Taller 2 matemáticas: Preparación 2do. parcial. Profesor Jaime Andrés Jaramillo. jaimeaj@conceptocomputadores.com. UdeA 2014-1

Referencias:

STEWART, James y otros. Precálculo. Quinta edición. México: Thomson, 2007.

Fracciones algebraicas

1. Simplifique la expresión

i. ii. iii.

iv. v. vi.

vii. viii. ix.

x. xi. xii.

xiii. xiv. xv.

xvi. xvii. xviii.

2. Efectúe la operación y escriba su resultado en forma simplificada:

i. ii.

iii. iv.

v. vi.

vii. viii.

ix. x.

xi. xii.

xiii. xiv.

xv.

3. Simplifique la expresión

i. ii.

iii.iv.

Ecuaciones lineales

4. Resuelva la ecuación:

a) b) c)

d) e) f)

5. La suma de las edades de Hernán y Pedro es de 84 años, y Pedro es 8 años menor que Hernán. Hallar ambas edades.

6. Pague $87 000= por un libro, un traje y un sombrero. El sombrero costó $5 000= más que el libro y $20 000= menos que el traje. ¿Cuánto pagué por cada artículo?

7. La suma de tres números enteros consecutivos es 156. Hallar los números.

8. La suma de dos números es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar ambos núme-ros.

9. La suma de dos números es 540 y su diferencia es 32. Hallar ambos números.

10.Entre Andrés y Bernardo tienen $1 154 000=. Bernardo tiene $506 000= menos que An-drés ¿Cuánto dinero tiene cada uno?

11.La suma de tres números es 200. El mayor excede al del medio en 32 y al menor en 65. Hallar los números.

12.Tres cestos contienen 575 manzanas. El primer cesto 10 manzanas más que el segundo y 15 más que el tercero. ¿Cuántas manzanas hay en cada cesto?

13. Repartir 310 dólares entre tres personas de modo que la segunda reciba 20 menos que la primera y 40 más que la tercera.

Sistemas de ecuaciones lineales 2x2

14.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales

a) b)c) d)

e) f) g)h)

i) j)k)

l)

15.Resuelva los siguientes SEL y muestre su representación gráfica:

a) b) c)

d)e)

f)

16.Un cliente de una cafetería compra una mezcla de dos tipos de café: uno proveniente de Kenia que cuesta 3.50 dólares cada libra y uno de Sri Lanka, que cuesta 5.60 dólares la libra. Compra tres libras de la mezcla, que le cuesta 11.55 dólares. ¿Cuántas libras de cada clase de café van en la mezcla?

17.Un químico tiene dos grandes recipientes de solución de ácido sulfúrico, con diferentes concentraciones de ácido en cada contenedor. Al mezclar 300 mL de la primera solución y 600 mL de la segunda obtiene una mezcla que es ácido al 15%, en tanto que 100 mL de la primera mezclada con 500 mL de la segunda da una mezcla de ácido al 12%. ¿Cuáles son las concentraciones de ácido sulfúrico en los recipientes originales?

18.Un granjero cuenta con un determinado número de jaulas para sus conejos. Si introduce 6 conejos en cada jaula quedan cuatro plazas libres en una jaula. Si introduce 5 conejos en cada jaula quedan dos conejos libres. ¿Cuántos conejos y jaulas hay?

19.En una lucha entre moscas y arañas intervienen 42 cabezas y 276 patas. ¿Cuántos lucha-dores había de cada clase? (Recuerda que una mosca tiene 6 patas y una araña 8 patas).

20.Halla dos números tales que si se dividen el primero por 3 y el segundo por 4 la suma es 15; mientras que si se multiplica el primero por 2 y el segundo por 5 la suma es 174.

21.Calcula el valor de dos números sabiendo que suman 51 y que si al primero lo divides entre 3 y al segundo entre 6, los cocientes se diferencian en 1.

22.La gerente de un restaurante quiere comprar 200 juegos de platos. Un modelo cuesta $25 000 por juego, mientras que otro cuesta $45 000 por juego. Si sólo dispone de $7 400 000 para este gasto, ¿cuántos juegos debe pedir de cada modelo?

23.Un depósito se llena por un grifo en 5 horas y por otro en 2 horas. ¿Cuánto tardará en lle -narse abriendo los dos grifos a la vez?

