UNIVERZA V LJUBLJANI

FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO

VIBRAJOČA GRANULARNA SNOV

Gabi Španič

Mentor: doc. dr. Miha Ravnik

V seminarju bom predstavila vibrajočo granularno snov. To je sistem, sestavljen iz trdnih

makroskopskih delcev, ki med seboj interagirajo preko trkov. Spoznali bomo, da lahko snov

spreminja fizikalna stanja in tvori zanimive vzorce. Preko vertikalnega stresanja lahko ločimo

večje granule od manjših. Najbolj prepoznaven je efekt Brazilskih oreškov. Granularno snov

lahko tresemo tudi horizontalno ali krožno, pri čemer lahko opazimo stoječe valove. Poznavanje

obnašanja granularne snovi je pomembno v farmaciji, industriji in drugod.

Študijsko leto: 2015/2016

2

VSEBINA

UVOD ........................................................................................................................................ 3

TRDNI SISTEMI ..................................................................................................................... 4

UTEKOČINJANJE Z VERTIKALNIM STRESANJEM .................................................... 6

BRAZIL-NUT EFFECT .......................................................................................................... 6

OBLIKOVANJE VZORCEV ................................................................................................... 8

HORIZONTALNO IN KROŽNO TRESENJE .................................................................... 9

ZAKLJUČEK ......................................................................................................................... 11

VIRI IN LITERATURA ........................................................................................................ 12

3

UVOD

Granularna snov je skupek vseh trdih makroskopskih delcev, za katere je značilna

izguba energije med trki s sosednjimi delci. Njihova velikost d mora biti večja kot 1μm, saj se

pod to mejo že opazi termično gibanje [1]. Med granularne snovi lahko tako štejemo pesek,

oreščke, premog, riž, kosmiče, kavo, sneg, …Vendar pa je sneg kot snov zelo kompleksen, saj

lahko spreminja fizikalna stanja. Tako ločimo suhe in mokre sisteme. Mokri sistemi so torej

granularni sistemi, ki vsebujejo tudi vodo oziroma tekočino, da so primernejši za oblikovanje

ali transport, v interakcijah granul druga z drugo pa prevladujejo kohezijske sile [2]. Kohezijo

med granulami lahko povzroči že vlažnost v zraku. [3]. Zaradi enostavnejše obravnave bom

zato v tem seminarju govorila samo o suhih sistemih.

Slika 1. a) Primer suhega granularnega sistema: kup suhega peska, ki ima dobro viden naklon površine b) Primer mokrega granularnega sistema: moker pesek, oblikovan v potičko s tunelom [3].

Poznavanje obnašanja granularne snovi je zelo pomembno v gradbeništvu, farmaciji,

biologiji [4], industriji - počasno mletje snovi nam poda različne končne velikosti delcev,

razporeditev le teh pa je včasih lahko idealna za nastanek eksplozije [1]. Pomembno je, kako

napolnijo mešanico v embalažo, saj se snov pri prevozu premeša. Poznavanje granularne snovi

pa je prav tako uporabno pri preučevanju zemeljskih in snežnih plazov ter puščavskih sipin [5].

Že več kot dve stoletji nazaj so znanstveniki, kot so Leonard Euler, Michael Faraday,

Osborne Reynolds, Charles Coulomb in drugi, preučevali granularno snov [5]. Kljub temu, da

je minilo že kar nekaj časa, je to področje še vedno brez enotne teorije. S te perspektive je

granularna snov mešanica različnih področij, od dinamike tekočin, statistične mehanike do

teorije nastanka vzorcev. Dandanes pa je poudarek na eksperimentih in računalniških modelih,

saj nam sedanja tehnologija omogoča veliko različni pristopov. Nedavno je bilo odkrito

samoorganizirano gibanje milimetrskih palčk na plasti vibrajočih granul [6], posneli pa so ga z

visoko ločljivostno kamero. Za preučevanje vibrajočih sistemov se uporablja še MRI,

radioaktivni sledilni sistemi, v računalniških simulacijah pa Monte Carlo metoda [7].

Skozi seminar bom predstavila različne granularne sisteme. Najprej si bomo ogledali

trdne sisteme, kot je na primer polnjenje silosa. Nadaljevala bom z razlago, kako lahko

utekočinimo suhe granularne sisteme, tj. da se granule začnejo premikati. Spoznali bomo

vertikalno in horizontalno tresenje, opazovali bomo ločevanje granul ter nastale vzorce v tanki

plasti, proti koncu pa bomo spoznali še uporabo vrtečega bobna. Vse to so značilni sistemi za

študij granularnih sistemov.

