web view14. konsep dasar matematika. konsep dasar matematika. 15. author: ast_dika created date:...
TRANSCRIPT
BAHAN AJAR
KONSEP DASAR MATEMATIKA
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASARFAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MAGELANG2014
Konsep Dasar Matematika 1
BAB VI
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
A. Pendahuluan
Pada bab ini berisi tentang materi persamaan dan pertidaksamaan.
Persamaan dan pertidaksamaan yang dibahas meliputi persamaan linear,
pertidaksamaan linear, persamaan kuadrat dan pertidaksamaan kuadrat.
Persamaan dan pertidaksamaan ini adalah materi yang sering terkait dalam
kehidupan sehari-hari, ketika kita akan menyelesaikan suatu soal yang
berbentuk cerita atau pemecahan masalah sering kali menggunakan
penyelesaian dengan menggunakan persamaan atau pertidaksamaan. Konsep
persamaan dan pertidaksamaan berkembang dari konsep kesamaan dan
ketidaksamaan pada sistem bilangan real, sehingga untuk menyelsaikan suatu
persamaan atau pertidaksamaan banyak menggunakan sifat-sifat kesamaan
dan ketidaksamaan pada bilangan real. Setelah mempelajari bab ini
mahasiswa diharapkan dapat memahami hal-hal yang berhubungan dengan
persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel dan dua variabel serta
dapat memahami hal-hal yang berhubungan dengan persamaan kuadrat dan
pertidaksamaan kuadrat. Secara lebih rinci, setelah mempelajari materi ini
diharapkan mampu:
1. Menentukan apakah suatu kalimat matematika termasuk persamaan atau
kemasaan.
2. Menentukan apakah suatu kalimat matematika termasuk pertidaksamaan
atau ketidaksamaan.
3. Menyelesaikan masalah persamaan linear satu variabel.
4. Menyelesaikan masalah pertidaksamaan linear satu variabel.
5. Menyelesaikan masalah sistem persamaan linear dua variabel.
6. Menyelesaikan masalah sistem pertidaksamaan satu variabel.
7. Menyelesaikan masalah persamaan kuadrat dengan faktorisasi.
2 Konsep Dasar Matematika
8. Menyelesaikan masalah persamaan kuadrat dengan menjadikan kuadrat
sempurna.
9. Menyelesaikan masalah persamaan kuadrat dengan rumus ”abc”
10. Menyelesaiakan masalah pertidaksamaan kuadrat.
11. Menyelsaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan persamaan.
12. Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan
pertidaksamaan.
B. Persamaan
1. Persamaan Linier
Persaman adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan (relasi)
sama dengan. Sedangkan persamaan linear adalah suatu persamaan yang
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu atau berderajat satu.
a. Persamaan Linear Satu Variabel
Bentuk umum :ax + b = 0; a,b R, a 0
a = koefisien dari x
x = variabel
b = konstanta
Contoh:
1) 4x + 8 = 0
2) 6x -18 = 0
Kedua persamaan di atas akan bernilai benar jika variabelnya berturut-turut
diganti dengan -2 dan 3.
Sifat-sifat persamaan linear
1) Nilai persamaan tidak berubah, jika :
a) Kedua ruas ditambah atau dikurangi bilangan yang sama.
b) Kedua ruas dikalikan atau dibagi bilangan yang sama.
2) Suatu persamaan jika dipindahkan ruas, maka :
a) Penjumlahan berubah menjadi pengurangan dan sebaliknya.
b) Perkalian berubah menjadi pembagian dan sebaliknya.
Konsep Dasar Matematika 3
Contoh:
1) 13
x + 3 = 12
13
x + 3 – 3 = 12 – 3 (kedua ruas dikurangi 3)
13
x = 9
13
x. 3 = 9.3 (kedua ruas dikali 3)
x = 27
2) 4x – 7 = 2x + 9
4x – 7 + 7 = 2x + 9 + 7 (kedua ruas ditambah 7)
4x = 2x + 16
4x – 2x = 2x – 2x + 16 (kedua ruas dikurangi 2x)
2x = 16
2x . 12 = 16 .