24.Dos grifos alimentan simultáneamente un depósito tardando 2,4 horas en llenarlo. Si se abriera cada grifo por separado el primero tardaría 2 horas menos que el segundo. ¿Cuán-to tiempo tardaría cada uno de ellos en llenarlo de manera independiente?

Sistemas de ecuaciones lineales 3x3

25.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales

a) b)

c)

d) e) f)

g) h) i)

26.Tres amigos suben a una báscula de dos en dos. Andrés y Benjamín suman 173 kg., An-drés y Carlos 152 kg., mientras que entre Benjamín y Carlos pesan 165 kg. ¿Cuánto pesa cada uno?

27.Una compañía produce tres marcas de alicates: groso, transverso y ergos los costos de producción de una unidad son $28 000=, $39 000=, y $47 000= y sus precios de venta $36 000=, $49 000= y $61 000= respectivamente. Si la producción diaria de 350 alicates re-presenta un costo total de $13 616 000= y por su venta se facturan $17 484 000=, determi-ne cuantos alicates de cada marca son elaborados diariamente.

28.Un inversionista posee tres grupos de acciones: A, B y C. Los precios de las acciones al cierre en tres días co -

merciales consecutivos se proporcionan en la tabla.Acciones A Acciones B Acciones C

Lunes $10 $25 $29

Martes $12 $20 $32

Miércoles $16 $15 $32

A pesar de la volatilidad en los precios de las acciones, el valor total de las acciones del inversionista permanece sin cambios en 74 000 dólares al final de cada uno de estos tres días. ¿Cuánto posee de cada acción el inversionista?

29.Hacer prendas de vestir Un fabricante de ropa hace sacos, camisas y pantalones. Los tiempos necesarios para cortar, coser y empacar cada artículo se muestran en la tabla. ¿Cuántos de cada uno debe hacer para usar todas las horas de mano de obra disponibles?

Sacos Camisas

Pantalones

Tiempo dispoCortar 20 min 15 min 10 min 115hr

Coser 60 min 30 min 24 min 280 hrEmpacar 5 min 12 min 6 min 65 hr

30. Encuéntrense a, b, y c tales que la parábola y = ax2 + bx + c pase por los puntos (—2, —32), (1, 4), y (3, —12).

31. Hay tres cadenas que pesan 450, 610 y 950 onzas, cada una de las cuales está formada por eslabones de tres tamaños diferentes. Cada cadena tiene 10 eslabones pequeños. Las cadenas tienen también 20, 30 y 40 eslabones medianos y 30, 40 y 70 eslabones grandes, res-pectivamente. Encuentra los pesos de los eslabones pequeños, los medianos y los grandes.

32.Nutrición Una bióloga está efectuando un experimento sobre los efectos de varias combinaciones de vitaminas. Quiere alimentar a cada uno de sus conejos de laboratorio con una dieta que contenga exactamente 9 mg de niacina, 14 mg de tiamina y 32 mg de riboflavina. Tiene tres tipos distintos de marcas comerciales de alimento; su contenido vitamínico por onza se proporciona en la tabla. ¿Cuántas onzas de cada tipo de alimento deben comer todos los días los conejos para cumplir con los requisitos del experimento?

Sistemas de ecuaciones lineales mxn

33.Resuelva el sistema de ecuaciones lineales:

i. ii.

Ecuación cuadrática:

34.Resuelva la ecuación (Encuentre si es posible las soluciones complejas)

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

Tipo A TipoB TipoCNiacina (mg) 2 3 1Tiamina (mg) 3 1 3Riboflavina (mg)

8 5 7

m) n) o)

p) q) r)

35.Resuelva la ecuación (Si existen soluciones complejas determínelas)

a) b)c)

d) e) f)

g) h)i)

j) k) l)

m) n)o)

p) q) r)

s) t) u)

36.Un terreno rectangular tiene su largo igual al doble de su ancho. Si el largo se aumenta en 40m y el ancho en 6m, el área se hace doble. Hallar las dimensiones del terreno original.

37.Un automóvil ha recorrido 200km en cierto tiempo, para haber recorrido esa distancia en 1,0 h menos, la velocidad debía haber sido 10 km/h más. Halla la velocidad del automóvil.

