Úvodní informace matematické modelování

Úvodní informace Matematické modelování Matematické metody pro ITS (11MAMY)Jan Pikryl, Bohumil Ková
1. pednáška 11MAMY úterý 27. února 2018
verze: 2018-02-26 22:40
• Dr. Ing. Jan Pikryl ([email protected]) pednášky nepravideln blokov, út–t 9:45–14:45, K404 (Konvikt)
Cviící:
• Dr. Ing. Jan Pikryl ([email protected]) cviení nepravideln blokov, út–t 9:45–14:45 B102 (Horská)
Garant pedmtu:
Cviení: Pravidla jsou na stránkách pedmtu.
Cviení pro druhý zápis: Zatím naštstí nemáme.
1 VELTEN, Kai. Mathematical modeling and simulation: introduction for scientists and engineers. John Wiley & Sons, 2009.
2 OGATA, Katsuhiko. Modern control engineering. Prentice Hall PTR, 2001.
3 OPPENHEIM, Alan V., Alan S. WILLSKY a Syed Hamid NAWAB. Signals and Systems. 2. vyd. Upper Saddle River: Prentice Hall, 1997, 957 s. ISBN 01-381-4757-4.
4 JAMES, Gareth, et al. An introduction to statistical learning. New York: Springer, 2013.
5 DANGELMAYR, Gerhard a KIRBY, Michael. Mathematical Modeling – A Comprehensive Introduction. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2005.
O pedmtu
Literatura II
6 HEATH, Michael T. Scientific computing – An Introductory Survey. 2. vyd. New York: McGraw-Hill, 2002.
7 BERTSEKAS, Dimitri P. Dynamic programming and optimal control. Belmont, MA: Athena Scientific, 1995.
8 KARBAN, Pavel. Výpoty a simulace v programech Matlab a Simulink. Brno: Computer Press, 2006.
9 Informace o prostedí MATLAB http://zolotarev.fd.cvut.cz/mni/ http://zolotarev.fd.cvut.cz/msp/ http://www.fd.cvut.cz/personal/nagyivan/PrpStat/Prp/ MatIntro.pdf
Zápoet a zkouška
Celkový poet bod, které lze získat, je 40. Poet bod, které studenti mohou získat ze semestru, je 20. Zkouška sestává z písemného testu (20 bod).
Zápoet udlujeme od 10 bod ze semestru výše za pedpokladu, e studentu uspje v úvodním testu.
Body jsou rozdleny následovn:
• 10 bod za implementaci jednoduchého modelu z oblasti ITS, • 10 bod za aktivitu v semestru.
Semestrální projekt je skupinový – skupiny po tech studentech.
O pedmtu
Znalosti vstupní
Toto jsou znalosti, u nich pedpokládáme, e je ovládáte. Jejich neznalost se neomlouvá.
1 Znalost základních pojm a operací s vektory a maticemi 2 Znalost práce s komplexními ísly a základ funkcí komplexní
promnné 3 Znalost vlastností trigonometrických, hyperbolických,
exponenciálních funkcí 4 Znalost výpotu sout nekonené ady, derivace a integrál
funkce jedné promnné 5 Znalost práce se zlomky, algebraickými výrazy a bné
stedoškolské matematiky 6 Základní znalosti prostedí SCILAB/MATLAB (v rozsahu
pedmt 11PT a 11STS)
1 Znalost základních princip matematického modelování a matematické teorie ízení
2 Základní znalosti o typech model a jejich uití 3 Základní znalosti o mení a pedzpracování dat 4 Povdomí o lineární optimalizaci, multikriteriální oprimalizaci a
dynamickém programování 5 Znalost modelování asových ad 6 Znalost prostedí MATLAB/SIMULINK pro modelování
dynamických systém a ešení soustav nelineárních diferenciálních a diferenních rovnic
Matematické modelování systém Iterace Spojité Diskrétní Odezva systému
Obsah pednášky
Klasifikace model
Fáze modelování
Model systému
5 Základní spojité signály
6 Základní diskrétní signály
Matematické modelování systém Co je to vlastn?
Modely popisují naše pesvdení o tom, jak svt funguje.
Provázejí nás od nepamti:
• obyejná mapa je dvourozmrný model pohledu na krajinu, • modely plánovaných budov ze sádry a deva.