12
x = 8
Himpunan penyelesaian persamaan linear
Menentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berarti mencari
harga yang memenuhi untuk pengganti variabel pada persamaan linear yang
bersangkutan.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari :
1) 2x + 4 = x + 7
2)2 x−1
5= x+1
2
Jawab:
1) 2x + 4 - 4 = x + 7 - 4
2x = x + 3
4 Konsep Dasar Matematika
2x - x = 3
x = 3
HP = {3}
2)2 x−1
5= x+1
2
2(2x- 1) = 5(x + 1)
4x – 2 = 5x + 5
4x – 5x = 2 + 5
-x = 7
x = -7
HP = {-7}
b. Persamaan Linier Dua Variabel
Bentuk Umum
ax + by = c
px + qy = r
a, p = koefisien dari x
b, q = koefisien dari y
c, r = konstanta
x, y = variabel
Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
Ada beberapa cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel,
yaitu:
1) Cara Grafik
Langkah-langkahnya sebagai berikut :
a) Gambarlah grafik garis lurus pada bidang koordinat.
b) Tentukan titik potong kedua garis tersebut. Koordinat titik potong
tersebut merupakan pasangan penyelesaian dari sistem persamaan yang
dimaksud.
Konsep Dasar Matematika 5
a, b, c, p, q, r R
x – y = 2
3x – 7y = -2
-2
2
(4,2)
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari
{3 x+7 y=−2x− y=2 dengan cara grafik !
Jawab: Menggambar grafik dari kedua persamaan tersebut
Dari grafik dapat diketahui bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah
(4,2). Jadi HP = {(4,2)}
2) Cara Eliminasi
Langkah-langkahnya sebagai berikut :
a) Menyamakan koefisien salah satu variabel dengan cara mengalikan
dengan bilangan selain nol.
b) Menjumlahkan atau mengurangkan ruas-ruas yang bersesuaian dari
kedua persamaan linear yang baru tersebut.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
{5 x+3 y=192 x+2 y=10 dengan cara eliminasi !
6 Konsep Dasar Matematika
Jawab:
Eliminir y
5 x+3 y=192 x+2 y=10
|x 2x2
|10 x+6 y=386 x+6 y=30
4x = 8
x = 2
Eliminir x
5 x+3 y=192 x+2 y=10
|x 2x5
|10 x+6 y=3810 x+10 y=50
-4y = -12
y = 3
Jadi HP = {(2,3)}
3) Cara Substitusi
Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya sebagai berikut :
a) Nyatakan salah satu variabel yang memuat variabel yang lain dari salah
satu persamaan.
b) Substitusikan hasil dari langkah 1) ke persamaan yang lain.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
{4 x−2 y=12x+ y=9 dengan cara substitusi !
Jawab:
4 x−2 y=12 …………… (1)
x + y = 9 x = 9 – y ….. (2)
(2) substitusi ke (1)
4(9-y) – 2y = 12
Konsep Dasar Matematika 7
36 – 4y – 2y = 12
-6y = 12 - 36
-6y = -24
y = 4 ………………… (3)
(3) substitusi ke (2)
x = 9 – 4
x = 5
Jadi HP = {(5,4)}
4) Cara Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan :
{3 x− y=52 x+ y=10 dengan cara gabungan antara eliminasi dan
substitusi !
Jawab:
Eliminir y
3x – y = 5
2x + y = 10 +
5x = 15
x = 3
x = 3 substitusi ke 3x – y = 5
3(3) – y = 5
9 – y = 5
-y = 5 - 9
-y = -4
y = 4
Jadi HP = {(3,4)}
8 Konsep Dasar Matematika
2. Persamaan Kuadrat
Bentuk Umum Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah persamaan berderajat dua dalam x yang
dinyatakan:
ax2 + bx + c = 0; a, b, cR ; a 0
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = konstanta
Contoh:
x2 + 2x - 15 = 0
x2 – 4x + 4 = 0
x2 – 9 = 0
Penyelesaian Persamaan Kuadrat
Ada beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat, antara lain :
a. Memfaktorkan
Contoh:
1) Selesaikan x2 – 5x + 6 = 0 !