38.Determina las medidas de un triángulo rectángulo, sabiendo que su perímetro es 36 cm y la suma de los catetos es 21 cm

39.Determina los lados de un rectángulo, sabiendo que su perímetro es 56 m y su área es 180m2.

40.Un rectángulo tiene 24 m de perímetro y 35 m2 de área. Hallar las dimensiones.

41.La base de un rectángulo es 2 m mayor que la altura. Si a la base se le aumenta 1 m y a la altura en 2 m, resulta otro rectángulo cuya área es 24 m2 mayor que el primero. Calcular las dimensiones de este.

42.Un deportista caminó 36 km en un cierto número de horas. Si hubiese caminado 1 km más por hora habría tardado 3 hora menos en recorrer la misma distancia. ¿Cuántas horas ha estado caminando?

43.Una persona compró cierto número de calculadoras por $150 000=. Podría haber compra-do 5 más,  si cada una hubiese costado $5 000= menos. ¿Cuántas calculadoras compró? ¿Cuánto costó cada calculadora?

44.Para vallar una finca rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las di-mensiones de la finca.

45.Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un camino de arena uniforme. Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m²

46.Dos caños A y B llenan juntos una piscina en dos horas, A lo hace por sí solo en tres horas menos que B. ¿Cuántas horas tarda a cada uno separadamente?

47.Una llave tarda dos horas más que otra en llenar un depósito y abriendo los dos juntos se llena en 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarlo cada uno por separado?

48.Una pieza rectangular es 4 cm más larga que ancha. Con ella se construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm de lado en cada esquina y doblando los bordes. Halla las dimensiones de la caja

49.Calcula el lado de un cuadrado, sabiendo que el producto del área de dicho cuadrado por el área del rectángulo que se obtiene al aumentar la base en 2 cm y disminuir la altura en 2 cm es igual a 6237 cm2.

50. (Usar dos variables) El perímetro de un triángulo rectángulo mide 30 m y el área 30 m 2. Calcula los catetos.

51. (usar dos variables)La diferencia de las diagonales de un rombo es de 2 m. Si a las dos las aumentamos en 2 m el área aumenta en 16 m2. Calcula las longitudes de las diagonales, el perímetro y el área de dicho rombo.

52. (Usar dos variables) El área de un triángulo rectángulo es 120 cm2 y la hipotenusa mide 26 cm. ¿Cuáles son las longitudes de los catetos? [24cm,10cm]

53.La edad de Liliana era hace 6 años la raíz cuadrada de la edad que tendría dentro de 6 años. Determine la edad actual.

54.Determine el valor de k, de modo que la ecuación 3x2 + 4x = k – 5 tenga:a. Dos soluciones reales y distintas.b. Dos soluciones reales e iguales.c. Dos soluciones que no sean números reales

55.Calcula el valor de b en la ecuación 5x2 + bx + 6 = 0, sabiendo que una de sus soluciones es 1.

¿Cuál es la otra solución de la ecuación?

56.Una caja con base cuadrada y sin tapa se construye partiendo de un pedazo cuadrado de cartón, cortando un cuadrado de 5 cm en cada esquina, y doblando hacia arriba los lados. Si la caja debe contener 80 cm3, ¿qué dimensiones debe tener el pedazo de cartón?

57.Un rectángulo áureo es un rectángulo que puede dividirse en un cuadrado y en otro rectán-gulo, que también es áureo, semejante al original. En la figura, ABCD es un rectángulo áu-reo porque puede dividirse en un cuadrado AFED y en un rectángulo áureo FBCE. Esta-bleciendo una proporción de las longitudes de los lados de los rectángulos se obtiene

. Si b = 1, resuelve la ecuación para a.

b

a

a B

CD

A F

E

Ecuaciones de grado superior a 2

58. Resuelva la ecuación, encontrando incluso, si es posible, las soluciones complejas no reales:

a) b)

c) d)

e)

Dominio y rango de una función

59.Determine el dominio de la función

a. b. c.

d. e. f.

g. h. i.

j. k. l.

60.Determine el dominio y dibuje la gráfica de la función

a. b. c. d.

61. Encuentre dominio y rango de la función

a. b. c. d.

Funciones seccionalmente definidas y por tramos

62.Determine el dominio y dibuje la gráfica de la función

a. b. c.

d. e. f.

