UNIDAD EDUCATIVA “JUAN FRANCISCO YEROVI”

TEMAS

Vectores, Características, Producto de un escalar por un vector, Suma de vectores, Propiedades de la suma de vectores, Componentes de un vector, vectores unitarios, Suma y resta analitica de vectores, Producto escalar, Producto vectorial

VECTORES

VECTORES

por su naturaleza

Escalares

Vectoriales

VECTOR

M A G N I T U D

DIRECCION

SENTIDO

Vector

Notación A

Módulo A > 0

A

x

y

Dirección o Línea de Acción

Vectores

Notación A

Módulo A > 0

A

Direcciónθ,

x

y

z

θ

θ,

θ

PROPIEDADES DE LOS

VECTORES

Propiedades de Vectores

Todo vector se puede desplazar por el espacio si se mantiene la magnitud, dirección y sentido

A B

C

A B C

Propiedades de Vectores

ASea el vector A

B = l AEl resultado es otro vector en la misma dirección

Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”

λ > 0

Para: λ > 0 , el vector B es paralelo al vector A

B

Propiedades de Vectores

ASea el vector A

B = l AEl resultado es otro vector en la misma dirección

Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”

Para: λ < 0 , el vector B es anti paralelo al vector A

B

λ < 0

A

B

AB

21

A

B

AB

41

COLINEALES.- Cuando las líneas de acción son paralelas.

A

BC

Propiedades de Vectores

ASea el vector A

B = l AEl resultado es otro vector en la misma dirección

Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”

Para: λ = 1 , el vector B es igual al vector A

B

λ = 1

VECTORES IGUALES.- Si tienen su módulo, dirección y sentido iguales

α β

A B

Si A y B son iguales se cumple[ A] = [ B]α = βSentido de A = Sentido de B

Propiedades de Vectores

ASea el vector A

B = l AEl resultado es otro vector en la misma dirección

Si multiplicamos un escalar “ λ ” y un vector “A”

Para: λ = -1 , el vector B es opuesto al vector A

B

λ = -1

Tipos de Vectores

COLINEALES.- Si se encuentran sobre la misma línea de acción.

CONCURRENTES.- Si sus líneas de acción concurren en un mismo punto.

A

C

B

Punto deConcurrencia

A B C

SUMA y RESTA de

VECTORES

El vector que empieza en el origen de uno de los vectores y termina en el final de el otro vector es el vector suma R

BA

Suma de dos Vectores

Si deseamos sumar dos vectores, se coloca un vector a continuación del otro vector

RA

B

R B

A

2AB.cosθ2

B2

AR

A

B

R

Suma de dos Vectores

Si los vectores son perpendiculares

22 BAR

B

A

R

Suma de dos Vectores

rβ

αR

B

A

Ley de Senoso

Ley de Lamy

Suma de n Vectores

BA C

BA

R

C

Propiedades de la suma de

VectoresLey Conmutativa

ABBAR

Ley Asociativa

C)BA)CBAR

((

Resta de Vectores R A (-B)

AB A

-BR

A

BR=A+B

A

B

R=A-B

COMPONENTES DE UN VECTOR

COMPONENTES DE UN VECTOR

A��������������

A��������������

A��������������

A��������������

Un vector tiene muchas componentes , un caso particular son las componentes rectangulares

y

x

A��������������

Ax

Ay

yA��������������

xA��������������

x

y

A A cos

A A sen

COMPONENTES RECTANGULARES EN EL PLANO

AX , AY : proyecciones o componentes

AX , AY : vectores componentes A = AX + AY

AZ

Ax

COMPONENTES RECTANGULARES EN EL ESPACIO

A = Ax + Ay + Az

VECTORES UNITARIOS

Vector Unitarios

• Un vector cuya magnitud es la unidad y es paralelo al vector, se denomina vector unitario.

A

Au =

A

����������������������������A

u

Vectores unitarios en el plano cartesiano

ijx

y

i Vector unitario en la dirección del eje x+

j Vector unitario en la dirección del eje y+

Vectores unitarios en el espacio

x

i

z

k

yj

Representación de un vector con

vectores unitarios

x

y

z

θ

A

Ax

Ay

Az

2 2 2x y zA A A A A

kAjAiAA zyx

x y zA A i A j A k

OPERACIONES ANALÍTICAS CON

VECTORES

Y

X

SUMA ANALÍTICA DE VECTORES

R

A

j

i

AX

AY

B

BX

BYX YA = A i + A j

��������������

X YB = B i + B j ��������������

x yAR = + + A A B x y jBi jBi

PRODUCTO ESCALAR

x x y y z z

A B ABcos( )

A B A B A B A B

Producto escalar de dos

vectores

A

B

θ

Producto escalar de dos

vectoresθABBA cos

cosθAAB Proyección de A sobre B

cosθBBA

Proyección de B sobre A

Producto escalar de dos

vectores

Propiedades del producto escalar

Teorema: Sean a,b vectores en 2 y un número real, entonces:

a.0 = 0 a.b = b.a (propiedad conmutativa) (a).b = (a.b) = a.( b) a.(b + c) = a.b + a.c (propiedad

distributiva)

Si a . b = 0 entonces el vector a es

perpendicular al vector b

2.aa a

1ˆˆ ii1ˆˆ jj

0ˆˆ ji

0ˆˆ kj0ˆˆ ki

xAiA

1ˆˆ kk

yAjA ˆ

zAkA ˆ X X Y Y Z ZA B A B A B A B

PRODUCTO VECTORIAL

Producto vectorial de dos

vectores

BAC

A x B = |A| |B| sen φ û

Producto Vectorial: AxB

A x B = |A| |B| sen φ û A x B = - B x A

0ii

0ˆˆ

jj

0ˆˆ

kk

kji ˆˆˆ ikj ˆˆˆ

jik ˆˆˆ

PRODUCTO VECTORIAL DE LOS VECTORES UNITARIOS