การเคลื่อนท่ีแบบโปรเจกไตล์

การเคล่ือนที่แบบโปรเจกไตล์ (Motion of a Projectile) คือการเคล่ือนท่ีของวตัถเุป็นแนวโค้ง ในกรณีท่ีวตัถเุคล่ือนท่ีอยา่งเสรด้ีวยแรงโน้มถ่วงคงท่ี เชน่ วตัถเุคล่ือนท่ีไปในอากาศภายใต้แรงโน้มถ่วงของโลก ทางเดินของวตัถจุะเป็นรูปพาราโบลา

ขอ้ควรจำา สำาหรบัการเคล่ือนที่แบบโปรเจกไตล์ 1) ความเรง่ในแนวระดับ (แกน x) = ศูนย ์นัน่คือ vx = คงท่ี = ux ไมว่า่วตัถจุะอยูท่ี่ตรงไหนก็ตาม พสิจูน์ ไมม่แีรงในแนวแกน X กระทำาท่ีวตัถ ุจาก Fx = max O = max

ax = 0 จาก vx = ux + axt; ได้ vx = ux 2) ความเรง่ในแนวดิ่ง (แกน Y ) = g พสิจูน์ มแีรงกระทำาท่ีวตัถคุือ w = mg ในทิศดิ่งลงตามแกน Y จาก Fy = may mg = may

ay = g ทิศด่ิงลง

3) เวลาท่ีวตัถใุชเ้คล่ือนท่ีตามแนวโค้ง = เวลาท่ีเงาของวตัถใุชเ้คล่ือนท่ีตามแนวแกน X = เวลาท่ีเงาของวตัถใุชเ้คล่ือนท่ีตามแนวแกน Y

ตามรูปขา้งบน สมมุติวตัถวุิง่จาก O ไปตามทางโค้ง (เสน้ประ) ถึง A (ทางโค้ง OA)

เงาทางแกน X จะวิง่จาก O ไปถึง B เงาทางแกน Y จะวิง่จาก O ไปถึง C ดังนัน้ tOA = tOB = tOC 4) ความเรว็ v ณ จุดใด ๆ จะมทิีศสมัผัสกับเสน้ทางเดิน (เสน้ประ) ณ จุดนัน้ และ (1) หาขนาดของ v โดยใชส้ตูร

เมื่อ vx = ux = ความเรว็ในแนวแกน X vy = ความเรว็ในแกน Y (2) ทิศทางของ v หาได้โดยสตูร

เมื่อ x = มุมท่ี v ทำากับแกน X 5) ณ จุดสงูสดุ vx = ux vy = 0 หมายเหต ุบางทีเราเรยีกวตัถท่ีุเคล่ือนท่ีแบบโปรเจกไตล์วา่ "โปรเจกไตล์" และเราเรยีกการเคล่ือนท่ีนี้วา่ การเคล่ือนท่ีของโปรเจกไตล์ วธิีคำานว

ณ 1) ตัง้แกน X ใหอ้ยูใ่นแนวระดับ และแกน Y อยูใ่นแนวดิ่ง โดยจุดกำาเนิด (origin) ต้องอยูท่ี่จุดเริม่ต้น 2) แตกเวกเตอรท์กุค่าคือ ความเรว็ ระยะทาง ใหอ้ยูใ่นแนวแกน X และ Y 3) คิดทางแกน X มสีตูรเดียว เพราะ ax = 0 คือ

4) คิดทางแกน Y ใชส้ตูรทกุสตูรต่อไปนี้

5) กำาหนดวา่ทิศทางใดเป็นบวก (+) ทิศตรงขา้มจะเป็นลบ (-) แล้วแทนเครื่องหมาย + และ - ในเวกเตอรต่์อไปนี้ Sx, Sy, Ux, Uy, Vy, ay สำาหรบัเวลาเป็นปรมิาณสเกลารเ์ป็น + เท่านัน้ ปกติ นิยมใหทิ้ศทางเดียวกับความเรว็ต้น (ux และ uy ) เป็นบวก (+) 6) เมื่อคิดทางแกน X และแกน Y ตามขอ้ 3),4)และ 5) แล้ว จะได้ 2 สมการ จากนี้ก็แก้สมการทัง้สอง ถ้ายงัไมส่ามารถแก้สมการได้ใหใ้ชค้วามสมัพนัธจ์ากรูป ดังน้ี

ทัง้รูป (ก) และรูป (ข) ใชค้วามสมัพนัธ ์

เมื่อ y = ระยะทาง (การขจดั) ตามแนวแกน Y x = ระยะทาง (การขจดั) ตามแนวแกน X =มุมท่ี OA ทำากับแกน X

โปรดสงัเกตวา่ y ในรูป (ก) เป็น + เพราะอยูเ่หนือแกน X และ Y ในรูป (ข) เป็น - เพราะอยูใ่ต้แกน X แต่เราใชค้่า y และ x ท่ีเป็น + เท่านัน้ กับ tan เพราะ น้อยกวา่ 90 องศา ( <90 องศา)

ที่มา : นายจำานงค์ ฉายเชดิ, นิตยสารเรยีนดี ปี 2 ฉบบัที่ 6+7.

การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์         คือการเคล่ือนท่ีในแนวโค้งพาราโบลา ซึ่งเกิดจากวตัถไุด้รบัความเรว็ใน 2 แนวพรอ้มกัน คือ ความเรว็ในแนวราบและความเรว็ในแนวดิ่ง ตัวอยา่งของการเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์  ได้แก่ ดอกไมไ้ฟ นำ้าพุ การเคล่ือนท่ีของลกูบอลท่ีถกูเตะขึ้นจากพื้น การเคล่ือนท่ีของนักกระโดดไกล    สำาหรบัในบทเรยีนนี้

เราจะศึกษาในเรื่องลักษณะของการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ การคำานวณหาปรมิาณท่ีเกี่ยวขอ้งกับการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจคไทด์ , โพรเจคไทด์ในแนวราบ ,  โพรเจกไทล์ในแนวดิ่ง หลังจากนัน้นักเรยีนจะได้ทดสอบความเขา้ใจกับแบบฝีกหดั และแบบทดสอบ                        

     

ในสมยักรกีโบราณเชื่อตามทฤษฎีของอรสิโตเติลท่ีวา่ถ้ายงิวตัถจุากปืนใหญ่ (ดังรูป) วตัถจุะเคล่ือนท่ีเป็นเสน้ตรงตามแนวท่ียงิ และวตัถจุะเคล่ือนท่ีด้วยความเรว็ท่ีใหจ้นกระทัง่ความเรว็นัน้ค่อย ๆ ลดลง จนเป็นศูนย ์แล้ววตัถจุะตกลงมาอยา่งรวดเรว็ท่ีตำาแหน่งนัน้

ต่อมาจากการสงัเกตอยา่งละเอียดของ Niccolo Tartaglia พบวา่อันท่ีจรงิแล้วการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์นัน้ แนวการเคล่ือนท่ีเป็นรูปโค้ง ในขณะนัน้ไมม่ใีครสามารถอธบิายได้วา่เป็นเพราะอะไร ต่อมากาลิเลโอได้อธบิายวา่ การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ เป็นการเคล่ือนท่ีท่ีประกอบด้วยการเคล่ือนท่ีในสองแนวไมใ่ชแ่นวเดียว โดยในแนวด่ิงจะมแีรงเน่ืองจากแรงดึงดดูของโลกกระทำาต่อวตัถุใหเ้คล่ือนท่ีลงด้วยความเรง่     และในเวลาเดียวกับท่ีวตัถถุกูดึงลง โพรเจกไทล์ก้ยงัคงเคล่ือนท่ีตรงในแนวราบด้วย ( หลักความเฉื่อยของกาลิเลโอ Galilao's pricipal Inertia )เขาแสดงใหเ้หน็วา่ โพรเจกไทล์นัน้ได้ จะประกอบด้วยการเคล่ือนท่ี 2 แนว พรอ้ม ๆกัน โดยในแต่ละแนวนัน้จะเคล่ือนท่ีอยา่งอิสระไมเ่กี่ยวขอ้งกัน    และยงัพบวา่เสน้ทางการเคล่ือนที่ของโพรเจกไทล์จะเป็นรูปเรขาคณิต ที่เรยีกวา่ " พาราโบลา "

     

                                                                             

 พจิารณาในแนวดิ่ง  

   ในกรณีท่ีเราไมคิ่ดแรงต้านทานของอากาศ  วตัถทุกุชนิดท่ีอยูบ่นโลกน้ีถ้าปล่อยจากท่ีสงูระดับเดียวกัน  วตัถจุะตกถึงพื้นในเวลาเท่ากัน   โดยไมข่ึ้นอยูก่ับขนาด หรอืนำ้าหนักของวตัถ ุ(ดังรูป)

 พจิารณาในแนวดิ่งและในแนวการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์

   พจิารณาวตัถ ุ2 ก้อนท่ีตกจากท่ีระดับเดียวกัน โดยก้อนแรกปล่อยให้เคล่ือนท่ีลงในแนวดิ่งอิสระ ก้อนท่ี สอง เคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ จะเหน็วา่วตัถุทัง้สองจะตกถึงพื้นดินพรอ้มกัน (ดังรูป)

พจิารณาการเคล่ือนในแนวดิ่ง แนวราบ และในแนวโพรเจกไทล์   

     

 พจิารณาการเคล่ือนท่ีของวตัถท่ีุ มกีารเคล่ือนท่ี 3 แนวพรอ้มกัน คือ การเคล่ือนท่ีในแนวดิ่งอิสระ  การเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์  และการเคล่ือนที่ในแนวราบ   จะเหน็วา่วตัถจุะตกถึงพื้นพรอ้มกัน  นัน่คือเวลาท่ีใชจ้ะเท่ากันทกุแนว (ดังรูป)

      

หลักการคำานวณเก่ียวกับ โพรเจคไทล์ในแนวดิ่ง

          อาศัยการแยกความเรว็ของวตัถอุอกในแนวราบและในแนวดิ่ง แล้วคำานวณหาค่าต่าง ๆ ที่ต้องการทราบโดยไมค่ิดเรื่องแรงต้าน หรอืแรงลอยตัวของอากาศ แล้วพจิารณาการเคล่ือนที่ในแนวเสน้ตรงแต่ละแกน โดย

                                   และ       

         การกระจดั ความเรว็   ขณะเวลาใด ๆ หาได้จากผลบวกของเวคเตอรใ์นแนวราบและแนวดิ่งขณะนัน้ ๆ

                                    และ        

ปรมิาณต่าง ๆท่ีเกี่ยวขอ้งกับการเคล่ือนท่ีในแนวราบ หรอืในแนวดิ่ง หาได้จากสมการ

     