Vtšinou jde o zjednodušení reality: postihují jen to, co nás pro studium daného problému opravdu zajímá. Pro nás nepodstatné detaily model zanedbává.
Matematické modelování systém Role matematiky
V matematickém modelování naše pesvdení o fungování svta pekládáme do jazyka matematiky.
Má to adu výhod:
1 Matematika je velmi pesný jazyk. 2 Matematika je výstiný jazyk s dobe definovanými pravidly
pro manipulaci s výrazy. 3 Všechny dívjší výsledky jsou nám k dispozici a meme je
pro náš model vyuít. 4 K provedení numerických výpot meme dnes pouít
poítae.
Matematické modelování systém Nutné kompromisy
Znanou ást matematického modelování tvoí kompromisy.
Vtšina reálných systém je píliš sloitá.
Kompromis #1: Snaha identifikovat nejdleitjší ástí systému – ty budou do modelu zahrnuty, zbytek bude zanedbán.
Matematicky lze v naprosté obecnosti dokázat mnoho, ale pouitelnost výsledk závisí kriticky na form pouitých rovnic. K jejich vyíslení pouíváme poítae, a ty nejsou nikdy zcela pesné.
Kompromis #2: Pouijeme-li k manipulaci s rovnicemi vytváeného modelu poíta, nemusí to sice vést k elegantním výsledkm, ale je to mnohem odolnjší vi zmnám.
Matematické modelování Cíle
1 Rozvoj vdeckého poznání – prostednictvím kvantitativního vyjádení souasných znalostí o systému (stejn jako znázornit to, co víme, meme také ukázat, co nevíme);
2 Testování vlivu zmn v systému 3 Získat informace pro podporu rozhodování, vetn
1 taktických rozhodnutí manaer 2 strategických rozhodnutí plánova
Modely Klasifikace model
Nízká Vysoká
Klasifikace model
Pohyb planet zaloený na Newtonovské mecha- nice, popsané diferenciál- ními rovnicemi
Stochastický Analýza rozptylu výnos odrd pes lokality a roky
Genetika malých popu- lací zaloená na Mende- lovské ddinosti popsané pravdpodobnostními rovnicemi
Fáze modelování Marion, Lawson (2003)
tyi hlavní fáze.
Modelovací projekty nepostupují plynule od fáze tvorby modelu a po jeho pouití.
Pokud dojde ke jakýmkoliv zmnám modelu, pak se fáze studia a testování musí opakovat.
Sestavení Studium Testování Pouití
Systém
oddlit fyzickou nebo myšlenkovou hranicí, • systém se skládá z podsystém, vzájemn propojených
souástí.
Je to ást našeho svta, která se svým okolím njak interaguje, napíklad prostednictvím vstupu a výstupu.
Co je modelování?
Model Za model meme pokládat náhradu nebo zjednodušení skuteného objektu reálného svta z hlediska jeho vlastností a funknosti.
Modelování je moné pouze pokud zavedeme uritý stupe abstrakce a aproximace.
Diskrétní a spojitý model
Tvorba modelu
Tvorba modelu
Pi analýze navreného modelu chceme uinit co moná nejsilnjší rozhodnutí na základ malého mnoství dat. Správnost našeho návrhu je nutné statisticky vyhodnotit.
Problémy:
1 Významné diference ve sledovaných parametrech mohou být zpsobeny špatným návrhem modelu, pípadn mením dat
2 Je tké rozlišit, zda diference v datech jsou skutené nebo zpsobené „náhodným vlivem“.
Svt dopravy se neobejde bez mení . . .
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 −0.8
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
a te jeho zvuk zvuk auta
var ocgs=host.getOCGs(host.pageNum);for(var i=0;i<ocgs.length;i++){if(ocgs[i].name=='MediaPlayButton0'){ocgs[i].state=false;}}
5.276747
Pro modelování systém?
• Jak ovíme správnost výpotu rychlosti šíení ptaí chipky? • Jak ovíme pevnost nového mostu? • Jak ovíme bezpenost softwaru zabezpeovacího zaízení? • Jak pedpovíme dopravní zácpu na dálnici? • Jak zajistíme spolehlivou funkci navigace pí výpadku signálu
GPS?
Pokud nememe pedem prokázat urité vlastnosti na samotného systému, prokáeme hledané vlastnosti na jeho modelu!