4

TRDNI SISTEMI

Če hočemo začeti z obravnavo trdnih granularnih sistemov, se moramo najprej vprašati,

kakšno je začetno stanje našega sistema. V primeru, da kozarec napolnimo s sferičnimi

granulami brez vmesnega stresanja, je maksimalen zaseden volumen le ϕrp = 0,64 – manjši od

FCC kristala, ki znaša ϕmax = 0,74 [1]. Zgoščevanje je seveda v veliki meri odvisno od lastne

teže granul. Ko kozarec polnimo z granulami, se v nekem trenutku približamo mejnemu, ko se

granula po kotaljenju ustavi in prilagodi okolici. Lahko rečemo, da je granula zavzela obliko

trdnine. Seveda pri vsem tem ne smemo pozabiti na robne pogoje. Stik stene z granulami

konstantno vpliva na njihovo gibanje.

Vzorec, katerega ne stresamo od trenutka dalje, ko granule zavzamejo obliko trdnine,

opišemo s kvazi-elastičnem pristopom. Poglejmo si to bolj konkretno na primeru polnjenja

silosa, ki je prikazan na sliki 2. Z merilcem na dnu merimo tlak, ki pa je manjši od

hidrostatičnega tlaka ρgH, ki bi ga izmerili pri tekočini (ρ - gostota, H - višina napolnitve).

Izkaže se, da je vodoravni tlak sorazmeren vertikalnemu:

σxx = σyy = kjσzz = - kjp(z), (1.1)

kjer je kj fenomenološki koeficient (se giblje med vrednostnima 0 in 1 ter zavisi od vrste

granularne snovi; za pesek se giblje med 0,2 in 0,8) in p = -σzz tlak v smeri z osi. Upoštevati

moramo tudi trenje med steno in granulami, ki ga zapišemo z σrz. Ravnovesje za horizontalno

rezino granul debeline dz in površine πR2 lahko zapišemo kot vsoto vseh sil, ki delujejo na

granule ob steni:

−𝜌𝑔 + 𝜕𝑝

𝜕𝑧=

2

𝑅𝜎𝑟𝑧(𝑟 = 𝑅), (1.2)

kjer je r radialna koordinata, z pa merimo od vrha nasutja proti dnu. Predpostavimo lahko, da

je povsod ob steni sila trenja dosegla njen maksimum:

σr z = -μf σrr = -μf kj p, (1.3)

Slika 2. Silos je napolnjen z granularno snovjo. Ta se pod svojo lasno težo sesede za u. Na sliki je širina silosa namerno pretirana, da se lažje vidi profil sesedanja v kvazi-elastičnem modelu [1].

5

kjer je μf koeficient trenja med granulami in steno. Če slednjo enačbo vstavimo v enačbo za

ravnovesje, dobimo:

𝜕𝑝

𝜕𝑧+

2 𝜇𝑓

𝑅𝑘𝑗𝑝 = 𝜌𝑔. (1.4)

Iz te diferencialne enačbe dobimo karakteristično dolžino

𝜆 = 𝑅 2 𝜇𝑓𝑘𝑗⁄ , (1.5)

in profil tlaka p(z) = p∞[1-exp(-z/λ)], kjer je p∞ =ρgλ. V bližini proste površine je pritisk kar

enak hidrostatičnemu ( p ρgz), v globini (z ˃λ) pa p → p∞ , kar si lahko predstavljamo, kot da

stene nosijo vso težo.

Če polnimo silos s sredine, se nam pojavljajo zaporedni plazovi granul, ki tečejo iz

sredine proti stenam. Ko se na nekem mestu ustavijo, lahko še vedno opazimo določeno strmino

snovi, ki pa mora biti vedno pod mejno vrednostjo, saj bodo granule le tako v ravnovesju.

Naklon nasutja je lahko med 0 in 90° in je odvisen od gostote, oblike in površine granul ter od

koeficienta trenja med njimi. Grobe granule bodo tvorile kup z večjo strmino kot gladke, saj

sila trenja med granulami nasprotje sili teže in granule zdrsnejo po pobočju navzdol šele pri

večjih naklonih. Če bi bile granule natresene tako, da bi bil naklon večji od mejne vrednosti, bi

se kmalu sesule in stekle navzdol po nasutju, naklon nasutja pa bi se zmanjšal pod mejno

vrednost. Material je tako povsod stisnjen. Taki granularni snovi lahko rečemo tudi kvazi-

elastična snov.