    

การคำานวณหาค่าต่าง ๆ   ใชส้มการเกี่ยวกับการเคล่ือนท่ีในแนวเสน้ตรง ดังกล่าวขา้งต้น แนวการ เคล่ือนท่ี ( ดจูากรูป )

 

  ก. หาระยะสงูสดุของวตัถจุากจุดเริม่ต้น (H)

                พจิารณาแนวดิ่ง;  จากสมการ                      

                                                                 

                                                                  

                                                                             

 ข. หาเวลา ท่ีวตัถใุชใ้นการเคล่ือนท่ีถึงจุดสงูสดุ

                พจิารณาแนวดิ่ง;  จากสมการ     

                ท่ีจุดสงูสดุ ความเรว็ในแนวดิ่ง  

                                                                  

                                                                                  

                เวลาที่วตัถอุยูใ่นอากาศทัง้หมด  =  2  =             

  ค. หาระยะทางในแนวราบท่ีวตัถเุคล่ือนท่ีไปได้ไกลท่ีสดุ  

                 พจิารณาในแนวราบ ; จากสมการ      

                                                                        

                                                                         

                                                                                 

 

การคำานวณเมื่อเกี่ยวขอ้งกับมวลและแรง

 

วเิคราะหก์ารเคล่ือนที่ของวตัถมุวล     ท่ีถกูยงิออกไปด้วยความเรว็ต้น  ทำามุม กับแนวระดับ ท่ีระดับ

ความสงู เมื่อไมค่ิดแรงพยุง หรอืแรงต้านของอากาศ   ก. วตัถมุคีวามเรว็ต้น ในแนวราบ ( )  

          วตัถมุวล   ท่ีถกูยงิออกไปด้วยแรง       ทิศลงในแนวดิ่ง พจิารณาจากการเคล่ือนที่ในแนวราบ-แนวด่ิง

แนวราบ         ดังนัน้        วตัถมุคีวามเรว็ในแนวราบคงท่ี

แแนวดิ่ง      ดังนัน้วตัถมุคีวามเรง่คงท่ี    และมคีวามเรว็ต้นในแนวดิ่ง  

วตัถมุคีวามเรว็ในแนวราบ     และความเรว็ในแนวดิ่ง พรอ้มกันทำาใหว้ตัถเุคล่ือนท่ีในแนวโค้ง (แบบโพรเจกไทล์) (ดังรูป)

 ความเรว็   ของวตัถขุณะเวลาใด ๆ   หาได้จาก

                                                                     

หรอื                                                                              ...........

การกระจดั จากจุดเริม่ต้น   0 ขณะเวลาใด ๆ หาได้จาก

หรอื                                                                          ..................

เวลาท่ีวตัถใุชใ้นการเคล่ือนท่ีทัง้หมด หาได้จาก  

   

             กรณียงิวตัถใุนแนวระดับด้วยความเรว็ต้นต่างกัน    แนวการเคล่ือนท่ีจะเป็นดังรูป (ข) แต่ความเรว็ในแนวดิ่ง ขณะเวลาใด ๆ เท่ากัน ตกถึงพื้นพรอ้มกัน ใชเ้วลาเท่ากัน แต่กระทบพื้นตำาแหน่งต่างกัน                    

ข. วตัถมุคีวามเรว็ต้น   ทำามุมก้มกับแนวระดับ  

 

แตกความเรว็ ออกในแนวราบ    และในแนวดิ่ง    (ดังรูป ) จะได้

ในแนวราบ   

ความเรว็ในแนวราบคงท่ี  

ในแนวดิ่ง     ดังนัน้

ความเรว็ในแนวดิ่งขณะใด ๆ

แตกความเรว็ ออกในแนวราบ    และในแนวดิ่ง    (ดังรูป ) จะได้

ในแนวราบ   

ความเรว็ในแนวราบคงท่ี  

ในแนวดิ่ง     ดังนัน้

ความเรว็ในแนวดิ่งขณะใด ๆ

  วตัถมุคีวามเรว็คงที่ในแนวราบ และมคีวามเรง่คงท่ีในแนวดิ่ง   พรอ้มกันในสองแนวแกน แนวการเคล่ือนที่ของวตัถจุงึเป็นเสน้โค้งแบบโพรเจคไทด์ (ดังรูป)

ขนาดของความเรว็ และการกระจดั ของวตัถใุนเวลาใด ๆ หาได้จาก

      

         

                       โดยที่                         

                      และ                             

เวลาท่ีวตัถกุระทบพื้น คิดได้จากการเคล่ือนที่ในแนวดิ่ง  ;

ค . วตัถมุคีวามเรว็ต้น       ทำามุมเงย

 

แตกความเรว็ ออกในแนวราบ    และในแนวดิ่ง   (ดังรูป ) จะได้

ในแนวราบ   

ความเรว็ในแนวราบคงท่ี  

ในแนวดิ่ง     ดังนัน้

ความเรว็ในแนวดิ่งขณะใด ๆ

ความเรว็ ณจุดสงูสดุ ;  ;

  ทิศทางทำามุม    กับแนวระดับ   ;      

  ขนาดของความเรว็ และการกระจดั ของวตัถใุนเวลาใด ๆ หาได้จาก

      

         

                       โดยที่                                             

                      และ                                                 

ทิศทางทำามุมกับแนวระดับ ;                                 