Modely reálného svta Antoni Gaudí
Modely reálného svta Antoni Gaudí
Modely reálného svta VW Polo crash test
Dynamické systémy Definice
Dynamický systém má v kadém okamiku stav, daný mnoinou reálných ísel. Tento stav lze representovat jako bod ve stavovém prostoru.
Evoluní pravidlo (rovnice vývoje stavu) popisuje pechody mezi jednotlivými stavy dynamického systému.
• vtšinou deterministické • me být stochastické
V matematice a fyzice tak nazýváme systémy citlivé na poátení podmínky (dvojité kyvadlo, Lorenzv atraktor)
Dynamické systémy Píklad 1: Kyvadlo
θ + g
Dynamické systémy Píklad 2: Tok kapaliny
∂ρ
Dynamické systémy Píklad 3: Populace
Exponenciální rst
N = rN
Logistický rst
N = rN
( 1− N
Dynamické systémy Píklad 4: Dvojité kyvadlo
By George Ioannidis - Own work, CC BY 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=7920826
Dynamické systémy Píklad 5: Lorenzv atraktor
Vnjší popis dynamických systém
Vnjší popis vychází z popisu systému vektorem vstupu u a vektorem výstupu y.
u(t) S y(t)
u(t)
t
y(t)
t
Systém tak chápeme jako ernou skíku, o jejích vlastnostech se dozvíme pouze tehdy, jestlie budeme zkoumat její reakci na vnjší události (signály, data).
Vnjší model popisujeme diferenciální rovnicí pro systémy se spojitým asem a diferenní rovnicí pro systémy s diskrétním asem. Uvedená rovnice je obecn vyššího ádu, ne 1.
Vnitní popis synamických systém
Vnitní, tzv. stavový popis systému pouívá k popisu dynamiky systému vektor vnitních stav x.
Vektor vstup u a vektor výstupních veliin y jsou druhotné veliiny vnitního popisu.
u(t) x(t) =
Stavové modely popisujeme
• soustavou diferenciálních rovnic prvního ádu pro systémy se spojitým asem a
• soustavou diferenních rovnic prvého ádu pro systémy s diskrétním asem.
Role matematiky
Modelování není samospasitelné:
• výstupy modelu je vdy teba ovovat, • moné chyby jsou jak v modelu, tak i v jeho výpotu.
Verifikace: Poítáme správný model.
Validace: Model poítá správn.
Píklady systém Integraní RC lánek (1/3)
R
Cu1(t) uC(t)
Naptí u1(t) na RC lánku je souet naptí na rezistoru uR(t) a na kapacitoru uC(t):
u1(t) = uR(t) + uC(t).
Proud procházející obvodem i(t) a asový prbh naptí na rezistoru uR(t) je mono vyjádit jako
i(t) = C d dt
uC(t).
Dosazením uR(t) získáme diferenciální rovnici prvního ádu pro asový prbh naptí na kapacitoru uC(t):
RC d dt
uC(t) + uC(t) = u1(t).
α = 1 RC
uC(t) = U0(1− e−αt).
Píklady systém Výstup integraního RC lánku
0 1 2 3 4 5 6 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Píklady systém Píklad variace ceny (1/2)
Rovnice nabídky Nabídka dnes závisí na verejší cen a to tak, e nabídka stoupá s rostoucí cenou. Pro C > 0 platí
n[k] = Cc[k − 1] +Au[k].
Rovnice poptávky Poptávka dnes závisí na dnešní cen a to tak, e poptávka klesá s rostoucí cenou. Pro D > 0 platí
p[k] = −Dc[k] + Bu[k].
Píklady systém Píklad variace ceny (2/2)
Rovnost nabídky a poptávky
n[k] = p[k]
B −A D u[k].