Slika 3. Naklon nasutja se z nasipavanjem granul veča, dokler naklon ne preseže mejne vrednosti, nad katero se granule odkotalijo navzdol po pobočju. Naklon se tako zmanjša pod mejno vrednost in granule so ponovno v ravnovesju [9].

6

UTEKOČINJANJE Z VERTIKALNIM STRESANJEM

BRAZIL-NUT EFFECT

Postopek efektivnega utekočinjanja suhih granularnih sistemov je tehnično zelo

pomemben. Sistem utekočinimo tako, da ga stresamo vertikalno ali pa vpihavamo zrak skozi

dno, saj, če želimo, da se sistem premakne iz začetnega stanja, mu moramo dovajati energijo

preko stresanja. Takšnemu sistemu lahko z uporabo kinetične teorije plinov preko analogij

definiramo granularno temperaturo T z uporabo kinetične energije [8]:

𝑊𝑘𝑖𝑛 ∝ 1

𝑁∑

𝑚𝑖

2𝑖 (𝑣𝑖⃑⃑⃑ − ⟨𝑣 ⟩)2 in ⟨𝑣 ⟩ = 1

𝑁∑ 𝑣𝑖⃑⃑⃑ 𝑖 (2.1) in (2.2)

kjer je N število vseh delcev, mi in vi pa sta masa in hitrost i-tega delca. Granularne temperature

so seveda odvisne od hitrosti granul in njihove mase, vrednosti pa se gibljejo med 100K in

1000K. Granularno temperaturo se lahko izračuna po enačbi T=2𝑊𝑘𝑖𝑛 3𝑁𝑘𝐵⁄ , ki velja za

tridimenzionalni prostor. Na podlagi kinetične teorije plinov je bila izračunana tudi kritična

temperatura Tc = mgdε/ε0, pod katero se sistem z enakimi delci efektivno kondenzira (pri

predpostavki, da so delci sferični), nad njo pa sistem ostane v efektivno tekočem stanju. Kritična

temperatura je odvisna od premera delcev d in od začetne višine pri polnjenju ε, merjene v

enotah d. V enačbi g pomeni težnostni pospešek in ε0 brez dimenzijsko konstanto, ki zavisi od

dejanske strukture polnjenja granularne snovi. Za ujemanje z enotami moramo ε0 še deliti z

Boltzmanovo konstanto kB.

Posebej zanimivo je kritično obnašanje v binarnih sistemih, tj., ko je granularna snov

sestavljena iz dveh različnih vrst granul. Tudi za binarne sisteme obstajajo kritične temperature.

Če je temperatura snovi med dvema mejnima vrednostnima, se bo ena vrsta delcev

kondenzirala, medtem ko bo druga vrsta ostala v tekočem stanju. Od mase in velikosti delcev

je odvisno ali se bodo kondenzirali in se premaknili na dno, ali pa bodo ostali na površju [4].

Pogoji za tako mešanje so ustvarjeni, ko je razmerje kritičnih temperatur enako razmerju

volumnov dveh različnih delcev, kar lahko v D dimenzijah zapišemo z relacijo [8]:

𝑑𝑙

𝑑𝑠= (

𝑚𝑙

𝑚𝑠)

1

𝐷−1, (2.3)

kjer oznake l in s označujejo maso m in premer d za velike (large) in male delce (small).

Relacija je bila določena eksperimentalno. Če je v 3D prostoru razmerje premerov večje od

kvadrata razmerja mas, se v mešanici pojavi efekt brazilskih oreškov (ang. Brazil-nut effect).

Takrat opazimo, da se večji delci pojavijo na vrhu mešanice, manjši pa potonejo na dno. Razlag,

Slika 4. (a) Skica prikazuje napravo za testiranje binarne zmesi z vertikalnim stresanjem. Premer valja je 9.4 cm. (b) Za opazovanje Brazil-nut effect-a so uporabili 8mm velike steklene kroglice ter 15mm velike kroglice iz polipropilena. (c) Za opazovanje reverse Brazil-nut effect-a pa so uporabili 10 mm velike bronaste kroglice, ki so bile naložene nad 4 mm velike steklene kroglice.