เวลาท่ีวตัถกุระทบพื้น คิดได้จากการเคล่ือนที่ในแนวดิ่ง  ;

           

สมการที่เกี่ยวขอ้งกับการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์

ในแนวราบ

เนื่องจากในแนวราบวตัถเุคล่ือนท่ีด้วยความเรว็สมำ่าเสมอ ค่าคงที่   และ     a=0   ดังนัน้สมการท่ีเกี่ยวขอ้ง

จงึมสีมการเดียว คือ

    และ                  

                           

ในแนวดิ่ง

 เนื่องจากในแนวดิ่งวตัถเุคล่ือนท่ีด้วยความเรง่คงท่ี (g)

     

           

    

 และในการหาความเรว็ในขณะใด ๆ หาได้จาก

                           

 การหาการกระจดัในเวลาใด ๆ หาได้จาก

                               

  

                                                                                                     

การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์

 

โพรเจกไทล์ (Projectile) หมายถึง วตัถท่ีุขวา้งหรอืยงิออกไป ทัง้น้ีในบรเิวณใกล้ผิวโลกตามปกติการเคล่ืนท่ีของวตัถดัุงกล่าวจะสงัเกตได้ วา่มวีถิีโค้ง การเคล่ือนท่ีตามรูปแบบที่วตัถดัุงกล่าวเคล่ือนที่ท่ีไป โดยเฉพาะเมื่อ ไมม่แีรงต้านทานของอากาศหรอืแรงต้านทานมผีลน้อยจนไมต้่องนำามาคิด จะเรยีกวา่ การเคล่ืนท่ีแบบโพรเจกไทล์ ในกรณีที่แรงต้านทานของอากาศมผีลต่อการเคล่ือนไหวที่เนื่องจากวตัถเุบา หรอืเนื่องจากการเคล่ือนที่เรว็และมกีารหมุน วถิีการเคลบื่อนท่ีจะแตกต่างออกไปจากการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์และไมน่ับ เป็นการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ เชน่ การเคล่ืนท่ีของลกูแบดมนิตัน ลกูกอล์ฟ

การเคล่ือนที่แบบโปรเจกไทล์เป้นการเคล่ือนไหวแบบ 2 มติิ คือ เคล่ือนที่ในระดับและแนวดิ่งพรอ้มกัน ในแนวดิ่งเป็นการเคล่ือนท่ีที่มคีวามเรง่เน่ืองจากแรงโน้มถ่วงของโลก ในขณะท่ีแนวราบไมม่คีวามเรง่เพราะไมม่แีรงกระทำาในแนวระดับ

การเคล่ือนที่ของโพรเจกไทล์มลัีกษณะ  ดังน้ี

          1.  การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์มแีนวการเคล่ือนที่เป็นเสน้โค้งพาราโบ ลา  เนื่องจากค่าการกระจดัในแนวดิ่งแปรผันตามกับค่ากำาลังสอง ของการกระจดัในแนวระดับ หรอื  Sy = kSx2 ซึ่ง เป็นความสมัพนัธข์องกราฟพาราโบลา

          2.  การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์นัน้  เสมอืนกับวา่ประกอบ ไปด้วยการเคล่ือนท่ีทัง้ในแนวดิ่ง (แกน y)  และในแนวระดับ (แกน x) ไปพรอ้มๆกัน 

                 1)  แรงลัพธใ์นแนว ระดับ (แกน x) ท่ีกระทำาต่อวตัถมุคี่าเป็นศุนย ์แสดงวา่ วตัถจุะมคีวามเรว็ในแนวระดับคงตัว  สามารถคำานวณจากสตูร 

2)  เนื่องจากแรงลัพธใ์นแนวดิ่ง (แกน y) ท่ีกระทำาต่อวตัถมุคี่าเท่ากับ mg แสดงวา่ วตัถจุะมคีวามเรง่ของการเคล่ือนท่ีในแนวดิ่ง มทิีศลงเป็น g       สามารถคำานวณจากสตูร

  3.  การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์  เวลาท่ีใชใ้นการเคล่ือนท่ีในแนวดิ่ง (แกน y) และแนวระดับ (แกน x) จะเท่ากันเสมอ  เน่ืองจากเกิดขึ้นพรอ้มกัน

 4.  การ กระจกัลัพธ ์และทิศทาง  สามารถคำานวณจาก

 5.  ความเรว็ของวตัถใุนแนวเสน้สมัผัส  สามารถคำานวณจาก

 

ขอ้มูลจาก http://hongjang.exteen.com/20080806/entry-1

การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์

          โพรเจกไทล์ (projectile) ในภาษาอังกฤษหมายถึงวตัถทุี่ขวา้งหรอืยงิออกไป เชน่  ก้อนหนิที่ถกูขวา้งออกไปหรอืลกูกระสนุที่ถกูยงิออกไป  ทัง้นี้ในบรเิวณใกล้ผิวโลกตามปกติการเคล่ือนที่ของวตัถดัุงกล่าวจะสงัเกตได้วา่มวีถีิโค้ง แต่จะโค้งอยา่งใด

โดยละเอียดและทำาไมจงึโค้งเชน่นัน้จะได้ศึกษากันต่อไป  การเคล่ือนที่ตามรูปแบบท่ีวตัถดุังกล่าวเคล่ือนที่ไป โดยเฉพาะเมื่อไมม่แีรงต้านทานของอากาศหรอืแรงต้านทานมผีลน้อยจนไมต้่องนำามาคิด  จะเรยีกวา่

การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ (projectile motion)  ในกรณีที่แรงต้านทานของอากาศมผีลต่อการเคล่ือนที่เนื่องจากวตัถเุบา หรอืเนื่องจากเคล่ือนที่เรว็และมกีารหมุน วถีิการเคล่ือนที่จะแตกต่างออกไปจากการเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์และไม่นับเป็นการเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์  เชน่  การเคล่ือนที่ของลกูแบดมนิตัน  ลกูกอล์ฟ ลกูฟุตบอลที่หมุน ฯลฯ

          การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์เป็นการเคล่ือนที่ใน  2  มติิ  คือเคล่ือนที่ในแนวระดับและแนวดิ่งพรอ้มกัน  ในแนวด่ิงเป็นการเคล่ือนที่ที่มคีวามเรง่เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของโลก  (ซึ่งสมำ่าเสมอในบรเิวณใกล้ผิวโลก)  ในขณะที่การเคล่ือนที่ในแนวราบไมม่ีความเรง่เพราะไมม่แีรงกระทำาในแนวระดับ  ทำาใหเ้สน้ทางการเคล่ือนที่เป็นแนวโค้ง  เสน้ทางการเคล่ือนท่ีของโพรเจกไทล์จะมลัีกษณะเป็นเสน้โค้งแบบพาราโบลา  เราสามารถศึกษาแนวการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์ได้ดังการทดลอง  4.1  ท้ายบทน้ี 

รูป  4.1  เสน้ทางการเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์   

          จากการทดลองใหล้กูกลมโลหะกล้ิงลงมาตามรางเขา้ชนเป้า  และทำาเครื่องหมายบนกระดาษกราฟใหต้รงกับจุดที่ลกูกลมกระทบเป้า  ถ้าเล่ือนเป้าไปหลายตำาแหน่ง แล้วลากเสน้ผ่านจุดบนกระดาษกราฟ  จะได้เสน้ทางการเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ของลกูกลมโลหะ  อุปกรณ์ดังแสดงในรูป  4.2 

รูป  4.2  เครื่องมอืสำาหรบัหาแนวการเคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์   

          ถ้ากำาหนดใหจุ้ดแรกของการชนบนกรดาษกราฟเป็นจุดกำาเนิดของแกน  x  และ แกน  y  ดังรูป  4.2  วดัการกระจดั  x  ในแนวระดับ  และการกระจดั  y  ในแนวดิ่งของจุดต่างๆ  แล้วเขยีนกราฟระหวา่ง  y  กับ   ซึ่งจะได้กราฟเสน้ตรงผ่านจุดกำาเนิด

              ดังนัน้     หรอื      เมื่อ  k เป็นค่าคงตัวของการแปรผัน

          เนื่องจาก  รูปสมการ   เป็นสมการพาราโบลา  แสดงวา่แนวการเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์มแีนวการเคล่ือนที่เป็นเสน้โค้งพาราโบลา  โดยมกีารกระจดัทัง้แนวด่ิงและแนวระดับพรอ้มกัน

          จะเหน็วา่การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์มทีัง้การเคล่ือนที่ในแนวดิ่งและแนวระดับพรอ้มกัน  การเคล่ือนที่ทัง้สองแนวมคีวาม

สมัพนัธก์ันอยา่งไร  และโพรเจกไทล์เคล่ือนท่ีด้วยความเรง่  เชน่เดียวกับวตัถแุบบเสรหีรอืไม ่ ใหศึ้กษาจากกิจกรรมต่อไปน้ี

รูป  4.3   การวางเหรยีญท่ีขอบโต๊ะและบนไมบ้รรทัด  

          นำาเหรยีญขนาดเท่ากันมา  2  เหรยีญโดยวางเหรยีญแรกไวท้ี่ขอบโต๊ะ  อีกเหรยีณหนึ่งวางบนไมบ้รรทัดที่วางราบและยื่นออกนอกขอบโต๊ะดังรูป  4.3  ใชม้อืหน่ึงกดไมบ้รรทัดที่อยูบ่นโต๊ะ  อีกมอืหน่ึงจบัไมบ้รรทัดอีกอันหน่ึงใหอ้ยูใ่นแนวดิ่ง  ใชส้นัไมบ้รรทัดในแนวดิ่งเคาะที่สนัไมบ้รรทัดที่วางอยูบ่นโต๊ะ  ใหเ้คล่ือนที่ไปในแนวระดับอยา่งรวดเรว็ ทำาใหเ้หรยีญบนไมบ้รรทัดตกแบบเสร ี และเหรยีญที่วางบนโต๊ะเคล่ือนที่ออกไปในแนวระดับจากขอบโต๊ะ ซึ่งเป็นการเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ดังรูป  4.4  ฟงัเสยีงที่เหรยีญทัง้สองตกกระทบพื้นวา่พรอ้มกันหรอืไม่  อาจทำาซำ้าโดยใชค้วามเรว็ในการปัดไมบ้รรทัดขนาดต่างๆ กัน  จะพบวา่เหรยีญทัง้สองตกถึงพื้นพรอ้มกันจนได้ยนิเป็นเสยีงเดียวหรอืเกือบเป็นเสยีงเดียวซึ่งเวลาท่ีแตกต่างกันน้อยมาก 

รูป  4.4  เหรยีญตกแบบเสรแีละเหรยีญเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์   