Píklady systém Píklad variace ceny
0 1 2 3 4 5 6 95
100
105
110
115
120
125
cena
Rozdíl mezi lineárním a linearizovaným
D1 D2 S P
Obsah pednášky
Iterace rovnice ceny
B −A D x [k],
odvozenou na pedešlých slajdech pepíšeme do kanonického tvaru
y [k] + γy [k − 1] = βu[k]
a postupnými iteracemi nalezneme pro u[k] = 1[k] a poátení podmínku y [−1] = 0 :
Pro k = 0:
Pro k = 1:
y [1] = β − γy [0] = β − βγ
Pro k = 2:
y [2] = β − γy [1] = β − βγ + βγ2
Pro obecné n:
y [n] + γy [n − 1] = βu[n]
)
y [n] = β
1 + γ =
100
105
110
115
120
125
cena
Obsah pednášky
Obsah pednášky
Diracv impuls Piblíení
Tato funkce je definována na asovém intervalu pro všechna t a její nenulovou hodnotu pedpokládáme pouze v okolí bodu t = 0. Plocha tchto funkcí je rovna 1 pro kadé ε > 0.
δε(t)
Diracv impuls Definice
∫ ∞
Jednotkový skok
Funkce jednotkového skoku bývá obvykle znaena 1(t) a je definována jako
1(t) =
1(t)
t
1
Jednotkový skok Vztah δ(t) a 1(t)
Platí δ(t) =
Exponenciála Reálná
eαt
t
eαt
t
Exponenciála Komplexní
Exponenciální funkce f (t) = A eαt ,
kde α ∈ C, je zajímavá hlavn v pípad, kdy α = iω,
f (t) = A eiωt = A (cosωt + i sinωt) .
Periodická funkce
O spojitém signálu f (t) íkáme, e je periodický s periodou T , jestlie
∀t : f (t + T ) = f (t)
a tedy také pro libovolné k ∈ Z
f (t) = f (t + T ) = f (t + 2T ) = · · · = f (t + k · T )
Nejmenší moné T nazýváme fundamentální perioda, znaíme T0.
Sinusová funkce
A sin(ωt + Φ)
A sin(Φ)
T = 2π/ω
Konstanty A, ω a Φ se nazývají amplituda, úhlová frekvence a fázový posun. Sinusovka je periodická se základní periodou T = 2π/ω.
Obsah pednášky
Diskrétní sinusová posloupnost
7 Odezva systému
Vznik diskrétních signál
• vzorkováním spojitých signál (namení teploty kadou hodinu, mením prtoku kadých 15 minut)
Diskrétní signály, jimi se budeme v pedmtu zabývat, jsou diskrétní v ase, ale spojité ve funkní hodnot.
Digitální signál je toti asto kvantovaný, nabývá tedy v kadém n pouze diskrétní mnoiny funkních hodnot, napíklad {0, 1, 2, . . . , 65535}.
Diskrétní jednotkový impuls
δ[n] =
δ[n]
Diskrétní jednotkový skok
1[n] =
1[n]
Mjme sinusový signál f (t) = A sin(ωt + Φ) s periodou T = 2π/ω. Pokud tento signál vzorkujeme s periodou Ts > 0, získáme diskrétní sinusový signál
f [n] = f (nT ) = A sin(ωnTs + Φ) = A sin(ξn + Φ),
kde n = 0, ±1, ±2, . . . a ξ = ωTs.
A sin(ξn + Φ)
Periodický signál
Diskrétní signál f [n] je periodický, jestlie existuje kladné celé íslo N takové, e platí
f [n] = f [n + N] = f [n + 2N] = · · · = f [n + k · N]
pro všechna n ∈ Z (z intervalu (−∞, ∞)) a pro libovolné k ∈ Z. N se nazývá perioda diskrétního signálu.
Nejmenší moné N nazýváme fundamentální perioda a znaíme N0.
Periodický signál Diskrétní sinusová posloupnost nemusí být periodická!
Diskrétní sinusový signál nemusí být nutn periodický, záleí na volb vzorkovací periody Ts. Pro periodický diskrétní sinusový signál s periodou N musí platit
N = m · 2π Ts ,
kde m ∈ N. Máme i N ∈ N, proto 2π/Ts musí být racionální íslo.
Píklad (Neperiodický sinusový signál)
Signál y [n] = sin n
není pro Ts = 0.1 s periodický, protoe 2π/Ts není racionální íslo.