Jawab:
x2 – 5x + 6 = 0
(x – 3)(x – 2)= 0
x – 3 = 0 atau x -2 = 0
x = 3 atau x = 2
Jadi HP = {3, 2}
2) Selesaikan x2 – 25 = 0 !
Jawab:
x2 – 25 = 0
(x + 5)(x – 5)= 0
x + 5 = 0 atau x - 5 = 0
x = -5 atau x = 5
Jadi HP = {-5, 5}
Konsep Dasar Matematika 9
b. Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Contoh:
1) Selesaikan x2 + 10x + 21 = 0 !
Jawab:
x2 + 10x + 21 = 0
x2 + 10x = -21
x2 + 10x + 25 = -21 + 25
(12 koefisien x)2
(x + 5)2 = 4
x + 5 = ±√4=±2 x + 5 = 2 atau x + 5 = -2
x = -3 atau x = -7
Jadi HP ={-3, -7}
2) Selesaikan 4x2 + 8x + 3 = 0 !
Jawab:
4x2 + 8x + 3 = 0
4x2 + 8x = -3
x 2 + 2x = −3
4
x 2 + 2x + 1 = −3
4 + 1
(x + 1)2 = 14
x + 1 = ±√ 1
4=±
12
x + 1 = 12 atau x + 1 = -
12
x = -12 atau x = -
32
10 Konsep Dasar Matematika
Jadi HP =
{−12
,−32 }
c. Dengan Rumus ABC
x1,2=−b±√b2−4ac
2aContoh:
1) Selesaikan x2 + 6x - 16 = 0 !
Jawab:
a = 1, b = 6, c = -16
x1,2=−6±√62−4 (1)(−16 )
2(1 )
=
−6±√1002
= −6±10
2
x1=−6+10
2=4
2=2
atau x2=
−6−102
=−162
=−8
Jadi HP = {2, -8}
Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat yang menyangkut banyaknya akar
persamaan kuadrat, ditentukan oleh nilai diskriminannya yaitu D = b2 – 4ac.
(i) D > 0 kedua akar real dan berbeda
(ii) D = 0 kedua akar sama (kembar)
(iii) D < 0 Persamaan kuadrat tidak mempunyai akar nyata
Contoh:
Konsep Dasar Matematika 11
Tentukan sifat-sifat akar persamaan berikut ini !
1) x2 – 4x + 3 = 0
2) x2 + 6x + 9 = 0
3) x2 + 3x + 3 = 0
Jawab:
1) x2 – 4x + 3 = 0
a = 1, b = -4, c = 3
D = b2 – 4ac = (-4)2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4
D > 0, kedua akar real dan berbeda.
2) x2 + 6x + 9 = 0
a = 1, b = 6, c = 9
D = b2 – 4ac = 62 – 4(1)(9) = 36 – 36 = 0
D = 0, kedua akar sama (kembar)
3) x2 + 3x + 3 = 0
a = 1, b = 3, c = 3
D = b2 – 4ac = 32 – 4(1)(3) = 9 – 13 = -3
D < 0, persamaan tidak mempunyai akar nyata.
C. Pertidaksamaan
1. Pertidaksamaan Linier
Pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang variabelnya paling
tinggi berderajat satu.
Bentuk umum :ax + b (R) 0 ; a, b R, a 0
a = koefisien dari x
x = variabel
b = konstanta
(R) = salah satu relasi pertidakamaan ( , , , )
Contoh:
5x + 5 25
12 Konsep Dasar Matematika
3x – 3 < 12
Sifat-sifat Pertidaksamaan
a. Arah tanda pertidaksaman tetap jika ruas kiri dan ruas kanan
pertidaksamaan ditambah , dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan
bilangan positif yang sama.