          เหรยีญบนโต๊ะที่ถกูปัดด้วยขนาดของแรงไมเ่ท่ากัน เหรยีญหน่ึงจะมคีวามเรว็เริม่ต้นในแนวระดับต่างกันเหรยีญที่มคีวามเรว็ในแนวระดับมาก จะตกถึงพื้นในระยะทางไกลกวา่เหรยีญท่ีมคีวามเรว็ในเรว็ระดับน้อยกวา่  สำาหรบัเวลาในการเคล่ือนที่  พบวา่เหรยีญท่ีตกในแนวด่ิงแบบเสร ี และเหรยีญที่เคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ตกถึงพื้นพรอ้มกันทกุกรณี  แสดงวา่ชว่งเวลาที่ใชใ้นการตกถึงพื้นของ

เหรยีญที่ตกในแนวดิ่งแบบเสรกีับเหรยีญที่เคล่ือนท่ีแบบโพรเจกไทล์มค่ีาเท่ากัน  ทำาใหส้รุปได้วา่  การเคลื่อนท่ีในแนวด่ิงของการเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์  เป็นเชน่เดียวกับการตกในแนวด่ิงและไม่ขึน้กับความเรว็ในแนวระดับของโปรเจกไทล์

          ต่อไปทดลองเชน่เดิมแต่โดยเปล่ียนความสงูของโต๊ะ  เวลาที่เหรยีญตกถึงพื้นจะเปล่ียนไป  แต่เหรยีญทัง้สองก็ยงัคงตกถึงพื้น

พรอ้มกันเชน่เดิม  สรุปได้วา่เหรยีญท่ีเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์จะเคลื่อนท่ีตัวด้วยความเรง่    เชน่เดียวกับเหรยีญท่ีตกแบบเสร ีและแสดงวา่การเคลื่อนท่ีในแนวระดับไมม่ี

ผลต่อการเคล่ือนท่ีในแนวด่ิง หรอืกล่าววา่การเคลื่อนท่ีท้ังสองแนวเป็นอิสระต่อกัน          สรุปได้วา่   วตัถท่ีุเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์  มกีารเคล่ือนท่ีในแนวด่ิงและแนวระดับพรอ้มๆ กัน การเคล่ือนท่ีในแนวด่ิงเป็นการเคลื่อนท่ีเป็นการเคลื่อนท่ีด้วยความเรง่คงตัว  สว่นการเคลื่อนท่ีในแนวระดับเป็นการเคลื่อนท่ีด้วยความเรว็คงตัวเพราะไมม่แีรงลัพธใ์นแนวระดับกระทำา   ในการวเิคราะหก์ารเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์  เราสามารถพจิารณาการเคล่ือนท่ีทัง้สองแนวแยกจากกันได้

การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ในแนวระดับ          การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ของวตัถทุี่เคล่ือนที่ด้วยความเรว็ต้นในแนวระดับ จะมเีสน้ทางเคล่ือนที่เป็นเสน้โค้งพาราโบลา  ดัง

รูป  4.5  และเคล่ือนที่ด้วยความเรว็ในแนวระดับคงตัวตลอดเวลาเพราะไมม่คีวามเรง่ในแนวน้ี 

รูป  4.5  การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ด้วยความเรว็ต้นในแนวระดับ   

          จากรูป  4.5  ใหแ้กน  x  เป็นแนวการเคล่ือนที่วตัถตุามแนวระดับ  แกน  y  เป็นแนวการเคล่ือนที่ของวตัถตุามแนวดิ่ง เป็นความเรว็ชองวตัถใุนแนวระดับซึ่งมคี่าคงตัวถ้าใหว้ตัถอุยูท่ี่ตำาแหน่ง   B  เมื่อเวลาผ่านไป  t  จะได้การกระจดัในแนวระดับเป็น                                                                                                     (4.1)

การเคลื่อนท่ีแบบโพรเจกไทล์ในแนวด่ิง          จากรูป  4.5  เมื่อพจิารณาการเคล่ือนที่ในแนวดิ่ง  ซึ่งเป็นการตกแบบเสร ี วตัถ ุจะเคล่ือนที่ลงด้วยความเรง่  g  ความเรว็ของวตัถใุนแนวดิ่งที่ตำาแหน่ง  A,B,C  จงึไมเ่ท่ากัน  เราสามารถหาความเรว็ในแนวดิ่ง  ที่ตำาแหน่ง  B  คือ  ได้จากสมการ v = u + at และเน่ืองจากความเรว็ในตอนเริม่ต้นการเคล่ือนที่ในแนวดิ่งเป็นศูนย์  จงึได้                                                    . สว่นการกระจดัในแนวดิ่งที่ตำาแหน่ง  B คือ  หาได้จากสมการ เป็น

                                                                                         (4.2)

ตัวอยา่ง  4.1    ถ้าถือปืนที่ยงิด้วยแรงอัดของสปรงิเล็งไปยงัเป้า  โดยใหล้ำากล้องปืนขนานกับพื้นและสงูจากพื้น  6.0  เมตร  สว่นปากลำากล้องปืนหา่งจากเป้า  4.0  เมตร  เมื่อทำาการยงิลกูปืนที่ออกจากปากลำากล้องปืนด้วยความเรว็  5.0  เมตรต่อวนิาที  ในขณะเดียวกันเป้าตกแบบเสรสีูพ่ื้น  ขณะลกูกลมเหล็กกระทบเป้า เป้าอยูส่งูจากพื้นเท่าใด 