7

kako do tega efekta sploh pride, je veliko. Ena izmed njih pravi, da krožno gibanje manjših

granul potisne večje na vrh; druga pa, da se pri stresanju utvarjajo vrzeli, ki jih lahko zapolnijo

samo manjše granule, zato večje granule pripotujejo na vrh. Vendar pa lahko večje granule

potonejo tudi na dno, odvisno od njihove gostote. Tak pojav pa imenujemo obratni efekt

brazilskih oreškov (ang. reverse Brazil-nut effect), pri katerem opazimo večje granule na dnu,

manjše pa na površini.

Že leta 2008 so se začela testiranja, ali se bo v mešanici s sferičnimi granulami različnih

velikosti in gostot opazil Brazil-nut effect pri različnih pogojih, ali ne. Naprava je lahko tresla

vzorec s frekvencami f med 0 in 100Hz, s katero so dosegli pospeške Γ=A(2πf)2/g na enoto

težnega pospeška g do 40, kjer A označuje amplitudo sinusnega tresenja [8]. Pospeške Γ so

merili z akcelerometrom, ki je bil pritrjen na osnovno stranico cilindra (slika 4).

Večina poskusov je pokazala Brazil-nut effect ali reverse Brazil-nut effect. Za nekatere

kombinacije granul pa je bilo stabilno stanje kar njihova mešanica. Za 81% preizkušenih

kombinacij se je napoved iz enačbe (2.3) ujemala z meritvijo. Napoved pa je bila napačna pri

granulah, ki so bile narejene iz aluminija ali iz poliuretana. Predvidevajo, da je razlog za

neujemanje v mehki sferi, ki se med trki preoblikuje, saj je glavna predpostavka v teoriji ravno

trdna oblika granul. Pri reverse Brazil-nut effect pa so še ugotovili, da je za ta rezultat kritičnega

pomena primerna začetna višina granul. Izkaže se namreč, da do efekta ne pride, če je začetna

višina granul prevelika [8].

Slika 3. Slika 5. Prikaz razmerja velikosti in mas dveh granul. Opazimo lahko območje izmerkov z Brazil-nut effect-om ter območje z reverse Brazil-nut effect-om. Vsak mali simbol predstavlja enega izmed 178 poskusov. Ravna črta, ki ločuje obe območji, je bila določena preko enačbe 2.3. Veliki simboli pa predstavljajo predvidevanja iz 3D simulacije [8].

8

OBLIKOVANJE VZORCEV

Poskuse z oreščki lahko nadgradimo, tako da granularno snov raztresemo v tanko plast

in jo vzpostavimo vertikalnemu tresenju. Opazijo se zanimivi vzorci, kot so črte, kvadratki,

interference, ki se v odvisnosti od frekvence tresenja in drugih pogojev spreminjajo. Pri sliki 7

lahko opazimo spreminjanje vzorca, medtem ko se magnituda vibracije zmanjšuje. Lahko bi

rekli tudi, da se sistem ohlaja.

Fazni diagram vibrajoče granularne snovi je praviloma določen preko frekvence f in

pospeška Γ (spomnimo se iz prejšnjega poglavja: Γ=A(2πf)2/g). V vzorcu tanke plasti granul

pri Γ < 1 vse granule ležijo na vibrajoči površini in se od nje ne odlepijo. Pri Γ < 2.4 je plast še

vedno ravna, le sem in tja granula zapusti površino za del vibrajočega cikla. Pri višjih Γ pa že

lahko opazimo stoječe valove. Pri nizkih frekvencah (f 45Hz) opazimo kvadrate, pri večjih

pa črte. Oba vzorca, tako črte kot kvadrati, oscilirajo pri polovični frekvenci f/2. Za Γ > 4 črte

in kvadrati postanejo nestabilni, zato se

pojavijo šestkotniki. Spremembe vzorca

so povezane z dodajanjem energije, saj

preko tresenja dodamo energijo, ki je

sorazmerna z f2 , hkrati pa se energija

sistema disipira. Dodana energija se

pretvori v kinetično in potencialno

energijo granul, sistem pa izgublja

energijo preko trenja. Če pospešek še

večamo, ponovno preidemo v obliko

ravne podlage, ta pa oscilira s frekvenco

f/2, a z nasprotno fazo. Pri Γ > 5.7

ponovno opazimo kvadrate,črte in

šestkotnike, le ti vzorci pa oscilirajo pri

frekvenci f/4. Pri še večjih pospeških pa

zasledimo neurejenost [5, 8].