1) a b a + c b + c
2) a b a – d b - d
3) a b dan c 0 ac bc
4) a b dan d 0 ad
bd
b. Arah tanda pertidaksamaan berubah jika ruas kiri dan ruas kanan dikalikan
atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
1) a b dan c 0 ac bc
2) a b dan d 0 ad
bd
Contoh:
1) Selesaikan 6x + 2 4x + 10 !
Jawab:
6x + 2 4x + 10
6x + 2 – 2 4x + 10 - 2
6x 4x + 8
6x – 4x 4x – 4x + 8
2x 8
12 .2x
12 .8
x 4
2) Selesaikan 6x – 5 9x + 10 !
Jawab:
6x – 5 9x + 10
6x – 5 + 5 9x + 10 + 5
Konsep Dasar Matematika 13
6x 9x + 15
6x – 9x 9x – 9x + 15
-3x 15
(− 1
3 )(-3x)
(− 13 )
(15)
x 5
Himpunan Penyelesaian Pertidaksaman Linear
Contoh:
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari 6x + 4 4x + 20, xB !
Jawab:
6x + 4 4x + 20
6x + 4 - 4 4x + 20 - 4
6x 4x + 16
6x – 4x 4x – 4x + 16
2x 16
12 .2x
12 .16
x 8
8
Jadi HP = { x x 8, xB}
2) Tentukan himpunan penyelesaian dari 5x + 10 > 8x + 4, xR !
Jawab:
5x + 10 > 8x + 4
5x + 10 – 10 > 8x + 4 - 10
5x > 8x - 6
5x – 8x > 8x – 8x - 6
-3x > -6
(− 1
3 )(-3x) <
(− 13 )
(-6)
14 Konsep Dasar Matematika
x < 2
2
Jadi HP ={ x x < 2 , xR}
2. Pertidaksamaan Kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai
variabel paling tinggi berderajat dua dan koefisien variabel pangkat duanya
tidak sama dengan nol.
Bentuk umum :ax2 + bx + c (R) 0; a, b, cR ; a 0
a = koefisien dari x2
b = koefisien dari x
c = konstanta
(R) = salah satu relasi pertidakamaan ( , , , )
Contoh:
x2 + 5x + 6 0
x2 – x - 6 < 0
2x2 + 9x + 5 0
Sifat-sifat Pertidaksamaan Kuadrat
Secara umum sifat-sifat pertidaksamaan kuadrat sama dengan sifat-sifat
pertidaksamaan linear.
Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Kuadrat
Langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian suatu pertidaksamaan
kuadrat adalah sebagai berikut :
(i) Ubah bentuk pertidaksamaan ke dalam bentuk umum.
(ii) Tentukan pembuat nol ruas kiri.
(iii) Letakkan pembuat nol pada garis bilangan.
(iv) Substitusi sembarang bilangan pada pertidaksamaan kecuali pembuat nol.
Jika benar, maka daerah yang memuat bilangan tersebut merupakan daerah
penyelesaian.
Konsep Dasar Matematika 15
Contoh:
1) Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 6x + 8 0 untuk x R !
Jawab:
(i) x2 + 6x + 8 0
(ii) Pembuat nol
x2 + 6x + 8 = 0
(x + 4)(x + 2) = 0
x + 4 = 0 atau x + 2 = 0
x = -4 atau x = -2
(iii)
(B) (S) (B)
+ - +
-4 -2
(iv) Ambil x = 0 x2 + 6x + 8 0
8 0 (B)
Jadi HP = { xx -4 atau x -2 }
2) Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x2 + 3x - 5 < 0 untuk x R !
Jawab:
2x2 + 3x - 5 < 0
Pembuat nol
2x2 + 3x - 5 = 0
(2x + 5)(x – 1) = 0
2x + 5 = 0 atau x – 1 =0
2x = -5 atau x = 1
x = −5
2 atau x = 1
(S) (B) (S)
16 Konsep Dasar Matematika
+ - B
−52 1
Ambil x = 0 2x2 + 3x - 5 < 0
- 5 < 0 (B)
Jadi HP = { x−5
2 < x < 1 }
Rangkuman
1. Persaman adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan (relasi) sama
dengan. Persamaan linear adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah satu atau berderajat satu. Sedangkan persamaan kuadrat
memiliki pangkat tertinggi variabelnya adalah dua.