Simetrías función par e impar

63.Determine si la función dada es par, impar, o no tiene simetría

a. b. c.

Función lineal

La función lineal tiene como gráfica una línea recta, ésta tiene tres tipos de ecuación:

Ecuación pendiente intersección: (tiene pendiente m e intersección con el eje y en (0,b) Ecuación punto-pendiente: (tiene pendiente m y pasa por el punto ( )) Ecuación general:

La pendiente de una recta, cuando se conoce que pasa por los puntos y puede

calcularse mediante la fórmula .

64.Determine la ecuación general de la recta que:

a. Tiene pendiente -2/5 y pasa por (2,2)

b. Contiene los puntos (-5,1) y (-6,2)

Dos rectas con pendientes m1 y m2 son paralelas si y son perpendiculares si .

65.Determine la ecuación punto- pendiente de la recta que:

c. Es paralela a x – 2y + 2 = 0 y pasa por (-2,-1)d. Es perpendicular a 3x – 4y = 2 y pasa por (-4,2)

66.Determine la ecuación pendiente-intersección de la recta que es paralela a 2x +1 = y y pasa por (-2,5)

67.Encuentre las ecuaciones generales de las rectas y , y elabore sus gráficas en un mis-mo sistema de referencia.

a. ; b. ;

68.Una empresa compró un equipo de computo por $15 000 000, el cual se deprecia lineal-mente hasta valer en 8 años $3 200 000.

a. Encuentre la función lineal que relacione el valor V en pesos con el tiempo t en años. Explicar por qué el dominio de la función es [0,8].b. Determine el valor del equipo a los 4 y a los 8 años.c. Elabore la gráfica de , obtenga la pendiente de la recta que representa a la función

y explique qué significa.d. ¿A los cuantos años el equipo costará la tercera parte de su valor original?

69.Un fabricante de queso produjo 18 000 libras del 1 de enero al 24 de marzo de 2007. Supo-niendo que durante todo el año mantuvo el mismo ritmo de producción.

e. Escriba como función de x las libras de queso que produce en x días.f. Aproxime a la libra más cercana la cantidad de libras producidas en todo 2007.

70.El volumen de un gas a presión constante es directamente proporcional a la temperatura absoluta. A la temperatura de 175 ºK el gas ocupa 100 m3, (a) Encuentre un modelo matemático que exprese el volumen como una función de la temperatura, (b) ¿Cuál es volumen del gas a una temperatura de 140°K? (Nota: Las escalas de temperatura absoluta son Kelvin (ºK) y Rankine (ºR))

Funciones exponenciales y logarítmicas

71.El crecimiento de cierto cultivo de bacterias puede expresarse mediante la función

.

Donde y es el peso del cultivo en gramos y t es el tiempo en horas. Determine:

a. Cuál será el peso del cultivo para t=0? b. Cuál será el peso del cultivo para t=1?c. Cuál será el peso del cultivo para t=10? d. En qué momento el cultivo tendrá un peso de 1.15 gramos?

72.Suponga que en alguna ciudad la población se duplica cada 26 años. Si a principios de 1 931 su población era de 190 000 habitantes

a. Cuál era la población a finales de 1 957?b. Cuál era la población a finales de 1 983?c. Si continúa cumpliéndose este patrón de crecimiento, cuál será al finalizar 2 009?d. Cuál será en 2015?e. Cuándo la población será de 1 000 000 de habitantes?

Ecuaciones Exponenciales y logarítmicas

73. Plantee los siguientes enunciados en forma de logaritmos:

a) ¿A qué número se debe elevar 5 para obtener 8?

b) ¿A qué número se debe elevar 2 para obtener 30?

c) ¿A qué número se debe elevar ½ para obtener 25?

1. Exprese como una suma de logaritmos .De ser posible, simplifique.

a) b) c)

d) e) f)

74.Expresa como un único logaritmo.

a) b) c)

75.Expresa como un producto.

a) b) c)

2. Expresa en términos de los logaritmos x, y y z.

a) b) c)

76.Expresa como un logaritmo único y de ser posible simplifica.

a) b)

77.Dado que log 2 , y , encuentre los siguientes logaritmos.

a) log 4= b) log 5= c) log 50 = d) log 12 =

e) log 60 = f) log g) log 90= h) log

78.Resuelva.

a) b) c)

d) e) f)

79.Desafío: encuentre X +Y +Z ,dado que.