Slika 7. Pogled na vibrajočo ploščo, ko frekvenco znižujemo [5]. Slika 6 prikazuje granularni material z različnimi geometrijskimi vzorci

pri različnih frekvencah in amplitudah vertikalnega tresenja [5].

Slika 8. Fazni diagram za različne režime v vibrajoči granularni plasti [5].

9

HORIZONTALNO IN KROŽNO TRESENJE

Kadar imamo granularno snov, ki je

sestavljena iz granul različnih velikosti in jo

izpostavimo horizontalnemu tresenju, bomo opazili,

da se granule razvrščajo po velikosti, čemur pravimo

segregacija. Prav tako pa horizontalne vibracije

povzročijo nastanek zanimivih pasov, ki so

pravokotni na smer tresenja, kar lahko opazimo na

sliki 9.

Pri horizontalnem tresenju pa lahko granule

spreminjajo tudi fazo; iz tekočega v trdno in obratno.

Tekoča faza granularne snovi je samo poimenovanje,

da se snov obnaša kot tekočina, trdna faza pa, da je

granularna snov po obnašanju podobna trdnim

snovem, torej se lahko deformira in ji lahko

pripišemo Youngov modul. Narejen je bil poskus z

19 kroglicami premera 1 cm in veliko malimi

kroglicami premera 0.4 cm [8]. Najprej so položili

večje kroglice na vibrajočo trikotno površino tako, da

so bile kroglice od najbližjih sosedov oddaljene vsaj 3

cm. Nato so začeli dodajati še manjše kroglice in v

realnem času merili povprečno razdaljo med vsemi

kroglicami. Ta podatek pa lahko prevedemo na delež

polnitve malih kroglic μ. Slika 10 prikazuje rezultat meritev kot kritični delež polnitve v

odvisnosti od amplitude tresenja. Izgleda, kot da je delež μ neodvisen od frekvence tresenja,

vendar pa se manjša z večanjem amplitude. Režim, kjer opazimo segregacijo pa je vedno malo

nad tekoče-trdno linijo prehoda. To nakazuje, da je granularni fazni prehod potreben predpogoj,

da sploh pridemo do segregacije.

Prehod je mogoč med 0.55 μ in 0.75 μ in je odvisen od amplitude tresenja. Linijo

prehoda med tekočim in trdnim stanjem lahko prečkamo le, če amplitudo zvečamo, kar v

energijskem pogledu pomeni, da zvečamo dodano energijo v vsakem trenutku; torej sistemu

večamo moč. Fenomen je poimenovan kot ''freezing by heating''.

Energija vsakega sistema je določena kot razlika energij, ki jo dodamo preko tresenja

granul ali preko premikanja sten, in energije, ki se disipira s trenjem granul med seboj in

stenami. Granularna snov vedno zavzame obliko, pri kateri minimizira lastno energijo, saj tako

najbolj zmanjša količino energije, ki se disipira [8]. Tako prosto gibajoče granule pri manjših

gostotah le redko trčijo z zidom, kar lahko zlahka opazimo pri poskusih, prav tako ne pride do

segregacije. Če pa povečamo delež polnitve, se število trkov granul s stenami poveča in tako

trkajo neprestano. Ta proces zato zmanjša krepljenje organizirane plasti granul, kar se nato vidi

v vedno večjem zgoščevanju. Kasneje pride do segregacije. Se pravi, da je trkanje s stenami

dominanten proces, zaradi katerega granularna snov spremeni fizikalno stanje.

Slika 9. Posnetki prikazujejo ločevanje bakrenih granul in makovih zrnc, ki so vzpostavljena horizontalnemu tresenju (frekvenca 12.5 Hz, amplituda 2mm). Slike so bile zajete ob časih 5 min, 10 min, 15 min, 30 min, 1 h in 6h [5].

10

Našemu sistemu lahko dodajamo energijo tudi preko gibljivih sten. Pri takem gibanju

ne smemo zanemariti trkanje granul s stenami. Eden izmed takih primerov je vrteči boben, ki

se vrti okrog svoje osi. Največkrat je uporabljen v kemijskih obratih za mešanje ali separacijo

delcev. Če se boben ne vrti prehitro, se bodo v sredici bobna nabrale granule v trdnem stanju,

blizu proste površine pa bo plast granul v tekočem stanju [5].