2. Persamaan linier dua variabel dapat diselesaikan dengan cara grafik, cara
eliminasi, cara substitusi, maupun gabungan eliminasi dan substitusi.
3. Persamaan kuadrat dapat diselesaikan menggunakan cara memfaktorkan,
melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus ABC.
4. Sifat akar-akar perssamaan kuadrat dapat diketahui dari nilai Diskriminan
(D) yaitu kedua akar real dan berbeda bila D > 0, kedua akar sama (kembar)
bila D = 0, dan tidak mempunyai akar nyata bila D < 0.
5. Pertidaksaman adalah kalimat terbuka yang mengandung hubungan (relasi)
tidak sama dengan meliputi krang dari (<), kurang dari sama dengan (),
lebih dari (>), atau lebih dari sama dengan ()
6. Arah tanda pertidaksaman tetap jika ruas kiri dan ruas kanan pertidaksamaan
ditambah , dikurangi, dikalikan, atau dibagi dengan bilangan positif yang
sama. Sedangkan arah tanda pertidaksamaan berubah jika ruas kiri dan ruas
kanan dikalikan atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
Soal
Konsep Dasar Matematika 17
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut !
a. 2x – 3 = 3x – 7
b. 5 + 3(2 – x) + 2 = 2(x – 3)
c. 8x – 3 = 4(x + 1) + 5
2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linear berikut !
a.3 x5
−2= x3
b.x3+ 3x
4=x+2
c.35
x−12
x=2x−34
3. Tentukan penyelesaian soal-soal berikut !
a. 6x + 3 -2x + 1
b. x + 2 > 12 (x + 1)
b. c. x−1
2−1≤3
c. d. 2( x−2)
3 > 5x6
4. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dengan
menggunakan pemfaktoran!
a. x2 – 5x - 36 = 0 b. x2 – 13x + 22 = 0
5. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dengan
melengkapkan kuadrat sempurna !
a. x2 + 5x + 4 = 0 b. x2 – 11x + 24 = 0
6. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat berikut dengan
menggunakan rumus abc !
a. x2 – 4x - 45 = 0 b. . x2 + 2x - 34 = 0
7. Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan kuadrat x2 + 4x – 60 = 0!
8. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x - 36 = 0, tentukan
x1 dan x2 !
18 Konsep Dasar Matematika
9. Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat berikut !
a. a. x2 – 2x - 8 < 0 e. x2 – 5x < 0 i. x2 –x - 2 < 0
b. b. x2 – 3x 0 f. x2 –32 x + 1 > 0 j.
xx+4
≤x−1
c. c. x2 – 10x + 21 < 0 g. x2 + x - 12 0
d. d. x2 – 12x + 35 0 h. x2 – x - 12 0
10. Tentukan jenis akar dari peramaan kuadrat 2x2 + 3x – 1 = 0 !
Konsep Dasar Matematika 19
DAFTAR PUSTAKA
Antonius Cahya P. 2005. Memahami Konsep Matematika Secara Benar dan
Menyajikannya dengan Menarik. Jakarta: Direktorat Jenderal Pendidikan
Tinggi Departemen Pendidikan Nasional
Booker, G., Bond, D., Sparrow, L., & Swan P. 2004. Teaching Primary
Mathemathics(3th Ed), Pearson Education Australia
Frans Susilo. 2012. Landasan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu
Gatot Muhsetyo, dkk. 2007. Pembelajaran Matematika SD. Jakarta: Universitas
Terbuka
John Bird. 2002. Matematika Dasar: Teori dan Aplikasi Praktis. Jakarta:
Erlangga
Kasir Iskandar. 1999. Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga
Sufyani P. 2012. Konsep Dasar Matematika. Jakarta: Direktorat Jenderal
Pendidikan Islam Kementrian Agama Republik Indonesia
20 Konsep Dasar Matematika