80. calcule el valor de K en cada uno de los siguientes casos:

a) b) c)

81.Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas:

a) b) c)

82.Complete las siguientes tablas y represente en el mismo sistema de coordenadas ortogo-nales.

X X

1 0

3 1

-1

9 2

-2

83.Resuelva la ecuación exponencial:

i. ii.iii.

iv. v. vi.

84.Resuelva la ecuación logarítmica:

i. ii. iii.

iv. v. vi.

85.Resuelva la ecuación:

i. ii. iii.

iv.v.

vi. vii. viii.

86.La tasa de crecimiento de una bacteria común es proporcional a su tamaño. Cuando esta bacteria crece en un medio con nutrientes abundantes, la cantidad de especimenes se du-plica cada 20 minutos.

i. Si la población inicial es 100, determine la función que exprese el crecimiento exponencial de la cantidad Q(t) de bacterias como función del tiempo t.

ii. Si la población inicial fuera 3500, ¿cómo se vería afectado el modelo?

87.La población mundial al inicio de 1990 era de 5.3 mil millones de personas. Si la población continúa creciendo con la razón actual de aproximadamente 2% por año:

iii. encuentre la función Q(t) que expresa la población mundial (en miles de millones) como función del tiempo t (en años), donde t=0 corresponde al inicio de 1990.

iv. Según este modelo, ¿cuál sería la población mundial al inicio de 2007?

3. Cierta región minera tiene una población que está decreciendo según la función: , donde t son los años después de 1995.

v. Encuentre la población en 2006.vi. En cuantos años la población será de 15092 habitantes.

88.Una máquina se compra en 10 000 USD y se deprecia de manera continua desde la fecha de compra. Su valor después de t años está dado por la fórmula: .

b. Determina el valor de la máquina después de 8 años.c. ¿Cuándo su valor será de 7 000 USD ?

89.La población en una ciudad en el año 2000 era de 83,750 personas. ¿Cuándo alcanzará esta ciudad una población de 100,000 habitantes, suponiendo que continúe con una tasa de crecimiento del 3% anual?

90. ¿En cuánto tiempo se duplica un capital si se invierte a una tasa del 15% compuesto anual?

91.El crecimiento de una colonia de mosquitos sigue un crecimiento exponencial que puede ser modelado con la siguiente ecuación . Si inicialmente habían 1000 mosquitos y después de un día la población de éstos aumenta a 1800, ¿cuántos mosquitos habrán en la colonia después de 3 días? ¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que la colonia tenga 10000 mosquitos?

Combinación de funciones

92.Dadas , , :

f. Determine el dominio de .

g. Determine el dominio de

Transformaciones y traslaciones

93.La tabla muestra puntos de la gráfica .

-3 -2 -1 0 1 2 3

5 3 -1 0 1 2 5

a. Elabore una gráfica para . b. Elabore una gráfica para

Límites y Continuidad

94.Calcule los siguientes límites:

a. b. c. d.

e. f. g. h.

i. j. k.

l. m. n.

95.Calcule los siguientes límites:

a. b. c. d.

e. f.g.

h. i. j.

k. l. m.

96.Calcule el límite:

a.b.

c. d.

e. f.

g. h.

97.Calcule el límite:

i. j.

k. l.

m.

n.

98.Determine si la función tiene asíntotas verticales y elabore su representación gráfica

a. b.

99.Determine, para la función, intersecciones con los ejes, asíntotas, signo y elabore su representación gráfica:

a. b. c.

d.

100. Calcule el límite

a. b. c. d.

e. f. g.

h. i. j.

k.l.

m. n.

o. p. q.

r. s.101. Explique por qué la función es discontinua en el punto dado. Bosqueje su gráfica.

a) , a = 3 b) , a = 2102. Las funciones que se muestran a continuación son discontinuas en el valor de a dado.

i. Determine si tienen límite para .ii.Grafique la función e indique si la gráfica de la función tiene una asíntota vertical en

103. Encuentre el (los) valor(es) de la(s) constantes para que la función sea continua en todo su dominio. Elabo-re la representación gráfica de la función continua encontrada:

a. b.

c. d.

e. f.

a.

En y

b.

En

c.

En y