Vrteči bobni se v večini primerov uporabljajo za študije ločevanja granul po velikosti v

binarnih zmeseh. Poznamo dve vrsti segregacij: radialno in osno. Radialna segregacija je

relativno hitri proces, pri katerem se večje granule naberejo na robu bobna, manjše pa v sredici

(slika 11). Osno segregacijo pa opazimo v dolgih bobnih po daljšem času. Kot rezultat opazimo

pasove granul, ki so nakopičene vzdolž osi bobna (slika 12).

Slika 10. Graf kritičnega razmerja polnitve v odvisnosti od amplitude tresenja prikazuje mejo, kdaj je granularna snov v tekočem ali v trdnem stanju. Prehod čez mejo je predpogoj, da v snovi pride do segregacije [8].

Slika 11. Radialna segregacija v vrtečem bobnu globine 6mm in površine osnovne ploskve 600cm2 se opazi že po nekaj obratih [10].

11

Slika 12. Zgoraj: mešanica granul različnih velikosti. Spodaj: osna segregacija vzdolž dolgega bobna po 15 minutah. Opazimo značilne pasove granul enakih velikosti [10].

ZAKLJUČEK

V zadnjih nekaj letih so raziskave granularnih sistemov dobile nov zagon, saj jim pri

preučevanju granularnih snovi pomagajo računalniške simulacije, imajo boljše pogoje za

poskuse, pri tem pa jim je v pomoč marsikatera teorija z različnih področij fizike. Seveda se

vedno bolj in bolj preučuje tudi mokre sisteme (namočen pesek, sneg), ki pa jih v mojem

seminarju nisem obravnavala.

Še vedno je področje granularnih sistemov brez enotne teorije, kar ostaja odprt izziv.

Zaradi kompleksnosti in specifičnosti sistemov je potrebno obravnavo, ki praviloma temelji

predvsem na Newtonovi dinamiki, prilagoditi za vsak konkreten sistem posebej. Rezultati se že

sedaj uporabljajo v inženirstvu, na sploh v transportu snovi ter v biologiji [3], kemiji in fiziki.

Dobro leto nazaj so znanstveniki opazili zanimivo samoorganizirano gibanje v eno

smer. Kljub temu, da so uporabili ne živeče materiale, je izgledalo, kot da se premikajo živi

organizmi. Milimeter dolge palčke so postavili na plast vibrajočih granul in kmalu opazili

spontano gibanje palčk [6]. Tudi ta poskus ni dokončno zaključen. Za njem se lahko skriva

veliko novih možnih mehanizmov, ki bi jih lahko uporabili za študij razumevanja v transportu

snovi v celicah in aktivnih kompleksnih tekočinah.

12

VIRI IN LITERATURA

[1] P.G. de Gennes: Reflections on the Mehanics of Granular Matter; Physica A 261 (1998)

267-293

[2] S. Strauch, S. Herminghaus: Wet Granular Matter:a Truly Complex Fluid; Soft Matter,

2012, 8, 8271

[3] N. Mitarai, F. Nori: Wet Granular Materials; Advances in Physics, 55.1-2 (2006): 1-

45.

[4] S. Ramaswamy: The Mehanics and Atatistics of Active Matter; The Mechanics and

Statistics of Active Matter 1 (2010): 323-345.

[5] Igor S. Aranson, Lev S. Tsimring: Patterns and Collective Behavior in Granular Media:

Theoretical Concepts; Rev. Mod. Phys., Vol. 78, No. 2, April-June 2006

[6] N. Kumar, H. Soni, S. Ramaswamy, A.K. Sood: Flocking at a Distance in Active

Granular Matter; Nature Communications | DOI:10.1038/ncomms5688

[7] A. Kudrolli: Size separation in vibrated granular matter; Reports on progress in

Physics 67.3 (2004): 209

[8] Christof A. Kruelle: Physics of Granular Matter: Pattern Formation and Applications;

Rev. Adv. Mater. Sci. 20 (2009) 113-124

[9] http://www.videoblocks.com/video/Pile-of-white-sand-Slow-Motion-Kiz9Nyp/ ,

ogledano 13.1.2016 ob 14.15

[10] Hill, K. M., et al.: Mixing of granular materials: a test-bed dynamical system for pattern

formation; International Journal of Bifurcation and Chaos 9.08 (1999): 1467-1484.