veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de 2010....
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Veja a tabela abaixo com as notas de um aluno qualquer, em cinco disciplinas durante o ano de 2010.
Matrizes – Conceitos Básicos
Nada mal, embora ele precise melhorar em português e matemática. Porém, nosso negócio aqui é matemática, então repare que cada número tem o seu lugar nesta tabela;Se destacarmos apenas a parte numérica, a tabela ficará assim:
A tabela acima é uma MATRIZ.
6,0 3,5 5,0 7,0 5,5
4,0 4,5 5,0 8,0 5,0
4,5 5,5 5,0 5,0 5,0
3,0 6,5 6,0 5,5 7,5
Matrizes – Conceitos Básicos
Colocando em notação matemática teremos:
Esta matriz é do tipo 4x5, pois tem 4 linhas e 5 colunas.
5,7
5
5
5,5
5,565,63
555,55,4
855,44
755,36
A
Matrizes – Conceitos Básicos
• As linhas horizontais da matriz são chamadas de linhas e as linhas verticais são chamadas de colunas.
• Uma matriz com m linhas e n colunas é chamada de uma matriz m por n (escreve-se m×n) e m e n são chamadas de suas dimensões, tipo ou ordem.
• Um elemento de uma matriz A que está na i-ésima linha e na j-ésima coluna é chamado de elemento i,j ou (i,j)-ésimo elemento de A.
• Ele é escrito como aij.
Matrizes – Conceitos Básicos
a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1a11x 1 +
Matrizes – Conceitos Básicos
a11 a12 a13a21 a22 a23
a1n...... a2n
a31 a32 a33 a3n...
... ... ... ...
...
am1 am2 am3 amn...
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
Sendo dado o sistema
... +a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n =bm
Vamos considerar uma tabela com os coeficientes das incógnitas
A =
Matrizes – Conceitos Básicos Elementos de uma matriz:
874100245210221
3x5
a13=
a34=
2
7
Amxn = [aij]mxn
As matrizes podem ser classificadas segundo:
A natureza dos elementos
A forma
Matrizes – Conceitos Básicos
Segundo a forma em:Segundo a forma em:1. Retangular1. Retangular
2. Quadrada2. Quadrada
4. Coluna4. Coluna
3. Linha3. Linha
Se o número de linhas é diferente do número de colunas
Se o número de linhas é igual do número de colunas
Se o número de colunas é igual a um
Se o número de linhas é igual a um
53
054421252043201
33
231310201
13
101
31221
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m
Matrizes – Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:Segundo a natureza dos elementos em:5. Real:
6. Complexa:
7. Nula:
se todos os seus elementos são reais
ijij aAa :
se pelo menos um dos seus elementos é complexo
CaAa ijij :
se todos os seus elementos são nulos
0: ijij aAa
100251
10251
i
000000
Matrizes – Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:Segundo a natureza dos elementos em:
8. Triangular Superior
9. Triangular Inferior
0: ijij ajiAa
uma matriz quadrada em que os elementos abaixo da diagonal principal são nulos
uma matriz quadrada em que os elementos acima da diagonal principal são nulos
0: ijij ajiAa
5000620003007211
5103022000250001
Matrizes – Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:
10. Diagonal
11. Escalar
0: ijij ajiAa
uma matriz quadrada em que os elementos não principais são nulos
5000020000000001
uma matriz diagonal em que os elementos principais são iguais
ij
ijij
aji
ajiAa 0:
2000020000200002
Matrizes – Conceitos Básicos
Segundo a natureza dos elementos em:
12. Identidade:
Matriz com n linhas e n colunas, diagonal principal com todos os elementos iguais a 1, e os demais elementos iguais a zero.
1
0:
ij
ijij
aji
ajiAa
1000
0100
0010
0001
33xI
Matrizes – Conceitos Básicos
13. Simétrica
5740723243010211se os elementos aij são iguais aos aji
Segundo a natureza dos elementos em:Segundo a natureza dos elementos em:
14. Densa
15. Dispersa
se a maioria dos seus elementos são não nulos
se a maioria dos seus elementos são nulos
Matrizes – Conceitos Básicos
645
046
633
BAC
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de
342015321
A
303031312
B
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
njmibac
BACMCMBA
ijijij
nmnm
,,1,,1;
:,
Matrizes – Operações com Matrizes
ABBAMBA nm ,
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
)()(,, CBACBAMCBA nm
AAMOMA nmnm 0:
0: BAMBMA nmnm
Matrizes – Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
Assim o conjunto M Assim o conjunto M mxnmxn forma forma
umum Grupo Aditivo ComutativoGrupo Aditivo Comutativo
Matrizes – Operações com Matrizes
Produto por um escalar (número real)Sejam A uma matriz e um escalar
O produto de por A é uma matriz C
342
015
321
A
9126
0315
963
3 A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por
njmiac
ACMAMA
ijij
nmnm
,,1,,1;
:
do mesmo tipo de A
Matrizes – Operações com Matrizes
AA
e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e Bdo mesmo tipo
AAA )(
BABA
AA1
Matrizes – Operações com Matrizes
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n...... a2n
a31 a32 a33 a3n...
... ... ... ...
...
am1 am2 am3 amn...
Matriz de ordem m por n de elementos aij
Consideremos o sistema
a12x2 + a13x3 + a1nxn = b1a11x1 + ... +
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
=
b1
b2
b3
...bm
x1
x2
x3
...
xn
Matrizes – Operações com Matrizes
Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes CASO 1CASO 1
Multiplicar uma matriz linha por uma matriz colunaMultiplicar uma matriz linha por uma matriz colunaSó se podem multiplicar matrizes se Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunaso número de colunas de A for de A for igual ao número de linhasigual ao número de linhas de B. de B.
