:

Soit X une variable suivant une loi normale η ( = 1,=3)1. ♣ Calculer la probabilité de x telle que : -2 ≤ x ≤ 7.

Réponse:

Avant de chercher la probabilité demandée, il faut transformer la variable X en variable centrée et réduite:

)3

17

3

12()72(

tPxP

)1()2()21()72( tPxP

8185,01587,097725,0)]1(1[)2()72( xP

Pr. A. SOULAYMANI

IV- Exemples:

Soit X une variable suivant une loi normale η ( = 1,=1)2. ♣ Déterminer la constante a telle que: P(X≤a) = 0,6.

6,0)()(

atPaxP

78,0126,03

16,0)

3

1(

a

aatP

D’où a =1,78

Réponse:

Pr. A. SOULAYMANI

4-2. Exemple 2:Soit la fonction de densité f(x) telle que:

1. ♣ Déterminer la constante k pour que f(x) soit une fonction de densité.

210)(21)( xsixfetxsikxxf

2. ♣ Calculer E(x) et V(x).

3. ♣ Déterminer la fonction de répartition F(x)

Pr. A. SOULAYMANI

4-2. Exemple 2:1. ♣ Déterminer la constante k pour que f(x) soit une fonction de densité.

Réponse:

Pour que X soit une fonction de densité, il faut que:

1 2

1 2

1)()()(1)( dxxfdxxfdxxfdxxf

210)(21)( xsixfetxsikxxf

2

1

2

1

11)( dxkxdxxf

12

31]

2

1

2

2[)]1()2([1]

2[

2221

2

kkFFkx

k

D’où k = 2/3

Pr. A. SOULAYMANI

4-2. Exemple 2:2. ♣ Calcul de la moyenne E(x)

1 2

1 2

)()()()()( dxxfxdxxfxdxxfxdxxfxxE

210)(21)( xsixfetxsikxxfcar

9

14

3

1

3

8

3

2

33

2

3

2

3

2)(

232

1

22

1

xdxxdxxxxE

=0

Or k = 2/3

Pr. A. SOULAYMANI

4-2. Exemple 2:2. ♣ Calcul de la variance V(x)

On sait que V(x) = E(x)2 – [E(x)]2, par conséquent on peut écrire:

22

1

422

1

2

9

14

43

2

9

14

3

2)(

xxxxV

D’où V(x) = 2/3[16/4 – 1/4 ]-[14/9]2 = (30/12) – (14/9)2

244

9

14

4

1

4

2

3

2)(

xV

Pr. A. SOULAYMANI

3. ♣ Fonction de répartition F(x)

4-2. Exemple 2:

0)(1 xFxsi xxx x

dxxfdxxfdxxfxFxSi1

2

1

1

23

2)()()()(2

3

1

2

1

3

1

2

1

23

2

23

2)(2

22

22

1

2

xx

xxxFxSi

x

1)(2 xFxsi

Pr. A. SOULAYMANI

♣ représentation graphique de la fonction de répartition

♠ si x < 1 : F(x) = 0

♠ si 1 <= x < 2 : F(x) = 1/3 x2 – 1/3 (Ex: pour x=3/2, F(x)=5/8.

♠ si x >= 2 : F(x) = 1

0

5/12

1

1 3/2 ≥2 …X

F(x)

Pr. A. SOULAYMANI

Loi normale

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-4 -2 0 2 4

f(x)

F(x)

Pr. A. SOULAYMANI