Obsah pednášky
Kauzální, píinný systém
Diskrétní systém
u[n]
Diskrétní systém Impulsní odezva
Definice (Impulsní odezva)
Odezvu systému na jednotkový impuls δ[n] budeme nazývat impulsní odezva a znait h[n],
h[n] = S{δ[n]} h[n,m] = S{δ[n −m]} . (1)
Diskrétní systém Pechodová odezva
Definice (Pechodová odezva)
Odezvu systému na jednotkový skok 1[n] budeme nazývat pechodová odezva a znait s[n],
s[n] = S{1[n]} = S {
n∑
Lineární systém
Definice (Linearita)
V matematice oznaujeme funkci f (x) jako lineární v pípad, e je 1 aditivní f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) a 2 homogenní, f (αx) = αf (x).
Obdobn to platí i pro lineární systémy.
Definice (Lineární systém)
Systém je lineární, pokud pro dva rzné vstupní signály u1[n] a u2[n] platí
S{u1[n] + u2[n]} = S{u1[n]}+ S{u2[n]} , S{αu[n]} = αS{u[n]} .
Princip superpozice
Definice (Princip superpozice)
Pro dva rzné vstupní signály u1[n] a u2[n] platí
y1[n] = S{u1[n]} y2[n] = S{u2[n]}
a pro u[n] = αu1[n] + βu2[n] také
αy1[n] + βy2[n] = y [n] = S{u[n]} = S{αu1[n] + βu2[n]}
Obecn platí
u[n] = ∑
Píklad
u[n] = b1u1[n] + b2u2[n]
je na výstupu
y [n] = b1 (y1[n] + a y1[n − 1]) + b2 (y2[n] + a y2[n − 1])
kde
Píklad
y [n + 1] = 1 2
( y [n] +
u[n]
y [n]
) .
Odmocnina z ísla 10 je s pesností na 10 desetinných míst rovna√ 10 = 3,16227766017. Pro u[n] = u[0] = 10 dostáváme postupn
... ...
Lineární systém Odezva na obecný vstupní signál
Pro obecný vstupní signál u[n] je pak odezva lineárního systému
y [n] = S{u[n]} = S { ∞∑
m=−∞ u[m] δ[n −m]
}
= ∞∑
∞∑
m=−∞ u[m] h[n,m].
Vidíme, e chování systému je zcela ureno jeho odezvami na rzn posunuté jednotkové pulsy h[n,m].
Lineární systém Pechodová odezva
Pechodová odezva diskrétního lineárního systému s[n] je dána prostým soutem impulsních odezev pro 0 ≤ m ≤ n
s[n] = S{1[n]} = S {
n∑
m=0
h[n,m].
asov invariantní systém
Systém se nazývá asov invariantní, jestlie jsou všechny události závislé pouze na asovém intervalu (rozdílu asových událostí) n −m a nikoliv na kadém asovém okamiku n a m samostatn.
dnes . . . y [n] = S [u[n]]
vera . . . y [n − 1] = S [u[n − 1]]
...
Potom také rovnice pro impulsní odezvu pejde z maticového tvaru na prostý vektorový zápis
h[n,m]→ h[n −m] = S{δ[n −m]} .
asov invariantní systém Superpozice odezvy y [n] z h[n − k]
h[n]
y [n] = u[0] · h[n]
u[n]
Konvoluce
y [n] = ∞∑
∞∑
kterou pro úsporu místa znaíme
y [n] = h[n] ∗ u[n].
Pozor: nejde o násobení!
u[n]
Píklad
Uvaujme mikroekonomický systém variace ceny popsaný diferenní rovnici
y [n] + a y [n − 1] = u[n].
Protoe její koeficienty nezávisí na ase, tj. a je konstantní a není funkcí n, zachovává tato rovnice tvar pi zámn n→ n −m. Impulsní odezva je potom
h[n] = (−a)n1[n].
Píklad
y [n] + n · y [n − 1] = u[n].
Koeficient u y [n− 1] závisí na ase a tato rovnice nezachovává tvar pi zámn n→ n −m. Impulsní odezvu lze psát ve tvaru
h[n] = (−1)n n! 1[n].
Kauzální systém
Systém je kauzální, pokud jeho výstup závisí pouze na souasných a minulých hodnotách vstup.
Výstupní signál y [n] kauzálního systému tedy závisí pouze na {u[n], u[n − 1], u[n − 2], . . . }. V konvoluní sum proto
y [n] = ∞∑
= −1∑
0
h[k] u[n − k]
musíme poloit všechny leny impulsní odezvy h[n] = 0 pro n < 0.