C = A.B
A = B =
AA..BB = [1.0 + 0.4 + (-1).(-1) + 2.5] = [11] = [1.0 + 0.4 + (-1).(-1) + 2.5] = [11]
2101
5
1
4
0
Matrizes – Operações com Matrizes
Multiplicação de Matrizes Multiplicação de Matrizes CASO 2CASO 2
Matrizes – Operações com Matrizes
Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz Multiplicar uma matriz com n linhas por uma matriz colunacolunaFaz-se o produto de cada linha da primeira matriz pela coluna.
Só se podem multiplicar matrizes se o número de colunas da matriz for igual ao número de elementos da matriz coluna.
C = A.B
5
1
4
0
B
1321
0201A
51)1(34201
50)1(24001BA
10
2BA
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=x3
3x3iguais
2x3
Matrizes – Operações com Matrizes
Multiplicação de Matrizes - CASO 3Multiplicação de Matrizes - CASO 3
O elemento O elemento ccijij da matriz da matriz CC é o produto da é o produto da linha linha ii da matriz da matriz AA pela coluna pela coluna jj da matriz da matriz BB
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=x3
3x3
8
2x3
Matrizes – Operações com Matrizes
O elemento O elemento ccijij da matriz da matriz CC é o produto da é o produto da linha linha ii da matriz da matriz AA pela coluna pela coluna jj da matriz da matriz BB
Multiplicação de Matrizes - CASO 3Multiplicação de Matrizes - CASO 3
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=x3
3x3
8
2x3
12
Matrizes – Operações com Matrizes
O elemento O elemento ccijij da matriz da matriz CC é o produto da é o produto da linha linha ii da matriz da matriz AA pela coluna pela coluna jj da matriz da matriz BB
Multiplicação de Matrizes - CASO 3Multiplicação de Matrizes - CASO 3
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=x3
3x3
8
2x3
12 15
Matrizes – Operações com Matrizes
O elemento O elemento ccijij da matriz da matriz CC é o produto da é o produto da linha linha ii da matriz da matriz AA pela coluna pela coluna jj da matriz da matriz BB
Multiplicação de Matrizes - CASO 3Multiplicação de Matrizes - CASO 3
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=x3
3x3
8
2x3
12 15
Matrizes – Operações com Matrizes
O elemento O elemento ccijij da matriz da matriz CC é o produto da é o produto da linha linha ii da matriz da matriz AA pela coluna pela coluna jj da matriz da matriz BB
Multiplicação de Matrizes - CASO 3Multiplicação de Matrizes - CASO 3
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=x3
3x3
8
2x3
12 15
15
Matrizes – Operações com Matrizes
O elemento O elemento ccijij da matriz da matriz CC é o produto da é o produto da linha linha ii da matriz da matriz AA pela coluna pela coluna jj da matriz da matriz BB
Multiplicação de Matrizes - CASO 3Multiplicação de Matrizes - CASO 3
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=x3
3x3
8
2x3
12 15
15 29
Matrizes – Operações com Matrizes
O elemento O elemento ccijij da matriz da matriz CC é o produto da é o produto da linha linha ii da matriz da matriz AA pela coluna pela coluna jj da matriz da matriz BB
Multiplicação de Matrizes - CASO 3Multiplicação de Matrizes - CASO 3
1 2 3
2 5 32
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=x3
3x3
8
2x3
12 15
15 29 27
Matrizes – Operações com Matrizes
O elemento O elemento ccijij da matriz da matriz CC é o produto da é o produto da linha linha ii da matriz da matriz AA pela coluna pela coluna jj da matriz da matriz BB
Multiplicação de Matrizes - CASO 3Multiplicação de Matrizes - CASO 3
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
cujos elementos são dados por:
mxp
n
kjkkiji bac
1e escreve-se C = AB.
nxp.
O produto de matrizes não é comutativo
Matrizes – Operações com Matrizes
CBACBA
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.
CBCACBA )(
CABACBA
BABABA
Matrizes – Operações com Matrizes
232223 xxx ABBxA
Matrizes – Operações com Matrizes
Iguais
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipomxp
nxp.
Produto de Matrizes
Lembre-se: linhas da 1ª x colunas da 2ªLembre-se: linhas da 1ª x colunas da 2ª
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn.
Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
jiji ab mjni ,....;,..., 11
e escreve-se B = AT
5305442
12520
43201
A
35014
523
452
420
201
TA
Matrizes – Operações com Matrizes
AATT
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B e a um escalar.
TTT BABA )(
TT AA
TTT ABBA
Matrizes – Operações com Matrizes
A matriz B diz-se OPOSTA da matriz A se os elementos de B forem os opostos dos elementos correspondentes de A.
Conclusão: B = - AConclusão: B = - A
560
142
203
A
560
142
203
B
Matrizes – Matriz Oposta
Se A é uma matriz quadrada e existe B tal que:
ABAB = = BABA = = II
então diz-se que A é invertível e escreve-se: B = A-1
10
21
10
21BA
10
01
10
21
10
21
10
01
10
21
10
21
Matrizes – Matriz Inversa
Como encontrar a matriz inversa de uma matriz A dada?
Vamos lembrar que sendo: B = A-1, então teremos: A . B = I ou ainda, A . A-1 = I
10
21A 2
1 IAA
10
01
10
21
dc
ba
10
0122
dc
dbca
Matrizes – Matriz Inversa
Resolvendo os sistemas obtidos:
0,10
12
cac
ca
10
211AB
1,21
02
dbd
db
Assim a matriz inversa será:
Matrizes – Matriz Inversa