รูป  4.6  ยงิเป้าขณะตกแบบเสรี

วธิทีำา          สมมติลกูเหล็กกระทบเป้าเมื่อเป้าตกลงมาถึงระดับท่ีสงูจากพื้น  h  เมตร   เวลาที่ลกูเหล็กเคล่ือนที่ในแนวระดับในตระยะทาง  4.0  เมตร  ด้วยความเรว็คงตัวที่ได้ระยะทางนัน้                                                                       ระยะ              =           อัตราเรว็  x  เวลาท่ีเคล่ือนที่ได้ระยะทางนัน้                                  แทนค่าจะได้          4.0    m               =            (5.0   m/s)     t                                                                           T                =            0.8    sเนื่องจากลกูเหล็กและเป้าต่างใชเ้วลาเท่ากันในการเคล่ือนที่จากระดับความสงูเดียวกันลงสูต่ำาแหน่งที่ระดับความสงูเดียวกัน  ซึ่งในที่น้ีคือ  0.8  วนิาที  ดังนัน้ในขณะที่ทัง้สองเคล่ือนท่ีมากระทบกันจะหาระยะที่ลกูเหล็กตกลงมาในเวลา   0.8  วนิาทีได้จาก  

                                                              (6.0 - h ) m            =                                                                                                  =   3.1    m   ขณะลกูเหล็กกระทบเป้า   ความสงูของเป้าจากพื้นคือ  h     =    6.0   m  -  3.1  m    =   2.9   m                                 คำาตอบ   เป้าอยูส่งูจากพื้น   2.9  เมตรขณะลกูเหล็กกระทบเป้า

ระยะทางแนวระดับของโพรเจกไทล์

          การวเิคราะหก์ารเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ที่ผ่านมานัน้  วตัถเุริม่เคล่ือนที่ด้วยความเรว็ต้นในแนวระดับ  ต่อไปจะศึกษาการเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ที่มคีวามเรว็ต้นของวตัถอุยูใ่นทิศทำามุมกับแนวระดับดังที่เหน็ในการพุง่แหลน  การทุ่มนำ้าหนัก  เป็นต้น 

รูป  4.7  เคลื่อนท่ีด้วยความเรว็ต้นในทิศทำามุม กับแนวระดับ

        ในวตัถเุคล่ือนที่ออกจากจุดกำาเนิดของระบบแกนมุมฉาก  x , y  ด้วยความเรว็ต้น  ในทิศทำามุม  กับแกน  x  หรอืพื้นระดับการเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์น้ีเป็นแนวการเคล่ือนท่ีแบบโค้งพาราโบลาควำ่า  ดังรูป  4.7  การวเิคราะหก์ารเคล่ือนที่ในลักษณะน้ีจะแยกแกเป็นการเคล่ือนที่ในแนวดิ่งด้วยความเรง่คงตัว   และการเคล่ือนที่ในแนวระดับด้วยความเรว็คงตัว

          การเคล่ือนที่ในแนวระดับ  วตัถจุะเคล่ือนที่ในแนวระดับด้วยความเรว็คงตัว  ซึ่งเป็นความเรว็องค์ประกอบของ  ในแนวระดับ  ถ้าวตัถเุคล่ือนท่ีได้การกระจดัในแนวระดับ ในแนว  t  จะได้  

                    การเคล่ือนที่ในแนวดิ่ง  ในการเคล่ือนที่ในแนวดิ่งจะมปีรมิาณท่ีเกี่ยวขอ้งกับการเคล่ือนที่ทัง้ทิศขึ้นและลงในแนวดิ่ง  ดังนัน้  จงึกำาหนดใหป้รมิาณที่มทีิศขึ้นในแนวดิ่งมเีครื่องหมาย  +  และปรมิาณท่ีมทีิศลงในแนวดิ่งมเีครื่องหมาย  -                      พจิารณาชว่งเวลา  t  ที่วตัถเุคล่ือนที่ขึ้นจนกระทัง่ตกถึงพื้นระดับโดยการเคล่ือนที่มคีวามเรว็ต้นเป็น  และความเรง่ - g และเน่ืองจากจุดเริม่ต้นและจุดสดุท้ายของการเคล่ือนที่อยูใ่นระดับเดียวกันจงึได้การกระจดัเป็นศูนย์  ดังนัน้จาก 

                              จะได้             

                              แทนค่า  เป็นศูนยไ์ด้  t          

                    ชว่งเวลา  น้ีเป็นชว่งเวลาเดียวกันกับชว่งเวลาที่วตัถเุคล่ือนท่ีในแนวระดับจากจุดเริม่ต้นถึงจุดสดุท้าย    ดังนัน้ระยะทางที่วตัถเุคล่ือนที่ได้ในแนวระดับ<b>จากเริม่ต้นจนตกถึงพื้นระดับเดิม หรอื ระยะตก (range)</b> ของวตัถจุะเป็น

                                                  

                                                  

                                                                                            (4.3)                    นัน่คือ  ระยะทางที่เคล่ือนที่ได้ในแนวระดับหรอืขนาดการกระจดัของวตัถใุนแนวระดับ สำาหรบัขนาดความเรว็ต้นค่าหน่ึงๆ จะขึ้นอยูก่ับมุม ซึ่งเป็นมุมที่ความเรว็ต้นทำากับแนวระดับ  <b>มุมที่ทำาให ้ มค่ีาได้สงูสดุคือเมื่อ  มค่ีาสงูสดุคือ  1  และได้  </b>