Kauzální systém
Konvoluní suma pro lineární, asov invariantní a kauzální systém má tvar
y [n] = ∞∑
k=0
k=0
u[k] · h[n − k].
Jestlie navíc budeme poadovat, aby vstupní a výstupní signály mly dobe definovaný poátek, tj. aby ∀n < 0 : u[n] = 0, y [n] = 0 (oba signály mohou mít nenulové leny pouze pro n ≥ 0), potom platí
y [n] = n∑
k=0
Spojité systémy Impulsní a pechodová odezva
Definice (Impulsní odezva)
Odezvu systému na Diracv impuls δ(t) budeme nazývat impulsní odezva a znait h(t),
h(t) = S{δ(t)} h(t, τ) = S{δ(t − τ)} .
Definice (Pechodová odezva)
Odezvu systému na jednotkový skok 1(t) budeme nazývat pechodová odezva a znait s(t),
s(t) = S{1(t)} = S {∫ t
0 δ(t − τ) dt
Spojité systémy Konvoluce
V pípad spojitého casu postupujeme podobn a odvodíme pro lineární asov invariantní systém konvoluní integrál
y(t) =
y(t) = h(t) ∗ u(t).
Opt pipomínáme, e se v tomto zápisu nejedná o násobení!
Spojité systémy Píklad konvoluce
Spojitý systém
Pro u(t) = δ(t) platí pro lineární a asové invariantní systém samozejm
y(t) = S{u(t)} =
Spojité systémy Kauzální systém
Výstupní signál y(t) spojitého kauzálního systému závisí pouze na hodnotách vstup pro pedešlé asové okamiky. Z dvodu, které klademe na kauzální chování systému, pejde konvoluní integrál na tvar
y(t) =
0 h(τ) u(t − τ) dτ
a hodnoty impulsní odezvy pro t < 0 uvaujeme opt h(t) = 0 .
Spojité systémy Konvoluce pro kauzální LTI systém
Konvoluní integrál pro lineární, asov invariantní a kauzální systém má tvar
y(t) =
∫ ∞
0 u(τ) · h(t − τ) dτ.
Jestlie navíc budeme poadovat, aby vstupní a výstupní signály mly dobe definovaný poátek, tj. aby ∀t < 0 : u(t) = 0, y(t) = 0 (oba signály mohou být nenulové leny pouze pro t ≥ 0), potom platí
y(t) =
∫ t
∫ t
Charakteristiky systém Autonomní systém
Za autonomní systém povaujeme takový, který nemá vstup. Diskrétní autonomní systém je popisuje tedy napíklad diferenní rovnice vnjšího popisu
y [n + 1] + a y [n] = 0.
Výstup autonomního systému je odezvou na poátení podmínky.
V pípad, e systém má vstup u[n], tedy
y [n] + a y [n − 1] = u[n],
systém pokládáme za neautonomní.
Definice stability BIBO stabilita systému
BIBO stabilita – bounded input bounded output
Odezva na omezený vstupní signál musí být vdy omezená – systém je BIBO stabilní.
Odezva systému je kombinací
Stabilita systém
Impulsní odezvu LTI systému lze vdy zapsat jako souet exponenciel ve tvaru
h(t) = n∑
µ=0
kµepµt .
Pro pµ ∈ R je h(t) reálná exponenciela, která pro t →∞ bu roste nade všechny meze (pµ > 0) nebo klesá k nule (pµ < 0).
Pro pµ ∈ C je h(t) komplexní exponenciela, která pro t →∞ kmitá a bu roste nade všechny meze nebo klesá k nule, záleí na <pµ.
Stabilita systém
Z výše uvedené úvahy vyplývá, jak z polohy pól penosové funkce jednoduše odvodíme tvar impulsní odezvy a tedy stabilitu (limt→∞ h(t) = 0) respektive nestabilitu (limt→∞ h(t) =∞) systému:
• Pro stabilní systém platí limt→∞ h(t) = 0 a všechna . • V impulsní odezve se nachází minimáln jedna rostoucí
exponenciela, je bude hodnot h(t) postupn dominovat, a je tedy limt→∞ h(t) =∞. • Systém me být ale nestabilní i v jiných pípadech.
O predmetu
Klasifikace modelu
Fáze modelování
Model systému
Kauzální, prícinný systém

Úvodní informace matematické modelování

Documents