          ตัวอยา่ง  4.2   การแขง่ขนัทุ่มนำ้าหนัก  นักกีฬาคนหน่ึงทุ่มลกูนำ้าหนักด้วยความเรว็ต้น  10  เมตรต่อวนิาที  ในทิศทำามุม  42  องศากับพื้น  ลกูนำ้าหนักจะขึ้นไปสงูสดุจากพื้นเท่าใด  และตกหา่งจากจุดเริม่ต้นกี่เมตรในแนวระดับ  ถ้าลกูนำ้าหนักเคล่ือนที่ออกจากมอืนักกีฬาในขณะอยูส่งูจากพื้น  1.80  เมตร กำาหนด  และ

          วธิทีำา  แยกแนวการเคล่ือนที่ของลกูนำ้าหนักเป็นแนวระดับและแนวดิ่ง  โดยความเรว็ในแนวระดับมค่ีาคงตัวเท่ากับความเรว็องค์ประกอบในแนวระดับของความเรว็ต้นและความเรว็เริม่ต้นในแนวด่ิงเท่ากับความเรว็องค์ประกอบในแนวดิ่งของความเรว็ต้นที่มีค่า  10  m/s

รูป  4.8  แสดงแนวทางการเคลื่อนท่ีของลกูนำ้าหนัก   

          การเคลื่อนท่ีในแนวด่ิง           กำาหนดปรมิาณท่ีมทีิศในแนวดิ่งขึ้นเป็น  +  และแนวดิ่งลงเป็น  -  และใหร้ะยะสงูสดุของลกูนำ้าหนักเมื่อเทียบกับระดับเริม่ต้น

เคล่ือนที่ เป็น  h  ในที่น้ีลกูนำ้าหนักมคีวามเรว็ต้น  u  ในแนวดิ่งซึ่งเท่ากับ  และความเรง่เป็น  -9.8 โดยมีความเรว็สดุท้ายท่ีตำาแหน่งสงูสดุเป็นศูนย์จาก            = + 2asแทนค่า        (h m)                   h = 2.28 mเนื่องจากขณะที่เริม่เคล่ือนที่ ลกูนำ้าหนักอยูส่งูจากพื้น  1.80 m  ดังนัน้ลกูนำ้าหนักจะขึ้นไปสงูสดุจากพื้น     =    1.80   m    +   2.28  m    =  4.08    m

                    คำาตอบ  ลกูนำ้าหนักขึ้นไปสงูสดุจากพื้น  เท่ากับ  4.08  เมตร

          การเคลื่อนท่ีในแนวระดับ          เนื่องจากชว่งเวลาของการเคล่ือนท่ีในแนวระดับ  จะเท่ากับเวลาท่ีลกูนำ้าหนักเคล่ือนท่ีในแนวด่ิง  นับตัง้แต่ลกูเหล็กออกจากมอื

ถึงจุดสดุท้าย  จะได้  การกระจดั  = -1.80 m โดยลกูนำ้าหนักมคีวามเรว็ต้น และความเรง่ 

เราสามารถหาชว่งเวลา t 0 นับตัง้แต่ลกูนำ้าหนักออกจากมอืจนตกถึงพื้นได้จาก

แทนค่า        -1.80 =                                                                                         t    =     1.59       sสำาหรบัการกระจดัในแนวระดับ   หาได้จาก  

แทนค่า                                                     ได้                                                                           =       11.82      m          คำาตอบ   ลกูนำ้าหนักตกหา่งจากจุดเริม่ต้นในแนวระดับ   11.82  เมตร

          การเคล่ือนที่แบบโพรเจกไทล์ที่กล่าวมาน้ีไมไ่ด้คิดถึงแรงต้านจากอากาศและแรงอ่ืนๆ  เชน่  แรงลม  แรงหนึด  ความแตกต่างของสนามโน้มถ่วง ฯลฯ  ซึ่งต่างก็มผีลต่อการเคล่ือนที่ของโพรเจกไทล์ทัง้สิน้  แนวการเคล่ือนที่ของวตัถทุี่คิดถึงแรงต่างๆ เหล่าน้ีจงึมกัไมเ่ป็นพาราโบลาที่สมบูรณ์  เชน่  ลำานำ้าที่ถกูฉีดออกจากท่อนำ้าดับเพลิงหรอืสายยางรดนำ้าต้นไม ้ถ้าไมคิ่ดแรงต้านอากาศแนวการเคล่ือนที่ของลำานำ้าจะเป็นเสน้โค้งพาราโบลา แต่ความเป็นจรงิอากาศมแีรงต้านทานต่อการเคล่ือนที่ของลำานำ้า  ดังนัน้แนวการเคล่ือนที่ของลำานำ้าอาจจะไมเ่ป็นเสน้โค้งพาราโบลา ดังรูป  4.9  โดยเฉพาะเมื่อปลายลำานำ้าแตกเป็นฝอย  อยา่งไรก็ตามความรูเ้กี่ยวกับโพรเจกไทล์  สามารถใชท้ำานายการเคล่ือนท่ีของโพรเจกไทล์ได้โดยประมาณอาจได้ผลถกูต้องพอควรสำาหรบัโพรเจกไทล์ที่แรงต้านอากกาศมีผลต่อการเคล่ือนที่น้อย